integral luas daerah
TRANSCRIPT
Kompetensi
Pendahuluan
Luas daerah
Volume benda putarLatihan
Referensi
Readme
Author
Exit
MEDIA PRESENTASI PEMBELAJARAN
Penggunaan IntegralPenggunaan Integral
Matematika SMA/MAKelas XII IPA Semester 1
Berdasarkan Kurikulum Berbasis
Kompetensi (KBK)
9
2xy
Author Penggunaan IntegralPenggunaan IntegralKompetensi
Pendahuluan
Luas daerah
Volume benda putarLatihan
Referensi
Readme
Author
Exit
Home
Kompetensi Penggunaan IntegralPenggunaan Integral
Menggunakan integral untuk menghitung
luas daerah dan volume benda putar.
KompetensiKompetensi Dasar Dasar
Setelah pembelajaran siswa diharapkan
dapat :
1. menggambarkan suatu daerah yang
dibatasi oleh beberapa kurva.
2. menentukan luas daerah dengan
menggunakan limit jumlah.
3. merumuskan integral tentu untuk luas
daerah dan menghitungnya.
4. merumuskan integral tentu untuk volume
benda putar dari daerah yang diputar
terhadap sumbu koordinat dan
menghitungnya.
Indikator Hasil BelajarIndikator Hasil Belajar
Kompetensi
Pendahuluan
Luas daerah
Volume benda putarLatihan
Referensi
Readme
Author
Exit
Home
Referensi Penggunaan IntegralPenggunaan Integral
Abdul Karim, dkk, Geometri : Lingkaran, Semarang, 2005
Edwin J. Purcell, Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid 1,
Erlangga, Jakarta 1996
Kastolan dkk, Kompetensi Matematika SMA Kelas XII
Program IPA Jilid 3A, Yudhistira, Jakarta 2005
_______, Kurikulum Berbasis Kompetensi (KBK) Tahun 2004,
Depdiknas, Jakarta 2004
________, Tutorial Maple 9.5
________, Encarta Encyclopedia
www. mathdemos.gcsu.edu
www. curvebank.calstatela.edu
www. clem.mscd.edu
www.mathlearning.net
Kompetensi
Pendahuluan
Luas daerah
Volume benda putarLatihan
Referensi
Readme
Author
Exit
Home
Readme Penggunaan IntegralPenggunaan Integral
Media Presentasi Pembelajaran ini disusun untuk
membantu guru dalam pembelajaran penggunaan integral untuk menghitung luas daerah dan volume benda putar. Pembahasan luas daerah diawali dari luas sebagai limit jumlah, dilanjutkan dengan integral tentu, dan diakhiri penggunaan integral tentu untuk menghitung luas daerah. Pembahasan volume benda putar dikaji dari bentuk partisi setelah diputar yang meliputi bentuk : cakram, cincin, dan kulit tabung.
Agar dapat memahami keseluruhan materi, maka
pembahasan harus dilakukan secara berurutan dimulai dari kompetensi, pendahuluan, luas daerah, dan volume benda putar. Di akhir kegiatan diberikan soal latihan. Sebaiknya dalam penggunaan media ini guru juga menyiapkan soal latihan untuk menambah pemahaman konsep dan melatih keterampilan siswa.
Untuk beberapa slide guru perlu menekan tombol klik kiri
agar prosedur yang diinginkan dalam slide tersebut berjalan secara berurutan.
Kompetensi
Pendahuluan
Luas daerah
Volume benda putarLatihan
Referensi
Readme
Author
Exit
Home
Pendahuluan Penggunaan IntegralPenggunaan Integral
Runtuhnya Jembatan Tacoma, Washington
Jembatan Tacoma yang panjangnya 1,8 km di
buka pada 1Juli 1940. Empat bulan kemudian
jembatan tersebut runtuh karena badai yang
berkekuatan 68 km/jam.
NextBack
Kompetensi
Pendahuluan
Luas daerah
Volume benda putarLatihan
Referensi
Readme
Author
Exit
Home
Pendahuluan Penggunaan IntegralPenggunaan Integral
Pilar-pilar jembatan pada gambar di atas
membentuk partisi-partisi yang akan kita
temukan dalam pokok bahasan menghitung
luas daerah dengan menggunakan integral.
NextBack
Kompetensi
Pendahuluan
Luas daerah
Volume benda putarLatihan
Referensi
Readme
Author
Exit
Home
Pendahuluan Penggunaan IntegralPenggunaan Integral
Bola lampu di samping
dapat dipandang
sebagai benda putar
jika kurva di atasnya
diputar menurut garis
horisontal. Pada pokok
bahasan ini akan
dipelajari juga
penggunaan integral
untuk menghitung
volume benda putar.
Kompetensi
Pendahuluan
Luas daerah
Volume benda putarLatihan
Referensi
Readme
Author
Exit
Home
Luas sebagai limit jumlah Luas DaerahLuas Daerah
X
Y
xy sin
Menentukan luas daerah
dengan limit jumlah dapat
diilustrasikan oleh gambar
di samping. Langkah utama
yang dilakukan adalah
memartisi,
mengaproksimasi,
menjumlahkan, dan
menghitung limitnya.
Home NextBack
Langkah menghitung luas
daerah dengan limit jumlah
adalah:
1. Bagilah interval menjadi
selang yang sama
panjang.
2. Partisilah daerah
tersebut.
3. Masing-masing partisi
buatlah persegi
panjang.
4. Perhatikan persegi
panjang pada interval
[xi-1 , xi].
y
a
x
0
Li
x
xi
)(xfy
)( ixf
Luas Sebagai Limit Jumlah Luas DaerahLuas Daerah
NextBack Home
Langkah menghitung luas
daerah ( lanjutan ) :
5. Tentukan luas persegi
panjang ke-i (Li)
6. Jumlahkah luas semua
persegi panjang
7. Hitung nilai limit
jumlahnya
y
a
x
0
Li
x
xi
)(xfy
)( ixf
Luas sebuah persegi panjang: Li = f(xi) x
Jumlah luas persegi panjang :L f(xi) x
Limit jumlah : L = lim f(xi) x ( n ∞ )
Luas Sebagai Limit Jumlah Luas DaerahLuas Daerah
NextBack Home
Tentukan luas daerah yag dibatasi oleh kurva y = x2, sumbu X, dan garis x =
3 dengan menggunakan cara limit jumlah.
Contoh 1.Contoh 1.
Langkah penyelesaian:1. Bagilah interval [0, 3] menjadi n
buah selang yang sama panjang; yaitu 3/n.
2. Partisi daerah tersebut menurut persegi panjang luar.
3. Tentukan ukuran persegi
panjang pada interval [xi , xi+1]
dan hitunglah luasnya.
x0 = 0
x1 = 3/n
x2 = (3/n) × 2 = 6/n
Jadi xi = 3i/n dan xi + 1 = 3(i +1)/n
y
0x
3
Li
3/n
21ix
2)( xxf
xi+1xix1 x2 x3
23i 1
27L i
n
nni
nix 32)1(3321iL
Luas Sebagai Limit Jumlah Luas DaerahLuas Daerah
JawabJawab
NextBack Home
4. Jumlahkan luas semua
partisi
1
0
23
127
Ln
ii
n
2223
...2127
L nn
)12)(1(6127
L3
nnnn
)2)(1(29
L 11nn
5. Tentukan
limitnya )2)(1(
29
L 11lim nnn
9)02)(01(29
L
Jadi luas daerah = 9 satuan
6)12)(1(
1
2
nnnn
kk
0x
3
Li
3/n
21ix
2)( xxf
xi+1xix1 x2 x3
y
Luas Sebagai Limit Jumlah Luas DaerahLuas Daerah
NextBack Home
Perhatikan gambar di bawah ini! Misalkan selang [a, b] dibagi
menjadi n bagian (lebar tidak
harus sama) dengan lebar selang
ke-i adalah xi = xi – xi-1. Pada
selang [xi-1, xi] diambil titik
sampel xk maka jumlah Riemann
dituliskan sebagai : kn
kk xxf Δ )(
1
y
ax
0 b
xi-1 xixk
xi
Integral Tentu Luas DaerahLuas Daerah
NextBack Home
Selanjutnya didefinisikan
bahwa:
kn
kk
nxxfdxxf Δ )( lim )(
1
b
a
Bentukb
a )( dxxf disebut dengan integral tertentu (Integral
Riemann)
=
= 2(2)3 – 2(2)2 – [2(-1)3 – 2(-
1)2]
= 16 – 8 + 2 - 2 = 8
2
1
2 dx 46 xx 2123 22 xx
Integral Tentu Luas DaerahLuas Daerah
Hitunglah nilai dari
2
1
2 dx 46 xx
Contoh 2.Contoh 2.
JawabJawab
NextBack Home
Misalkan f adalah fungsi yang kontinyu pada selang [a,
b] dan misalkan F adalah anti turunan dari f pada selang
tersebut, maka berlaku :
Untuk meringkas penulisan, F(b) – F(a) dinotasikan
sebagai
Misalkan f adalah fungsi yang kontinyu pada selang [a,
b] dan misalkan F adalah anti turunan dari f pada selang
tersebut, maka berlaku :
Untuk meringkas penulisan, F(b) – F(a) dinotasikan
sebagai
Teorema Dasar KalkulusTeorema Dasar Kalkulus
)(F)(F )( abdxxfb
a
bax)(F
Secara geometri definisi integral Riemaan di atas dapat
diartikan sebagai luas daerah di bawah kurva y = f(x) pada
interval [a, b]. y
x0 a bx
y
ax
0 b
b
adxxf )(
Jumlah Luas Partisi
Berubah Menjadi
Integral
Tentukan limitnya
n
)(xf
n
iii xxf
1)(
)(xf
Menghitung Luas dengan Integral Luas Daerah Luas Daerah
in
ii
n
b
axxfdxxfL
1)()( lim
NextBack Home
Kegiatan pokok dalam
menghitung luas daerah dengan
integral tentu adalah:
1. Gambar daerahnya.
2. Partisi daerahnya
3. Aproksimasi luas sebuah
partisi Li f(xi) xi
4. Jumlahkan luas partisi
L f(xi) xi
5. Ambil limitnya L = lim f(xi)
xi
6. Nyatakan dalam integral
x0
y)(xfy
a
xi
xi
)( ixfLi
a
dxxf0
)(L
Menghitung Luas dengan Integral Luas DaerahLuas Daerah
NextBack Home
Hitunglah luas daerah tertutup yang dibatasi kurva y = x2, sumbu x,
dan garis x = 3
Contoh 3.Contoh 3.
Langkah penyelesaian :
1. Gambarlah daerahnya
2. Partisi daerahnya
3. Aproksimasi luasnya Li xi2
xi
4. Jumlahkan luasnya L
xi2 xi
5. Ambil limit jumlah luasnya
L = lim xi2 xi
6. Nyatakan dalam integral
dan hitung nilainya
y
0x
3
2)( xxf
dxx3
0
2L
903
333
03
3L
x
Li
xi
xi
2ix
Menghitung Luas dengan Integral Luas Daerah Luas Daerah
JawabJawab
NextBack Home
Langkah penyelesaian:
1. Gambar dan Partisi daerahnya
2. Aproksimasi : Li (4xi - xi2)xi dan
Aj -(4xj - xj2)xj
4. Jumlahkan : L (4xi - xi2)xi dan
A -(4xj - xj2)xj
5. Ambil limitnya L = lim (4xi -
xi2)xi dan A = lim -(4xj - xj
2)xj
6. Nyatakan dalam integral
y
0x54
24)( xxxf
dxxx 4
0
2)4(L dxxx 5
4
2)4(A
xi
Li
xi
xj
Aj
xj
24 ii xx
)4(0 2xx
Menghitung Luas dengan Integral Luas DaerahLuas Daerah
Hitunglah luas daerah tertutup yang dibatasi kurva y = 4x - x2, sumbu x, dan garis x = 5
Contoh Contoh 44..
JawabJawab
NextBack Home
dxxx 4
0
2)4(L
dxxx 5
4
2)4(A
y
0x54
24)( xxxf
xi
Li
xi
xj
Aj
xj
24 ii xx
)4(0 2xx
40
33122L xx
3643
312 320)4()4(2L
54
33122A xx
33123
312 )4()4(2)5()5(2A
364
3125 3250A
18A 361
1832 daerah Luas 361
364
13 daerah Luas
Menghitung Luas dengan Integral Luas Daerah Luas Daerah
NextBack Home
LUAS DAERAH ANTARA DUA KURVAPerhatikan kurva y = f(x) dan y = g(x) dengan f(x) > g(x)
pada selang [a, b] di bawah ini. Dengan menggunakan cara
: partisi, aproksimasi, jumlahkan, ambil limitnya,
integralkan, maka dapat ditentukan luas daerah antara dua
kurva tersebut.Langkah penyelesaian:
1. Partisi daerahnya
2. Aproksimasi : Li [ f(x) – g(x) ]
x
4. Jumlahkan : L [ f(x) –
g(x) ] x
5. Ambil limitnya :
L = lim [ f(x) – g(x) ] x
6. Nyatakan dalam integral
tertentu
y
ba
dxxgxfb
a )()(L
)(xfy
)(xgy
0x
Li
x
x
)()( xgxf
Menghitung Luas dengan Integral Luas DaerahLuas Daerah
NextBack Home
Hitunglah luas daerah tertutup yang dibatasi kurva y = x2 dan
garis y = 2 - x
Contoh 5.Contoh 5.
Langkah penyelesaian:1. Gambar daerahnya 2. Tentukan titik potong kedua kurva x2 = 2 – x x2 + x – 2 = 0 (x + 2)(x – 1) = 0 diperoleh x = -2 dan x = 13. Partisi daerahnya4. Aproksimasi luasnya
Li (2 - x - x2)x
4. Jumlahkan luasnya
L (2 - x - x2)x
5. Tentukan limit jumlah luasnyaL = lim (2 - x - x2)x
6. Nyatakan dalam integral tertentu
dxxx
1
2
2)2(L
0
x
1 2-1
-2
-3
2xy
xy 2y
1
2
3
4
5
Li
x
x
2)2( xx
Menghitung Luas dengan Integral Luas DaerahLuas Daerah
JawabJawab
NextBack Home
dxxx
1
2
2)2(L
0
x
1 2-1
-2
-3
2xy
xy 2y
1
2
3
4
5
Li
x
x
2)2( xx
1
23
3
22L
xxx
3
3)2(2
2)2(3
312
21 )2(2)1(2L
38
31
21 242L
38
31
21 242L
21
21 45L
Menghitung Luas dengan Integral Luas DaerahLuas Daerah
NextBack Home
Untuk kasus tertentu
pemartisian secara vertikal
menyebabkan ada dua
bentuk integral. Akibatnya
diperlukan waktu lebih lama
untuk menghitungnya.
)(xfy y
a b
Lix
x
)()( xgxf
)(2 xf
Ai
0x
)(xgy
Luas daerah = a
dxxf0
)(2 b
adxxgxf )()(
Menghitung Luas dengan Integral Luas DaerahLuas Daerah
NextBack Home
Jika daerah tersebut dipartisi secara horisontal, maka akan
diperoleh satu bentuk integral yang menyatakan luas
daerah tersebut. Sehingga penyelesaiannya menjadi lebih
sederhana dari sebelumnya.
)()( yfxxfy y
0x
)()( ygxxgy
Luas daerah = d
cdyyfyg )()(
Li y
c
d
)()( yfyg
Menghitung Luas dengan Integral Luas DaerahLuas Daerah
NextBack Home
Hitunglah luas daerah yang dibatasi kurva y2 = x, garis x + y = 6,
dan sumbu x
Contoh Contoh 66..
Langkah penyelesaian:1. Gambar daerahnya 2. Tentukan titik potong kedua kurva y2 = 6 – y y2 + y – 6 = 0 (y + 3)(y
– 2) = 0 diperoleh y = - 3 dan y = 23. Partisi daerahnya4. Aproksimasi luasnya
Li (6 - y - y2)y
4. Jumlahkan luasnya
L (6 - y - y2)y
5. Tentukan limitnyaL = lim (6 - y - y2)y
6. Nyatakan dalam integral tertentu
Luas daerah =
2
0
26 dyyy
2yx
yx 6
2
y
6
x
06
Liy
y
2)6( yy
Menghitung Luas dengan Integral Luas DaerahLuas Daerah
JawabJawab
NextBack Home
Luas daerah = 2
0
26 dyyy
2yx
yx 6
2
y
6
x
06
Li yy
2)6( yy
Luas daerah = 2
03
3
26
yyy
Luas daerah = 0332
22)2(6
Luas daerah =
38112
Luas daerah = 325
Menghitung Luas dengan Integral Luas DaerahLuas Daerah
Home Back Next
Pendahuluan Volume Benda Putar Volume Benda Putar
Suatu daerah jika di putar
mengelilingi garis tertentu
sejauh 360º, maka akan
terbentuk suatu benda putar.
Kegiatan pokok dalam
menghitung volume benda
putar dengan integral adalah:
partisi, aproksimasi,
penjumlahan, pengambilan
limit, dan menyatakan dalam
integral tentu.
Gb. 4
Home NextBack
Pendahuluan Volume Benda Putar Volume Benda Putar
Dalam menentukan volume benda putar yang harus
diperhatikan adalah bagaimana bentuk sebuah partisi jika
diputar. Berdasarkan bentuk partisi tersebut, maka metode
yang digunakan untuk menentukan volume benda putar
dibagi menjadi :
1. Metode cakram
2. Metode cincin
3. Metode kulit tabungy
0 x
y
x
0x
1 2-2
-1
y
1
2
3
4
NextBack Home
Metode Cakram Volume Benda Putar Volume Benda Putar
Metode cakram yang digunakan
dalam menentukan volume benda
putar dapat dianalogikan seperti
menentukan volume mentimun
dengan memotong-motongnya
sehingga tiap potongan berbentuk
cakram.
NextBack Home
Metode Cakram Volume Benda Putar Volume Benda Putar
Bentuk cakram di samping
dapat dianggap sebagai tabung
dengan jari-jari r = f(x), tinggi h
= x. Sehingga volumenya dapat
diaproksimasi sebagai V r2h
atau V f(x)2x.
Dengan cara jumlahkan, ambil
limitnya, dan nyatakan dalam
integral diperoleh:
V f(x)2 x
V = lim f(x)2 xdxxfa0
2)]([v
x
h=x
x
x
y
0 x
y
xa
)(xf
)(xfr
NextBack Home
Metode Cakram Volume Benda Putar Volume Benda Putar
Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi
kurva y = x2 + 1, sumbu x, sumbu y, garis x = 2 diputar mengelilingi
sumbu x sejauh 360º.
Contoh 7.Contoh 7.
Langkah penyelesaian:
1. Gambarlah daerahnya
2. Buat sebuah partisi
3. Tentukan ukuran dan
bentuk partisi
4. Aproksimasi volume
partisi yang diputar,
jumlahkan, ambil
limitnya, dan
nyatakan dalam
bentuk integral.
y
2x
12 x
x
12 xy
1
y
h=x
x
x
12 xr
x
JawabJawab
NextBack Home
Metode Cakram Volume Benda Putar Volume Benda Putar
y
h=x
x
x
12 xr
V r2h
V (x2 + 1)2 x
V (x2 + 1)2 x
V = lim (x2 + 1)2
x dxxV
2
0
22 )1(
dxxxV 2
0
24 )12(
20
3325
51 xxxV
1511
316
532 13)02( V
NextBack Home
Metode Cakram Volume Benda Putar Volume Benda Putar
Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi
kurva y = x2, sumbu y, garis y = 2 diputar mengelilingi sumbu y sejauh
360º.
Contoh 8.Contoh 8.
Langkah penyelesaian:
1. Gambarlah daerahnya
2. Buatlah sebuah partisi
3. Tentukan ukuran dan
bentuk partisi
4. Aproksimasi volume partisi
yang diputar, jumlahkan,
ambil limitnya, dan
nyatakan dalam bentuk
integral.
2
yy
2xy
x
y
y
x
y
h=y
y
yr
JawabJawab
NextBack Home
Metode Cakram Volume Benda Putar Volume Benda Putar
V r2h
V (y)2 y
V y y
V = lim y y
dyyV 2
0
2
02
21 yV
)04(21 V
x
y
h=y
y
yr
2
dyyV 2
0
2V
NextBack Home
Metode Cincin Volume Benda Putar Volume Benda Putar
Metode cincin yang digunakan
dalam menentukan volume
benda putar dapat
dianalogikan seperti
menentukan volume bawang
bombay dengan memotong-
motongnya yang potongannya
berbentuk cincin.
NextBack Home
Metode Cincin Volume Benda Putar Volume Benda Putar
Menghitung volume benda
putar dengan menggunakan
metode cincin dilakukan
dengan memanfaatkan
rumus volume cincin seperti
gambar di samping, yaitu V=
(R2 – r2)h
hr
R
Gb. 5
NextBack Home
Metode Cincin Volume Benda Putar Volume Benda Putar
Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang
dibatasi kurva y = x2 dan garis y = 2x diputar mengelilingi
sumbu x sejauh 360º.
Contoh 9.Contoh 9.
Langkah penyelesaian:
1. Gambarlah daerahnya
2. Buat sebuah partisi
3. Tentukan ukuran dan
bentuk partisi
4. Aproksimasi volume
partisi yang diputar,
jumlahkan, ambil
limitnya, dan
nyatakan dalam
bentuk integral.
4
y
y = 2x
2
2xy
x
x
x
x2
2x
y
x
JawabJawab
NextBack Home
Metode Cincin Volume Benda Putar Volume Benda Putar
y
x
4
y
y = 2x
2
2xy
x
x
x
r=x2
R=2x
V (R2 – r2) h
V [ (2x)2 – (x2)2 ] x
V (4x2 – x4) x
V (4x2 – x4) x
V = lim (4x2 – x4) x
dxxxV 2
0
42 )4(
20
5513
34 xxV
)( 532
332 V
)( 1596160V
1564V
NextBack Home
Metode Kulit Tabung Volume Benda Putar Volume Benda Putar
Metode kulit tabung yang
digunakan untuk menentukan
volume benda putar dapat
dianalogikan seperti menentukan
volume roti pada gambar
disamping.
NextBack Home
Metode Kulit Tabung Volume Benda Putar Volume Benda Putar
Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang
dibatasi kurva y = x2 , garis x = 2, dan sumbu x diputar
mengelilingi sumbu y sejauh 360º.
Contoh 10.Contoh 10.
Langkah penyelesaian:
1. Gambarlah daerahnya
2. Buatlah sebuah partisi
3. Tentukan ukuran dan bentuk
partisi.
4. Aproksimasi volume partisi
yang diputar, jumlahkan,
ambil limitnya, dan nyatakan
dalam bentuk integral.
0
x
1 2x
x
2xy
x2
y
1
2
3
4
JawabJawab
NextBack Home
Metode Kulit Tabung Volume Benda Putar Volume Benda Putar
0
x
1 2x
x
2xy
x2
y
1
2
3
4
r = xx
h = x2
0
x
1 21 2
y
1
2
3
4
V 2rhx
V 2(x)(x2)x
V 2x3x
V = lim 2x3x
dxxV 2
0
32
2
0
4412 xV
8V
NextBack Home
Metode Kulit Tabung Volume Benda Putar Volume Benda Putar
Jika daerah pada contoh ke-10 tersebut dipartisi secara
horisontal dan sebuah partisi diputar mengelilingi sumbu y,
maka partisi tersebut membentuk cincin. Volume benda
putar tersebut dihitung dengan metode cincin adalah sebagai
berikut.
0
x
1 2-2
-1
y
1
2
3
4
V (R2 – r2)y
V (4 - x2)y
V (4 – y)y
V = lim (4 –
y)y dxyV 4
04
4
0
2214 yyV
)816( V
8V
0
x
1 2x
2xy y
1
2
3
4
y r=x
R = 2
Home Back Next
Latihan Penggunaan Integral Penggunaan Integral
Petunjuk : Kesempatan menjawab hanya 1 kali
Latihan (6 soal)
Home NextBack
Latihan Penggunaan Integral Penggunaan Integral
Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini dapat
dinyatakan dalam bentuk integral sebagai ....
Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini dapat
dinyatakan dalam bentuk integral sebagai ....
0X
Y 2xy
2
4dxx
2
0
2
dyy4
0
dxx4
0
2
dxx 2
0
2)4(
dxx 4
0
2)4(
Soal 1.Soal 1.
A
B
C
D
E
Home Back Next
Latihan Penggunaan Integral Penggunaan Integral
Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini dapat
dinyatakan dalam bentuk integral sebagai ....
Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini dapat
dinyatakan dalam bentuk integral sebagai ....
Soal 1.Soal 1.
0X
Y 2xy
2
4dxx
2
0
2
dyy4
0
dxx4
0
2
dxx 2
0
2)4(
dxx 4
0
2)4(
A
B
C
D
E
L (4 – x2) x
L (4 – x2) x
L = lim (4 – x2) x
dxx )4(L2
0
2 ( Jawaban D )
Jawaban Anda Benar
Home NextBack
Latihan Penggunaan Integral Penggunaan Integral
Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini dapat
dinyatakan dalam bentuk integral sebagai ....
Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini dapat
dinyatakan dalam bentuk integral sebagai ....
Soal 1.Soal 1.
dxx2
0
2
dyy4
0
dxx4
0
2
dxx 2
0
2)4(
dxx 4
0
2)4(
A
B
C
D
E
0X
Y 2xy
2
4
x
x
4 - x2
L (4 – x2) x
L (4 – x2) x
L = lim (4 – x2) x
dxx )4(L2
0
2 ( Jawaban D )
Jawaban Anda Salah
Home NextBack
Latihan Penggunaan Integral Penggunaan Integral
Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini sama dengan ….Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini sama dengan ….
A
B
C
D
E
Soal 2.Soal 2.
4,5 satuan luas
6 satuan luas
7,5 satuan luas
9 1/3 satuan luas
10 2/3 satuan luas
0X
Y
24 xy
Home Back Next
Latihan Penggunaan Integral Penggunaan Integral
Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini sama dengan ….Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini sama dengan ….
A
B
C
D
E
Soal 2.Soal 2.
4,5 satuan luas
6 satuan luas
7,5 satuan luas
9 1/3 satuan luas
10 2/3 satuan luas
0X
Y
24 xy
L (4 – x2) x
L (4 – x2) x
L = lim (4 – x2) x
dxx )4(L2
2
2
( Jawaban E )
22
3314L
xx
)8()8(L 38
38
3210L
3
32
Jawaban Anda Benar
Home NextBack
Latihan Penggunaan Integral Penggunaan Integral
Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini sama dengan ….Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini sama dengan ….
A
B
C
D
E
Soal 2.Soal 2.
4,5 satuan luas
6 satuan luas
7,5 satuan luas
9 1/3 satuan luas
10 2/3 satuan luas
0X
Y
24 xy
2-2
x
x
L (4 – x2) x
L (4 – x2) x
L = lim (4 – x2) x
dxx )4(L2
2
2
( Jawaban E )
22
3314L
xx
)8()8(L 38
38
3210L
3
32
Jawaban Anda Salah
Home NextBack
Latihan Penggunaan Integral Penggunaan Integral
Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini sama dengan ….Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini sama dengan ….
A
B
C
D
E
Soal 3.Soal 3.
5 satuan luas
7 2/3 satuan luas
8 satuan luas
9 1/3 satuan luas
10 1/3 satuan luas
0X
Y
28 xy
xy 2
Home Back Next
Latihan Penggunaan Integral Penggunaan Integral
Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini sama dengan ….Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini sama dengan ….
A
B
C
D
E
Soal 3.Soal 3.
5 satuan luas
7 2/3 satuan luas
8 satuan luas
9 1/3 satuan luas
10 1/3 satuan luas
L (8 – x2 -2x)
x dxxx )28(L2
0
2 ( Jawaban D )
319L
3
28
20
23318L xxx
416L 38
0X
Y
28 xy
xy 2
2
Jawaban Anda Benar
Home NextBack
Latihan Penggunaan Integral Penggunaan Integral
Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini sama dengan ….Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini sama dengan ….
A
B
C
D
E
Soal 3.Soal 3.
5 satuan luas
7 2/3 satuan luas
8 satuan luas
9 1/3 satuan luas
10 1/3 satuan luas
0X
Y
28 xy
xy 2
2
L (8 – x2 -2x)
x dxxx )28(L2
0
2 ( Jawaban D )
319L
3
28
20
23318L xxx
416L 38
Jawaban Anda Salah
Home NextBack
Latihan Penggunaan Integral Penggunaan Integral
Luas daerah yang dibatasi oleh kurva x = y2 dan garis x + y = 2
adalah ….
Luas daerah yang dibatasi oleh kurva x = y2 dan garis x + y = 2
adalah ….A
B
C
D
E
Soal 4.Soal 4.
2,5 satuan luas
4,5 satuan luas
6 satuan luas
10 2/3 satuan luas
20 5/6 satuan luas
Home Back Next
Latihan Penggunaan Integral Penggunaan Integral
Luas daerah yang dibatasi oleh kurva x = y2 dan garis x + y = 2
adalah ….
Luas daerah yang dibatasi oleh kurva x = y2 dan garis x + y = 2
adalah ….A
B
C
D
E
Soal 4.Soal 4.
2,5 satuan luas
4,5 satuan luas
6 satuan luas
10 2/3 satuan luas
20 5/6 satuan luas
( Jawaban B )
L [(2 – y ) – y2 ] y
dyxy )2(L1
2
2
5,4
29
L
12
3312
212L
yyy
)24()2(L 38
31
21
0X
Y
2yx yx 2
-2
1
Jawaban Anda Benar
Home NextBack
Latihan Penggunaan Integral Penggunaan Integral
( Jawaban B )
L [(2 – y ) – y2 ] y
dyxy )2(L1
2
2
5,4
29
L
12
3312
212L
yyy
)24()2(L 38
31
21
Luas daerah yang dibatasi oleh kurva x = y2 dan garis x + y = 2
adalah ….
Luas daerah yang dibatasi oleh kurva x = y2 dan garis x + y = 2
adalah ….A
B
C
D
E
Soal 4.Soal 4.
2,5 satuan luas
4,5 satuan luas
6 satuan luas
10 2/3 satuan luas
20 5/6 satuan luas 0X
Y
2yx yx 2
-2
1
Jawaban Anda Salah
Home NextBack
Latihan Penggunaan Integral Penggunaan Integral
Daerah yang di arsir pada gambar di bawah ini diputar mengelilingi
sumbu Y sebesar 360. Jika digunakan metode kulit tabung, maka
bentuk integral yang menyatakan volume benda putar tersebut
adalah ....
Daerah yang di arsir pada gambar di bawah ini diputar mengelilingi
sumbu Y sebesar 360. Jika digunakan metode kulit tabung, maka
bentuk integral yang menyatakan volume benda putar tersebut
adalah ....A
B
C
D
E
Soal Soal 55..
4
0dxxv
4
0
2 dxxv
4
02 dxxxv
2
0)16(2 dyyv
2
0dyyv
0 X
Y
Xy
4
2
Home Back Next
Latihan Penggunaan Integral Penggunaan Integral
Daerah yang di arsir pada gambar di bawah ini diputar mengelilingi
sumbu Y sebesar 360. Jika digunakan metode kulit tabung, maka
bentuk integral yang menyatakan volume benda putar tersebut
adalah ....
Daerah yang di arsir pada gambar di bawah ini diputar mengelilingi
sumbu Y sebesar 360. Jika digunakan metode kulit tabung, maka
bentuk integral yang menyatakan volume benda putar tersebut
adalah ....A
B
C
D
E
Soal Soal 55..
4
0dxxv
4
0
2 dxxv
4
02 dxxxv
2
0)16(2 dyyv
2
0dyyv
0 X
Y
Xy
4
2
( Jawaban D )
V 2xx x
dxxx4
02V
Jawaban Anda Benar
Home NextBack
Latihan Penggunaan Integral Penggunaan Integral
( Jawaban D )
V 2xx x
dxxx4
02V
Daerah yang di arsir pada gambar di bawah ini diputar mengelilingi
sumbu Y sebesar 360. Jika digunakan metode kulit tabung, maka
bentuk integral yang menyatakan volume benda putar tersebut
adalah ....
Daerah yang di arsir pada gambar di bawah ini diputar mengelilingi
sumbu Y sebesar 360. Jika digunakan metode kulit tabung, maka
bentuk integral yang menyatakan volume benda putar tersebut
adalah ....A
B
C
D
E
Soal Soal 55..
4
0dxxv
4
0
2 dxxv
4
02 dxxxv
2
0)16(2 dyyv
2
0dyyv
0 X
Y
Xy
4
2
x
x
Jawaban Anda Salah
Home NextBack
Latihan Penggunaan Integral Penggunaan Integral
Daerah yang di arsir pada gambar di bawah ini diputar mengelilingi
sumbu X sebesar 360. Volume benda putar yang terjadi adalah ….
Daerah yang di arsir pada gambar di bawah ini diputar mengelilingi
sumbu X sebesar 360. Volume benda putar yang terjadi adalah ….
A
B
C
D
E
Soal 6.Soal 6.
4 satuan volum
6 satuan volum
8 satuan volum
12 satuan volum
15 satuan volum
0 X
Y
Xy
4
2
Home Back Next
Latihan Penggunaan Integral Penggunaan Integral
Daerah yang di arsir pada gambar di bawah ini diputar mengelilingi
sumbu X sebesar 360. Volume benda putar yang terjadi adalah ….
Daerah yang di arsir pada gambar di bawah ini diputar mengelilingi
sumbu X sebesar 360. Volume benda putar yang terjadi adalah ….
A
B
C
D
E
Soal 6.Soal 6.
4 satuan volum
6 satuan volum
8 satuan volum
12 satuan volum
15 satuan volum
0 X
Y
Xy
4
2
( Jawaban C )
V (x)2 x
4
0V dxx
40
221V x
8V
Jawaban Anda Benar
Home Back Next
Latihan Penggunaan Integral Penggunaan Integral
( Jawaban C )
V (x)2 x
4
0V dxx
40
221V x
8V
Daerah yang di arsir pada gambar di bawah ini diputar mengelilingi
sumbu X sebesar 360. Volume benda putar yang terjadi adalah ….
Daerah yang di arsir pada gambar di bawah ini diputar mengelilingi
sumbu X sebesar 360. Volume benda putar yang terjadi adalah ….
A
B
C
D
E
Soal 6.Soal 6.
4 satuan volum
6 satuan volum
8 satuan volum
12 satuan volum
15 satuan volum
0 X
Y
Xy
4
2
x
x
Jawaban Anda Salah
Home Back Next