integral - · pdf filedisebut integral tentu (integral riemann) ... menyatakan luas daerah...
TRANSCRIPT
Tugas Matematika industri 1 TIP-FTP-UB 2012
1 Wildan suhartini 125100301111024 (kelas L)
Dosen Pengampu : Nimas Mayang Sabrina S., STP,MP,MSc.
INTEGRAL OLEH :
WILDAN SUHARTINI
125100301111024
(KELAS L)
A. INTEGRAL TENTU DAN INTEGRAL TAK TENTU
Integral adalah kebalikan dari turunan (diferensial). Oleh karena itu integral disebut
juga anti diferensial. Ada 2 macam integral, yaitu integral tentu dan integral tak tentu.
Integral tentu yaitu integral yang nilainya tertentu, sedangkan integral tak tentu, yaitu
integral yang nilainya tak tentu. Pada integral tentu ada batas bawah dan batas atas yang
nanti berguna untuk menentukan nilai integral tersebut. Kegunaan integral dalam
kehidupan sehari-hari banyak sekali, diantaranya menentukan luas suatu bidang,
menentukan volume benda putar, menentukan panjang busur dan sebagainya. Integral
tidak hanya dipergunakan di matematika saja. Banyak bidang lain yang menggunakan
integral, seperti ekonomi, fisika, biologi, teknik dan masih banyak lagi disiplin ilmu
yang lain yang mempergunakannya.
1. INTEGRAL TAK TENTU
Karena integral merupakan kebalikan (invers) dari turunan, maka untuk menemukan
rumus integral kita beranjak dari turunan. Turunan suatu fungsi y = f(x) adalah y ‘ = f ‘
(x) atau dx
dy, sedangkan notasi integral dari suatu fungsi y = f(x) adalah
dxxfdxy )( yang dibaca “ integral y terhadap x ”.
Turunan suatu fungsi konstan adalah 0 atau integral 0 adalah suatu fungsi konstan,
biasanya diwakili oleh notasi c.
Tugas Matematika industri 1 TIP-FTP-UB 2012
2 Wildan suhartini 125100301111024 (kelas L)
Dosen Pengampu : Nimas Mayang Sabrina S., STP,MP,MSc.
Rumus umum integral dari naxy adalah cxn
a n 1
1 atau ditulis :
cxn
adxax nn 1
1 untuk 1n
Contoh :
F (x) anti derivativ dari (x)
G (x)
F (x) = 4 x3 + x
2 + 7 F’ (x) = 12 x
2 + 2 x = (x)
G (x) = 4 x3 + x
2 9 G’ (x) = 12 x
2 + 2 x = (x
Fungsi 4 x3 + x
2 + c adalah anti derivatif dari atau
12 x2 + 2x dx = 4x
3 + x
2 + c
Disebut integral tak tentu karena adanya konstanta c
Rumus – rumus integral tak tentu:
Rumus integral tak tentu dari fungsi Al jabar
1. dx = x + c
2. k dx = k d x = k x + c, k = konstanta
3. (u + v) dx = u dx + v dx, u dan v fungsi dari x
4. u dx = u dx, = konstanta, u fungsi dari x
5. xn dx =
1
1
n
nx+ c, n 1
6. un du =
1
1
n
nu+ c, n 1, u fungsi dari x
Tugas Matematika industri 1 TIP-FTP-UB 2012
3 Wildan suhartini 125100301111024 (kelas L)
Dosen Pengampu : Nimas Mayang Sabrina S., STP,MP,MSc.
7. u
du= ln u + c
8. au du =
a
ua
ln+ c, a > 0, a 1
9. eu du = e
u + c
Rumus Integral tak tentu fungsi Trigonometri:
10. sin u du = cos u + c
11. cos u du = sin u + c
12. tg u du = ln sec u + c
13. ctg u du = ln sin u + c
14. sec u du = ln sec u + tg u + c
15. cosec u du = ln cosec u ctg u + c
16. sec2 u du = tg u + c
17. cosec2 u du = ctg u + c
18. sec u . tg u du = sec u + c
19. cosec u . ctg u du = cosec u + c
20. 22 ua
du = arc sin
a
u + c
21. 22 ua
du=
a
1arc tg
a
u+ c
22. 22 auu
du=
a
1arc sec
a
u+ c
Tugas Matematika industri 1 TIP-FTP-UB 2012
4 Wildan suhartini 125100301111024 (kelas L)
Dosen Pengampu : Nimas Mayang Sabrina S., STP,MP,MSc.
23. 22 au
du=
a2
1ln
au
au+ c
24. 22 ua
du=
a2
1ln
au
au+ c
25. 22 au
du = ln u +
22 au + c
26. 22 au
du = ln u
22 au + c
27. 22 ua du =
2
1u
22 ua + 2
1a
2 arc sin
a
u+ c
28. 22 au du =
2
1u
22 au + 2
1a
2ln u +
22 au + c
29. 22 au du =
2
1u
22 au 2
1a
2 ln u +
22 au + c
Catatan : Dalam menyelesaikan soal integral diusahakan merubahnya menjadi salah satu
bentuk rumus di atas. Metoda ini disebut metoda substitusi
Contoh soal
1. 2
1x3 dx =
2
1 x3 dx =
2
1 .
4
1x4 + c =
8
1x4 + c
2. 5
2
x dx = 2x-5 dx = -
2
1 x-4 + c = -
42
1
x+ c
3. (2 + x) x . dx
= 2 x + x x . dx
Tugas Matematika industri 1 TIP-FTP-UB 2012
5 Wildan suhartini 125100301111024 (kelas L)
Dosen Pengampu : Nimas Mayang Sabrina S., STP,MP,MSc.
= 2x1/2 + x3/2. dx
=
23
2 x3/2 +
25
1 x5/2 + c
= 3
4 . 3x +
5
2 5x + c
= 3
4 . x x + 5
2 x2 x + c
4. 2x 21 x dx metoda substitusi
Misalnya u = 1 + x2
du = 2x dx
I = 2x u x
du
2
= u du
=
23
1 u
3/2 + c
= 3
2(1 + x
2)3/2
+ c = 3
2 3)21( x + c
2. INTEGRAL TENTU
Definisi :
Misal f fungsi yang didefinisikan pada [a,b], f dikatakan terintegralkan pada
[a,b] jika n
iii
Pxxf
10)(lim ada, selanjutnya
b
a
dxxf )( disebut Integral Tentu
(Integral Riemann) f dari a ke b, dan didefinisikan
Tugas Matematika industri 1 TIP-FTP-UB 2012
6 Wildan suhartini 125100301111024 (kelas L)
Dosen Pengampu : Nimas Mayang Sabrina S., STP,MP,MSc.
b
a
dxxf )( =
n
iii
Pxxf
10)(lim .
b
a
dxxf )( menyatakan luas daerah yang tercakup diantara kurva y = f(x) dan sumbu x
dalam selang [a,b], jika
b
a
dxxf )( bertanda negatif maka menyatakan luas daerah yang
berada dibawah sumbu x.
Definisi :
a
a
dxxf )( = 0
b
a
dxxf )( = -
a
b
dxxf )( , a > b
Teorema Dasar Kalkulus
Teorema Dasar Kalkulus memberikan kemudahan untuk menghitung Integral
Tentu, berikut teorema tersebut :
Misal f kontinu pada [a,b] dan F sebarang anti turunan f, maka
b
a
dxxf )( = F(b) – F(a)
Tugas Matematika industri 1 TIP-FTP-UB 2012
7 Wildan suhartini 125100301111024 (kelas L)
Dosen Pengampu : Nimas Mayang Sabrina S., STP,MP,MSc.
Selanjutnya ditulis F(b) – F(a) = baxF )]([
Contoh :
1. Perlihatkan bahwa jika r Q dan r -1, maka
11
11
r
a
r
bdxx
rrb
a
r
Jawab :
Karena F(x) = 1
1
r
xr
suatu anti turunan dari f(x) = xr, maka menurut TDK,
11)()(
11
r
a
r
baFbFdxx
rrb
a
r
Integral tentu sebagai operator linear
Misal f dan g terintegralkan pada [a,b] dan k suatu konstanta, maka kf dan
f + g terintegralkan, dengan
1.
b
a
dxxkf )( k
2. = +
b
a
dxxg )(
Contoh :
Hitung dxxx )64(2
1
2
Jawab :
dxxdxxdxxx2
1
22
1
2
1
2 64)64( = 4
2
1
32
1
2
36
2
xx
b
a
dxxf )(
dxxgxfb
a
)]()([b
a
dxxf )(
Tugas Matematika industri 1 TIP-FTP-UB 2012
8 Wildan suhartini 125100301111024 (kelas L)
Dosen Pengampu : Nimas Mayang Sabrina S., STP,MP,MSc.
= 43
1
3
86
2
1
2
4 = 12
Sifat-Sifat Integral Tentu
1. Sifat Penambahan Selang
Teorema :
Jika f terintegralkan pada suatu selang yang mengandung tiga titik a, b dan c, maka
dxxfc
a
)( = dxxfb
a
)( + dxxfc
b
)( bagaimanapun urutan a, b dan c.
Contoh :
1. dxxdxxdxx2
1
21
0
22
0
2 2. dxxdxxdxx
2
3
23
0
22
0
2
3. dxxdxxdxx2
1
21
0
22
0
2
2. Sifat Simetri Teorema :
Jika f fungsi genap [f(-x) = f(x)] , maka dxxfa
a
)( = 2 dxxfa
0
)( dan
Jika f fungsi ganjil [f(-x) = - f(x)], maka dxxfa
a
)( = 0.
Contoh :
1.
04
cos24
cos dxx
dxx
244
1.
4cos8
0
dxx
2. dxx
x5
52
5
4 = 0
Tugas Matematika industri 1 TIP-FTP-UB 2012
9 Wildan suhartini 125100301111024 (kelas L)
Dosen Pengampu : Nimas Mayang Sabrina S., STP,MP,MSc.
TEKNIK-TEKNIK PENGINTEGRALAN
1. Teknik Subtitusi
a. Subtitusi Dalam Integral Tak Tentu
Teorema :
Misal g fungsi yang terdiferensialkan dan F suatu anti turunan dari f, jika u =
g(x) maka f(g(x))g’(x) dx = f(u) du = F(u) + c = F(g(x)) + c
Contoh :
Hitunglah dxx
xsin.
Jawab : Misalkan u = x = x1/2
sehingga du = 2/1
2
1x dx maka
dxx
xsin = 2 dxxx 2/1
2
1sin = 2 udusin = 2cosu + c = 2cos x + c
b. Subtitusi Dalam Integral Tentu.
Teorema :
Misal g mempunyai turunan kontinu pada [a,b] dan f kontinu pada daerah nilai g, maka
duufdxxgxgfbg
ag
b
a
)(
)(
)()('))((
Contoh :
Hitung
1
02 )62(
1dx
xx
x
Jawab :
Misal u = x2+2x+6 sehingga du = 2x+2 dx = 2(x+1)dx perhatikan u = 6 jika x = 0 dan
u = jika x = 1, jadi
Tugas Matematika industri 1 TIP-FTP-UB 2012
10 Wildan suhartini 125100301111024 (kelas L)
Dosen Pengampu : Nimas Mayang Sabrina S., STP,MP,MSc.
1
02 )62(
1dx
xx
x =
1
02 )62(
)1(2
2
1dx
xx
x
= )6ln9(ln2
1ln
2
1
2
1 96
9
6
uu
du =
2
3ln
2
1
2. Pengintegralan Bentuk-Bentuk Trigonometri
a. sin n x dx, cos
n x dx
Jika n bilangan bulat positif ganjil, maka keluarkan faktor sin x atau cos x dan
kemudian gunakan kesamaan sin 2 x + cos
2 x = 1.
Jika n bilangan bulat positif genap, maka gunakan rumus setengah sudut
sin 2 x =
2
2cos1 x , cos
2 x =
2
2cos1 x
Contoh :
1. cos 4 x dx = dx
x2
2
2cos1 =
4
1(1 + 2 cos 2x + cos
2 2x) dx
= 4
1dx +
4
1cos 2x (2) dx +
8
1(1 + cos 4x) dx
= 8
3x +
4
1sin 2x +
32
1 sin 4x + c
b. sin m
x cos n x dx
Jika m atau n bilangan bulat positif ganjil dan eksponen lain sembarang, maka
keluarkan faktor sin x atau cos x yang berpangkat ganjil tersebut kemudian gunakan
kesamaan sin 2
x + cos 2
x = 1. Jika m dan n bilangan bulat positif genap, maka gunakan
rumus setengah sudut.
Contoh :
Tentukan : 1. sin 3 x cos
–4 x dx 2. sin
2 x cos
4 x dx
Tugas Matematika industri 1 TIP-FTP-UB 2012
11 Wildan suhartini 125100301111024 (kelas L)
Dosen Pengampu : Nimas Mayang Sabrina S., STP,MP,MSc.
c. tg n
x dx, cotg n
x dx.
Keluarkan faktor tg 2 x = sec
2 x – 1 dalam kasus tg atau faktor cotg
2 x = cosec
2
x – 1 dalam kasus cotg.
Contoh :
cotg 4 x dx = cotg
2 x (cosec
2 x – 1) dx = cotg
2 x cosec
2 x dx – cotg
2
x dx = - cotg 2 x d(cotg x) - (cosec
2 x – 1) dx = -
3
1cotg
3x + cotg x + x + c
d. tg m
x sec n x dx, cotg
m x cosec
n x dx
Jika n genap dan m sembarang, maka keluarkan faktor sec 2 x atau
cosec 2
x.
Jika m ganjil dan n sembarang, keluarkan faktor tg x.sec x.
Contoh :
Tentukan : 1. tg –3/2
x sec 4 x dx 2. tg
3 x sec
–1/2 x dx
e. sin mx cos nx dx, sin mx sin nx dx, cos mx cos nx dx.
Gunakan kesamaan :
sin mx cos nx = ½[sin (m+n)x + sin (m – n)x]
sin mx sin nx = -½[cos (m+n)x - cos (m – n)x]
cos mx cos nx = ½[cos (m+n)x + cos (m – n)x]
Contoh :
sin 2x cos 3x dx = 1/2 sin 5x + sin (-x) dx
= 1/10 sin 5x d(5x) – ½ sin x dx = - 1/10 cos 5x + ½ cos x + c.
3. Pengintegralan Parsial
Pengintegralan parsial (sebagian) dapat dilakukan jika pengintegralan dengan
teknik subtitusi tidak memberikan hasil, dan dengan catatan bagian sisa pengintegralan
lebih sederhana dari integral mula-mula.
Tugas Matematika industri 1 TIP-FTP-UB 2012
12 Wildan suhartini 125100301111024 (kelas L)
Dosen Pengampu : Nimas Mayang Sabrina S., STP,MP,MSc.
vduuvudv
Contoh :
1. dxxex
Misalkan u = x, dv = ex dx maka du = dx , v = e
x
dxxex = dxexe xx = xex –e
x + c
4. Integral Fungsi Akar (Subtitusi yang Merasionalkan).
a. Fungsi Integran yang memuat bentuk n bax
Penyelesaian dengan menggunakan subtitusi : u = n bax
Contoh : Hitung dxxx3 4
Jawab : Misalkan u = dxxx3 4 maka 3u = x – 4 dan 3
2u du = dx
Shg dxxx3 4 = cxxduuuu 34
73
23 )4()4(7
33.)4(
b. Integran yang memuat bentuk 222222 ,, axxaxa
Gunakan berturut-turut subtitusi : x = a sin t, x = a tg t dan x = a sec t.
Contoh :
1. Tentukan dxx
x
2
24
Jawab :
Jawab : Misalkan x = 2 sin t maka dx = 2 cos t dt dan 24 x = 2 cos t , shg
dxx
x
2
24 = tdtctgdtt
t
t 2
2)cos2(
sin4
cos2 = - ctg t – t + c
= cx
x
x
2sin
4 12
Tugas Matematika industri 1 TIP-FTP-UB 2012
13 Wildan suhartini 125100301111024 (kelas L)
Dosen Pengampu : Nimas Mayang Sabrina S., STP,MP,MSc.
5. Integral Fungsi Rasional
Fungsi Rasional merupakan fungsi hasil bagi dua fungsi Polinom yang ditulis :
)(
)()(
xQ
xPxF , P(x) dan Q(x) fungsi –fungsi Polinom dengan Q(x) ≠ 0
Fungsi Rasional dibedakan atas :
a. Fungsi Rasional Sejati yaitu fungsi rasional dimana derajat fungsi polinom pada
pembilang lebih kecil dari pada derajat fungsi polinom pada penyebut.
b. Fungsi Rasional Tak Sejati yaitu fungsi rasional dimana derajat fungsi polinom
pada pembilang lebih besar dari atau sama dengan derajat fungsi polinom pada
penyebut.
Fungsi Rasional Tak Sejati dapat ditulis sebagai penjumlahan fungsi polinom dengan
Fungsi Rasional Sejati dengan jalan membagi fungsi pembilang dengan fungsi
penyebut.
Permasalahan mengintegralkan fungsi rasional terletak pada bagaimana
mengintegralkan fungsi rasional sejati. Suatu fakta, bahwa fungsi rasional sejati dapat
ditulis sebagai jumlah dari fungsi rasional sejati yang lebih sederhana
Contoh :
1
3
1
2
1
15
2 xxx
x
a. Penjabaran Fungsi Rasional atas Faktor Linear yang Berbeda
Contoh :
Tentukan dxxxx
x
32
35
23
Jawab :
31)3)(1(
35
32
35
23 x
C
x
B
x
A
xxx
x
xxx
x
maka 5x + 3 = A(x+1)(x-3) + Bx(x-3) + Cx(x+1)
dengan menyamakan koefisien pada kedua polinom diruas kiri dan ruas kanan maka
diperoleh : A = -1 , B = 2
1 , dan C = 2
3 sehingga
Tugas Matematika industri 1 TIP-FTP-UB 2012
14 Wildan suhartini 125100301111024 (kelas L)
Dosen Pengampu : Nimas Mayang Sabrina S., STP,MP,MSc.
dxxxx
x
32
35
23= dx
xdx
xx
dx
3
23
1
21
= - ln cxxx 3ln2
31ln
2
1
b. Penjabaran Fungsi Rasional atas Faktor Linear yang Berulang
Contoh :
Tentukan dxx
x
2)3(
Jawab :
22 )3(3)3( x
B
x
A
x
x maka x = A(x-3) + B
dengan menyamakan koefisien pada kedua polinom diruas kiri dan ruas kanan diperoleh
: A = 1 dan B = 3 sehingga
cx
xdxx
dxx
dxx
x
3
33ln
)3(
3
3
1
)3( 22
Yang perlu diperhatikan untuk tiap faktor kbax )( dalam penyebut, maka ada
sebanyak k suku penjabarannya, yaitu :
k
k
bax
A
bax
A
bax
A
)(...
)( 2
21
c. Penjabaran Fungsi Rasional atas Faktor Kuadrat yang Berbeda
Contoh :
Tentukan dxxx
xx
)1)(14(
136
2
2
Jawab :
114)1)(14(
136
22
2
x
CBx
x
A
xx
xx
Selanjutnya tentukan A, B dan C seperti cara diatas dan kemudian hitung integral setiap
sukunya.
Tugas Matematika industri 1 TIP-FTP-UB 2012
15 Wildan suhartini 125100301111024 (kelas L)
Dosen Pengampu : Nimas Mayang Sabrina S., STP,MP,MSc.
PENGGUNAAN INTEGRAL
1. DAERAH ANTARA BEBERAPA KURVA
Daerah antara dua kurva yaitu daerah yang dibatasi oleh dua kurva tersebut dengan
selang batas tertentu. Selang batas tersebut bisa batas yang ditentukan atau titik potong
kedua kurva tersebut.
Contoh 1 : Lukislah daerah antara garis y = x dan kurva 2xy !
Penyelesaian :
2. LUAS DAERAH ANTARA KURVA DAN SUMBU KOORDINAT
Luas daerah antara kurva y = f(x) dengan sumbu koordinat X pada selang bxa
dimana
daerahnya ada di atas atau di bawah sumbu X adalah :
b
a
dxxfL )(
X
Y
y = x
y = x2
1
1
Tugas Matematika industri 1 TIP-FTP-UB 2012
16 Wildan suhartini 125100301111024 (kelas L)
Dosen Pengampu : Nimas Mayang Sabrina S., STP,MP,MSc.
Begitupun untuk daerah dengan batas sumbu koordinat Y, yaitu :
b
a
dyyfL )(
Contoh 1 : Tentukan luas daerah antara kurva y = 3x , sumbu X , x = -1 dan x = 1 !
Penyelesaian : Y
-1 0 1 X
1
0
1
0
4
0
1
43
0
1
3
2
1)0
4
1()
4
10(
4
1
4
1xxdxxdxxL satuan
luas.
3. LUAS ANTARA DUA KURVA
Untuk menentukan luas daerah antara dua kurva, kita berdasarkan luas antara kurva
dan sumbu koordinat.
Perhatikan gambar di bawah ini :
Y y = f(x)
y = g(X)
0 a b X
Luas daerah yang diarsir adalah :
Tugas Matematika industri 1 TIP-FTP-UB 2012
17 Wildan suhartini 125100301111024 (kelas L)
Dosen Pengampu : Nimas Mayang Sabrina S., STP,MP,MSc.
b
a
b
a
b
a
dxxgxfdxxgdxxfL ))()(()()(
Jadi :
b
a
xgxfL )()(
Contoh 1: Tentukan luas daerah antara kurva xxy 32 dan y = 2x + 2 !
Penyelesaian :
Titik potong kedua kurva yaitu :
120)1(22232 xatauxxxxxx
-2 1
0 X
2
14)2()3()22(
1
2
2
1
2
2 dxxxdxxxxL satuan luas.
4. VOLUME BENDA PUTAR
4.1 Volume benda putar antara kurva dan sumbu koordinat
Y
y =f(x)
a b
0 x
Tugas Matematika industri 1 TIP-FTP-UB 2012
18 Wildan suhartini 125100301111024 (kelas L)
Dosen Pengampu : Nimas Mayang Sabrina S., STP,MP,MSc.
Volume benda putar yang dibatasi oleh kurva y = f(x), x = a, x = b dan sumbu X
yang diputar sejauh 360 mengelilingi sumbu X adalah :
b
a
dxyV 2
Begitu juga pada kurva x = f(y) yang diputar mengelilingi sumbu Y sejauh 360 dan
dibatasi oleh y = a, y = b, sumbu Y dan kurva itu sendiri maka volumenya : b
adyxV 2
Contoh 1 : Tentukan volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh
kurva 2xy , sumbu X dan garis x = 2 diputar mengelilingi sumbu X sejauh
360 !
Jawab : Y
0 2 X
2
0
4
0
2
0
5422
5
320
5
32
5
1xdxxdxxV satuan volume.
4.2 Volume benda putar antara dua kurva
y y = f(x)
y = g(x)
0 a b X
Volume benda putar yang diputar mengelilingi sumbu X sejauh 360 yang dibatasi
oleh kurva y = f(x), y = g(x), x = a dan x = b adalah :
Tugas Matematika industri 1 TIP-FTP-UB 2012
19 Wildan suhartini 125100301111024 (kelas L)
Dosen Pengampu : Nimas Mayang Sabrina S., STP,MP,MSc.
b
adxyyV )(
2
2
2
1 dimana 2121 )(),( yydanxgyxfy
Begitupun untuk benda putar yang diputar mengelilingi sumbu Y.
Contoh : Hitunglah isi benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh kurva 2xy dan y = 2x diputar mengelilingi sumbu X sejauh
360 !
Jawab :
2
0
2
0
53422
0
222
15
64
5
1
3
44)()2( xxdxxxdxxxV
REFERENSI:
Johan, Warsoma & Wono Setya Budi. 2008. Diktat Kalkulus 1 FMIPA ITB. Bandung:
Depertemen Metematika FMIPA ITB.
Permana, Arif. 2012. Kalkulus: Integral dan fungsi integral. Yogyakarta. UGM press
Wahyudi, Purwanto. 2011. Kalkulus 1 Dan Rumus-Rumus Integral. Malang. FMIPA
matematika UB.