Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН

Федеральное государственное бюджетное учреждение наукиИнститут математики им. С. Л. Соболева

Сибирского отделения Российской академии наук

Федеральное государственное автономное образовательноеучреждение высшего образования

«Новосибирский национальный исследовательский государственныйуниверситет»

Международная конференция

МАЛЬЦЕВСКИЕ ЧТЕНИЯ

10–13 ноября 2014 г.

Тезисы докладов

Конференция проведена при финансовой поддержкеР

∫∫X

И Российского фонда фундаментальных исследований(код проекта 14-01-20293-г)

Новосибирск • 2014

Sobolev Institute of Mathematics

Novosibirsk State University

International Conference

MAL’TSEV MEETING

November 10–13, 2014

Collection of Abstracts

Supported byР

∫∫X

И Russian Foundation for Basic Research(grant 14-01-20293-г)

Novosibirsk • 2014

Содержание

I. Пленарные доклады.............................................................................. 9И. В. Аржанцев. Градуированные алгебры и кольца Кокса алгебраическихмногообразий............................................................................................................... 10В. С. Атабекян. О группах автоморфизмов и полугруппах эндоморфизмовсвободных бернсайдвых групп................................................................................... 11Н. А. Баженов. Спектры автоустойчивости булевых алгебр .................................. 12Б. С. Байжанов. Счетные модели малых упорядоченных теорий .......................... 13М. В. Зайцев. Тождества в алгебрах и функции роста ........................................... 14В. И. Зенков. О некоторых задачах теории конечных p-групп............................... 15Д. Е. Пальчунов. Нечёткие логики и теория нечётких моделей ............................. 16В. Н. Ремесленников. Генерические теории нескольких серий конечныхалгебраических систем ............................................................................................... 17Е. И. Хухро. Неразрешимая длина конечной группы и неподвижных точек ееавтоморфизмов............................................................................................................ 18А. Н. Шевляков. Полугруппы близкие к группам: уравнения, алгебраическиемножества, проблемы совместности ......................................................................... 19S. A. Drobyshevich. Some modal operators over intuitionistic logic............................ 21I. D. Suprunenko. Restrictions of representations of algebraic groups to subgroups:Big composition factors and tools for investigating the behaviour of elements............ 22N. V. Maslova. Finite groups with arithmetical restrictions to their maximalsubgroups ..................................................................................................................... 23V. H. Mikaelian. Metabelian varieties of groups and wreath products of abeliangroups........................................................................................................................... 24II. Секция «Алгебро-логические методы в информационных

технологиях» ............................................................................................ 25В. Б. Бериков. Ансамбль алгоритмов кластеризации: коллективы логическихправил и индексы качества группировки ................................................................. 26В. А. Васенин, М. А. Кривчиков. Предметно-ориентированные языки с заданнойформальной семантикой на основе лямбда-исчисления с зависимыми типами...... 27А. О. Ковалевская. Построение транзитивных полиномов над кольцом Zp2 ......... 28А. М. Кукарцев. О способе индукции действия на множестве булевых функций,эквивалентной индукции действия группы Джевонса ............................................. 29Е. А. Леуцкий. Анализ поведения пользователя социальной сети на основепрецедентного подхода .............................................................................................. 30А. В. Лялецкий. Литерные деревья и поиск опровержения резолюционного типа 31А. Н. Максименко. Сложность задач комбинаторной оптимизации в терминахрешетки граней ассоциированных многогранников................................................. 32С. Д. Махортов, И. Ю. Иванов. О приближенных решениях продукционно-логического уравнения в LP-структуре нулевого порядка...................................... 33

3

О. Е. Сергеева. Распознавание рекуррентных последовательностей над классомконсервативных функций ........................................................................................... 34П. А. Степанов. Определение речевых действий «Побуждение» при помощилингвистических шаблонов........................................................................................ 35Д. А. Тарновский. Математическое моделирование ряда научных процессов вразличных областях знаний ....................................................................................... 36Г. Э. Яхъяева, А. А. Карманова. О теоретико-модельной классификациивопросных шаблонов вероятностной вопросно-ответной системы.......................... 37Г. Э. Яхъяева, О. В. Ясинская. Алгоритмы вычисления интервальных значенийистинности суждений в предметной области компьютерной безопасности ........... 38N. V. Shilov. Alias calculus for a simple imperative language with decidable pointerarithmetic ..................................................................................................................... 39III. Секция «Теория вычислимости» ....................................................... 40Р. И. Бикмухаметов. Вычислимые линейные порядки и естественные отношенияна них .......................................................................................................................... 41А. К. Войтов. О ∆0

2 и ∆03-вычислимости классов проективных плоскостей .......... 42

Н. Т. Когабаев. Теория проективных плоскостей полна относительно спектровстепеней и эффективных размерностей..................................................................... 43И. В. Латкин. О вычислимости нильпотентного произведения групп ................... 44A. A. Лялецкий. Элементарное доказательство теоремы о βη-нормальной форме 46Д. Е. Пальчунов, А. В. Трофимов, А. И. Турко. Автоустойчивость булевыхалгебр с выделенными идеалами относительно сильных конструктивизаций....... 47N. Kh. Kasymov, A. S. Morozov. Definable linear orderings over negative andpositive equivalences .................................................................................................... 48IV. Секция «Теория групп» ..................................................................... 49Р. Ж. Алеев, О. В. Митина, В. Н. Пузач. Круговые единицы в кольцах вычетовколец целых круговых полей ..................................................................................... 50Р. Ж. Алеев, В. Н. Пузач. Группы единиц целочисленных групповых колецциклических 2-групп .................................................................................................. 51О. А. Алексеева, А. С. Кондратьев. Конечные почти простые группы, графыГрюнберга — Кегеля которых не содержат треугольников ................................... 52А. И. Будкин. О доминионах разрешимых групп .................................................... 53С. В. Вараксин. О представлении свободных m-произведений m-группавтоморфизмами линейно упорядоченных множеств .............................................. 54К. В. Воробьёв. О размере минимального 1-совершенного битрейда в q-значномn-кубе........................................................................................................................... 55И. Б. Горшков. О группах с множеством размеров классов сопряженности как узнакопеременных групп.............................................................................................. 56О. Ю. Дашкова. Локально разрешимые подгруппы финитарной линейнойгруппы над коммутативным кольцом....................................................................... 57Ф. А. Дудкин. Проблема изоморфизма невозрастающих GBS групп разрешима . 58К. С. Ефимов, А. А. Махнев. Об автоморфизмах дистанционно регулярногографа с массивом пересечений 99, 84, 30; 1, 6, 54 .................................................... 60А. В. Зенков. О решетке конгруэнций m-групп ....................................................... 61В. И. Зенков, Я. Н. Нужин. О пересечениях примарных подгрупп в конечныхгруппах с цоколем, изоморфным F4(2) ..................................................................... 62М. Н. Ивко. О группах, в которых централизаторы всех инволюций слойноконечны ....................................................................................................................... 63

4

В. А. Колпакова, А. С. Кондратьев. О конечных неразрешимых 5-примарныхгруппах G с несвязным графом Грюнберга — Кегеля таких, что |π(G/F (G))| ≤ 4 64А. С. Кондратьев, И. Д. Супруненко, И. В. Храмцов. О модулярныхпредставлениях группы L3(17) .................................................................................. 65В. В. Кораблева. О главных факторах параболических максимальных подгруппскрученных классических групп................................................................................ 66А. М. Кукарцев, А. А. Кузнецов. О применении частотного анализа длярешения проблемы расстояний в группе Джевонса, индуцирующей действие намножестве булевых функций ..................................................................................... 67Н. Ч. Манзаева. О наследуемости холлова свойства Dπ надгруппами π-холловыхподгрупп...................................................................................................................... 68Н. В. Маслова. О совпадении классов Eπ и Dπ конечных групп для некоторыхмножеств π нечетных простых чисел ....................................................................... 69А. А. Махнев, Д. В. Падучих, М. С. Самойленко. О дистанционно регулярныхнакрытиях клик с сильно регулярными окрестностями вершин ............................ 70А. А. Махнев, Д. В. Падучих. Сильно регулярные графы с неглавнымсобственным значением 4 и их расширения ............................................................. 71А. А. Махнев, Д. В. Падучих, Л. Ю. Циовкина. Антиподальные дистанционнорегулярные накрытия графов эрмитовых форм Herm(2, q2) .................................. 72А. В. Меньшов, В. А. Романьков. Разрешимость регулярных уравнений в классенильпотентных групп................................................................................................. 73И. Т. Мухаметьянов. Об одном обобщении схем отношений и связанных с нимидистанционно регулярных графах диаметра 3......................................................... 74И. Т. Мухаметьянов. О графах на множестве неединичных p-элементов группыSL2(pm) ....................................................................................................................... 75М. Н. Нестеров. Пронормальность холловых подгрупп в почти простых группах 76К. Н. Пономарев. Пермутационные модули над проконечными группами ............ 77А. И. Созутов, И. О. Александрова. О числе нечетносвязных окрасок двуцветныхграфов.......................................................................................................................... 78А. И. Созутов, В. М. Синицин. О графах Коксетера групп с симплектическими3-транспозициями ....................................................................................................... 79И. Сяолан, С. Ф. Каморников. О решетках подгрупп конечных разрешимыхгрупп............................................................................................................................ 80Е. И. Тимошенко. Эндоморфизмы свободных разрешимых групп, сохраняющиепримитивность систем элементов ............................................................................. 81A. A. Трофимук. О производной длине разрешимых групп с фиттинговымисиловскими подгруппами фиксированного нормального ранга .............................. 82Е. А. Туманова. Об аппроксимируемости корневыми классами некоторыхHNN-расширений групп ............................................................................................. 83М. Д. Хриптун. Теоретико-групповой анализ обратного интегральногопреобразования типа Фурье — Бесселя для обобщённой функции Бесселя ........... 84А. А. Шлепкин. Периодические группы, насыщенные L4(2n) и U4(2n).................. 85V. A. Belonogov. Finite groups in which all maximal subgroups are π-closed ............ 86T. S. Busel. On the behaviour of certain products of long and short root elements inirreducible representations of algebraic groups of type Br ........................................... 87A. A. Buturlakin, A. V. Vasil′ev. Algorithmic aspects of recognizability by spectrum 88A. A. Buturlakin, A. V. Vasil′ev. On Borovik’s conjecture ......................................... 89A. Gavrilyuk, K. Metsch. A modular equality for Cameron—Liebler line classes ....... 90

5

M. A. Grechkoseeva, A. M. Staroletov. On finite simple groups that are notrecognizable by spectrum ............................................................................................. 91A. Grishkov. Finite geometry and related algebraic systems ....................................... 92A. V. Karpov. On the conjugacy search problem for polynomial permutations modulopn ................................................................................................................................. 93N. Yu. Makarenko. Finite and locally finite groups with automorphisms of order 2n. 94I. Yu. Mogilnykh. On minimal switching sets for q-analogs of Steiner triple systems. 95D. O. Revin. Confirmation for Wielandt’s conjecture .................................................. 96L. Yu. Tsiovkina. Another two constructions of Klin-Pech distance-regular graphswith intersection arrays 35, 24, 1; 1, 12, 35 and 44, 24, 1; 1, 12, 44 ........................... 97A. Yu. Vasil′eva. Distance regular colorings of the infinite triangular grid................. 98M. A. Zvezdina. On spectra of automorphic extensions of Steinberg’s triality groups 99V. Секция «Теория колец»....................................................................... 100А. Т. Гайнов. Метрические алгебры Лейбница ........................................................101В. Ю. Губарев, П. С. Колесников. Γ-конформные алгебры Ли конечного типадля группы Γ без кручения ........................................................................................102В. Н. Желябин, М. Е. Гончаров. Пример дифференциально простой алгебрыЛи, не являющейся свободным модулем над своим центроидом ............................103А. С. Ивачев. Исследование класса дифференцируемых по модулю pn функций ..104И. М. Исаев. Об одном многообразии метабелевых правоальтернативных алгебр105А. В. Кислицин. О сильно бесконечно базируемых векторных пространствах .....106С. С. Коробков. Проектирования конечных моногенных колец..............................107Ю. Н. Мальцев, Е. В. Журавлев. Строение колец, удовлетворяющих тождествуиндекса два .................................................................................................................108С. П. Мищенко, О. В. Шулежко. Описание почти нильпотентныхантикоммутативных метабелевых многообразий с подэкспоненциальнымростом..........................................................................................................................110С. В. Панов. Структурное строение квазиполей малых нечетных порядков .........111Н. Г. Парватов. Периоды полиномиальной вектор-функции над конечнымкоммутативным кольцом ...........................................................................................112Ю. Р. Пестова. О многообразии, порожденном трехмерной простой алгеброй Ли113В. М. Петроградский, И. А. Субботин. Об инвариантах свободных ограниченныхалгебр Ли ....................................................................................................................114А. П. Пожидаев. Алгебры Пуассона – Фаркаса........................................................115А. В. Половинкина, Т. В. Скорая. Одно необходимое и достаточное условиеконечности кодлины многообразия алгебр Лейбница ..............................................116Е. Н. Порошенко. Коммутаторная ширина элементов свободной метабелевойалгебры Ли..................................................................................................................117В. В. Сидоров. Изоморфизмы решеток подалгебр полуполей непрерывныхфункций с max-сложением .........................................................................................118Н. Т. К. Чанг, Ю. Ю. Фролова. Почти нильпотентные коммутативныеметабелевы многообразия рост которых не выше экспоненциального...................119А. Р. Чехлов. О слабо транзитивных абелевых группах без кручения ..................120A. S. Gordienko. Semigroup graded algebras and codimension growth of gradedpolynomial identities ....................................................................................................121A. S. Kuzmina. On zero-divisor graphs of finite nilpotent rings ..................................122M. N. Rasskazova. The Coxeter groups and corresponding algebras...........................123

6

VI. Секция «Теория моделей и универсальная алгебра» ....................... 124Б. С. Байжанов, О. А. Умбетбаев. Некоторые вопросы несущественногообогащения теории и число счетных моделей ..........................................................125К. А. Байкалова. О распределении числа счетных моделей теорий локальносвободных алгебр........................................................................................................126М. И. Бекенов. B-алгебраические системы теорий ..................................................127А. Болен. Гауссовы суммы для характеров Дирихле по модулю 3l и ихприложения .................................................................................................................128А. А. Викентьев. О свойствах богатых семейств неполных конечных типовв многосортных многозначных системах и кластеризациях типов и формуллогических исчислений...............................................................................................129А. А. Викентьев, Р. А. Викентьев. Кластеризация логических высказыванийс учетом мер нетривиальности..................................................................................130А. Г. Гейн, М. П. Шушпанов. Условия дистрибутивности 3-порожденныхрешеток .......................................................................................................................131Д. Ю. Емельянов. Алгебры распределений бинарных изолирующих формултеории одноместных предикатов с подстановкой ....................................................132О. В. Князев. О наследственно чистых полугруппах с центральнымидемпотентом..............................................................................................................133А. М. Кунгожин. Неконечная базируемость одной числовой системыс константой ...............................................................................................................134А. Т. Нуртазин. Элементарно замкнутые структуры .............................................135Е. А. Палютин. Тотально обобщенно стабильные абелевы группы .......................136А. Г. Пинус. Об алгебрах с идентичными алгебраическими множествами ...........137Р. А. Попков. Распределение счетных моделей теорий одноместных предикатов 138Д. В. Скоков. Кодистрибутивные и костандартные элементы решеткимногообразий эпигрупп ..............................................................................................139Д. В. Соломатин. Планарные многообразия полугрупп ..........................................140Е. В. Хворостухина. Об алгоритмической разрешимости элементарных теорийклассов гиперграфов .................................................................................................141И. К. Шаранхаев. О декомпозиции мультиопераций ...............................................142B. S. Baizhanov, A. D. Yershigeshova. Weakly and almost orthogonality of types ....143B. Sh. Kulpeshov. On behaviour of binary formulas in ℵ0-categorical weaklycircularly minimal structures........................................................................................144S. V. Sudoplatov. Separability of elements in hypergraphs of models of a theory.......145N. S. Tazabekova. Quasi-neighborhoods and neighborhoods of types..........................146D. Vlasov. Inconsistent cores in finite logics ................................................................147T. S. Zambarnaya. Finite diagrams and the number of countable models ..................148A. V. Zhuchok. Embedding dimonoids into dimonoids with bar-units ........................149Yu. V. Zhuchok. The endomorphism semigroup of a free trioid of rank 1...................150VII. Секция «Неклассические логики» ................................................... 151М. К. Валиев. Генценовское исчисление с правилом индукции для временнойлогики с оператором until ..........................................................................................152Л. Л. Максимова, В. Ф. Юн. Узнаваемость над минимальной логикой .................153Н. В. Шилов. О выразительной силе регулярной и контекстно-свободнойдинамической логики .................................................................................................154G. Akishev, R. Goldblatt. Monadic bounded algebras.................................................155

7

A. S. Gerasimov. A proof system with metavariables for infinite-valued first-orderLukasiewicz logic ..........................................................................................................156S. P. Odintsov. On different approaches to defining a logic over a class of bilattices..157VIII. Авторский указатель....................................................................... 158

8

I. Пленарные доклады

Мальцевские чтения 2014 Пленарные доклады

Градуированные алгебры и кольца Кокса алгебраических многообразий

И. В. Аржанцев

Хорошо известно, что наличие градуировки на алгебре зачастую упрощает изуче-ние связанных с ней структур. Градуированные алгебры естественно возникают вомногих геометрических задачах, например, как тотальные координатные кольца иликольца Кокса алгебраических многообразий. В докладе будет рассказано о недавнихрезультатах из теории колец Кокса. Мы поговорим об однородных локально ниль-потентных дифференцированиях и описании группы автоморфизмов алгебраическогомногообразия. Также будет рассмотрено несколько комбинаторных задач, связанныхс градуированными кольцами и двойственностью Гейла.

Список литературы

[1] Аржанцев И. В. О факториальности колец Кокса. Математические Заметки 85 (2009), вып. 5,

643-651.[2] Аржанцев И. В., Гайфуллин С. А. Кольца Кокса, полугруппы и автоморфизмы аффинных много-

образий. Математический Cборник 201 (2010), вып. 1, 3-24.

[3] Arzhantsev I. V., Derenthal U., Hausen J., Laface A. Cox rings. Cambridge Studies in Advanced Math-ematics, No. 144, Cambridge University Press, 2014, 472 pp.

[4] Bechtold B. Factorially graded rings and Cox rings. Journal of Algebra 369 (2012), no. 1, 351-359.

[5] Berchtold F., Hausen J. Homogeneous coordinates for algebraic varieties, Journal of Algebra 266 (2003),no. 2, 636-670.

[6] Elizondo E. J., Kurano K., Watanabe K. The total coordinate ring of a normal projective variety.Journal of Algebra 276 (2004), no. 2, 625-637.

Факультет компьютерных наук НИУ ВШЭ, Москва

E-mail: [email protected]

10

mailto:[email protected]


О группах автоморфизмов и полугруппах эндоморфизмов свободных

бернсайдвых групп

В. С. Атабекян

Естественный вопрос об описании группы автоморфизмов свободной бернсайдовойгруппы B(m,n) достаточно большой нечетной экспоненты n и ранга m > 1 был по-ставлен в Коуровской тетради еще в 1982 г. А.Ю. Ольшанским. Однако результатыв этом направлении стали появляться лишь в последней декаде. Получено описа-ние всех, так называемых, нормальных автоморфизмов групп B(m,n), получен ответна вопрос С. Иванова 1990 года из Коуровской тетради об описании расщепляющихавтоморфизмов B(m,n), указаны свободные полугруппы в B(2, n) и свободные под-группы в B(3, n). Решена проблема башни автоморфизмов группы B(m,n). Описанатакже группа автоморфизмов полугруппы эндоморфизмов B(m,n) (ответ на вопросБ.Плоткина).

Ереванский гос.университет, ЕреванE-mail: [email protected]

11



Спектры автоустойчивости булевых алгебр

Н. А. Баженов

Пусть d — тьюрингова степень. Вычислимая модель A называется d-автоус-тойчивой, если для любой вычислимой копии B модели A существует d-вычислимыйизоморфизм f : A→ B. Спектром автоустойчивости модели A называют множествовсех тьюринговых степеней d, таких что A является d-автоустойчивой. В докладебудет дан обзор результатов, посвященных спектрам автоустойчивости вычислимыхмоделей. Особое внимание будет уделено спектрам автоустойчивости булевых алгебр.

Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН, Новосибирск


12



Счетные модели малых упорядоченных теорий

Б. С. Байжанов

Доклад посвящен классификации счетных моделей теорий с определимым линей-ным порядком и счетным множеством всех пусто определимых типов.

Институт математики и математического моделирования, Алматы


13



Тождества в алгебрах и функции роста

М. В. Зайцев

В докладе представлен краткий обзор результатов по количественной PI-теории.Пусть F — поле нулевой характеристики. С каждой алгеброй A над F связана

целочисленная последовательность cn(A), n = 1, 2, . . ., называемая последовательно-стью коразмерностей, которая характеризует количество тождественных соотноше-ний алгебры A. Изучение асимптотического поведения последовательности cn(A)—одна из центральных задач количественной PI-теории.

Для широкого класса алгебр, к которому относятся, например, все ассоциативныеPI-алгебры, все специальные алгебры и супералгебры Ли, все конечномерные алге-бры произвольной сигнатуры, последовательность коразмерностей растет не быстрееэкспоненциальной функции. В этом случае возникает вопрос о существовании предела

limn→∞

n√cn(A),

называемого PI-экспонентой A. В последние десятилетия появилось большое количе-ство работ, в которых этот вопрос решался положительно для самых разнообразныхалгебр, и только недавно был построен первый контрпример (этот результат быланонсирован в [1]).

Кроме существования PI-экспоненты, возникает целый ряд других вопросов о ха-рактере асимптотического поведения cn(A), например, в каких классах алгебр до-пускается или не допускается промежуточный рост, какие полиномиальные и экспо-ненциальные функции можно реализовать в качестве функций роста коразмерностей,и т.д.

В докладе предполагается обсудить как современное состояние, так и открытыепроблемы указанной тематики. С основными понятиями и методами количественнойPI-теории можно познакомиться в монографии [2].


[1] Зайцев М. В. Существование PI-экспонент роста тождеств. Международная конференция Маль-

цевские чтения, 11 - 13 ноября 2013 г. Тезисы докладов. Новосибирск 2013, с. 120.[2] Giambruno A., Zaicev M. Polynomial identities and asymptotic methods. Mathematical Surveys and

Monographs, 122. American Mathematical Society, Providence, RI, 2005. xiv+352 pp.

Механико-математический факультет МГУ им. М. В. Ломоносова, Москва


14



О некоторых задачах теории конечных p-групп

В. И. Зенков

В докладе будут обсуждаться решения задач В. Д. Мазурова (Владикавказ, 2012),Д. В. Лыткиной (Коуровская тетрадь, 18.57), Я. Г. Берковича (Коуровская тетрадь,16.13).

ИММ УрО РАН


15



Нечёткие логики и теория нечётких моделей

Д. Е. Пальчунов

В докладе будет сделан обзор современных исследований по нечетким логикам,а также будут изложены полученные в последнее время результаты по нечетким ибулевозначным моделям.

Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН, НовосибирскE-mail: [email protected]

16



Генерические теории нескольких серий конечных алгебраических систем

В. Н. Ремесленников

Пусть определена серия конечных систем языка L и подходящая вероятностнаямера на множестве систем этой серии. Для этих параметров будет определена генери-ческая теория языка L данной серии, зависящая от выбранной вероятностной меры. Вдокладе будет дан обзор как известных результатов, так и некоторых новых результа-тов для нескольких серий конечных групп, конечных решеток и конечных полугрупп.Будут приведены некоторые примеры приложения этих результатов к математиче-ским проблемам информатики.

ОФ ИМ СО РАН


17



Неразрешимая длина конечной группы и неподвижных точек ее

автоморфизмов

Е. И. Хухро

Результаты данного доклада получены в совместной работе с П. Шумяцким (Бра-зилия).

Доказываются «неразрешимые» аналоги известной теоремы Томпсона, ограни-чивающей высоту Фиттинга h(G) (=нильпотентную длину) конечной разрешимойгруппы G в терминах h(CG(A)) и α(|A|), где CG(A) — подгруппа неподвижных точек,а α(|A|) — число простых сомножителей в |A| с учётом кратностей.

Обобщённая высота Фиттинга конечной группы G определяется как наименьшеечисло h = h∗(G), для которого F ∗

h (G) = G, где F ∗i (G) — обобщённый ряд Фиттинга:

F ∗1 (G) = F ∗(G) и F ∗

i+1(G) — прообраз подгруппы F ∗(G/F ∗i (G)). Доказывается, что

если G допускает разрешимую группу автоморфизмов A копростого порядка, то h∗(G)ограничена в терминах h∗(CG(A)) и α(|A|). Этот результат вытекает из частногослучая, когда A = 〈ϕ〉 имеет простой порядок, где доказывается, что F ∗(CG(ϕ)) 6

F ∗9 (G).Неразрешимая длина λ(G) конечной группы G определяется как наименьшее воз-

можное число неразрешимых факторов нормального ряда, каждый фактор котороголибо разрешим, либо является прямым произведением неабелевых простых групп. До-казывается, что если A — группа автоморфизмов группы G копростого порядка, тоλ(G) ограничена в терминах λ(CG(A)) и α(|A|).Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН, Новосибирск, и Университет Линкольна,Великобритания


18



Полугруппы близкие к группам: уравнения, алгебраические множества,проблемы совместности

А. Н. Шевляков

В докладе будут представлены результаты по алгебраической геометрии над неко-торыми классами полугрупп. Будут рассмотрены свойства алгебраических множестви некоторые виды компактности систем уравнений.

Поскольку теория полугрупп возникла позднее теории групп, то многие понятияпервой появились из ослабления аксиом теории групп. Так, например, возникли классыинверсных, клиффордовых и вполне простых полугрупп: данные полугруппы (как игруппы) допускают операцию обращения, но данная операция может уже не обладатьвсеми свойствами операции обращения в теории групп.

В работах [1, 2] была развита алгебраическая геометрия над группами, то есть из-учены общие свойства уравнений над группами. Целью моего доклада будет изучениенекоторых проблем алгебраической геометрии в классах полугрупп близких к группам.Помимо указанных выше работ, в своих исследованиях мы существенно опираемся насерию работ Э.Ю. Данияровой, А.Г. Мясникова, В.Н. Ремесленникова [3, 4, 5, 6], вкоторой даются основы алгебраической геометрии над произвольной алгебраическойсистемой в языке без предикатов.

Следуя [3], уравнение над полугруппой S — это равенство вида t(X) = s(X),где t(X), s(X) — конечные произведения переменных множества X и элементов полу-группы S. Например, следующие выражения являются уравнениями над полугруппойS: x1x2 = x2x1, x1s1x1 = s2x

32s3 (si ∈ S). В случае, если полугруппа допускает опе-

рацию обращения, некоторые части уравнения могут иметь отрицательные степени:(xy)−1 = (y(x)−1z)−1.

Алгебраическое множество над полугруппой S — это решение некоторой системыуравнений над S.

Доклад будет состоять из двух больших частей.(1) Какие полугруппы S обладают следующим свойством: объединение любого

конечного числа алгебраических множеств над S снова является алгебраическим?Следуя [6] такие полугруппы будем называть эквациональными областями.

Рассмотрим, как решается аналогичная проблема в классической алгебраическойгеометрии над полем. Здесь решение тривиальное: когда рассматриваются полино-миальные уравнения над полем F , то любое конечное объединение алгебраическихмножеств над F снова выразимо в виде решения системы уравнений, то есть явля-ется алгебраическим. Например, объединение решений систем уравнений f(X) = 0,g(X) = 0 над F является решение системы f(X)g(X) = 0. Таки образом, любоеполе является эквациональной областью.

Ситуация усложняется при переходе от полей к другим классам алгебраическихсистем.

Полное описание эквациональных областей среди ассоциативных колец, алгебр Лии групп была произведена в [6]. В отличие от этих классов алгебраических систем,получить единый критерий для всех полугрупп не представляется мне возможным.Поэтому в докладе будут рассмотрены лишь важнейшие классы полугрупп (вполнепростые, клиффордовы, инверсные, конечные полугруппы) и в каждом из классовбудет сформулирован критерий, когда полугруппа S из данного класса является эква-циональной областью. Отметим, что наши результаты для вполне простых полугруппсхожи с результатами [6] для групп. Например, было получено, что свободная вполне

19


простая полугруппа ранга r > 1 (как и свободная группа ранга r > 1) является эква-циональной областью.

(2) Наиболее простое описание алгебраических множеств над алгебраической си-стемой A может быть получено в случае нетеровости по уравнения системы A, тоесть когда любая бесконечная система уравнений над A эквивалентная своей конечнойподсистеме. Однако существуют полугруппы, которые не являются нетеровыми поуравнениям.

В докладе будут рассмотрены бесконечные несовместные системы уравнений надразличными полугруппами. Оказывается, что существуют примеры, когда все конеч-ные подсистемы таких систем уравнений совместны. Более того, можно построитьпример полурешетки S, в которой все совместные системы уравнений эквивалентнысвоим конечным подсистемам, но над S существует бесконечная несовместная системауравнений, каждая конечная подсистема которой совместна.

Существование такой полурешетки S позволяет ввести еще одно обобщение по-нятия нетеровости по уравнениям: нетеровость по совестным системам. А именно:полугруппа S нетерова по совестным системам, если любая совестная система уравне-ний над S эквивалентная своей конечной подсистеме.

В некоторых случаях новое определение совпадает с понятием нетеровости поуравнениям. Например, семейство нетеровых по совместным системам булевых ал-гебр совпадает с семейством нетеровых по уравнения булевых алгебр. Однако в классеполурешеток понятия нетеровости по уравнениям и нетеровости по совестным систе-мам различны. В докладе будет показано, что свободная полурешетка бесконечногоранга (а также любая ее бесконечная подполурешетка) нетерова по совместным систе-мам, но не является нетеровой по уравнениям. Напротив, свободная леворегулярнаяидемпотентная полугруппа (или бициклическая полугрупп) не является нетеровой посовестным системам уравнений.


[1] Baumslag G., Myasnikov A., Remeslennikov V. Algebraic geometry over groups I: Algebraic sets and

Ideal Theory // J. Algebra, 219, pp. 16–79, 1999.

[2] Myasnikov A, Remeslennikov V. Algebraic geometry over groups II: logical foundations // J. Algebra,234, pp. 225–276, 2000.

[3] Daniyarova E., Miasnikov A., Remeslennikov V. Unification theorems in algebraic geometry // Algebraand Discrete Mathematics, 1, 2008, 80–111.

[4] Даниярова Э. Ю., Мясников А. Г., Ремесленников В. Н. Алгебраическая геометрия над алгебра-

ическими системами. II. Основания // Фундамент. и прикл. матем., 17:1, 2012, 65–106.[5] Daniyarova E., Miasnikov A., Remeslennikov V. Algebraic geometry over algebraic structures III:

Equationally Noetherian property and compactness // South. Asian Bull. Math., 35:1, 2011, 35–68

[6] Даниярова Э. Ю., Мясников А. Г., Ремесленников В. Н. Алгебраическая геометрия над алгебра-ическими системами. IV. Эквациональные области и ко-области // Алгебра и логика, 49:6, 2010,

715–756

ОФИМ СО РАН, ОмскE-mail: a [email protected]

20



Some modal operators over intuitionistic logic

S. A. Drobyshevich

We study a number of modal operators over intuitionistic logic defined as compositionsof principal modal operator of logic in consideration with intuitionistic negation. We adoptan approach due to K. Dosen and M. Bozic (see [1] and [3]), who introduced four systems ofintuitionistic modal logics — HK, HK♦, HK′ and HK♦′ — each dealing with one ofthe modal operators of necessity, possibility, un-necessity and impossibility, respectively, asa framework for investigating intuitionistic modal logics. By a composition we understandsimply a sequence consisting of occurrences of one of four types of modal operators andintuitionistic negation and we mainly focus on basic compositions, that is compositions ofthe form ¬δ, δ¬ or ¬δ¬, where δ is the principal modal operator of the logic HKδ. It is wellknown that such compositions over classical logic can be regarded as natural definitions offour types of modal operators above by means of each other.

We investigate which basic compositions yield modal operators of the same type overintuitionistic logic as over classical logic, which is a natural question, as there is no du-alities between four types of modal operators over intuitionistic logic. It turns out thatfive basic compositions behave classically in that sense and for those five compositions weobtain theirs respective axiomatizations. Moreover, we show that logic KC is the smallestsuperintuitionistic logic over which all twelve basic compositions behave classically.

We also investigate the so called Heyting-Kripke logic N∗ [2], which can be obtained byadding to intuitionistic non-modal base modal operator ∼, satisfying exactly the propertiesof negative operators ′ and ♦′ in logics HK′ and HK♦′, respectively. We study somebasic properties of N∗ such as finite model property, decidability and constructive properties.We then axiomatize two compositions, that is ¬ ∼ and ∼∼, in N∗ as necessity operators.We show that the former composition has an infinite axiomatization and the latter one isaxiomatized in the form of logic, modal operator in which combines properties of positiveoperators and ♦ in logics HK and HK♦, respectively.

References

[1] Bozic M., Dosen K. ‘Models for normal intuitionistic modal logics, Studia Logica 43 (1984): 217–245.

[2] Cabalar P., Odintsov S. P., Pearce D. ‘Logical foundations of well-founded semantics’, In P. Doherty

et al (eds.), Principles of Knowledge Representation and Reasoning: Proceedings of the 10th Interna-tional Conference (KR2006), AAAI Press, Menlo Park, California, 2006, pp. 25–36.

[3] Dosen K., ‘Negative modal operators in intuitionistic logic’, Publication de l’Instutute Mathematique,Nouv. Ser. 35 (1984): 3–14.

Sobolev Institute of Mathematics, Novosibirsk (Russia)


21



Restrictions of representations of algebraic groups to subgroups: Bigcomposition factors and tools for investigating the behaviour of elements

I. D. Suprunenko

Constructing of composition factors with certain special properties in restrictions ofmodular irreducible representations of classical algebraic groups to subsystem subgroupswith two simple components and using the existence of such factors for investigating thebehaviour of unipotent elements in these representations will be discussed. We shall dealwith factors that are in a certain sense big enough ( or not too small) for both componentsof a subgroup under consideration. Results on such factors yield effective tools for findingestimates for some parameters of the images of unipotent elements in representations, andnot only for elements from these subsystem subgroups.

In what follows K is an algebraically closed field, G = Ar(K), ωi (1 ≤ i ≤ r) arethe fundamental weights of G, ω(ϕ) is the highest weight of an irreducible representationϕ, and ϕ∗ is the representation dual to ϕ. If ω(ϕ) =

∑ri=1 aiωi, set s(ϕ) =

∑ri=1 ai and

l(ϕ) = a1 + 2(a2 + . . . + ar−1) + ar. Some of the results that will be discussed are statedbelow. In Theorem 1 we write an irreducible representation ρ of a semisimple group Hwith two simple components H1 and H2 in the form ρ1 ⊗ ρ2 where ρi is an irreduciblerepresentation of Hi, i = 1, 2.

Theorem 1. Let 2 ≤ l ≤ r − 3, H1 and H2 ⊂ G be commuting subsystem subgroupsof types Al and Ar−l−1, respectively, H = H1H2, and ϕ be an irreducible representation ofG with ω(ϕ) =

∑ri=1 aiωi. If ψ = ψ1 ⊗ ψ2 is a composition factor of the restriction ϕ|H,

then s(ψ1) + s(ψ2) ≤ l(ϕ). The representation ϕ|H has a composition factor τ = τ1 ⊗ τ2with s(τ1) = s(ϕ) and s(τ2) =

∑r−1i=2 ai.

Theorem 2. Assume that the characteristic of K is an odd prime p. Let ϕ be ap-restricted irreducible representation of G, and x ∈ G be a unipotent element of orderps+1 > p. Denote by k the maximal Jordan block size of the element xp

s

in the standardrealization of G. Set N = N(r, p, k) = (r − k)2/8p,

Ω = 0; aω1, a ≤ 4;ωi, 2 ≤ i ≤ 4;ω1+ωr; 2ω1+ωr;ω1+ω2; 2ω1+ω2;ω1+ω3;ω1+ωr−1; 2ω2.Assume that r − k ≥ max7, ps, the weights ω(ϕ) and ω(ϕ∗) 6∈ Ω and that ω(ϕ) 6= ω5 ifr = 9 or 10 and k = 2. Then ϕ(x) has > (s(ϕ) + 1)N Jordan blocks of size > ps. If ω(ϕ) orω(ϕ∗) ∈ 4ω1, ω4, 2ω2, 2ω1 + ω2 or r = 9 or 10, k = 2, and ω(ϕ) = ω5, then ϕ(x) has > Nblocks of size > ps.

Corollary 1. For r−p ≥ max7, ps the estimates of Theorem 2 hold for every elementof order ps+1 if one sets N = N(r, p, p).

This research has been supported by the Belarusian Republican Foundation for Funda-mental Research, projects F14-043 (Theorem 1) and F14R-109 (Theorem 2 and Corollary 1).

Institute of Mathematics, National Academy of Sciences of Belarus, Minsk (Belarus)E-mail: [email protected]

22



Finite groups with arithmetical restrictions to their maximal subgroups

N. V. Maslova

In the group theory, ”arithmetical” properties of a group G are the properties whichare defined by some arithmetical parameters of G.

Such invariants of a group G as sets of composition and chief factors of G with detailsof action of G on its chief factors are called the ”normal structure” of G.

In the present talk we will discuss the normal structure of a finite group with respectto some arithmetical restrictions to its maximal subgroups.

IMM UB RAS, UrFU, Ekaterinburg (Russia)


23



Metabelian varieties of groups and wreath products of abelian groups

V. H. Mikaelian

We obtain full classification of all cases, when for the given sets of abelian groups X andY their (direct or Cartesian) wreath product XwrY generates the product var(X )var(Y) ofvarieties, generated by those sets. In particular, when each set consists of one group only:X = G, Y = H, we get the classification of all cases when var(GwrH) = var(G)var(H).Since wreath products are one of the main tools in theory of varieties of groups, in literaturethere are many cases when particular cases of the above mentioned equalities are used tostudy varieties of groups, especially, to study products of varieties of groups. In particular,Higman has studied the cases when G = Zp and H = Zn (finite cyclic groups of ordersp and n, where p is any prime number) [2]. Houghton generalized this for the case ofarbitrary cyclic groups [5]. Further, as it is proved by Baumslag and Neumanns, if His any discriminating group, then var(G)var(H) always is equal to var(GwrH) [1]. Ourclassification [3, 4] not only generalizes these and some other results, but it can also be usedto obtain other results. For example, we show that in the case of abelian groups the abovementioned condition of Baumslag and Neumanns in fact also is a sufficient condition.

References

[1] Baumslag G., Neumann B. H., Neumann H., Neumann P. M. On varieties generated by finitely generatedgroup, Math. Z. 86 (1964) 93–122.

[2] Higman G. Some remarks on varieties of groups, Q. J. Math. Oxford (2) 10 (1959) 165–178.[3] Mikaelian V. H. Metabelian varieties of groups and wreath products of abelian groups, Journal of Algebra

01/2007; 313(2), 455-485.

[4] Mikaelian V. H. Varieties Generated by Wreath Products of Abelian Groups, J. Math. Sci. (Springer),195 (2013), no. 4, 523–528.

[5] Neumann H. Varieties of Groups, Springer-Verlag, Berlin, 1968.

Yerevan State University, Yerevan


24


II. Секция «Алгебро-логические методыв информационных технологиях»

Мальцевские чтения 2014 Алгебро-логические методы

Ансамбль алгоритмов кластеризации: коллективы логических правил и

индексы качества группировки

В. Б. Бериков

Пусть требуется разбить множество объектов, информация о которых имеет формутаблицы ”объект-свойство”, на некоторое число групп в соответствии с некоторымкритерием однородности. Задачи такого рода возникают, например, в биоинформа-тике, анализе изображений или обработке медицинских данных. Часто переменные,описывающие объекты, являются разнотипными: вещественными, порядковыми, бу-левыми или измеренными в шкале наименований. В работе [1] был предложен ал-горитм, основанный на коллективе логических правил (таксономических решающихдеревьях). Коллективный (ансамблевый) подход позволяет снижать зависимость ре-зультатов группировки от выбора параметров алгоритма, получать более устойчивыерешения в условиях зашумленных данных, при наличии в них пропусков. Логическоеправило классификации представляет собой утверждение вида ”Если Xj1(a) ∈ Ej1 И ...И Xjm(a) ∈ Ejm , То объект a относится к k-му кластеру”, где Xj(a) означает значениепеременной Xj для объекта a.

В докладе предлагается модифицированный метод построения ансамбля коллек-тивных решений с учетом весов алгоритмов [2], при вычислении которых дополни-тельно учитываются индексы качества группировки. Доказывается, что при выпол-нении определенных условий качество коллективного решения улучшается с ростомчисла элементов ансамбля и увеличением ожидаемого значения индекса качества.


[1] Бериков В.Б. Построение ансамбля деревьев решений в кластерном анализе // Вычислительные

технологии. 2010. Т. 15. 1. - С. 40-52.

[2] Berikov V. Weighted ensemble of algorithms for complex data clustering // Pattern Recognition Letters.2014. Vol. 38. P. 99-106.

Институт математики им. С.Л.Соболева СО РАН, Новосибирск


26



Предметно-ориентированные языки с заданной формальной семантикой наоснове лямбда-исчисления с зависимыми типами

В. А. Васенин, М. А. Кривчиков

Рассматривается подход к формальной верификации, при котором верифицируе-мый программный комплекс описывается с помощью набора предметно-ориентирован-ных языков, имеющих при этом заданную формальную семантику. Использование та-ких ограниченных высокоуровневых языков, адекватно отражающих специфику пред-метной области, позволяет применять при формальной верификации, в том числе,процедуры частичного разрешения утверждений для вывода типов и автоматизациидоказательств.

В качестве базовой формальной модели используется Исчисление Конструкций [1]— разновидность типизированного λ-исчисления с поддержкой полиморфизма, кон-структоров типов и зависимых типов. В рамках исследования, результаты которогопредставлены в докладе, была реализована разновидность Исчисления Конструкцийс поддержкой аксиомы унивалентности [2] с помощью предложенного авторами на-бора дополнительных правил редукции типов идентичности (на настоящий момент неполного).

Предметно-ориентированные языки строятся с использованием типизированныхLISP-подобных синтаксических макросов с поддержкой типизированных процедур ча-стичного разрешения утверждений. Такая комбинация средств метапрограммирова-ния в языках на базе Исчисления Конструкций ранее не была описана в литературе.Формальная семантика программ и языков программирования описывается с приме-нением известного подхода на основе монад [3].

На основе предлагаемого средства были построены следующие новые модели: мо-дель статической семантики промежуточного кода стандарта ECMA-335 [4] и модельдинамического параллельного исполнения программ [5]. Подход был применён напрактике для описания формальной семантики фрагмента программного комплексаматематического моделирования теплогидравлических процессов в АЭС на основе ре-акторов серии ВВЭР.


[1] Coquand T., Huet G. The calculus of constructions // Inf. Comput. 1988. Vol. 76, 2-3. P. 95–120.[2] Univalent Foundations Program T. Homotopy Type Theory: Univalent Foundations of Mathematics.

Institute for Advanced Study: http://homotopytypetheory.org/book, 2013.

[3] Moggi E. Notions of computation and monads // Inf. Comput. 1991. Vol. 93, 1. P. 55–92.[4] Васенин В.А., Кривчиков М.А. Статическая семантика стандарта ECMA-335 // Программирова-

ние. 2012. 4. с. 3–16.[5] Васенин В.А., Кривчиков М.А. Модель динамического параллельного исполнения программ //

Программирование. 2013. 1. с. 45–59.

Московский Государственный Университет имени М.В. Ломоносова, МоскваE-mail: [email protected]

27



Построение транзитивных полиномов над кольцом Zp2

А. О. Ковалевская

Рассматриваются рекуррентные последовательности вида

a mod pn, f(a) mod pn, f(f(a)) mod pn, . . . ,

где f(x) ∈ Z[x], a ∈ Z, n ∈ N, p — простое число. В связи с их использованием вкриптографии возникает проблема построения транзитивных полиномов f(x) — длякоторых указанная последовательность имеет период pn.

Транзитивные полиномиальные преобразования колец вычетов рассматриваютсяв [1]. В соответствии с этой работой, если p /∈ 2, 3, то полином, транзитивный помодулю p2, транзитивен по модулю pn для любого натурального n. Транзитивныеполиномы по модулю pn могут быть получены из транзитивных по модулю p2 путёмдобавления тождества. Таким образом, важным является случай n = 2.

Разработан метод построения полиномов для представления всех транзитивныхполиномиальных преобразований по модулю p2, в предположении, что заранее из-вестны полиномы, задающие все транзитивные функции по модулю p. Для полиноми-альных функций над Zp2 используется следующее представление:

f(x) = f0(x) + pf1(x) + (xp − x)(f′

0(x)− f ′

(x)),

где f(x) ”— полином над кольцом Zp2 f0(x), f1(x) ”— полиномы над кольцом Zp

степени меньшей p, f′

(x) и f′

0(x) ”— производные для f(x) и f0(x) с коэффициентами,приведёнными по модулю p.

Для того чтобы с помощью этого метода получить все транзитивные по модулю p2

полиномы, потребуется перебор (p− 2)!(p− 1)ppp полиномов f(x), из которых в соот-ветствии с [1] транзитивными являются (p − 2)!(p − 1)p+1pp−1. Таким образом, долянетранзитивных составляет 1/p. При больших значениях p эта доля очень мала, чтообеспечивает хорошую работу метода. При реализации алгоритма в системе ком-пьютерной алгебры Sage все 15360000 транзитивных по модулю 25 полиномов былипостроены за 32 мин. Эксперименты проводились на компьютере с процессором IntelCore i7-3770 и оперативной памятью 15,4 Гб.

Если рассматривать задачу нахождения не всех, а какого-либо одного или несколь-ких транзитивных полиномов, то возможно улучшение этого метода, при которомперебор не требуется.


[1] Ларин М.В., Транзитивные полиномиальные преобразования колец вычетов. Дискретная матема-тика, 2002. 14(2). С. 20–32.

Кафедра защиты информации и криптографии, Национальный исследовательский Томский государ-

ственный университет, г. ТомскE-mail: [email protected]

28



О способе индукции действия на множестве булевых функций,эквивалентной индукции действия группы Джевонса

А. М. Кукарцев

Постановка задачи. Группа Джевонса индуцирует действие на множестве бу-левых функций (далее БФ) и разбивает его на орбиты [1]. Группа имеет структуруEn ⋋ Sn, где En и Sn – группы инвертирования переменных БФ (группа сдвигов) иперестановок переменных БФ (симметрическая группа) соответственно [1]. В при-кладных задачах нужно работать не с целой группой, а с конкретными её элементами.Вычисление каждого действия элемента группы Джевонса на БФ представляет со-бой технически трудную задачу. Во-первых, автоморфизм полупрямого произведенияможно задать как минимум пятью способами (и как следствие минимум пять вариан-тов результата). Во-вторых, это внешнее полупрямое произведение. Образующие егогруппы не единообразны, поэтому сложны правила вывода и итоговые соотношения.В-третьих, в подобных задачах БФ, как правило, задана в виде набора ее значенийво всех точках аргумента. Для формирования результата действия элемента группыДжевонса на БФ, нужно вычислить все 2n значения аргументов. В прикладных зада-чах это приводит к перерасходу ресурсов ЭВМ.

Предлагаемое решение. Обозначим множество группы En как En. Если за-дать отношение строгого порядка на множестве значений аргумента БФ, то сама БФбиективно отобразится в элемент из E2n

. На множестве E2n

можно индуцироватьдействие группой S2n , эквивалентное индукции действия Dn на En. Сама группа Дже-вонса (и её множители) изоморфно вкладывается в S2n . Изоморфные образы групп En

и Sn единообразны, поэтому автоморфизм уже внутреннего полупрямого произведенияопределяется однозначно. В результате можно перейти от действия группы Джевонсана множестве БФ к действию ее вложения в S2n на множестве биекций БФ в E2n

.Такой переход позволит единожды рассчитывать значения аргумента при вычислениидействия эквивалентного элемента группы Джевонса на БФ и снизить расход ресурсовЭВМ в прикладных задачах.


[1] Логачев О. А., Сальников А. А., Ященко В. В. Булевы функции в теории кодирования и крипто-

логии, МЦМНО, Москва, 2004.

Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М.Ф. Решетнева, Крас-

ноярск


29



Анализ поведения пользователя социальной сети на основе прецедентного

подхода

Е. А. Леуцкий

Рассматривается подход, основанный на выделении фактических данных, которыеимели место быть в нашем мире [1, 2, 3, 4]. Данный подход носит название преце-дентного подхода. Суть его заключается в том, что при наблюдении некоторого фактав рассматриваемой предметной области, этот факт заносится в базу знаний, то естьфиксируется, а затем на основе накопленной информации происходит вывод новыхфактов.

На основе методологии прецедентного подхода была решена задача, связанная санализом поведения пользователя в социальной сети. При рассмотрении поведенияпользователя и с точки зрения активного, и с точки зрения пассивного участникаситуации, можно выделить определенные закономерности. Эти закономерности могутносить характер и как повседневного явления в жизни пользователя или пользователей,так и периодический. Таким образом, имея информацию о свойственных пользователюили пользователям действиях, делается попытка установить факт некоторого действияв будущем.


[1] Пальчунов Д. Е. Решение задач поиска информации на основе онтологий // Бизнес-информатика.

2008. 1. С. 3-13.[2] Пальчунов Д. Е. Теоретико-модельная формализация онтологии и рефлексии // Философия науки.

2006. 4. С. 86-114.

[3] Пальчунов Д. Е., Яхъяева Г. Э., Хамутская А. А. Программная система управления информаци-онными рисками RiskPanel // Программная инженерия. 2011. 7. С. 29-36

[4] Леуцкий Е. А. Методы управления рисками при обеспечении информационной безопасности //Альманах современной науки и образования. 2013. 11. С. 96-98.

Новосибирский государственный университет, Новосибирск


30



Литерные деревья и поиск опровержения резолюционного типа

А. В. Лялецкий

При помощи так называемого исчисления литерных деревьев проводится изучениеи модификация резолюционных методов поиска опровержения в классической логикепервого порядка, таких, как SLD-резолюция, “резолюция + факторизация” и элимина-ция моделей Лавленда, с распространением полученных результатов на случай клас-сической логики с равенством.

Литерное дерево представляет собой дерево, в узлах которого находятся литеры,т.е. атомарные формулы или их отрицания. Строится исчисление литерных деревьев,базирующиеся на древовидной модификации бинарного правила резолюции и специаль-ном, так называемом правиле контрарного закрытия ветви. Это исчисление являетсякорректным и полным для классической логики без равенства. Для случая логикис равенством формулируются аналоги правила парамодуляции, ведущие к полномупарамодуляционному расширению исчисления литерных деревьев при использованииаксиом функциональной рефлексивности.

Устанавливается связь исчисления литерных деревьев с SLD-резолюцией, явля-ющейся полным методом для хорновых дизъюнктов и используемой в логическомпрограммировании [1],что ведет к построению полного в общем случае расширенияSLD-резолюции для классической логики как без равенства, так и с равенством прииспользовании аксиом функциональной рефлексивности.

Сравнение этого расширения с системой поиска опровержения “резолюция + фак-торизация” [2] позволяет заменить, с сохранением полноты, обычное правило фактори-зации его разновидностью, налагающей достаточно жесткие ограничения на литеры,которые могут быть “склеены” в одну литеру при применении подстановки. Такаямодификация является корректной и полной для логики с равенством при встраиваниив нее определенных парамодуляционных правил.

Специальный обход литерных деревьев позволяет связать получаемую при этомстратегию исчисления литерных деревьев с методом элиминации моделей [3], что даетподход к встраиванию в метод элиминации моделей парамодуляционных правил спе-циального вида с сохранением полноты для логики с равенством при использованииаксиом функциональной рефлексивности.


[1] Lloyd J. V. Foundations of logic programming. Springer, 1987. 476 p.[2] Чень Ч., Ли Р. Математическая логика и автоматическое доказательство теорем. М.: Наука,

1983. 360 с.

[3] Loveland D. W. Mechanical theorem-proving by model elimination // Journal of the ACM. 1968, 15.P. 236–251.

Киевский национальный университет имени Тараса Шевченко, КиевE-mail: [email protected]

31



Сложность задач комбинаторной оптимизации в терминах решетки

граней ассоциированных многогранников

А. Н. Максименко

Пусть X — конечное множество в Rd. Задачей X , следуя [1], будем называтьзадачу оптимизации линейной функции f(x) = cTx на X , где c ∈ Rd — вектор вход-ных данных задачи. Во многих задачах комбинаторной оптимизации (коммивояжер,рюкзак, задача о паросочетаниях и т. п.) множество допустимых решений X предста-вляют в виде подмножества вершин единичного куба. Интерес к такой постановкезадачи обусловлен тем, что она тесно связана с задачей линейного программированияmaxx∈P

f(x), где P = convX .

Вполне естественно попытаться оценить вычислительную сложность задачи Xв терминах каких”=нибудь комбинаторных характеристик многогранника P . В час-тности, очевидно, что размерность dimP является нижней оценкой сложности за-дачи X , тогда как числа вершин и фасет многогранника P могут служить верхнимиоценками. Более интересными примерами являются диаметр графа многогранника P(нижняя оценка числа шагов симплекс метода), кликовое число графа многогран-ника [1], а также число прямоугольного покрытия (rectangle covering number) матрицыинциденций вершин”=гиперграней многогранника. Последняя (из упомянутых) харак-теристика была введена М. Яннакакисом [4], а интерес к ней в последнее время возросблагодаря работам [2] и [3].

Теорема. Предположим, что сложность некоторого алгоритма решения задачи Xопределяется исключительно в терминах решетки граней многогранника P = convX .Тогда существует полиномиально (по dimP и по log |X |) разрешимая задача Y та-кая, что для её решения данному алгоритму требуется экспоненциальное (по dimP иlog |X |) число операций.

Отметим, что этот результат безусловен (в частности, не зависит от решенияпроблемы P versus NP).

Работа выполнена при поддержке проекта 477 в рамках базовой части государ-ственного задания на НИР ЯрГУ.


[1] Бондаренко В.А. Полиэдральные графы и сложность в комбинаторной оптимизации. Ярославль:ЯрГУ, 1995.

[2] Fiorini S., Kaibel V., Pashkovich K., Theis D.O. Combinatorial Bounds on Nonnegative Rank and

Extended Formulations // Discrete Math. 2013. V. 313, No 1. P. 67–83.[3] Rothvoss T. The matching polytope has exponential extension complexity // STOC. 2014. P. 263–272.

[4] Yannakakis M. Expressing combinatorial optimization problems by linear programs // J. Comput.

System Sci. 1991. V. 43, No 3. P. 441–466.

ЯрГУ им. П.Г. Демидова, Ярославль


32



О приближенных решениях продукционно-логического уравнения вLP-структуре нулевого порядка

С. Д. Махортов, И. Ю. Иванов

Алгебраический подход предоставляет мощные и универсальные средства для по-строения и исследования логических систем. Основы алгебраической логики былизаложены в работах А. Линденбаума, А. Тарского. Согласно их теории, множествоформул пропозиционального языка рассматривается как алгебраическая система, опе-рации которой соответствуют логическим связкам этого языка. Однако существуетряд задач, для решения которых общая алгебраическая логика оказывается недоста-точно эффективной в силу своей универсальности. К ним относятся задачи, возни-кающие в логических системах продукционного типа, широко распространённых винформатике. Такие системы основываются на правилах, или продукциях, вида «Aпорождает B», где A и B - элементы некоторой иерархии. Семантика продукцийобычно имеет импликативный характер: «если справедливо A, то справедливо B», новозможны и другие интерпретации.

Известно, что естественной и эффективной формой представления знаний служатматематические решётки. В монографии С.Д. Махортова было введено понятие LP-структуры — алгебраической системы, представляющей собой решётку, на которойзадано дополнительное отношение, соответствующее множеству продукций. Такжебыл введён и исследован класс продукционно-логических уравнений в LP-структуре,позволяющих оптимизировать процесс обратного вывода в системах, логика которыхосновывается лишь на двух логических связках: импликации и конъюнкции.

Позднее в работах И.Ю. Иванова был предложен и исследован расширенный класспродукционно-логических уравнений в LP-структуре нулевого порядка, семантика ко-торых основывается на полном наборе логических связок пропозиционального языка.Эти уравнения могут применяться для оптимизации обратного логического выводав интеллектуальных продукционных системах, правила которых содержат не толькоконъюнкции, но также дизъюнкции и отрицания.

В настоящем докладе рассматривается метод поиска приближённых решений про-дукционно-логического уравнения в конечной LP-структуре нулевого порядка. Вво-дится понятие канонического отношения, позволяющее представить вторичное отно-шение на булевой решётке в виде совокупности ориентированных графов. Доказыва-ется, что задача нахождения приближённого решения произвольного уравнения экви-валентна нахождению совокупности приближённых решений множества простейшихуравнений, правые части которых представлены коатомами решётки. Поиск решенияуравнения с правой частью в виде коатома в слое канонического отношения сводитсяк известным алгоритмам обхода вершин ориентированного графа.

Воронежский госуниверситет, ВоронежE-mail: [email protected], [email protected]

33

mailto:[email protected], [email protected]


Распознавание рекуррентных последовательностей над классом

консервативных функций

О. Е. Сергеева

В статье [1] для построения рекуррентных последовательностей было предложеноиспользовать консервативные функции над кольцом, так как они имеют эффективнуюпрограммную и аппаратную реализацию. В связи с этим в работе рассматриваютсяфункции, сохраняющие систему эквивалентностей, частным случаем которых явля-ются консервативные.

Задача распознавания последовательностей состоит в том, чтобы по заданной по-следовательности сказать, возможно ли ее построить рекуррентно при помощи функ-ции из определенного класса.

Пусть R — конечное k-элементное множество; PR — класс всех функций видаf : Rn → R при n = 1, 2, 3, · · · . Последовательность x1x2...xN ∈ RN называетсярекуррентной над классом K ⊆ PR, если для некоторого n существует функция f отn аргументов в классе K такая, что f (xi, ..., xn+i−1) = xn+i при 1 6 i 6 N − n.

Обозначим через S (K,N) множество рекуррентных последовательностей над клас-сом K. Рассматривается задача распознавания свойства ¡ ¡ x ∈ S (K,N)¿ ¿ дляx ∈ RN и определяется верхняя оценка сложности алгоритма, решающего данную за-дачу, как функция растущего N . Назовём S (K,N)-схемой схему из функциональныхэлементов в произвольном фиксированном базисе, которая распознает названное вышесвойство. Предполагается, что буквы алфавита R кодируются двоичными наборамификсированной длины c и последовательности подаются на вход схемы в закодирован-ном виде — наборами длины Nc.

Пусть ε = ε1, ..., εm — система эквивалентностей на множестве R такая, чтоε1 ⊇ ε2 ⊇ ... ⊇ εm. Важной является следующая

Лемма 1. Частичная функция f : A → R, где A ⊆ Rn, сохраняющая все эквива-лентности из ε, может быть продолжена до функции F : Rn → R также сохраняющейвсе эквивалентности из ε.

Пусть R — кольцо классов вычетов по модулю pm и εi —отношение сравнимостипо модулю pi. Обозначим через K(n) класс функций от n аргументов, сохраняющихэквивалентности из ε. Имеет место теорема:

Теорема 1. Для любого n существует последовательность S(K(n), N

)-схем слож-

ности O(N log2N

).


[1] Анашин В. С. Равномерно распределенные последовательности целых p-адических чисел // Мате-

матические заметки. 1994. Т. 55. 2. C. 3 – 46.

Томский государственный университет, Томск


34



Определение речевых действий «Побуждение» при помощи

лингвистических шаблонов

П. А. Степанов

В последнее время особую актуальность получили задачи, связанные с анализомсоциальных сетей. Социальные сети, после их широкого и повсеместного распростра-нения, представляют собой уникальный массив данных о пользователях. Информация,содержащаяся в них, безусловно интересна как предмет для изучения и анализа. Зна-чительный объем информации, находящейся в социальных сетях, представляют собойтексты различного типа: личные данные, диалоги, заметки, комментарии и т. д.Кроме того, именно текстовая информация является наиболее простой для обработки,в сравнении с другими данными социальных сетей, а именно изображениями и видео-записями. Именно поэтому особую актуальность приобрели задачи, находящиеся настыке анализа социальных сетей и анализа текстов естественного языка.

Задачей, в рамках которой была проведена данная работа, был поиск диалоговв социальных сетях, в которых собеседники договариваются о чем-то, строят планы.Была выдвинута гипотеза, согласно которой подобные диалоги будут в большом коли-честве содержать речевые действия «Побуждение» [1], [2], [3], имеющие своей цельюизменить намерения и планы собеседника. Именно на поиске в тексте таких речевыхдействий было решено сосредоточиться в данной работе.

Для осуществления поиска речевых действий был применён язык описания лин-гвистических шаблонов [4]. Был создан набор лингвистических шаблонов, с помощьюкоторых можно осуществлять поиск речевых действий «Побуждение». Точность со-ставила 81%, полнота 88%. Далее экспериментально был определён порог речевыхдействий в диалоге планирования — 15%.


[1] Пальчунов Д.Е. О логическом анализе естественного языка, Теория вычислений и языки специ-

фикаций, Новосибирск, 1995 - Вып. 152: Вычислительные системы, стр. 61-75.[2] Пальчунов Д.Е. Алгебраическое описание смысла высказываний естественного языка, Модели

когнитивных процессов. Новосибирск, 1997 - Вып. 158: Вычислительные системы, стр. 127-148.[3] Pal?chunov D.E. Algebraische Beschreibung der Bedeutung von Aeusserungen der natuerlichen

Sprache. In: Zelger, Josef/Maier, Martin (1999, Hrsg.): GABEK. Verarbeitung und Darstellung von

Wissen. Innsbruck-Wien: STUDIENVerlag, 310-326.[4] Степанов П.А. Язык описания лингвистических шаблонов // Материалы Всероссийской конфе-

ренции с международным участием ”Знания-Онтологии-Теории”. - 2013. - Том 2. - С. 136-145



35



Математическое моделирование ряда научных процессов в различных

областях знаний

Д. А. Тарновский

Предлагаемая работа относится к области математической логики, математиче-ского моделирования, а также тесным образом связана с вопросами философии мате-матики.

Структурно работа состоит из двух частей. В первой части нами рассматриваетсякатегория пространства, вводится система координат, предлагается взгляд на вопросо соотношение нуля и бесконечности.

Во второй части работы, на основе вводимой модели пространства, рассмотреныпроцессы в области электродинамики, физиологии, в частности описана сердечносо-судистая система человека в контексте с элементами предложенного пространства.Предпринята попытка смоделировать процесс мышления, рассмотрены вопросы, от-носящиеся к физиологии головного мозга человека.

При написании данной работы преследовалась основная цель, это выявление иописание общих закономерностей в различных областях знаний. Это в свою очередь,позволяет рассматривать научные вопросы на качественно новом уровне, синтезиро-вать выявленные принципы в одно целое. Сделать это предлагается на основе моделирассматриваемого нами пространства S.

Работа имеет следующую структуру:Часть 1. Параметры, структура и координаты пространства S.1.1. Определение пространства S.1.2. Структура пространства S.1.3. Система координат в пространстве S.Часть 2. Моделирование в пространстве S.2.1. Векторные и числовые параметры.2.2. Моделирование процессов электродинамики;2.3. Система кровообращения человека в контексте с моделью S.2.4. Моделирование процесса мышления человека.

Чувашский государственный университет им. И.Н. Ульянова, ЧебоксарыE-mail: [email protected]

36



О теоретико-модельной классификации вопросных шаблоноввероятностной вопросно-ответной системы

Г. Э. Яхъяева, А. А. Карманова

Вопросно-ответная система — информационная система, способная принимать во-просы и отвечать на них на естественном языке. Другими словами, это система сестественно-языковым интерфейсом. В самом определении скрывается противоречие.С одной стороны, для того, чтобы дать корректный и релевантный ответ, системенеобходимо, чтобы вопрос однозначно переводился в машинный запрос к базе знаний.С другой стороны, формальный язык запросов не интуитивен и не удобен в использо-вании для человека. Одной из задач разработки вопросно-ответных систем являетсянахождение компромисса.

В работе мы описываем вопросно-ответную систему, разработанную в рамках про-граммного комплекса «RiskPanel» [1] для предметной области информационной без-опасности. Данная система основана на прецедентном подходе к моделированию пред-метных областей, база знаний при данном подходе моделироваться в виде обобщеннойнечеткой модели [2].

В рамках данной работы была разработана классификация вопросных шаблонов сучетом вероятностных характеристик базы знаний. По отношению к семантике базызнаний все вопросы можно разделить на аналитические и эмпирические вопросы. Потипу запрашиваемой информации все вопросы можно разделить на ли-вопросы, какой-вопросы и вероятностные вопросы. Так же вероятностные вопросы можно разделитьна условные и безусловные вопросы.

Был разработан конструктор шаблонов вопросных типов, позволяющий пользо-вателю формулировать вопросы, переводимые в однозначное формальное машинноепредставление для последующего извлечения ответов из базы знаний. Для каждого изтипов реализован интерфейс конструктора. Разработанный интерфейс конструкторашаблонов позволяет пользователю формулировать вопросы на языке, имитирующеместественный, и получать ответы с учетом вероятностных характеристик базы знаний.С точки зрения системы, запросы формальны и однозначны, что позволяет извлекатьиз базы релевантные ответы.


[1] Пальчунов Д.Е., Яхъяева Г.Э., Хамутская А.А. Программная система управления информацион-

ными рисками RiskPanel. Программная инженерия. 2011. 7. С. 29-36.

[2] Пальчунов Д.Е., Яхъяева Г.Э. Нечеткие алгебраические системы. Вестник НГУ. Серия: Матема-тика, механика, информатика. 2010. Т.10, вып. 3. С. 75-92.

Новосибирский государственный университет, НовосибирскE-mail: [email protected], [email protected]

37

mailto:[email protected],[email protected]


Алгоритмы вычисления интервальных значений истинности суждений в

предметной области компьютерной безопасности

Г. Э. Яхъяева, О. В. Ясинская

В классической, Аристотелевской силлогистике логическая структура суждениясостоит из четырех элементов: субъекта, предиката, связки и кванторного слова. Еслисоединить вместе все четыре элемента, то получится следующая формула суждения:

Все (некоторые) S есть (не есть)H,

где S — субъект суждения и H — предикат суждения.Традиционно все суждения делятся на истинные и ложные на заданной модели

предметной области. С теоретико-модельной точки зрения это подразумевает, чтосуждения рассматриваются на классических моделях предметных областей. В нашемподходе вместо классических моделей рассматриваются обобщенные нечеткие модели[1], [2]. Значения истинности на таких моделях являются интервалами рациональныхчисел из отрезка [0,1]. Данные интервалы отражают объективную вероятность собы-тий в рассматриваемой предметной области. В связи с этим мы будем рассматриватьсуждение в более широком смысле: мы будем рассматривать пятый компонент сужде-ния — его вероятность (будем обозначать буквой P ). Таким образом, под формулойсуждения будем понимать следующее выражение:

Все (некоторые) S есть (не есть)H с вероятностью P .

Используя методологию прецедентного подхода в НГУ была разработана про-граммная система RiskPanel. В разработанной системе сигнатура предметной областикомпьютерной безопасности описывается одним эмпирическим понятием H: «имеломесто в данной атаке» и множеством аналитических понятий, которое на сегодняш-ний день насчитывает более 50 понятий и может пополняться по мере появления новыхвидов компьютерных атак. Ядром системы RiskPanel является база прецедентов ком-пьютерных атак, которая моделируется в виде нечеткой обобщенной модели.

В рамках данной работы были разработаны алгоритмы подсчета интервальныхзначений истинности на нечеткой обобщенной модели для различных типов атомар-ных суждений, а так же алгоритм подсчета интервального значения истинности слож-ных суждений, являющихся булевой комбинацией атомарных суждений. Данные алго-ритмы используют методологию семантики открытого мира, широко применяемую всистемах логики описаний (Description Logic).


[1] Palchunov D.E., Yakhyaeva G.E. Interval fuzzy algebraic systems. Proceedings of the Asian Logic

Conference 2005. World Scientific Publishers. 2006, pp. 23-37.[2] Пальчунов Д.Е., Яхъяева Г.Э., Хамутская А.А. Программная система управления информацион-

ными рисками RiskPanel. Программная инженерия. 2011. 7. С. 29-36.

Новосибирский государственный университет, НовосибирскE-mail: [email protected], [email protected]

38



Alias calculus for a simple imperative language with decidable pointerarithmetic

N. V. Shilov

In programming th aliasing problem is to predict, detect and/or trace pointers to thesame addresses in dynamic memory. Importance of the problem is due to mistakes anderrors that may happen in program run-time due to improper alias handling. Below are twosimple examples of errors of this type:

• x = malloc(sizeof(int)); x = malloc(sizeof(int));

• y = x; free x; free y;

The first example shows a loss of a link to a piece of memory allocated first (which can resultin run out of memory, if iterated); the second example shows an attempt to free a deletedpiece of memory (which can result in an abnormal program termination immediately).

Alias calculus was proposed by Bertrand Meyer in 2011 for a toy programming languagewith single data type for abstract pointers. The original calculus is set-based formalism in-sensitive to control flow; it is a set of syntax-driven rules to compute an upper approximationaft(S,P) for aliasing after execution of a program P for a given initial aliasing S; this calculusguarantees partial correctness of the assertion SPaft(S, P ).

The primary purpose of the present research is to present a variant of alias calculusfor more realistic (but still a toy) programming language MoRe with static and dynamicmemory, with types for regular data as well as for decidable pointer arithmetic. Context-freesyntax of the language under study is given below:

P ::= skip | varV = C | V := T |V := cons(T∗) | [V ] := T | V := [V ] | dispose(V ) |

(P ;P )|(ifF thenPelseP )|(whileFdoP )

where V is metavariable for program variables, C is metavariable for integer constants, andT is metavariable for arithmetic expressions.

The variant is insensitive to control flow (as the original calculus by B. Meyer), but (incontrast to the original calculus) this calculus is equation-based. It is safe in the followingsense.

Theorem. Let D be any alias distribution, α be any MoRe-program and s be anystate such that s |= D. If s′ is a state such that s〈α〉s′ then s′ |= aft(D,α). If α started ins has memory leak invalid and/or memory access then memory-leak and/or invalid-accesswarning(s) will be casted in aft(D,α).

Acknowledgement: This is a join research with Aizhan Satekbayeva and AleksandrP. Vorontsov. It has been supported by Nazarbayev University Seed Grant KF-14/16тАЬResearch of Formal Models for analysis of programs with Dynamic MemoryтАЭ.

Nazarbayev University, Astana (Kazakhstan)


39


III. Секция «Теория вычислимости»

Мальцевские чтения 2014 Теория вычислимости

Вычислимые линейные порядки и естественные отношения на них

Р. И. Бикмухаметов

Работа посвящена изучению алгоритмической сложности естественных отношенийна вычислимых линейных порядках, а именно, отношений соседства S, отношенияблока F , отношения плотности dn, отношения предельности слева P− и отношенияпредельности справа P+, определения которых можно найти, например, в работе [1].

Дж. Реммелом и С. Гончаровым и, позднее, Л. Фейнером [2] было установлено,что существует вычислимый линейный порядок L такой, что в любой его вычислимойкопии отношение соседства SL невычислимо. С другой стороны, М. Мозес [3] показал,что вычислимость отношения блока FA в некоторой вычислимой копии A произволь-ного порядка L влечет существование такого его вычислимого представления B, чтоотношение соседства SB вычислимо.

В работе изучены возможные варианты алгоритмической зависимости естествен-ных отношений на классе вычислимых представлений вычислимого линейного по-рядка. В частности, доказано, что нет других зависимостей, кроме той, которуюустановил М. Мозес.

Другим направлением исследования является вопрос о конструктивизируемостиначального сегмента вычислимого линейного порядка с добавленными отношениямиплотности dn, предельности справа P+ и предельности слева P−. М. Зубков [4] иссле-довал отношения соседства S и блока F на начальных сегментах вычислимых линей-ных порядков, что позволило ему получить более простое доказательство результатаКоулза-Доуни-Хусаинова [5] о существование вычислимого линейного порядка с некон-структивизируемым Π0

2-начальным сегментом. Для этого им были построены вычи-слимые структуры 〈L, <L, SL〉 и 〈L, <L, FL〉, содержащие неконструктивизируемыеΠ0

1-начальные сегменты.В работе рассмотрены случаи для оставшихся естественных отношений на ли-

нейных порядках, а именно, отношений плотности dn, предельности справа P+ ипредельности слева P−. Доказано существование вычислимых структур 〈L, <L, dnL〉,〈L, <L, P

+L 〉 и 〈L, <L, P

−L 〉, содержащих неконструктивизируемые Π0

1-начальные сег-менты.


[1] Бикмухаметов Р. И. Алгоритмическая независимость естественных отношений на вычислимыхлинейных порядках, Учен. зап. Казан. ун-та. Сер. Физ-матем. науки 155 (3), 80–90 (2013).

[2] Downey R. G. Computability theory and linear orderings, Handbook of recursive mathematics 2, 823–

976 (1998).[3] Moses M. Recursive Properties of Isomophism Types: Ph.D. Thesis. Monash Univ., Clayton, Victoria,

Australia, (1983).[4] Зубков М. В. О начальных сегментах вычислимых линейных порядков с дополнительными вы-

числимыми предикатами, Алгебра и логика 48 (5), 564–579 (2009).

[5] Coles R. J., Downey R. G., Khoussainov B. On Initial Segments of Computable Linear Orders, Order14 (2), 107–124 (1997).

Казанский университет, КазаньE-mail: [email protected]

41



О ∆02 и ∆0

3-вычислимости классов проективных плоскостей

А. К. Войтов

Пусть L — вычислимый язык. Вычислимый индекс вычислимой модели A языка L —это число e такое, что характеристическая функция χD(A) атомной диаграммы моделиA совпадает с ϕe.

Пусть α — ненулевой вычислимый ординал. Последовательность Ann∈ω вы-числимых моделей языка L будем называть ∆0

n-вычислимой, если существует ∆0n-

вычислимая функция g такая, что для каждого n g(n) является вычислимым индексоммодели An.

В [1] и [2] доказано, что у классов дезарговых, папповых, свободно порожденных,произвольных проективных плоскостей не существует ∆0

1-вычислимых нумераций сточностью до вычислимого изоморфизма. Поэтому естественно возникает вопрос осуществовании ∆0

n-вычислимых нумерации при n > 1.Получены следующие результаты:Теорема 1. Индексное множество I(K) = n |Mn ∈ K, где K — класс вычисли-

мых папповых, дезарговых или всех проективных плоскостей, являетсяΠ0

2-множеством и для K существует ∆03-вычислимая нумерация.

Теорема 2. Не существует ∆02-вычислимой нумерации класса K всех вычислимых

папповых(дезарговых) плоскостей с точностью до вычислимого изоморфизма.


[1] Когабаев Н. Т. Класс проективных плоскостей невычислим // Алгебра и логика. 2008. Т. 47, 4.

С. 428–455.

[2] Когабаев Н. Т. Невычислимость классов папповых и дезарговых проективных плоскостей // Сиб.матем. журн. 2013. Т. 54, 2. С. 325–335.

Новосибирский государственный университет, НовосибирскE-mail: [email protected]

42



Теория проективных плоскостей полна относительно спектров степеней

и эффективных размерностей

Н. Т. Когабаев

Изучение вопросов реализуемости различных видов спектров степеней и эффек-тивных размерностей в счетных структурах является одним из основных направленийисследований в теории вычислимых моделей. Подобные вопросы рассматриваются какв общем случае, так и в конкретных классах алгебраических систем. В работе [1] былодоказано, что теория ориентированных графов полна относительно спектров степенейи эффективных размерностей, т.е. спектры степеней и эффективные размерности, ко-торые удается реализовать в каких-либо структурах, можно также реализовать и вклассе ориентированных графов.

В [1] было также установлено, что полными относительно спектров степеней не-тривиальных структур, d-вычислимых размерностей, вычислимых размерностей кон-стантных расширений и спектров степеней отношений являются теории следующихклассов: симметричные иррефлексивные графы, частичные порядки, решетки, кольца(с делителями нуля), области целостности произвольной характеристики, коммутатив-ные полугруппы, 2-ступенно нильпотентные группы. В недавней работе [2] доказано,что теория полей полна относительно спектров степеней нетривиальных структур, d-вычислимых размерностей, спектров степеней отношений, спектров категоричности испектров автоморфизмов.

Основным результатом настоящей работы является следующаяТеорема. Теория проективных плоскостей полна относительно спектров степеней

нетривиальных структур, d-вычислимых размерностей, спектров степеней отношений,спектров категоричности и спектров автоморфизмов.

Одним из следствий данного результата является существование проективныхплоскостей вычислимой размерности n, где 1 < n < ω.


[1] Hirschfeldt D. R., Khoussainov B., Shore R. A., Slinko A. M. Degree spectra and computable dimensions

in algebraic structures, Ann. Pure Appl. Logic, 115, 1-3, 2002, 71–113.[2] Miller R., Park J., Poonen B., Schoutens H., Shlapentokh A. Coding graphs into fields, Logic Colloquium

2014 and LATD 2014, Abstract Booklet, p.80.

Институт математики им. С.Л. Соболева СО РАН, Новосибирск


43



О вычислимости нильпотентного произведения групп

И. В. Латкин

Хорошо известно, что при всяком n > 1 из существования ∆0n-вычислимых нуме-

раций у сомножителей G и H прямого G×H или свободного G∗H произведения группследует наличие такой же нумерации всего произведения. Причём в обоих случаяхнужная нумерация α × β или α ∗ β, соответственно, строится по ∆0

n-нумерациям α иβ сомножителей естественным образом, но, разумеется, в каждом случае по-своему.Кроме того, оба сомножителя имеют ∆0

n-вычислимые номерные подмножества приэтих естественных нумерациях. Напомним, что нильпотентное ступени k произведе-ние G∗kH групп G иH можно определить как фактор-группу свободного произведенияG ∗H по нормальной подгруппе Γk [G,H] ∩ γk+1(G ∗H) [1], где [G,H] — декартоваподгруппа свободного произведения, а γk+1L — (k+1)-й член нижнего центральногоряда группы L ((k+1)-й централ). По нумерации α∗β каноническим образом строитсянумерация α∗kβ нильпотентного произведения, как фактор-нумерация нумерации α∗βпо номерному множеству нормальной подгруппы Γk. Если α ∗ β — ∆0

n-вычислимаянумерация, то Γk — Σ0

n-вычислимая подгруппа, поэтому α ∗k β — Σ0n-вычислимая

нумерация в этом случае. В [2] доказано, что нильпотентное произведение конечнопорождённых групп с разрешимой проблемой равенства имеет разрешимую проблемуравенства,

Теорема 1. Пусть N — такая нормальная подгруппа в H, что H/N — бес-конечная циклическая группа. Тогда для того, чтобы нумерация α ∗k β была ∆0

n-вычислимой, необходимо, чтобы проблема вхождения во все централы группы G принумерации α была бы ∆0

n-сложной, т.е. α-номера элементов каждого централа были∆0

n-вычислимыми множествами.Теорема 2. Если H — бесконечная циклическая группа, то для ∆0

n-вычислимо-сти нумерации α ∗k β необходимо и достаточно, чтобы проблема вхождения во всецентралы группы G в нумерации α была бы ∆0

n-сложной.Теорема 3. Пусть H — свободная нильпотентная группа ступени d или свободная

группа, тогда для существования ∆0n-вычислимой нумерации нильпотентного произве-

дения G∗kH достаточно, чтобы имелась ∆0n-вычислимая нумерация α группы G такая,

при которой проблема вхождения во все централы группы была бы ∆0n-сложной.

Теорема 4. Существует ∆0n-вычислимая нильпотентная группа ступени два, у

которой нильпотентное произведение той же ступени с циклической группой не имеет

∆0n-вычислимой нумерации.Теорема 5. Существуют ∆0

n-вычислимые абелевы группы, у которых тензорноеи нильпотентное ступени два не имеют ∆0

n-вычислимых нумераций.


[1] Магнус В., Каррас А., Солитэр Д. Комбинаторная теория групп. М.: Наука, 1974.

[2] Фаермарк Д.С. Алгоритм для установления тождества слов в нильпотентном произведении групп,заданных конечным числом образующих и определяющих соотношений // ДАН СССР. 1961.

Т. 137. С. 291-294.

[3] Мальцев А. И. Алгебраические системы. - М.: Наука, 1970.[4] Мальцев А. И. Два замечания о нильпотентных группах // Матем. сб. 1955. Т. 37, 3. С. 567–572.

[5] Холл Ф. Нильпотентные группы // Математика.: сб. перевод иностр. статей. 1982. Т. 12, 1. С.3-86.

[6] MacHenry T. The tensor product and the 2-nd nilpotent product of groups // Math. J. 1960. Vol. 73,

1. P. 134–145.[7] Латкин И. В. Конструктивизируемые группы, нильпотентное произведение которых не конструк-

тивизируемо // 8-я Всесоюзн. конф. по матем. Логике. М., 1986. С. 101.

44


[8] Латкин И. В. Алгоритмическая сложность проблемы вхождения в коммутанты и члены нижнего

центрального ряда // Сиб. Матем. Ж. 1987. Т. 28, 5. С. 102–110.

Восточно-Казахстанский государственный технический университет им. Д. Серикбаева, г. Усть-

Каменогорск, КазахстанE-mail: [email protected]

45



Элементарное доказательство теоремы о βη-нормальной форме

A. A. Лялецкий

Рассматривается бестиповый вариант λ-исчисления.Теорема о βη-нормальной форме. Произвольный λ-терм имеет βη-норма-

льную форму тогда и только тогда, когда он имеет β-нормальную форму.В части достаточности утверждение теоремы очевидно: действительно, если t

имеет β-нормальную форму, скажем t′, то любое применение η-редукции к t′ не создаетновых β-редексов, откуда доказываемое утверждение следует из свойства сильной нор-мализуемости понятия η-редукции. Что касается необходимости, она впервые была до-казана Х.Карри в 1972 г. и еще одно доказательство было построено Х.Барендрегтоми др. в 1976 г. Отметим, что оба доказательства технически довольно сложны ииспользуют специальные расширения языка Λ всех λ-термов.

Предлагается новое простое доказательство теоремы о βη-нормальной форме, неиспользующее расширений языка Λ. Оно основано на теореме об откладывании η-редукции, утверждающей, что любую βη-редукционную цепочку σ : t ։βη t′ можноперестроить в цепочку вида t ։β u ։η t

′ для некоторого терма u (и которую можнополучить почти непосредственно из определений).

Новое доказательство теоремы о βη-нормальной форме в части необходи-мости основано на двух следующих простых наблюдениях:

(a) Если β-редекс имеет вид (λx.px)q, где x 6∈ p, то его можно свернуть двумя раз-личными способами: (λx.px)q

(λx.px)q−−−−−→ β pq и (λx.px)qλx.px−−−−→ η pq,

причем в обоих случаях результирующий терм pq один и тот же.В связи с этим, вхождение η-редекса λx.px в терм t называется β-заменимым, если

оно является ре-частью какого-то вхождения β-редекса в t, т.е. (λx.px)q являетсявхождением β-редекса в t для некоторого подтерма q терма t.

(b) Пусть дана одношаговая η-редукционная цепочка s∆−−→η s

′, где ∆ не являетсяβ-заменимым. Тогда если s′ является β-нормальной формой, то s – тоже.

Теперь можем закончить доказательство. Предположим, что терм t имеет β-нормальную форму t′. Тогда t ։βη t

′ по теореме Черча-Россера для βη-редукции. Потеореме об откладывании η-редукции имеется βη-редукционная цепочка вида σ : t ։β

u ։η t′, т.е. σ = σβ + ση, где σβ и ση являются β- и η-сегментами цепочки σ соответ-

ственно. Пусть

ση : u ≡ u1 ∆1−−−→η u2∆2−−−→η . . .

∆n−1−−−→η un ≡ t′.В силу (a) мы можем без умаления общности считать, что ни один из сворачива-

емых η-редексов ∆i не является β-заменимым. Итеративно применяя (b), получаем,что все термы un−1, un−2, . . . , u1 являются β-нормальными формами, причем t ։β u,что и требовалось.

Киевский национальный университет имени Тараса Шевченко, Киев


46



Автоустойчивость булевых алгебр с выделенными идеалами относительно

сильных конструктивизаций

Д. Е. Пальчунов, А. В. Трофимов, А. И. Турко

Настоящая работа посвящена описанию I-алгебр, автоустойчивых относительносильных конструктивизаций. Доказательства основаны на результатах, изложенныхв работах [1-3].

Определение. I-алгебра A называется неисчезающей, если из A ≡ M × N

следует A ≡ M или A ≡ N. Обозначим A ≤ B, если найдется C такая, что B ≡A × C. I-алгебра A называется локальной, если существует не более конечного числаэлементарно неэквивалентных неисчезающих I-алгебр B ≤ A.

Предложение 1. Теория Th(A, a) произвольной локальной I-алгебры A с выде-ленными константами a1, . . . , al имеет простую модель.

Предложение 2. Простая модель теории Th(A, a), где A – локальная I-алгебра,является сильно конструктивизируемой.

Предложение 3. Пусть A – локальная I-алгебра. Тогда множестваφ(x1, . . . , xn)|φ(x1, . . . , xn) – полная формула теории Th(A, a1, . . . , al) вычислимы

равномерно по n ∈ ω.Теорема. Пусть A – счетная локальная I-алгебра. A автоустойчива относительно

сильных конструктивизаций тогда и только тогда, когда A разлагается в прямое про-изведение конечного числа простых моделей.

Следствие 1.Если Th(A) счетно-категорична или конечно-аксиоматизируема, тосчетная I-алгебра A автоустойчива относительно сильных конструктивизаций тогда

и только тогда, когда A разлагается в прямое произведение конечного числа простыхмоделей.

Следствие 2. Если A – счетная суператомная булева алгебра с одним выделен-ным идеалом, то A автоустойчива относительно сильных конструктивизаций тогда итолько тогда, когда A разлагается в прямое произведение конечного числа простых

моделей.Следствие 3. Пусть A – счетная булева алгебра. Тогда A автоустойчива от-

носительно сильных конструктивизаций тогда и только тогда, когда A разлагается впрямое произведение конечного числа простых моделей.


[1] Пальчунов Д. Е. “Конечно-аксиоматизируемые булевы алгебры с выделенными идеалами”, Алге-

бра и Логика, 26:4 (1987), 435–455.

[2] Pal’chunov D. E. “Countable categorical boolean algebras with distinguished ideals”, Studia Logica,V, XLVi, N2, (1987), 121–135.

[3] Goncharov S., Khoussainov B. Open problems in the theory of constructive algebraic systems, Con-temporary Mathematics, 257, (2000), 145–170.

Институт математики им. С.Л. Соболева СО РАН, Новосибирск,

Новосибирский государственный университет

E-mail: [email protected], [email protected]

47



Definable linear orderings over negative and positive equivalences

N. Kh. Kasymov, A. S. Morozov

We study positive and negative linear orderings definable over positive and negativeequivalences.

Proposition. Let η be an arbitrary equivalence and assume that a negative (positive)linear ordering 〈ω/η;6〉 is definable over it. Then η is computable if and only if 6 iscomputable.

It follows that each negative (positive) linear ordering on ω is computableFor α ⊆ ω, we let η(α) = α2 ∪ idω and we let η∗(α) to be an equivalence whose classes

are [ai, ai+1) = x ∈ ω | ai 6 x < ai+1, i ∈ ω.Proposition. If a negative (positive) equivalence η(α) admits a negative (positive)

discrete linear ordering over it then α is computable.We also study similar questions over equivalences different from η(α) and show the

general situation to be different.Theorem. Let α be a co–enumerable but not computable set and L be an arbitrary

linear ordering. Then the following conditions are equivalent:

(1) L has a negative presentation over η(α);(2) L has a computable copy and contains at least one limit point.

Proposition. Let α be a computably enumerable noncomputable set. Then

(1) if α is not immune then positive orderings of types ω + 1 and 1 + ω∗ cannot bedefined over η(α);

(2) if α is regressive then positive orderings of types ω + 1 and 1 + ω∗ are definableover η(α).

A limit point of a negative (positive) linear order is called effectively limit if it is a limitof a strictly monotonic computable sequence.

Theorem. There exists a positive linear ordering isomorphic to the ordering on therational numbers without effectively limit elements.

We also give some examples of computable automorphisms of negative orderings whoseinverses are not computable.

Uzbek national M.Ulugbek university, Dept. of mechanics and mathematics, Tashkent (Uzbekistan)

E-mail: [email protected] institute of mathematics SB RAS, Novosibirsk (Russia)


48



IV. Секция «Теория групп»

Мальцевские чтения 2014 Теория групп

Круговые единицы в кольцах вычетов колец целых круговых полей

Р.Ж. Алеев, О. В. Митина, В. Н. Пузач

При изучении единиц целочисленных групповых колец циклических 2-групп возни-кает задача исследования свойств единиц колец целых Z[ζ2n ] круговых полей Q(ζ2n),где ζ2n — первообразный корень степени 2n > 4 из 1. Проблема Вебера о числе классов[1] в совокупности с [2] утверждает, что все единицы кольца Z[ζ2n] будут круговыми.Ранее в [3] было показано, что группа круговых единиц равна для случая Z[ζ2n ]

〈ζ2n〉 ×2n−2−2∏

k=0

⟨1− ζ5k+1

2n

1− ζ5k

2n

⟩

Всякий порождающий 1−ζ5k+1

2n

1−ζ5k

2n

бесконечного порядка имеет вид 1 +α+α2 +α3 +α4 для

подходящего первообразного корня α из 1 степени 2n. Удобно рассматривать вместоних порождающие вида 1 + (α+ α−1) + (α2 + α−2).

Теорема. Пусть для натурального s

(1 + (α+ α−1) + (α2 + α−2)

)2n−3+s

= a0 +

2n−2−1∑

j=1

aj(αj + α−j).

Тогда a0 ≡ 1 (mod 2s), aj ≡ 0 (mod 2s) для всех j ∈ 1, . . . , 2n−2 − 1. Кроме того, су-ществует такое j ∈ 1, . . . , 2n−2−1, что aj 6≡ 0 (mod 2s+1). Также n−2 — наименьшеенеотрицательное целое, для которого a0 нечётно, а все остальные aj чётны.

Согласно [4] получаем в качестве следствия, что образы круговых единиц в кольцевычетов Z[ζ2n ]/2sZ[ζ2n ] имеют наибольший порядок.


[1] Miller J. C. Class numbers of totally real fields and applications to the Weber class number problem.

Acta Arithmetica 164, . 4 (2014), рр. 381-397.[2] Sinnott W. On the Stickelberger ideal and circular units of a cyclotomic field. Ann. of Math., Vol. 108,

. 1 (1978), pp. 107–134.[3] Алеев Р. Ж., Такшеева В.С. Порождающие.группы круговых единиц., Вестник ЧелГУ. Матема-

тика. Механика. Информатика. Выпуск 10. 6 (107), 2008, с. 121–129.

[4] Алеев Р. Ж. Единицы полей характеров и центральные единицы целочисленных групповых колецконечных групп., Матем. труды, 3, 1(2000), c. 3–37.

Южно-Уральский ГУ (НИУ), Челябинск; Челябинский ГУ, Челябинск; Костанайский филиал ЧелГУ,

Костанай (Казахстан)E-mail: [email protected], [email protected], [email protected]

50

mailto:[email protected], [email protected], [email protected]


Группы единиц целочисленных групповых колец циклических 2-групп

Р.Ж. Алеев, В. Н. Пузач

Пусть G = 〈x〉 — циклическая группа порядка 2n > 16 (для порядков 2 и 4 три-виально, а для 8 хорошо известно). Пусть V(ZG) — нормализованная группа единиццелочисленного группового кольца ZG группы G. Пусть ζ — первообразный кореньстепени 2n из 1. Пусть χ0 = 1G, χ1,. . . , χ2n−1 — неприводимые комплексные харак-теры группы G, где χj(x

k) = ζjk для любых j и k. Для любого j ∈ 0, 1, . . . , 2n − 1пусть ej — минимальный центральный идемпотент комплексной групповой алгебрыCG, соответствующий характеру χj . Для каждого j = 0, . . . , n−1 возникает групповой

гомоморфизм ϕj : V(ZG)→ U(Z[ζ2j

]), где ϕj

(∑2n−1k=0 βkek

)= β2j и U(Z[ζ2

j

]) — группа

единиц кольца Z[ζ2j

].Для j ∈ 0, 1, . . . , n− 1 положим ⋂l6=j kerϕl = Kj и для любого t через σt обозна-

чим автоморфизм кругового поля Q(ζ2j

), продолжающий отображение ζ2j 7→ ζ(2t+1)2j

.Тогда

Lj =

1 +2n−1−j−1∑

t=0

(σt(λ)− 1)e(2t+1)2j

∣∣∣λ ∈ U(Z[ζ2j

])

— подгруппа группы единиц кольца целых рациональной групповой алгебры QG.Теорема.При введённых ранее обозначениях имеем:

1) Kn−1 = Kn−2 = 1;2) Kn−3 =

⟨tχ2n−3

((1 +

√2)2

n−2)⟩

(здесь tχ2n−3

((1 +

√2)2

n−2)определяется согласно

[1]);3) L0 × L1 × · · · × Ln−1 > V(ZG) > K0 ×K1 × · · · ×Kn−1, причём индекс

|L0 × L1 × · · · × Ln−1 : K0 ×K1 × · · · ×Kn−1| <∞.Замечания.1. На самом деле получены более точные свойства элементов из Kj для любого j, ноони весьма громоздки;2. При условии положительного решения проблемы Вебера о числе классов [2] можно:а) указать точное строение Kj для любого j;б) найти точное значение индекса из утверждения 3) теоремы.


[1] Алеев Р. Ж. Единицы полей характеров и центральные единицы целочисленных групповых колец

конечных групп., Матем. труды, 3, 1 (2000), c. 3–37.

[2] Miller J. C. Class numbers of totally real fields and applications to the Weber class number problem.Acta Arithmetica 164, . 4 (2014), 381–397.

Южно-Уральский ГУ (НИУ), Челябинск; Костанайский филиал ЧелГУ, Костанай (Казахстан)

E-mail: [email protected]; [email protected]

51

mailto:[email protected]; [email protected]


Конечные почти простые группы, графы Грюнберга — Кегеля которых не

содержат треугольников

О. А. Алексеева, А. С. Кондратьев

Графом простых чисел (или графом Грюнберга—Кегеля) Γ(G) конечной группыG называется граф, в котором вершинами служат простые делители порядка группыG и две различные вершины p и q смежны тогда и только тогда, когда G содержитэлемент порядка pq.

Лючидо [5] описала конечные простые группы G такие, что связные компонентыграфа Γ(G) являются деревьями, т. е. связными графами, не содержащими циклы. Вданной работе получен более общий результат: определены конечные почти простыегруппы (т. е. группы с простым неабелевым цоколем), графы Грюнберга—Кегелякоторых не содержат треугольников.

В качестве следствия этого результата получается, что если граф простых чи-сел конечной почти простой группы не имеет треугольников, то каждая его связнаякомпонента является деревом. При этом существенно уточняется приведенный в [5]список конечных простых групп с таким свойством.

В доказательстве используется описание конечных почти простых n-примарныхгрупп и их графов Грюнберга—Кегеля для n ≤ 6 (см. [2, 3, 4, 1]).

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 13-01-00469), про-граммы Отделения математических наук РАН (проект 12-Т-1-1003), программ со-вместных исследований УрО РАН с СО РАН (проект 12-С-1-1018) и с НАН Беларуси(проект 12-С-1-1009) и в рамках проекта повышения конкурентоспособности (соглаше-ние между Министерством образования и науки Российской Федерации и Уральскимфедеральным университетом от 27.08.2013, 02.A03.21.0006).


[1] Колпакова В.А., Кондратьев А.С. Конечные почти простые 6-примарные группы и их графы

Грюнберга-Кегеля // Алгебра и приложения: Труды межд. конф. по алгебре школы-конф., посвя-щенной 100-летию со дня рождения Л.А. Калужнина. Нальчик: КБГУ, 2014. С. 63-66.

[2] Кондратьев А.С., Храмцов И.В. О конечных трипримарных группах // Тр. Ин-та математики имеханики УрО РАН. 2010. Т. 16, 3. С. 150-158.

[3] Кондратьев А.С., Храмцов И.В. О конечных четырепримарных группах // Тр. Ин-та математики

и механики УрО РАН. 2011. Т. 17, 4. С. 142-159.[4] Kondrat’ev A. S. Finite almost simple 5–primary groups и their Gruenberg-Kegel graphs // Сиб. эл.

мат. изв.. 2014. Т. 11. С. 634-674.

[5] Lucido M. C. Groups in which the prime graph is a tree // Boll. Unione Mat. Ital. (8), 2002. V. 5-B, 1. P. 131–148.

Русско-Британский институт управления, Челябинск;

Институт математики и механики им. Н. Н. Красовского УрО РАН;Уральский федеральный университет, Екатеринбург


52



О доминионах разрешимых групп

А. И. Будкин

Доминион domMG (H) подгруппы H группы G в квазимногообразииM — это мно-

жество всех элементов a ∈ G, образы которых равны для всех пар гомоморфизмов,совпадающих на H, из G в каждую группу изM, т.е.

domMG (H) = a ∈ G | ∀M ∈M ∀f, g : G→M, если f |H= g |H , то af = ag.

Здесь, как обычно, через f, g : G → M обозначены гомоморфизмы группы G в группуM , через f |H — ограничение f на H.

Несложно заметить, что domMG (−) является оператором замыкания на решетке

подгрупп данной группы G, в том смысле, что он экстенсивный (доминион подгруппыH содержит H), идемпотентный (доминион доминиона подгруппы H равен домини-ону H) и изотонный (если H ⊂ B, то доминион H содержится в доминионе B). Врезультате возникает понятие замкнутой подгруппы.

Подгруппа H группы G (G ∈M) называется замкнутой в группе G (относительноклассаM), если domM

G (H) = H.Группа H называется абсолютно замкнутой в классе M, если для любой группы

G изM из каждого включения H ≤ G следует, что domMG (H) = H.

В данной работе исследуются доминионы абелевых подгрупп в группах из много-образия ANc.

Теорема 1. Пусть G ∈ ANc и H ≤ G. Если H ∩ G′ = (1), то подгруппа Hзамкнута в G относительно многообразия ANc.

Теорема 2. Неединичная абелева группа без кручения не является абсолютно

замкнутой в классе ANc(c ≥ 1).Ранее [1] аналогичные результаты были получен автором для класса метабелевых

групп.


[1] Будкин А. И. Об абсолютной замкнутости абелевых групп без кручения в классе метабелевыхгрупп. Алгебра и логика. 2014. Т. 53, 1. С. 15–25.

Алтайский госуниверситет, БарнаулE-mail: [email protected]

53



О представлении свободных m-произведений m-групп автоморфизмамилинейно упорядоченных множеств

С. В. Вараксин

Напомним, что m-группой (G,ϕ) называется алгебраическая система G сигнатурыm = 〈·, e,−1 ,∨,∧, ϕ〉, которая является ℓ-группой и операция ϕ есть автоморфизм вто-рого порядка группы 〈G, ·, e,−1 〉 и антиизоморфизм решетки 〈G,∨,∧〉. Пусть G —группа с частичным P и автоморфизмом второго порядка ϕ. Порядок P реверсируетсяϕ, если из x 6P y следует ϕ(y) 6P ϕ(x). Назовем ϕ реверсией, а пару (G,ϕ) ч. у.группой с реверсией.

Назовем такжеm-группу (F, ϕ) свободной над ч.у. группой с реверсией (G,ϕ), если(G,ϕ) вложима в (F, ϕ) и любой o-гомоморфизм α0 : G→ H, устойчивый относительноϕ, продолжается до m-гомоморфизма α : F → H.

Теорема 1. Пусть (G,ϕ) — ч.у. группа с реверсией . Тогда условия эквива-лентны:

1) существует свободная m-группа (F, ϕ) над (G,ϕ);2) существует порядковый m-изоморфизм τ (G,ϕ) в некоторую m-группу (T, ϕ);3) G+ — это пересечение правых порядков.Пусть теперь (Gi, ϕi) — множество ч.у. групп с реверсиями, G = ∗

iGi — их

свободное произведение в классе групп, автоморфизм ϕ — продолжение ϕi на G, ачастичный порядок P на G порожден порядками G+

i , P = 〈ggi |gi ∈ G+i , g ∈ G〉.

Теорема 2. Ч.у. группа (G,ϕ) с порядком P и реверсией ϕ является свободнымпроизведением групп (Gi, ϕi) в классе ч.у. групп с реверсиями.

Пусть теперь (Gi, ϕi)— множество m-групп, G = ∗iGi — их свободное произведе-

ние в классе групп, ϕ — продолжение ϕi на G, а частичный порядок P на G порожденпорядками на Gi. Пусть H — свободная m-группа над (G,ϕ). Тогда m-группы (Gi, ϕ)допускают o-вложения αi в m-группу (H,ϕ), перестановочные c ϕ (но не ℓ-вложения).Обозначим через J = 〈(αi(g)−)−1 ∧ αi(g)+|g ∈ Gi〉 m-идеал m-группы (H,ϕ), а через Fфактор-группу H/J по этому m-идеалу.

Теорема 3. m-группа (F, ϕ) является свободным произведением m-групп (Gi, ϕi)в классе m-групп.


[1] Conrad P. Free Lattice-Ordered Groups // J. of Algebra, 1970 (16), p. 191–203.[2] Giraudet M., Rachunek J. Varieties of half lattice ordered groups of monotonic permutations of chains

// Czech. Math. J.1999, 49(124), p.743-766.

[3] Holland C., Scrimger E. Free products of lattice-ordered groups // Algebra Univ. 1972, v.2, p. 247–254.[4] Вараксин С. В. О свободных m-группах и свободных m-произведениях // Изв. Алт.ГУ, N 1-1

(2013), 16–18.

Алтайский госуниверситет, БарнаулE-mail: [email protected]

54



О размере минимального 1-совершенного битрейда в q-значном n-кубе

К. В. Воробьёв

Будем называть q-значным n-кубом Hnq граф, вершинами которого являются все

векторы длины n с элементами из множества 0, 1, . . . q − 1. Расстоянием Хэммингамежду вершинами x, y ∈ Hn

q называется число позиций, в которых x и y различны.Множество S(f) = x ∈ Hn

q |f(x) 6= 0 называется носителем функции f .Функция f : Hn

q → −1, 0, 1 называется 1-совершенным битрейдом, если в каждомшаре радиуса 1 все её значения равны 0 за исключением, возможно, двух вершин,в которых она равна −1 и 1 соответственно. Примером 1-совершенного битрейда вHn

q служит функция, являющаяся разностью характеристических функций двух раз-личных 1-совершенных кодов в графе Hn

q , где под 1-совершенным кодом в графе по-нимается такое множество C вершин графа, что любой шар радиуса 1 в этом графесодержит ровно одну верщину из C. Ранее также изучался похожий класс собственныхфункций в латинских квадратах и гиперкубах – латинские битрейды [1], [2]. Извест-ные нижние оценки на мощность носителя 1-совершенного битрейда можно найти вработе [3].

В данной работе найдена новая нижняя оценка на размер носителя 1-совершенногобитрейда в q-значном n-кубе.

Теорема. Пусть f - 1-совершенный битрейд в Hnq , q ≥ 3 и f 6≡ 0. Тогда

|S(f)| ≥

2n−n−1q (q − 2)

n−1q , если q ≥ 4,

3n2 (1− 1

n )n2 (1 + 3

2(n−1) )2n+1

6 , если q = 3.

Исследование выполнено при финансовой поддержке РНФ ( 14-11-00555).


[1] Cavenagh N. J. The theory and application of latin bitrades: A survey // Mathematica Slovaca. — 2008.

— V. 58, N. 6 — P. 691–718.[2] Potapov V. N. Multidimensional Latin bitrades // Siberian Mathematical Journal. — 2013. — V. 52,

N. 2. — P. 317–324.

[3] Potapov V. N. On perfect 2-colorings of the q-ary n-cube // Discrete Mathematics. — 2012. — V. 312,N. 8. — P. 1269–1272.

Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН, Новосибирск


55



О группах с множеством размеров классов сопряженности как у

знакопеременных групп

И. Б. Горшков

Пусть G — конечная группа, N(G) — множество размеров классов сопряженностигруппы G. В восьмидесятых годах прошлого столетия Томпсоном была сформулиро-вана следующая гипотеза.

Гипотеза Томпсона. Пусть L — конечная неабелева простая группа, G — ко-нечная группа c тривиальным центром и N(G) = N(L). Тогда G ≃ L.

Обозначим через π(G) множество всех простых делителей порядка группы G.Пусть GK(G) — граф простых чисел группы G с множество вершин π(G), где дваразличных простых числа p и q из π(G) соединены ребром, если в G найдется элементпорядка pq. В настоящий момент справедливость гипотезы Томпсона доказана почтидля всех конечных простых групп с несвязным графом простых чисел. В частности,Алави и Данешкхах в [1] доказали ее для знакопеременных групп степени p, p + 1 иp + 2, где p — простое число, большее 13. В [2] – [4] была доказана справедливостьгипотезы для знакопеременных групп степени 10, 16 и 22, имеющих связный граф про-стых чисел. Однако вопрос о справедливости гипотезы для знакопеременных группостается открытым. На пути решения этого вопроса удалось показать неразреши-мость групп с тем же множеством размеров классов сопряженности, что и некотораяпростая неабелева знакопеременная группа.

Теорема. Пусть L — конечная неабелева простая знакопеременная группа, G —конечная группа c тривиальным центром и N(G) = N(L). Тогда G неразрешима.


[1] Alavi S. H. and Daneshkhah A. A new characterization of alternating and symmetric groups, Journalof Applied Mathematics and Computing, vol. 17, no. 1-2, pp. 245–258, 2005.

[2] Vasil′ev A. V. On Thompson’s conjecture, Sib. Elektron. Mat. Izv., vol. 6, pp. 457–464, 2009.

[3] Gorshkov I. B. Thompson’s conjecture for simple groups with a connected prime graph, Algebra andLogic, vol. 51, no. 2, pp. 111–127, 2012.

[4] Xu M. Thompson’s conjecture for alternating group of degree 22, Frontiers of Mathematics in China,

vol. 8, no. 5, pp. 1227–1236, 2013.

Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН, Новосибирск (Россия),Instituto de Matematica e Estatistica, Universidade de Sao Paulo (Brazil)


56



Локально разрешимые подгруппы финитарной линейной группы над

коммутативным кольцом

О. Ю. Дашкова

В [1], [2] было начато изучение финитарной линейной группы FLν(K), где K –кольцо с единицей, ν – линейно упорядоченное множество.

В [3] исследовались локально разрешимые подгруппы финитарной линейной группынад коммутативным нетеровым кольцом с единицей.

В настоящей работе изучаются локально разрешимые подгруппы финитарной ли-нейной группы над произвольным коммутативным кольцом с единицей.

Основным результатом работы является теорема.Теорема. Пусть G – локально разрешимая подгруппа FLν(K), K – коммутатив-

ное кольцо с единицей. Тогда каждая конечно порожденная подгруппа H группы Gобладает рядом нормальных подгрупп A ≤M ≤ H, таким, что подгруппа A – абелева,фактор-группа M/A – метанильпотентна, а фактор-группа H/M – полициклическая.

References

[1] Левчук В.М. Некоторые локально нильпотентные кольца и их присоединенные группы // Мат.

заметки. – 1987. – Т. 42. – 5. – С. 631–641.

[2] Мерзляков Ю.И. Эквиподгруппы унитреугольных групп: критерий самонормализуемости //ДАН. – 1994. – Т. 339. – 6. – С. 732–735.

[3] Dashkova O. Yu. On locally soluble subgroups of the finitary linear group // Материалы конференции

”Алгебра и математическая логика: теория и приложения” – Казань, 2014. — С. 50.

Филиал МГУ в г. Севастополе, Севастополь


57



Проблема изоморфизма невозрастающих GBS групп разрешима

Ф. А. Дудкин

Будем называть конечно порожденную группу G обобщенной группой Баумслага–Солитера (GBS группой), если группа G может действовать на дереве так, что ста-билизаторы вершин и ребер – бесконечные циклические группы. По теореме Басса-Серра группа G представима в виде π1(A) – фундаментальной группы некоторогографа групп A [1], вершинные и реберные группы которого бесконечные циклическиегруппы.

Всякой GBS группе G можно сопоставить граф с метками (Γ, λ), где Γ – конечныйграф, а λ : E(Γ)→ Z \ 0 метки на ребрах Γ.

Отметим, что GBS группы довольно активно исследовались в последнее время [4],[2], [3]. В частности, активно обсуждалась проблема изоморфизма GBS групп: опре-делить алгоритмически когда два данных графа с метками задают изоморфные GBSгруппы. Несмотря на то, что в некоторых частных случаях проблема изоморфизмабыла решена [5], [6], [7], в общем случае существование алгоритма не установлено.

Рассмотрим некоторые преобразования графа с метками, которые не меняют егофундаментальную группу, а именно, схлопывания и расширения:

Если две GBS группы изоморфны, то соответствующие графы с метками связаныконечной последовательностью схлопываний и расширений [5].

Граф с метками называется редуцированным, если преобразования схлопываниядля него невозможно, множество редуцированных графов, представляющих даннуюGBS группу G обозначается R(G). Будем называть GBS группу G возрастающей,если среди графов с метками R(G) есть содержащие петлю, одна из меток которойравна 1 или −1. Тогда невозрастающая GBS группа определяется тем, что никакойграф с метками из R(G) не содержит ребро с меткой 1 или −1. Основным результатомданной работы является

Теорема. Проблема изоморфизма невозрастающих GBS групп алгоритмическиразрешима.

Этот результат охватывает много новых, не рассмотренных ранее, GBS групп.Тем не менее, в общем случае проблема изоморфизма GBS групп остается нерешенной.

Работа выполнена при поддержке гранта Российского научного фонда (проектNo14-21-00065).


[1] Serre J.-P. Trees. Berlin; Heidelberg; New York: Springer, 1980.

[2] Forester M. On uniquenes of JSJ decomposition of finitely generated groups, Comm. Math. Helv., 78,

2003, 740–751.[3] Clay M. Deformation spaces of G-trees and automorphisms of Baumslag-Solitar groups, Groups Geom.

Dyn., 3, 2009, 39–69.[4] Clay M., Forester M. Whitehead moves for G-trees, Bull. London Math. Soc., 41, 2 (2009), 205–212.

[5] Forester M. Splittings of generalized Baumslag-Solitar groups, Geometriae Dedicata, 121, 1 (2006),

43–59.[6] Clay M., Forester M. On the isomorphism problem for generalized Baumslag-Solitar groups, Algebraic

& Geometric Topology, 8 (2008), 2289–2322.

58


[7] Levitt G. On the automorphism group of generalized Baumslag-Solitar groups, Geometry & Topology,11 (2007) 473–515.

Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН, г. Новосибирск


59



Об автоморфизмах дистанционно регулярного графа с массивом

пересечений 99, 84, 30; 1, 6, 54К. С. Ефимов, А. А. Махнев

А.А. Махневым предложена программа изучения дистанционно регулярных гра-фов, в которых окрестности вершин сильно регулярны со вторым собственным зна-чением 3. В работе [1] доказано, что дистанционно регулярный граф, в которыхокрестности вершин сильно регулярны с параметрами (99,14,1,2), имеет массив пе-ресечений 99, 84, 1; 1, 14, 99, 99, 84, 1; 1, 12, 99 или 99, 84, 30; 1, 6, 54. В работе [2]найдены возможные автоморфизмы дистанционно регулярного графа с массивом пе-ресечений 99, 84, 1; 1, 14, 99. В работе [3] найдены возможные автоморфизмы сильнорегулярного графа с параметрами (99,14,1,2).

В данной работе изучаются автоморфизмы гипотетического дистанционно регу-лярного графа Γ с массивом пересечений 99, 84, 30; 1, 6, 54. Доказано, что группаавтоморфизмов G такого графа действует интранзитивно на множестве его вершин иπ(G) ⊆ 2, 3, 5, 7, 11, 13.

Теорема. Пусть Γ — дистанционно регулярный граф с массивом пересечений

99, 84, 30; 1, 6, 54, в котором окрестности вершин сильно регулярны с параметрами(99, 14, 1, 2), G = Aut(Γ), g — элемент из G простого порядка p и Ω = Fix(g). Тогдаπ(G) ⊆ 2, 3 и верно одно из утверждений:

(1) Ω — пустой граф, p = 2, α2(g) = 1128 + 3α1(g)− 3948l, α3(g) = 3948l + 1128−2α1(g) и α1(g)/2 + l − 3 делится на 11;

(2) Ω состоит из вершин, попарно находящихся на расстоянии 3 в Γ, p = 3 и|Ω| ∈ 3, 6, ..., 21;

(3) p = 2, Ω является объединением n изолированных ребер, расстояние в Γ междувершинами из разных ребер равно 3, и n ≤ 12;

(4) p = 3, Ω является объединением m изолированных 4-клик, расстояние в Γ междувершинами из разных клик равно 3, и m ∈ 1, 3, 6, 9, 12.

Работа выполнена при поддержке соглашения между Министерством образова-ния и науки Российской Федерации и Уральским федеральным университетом от27.08.2013, 02.A03.21.0006.


[1] Махнев А.А. О графах, в которых окрестности вершин сильно регулярны с параметрами

(99, 14, 1, 2) // Доклады академии наук. 2011. Т. 439, 4. С. 443–447.[2] Агеев П.С., Махнев А.А. Об автоморфизмах дистанционно регулярного графа с массивом пересе-

чений 99, 84, 1; 1, 14, 99 // Доклады академии наук. 2014. Т. 458, 1. С. 7–11.[3] Махнев А.А., Минакова И.М. Об автоморфизмах графов с λ = 1, µ = 2 // Дискрет. матем. 2004.

Т. 16, 1. С. 95–104.

Институт математики и механики им. Н. Н. Красовского УрО РАН,Уральский федеральный университет, Екатеринбург;

Уральский государственный экономический университет

E-mail: [email protected], kysulya [email protected]

60



О решетке конгруэнций m-групп

А. В. Зенков

Напомним, что m-группой называется алгебраическая система G сигнатуры m =〈·, e,−1 ,∨,∧, ∗〉, где 〈G, ·, e,−1 ,∨,∧〉 является ℓ-группой и одноместная операция ∗ естьавтоморфизм второго порядка группы 〈G, ·, e,−1 〉 и антиизоморфизм решетки 〈G,∨,∧〉,т.е. для любых x, y ∈ G верны соотношения (xy)∗ = x∗y∗, (x∗)∗ = x, (x ∨ y)∗ =x∗ ∧ y∗, (x∧ y)∗ = x∗ ∨ y∗. В дальнейшем m-группу G с фиксированным автоморфизмом∗ записываем как пару (G,∗ ). Будем говорить [1], что m-группа (G, ∗) допускает (точ-ное) представление порядковыми подстановками линейно упорядоченного множестваΩ, если G ⊆ Aut(Ω) и (g)∗ = aga для любого g ∈ G, где a– реверсивный автоморфизм2-го порядка Ω. Этот факт записываем в виде (G,Ω, a). Представление (G,Ω, a) назо-вем m-транзитивным, если для всех w,w′ ∈ Ω, быть может за исключением точки o,существует такой x ∈ G∗ = gr.(G, a), что (w)x = w′.

Стандартно, отношение эквивалентности Θ, определенное на Ω, будем называтьотношениемm-эквивалентности, если оно является выпуклым и wΘw′ ⇔ (w)xΘ(w′)xдля любого x ∈ G∗.

В работе изучается строение решетки конгруэнций произвольногоm-транзитивногопредставления.


[1] Giraudet M., Rachunek J. Varieties of half lattice-ordered groups of monotonic permutations ofchains // Czech. Math. J., 1999, V.49 ,124, p.743–766.

Алтайский государственный аграрный университет, Барнаул

E-mail: alexey [email protected]

61



О пересечениях примарных подгрупп в конечных группах с цоколем,изоморфным F4(2)

В. И. Зенков, Я. Н. Нужин

Пусть G — конечная группа, A и B — подгруппы из G. Пусть M — множествовсех минимальных по включению пересечений вида A∩Bg, g ∈ G, аm — подмножествоэлементов минимального порядка из M . Положим MinG(A,B) = 〈M〉 и minG(A,B) =〈m〉. Очевидно, следующие три условия равносильны: а) A ∩ Bg 6= 1 для всех g ∈ G,б) MinG(A,B) 6= 1, в) minG(A,B) 6= 1.

Для формулировки основного результата нам потребуется информация о некото-рых подгруппах группы Шевалле F4(2). Пусть r2 и r3 — фундаментальные корнисистемы корней типа F4, порождающие подсистему корней типа B2 (срединные корнив графе Кокстера типа F4). Обозначим через P2,3 параболическую подгруппу, по-рожденную мономиальными элементами nr2 , nr3 и унипотентной подгруппой U , со-ответствующей положительным корням. Подгруппа P2,3 инвариантна относительнографового автоморфизма τ порядка 2, ее подгруппа Леви L изоморфна группе ШеваллеB2(2) и L〈τ〉 ≃ Aut(A6).

В [1, теорема B1] доказано, что minG(S, S) 6= 1 для силовской 2-подгруппы Sгруппы G = Aut(F4(2)). Следующая теорема уточняет этот результат.

Теорема. Пусть G — конечная группа с цоколем, изоморфным F4(2), и S —силовская 2-подгруппа G. Если minG(S, S) 6= 1, то G ≃ Aut(F4(2)) и

minG(S, S) = O2(P2,3)minL〈τ〉(S1, S1),

где S1 — силовская 2-подгруппа группы L〈τ〉 и minL〈τ〉(S1, S1) ≃ D16.Работа первого автора поддержана РФФИ (проект 13-01-00476), Программой

Отделения математических наук РАН (проект 12-Т-1-1003), Программой совмест-ных исследований УрО РАН с СО РАН (проект 12-С-1-1018), с НАН Беларуси (про-ект 12-с-1-1009), Программой поддержки ведущих университетов России (соглашение02.A03.210006 от 27.08.2913). Работа второго автора поддержана РФФИ (проект12–01–00968).


[1] Зенков В. И. Пересечения нильпотентных подгрупп в конечных группах // Фунд.и прикл. мате-

матика. 1996. Т. 2, вып. 1. С. 1–92.

ИММ УрО РАН, Екатеринбург, СФУ, КрасноярскE-mail: [email protected], [email protected]

62



О группах, в которых централизаторы всех инволюций слойно конечны

М. Н. Ивко

В работе [1] Н. М. Сучковым с помощью одного из результатов о бесконечныхгруппах Цассенхауза (т.е. о дважды транзитивных группах с тривиальным стаби-лизатором трёх точек) было получено описание периодических групп с абелевымицентрализаторами инволюций. В настоящей работе рассматривается некоторый ана-лог этого результата в более обширном классе групп. А именно, также опираясь насвойства групп Цассенхауза (см., например, теорему 5.20 из [2]), получена следующая

Теорема. Пусть G — группа с конечной инволюцией и централизаторы всех

инволюций из G слойно конечны. Если в группе G некоторые две инволюции пе-рестановочны, то она почти слойно конечна и содержит лишь конечное множествоинволюций.


[1] Сучков Н. М. О периодических группах с абелевыми централизаторами инволюций, Матем. сб.,

193, 2 (2002), 153–160.

[2] Созутов А. И., Сучков Н. М., Сучкова Н. Г. Бесконечные группы с инволюциями, Красноярск:Сибирский федеральный университет, 2011.

филиал ОмГПУ, г. ТараE-mail: [email protected]

63



О конечных неразрешимых 5-примарных группах G с несвязным графом

Грюнберга — Кегеля таких, что |π(G/F (G))| ≤ 4

В. А. Колпакова, А. С. Кондратьев

Пусть G — конечная группа. Обозначим через π(G) множество простых делителейпорядка группы G. Граф простых чисел (граф Грюнберга — Кегеля) Γ(G) группы Gопределяется как граф с множеством вершин π(G), в котором две различные вершиныp и q смежны тогда и только тогда, когда в G есть элемент порядка pq. Группа Gс простым неабелевым цоколем называется почти простой. Группа G называетсяn-примарной, если |π(G)| = n.

Наше внимание привлекает задача подробного изучения класса конечных группс несвязным графом простых чисел. В рамках этой задачи А.С. Кондратьев и И.В.Храмцов [2, 3, 4, 5] изучали конечные группы, имеющие несвязный граф простыхчисел с числом вершин, не превосходящим 4.

В недавней работе А.С. Кондратьева [1] были определены почти простые 5-при-марные группы вместе с их графами простых чисел.

Мы продолжаем эти исследования, имея целью описать главные факторы конеч-ных неразрешимых не почти простых 5-примарных групп с несвязным графом Грюн-берга — Кегеля.

В данной работе получено описание главных факторов коммутантов конечныхнеразрешимых 5-примарных групп G с несвязным графом Γ(G) в случае, когда G/F (G)— почти простая n-примарная группа для n ≤ 4.

В доказательстве используются результаты работ [2, 3] и вычисления в системекомпьютерной алгебры GAP.

Работа выполнена при финансовой поддержке РНФ (проект 14-11-00061).


[1] Kondrat’ev A. S. Finite almost simple 5–primary groups и their Gruenberg-Kegel graphs // Сиб. эл.

мат. изв. 2014. Т. 11. С. 634-674.[2] Кондратьев А.С., Храмцов И.В. О конечных трипримарных группах // Тр. Ин-та математики и

механики УрО РАН. 2010. Т. 16, 3. С. 150-158.[3] Кондратьев А.С., Храмцов И.В. О конечных четырепримарных группах // Тр. Ин-та математики

и механики УрО РАН. 2011. Т. 17, 4. С. 142-159.

[4] Кондратьев А.С., Храмцов И.В. О конечных непростых трипримарных группах с несвязным гра-фом простых чисел // Сиб. эл. матем. изв. – 2012. – Т. 9. – С. 472–477.

[5] Храмцов И.В. О конечных непростых 4-примарных группах // Сиб. эл. матем. изв. – 2014. –

Т. 11. – С. 695–708.

Институт математики и механики им. Н. Н. Красовского УрО РАН,

Уральский федеральный университет, Екатеринбург


64



О модулярных представлениях группы L3(17)

А. С. Кондратьев, И. Д. Супруненко, И. В. Храмцов

Пусть G — конечная группа. Обозначим через π(G) множество простых делителейпорядка группы G. Граф простых чисел (граф Грюнберга — Кегеля) Γ(G) группы Gопределяется как граф с множеством вершин π(G), в котором две различные вершиныp и q смежны тогда и только тогда, когда в G есть элемент порядка pq.

Наше внимание привлекает задача подробного изучения класса конечных группс несвязным графом простых чисел. В рамках этой задачи А.С. Кондратьев и И.В.Храмцов [1] описали в большинстве случаев нормальное строение конечных четыре-примарных групп G с несвязным графом простых чисел. К сожалению, в таблице 1 итеореме 7 из этой статьи был пропущен случай, когда G имеет композиционный фак-тор, изоморфный группе L3(17) порядка 213 · 32 · 173 · 307. Восполняя этот пробел, в [2]они рассмотрели этот случай и, в частности, показали, что p-главный фактор группыG, входящий в F (G), может быть изоморфен 306-мерному абсолютно неприводимомуGF (p)(G/F (G))-модулю для каждого p ∈ 2, 3, 17.

В данной работе описаны все абсолютно неприводимые L3(17)-модули над полемхарактеристики p ∈ 2, 3, 17, на которые элемент порядка 307 действует свободно.Как следствие, определены все возможности для главных факторов конечных групп,которые имеют несвязный граф простых чисел и композиционный фактор, изоморфныйгруппе L3(17).

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 13-01-00469), про-граммы Отделения математических наук РАН (проект 12-Т-1-1003), программ со-вместных исследований УрО РАН с СО РАН (проект 12-С-1-1018) и с НАН Беларуси(проект 12-С-1-1009), гранта Уро РАН для молодых ученых (проект 14-1-НП-27) ив рамках проекта повышения конкурентоспособности (соглашение между Министер-ством образования и науки Российской Федерации и Уральским федеральным универ-ситетом от 27.08.2013, грант 02.A03.21.0006).


[1] Кондратьев А.С., Храмцов И.В. О конечных четырепримарных группах // Тр. Ин-та математикии механики УрО РАН. 2011. Т. 17, 4. С. 142–159.

[2] Кондратьев А.С., Храмцов И.В. О конечных группах, которые имеют несвязный граф простых

чисел и композиционный фактор, изоморфный группе L3(17) // Материалы конф. ”Алгебра и

математическая логика: теория и приложения” , Казань: Изд-во Казан. ун-та, 2014, С. 81–82.

Институт математики и механики им. Н. Н. Красовского УрО РАН,Уральский федеральный университет, Екатеринбург;

Институт математики НАН Беларуси

E-mail: [email protected], [email protected], [email protected]

65



О главных факторах параболических максимальных подгрупп скрученных

классических групп

В. В. Кораблева

Одной из фундаментальных задач теории групп является изучение подгрупповогостроения данной группы. Группы лиева типа составляют основной массив конеч-ных простых групп. Изучение унипотентных подгрупп группы лиева типа являетсяключом в понимании ее строения и свойств. В работах автора [1], [2] было полученоуточненное описание главных факторов параболических максимальных подгрупп, вхо-дящих в унипотентный радикал, для всех групп нормального лиева типа, за исключе-нием групп типов Bl, Cl, F4, G2 над полем четной характеристики и типа G2 над полемхарактеристики 3, и для группы 2E6(q2). В данной работе продолжаются исследованияв этом направлении.

Пусть G — конечная простая группа 2Al(q2) или 2Dl(q

2) и P = UL — параболиче-ская максимальная подгруппа в G, где U — унипотентный радикал и L — дополнениеЛеви в P . Из [3] следует, что факторы нижнего центрального ряда группы U явля-ются главными факторами группы P и являются неприводимыми GF (q)L-модулямиили GF (q2)L-модулями. Число этих факторов не зависит от поля GF (q2), а зависиттолько от лиева типа группы G.

Если A и B — нормальные подгруппы группы P , B — подгруппа A и фактор-группа A/B является минимальной нормальной подгруппой в P/B, то A/B называетсяглавным фактором группы P .

В настоящей работе автором для конечных простых групп 2Al(q2) и 2Dl(q

2) уточ-няется описание главных факторов каждой ее параболической максимальной под-группы, входящих в унипотентный радикал. Приводятся таблицы, в которых ука-зываются размерности и порождающие элементы соответствующих модулей.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 13-01-00469) и Ла-боратории квантовой топологии Челябинского госуниверситета (грант правительстваРФ 14.Z50.31.0020).


[1] Кораблева В.В. О главных факторах параболических максимальных подгрупп конечных простых

групп нормального лиева типа // Сиб. мат. журн., 2014. Т. 55, 4. C. 764–782.[2] Кораблева В.В. О главных факторах параболических максимальных подгрупп группы 2E6(q2) //

Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. Екатеринбург, 2014. Т. 20, 2. С. 230–237.

[3] Azad H., Barry M., Seitz G. On the structure of parabolic subgroup // Comm. Algebra, 1990. V. 18, – 2. P. 551–562.

Челябинский госуниверситет, Челябинск,

Институт математики и механики им. Н. Н. Красовского УрО РАН, ЕкатеринбургE-mail: [email protected]

66



О применении частотного анализа для решения проблемы расстояний в

группе Джевонса, индуцирующей действие на множестве булевыхфункций

А. М. Кукарцев, А. А. Кузнецов

Постановка задачи. Пусть E = 0, 1 – булево множество и n – целое неотрица-тельное число. Булевой функцией, далее БФ, местности n будем называть f : En → E.Всё множество таких отображений обозначим как B(n). Группы инвертирования пере-менных БФ (группу сдвигов) и перестановок переменных БФ (симметрическую группу)обозначим как En и Sn соответственно [1]. Группу Джевонса (полупрямое произведе-ние En⋋Sn) обозначим как Dn [1]. Тогда пусть f, g ∈ B(n) и (zπ) ∈ Dn, z ∈ En, π ∈ Sn

и имеет место уравнение f (zπ) = g относительно (zπ). Решение такого уравненияявляется классической алгебраической задачей, т. н. проблемой расстояний. В общемслучае (произвольные группа и множество) на сегодняшний день она не разрешима.Для множества БФ и группы Джевонса, в силу конечности обеих, данная проблематривиально разрешима. Но это требует перебор всех значений группы Dn при еепорядке |Dn| = 2nn! и, как следствие, экспоненциальное время получения решения.

Поиск решения связан с понятием инварианта группы, действующей на множе-стве [1]. Инвариант группы показывает, что множество решений пусто/не пусто икосвенно помогает в отыскании решений. С. В. Голомб показал, что для группы Дже-вонса существует полный инвариант [2]. К сожалению, для расчета такого инвари-анта требуется экспоненциальное время. Э. А. Якубайтис также предложил инвариантгруппы Джевонса, но в отличие от инварианта С. В. Голомба, он не полон.

Предлагаемое решение. Для подавляющего большинства случаев, когда под-группа инерции JDn

(f) тривиальна [1], авторами предлагается алгоритм, позволяю-щий решить задачу за полиномиальное время. Авторами доказано, что частотныехарактеристики булевых функций, рассматриваемые как информационные сообщения,специфичны, при действии порождающих элементов группы Джевонса. За счёт этогодопустимо вычислить (zπ) за полиномиальное время в виде упорядоченного произве-дения таких порождающих элементов.


[1] Логачев О. А., Сальников А. А., Ященко В. В. Булевы функции в теории кодирования и крипто-

логии, МЦМНО, Москва, 2004.[2] Глухов М. М., Ремизов А. В., Шапошников В. А. Обзор по теории k-значных функций. Часть 1.

Справочное пособие, Типография в/ч 33965, Москва, 1988.

Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М.Ф. Решетнева,

Красноярск

E-mail: [email protected],alex [email protected]

67



О наследуемости холлова свойства Dπ надгруппами π-холловых подгрупп

Н. Ч. Манзаева

Пусть π — некоторое множество простых чисел. Конечная группа G называется π-группой, если множество простых делителей её порядка лежит в π. Подгруппа Hконечной группы G называется π-холловой, если H является π-группой и все простыеделители её индекса не лежат в π. Следуя Ф.Холлу [1], будем говорить, что группа Gобладает свойством Dπ (или, короче, G ∈ Dπ), если все её максимальные π-подгруппысопряжены. Группу со свойством Dπ будем также называть Dπ-группой.

В «Коуровской тетради» [2] под номером 17.44(б) записана следующая

Проблема. Всегда ли в Dπ-группе надгруппа π-холловой подгруппы являетсяDπ-группой?

Обозначим через Uπ класс всех конечных Dπ-групп, в которых всякая надгруппаπ-холловой подгруппы обладает свойством Dπ. Тогда проблему 17.44(б) можно пере-формулировать эквивалентным образом:верно ли, что Uπ = Dπ?

С помощью классификации конечных простых групп доказана следующая

Теорема. Пусть π — некоторое множество простых чисел и группа G обладаетсвойством Dπ. Предположим, что H — π-холлова подгруппа группы G. Тогда любаяподгруппа M группы G, содержащая H, является Dπ-группой. Другими словамиDπ = Uπ.

Таким образом, для любого множества π простых чисел свойство Dπ наследуетсянадгруппами π-холловых подгрупп.


[1] Hall P. Theorems like Sylow’s // Proc. London Math. Soc. Ser. 3., 6, 22 (1956), 286–304.[2] Mazurov V. D., Khukhro E. I. (editors) The Kourovka notebook. Unsolved problems in group theory //

RAS Siberian Division, Sobolev Institute of Mathematics, Novosibirsk, 17 (2010).

НГУ, Новосибирск


68



О совпадении классов Eπ и Dπ конечных групп для некоторых множеств πнечетных простых чисел

Н. В. Маслова

Пусть π - некоторое множество простых чисел. Подгруппа H группы G называетсяπ-холловой подгруппой, если порядок H делится только на числа из π, а индекс |G :H| взаимно прост с порядком H. Через Eπ обозначим класс групп, обладающих π-холловой подгруппой. Если при этом любые две π-холловы подгруппы сопряжены вгруппе, то будем говорить, что группа принадлежит классу Cπ. Если, к тому же,любая π-подгруппа группы содержится в некоторой π-холловой подгруппе, то будемговорить, что группа принадлежит классу Dπ.

В 1956 г. Ф. Холл высказал гипотезу о том, что для любого множества нечетныхпростых чисел π классы Eπ и Dπ совпадают. Ф. Гросс опроверг гипотезу Ф. Холла, до-казав, что для любого конечного множества нечетных простых чисел π, содержащегоболее одного элемента, существует конечная группа, принадлежащая классу Eπ \Dπ .Естественным образом возникает следующая проблема: для каких множеств простыхчисел π выполняется равенство Eπ = Cπ = Dπ?

Пусть x — действительное число и

πx = p | p− простое число и p < x.З. Арад и M. Уорд [1, теорема 4.9] доказали, что Eπx

= Dπxдля x < 3. Д.О. Ре-

виным [2, теорема 1] было показано, что для x ≥ 7 также выполнено равенство Eπx=

Dπx, и была сформулирована проблема [2, проблема 8]: верно ли, что для любого

действительного числа x выполняется равенство Eπx= Dπx

? В настоящей работедоказана

Теорема. Для любого действительного числа x выполняется равенство

Eπx= Dπx

.


[1] Arad Z., Ward M. B. New criteria for the solvability of finite groups // J. Algebra. 1982. Vol. 77,

no. 1. P. 234–246.

[2] Ревин Д. О. Вокруг гипотезы Ф. Холла // Сиб. электрон. мат. изв. 2009. Т.6. C. 366–380.

ИММ УрО РАН, УрФУ, ЕкатеринбургE-mail: [email protected]

69



О дистанционно регулярных накрытиях клик с сильно регулярными

окрестностями вершин

А. А. Махнев, Д. В. Падучих, М. С. Самойленко

Мы рассматриваем неориентированные графы без петель и кратных ребер. Длявершины a графа Γ через Γi(a) обозначим i-окрестность вершины a, то есть, подграф,индуцированный Γ на множестве всех вершин, находящихся на расстоянии i от a.Подграф Γ(a) = Γ1(a) называется окрестностью вершины a и обозначается [a], еслиграф Γ фиксирован. Графом Тэйлора называется дистанционно регулярный граф смассивом пересечений k, µ, 1; 1, µ, k.

Допустим, что Γ — антиподальный дистанционно регулярный граф диаметра 3 сλ = µ, в котором окрестности вершин сильно регулярны с параметрами (v′, k′, λ′, µ′).

Тогда (см. [1]) Γ имеет массив пересечений k, µ(r − 1), 1; 1, µ, k, и спектр k1,√kf,

−1k, −√kf, где f = (k+ 1)(r− 1)/2. В случае r = 2 получим граф Тэйлора, в котором

k′ = 2µ′. Обратно, для любого сильно регулярного графа с параметрами (v′, 2µ′, λ′, µ′)найдется граф Тэйлора, в котором окрестности вершин сильно регулярны с соответ-ствующими параметрами.

Теорема. Пусть Γ — антиподальный дистанционно регулярный граф диаметра

3 с λ = µ и r > 2, в котором окрестности вершин сильно регулярны с не более чем1000 вершинами. Если Γ — реберно симметричный граф, то k = q = pe, p — простоечисло, Aut(Γ) содержит нормальную подгруппу, изоморфную L2(q), Γ имеет массивпересечений q, (r − 1)(q − 1)/r, 1; 1, (q − 1)/r, q и для подграфа ∆ = [u] верно одно изутверждений:

(1) ∆ имеет параметры (16, 5, 0, 2), (64, 21, 8, 6), (81, 16, 7, 2), (81, 20, 1, 6), (243, 22,1, 2), (625, 48, 23, 2), (625, 208, 63, 72), (729, 52, 25, 2), (729, 104, 31, 12) или (729, 182,55, 42);

(2) ∆ имеет параметры (25, 8, 3, 2), (49, 12, 5, 2), (121, 20, 9, 2), (121, 30, 11, 6),(121, 40, 15, 12), (169, 24, 11, 2), (289, 32, 15, 2), (289, 48, 17, 6), (289, 96, 35, 30), (361, 36, 17, 2),(361, 72, 23, 12), (361, 90, 29, 20);

(3) ∆ имеет параметры (529, 44, 21, 2), (529, 66, 23, 6), (529, 88, 27, 12), (529, 132, 41, 30),(529, 176, 63, 56), (837, 76, 15, 6), (841, 56, 27, 2), (841, 84, 29, 6), (841, 140, 39, 20), (841, 168,47, 30), (841, 280, 99, 90), (901, 60, 3, 4), (961, 60, 29, 2), (961, 120, 35, 12), (961, 240, 71, 56).

Работа выполнена при поддержке соглашения между Министерством образова-ния и науки Российской Федерации и Уральским федеральным университетом от27.08.2013, 02.A03.21.0006.


[1] Brouwer A. E., Cohen A. M., Neumaier A. Distance-Regular Graphs, Springer-Verlag. Berlin Heidelberg

New York. 1989.

Институт математики и механики им. Н. Н. Красовского УрО РАН,Уральский федеральный университет, Екатеринбург

E-mail: [email protected], [email protected], [email protected]

70



Сильно регулярные графы с неглавным собственным значением 4 и ихрасширения

А. А. Махнев, Д. В. Падучих

Мы рассматриваем неориентированные графы без петель и кратных ребер. Длявершины a графа Γ через Γi(a) обозначим i-окрестность вершины a, то есть, подграф,индуцированный Γ на множестве всех вершин, находящихся на расстоянии i от a.Подграф Γ(a) = Γ1(a) называется окрестностью вершины a и обозначается [a], еслиграф Γ фиксирован.

В работе продолжается программа изучения дистанционно регулярных графов, вкоторых окрестности вершин — сильно регулярные графы с неглавным собственнымзначением r, 3 < r ≤ 4. В статье [1] получена редукция к локально исключительнымграфам. А.А. Махнев, и Д.В. Падучих нашли параметры исключительных графов совторым собственным значением 4. Оказалось, что имеется 515 наборов параметров, изних 164 отвечают псевдогеометрическим графам. Случай исключительных псевдогео-метрических графов рассмотрен А.К. Гутновой и А.А. Махневым.

Теорема. Пусть Γ является дистанционно регулярным графом диаметра, боль-шего 2, в котором окрестности вершин — исключительные непсевдогеометрические

графы со вторым собственным значением 4. Если u — вершина графа Γ, то верноодно из утверждений:

(1) [u] имеет параметры (27, 16, 10, 8), (63, 32, 16, 16), (135, 64, 28, 32), (189, 88, 37,44), (243, 112, 46, 56), (279, 128, 52, 64) или (351, 160, 64, 80) и Γ является графом Тэйлора;

(2) [u] имеет параметры (85, 14, 3, 2) и либо Γ имеет массив пересечений 85, 70, 1;1, 14, 85, либо µ ∈ 5, 7, 10, или [u] имеет параметры (169, 56, 15, 20) и Γ имеет массивпересечений 169, 112, 1; 1, 56, 169;

(3) [u] имеет параметры (204, 28, 2, 4), (232, 33, 2, 5), (243, 22, 1, 2), (325, 54, 3, 10),(352, 26, 0, 2), (352, 36, 0, 4), (378, 52, 1, 8), (676, 108, 2, 20) или (729, 112, 1, 20);

(4) [u] имеет параметры (289, 72, 11, 20) и Γ имеет массив пересечений 289, 216, 1;1, 72, 289 или [u] имеет параметры (441, 88, 7, 20) и Γ имеет массив пересечений441, 352, 1; 1, 88, 441;

(5) [u] имеет параметры (505, 84, 3, 16) и Γ имеет массив пересечений 505, 420, 1;1, 84, 505, или [u] имеет параметры (625, 104, 3, 20) и Γ имеет массив пересечений625, 520, 1; 1, 104, 625.


[1] Махнев А.А. Сильно регулярные графы с неглавным собственным значением 4 и их расширения //

Известия Гомельского госуниверситета. 2014. Т. 84, 3. С. 84–85.


Уральский федеральный университет, Екатеринбург


71



Антиподальные дистанционно регулярные накрытия графов эрмитовых

форм Herm(2, q2)

А. А. Махнев, Д. В. Падучих, Л. Ю. ЦиовкинаВ [1] получено описание примитивных антиподальных накрытий графов ранга

3. К сожалению, в [1] при описании накрытий диаметра 4 некорректно рассмотренслучай графов эрмитовых форм. В данной работе исследуются антиподальные ди-станционно регулярные накрытия графов эрмитовых форм Herm(2, q2), для которыхгруппа автоморфизмов индуцирует группу ранга 3 на антиподальном частном. ГрафHerm(2, q2) сильно регулярен с параметрами (q4, (q−1)(q2+1), q−2, (q−1)q) и спектромk1, (q − 1)(q

2−q)(q2+1),−(q2 − q + 1)(q−1)(q2+1).

Теорема. Пусть Γ — антиподальный дистанционно регулярный граф диаметра

4, являющийся накрытием графа эрмитовых форм Herm(2, q2). Если G = Aut(Γ)индуцирует группу ранга 3 на антиподальном частном графа Γ, то Γ — граф Уэлса

или граф смежных классов укороченного тернарного кода Голея.

Следствие. Пусть Γ — антиподальный дистанционно регулярный граф диаметра4, являющийся накрытием примитивного графа ранга 3. Тогда Γ — один из следующихграфов:(1) 4-куб (2-накрытие свернутого 4-куба) или граф Уэлса (2-накрытие графа сверну-того 5-куба с параметрами (16, 5, 0, 2));(2) 8-клетка Татта с массивом пересечений 6, 4, 2, 1; 1, 1, 4, 6 (3-накрытие обобщенногочетырехугольника GQ(2, 2)) или граф Джонсона J(8, 4) (2-накрытие свернутого графаДжонсона J(8, 4));(3) половинный 8-куб (2-накрытие свернутого половинного 8-куба) или граф с масси-вом пересечений 20, 19, 6(r− 1)/r, 1; 1, 6/r, 19, 20 (r-накрытие графа эрмитовых формHerm(2, 32), r ∈ 2, 3, 6);(4) граф Конвея-Смита (3-накрытие графа T (7)) или граф с массивом пересечений22, 21, 6(r− 1)/r, 1; 1, 6/r, 21, 22 (r-накрытие графа Хигмена-Симса, r ∈ 2, 3, 6);(5) первый или второй граф Сойчера (3-накрытие графа с параметрами (162, 56,10, 24)) или 3-накрытие графа Судзуки с параметрами (1782, 416, 100, 96));(6) 3.F i−24-граф (3-накрытие графа 3-транспозиций с параметрами (306936, 31671,3510, 3240).

Работа выполнена при поддержке РНФ (проект 14-11-00061)


[1] Alfuraidan M. R. Antipodal distance transitive covers with primitive quotient diameter two // DiscreteMath. 2013. V. 313. P. 2409–2422.


Уральский федеральный университет, ЕкатеринбургE-mail: [email protected], [email protected], [email protected]

72



Разрешимость регулярных уравнений в классе нильпотентных групп

А. В. Меньшов, В. А. Романьков

Под уравнением от одной неизвестной над группой G понимается выражение видаu(x) = 1, где u(x) — групповое слово от неизвестной x и элементов группы G, которыеназываются коэффициентами. Если H — большая группа, т. е. группа содержащая Gв качестве фиксированной подгруппы, то исходное уравнение также рассматриваетсякак уравнение над H. Уравнение называется разрешимым в группе G, если существуетэлемент g ∈ G, для которого u(g) = 1. Уравнение называется разрешимым над группойG, если существует большая группаH, в которой это уравнение разрешимо. Уравнениеназывается регулярным, если сумма показателей степеней неизвестной x в слове u(x)(экспонента) не равна нулю.

Следующая гипотеза хорошо известна в теории групп:Гипотеза 1 (Кервера — Лауденбаха). Произвольное регулярное уравнение от

одной неизвестной разрешимо над любой группой.Гипотеза остается открытой до настоящего времени. Имеется лишь ряд частных

результатов, относительно которых см., например, [1].Пусть C — класс групп. Уравнение над группой G ∈ C, называется разрешимым

в C, если существует группа H ∈ C, содержащая G, в которой оно имеет решение. Вработе устанавливается разрешимость регулярных уравнений от одной неизвестной вразличных классах нильпотентных групп.

Приведем основные результаты.Теорема 2 ([2]). Любое регулярное уравнение от одной неизвестной над нильпо-

тентной группой без кручения имеет решение в ее мальцевском пополнении.Теорема 3. Любое регулярное уравнение от одной неизвестной над конечной

p-группой (p — простое) имеет решение в большей конечной p-группе.Следствие 4. Любое регулярное уравнение от одной неизвестной над конечной

нильпотентной группой имеет решение в большей конечной нильпотентной группе.Из этих результатов следует положительный ответ на вопрос 2.15 из [1]:Теорема 5. Любое регулярное уравнение от одной неизвестной над конечно по-

рожденной нильпотентной группой имеет решение в большей конечно порожденной

нильпотентной группе.


[1] Roman’kov V. Equations over groups, Groups-Complexity-Cryptology, 4, 2 (2012), 191–239.[2] Шмелькин А. Л. О полных нильпотентных группах, Алгебра и логика, 6, 2 (1967), 111–114.

Омский гос. ун-т им. Ф. М. Достоевского, Омск


73



Об одном обобщении схем отношений и связанных с ними дистанционно

регулярных графах диаметра 3

И. Т. Мухаметьянов

Пусть X — конечное множество, Ri (i = 0, 1, :, d) — бинарные отношения наX , которые удовлетворяют условиям симметричной коммутативной ассоциативнойсхемы отношений на d классах (определение см. в [1]), кроме условия постоянствачисел пересечений p1ij . Пару (X , Ri06i6d)=X (X) назовём схемой, Γ(i) = (X,Ri) –графом i-го отношения. Схему X (X) назовём кликовой, если:

1. Граф Γ(1) 1-го отношения является несвязным с n + 1 компонентами связности— кликами K1, K2, :, Kn+1 из d− 1 точек каждая.

2. Если x — фиксированная точка клики Ks, Kt 6= Ks, y пробегает точки из Kt,то в (x, y) ∈ Ri индекс i пробегает индексы из 2, 3, :, d.

3. Если i, j, k и s, t, l — два произвольных набора попарно различных индексов из2, 3, :, d, то pkij=plst, pkii=plss, piii=psss, и p1ij ∈ 0, r, r 6= 0.

Теорема. Для любого i ∈ 2, :, d граф Γ(i) i-го отношения кликовой схемы наd классах является дистанционно регулярным с массивом пересечений n, n − piii −1, 1; 1, pkii, n, k 6= i, где piii=p

kii=(n−1)/(d−1). При этом кликовая схема существует: в

качестве X можно взять некоторый класс сопряжённых элементов простого порядка pв группе G ∈ L2(q), Sz(q), U3(q) (при чётном q > 3 в последнем случае) при q = pm,определив Ri определённым образом, d = (q + 1)/2 при нечётном q, d = q при чётномq, а значения n, piii, p

kii — следующие:

1) Если G ≃ L2(q), то n = q, piii = q − µ, pkii = µ, где µ = 1 при чётном q > 4, иµ = 2 при нечётном q > 5;

2) Если G ≃ Sz(q), то n = q2, piii = (q − 2)(q + 1), pkii = q + 1, где q = 22n+1 > 8.3) Если G ≃ U3(q) ( q — чётно), то n = q3, piii = (q − 2)(q2 + q + 1), pkii = q2 + q + 1.Отметим, что первая из перечисленных серий графов хорошо известна, вторая и

третья серии — это подсерии новых серий дистанционно регулярных графов, которыеанонсировались в [2] и [3]


[1] Баннаи Э., Ито Т. Алгебраическая комбинаторика. Схемы отношений: Пер. с англ. М.: Мир, 1987.

375 с.[2] Махнев А. А., Падучих Д. В., Циовкина Л. Ю. Рёберно симметричные дистанционно регулярные

графы накрытия клик с λ = µ // Теория групп и её приложения: Тезисы IX Международной

школы-конференции по теории групп, посвящённой 90-летию со дня рождения З.И.Боревича. Вла-дикавказ: Изд-во СОГУ, 2012, 137 стр.

[3] Махнев А. А., Падучих Д. В., Циовкина Л. Ю. Рёберно симметричные дистанционно регулярныенакрытия клик с λ = µ, Доклады Академии Наук 2012. Т.446, 6, С.512–515.

Лысьвенский филиал Пермского национального исследовательского политехнического университета,

Лысьва (Пермский край)E-mail: [email protected]

74



О графах на множестве неединичных p-элементов группы SL2(pm)

И. Т. Мухаметьянов

Обобщены результаты из [1] и [2] для G = SL2(pm) и p 6= 2: описан граф смножеством вершин B неединичных p-элементов из G (pm ≥ 5) и множеством рёберx, y|xy−1 ∈ C, C – некоторый класс сопряжённых p′-элементов из G.

Пусть o(x) – порядок x ∈ G, a ≡ b(c) – это a ≡ b (mod c). Понятие почти дистан-ционно регулярного графа (ПДРГ) и обозначения, связанные с ним, см. в [2]. В группеG при p 6= 2 имеются следующие классы сопряжённости: 1) Ci+ = (xi)G, o(x) = q − 1,1 6 i 6 (q − 1)/4 при q ≡ 1(4) и 1 6 i 6 (q − 3)/4 при q ≡ −1(4), Ci− = −Ci+;2) Cj+ = (yj)G, o(x) = q + 1, 1 6 j 6 (q − 1)/4 при q ≡ 1(4) и 1 6 j 6 (q + 1)/4при q ≡ −1(4), Cj− = −Cj+. Имеем, что при q ≡ 1(4) C(q−1)/4+ = C(q−1)/4−, а приq ≡ −1(4) – C(q+1)/4+ = C(q+1)/4−. I+, I−, J+ и J− – множества индексов соответс-венно Ci+, Ci−, Cj+ и Cj−. Γ(ι) – граф с множеством вершин B и множеством рёберRι = x, y|yx−1 ∈ Cι, ι ∈ I+ ∪ I− ∪ J+ ∪ J−.

Теорема. В следующих случаях Γ(ι) является несвязным с двумя компонентами

связности – ПДРГ с одинаковыми массивами пересечений:a) q, q − 3, 1; 1, 2, q (т. е. компоненты связности – дистанционно регулярны) при:

1) q ≡ 1(4) и ι ∈ I+ ∪ I− \ (q − 1)/4± – чётное или ι ∈ J+ ∪ J− – произвольное;2) q ≡ −1(4) и ι ∈ I+ – нечётное, или ι ∈ I− – чётное, или ι ∈ J− \ (q + 1)/4± –произвольное (чётность ι = i± – это чётность i);

b) 2q, 2q − 3, b2(x, y); 1, c2(x, y), 2q, где b2(x, y) = 0 при y ∈ CG(x), b2(x, y) = 1 приy /∈ CG(x), c2(x, y) = q при y ∈ CG(x), c2(x, y) = 4 при y /∈ CG(x) при: 1) ι = (q − 1)/4±и q2 ≡ 1(16); 2) ι = (q + 1)/4± и q2 − 1 не делится на 16.В следующих случаях Γ(ι) – ПДРГ со следующими массивами пересечений:a) q, q − 1, q − 2, b3(x, y); 1, 2, c3(x, y), q, где b3(x, y) = 0 при y ∈ CG(x), b3(x, y) = 1

при y /∈ CG(x), c3(x, y) = q при y ∈ CG(x), c3(x, y) = 1 при y /∈ CG(x) при: 1) q ≡ 1(4)и ι ∈ I+ ∪ I− \ (q − 1)/4± – нечётное; 2) q ≡ −1(4) и ι ∈ I− – нечётное, или ι ∈ I+ –чётное, или ι ∈ J+ \ (q + 1)/4± – произвольное.

b) 2q, 2q − 1, b2(x, y); 1, c2(x, y), 2q, где b2(x, y) = 0 при y ∈ CG(x), b2(x, y) = 1 приy /∈ CG(x), c2(x, y) = 2q при y ∈ CG(x), c2(x, y) = 4 при y /∈ CG(x) при: 1) ι = (q−1)/4±и q2 − 1 не делится на 16; 2) ι = (q + 1)/4± и q2 ≡ 1(16).


[1] Мухаметьянов И. Т. Графы на на классе сопряжённых инволюций группы L2(2m) // Научное

обозрение. – 2013. 5, С. 133–141.

[2] Мухаметьянов И. Т. О дистанционно регулярных графах на множестве неединичных p-элементов

группы L2(pm) // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2012. Т.18, 3, С. 164–178.

Лысьвенский филиал Пермского национального исследовательского политехнического университета,Лысьва (Пермский край)


75



Пронормальность холловых подгрупп в почти простых группах

М. Н. Нестеров

ПодгруппаH конечной группы G называется холловой подгруппой, если её порядоки индекс взаимно просты.

Подгруппа H группы G называется пронормальной, если для любого элементаg ∈ G подгруппы H и Hg сопряжены в подгруппе 〈H,Hg〉.

Конечная группа называется почти простой, если её цоколь — неабелева простаягруппа.

В 2012 году в работе [1] была доказана следующаяТеорема 1. В любой простой группе холловы подгруппы пронормальны.

Основным результатом доклада является следующее обобщение этого утвержде-ния.Теорема 2. В любой почти простой группе холловы подгруппы пронормальны.


[1] Вдовин Е. П., Ревин Д. О. Пронормальность холловых подгрупп в конечных простых группах //

Сиб. мат. журн., 2012. Т. 53, 3. С. 527-542.



76



Пермутационные модули над проконечными группами

К. Н. Пономарев

Для произвольной проконечной группы G и коммутативной области целостности Rопределено понятие перестановочного RG-модуля, обобщающее известное понятие изтеории представлений конечных групп. Установлена теорема о свободе такого модуляв случае проконечной группы со счетной фундаментальной системой окрестностейединицы:

Теорема. Рассмотрим бесконечную проконечную группу G, которая обладаетсчетной системой фундаментальных окрестностей единицы, и коммутативную областьглавных идеалов R.Утверждается, что если M пермутационный RG-модуль, а H 6 G замкнутая под-

группа G, то R-модуль H-инвариантных элементов HM является свободным.Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаменталь-

ных исследований, проект N.12-01-00084, а также Министерства образования и наукиРФ, по государственному заданию N.2014/138, проект 1052

НГТУ, НовосибирскE-mail: [email protected]

77



О числе нечетносвязных окрасок двуцветных графов

А. И. Созутов, И. О. Александрова

В настоящей работе продолжаются исследования, начатые в [1]. Мы будем рас-сматривать неориентированные графы без петель и кратных ребер, окрашивая ихвершины в белый и черный цвета. Окраску графа Γn с вершинами 1, ... , n назовемнечетносвязной, если при удалении белых вершин граф Γn распадается на нечетноечисло связных компонент. Обозначим через tn = t(Γn) число всех нечетносвязныхокрасок графа Γn.

Множество Γn (n ≥ m) вложенных друг в друга графов называем A-серией, еслиих подграфы с вершинами m,m+ 1, ..., n являются цепями

Γm ⊂ Γm+1 ⊂ ... ⊂ Γn ⊂ ..., (1)ff f

m+1m n

С A-серией (1) связана последовательность tn чисел tn = t(Γn):

tm, tm+1, ..., tn, ... . (2)

Теорема 1. Для чисел последовательности (2) при любом n ≥ m справедливоравенство

tn = 2n−1 + 2n−m

2

[(tm+1 − tm − 2m−1

)sin

π(n−m)

4+(tm − 2m−1

)cos

π(n−m)

4

]. (3)

Последовательность (2) однозначно определяется числом m и любой четверкойчисел n, k, tn, tn+k, где k 6≡ 0 (mod 4).

В следующей теореме рассматривается последовательность (2), связаннаяс группами, порожденными 3-траспозициями. Среди групп с симплектическими 3-транспозициями наиболее интересны группы O±

2l(2) и Sp2l(2), число 3-транспо-зиций в которых равно t2l = 22l−1 ∓ 2l−1 и t2l+1 − 1 = 22l − 1 (см. [1]).

Теорема 2. Если tr = 2r−1 и ts = 2s−1±2s−22 для некоторых нечетного r и четного

s, то для чисел последовательности (2) верна точно одна из следующих формул

(a) tn+1 = 2n − 2n/2 sinπn

4; (b) tn+1 = 2n + 2n/2 sin

πn

4;

(c) tn+1 = 2n − 2n/2 cosπn

4; (d) tn+1 = 2n + 2n/2 cos

πn

4.


[1] Созутов А. И., Кузнецов А. А., Синицин В. М. О системах порождающих некоторых групп с

3-транспозициями // Сиб. матем. электр. изв., Т. 10, С. 285–301.

Сибирский федеральный университет, г. Красноярск

E-mail: sozutov [email protected], [email protected]

78



О графах Коксетера групп с симплектическими 3-транспозициями

А. И. Созутов, В. М. Синицин

В настоящей работе продолжаются исследования из [1, 2] по поиску систем поро-ждающих и определяющих соотношений групп с 3-транспозициями, близких к систе-мам порождающих и соотношений групп Коксетера. Все необходимые определенияможно найти в [2]. Множество Γn (n ≥ l) вложенных друг в друга графов назы-ваем E-серией, если они являются деревьями, содержат подграф E6, их подграфы свершинами l, l+ 1, ..., n являются цепями

Γl ⊂ Γl+1 ⊂ ... ⊂ Γn ⊂ ..., (1)ff f

l + 1l nи для некоторого n в пространстве Vn нет ненулевых инвариантных векторов [2].

Теорема. При m = 4k и нечетном k подграфы с вершинами 4k, 4k + 1, ... графовΓn E-серии (1) имеют точно одну из следующих разметок периода 8:

(A): m = 4k, k 6= 2r:

m m + 1 m + 2 m + 3 m + 4 m+ 5 m+ 6 m + 7 m + 8

f f f qf f f f qf fO− Sp O+ 2m+2 O+ Sp O− 2m+6 O−

(B): m = 4k, k 6= 2r:

m m + 1 m + 2 m + 3 m + 4 m+ 5 m+ 6 m + 7 m + 8

f f f qf f f f qf fO+ Sp O− 2m+2 O− Sp O+ 2m+6 O+

(C): m = 4k, k 6= 2r:

m m + 1 m + 2 m + 3 m + 4 m+ 5 m+ 6 m + 7 m + 8

f qf f f f qf f f fO+ 2m O+ Sp O− 2m+4 O− Sp O+

(D): m = 4k, k 6= 2r:

m m + 1 m + 2 m + 3 m + 4 m+ 5 m+ 6 m + 7 m + 8

f qf f f f qf f f fO− 2m O− Sp O+ 2m+4 O+ Sp O−

Если в (A)—(D) над вершиной n стоит метка O±, то графу Γn соответствуетгруппа O±

n (2), если — метка Sp, то — группа Spn−1(2), а если метка 2n−1, то расшире-ние элементарной абелевой группы порядка 2n−1 с помощью группы, соответствующейграфу Γn−1.


[1] Созутов А. И. О группах типа Σ4, порожденных 3-транспозициями // Сиб. матем. ж., Т. 33, 1

(1992), 140–149.

[2] Созутов А. И., Кузнецов А. А., Синицин В .М. О системах порождающих некоторых групп с

3-транспозициями // Сиб. матем. электр. изв., Т. 10, С. 285–301.

СФУ, Красноярск

E-mail: sozutov [email protected], [email protected]

79



О решетках подгрупп конечных разрешимых групп

И. Сяолан, С. Ф. Каморников

Рассматриваются только конечные разрешимые группы и разрешимые подгруппо-вые функторы. Используются определения и обозначения, принятые в [1]. Напомним,что отображение ω, ставящее в соответствие каждой группе G некоторую непустуюсистему подгрупп ω(G), называется подгрупповым функтором, если выполняется усло-вие (ω(G))φ = ω(Gφ) для любого изоморфизма φ каждой группы G.

Подгрупповой функтор ω, называется:1) регулярным, если (ω(A))φ ⊆ ω(B) и (ω(B))φ

−1 ⊆ ω(A) для любого эпиморфизмаφ : A→ B;

2) наследственным, если H ∩S ∈ ω(H) для любой подгруппы H группы G и любойподгруппы S ∈ ω(G);

3) транзитивным, если ω(H) ⊆ ω(G) для любой подгруппы H ∈ ω(G);4) включающим, если всегда из H ∈ ω(G) и H ⊆ U ⊆ G следует H ∈ ω(U);5) решеточным, если всегда из H,K ∈ ω(G) следует, что H ∩ K ∈ ω(G) и <

H,K >∈ ω(G).Приведенные определения, по сути, аксиоматизируют известные свойства субнор-

мальных подгрупп (инвариантность при гомоморфизмах, наследственность в пересе-чениях и надгруппах, транзитивность и решеточность).

В работе [2] был предложен подход, позволивший описать на классе всех конеч-ных разрешимых групп все регулярные наследственные транзитивные решеточныеподгрупповые функторы. Тем самым классифицированы все те подрешетки решеткивсех подгрупп конечной разрешимой группы, которые транзитивны и корректно ведутсебя при эпиморфизмах и в пересечениях.

В данной работе решается более общая задача: здесь на классе всех конечных раз-решимых групп описываются все регулярные включающие транзитивные решеточныеподгрупповые функторы. Отметим, что каждый наследственный подгрупповой функ-тор является включающим, а обратное не верно. Например, если p — простое число иω — подгрупповой функтор, выделяющий в каждой группе G все ее подгруппы, содер-жащие хотя бы одну силовскую p-подгруппу из G, является регулярным, включающими транзитивным, но не является наследственным.


[1] Каморников С. Ф., Селькин М. В. Подгрупповые функторы и классы конечных групп. Минск:

Белорусская наука, 2003.[2] Васильев А. Ф., Каморников С. Ф. О функторном методе изучения решеток подгрупп конечных

групп // Сиб. мат. журн. 2001. Т. 42, 1. С. 30–40.

Чжецзянский университет науки и технологий, Китай;Гомельский филиал Международного университета ”МИТСО”, Беларусь


80



Эндоморфизмы свободных разрешимых групп, сохраняющиепримитивность систем элементов

Е. И. Тимошенко

Пусть G = Fr(M) – свободная группа ранга r, r ≥ 2, некоторого многообразиягрупп M. Система элементов g1, . . . , gm, 1 ≤ m ≤ r, группы G называется прими-тивной, если её можно дополнить до базиса группы.

Пусть ϕ – некоторый эндоморфизм группы G. Эндоморфизм ϕ сохраняет прими-тивность систем элементов, если он отображает любую примитивную систему эле-ментов g1, . . . , gr−1 в примитивную систему. Эндоморфизмы группы G называютпримитивными, если он отображает примитивные элементы в примитивные.

Теорема 1. Любой эндоморфизм свободной метабелевой группы ранга r, r ≥ 2,сохраняющий примитивность систем, является автоморфизмом.

Теорема 2. Любой эндоморфизм свободной разрешимой группы ранга 2, сохра-няющий примитивность систем элементов, является автоморфизмом.

Новосибирский государственный технический университет, Новосибирск


81



О производной длине разрешимых групп с фиттинговыми силовскими

подгруппами фиксированного нормального ранга

A. A. Трофимук

Рассматриваются только конечные группы. Все обозначения и используемые опре-деления соответствуют [1].

Напомним, что нормальный ранг rn(P ) (см. [2]) p-группы P определяется следу-ющим образом:

rn(P ) = maxX⊳P

logp|X/Φ(X)|,где X пробегает все нормальные подгруппы группы P , в том числе и P . Здесь Φ(X) —подгруппа Фраттини группы X .

Бициклической называют группу G = AB, факторизуемую циклическими под-группами A и B. Бициклическая p-группа имеет нормальный ранг ≤ 2 для каждогонечетного p. Бициклическая 2-группа имеет нормальный ранг ≤ 3.

Инварианты разрешимых групп с бициклическими силовскими подгруппами полу-чены в работе [3]. В частности, производная длина таких групп не превышает 6.

В работе [4] было установлено, что для оценки производной длины разрешимойгруппы достаточно рассматривать силовские подгруппы только ее подгруппы Фит-тинга. В частности, производная длина разрешимой группы, у которой подгруппаФиттинга имеет бициклические силовские подгруппы, не превышает 6.

Поэтому возникает задача получения оценки производной длины разрешимой груп-пы, у которой нормальный ранг силовских p-подгрупп из подгруппы Фиттинга ≤ 2 длякаждого нечетного p и ≤ 3 для p = 2. Доказана следующая теорема.

Теорема. Пусть G — разрешимая группа и F (G) — подгруппа Фиттинга группыG с силовской 2–подгруппой нормального ранга ≤ 3 и силовскими p–подгруппами нор-мального ранга ≤ 2 для всех p > 2. Тогда производная длина группы G по подгруппеФраттини не превышает 5.


[1] Монахов В. С. Введение в теорию конечных групп и их классов // Минск: Вышэйшая школа, 2006.

[2] Монахов В. С. О разрешимых конечных группах с силовскими подгруппами малого ранга //Доклады Национальной академии наук Беларуси. 2002. Т. 46, 2. С. 25–28.

[3] Монахов В. С., Грибовская Е. Е. О максимальных и силовских подгруппах конечных разрешимых

групп // Математические заметки. 2001. Т. 70, 4. С. 603–612.

[4] Трофимук А. А. Производная длина конечных групп с ограничениями на силовские подгруппы //

Математические заметки. 2010. Т. 87, 2. — С. 287–293.

БрГУ им. А.С. Пушкина, Брест


82



Об аппроксимируемости корневыми классами некоторых

HNN-расширений групп

Е. А. Туманова

В данной работе рассматривается частный случай конструкции HNN-расширениягруппы с одной проходной буквой, когда связанные подгруппы совпадают и являютсяретрактами в базовой группе. Для этой конструкции исследуются условия аппрокси-мируемости корневыми классами групп.

Напомним, что класс групп K называется корневым, если он замкнут относительновзятия подгрупп и прямых произведений конечного числа сомножителей, а также удо-влетворяет условию Грюнберга: если X — некоторая группа и 1 6 Z 6 Y 6 X —субнормальный ряд группы X такой, что X/Y , Y/Z ∈ K, то в группе X существуетнормальная подгруппа T такая, что T ⊆ Z и X/T ∈ K. Известно, что класс группявляется корневым тогда и только тогда, когда он замкнут относительно взятия под-групп и декартовых сплетений. В частности, класс конечных групп является корневымтогда и только тогда, когда он замкнут относительно взятия подгрупп и расширений.

Теорема. Пусть K — корневой класс групп, B — K-аппроксимируемая группа,H — ретракт в группе B, ϕ — автоморфизм подгруппы H, G — HNN-расширениегруппы B с проходной буквой t и подгруппами H и Hϕ = H, связанными относительноавтоморфизма ϕ.

1. Если класс K содержит хотя бы одну непериодическую группу, то группа GK-аппроксимируема.

2. Пусть класс K состоит только из периодических групп и циклическая группа Φ,порожденная автоморфизмом ϕ, является конечной группой. Если Φ ∈ K, то группа GK-аппроксимируема. Если, кроме того, класс K замкнут относительно факторизации,то верно и обратное: из K-аппроксимируемости группы G следует, что Φ ∈ K.

В сформулированной теореме не рассматривается случай, когда класс K состоиттолько из периодических групп, а группа Φ бесконечна. Следующий пример показы-вает, что в данном случае HNN-расширение G может быть как K-аппроксимируемой,так и не K-аппроксимируемой группой.

Пусть B — свободная абелева группа ранга 4 с базисом h1; h2; h3; h4; H — под-группа группы B, порожденная элементами h1, h2, h3; автоморфизм ϕ группы Hпереводит h1 в h1h2, h2 в h2, h3 в hα3 , где α ∈ −1; 1. Тогда подгруппа H является ре-трактом в B и автоморфизм ϕ имеет бесконечный порядок. При этом можно показать,что если p — простое число, большее 2, то HNN-расширение G = (B, t; t−1Ht = H, ϕ)аппроксимируется классом Fp всех конечных p-групп тогда и только тогда, когдаα = 1.Ивановский государственный университет, Ивановский институт ГПС МЧС России, г. Иваново


83



Теоретико-групповой анализ обратного интегрального преобразованиятипа Фурье — Бесселя для обобщённой функции Бесселя

М. Д. Хриптун

Рассматривается основная серия представлений группы треугольных матриц тре-тьего порядка специального вида в пространстве Гибельта L2(ϕ), таких функций f(ϕ)из L2(ϕ), что

2π∫

0

|f(ϕ)|2dϕ <∞. (1)

Матричные элементы этих представлений выражаются через обобщённые функцииБесселя

U(m)k (z) =

1

2π

2π∫

0

exp

[z

m

(eiϕ + e−i(m−1)ϕ

)]e−ikϕdϕ, (2)

k — целое число, z — комплексная переменная.На основании теории представлений этих групп получаются основные свойства

функции U (m)k (z).

При рассмотрении квазирегулярного представления этой же группы в простран-стве функций f(x, y) таких, что

∞∫

−∞

∞∫

−∞

|f(x, y)|2dxdy <∞,

которые являются приводимыми, и при разложении его на прямую непрерывную суммунеприводимых представлений, используя представление Фурье для f(x, y), получаемпрямое и обратное интегральное преобразование типа Фурье–Бесселя для этих функ-ций (2).

Функции (2) находят приложения при решении сложных задач теории массовогообслуживания, в теории чисел, в операционном исчислении, в сложных задачах мате-матической физики и других исследований.

Институт математики им. С.Л. Соболева СО РАН, Новосибирск


84



Периодические группы, насыщенные L4(2n) и U4(2n)

А. А. Шлепкин

По определению группа G насыщена группами из множества групп X , если любаяконечная подгруппа K из G содержится в подгруппе группы G, изоморфной некоторойгруппе из X [1].

В [2] доказано, что произвольная периодическая группа, насыщенная группамиL3(2n), изоморфна L3(Q), где Q — локально-конечное поле характеристики два. В[3] доказано, что произвольная периодическая группа, насыщенная группами U3(2n),изоморфна U3(Q), где Q — локально-конечное поле характеристики два. Пусть M =L4(2n) и N = U4(2n).

Теорема 1. Периодическая группа G, насыщенная группами из множества M,изоморфна L4(Q), где Q — подходящие локально-конечное поле характеристики два.

Теорема 2. Периодическая группа G, насыщенная группами из множества N,изоморфна U4(Q), где Q — подходящие локально-конечное поле характеристики два.


[1] Шлепкин А. К. Сопряженно бипримитивно конечные группы, содержащие конечные неразрешимые

подгруппы, Сб. тезисов 3-й междунар. конф. по алгебре, Красноярск, (1993), 363.[2] Лыткина Д. В., Мазуров В. Д. Периодические группы насыщенные L3(2n), Алгебра и логика, Т.

46, 5(2007), 606–626.

[3] Лыткина Д. В., Тухватулина Л. Р., Филиппов К. А. Периодические группы насыщенные конеч-ными простыми группами U3(2n), Алгебра и логика, Т. 47, 3(2008), 288–306.

Сибирский федеральный университет, Красноярск


85



Finite groups in which all maximal subgroups are π-closed

V. A. Belonogov

Finite non-nilpotent groups in which all maximal subgroups are nilpotent was describedby O. Ju. Schmidt in 1924 and are named the Schmidt groups. Let π be a set of primes.A finite group G is called π-closed if it has a normal π-Hall subgroup. The author considerthe pair (G, π) such that

(∗) G is a finite non-π-closed group whose all maximal subgroups are π-closed.It is proved in [1] (see also [2, the end of sect. 1]) the followingProposition. For G and π with the condition (∗) G/Φ(G) is a simple non-abelian

group or G is a Schmidt group.This reduce the study of the pair (G, π) with the condition (∗) to the case of simple

non-abelian groups G.Theorem. Let G be a finite simple non-abelian group and π set of primes. Let G be

not π-closed group in which all maximal subgroups are π-closed. Then(I) 2 6∈ π;(II) G is a one of following groups (everywhere q is a prime power) :

(1) G ≃ Ar, where r is a prime and r ≥ 5;(2) G ≃ PSL2(q), where q > 5;(3) G ≃ PSLr(q), where r is odd prime;(4) G ≃ PSUr(q), where r is odd prime;(5) G ≃ Sz(q), where с q = 22n+1 ≥ 8;(6) G ≃ 2G2(q), where q = 32n+1 ≥ 27;(7) G ≃ 3D4(q);(8) G ≃ 2F4(q), where q = 22n+1 ≥ 8;(9) G ≃ E8(q);(10) G is isomorphic to a one of groups M23, J1, J4, Ly, F i

′24 and F2.

The proof of Theorem is based on the results of the author’s paper [3] about the controlof the prime spectrum of the finite simple groups.

This work was supported by RFBR (project no. 13-01-00469), Program DMS of RAS(project no. 12-T-1-1003), Programs of JR of UB RAS with SB RAS (project no. 12-S-1-10018) and Belarussian NAS (project no. 12-S-1-1009).

References

[1] Belonogov V. A. On finite groups whose all maximal subgroups are π-closed // Works of Int. School-Conf. on group theory, ded. to 70 of V. V. Kabanov, Nalchik, 2014, pp. 6–9. (In Russian)

[2] Belonogov V. A. On finite groups saturated with (π, π′)-decomposable subgroups // Siberian Math. J.,

1969, vol. 10, no. 3, pp. 354–362.[3] Belonogov V. A. On control of the prime spectrum of finite simple group // Proc. of the Steclov

Institute of Mathematics, 2014, Vol. 285, Suppl. 1, pp. S25–S41.

Inst. Math. Mech., Ural Branch of RAS, Ekaterinburg (Russia)


86



On the behaviour of certain products of long and short root elements inirreducible representations of algebraic groups of type Br

T. S. Busel

The behaviour of products of commuting long and short root elements in p-restrictedirreducible representations of algebraic groups of type Br is investigated. For such repre-sentations with certain local properties of the highest weights it is shown that the imagesof these elements have Jordan blocks of all a priori possible sizes. Let K be an algebraicallyclosed field of characteristic p > 2, G = Br(K), r ≥ 6. For x ∈ G and a representation ϕof G denote by Jϕ(x) the set of Jordan block sizes of the element ϕ(x) (multiplicities arenot taken into account). For a, b ∈ N, a ≤ b, put N b

a = i ∈ N | a ≤ i ≤ b. Throughoutthe text ωi and αi are the fundamental weights and the simple roots of G labeled in thestandard way; X±i and x±i(t) are the root subgroup and the root element in G associatedwith ±αi and t ∈ K. The following theorem is proved.

Theorem. Let ϕ be a p-restricted representation of G with highest weight a1ω1 + ...+arωr and x = x1(1)xr(1). Assume that aj 6= p − 1 for some j < r − 1. Set d = d(ϕ) =1 + 2a1 + 3a2 + 4(a3 + ...+ ar−2) + 2ar.

1) Let ar 6= p− 1 and∑r−2

i=1 ai ≥ p. Then Jϕ(x) = Np1 .

2) Let 2ar−1 + ar < p. Assume that∑r−3

i=1 ai 6= 0 for 2ar−1 + ar = p − 2 or p − 1 and

that∑r−3

i=1 ai 6= 0 or (r − 3)(p− 1) if ar = p− 1. Then Jϕ(x) = Nmin (p,d)1 .

Let H be the subgroup in G generated by the subgroups X±1, ..., X±(r−2). ThenH ∼= Ar−2(K). As H commutes with the subgroup of type A1 generated by the subgroupsX+r and X−r, all nonidentity root elements of the group H are conjugate and all nonidentityelements x±r(t) are conjugate, the statement of the theorem is true for an arbitrary productof a nontrivial root element from H and a nontrivial element x±r(t).

In [1] a similar question was considered for representations of algebraic groups of typeAr and products of regular unipotent elements from commuting subsystem subgroups oftypes A1 and A2. This research has been supported by the Institute of Mathematicsof the National Academy of Belarus in the framework of the State Research Programme”Convergence” (2011-2015).

References

[1] Suprunenko I. D. On the block structure of regular unipotent elements from subgroups of type A1×A2

in representations of the special linear group. — Journal of Mathematical Sciences. 2012. vol. 183. Issue5. pp. 715–726.

Institute of Mathematics, National Academy of Sciences of Belarus, Minsk (Belarus)E-mail: [email protected]

87



Algorithmic aspects of recognizability by spectrum

A. A. Buturlakin, A. V. Vasil′ev

The set of element orders of a finite group G is called the spectrum and denoted byω(G). Groups having the same spectrum are called isospectral. The following questionseems to be natural: if M is a set of positive integers, does a group G with ω(G) = Mexist, and if so, can one describe all such groups? The talk is concerned with algorithmicaspect of this problem in a special case when G is simple.

Note that the spectrum of a group G is always closed under taking divisors, i.e., ifn ∈ ω(G) and d divides n then d ∈ ω(G); in particular, ω(G) is uniquely determined by itssubset µ(G) of elements maximal w.r.t. divisibility. Let ω(M) and µ(M) stand for the setof all divisors of elements ofM and the set of all elements ofM maximal w.r.t. divisibility.If we require ω(G) = ω(M) instead of ω(G) = M, then we get the more natural problemin which trivial situations, when M is not closed under taking divisors, are omitted.

Given a finite group G, the set M is called almost G-spectral if M⊆ ω(G), maxM =maxω(G) and ω(H) 6= ω(M) for every finite simple group H whose spectrum differs fromthe spectrum of G. Observe that if G and H two non-isomorphic finite simple group, thenω(G) 6= ω(H) except the cases G,H = O+

8 (2), S6(2) and G,H = O+8 (3), O7(3).

Therefore, if, given a finite set M, we denote by Ω(M) the set of all simple groups G suchthat M is almost G-spectral, then Ω(M) is either empty, or a singleton, or is equal toO+

8 (2), S6(2) or O+8 (3), O7(3).

Theorem. LetM be a finite set of positive integers, m = |M| and M = maxM. ThenΩ(M) can be constructed fromM in time polynomial in m logM .

The work is supported by Russian Science Foundation (project 14-21-00065).

Sobolev Institute of Mathematics, Novosibirsk State University, Novosibirsk (Russia)


88



On Borovik’s conjecture

A. A. Buturlakin, A. V. Vasil′ev

The c-dimension of a group G is the maximal length of a nested chain of centralizers ofsubsets in G. Groups of finite c-dimension have some interesting properties. For example, aperiodic locally soluble group of finite c-dimension k is soluble of k-bounded derived length[1]. In the same paper the following conjecture is formulated.

Conjecture (A.V. Borovik). Let G be a locally finite group of finite c-dimension k.Let S be the full inverse image of the “generalized Fitting subgroup” F ∗(G/F (G)), whichis equal to the product of F (G/F (G)) and all the quasi-simple subnormal subgroups ofG/F (G). Then

(1) the number of non-abelian simple composition factors of G is finite and k-bounded;(2) G/S has an abelian subgroup of finite k-bounded index.

The first statement of the conjecture is proved in [2].For a finite nonabelian simple group G define qr(G) to be the Lie rank for groups of Lie

type, the degree for alternating groups, and 1 for sporadic groups.We prove a stronger version of (1) for finite groups.

Theorem. Let G be a finite group of c-dimension k and G be its quotient by thesoluble radical. Let n be the sum of qr(S) where S runs through all composition factors ofthe socle Soc(G). Then n is bounded polynomially in terms of k.

This theorem implies the following weak version of (2).

Corollary. Let G be a finite group of c-dimension k and G be its quotient by thesoluble radical. Then G/Soc(G) has an abelian subgroup of k-bounded index.

The work is partially supported by RFBR (grant 13-01-00505).

References

[1] Khukhro E. I. On solubility of groups with bounded centralizer chains, Glasgow Math. J., Vol. 51 (2009),

P. 49–54.[2] Buturlakin A. A., Vasil′ev A. V. Locally Finite Groups with Bounded Centralizer Chains, Algebra and

Logic, Vol. 52, no. 5 (2013), P. 367–370.

Sobolev Institute of Mathematics and Novosibirsk State University, Novosibirsk (Russia)


89



A modular equality for Cameron—Liebler line classes

A. Gavrilyuk, K. Metsch

A Cameron-Liebler line class (a CL line class for short) of the finite projective spacePG(3, q) is a set of lines that shares a constant number x of lines with every regular spread ofPG(3, q). The number x is called the parameter of the CL line class. These classes appearedin connection with an attempt [2] to classify collineation groups of PG(n, q), n > 3, thathave equally many orbits on lines and on points.

An empty set of lines is a CL line class with parameter x = 0. An example with x = 1consists of all lines on a point or of all lines in a plane. If the point is not in the plane, thenthe union of the previous two examples gives a CL line class with x = 2. It was conjectured[2] that these are the only CL line classes. The first counterexamples were constructed in[3] (in PG(3, 3), x = 5), in [1] (for odd q, in PG(3, q), x = (q2 + 1)/2), and [5] in PG(3, 4)with x = 7. There is no infinite series known [7] with x 6= 0, 1, 2, 1

2(q2 + 1). In this work

we show a strong non-existence result for CL line classes (for any space PG(3, q), it rulesout roughly at least half of the possible parameters x of a CL line class), which proves aconjecture from [4].

Theorem. Suppose PG(3, q) has a Cameron-Liebler line class with parameter x. Then(x2

)+ n(n− x) ≡ 0 (mod q + 1) has a solution for n in the set 0, 1, . . . , q.The technique used to prove this result is based on ideas of the papers [4], [6]. As

an application, we also provide a construction for a new Cameron-Liebler line class withparameter 10 in PG(3, 5). Note that the spectra of parameters of Cameron-Liebler lineclasses in PG(3, q) with q ≤ 4 were determined earlier, see [3, 4, 5].

Part of this work was done while the first author was visiting Tohoku University as aJSPS Postdoctoral Fellow. He was also supported by the grant MK-1719.2013.1.

References

[1] Bruen A. A., Drudge K. The construction of Cameron-Liebler line classes in PG(3, q). Finite Fields

Appl., 5(1):35–45, 1999.

[2] Cameron P. J., Liebler R. A. Tactical decompositions and orbits of projective groups., Linear AlgebraAppl., 46:91–102, 1982.

[3] Drudge K. On a conjecture of Cameron and Liebler. European J. Combin., 20(4):263–269, 1999.

[4] Gavrilyuk A. L., Mogilnykh I. Yu. Cameron-Liebler line classes in PG(n, 4). Des. Codes Cryptogr.,73(3):969–982, 2014.

[5] Govaerts P., Penttila T. Cameron-Liebler line classes in PG(3, 4). Bull. Belg. Math. Soc. Simon Stevin,12(5):793–804, 2005.

[6] Metsch K. An improved bound on the existence of Cameron–Liebler line classes. J. Combin. Theory

Ser. A, 121:89–93, 2014.[7] Rodgers M. Cameron-Liebler line classes., Des. Codes Cryptogr., 68(1-3):33–37, 2013.

Krasovsky Institute of Mathematics and Mechanics UB RAS, Ekaterinburg (Russia),

Justus-Liebig-Universitat, Mathematisches Institut, Gießen (Germany)E-mail: [email protected], [email protected]

90



On finite simple groups that are not recognizable by spectrum

M. A. Grechkoseeva, A. M. Staroletov

The spectrum ω(G) of a finite group G is the set of its element orders. Groups withthe same spectra are said to be isospectral. If G has a nontrivial normal soluble subgroupthen the set of different finite groups isospectral to G is infinite. The set of different groupsisospectral to a nonabelian simple group also can be infinite but the general situationis described by the following Mazurov’s conjecture: if G is a simple classical group ofsufficiently large dimension or a simple non-classical group of sufficiently large order thenevery finite group isospectral to G is an almost simple group with socle isomorphic to G.

At present Mazurov’s conjecture can be considered to be proved: the stated propertyis satisfied by all simple classical groups of dimension at least 62 and all simple sporadicgroups, alternating groups and exceptional groups of Lie type apart from J2, A6, A10, and3D4(2) (see [1]). Furthermore, we conjecture that the bound for classical groups can bedecreased from 62 to 10 [1, Conjecture 1]. Here we prove that the simple nine-dimensionalorthogonal groups do not have the stated property, and so the bound cannot be decreasedfurther.

Theorem. Let S = Ω−8 (q), V be the natural eight-dimensional module of S and let

V ⋊ S be the semidirect product of V and S. Then ω(V ⋊ S) = ω(Ω9(q)). In particular,there are infinitely many pairwise nonisomorphic finite groups isospectral to Ω9(q).

We note that for even q, the group Ω9(q) is isomorphic to Sp8(q), and the assertion ofthe theorem for q = 2 was established in [2].

Acknowledgments. The work is supported by Russian Science Foundation (project14-21-00065).

References

[1] Vasil′ev A. V., Grechkoseeva M. A. On the structure of finite groups isospectral to finite simple groups,

Preprint (2014), http://arxiv.org/abs/1409.8086.

[2] Mazurov V. D., Moghaddamfar A. R. The recognition of the simple group S8(2) by its spectrum, AlgebraColloq., 13 (2006), . 4, 643–646.

Sobolev Institute of Mathematics, Novosibirsk State University, Novosibirsk (Russia)


91



Finite geometry and related algebraic systems

A. Grishkov

By definition a finite geometry (a n−geometry) is a set (may be infinite!) P and a setL of subsets of P such that any element of L contains n elements from P. Moreover, forevery two elements x, y of P there exists exactly one element lx,y ∈ L.

We study the finite geometries using theory of quasi-groups and loops. For example,if P is a 3−geomery then the corresponding set L(P ) = L supe is a loop (Steiner loop)with multiplication x.e = e.x = x, x.y = z, if lx,y = x, y, z. Using the theory of loops weconsruct new examples of finite geometries and prove some important facts about free finitegeometries. For example, we prove that the group of automorphisms of free 3−geometrywith three generators is finitely generated, and is infinitely ngenerated in the case of morethat three generators.

This talk is based on join work with M. Rasskazova, D. Rasskazova and I. Stulh.

University of Sao Paulo (Brazil) and Omsk State University, RussiaE-mail: [email protected]

92



On the conjugacy search problem for polynomial permutations modulo pn

A. V. Karpov

Fix a prime p and an integer n such that n ≥ 1. We consider the conjugacy searchproblem in the group of permutations on Zpn that are arising from polynomials from Z[x],i.e. the problem of determining a polynomial a such that the following equation holds forevery x ∈ Zpn

a(g(x)) ≡ f(a(x)) (mod pn), (1)

where polynomials f and g are given and induce permutations that are conjugate. Apermutation is said to be transitive if it’s representation has exactly one cycle of the lengthpn. We consider only the case when f and g induce transitive permutations.

Lemma. Let gp, f ∈ Z[x] induce conjugate transitive permutations on Zpn , ap ∈ Z[x]be a polynomial such that the equation ap(gp(x)) ≡ f(ap(x)) (mod pn) holds for everyx ∈ Zpn , a0 ∈ Z[x] satisfy a0(x) ≡ 0 (mod pk) and a′0(x) ≡ 0 (mod pl) for every x ∈ Zpn

and k, l be integers such that ⌈n/2⌉ ≤ k ≤ n, n − k ≤ l. Then (1) holds for every x ∈ Zpn ,where g(x) = gp(x) + g0(x), a(x) = ap(x) + a0(x) = ap(x+ c0(x)), and functions g0, a0 andc0 satisfy the following equations:

a0(x) ≡ (g0(x)a′p(gp(x)) + a0(gp(x)))f ′(ap(x))−1 (mod pn), (2)

c0(x) ≡ (g0(x) + c0(gp(x)))g′p(x)−1 (mod pn) (3)

for every x ∈ Zpn .Theorem. Under conditions of lemma equations (2) and (3) define recursion laws for

functions a0 and c0 respectively, where bases of recursions are

a0(x mod pn−l ≡ 0) = ha′p(0), c0(x mod pn−l ≡ 0) = h,

i.e. depth of both recursions is pn−l. Constant h is equal to a0(0), and in case f(x) = x+ 1is equal to zero.

Thus, if we known the solution of the equation (1), then we can recursively constructthe solution for g(x) + g0(x) in the forms a(x) + a0(x), a(x + c0(x)), but there is still noknown explicit formulas for the functions a0 and c0.

Tomsk State University, Tomsk (Russia)


93



Finite and locally finite groups with automorphisms of order 2n

N. Yu. Makarenko

The talk is based on joint works with E. I. Khukhro and P. Shumyatsky.

Suppose that a finite group G admits an automorphism ϕ of order 2n such that thefixed-point subgroup CG(α) of the involution α ∈ 〈ϕ〉 is nilpotent of class c. It is proved in[1] that G has a soluble subgroup of derived length bounded in terms of n, c whose index isbounded in terms of n, c and |CG(ϕ)|.

A similar result is also proved for Lie rings [1]. Suppose that a finite Lie ring L admitsan automorphism ϕ of order 2n such that the fixed-point subring CL(α) of the involutionα ∈ 〈ϕ〉 is nilpotent of class c. Let m = |CL(ϕ)| be the number of fixed points of ϕ. ThenL has ideals M1 ≥ M2 such that M1 has the index bounded in terms of m and n in theadditive group L, the quotient M1/M2 is nilpotent of class at most c+1, and M2 is nilpotentof nilpotency class bounded in terms of n and c.

These results are applied to study of a locally finite group G that has a 2-element gwith Chernikov centralizer. It is proved in [2] that if the involution in 〈g〉 has nilpotentcentralizer, then G has a soluble subgroup of finite index.

The author was supported by the Russian Science Foundation, project no. 14-21-00065.

References

[1] Khukhro E. I., Makarenko N. Yu., Shumyatsky P. Finite groups and Lie rings with an automorphismof order 2n, arXiv:1409.7807.

[2] Khukhro E. I., Makarenko N. Yu., Shumyatsky P. Locally finite groups containing a 2-element with

Chernikov centralizer, arXiv:1410.1521, accepted in Monatshefte fur Mathematik.


E-mail: natalia [email protected]

94



On minimal switching sets for q-analogs of Steiner triple systems

I. Yu. Mogilnykh

A collection of 3-subspaces of Fnq , called blocks, such that each 2-subspace of Fn

q iscontained in a unique block is called q-Steiner triple system (briefly q-STS). Recently,Braun et al. [1] constructed the first example for n = 13 and q = 2, while the smallestnontrivial case for n = 7 and q = 2 remains to be open.

Consider a collection of 3-subspaces without pairwise intersection of dimension 2. Forsuch set A denote by O(A) the collection of 2-subspaces, contained in subspaces of A. A setA is called a switching set for q-STS if there is a collection of 3-subspaces A′ (an alternativeof A), such that O(A) = O(A′). Given q-STS D and D′ in Fn

q we see that A = D \D′ andA′ = D′ \D are switching sets. Thus we see that studying switching sets is relevant fromstandpoints of existence and characterization of q-STS.

Switching sets (also known as trades) can be defined for different types of combinatorialobjects. In particular, Etzion and Vardy [2] suggested weight distribution technique (Lemma3.1) for evaluating the sizes of switching sets for binary perfect codes. This approach appliedto q-STS gives the following.

Lemma. The size of a switching set for q-STS in Fnq is not less then (q4 − 1)/(q − 1).

In work [3] equidistant codes in Grassman graph are considered. We show that a codefrom [3] is a minimal switching set for q-STS. For a k-subspace U of F l

q denote by M(U)a matrix whose rows are a basis of U . By det(M(U)i1,...,ik) denote the matrix minor ofM(U), obtained by taking columns of M(U) indexed by i1, . . . , ik.

The Plucker image P(U) of U is the 1-subspace of F(lk)q defined by the vector P (U) with

coordinates indexed by the k-subsets of the l positions of F lq: P (U)i1,...,ik = det(M(U)i1,...,ik).

Following [3] given a 1-subspace W of F 4q we consider the union

PW =⋃

U:W is a subspace of 2−space U

P (U)

of 1-subspaces of F 6q which is in fact a 3-subspace of F 6

q and the set

A = PW : W is a 1-subspace of F 4q .

The alternative of A is obtained using duality of projective space. For a 3-subspace W ofF 4q denote by PW the union of the Plucker images of the 2-subspaces, containing in W ,

A′ = PW : W is a 3-subspace of F 4q .

Theorem. The defined above set A is a switching set for q-STS of minimal size.Acknowledgements. The author is grateful to D. S. Krotov for problem statement

and useful discussions. The work is supported by the Program of Joint Research of the Uraland Siberian Divisions of the RAS (pr. 12-C-1-1018).

References

[1] Braun M., Etzion T., Ostergard P.R.J., Vardy A., Wasserman A. Existence of q-analogs of Steiner

systems, http://arxiv.org/pdf/1304.1462.pdf.[2] Etzion T., Vardy A. Perfect Binary Codes: Constructions Properties, and Enumeration, IEEE Trans.

Inform. Theory, IT-40 (1994), 754–763.

[3] Etzion T., Raviv N. Equidistant codes in Grassmanian, http://arxiv.org/abs/1308.6231.

Sobolev Institute of Mathematics and Novosibirsk State University, NovosibirskE-mail: [email protected]

95



Confirmation for Wielandt’s conjecture

D. O. Revin

In the talk, the results of an joint work in collaboration with Guo Wenbin and EvgenyVdovin will be presented.

By π, we always denote a set of primes.Recall that a subgroup H of a finite group G is called a π-Hall subgroup if

• every prime divisor of |H| belongs to π (i.e. H is a π-subgroup) and• every prime divisor of |G : H| does not belong to π.

According to P. Hall [1], we say that a finite group G satisfies Dπ if G contains a π-Hallsubgroup H and every π-subgroup of G is conjugate in G with some subgroup of H.

Recall that a finite group is nilpotent if and only if it is a direct product of its Sylowsubgroups. In [2], H. Wielandt proved the following theorem.

Theorem (Wielandt, 1954). Assume that a finite group G possesses a nilpotentπ-Hall subgroup for a set π of primes. Then G satisfies Dπ.

This result is regarded to be classical and can be found in well-known textbooks. Thereare a lot of generalizations and analogs of Wielandt’s theorem. One of the earliest suchgeneralizations was obtained by Wielandt himself in [3]:

Theorem (Wielandt, 1959). Suppose that π is a union of disjoint subsets σ and τ .Assume that a finite group G possesses a π-Hall subgroup H = Hσ × Hτ , where Hσ isa nilpotent σ-subgroup and Hτ is a τ -subgroup of H, and let G satisfy Dτ . Then Gsatisfies Dπ.

In the same paper [3], Wielandt asked whether, instead of the nilpotency of Hσ, it issufficient to assume that G satisfies Dσ?

The main result of the talk is the following statement which give an affirmative answerto this question and generalize both Wielandt’s theorems of 1954 and 1959.

Theorem. Let a set π of primes be a union of disjoint subsets σ and τ . Assume thata finite group G possesses a π-Hall subgroup H = Hσ ×Hτ , where Hσ and Hτ are σ- andτ -subgroups, respectively. Then G satisfies Dπ if and only if G satisfies both Dσ and Dτ .

The work is supported by Russian Science Foundation (project 14-21-00065).

References

[1] Hall P. Theorems like Sylow’s, Proc. Lond. Math. Soc., 6:22 (1956), 286–304.[2] Wielandt H. Zum Satz von Sylow, Math. Z., 60:4, (1954), 407–408.

[3] Wielandt H. Zum Satz von Sylow II, Math. Z., 71:4, (1959), 461–462.

Novosibirsk State University, Sobolev Institute of Mathematics, Novosibirsk (Russia)


96



Another two constructions of Klin-Pech distance-regular graphs withintersection arrays 35, 24, 1; 1, 12, 35 and 44, 24, 1; 1, 12, 44

L. Yu. Tsiovkina

Our notation and terminology follows that found in [1, 2]. Let Φ be the Foster graph(the unique distance-regular graph with intersection array 3, 2, 2, 2, 2, 1, 1, 1; 1, 1, 1, 1, 2, 2,2, 3) and G = Aut(Φ). In [2], the authors found two new distance-regular graphs Γ1

and Γ2 with intersection arrays 35, 24, 1; 1, 12, 35 or 44, 24, 1; 1, 12, 44, respectively. Thefirst one is obtained with the use of generalized Hadamard matrix of order 6 over Z3 bythe construction given in [2, Theorem 5.6] and the second one is obtained with the use ofGodsil-Hensel matrix from GHM(Z3, 45, 3, 12), which is constructed in [2, Theorem 7.1],and seems to be sporadic. By [2, Remark 7.2 ii)], G ≃ Aut(Γ1) ≃ Aut(Γ2).

In the present work, we provide another two constructions of these graphs, consideringthe structure of the group G.

Theorem 1. Let V be the class of involutions of G with |V| = 108. Then the graph withvertex set V, whose edges are the pairs u, v, such that |uv| ∈ 2, 4, 5, is distance-regulargraph with intersection array 35, 24, 1; 1, 12, 35, isomorphic to Γ1.

Theorem 2. Let C1 and C2 be the classes of conjugate subgroups of G, isomorphic toZ2, with |C1| = 90 and |C2| = 108, let C3 be the class of conjugate subgroups of G, isomorphicto E22 with |C3| = 135, let C4 be the class of conjugate subgroups of G, isomorphic to E23

with |C4| = 90 and E = ∪4i=1Ci. Let V be the class of conjugate subgroups of G, isomorphicto Z4, with |V | = 135. Then the graph with the vertex set V , whose edges are the pairsu, v, such that NG(u) ∩ NG(v) ∈ E, is distance-regular graph with intersection array44, 24, 1; 1, 12, 44, isomorphic to Γ2.

Acknowledgement. This work was supported by Russian Foundation for Basic Research(research project No. 14-01-31298).

References

[1] Brouwer A. E., Cohen A. M., Neumaier A. Distance-Regular Graphs, Springer-Verlag. Berlin HeidelbergNew York. 1989.

[2] Klin M., Pech Ch. A new construction of antipodal distance-regular covers of complete graphs throughthe use of Godsil-Hensel matrices, Ars Mathematica Contemporanea 4 (2011), 205–243.

Krasovsky Institute of Mathematics and Mechanics, Yekaterinburg (Russia)


97



Distance regular colorings of the infinite triangular grid

A. Yu. Vasil′eva

A vertex partition (V1, . . . , Vk) of a graph G is called a perfect coloring (or equitablepartition, or regular partition, or partition design) if for every i, j ∈ 1, . . . , k there is anumber aij such that every vertex from Vi has exactly aij neighbors from Vj . The matrixA = (aij) is called the parameter matrix of the coloring. A perfect coloring (V1, . . . , Vk)is distance regular if its parameter matrix is three-diagonal (i.e. (V1, . . . , Vk) is the dis-tance coloring with respect to V1). In this case the set V1 is called a distance regu-lar code and we will write the matrix (aij)

ki,j=1 as the sequence of its nonzero elements:

[a11a12|a21a22a23|a32a33a34| . . . |akk−1akk].We study the distance regular colorings of the infinite 6-regular graph of the triangular

grid and list all the parameter matrices for this graph.Theorem. Up to the central symmetry, the parameter (k × k)-matrices of nontrivial

(k > 1) distance regular colorings of the infinite triangular grid are following:ten matrices with k = 2:[06|15]; [06|24]; [06|33]; [15|24]; [15|33]; [24|24]; [24|33]; [24|42]; [33|33]; [42|24];three classes with k = 3, 4, 5, . . .:[24|222| . . . |222|24]; [24|222| . . . |222|42]; [42|222| . . . |222|42];four ”sporadic” matrices with k = 3:[06|123|24]; [06|123|33]; [06|132|60]; [06|141|60].Each of the matrices [24|24], [24|33] corresponds to two nonequivalent colorings; each of[06|24], [24|42], [06|141|60] corresponds to infinite number of colorings; every other matrixcorresponds to one colorings, up to equivalence.

References

[1] Avgustinovich S. V., Vasil’eva, A. Yu., Sergeeva, I. V. Distance regular colorings of the infinite rectan-gular grid // Diskretn. Anal. Issled. Oper. 2011. Vol. 18. N 3. P. 3–10.

[2] Puzynina S. A. On periodicity of perfect colorings of the infinite hexagonal and triangular grids // Sib.

Math. J. 2011. Vol. 52. N 1. P. 91–104.



98



On spectra of automorphic extensions of Steinberg’s triality groups

M. A. Zvezdina

For a finite group G, the set of its element orders is called the spectrum of G anddenoted by ω(G). Let S < G ≤ Aut(S), where S is a finite non-abelian simple group. Theproblem is to find all S and G such that ω(S) = ω(G) (see [1, Question 17.36]).

Our work is concerned with Steinberg’s triality groups 3D4(q). If S = 3D4(q), G isan automorphic extension of S and ω(G) = ω(S) then it follows from [2] that G/S is a2, 3-group. We consider the case where G/S is a 2-group. The result is the following:

Theorem. Let S = 3D4(q), q = pα, and S < G ≤ Aut(S). Assume that G/S isa 2-group. If p ∈ 2, 3, 5 then ω(S) 6= ω(G). If p > 5 then ω(S) = ω(G).

We mention that this is the first example of an exceptional simple group which has anautomorphic extension with the same spectrum.

Acknowledgments. The work is supported by Russian Science Foundation (project14-21-00065).

References

[1] Mazurov V. D., Khukhro E. I. (eds.) The Kourovka notebook. Unsolved problems in group theory, 17

ed., Institute of Mathematics, Russian Academy of Sciences, Siberian Div., Novosibirsk, 2010.

[2] Lucido M. S. Prime graph components of finite almost simple groups, Rendiconti del Seminario Matem-atico della Universita di Padova, tome 102 (1999), P. 1–22.



99


V. Секция «Теория колец»

Мальцевские чтения 2014 Теория колец

Метрические алгебры Лейбница

А. Т. Гайнов

Алгебра A над полем K характеристики, не равной 2, называется алгеброй Лейб-ница, если в ней выполняется тождество

(∀x, y, z ∈ A) x(yz) = (xy)z − (xz)y.

Алгебру A над полем K характеристики, не равной 2, назовем метрической алге-брой Лейбница, если на ней задана невырожденная симметрическая билинейная формаn(x, y) такая, что выполняется скалярное тождество

(∀x, y, z ∈ A)n(x, yz) = n(xy, z)− n(xz, y).

Теорема. Всякая метрическая алгебра Лейбница A является тривиальной алге-брой, т.е. алгеброй с нулевым умножением:

(∀x, y ∈ A) xy = 0.

Скалярное тождество любой степени и от любого числа переменных назовемжест-ким скалярным тождеством, если оно выполняется только в тривиальных алгебрах.Проблема. Найти все жесткие скалярные тождества.

ИМ СО РАН, Новосибирск, Россия


101



Γ-конформные алгебры Ли конечного типа для группы Γ без кручения

В. Ю. Губарев, П. С. Колесников

Пусть k — основное поле, Γ — произвольная группа, kΓ — групповая алгебрагруппы Γ над k.

Определение [1]. Левый kΓ-модуль C, снабжённый множеством билинейныхопераций (·(γ)·) : C ⊗ C → C, γ ∈ Γ, называется Γ-конформной алгеброй Ли, если длялюбых a, b, c ∈ C и α, β, γ ∈ Γ выполнены следующие аксиомы:

(Γ1) a(δ)b = 0 для почти всех δ ∈ Γ;(Γ2) αa(γ)b = a(γα)b;(Γ3) a(γ)αb = α(a(α−1γ)b);(Γ4) a(α)b = −α(b(α−1)a);(Γ5) a(α)(b(β)c) = (a(β−1α)b)(β)c+ b(β)(a(α)c).Пример [2]. Рассмотрим для произвольной алгебры Ли A пространство C =

kΓ⊗A с γ-произведениями, заданными по правилу

(1⊗ a)(γ)(1⊗ b) =

1⊗ (ab), γ = e,

0, иначе.

Распространяя действие γ ∈ Γ на пространстве C по аксиомам (Γ2), (Γ3), зададимна нём структуру Γ-конформной алгебры. Полученная алгебра называется алгебройпетель и обозначается как Cur(A).

В [3] описаны простые и полупростые ассоциативные Γ-конформные алгебры ко-нечного типа для группы Γ без кручения.

Теорема. Пусть C — Γ-конформная алгебра Ли конечного типа для группы Γ безкручения над полем k.а) Пусть C — простая Γ-конформная алгебра Ли, тогда C изоморфна алгебре

петель Cur(g) от простой конечномерной алгебры Ли g;б) пусть C — полупростая Γ-конформная алгебра Ли и char k = 0, тогда C изо-

морфна конечной прямой сумме простых Γ-конформных алгебр Ли.


[1] Golenishcheva-Kutuzova M. I., Kac V. G. Γ-conformal algebras, J. Math. Phys, 39:4 (1998), 2290–2305.[2] Bakalov B., D’Andrea A., Kac V. G. Theory of finite pseudoalgebras, Adv. Math, 162:1 (2001), 1–140.

[3] Губарев В. Ю. Простые ассоциативные Γ-конформные алгебры конечного типа для группы Γ без

кручения, Алгебра и Логика, 52:5 (2013), 559–581.

Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН, НГУ, НовосибирскE-mail: [email protected], [email protected]

102



Пример дифференциально простой алгебры Ли, не являющейся свободныммодулем над своим центроидом

В. Н.Желябин, М. Е. Гончаров

В работе [1] Р. Блок доказал, что всякая дифференциально простая алгебра сминимальным идеалом является простой в случае характеристики 0, а в случае нену-левой характеристики представляется в виде тензорного произведения ассоциативнойкоммутативной дифференциально простой алгебры на простую алгебру. В частно-сти, в случае наличия минимального идеала дифференциально простая алгебра будетсвободным модулем над своим центроидом. А. Поповым были получены результаты,аналогичные результатам Блока, в случае альтернативных и йордановых алгебр безпредположения о существовании минимального идеала (см. [2], [3]). Более точно,было доказано, что всякая дифференциально простая альтернативная алгебра харак-теристики 0 является проективным модулем над своим центром.

В связи с этими результатами возникает вопрос: будет ли дифференциально про-стая альтернативная или йорданова алгебра свободным модулем над своим центром.В работе [4] с помощью координатного кольца n-мерной вещественной сферы строятсяпримеры дифференциально простых алгебр над полем вещественных чисел, являющи-еся конечнопорожденными проективными, но несвободными модулями над своим цен-троидом. В качестве следствия примеры таких алгебр были получены в многообразияхассоциативных, лиевых, альтернативных, мальцевских и йордановых алгебр.

В данной работе строится пример дифференциально простой алгебры Ли над алге-браически закнутым полем характеристики 0, являющийся конечнопорожденным про-ективным, но несвободным модулем.

Работа поддержана РФФИ, грант 14-01-00014 и No12-01-33031-мол-а-вед.


[1] Block R. E. Determination of the differentiably simple rings with a minimal ideal // Ann. of Math., 90

(1969), 3, 433–459.[2] Попов А. А. Дифференциально простые альтернативные алгебры // Алгебра и логика 49 (2010),

5, 670–689.[3] Попов А. А. Дифференциально простые йордановы алгебры // Сиб. матем. ж., принята в печать.

[4] Желябин В. Н., Попов А. А., Шестаков И. П. Координатное кольцо n-мерной сферы и некоторые

примеры дифференциально простых алгебр // Алгебра и логика, том 42 (2013), 4, 416–434.

ИМ СО РАН, НовосибирскE-mail: [email protected], [email protected]

103



Исследование класса дифференцируемых по модулю pn функций

А. С. Ивачев

В работе [1] предложен ряд обобщений для полиномиальных функций над Zpn , до-пускающих эффективную программную и аппаратную реализацию. В связи с этим вдокладе рассматривается класс Dn дифференцируемых по модулю pn функций. Най-дено число функций в классе, условие биективности, число биективных функций, явноевыражение обратной функции, условие транзитивности, число транзитивных функций.

Определение. Любая функция f : Zp → Zp является дифференцируемой по мо-дулю p. Функция f : Zpn → Zpn называется дифференцируемой по модулю pn (n > 1),если:

(1) функция f mod pi — дифференцируемая по модулю pi, i = 1, n− 1;(2) существует функция f ′ : Zpn → Zpn , такая, что для любого a из Zpn выпол-

няется f(x+ apn−1) = f(x) + apn−1f ′(x). Функция f ′ называется производнойфункции f по модулю pn.

Утверждение. Число дифференцируемых функций равно pp+2p pn−1−1

p−1 .Определение. Дифференцируемая по модулю pn функция f называется биек-

тивной, если существует функция g, такая, что g(f(x)) = x. Функция g называетсяобратной для функции f .

Утверждение. Функция f ∈ Dn биективна тогда и только тогда, когда функцияf mod p обратима и производные функций f mod pi, 2 ≤ i ≤ n, не обращаются в 0 прилюбом значении x.

Следствие. Число биективных дифференцируемых функций равно

p !((p− 1)p)ppn−1

−1p−1 .

Утверждение. Пусть f — биективная дифференцируемая функция, и g — обрат-ная к f . Тогда справедлива следующая формула:

g(x) =

g(x) mod pn−1 − g′(x)(f(g(x) mod pn−1)− f(g(x) mod pn−1) mod pn−1 − xn−1pn−1).

Определение. Дифференцируемая по модулю pn функция называется транзитив-ной, если она индуцирует одноцикловую подстановку на Zpn .

Утверждение. Число транзитивных дифференцируемых функций равно

(p− 1) !(p− 1)ppn−1

−1p−1 pp

pn−1−1

p−1 −n+1.


[1] Анашин В.С., Равномерно распределенные последовательности целых p-адических чисел, Дис-

кретная математика, 14:4 (2002), 3-64

студент кафедры защиты информации и криптографии ТГУ, ТомскE-mail: [email protected]

104



Об одном многообразии метабелевых правоальтернативных алгебр

И. М. Исаев

Пусть M – многообразие линейных алгебр над полем F , заданное тождествами(xy)y = xy2, ((xy)z)y = x((yz)y), (xy)(zt) = 0, ((xy)z)t = 0, (xy)x = 0.

В работе [1] построена серия конечномерных алгебр Pn, принадлежащих M. На-помним, что Pn = 〈ci, eij, dij , aij, bij|i, j = 1, 2, . . . , n〉F , ненулевые произведения ба-зисных элементов алгебры Pn задается следующим образом: aijci = dij , bijci = eij ,bijdij = −dijbij = −aijeij = eijaij = cj . Отметим, что алгебра P1 представляетпример Дорофеева [2] пятимерной правоальтернативной правонильпотентной, но ненильпотентной алгебры. Обозначим через Mn многообразие, порожденное алгебройPn. Ясно, что многообразия Mn образуют возрастающую цепь подмногообразий мно-гообразия M. В работе [1] доказано, что многообразие M2 не имеет конечного базисатождеств.

Теорема. Имеют место следующие утверждения:

1. M =⋃n≥2

Mn;

2. Многообразие Mn (n ≥ 2) не имеет конечного базиса тождеств.


[1] Исаев И. М. Конечномерные правоальтернативные алгебры, порождающие не конечнобазируемые

многообразия, Алгебра и логика, 25, 2 (1986), С. 136–153.

[2] Дорофеев Г. В. О нильпотентности правоальтернативных колец, Алгебра и логика, 9, 3 (1970),302–305.

Алтайская государственная педагогическая академия, Барнаул


105



О сильно бесконечно базируемых векторных пространствах

А. В. Кислицин

Пусть E – векторное пространство над полем F , являющееся подпространствомассоциативной F -алгебры A, причем A порождается пространством E как алгебра(в этом случае будем говорить о векторном пространстве E, вложенном в ассоци-ативную алгебру A). Тождеством векторного пространства E назовем ассоциатив-ный многочлен, который обращается в нуль в алгебре A на элементах пространстваE. Естественным образом определяются векторные пространства, имеющие конечныйбазис тождеств (КБ-пространства) и не имеющие конечного базиса тождеств (НКБ-пространства).

Класс всех векторных пространств, вложенных в ассоциативные алгебры и удо-влетворяющих всем тождествам пространства E, будем называть L-многообразием,порожденным пространством E и обозначать VarLE.

Пусть далее w = w(x1, x2, . . . , xn; y1, y2, . . . , yt) – ассоциативный одночлен, линей-ный по переменным x1, x2, . . . , xn и

C(w)n =

∑

σ∈Sn

(−1)σw(xσ(1), xσ(2), . . . , xσ(n); y1, y2, . . . , yt)

— многочлен Капелли. Через Cap(n) обозначим L-многообразие векторных про-

странств, которые удовлетворяют всевозможным тождествам Капелли C(w)n = 0 для

фиксированного n.L-многообразие N, такое что N ⊆ Cap(k) при некотором k, будем называть сильно

не конечно базируемым (СНКБ-многообразием), если любое L-многообразие M, удо-влетворяющее условию N ⊆ M ⊆ Cap(n) для некоторого n, не имеет конечного ба-зиса тождеств. Векторное пространство E назовем СНКБ-пространством, если VarLEявляется СНКБ-многообразием.

В работе [1] построены примеры СНКБ-пространств. В частности, доказано,что векторное пространство T2(F ) верхних треугольных матриц второго порядкасильно бесконечно базируемо. В настоящей работе описаны конечномерные СНКБ-пространства, являющиеся ассоциативными алгебрами с единицей над полем нулевойхарактеристики, а также КБ-пространства указанного класса.

Теорема. Конечномерное векторное пространство E над полем F нулевой харак-теристики, являющееся одновременно ассоциативной F -алгеброй с единицей, сильноне конечно базируемо (имеет конечный базис тождеств) тогда и только тогда, когдаT2(F ) ∈ VarLE (T2(F ) 6∈ VarLE).


[1] Исаев И.М., Кислицин А.В. Тождества векторных пространств и примеры конечномерных ли-нейных алгебр, не имеющих конечного базиса тождеств // Алгебра и логика. 2013. Т. 52. 4.

С. 435–460.

Алтайская государственная педагогическая академия, БарнаулE-mail: [email protected]

106



Проектирования конечных моногенных колец

С. С. Коробков

Пусть R и R′ — два ассоциативных кольца, а L(R) и L(R′) — их решетки подколецсоответственно. Если существует изоморфизм ϕ решетки L(R) на решетку L(R′),то будем называть кольца R и R′ решеточно изоморфными. Изоморфизм ϕ будемназывать решеточным изоморфизмом или проектированием кольца R на кольцо R′.При этом кольцо R′ будем обозначать через Rϕ и называть его проективным образомкольца R. Будем говорить, что кольцо R решеточно определяется, если R ∼= Rϕ длялюбого решеточного изоморфизма ϕ.

При изучении решеточных изоморфизмов колец важно знать, будет ли кольцо,решеточно изоморфное моногенному кольцу (то есть кольцу, порожденному однимэлементом), также моногенным. Для некоторых типов колец (например, для нильпо-тентных колец, колец Галуа) свойство кольца быть моногенным наследуется проек-тивными образами. Однако существуют примеры, показывающие, что моногенностькольца не всегда сохраняется при решеточных изоморфизмах. Следующая теоремаописывает строение произвольного конечного моногенного p-кольца с единицей.

Теорема 1. Пусть R — конечное моногенное p-кольцо с единицей. Тогда Rразложимо в конечную прямую сумму колец вида: Si + (ri), где Si

∼= GR(pni , mi), (ri)— главный идеал, порожденный нильпотентным элементом.

Проектирования моногенных колец, разложимых в прямые суммы колец Галуаразличных типов, рассматривались в работах [1] и [2]. В данной работе продолжаетсяизучение решеточных изоморфизмов конечных моногенных колец.

Теорема 2. Пусть конечное моногенное p-кольцо R с единицей разложимо впрямую сумму колец Ti (i = 1, k), удовлетворяющих условиям: Ti = Si + (ri), Si

∼=GR(pni , mi), ni > 1, mi > 1, ri — нильпотентный элемент. Тогда Rϕ — моногенное

p-кольцо с единицей и при этом Rϕ = Tϕ1 ∔ · · · ∔ Tϕ

k , Tϕi = Sϕ

i + (r′i), Sϕi∼= Si, r

′i —

нильпотентный элемент.Доказательство теоремы 2 основано на использовании решеточной определяемости

колец Галуа, установленной в работе [3].


[1] Korobkov S. S. Lattice isomorphisms of the direct sums of Galois rings // Материалы международнойконференции ”Алгебра и математическая логика: теория и приложения”, Казань: КФУ, 2014. С.

85-86.

[2] Коробков С. С. Проектирования конечных моногенных колец, не содержащих нильпотентныхэлементов // Труды Международной конференции по алгебре, посвященной 100-летию со дня

рождения Л.А. Калужнина. Нальчик: Издательство КБГУ, 2014 г. С. 66-68.[3] Коробков С. С. Проектирования колец Галуа // Алгебра и логика (в печати).

Уральский государственный педагогический университет, Екатеринбург


107



Строение колец, удовлетворяющих тождеству индекса два

Ю. Н. Мальцев, Е. В.Журавлев

В работах [1, 2] доказано, что произвольное конечное ассоциативное кольцо Rудовлетворяет тождествам

mx = 0, x1x2 . . . xn = f(x1, x2, . . . , xn),

где m – натуральное число и f(x1, . . . , xn) – многочлен из свободного ассоциативногокольца Z〈x1, x2, . . .〉, являющийся суммой одночленов степени ≥ n + 1. Число n назы-вается индексом конечного кольца R или индексом тождества.

Пусть J(R) – радикал Джекобсона кольца R, GR(pnr, pn) – кольцо Галуа, предста-вимое в виде Zpn [x]/(f), где p – простое число, f – унитарный многочлен степени r,образ которого при естественном гомоморфизме Zpn [x] → Zp[x] является неприводи-мым над Zp многочленом. В частности, GR(pn, pn) = Zpn и GR(pr, p) = GF (pr).

Теорема 1. Конечное кольцо R, неразложимое в прямую сумму ненулевых идеа-лов, удовлетворяет тождеству

xy = f(x, y),

где f(x, y) ∈ Z〈x, y〉 – сумма одночленов степени ≥ 3, тогда и только тогда, когда Rизоморфно одному из следующих колец:

(1) 〈a| a2 = 0, pma = 0〉, p – простое число. В этом случае R удовлетворяеттождеству xy = 0;

(2) M2(GF (q)). В этом случае R удовлетворяет тождествам

px = 0,(x− xq

)(y − yq2

)(1− [x, y]q−1

)= 0,

где q = pk и p – простое число;

(3) R =s⊕

i=1

GR(ptiri , pti) + J(R), где J(R)2 = 0, ti ≤ 2, i ≤ s. В этом случае R

удовлетворяет тождествам

p2x = 0, (x− xq) (y − yq) = 0,

где q = pr1r2...rs .

Кольцо R называется регулярным, если уравнение axa = a разрешимо в R длялюбого элемента a ∈ R.

Теорема 2. Пусть R – регулярное кольцо (R 6= 0), удовлетворяющее тождествуxy = f(x, y), где f(x, y) – сумма одночленов степени ≥ 3 свободного ассоциативногокольца Z〈x, y〉. Тогда

(1) кольцо R не содержит ненулевых нильпотентных элементов тогда и толькотогда, когда существует конечное множество конечных полей

M = GF (q1), . . . , GF (qs) такое, чтоF ⊆ R ⊆

∏

i∈I

Fi,

где F, Fi, i ∈ I ⊆M;(2) кольцо R содержит ненулевые нильпотентные элементы тогда и только тогда,когда существует конечное множество конечных полей

M = GF (q1), . . . , GF (qs) такое, что

M2(F ) ⊆ R ⊆M2

(∏

i∈I

Fi

),

108


где F, Fi, i ∈ I ⊆M.


[1] Львов И. В. О многообразиях ассоциативных колец. I, Алгебра и Логика, 12:3 (1973), 269–297.[2] Kruse R. Identities satisfied by a finite ring, J. Algebra, 26:2 (1973), 298-318.

Алтайская государственная педагогическая академия, Алтайский государственный университет,

Барнаул


109



Описание почти нильпотентных антикоммутативных метабелевых

многообразий с подэкспоненциальным ростом

С. П. Мищенко, О. В. Шулежко

Основное поле имеет нулевую характеристику. Все неопределяемые понятия можнонайти в книгах [1] и [2]. Многообразие называется почти нильпотентным, если оносамо не является нильпотентным, но каждое собственное его подмногообразие ниль-потентно. Если в многообразии выполнено тождество (xy)(zt) ≡ 0, то такое много-образие по аналогии со случаем алгебр Ли назовём метабелевым. Если многообразиеимеет полиномиальный или промежуточный рост, то будем говорить, что оно имеетподэкспоненциальный рост.

Так как выполнение тождества ассоциативности не предполагается, то догово-римся опускать скобки в случае их левонормированной расстановки, т.е. abc = (ab)c.Хорошо известно (см, например, [1], с. 173 – 177), что в классе алгебр Ли самометабелево многообразие, которое обозначается A2, является почти нильпотентным.Построим ещё один пример почти нильпотентного антикоммутативного метабелевамногообразия. Рассмотрим алгебру G с бесконечным числом образующих e1, e2, . . . иследующим множеством определяющих соотношений:

(1) wei = −eiw, где w – любой моном, |w| ≥ 1.(2) w1w2 = 0, где мономы w1, w2 ∈ G2, то есть |w1| ≥ 2, |w2| ≥ 2.(3) eip(1)eip(2) . . . eip(m)

= (−1)pei1ei2 . . . eim , где p – перестановка из симметриче-ской группы Sm, (−1)p = ±1 в зависимости от чётности перестановки.

Предложение. Многообразие Vanti = var(G), порождённое алгеброй G, являетсяпочти нильпотентным антикоммутативным метабелевым.

Используя основной результат работы [3], удалось доказать, что других примеровпочти нильпотентных антикоммутативных метабелевых многообразий подэкспонен-циального роста, кроме двух перечисленных, нет.

Теорема. Пусть V – антикоммутативное метабелево многообразие подэкспонен-циального роста над полем нулевой характеристики. Если A2 * V и Vanti * V, то V– нильпотентно.


[1] Бахтурин Ю. А. Тождества в алгебрах Ли. М.: Наука. 1985. 448 с.[2] Giambruno A., Zaicev M. Polynomial identities and asymptotic methods. American Mathematical

Society Providence, RI. 2005. 352 p.

[3] Giambruno A., Mishchenko S. P., Irreducible characters of the symmetric group and exponentialgrowth // arXiv:1406.1653.

Ульяновский государственный университет, Ульяновск


110

http://arxiv.org/find/grp_math/1/au:+Giambruno/0/1/0/past/0/1



Структурное строение квазиполей малых нечетных порядков

С. В. Панов

Квазиполем, в соответствии с [1, опр. 5.24], называют систему (Q,+, ), где |Q|конечный и выполняются аксиомы:

(1) (Q,+) – абелева группа с нейтральным элементом 0;(2) Q∗ = Q \ 0 по умножению является квазигруппой с единицей 1, т.е. лупой;(3) Для любых x, y, z ∈ Q выполняется односторонний дистрибутивный закон (x+

y) z = x z + y z;(4) x 0 = 0 для любого x ∈ Q.

Известно, что построение и классификация конечных квазиполей тесно связаны склассификацией конечных плоскостей трансляций [1], [2]. В своей работе мы отве-чаем на вопросы, поставленные профессором В. М. Левчуком в докладе на научно-исследовательском семинаре кафедры алгебры МГУ в 2013 г. и в [3], для некоторыхквазиполей нечетных порядков p2, p3 (p - простое число).

———–

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследо-ваний (код проекта 12-01-00968).


[1] Jhonson N, Jha V., Biliotti M. Handbook of finite translation planes. – Chapman and Hall/CRC Pure

and Applied Mathematics, 2007, 888 pp.

[2] Hughes D. R., Piper F. C. Projective planes // Springer - Verlag: New-York Inc. 1973.[3] Levcuk V. M., Panov S. V., Shtukkert P. K. The structure of finite quasifields and their projective

translation planes // Proceed. XII Intern. Conf. on Algebra and Number Theory. Tula. 2014. P. 106–108.

каф. АиМЛ ИМФИ СФУ, Красноярск


111



Периоды полиномиальной вектор-функции над конечным коммутативным

кольцом

Н. Г. Парватов

Пусть K — коммутативное кольцо с единицей, L = Kn — его n-я декартова степень,f1, . . . , fn — многочлены от n переменных над кольцом K и функция f : L → Lопределена соотношением f(x) = (f1(x), . . . , fn(x)) для любого x ∈ L. Для идеалаJ EK и набора x ∈ L рассмотрим последовательность

f0(x) + JL, f1(x) + JL, f2(x) + JL, . . .

элементов фактор-кольца L/JL, где f0(x) = x и fk(x) = f(fk−1(x)) при k > 1.Назовём функцию f периодической на множестве X ⊆ L по идеалу J , если для

некоторого положительного l и любого x ∈ X выполняется f l(x) + JL = x + JL.Наименьшее l в этом случае назовём периодом функции f на множестве X по идеалу Jи обозначим через τ(f,X, J). Очевидно, функция f является подстановкой на L, еслиона периодична на L по нулевому идеалу; тогда τ(f, L, 0) — порядок подстановки f .

В докладе рассматриваются периодические свойства функции (в том числе условияпериодичности и возможные значения периодов), обусловленные строением кольца K.Подобные свойства изучались в [1] для одноместной полиномиальной функции надкольцом Галуа. Сформулируем некоторые результаты.

Пусть Mn(K) — кольцо матриц размера n над K. Через Jf (x) обозначим матрицуЯкоби функции f в точке x ∈ L.

Теорема. Пусть x ∈ L, J — нильпотентный идеал кольца K степени нильпотент-ности r ≥ 2 и функция f периодична на смежном классе X = x + JL по идеалу J спериодом τ . Функция f тогда и только тогда периодична на X по нулевому идеалу,когда смежный класс Jfτ (x) + S обратим в фактор-кольце Mn(K)/S, где

S = A ∈ Mn(K)|JL ·A ⊆ J2L.В этом случае

τ(f,X, 0) | τ · κ · εr−1,

где κ — мультипликативный порядок матрицы Jfτ (x) в фактор-кольце Mn(K)/S и ε— характеристика фактор-кольца Mn(K)/S.

В ряде случаев оценку периода, указанную в теореме, удаётся улучшить.В качестве следствия теоремы получаются условия, при которых функция f явля-

ется подстановокой на L, а также оценку её порядка τ(f, L, 0).


[1] Ермилов Д. М., Козлитин О. А. Цикловая структура полиномиального генератора над кольцомГалуа // Математические вопросы криптографии, 2013, 4, N1, 27–57.



112



О многообразии, порожденном трехмерной простой алгеброй Ли

Ю. Р. Пестова

Характеристика основного поля предполагается равной нулю, а все неопределяе-мые понятия можно найти, например, в монографии [1].

Если рассматривать матрицы второго порядка со следом 0 над основным полемотносительно операции коммутирования, то их множество будет образовывать трех-мерную простую алгебру Ли, которую обозначим sl2. Сохраним принятое в обзоре [3]обозначение V0 для многообразия, порожденного этой алгеброй. Это единственныйпример неразрешимого лиева многообразия почти полиномиального роста, то естьего рост не является полиномиальным, но рост любого собственного подмногообразияявляется полиномиальным.

Многообразие V0 хорошо исследовано. Так, например, в работах [4], [5] дока-зано, что оно является шпехтовым и найден базис тождеств этого многообразия. Ав статье [2] получена информация о строении его полилинейных частей как модулейсимметрических групп и сформулирован следующий результат о кратностях:

mλ =

1, если λ = (p+ q + r, p+ q, p), где p+ q 6= 0 и q или r нечетное;0, в остальных случаях.

Напомним, что кодлина ln(V0) многообразия V0 по определению равна сумме кратно-стей, то есть числу неприводимых модулей в разложении полилинейной части.

Недавно автором была получена формула для вычисления кодлины ln(V0).

Теорема. Для всех n ≥ 4 кодлина многообразия V0 вычисляется по формулам:

ln(V0) =

n2+4n16 , если n = 4k;

n2+6n−716

, если n = 4k + 1;n2+4n+4

16 , если n = 4k + 2;n2+6n−11

16 , если n = 4k + 3.


[1] Бахтурин Ю. А. Тождества в алгебрах Ли. М.: Наука. 1980.

[2] Дренски В. С. Представления симметрической группы и многообразия линейных алгебр //Матем.сб. 1980. Т.115, 1. С. 98–115.

[3] Мищенко С. П. Рост многообразий алгебр Ли // Успехи мат. наук. 1990. Т.45, 6(276). C. 25–45.

[4] Размыслов Ю. П. О конечной базируемости тождеств матричной алгебры второго порядка над

полем характеристики нуль // Алгебра и логика. 1973. Т.12, 1. С. 83–113.

[5] Размыслов Ю.П. Конечная базируемость некоторых многообразий алгебр // Алгебра и логика.1974. Т.13, 6. С. 685–693.



113



Об инвариантах свободных ограниченных алгебр Ли

В. М. Петроградский, И. А. Субботин

Авторами доказано, что подалгебра инвариантов LG бесконечно порождена, гдеL = L(X) — свободная ограниченная алгебра Ли конечного ранга со свободным поро-ждающим множеством X над произвольным полем положительной характеристики иG — нетривиальная конечная группа однородных автоморфизмов L(X).

Также доказано, что последовательность |Yn|, n ≥ 1, растет экспоненциально споказателем экспоненты k, где Y = ∪∞n=1Yn — однородное свободное порождающеемножество для подалгебры инвариантов LG, где элементы Yn имеют степень n отно-сительно X , n ≥ 1. Получено, что производящая функция (Y, t) =

∑∞n=1 |Yn|tn имеет

радиус сходимости 1/k и найдена асимптотика ее роста при t→ 1/k − 0.


[1] Бахтурин Ю. А., Тождества в алгебрах Ли, Москва, Наука, 1985.[2] Петроградский В. М., Смирнов А. А., “Об инвариантах модулярных свободных алгебр Ли”, Фунд.

Прикл. Мат., 15:1 (2009) 117–124; English translation in J. Math. Sci., 166:6 (2010), 767–772.

Department of Mathematics, University of Brasilia, 70910-900 Brasilia DF, Brazil;

Факультет математики и информационных технологий, Ульяновский государственныйуниверситет, ул. Льва Толстого 42, Ульяновск, 432970 Россия


114



Алгебры Пуассона – Фаркаса

А. П. Пожидаев

Пусть A — алгебра Пуассона (A; , , ·), где , — скобка Ли, · — ассоциативнаякоммутативная операция. Если на A выполняется тождество

xyzu+ zxyu+ yzxu = 0,

то A будем называть алгеброй Пуассона – Фаркаса. Фаркасом впервые было замечено,что такой алгеброй является кольцо многочленов A = F [x, y, z] над полем F , где

f, g :=∂f

∂x· ∂g∂y− ∂g

∂x· ∂f∂y.

Ранее автором было показано, что по каждой алгебре Пуассона – Фаркаса строитсятернарная алгебра Филиппова. В данной работе мы приводим новые примеры алгебрПуассона – Фаркаса: алгебру скобок Пуассона – Ли и простую алгебру Пуассона,связанную с алгеброй Вейля A1.

Работа частично поддержана фондом РФФИ (гранты 12-01-33031, 14-01-00014).

ИМ СО РАН, Новосибирск, Россия


115



Одно необходимое и достаточное условие конечности кодлины

многообразия алгебр Лейбница

А. В. Половинкина, Т. В. Скорая

Характеристика основного поля Φ равна нулю. Все произведения являются лево-нормированными, то есть xyzt = ((xy)z)t. Все неопределяемые понятия можно найтив монографии [1].

Пусть V — произвольное многообразие алгебр Лейбница. Рассмотрим полилиней-ную компоненту степени n многообразия V и ее разложение в прямую сумму непри-водимых подмодулей симметрической группы. Кратности этих слагаемых обозначимчерез mλ(V) и определим кодлину многообразия как их сумму: ln(V) =

∑λ⊢nmλ(V).

Будем говорить, что кодлина многообразия конечна, если существует такая константаc, не зависящая от n, что для любых n верно неравенство ln(V) ≤ c. Следуя рабо-

там [2] и [3], обозначим через NsA многообразие алгебр Лейбница, удовлетворяющеетождеству (x1x2)(x3x4)...(x2s+1x2s+2) ≡ 0.

В работе [2] было получено необходимое условие конечности кодлины многообра-зия V алгебр Лейбница, которое заключается в существовании натурального числа

s, для которого верны включения: U2, U2 6⊂ V ⊂ NsA, где U2, U2 — многообра-зия алгебр Ли и Лейбница соответственно с почти конечной кодлиной, определениеи свойства которых можно прочитать в [2]. В работе [3] было доказано следую-

щее достаточное условие: пусть V — подмногообразие многообразия NsA, в кото-ром для некоторых натуральных k,m, k ≤ m и α1, ..., αk ∈ Φ выполняется тождествоxY kzY m−k ≡ ∑k

i=1 αixYk−izY m−k+i, где Y – линейный оператор умножения справа

на y. Тогда многообразие V имеет конечную кодлину.Получен следующий критерий конечности кодлины:

Теорема. Кодлина многообразия V конечна тогда и только тогда, когда верно

включение V ⊂ NsA и в многообразии V выполняется тождество∑ni=0 αixY

izY n−i ≡ 0.


[1] Giambruno A., Zaicev M. V. Polynomail identities and Asymptotic Methods // American MathematicalSociety, Providence, RI: Mathematical Surveys and Monographs. 2005. V. 122. P. 352

[2] Швецова А.В. Необходимое условие кодлины многообразия алгебр Лейбница // Вестник МГАДА.[3] Скорая Т. В., Швецова А. В. Новые свойства многообразий алгебр Лейбница // Изв. Сарат. ун-та.

Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2013. Т.13, Вып. 4. Ч. 2. С. 124–129.

Федеральный научно-производственный центр ОАО ”Научно-производственное объединение ”Марс”,Ульяновск; Ульяновский государственный университет, Ульяновск


116



Коммутаторная ширина элементов свободной метабелевой алгебры Ли

Е. Н. Порошенко

Пусть F — алгебраически замкнутое поле характеристики нуль, обладающее сле-дующим свойством:

(∗) существует алгоритм, позволяющий для любой конечной системе над F уста-новить, совместна ли эта система.

Рассмотрим конечное множество A = a1, a2, . . . , an. Обозначим через M(A) сво-бодную метабелеву алгебру с множеством порождающих A над алгебраически замкну-тым полем F характеристики 0, обладающим свойством (∗). Через M ′(A) обозначимпроизводную алгебры M(A), то есть алгебру [M(A),M(A)].Определение. Пусть L — произвольная алгебра Ли. Коммутаторной ширинойэлемента g ∈ L′ называется наименьшее число k, такое что для некоторых h1, . . . , hk,

h′1, . . . , h′k ∈ L выполняется равенство g =

∑ks=1[hs, h

′s].

Понятие коммутаторной ширины в алгебрах Ли аналогично понятию коммута-торной ширины в группах, которое, в свою очередь, произошло из понятия ширины,которое было введено Мерзляковым в [1].

Целью данной работы является описание алгоритма, позволяющего определятькоммутаторную ширину произвольного элемента g ∈ M ′(A). Нетрудно видеть, чтозадача нахождения коммутаторной ширины сводится к задаче о разрешимости урав-нения вида

k∑

s=1

[xi, yi] = g. (1)

Теорема 1. Пусть F — алгебраически замкнутое поле характеристики нуль, удо-влетворяющее свойству (∗) и пусть M(A) — свободная метабелева алгебра Ли над

полем F. Для любого элемента g ∈ M ′(A) задача проверки существования решенийуравнения (1) является алгоритмически разрешимой.

Непосредственным следствием этой теоремы является основной результат даннойработы.Теорема 2. Пусть F — алгебраически замкнутое поле характеристики нуль, удовле-творяющее свойству (∗) и пусть M(A) — свободная метабелева алгебра Ли над полемF. Задача нахождения коммутаторной ширины любого элемента g ∈ M ′(A) являетсяалгоритмически разрешимой.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант 12–01–00084), а такжеМинистерства образования и науки РФ (гос. задание 214/138, проект 1052).


[1] Мерзляков Ю. И. Рациональные группы, изд. 2-е, М: Наука, 1987.


E-mail: auto [email protected]

117



Изоморфизмы решеток подалгебр полуполей непрерывных функций с

max-сложением

В. В. Сидоров

Пусть X — топологическое пространство, P — множество положительных дей-ствительных чисел, U∨(X) — полуполе непрерывных функций из X в P с поточеч-ными операциями max-сложения и умножения. Непустое множество A ⊆ U∨(X) будемназывать подалгеброй, если оно замкнуто относительно max-сложения, умножения ивыдерживает умножение на положительные числа, т. е. rf ∈ A для всех r ∈ P, f ∈ A.

Множество всех подалгебр полуполя U(X) с добавленным пустым множествомотносительно отношения включения образует решетку A(U∨(X)) всех подалгебр по-луполя U∨(X).

В 1997 г. Е.М. Вечтомов [1] доказал, что для произвольных компактов (компакт-ных хаусдорфовых пространств) X и Y изоморфность решеток A(C(X)) и A(C(Y ))подалгебр колец C(X) и C(Y ) непрерывных действительнозначных функций равно-сильна гомеоморфности X и Y . В связи с развитием теории полуполей непрерывныхфункций возникла

Гипотеза. Для произвольных компактов X и Y решетки A(U∨(X)) и A(U∨(Y ))изоморфны тогда и только тогда, когда пространства X и Y гомеоморфны.

Доклад посвящен современному состоянию данной гипотезы.Работа выполнена в рамках госзадания Минобрнауки, проект 1.1375.2014/K.


[1] Вечтомов Е. М. Решетка подалгебр колец непрерывных функций и хьюиттовские пространства //

Математические заметки. 1997. Т. 62. Вып. 5. С. 687–693.

Вятский государственный гуманитарный университет, КировE-mail: sedoy [email protected]

118



Почти нильпотентные коммутативные метабелевы многообразия рост

которых не выше экспоненциального

Н. Т. К. Чанг, Ю. Ю. Фролова

Характеристика основного поля равна нулю. Все необходимые понятия можнонайти в книгах [1] и [2]. Многообразие назовем метабелевым, если в нем выполненотождество (xy)(zt) ≡ 0 и почти нильпотентным, если любое его собственное подмного-образие нильпотентно, а само оно нильпотентным не является. Например, в книге [2]построена следующая йорданова алгебра. Пусть M — векторное пространство с бази-сом e1, e2, ..., ∧(M) — его внешняя алгебра и ∧0(M) — подалгебра алгебры ∧(M),порожденная множеством M. Рассмотрим пространство C = ∧0(M)⊕M и определимумножение в C правилом (u + x)(v + y) = u ∧ y + v ∧ x, где u, v ∈ ∧0(M), x, y ∈ M.Известно, что многообразие Valt = var(C), порожденное алгеброй C, является метабе-левым, коммутативным, почти нильпотентным.

Рассмотрим однопорожденную алгебру A =< a >, такую, что uv = 0, ua = au гдеu, v — неассоциативные слова данной алгебры, длины больше единицы.

Предложение. Многообразие Vsym = var(A), порожденное алгеброй A, являетсяметабелевым, коммутативным, почти нильпотентным.

Рассмотрим последовательность (cn(V)) , n = 1, 2, . . . , n размерностей пространствполилинейных элементов степени n от переменных x1, . . . , xn, принадлежащих отно-сительно свободной алгебре многообразия V. Асимптотическое поведение этой после-довательности называют ростом многообразия V. Скажем, что рост многообразия Vне выше экспоненциального, если для любого r > 1 найдется такое N , что для всехn ≥ N выполнено неравенство cn(V) < rn.

Теорема. ПустьW — коммутативное метабелево многообразие, рост которого невыше экспоненциального и Vsym,Valt * W, тогдаW — нильпотентное многообразие.

Таким образом, в классе коммутативных метабелевых алгебр существует ровнодва почти нильпотентных многообразия, рост которых не выше экспоненциального.


[1] Giambruno A., Zaicev M. Polynomial identities and asymptotic methods. American MathematicalSociety Providence, RI. 2005. 352 p.

[2] Жевлаков К. А., Слинько А. М., Шестаков И. П., Ширшов А. И. Кольца, близкие к ассоциатив-ным. М.: Наука, 1978.



119



О слабо транзитивных абелевых группах без кручения

А. Р. Чехлов

Следуя [1] группу без кручения G назовем слабо транзитивной, если для любыхa, b ∈ G и ее эндоморфизмов ϕ, ψ из того, что ϕa = b и ψb = a следует существованиеавтоморфизма α группы G с условием αa = b.

Предложение 1. Если A — редуцированная группа без кручения с сильно не-разложимыми чистыми подгруппами и множество типов всех ее ненулевых элементов

удовлетворяет условию максимальности, то A является слабо транзитивной.Следствие 2. Всякая группа без кручения конечного ранга с сильно неразложи-

мыми чистыми подгруппами является слабо транзитивной.Если R — группа без кручения ранга 1 (т.е. подгруппа аддитивной группы раци-

ональных чисел Q), то через U(R) обозначим подгруппу мультипликативной группыQ∗, порожденную всеми простыми числами p со свойством pR = R (множество всехтаких p обозначим через P (R)).

Теорема 3 [1, теорема 3.17]. Пусть C — вполне разложимая группа без крученияконечного ранга. Тогда если R — группа без кручения ранга 1, чей тип больше типакаждого ненулевого элемента группы C, то группа R ⊕ C слабо транзитивна тогда итолько тогда, когда

i) C слабо транзитивна;ii) для каждой пары m,n ∈ N таких, что (m,n) = 1 и (m, p) = (n, p) = 1 для всех

p ∈ P (R) найдутся u ∈ U(R) и r ∈ R со свойством um+ rn = 1.Теорема 4. Если A — квазиоднородная группа без кручения ранга 2, то A явля-

ется слабо транзитивной тогда и только тогда, когда A удовлетворяет одному изследующих условий:

1) A — сильно неразложимая группа;2) A — однородная вполне разложимая группа;3) A = B⊕G, где тип группы G больше типа группы B и группа G удовлетворяет

условию ii) теоремы 3;4) кольцо эндоморфизмов E(A) группы A коммутативно.


[1] Goldsmith B., Strungmann L. Torsion-free weakly transitive Abelian groups // Comm. Algebra. 2005.V. 33 (4) P. 1177–1191.



120



Semigroup graded algebras and codimension growth of graded polynomialidentities

A. S. Gordienko

The notion of a semigroup graded algebra is a natural generalization of the notion of agroup graded algebra, however the first notion is much less restricting: e.g. if an algebrais the direct sum of its left ideals or if an algebra is the direct sum of a subalgebra and anideal, this can be expressed in the language of semigroup gradings.

We show that if T is any of four semigroups of two elements that are not groups,there exists a finite dimensional associative T -graded algebra over a field of characteristic0 such that the codimensions of its graded polynomial identities have a fractional exponentof growth. However, if T is a left or right zero band and the T -graded algebra is unital,or T is a cancellative semigroup, then the T -graded algebra satisfies the graded analog ofAmitsur’s conjecture, i.e. there exists an integer graded PI-exponent. Moreover, in the firstcase it turns out that the ordinary and the graded PI-exponents coincide. In addition, weconsider related problems on the structure of semigroup graded algebras.

Supported by Fonds Wetenschappelijk Onderzoek — Vlaanderen Pegasus Marie Curiepost doctoral fellowship (Belgium) and RFBR grant 13-01-00234a (Russia).

References

[1] Gordienko A. S. Semigroup graded algebras and codimension growth of graded polynomial identities.

arXiv:1409.0151 [math.RA] 30 Aug 2014.

Vrije Universiteit Brussel, Belgium


121



On zero-divisor graphs of finite nilpotent rings

A. S. Kuzmina

The zero-divisor graph Γ(R) of a ring R is the graph whose vertices are all nonzerozero-divisors (one-sided and two-sided) of R, and two distinct vertices x and y are joinedby an edge iff either xy = 0 or yx = 0.

A ring R is called associative on zero if (ab)c = 0 ⇔ a(bc) = 0 for any a, b, c ∈ R.It is known that the zero-divisor graphs of alternative and associative on zero rings are

connected [2]. Finite associative rings with planar, Eulerian, regular and complete bipartitezero-divisor graphs are described (for example, see [1, 5, 3]). In [4], it is proved that anyalternative finite nilpotent rings with planar zero-divisor graph is associative. In this thesis,we describe alternative and associative on zero nilpotent finite rings with Eulerian, regularand complete bipartite zero-divisor graphs. Moreover, we prove that associative on zeronilpotent finite rings with planar zero-divisor graphs are associative.

Theorem 1. Let R be an alternative (associative on zero) finite nilpotent ring. Thegraph Γ(R) is Eulerian iff order of R is even and x2 = 0 for all x ∈ R.

Theorem 2. Let R be an alternative (associative on zero) finite nilpotent ring. Thegraph Γ(R) is regular iff R2 = (0).

Theorem 3. If the zero-divisor graph of a finite nilpotent associative on zero ring Ris planar, then the ring R is associative.

Theorem 4. Let R be an alternative (associative on zero) finite nilpotent ring. If thegraph Γ(R) is complete bipartite, then the ring R is associative and Γ(R) is a star.

The work is supported by RFFI (grant 12-01-00329) and a grant from the Ministry of Educationand Science of the Russian Federation, project No. 2014/418 for the implementation of State orderin the research field (fundamental component).

References

[1] Akbari S., Maimani H.R., Yassemi S. When zero-divisor graph is planar or a complete r-partite graph //

Journal of Algebra. 2003. 270. pp. 169–180.[2] Isaev I.M., Kuzmina A.S. On Connectivity of Zero-Divisor Graphs of Algebras // Vestnik Altai State

Pedagogical Academy. Natural sciences. 2011. V. 7. pp. 7–10 (in Russian).

[3] Kuzmina A.S. On finite non-nilpotent rings with planar zero-divisor graphs // Discretnaya Matematika.2009. 21(4). pp. 60–75 (in Russian).

[4] Kuzmina A.S. On Finite Nilpotent Alternative Rings with Planar Zero-Divisor Graphs // Collection ofAbstracts of International Conference ”Mal’tsev Meeting”, Novosibirsk, November 12-16, 2012. p. 124.

[5] Kuz’mina A.S., Maltsev Yu.N. Nilpotent Finite Rings with Planar Zero-Divisor Graphs // Asian-

European Journal of Mathematics. 2008. Vol. 1. N 4. pp. 565–574.

Altai State Pedagogical Academy, Barnaul (Russia)


122



The Coxeter groups and corresponding algebras

M. N. Rasskazova

We study the deformations of group algebra of Coxeter groups. The main result ofour joint work (with A. Grishkov (IME-USP) and S. Sidki (UnB-DF)) is description of”general” (in some sence) deformations of maximal dimension. Particularly, in the case ofgroup algebras of dihedral groups we give more detail information about deformations ofmaximal dimension:

Theorem. Let Dn be a dihedral group of order 2n and B be a deformation of k[Dn] ofdimension 2n over a field k of characteristic 0. Then we have one of the 22 possible cases.Moreover, B may be semisimple only in the cases 1-16, if the corresponding polynomialsf(x) and g(x) are separable, in those cases B is isomorphic to group algebra k[Dn] (cases1-12), in other cases (13-22) the algebra B is not semisimple.

Omsk State Service Institut, RussiaE-mail: [email protected]

123


VI. Секция «Теория моделей и универсальнаяалгебра»

Мальцевские чтения 2014 Теория моделей и универсальная алгебра

Некоторые вопросы несущественного обогащения теории и число счетных

моделей

Б. С. Байжанов, О. А. Умбетбаев

В докладе рассматривается условие, обеспечивающее понижение числа счетныхнеизоморфных моделей малой теории при несущественном обогащений теории.

Дана полная счетная теория T , S(T ) — множество всех полных типов теории T .Для любой модели M теории T обозначим D(M) = p | p ∈ S(T ), p реализуется в M.

Мы говорим, что тип p ∈ S(T ) — властный над бесконечным семейством типов

Γ = q1, q2, ..., qn, ... ⊂ S(T ), если p 6⊥a q, ∀q ∈ Γ, что означает, ∃H(x, y), ∃M |= T,M |=p, ∃α ∈ p(M), такой что ∅ 6= H(M, α) ⊂ q(M).

Пусть I(T, ω) — число счетных неизоморфных моделей, I(T, ω, p) — число счетныхнеизоморфных моделей, реализующих тип p.

Теорема. Пусть T — полная малая теория,1) p ∈ S(T ) — властный тип над бесконечным семейством типов Γ,2) для любых моделей M1, M2, опускающих тип p, выполняется D(M1) ∩ Γ 6=

D(M2) ∩ Γ,3) для любого типа q ∈ Γ существует модельM, реализующая тип q и опускающая

тип p,4) I(T, ω, p) < I(T, ω),

тогда число счетных неизоморфных моделей при константном обогащений теории Tменьше чем число счетных неизоморфных моделей теории T , т.е. I(T ∪ p(c), ω) <I(T, ω).

Институт математики и математического моделирования МОН РК, Алматы

E-mail: olzhas [email protected]

125



О распределении числа счетных моделей теорий локально свободных

алгебр

К. А. Байкалова

Определение [1, 2]. Свободная L-алгебра — это алгебра, изоморфная алгебревсех L-термов. L-алгебра A называется локально свободной, если любая конечно по-рожденная подалгебра алгебры A свободна.

Определение [3]. МодельM теории T называется предельной, еслиM не являетсяпростой моделью ни над каким кортежом и M =

⋃n∈ω

Mn для некоторой элементарной

цепи (Mn)n∈ω простых моделей теории T над некоторыми кортежами.Для счетной полной теории T обозначим через P (T ), L(T ) и NPL(T ) соответ-

ственно множество типов изоморфизма простых над кортежами, предельных и осталь-ных счетных моделей этой теории.

Определение [3, 4]. Набор (P (T ), L(T ),NLP(T )) называется тройкой распреде-ления счетных моделей теории T и обозначается через cm3(T ).

Теорема [5]. Счетная теория локально свободной алгебры мала тогда и толькотогда, когда ее сигнатура содержит не более одного одноместного функциональногосимвола и не содержит функциональных символов местности n ≥ 2.

Теорема. Пусть T — полная счетная теория локально свободной алгебры. Тогдаcm3(T ) принимает одно из следующих значений:

(1) (1, 0, 0), если теория T мала, ее сигнатура состоит только из конечного числаконстантных символов;

(2) (ω, 1, 0), если теория T мала и ее сигнатура содержит одноместный функцио-нальный символ или бесконечное число константных символов;

(3) (2ω, 2ω, 0), если T — теория с континуальным числом типов.

Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства образования и наукиРФ, по государственному заданию 2014/138, проект 1052.


[1] Мальцев А.И. Аксиоматизируемые классы локально свободных алгебр некоторых типов // Сиб.

матем. журн. 1962. Т.3, 5. С.729-743.

[2] Белеградек О.В. Теория моделей локально свободных алгебр // Теория моделей и её

применения.— Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1988.— С. 3-25.

[3] Судоплатов С.В. Классификация счетных моделей полных теорий. Ч.2. — Новосибирск: Изд-во

НГТУ, 2014. — 448 с.[4] Popkov R.A., Sudoplatov S.V. Distributions of countable models of complete theories with continuum

many types // arXiv:1210.4043v1 [math.LO]. — 2012. — 30 p.[5] Байкалова К. А. О числе предельных и простых над конечными множествами моделей теорий

локально свободных алгебр // Известия вузов. Математика. (в печати)



126



B-алгебраические системы теорий

М. И. Бекенов

В статье используется классический метод Воота-Робинсона исследования связеймоделей теории по элементарной вложимости моделей. А.И. Мальцев в [3] рассматри-вает обобщающую идею о неотличимости моделей. На основании этой идеи авторомрассматриваются спектральные функции теорий по обоюдному элементарному вложе-нию моделей BT (µ) и BT (λ, µ) [4]. Спектральные функции IT (µ), BT (µ) и BT (λ, µ)могут быть различными для одной и той же теории [4]. В связи с отношением подобиямежду моделями, каждой теории соответствует алгебраическая B-система с отноше-нием порядка и операциями различных произведений B-классов моделей [5], что даеталгебраический контекст установления свойств теорий и структуры моделей теорий[4]. Получение соотношений между этими спектральными функциями для теории,взаимосвязей их со свойствами теорий и структурой моделей, а также взаимосвязейсвойств теорий со свойствами соответствующих алгебраических B-систем предста-вляют ожидаемые результаты исследований. Пусть T — полная теория счетногоязыка первого порядка, имеющая бесконечные модели [1]. Помимо опубликованных в[4], получены следующие результаты:

Теорема 1. Bω-алгебраическая система суперстабильной не ω-категоричной тео-рии T не может быть конечной, то есть BT (ω) ≥ ω.

Теорема 2. Bω-алгебраическая система стабильной теории T не может содержатьточно два элемента, то есть BT (ω) 6= 2.

Для нестабильных теорий это уже не так. При рассмотрении B-алгебраическихсистем неполных теорий был выделен класс конечнопорожденных B-алгебраическихсистем теорий c операциями объединения и пересечения этих систем в терминах B-деревьев [5]. Многие поставленные вопросы и проблемы для IT (ω) можно сформулиро-вать для BT (ω), но есть особенности их решения, например как в Теореме 2, и новыезадачи. Вопросы: - Какие возможности конечного имеются для B-алгебраическихсистем теорий T , помимо известных примеров конечного для IT (ω), и некоторое осла-бление проблемы Лахлана о конечной BT (ω) для стабильных теорий? -Какие видыграфов возможны для бесконечных и конечных B-алгебраических систем теорий иклассов теорий?


[1] Ершов Ю.Л., Палютин Е.А. Математическая логика, М.Наука, 1987.[2] Кейслер Г., Чен Ч.Ч. Теория моделей, М.Мир, 1977.

[3] Мальцев А.И. Алгебраические системы, М.Наука, 1970.

[4] Бекенов М.И. Концепция элементарной вложимости в теории моделей. Мальцевские чтения, Но-восибирск, 2012.

[5] Бекенов М.И. Элементарная вложимость в классе моделей счетного языка первого порядка. Со-

временная математика: проблемы и приложения, Кызылорда, 2013.

Евразийский Национальный Университет им. Л.Н.Гумилева, Астана, Республика Казахстан


127



Гауссовы суммы для характеров Дирихле по модулю 3l и их приложения

А. Болен

Эффективным инструментарием для конструктивного описания абсолютно цикли-ческих полей (а.ц.п.) являются суммы Гаусса по характеру Дирихле. Пусть Xpl —

множество всех примитивных характеров примарного порядка (п.х.п.п.) pl, Xpl/ ∼— фактор множество множества Xpl всех п.х.п.п. pl по эквивалентности ∼, Xpl —

множество всех а.ц.п. примарной степени pl. Известны из работы [1]:Предложение 1. Пусть pl — степень нечетного простого числа p. Прими-

тивный характер Дирихле χ ∈ X (f) по модулю f , порядка |χ| = pl, существуеттогда и только тогда, когда f имеет каноническое разложение вида f = p1p2 . . . psили f = pl0+1p1p2 . . . ps, где pi ≡ 1

(modpli

), li ∈ Z+, l = max l1, l2, . . . , ls или

l = max l0, l1, l2, . . . , ls.Предложение 2. Отображение ψ : Xpl/ ∼→ Ppl , определенное формулой ψ (χ) =

Q (θ (χ)), χ ∈ Xpl , F (χ) = f — примитивный характер Дирихле по модулю f , порядка

|χ| = pl, θ (χ) =∑

t∈Kerχ ζtf = 1

pl

∑pl−1k=0 τ

(χk)∈ Q (ζf ), где τ

(χi)

=∑

t∈U(f) χi (t) ζtf —

суммы Гаусса, является биективным отображением, причем F (χ) = F (Q (θ (χ))),|Q (θ (χ)) : Q| = |χ|.

Для большей эффективности этого универсального конструктивного описания же-лательно вычислить минимальные многочлены их порождающих элементов.

Предложение 3. С точностью до эквивалентности по модулю 3l+1 существует

единственный примитивный характер χ ∈ X(3l+1

), порядка |χ| = pl, и существует

единственное циклическое поле Q (θ (χ)), степени |Q (θ (χ)) : Q| = 3l, с дискриминан-

том D = 3(l+1)3l− 3l−12 −1. Для f3l (x), минимальных многочленов θ (χ) ∈ Q (ζ3l+1)

справедливы рекуррентные формулы: f3l (x) = f3l−1

(x3 − 3x

), f3 (x) = x3 − 3x + 1,

f32 (x) = f3(x3 − 3x

)= x9 − 9x7 + 27x5 − 30x3 + 9x− 1, и т.д.

Предложение 4. Отображение ψ : X3/ ∼→ P3, определенное формулой ψ (χ) =Q (θ (χ)), где χ ∈ X3, F (χ) = f имеет каноническое разложение вида f = p1p2 . . . psили f = 32p1p2 . . . ps, pi ≡ 1 (3), θ (χ) =

∑t∈Kerχ ζ

tf ∈ Q (ζf ), является биективным

отображением, Минимальный многочлен порождающего элемента θ (χ) выражается

формулой p (x) = x3−µ (f)x2 + µ(f)2−f3 x− fA1+(1−3f)µ(f)

27 , где A1 = J (χ, χ) +J(χ2, χ2

).


[1] Болен А. Классификация примитивных характеров Дирихле и их приложения // Математический

журнал, 2014, том 14, 1 (51).

КазНПУ имени Абая, Алматы, Республика КазахстанE-mail: [email protected]

128



О свойствах богатых семейств неполных конечных типов в многосортных

многозначных системах и кластеризациях типов и формул логических

исчислений

А. А. Викентьев

Доклад посвящен переносу результатов теорем о богатых семействах типов,доказанных ранее в стабильном случае или с условиями стабильности1, на случайбогатых семейств неполных типов с параметрами для многосортных и многозначных

теорий первого порядка с κ-компактными (насыщенными, однородными) измеримымимоделями и свойством κ-отделимости новых элементов, реализующих типы (надмалыми подмножествами) из этих семейств, от элементов подмодели и наличияреализаций в расширении (с богатым семейством) модели с вполне определимыми(стабильными) типами или неразличимыми элементами. Изучены предельные моделив классе теорий с покрытиями.

Основными инструментами доказательств являются теоремы типа компактности,развитая техника современной теории моделей и стабильности, логических исчисле-ний и наличия (даже локально) компактных измеримых (подходящих мощностей κ)моделей теории со свойствами κ–отделимости над реализациями семейств стабильных(определимых) типов. Рассмотрены вопросы определимости систем в наследственноконечных надстройках, и о мощностях типово определимых подмножеств. Интереск этим вопросам и моделям имеет прикладной характер в поиске наиболее информа-тивных (нетривиальных) типов (формул), закономерностей для кластеризации, дляупорядочения таких “знаний” с помощью привлечения упорядоченных или измери-мых систем, для введения расстояний (обладающих свойствами метрики) на классахэквивалентных типов с помощью измеримых подклассов измеримых (метрических)моделей теории, которые необходимы для алгоритмов распознавания образов, постро-ения решающих функций, поиска закономерностей, для обнаружения редких событийи кластеризации многозначных “знаний”. Аналогичные вопросы рассмотрены для ко-нечнозначных логик Лукасевича и модальных исчислений. Программно реализованынесколько методов кластеризации для множеств формул (типов) от малого числа пе-ременных. Работа выполнена также при поддержке кафедры ДМИ ММФ НГУ.

Институт математики СО РАН, Новосибирск


1Некоторые из них вошли в диссертацию автора “Теории с покрытием и формульные подмно-жества”, ИМ СО РАН, Новосибирск, 1992 г., 134 с. для семейств формул, а также опубликованы

в сборнике, посвященному 90–летию академика А.Д. Тайманова — “Two cardinal theorems for sets of

types in stable theory”, Казахстан, Алма-Ата, 2007, с. 67–69, были доложены в Алма-Ате и Новосибир-ске — на ежегодных Мальцевских чтениях с 2006 г., в том числе к 100-летию акад. А.И. Мальцева,

70-летию акад. Ю.Л. Ершова и 60-летию чл.-к. РАН С.С. Гончарова и др.

129



Кластеризация логических высказываний с учетом мер нетривиальности

А. А. Викентьев, Р. А. Викентьев

В работе рассматривается одна из актуальных задач — анализ логических выска-зываний. Мера значений истинности формулы на модели может служить степеньюнетривиальности формулы. При анализе требуется найти близкие высказывания, вы-явить нетривиальные и т.д. Для кластеризации знаний, построения решающих функ-ций на основе формул, надо ввести расстояние между формулами. В работе выска-зывания записаны в виде формул n–значной логики. С привлечением теории моделейопределяются: новое расстояние между формулами, обобщающее следующее

ρ(ϕ, ψ) =1

n|S(Σ)|

n−1∑

k=0

n−1∑

l=0

|k − l|n− 1

M

(k

n− 1,

l

n− 1

), (1)

где n|S(Σ)| - количество всех моделей, M(

kn−1 ,

ln−1

)- тех моделей, на которых формула

ϕ принимает значение kn−1

, а ψ — ln−1

; и новая мера нетривиальности

I(ϕ) = ρ(ϕ, 1) =1

n|S(Σ)|

n−2∑

k=0

n− 1− kn− 1

M

(k

n− 1

), (2)

где M(

kn−1

)- количество моделей, на которых формула ϕ принимает значение k

n−1 .

В работе доказаны особые свойства метрики на классах эквивалентных высказыванийдля введенных расстояний и мер нетривиальности; они учитывают многозначность,схожи со свойствами величин в случае 2, 3–значных логик Лукасевича, отвечают навопросы Г.С.Лбова и применяются для алгоритмов кластеризации формул. Рассмо-трены различные методы кластеризации знаний на основе новых расстояний и мернетривиальности, а также коллективные решения. Работа выполнена при поддержкекафедры ДМИ ММФ НГУ.


[1] Лбов Г.С., Старцева Н.Г. Логические решающие функции и вопросы статистической устойчиво-

сти решений. Новосибирск: Изд–во ИМ СО РАН, 1999 г.[2] Кейслер Г., Чэн Ч.Ч. Теория моделей. М.: Мир, 1977.

[3] Викентьев А.А, Лбов Г.С. О метризации булевой алгебры предложений и информативности вы-

сказ. экспертов // Доклады РАН 1998. Т.361, 2 С. 174–176.[4] Викентьев А.А, Лбов Г.С. Setting the metric and informativeness on statements of experts // Pattern

Recognition and Image Analysis, 1997, V.7, 2, P. 175–183.

[5] Ершов Ю.Л., Палютин Е.А. Математическая логика– М.: Физматлит, 2011.[6] Викентьев А.А., Коренева Л.Н., К вопросу о расстояниях между формулами, описывающими

структурированные объекты // Математические методы распознавания образов (ММРО-99),РАН ВЦ, Москва, 1999. С.151–154.

ИМ СО РАН и НГУ, Новосибирск


130



Условия дистрибутивности 3-порожденных решеток

А. Г. Гейн, М. П. Шушпанов

Элемент a решетки 〈L;∧,∨〉 называется левомодулярным, если

∀x, b ∈ L : x ≤ b→ x ∨ (a ∧ b) = (x ∨ a) ∧ b.Элемент b решетки 〈L;∧,∨〉 называется правомодулярным, если

∀a, x ∈ L : x ≤ b→ x ∨ (a ∧ b) = (x ∨ a) ∧ b.Элемент решётки называется коправомодулярным, если в двойственной решётке

он правомодулярен.Эти определения являются «модулярными» аналогами понятий стандартного, дис-

трибутивного и кодистрибутивного элементов (см. [1, с.185]). При этом легко убе-диться, что стандартный элемент является одновременно левомодулярным и коправо-модулярным, а дистрибутивный - коправомодулярным.

Согласно Теореме 5 из [2], решётка, порождённая тремя элементами, два из кото-рых стандартны, дистрибутивна. Ввиду сказанного выше, следующая теорема явля-ется её обобщением.

Теорема 1. Если решётка порождена тремя элементами, один из которых лево-модулярен и коправомодулярен одновременно, а другой стандартен, то она дистрибу-тивна.

В то же время, если условие одновременной левомодулярности и коправомодуляр-ности элемента заменить на левомодулярность и правомодулярность или правомоду-лярность и коправомодулярность, то решетка может быть немодулярной.

В [1, с. 194] отмечено, что решетка, порожденная тремя дистрибутивными элемен-тами, может оказаться недистрибутивной. В связи с этим представляет интерес

Теорема 2. Решетка, порожденная тремя элементами, два из которых правомо-дулярны и левомодулярны одновременно, а третий элемент дистрибутивен, дистрибу-тивна.

Существуют примеры, показывающие, что правомодулярность и левомодуляр-ность первого элемента не может быть заменена на правомодулярность и коправомоду-лярность или коправомодулярность и левомодулярность, а дистрибутивность третьегоэлемента не может быть ослаблена до коправомодулярности.


[1] Гретцер Г. Общая теория решеток. М.: Мир, 1982. —- 456 с.[2] Gratzer G., Schmidt E. T. Standard ideals in lattices // Acta Math. Acad. Sci. Hungar, 12 (1961),

17–86.

Уральский Федеральный Университет, ЕкатеринбургE-mail: [email protected]

[email protected]

131

mailto:[email protected] \ [email protected]


Алгебры распределений бинарных изолирующих формул теории

одноместных предикатов с подстановкой

Д. Ю. Емельянов

Исследуются алгебры распределений бинарных изолирующих формул [1] для тео-рий одноместных предикатов с подстановкой.

Теорема. Если T — теория одноместных предикатов с подстановкой, Pν(p) — ал-

гебра распределений бинарных изолирующих формул для типа p ∈ S1(∅), то алгебраPν(p) изоморфна либо группе Z, либо группе Zn, либо алгебре An, полученной расши-рением группы Zn новым символом ¬ с операцией ·, удовлетворяющей соотношениям¬·m = m ·¬ = ¬, m ∈ Zn, ¬·¬ = 0, 1, . . . , n−1,¬. Алгебра Pν(p) изоморфна группе Zтогда и только тогда, когда подстановка не имеет циклов. Алгебра Pν(p) изоморфна

группе Zn тогда и только тогда, когда подстановка имеет единственный цикл длины nна множестве реализаций типа p (возможно после замены подстановки σ на некоторуюее степень σk) или при наличии такого цикла тип p является неглавным.


[1] Судоплатов С. В. Классификация счетных моделей полных теорий. — Новосибирск : Изд-во

НГТУ, 2014.



132



О наследственно чистых полугруппах с центральным идемпотентом

О. В. Князев

В [1] определяется понятие чистоты для произвольных универсальных алгебр иставится задача(проблема 17): описать наследственно чистые алгебры данного мно-гообразия. Мы изучаем наследственно чистые полугруппы в классе полугрупп с цен-тральным идемпотентом.

Напомним некоторые определения. Полугруппы с центральным идемпотентомрассматриваются здесь как алгебры с бинарной ассоциативной операцией — умноже-нием и нульарной операцией — выделением идемпотента, коммутирующего со всемиэлементами алгебры.

Пусть V — многообразие всех полугрупп с центральным идемнотентом; L(V) —решетка подмногообразий многообразия V, X ∈ L(V), A ∈ V. В дальнейшем подсловом “полугруппа” понимается алгебра из многообразия V. Единственным клас-сом X−вербальной конгруэнции ρ(X, A) на полугруппе A (ρ(X, A) — наименьшая изконгруэнций на A, фактор-полугруппы по которым принадлежат X), являющимсяподполугруппой полугруппы A, будет класс, содержащий выделенный идемпотент.Обозначают его через X(A) и называют X−вербалом полугруппы A.

Подполугруппу B полугруппы A называют чистой в A, если равенство X(B) =X(A)∩B выполняется для любого атома X из решетки L(V). Если все подполугруппыполугруппы A являются чистыми, то A называют наследственно чистой полугруппой.

Полугруппа называется вполне регулярной если она есть объединение групп.Теорема. Полугруппа A с нулем является наследственно чистой полугруппой

в классе всех полугрупп с центральным идемпотентом тогда и только тогда, когдаполугруппа A есть идеальное расширение вполне регулярной полугруппы с нулем спомощью полугруппы с нулевым умножением.

Исследование выполнено при поддержке Министерства образования и науки Рос-сийской Федерации, задание 2014/336.


[1] Мартынов Л.М., О понятиях полноты, редуцированости, примарности и чистоты для произволь-ных алгебр // Универсальная алгебра и ее приложения. Труды междунар. семинара. – Волгоград:

Перемена, 2000. – С. 179–190.

Омский государственный педагогический университет, Омск


133



Неконечная базируемость одной числовой системы с константой

А. М. Кунгожин

В данной работе мы изучаем алгебраическую систему A1 = 〈R, 1, ¬, ·, =〉, гдеосновное множество состоит из действительных чисел, выделяется константа 1, име-ется одна унарная операция ¬x = 1 − x (отрицание), одна бинарная операция (·) –обычное умножение. Отметим, что эти операции фундаментальны в нечеткой логикеЗаде [1], которая за последние 50 лет стала одной из наиболее интенсивно развиваю-щихся областей математики.

Ранее автором [2] изучалась алгебраическая система A = 〈R, ¬, ·, =〉, в которой,в отличие от алгебраической системы A1, не выделяются константы. В данной ра-боте используются как понятия и обозначения из [2, 3], так и вводятся их некоторыеобобщения и новые понятия.

Определение. Базисом во множестве тождеств называется такое его подмноже-ство, что любое тождество оказывается его логическим следствием.

Хорошо известна теорема Биркгофа [4] о полноте эквационального исчисления,согласно которой с помощью правила подстановки из системы тождеств и аксиомравенства можно получить все тождества, являющиеся логическими следствиями этойсистемы.

Пусть bi(x1, x2, ..., xni) = βi(x1, x2, ..., xni

) : i ∈ I – базис тождеств. Тогда длявсякого тождества t = τ в алгебре A можно построить цепочку тождественных имтермов t ≡ t0 = t1 = ... = tk ≡ τ , таких, что каждый последующий терм получениз предыдущего путем замены в нем какого-то подтерма bi(θ1, θ2, ..., θni

) на подтермβi(θ1, θ2, ..., θni

) (или наоборот), где θ1, θ2, ..., θniсами являются подтермами.

Тогда оказывается справедливой следующая теорема.Теорема. Система тождеств алгебры A1 не имеет конечного базиса.Хотя сам результат и идея его доказательства имеет много общего с работой

автора [2], введение в сигнатуру константы значительно усложняет доказательствотеоремы.


[1] Zadeh L. Fuzzy sets // Inform. and Control, 8 (1965), 338–353.

[2] Кунгожин А.М. Неконечная базируемость одной числовой системы // Алгебра и логика, Т. 51, 1, 2012, с. 82–95.

[3] Мальцев А.И. Алгебраические системы. — М.: Наука 1970.

[4] Birkhoff G. On the structure of abstract algebras // Proc. Cambridge Philos. Soc., Vol. 31, N 4 (1935),pp. 433–454.

КазНУ имени аль-Фараби, АлматыE-mail: [email protected]

134



Элементарно замкнутые структуры

А. Т. Нуртазин

Важное понятие Абрахама Робинсона экзистенциально замкнутой структуры [1]может быть определено без привлечения понятия класса, если такими считать всеструктуры, экзистенциально замкнутых в классе структур элементарно эквивалент-ных ей.

В [2] изучаются свойства счётных экзистенциально замкнутых моделей универ-сально аксиоматизируемых теорий счётной предикатной сигнатуры. Там же показано,что, в случае существования, простая экзистенцильно замкнутая модель среди другихсвойств обладает неотмеченным ранее свойством элементарной замкнутости. Поня-тие элементарной замкнутости структуры является усилением понятия экзистенциаль-ной замкнутости. При этом свойства структур этого класса в ряде случаев получаютсяпроще, чем соответствующие свойства экзистенциально замкнутых структур.

Определение. 1) Пусть C — некоторый класс структур. Данную структуруA называем элементарно замкнутой в классе C , если в этом классе имеются еёизоморфные расширения и все они элементарны.

2) Структуру A называем элементарно замкнутой в теории T, если она эле-ментарно замкнута в классе всех её моделей.

3) Структуру A называем, просто, элементарно замкнутой, если она элемен-тарно замкнута в своей полной теории.

Из приведённого определения следует, что элементарно замкнутые структурыредки. Первая часть следующей теоремы предоставляет достаточно удобный кри-терий элементарной замкнутости. А вторая часть отвечает на вопрос:

- Когда данная теория является элементарной теорией некоторого класса эле-ментарно замкнутых структур?

Теорема. 1) Структура A элементарно замкнута, если и только если для любых:кортежа a и выполнимой на нём формулы найдется также содержащаяся в этойформуле и выполняющаяся на этом кортеже некоторая экзистенциальная формула.

2) Данная теория T является элементарной теорией подкласса своих элементарнозамкнутых моделей, если и только если в ней каждая выполнимая формула содержитнекоторую, также выполнимую, экзистенциальную.


[1] Robinson A. On the Metamathematics of Algebra. — Amsterdam: North-Holland, 1951.[2] Нуртазин А.Т. Счётные экзистенциально замкнутые модели универсально аксиоматизируемых

теорий // Математические труды, принята в печать.

[3] Кейслер Г., Чэн Ч.Ч. Теория моделей. — М., Мир, 1977.

Институт вычислительных и информационных технологий МОН РК, АлматыE-mail: [email protected]

135



Тотально обобщенно стабильные абелевы группы

Е. А. Палютин

В работе полностью описываются абелевы группы, которые являются P -стабиль-ными во всех бесконечных мощностях для следующих четырех типов подгрупп: произ-вольные подгруппы, сервантные подгруппы, элементарные подсистемы и алгебраиче-ски замкнутые подгруппы. Такие группы будут называться соответственно тотально(P, i)-стабильными для i ∈ s, p, e, a. Необходимые определения можно найти в ста-тьях [1], [2] и книге [3].

Теорема 1. Следующие условия для абелевой группы A равносильны: (1) те-ория группы A является тотально (P, s)-стабильной; (2) теория группы A является(P, s)-стабильной; (3) группа A представляет собой прямую сумму конечной группы иконечного числа элементарных абелевых групп.

Теорема 2. Для того, чтобы теория абелевой группы A была тотально (P, p)-стабильной, необходимо и достаточно существование конечного множества σ(A) про-стых чисел со следующими свойствами: (1) любой элемент группы A делится на любоепростое число p, не принадлежащее множеству σ(A); (2) для любого простого числа p,не принадлежащего множеству σ(A), p-компонента Ap группы A нулевая; (3) для лю-бого простого числа p редуцированная часть p-компоненты Ap группы A ограничена.

Теорема 3. Для того, чтобы абелева группа A была тотально (P, e)-стабильной,необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие условия: (1) A/Ad — огра-ниченная группа, где Ad — делимая часть группы A; (2) множество p | γp(A) =ω, p — простое число конечно, где γp(A) — шмелевский инвариант группы A (см.,например в [3]); (3) множество p | |A[p]| > ω, p — простое число конечно.

Теорема 4. Для того, чтобы теория группы A была тотально (P, a)-стабильной,необходимо и достаточно, чтобы для A выполнялись условия (1), (2), (3) теоремы 3, атакже следующие условия: (4) для любого простого числа p подгруппа (pA)[p] группыA конечна; (5) для любого простого числа p либо подгруппа A[p] группы A конечна,либо ее шмелевский инвариант γp(A) конечен; (6) множество W = p | γp(A) 6= 0конечно.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, проект N 12-01-00460.


[1] Палютин Е. А. P-стабильные абелевы группы // Алгебра и логика, т. 52, N 5 (2013), с. 606–631.

[2] Палютин Е. А. P-спектры абелевых групп // Алгебра и логика, т. 53, N 2 (2014), с. 216–255.

[3] Ершов Ю. Л., Палютин Е. А. Математическая логика, 6-е издание. — М.: Изд-во “Физматлит”,2011. — 357 с.

Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН,

Новосибирский государственный университет, НовосибирскE-mail: [email protected]

136



Об алгебрах с идентичными алгебраическими множествами

А. Г. Пинус

Понятие алгебраического множества универсальной алгебры (совокупности реше-ний некоторой, возможно бесконечной, системы термальных уравнений) относится кчислу базовых понятий алгебраической геометрии универсальных алгебр. Решеткуn-мерных алгебраических множеств универсальной алгебры A обозначим как AlgnA.

Естественным представляется вопрос о взаимосвязи универсальных алгебр A0 =〈A; σ0〉,A1 = 〈A; σ1〉 с одним и тем же основным множеством A, имеющих одни и теже алгебраические множества (ситуация когда AlgnA0 = AlgnA1 для любого n ∈ ω).Алгебра A называется эквациональной областью, если объединение любых двух ееалгебраических n-мерных множеств является алгебраическим.

Имеет местоТеорема. Пусть A0 = 〈A; σ0〉 конечная, либо равномерно локально конечная уни-

версальная алгебра конечной сигнатуры, являющаяся эквациональной областью. То-гда для любой алгебры A1 = 〈A; σ1〉 (конечной сигнатуры в случае бесконечного A)такой, что SubA0 = SubA1, следующие условия равносильны:а) AlgnA0 = AlgnA1 для любого n ∈ ω,б) для i = 0, 1 любая σi-функция является позитивно условно термальной (см. [1])

для алгебры A1−i.Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства образования и науки

РФ по государственному заданию 2014/138, проект 1052.


[1] Пинус А.Г. Внутренние гомоморфизмы и позитивно условные термы // Алгебра и логика, 2001,

т. 40, 1, с. 158–173.



137



Распределение счетных моделей теорий одноместных предикатов

Р. А. Попков

В монографии [1] поставлена проблема описания распределения простых над ко-нечными множествами, предельных и остальных счётных моделей для различных есте-ственных классов алгебраических систем.

Определение [1, 2]. Тройкой распределения cm3 счётных моделей теории Tназывается набор (P (T ), L(T ),NPL(T )), где P (T ), L(T ), NPL(T ) — мощности типовизоморфизма простых над конечными множествами, предельных и остальных счётныхмоделей теории T соответственно.

Предложение. Если для теории T одноместных предикатов NPL(T ) > 0, тоP (T ) = 0, L(T ) = 0.

Теорема. Для счётных теорий одноместных предикатов возможны следующиезначения троек распределения:

• (1, 0, 0) — для малой теории без неглавных 1-типов;• (ω, 1, 0) — для малой теории с одним неглавным 1-типом;• (ω, ω, 0) — для малой теории с конечным > 1 числом неглавных 1-типов;• (ω, 2ω, 0) — для малой теории со счетным числом неглавных 1-типов;• (2ω, 2ω, 0) или (0, 0, 2ω) — для теории с континуальным числом типов.

Каждое из указанных значений реализуется некоторой теорией одноместных предика-тов.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаменталь-ных исследований, проект 12-01-00460-a.


[1] Судоплатов C. В. Классификация счётных моделей полных теорий : Монография, Ч. 2. — Ново-сибирск: Изд-во НГТУ, 2014. — 448 с.

[2] Popkov R. A., Sudoplatov S. V. Distributions of countable models of complete theories with continuum

many types // arXiv:1210.4043v1 [math.LO], 2012, 30 p.

Новосибирский государственный технический университет, НовосибирскE-mail: [email protected]

138



Кодистрибутивные и костандартные элементы решетки многообразий

эпигрупп

Д. В. Скоков

Эпигруппой называется полугруппа S, в которой некоторая степень любого эле-мента лежит в некоторой подгруппе полугруппы S. На всякой эпигруппе можно неко-торым естественным способом ввести унарную операцию, называемую псевдообраще-нием (см., например, [2]). Это позволяет рассматривать многообразия эпигрупп какалгебр в сигнатуре, состоящей из умножения и псевдообращения.

Мы продолжаем начатое в [4] изучение специальных элементов в решетке много-образий эпигрупп. В [4] рассматриваются нейтральные, модулярные и верхнемоду-лярные элементы этой решетки (определения этих типов элементов см. в [3] или [4]).В данной работе изучаются ее кодистрибутивные и костандартные элементы. На-помним, что элемент x решетки L называется кодистрибутивным [костандартным],если x ∧ (y ∨ z) = (x ∧ y) ∨ (x ∧ z) [соответственно (x ∧ y) ∨ z = (x ∨ z) ∧ (y ∨ z)] длялюбых y, z ∈ L.

Многообразие полугрупп называется строго перестановочным, если оно удовле-творяет тождеству вида x1x2 · · ·xn = x1πx2π · · ·xnπ, где π — перестановка на множе-стве 1, 2, . . . , n такая, что 1π 6= 1 и nπ 6= n. В [1] полностью описаны костандартныеэлементы решетки всех многообразий полугрупп и строго перестановочные много-образия, являющиеся кодистрибутивными элементами этой решетки. В данной работеполучены эпигрупповые аналоги этих результатов.

Теорема 1. Строго перестановочное многообразие эпигрупп является кодистри-бутивным элементом решетки всех многообразий эпигрупп тогда и только тогда, когдаV ⊆ AG ∨ SL ∨ ZM, где AG — многообразие всех абелевых групп, SL— многообразиевсех полурешеток, а ZM — многообразие всех полугрупп с нулевым умножением.

Теорема 2. Многообразие эпигрупп является костандартным элементом решеткивсех многообразий эпигрупп тогда и только тогда, когда V ⊆ SL ∨ ZM.


[1] Верников Б.М. Кодистрибутивные элементы решетки многообразий полугрупп // Изв. вузов. Ма-

тем. 2011. 7. С. 13–21.

[2] Шеврин Л.Н. К теории эпигрупп. I, II // Мат. сб. 1994. Т. 185, 8. С. 129–160; 9. С. 153–176.[3] Gratzer G. Lattice Theory: Foundation, Birkhauser, Springer Basel AG, 2011.

[4] Shaprynskiı V. Yu., Skokov D. V., Vernikov B. M. Special elements of the lattice of epigroup varieties //

Algebra Universalis, submitted; available at http://arxiv.org/abs/1408.0356.

Уральский федеральный университет, ЕкатеринбургE-mail: [email protected]

139



Планарные многообразия полугрупп

Д. В. Соломатин

Изучается свойство планарности графов Кэли для многообразий полугрупп. ПустьV— произвольное многообразие полугрупп. Как и прежде [1], если существует такоенатуральное число r, что все V -свободные полугруппы ранга ≤ r допускают планар-ный граф Кэли, а V -свободная полугруппа ранга r + 1 уже не допускает планарныйграф Кэли, то рангом планарности V называется это число r. Если для многообра-зия V такого натурального числа не существует, то говорят, что многообразие V

имеет бесконечный ранг планарности. Многообразие, каждая полугруппа которогодопускает планарный граф Кэли, называется планарным. Напомним, что атомы ре-шетки L всех многообразий полугрупп исчерпываются следующими многообразиями:Zl = varxy = x полугрупп левых нулей, Zr = varxy = y полугрупп правых нулей,C = varxy = zt полугрупп с нулевым умножением, A1,1 = varxy = yx; x = x2полурешеток и Ap = varxy = yx; xpy = y абелевых групп экспоненты p для всехпростых p.

Доказана следующаяТеорема. Нетривиальные планарные многообразия полугрупп исчерпываются

многообразиями Zl, C и их покрывающим многообразием varxy = xz.Ключевую роль при доказательстве теоремы сыграли материалы обзора Эванса [2],

в котором, в частности, приведена решетка (L16) всех шестнадцати подмногообразиймногообразия, порожденного негрупповыми атомами Zl, Zr, C , A1,1 решетки много-образий полугрупп. Кроме того, используется факт о том, что групповые многообра-зия Ap, не являются планарными [1]. Ясно, что приведенные в теореме многообразияимеют бесконечный ранг планарности. Выяснено так же, что все остальные нетриви-альные многообразия решетки L16 имеют конечные ранги планарности в пределах от2 до 4. Приведена классификация многообразий из L16 по рангам планарности.

В качестве следствия теоремы получаем, что единственным планарным нетри-виальным многообразием коммутативных полугрупп является многообразие C полу-групп с нулевым умножением.


[1] Соломатин Д. В. Ранги планарности многообразий коммутативных моноидов // Вестник Омскогоуниверситета. Изд-во: Омский государственный университет им. Ф.М. Достоевского (Омск). —

2012. — Т.4 (66). — С. 41–45.

[2] Evans T. The lattice of semigroup varieties // Semigroup Forum, — 1971. — Vol. 2. — P. 1–43.

Омский государственный педагогический университет, ОмскE-mail: denis [email protected]

140



Об алгоритмической разрешимости элементарных теорий классов

гиперграфов

Е. В. Хворостухина

Согласно [1] гиперграфом называется система вида H = (X,L), где X – это не-пустое множество вершин гиперграфа и L – семейство произвольных подмножеств X ,называемых ребрами гиперграфа. Гиперграф H = (X,L) называется эффективным,если любая его вершина принадлежит некоторому ребру этого гиперграфа. Пусть p– произвольное натуральное число. Гиперграф H будем называть гиперграфом с p-определимыми ребрами, если в каждом ребре этого гиперграфа найдется по крайнеймере p+1 вершина и, с другой стороны, любые p вершин этого гиперграфа содержатсяне более, чем в одном ребре. Например,эффективный гиперграф с 1-определимыми ре-брами - это гиперграф, ребра которого образуют нетривиальное разбиение множествавершин без одноэлементных классов. С другой стороны как проективная, так и аффин-ная плоскости с числом точек более четырех являются эффективными гиперграфамис 2-определимыми ребрами, вершинами которых являются точки этих плоскостей, аребрами соответствующие прямые (см., например [2]).

Эндоморфизмом гиперграфа H = (X,L) называется преобразование ϕ множествавершин X , которое удовлетворяет условию: (∀l ∈ L)(∃l′ ∈ L)(ϕ(l) ⊂ l′). Множе-ство всех эндоморфизмов гиперграфа H с операцией композиции образует полугруппуEndH.

Пусть T - элементарная теория некоторой сигнатуры Ω. Согласно [3] теория Tназывается разрешимой, если существует эффективная процедура, позволяющая полюбому предложению Ψ сигнатуры Ω определить принадлежит или нет Ψ теории T .Если теория T не является разрешимой, то она называется неразрешимой. Теория Tназывается наследственно неразрешимой, если любая подтеория теории T той же сиг-натуры неразрешима. Одним из важнейших методов доказательства неразрешимоститеорий является метод относительно элементарной определимости [3].

Для класса K эффективных гиперграфов с p−определимыми ребрами символомEndK обозначим класс полугрупп эндоморфизмов вида EndH, где H ∈ K.

Теорема. Если элементарная теория класса K эффективных гиперграфов с p-оп-ределимыми ребрами наследственно неразрешима, то и элементарная теория классаполугрупп EndK наследственно неразрешима.


[1] Зыков А. А. Гиперграфы // УМН, 1974. Т.29, N6. C. 89–154.

[2] Хартсхорн Р. Основы проективной геометрии. – М.: Мир, 1970. – 161 с.

[3] Ершов Ю. Л. Проблемы разрешимости и конструктивные модели. – М.: Наука, 1980. – 320с.

Саратовский социально-экономический институт РЭУ им.Г.В.Плеханова, СаратовE-mail: [email protected]

141



О декомпозиции мультиопераций

И. К. Шаранхаев

В работе [1] впервые к исследованию функциональных систем стал применяться алге-браический подход.

Пусть B(A) — множество всех подмножеств A, в том числе ∅. Отображениеиз An в B(A) называется n-местной мультиоперацией на A. Для множества всех n-местных мультиопераций на A используем обозначение Mn

A, а для множества всехмультиопераций на A обозначение MA =

⋃n≥0M

nA.

Пусть R ⊆ MA. Алгебра R =< R; ∗, ζ, τ,∆, ε > типа 〈2, 1, 1, 1, 0〉 с операциями,определение которых см. в [2], называется мультиклоном (частичным гиперклоном)над A. Используя операции мультиклона можно определить частичную операциюсуперпозиции и проекции по i–ому аргументу eni (a1, . . . , an) = ai. Отметим, что Rобразует мультиклон⇐⇒ R содержит все eni и замкнуто по суперпозиции. Терминоло-гия, используемая в дальнейшем, аналогична терминологии теории булевых функций(см., например, [3]). Далее считаем |A| = 2.

Естественным является вопрос выразимости произвольной мультиоперации черезмультиоперации меньшей размерности. Говорим, что мультиоперация f при разбие-нии множества переменных на u, v, w допускает декомпозицию, если существуют h и gтакие, что f(u, v, w) = h(u, w, g(u, v)). Если u = ∅, то такая декомпозиция называетсяразделительной.

Для произвольных f, g ∈MnA определим мультиоперацию f∪g следующим образом:

(f ∪ g)(α) = f(α) ∪ g(α) для любого набора α ∈ An.Автором доказана следующаяТеорема. Мультиоперация f допускает декомпозицию при разбиении множества

переменных на u, v, w⇐⇒ для любого набора α (|α| = |u|) среди всех остаточных от f αu

по v не более четырех различных, причем каждая из них равна либо ∅, либо некоторойf0, либо некоторой f1, либо f0 ∪ f1.

Следствие. Мультиоперация f допускает разделительную декомпозицию приразбиении множества переменных на v, w ⇐⇒ среди всех остаточных от f по v неболее четырех различных, причем каждая из них равна либо ∅, либо некоторой f0,либо некоторой f1, либо f0 ∪ f1.


[1] Мальцев А.И. Итеративные алгебры и многообразия Поста // Алгебра и логика, 5. — 1966. ”— 5. ”— С. 3–9.

[2] Перязев Н.А. Клоны, ко-клоны, гиперклоны и суперклоны // Ученые записки Казанского гос.

университета. Серия: Физико-мат. науки. — 2009. — Т. 151. Книга 2. — С. 120–125.[3] Избранные вопросы теории булевых функций / Под ред. С. Ф. Винокурова и Н. А. Перязева / —

М.: Физматлит, 2001. — 192 с.

Бурятский государственный университет, Улан-Удэ


142



Weakly and almost orthogonality of types

B. S. Baizhanov, A. D. Yershigeshova

We study the relations of weakly orthogonality and almost orthogonality of types. In thetheorem below we proved that some conditions with these types of orthogonality save theproperty of non-homogeneity and keep the number of countable, non-isomorphic models.For any model M of theory T , D(M) is called to be a finite diagram of M, if it is the setof all types that realized in M.

Theorem. Let M be a countable, non-homogeneous model of a small theory T andp(x) ∈ S(T ) be a non-isolated type such that p(x) is weakly orthogonal to any non-isolatedtype q(y) from the finite diagram of M. Then the following conditions hold:1) There exists a countable elementary extension M ≺ M(c), such that M(c) is also non-homogeneous.2) For any non-homogeneous M′ ≇ M, with equal finite diagrams D(M) = D(M′) we haveM(c) ≇ M′(c), and D(M(c)) = D(M′(c)).3) For any N ≻M and N |= p(c) we have D(M(c)) ⊆ D(N)

This theorem works on the relation of almost orthogonality, if we impose the followingcondition:

p ⊥a q , ∀q ∈ D(M), and ∀q′(y, z) ⊃ q(y), where q′(y, z) ∈ D(M),∀α |= q, for p′ ∈ S(α) such that p ⊂ p′ we have p′ ⊥a q′(α, z).

By I(T, ω) we denote the number of countable, non-isomorphic models of the theory.Notice, that if there exists a small theory T , I(T, ω) = ω1, then there is D(T ) ⊆ S(T ) sothat

|M/∼= | M |= T,M− countable,D(M) = D(T )| = ω1.

Corollary If there is a small theory T with I(T, ω) = ω1, and there is a type p(x) ∈ S(T )such that for every q(y) ∈ D(T ), p(x) is weakly orthogonal to q(y), then I(T ∪p(c), ω) = ω1.

IMMM, Almaty (Kazakhstan)


143



On behaviour of binary formulas in ℵ0-categorical weakly circularly minimalstructures

B. Sh. Kulpeshov

The notion of circular minimality has been introduced and originally studied by D. Mac-pherson and C. Steinhorn in [1]. Here we continue studying the notion of weak circularminimality being its generalisation.

A circular order relation is described by a ternary relation K satisfying the followingconditions:(co1) ∀x∀y∀z(K(x, y, z)→ K(y, z, x));(co2) ∀x∀y∀z(K(x, y, z) ∧K(y, x, z)⇔ x = y ∨ y = z ∨ z = x);(co3) ∀x∀y∀z(K(x, y, z)→ ∀t[K(x, y, t)∨K(t, y, z)]);(co4) ∀x∀y∀z(K(x, y, z) ∨K(y, x, z)).

A set A of a circularly ordered structure M is said to be convex if for any a, b ∈ Athe following holds: for any c ∈ M with K(a, c, b) we have c ∈ A or for any c ∈ M withK(b, c, a) we have c ∈ A. A circularly ordered structure M = 〈M,K, . . .〉 is weakly circularlyminimal if any definable (with parameters) subset of M is a finite union of convex sets [2].Any weakly o-minimal structure is weakly circularly minimal, but the inverse is not true ingeneral. Some of interesting examples of weakly circularly minimal structures that are notweakly o-minimal were studied in [2, 3, 4].

Let p ∈ S1(∅) and F (x, y) be an ∅-definable formula such that F (M, b) is convex infiniteco-infinite for each b ∈ p(M), F (M, b) ⊂ p(M). Let F l(y) be the formula saying y is a leftendpoint of F (M, y). We say that F (x, y) is p-stable convex-to-right if for every b ∈ p(M)M |= ∀x[F (x, b)→ F l(b) ∧ ∀z(K(b, z, x)→ F (z, b))].

In [2]–[4] ℵ0–categorical 1-transitive weakly circularly minimal structures have beenstudied, and was obtained their description up to binarity. Here we discuss some propertiesof ℵ0–categorical weakly circularly minimal structures that are not 1-transitive. In particu-lar, we study the behaviour of p-stable convex-to-right formulas in such structures by usingsome technics from [5].

References

[1] Macpherson H.D., Steinhorn Ch. On variants of o-minimality // Annals of Pure and Applied Logic, 79

(1996), pp. 165–209.[2] Kulpeshov B.Sh., Macpherson H.D. Minimality conditions on circularly ordered structures // Mathe-

matical Logic Quarterly, 51 (2005), pp. 377–399.

[3] Kulpeshov B.Sh. On ℵ0-categorical weakly circularly minimal structures // Mathematical Logic Quar-terly, 52 (2006), pp. 555–574.

[4] Kulpeshov B.Sh. Definable functions in the ℵ0-categorical weakly circularly minimal structures //

Siberian Mathematical Journal, 50 (2009), pp. 282–301.[5] Baizhanov B.S., Kulpeshov B.Sh. On behaviour of 2-formulas in weakly o-minimal theories // Math-

ematical Logic in Asia: Proceedings of the 9th Asian Logic Conference, Singapore: World Scientific,2006, pp. 31-40.

International Information Technologies University, Almaty (Kazakhstan)E-mail: [email protected]

144



Separability of elements in hypergraphs of models of a theory

S. V. Sudoplatov

In [1, 2, 3, 4], the notion of hypergraph of prime models of a theory was introducedand it was clarified that these objects play an important role classifying countable modelsof complete theories. It was shown in [1, 5] that these hypergraphs can be free enough.Now we introduce a series of hypergraphs for arbitrary models.

Let M be a model of a theory T . Denote by H(M) the set of all subsets N in theuniverse M of M such that these subsets are universes of elementary submodels N of M.The pair H(M) (M,H(M)) is called a hypergraph of all elementary submodels of M.For a cardinality λ we denote by Hλ(M) and Hλ(M) the restrictions of H(M) and H(M)respectively to the class of elementary submodels N of M such that |N | < λ. We denoteby Hp(M), Hl(M), Hnpl(M), Hh(M), Hs(M) the restrictions of Hω1

(M) to the classes ofelementary submodels N ofM which are prime over a finite set, limit, non-prime and non-limit, homogeneous, saturated, respectively. Similarly, Hp(M), Hl(M), Hnpl(M), Hh(M),Hs(M) denote corresponding restrictions of Hω1

(M).Let (X, Y ) be a hypergraph, x1, x2 be distinct elements in X . We say that x1 is

separated from x2, or T0-separated, if there is y ∈ Y such that x1 ∈ y and x2 /∈ y. Theelements x1 and x2 are separated, or T2-separated, or Hausdorff separated, or x1 is separatedwith x2, if there are disjoint y1, y2 ∈ Y such that x1 ∈ y1 and x2 ∈ y2.

Theorem. LetM be an ω-saturated model of a countable complete theory T , a and bbe elements inM. The following conditions are equivalent:

(1) a is separated from (with) b in H(M);(2) a is separated from (with) b in Hω1

(M);(3) b /∈ acl(a) (acl(a) ∩ acl(b) = ∅).Theorem admits generalizations for sets in a model (instead of elements) as well as

specifications for hypergraphs Hp(M), Hl(M), Hnpl(M), Hh(M), Hs(M).The research is supported by RFBR grant No. 12-01-00460-a.

References

[1] Sudoplatov S. V. On acyclic hypergraphs of minimal prime models // Siberian Math. J. — 2001. —Vol. 42, No 6. — P. 1170–1172.

[2] Sudoplatov S. V. Hypergraphs of prime models and distributions of countable models of small theories// J. Math. Sciences. — 2010. — Vol. 169, No. 5. — P. 680–695.

[3] Sudoplatov S. V. The Lachlan problem. — Novosibirsk : NSTU, 2009.

[4] Sudoplatov S. V. Classification of Countable Models of Complete Theories. — Novosibirsk : NSTU,2014.

[5] Baikalova K. A. On some hypergraphs of prime models and generated limit models // Algebra and

Model Theory 7. — Novosibirsk : NSTU, 2009. — P. 6–17.

Sobolev Institute of Mathematics, Novosibirsk State Technical University, Novosibirsk State University,

Novosibirsk (Russia)E-mail: [email protected]

145



Quasi-neighborhoods and neighborhoods of types

N. S. Tazabekova

Definition [1]. Let p p(x) and q q(y) be some (may be incomplete) types overthe set A ⊆ M in a model M of a theory T . A formula ϕ(x, y) with parameters in Ais (p, q)-preserving, (p, q)-semi-isolating or (p → q)-formula if for any realization a of p,ϕ(a, y) ⊢ q(y) holds.

A formula ϕ(x, y) is (p↔ q)-formula if ϕ(x, y) is both a (p→ q)-formula and (p← q)-formula.

If p = q then a (p, q)-preserving formula is called p-preserving or (p→ p)-formula.Definition [1]. Let p(x) be some (may be incomplete) n-type over a set A ⊆ M in

a model M of a theory T , B be a set in the model M. A quasi-neighborhood of B inp is the set QVp,M(B) of all tuples c ∈ M such that there exists a tuple b ∈ B and a(tp(b/A), p)-preserving formula ϕ(x, y) withM |= ϕ(b, c).

Lemma [1]. LetM be a model of theory T , a, b be tuples fromM, p, q ∈ S(A).1) a ∈ QVtp(a),M(a).

2) a semi-isolates b if only if b ∈ QVtp(b),M(a).

3) If b ∈ QVp,M(a) and c ∈ QVq,M(b) then c ∈ QVq,M(a).4) If b ∈ QVp,M(a) then QVp,M(b) ⊆ QVp,M(a).Definition [1]. Let p(x) be some (may be incomplete) n-type over a set A ⊆ M in a

model M of theory T , B be a set in the model M. A neighborhood of B in p is the setVp,M(B) of all tuples c ∈ M such that M |= p(c) and there exists a tuple b ∈ B and a(tp(b/A)↔ tp(c/A))-formula ϕ(x, y) withM |= ϕ(b, c).

Proposition. Let M be a model of small theory T , p ∈ S(T ), Vp,M(a) be non-definable. If there are tuples α, β from p(M) such that α /∈ Vp,M(β), and there exists aformula ψ(x, y, z) and γ ∈ p(M), ψ(M, α, β) ⊂ Vp,M(γ), Vp,M(γ)∩ Vp,M(α) = ∅, Vp,M(γ)∩Vp,M(β) = 0 then I(T, ω) = 2ω.

Definition. Let M be a model of theory T , p, q ∈ S(T ). We say that p is not almostorthogonal to q (p 6⊥a q) if there exists a formula ϕ(x, y) for some a ∈ p(M) such that∅ 6= ϕ(M, a) ⊂ q(M).

Proposition. LetM be a model of theory T , α be some tuple inM, p and q be typesfrom S(A). If p 6⊥a q, QVp,M(α) is non-definable then QVq,M(α) is non-definable too.

References

[1] Baizhanov B. S., Sudoplatov S. V., Verbovskiy V. V. Conditions for non-symmetric relations of semi-isolation // Siberian Electronic Mathematical Reports, 2012, Vol. 9, pp. 161–184.

Institute of Mathematics and Mathematical Modeling, Almaty (Kazakhstan)


146



Inconsistent cores in finite logics

D. Vlasov

We work in the context of abstract model theory, considering an abstract model-theoretic language L, equipped with the satisfiability relation |= between sentences of Land structures of appropriate signature. A set of axioms for abstract model theory may befound in [1].

Mappings on the signature symbols, which keep type of symbols and their arity, arecalled signature morphisms. Bijective signature morphisms are called signature isomor-phisms. For any structure N of signature τ , and a signature morphism ρ : σ → τ we defineρ∗(N ) — a structure of signature σ with the same domain as N , where for any signaturesymbol s ∈ σ the interpretation of s in ρ∗(N) is defined as:

sρ∗(N ) = ρ(s)N .

We extend this Barwise set of axioms with one extra axiom:

• For any signature morphism ρ : σ → τ , sentence φ of signature σ, and structureN of signature τ , if N |= ρ(φ) then ρ∗(N ) |= φ.

This axiom is clearly true for any sane model-theoretic logic. Below we will assume,that considered logics satisfy this axiom.

Finite logic is a logic, which essentially contains only finitely many formulas (modulosignature isomorphisms). One can easily obtain a vast variety of finite logics, taking anyfinite subset of formulas of any logic, and all their images under signature isomorphisms.

A set of sentences X is called persistently consistent, iff for any signature morphism ρthe set ρ(X) is consistent. Obviously, X must be consistent itself.

A set of sentences X is called an inconsistent core, iff it is inconsistent, and all itsproper subsets are persistently consistent.

Theorem. If L is a finite logic, generated by n formulas, then any inconsistent core Xhas at most n formulas.

References

[1] Barwise J., Feferman S. Model-theoretic logics. — Springer-Verlag, 1985, 893 pp.



147



Finite diagrams and the number of countable models

T. S. Zambarnaya

We study a connection between finite diagrams of models of a countable complete theoryand the number of non-isomorphic models of this theory.

Theorem. Let pi ∈ S(T )|i < ω and qi ∈ S(T )|i < ω be two countable sets ofnon-principal types of a countable theory T . If for every n < ω there is a model Mn |= T ,in which pi are realized and qi are omitted for all i ≤ n, then there is a countable modelM |= T , such that all pi, i < ω are realized and all qi, i < ω are omitted in M.

Definition. For any model M |= T denote by D(M) the set of all complete typeswhich are realized in M:

D(M) = p | p ∈ S(T ), p is realized in M.The set D(M) is called the finite diagram of M.Corollary. If there is a countable complete theory T with I(T, ω) = ω1, then there is

a finite diagram D, such that D = D(Mi), Mi ∈Mod(T ), i < ω1.

References

[1] Shelah S. Finite diagrams stable in power // Annals Math. Logic, Volume 2, 1970, P. 69–118.

[2] Baizhanov B. S., Omarov B. On finite diagrams // Teorija reguljarnyh krivyh v razlichnyh geometrich-

eskih prostranstvah, KazGU, Alma-Ata, 1979, P. 11-15.

Institute of mathematics and mathematical modeling, Almaty (Kazakhstan)E-mail: [email protected]

148



Embedding dimonoids into dimonoids with bar-units

A. V. Zhuchok

A. P. Pozhidaev [1] proved that any dialgebra can be embedded into a dialgebra with abar-unit. In this situation the question about embedding dimonoids [2] into dimonoids withbar-units is of great importance.

Let S be an arbitrary semigroup and ε /∈ S be an arbitrary symbol. By U = USε denote

the set of all words wεv in the alphabet S ∪ε, where w, v ∈ S ∪ω (ω is an empty word,ω /∈ S ∪ ε). Consider a monoid (S ∪ ω , ∗) obtained from a semigroup S by adjoining aunit ω. Define operations ⊣ and ⊢ on U by

w1εv1 ⊣ w2εv2 = w1ε(v1 ∗ w2 ∗ v2), w1εv1 ⊢ w2εv2 = (w1 ∗ v1 ∗ w2)εv2

for all w1εv1, w2εv2 ∈ U.Lemma 1. The algebra (U,⊣,⊢) is a dimonoid with the bar-unit ε.

The obtained dimonoid will be denoted by S[ε].Let further S[εi]i∈I be a family of dimonoids S[εi] with bar-units εi, i ∈ I. Define

operations ⊣ and ⊢ on ∪i∈I

S[εi] by

w1εiv1 ⊣ w2εjv2 = w1εi(v1 ∗ w2 ∗ v2), w1εiv1 ⊢ w2εjv2 = (w1 ∗ v1 ∗ w2)εjv2

for all w1εiv1, w2εjv2 ∈ ∪i∈I

S[εi].

Lemma 2. The algebra ( ∪i∈I

S[εi],⊣, ⊢) is a dimonoid with bar-units εi, i ∈ I.

The obtained dimonoid will be denoted by S[εi]i∈I .

Theorem 1. For any dimonoid (D,⊣,⊢) there exists a dimonoid with a set of bar-unitscontaining (D,⊣,⊢) as a subdimonoid.

Let (D(X),⊣,⊢) be the free dimonoid over a set X [2], X+ be the free semigroup on Xand X+[εi]i∈I be a family of dimonoids X+[εi] with bar-units εi, i ∈ I, at that εi 6= x forall i ∈ I, x ∈ X .

As a consequence of Theorem 1, we establish operations ⊣′

and ⊢′

on D(X)∪X+[εi]i∈I

such that the algebra (D(X) ∪ X+[εi]i∈I ,⊣′

,⊢′

) is a dimonoid with the set of bar-unitsεii∈I containing the free dimonoid (D(X),⊣,⊢) as a subdimonoid.

References

[1] Pozhidaev A. P. 0-dialgebras with bar-unity and nonassociative Rota-Baxter algebras // Sib. Math. J.,

50 (6), 2009, 1070–1080.

[2] Zhuchok A. V. Elements of dimonoid theory // Mathematics and its Applications (Proseedings / Insti-tute of Mathematics of NAS of Ukraine; v. 98), Kiev: Institute of Mathematics, 2014, 304 p. (in Ukrainian).

Luhansk Taras Shevchenko National University, Luhansk (Ukraine)E-mail: zhuchok [email protected]

149



The endomorphism semigroup of a free trioid of rank 1

Yu. V. Zhuchok

Trioids were introduced by J.-L. Loday and M.O. Ronco in [1] for the study of ternaryplanar trees. An algebraic system (T,⊣,⊢,⊥) with three binary associative operations ⊣, ⊢and ⊥ is called a trioid if for all x, y, z ∈ T ,

(x⊣y)⊣z = x⊣(y⊢z), (x⊢y)⊣z = x⊢(y⊣z),(x⊣y)⊣z = x⊣(y⊥z), (x⊣y)⊢z = x⊢(y⊢z),(x⊥y)⊣z = x⊥(y⊣z), (x⊣y)⊥z = x⊥(y⊢z),(x⊢y)⊥z = x⊢(y⊥z), (x⊥y)⊢z = x⊢(y⊢z).

Trioids and trialgebras, which are based on the notion of a trioid, have been studied indifferent papers (see, e.g., [2], [3]). It is well known that the notion of a trialgebra generalizesthe notion of a dialgebra [4].

Let X+ be the free semigroup on X = x, x. By Ft1(X) we denote the subsemigroupof X+ which consists of words w with the element x occuring in w at least one time. Forevery w ∈ Ft1(X) by w we denote the word obtained from w by replacing each x by x.Define three binary operations on Ft1(X) as follows:

u ⊣ v = uv, u ⊢ v = uv, u ⊥ v = uv.

Then the algebra (Ft1(X),⊣,⊢,⊥) is the free trioid of rank 1 (see [1]).Let N be the set of all positive integers, n ∈ N and In = 1, 2, ..., n. By U(In)

we denote the set of all nonempty subsets of In. Consider a binary operation on P =⋃n∈N (n×U(In)) defined by (n;A) (m;B) = (nm; (A− 1)m+B), where (A− 1)m+B =(a− 1)m+ b | a ∈ A, b ∈ B. Note that (P, ) is a monoid.

Theorem. (i) For every (m;B) ∈ P a transformation ξm,B of the free trioid (Ft1(X),⊣,⊢,⊥) defined by (n;A)ξm,B = (nm; (A − 1)m + B) is a monomorphism, and every endo-morphism of (Ft1(X),⊣,⊢,⊥) has the above form.

(ii) The monoid of endomorphisms End(Ft1(X),⊣,⊢,⊥) is isomorphic to (P, ).Besides, we prove that free trioids of rank 1 are determined by their endomorphism

monoids and give an abstract characteristic of End(Ft1(X),⊣,⊢,⊥).

References

[1] Loday J.-L., Ronco M. O. Trialgebras and families of polytopes // Contemporary Mathematics, 346,

2004, 369–398.[2] Zhuchok A. V. Semilattice decompositions of trioids // Bul. Acad. Stiinte Repub. Mold. Mat., 1 (71),

2013, 130–134.[3] Novelli J.-C., Thibon J. Y. Construction of dendriform trialgebras // C. R. Math., Acad. Sci. Paris, 342

(6), 2006, 365–369.

[4] Pozhidaev A. P. Dialgebras and related triple systems // Siberian Mathematical Journal, 49 (4), 2008,696–708.

Taras Shevchenko National University of Kyiv, Kyiv (Ukraine)E-mail: zhuchok [email protected]

150


VII. Секция «Неклассические логики»

Мальцевские чтения 2014 Неклассические логики

Генценовское исчисление с правилом индукции для временной логики с

оператором until

М. К. Валиев

Среди логик линейного времени особое место занимает пропозициональная логикаPTL(U, S) над целочисленной временной шкалой. Эта логика использует двумест-ные темпоральные операторы U (until) и S (since). Х.Камп [1] показал, что в этулогику вкладывается элементарная теория целых чисел с отношением порядка и не-интерпретированными одноместными предикатами. Эта логика разрешима, и для нееизвестно несколько полных аксиоматизаций гильбертовского типа [2, 3, 4]. В [5] длянекоторого варианта логики процессов, обобщающего PTL(U, S), построена полнаяаксиоматизация генценовского типа с ограниченными правилами индукции и сеченияи отмечено, что эту аксиоматизацию можно сузить до полной аксиоматизации GAxUS

для PTL(U, S).В [6] построена гильбертовская аксиоматизация для фрагмента PTL(U) логики

PTL(U, S) (над натуральными числами, без оператора S). Можно показать, чтосужение системы GAxUS на PTL(U) дает полную систему для PTL(U). Однако вэтом случае можно доказать и более сильное утверждение. А именно, пусть GAxUобозначает исчисление, которое получается из вышеупомянутого сужения системыGAxUS удалением правила сечения. Тогда имеет место

Теорема. GAxU - полная аксиоматизация для PTL(U).Можно ли получить аналогичный результат для PTL(U, S), остается неизвестным

и кажется маловероятным.Доказательство теоремы использует подход из моей работы [7], в которой были

построены генценовские системы для некоторых вариантов ПДЛ. К сожалению, приэтом сечение все же в некотором виде сохраняется в правиле индукции X → r, Y ; r →Tp, Tr; r → Tq ⊢ X → p W q, Y , где r - формула инварианта (Tp сокращение дляfalse U p, p W q для ¬(¬p U ¬q)). однако на вид r можно наложить очень сильныеограничения (как и в [7]).

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, проекты 13-01-00643 и 13-01-00382.

Литература

[1] Kamp H. W. Tense logic and the theory of linear order. Ph. D. Thesis, Univ. of California, Los Angeles,1968.

[2] Venema Y. Completeness via completeness. Colloq. on Modal Logic, Univ. of Amsterdam, 1991.

[3] Reynolds M. Axiomatizing U and S over integer time. Lect. Notes in AI, vol. 827, 1994, 117–132.[4] Валиев М. К. О временных зависимостях в базах данных. Известия АН СССР. Техническая ки-

бернетика, 1985, no. 1, 106–115.[5] Valiev M. K. On axiomatization of process logic. Lect. Notes in Comp. Sci., vol. 148, 1983, 304–313.

[6] Gabbay D., Pnueli A., Shelah S., Stavi R. Temporal analysis of fairness. ACM Symp. Principles Progr.

Lang. 1980, 163–173.[7] Valiev M. K. Decision complexity of variants of propositional dynamic logic. Lect. Notes in Comp. Sci.,

vol. 88, 1980, 656–664.

Институт прикладной математики им. М. В. Келдыша, МоскваE-mail: [email protected]

152



Узнаваемость над минимальной логикой

Л. Л. Максимова, В. Ф. Юн

Исследуется вопрос узнавания для расширений минимальной логики Йохансона.Логику L естественно считать узнаваемой, если разрешима проблема ее узнавания:

”Для любой логики L′ определить, совпадает ли она с L”. Однако в общем виде этапроблема неразрешима [1], [2].

Поэтому мы ограничим класс логик и будем рассматривать лишь конечно аксио-матизируемые расширения минимальной логики J Йохансона [3].

Пусть L0 – конечно аксиоматизируемая логика, содержащая минимальную логикуJ. Конечно аксиоматизируемую логику L ⊇ L0 назовем узнаваемой над L0, еслиразрешима проблема ее узнавания над L0: Для любого конечного множества формулAx определить, справедливо ли равенство L0 + Ax = L.

Под J-логикой мы понимаем любое множество формул, содержащее все аксиомыисчисления J и замкнутое относительно modus ponens и правила подстановки. Обо-значаемInt = J + (⊥ → p), Cl = Int + (p ∨ ¬p), Neg = J +⊥, For = J + p, Gl = J + (p ∨ ¬p),Od = J + ¬¬(⊥ → p), JK = J + (¬p ∨ ¬¬p), JX = J + ((⊥ → p) ∨ (p→ ⊥)),JF = J + ((⊥ → p ∨ q)→ (⊥ → p) ∨ (⊥ → q)).

Доказаны следующие теоремы:

Теорема 1. Логики Int, Neg, For, Gl, Cl, JK, Od и JX узнаваемы над J.

Теорема 2. Все стройные логики (т. е. логики, содержащие логику JX) с ин-терполяционным свойством Крейга CIP, ограниченным интерполяционным свойствомIPR или проективным свойством Бета PBP узнаваемы над JX и J .

Говорим, что J-логика J + B надежно узнаваема над J, если она разрешима исуществует конечное множество S конечных шкал (или, равносильно, алгебр), такоечто для любой формулы A: J+A ⊢ B ⇐⇒ A опровержима во всех шкалах из S. Ясно,что всякая надежно узнаваемая логика является узнаваемой.

Найден пример логики с CIP, которая не является надежно узнаваемой над J:

Теорема 3. Логика JF не является надежно узнаваемой над J.


[1] Кузнецов А. В. О неразрешимости общих проблем полноты, разрешения и эквивалентности для

исчислений высказываний // Алгебра и логика, Т. 2, 4, 1963, 47–65.[2] Чагров А. В. Неразрешимые свойства суперинтуиционистских логик // Математические вопросы

кибернетики, вып. 5. М., Физматлит, 1994, 62–108.[3] Johansson I. Der Minimalkalkul, ein reduzierter intuitionistischer Formalismus // Compositio Mathe-

matica, Vol. 4, 1937, 119–136.

Институт математики им. С. Л. Соболева, НовосибирскE-mail: [email protected], veta [email protected]

153



О выразительной силе регулярной и контекстно-свободной динамическойлогики

Н. В. Шилов

Памяти Михаила Абрамовича Тайцлина (30.01.1936-20.07.2013)

Во время работы в Казахском Государственном Университете в Алма-Ате МихаилАбрамович Тайцлин вместе со своими учениками уделял много внимания изучению такназываемого «ромба логик» — сравнению по выразительной силы вариантов динами-ческой логики первого порядка: детерминированной (D-DL), регулярной (R-DL), де-терминированной контекстно-свободной (D-CF-DL) и контекстно-свободной (CF-DL)[3]. (См. также список работ в [1].)

На сколько известно автору, вопрос о сравнении выразительной силы R-DL и CF-DL остаётся открытым до сих пор: очевидно, что R-DL≤CF-DL, но не известно, верноли неравенство R-DL<CF-DL.

Теорема. Бескванторная регулярная динамическая логика без равенства слабеебескванторной контекстно-свободной динамической логики без равенства.

Доказательство этой теоремы основано на обобщении трансляции пропозициональ-ной динамической логики PDL в недетерминированные схемы Янова [2]. В качествеформулы CF-DL, которая неэквивалентна никакой бескванторной формуле R-DL безравенства, используется 〈α〉TRUE, где α — это известная рекурсивная монадическаясхема Гарлэнда — Лакхэма F = if p then f else gFFh из [4], а в качестве моделейиспользуются так называемые считающие интерпретации из той же работы.

Исследование выполнено в рамках проекта РФФИ 13-01-00645-а.


[1] Архангельский Д. А., Байжанов Б. С., Белеградек О. В. и др. Михаил Абрамович Тайцлин. Си-бирские электронные математические заметки, 2013, т.10, стр. A.54–A.65.

[2] Непомнящий В. А., Шилов Н. В. Недетерминированные схемы программ и их отношение к про-

граммным логикам. Кибернетика, 1988, 3, стр.12-18, 28.[3] Столбоушкин А. П., Тайцлин М. А. Динамические логики. В сб. Кибернетика и вычислительная

техника, вып. 2, М.: Наука, стр.180-230.[4] Garland S. J., Luckham D. C. Program Schemes, Recursion-Schemes and Formal Languages. J. Com-

puter and System Sci., 1973, v.7, 2, p.119–160. (Русский перевод: Гарлэнд С., Лакхэм Д. Стан-

дартные схемы, рекурсивные схемы и формальные языки. В сб. Кибернетический сборник (новаясерия), вып. 13. М.: Мир, 1976. С. 73–119.)

Институт систем информатики им. А.П. Ершова СО РАН, г. Новосибирск, Россия; Назарбаев

Университет, г. Астана, Казахстан


154



Monadic bounded algebras

G. Akishev, R. Goldblatt

The present work1 is devoted to the study of monadic bounded algebras2, which are analgebraic version of free first-order monadic logic.

Definition. A monadic bounded algebra (shortly, MBA) is a triple (A, E, ∃), whereA is a Boolean algebra, E ∈ A, and ∃ is a mapping from A to itself such that

(1) ∃0 = 0(2) p ∧ E ≤ ∃p(3) ∃(p ∧ ∃q) = ∃p ∧ ∃q(4) ∃p = ∃∃p(5) ∃(p ∨ q) = ∃p ∨ ∃q(6) ∃p = ∃(p ∧ E) (for all p, q ∈ A).Theorem 1. There are exactly fourteen types of MBA-varieties. The equational

characterization of each of them is provided in the table.MBA-variety Sets of characterizing equations1 ∅2 ∃E ≈ 13 E ∨ (∃E)′ ≈ 14 E ≈ 15 E ≈ 06 E ∨ (∃E)′ ≈ 1,Altn ≈ 07 E ≈ 1,Altn ≈ 08 E ∨ (Altn)′ ≈ 19 ∃E ≈ 1, E ∨ (Altn)′ ≈ 110 Altn ≈ 011 Altn ≈ 0, E ∨ (Altm)′ ≈ 112 ∃E ≈ 1,Altn ≈ 013 ∃E ≈ 1,Altn ≈ 0, E ∨ (Altm)′ ≈ 114 v0 ≈ v1

Theorem 2. There are at most 23·2r·22r−1

elements in an MBA generated by r elements.

Theorem 3. There are exactly 23·2r·22r−1

elements in an MBA freely generated by relements.

School of Science and Technology, Nazarbayev University (Kazakhstan), School of Mathematics, Statisticsand Operations Research, Victoria University of Wellington (New Zealand)


1This research was supported by the Marsden Fund of the Royal Society of New Zealand.2The present results were published in G. Akishev, R. Goldblatt, ”Monadic Bounded Algebras”, Studia

Logica, Vol. 96, 1, 2010, pp. 1–40.

155



A proof system with metavariables for infinite-valued first-order Lukasiewiczlogic

A. S. Gerasimov

Infinite-valued first-order Lukasiewicz logic L∀ is one of the most important fuzzy logicsthat formalize reasoning under vagueness [2]. Among calculi for L∀, there are known onlyHilbert-type calculi (see e.g. [2]), the Gentzen-type hypersequent calculus G L∀ [1] (with5 structural rules, which require searching for premises when applied backward), and theGentzen-type sequent calculus for the L∀ extension (without structural rules) mentioned in[3] together with an outline of a unification-based proof search approach. We aim at anefficient proof search system for L∀ and develop the approach [3] applying it to L∀ directlyand improving it.

We introduce a calculus Tm L∀, which is a (considerable) modification of the hyperse-quent calculus G L∀, and present it as a tableau system. A proof in Tm L∀ is a tableauwhose nodes are sequents (ordered pairs of finite multisets of formulas). In essence, weobtain Tm L∀ from G L∀ by eliminating all the structural rules, redefining axioms (i.e., defin-ing what means for a tableau branch to be closed), using an invertible variant of the rule(→⇒), introducing metavariables in the universal-type quantifier rules, using liberalizedexistential-type quantifier rules, and adding the substitution rule. We say that a tableaubranch B is closed if for any model M and evaluation ν of the variables B contains a sequentof the form Γ, A1, . . . , An ⇒ ∆, A1, . . . , An such that n > 0, Γ ∩∆ = ∅, the sequent Γ⇒ ∆is atomic, and

∑A∈Γ(|A|M,ν − 1) 6

∑B∈∆(|B|M,ν − 1), where |A|M,ν is the truth value of

A under M and ν. A branch is closed iff a corresponding system of linear inequalities overreals with integer coefficients is infeasible.

Theorem 1. If an L∀-sentence is provable in Tm L∀, then the sentence is L∀-valid.Theorem 2. If an L∀-sentence is provable in G L∀, then the sentence is provable in

Tm L∀.We also describe an algorithm, which is based on unification and linear programming,

for checking Tm L∀-tableau closability, prove its correctness, and give an upper bound on itsrunning time.

Theorem 3. The problem of checking Tm L∀-tableau closability is NP-complete (even ifany input tableau does not contain nonzero-place functional symbols and whatever predicatesymbols except for one nonzero-place predicate symbol).

References

[1] Baaz M., Metcalfe G. Herbrand’s theorem, skolemization and proof systems for first-order Lukasiewicz

logic. Journal of Logic and Computation, Vol. 20, No. 1, pp. 35–54, 2010.

[2] Cintula P., Hajek P., Noguera C., eds. Handbook of mathematical fuzzy logic, College Publications,2011.

[3] Gerasimov A. S. A unification-based approach to automatic theorem proving for the extension of infinite-valued first-order Lukasiewicz logic. International Conference ”Mal’tsev Meeting 2013”: Collection of

Abstracts, p. 60, 2013.

Saint Petersburg State University, Saint Petersburg (Russian Federation)


156



On different approaches to defining a logic over a class of bilattices

S. P. Odintsov

The logic of generalized truth values was suggested by Shramko and Wansing in [4] onthe base of the three-lattice SIXTEEN3. Despite the fact that SIXTEEN3 has truth,falsity and information ordering, only two of them was used to define truth and falsityconsequence relations, |=t and |=f of Shramko-Wansing’s logic. In [2] with the help of theresults from [3], we axiomatized the relations |=t and |=f via a so called bicalculus havingtwo kinds of sequents and demonsrated that Shramko-Wansing’s logic is, in fact, determinedby the class of commutative distributive bilattices with conflation.

In this talk we show that taking any two of orderings of SIXTEEN3 will produce thesame consequence relation up to renaming translation. Moreover, this result remains trueif we replace SIXTEEN3 by an arbitrary commutative interlaced trilattice.

Further, we compare the bicalculus of [2] with more traditional bilattice based logic of[1]. The semantic consequence relation of [1] is based on matrix approach, where as theconsequence relations |=t and |=f are defined via orderings on SIXTEEN3. We show howto define Shramko-Wansing’s logic using matrix approach on one hand, and on the otherhand we show that the consequence relation of [1] admits an order based definition.

Acknowledgement: This work was supported by Russian Foundation for Basic Re-search, project No. 12-01-00168-a.

References

[1] Arieli O., Avron A., Reasoning logical bilattices. Journal of Logic, Language, and Information, Vol.5,

1996, 25–63.[2] Odintsov S.P., Wansing H., The Logic of Generalized Truth Values and the Logic of Bilattices. Studia

Logica, 2014, to appear.

[3] Rivieccio U., An Algebraic Study of Bilattice-based Logics. Ph.D. Dissertation, University of Barcelona,2010.

[4] Shramko Y., Wansing H., Some useful 16-valued logics: how a computer network should think. Journal

of Philosophical Logic, Vol. 34, 2005, 121–153.

Sobolev Institute of Mathematics, Novosibirsk (Russian Federation)E-mail: [email protected]

157


VIII. Авторский указатель

Мальцевские чтения 2014 Авторский указатель

Алеев Р. Ж., 50Алеев Р. Ж., 51Александрова И. О., 78Алексеева О. А., 52Аржанцев И. В., 10Атабекян В. С., 11

Баженов Н. А., 12Байжанов Б. С., 125Байжанов Б. С., 13Байкалова К. А., 126Бекенов М. И., 127Бериков В. Б., 26Бикмухаметов Р. И., 41Болен А., 128Будкин А. И., 53

Валиев М. К., 152Вараксин С. В., 54Васенин В. А., 27Викентьев А. А., 129Викентьев А. А., 130Викентьев Р. А., 130Войтов А. К., 42Воробьёв К. В., 55

Гайнов А. Т., 101Гейн А. Г., 131Гончаров М. Е., 103Горшков И. Б., 56Губарев В. Ю., 102

Дашкова О. Ю., 57Дудкин Ф. А., 58

Емельянов Д. Ю., 132Ефимов К. С., 60

Желябин В. Н., 103Журавлев Е. В., 108

Зайцев М. В., 14Зенков А. В., 61Зенков В. И., 15Зенков В. И., 62

Иванов И. Ю., 33Ивачев А. С., 104Ивко М. Н., 63Исаев И. М., 105

Каморников С. Ф., 80Карманова А. А., 37Кислицин А. В., 106

Князев О. В., 133Ковалевская А. О., 28Когабаев Н. Т., 43Колесников П. С., 102Колпакова В. А., 64Кондратьев А. С., 64Кондратьев А. С., 65Кондратьев А. С., 52Кораблева В. В., 66Коробков С. С., 107Кривчиков М. А., 27Кузнецов А. А., 67Кукарцев А. М., 67Кукарцев А. М., 29Кунгожин А. М., 134

Латкин И. В., 44Леуцкий Е. А., 30Лялецкий А. В., 31Лялецкий A. A., 46

Максименко А. Н., 32Максимова Л. Л., 153Мальцев Ю. Н., 108Манзаева Н. Ч., 68Маслова Н. В., 69Махнев А. А., 60Махнев А. А., 70Махнев А. А., 71Махнев А. А., 72Махортов С. Д, 33Меньшов А. В., 73Митина О. В., 50Мищенко С. П., 110Мухаметьянов И. Т., 74Мухаметьянов И. Т., 75

Нестеров М. Н., 76Нужин Я. Н., 62Нуртазин А. Т., 135

Падучих Д. В., 70Падучих Д. В., 71Падучих Д. В., 72Пальчунов Д. Е., 16Пальчунов Д. Е., 47Палютин Е. А., 136Панов С. В., 111Парватов Н. Г., 112Пестова Ю. Р., 113Пинус А. Г., 137

159

Мальцевские чтения 2014 Авторский указатель

Пожидаев А. П., 115Половинкина А. В., 116Пономарев К. Н., 77Попков Р. А., 138Порошенко Е. Н., 117Пузач В. Н., 50Пузач В. Н., 51

Ремесленников В. Н., 17Романьков В. А., 73

Самойленко М. С., 70Сергеева О. Е., 34Сидоров В. В., 118Синицин В. М., 79Скоков Д. В., 139Скорая Т. В., 116Созутов А. И., 78Созутов А. И., 79Соломатин Д. В., 140Степанов П. А., 35Супруненко И. Д., 65Сяолан И., 80

Тарновский Д. А., 36Тимошенко Е. И., 81Трофимов А. В., 47Трофимук A. A., 82Туманова Е. А., 83Турко А. И., 47

Умбетбаев О. А., 125

Фролова Ю. Ю., 119

Хворостухина Е. В., 141Храмцов И. В., 65Хриптун М. Д., 84Хухро Е. И., 18

Циовкина Л. Ю., 72

Чанг Н. Т. К., 119Чехлов А. Р., 120

Шаранхаев И. К., 142Шевляков А. Н., 19Шилов Н. В., 154Шлепкин А. А., 85Шулежко О. В., 110Шушпанов М. П., 131

Юн В. Ф., 153

Ясинская О. В., 38

Яхъяева Г. Э., 37Яхъяева Г. Э., 38

Akishev G., 155

Baizhanov B. S., 143Belonogov V. A., 86Busel T. S., 87Buturlakin A. A., 88Buturlakin A. A., 89

Drobyshevich S. A., 21

Gavrilyuk A., 90Gerasimov A. S., 156Goldblatt R., 155Gordienko A. S., 121Grechkoseeva M. A., 91Grishkov A., 92

Karpov A. V., 93Kasymov N. Kh., 48Kulpeshov B. Sh., 144Kuzmina A. S., 122

Makarenko N. Yu., 94Maslova N. V., 23Metsch K., 90Mikaelian V. H., 24Mogilnykh I. Yu., 95Morozov A. S., 48

Odintsov S. P., 157

Rasskazova M. N., 123Revin D. O., 96

Shilov N. V., 39Staroletov A. M., 91Sudoplatov S. V., 145Suprunenko I. D., 22

Tazabekova N. S., 146Tsiovkina L. Yu., 97

Vasil′eva A. Yu., 98Vasil′ev A. V., 88Vasil′ev A. V., 89Vlasov D., 147

Yershigeshova A. D., 143

Zambarnaya T. S., 148Zhuchok A. V., 149Zhuchok Yu. V., 150Zvezdina M. A., 99

160

Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН

Documents