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INSTITUTO TECNOLÓGICO METROPOLITANO

FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS Y APLICADAS JEFATURA DE EDUCACIÓN Y CIENCIAS BÁSICAS

TALLER 4 CÁLCULO DIFERENCIAL

Derivadas y sus aplicaciones, e integral indefinida

OBJETIVO Comprender y aplicar el concepto de derivada, sus operaciones y propiedades para dar solución a situaciones en distintos contextos.

Derivada de funciones trigonométricas inversas 1. Encontrar la derivada de las siguientes funciones

A.

B.

C.

D.

E.

F.

Derivación implícita

2. Encuentre dx

dy por derivación implícita.

A. 3694 22 yx B. 432 2xxxy

C. 64 223 yyxx D. Cyxyx 32 2

E. 0xyxy F. 132 yx

G. 123 yx H. 14 SenyCosx

I. yxyx

e J. 1152 23 xyxye

K. 313 yLnxx ye L. 21 xySenx

M. 22 xsenyysenx N. 1yx ee xy

O. yx ee xSeny P. ySenxyxSen

Q. Cosyyxy

x 22 R. CosxSeny yx ee

2

3. Hallar una ecuación de la recta tangente a las gráficas de las funciones dadas en el punto indicado.

A. 926 32 yxyx en 3,2P

B. 2522 yx en 3x 4. Para las siguientes expresiones algebraicas, encontrar los puntos sobre la gráfica para los cuales la recta tangente es horizontal.

A. 362516 22 yx

B. yxyx 4222

Derivación logarítmica

5. Utilice la derivación logarítmica para determinar la derivada de:

A.

B.

C.

D.

E.

F.

G.

H.

I.

J.

K.

L.

M.

N.

O.

P.

Aplicaciones de la derivada

Encontrar los siguientes límites:

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

3

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

31.

32.

33.

Razones de cambio

34. Un conductor viaja por una carretera interestatal y observa que el tráfico adelante está detenido, por lo que aplica los frenos. La distancia recorrida por el vehículo durante

el frenado está dado por tttts 8023

4)( 23 donde está dada en pies y en

segundos.

A. Halle una expresión general para la velocidad de frenado del vehículo. B. ¿Cuál es la velocidad del auto después de 1 segundo? C. ¿Cuánto se demora el vehículo en detenerse? D. ¿Cuál era la velocidad del vehículo cuando pisó el freno? E. ¿Cuál fue la aceleración del auto a los 2 y a los 3 segundos de haber pisado el

freno? F. Trace una curva que represente la velocidad de frenado G. Trace una curva que represente la aceleración de frenado.

35. Después de t horas de un viaje de 8 horas, un automóvil ha recorrido una distancia

representada por 32

9

2

3

1064)( ttttD donde está dada en kilómetros y en

horas.

4

A. ¿Cuál es la velocidad del auto en la séptima hora? B. Deduzca una expresión para la aceleración del auto como una función del tiempo C. ¿A qué razón cambia la velocidad del automóvil con respecto al tiempo al cabo de

6 horas? ¿Aumenta o disminuye la velocidad en ese momento? 36. La ley de Boyle para los gases afirma que cPV , donde denota la presión, el

volumen y es una constante. Suponga que al tiempo (en minutos) la presión está dada por t220 (en ) y que el volumen en es de . Encuentre la razón de cambio del volumen con respecto al tiempo en

37. El desplazamiento de una cuerda que vibra está representado por

)10(4

110)( tsents , donde s(t) se mide en centímetros y t en segundos.

i. Halle una expresión para la velocidad de la cuerda después de t segundos. ii. ¿Cuál es la velocidad de la cuerda a los 2 segundos de iniciada la vibración de la

cuerda? iii. Halle una expresión para la aceleración de la cuerda después de t segundos iv. ¿Cuál es la aceleración de la cuerda a los 2 segundos de iniciada la vibración de

la cuerda?

38. En ciertas circunstancias, un rumor se esparce según la ecuación

donde es la porción de población que conoce el rumor después de un tiempo . Halle una expresión para la velocidad de esparcimiento del rumor después de un tiempo .

Razones de cambio relacionadas

39. Si dos resistores y Ohms están conectados en paralelo en un circuito

eléctrico para formar una resistencia de ohms, el valor de se puede encontrar a partir de la ecuación

Si decrece a una tasa de 1 y aumenta a una tasa de 0.5 , ¿a qué

tasa cambia cuando Ohms y Ohms? 40. La impedancia (en Ohms ) en un circuito en serie está relacionada con la

resistencia (en Ohms) y la reactancia (en Ohms), mediante la ecuación

5

. Si aumenta a una razón de 3 y disminuye a una razón de 2

, ¿a qué razón cambia cuando Ohms y Ohms?

41. El voltaje (en voltios), la corriente (en Amperios) y la resistencia (en Ohms) de

un circuito eléctrico están relacionados mediante la ecuación . Suponga que

aumenta a razón de 1 , mientras que disminuye a razón de Determinar

la razón a la cual cambia cuando voltios e Amp. ¿ aumenta o disminuye?

42. Un tanque de agua tiene la forma de cono circular erecto invertido con radio de la

base 2 metros y altura 4 metros. Si se bombea agua hacia el tanque a razón de 2

, encontrar la rapidez a la que el nivel del agua está subiendo cuando el agua tiene

3 metros de profundidad. Rta: min9

8 m

43. La Ley de Ohm para cierto circuito eléctrico establece que , donde es el

voltaje (en voltios), la corriente (en Amperios) y la resistencia (en Ohms). Si el circuito se recalienta y el voltaje se mantiene constante a 10 voltios, la resistencia

aumenta a razón de 0.5 . Hallar la velocidad con que decrece la corriente cuando

Amp. Rta: seg

Amp

dt

dI2.0

44. Una persona situada en el extremo de un muelle a 8 pies del agua hala una cuerda

atada a una boya en el agua. Si la cuerda se hala a una velocidad de 2 pies/min, ¿con qué rapidez se acerca la boya al muelle cuando esta se encuentra a 6 pies de éste?

45. Un niño que vuela una cometa suelta el hilo a razón de 2 pies por segundo, mientras

la cometa se mueve horizontalmente a una altura de 100 pies. Suponiendo que el hilo no se pandea, encuentre la velocidad con la que se mueve la cometa en el momento en que se han soltado 125 pies de hilo. Rta: 10/3 pies/seg

46. Se bombea gas a un globo esférico a razón de 5 m3/min. ¿si la presión se mantiene constante, cuál es la razón de cambio del radio cuando cuando el diámetro mide 180 cms? Rta: 5/3.24 mts/min

47. Un vehículo que viaja hacia el norte a 60 km/h y un camión que viaja al este a 45 km/h

se alejan de una intersección al mismo tiempo. ¿A qué velocidad cambia la distancia entre ellos 2 horas más tarde?

48. Una barra de metal tiene la forma de un cilindro circular recto. A medida que se

calienta, su longitud y su diámetro aumenta a razón de 0.005 cm/min y 0.002 cm/min respectivamente. ¿a razón de cuantos cm3/min aumenta el volumen de la barra en el momento de que esta mide 40 cm de largo y 3 cm de diámetro?

49. Un faro giratorio que se encuentra a 200 mts del punto más cercano P sobre una

playa recta, da vueltas cada 15 segundos. Calcule la velocidad con que el rayo de luz se mueve a lo largo de la playa en un punto a de . (Nota: como el faro da

6

cuatro vueltas cada minuto, entonces el ángulo que se forma entre el rayo de luz y recta trazada del faro a , cambia a razón de por minuto). Rta: .

50. Un avión vuela con una velocidad constante a una altura de 3000 mts a lo largo de

una trayectoria que lo hará pasar exactamente arriba de un observador que está en el suelo. En un instante dado el observador nota que el ángulo de elevación al avión es de 60 grados y que este aumenta a razón de i grado por segundo. ¿Cuál es la

velocidad del avión en ese instante? Rta:

51. En la mañana de un día en el que el sol pasará exactamente por el cenit, la sombra

de un edificio de 24mts sobre suelo mide 18mts de largo. En ese mismo instante el ángulo que el sol forma con el suelo crece a razón de minº27.0 . ¿Con qué rapidez decrece la sombra?

Gráfica de funciones Para cada una de las siguientes funciones que se presentan a continuación:

A. Determine el dominio de la función. B. Encuentre las asíntotas verticales y/o horizontales si las tiene. C. Determine las coordenadas de los interceptos con los ejes. D. Determine las coordenadas de los puntos críticos. E. Halle los intervalos donde la función es creciente y decreciente. F. Determine las coordenadas de los puntos de inflexión. G. Halle los intervalos donde la función es cóncava hacia arriba y cóncava hacia

abajo. H. De acuerdo con la información obtenida en los numerales anteriores, realice la

gráfica de xf .

I. Determine el rango de la función.

52 145)( 2 xxxf 53 15136)( 2 xxxf

54 64)( 23 xxxxf 55 64)( 23 xxxxf

56 33 2)( xxxf 57 43 44 xxxf

m24

7

58 16

42x

xxf 59 1109 2 xxxf

60 3

52

x

xxf 61

7

2

x

xxf

62 22

12 xx

xxf 63 3

134

4xxxf

64 112x

xxf 65

32

232

2

xx

xxxf

66 36

62

2

x

xxxf 67 Cosxxxf 2

68 14 2xCosxf 69 xexxf 2

70 Lnxxxf 2 71 Senxxf xe

Problemas de optimización: máximos y mínimos

72 En una central de abastos, el precio del fríjol por Kg varia durante el año de acuerdo con el siguiente modelo.

38003005.37 2 tttP

Donde t está expresada en meses a partir del primero de enero y tP en pesos.

A. ¿En qué mes el precio del fríjol registros su mínimo valor? B. ¿Cuál es el precio mínimo registrado?

73 La sección transversal del techo de un auditorio tiene la forma de una parábola tal como se muestra a continuación.

xH

x

8

La altura H del techo medida en metros con respecto al piso está dada por

33

2

18

1 2 xxxH , donde x representa el ancho del auditorio, medido desde

una de los muros del mismo. A. ¿A qué distancia de x horizontal medida desde uno de los muros el techo tiene

su altura máxima? B. ¿Cuál es la altura máxima del techo?

74 En un cultivo de mangos, el número de mangos cosechados tiende a variar

periódicamente, de acuerdo con el siguiente modelo matemático:

tsentN 315503250

Donde tN representa el número de mangos cosechados y t el número de años

transcurridos a partir del 2005. A. ¿Cuándo se da la mayor cosecha? B. ¿Cuál es la cantidad máxima de mangos cosechados durante el año?

75 Una cadena de televisión realizó una encuesta sobre el rating de sus novelas entre las

5:00 pm. y la media noche. La expresión:

2401082728

1 23 ttttR

Representa la cantidad de personas (medida en porcentaje) que sintonizan el canal t horas después de las 5:00 pm. A. ¿A qué horas entre las 5:00 pm? y la media noche ven las novelas del canal el

mayor número de personas? B. ¿A qué horas el menor número de personas? C. ¿Cuál es el mayor porcentaje de sintonía del canal entre las 5:00 pm? y la media

noche? 76 El ritmo aeróbico de una persona de años está representado por:

años10Para2

110 xx

LnxxA

¿A qué edad se maximiza la capacidad aeróbica?

77 En una finca se pretende destinar un área rectangular de 22250m para un potrero. Si al potrero hay que colocarle un cerramiento compuesto por 3 líneas de alambre de púas:

A. ¿Cuáles deben ser las dimensiones del potrero para que la cantidad de alambre

de púas necesarias para el cerramiento sea mínima?

9

B. ¿Cuántos metros de alambre de púas se necesita para el cerramiento?

78 Se va a diseñar una lata con la forma de un cilindro circular recto con una capacidad de 32610cm para envasar un alimento en conserva?

A. ¿Cuáles son las dimensiones que debe tener la lata para que la cantidad de metal

utilizada en su fabricación sea mínima? B. ¿Cuál es el área de metal necesaria para la fabricación de la lata?

79 Se va a construir un tanque rectangular abierto de base cuadrada y un volumen de

332m . Si el costo por metro cuadrado de la base es de 000.150$ y para los lados es de 000.100$ encontrar las dimensiones del tanque para que el costo de construcción sea

mínimo.

80 Un ingeniero diseña un canal de drenaje con una sección transversal trapezoidal tal como se muestra en la figura

Si se considera que la capacidad de drenaje del canal depende directamente de la sección transversal del mismo, ¿cuál debe ser el ángulo para obtener la máxima capacidad?

81 A la 1:00 pm el barco A se encuentra a 30 millas al sur del barco B y viaja hacia el norte

a 15 millas por hora. El barco B viaja hacia el oeste a 10 millas por hora. ¿A qué hora será la mínima distancia entre los dos barcos?

Integral indefinida 82 Evalúe las integrales indefinidas presentadas a continuación:

A.

B.

C.

D.

E.

F.

cm50

h 60cm

h60cm

10

G.

H.

I.

J.

K.

L.

M.

N.

O.

P.

Q.

R.

S.

T.

U.

83 Una mujer que iba en un globo dejó caer sus binoculares cuando el globo se encontraba

a pies sobre el suelo y se elevaba con una velocidad de .

A. Halle una fórmula para la velocidad de los binoculares en cualquier momento B. Halle una fórmula que represente la altura respecto al suelo de los binoculares en

cualquier momento. De acuerdo con estas expresiones responda: C. ¿Cuánto tardarán los binoculares en llegar al suelo? D. ¿A qué velocidad chocan contra el suelo?

84. Se deja caer un recipiente metálico desde un balcón localizado a 25 m de altura. De acuerdo con esta información:

A. Halle una expresión para la velocidad de caída del recipiente en cualquier instante. B. Halle una expresión para la altura del recipiente con respecto al piso en cualquier

instante. C. ¿Cuánto se demora en llegar al piso? D. Si el recipiente está diseñado para soportar una velocidad de impacto de 50 m/seg,

¿se reventará o no? Justifique su respuesta.

Nota: Considere la aceleración de la gravedad como

11

85. La aceleración de una partícula viene dada por . Encontrar la

función de posición, , sabiendo que la velocidad inicial de la partícula es , y su

posición inicial es .

86. Demostrar que para un movimiento en línea recta con aceleración constante , velocidad inicial , y desplazamiento inicial , el desplazamiento después del tiempo es

87. Un objeto es proyectado hacia arriba con velocidad inicial de metros por segundo

desde un punto a metros sobre el suelo. Demostrar que

88. Los extremos de una viga de longitud están sobre dos soportes, como se muestra en la figura.

Con una carga uniforme sobre la viga, su forma (o curva elástica) está determinada a partir de la ecuación

Donde , , son constantes.

Encontrar sabiendo que y

89. Evalúe, utilizando la técnica de integración por sustitución, las integrales indefinidas presentadas a continuación:

A.

B.

12

C.

D.

E.

F. G.

H.

I.

J.

K.

L.

M.

N.

O.

BIBLIOGRAFÍA

ALARCÓN, Sergio; GONZÁLEZ, María Cristina y QUINTANA, Hernando. Cálculo Diferencial: Límites y Derivadas. Medellín: Fondo Editorial ITM, 2008.

DOWLING, Edward T., Cálculo para administración, economía y ciencias sociales.

Primera edición. Bogotá: Mc. Graw Hill, 1992. HOFFMAN, Laurence D. y BRADLEY, Gerard L. Cálculo para administración,

economía y ciencias sociales. Sexta edición. Bogotá: Mc. Graw Hill, 1998. LEITHOLD, Louis. El Cálculo con geometría analítica. 7a edición. México: Oxford

University, 2003. PURCELL, Edwin J. y DALE, Varberg. Cálculo con geometría analítica. Sexta edición.

México: Prentice Hall Hispanoaméricana, 1992. STEIN, Sherman K. y BARCELLOS, Anthony. Cálculo y geometría analítica. Quinta

edición. Bogotá: Mc. Graw Hill, 1994. STEWART, James. Cálculo: Conceptos y contextos. Tercera edición. Bogotá:

Thompson editores, 1999. STEWART, James. Cálculo diferencial e integral. Segunda edición. Bogotá: Thompson

editores, 2007. SWOKOWSKI, Earl W. Cálculo con geometría analítica. 2da edición. México: Grupo

editorial Iberoamérica, 1989.

13

WARNER Stefan, CASTENOBLE Steven R. Cálculo Aplicado. 2da edición. México:

Thomsom Learning, 2002. ZILL G., Dennis. Cálculo con geometría analítica. México: Grupo editorial

Iberoamérica, 1987.

Ejercicios adicionales. Preparación parcial 4. Cálculo diferencial cdx24 Profesor Jaime Andrés Jaramillo González. jaimeaj@conceptocomputadores.com. www.jaimeaj.conceptocomputadores.com ITM 2018-2

Derivación implícita

90. Encuentre dx

dy

a.

yxyx 223 123 =+

b. 33 )2( yxyx +=+

c. y

xyxxyy tan2)ln( 22 −+=−

d. yxyx 3294 22 +=+ e. 4

1)cos(2

2 xxyy =+−

f. ( ) yxyx 2ln −=−

g. 10ln3 22 =+− yyx h.

41)cos(

22 x

xyy =+− i. xyxy 127 22 −=

j. senxx

xy

+

+=

23

13

k. y

x

exy = l. xexy x cot2 1

2 −−=

m. 22)( xyyxsen += n. 3237 xyyyxy +=−

o. yy

xxseny

cos2sec =+

91. Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva para en el valor x indicado: a.

( )22 ln1 xyyx =−+

Para x=1

b.

18)ln(72 =− xyy

Para ex =

(Dos repuestas: la gráfica de esta

ecuación tiene dos valores en los

cuales ex = )

c.

( ) xxysenxy −=+ 1cos3 π

Para 1=x

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d. ( ) ;1836 =− xysenxy π

para 3=x

e. ( ) ;5cos3 =− xyxy π

para 1=x

f. ;254 222 =++ yxyx

Para 0=x

( ) ( )( )xyxy 2lncos1cos5 2 +=π

g. Para 2

1=x

h.

( ) yxxxyx )14(4cos2ln2 −+=+ π

Para 2

1=x

i.

1)1(2

ln 2cos

−−=+

yxyex

senx

xππ

Para x=1

j. ( )xxyye xsen ππ cos2ln44 2)( +=−

Para x=1

92. Encuentre la ecuación general de la recta tangente a la gráfica de la ecuación, en el punto indicado

a) ( ) 84 3 −=+ xyseny ; ( )0,2

b) ( ) 22 cos8 xyy =− π ; ( )1,3−

93. Encuentre dx

dy

a.

=−

y

xsene x 133 2

b. ( )yxsen cos67 )( += c. ( )13sec 21 −= − xy

d. ( )1

tan2

1

+=

−

x

xy

e. ( )753 43)25( xxy −−= f. 2331 += − xseny

g. xsen

xxy

1

2 153−

−+= h. ( )

)1(sec

52tan

1

31

+−= −

−

xxy i.

483

552

2

−+

=x

xy

94. Encuentre 2

2

dx

yd

a. 154 23 −=+ xy b. 7232 =yx c. xyx 3tan22 =−

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Derivación logarítmica 95. Encuentre la derivada de la función, usando derivación logarítmica

a. ( )( ) )3/1(232/1)5(sec xexxy +=

b. ( )4

)31( 5/3

+

−=

x

xxf

c. ( ) ( ) )3/2()2/1( 33)22(1 +++= xxxxf

96. Encuentre dx

dy

a. ( )( )

1

22

2 +=

x

xy

x

b. 23 12yxx y +=

c. xx

y

ye )1( +=

d. xx

y

ye )1( += e. xxsenxy

1tan)ln(

−

+= f.

( )( )18

3sec

3

2

+=

x

xy

x

g. 1+= xxy h. ( ) xx xxycosln 3+= i. ( )xxy tan)cot( =

Razones de Cambio Relacionadas 97. Un niño que vuela una cometa va soltando hilo a razón de 0.5 m/s, mientras la cometa se va desplazando

horizontalmente a una altura de 40 m. considerando que el hilo permanece tensionado ¿Cuál es la velocidad de la cometa cuando se han soltado 60 m de hilo?

98. Un globo de aire caliente que asciende en línea recta, desde el nivel del suelo es rastreado por un

observador que está a 500 pies del punto de elevación. En el momento que el ángulo del observador es

4

π, éste crece a razón de 0.14 rad/min. ¿Qué tan rápido se está elevando el globo en ese momento?

99. Cuando un plato circular de metal se está calentando en un horno, su radio aumenta a razón de 0.01

cm/min. ¿A que razón aumenta el área del plato cuando su radio es de 50 cm? 100. Un avión que vuela con altura constante de 4 800m con respecto al suelo pasará exactamente encima

de un radar. Cuando su distancia al radar es de 15 km, ésta disminuye a razón de 305 km/h ¿Cuál es la velocidad del avión?

101. Si las aristas de una caja rectangular x, y y z de una caja rectangular cambian a las tasas:

smdt

dx/1=

; sm

dt

dy/2−=

;sm

dt

dz/1=

Determine la tasa de cambio de: (a) el volumen; (b) El área de la superficie y (c) la longitud de la diagonal

222 yyxs ++=, cuando x=3; y=7; z=2.

102. A un depósito cilíndrico de base circular y 4 m de radio, le está entrando agua a razón de 20

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l/s. Calcular la rapidez a la que sube la superficie del agua. 103. En una planta de arena y grava, la arena cae de una cinta transportadora creando un montículo de

forma cónica, a razón de 10 pies cúbicos por minuto. El diámetro de la base del montículo es aproximadamente tres veces la altura. Cuando la altura es 15 pies ¿A qué ritmo cambia?

104. Dos aviones vuelan horizontalmente a 2 500m de altura en trayectorias perpendiculares. Uno de ellos

se encuentra a 4km del punto de intersección de sus trayectorias acercándose a 450 km/h mientras el otro a 15km de ese punto se aproxima 396km/h. ¿Cuál es la razón de cambio de la distancia entre los aviones en ese momento?

105. Un hombre está parado en un muelle y jala una lancha por medio de una cuerda. Sus manos están a 4

m por encima del amarre de la lancha. Cuando la lancha está a 7 m del muelle, el hombre está jalando la cuerda a una velocidad de 75 cm/s. ¿A qué velocidad se aproxima la lancha al muelle?

106. Al arrojar una piedra a un estanque de agua tranquila se forman ondas circulares concéntricas cuyos

radios aumentan de longitud al paso del tiempo. Cuando la onda exterior tiene un radio de 3 m, éste aumenta a razón de 80cm/s . ¿A qué velocidad aumenta el área del círculo formado por dicha onda?

107. Una escalera de 13 m de longitud descansa contra un muro perpendicular al suelo. Si el extremo inferior de la escalera se está resbalando a razón de 1.2 m/s, ¿a qué velocidad desciende el extremo superior cuando éste está a 12 m del suelo?

108. Un recipiente tiene la forma de un cono circular recto invertido y la longitud de su altura es el doble de la de su diámetro. Al recipiente le está entrando agua a una rapidez constante, por lo que la profundidad del agua va en aumento. Cuando la profundidad es de 1 m, la superficie sube a razón de 2 cm por minuto. ¿A qué rapidez le está entrando agua al recipiente?

109. Una partícula se mueve sobre la gráfica de 12 += xy de modo que dt

dy ¿Cuál es

dt

dy cuando

8=x ?

110. La coordenada x del punto P mostrado en la figura aumenta a razón de hcm /3

1 ¿Cuán

rápido crece el área del triángulo rectángulo OPA cuando las coordenadas de P son (8, 2)?

(Zill & Wright, 2011, p. 200)

111. Un poste de 7 m de altura tiene un faro en la parte superior; un hombre de 1.75 m de estatura se aleja del poste caminando a una velocidad de 1.2 m/s ¿Con qué velocidad crece su sombra?; ¿Con qué velocidad se mueve la punta de la sombra con respecto a la base del poste?

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112. La ley de los gases para un gas ideal a la temperatura absoluta T en grados (kelvin) y la presión P (en atmósferas) con un volumen V (en litros), es PV=nRT , donde n es el número de moles del gas y R=0,0821 es la constante de los gases. Suponga que en cierto instante P =8 atm y que aumenta a razón de 0,10 atm/min, además el volumen es de 10l y disminuye a razón de 0,15 l/min. Determinar la razón de cambio de T con respecto al tiempo, en ese preciso instante, si n = 10 mol.

Regla de L’Hôpital

113. Calcule los siguientes límites:

a) 20

cos1lim

xx

x

x +−

→ b)

1

4cos1lim

20 −−

→ xx e

x c)

416

39

0 −+

−+→ x

xlimx

d) 4

86lim

2

3 −+−

−→ x

xx

x e)

x

x

x tan1

seclim

2+→

π f)

4

2lim

22 −−

→ x

x

x

g) x

x

x cos

2lim

2

ππ

−

→

h) xsenx

xx

x −−

→

)1(coslim

4 i) )(lim

2 xxxx

+−∞→

j) 2

2

limx

e x

x ∞→ k)

2ln

limx

x

x ∞→

l) xx

xxe /3

0)(lim +

+→

114. Calcule los siguientes límites:

a)

−

+→ xxx

11lim0

b) 4

35lim

2

2

2 −−+

→ x

x

x c)

−

−→ 1

1

ln

1lim1 xxx

d) 1

lim−

−

−∞→ x

e x

x

e) ( )xx

senx+→0

lim f)

( )x

xe x

x

−−→

1lim

0

g) ( ) xsenx

xxe 2

24

03cos2lim −

→ h)

xe

xex

x

x 2cos

tanlim

3

+−→ ππ i) ( ) xx

xsenxe

/32

0lim +→

j) x

x

x −→ 1

lnlim

1 k)

x

xx

x

52lim

0

−→

l)

82

2

4

4lim

−

→

x

x x

m) 16

5

4

2

13

13 −

→

+ x

x

xlím

n) ( ) 3

2

34 −

→− x

xxlím o)

xsenx

xx

x −−

→

)1(coslim

0

p) x

e x

x

1lim

3

0

−→

q)

−

−−+→ 24

82

2 x

x

xlímx

r)

−−→ 20 2

1

x

xelím

x

x

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s) ( )xx

xxelím1

0+

→

Trazado de Gráficas

115. Determine las principales características de la función (Dominio, intersecciones con los ejes, asíntotas,

puntos críticos, puntos de inflexión, intervalos de crecimiento y de decrecimiento y extremos relativos) y elabore una representación gráfica de acuerdo con la información obtenida.

a. 326154)( xxxxf −++= b. 3/22

)13( += xy c.

x

xy

−=2

2

d. 24 2

4

1)( xxxf −=

e. )2()1()(3/2 −+= xxxf

f.

−= xxy2

73/2

g. )25ln()(2−= xxf

h. 3/23/1)8()( xxxf −= i. )9ln()( 2xxf −=

j. 1

2)(

2 −=x

xxf k.

2

2

1

)1()(

x

xxf

++

= l. senx

xy

+=1

cos

m. ( )42

3)(

+

+=

x

xxxf n.

2

5/2

)1(

2)2()(

+

−+=

x

xxf o. ( )53

2)( +

+= x

xxxf

Problemas de Optimización Referencia estudiar ejercicios sección 4.8 del texto de Zill 116. A un fabricante de latas le solicitan diseñar un envase para gaseosa de forma cilíndrica y con

capacidad de 300ml. Encuentre las dimensiones del envase para las cuales la cantidad de material utilizado para su fabricación es mínima.

117. Para hacer una caja de base cuadrada con la parte superior abierta, se recortan cuadrados de igual

medida de las esquinas de una hojalata cuadrada y luego se doblan los lados hacia arriba. Al hacer esto con una hojalata de 16cm * 16cm. ¿Cuáles deben ser las dimensiones de los cuadrados recortados para que el volumen de la caja sea máximo? ¿Cuál es éste volumen?

118. Se van a utilizar 15 cm de alambre para construir un cuadrado y un círculo. Cuales deben ser las

dimensiones del cuadrado y del círculo para que el área total abarcada sea máxima? 119. Dos postes, uno de 8m y otro de 12m se encuentran a 25m de distancia. Se sostienen por dos cables

atados a la misma estaca desde el nivel del suelo a la parte superior de cada poste ¿Dónde debe ubicarse la estaca para usar la menor cantidad de cable posible?

120. Un rectángulo se inscribe en un semicírculo de radio 4 ¿Cuál es el área máxima que puede tener y

cuáles son sus dimensiones?

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121. Un sólido se forma uniendo dos hemisferios a los extremos de un cilindro circular recto. El volumen total del sólido es de 12cm3. Encuentre el radio del cilindro que produce el área superficial mínima.

122. Se cercará un terreno rectangular de 512 m2 para la siembra de un cultivo de tomates y será dividido

en dos partes iguales colocando una cerca paralela a uno de los lados. ¿Cuáles deben ser las dimensiones del rectángulo exterior para que la cantidad de cerca utilizada sea mínima?¿Qué cantidad de cerca se requiere en este caso?

123. Una ventana normanda se construye al unir una semicircunferencia a la parte superior de una ventana

rectangular corriente. Encuentre las dimensiones de una ventana Normanda de área máxima, si su perímetro total es de 7m.

124. La parte semicircular de una ventana normanda tiene un vidrio oscuro y la parte rectangular vidrio

claro. La cantidad de luz por unidad de área que admite el vidrio oscuro es un tercio de la admitida por el vidrio claro. Si el perímetro de esta ventana es de 12m ¿Cuáles deben ser las dimensiones para que la cantidad de luz que admite la ventana sea máxima?

Integral Indefinida

Manipulación del integrando para obtener integrales que coincidan con las fórmulas básicas

125. Calcule la integral manipulando el integrando para obtener una forma que corresponda con las fórmulas básicas

a) ∫−+−dx

x

xxx3

45

2

3634

b) ∫

+ dxx

x4 5

3 2 4

c) ∫ + dxx )1(tan 2 d) ∫ dxsenx

xsen2

e) ( )( )∫ +− dxxx 231 f) ∫ −dxxsen

x21

cos g) ( )∫ + dxx

32 1 h) ∫ − dzzzz )sec(tansec

i) ( )( )∫ ++ dxxx 11 j) ∫ xdxx cotsec k) ∫ −

−dx

x

x

1

13

l) ∫

+ dxx

x54 3

m) ∫−

dxx

xx 3 45 3 n) ∫

−

−+dx

xx

xx

365

363

23

22

o) ∫++dx

x

xx

3

544 2

p) ( )∫ − dxxx 1costan

q) ( )∫−

−− dxxe x ]162[2/12π

r) ∫

++dx

senx

xsenxx 2costan

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s) ∫ +dx

x 5

42 t) ∫

+dx

x

xex x

3

23

6

4 u) ∫

+++−dx

x

xxxx3

245

4

54268

v) ∫+−dx

x

xx3

2 52

126. Calcule la integral manipulando el integrando para obtener una forma que corresponda con las

fórmulas básicas

a.

dxx

x∫

−4 5

3 4

3

6

b. ∫ −−

dxxx

xx23

3

3

9 c. ∫

−+dx

x

xxx2/3

2/32

9

532

d. dx

x

x∫ +1cot

csc2

3

e. dx

x

xx∫

+3

3

2

74 f.

( )dx

xsenx

xsenx∫ 2

2

sec

tan

127. Encuentre f

a) ( ) 04,)(' == fxxf b)

( )3)1('

,51,745)('' 2

−=

=+−=

f

fxxxf

c) ( ) 11,2

3)('2

3 =+= fx

xxf

d)

2)4(;cos56)(' =−= fxexf x

e) ( )0,sec)(' 2 =+= fxxxf

f)

( )( ) 0

,00,cos32)(''

=

=+=

πfftetf t

Aplicaciones de la integral indefinida

128. Un vivero de plantas verdes suele vender cierto arbusto después de 6 años de crecimiento

y cuidado. La velocidad de crecimiento durante esos 6 años es, aproximadamente, dh/dt =

1.5t + 5, donde t es el tiempo en años y h es la altura en centímetros. Las plantas de

semillero miden 12 centímetros de altura cuando se plantan (t=0)

a) Determinar la altura después de t años.

b) ¿Que altura tienen los arbustos cuando se venden?

129. La tasa de crecimiento dP/dt de una población de bacterias es proporcional a la raiz

cuadrada de t, donde P es el tamaño de la población y t es el tiempo en días (0≤ t ≤ 10) esto

es, dP/dt= K t . El tamaño inicial de la población es igual a 500. Después de un día la

población ha crecido hasta 700.Estimar el tamaño de la población después de 7 días.

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Aplicaciones de la integral indefinida: Movimiento Uniformemente Acelerado (MUA)

130. Un conductor implicado en un accidente afirma que circulaba solamente a 50 km/h.

Cuando la policía revisa su auto, determina que si los frenos se aplicaban a 50 km/h, el auto

recorrería solamente 15m antes de detenerse. Las marcas de derrape del auto en la escena

del accidente miden 72m. Suponga que la desaceleración es constante y calcule la velocidad

con la que viajaba antes del accidente.

131. Los frenos de un automóvil se accionan cuando éste se mueve a 60 millas/hora

(exactamente 88 pies/segundo). Los frenos proporcionan una desaceleración constante de

40 pies/segundo2. ¿Qué distancia recorre el auto antes de detenerse?

Movimiento Uniformemente Acelerado (MUA): Caída Libre

132. Cuando se arroja una piedra hacia arriba, desde el suelo, con una cauchera, la piedra

alcanza una altura máxima de 400 pies. ¿Cuál era la velocidad inicial de la piedra?

(Aceleración de la gravedad: g=32pies/segundo)

133. Se arroja una pelota de béisbol hacia arriba, desde la parte superior de un edificio alto. La

velocidad inicial de la pelota es 25 pies/segundo y golpea el suelo con una velocidad de 153

pies/segundo. ¿Qué altura tiene el edificio?

Sustitución o cambio de variable

134. Calcule la integral usando sustitución

a) ∫ + dyyy

5)ln1(1

b) ∫ dtt

e t

2

/1

c) ∫ + dxxx )3cos( 43 d) ∫ − dxx 4)23(

e) ∫ + dxee xx 1 f) ∫ xdxx 2csccot g) ∫

−

−

dxx

xsen

2

1

1

h) ∫

dxx

xsen

2

π

i) ∫ +dt

e

et

t

4 j) ( )∫ +

dxx

x4

5

3 k) ∫ + xx

dx

)1( l) ∫ +

dxx

x

13

32

2

m) 2

6

4dx

x x−∫ n)

2

61

42 9dx

x x

−

− −∫

135. Un automóvil viaja por una carretera recta muy larga. Su aceleración es:

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a) 22)(s

mta = b) 2

1.03)(s

meta t−= c) 2

2.05)(s

meta t−=

Donde t se mide en segundos y 0=t es el instante en el que inicia su recorrido cuando su velocidad

v es sm /0 y su posición x es m0

I. Determine la función velocidad v del automovil

II. Determine una función para la posición x del automóvil

III. Aceleración, velocidad y posición del automóvil para st 10=

136. La aceleración de un objeto que se mueve en determinado sistema de referencia,

usando las unidades del sistema internacional, está dada por: ( ) te

tta 4

1

3 −++

=, para 50 ≤≤ t .

Considerando que su posición para t=1s es el origen (S(1)=0), y su velocidad para t=0s es

( ) smv /00 = determinar:

a) función velocidad b) función posición c) aceleración, velocidad y posición para t=5s.

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Referencias

Zill, D., & Wright, W. (2011). Cálculo de una variable. Trascendentes tempranas (IV).

México: McGraw-Hill.

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