integrální pocet - ii. cást (urcitý integrál a jeho aplikace)fusekmi/esmat/prednaska07.pdf ·...

Integrální pocet - II. cást(urcitý integrál a jeho aplikace)

Michal Fusek

Ústav matematiky FEKT VUT, [email protected]

7. prednáška z ESMAT

Michal Fusek ([email protected]) 1 / 23

Obsah

1 Urcitý vlastní (Riemannuv) integrál

2 Vlastnosti Riemannova integrálu

3 Výpocet Riemannova integrálu

4 Výpocet obsahu rovinného obrazce


Urcitý vlastní (Riemannuv) integrál

Delení intervaluNecht’ 〈a,b〉 je uzavrený interval ax0, x1, . . . , xn−1, xn reálná císla splnující

a = x0 < x1 < · · · < xn−1 < xn = b.

Potom množinu uzavrených intervalu

D = {〈x0, x1〉, 〈x1, x2〉, . . . , 〈xn−1, xn〉}

nazýváme delením D intervalu 〈a,b〉 a císla x0, x1, . . . , xn nazývámedelicími body intervalu 〈a,b〉.

Normou ν(D) delení D rozumíme maximální vzdálenost sousedníchdelicích bodu, tedy

ν(D) = max{x1 − x0, x2 − x1, . . . , xn − xn−1}.



Integrální soucet

Necht’ f je ohranicená funkce defino-vaná na uzavreném intervalu 〈a,b〉.Necht’

D = {〈x0, x1〉, 〈x1, x2〉, . . . , 〈xn−1, xn〉}

je delení intervalu 〈a,b〉.

Dále necht’ R = {ξ1, ξ2, . . . , ξn} je tzv. výber reprezentantu z deleníD, tj. císla z intervalu 〈a,b〉 splnující

xi−1 ≤ ξi ≤ xi , i = 1, . . . ,n.

Potom soucetS(f ,D,R) =

n∑i=1

f (ξi)(xi − xi−1)

nazýváme integrálním souctem funkce f príslušným delení D avýberu reprezentantu R z delení D.



Geometricky je integrální soucet S(f ,D,R) kladné funkce f rovensouctu obsahu obdélníku, jejichž základny mají délku xi − xi−1 ajejichž výška je rovna f (ξi).

Je-li funkcní hodnota v reprezentantu záporná (obdélnícek je podosou x), pak príspevek tohoto obdélnícku do integrálního souctuje záporný.

Integrální soucet je dán rozdílem obsahu obdélníku nad osou x apod osou x .



Urcitý (Riemannuv) integrál

Necht’ f je ohranicená funkce definovaná na uzavreném intervalu〈a,b〉. Rekneme, že f je Riemannovsky integrovatelná na 〈a,b〉,jestliže existuje císlo I ∈ R takové, že ke každému ε > 0 existujeδ > 0 tak, že pro každé delení D intervalu 〈a,b〉 s libovolným výberemreprezentantu R, jehož norma ν(D) < δ, platí

|S(f ,D,R)− I| < ε.

Císlo I nazýváme urcitý integrál nebo též Riemannuv integrálfunkce f na intervalu 〈a,b〉 a znacíme jej∫ b

af (x)dx .

Císlo a nazýváme dolní mez a císlo b horní mez Riemannovaintegrálu.



Konstrukce Riemannova integrálu pro spojitou funkciNecht’ f je spojitá funkce definovaná na uzavreném intervalu 〈a,b〉.Necht’ {D1,D2, . . . ,Dn} je posloupnost delení intervalu 〈a,b〉 taková,že každé nové delení Dk+1 vznikne z delení Dk pridáním novýchdelicích bodu do stredu každého podintervalu 〈xi−1, xi〉 u delení Dk .Dále necht’ {R1,R2, . . . ,Rn} je libovolná posloupnost reprezentantu ztechto delení. Potom

limn→∞

ν(Dn) = 0 a∫ b

af (x)dx = lim

n→∞S(f ,Dn,Rn).

Interval rozdelíme na podintervaly. Z každého podintervaluvybereme reprezentanta a urcíme integrální soucet.

Delení zjemníme tak, že pridáme stredy puvodních podintervalu,címž získáme delení s menší normou. Opet vyberemereprezentanty a urcíme integrální soucet.

Postup opakujeme, dokud se integrální soucty neustálí(Riemannuv integrál funkce f na intervalu 〈a,b〉).


Vlastnosti Riemannova integrálu


Necht’ a < b. Potom ∫ a

bf (x)dx = −

∫ b

af (x)dx ,

∫ a

af (x)dx = 0.

Necht’ f je funkce integrovatelná na intervalu 〈a,b〉 a necht’ c ∈ (a,b).Potom je f integrovatelná na intervalech 〈a, c〉 a 〈c,b〉 a platí∫ b

af (x)dx =

∫ c

af (x)dx +

∫ b

cf (x)dx .




Necht’ f a g jsou funkce integrovatelné na intervalu 〈a,b〉 a necht’c ∈ R. Pak platí∫ b

a

[f (x)± g(x)

]dx =

∫ b

af (x)dx ±

∫ b

ag(x)dx ,

∫ b

ac f (x)dx = c

∫ b

af (x)dx .

Necht’ f a g jsou funkce integrovatelné na intervalu 〈a,b〉 takové, žepro x ∈ (a,b) je f (x) ≤ g(x). Pak platí∫ b

af (x)dx ≤

∫ b

ag(x)dx .




Necht’ f je funkce integrovatelné na intervalu 〈a,b〉. Dále necht’ S jesudá funkce a L lichá funkce, obe integrovatelné na intervalu 〈−a,a〉.Potom platí∫ b

a 0 dx = 0∫ ba dx = b − a

f (x) ≥ 0 na 〈a,b〉 ⇒∫ b

a f (x)dx ≥ 0∣∣∣∫ ba f (x)dx

∣∣∣ ≤ ∫ ba |f (x)|dx

∫ a−a S(x)dx = 2

∫ a0 S(x)dx∫ a

−a L(x)dx = 0



Postacující podmínky integrovatelnosti

Funkce f je Riemannovsky integrovatelná na intervalu 〈a,b〉, pokudsplnuje alespon jednu z následujících podmínek:

Funkce f je na 〈a,b〉 spojitá.Funkce f je na 〈a,b〉 monotonní.Funkce f je na 〈a,b〉 ohranicená a má na 〈a,b〉 konecný pocetbodu nespojitosti 1. druhu.

Príkladem funkce, která není Riemannovsky integrovatelná, je napr.funkce

f (x) =

{1 pro x ∈ Q,0 pro x ∈ I,

která není Riemannovsky integrovatelná na žádném intervalu.


Výpocet Riemannova integrálu

Newtonova–Leibnizova formule

Jedna z nejduležitejších vet matematické analýzy dávající dosouvislosti derivaci a neurcitý a urcitý integrál.

Necht’ f je Riemannovsky integrovatelná funkce na intervalu 〈a,b〉.Dále necht’ F je primitivní funkce k funkci f na intervalu 〈a,b〉, tj. provšechna x ∈ 〈a,b〉 platí F ′(x) = f (x). Potom∫ b

af (x)dx =

[F (x)

]ba = F (b)− F (a).

Príklad ∫ 5

−2x2 dx =

1333



Metoda per partes pro urcitý integrál

Necht’ funkce u, v a jejich derivace jsou spojité na intervalu 〈a,b〉.Potom platí∫ b

au(x)v ′(x)dx =

[u(x)v(x)

]ba −

∫ b

au′(x)v(x)dx .

Príklad∫ 31 x ln x dx = 9

2 ln3− 2 [u = ln x , v ′ = x ]



Substitucní metoda pro urcitý integrál

Necht’ funkce f , ϕ a ϕ′ jsou spojité na príslušných intervalech a necht’funkce ϕ je ryze monotonní. Potom platí∫ b

af (ϕ(x))ϕ′(x)dx =

∫ ϕ(b)

ϕ(a)f (t)dt

a ∫ b

af (x)dx =

∫ ϕ−1(b)

ϕ−1(a)f (ϕ(t))ϕ′(t)dt .

Príklad

(a)∫ 5

1

√2x − 1 dx = 26

3 [2x − 1 = t ]

(b)∫ 1

0 x2(5− 2x3)4dx = 144115

[5− 2x3 = t

]Michal Fusek ([email protected]) 14 / 23


Príklad

Overte podmínky existence a vypocítejte integrály:

(a)∫ π

40 tg2 x dx

(b)∫ 4

0

√x

1+√

x dx[x = t2

](c)

∫ π3

π4

xsin2 x dx

[u = x , v ′ = 1

sin2 x

](d)

∫ 12

0 arcsin x dx[u = arcsin x , v ′ = 1, pak 1− x2 = t

](e)

∫ π2

π3

1sin x dx

[cos x = t ,

∫ 1x2−A2 dx = 1

2A ln∣∣∣ x−A

x+A

∣∣∣+ c]

(f)∫ π

0

√sin x − sin3 x dx [sin x = t , pozor na abs. hod.]

Rešení:

(a) 1− π4

(b) ln9

(c) π36 (9− 4

√3) + 1

2 ln 32

(d) π12 − 1 +

√3

2

(e) 12 ln3

(f) 43


Výpocet obsahu rovinného obrazce


Obsah obrazce ohraniceného grafem kladné funkce f a osou x naintervalu 〈a,b〉:

S =

∫ b

af (x)dx .



Príklad

Urcete obsah obrazce ohraniceného grafy funkcí y = x a y = x3.

Rešení:

Prusecíky: x1 = −1x2 = 0x3 = 1

S = 2(∫ 1

0 x dx −∫ 1

0 x3 dx)= 1

2



Obsah obrazce ohraniceného grafy funkcí f a g, f (x) > g(x) naintervalu 〈a,b〉:

S =

∫ b

a[f (x)− g(x)]dx .

Pritom nemusí na celém intervalu 〈a,b〉 platit f (x) ≥ 0 nebo g(x) ≥ 0.⇒ pripoctením vhodné konstanty k obema funkcím posuneme celouoblast nad osu x (konstanty se v integrálu odectou)



PríkladUrcete obsah obrazce ohraniceného grafy funkcí f (x) = 2x − 1 ag(x) = x2 − x − 1.

Rešení:

Prusecíky: x1 = 0x2 = 3

S =∫ 3

0

[2x − 1− (x2 − x − 1)

]dx = 9

2



PríkladOdvod’te vzorec pro obsah kruhu.

Rešení:

r

y =√r2 − x2

y = −√r2 − x2

x2 + y2 = r2 ⇒ y = ±√

r2 − x2

S = 4∫ r

0

√r2 − x2 dx = πr2

[x = r sin t ]



PríkladNakreslete a urcete obsahy obrazcu ohranicených krivkami:(a) xy = 6, x + y = 7(b) y = 2x , y = 2

x , y = x2 , x = 0 (plocha leží v I. kvadrantu)

(c) x2

a2 + y2

b2 = 1 [x = a sin t ]

Rešení:(a) S =

∫ 61

[(7− x)− 6

x

]dx = 35

2 − 6 ln6

(b) S =∫ 1

0

(2x − x

2

)dx +

∫ 21

( 2x − x

2

)dx = 1

ln 2 + 2 ln2− 1

(c) S = 4∫ a

0ba

√a2 − x2 dx = πab

PríkladUrcete k (k > 0) tak, aby obsah obrazce ohraniceného prímkou y = kxa parabolou y = 4x − x2 mel hodnotu 9

2 .[∫ 4−k0

[(4x − x2)− kx

]dx = 9

2 ⇒ k = 1]



Už umím integrovat - zkusím jednoduchý príklad

Príklad

Spoctete obsah plochy pod krivkou 1x2 na intervalu 〈−1,1〉.

Rešení:

∫ 1

−1

1x2 dx =

[−1

x

]1

−1= −2 ??!

(to je nejaké divné)



Nevlastní integrálUrcitý integrál jsme definovali pro:

konecný interval 〈a, b〉ohranicenou funkci f : 〈a, b〉 → R

Nevlastní integrál - nekterá z podmínek pro definici integrálu nenísplnena:

Integrál z neohranicené funkce

Integrál na neohraniceném intervalu.

Presahuje rámec tohoto kurzu.


integrální pocet - ii. cást (urcitý integrál a jeho aplikace)fusekmi/esmat/prednaska07.pdf ·...

Documents