Krivolinijski i povrsinski integrali

Zadatak 1 Izracunati integral I =D

|cosx + y| dxdy gde je oblast D definisanarelacijama 0 x , 0 y x .

Zadatak 2 Izracunati integral I =S

(xy + 2y 5)dS gde je S deo konusne

povrsi z =

x2 + y2 izrezan cilindrom(x 4)2

1+

(y 3)24

= 1.

Zadatak 3 Izracunati I =

D

dxdy

(1 x2 y2) , R, gde je D oblast defin-

isana nejednacinom x2 + y2 1. Dobijeni rezultat geometrijski protumaciti.

Zadatak 4 Izracunati integral I =c

(3x2 + y2

)dx + dy gde je c kriva koja

ogranicava domen definisan relacijama xy 4, y x, y 4x.

Zadatak 5 Izracunati I =c

(x2 + y2)dx + (x2 y2)dy.Kriva c je definisana sa y = 1 |1 x|, 0 x 2. Dobijeni rezultat proveritipomocu Green-ove formule.

Zadatak 6 Izracunati I =l

x2y3dx + dy + zdz gde je l kruzna linija x2 +

y2 = r2, z = 0, direktno i primenom Stokes-ove teoreme, uzimajuci za povrs Spoluloptu z =

r2 x2 y2.

Zadatak 7 Izracunati I =

S

[x2 cos (~n,~i) + y2 cos (~n,~j) + z2 cos (~n,~i)

]dS gde

je S spoljna strana sfere x2 + y2 + z2 = R2.

Zadatak 8 Izracunati integral

S

(dydz

x+

dzdx

y+

dxdy

z

)gde je S spoljna

strana elipsoida x2

a2 +y2

b2 +z2

c2 = 1.

Zadatak 9 Izracunati integral I =

c

(x2 + y2)dx + (x2 y2)dy gde je kriva

c : |x 1|+ |y 1| = 1 .

Zadatak 10 Izracunati fluks vektora ~A ={x3 + xz2, y3, 13z3

}kroz povrs tela

koje je definisano jednacinama x2 + y2 = 2z, z = 2. Predstaviti grafikom.

Zadatak 11 Izracunati integral I =S+

(x+y)dydz+(y+z)dzdx+(z+x)dxdy

gde je S+ spoljna strana tela ogranicenog oblastima S1 : z = 4 x2 y2 iS2 : z = y2.

1

Zadatak 12 Izracunati integral I =c

(4y2 + 2x2)dx + (z + x)dy + ydz gde je c

presecna kriva oblasti S1 : z = 4 x2 y2 i S2 : z = y2. Primenom Stokes-oveteoreme proveriti rezultat.

Zadatak 13 Izracunati integral I =S

(x2 + y2)dydz + (y2 + z2)dzdx + (z2 +

x2)dxdy, gde je S spoljna strana povrsi tela ogranicenog oblastima S1 : 2az =x2 + y2, S2 : (x2 + y2)2 + 2a2xy = 0, S3 : z = 0.

Zadatak 14 Data je konusna oblastx2 + y2

2= (s

2)2 i elipsoid

x2 + y2

6+

z2

2= 1. Izracunati povrsine S1 i S2 dveju kalota koje konusna povrs iseca iz

elipsoida. Prikazati grafik.

Odred-ivanje povrsina i zapremina

Zadatak 15 Naci zapreminu tela ogranicenog povrsima x2 +y2 +z2 = a2, x2 +y2 + z2 = b2, x2 + y2 = z2, z 0, (0 < a < b).

Zadatak 16 Izracunati zapreminu tela ogranicenog povrsima z = x2 + y2, z =x + y. Nacrtati priblizno sliku.

Zadatak 17 Odrediti povrsinu i zapreminu tela ogranicenog cilindrima x2 +z2 = a2, y2 + z2 = a2, a > 0.

Zadatak 18 Izracunati zapreminu tela ogranicenog cilindrima x2+y2 = 2x, x2+y2 = 2y i ravnima z = x + 2y, z = 0.

Zadatak 19 Izracunati vrednost integrala

Vz2dxdydz gde je oblast V

definisana relacijama x2 + y2 + z2 2,

x2 + y2 z

Zadatak 20 Izracunati zapreminu tela ogranicenog povrsima z = 3 + x2 +2y2, y = 2x2 1, y = 0, z = 0 i povrsinu tela ogranicenog povrsima z = a(a >0), y = 2x2 1, y = 0, z = 0. U oba slucaja skicirati sliku.

Zadatak 21 Povrsi S1, S2 i S3 definisane su jednacinama

(S1) z = (x2

4 +y2

9 )2

(S2) x2

4 +y2

9 = x

(S3) z = 0.

Ove povrsi ogranicavaju deo prostora - telo T .

a) Nacrtati priblizno telo T .

b) Pomocu integralnog racuna izracunati zapreminu tela T .

2

Zadatak 22 Date su povrsi

(S1) x2 + y2 + z2 = 2

(S2) x2 + y2 + z2 = 6

(S3) y2 + z2 = x.

a) Naci povrsinski integral

(S1)x3dydz + y3dxdz + z3dxdy uzet po spoljnoj

strani povrsi S1.

b) Izracunati zapreminu manjeg tela ogranicenog povrsima S1, S2 i S3.

b) Izracunati povrsinu manjeg tela ogranicenog povrsima S1, S2 i S3.

Zadatak 23 Date su povrsi

(S1) z = 4 x2 y2

(S2) z = y2

Izracunati zapreminu tela ogranicenog povrsima S1 i S2.

Zadatak 24 Telo () ograniceno je povrsima

(S1) 2az = x2 + y2

(S2) (x2 + y2)2 + 2a2xy = 0

(S3) z = 0.

Izracunati integral po povrsi I =

(S)(x2 + y2)dydz + (y2 + z2)dzdx + (z2 +

x2)dxdy gde je S spoljna strana povrsi tela ().

Zadatak 25 Data je konusna povrs x2+y2

2 = (z

2)2 i elipsoid x2+y2

6 +z2

2 = 1Izracunati zapreminu onog dela elipsoida koji se nalazi unutar konusa.

3