innhold - caspar

2005 tangenten

Forord 1

Historiske artikler

Arkimedes under hammeren Per Manne 1/2001 4Herons formel Pål Grønnås 2/2000 10Kan dagens matematikkundervisning profitere på gamle metoder? Jan van Maanen 13

Sannsynlighetsregning

Den problematiske tobarnsfamilien Knut Ole Lysø 4/1994 16Om Cadillacer, fødselsdatoer, geiter og statsministre Helge Tverberg 1/1996 22

Geometri

Platonske legemer Geir Ellingsrud 2/2002 26Tesselering med flere grunnformer Frode Rønning 2/2002 31Den utvidete Pytagoreiske setning Tom Cato Seeberg, Christoph Kirfel 37Refleksjonsegenskapene ved kjeglesnittene Sverre Smalø, Per Hag 3/2001 40Fraktaler Christoph Kirfel 3/1994 46

IKT

Symbolregnende lommeregnere i den videregående skolen Per G. Østerlie 1/2004 52Bruk av datalogging i matematikkundervisningen Jon A. Ringseth, Memund Daltveit 4/2002 59Den deriverte på skråplan Tove Kalvø 1/2004 61Forunderlige p og e som dukker opp overalt Tor Andersen 67Dynamisk geometri i videregående skole Hans Jørgen Riddervold 71

Sol, tid, …

Solens gang Kjartan Tvete 4/1999 76

Algebra/likninger

Regula falsi – et gammelt triks for å løse ligninger Christoph Kirfel 4/1997, 1/1998 81

Funksjoner

Det svinger i Bodø! Svein H. Torkildsen 4/1995 85

Innhold

tangenten 2005

Tall

Tetraeder i gangetabellen Kurt Klungeland 1/2004 89

Matematiske aktiviteter

Beregning av påskefullmånen Christoph Kirfel 4/2003 94Broderier med matematikk Christoph Kirfel 1/1996 99Er jorda flat eller rund? Hans Isdahl 4/2002 103Romerske rundbuer Christoph Kirfel 2/2004 112

Matematisk modellering

Matematisk modellering Ingvald Erfjord 2/1998 115Strikkhopp med Barbi Kjersti Wæge, Nils Kristian Rossing 122

Didaktiske artikler

Mia – en taper i matematikk? Anne Mari Jensen Meløy 129Matematikklæring og det absurde Reinert Rinvold 1/2002 135Tør jeg å slippe kontrollen? Kjersti Wæge 140Matematikk er for jenter! Anne Berit Lunde Holme og Kari Larsson 147

Oppgaver 150

Presentasjon av støttepillerne og de økonomiske bidragsyterne

LAMIS 153Matematikksenteret 154Renatesenteret 156NTNU 157UiB 160UiTø 162Utdanningsforbundet 163Abelkomite 164Norsk Matematikkråd / Holmboeprisen 165Tekna 168NITO 170NITO: INSPIRE 172

Casio

Statistikk og sannsynlighet på ClassPad 300 Tor Andersen 179Sannsynlighetsregning på Casios fx-9x50-serie Bjørn Bjørneng 186

Lesetips 194

tangenten 2005 3

Kjære leser!

Du holder nå TANGENTENs inspirasjonsbok for matematikklærere i hendene. Boka er tenkt som en kilde til gode idéer til matematikk-undervisning hovedsakelig for videregående skole.

På den måten ønsker redaksjonen i TAN-GENTEN å bidra til å gjøre god matematikk-undervisningen enda bedre. Vi ønsker å være med på å øke rekrutteringen til realfagstudier. Denne boken kan sees på som et ledd i sats ingen på matematikk og naturfag i skolen.

Gjennom internasjonale undersøkelser (TIMSS- og PISA-studiene) har matematikk- og realfagene i norsk skole kommet i rampe-lyset. Sammenlikner vi oss med andre euro-peiske land faller Norge tilbake selv om vi på verdensbasis ligger midt på treet. Fra mange hold vokser ønsket om en fornyelse av faget og arbeidsmåtene frem. Den nye læreplanen gir rom for og frihet til å velge ulike arbeids måter. Faglig stilles det høye krav, både fra myndig-hetene og næringsliv. I krysspresset mellom ulike forventninger kan det være en utfordring å prøve ut nye veier. Den foreliggende boka, håper vi, kan være en inspirasjon til ditt utvik-lingsarbeid.

Vi i redaksjonen for tidsskriftet TANGENTEN har vært så heldige å få med oss en rekke støt-tespillere til dette bokprosjektet slik at vi kan sende fem gratiseksemplarer til alle videregå-ende skoler i Norge. Vi håper dermed at boka kan bli både en inspirasjonskilde til fl ere og gi grunnlag for faglige diskusjoner ved realfags-miljøene i skolene.

Boka inneholder en del artikler som har stått i TANGENTEN tidligere og som er aktu-elle med tanke på videregående trinn. En god del nye artikler er også kommet til. Her fi nner du stoff fra matematikkens historie, utvalgte geometriemner, emner fra sannsynlighetsreg-ning, IKT i klasserommet, emner fra algebra, modellering, didaktiske artikler, tips til mate-matiske aktiviteter og oppgaver.

Samtidig ønsker redaksjonen i TANGEN-TEN at du gjennom denne boka blir kjent med bladet TANGENTEN som kilde til idéer til din egen undervisning.

vgs 2005.indd 1vgs 2005.indd 1 19.04.2007 22:55:4719.04.2007 22:55:47

2005 tangenten�

Denne artikkelen er en omarbeidet versjon av en kronikk som ble trykket i Bergens Tidende den 24. januar 1999.

Budene begynte på 500 000 dollar, og steg raskt. Den greske konsulen i New York bød aktivt, og flere konkurrenter falt fra etter hvert. Men da 2 millioner dollar ble nådd hadde han ikke auto-risasjon til å by høyere. Han forsøkte å nå det greske utenriksdepartementet på mobiltelefon, men auksjonarius avbrøt ham og sa «Vi må fortsette, vi har mer å selge». En kort pause, og tilslaget gikk til en anonym privatperson, repre-sentert i salen ved en engelsk antikvariateier.

Vi er vant til at kunst selges for svimlende summer, men på Christie’s auksjon 29. oktober 1998 i New York var det en håndskrevet bok fra middelalderen som fikk all oppmerksomhet. Ikke noe prakteksemplar med vakre illustra-sjoner, men en liten bok, bare 19 cm høy og 15 cm bred, 348 sider med omfattende skader fra både fukt og ild. Med provisjon og skatt måtte kjøperen ut med mer enn tilsvarende 16 millio-ner norske kroner. Hva for en bok kan påkalle slike priser?

Historien begynte for drøyt 2200 år siden, da den hellenistiske kultur dominerte området fra det sørlige Italia gjennom Alexandria i Egypt over til Babylon i dagens Irak. Innen vitenska-pene gjorde man i denne perioden store frem-skritt. Aristarkos fremsatte det heliosentriske verdensbildet, Eratostenes beregnet jordens omkrets, og Euklid skrev den mest innflytelses-rike matematiske lærebok gjennom tidene. Her finner vi også Arkimedes, en av tidenes største matematikere. Den boken som ble solgt i New York inneholder de eldste bevarte avskrifter av hans arbeider, og den ga mye ny informasjon om hans metoder da den sensasjonelt dukket opp og forsvant igjen på begynnelsen av 1900-tallet.

Arkimedes levde og virket i den greske byen Syrakus på Sicilia. Her var han mest kjent for sine mekaniske oppfinnelser, deriblant vekt-stenger og taljer som var langt overlegne dati-dens. Vi har herfra hans berømte ord «Gi meg et fast punkt, og jeg skal flytte verden». Allment kjent er også historien om at han skal ha løpt naken hjem fra byens bad. Han var bedt om å finne ut hvorvidt kongens gullsmed hadde lurt kongen ved å erstatte noe gull med sølv i en krone gullsmeden hadde laget. Da Arkimedes la seg i badekaret rant noe av vannet ut over kanten, og dette ga ham inspirasjonen til hans oppdriftslov. Han skjønte at han dermed kun-

Per E. Manne

Arkimedes under hammeren

Per Manne er førsteamanunesis ved Norges Handelshø[email protected]

tangenten 2005 �

Historiske artikler

ne avsløre den uærlige gullsmeden uten å øde-legge kronen, og ble da så opphisset at han løp hjem mens han ropte «Heureka, heureka (jeg har funnet det)».

Arkimedes konstruerte krigsmaskiner som hjalp byen til å holde ut i flere måneder da den ble angrepet av romerne i 212 f.Kr. De romer-ske soldatene fryktet særlig hans dødelige kata-pulter, som var effektive både på korte og lange avstander. Vi har også veldokumenterte beret-ninger om vektstenger som kunne løfte fient-lige skip opp fra vannet og kaste dem ned igjen. Mindre trolig er det imidlertid at Arkimedes brukte konkave speil til å sette ild på skip på avstand, selv om det er teknisk mulig. På tross av heroisk motstand falt byen til slutt, og solda-tene satte i gang med plyndring. Det fortelles at en soldat kom over Arkimedes der han betrak-tet noen geometriske figurer han hadde tegnet i sanden. «Tråkk ikke på mine sirkler,» skal den 75 år gamle Arkimedes ha formant soldaten, hvorpå soldaten hogg ned og drepte den gamle mannen.

Selv satte Arkimedes sine matematiske re-sultater høyt over sine praktiske oppfinnelser. Noen av disse hører til dagens skolematema-tikk, deriblant formlene V = 4/3pr3 for volum og O = 4pr2 for overflate av en kule med radius r. Vi har også hans estimat 3 10/71 < p < 3 1/7, som gir oss den ofte brukte tilnærmingen p ª 22/7. Arkimedes samlet og katalogiserte ikke den kjente kunnskapen, slik Euklid hadde gjort, men løste stadig nye problemer. Mange av disse var areal- og volumberegninger, og innenfor dette området ble han ikke forbigått før den analytiske geometrien ble utviklet på 1600-tallet.

Arkimedes beskrev sine oppdagelser i brev til venner og kolleger. Flere av disse var i Ale-xandria, datidens metropol med over en halv million innbyggere. Byen hadde et unikt biblio-tek, skapt med det mål for øye å samle all ver-dens kunnskap. Skip som la til havnen fikk sine bøker beslaglagt. Disse ble kopiert, originalene

ble beholdt, og skipene fikk tilbake kopiene. Brevene fra Arkimedes havnet helt sikkert også i biblioteket, og her ble de bevart i flere hundre år. Men etter år 215 gikk det raskt nedover med biblioteket. Offentlige bevilgninger uteble, og byen ble delvis ødelagt flere ganger i kriger og interne opprør. Flere av de mest verdifulle skriftene har likevel blitt bevart gjennom ti-dene. Lærde menn og kvinner har skrevet av dem, oversatt dem til arabisk og latin, og tatt dem med seg til andre steder. På denne måten har ni av Arkimedes’ brev blitt bevart, mens omtrent like mange er gått tapt og bare er kjent av omtale.

På 900-tallet begynte man igjen å bli inter-essert i matematiske emner i Europa, og det er på denne tiden den avskriften av Arkimedes’ verker som nå har vært for salg i New York ble laget. Dette arbeidet kan likevel ikke ha gjort stort inntrykk på sin samtid, for da en annen munk så manuskriptet en gang på 1200-tallet, vurderte han innholdet som verdiløst. Men han kastet det ikke på bålet, til det var materialet alt for dyrbart. Tekstene var skrevet på pergament, som ble laget av skinn fra sau eller kalv, og i sin hånd holdt munken materialer fra mer enn 40 sauer. Heldigvis kunne det brukes om igjen, og munken sprettet opp boken og vasket vekk blekket. Det aller meste gikk vekk, og munken kunne legge arkene på tvers og skrive fromme bønner over den gamle teksten. På denne må-ten fikk munken laget en bønnebok i tilnærmet A5-format i stedet for orginalets A4-format. En bok som har blitt til på denne måten kalles en palimpsest etter et gresk ord som betyr å skrive over, og på slutten av middelalderen var dette vanlig praksis.

Bønneboken tilhørte den gresk-ortodokse patriarken av Jerusalem som hadde sitt til-holdssted i Konstantinopel (omdøpt til Istan-bul i 1930). Etterhvert gjorde tyrkerne sitt inn-tog i området, og i 1453 tok de Konstantinopel. Grekerne har likevel forsatt sitt nærvær i denne byen helt frem til våre dager. På 1800-tallet var

2005 tangenten�

Historiske artikler

mange vesteuropeere på jakt etter kulturskat-ter, og i fattige land over hele verden var man ikke bevisst over hvilke verdier man satt på. En gjennomgang av biblioteket frembrakte bønne-boken. Kanskje noen ville være interessert i den underliggende teksten? I en katalog publisert i 1899 ble boken beskrevet som en matematisk palimpsest, og noen korte utdrag fra den un-derliggende teksten ble gjengitt.

Den danske filologen Johan Ludvig Heiberg ble gjort oppmerksom på disse utdragene og gjenkjente dem fra Arkimedes’ skrifter. Som-meren 1906 reiste han til Konstantinopel og rekonstruerte der etter beste evne den under-liggende teksten, som besto av fem brev. Bare det faktum at denne kilden var flere hundre år eldre enn noen annen kjent kopi fra Arkime-des gjorde funnet bemerkelsesverdig. Men den store nyheten var Metoden for mekaniske satser, et brev som var formodet tapt, der Arkimedes skriver til sin venn Eratostenes og gjør rede for hvordan han hadde funnet frem til flere av sine resultater. Funnet av dette brevet var en enorm sensasjon, da man her fikk et innblikk i Arkimedes’ arbeidsmetoder. Disse er nemlig ikke synlige fra de andre bevarte manuskrip-tene, der han nøyer seg med å gi elegante bevis uten å forklare hvordan han har funnet dem. Man hadde lenge mistenkt Arkimedes for å ha en metode med fellestrekk med differensial- og integralregningen, innført av Newton og Leib-niz på slutten av 1600-tallet, og her fikk man denne mistanken bekreftet. Arkimedes beskri-ver hvordan han så på et tredimensjonalt le-geme som bygget opp av uendelig tynne skiver. Gjennom å prøve seg frem med andre kjente legemer og å balansere dem mot hverandre på en tenkt vektstang kunne han finne hva den riktige volumformelen måtte være. Men dette resonnementet betraktet Arkimedes som util-strekkelig da de uendelig små størrelsene ikke kunne rettferdiggjøres, og han gikk derfor vi-dere med å finne de samme volumformlene ved et mer klassisk bevis.

Heiberg publiserte sin oversettelse, og origi-nalen forsvant ut av allmennhetens øye. Etter første verdenskrig ble Tyrkia rammet av bor-gerkrig og krig med Hellas, inntil republikken ble opprettet i 1923. Over en million grekere ble tvangsflyttet til Hellas i utveksling med tyrkere derfra, og patriarkens boksamling ble i denne perioden overført til Aten. Noen bøker kom ikke med, deriblant palimpsesten med Arkime-des’ skrifter. Den etterlot seg ingen spor, heller ikke ser den ut til å ha blitt etterlyst før den helt uventet dukket opp for to år siden, til salgs på auksjon hos Christie’s i New York. Selgeren, en fransk privatperson, var anonym.

I Hellas har man i lengre tid vært opptatt av hvordan landets antikke kulturskatter gjen-nom tidene har havnet i utlandet. Nå engasjerte greske myndigheter seg raskt på vegne av patri-arken av Jerusalem og hevdet at manuskriptet i sin tid må ha blitt solgt av uærlige munker for egen fortjeneste. Den rettmessige eier var derfor fremdeles patriarken, og manuskriptet burde tilbakeføres til denne. En domstol i New York avgjorde så sent som dagen før salget at dette ikke var tilstrekkelig bevist. Som beskrevet innledningsvis gikk salget sin gang, og manus-kriptet ble solgt til en anonym privatperson.

Etter salget har boken vært på utstilling i Baltimore og Chicago, og nå har konserve-ringseksperter ved the Walters Art Museum i Baltimore startet å arbeide med den. Boken skal tas fra hverandre, angrepene av muggsopp må stoppes og de skjøre arkene må behandles slik at de ikke brekker. Hvert ark skal fotogra-feres og analyseres for å få frem mest mulig av den underliggende teksten. Historikere og skrifteksperter skal prøve å finne ut hvor boken ble skrevet og hvor den har vært. Man har til og med planlagt kjemiske analyser av blekket for ikke å gå glipp av noen spor. Arbeidet kommer å ta flere år.

Hva kan funnet av palimpsesten gi oss av ny kunnskap? Med moderne hjelpemidler som ultrafiolett belysning og digital billedbehand-

tangenten 2005 �

Historiske artikler

ling er det mulig å få frem mer av den underlig-gende teksten, og på den måten fylle igjen luker som Heiberg måtte la stå åpne. Det er også klart at Heiberg har hatt vansker med å reprodusere figurene i teksten, og i flere tilfeller vært nødt til å lage egne figurer i stedet. Med tiden får vi derfor kanskje et bedre innblikk i arbeidsmeto-dene til en av tidenes største matematikere.

Tillegg

Utledningen av denne formelen er tatt direkte fra Metoden for mekaniske satser, bortsett fra at notasjonen er modernisert. Vi går ut fra at vi kan beregne volum av både sylinder og kjegle, og vi søker volum av en kule med radius r.

Halvsirkelen på figuren har radius r, slik at OA har lengde 2r. Firkanten OABC er et kvadrat med side 2r, og trekanten DOAB blir dermed likebeint. Vi roterer firkanten OABC om x-aksen og får en sylinder med volum

Vsylinder

= p · (2r)2 · 2r = 8pr 3

På samme måte roterer vi DOAB om x-aksen og får en kjegle med volum

Vkjegle

= 1/3 · p · (2r)2 · 2r = 8/3 ·pr3

og vi roterer halvsirkelen om x-aksen og får en kule med radius r.

Nå ser vi på arealene av tverrsnittene ved x av de tre omdreiningslegemene. Sylinderen er lettest å finne ut av, her blir ethvert tverrsnitt en sirkel med radius 2r, og arealet blir dermed

Tsylinder

= p ·(2r)2 = 4pr2

Tverrsnittet av kjeglen blir en sirkel med radius x, og arealet blir

Tkjegle

= px 2

Tverrsnittet av kulen blir en sirkel med radius y, der x og y er forbundet med hverandre gjennom sirkelligningen (x – r)2 + y 2 = r2. Vi har dermed y2 = r2 – (x – r)2 = 2rx – x 2, og arealet av tverrsnit-tet av kulen blir

Tkule

= p ·y2 = p(2rx – x2).

Legg merke til at tverrsnittene av kjegle og kule til sammen har areal

Tkjegle

+ Tkule

= 2prx.

Vi prøver nå å plassere de tre tverrsnittene slik at de balanserer en vektstang med balansepunkt i O. Vektstangloven sier at kraft · arm må være like stor på begge sider av O, og kraften er her proporsjonal med arealet. Nå er

2r(Tkjegle

+ Tkule

) = 4pr2x = x ·Tsylinder

.

og det følger at sylindertverrsnittet ved x vil balansere de to andre tverrsnittene hvis vi flyt-ter dem til punktet D, der OD har lengde 2r. Nå gjør vi dette for alle x mellom 0 og 2r, og vi

2005 tangenten�

Historiske artikler

får da som resultat at sylinderen der den er vil balansere en kule og en kjegle som er plassert med tyngdepunkt i D. Siden sylinderen har sitt tyngdepunkt i avstand r fra O så gir vektstang-loven brukt nok en gang at

2r(Vkjegle

+ Vkule

) = r ·Vsylinder

.

Vi løser nå med hensyn på Vkule

og finner til slutt den kjente volumformelen

Vkule

= 1/2Vsylinder

– Vkjegle

= 1/2 ·8pr3 – 8/3pr3 = 4/3pr3.

Vår kilde for fortellingen om Arkimedes i bade-karet er romeren Vitruvius, som levde ca. 250 år etter Arkimedes. Vitruvius forteller også hvordan Arkimedes avslørte gullsmeden: Han tok et stykke rent gull som veide like mye som kronen og senket det ned i et kar som var fylt med vann helt opp til randen. Deretter tok han opp gullet og senket ned kronen i stedet. Hvis gullsmeden hadde erstattet noe gull med sølv så ville kronen få større volum, og vannet ville renne over kanten når kronen ble senket ned.

Denne beskrivelsen Vitruvius gir er gan-ske sikkert ikke riktig. La oss se hvorfor. Vi går ut fra at kronen veide nøyaktig 1 kg, og at det var nødvendig med et rundt kar med ra-dius 10 cm for å få plass til kronen. (Disse tallene er noenlunde i samsvar med arkeolo-giske funn.) En kubikkcentimeter gull veier 19.3 gram, og 1000 gram rent gull har derfor volum 1000 cm3/19.3 = 51.8 cm3. Karet har overflate p ·102 cm2 = 314 cm2, og vannet vil derfor stige med 51.8 cm3/314 cm2 = 0.165 cm. La oss nå si at gullsmeden erstattet så mye som 30 % av gullet med sølv. Hver kubikkcentime-ter sølv veier 10.6 gram, og kronen ville da ha volum 700 cm3/19.3 + 300 cm3/10.6 = 64.6 cm3. Den ville dermed få vannet til å stige med 64.6 cm3/314 cm2 = 0.206 cm. Høydeforskjellen ville med andre ord være under en halv milli- meter, og dette ville i praksis ikke være mulig å observere nøyaktig.

Kronen og gull-loddet veier like mye

tangenten 2005 �

Historiske artikler

En bedre metode er å henge kronen og til-svarende mengde rent gull på hver side av en balansevekt, og så å senke begge sidene ned i vann. Kronen med sølvinnhold har større volum, den vil derfor fortrenge mer vann, og etter Arkimedes’ oppdriftslov vil den da bli lettere enn gullet. Vi har gjort alle nødven-dige beregninger allerede, og kan se hvor stor forskjellen vil bli. Gullet fortrenger 51.8 cm3 vann, og dette veier 51.8 gram. Vekten til gullet under vann blir dermed 1000 g – 51.8 g

Kronen fortrenger mer vann enn gull-loddet

= 948.2 g. Kronen med 30 % sølv fortrenger 64.6 cm3 vann og får dermed vekt under vann 1000 g – 64.6 g = 935.4 g. Forskjellen er med andre ord over 12 gram, og dette kan lett obser-veres med en vanlig balansevekt.

Lenker

http://www.thewalters.org/archimedes/frame.html

https://www.cs.drexel.edu/~crorres/Archimedes/contents.html

2005 tangenten�0

Pål Grønnås

Herons formel

Grekeren Heron antas å ha levd for rundt 2000 år siden. Det hersker uenighet blant historikere om når Heron levde. Estimatene av hans levetid varierer fra 150 f.Kr. til 200 e.Kr. Nyere fors-kning tyder på at Heron sannsynligvis levde omkring 75 e.Kr.

Matematikeren Heron bodde i Alexandria som var en av oldtidens metropoler. Han jobbet ved det berømte biblioteket i byen. Ved siden av matematikk var fysikk hans store lidenskap og interesse. Spesielt var han fascinert av me-kanikk og ingeniørkunst, noe som gjenspeiles i hans bok Diopra som inneholder mange prak-tiske anvendelser.

Likevel er det nok som matematiker He-ron er mest kjent. Hans hovedverk Metrica ble først kjent i Vesten gjennom oppdagelsen av et av hans manuskripter i Konstantinopel i 1896. Dette manuskriptet inneholder blant annet et bevis av formelen for arealet av en trekant ut-trykt kun ved hjelp av sidene i trekanten. Det antas nemlig at Arkimedes (287–212 f. Kr.) kjente til denne formelen (den kan for eksem-pel bevises på en relativ enkel måte ved hjelp av Pytagoras’ (ca. 540 f. Kr.) læresetning). Men et-tersom hans etterlatte skrifter ikke inneholder

noe bevis av nevnte formel, blir Heron tillagt æren for å ha funnet det første bevis av denne arealformelen. Denne formelen, som i ettertid er blitt kjent som Herons formel, uttrykker at i en trekant ABC med sider av lengde a = BC, b = AC og c = AB er arealet gitt ved formelen

D = - - -ABC s s a s b s c( )( )( )

der s = ½(a + b + c). Jeg vil her med utgangs-punkt i Metrica presentere Herons eget elegante geometriske bevis av denne formelen:

Anta at lengden av sidene i en trekant ABC er gitt. Konstruér trekantens innskrevne sirkel med sentrum i G.

Nedfell normalene fra G ned på hver av tre-kantens sider AB, BC og AC og kall skjærings-punktene mellom normalen og siden for hen-holdsvis D, E og F. Tegn deretter opp de seks linjestykkene AG, BG, CG, DG, EG og FG. Da ser vi at AB · DG = 2 · DAGB BC · EG = 2 · DBGC CA · FG = 2 · DAGC

Ved å summere disse tre likhetene og minne om at DG = EG = FG, blir resultatet at

(1) p · EG = 2 · DABC

der p er omkretsen til trekant ABC.

Pål Grønå[email protected]

tangenten 2005 ��

Historiske artikler

Forleng linjestykket CB til punktet H slik at BH = AD. Ettersom AD = AF, DB = BE og FC = CE , vil

(2) CH = ½p

Dette sammenkoblet med likheten (1) resulterer i at

(3) CH · EG = DABC.

Konstruer normalen til CG i punktet G og kall skjæringspunktet mellom normalen og CB for K. Dernest konstruerer vi normalen til CB i B. Denne normalen skjærer forlengelsen av GK i L. Tegn opp linjestykket CL.

Da vinklene CBL og CGL begge er rette, kan firkanten CGBL innskrives i sirkelen hvor sen-trum er midtpunktet på linjestykket CL. Følge-lig er vinklene CGB og CLB supplementvinkler. Videre er puntet G det felles skjæringspunktet for halveringslinjene for vinklene i trekant ABC. Dette faktum innebærer at ∠GCB + ∠GBC + ∠GAB = 90°. Ved å kombinere dette med identitetene ∠CGB = 180° – ∠GCB – ∠GBC

og ∠AGD = 90° – ∠GAB, får vi at summen av vinklene CGB og AGD er 180°. Ergo må ∠CLB og ∠AGD være identiske. Sett i lys av at trekan-tene ADG og CLB er rettvinklete, må trekan-tene AGD og CLB være formlike. Dette fak-tum kombinert med identitetene AD = BH og DG = EG gir

BC/BL = AD/DG = BH/EG.

Siden trekantene BKL og EKG er formlike, får vi at

BC/BH =BL/EG = BK/EK,

hvilket igjen innebærer at

CH/BH = BE/EK.

Dette medfører at

CH

CH BH

BE EC

CE EK

BE EC

EG

2

2◊= ◊

◊= ◊

,

noe som sammen med formlene (2) og (3) og identiteten BH = AD gir

(DABC)2 = CH 2 · EG2 = CH · HB · CE · EB = ½p(½p – BC)(½p–AB)(½p – AC) = s(s – a)(s – b)(s – c)

A

BC

D

E

F

G

HK

L

2005 tangenten��

Historiske artikler

Redaksjonens kommentarHerons formel var til slutten av 50-tallet en del av pensumet i norsk skole. Den er altså ikke bare en raritet fra historiebøkene.

Med dagens algebra kan beviset for Herons formel gjøres til en øvelse i parentesmultiplika-sjon og bokstavmanipulering. Den mister sin sjarm. Ingen lyse idéer trenges, kun utholden-het og en tunge beint i munnen. Med symbo-lene fra tegningen nedenfor svarer Herons for-mel til: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )cf a b c a b c a b c a b c2

4 2 2 2 2= + + + - - + - + +

siden (DABC)2 = (cf )2/4. Uttrykket på høyresi-den kan lett ganges ut selv om det krever en del utholdenhet. Resultatet blir:

2 2 2

16

2 2 2 2 2 2 4 4 4a b a c b c a b c+ + - - -.

Ved hjelp av Pythagoras læresetning finner vi b2 = e2 + f 2 og a2 = (c – e)2 +f 2. Vi får et stort «mannefall» blant alle de 27 addendene som oppstår når vi setter inn for a2 og b2. Kun én overlever, nemlig (cf )2/4, altså kvadratet av arealet. Bevisets sjarm er vekk. Herons ele-ganse drukner i kjedelig (men trygg) bokstav-drøvtygging.

A B

C(e, f )

c

ab

f

e

x

y


Jeg vil i det følgende presentere en av mine klas-seromsaktiviteter Jeg ønsker å vise hvordan man kan bruke matematikkens historie i matematikk-undervisningen, sett fra en matematikklærers ståsted.

Dette eksempelet handler om å bruke Eulers metode til å arbeide med logaritmer og spesielt til å beregne log

10 5.

Matematikkundervisningen kan ofte være rutinepreget og svært statisk, og elevene pre-senteres for standardløsninger til de fleste opp-gavene. Å se på ”gamle metoder” kan hjelpe lærere og elever til å evaluere egne metoder, se at det er mulig å gjøre noe annet enn ”bare matematikk”. Å tenke på og snakke om ma-tematikk med et annet utgangspunkt enn det man vanligvis bruker, kan medføre at man kan bli mer bevisst egen undervisning og egne valg av metoder. For å si det med Arkimedes: Hvis du vil se hva du gjør, gir gamle metoder deg et ståsted.

Hva vil elever i slutten av 10. klasse svare på spørsmålet: ”Hva blir de tre første desimalene av log

10 5? Jeg antar at de fleste av dem vil være

i stand til å finne det ”rette” svaret 0,699 ved å bruke kalkulator. Noen vil til og med være i stand til å ”bevise” dette ved å taste 100,699 på kalkulatoren sin for å sjekke om svaret er 5 eller nesten 5. Siden vi er vokst opp med aksiomet ”Svaret som kalkulatoren gir er det riktige re-sultatet”, er det å stille flere spørsmål overflødig og nærmest uetisk. Bytter vi ut ”kalkulator” med ”tabell” i dette aksiomet, vil vi innse at denne situasjonen er omtrent like gammel som logaritmen selv. Gyldigheten av dette svaret baseres på troen på et hjelpemiddel, ikke på et uavhengig resonnement. Selvfølgelig bruker jeg også kalkulator og underviser i bruken av den i praktiske situasjoner. Jeg vil heller ikke reg-ne ut for hånd når bankkontoen min passerer 1 000 000 gylden. Men jeg mener at matemati-kere bør gjøre mer enn å stole på hjelpemidler.

Sist jeg underviste i logaritmer i 10. klasse, bestemte jeg meg for å bruke en gammel me-tode som innfallsvinkel til emnet. Sammen med klassen min og med assistanse av Leon-hard Euler (øverst på siden), ville jeg finne ut hvordan vi kan beregne logaritmer ved hjelp av

Jan van Maanen

Kan dagens matematikkundervisning profitere på gamle metoder?

Jan van Maanen arbeider med matematikkens historie ved Groningen Universitetet i Nederland. Han har også undervist i matematikk (ungdomsskole/gymnas), og har bl.a. arbeidet med å la elever lese og diskutere gamle matematikktekster. [email protected] Artikkelen er oversatt og tilrettelagt av Anne Bjørnestad. Hun arbeider som lektor ved Tanks videregående skole i Bergen.


Historiske artikler

den lille kalkulatoren (bare med de 4 regnings-artene) og en rotutdragningsalgoritme.

Det var flere grunner til at idéen med å kon-sultere Euler oppsto. For det første var Euler en av de første matematikerne som definerte lo-garitmen som den inverse til en eksponential-funksjon, akkurat slik som vi gjør i dag. For det andre er det alltid en glede og veldig oppmun-trende å lese Euler. Hans tekster er klare, åpne og rike, og han har også en praktisk tilnærming til matematikken uten å neglisjere prinsippene. Sist, men ikke minst, er den relevante teksten ”On exponential and logarithmic quantities” ([1] kap. 6) tilgjengelig både i engelsk over-settelse [2], og i et faksimileopptrykk av den latinske utgaven fra 1748 [3].

Eulers tilnærming til logaritmer ser svært moderne ut. Han tar en tilfeldig positiv kon-stant a og sier:

”gitt en positiv verdi for y, gir vi z en verdi, slik at ax = y. Denne verdien for z, så lenge den betraktes som en funksjon av y, kalles logaritmen til y” ([2] s.78).

Fra denne definisjonen utleder Euler de velkjente reglene (§ 104) for regning med logaritmer som f. eks. log uv = log u + log v og log un = n log u, og han viser logaritmens monotoniegenskaper (§106).

En anvendelse av denne regelen er: loga-ritmen av det geometriske gjennomsnittet ( ab ) av to tall a og b er det aritmetiske gjen-nomsnittet av logaritmene: (log log )/a b+ 2 .

Euler viser så hvordan en kan approksimere en logartime. Eksempelet hans er log

10 5.

Siden 1 < 5 < 10 og f(x) = log10

x øker mono- tont, finner Euler følgende grenser:

0 = log10

1 < log10

5 < log10

10 = 1.

Han beregner så 1 10 3 1623◊ ª , , som er det geometriske gjennomsnittet av 1 og 10. Loga-ritmen til det geometriske gjennomsnittet er (log log )/ ,10 101 10 2 0 5000+ = .

Siden 10 5 10< < så er

0 5000 10 5 10 110 10 10, log log log= < < = .

Euler gjentar denne prosedyren. Nå tar han det geometriske gjennomsnittet av

10 og 10, som er 10 10 5 6341◊ ª , .

Logaritmen til dette gjennomsnittet er

(log log )/ ,10 1010 10 2 0 7500+ = .

Da 10 5 10 10< < ◊ er

0 5000 5 0 750010, log ,< < .

Slik fortsetter Euler. I hvert steg halveres inter-vallet som log

10 5 ligger i, og etter i alt 22 rotut-

dragninger kommer han til at log10

5 ≈ 0,698970 (se [1] s. 76). Det ble senere funnet metoder hvor logaritmene kunne beregnes mye raskere ved hjelp av rekkeutviklinger. Vi vet nemlig at

ln( )1

1

- = -=

•

Âxx

n

n

n

og

ln( )

( )1

1

1

+ = - -=

•

Âxx

n

n n

n

for x <1. Dermed er

ln( )1

1

12

2 11

2 1

0

-+

ÊËÁ

ˆ¯̃

= - - = -+=

• +

=

•

Â Âx

x

x x

n

x

m

n n n

n

m

m

.

For å beregne ln(5) må vi sette x = –(2/3). Da konvergerer rekkene. Denne metoden diskuterer Euler i et senere kapittel av Introductio.

Den nevnte sekvensen i Eulers bok er etter min mening et eksempel på god undervisning. Euler vil ikke bruke tabellen før han har forklart hvordan den ble (eller kunne ha blitt) laget, og i tråd med dette bestemte jeg meg for ikke å bruke logaritmetasten på kalkulatoren før jeg hadde forklart klassen min hvordan de kunne beregne en logaritme ved å bruke Eulers meto-


Historiske artikler

de. Ved siden av en forståelse av det grunnleg-gende prinsippet at log (log log )/a b a b◊ = + 2 krever beregningen at du kjenner en algoritme for å beregne tilnærmingsverdier til kvadratrøt-ter (men vi kan også bruke den lille kalkulatoren til dette). Mine elever kjente til en slik algoritme fordi vi hadde arbeidet med denne to år tidli-gere. Jeg bestemte meg derfor for å introdusere Euler for klassen min. Jeg fortalte dem om hans enorme kreativitet og hans forsøk på å standar-disere det andre matematikere hadde utviklet i de to århundrene før hans tid, slik som han gjor-de med logaritmene til Napier og Briggs. (Skot-ten John Napier (1550−1617) utledet viktige egenskaper ved logaritmer og viste hvordan han utarbeidet en logaritmetabell over sinusverdier til vinkler. Henry Briggs (1561−1631) utviklet logartimetabeller med base 10 og log 1 = 0 etter en diskusjon med Napier, se [4]). For å motivere elevene til å øve på multiplikasjon, divisjon og rotutdragning, fortalte jeg dem om viktigheten av logaritmene, og da spesielt om logaritme-tabellene. Euler mente at logaritmetabellene skulle brukes, men ikke uten forståelse for hvor-dan de var fremkommet.

Vi gikk videre herfra. Vi diskuterte sekven-sen i Introductio hvor Euler utleder regelen log (log log )/a b a b◊ = + 2 . Elevene hadde på forhånd studert teksten og med litt forklaring

forsto de innholdet av den. Vi sjekket så stegene

i Eulers beregninger opp til 10 10 5 6341◊ ª , , dvs. at vi fant at

0 5000 10 5 10 110 10 10, log log log= < < = ,

og vi ble overbevist om at hans påfølgende beregninger var riktige. Disse beregningene arbeidet elevene også med selv. Euler ledet oss så til at log

10 5 ≈ 0,698970.

Etter en diskusjon i klassen kom elevene fram til følgende:

• Euler var en smart mann. Han var også ærlig, fordi han skrev på en måte som gjør at du kan sjekke det etterpå. Vi behøver selvfølgelig ikke å beregne en logaritme uten andre hjelpemidler enn den lille kal-kulatoren (eller en algoritme for å beregne kvatdratrøtter), men Euler presenterer resultatene sine på en troverdig måte.

• Det er rart at vi virkelig bruker våre kunn-skaper i latin i matematikktimene.

• Den gamle boken er nydelig. Det er inspi-rerende å lese en slik bok.

I overskriften stilte jeg spørsmål om dagens matematikkundervisning kan tjene på å stu-dere gamle metoder. Etter dette eksempelet stiller jeg også spørsmål om hvor viktig his-torie er når man introduserer logaritmer. Må Euler trekkes inn i undervisningen om loga-ritmer? Erfaringene mine fra dette eksempelet gir meg argumenter for positive svar på begge spørsmålene. Hvis gamle metoder kan gjøre matematikken mer spennende og elevene mer entusiastiske, stimulere til diskusjon om hva som er standard og gi muligheter til å arbeide på tvers av pensum, ja da kan det være nyttig for ny matematikk. Dagens metoder er ofte raskere og enklere, men dette kan også være skuffende for elevene nettopp fordi deres egne løsninger heller ikke alltid er de enkleste og raskeste. Å vite at det ikke er en kongevei til matematikken kan være en trøst for dem.

Referanser[�] Euler, L. (��). Introductio in analysin infini-

torum, Lausannae: Apud Marcum-Michaelem Bousquet & Socios

[�] Euler, L. (��). Introduction to Analysis of the Infinite, Oversatt av John D. Blanton. New York: Springer-Verlag

[�] Euler, L. (��). Faksimile-opptrykk av Intro-ductio in analysin infinitorum,. Brussel: Culture et Civilisation

[�] Katz, V. J. (��). A History of Mathematics. Second Edition. Addision-Wesley


Problemstillingen som følger kom meg for øre i februar 1991 da landsseksjonen i matematikk var samlet til et rammeplanmøte i Bø i Tele-mark. Videre undersøkelser omkring dette problemet viser at dette er kjent i videre kret-ser, og har vært oppe til debatt i flere fora. Om problemet har funnet sin endelige løsning er en annen sak.

Overskriften kan tyde på at problemet dreier seg om en sosial sak, men la oss med en gang konstatere at det dreier seg om matema-tikk, nærmere bestemt sannsynlighetsregning. Innenfor sannsynlighetsregningen opererer en med begrepet betinget sannsynlighet, og det er her problemet med tobarnsfamilien kommer inn.

�. Hva problemet dreier seg omAnta at en tobarnsfamilie flytter inn i nabolaget ditt. Om barnas kjønn foreligger det ulike sig-naler, men din egen sønn ønsker veldig at begge barna er gutter. Hva er sannsynligheten for at familien har to gutter?

Fødselsrekkefølgen i en tobarnsfamilie er GG, GJ, JG og JJ, hvor det er vanlig å oppfatte

f.eks. GJ som gutt i første fødsel og jente i andre fødsel. De to fødslene påvirker ikke hverandre, f.eks. vil ikke kjønnet på første barn ha noen betydning for hvilket kjønn neste barn har. En sier da at fødslene er uavhengige av hverandre. Med antakelse om like stor sannsynlighet for gutt som for jente i hver fødsel, vil hver av de fire mulighetene være like sannsynlige, og det er rimelig å hevde at sannsynligheten for to gutter er lik 1/4. Dette er noe en lett enes om, og representerer ikke en del av problemet.

Problemet dukker opp når det tilflyter oss noen opplysninger om barna. Disse er som sagt av forskjellig karakter, og spørsmålet er om disse opplysningene har ulik betydning for sannsynligheten for to gutter.

Opplysningene det dreier seg om er:

Knut Ole Lysø

Den problematiske tobarnsfamilien

Knut Ole Lysø er førsteamanuensis ved Høgskolen i Sør-Trø[email protected]



I. Det opplyses at minst ett av barna er gutt.II. Det opplyses at det eldste barnet er gutt.III. Det opplyses at ikke begge barna er jenter.

Problemet er altså nå å finne sannsynligheten for to gutter i denne tobarnsfamilien under for-utsetning av at du vet enten opplysning I, II eller III. Er det forskjell i størrelsen på disse sannsyn-lighetene, og bør det eventuelt være det?

En måte som er blitt presentert for å beskrive de to første opplysningene konkret, er at du får se et av barna på trappa, og at dette barnet er en gutt (situasjon I). Du går ut for å hilse på gut-ten, og hører samtidig barnegråt inne fra huset (som impliserer at gutten på trappa faktisk er det eldste barnet, altså er du nå i situasjon II). Er det rimelig at disse opplevelsene skal endre på sannsynligheten for to gutter i denne fami-lien?

Prøv gjerne selv å finne et forslag til løsning på dette problemet før du leser videre.

�. Litt om betinget sannsynlighetFør vi analyserer problemet nærmere, er det rimelig at en presiserer hva som ligger i begre-pet betinget sannsynlighet. Dersom leseren er fortrolig med dette begrepet, kan en hoppe til avsnitt 3.

Anta at du ved en bestemt forsøkssituasjon er interessert i å finne sannsynligheten for et bestemt utfall. Dersom du får en eller annen tilleggsinformasjon under forsøkets gang, kan det hende at denne informasjonen er av en slik art at det har betydning for resultatet av forsø-ket. Du må ihvertfall vurdere om den opprin-nelige sannsynligheten du satte opp for utfal-let fremdeles er aktuell/riktig. Den eventuelle reviderte sannsynligheten kalles en betinget sannsynlighet.

La oss nå gi fire konkrete eksempler på hva som kan ligge i begrepet betinget sannsynlig-het.

Eksempel �La oss f.eks. si at du skal tippe hva en person får i et spesielt kast med en vanlig terning. I et slikt kast kan en argumentere for at sannsynligheten for et hvilket som helst resultat, dvs. antall øyne terningen viser, er lik 1/6. Dersom du tipper at vedkommende får en sekser, har du altså en sannsynlighet på 1/6 for å få riktig svar.

Anta at du selv ikke ser resultatet av kas-tet, men får vite at kastet resulterte i minst fire øyne. Er sannsynligheten for at du tipper rett lik 1/6 fremdeles, eller er sannsynligheten blitt endret på bakgrunn av opplysningen om minst fire øyne? Tenker en etter, er det under de gitte opplysninger kun muligheten for firer, femmer eller sekser. Disse er like sannsynlige, slik at det nå virker rimelig å sette sannsynligheten for en sekser lik 1/3. Altså har tilleggsopplysningen du har fått (”resultatet av kastet er minst fire øyne”) endret sannsynligheten for den aktuelle hendelsen, og en sier at den betingete sannsyn-ligheten for en sekser er lik 1/3.

Eksempel �I et kortspill kan du f.eks. være interessert i å vurdere sannsynligheten for at en person trek-ker en spar ved en tilfeldig trekning fra en godt blandet kortstokk. Når alle kort stiller likt, er sannsynligheten for å trekke en spar lik 13/52. Dersom du ikke ser resultatet av trekningen og personen som trakk kortet opplyser deg om at verdien av kortet er 4, er sannsynligheten for spar nå lik 1/4 (siden spar fire er et av de fire aktuelle kortene). Da disse to sannsynlighetene er like (1/4), har altså tilleggsinformasjonen om at kortet er en firer, ikke noen betydning for sannsynligheten for det opprinnelige utfallet. Dette viser at det ikke alltid er slik at sannsyn-ligheter endres ved betinging (en sier da at en har uavhengighet).



Eksempel �I et kortspill kan du f.eks. også være inter-essert i å få tildelt et ess. Når alle kort stiller likt, er sannsynligheten for å trekke et ess lik 4/52. Under tildelingen av kort får du et glimt av kortet som tilsier at det er rødt. Siden flere detaljer om kortet ikke er avslørt, er de 26 røde kortene like sannsynlige, to av disse er ess, slik at det er rimelig å hevde at sannsynligheten for ess nå er lik 2/26. Da disse to sannsynlighetene er like (1/13), har altså denne tilleggsinforma-sjonen ikke noen betydning for sannsynlighe-ten for det opprinnelige utfallet, og en har igjen uavhengighet.

Eksempel �I et kakelotteri selges det 500 lodd. Du kjøper ett lodd. Dersom du ikke vet noe om eventuelle andre solgte lodd, er det rimelig å sette sannsyn-ligheten for å vinne hovedgevinsten lik 1/500. Du avdekker loddnummeret, og finner ut at du ikke har vunnet. Så kjøper du ett lodd til. Sann-synligheten for å vinne hovedgevinsten denne gangen er lik 1/499 siden du nå har informasjon om det første loddet du kjøpte.

Disse fire eksemplene viser ulike aspekter ved slike forsøkssituasjoner.

I eksempel 1 og 2 har du ikke direkte over-sikt over forsøkets gang, men mottar informa-sjon via personen som henholdsvis kaster ter-ningen og trekker kortet. Eksemplene viser at de opplysningene du får, i enkelte tilfeller kan endre sannsynligheten for den hendelsen du er interessert i, men også at det finnes tilfeller der tilleggsinformasjonen ikke har betydning for den sannsynligheten vi ønsker å finne.

Situasjonene beskrevet i eksempel 3 og 4 har du derimot direkte oversikt over forsøkets ut-vikling, og en ser at også i slike forsøk kan det i enkelte tilfeller være slik at det som skjer i løpet av forsøkets gang kan ha betydning for størrel-sen av den søkte sannsynligheten, mens det i andre tilfeller ikke har noen betydning.

�. Presentasjon av problemet i ulike lærebøkerLa oss nå se på hvordan problemene slik de er formulert i avsnitt 1, håndteres i enkelte lære-bøker. I denne omgang konsentrerer vi oss om å finne sannsynligheten for to gutter i lys av opp-lysningene I og II.

Utfallsrommet (en liste over de mulige ut-fall i et sannsynlighetsteoretisk forsøk) er altså {GG, GJ, JG, JJ}. Med antakelse om like stor sannsynlighet for begge kjønn, sa vi i avsnitt 1 at sannsynligheten for to gutter er lik 1/4. Dette kalles en ubetinget sannsynlighet, og no-tasjonsmessig er det vanlig å skrive dette som

P(To gutter) = 1/4.

Betingede sannsynligheter handler om tilleggs-informasjon (relevant eller irrelevant) og om det eventuelle reduserte utfallsrom, i de tilfeller til-leggsinformasjonen er relevant. Holder en seg kun til informasjonen i I, ”minst en gutt”, vil utfallsrommet foran reduseres slik at en har føl-gende sammenheng:

Minst en gutt: {GG, GJ, JG},

siden JJ nå er utelukket. Da det fremdeles ikke er noen av disse kombinasjonene som er mer sannsynlig enn andre, får en at

P(To gutter | I) = 1/3.

(Den loddrette streken bak ”To gutter” symbo-liserer at vi har en tilleggsinformasjon, nemlig opplysningen I om minst en gutt.)

I tilfelle II, med tilleggsopplysningen ”eld-ste barnet er gutt”, vil det opprinnelige ut-fallsrommet også reduseres. Vi får nå følgende sammenheng:

Eldste barnet er gutt:{GG, GJ},

siden JJ og JG nå er utelukket. Da GG og GJ ansees like sannsynlige, får en at

P(To gutter | II)=1/2.

Dette viser at vi altså er sikrere på at det er to



sønner i familien dersom vi vet II (”eldste barnet er gutt”) enn om vi vet I (”minst en gutt”). Dette virker kanskje overraskende på mange, spesielt om en knytter dette til de konkrete beskrivel-sene på slutten av avsnitt 1. Dersom du ser en gutt på naboens trapp, er sannsynligheten for to gutter i denne familien lik 1/3. Hører du i tillegg barnegråt inne i huset, er sannsynligheten for to gutter i denne familien lik 1/2. En kan bare spe-kulere på om barnegråt i seg selv representerer en så vidt viktig tilleggsopplysning som tilsier en økning i sannsynligheten for to gutter fra 1/3 til 1/2.

Det er kanskje ikke så rart at disse sannsyn-lighetene i enkelte læreverk er blitt presenterte som et paradoks. En sannsynlighet lik 1/2 i til-felle II synes ikke så merkelig i det en i dette tilfellet uttaler seg om sannsynligheten for at den yngste er gutt, altså om kun en fødsel. Da vil en sannsynlighet lik 1/2 følge av antakelsen om at jente- og guttefødsler opptrer like hyp-pig. Spørsmålet er da om sannsynligheten 1/3 for situasjon I er rimelig. Imidlertid finner en svaret 1/3 også ved utregning. La X være antall gutter i en tobarnsfamilie. Etter loven om be-tingede sannsynligheter får vi at

P I P X X

P X X

P X

P X

P X

(

( )

( )

( )

(

To gutter )= ( =2 1)

==2

≥

( )« ≥( )≥

= =- =

1

1

2

1 0))

/

/= =1 4

3 4

1

3

�. Diskusjon om andre løsninger på problemetSom nevnt innledningsvis, er denne problem-stillingen også debattert i fagmiljøet. En løsning som er blitt lansert av Steinar Engen ved AVH i Trondheim, går ut på at formuleringen minst ett av barna er en gutt er naturlig å tolke som at en har observert en gutt. Dette er for øvrig i overensstemmelse med den tolkningen som er

lagt til grunn i avsnitt 3, og som ble konkretisert i avsnitt 1 gjennom at du ser en gutt på trappa. Engen hevder imidlertid at sannsynligheten for to gutter er lik 1/2 (og ikke lik 1/3) i dette tilfel-let. Argumentet for dette er: Definer hendelsene A, B og C som følger:

A: To gutter (dvs. X = 2)B: Minst én gutt (dvs. X ≥ 1), (dvs. det samme

som opplysning I)C: Observere en gutt

Engen hevder at dersom hendelsen C har inn-truffet (”gutt på trappa”), har også hendelsen B inntruffet. Sannsynligheten for to gutter må sees i lys av både opplysning B og opplysning C. Da C er en ekte delmengde av B, er det eneste korrekte å betinge med hensyn på C. Dette medfører at

P(To gutter | I) = P(To gutter | C) = 1/2.

Et argument som taler for en sannsynlighet lik 1/2 i dette tilfellet, er at en faktisk uttaler seg om sannsynligheten for at et bestemt barn (det barnet en ikke ser) er en gutt.

Imidlertid halter denne forklaringen noe hvis en har perspektivet om at betingede sann-synligheter handler om tilleggsinformasjon som eventuelt reduserer utfallsrommet for for-søket. Når det opprinnelige utfallsrommet er {GG, GJ, JG, JJ}, vil opplysning C kun utelukke to jenter (JJ), og utfallsrommet reduseres til {GG, GJ, JG}. Dette gir altså opphav til sann-synligheten 1/3.

Denne betraktningsmåten fokuserer igjen på et problem som jeg personlig har tenkt vel-dig mye på: Den sidestiller hendelsene B og C! Dette kan ikke være riktig, og det er muligens her hele problemet ligger. I mitt studie av dette problemet har jeg lenge fundert på når en kan observere ”minst en gutt”, med andre ord når det kan være aktuelt å betinge med hensyn på denne opplysningen. Ser vi etter, har vi (Engen inkludert) så langt i denne artikkelen konklu-

2005 tangenten�0


dert med at ”minst en gutt” må tolkes som at en har observert en gutt. Er dette en riktig tolkning? Dersom en har ”observert en gutt”, må en selvsagt ta hensyn til dette i det videre regningsarbeidet, men en må finne ut hva slags type informasjon dette er i forhold til informa-sjonen ”minst en gutt”.

Dersom du får opplyst at minst ett av barna er gutt, kan dette likså gjerne tolkes som at du får informasjonen fra noen annen (f.eks. din kone), og at du altså ikke har observert noe selv. Den tilleggsopplysningen som du har fått, er av samme karakter som opplysningene som er gitt i eksemplene 1 og 2 i avsnitt 2, og er ikke knyt-tet til noe bestemt (konkret) barn. Når du mot-tar kun denne opplysningen, har din kone mer informasjon om nabofamilien enn hva du har, men hun holder igjen noe av denne informa-sjonen. Opplysningen minst en gutt utelukker kun muligheten JJ, og det vil derfor være riktig at sannsynligheten for to gutter da er lik 1/3. Ved en slik tolkning vil altså resonnementet i avsnitt 2 omkring denne sannsynligheten og beregningen til slutt i avsnitt 2 være korrekt.

Har du imidlertid sett en gutt på trappa, har du egentlig mer informasjon om nabofamilien enn om du får informasjonen ”minst en gutt” fra din kone. Opplysningen du nå har om for-søket, er av samme karakter som i eksemplene 3 og 4 i avsnitt 2, og er knyttet til et bestemt barn. Det riktige i denne situasjonen vil være å konsentrere seg om kjønnet på det andre bar-net, altså har en redusert forsøkssituasjonen fra et to-trinnsforsøk til et ett trinnsforsøk. Sannsynligheten for to gutter når en har ob-servert en gutt, vil altså være lik 1/2. Det virker rimelig at denne sannsynligheten er større enn sannsynligheten for to gutter når du får opplyst minst en gutt siden du faktisk har mer infor-masjon om nabofamilien.

Dersom du får opplyst at det eldste barnet er en gutt, har du igjen en opplysning som re-duserer forsøket fra et to-trinnsforsøk til et ett-trinnsforsøk. Den korrekte sannsynligheten for

to gutter er derfor lik 1/2 også i dette tilfellet.I den praktiske situasjonen belyst i slutten

av avsnitt 2 vil det etter dette altså ikke være noen forskjell i sannsynlighetene. Mer presist vil sannsynlighet for to gutter være lik 1/2 både når du observerer en gutt på trappa, og når du i tillegg hører barnegråt inne.

Til slutt gjenstår å finne sannsynligheten for to gutter dersom det blir opplyst at ikke begge barna er jenter, altså tilleggsinformasjon III i avsnitt 1. Er opplysningen ”ikke begge barna er jenter” en tilleggsinformasjon som tilflyter oss via direkte observasjon? Neppe, dette er også en tilleggsopplysning av samme karakter som opplysningene som er gitt i eksemplene 1 og 2 i avsnitt 2. Av det opprinnelige utfallsrommet er det bare to jenter (JJ) som er utelukket, og sannsynligheten for to gutter er lik 1/3. Vi mer-ker oss at opplysningene I og III er av identisk karakter.

�. KonklusjonVi har i avsnitt 4 konkludert med følgende resultater:

P(To gutter | I) = 1/3. P(To gutter | II) = 1/2. P(To gutter | III)= 1/3. P(To gutter | C) = 1/2.

Hovedproblemet ligger altså i tolkningen av tilleggsinformasjonen ”minst en gutt”. Det en i litteraturen ikke har tatt tilstrekkelig hensyn til, er at tilleggsopplysninger har to ulike kjenne-tegn; noe du observerer selv i løpet av et forsøk kontra hva du får opplyst av andre. Vi har sett at dette kan gi ulike resultater.

Merk ellers at dersom din kone faktisk selv har observert gutten på trappa, og heller sier til deg at et av barna er en gutt (opplysning C), vil altså sannsynligheten for to gutter være lik 1/2. I dette tilfellet har nemlig du og din kone like mye opplysninger om situasjonen, opplysnin-ger som gjør at en kan konsentrere oppmerk-somheten om kjønnet til det ene barnet som en



ikke har sett (fra to trinn til ett trinn).Som vi har sett, er det å observere en gutt

blitt tolket som å observere minst en gutt. Dette strider også mot en annen innfallsvinkel til problemet. X = antall gutter i en tobarnsfa-milie er binomisk fordelt, noe som forutsetter bl.a. uavhengighet og uordnet utvalg. Er resul-tatet av en av fødslene kjent (observere en gutt), kan ikke denne ”variere mer”, og vi får å uttale oss om den siste fødselen. Dette innebærer at antall enkeltforsøk i den binomiske situasjo-nen reduseres med en; dvs. fra to enkeltforsøk til ett.

En ser muligens dette klarere dersom en betrakter en firebarns-familie (ingen eneg-gede tvillinger o.l). La oss si at vi ønsker å finne sannsynligheten for minst tre gutter i denne

familien. I utgangspunktet er X = antall gutter i firebarnsfamilien binomisk fordelt (4, 1/2). Dersom jeg får opplyst at to av barna er gut-ter, vil jeg på grunn av uavhengighet og det at vi har et uordnet utvalg, kun konsentrere meg om de to ukjente barna. Oppgaven blir nå re-dusert til å finne sannsynligheten for minst en gutt blant disse to barna, der antall gutter blant disse to barna er binomisk fordelt (2,1/2).

I dette perspektivet blir utregning av betin-gede sannsynligheter ikke en ren mekanisk ut-førelse gjennom bruk av formler, men en bør først analysere hvilken situasjon en er oppe i. Betingede sannsynligheter handler følgelig om det eventuelt reduserte utfallsrom eller (ved uavhengighet) et redusert antall forsøkstrinn.


Denne artikkelen, med småplukk om sann-synligheter, har sitt utspring i feiringen av et 200-års jubileum i Australia i 1988. (Denne feiringen var forøvrig ikke helt ukontroversiell, for det som hadde skjedd i 1788 var at de første europeere hadde bosatt seg i landet.) Feiringen var storslått, og bl.a. innviet man en ny parla-mentsbygning i hovedstaden, Canberra.

Jeg, som i 1987–88 var på forskningsopphold ved Universitetet i Canberra, overvar noe av dette. Da det under en tale ble opplyst at Aust-ralia til da hadde hatt 23 statsministre, stilte et pussig spørsmål seg, knyttet til tallet 23. (De statsministrene det her er snakk om er forøvrig statsministrene for hele Australia, delstatene som Victoria, New South Wales, … har sine egne.) Tallet 23 har nemlig en spesiell betyd-ning, som er kjent for de aller fleste statistikere, og mange matematikere. Den er som følger.

Har man en tilfeldig forsamling av 23 (eller flere) personer, er det større sannsynlighet for at to av dem skal ha samme fødselsdato enn for at alle datoene skal være forskjellige. Har man derimot bare 22 personer, er sannsynligheten størst for at alle datoene er forskjellige.

Den grunnleggende forutsetningen er her at man har et stort antall personer, hvis fød-selsdatoer er spredt jevnt ut over året, og så har valgt ut 23 (eventuelt 22) tilfeldige av disse. Når det gjelder statsministrene kan det selvsagt dis-kuteres om dette er et helt tilfeldig utvalg (f.eks. var alle menn), men det synes ikke urimelig å anta at vår grunnleggende forutsetning er opp-fylt.

Det pussige spørsmålet var selvsagt: Hva med denne gruppen? Jeg fikk det ikke besvart da, men ifjor, da jeg påny var i Canberra, kom jeg tilfeldigvis over en bok som inneholdt den nødvendige informasjon, og det viste seg at de 23 datoene var alle forskjellige (se appendiks 1). Nå er ikke dette noe overraskende, for det er bare ca. 50,7 % sannsynlighet for sammenfall, mot ca. 49,3 % for forskjellighet. Derfor vil alle datoene være forskjellige for nesten halvdelen av gruppene, når man undersøker et stort an-tall grupper.

Denne boken var ikke helt oppdatert, for dagens statsminister (1996), Paul J. Keating var ikke med. Det viste seg at han hadde samme fødselsdato, 18. januar, som en av forgjengerne, Edmund Barton. Dette var litt overraskende for det er jo bare i 23 av 365 tilfelle (vi ser nå bort fra skuddår) at dette ville finne sted. Det som var litt mer overraskende, var at Edmund Barton var den første av statsministrene.

Helge Tverberg

Om Cadillacer, fødselsdatoer, geiter og statsministre

Helge Tverberg er professor emeritus ved Universitetet i Bergen. [email protected]



Før vi går over til forklaringen på tallet 23, bemerker vi at tallet i seg selv er en overraskelse for de fleste. Alle skjønner jo at med et stort antall personer blir det stor sannsynlighet for sammenfallende datoer; ja med 367 personer må man ha det. Men de færreste vil tippe at et så lavt tall som 23 er nok til å gi den ønskede overvekt. Så derfor er det nok best å gjøre ut-regningen.

Kall personene A, B, … W. Sannsynlighe-ten for at Bs fødselsdato er forskjellig fra As er

11

365- , for at Cs så er forskjellig fra både As

og Bs er 12

365- , o.s.v., helt til W som bare har

en sannsynlighet på 122

365- for å ha sin egen

dato (når alle de foregående er forskjellige).

Sannsynligheten for bare forskjellige datoer er derfor:

11

3651

2

3651

22

365

364 363 343

3650

22

-ÊËÁ

ˆ¯̃

-ÊËÁ

ˆ¯̃

-ÊËÁ

ˆ¯̃

=◊

ª

,4493

og dermed blir sannsynligheten for sammen-treff 0,507, litt større enn 1/2.

For 22 personer vil en tilsvarende regning gi en sammentreffsannsynlighet på 0,476, så vi ser at den ekstra personen gir et ganske sterkt utslag.

De gitte tallene er selvfølgelig litt gale, for vi har skuddår hvert fjerde år (unntatt hvis år-stallet er delelig med 100, men ikke med 400) og dette må man jo ta hensyn til. Det korrekte uttrykket for 23 personer når man tar hensyn til skuddårene (men ser bort fra 100-årseffek-ten) blir

11

14611

1

3651

2

3651

22

365

23

14

23

-ÊËÁ

ˆ¯̃

-ÊËÁ

ˆ¯̃

-ÊËÁ

ˆ¯̃

-ÊËÁ

ˆ¯̃

+

6611

1

14611

1

3651

2

365

121

365

36

22

-ÊËÁ

ˆ¯̃

-ÊËÁ

ˆ¯̃

-ÊËÁ

ˆ¯̃

-ÊËÁ

ˆ¯̃

44 363 343

3650 493

22

◊ª

,

Dette er altså sannsynligheten for at alle 23 skal ha forskjellige datoer. Vi tenker oss da at befolk-ningen har fødselsdatoene jevnt fordelt over en 4-års periode med 3 · 365 + 366 = 1461 dager. Den første addenden gir da sannsynligheten for at ingen av de 23 er født den 29. februar, samti-dig som alle har forskjellige fødselsdatoer, mens den andre gir sannsynligheten for forskjellige datoer når en av dem skal være 29. februar. Det litt gale produktet vi anga ovenfor blir altså multiplisert med faktoren

1

1

14611

1

1461

23

14611

22

365

23 22

-ÊËÁ

ˆ¯̃ + -Ê

ËÁˆ¯̃ ◊

Ê

ËÁˆ

¯̃-Ê

ËÁˆ¯̃



som er så lite større enn 1 (≈ 1,064) at konklusjonen fremdeles blir riktig.

Det er litt å lære av de enkle regnestykkene vi gjør. Da vi kom frem til tallet 23 fikk vi kor-rigert den gale intuisjonen vi sannsynligvis hadde: at et større antall personer måtte til for at datosammentreff skulle være mest sannsyn-lig. Når vi viser (se appendiks 2) at den jevne fordelingen faktisk gir den dårligste sjansen for datosammentreff ved gitt persontall, får vi be-kreftet den riktige intuisjonen vi antagelig har. Dette gir enkle eksempler på matematikken som effektivt hjelpemiddel.

Men nå begynner vel leseren å etterlyse gei-ter og Cadillacer og deres plass her. Vi skal se litt på et problem som har fått mye publisitet verden rundt, og delvis på falske premisser. Marilyn vos Savant, en amerikansk kvinne med 200 i IQ, presenterte i et blad følgende problem: I et fjernsynsshow kan man vinne en geit eller en Cadillac slik: På scenen er det tre luker. Bak en av lukene befinner det seg en Cadillac, bak hver av de to andre en geit. En publikummer får gevinstsjansen. Han peker på en av lukene. Programlederen åpner en av de andre lukene, og bak den er det en geit. Nå får publikumme-ren valget: Vil han ha det som befinner seg bak den luken han pekte på, eller vil han ha det som er bak den andre uåpnede luken?

Marilyn hevdet at man bør skifte luke (hvis man da foretrekker en Cadillac fremfor en geit)! Det kom inn mange protester, bl.a. fra folk med doktorgrad, der det ble hevdet at det spilte ingen rolle om man skiftet luke eller ikke. Marilyn holdt på sitt, og dermed ble problemet berømt. Her er det to ting å lære (i tillegg til at man får vite hva man bør gjøre hvis man er så heldig å få delta i et slikt show).

For det første skyldtes uenigheten at man ikke tenkte på samme problem. Skal Marilyns spørsmål gi mening, må man vite litt mer om programlederens adferd. Det Marilyn hadde i tankene, men kanskje ikke sa tydelig nok, var:

Programlederen vet hva som er bak hver luke, og han har på forhånd bestemt seg for å åpne en annen luke enn den det blir pekt på, og det skal være en luke med geit bak. Dette er også kjent for publikummeren. Nå kan man prøve å gi et fornuftig svar, og alt oppstusset illustrerer tydelig hvor viktig det er å vite hvilket problem man egentlig skal løse.

Selv om man nå har fått problemet tydelig nok beskrevet, er det ikke så helt enkelt å løse uten kvantitativ tenkning, for ikke å si mate-matikk. Svært mange vil ha vansker med å av-gjøre hvilken betydning som skal tillegges den åpnede luke; kanskje man ikke føler seg stort klokere enn geiten som står der. Men med en gang man bringer tall inn i bildet, løser saken seg nesten av seg selv, og man får nok en gang bekreftet tallenes nytte.

For tenk på en person som følger Marilyns regel, og deltar i mange slike show. Ca. hver tredje gang vil han peke på Cadillacen; da vin-ner han en geit. Men de andre to gangene får han Cadillacen.

Ta så en som tror på protestantene med doktorgrad (og tilhørende prestisje). Ca. hver tredje gang vil han peke på Cadillacen, og få den, de to andre gangene blir det geit. Første-mann har altså dobbelt så store vinnersjanser som ham.

Det protestantene kanskje tenkte på var: Anta at programlederens lukevalg er tilfeldig (bortsett fra at han åpner en annen luke enn den påpekte), og gir en geit. Da viser det seg at de to strategiene beskrevet ovenfor er like gode. Å innse dette lar jeg være en øvelse for leseren.

APPENDIKS � Australske statsministre (fram til ��) og deres fødselsdager1. Barton, E. 18. januar (1849)2. Deakin, A. 3. august (1856)3. Watson, 9. april (1867)4. Reid, G.H. 25. februar (1845)



5. Fisher, A. 29. august (1862)6. Cook, J. 7. desember (1860)7. Hughes, W.M. 25. september (1862)8. Bruce, S.N. 15. april (1883)9. Scullin, J.H. 18. september (1876)10. Lyons, J.A. 15. september (1879)11. Page, E.C.G. 8. august (1880)12. Menzies, R.G. 20. desember (1894)13. Fadden, A.W. 13. april (1895)14. Curtin, J. 8.januar (1885)15. Forde, F.M. 18. juli (1890)16. Chifley, J.B. 22.september (1885)17. Holt, H.E. 5.august (1908)18. McEwen, J. 29. mars (1900)19. Gorton, J.G. 9.september (1911)20. McMahon, W. 23. februar (1908)21. Whitlam, E.G. 11. juli (1916)22. Fraser, J.M. 21. mai (1930)23. Hawke, R.J.L. 9. desember (1929)24. Keating, P.J. 18. januar (1944)

Rekkefølgen tilsvarer førstegangstiltredelse som statsminister.

APPENDIKS � Om ujevn fordelingI noen befolkninger vil det være slik at fødslene ikke er jevnt fordelt over året. Et klassisk eksem-pel her er Vestfold i hvalfangstæraen. Det er imidlertid lett å verifisere det man kanskje har en intuitiv følelse av: ved en ujevn fordeling blir det enda større sjanse for at 23 personer gir sam-mentreff. Er nemlig sannsynligheten for fødsel på årets dag nr. i lik pi blir sannsynligheten for at 23 personer skal ha forskjellige datoer lik

23 1 2 23! ( )◊ +p p p .

For å få summen skal en på hver mulig måte velge ut 23 tall i i i1 2 23< < < fra mengden {1, … 365} og multiplisere sammen de tilsva-rende p-ene. Er de 23 personene nemlig A, B, … W, er sannsynligheten for at A skal være født 1. januar, …, W 23. januar, lik p p p1 2 23

Den samme sannsynligheten får en selvfølge-lig for at A, B, … skal være født på de samme dagene, men i en bestemt annen rekkefølge. Siden det er 23 forskjellige rekkefølger, gir disse 23 dagene ialt en sannsynlighet på 23 1 2 23!◊ p p p , og når en så varierer utvalget av dager får en hele uttrykket.

Vi skal så se hvordan vi kan øke verdien av uttrykket ved å endre på p-ene inntil de alle

blir lik 1

365. Dette viser at sannsynligheten

for forskjellighet er størst, og altså den for sam-

mentreff er minst, når alle datoene er like sann-

synlige. Dette var det vi skulle frem til.

Anta nemlig at ikke alle p-ene er like. Da må en

av dem, f.eks. p1 , være større enn 1

365 og en an-

nen, f.eks. p2 , være mindre enn 1

365. Uttrykket

vårt kan skrives som Ap p B p p C1 2 1 2+ +( )+ ,

der p1 og p2 ikke inngår i A, B og C. Erstatter

vi nå p1 med 1

365 og p2 med p p1 2

1

365+ - ,

men lar de andre sannsynlighetene være uen-dret, vil uttrykket endres til

A p p B p p C◊ ◊ + -Ê

ËÁˆ¯̃

+ +( )+1

365

1

3651 2 1 2

Endringen blir derfor

A p p p p

A p p

◊ ◊ + -ÊËÁ

ˆ¯̃

-ÊËÁ

ˆ¯̃

= -ÊËÁ

ˆ¯̃

-ÊË

1

365

1

365

1

365

1

365

1 2 1 2

1 2ÁÁˆ¯̃

≥ 0


Av alle matematikkens evergreens er de platon-ske legemene blant de grønneste. Vi finner spor av dem lenge før Platons tid, navnet til tross, og de har fortsatt en rolle å spille. Det er gjengs oppfatning at Pytagoras kjente til og hadde stu-dert de tre hverdagslige legemene, terningen, tetraederet og oktaederet, mens de to subtile, dodekaederet og ikosaederet, først ble matema-tisk behandlet av en annen greker, Theaetetus. Han kom til verden omtrent år 415 før Kristus og døde rundt 370, og var altså samtidig med Platon selv om den kjente filosofen både var født tidligere – i år 427 før Kristus – og døde senere – i 347. Dette er iallfall hva vi kan lese ut av de tilgjengelige kilder; og kildenes kilde skal være et manuskript av Eudemus som stammer fra

rundt år 300 før Kristus. Det var en matematik-kens historie! Tre hundre år før Kristi fødsel!

Hos Platon opptrer våre fem evergreens i dialogen Timeus. Selv om Platon sier noe om kombinatorikken deres – antall hjørner, kanter og sideflater – presenteres de ikke i en mate-matisk sammenheng, men innvevd i en meta-fysisk beskrivelse av verden. Som smaksprøve siterer vi et utdrag:

Nå er spørsmålet som må besvares: Hvilke er de mest perfekte legemer som kan konstrueres; fire i tallet, alle forskjellige, men slik at enkelte

kan skapes fra andre ved oppløsning? Om vi finner svar på dette, kjenner vi sannheten om jordens og ildens skapning og om legemene som står som proporsjonaler mellom dem.

Det var de fire, og om det femte, dodekaederet, sier Platon lenger ute:

Geir Ellingsrud

Symmetri i platonske legemer

Geir Ellingsrud er professor ved Universitetet i Oslo, [email protected]


Geometri

Det mangler fortsatt en konstruksjon, den femte; og Gud brukte den til det hele, og tegnet et mønster av dyrefigurer på.

Det er perfeksjonen som gir legemene en så fornem plass i Platons verdensbeskrivelse. Vi ville heller sagt at det er deres høysymmetri som gjør dem fortjent til en fornem plass blant matematikkens eviggrønne. Og høysymmetri, hva betyr nå det?

Det er mange legemer som er symmetriske i en eller annen forstand; allerede vårt eget, det menneskelige, har en viss symmetri. Vi er grovt sett symmetriske om det medisinerne kaller sa-gitalplanet som er planet som deler kroppen i en høyre og en venstre halvdel.

Denne høyre-venstre symmetrien kalles ofte en bilateral symmetri – altså en tosidig symme-tri – men det mer beskrivende navnet speilings-symmetri brukes også. Et legeme som utviser en slik symmetri, har et symmetriplan som de-ler det i to; og den ene halvdelen er speilbildet av den andre. Halvdelene er altså like bortsett fra at de er speilvendte.

La oss, istedenfor vårt eget, se på et av Pla-tons legemer, og vi tar for oss det mest hver-dagslige, terningen, som også er det vi er mest fortrolig med. Hvilke bilaterale symmetrier har den? De kommer i to versjoner: Symmetri-planet kan være parallelt med to motstående av terningens sider, og det må selvfølgelig ligge midt i mellom dem. Slike symmetriplan har terningen tre av – de seks sidene danner jo tre par av motstående sider – og om man legger et

koordinatsystem med origo i terningens tyng-depunkt og akser parallelle med terningsidene faller disse tre symmetriplanene sammen med koordinatplanene.

Den andre versjonen har symmetriplan gjennom motstående og parallelle sidekanter og av denne typen symmetriplan har terningen seks. De tolv sidekantene kan jo grupperes i seks par av motstående kanter.

Allerede nå skal vi nærme oss vårt retoriske spørsmål der vi spurte om hva høysymmetri betyr, og skal avsløre i hvilken led svaret fin-nes. Vi velger oss ut to av terningens sideflater – fritt valgt, på øverste hylle. De to sideflatene er enten motstående, eller så har de en felles kant. I begge tilfeller er det klart at for minst ett av symmetriplanene ovenfor (faktisk nøyaktig ett), vil våre to utvalgte sideflater være speil-bilder av hverandre. Er de motstående, bruker vi selvfølgelig symmetriplanet midt imellom dem, og deler de en kant, gjør symmetriplanet

gjennom denne nytten. Det råder altså fullt de-mokrati mellom terningsidene; alle inngår de i terningen på samme, symmetriske måte.

Vi sier at terningen er sidetransitiv. Vi kunne naturligvis også brukt en rotasjon for å bringe den ene sideflaten over i den andre. I det første tilfellet er det klart hvilken: Vi må dreie terningen 90° om en akse mellom to av de andre motstående terningsidene. I det andre gjør en halv omdreining om følgende aksen jobben: De to sideflatene deler en felles kant og denne har en motstående og parallell kant. Aksen forbin-


Geometri

der midtpunktene til disse to kantene. Så hva med terningkantene? Lever de like de-

mokratisk? La oss se: To terningkanter kan ligge på tre forskjellige måter i forhold til hverandre: De kan stråle ut fra et felles terninghjørne, og da ligger de symmetrisk om planet gjennom den tredje kanten som stråler ut fra dette hjørnet. De to kantene kan være parallelle. Da vil pla-net midt imellom dem og parallelt med dem, være et av terningens symmetriplan, og våre to kanter ligger symmetrisk om dette. Den tredje muligheten er at de to terningkantene tilhører motstående sideflater, men ikke er parallelle slik som kantene A og B på figur 1. Da må vi ty til to suksessive speilinger for å bringe den ene over i den andre. Først speiler vi gjennom planet midt imellom de to motstående sideflatene. Speilbil-det (A’) til den ene av kantene våre (A) ligger i samme sideflate som den andre (B). De to har et terninghjørne felles og ligger symmetrisk om planet gjennom den tredje kanten som stråler ut fra dette hjørnet.

Denne dobbeltspeilingen kan også realise-res som en av terningens rotasjonssymmetrier.

På figur 1 har vi betegnet midtpunktene til to av sidene med f og g, og dreier vi terningen en halv omdreining om aksen gjennom dem, vil kanten A bringes dit kanten B ligger. Enden på visa er at det også mellom terning-kantene råder fullt demokrati; de inngår på

samme, symmetriske måte i terningen. Vi sier at terningen er kanttransitiv.

Det er nå neppe noen overraskelse at ter-ningen også er hjørnetransitiv; hvert terning-hjørne kan bringes over i ethvert annet ved hjelp av suksessive speilinger eller rotasjoner. Vi overlater til leseren å pønske ut hvordan. For noen par av hjørner er en speiling tilstrekkelig, mens andre krever to. Det er kanskje lettere å få det til med rotasjoner, og det er til syvende og sist like bra. Poenget er at et hjørne kan bringes over i et hvert annet ved en suksesjon av sym-metrier – enten rotasjoner eller speilinger.

Det råder altså fullt demokrati mellom både hjørner, kanter og sider hos terningen. Dette kunne vi selvsagt, etter mangeårig yatzyerfa-ring, sagt på forhånd, men nå har vi etablert matematiske egenskaper – hjørne-, kant- og sidetransitivitet – som også andre legemer enn terningen kan ha. Det finnes en rekke legemer med en av disse transitivitetsegenskapene, og noen færre har to, men for å fortjene betegnel-sen høysymmetrisk forlanger vi av et legeme at det har alle tre1. Og det er det bare de fem pla-tonske som har.

Det er en fin oppgave å sjekke høysymme-trien for de to andre hverdagslige legemene, te-traederet og oktaederet, og den virkelig ivrige leser kan jo gi seg kast med de to subtile – do-dekaederet og ikosaederet – men det anbefales å bruke rotasjoner, de er enklere å forestille seg enn speilinger.

I tillegg til rotasjoner og speilinger har de platonske legemene også en symmetritype som kalles speilingsrotasjoner – det er kort og godt en speiling etterfulgt av en rotasjon. Det er bare slik vi får en ny type symmetrier. En speiling etterfulgt av en annen blir vanligvis en rotasjon slik vi så et eksempel på ovenfor. Det-te gjelder når speilene skjærer hverandre i en linje, og det er relativt enkelt å innse at nettopp skjæringslinjen blir rotasjonsaksen og at rota-sjonsvinkelen blir den dobbelte av vinkelen de to speilene danner med hverandre.

A'

B

Af

g

Figur �


Geometri

En slik dobbeltspeiling illustreres naturlig-vis best ved hjelp av to speil, et eksperiment de fleste av oss nok har utført foran baderoms-speilet – enten i bekymring over eget utseende eller i narsissistisk beundring (se også Kirfels artikkel om aktiviteter med speil i Tangenten nr 2/2002). I et speil som står i vinkel på bade-romsspeilet, et håndspeil for eksempel, kan man studere egen profil: Speilbildet av speilbil-det vårt viser oss sett fra siden. I hvilken vinkel kan vi regulere ved å forandre vinkelen mellom de to speilene.

Hva så med en rotasjon etterfulgt av en rotasjon? Jo, det blir fortsatt en rotasjon – iall-fall så lenge omdreiningsaksene treffer hveran-dre – men hvilken rotasjon er ikke så enkelt å finne ut, både aksen og omdreiningsvinkelen er kinkige å finne, men vi skal se at det hjelper å tenke på rotasjonene som sammensetningen av to speilinger.

For å få en viss følelse med problematikken, starter vi med å se på det tilsvarende plane pro-blemet. Vi tar for oss to rotasjoner av planet. En med pol i P og en med pol i Q. Den første dreier planet en vinkel f den andre q, og vi tenker oss den ene som sammensetningen av to speilin-ger, gjennom linjene N og M – i den rekkeføl-gen – og ditto for den andre, men der speiler vi gjennom linjene M og L. Ved å følge punktet s gjennom speilingene innser en at sammen-setningen av de to rotasjonene – som altså er suksesjonen av fire speilinger på rad, gjennom planene N, M, M og L – er sammensetningen av speilingen gjennom N og L. Og det er en ny ro-tasjon om punktet R som er skjæringspunktet mellom N og L, med vinkelen x, den dobbelte av vinkelen de to speilingslinjene danner med hverandre. Det er klart at x = 360° − f − q fordi vinkelsummen i en trekant er 180°.

I planet har vi altså full kontroll. Så hva med to rotasjoner i rommet? Prinsipielt kan det be-skrives på samme måten, men vi må erstatte den plane trekanten med en sfærisk trekant! Vi tenker oss en kule med sentrum i rotasjons-

aksenes skjæringspunkt, og skriver hver av rotasjonene som en sammensetning av to spei-linger. Vi kan arrangere det slik at ett av spei-lingsplanene er felles. De tre speilingsplanene skjærer ut storsirkler på kulen, og de avgrenser en figur som kalles en sfærisk trekant. Med litt innlevelsesevne kan vi bruke samme figur som i det plane tilfellet, bare vi tenker på papiret som del av kuleoverflaten og på M, N og L som storsirkelbuer. Igjen innser vi at sammenset-ningen av de to rotasjonene er ny en rotasjon – om aksen som planene N og L definerer.

Hva med vinkelen? Problemet er at vinkel-summen i en sfærisk trekant ikke lenger er lik 180°. At summen er større en 180° lar vi oss overbevise om – sfæriske trekanter ’buler’ – og overskuddet er faktisk lik arealet! Vi har der-for:

x/2 + f/2 + q/2 = 180 + A,

og for å finne x, må vi kjenne A. Det lar seg gjøre når vi kjenner vinkelen mellom rotasjons-aksene, men er en øvelse i sfærisk geometri som vi lar ligge.

Tilbake til terningen. Teller vi opp antall symmetrier den har, finner vi 48. Nøyaktig halvparten er rotasjoner – slik vil det alltid være, det er et generelt prinsipp – og de andre fordeler seg på 9 speilinger og 15 speilingsro-tasjoner

Tetraederet har 24 symmetrier og dodekae-dre 96. Oktaederet har, siden det er dualt til ter-ningen, akkurat de samme symmetriene som

Figur �

P Q

R

L

M

N

s

s'

s''x/2

/2/2

2005 tangenten�0

Geometri

terningen: Legger vi et oktaeder med hjørnene i terningsidenes midtpunkter, innser vi dette – enhver terningssymmetri må nødvendigvis flytte sidemidtpunker til sidemidtpunkter og følgelig oktaederhjørner til oktaederhjørner. Tilsvarende har dodekaederet og ikosaederet den samme symmetrigruppen fordi også de er duale.

En av de påfallende ting her i verden er at det bare finnes 17 symmetrityper et legeme kan ha. Seks av dem er de platonske symmetri-typene – seks og ikke tre, fordi enkelte legemer har en av de platonske rotasjonsgruppene som symmetrier, mens andre har de fulle gruppene – og de resterende 11 typene er mer hverdags-lige. Vi skal hverken liste opp de 17 typene el-ler gi beviset for at det er alle, men bare gi en ganske liten forsmak. Forhåpentligvis er det al-likevel en god pekepinn på hvorfor det er så få symmetrityper.

Tenk deg at et legeme har to rotasjons-symmetrier med forskjellige akser – en n-sym-metri og en m-symmetri. Sammensetningen er en ny rotasjon. La oss si at det er en k-sym-metri. De tre rotasjonsvinklene er altså 360°/n, 360°/m og 360°/k. Setter vi dette inn i formelen ovenfor, finner vi

180°/n + 180°/m + 180°/k = 180° + A > 180°,

altså

1/n + 1/m + 1/k = 1 + A/180° > 1.

Og denne ulikheten har svært få løsninger – n, m og k er jo hele tall! De er lette å finne. Løs-ningene blir 3, 5, 2 og 3, 4, 2 og 3, 3, 2 eller også 2, 2, n med n et vilkårlig heltall. De tre første tilsvarer dodekaedret, terningen og tetraederet, mens den siste tilhører en symmetritype som kalles dihedral og som vi ikke skal komme inn på her.

Historiens moral kan oppsummeres slik: Fordi vinkelsummen i en sfærisk trekant er større enn 180°, er det bare et begrenset antall forskjellige symmetrityper legemer kan ha – og

med litt ekstra innsats kan man altså vise at det er nøyaktig 17!

Noter � Strengt tatt forlanger vi litt mer: Hvis vi på to

forskjellige måter velger oss en sideflate, en kant på denne sideflaten og ett av hjørnene på kanten, så skal den ene side-kant-hjørne- konfigurasjonen kunne bringes over i den andre ved hjelp av rotasjoner og speilinger.

Referanser [�] Ellingsrud, G (�00�): Fra narrenes gull til det

gyldne snitt – om mønstre og polyedre, Tema-hefte i matematikk for videregående skole, Matematisk institutt, UiO.

[�] Ranestad, K (�000): Platonske legemer i klasse-rommet, Temahefte i matematikk for grunn- og videregående skole, Matematisk institutt, UiO.

Geometri


Frode Rønning

Tesselleringer med mer enn én flistype

InnledningI denne artikkelen skal vi se litt på hva som kan gå an å få til dersom vi vil lage tessellerings-mønstre (mosaikker, flatefyllinger, flismøn-stre) der vi bruker mer enn én flistype. Dette kan naturligvis gjøres på svært mange forskjel-lige måter, men dersom vi legger på noen krav (spilleregler), så viser det seg at det bare blir et relativt lite antall muligheter. Antall muligheter er stort nok til at det ikke er helt opplagt å finne alle, men samtidig lite nok til at det er overkom-melig å finne alle.

Arbeid med flatedekkende mønstre er en aktivitet som kombinerer kreativt arbeid og es-tetikk med utvikling av matematisk kunnskap. Det enkleste vi kan gjøre, er å arbeide med mønstre av én type regulære mangekanter. Da finner vi fort ut at det bare er den likesidede trekanten, kvadratet og den regulære sekskan-ten som kan brukes for å lage et flatedekkende mønster. Å se hva som går og ikke går her er en fin anledning til å undersøke hjørnevinklene i de ulike regulære mangekantene. Et kritisk moment er naturligvis å kunne få summen av alle vinklene som møtes i et hjørne til å bli 360

grader. Når vi forlater de regulære mangekantene,

blir tilværelsen med ett mye mer komplisert. Det finnes ingen generell måte å avgjøre om et gitt polygon vil fungere som grunnfigur for et tesselleringsmønster, men noe kan vi si. Det er ikke så vanskelig å innse at enhver sekskant som er rotasjonssymmetrisk 180 grader om et punkt inne i sekskanten, vil tessellere. Dette re-sultatet kan brukes til å vise følgende, kanskje litt overraskende resultat [4].

Enhver firkant kan være grunnfigur for et fla-tedekkende mønster.

A

B

CM

D

Figur �

Dette ser vi slik: Start med en vilkårlig firkant ABCD, og marker midtpunktet M på den ene sidekanten. Roter firkanten 180 grader om M, og vi får en sekskant som har M som symme-

Frode Rønning er professor ved Høgskolen i Sør-Trøndelag, [email protected]


Geometri

tripunkt. Denne sekskanten vil, etter det vi har sagt

ovenfor, tessellere, og da vil firkanten gjøre det også. Vi har dermed også vist at alle trekanter tessellerer, siden enhver trekant kan bygges ut til en firkant gjennom rotasjon om midtpunket på en sidekant.

Sekskantene med rotasjonssymmetri er ikke de eneste sekskantene som tessellerer, men det er kjent hvilke som gjør det, uten at vi skal gå nærmere inn på det her (se f.eks. [1]). For tre-kanter, firkanter og sekskanter er situasjonen altså ganske oversiktlig, og det er derfor inter-essant å bemerke at den langt fra er oversiktlig for femkanter. Det er lett å innse at den regu-lære femkanten ikke tessellerer, men det finnes en rekke femkanter, både likesidede og andre, som vil tessellere. Til dags dato er det så vidt jeg vet identifisert 14 ulike kategorier konvekse femkanter som kan være grunnfigur i en flate-fylling, men det er ikke kjent om disse 14 utgjør alle mulige. Det er altså mulig at det kan finnes uoppdagede flatefyllende femkanter! Den siste kategorien ble oppdaget så sent som i 1985 [1].

136 147

11279

66

Figur �

Femkanten i figur 2 er et eksempel på en flatefyllende femkant. Denne ble oppdaget i 1978 av en amerikansk amatørmatematiker, Marjorie Rice. Hun fant i alt fire av de 14 kategoriene som til nå er kjent. Tallene i figuren angir hjørnevinklene, og fire av de fem sidene er like lange. Prøv selv å lage flatefyllingen som denne femkanten gir opphav til.

Sentralt i arbeidet med tesselleringer er det å starte med en grunnfigur og så gjøre deforma-sjoner på denne på en slik måte at figuren frem-deles tessellerer. Dette bringer oss i retning av kunst som f.eks. M.C. Escher er kjent for. Vi skal ikke gå nærmere inn på dette her, men for en beskrivelse av slike deformasjonsteknikker viser vi til [3]. Arbeider av Escher som viser disse teknikkene i anvendelse finnes f.eks. i [5]. Videre finnes det mye stoff på Internett både om tesselleringer generelt og om Escher spesi-elt. Se f.eks. [6, 7].

To eller flere flistyperNår vi går over til å bruke to eller flere flistyper, kan situasjonen fort bli uoversiktlig. Vi skal derfor gjøre noen avgrensninger, og ut fra disse avgrensningene skal vi se på hvor mange mulig-heter vi kan få til. Dette kan vi se på som et spill der vi har blitt enige om visse spilleregler som vi må holde oss til når spillet skal gjennomføres. De spillereglene som vi her skal sette, er:

1. Flisene skal være regulære mangekanter med samme sidekantlengde

2. Flisene skal ligge kant mot kant3. Hvert hjørne skal være omringet av samme

slags fliser i samme rekkefølge

De to første kravene er på en måte nokså opp-lagte å stille, men ikke det siste. Derfor vil vi ofte oppleve at hvis noen setter i gang med å

Figur �

AB

C


Geometri

finne alle mulige slike tesselleringer, så vil de finne et mønster som ikke oppfyller det tredje kravet, og de ser ikke uten videre hva som er galt. Vi vil vise et eksempel som klargjør hva som menes med krav 3.

Mønsteret i figur 3 ser jo ut til å være en fin flatefylling av regulære trekanter og sekskanter, men ser vi litt nærmere etter, så ser vi at krav 3 ikke er oppfylt. Her er det tre ulike hjørnetyper. Hjørne A er omringet bare av sekskanter, mens hjørnene B og C er omringet av to sekskanter og to trekanter. Heller ikke B og C er samme slags hjørner, dvs. de oppfyller ikke krav 3. Dette er fordi sekskantene og trekantene ikke kommer i samme rekkefølge rundt hjørnene. I B har vi to sekskanter og deretter to trekanter, så vi kaller det et 6-6-3-3 hjørne. I C har vi derimot seks-kant og trekant annenhver gang, så det kaller vi et 6-3-6-3 hjørne. Det er altså slike muligheter som utelukkes gjennom krav 3.

En fin måte å undersøke hva som går an å få til med dette utgangspunktet, er å starte med maler av regulære mangekanter for så å se hvil-ke kombinasjoner som gir lovlige mønstre. Det kan være utfordring nok om en avgrenser seg til å dele ut maler av de mangekantene som fak-tisk kan inngå i lovlige mønstre. Det viser seg at de eneste mulige er 3-, 4-, 6-, 8- og 12-kanter. Før vi viser løsningen, skal vi se litt på hvordan vi kan resonnere oss fram til hvilke muligheter som går an. Krav 3 ovenfor gjør oss i stand til å sette opp en likning, og dermed vil de mu-lige løsningene på problemet være å finne blant løsningene til denne likninga, men det viser seg at vi også får løsninger av likninga som ikke er løsninger av flisleggingsproblemet.

En regulær n-kant kan deles opp i n – 2 trekanter. Derfor blir vinkelsummen i den regulære n-kanten 180(n – 2) grader, og hver hjørnevinkel blir da 180(n – 2)/n grader. Hvis vi tenker oss at hvert hjørne i mønsteret vårt er omringet av et visst antall (kall det r) regu-lære mangekanter, vil summen av alle vinklene rundt det hjørnet være en sum av r hjørnevin-

kler fra regulære mangekanter. Denne sum-men må bli 360 grader for at hjørnet skal fylles nøyaktig opp. Disse mangekantene kan godt (alle eller noen) være forskjellige, så vi sier at vi har r stykker n

i-kanter. Kravet om at summen

av alle hjørnevinklene fra disse mangekantene skal være 360 grader vil matematisk kunne skrives som

1802 360

1 nn

i

ii

r

( )- ==Â ,

som litt forenklet og omskrevet kan skrives som

1 2

21 n

r

ii

r

=Â = -

.

Tallet r kan ikke være større enn 6. Det svarer til 6 trekanter rundt et hjørne. Det kan heller ikke være så lite som 2 for da måtte en hjør-nevinkel være større enn 180 grader. Dermed behøver vi bare å undersøke r-verdiene fra 3 til 6 og se hvilke mulige n

i-verdier vi kan ha i lik-

ninga ovenfor. Husk at alle tall er positive heltall her. Det er derfor fullt mulig å gjøre dette, det tar bare litt tid. I tabellen nedenfor ser vi alle de aktuelle løsningene til denne likninga.

r Mulige hjørnetyper

� 3-3-3-3-3-3

� 3-3-3-3-6

3-3-3-4-4 3-3-4-3-4

� �-�-�-�� -�-�-��

�-�-�-� 3-6-3-6

�-�-�-� 3-4-6-4

4-4-4-4

� �-�-�� -�-�0

�-�-�� 4-6-12

�-�-�� 4-8-8

�-�0-�� -�-�0

�-��-�� -�-�


Geometri

Vi ser at vi her også har fått med de tre mulig-hetene med en flistype. De er skrevet i fet, ikke-kursivert skrift. Dessuten er det mange umulige løsninger. Vi skal ikke gå gjennom drøftingene som skiller ut de falske løsningene. Den som er interessert, kan selv prøve å resonnere seg fram til dem. Ellers viser vi til [4] der det finnes mer om dette. Det som er viktig i dette resonne-mentet, er kravet om at alle hjørnene skal være like.

Det viser seg at vi til slutt ender opp kun med de 8 mulighetene som er skrevet i fet kur-siv i tabellen.

�-�-�-� �-�-�-�

�-�-� �-�-�-�-�

�-��-�� -�-�-�-�

�-�-�� -�-�-�-�

De mønstrene som disse gir, er vist i figur 6. Illustrasjonen er hentet fra [1].

Penrose tesselleringTesselleringsmønstre, som de i figur 6, kjenne-tegnes ved at det er det samme mønsteret som gjentas. Med dette mener vi at dersom vi dekker hele mønsteret med en kopi av seg selv, så kan vi skyve denne kopien på en slik måte at den igjen vil dekke mønsteret under. Vi sier da at møn-steret er translasjonssymmetrisk eller periodisk. Et interessant spørsmål er om det kan gå an å lage tesselleringsmønstre som ikke er transla-sjonssymmetriske (ikke-periodiske), altså at uansett hvordan vi skyver den øverste kopien, så vil den aldri igjen kunne dekke det mønste-ret som ligger under. Vi skal her vise to eksem-pler på mønstre som har denne egenskapen, og som lages ved å bruke ganske enkle grunnfigu-rer. Det var den britiske matematikeren Roger Penrose som i 1974 var den første som fant et eksempel på polygoner som tessellerer kun på en ikke-periodisk måte. De to polygonene han brukte i sitt mønster (dragen og pilen), er vist i figur 4.

Det ene av disse, pilen, er et ikke-konvekst polygon, dvs. det ene hjørnet buler innover. Et annet eksempel, denne gang med to konvekse polygoner, ble funnet ganske kort tid etter. Dette er to romber (figur 5), og vi ser av hjør-nevinklene at de to parene er beslektet.

72

108

36

144

Figur �

Mange vil være kjent med det såkalte gylne snitt i geometrien. Vi sier at et linjestykke er delt i det gylne snitt dersom forholdet mellom den lengste og den korteste delen er lik forholdet mellom hele linjestykket og den lengste delen. Dette kravet gir et helt bestemt tall for forhol-det mellom de to delene. Den nøyaktige ver-dien for dette tallet (som ofte betegnes med j) er ( )/1 5 2+ som er tilnærmet lik 1,6. Dette tallet dukker opp mange steder i geometrien, bl.a. som forholdet mellom diagonalen og side-kanten i den regulære femkanten. (Se f.eks. [2] for mer om det gylne snitt.) Det er derfor inter-essant å bemerke at det gylne snitt også dukker opp i figurene ovenfor. I både dragen og pilen er forholdet mellom den lengste og den korteste sidekanten lik j. I romben til venstre i figur 5 er forholdet mellom den lengste diagonalen og sidekanten lik j, og i romben til høyre er forhol-det mellom den korteste diagonalen og sidekan-ten lik 1/j. Dette skal vi begrunne nedenfor.

72

1447272

72

144

Figur �

Geometri


Geometri

I figur 7 ser vi en regulær femkant der den ene diagonalen er tegnet inn. Den trekanten som da skjæres av på toppen, finner vi igjen i rom-ben vist til høyre når vi trekker den lengste dia-gonalen. Dermed er det klart at når forholdet mellom diagonalen og sidekanten i femkanten

er lik j, så må det samme være tilfelle i romben. Hvis vi trekker BP slik at vinkelen BPC blir 72 grader, vil trekanten PBC bli likebeint (to vin-kler på 72 grader). Trekanten ABP får to vinkler på 36 grader, og er dermed også likebeint. Hvis vi setter AB = 1, så blir AC = j, og dermed blir

Figur �


Geometri

BP = AP = j – 1. Husk at PC = BC = 1. Tallet j har den egenskapen at j – 1 = 1/j. Dermed har vi vist at BP = 1/j. Vi ser ut fra vinklene at BP tilsvarer den korteste diagonalen i den an-dre romben, så da har vi også vist at forholdet mellom denne diagonalen og sidekanten er lik 1/j. Ved tilsvarende betraktninger kan vi se hvordan j dukker opp i dragen og pilen.

I figur 8 ser vi hvordan et ikke-periodisk mønster basert på de to rombene tar seg ut. Illustrasjonen er hentet fra [1]. Legg merke til at mønsteret gir en illusjon av en femkantsym-metri. På en måte kan vi si at dette er det nær-meste vi kan komme en tessellering med regu-lære femkanter. Vi ser den femtakkete stjerna flere steder, men ser vi nøye etter rundt den, så ser vi at hver gang er mønsteret i nabolaget litt forskjellig. Stoff om Penrose-tessellering kan en også finne på Internett. På nettstedet [9] lig-ger det et program der man selv kan lage seg et Penrose-mønster ved å bruke de to rombene. Nettstedet [8] inneholder en del lenker til mer stoff om Penrose-mønster.

36

108

108

7236

A B

C

P

Figur �

Figur �

Referanser[�] Keith Devlin, Mathematics – The Science of Pat-

terns, Scientific American Library, ��[�] Christoph Kirfel, Hans-Jørgen Brucker og Olga

Herbjørnsen, Matematiske sammenhenger – Geometri, Caspar forlag ��

[�] Christoph Kirfel og Grethe Nina Hestholm, Flise-spikkeri, Tangenten nr. �, ��, s. �0–��

[�] George E. Martin, Transformation Geomtetry, Springer Verlag, ��

[�] The Magic of M.C. Escher, M.C. Escher Founda-tion, Thames & Hudson Ltd., �000

[�] http://www.coolmath.com/tesspag�.htm [�] http://www.WorldOfEscher.com/[�] http://turing.mathcs.carleton.edu/penrose/[�] http://www.geocities.com/SiliconValley/

Pines/��/Penrose.html

Geometri


Konstruer trekanten ABC med a = 5 cm, b = 7 cm og ∠C = 71°.

Slik kunne en tradisjonell oppgave i geome-tri fortone seg. Oppgaven er ikke vanskeligere enn at en sjette- eller sjuendeklassing ville hatt muligheter for å klare den.

Spør vi derimot om å beregne de manglende størrelsene i trekanten og ikke bare om en kon-struksjon blir oppgaven straks vanskeligere. En måte å løse problemet da er å gå veien om den utvidete Pytagoreiske setningen eller cosinus-setningen. Denne tillater beregningen av leng-den av den tredje siden i trekanten dersom to sider har kjent lengde og den mellomliggende vinkelen er gitt.

Ved hjelp av den utvidete pytagoreiske set-ningen kan vi altså finne sammenhenger mel-lom vinkler og sider i en vilkårlig trekant. På figur 1 har vi delt opp siden a som vist.

Dersom vi nå bruker Pythagoras setning på trekantene DADB og DACD, finner vi:

x b y2 2 2= - og x c a y2 2 2= - -( ) .

Til sammen gir det

c b y a y a b ay2 2 2 2 2 2 2= - + - = + -( )

og siden y = b cos C får vi

c a b ab C2 2 2 2= + - cos ,

også kalt cosinussetningen.Vi ser at dersom ∠ C = 90°, blir cos C = 0 og

vi får Pythagoras’ setning. Derfor kalles sam-menheng også for Pythagoras’ utvidede setning. Man regner ikke med at denne sammenheng var kjent for Pytagoras men at den ble oppda-get mye senere.

Tom Cato Seeberg, Christoph Kirfel

Den utvidede pythagoreiske setningen Sett i historisk lys

Figur �

A

ab

c B

D

C

x

a – y

y

Christoph Kirfel er førsteamanunsis ved Universitetet i [email protected] Cato Seeberg er førsteamanuensis ved Høgskolen i [email protected]


Geometri

Araberne overtok matematikken fra greker-ne og utviklet den videre. Vi skal derfor vise en uhyre interessant setning av den arabiske geo-

meter Tabit ibn Qurras (836–901 e.Kr.). Hans setning går egentlig videre enn Pythagoras set-ning, for så vidt som den gjelder for enhver tre-kant. Den inneholder Pythagoras setning som et særtilfelle.

Thabit Ibn Qurras setningTrekanten ABC (figur 2) er en helt vilkårlig tre-

kant med ∠ C < 90° .Vi avsetter linjestykket CE slik at

∠ ACB = ∠ BEC.Dermed har vi to formlike trekanter ACB og

CEB og vi kan skrive:

e/a = a/c eller a2 = ec.

Kvadratet over siden a svarer altså til rektangelet med sider c og e.

På samme måte kan vi sette av punktet F på AB slik at ∠ ACB = ∠ AFC :Dermed har vi igjen to formlike trekanter: DACB ≈ DCFA og vi kan skrive:

Figur �

A

C

BE

c

b

e

a

Figur �

A

C

BF

c

b a

f

Figur �

A

C

BE

c c

b

e

e

a

a

a

a

Figur �

A

C

BF

c

b

a

a

af

2d ec


Geometri

f /b = b/c eller b fc2 = .

Kvadratet over siden b svarer altså til rektangelet med sider c og f.

Setter vi figurene sammen ser det ut som på figur 5 og vi kan skrive:

a b c e f c dc2 2 2 2+ = + = +( ) .

Her er 2d bredden av det overlappende rektange-let. Vi ser lett at d = l·cos C siden ∠BEC = ∠ACB. Her er l lengden av linjestykket CE. Ved å

utnytte formlikheten mellom DABC og DEBC

en gang til får vi nemlig l

a

b

c= eller l · c = a · b.

Til sammen gir dette

a b c dc

c lc C

c ab C

2 2 2

2

2

2

2

2

+ = +

= +

= +

cos

cos

eller

a b ab C c2 2 22+ - =cos

som er identisk med Pythagoras’ utvidede set-ning. Fordelen med Thabit Ibn Quarra’s frem-stilling er at ”fradraget” 2ab cos C her får en geometrisk tolkning som et overlappende rek-tangelareal.

Dersom ∠C > 90°, blir argumentasjonen noe annerledes. Fradraget blir her et tillegg. Forme-len blir den samme siden cosinus til en vinkel mellom 90° og 180° er negativ. Resten av frem-stillingen er nokså lik.

A B’ C’ B

C

2005 tangenten�0

Per Hag og Sverre O. Smalø

Kjeglesnittenes refleksjonsegenskaper

I læreplanen for grunnkurset i videregående skole (R94) står det følgende: «Elevene skal kjenne til kjeglesnittene og deres rolle i utvik-lingen av vårt verdensbilde og kunne gjøre rede for noen praktiske anvendelser av kjeglesnit-tene.»

Vi skal her konsentrere oss om noen anven-delser av kjeglesnittene, nærmere bestemt visse nyttige aspekter ved refleksjonsegenskapene til de forskjellige kjeglesnitt. Man vet at allerede antikkens store geometer, Apollonius (262–190 f.Kr.) kjente til visse av disse refleksjonsegen-skapene. Og når vi dertil minner om at bl.a. parabolantennen baserer seg på parabelens refleksjonsegenskap, skulle man kunne sette disse spørsmål inn i et enestående historisk perspektiv. Vi skal imidlertid i denne artikkel unnlate å ta opp denne historiske utvikling for i stedet å kunne bruke mer plass på anvendelse-ne, men først og fremst for å kunne presentere eksakte begrunnelser for refleksjonsegenskape-ne hos de forskjellige kjeglesnitt. Mange artige observasjoner og konstruksjoner i forbindelse med kjeglesnitt kan gjøre matematikktimene

levende og spennende for elevene. Men når nysgjerrigheten først er vekket, bør elevene også få svar på de spørsmål de stiller seg. Her er man jo ved fagets egentlige kjerne! Eksperi-mentering og observasjoner leder til det fun-damentale spørsmål: «Men hvorfor er det nå egentlig sånn?»

Geometrisk definisjon av kjeglesnittSom de fleste leserne vet, kan kjeglesnittene ellipse, parabel og hyperbel defineres på flere måter, både geometrisk uten kartesiske koordi-nater og analytisk med kartesiske koordinater. Vi skal her nøye oss med å minne om en spesiell type geometrisk definisjon som er mest praktisk for vårt formål i det etterfølgende.

(i) Ellipse (Figur 1) La P og Q være to faste punk-ter i planet og la k være et fast tall som er større enn avstanden mellom P og Q. Samlingen av de

Per Hag er førsteamanuensis ved [email protected]

Sverre O. Smalø er professor ved NTNU. [email protected]

Figur �


Geometri

punkter i planet der summen av avstandene til P og Q er lik k kalles en ellipse. Hvis vi lar P og Q falle sammen blir dette en sirkel med radius k/2. P og Q blir kalt ellipsens brennpunkter.

(ii) Parabel (Figur 2) La P være et fast punkt og s en fast linje i planet slik at P ikke ligger på s. Samlingen av de punkter som har samme avstand fra P som fra s kalles en parabel. (Husk at avstanden fra et punkt X til en linje er leng-den av normalen fra X ned på linjen.)

P kalles brennpunktet og s styrelinjen til parabelen.

(iii) Hyperbel (Figur 3) La P og Q være to faste punkter i planet og la k være et fast tall mindre enn avstanden mellom P og Q. Samlingen av

de punkter i planet som er slik at avstanden til P minus avstanden til Q er lik k er en gren av en hyperbel. Samlingen av de punkter slik at avstanden til Q minus avstanden til P er lik k utgjør den andre grenen av hyperbelen. P og Q blir kalt hyperbelens brennpunkter.

Bretting og refleksjonsegeskaperI det etterfølgende vil vi betegne avstanden mellom to punkter A og B i planet med |AB|.

(i) Ellipse Vi starter med en sirkel med sentrum P og radius r og lar Q være et fast punkt innenfor sirkelen. Vi tenker oss at vi bretter planet langs en linje t på en slik måte at Q faller på sirkel-periferien. I figur 4 faller Q etter brettingen på punktet Y. Vi lar så skjæringspunktet mellom radien PY og brettelinjen t betegnes med X. Vi merker oss nå at t blir midtnormalen på linje-stykket QY, og at derfor

|XY | = |XQ|.

Dette gir

|PX | + |QX| = |PX| + |XY| = r.

Altså vil X ligge på en ellipse med P og Q som brennpunkter som antydet på figur 4.

Figur �

Figur �

Figur �


Geometri

Figur �

Like viktig er det å merke seg at brettelin-jen t blir tangenten til denne ellipsen i punktet X. (Det er jo dette faktum som gjør at elevene vil oppdage at det framkommer en ellipse når mange slike brettinger foretas.) For å se dette, er det nok å vise at alle punkter X’ π X på t vil oppfylle

|PX’| + |QX’| > r.

I så fall vil nemlig alle punkter på t ligge utenfor ellipsen, untatt punktet X, noe som vi-ser at t er tangenten til ellipsen i X. At denne ulikheten holder insees ved å betrakte figur 5 og la X’ være et punkt på t forskjellig fra X. Da vil summen av lengden av siden PX’ og av siden X’Y i trekanten PX’Y være større enn leng-den av siden PY og siden |X’Y | = |QX’| får vi da

|PX’| + |QX’| > |PY | = r.

Vi kan dessuten slutte at vinklene a og b er like siden a er like stor som g da de er toppvinkler, og g er like stor som b da X ligger på midtnor-malen til linjestykket QY. Av dette følger at nor-malen n til t i X halverer vinkelen – PXQ.

Denne siste observasjonen har viktige kon-sekvenser. Fra fysikken vet vi at lys reflekteres fra et speil slik at innfallsvinkel er lik utfalls-

vinkel (i forhold til normalen i punktet). Dette prinsippet gjelder også for andre typer strå-ler/bølger enn det synlige lys. Man kan tenke seg at den ellipsoiden som framkommer ved at ellipsen roteres om hovedaksen (aksen gjen-nom P og Q) belegges med et reflekterende stoff på innsiden. Enhver stråle fra brennpunk-tet P vil da i følge den fysiske lov nevnt ovenfor, reflekteres og gå gjennom det andre brenn-punktet Q. Denne egenskapen utnyttes i mo-derne medisinsk teknologi på følgende måte. En pasient som lider av nyrestein plasseres i et vann-fylt kar som har form som en rotasjons-ellipsoide med nyresteinen nøyaktig i det ene brennpunktet. En ultralydgenerator plasseres i det andre brennpunktet, og denne sender ut en kraftig ultralydbølge som da fokuseres etter refleksjon nøyaktig der nyresteinen ligger. Nyresteinen pulveriseres uten at vevet omkring skades, og pasienten unngår en komplisert og smertefull operasjon.

(ii) Parabel Vi starter nå med en rett linje s og et punkt P som ikke ligger på s. Vi bretter planet langs en rett linje t slik at P faller i et punkt Y som ligger på s. Vi reiser opp normalen på s i Y og får skjæringspunktet X mellom denne normalen og linjen t. Vi påstår nå at X ligger

Figur �


Geometri

på parabelen med styrelinje s og brennpunkt P. Avstanden mellom X og s er lik avstanden mellom X og P da trekanten YXP er likebent med YP som grunnlinje.

Videre påstår vi at linjen t blir tangenten til denne parabelen i punktet X. Dette innses da ethvert punkt X’ på t har samme avstand til Y som til P, mens avstanden fra X’ til s er mindre enn eller lik avstanden fra X’ til Y med likhet bare når X’ = X. Altså vil t ligge på «utsiden» av parabelen. Se figur 6.

Vi skal nå se på refleksjonsegenskapene til para-belen. Siden trekanten XYP er likebeinet er vinklene a og b på figur 7 like store, noe som igjen medfører at b = g. Dermed følger det at en linje parallell med aksen danner samme vinkel med normalen n i X som linjesegmentet XP.Hvis man roterer parabelen om aksen får man en paraboloide. Belegges denne på innsiden med et lag som reflekterer en viss type stråler, vil en stråle som kommer inn parallelt med aksen reflekteres og gå gjennom brennpunktet P. Dette utnyttes i teleskoper og parabolantenner der kilden (stjernen/ senderen) er så langt borte at strålene som treffer det parabolske «speilet» er tilnærmet parallelle. Dermed får man samlet alle stråler i brennpunktet P. Omvent kan man plassere en lyskilde (sender/generator) i P og få lysstråler (bølger) som reflekteres og går ut

parallelt med aksen. Dette er utnyttet i forskjel-lige typer lyskastere (radiolinker).

(iii) Hyperbel Vi starter nå med en sirkel s med sentrum P og radius r og et punkt Q på utsiden av sirkelen. Det er nå to tangenter til sirkelen som går gjennom Q. La Z og Z’ være tange-ringspunktene på sirkelen til disse to tangen-tene. Disse to punktene deler sirkelen s i to buer s

n , den nærmest Q, og s

f , den lengst borte fra Q.

Vi bretter nå planet (arket) langs en linje t slik at Q faller i et punkt Y på sirkelen i s

n. Forlen-

gelsen av diameteren PY treffer t i et punkt X. Vi vil nå bevise at alle X som framkommer på denne måten utgjør den ene grenen av en hyper-bel med P og Q som brennpunkter. Videre skal vi vise at t blir tangenten gjennom X til hyper-belgrenen.

Brettelinjen t blir som før midtnormalen til linjestykket QY. Se figur 8.

Følgelig er

|YX | = |QX|.

Men vi har dessuten at

|YX | = |PX| – r,

og dermed får vi at

|PX | – |QX| = r

Figur �

Figur �


Geometri

for alle slike X. Derfor ligger X for alle mulige slike brettinger på den ene hyperbelgrenen til hyperbelen med brennpunkter P og Q der dif-ferensen i avstand er bestemt av r. Helt analogt får vi den andre hyperbelgrenen dersom vi bret-ter langs en linje slik at Q faller på Y i s

f. (Den

observante leser ser sikkert at det ikke fram-kommer noe punkt X dersom Q brettes over i Z eller Z’. Brettelinjen blir i disse tilfellene de to asymptotene til hyperbelen, noe vi skal komme tilbake til siden.)

Fra figur 9 får vi som før at dersom Y ligger på s

n, vil ethvert punkt X’ på t forskjellig fra X opp-

fylle

|PX’| < |PY| + |YX’| = r + |QX’|,

som gir

|PX’| – |QX’| < r.

Av dette innsees at X’ ligger på «utsiden» av denne hyperbelgrenen. En rett linje som har eksakt et punkt felles med hyperbelen men ikke skjærer denne, er en tangent til hyperbe-len i punktet. Et tilsvarende resonnement som for ellipsen og parabelen gir nå at vinklene q og s på figur 9 blir like store og at a og b er like store. Følgende refleksjonsegenskaper gjel-der derfor for en rotasjonshyperboloide fram-kommet ved å rotere den ene hyperbelgrenen

om aksen gjennom brennpunktene. En stråle som treffer hyperboloiden slik at forlengelsen ville gå gjennom P, reflekteres og går gjennom Q. Tilsvarende, en stråle som treffer hyperbo-loiden slik at forlengelsen ville ha gått gjennom Q, reflekteres og går gjennom P.

Denne refleksjonsegenskapen utnyttes i kombinasjon med refleksjonsegenskapen til parabelen på følgende elegante måte. Man har i utgangspunktet en refleksjonsflate med form som en rotasjonsparaboloide. For å kunne ana-lysere bilder fra fjerne objekter på en praktisk måte plasseres en rotasjonshyperboloide med reflekterende flate på utsiden inne i paraboloi-den slik at det ene brennpunkt i hyperboloiden faller sammen med brennpunktet i paraboloi-den og det andre brennpunktet i topp-punktet til paraboloiden (se figur 10 der parabelen har styrelinje s og brennpunkt Q mens hyperbe-len har brennpunkter P og Q). Lysstråler som kommer inn parallelt med aksen, reflekteres først i retning av brennpunktet Q, treffer utsi-den av hyperboloiden og reflekteres mot det andre brennpunktet P som er topppunktet i paraboloiden. Fokusering i P byr på opplagte praktiske fordeler framfor fokusering i Q som ligger inne i paraboloiden. Lages for eksempel et hull ved P og en skjerm bak P, kan lyssterke bilder av fjerne objekter dannes på skjermen. Dette prinsippet brukes i telelinser.

Konstruksjoner vha. passer og linjalDe alternative beskrivelser av hyperbel og ellipse som er gitt ovenfor samt den klassiske defini-sjon av parabel som også er behandlet foran, gir opphav til morsomme konstruksjoner vha. passer og linjal.

Vi skal her bare se på hyperbelen (se figur 11). Starter vi med punktene P og Q og sirkelen med radius r sentrert i P kan vi konstruere den ene hyperbelgrenen punkt for punkt på følgen-de måte. De to tangenten til sirkelen gjennom Q deler sirkelen i to delbuer s

n nærmest Q og s

f

lengst borte fra Q. La l være en stråle (dvs. en

Figur �


Geometri

halvlinje) fra P som skjærer sirkelen s i et punkt Y på s

n, (se figur 11). Vi konstruerer så et punkt

X på denne stråle ved å finne skjæringspunktet mellom midtnormalen t til linjestykket YQ. Da blir

|YX | = |XQ|,

og X må ligge på den ene hyperbelgrenen som påstått.

Men hva om t og l er parallelle? Betrakt da figur 12.

I dette tilfellet vil l åpenbart angi retningen for den ene asymptoten til hyperbelen. Siden M er midtpunkt på linjestykket ZQ, blir C midt-

punkt på linjestykket QP siden l og t er paral-lelle. Dermed følger det at t blir den asympto-ten vi nettopp omtalte.

Det ovenstående må ikke oppfattes dithen at linjen l som bestemmes av strålen l ikke inne-holder noe punkt på hyperbelen. Hvis vi nem-lig forlenger linjen l til skjæring Y ’ med sirkelen s, får vi et skjæringspunkt X mellom midtnor-malen m’ til QY’ og l (se figur 12). Dette punk-tet X ligger på den andre hyperbelgrenen fordi vi har:

|XY’| = |XQ|.

Av dette følger at

|XQ | – |XP| = |XY’| – |XP| = r.

Konstruksjonen gir automatisk den andre asymptoten t ’ til hyperbelen på tilsvarende måte. Detaljene her overlates til leseren.

De gjenstående tilfeller, ellipsen og parabe-len, skulle det nå være lett å gjennomføre uten nærmere instruksjon.

Referanser[�] Hag, P. og Smalø, S.O, Kjeglesnittenes

refleksjonsegenskaper, Preprint, Math. �/�000, NTNU.

[�] Yates, R. C, Folding the conics, Amer. Math. Monthly. �0 (��), ��–��0.

Figur �0

Figur ��

Figur ��


Begrepet dimensjon er kjent for de fleste av oss. Vi sier at et linjestykke eller en kurve er et endi-mensjonalt objekt. En trekant, en sirkel eller en ellipse oppfatter vi som todimensjonale objek-ter. Romlegemer som pyramider, kjegler eller terninger omtaler vi som tredimensjonale.

Begrepene er nokså innarbeidet og vi ser verde-nen vi lever i som et tredimensjonalt univers. Noen har kanskje hørt at man i fysikken snak-ker om den fjerde dimensjon som tiden. Fore-stillingsevnen vår rekker imidlertid ikke så langt at vi kan begripe denne fjerde dimensjonen. At matematikere av og til snakker om femdimen-sjonale eller til og med syttendimensjonale rom

virker egentlig bare sprøtt eller irriterende, men at de nå også har begynt å prate om 1,5- dimen-sjonale eller 2,3-dimensjonale objekter, altså at man rett og slett også kan få brøker som dimen-sjon synes å være toppen!

La oss ta en nærmere titt på hva vi mener med begrepet dimensjon. Etter å ha valgt et fast punkt O på en linje kan vi beskrive et hvil-ket som helst annet punkt på denne linjen ved hjelp av ett eneste tall, avstanden fra det valgte utgangspunktet.

0 1 2 3 4 5 6 7

I planet kan vi beskrive posisjonen til et hvert punkt ved hjelp av to koordinater som repre-senterer henholdsvis avstanden fra x-aksen og y-aksen.

x

y

Christoph Kirfel

Fraktaler

Christoph Kirfel er førsteamanuensis ved Universitetet i [email protected]


Geometri

Dersom vi skal angi et punkt i det tredimensjo-nale rommet, trenger vi i tillegg til de to koor-dinatene fra planet en opplysning til, nemlig ”høydeangivelsen”, z-koordinaten.

x

y

z

Det ser altså ut til at vi trenger en koordinat for å beskrive endimensjonale objekter, to koordi-nater for å beskrive todimensjonale objekter og tre koordinater for å beskrive tredimensjonale objekter. Antall dimensjoner er altså lik antall nødvendige koordinater. Men hva så med 1,5- dimensjonale objekter? Skulle det bety at vi her trenger halvannen variabel til å beskrive figu-ren? Det gir selvfølgelig ingen mening. Vi må ta utgangspunkt i en annen og mer spennende tolkning av dimensjonsbegrepet. Denne tolk-ningen starter med at vi ønsker å ”måle” våre objekter i rommet. Måleutstyret vårt er nokså primitivt, vi har ikke noe annet til rådighet enn små terningformete bokser av forskjellige størrelser.

Vi begynner med et linjestykke og skal ”måle” det flere ganger. Når vi ”måler” forsøker vi å dekke linjestykket. Vi er interesserte i å få klossene til å bli en figur som nærmer seg linje-stykket. I hver måling bruker vi bare en type bokser og for hver ny måling bruker vi bokser av mindre størrelse. Da kan vi håpe at vi klarer å dekke vårt linjestykke bedre og bedre.

Den store boksen dekker selvfølgelig linje-stykket men den er altfor stor. Altfor mye av volumet i boksen går til spille og er overflødig for å dekke figuren (linjestykket).

De to boksene der sidelengden bare er halvpar-ten av den første dekker fortsatt linjestykket, men denne gangen er det overskytende volumet atskillig mindre.

Fire bokser av en fjerdedels sidelengde til den aller første terningen gjør jobben enda bedre og vi kan lage oss en liten tabell (tabell 1). I den første kolonnen noterer vi hvor mange deler

Antall biter sidelengden er

delt i

Antall terninger som trengs

a b

��

��

Tabell �

Tabell �

Antall biter sidelengden

er delt i


a b a2

��

��

��

��


Geometri

vi har delt sidelengden av den opprinelige ter-ningen i. I den neste kolonnen skriver vi hvor mange terninger som er nødvendige til å dekke objektet. Vi ser at tallene i begge kolonene er like, altså

a = b.

Saken blir litt annerledes når vi studerer et kva-drat i stedet for et linjestykke.

Her begynner vi igjen med en kube som dekker kvadratet. Deretter prøver vi å dekke kvadratet med kuber hvis sidelengde bare er halvparten av den første. Vi trenger nå fire slike kuber. Lager vi oss enda mindre kuber hvis sidelengder er en fjerdedel av den opprinnelige så trenger vi alle-rede 16 småterninger for å dekke figuren vår. Slik kan vi fortsette.

En titt på tabell 2 forteller oss at det nå ser litt annerledes ut enn for linjestykket.

Vi ser at antall småterninger b er kvadratet a2 av delingstallet a. Eksponenten, altså tallet 2 blir da dimensjonen til objektet, i dette til-fellet kvadratet. I den første undersøkelsen vi gjorde fant vi a = b eller a = b1. Også her svarer eksponenten til dimensjonen av objektet. Det er ingen kunst å utvide dette dimensjonsbegre-pet til romlegemer. Tar vi for oss en kube og dekker den med mindre og mindre småkuber får vi tabell 3.

Igjen svarer dimensjonen av objektet til ek-sponenten, altså her tallet tre.

Hittil ser det ikke ut til at vi har gjort noe revolusjonerende nytt, men vi skal se at denne nye tolkningen av dimensjonsbegrepet har helt uante konsekvenser og vi kan beregne dimen-sjonen til figurer som er nokså rare.

La oss se på følgende raritet, det såkalte Sier-pinski-teppet. Vi starter med et kvadrat. Så de-ler vi kvadratet i ni mindre kvadrater og fjerner det midterste av dem. I neste omgang fjernes midtstykket i de åtte gjenværende kvadrater. Slik fortsetter vi i det uendelige. Sierpinski-teppet er “sluttfiguren” som står igjen når vi er


delt i


a b a3

��

��

��

��

��

Tabell �


er delt i


a b ad

��

��

��

��

��

Tabell �


Geometri

“ferdig” med fjerningen av alle midtstykkene.

Selvfølgelig kan vi ikke tegne selve Sierpinski-teppet. Det ville jo ta uendelig lang tid. Men

gjennom figurene ovenfor får vi en ide om hvor-dan teppet vil se ut.

Et første interessant spørsmål er hvor stort flateinnhold Sierpinski teppet har i forhold til grunnkvadratet. Dette spørsmålet kan vi an-gripe på følgende måte: Når vi har fjernet det første midtkvadratet står vi igjen med 8/9 av grunnkvadratet. Når vi deretter fjerner de åtte småkvadratene står vi igjen med 8/9 av det siste osv. I hvert steg ganges arealet med 8/9. Det be-tyr at det gjenværende arealet går mot null og sluttresultatet, Sierpinski-teppet, har altså ikke noe areal.

Skjelettstrukturen som står igjen etter at all utklipping er avsluttet er et meget rart mate-matisk fenomen. Det har ikke noe flateinnhold er altså ikke todimensjonalt men det har hel-ler ikke strukturen av et linjestykke, dvs. det er ikke endimensjonalt heller. Hva er dimen-sjonen til Sierpinski-teppet da? Vi bruker må-lingsmetoden vår fra de to tidligere eksemplene. Først dekker vi teppet med en kube. Da dekker vi tydeligvis for mye. Bruker vi så mindre ku-ber til overdekking kan vi være mer eksakte. Det er enklest å bruke kuber der sidelengdene er en tredjedel av den opprinnelige. Vi trenger åtte slike. Fortsatt dekker vi for mye. Vi deler sidelengden på nytt i tre og fortsetter proses-sen. Dermed får vi den samme tegningen som konstruksjonen av selve Sierpinski-teppet og tilhørende tabell (tabell 4).

Spørsmålet er nå: Hva er dimensjonen til Si-erpinski-teppet? Holder vi oss til samme regel

Tabell �


er delt i


a b ad

��

��

��

��

2005 tangenten�0

Geometri

som før, så må vi finne et tall d slik at b = ad i vår tabell. Oppgaven er altså å finne et tall d som oppfyller 8 = 3d, 64 = 9d osv. En ser fort at tallet må være mindre enn to. Ved hjelp av en kalkulator finner vi at

d = = =

log

log

log

log,

8

3

64

91 8928 .

Vi kan kontrollere dette ved å beregne: 31,8928, 91,8928

osv. og får tallene 8, 64 osv. Vi sier derfor at Sierpinsky-teppet har dimensjon d = 1,8928. Tydeligvis er ikke dimensjonen noe heltall og vi har funnet det første eksempelet på en fraktal.

Et annet eksempel som vi nå kan klare uten videre er en variant av Sierpinski-teppet. Et kvadrat deles inn i 25 like store delkvadrater. Fire av dem fjernes slik som i tegningen. I neste trinn underkastes de gjenværende småkvadra-tene den samme prosedyren. Først deles de i 25 og så fjerner man 4 av disse 25. Slik fortsetter man i det uendelige. Sluttfiguren er en ny frak-tal.

På samme måte som ved det opprinnelige Sier-pinski-teppet kan vi raskt se at arealet må være null. I hvert trinn reduseres nemlig arealet. Endringsfaktoren blir 21/25. Gjøres dette mange ganger nærmer resultatet seg null slik at heller ikke denne varianten av Sierpinski-teppet har noe areal. For å beregne dimensjonen setter vi igjen opp tabellen vår (tabell 5).

Nå er det ingen sak å finne dimensjonen. Den er

d = = =

log

log

log

log,

21

5

441

251 8917

Figuren har en litt mindre dimensjon enn den første. Den er mindre tett enn den første, noe som stemmer godt med vår intuisjon.

Den meste kjente Sierpinski-figuren er imidlertid Sierpinski-trekanten. Vi starter her med en trekant. Vi markerer midtpunktene på sidene og trekker opp deres forbindelseslinjer. Dette gir oss en ny trekant i midten som vi ten-ker oss klipt ut. Vi står igjen med de tre ytter-ste småtrekantene og deler disse etter samme mønster. Vi river så å si ut hjertet på hver av trekantene og får dermed tre mindre sådanne som vi igjen river ut hjertet på. Slik fortsetter vi i det uendelige.

Arealet multipliseres med faktor 3/4 i hver omgang slik at sluttresultatet blir null også her


delt i


a b ad

��

��

��

��

Tabell �


Geometri

og Sierpinski-trekanten har ikke noe areal.Når vi ønsker å måle dimensjonen av Sier-

pinski-trekanten lønner det seg å operere med trekanter i stedet for kvadrater. En stor trekant dekker hele figuren. Tre trekanter av halv side-lengde dekker fortsatt figuren. Ni småtrekanter av en fjerdedels sidelengde dekker stadig vekk figuren osv. Tabellen vår blir nå tabell 6. For dimensjonen har vi nå

d = =log

log,

3

21 5850

Dette er altså den ”luftigste” av våre fraktaler siden dimensjonen er minst.

Men forekommer fraktalene bare i mate-matikken eller kan vi også finne dem i levende livet? Fraktaler forekommer faktisk i veldig mange sammenhenger og vi skal bare nevne noen få. Geologene er opptatt av forskjel-lige porøse bergarter i jordskorpen. Disse kan inneholde olje og oljen kan strømme gjennom dem. Det er stor forskjell på bergartene og de-res gjennomstrømningsevne. En måte å forstå bergartene på er å oppfatte dem som fraktaler og måle den fraktale dimensjon slik vi har gjort tidligere. Nedenfor ser vi et bilde1 av forskjellige forstørrelser av en bergart. I hver forstørrelse er det ofte omtrent samme forhold mellom ”tom-rom” og ”utfylt rom” Bruker vi vår metode til å beregne dimensjonen ved å se på mindre og mindre biter av bergarten, vil det si at vi måler diameter og massen til bitene og beregner loga-ritmene. Forholdet mellom disse logaritmene gir oss dimensjonen. Har vi mange målinger kan vi plotte verdiene i et koordinatsystem. Punktene vil tilnærmelsesvis ligge på en rett linje. Stigningen til den linjen som approksi-merer målepunktene best gir oss dimensjonen.

Dimensjonen kan på den andre siden fortelle oss noe om porøsiteten og dermed gjennom-strømningsegenskapene til materialet som igjen er en viktig fysisk størrelse og kan avgjøre om et oljefelt er lønnsomt eller ei.

Andre eksempler på fraktalenes naturlige forekomst er skyformasjoner, snøkrystaller, bregner og mange andre vekster. Datamaski-nens fremvekst har gjort fraktalene meget po-pulære fordi det er så lett å lage tegninger av dem.

Noter� Bildet er tatt fra boken ”Fra matematikkens

spennende verden”, Norsk Matematikkråd, Tapir Forlag (��). I denne boken finner du også en atskillig mer utførlig og eksakt fremstil-ling av temaet ved Tom Lindstrøm.


InnledningProgramvare for avansert matematisk symbol-manipulasjon har funnet veien inn i både lom-meregnere, PDA-er og datamaskiner. Teknolo-gien rykker stadig nærmere klasserommet, og det må vi forholde oss til. Som et forsøk fikk elevene mine og jeg anledning til å benytte en symbolregnende lommeregner, Texas TI89, i fire år. Fagene hvor den ble benyttet var 2MX og 3MX. Jeg vil i denne artikkelen prøve å vise at dette verktøyet kan være til gagn i matema-tikktimene.

Hva er et CAS?Siden 1994 har elevene i den videregående skolen brukt grafisk lommeregner med mulig-het til å tegne grafer og utføre numeriske bereg-ninger. Denne lommeregneren er ikke i stand til å behandle symboler eller regne eksakt. Det kan bare teknologien som går under fellesbetegnel-sen CAS = Computer Algebra System gjøre (noe godt norsk uttrykk har jeg ikke funnet). Kjen-netegnet er funksjonalitet som eksakt rasjonal, reell og kompleks aritmetikk, muligheter for graftegning (både 2D og 3D) og symbolsk alge-

bra for manipulasjon og løsning av algebraiske uttrykk i tillegg til numeriske løsningsmulig-heter.

Lommeregnere som TI89 og TI92 fra Texas Instruments og Algebra FX 2.0 fra Casio kva-lifiserer til å kalles et CAS. Eksempler på pro-gramvare for PC og Mac er Derive, Scientific Notebook/Workplace, Mathematica og Maple.

La oss se på noen eksempler som viser hva et CAS kan utrette. Alle eksemplene i denne ar-tikkelen viser TI89 i bruk, men andre produk-ter har tilnærmet lik funksjonalitet. I skjerm-bildene fra lommeregneren vises den gitte kommandoen til venstre og svaret til høyre. I feltet med svart bakgrunn er kommandoen skrevet inn. Siden dette skal eksemplifisere den generelle funksjonaliteten, vil jeg ikke gå inn på syntaksen som kan være svært forskjellig for de enkelte CAS.

Eksakt rasjonal, reell og kompleks aritmetikkEt CAS regner med eksakte verdier hvor slutt-resultatet alltid forkortes.

Per G. Østerlie

Om symbolregnende lommeregnere i den videregående skole

Per G. Østerlie underviser ved Adolf Øiens skole i Trondheim. [email protected]


IKT

Symbolsk algebra for manipulasjon og løsning av algebraiske uttrykkFigurene under viser eksempler på hvordan likninger kan løses. Kalkulatoren gir svarene eksakt og kan finne imaginære løsninger. Å løse bokstavuttrykk med hensyn på en variabel går også glatt.

Utvidelse og faktorisering av uttrykk går også greit. TI89 har også kommandoen comDenom som finner fellesnevner og propFrac som gir delbrøksoppspalting.

Derivasjon utføres eksakt både på definerte funksjoner og for funksjoner som variabler. Det samme gjelder integrasjon


IKT

Grenseverdier og summer kan vi også finne med et CAS.

Dette skulle vise at et CAS innehar både den regneferdigheten vi ønsker at våre elever skal beherske og mye mer. Når vi legger til at dette skjer i løpet av millisekunder og uten feil er det grunn til å bli imponert.

Hvordan kan et CAS utnyttes i matematikkundervisninga?For å benytte et CAS i skolen må vi ha en eller flere gode grunner. At teknologien er der, og at elevene bør kjenne til de siste verktøyene på markedet, kan være et argument. Jeg mener det er et lite vektig moment for matematikkursene på allmennfaglig studieretning i den videregå-ende skolen. Vender vi oss heller mot et CAS som et pedagogisk verktøy for å bedre lærings-prosessen, kan en finne gode grunner. Et CAS kan være en motivasjonsfaktor og et verktøy for å skape bedre matematikkunnskaper.

At elevene får tilgang til et CAS er ingen ga-

ranti for at læringsprosessen bedres. Skal det skje, må verktøyet inngå på en fornuftig måte i det komplekse samspillet som leder til ma-tematikkunnskap. Utgangspunktet må vi ta i pedagogikken og ikke i teknikken. Altfor ofte ser en undervisningsopplegg hvor målet synes å være å vise de mest oppfinnsomme anvendel-ser av ny teknologi. Det er ei felle en lett faller i, men en må alltid prøve å ha disse spørsmålene i bakhodet: Hva er læringsmålene for elevene? Hva ønsker jeg skal skje? Hvordan kan jeg legge til rette for at dette oppnås?

Læreren må ta utgangspunkt i pedagogisk teori eller praksis for å finne et opplegg han me-ner kan lede til det resultat som ønskes. Et en-tydig svar finner en neppe. Konstruktivismen, det at alle individer er aktive i konstruksjon av egen kunnskap basert på egne sanseinntrykk og egen kognitiv virksomhet, ser ut til å være et utgangspunkt for de ledende teorier. I følge et slikt syn må elevene utsettes for erfaringer som fører til kognitive handlinger hvor resultatet er konstruksjon av kunnskap. Her kan et CAS inngå i de erfaringene. Siden konstruksjonen av kunnskap er individuell, er løsningen nød-vendigvis ikke den samme for alle elever, men bruk av teknologi gjør at vi kan utsette elevene for flere erfaringer og representasjoner hvor hå-pet er at de individuelle behov kan dekkes.

La oss se på noen eksempler som etter egen erfaring har fungert godt.

DerivasjonIntroduksjonen av den deriverte har vi slitt med i den videregående skole. Tradisjonelt er dette begrepet blitt innført med en definisjon. Så har elevene fått i oppgave å gjennomføre utregnin-ger og latt «Dx gå mot null». Etter det er regler slavisk innført. Resultatet har vi sett i svar på hva den deriverte er: «Det var noe med å flytte ned tallet over x og trekke fra en på det som sto der fra før også var det noe med delta x.»

Funksjonsbegrepet har vært dårlig utviklet, og den deriverte oppfattet som en funksjon har


IKT

vært fraværende hos flertallet av elevene etter denne første introduksjonen av den deriverte.Grenseverdibegrepet er svært vanskelig og ikke den rette introduksjonen. Det viser både egen erfaring og andres (Tall [5]; Cornu [1]; Rothery [6]). Allikevel er det fortsatt slik den deriverte blir introdusert i lærebøkene.

Med ny teknologi kan vi gjennomføre opp-læringa i derivasjon på en annen måte. Ved å ta utgangspunkt i spørsmålet om hva en tangent kan fortelle oss om funksjonens egenskaper, kommer de aller fleste elever fram til at stig-ningstallet til tangenten kan si oss hvor funk-sjonen er stigende eller avtagende og at stig-ningstallet må være null der vi finner topp- og bunnpunkt.

Ved å zoome inn på grafen kan elevene sjøl se lokal linearisasjon og forstå at stigningstal-let til tangenten og funksjonens momentane vekst er det samme. Etter å ha satt navnet ”den deriverte” på funksjonen som viser alle disse stigningstallene, kan en gå over på litt ekspe-rimentering. Med en nyere lommeregner er det ikke vanskelig å få tegnet opp grafen til den deriverte for så å prøve å finne hva den kan si oss om egenskapene til den opprinnelige funk-sjonen. Lommeregneren åpner opp for elevenes egen eksperimentering og manipulering. Er det noen sammenhenger? Tegn opp en derivert av en funksjon og la sidemannen tippe hvilken funksjon den er den deriverte til, eller omtrent, hvordan funksjonen må se ut! Svaret kan vises med en gang.

Har så dette noe for seg eller er det bare en morsom lek? Min erfaring er at elevene får en mye bedre forståelse av den deriverte enn hva

tilfellet er med den tradisjonelle metoden. Denne oppfatningen mener jeg også å kunne forklare. For det første slipper de å stri med grenseverdidefinisjonen i første omgang. Elev-ene faller ikke av i starten og kan konsentrere seg om hva den deriverte kan si oss om mono-toniegenskaper til funksjonen. For det andre bygger dette på prinsipper fra pedagogikken som vi vet fungerer: egen eksperimentering, mange eksempler, flere representasjoner av samme begrep, diskusjoner med medelever og refleksjon over det de holder på med. Støtte i forskning kan en også finne hos Lehtinen og Repo [5] og Tall [7].

Til slutt kan en gå løs på definisjonen av den deriverte. Med den symbolregnende kalkula-toren kan vi også eksperimentere med den. Vi kan definere funksjoner og finne den deriverte som grenseverdi.

Videre eksperimentering kan være å tegne grafer av en funksjon med forskjellige kon-stantledd for å observere at alle har lik form. Hva kan en da slutte om den deriverte? Med TI89 kan en finne alle deriverte med et taste-trykk og se at det er samme uttrykk:


IKT

Når en seinere skal se på regneregler for den deriverte, som kjerneregelen eller regelen for derivasjon av potenser, kan elevene sjøl «opp-dage» eller eksperimentere seg fram til disse. Min erfaring er at det gir et ønske om å få se et bevis.

L’Hôpitals regelVi har også benyttet lommeregneren for å stu-dere L’Hôpitals regel. I læreboka vår (Sinus)

introduseres denne regelen ved å se på uttrykket

limx

x x

xÆ

- +-2

2

2

2 10 12

4. Ved å lede elevene kan de

sjøl slutte seg til regelen. Teller og nevner legges inn som hver sin funksjon. Elevene tegner opp grafene og zoomer seg inn i punktet der x = 2. De kan også tegne tangentene til funksjonene i dette punktet. Kan det da tenkes at forholdet mellom de to må være det samme som forholdet mellom den deriverte av de to funksjonene?

I neste omgang kan de eksperimentere litt alge-braisk. Hva er grenseverdien av brøken? Hva skjer hvis vi deriverer både teller og nevner? Hva vil grenseverdien av den brøken bli?


IKT

Etter å ha sett at slik kan være tilfelle, er det på tide å se om det alltid stemmer, altså et bevis. I neste omgang gjenstår anvendelse av regelen.

Bestemt integral som grenseverdi av en sumKanskje kan vi også høste et bidrag til for-ståelsen av hva et bestemt integral er? Tar vi utgangspunkt i arealet avgrenset av grafen til f x x( ) = - +2 4 , y-aksen og x-aksen kan vi

finne tilnærminger ved ’the method of exhaus-tion’. Ved å summere arealene av rektangler under grafen kan vi finne tilnærminger til det

bestemte integralet: f x dx( )0

2

Ú .

Arealene over kan vi finne slik ved å forandre parameteren n, antall rektangler, i uttrykket som er lagt inn i lommeregneren.

Går dette mot ei bestemt grense? Gir en utreg-ning av det bestemte integralet det samme svaret?


IKT

Slik kan vi gi en demonstrasjon av defi-nisjonen av det bestemte integralet

f x dx x f xa

b

nk

k

n

( ) lim ( )= ◊Ú ÂÆ•=

D1

, der

Dxb a

n= -

og x a k xk = + ◊D .

Bør vi ta CAS i bruk?Brukt på et forsvarlig pedagogisk vis ser jeg ikke så mange betenkeligheter ved å innføre et CAS som et verktøy. Som vektige argumenter finner jeg multiple representasjoner, det å kunne veksle lett mellom algebraisk, grafiske og nume-riske eksempler. Dette kan gi store fordeler for læringsprosessen. At det fins negative sider er like klart. Kostnader, manglende ferdigheter i bruk av teknologien og fare for dårligere regne-ferdigheter er argumenter som raskt vil dukke opp.

Skal vi kunne utnytte de positive sidene ved ny teknologi, har vi et stort behov for nye lærebøker basert på en induktiv pedagogikk. Arbeidsbøker hvor elevene ledes gjennom ek-sempler mot begrepskonstruksjon og ferdighe-ter, savner jeg på norsk (for gode eksempler se Kelly [2]−[4]).

En bruk av et CAS vil også ha konsekvenser for eksamen og læreplaner. Vi har en debatt for-an oss, men den må vi ta seinere. Send gjerne et innlegg til meg: [email protected]

KildehenvisningerEn fyldigere artikkel om samme emne med mer vekt på forskningsresultat og konsekvenser er lagt ut på Internett. Adressen er: www.adolfoien.vgs.no/larere/pergun/sr.pdf

[�] Cornu, B. ��. Limits. I: Advanced Mathema-tical Thinking, redigert av D. Tall, Dordrecht: Kluewer

[�] Kelly, B. ��a. Investigating Advanced Algebra with the TI92. Ontario: Brendan Kelly Publishing Inc.

[�] Kelly, B. ��b. Investigating Calculus with the TI92. Ontario: Brendan Kelly Publishing Inc.

[�] Kelly, B. ��c. Investigating Statistics with the TI92. Ontario: Brendan Kelly Publishing Inc.

[�] Lehtinen, E. og Repo, S. (��). Activity, social interaction and reflective abstraction: Learning advanced mathematical concepts in a compu-ter environment. I: International perspectives on the design of technology-supported learning environments., redigert av S. Vosniadou, E. de Corte, R. Glaser og H. Mandl, Mahwah, New Jersey: Lawrence Erlbaum

[�] Rothery, A. ��. Computer Algebra and the Structure of the Curriculum. I: Technology in Mathematics Teaching - a bridge between teaching and learning, redigert av L. Burton og B. Jaworski, Chartwell-Bratt

[�] Tall, D. ��. Understanding the Calculus. Mathematics Teaching ��0:��


Jon A. Ringseth og Memund Daltveit

Bruk av datalogging i matematikkundevisningen

Det er i de senere år kommet mye bra datalogg-ingsutstyr på markedet. I videregående skoler brukes grafiske kalkulatorer og det finnes flere typer dataloggingsutsstyr der dataene kan lagres på kalkulatoren for videre behandling. Dette utstyret er et utmerket redskap til å foreta målinger av fysiske parametre og mulighetene er store til å lage gode modeller av en konkret virkelighet.

Datalogging er en fin aktivitet som er en god alternativ angrepsmåte til matematiske problemstillinger og har i tillegg appell til en del elever med datainteresser. Det er også en fin måte å lage ’virkelighetsnære’ oppgaver på.

Spesielt har vi innen funksjonlæren mulig-heter til å hente relevante problemstillinger. Under er et eksempel på hvordan noen elever har logget avstanden til en ball som slippes fra en viss høyde. En får en rekke parabler som en kan undersøke. Figur 1 viser hvordan bal-len spretter, mens en i figur 2 har plukket ut en av parablene for undersøkelse. Vi har også tatt med et lite utdrag av tabellen for de målte verdiene.

Med en slik aktivitetsbasert undervisning

Figur �

Jon A. Ringseth og Memund Daltveit underviser ved Fana Gymnas i Bergen. [email protected]@hfk.no

2005 tangenten�0

IKT

gir vi elevene mulighet til å jobbe mer under-søkende og kreativt med matematikken slik at elevene kan innta en mer undersøkende i stedet for en reproduserende rolle i læreprosessen.

Gjennom aktivitet og konkret erfaring tol-ker elevene sine opplevelser og utvikler egne strukturer. Elevene må selv – eller i gruppe – bygge modeller, undersøke strukturer og re-flektere over sammenhenger.

Lærer må knytte sammen elevenes språk og modellbygging med det formelle symbolsprå-ket. Denne prosessen er en viktig del av elev-enes begrepsdanning ved at elevenes språk forsterker elevens forståelse av et begrep og be-arbeides ut fra elevens egne forutsetninger og erfaringer.

Vi tar også med et eksempel hvordan vi kan bruke en avkjølingskurve til å demonstrere en eksponentialfunksjon. Dette eksperimentet kan selvsagt utføres enkelt uten dataloggings-utstyr, men vi mener databruket her kan være en spennende variasjon til ting som er gjort på andre måter tidligere.

KjølekurveHer kan vi varme opp aluminiumsfolien i ca. ett minutt med hårtørkeren, og starte tempe-raturmålinger i folien etter som folien kjøles ned. Målingene kan noteres ned, eller en kan ta utskrift på datamaskin dersom det er mulig.

Vi får en fin eksponentialkurve av typen som egner seg til utforsking.

Temaer her kan være regresjon eller sam-

menhengene mellom gjennomsnittlig tempe-raturendring, momentan temperaturendring og den deriverte.

Vi har best erfaringer med at elevene arbei-der i smågrupper (2–3 stykker) i første del av arbeidsøkten mens lærer leder diskusjon og trekker linjene til symbolspråket til slutt.

Vi mener arbeidsmåten er med å stimulere elevenes interesse for matematikk, utvikle kre-ativ tenkeevne , lære nye problemløsingsstrate-gier og de får kjente problemstillinger i en ny kontekst og i spennende variasjon.

DataloggingModerne måleinstrumenter kan i dag kobles direkte til elevenes grafiskelommeregnere. På den måten kan elevene få samlet målinger for deteksperimentet de holder på med. Fordelen er at målingene gjerne kan foregåover lang tid (over natten) eller meget kort tid (brøkdeler av et sekund). Disse dataene kan så plottes i en kurve. Instrumenter for måling av vekt, avstand, temperatur,strømstyrke, spenning, osv … kan fåes kjøpt som dataloggingsutstyr.

Figur �


Tove Kalvø

Den deriverte på skråplanetBruk av datalogger som en praktisk tilnærming til begrepsforståelse av den deriverte.

Det har i den senere tid vært satt søkelys mot bruk av IKT (informasjon- og kommunika-sjonsteknologi) i undervisningen, og matema-tikkundervisningen spesielt. Selv skrev jeg våren 2002 en hovedoppgave der jeg så på integrerin-gen av et teknologisk hjelpemiddel i matematik-kundervisningen. I den sammenhengen tok jeg for meg datalogger som verktøy i begrepsfor-ståelsen av den deriverte. I denne artikkelen vil jeg derfor se på noen av de mulighetene et slik verktøy gir for metodisk variasjon innen mate-matikkundervisningen.

UtstyrDet finnes flere ulike typer av dataloggere på markedet i dag. Felles for dem er imidlertid at de kan samle data fra ulike forsøk elevene utfører, for deretter å framstille dette i et dataprogram på en datamaskin. Dataloggeren som verktøy gir rom for store variasjoner av elevaktiviteter, da det er mulig å knytte mange forskjellige senso-rer til denne. Ulike sensorer kan være til regis-

trering av temperatur, luftfuktighet, bevegelse, lyd, CO

2 med mer. Jeg vil her beskrive bruken av

bevegelsessensoren, som man også kan si funge-rer som et ekkolodd. Bevegelsessensoren sender ut lydpulser som treffer et ønsket objekt, lydpul-sen blir så reflektert tilbake til sensoren, som da registrerer tiden en lydpuls bruker. Dermed kan vi få kjennskap til blant annet avstanden til objektet. Bildet i figur 1 viser hvordan et utstyrsoppsett kan se ut.

Til høyre i bildet ser vi bevegelsessensoren/ekkoloddet som er festet øverst på et skråplan. På dette skråplanet kan en vogn, som ses i ven-stre billedkant, bevege seg. Bevegelsessenso-ren er videre koblet mot en datamaskin med dataloggingsboksen til venstre for denne. Her brukes dataprogrammet Data Studio til fram-stilling av de dataene som blir logget. Dette er et vindubasert program med mange mulighe-ter for gode grafiske framstillinger. I tillegg er

Tove Kalvø arbeider som lektor ved Hovin skole, [email protected]

Figur �


IKT

hjelpefunksjonen god, slik at brukerterskelen er relativt lav. Noe av styrken til dette verktøyet ligger også i muligheten for å kunne presentere svært mange eksempler på kort tid. Elevene kan gjøre mange forsøk og få vist mange ulike grafer som de kan studere. Gjennom den tra-disjonelle undervisningen er det ofte ikke tid til å studere så mange eksempler, da mye av ti-den går med til den tekniske løsningen av opp-gavene. Med bakgrunn i dette vil nok fokuset tradisjonelt kanskje bli tatt bort noe fra selve begrepslæringen. Det påpekes også av forskere ([4], [2] og [7]) at elevene må få bedre trening i arbeidet med grafiske framstillinger, og at ny teknologi muligens kan bedre disse framstil-lingene og gjøre begrepsforståelsen enklere. Dette støtter jeg meg til gjennom de erfarin-ger jeg har med dataloggeren som verktøy, der det helt klart gir positive bidrag metodisk til matematikkundervisningen.

UndervisningenDet følgende vil dreie seg om hvordan bruk av datalogger kan være en praktisk tilnærming til begrepsforståelsen av den deriverte. De fleste som underviser matematikk i videregående skole har erfart at elevene har problemer med begrepsforståelse av den deriverte, dette støt-tes også av flere forskere ([6], [3] og [1]). Noen av problemene er knyttet til begrepene vekst-hastighet, grenseverdi, sekant, tangent og rela-sjonen mellom en funksjon og den grafiske framstillingen av denne. Det naturlige spørs-målet blir dermed: Hvordan skal vi som lærere ta tak i dette, og på hvilken måte kan vi legge opp undervisningen slik at elevene får en god begrepsforståelse av den deriverte? Som svar på dette har jeg erfart at bruk av datalogger kan være et hensiktsmessig verktøy, og noen av mine erfaringer kommer til syne videre i artikkelen.

For elevene i 2 klasse på videregående skole, var det den deriverte som sto for tur i lærestof-fet. I denne sammenhengen var det at datalog-geren ble trukket inn. Jeg valgte å ikke under-

vise noe i forkant om den deriverte, men lot elevene få en induktiv tilnærming til lærestoffet gjennom bruk av datalogger. Elevene ble delt i smågrupper på to og tre elever, totalt 12 grup-per. De fikk utdelt et arbeidshefte jeg hadde ut-viklet i forkant, samt at hver gruppe hadde til-gang til dataloggingsutstyret. Arbeidsheftet var utformet slik at elevene kunne jobbe selvsten-dig i gruppene med dette, mens jeg gikk rundt i klasserommet og veiledet ved behov. Gruppene kunne da arbeide i det tempoet som de følte var hensiktsmessig for å sette seg inn i lærestoffet. Underveis mens elevene jobbet registrerte jeg stor motivasjon og iver blant elevene. Gjen-nom de praktiske forsøkene elevene utførte, og de framstillingene dette ga i dataprogrammet, kunne jeg overhøre mange interessante faglige diskusjoner elevene imellom. Videre skal vi se på noen av de observasjonene jeg gjorde.

Elevenes arbeidGjennom arbeidsheftet elevene jobbet med, var det mange ulike oppgaver elevene skulle løse. Disse oppgavene skulle løses med bakgrunn i forsøk elevene gjorde med dataloggingsutstyret. Elevforsøket gikk ut på å sende vogna opp langs skråplanet mens bevegelsessensoren registrerte data knyttet til vognas bevegelse. Samtidig med vognbevegelsen og registreringen, viste dataprogrammet to grafiske framstillinger av forsøket. En posisjon-tid kurve og en fart-tid kurve. Noe av det som er viktig å legge merke til er at kurvene vises samtidig med at forsøket utføres. Det er altså momentan respons, noe som elevene underveis kommenterte som svært positivt. I tillegg åpner forsøket for en studie av svært små tidsintervaller. Elevene kunne her gjøre beregninger ved hjelp av datamaski-nen slik at meget korte tidsintervaller, helt ned i 0,0025 sekunder, kunne undersøkes konkret. Dette representerer noe nytt i forhold til den tradisjonelle framstillingen av grenseverdier og den deriverte i de lærebøker jeg har vært borti. Videre vil jeg vise hvordan elevene løste noen


IKT

av oppgavene i arbeidsheftet, og hvilke disku-sjoner dette kunne innebære dem imellom. I etterkant av forsøket fikk elevene en liten test for å se hvilke inntrykk og begrepsforståelser de satt igjen med av denne undervisningsformen. I hovedsak er det elevsvar fra denne testen jeg baserer de neste episodene på.

Episode �Elevene har gjennom arbeidsheftet utført et forsøk med dataloggingsutstyret. Idet datalog-geren ble satt til å registrere data ble vogna sendt opp langs skråplanet. Bevegelsessensoren regis-trerte da avstanden mellom denne og vogna, mens tiden gikk. En posisjon-tid kurve ble da logget samtidig på datamaskinens skjerm og kunne se ut som i figur 2. Her ser vi at i starten var vogna ca. 1,5 meter fra bevegelsessensoren, etter 2,7 sekunder var vogna 0,4 meter fra sen-soren, og stopper her opp et øyeblikk for så å gli tilbake ned langs skinna og dermed også komme lengre vekk fra sensoren igjen.

Etter at forsøket var gjennomført ble elevene bedt om å ta for seg fem tilfeldige tidspunkter på kurva hvor de skulle tegne inn tangenten til punktet. I tillegg skulle elevene beskrive den sammenhengen de fant mellom hellingen (stigningstallet) til tangentene og posisjon-tid kurva.

Følgende løsninger kom opp:1/3 av elevene ga et svar som kan represente-

res gjennom besvarelsen i figur 3.Elevene har her dannet seg et klart bilde av

sammenhengen mellom stigningstallet og den formen kurva har. Likevel er det en begrens-ning i svaret der elevene sier at «Jo høyere stig-

ningstallet er, jo brattere er linja». Skulle dette ha vært presist nok måtte elevene ha definert dette både for de positive og de negative verdiene.

Av de resterende 2/3 av besvarelsene var det gitt mer og mindre utfyllende svar, men alle med en grei forklaring på den gitte sammen-hengen. Noen av elevene skilte seg klart ut ved å avgi et svar i klar relasjon til forsøket (figur 4).

Disse elevene har tydelig brukt datalog-gingsforsøket når de skulle forklare sammen-hengen. Det er interessant å legge merke til hvordan elevene bruker det praktiske arbeidet for å forklare og forstå sammenhenger. Dette kom også tydelig fram i klasserommet mens elevene arbeidet med forsøket. Jeg kunne da observere flere elevgrupper som gjentok for-søket med å sende vogna opp langs skråplanet mens kurvene ble vist i dataprogrammet, sam-tidig som de diskuterte seg imellom hva som egentlig skjedde. En typisk elevkommentar var: «La oss prøve en gang til, så ser vi hva det blir».

Jeg vil også framheve en diskusjon fra en av elevgruppene mens de jobbet med datalogge-ren.

Figur �

Figur �


IKT

Gro tar initiativet til denne diskusjonen ved først å si: «Når stigningstallet er negativt går po-sisjon-tid kurva nedover». Ine svarer og fullfører kjapt: «… og positivt så går posisjon-tid kurva oppover. Det er jo bare det.» Her har egentlig elevene beskrevet sammenhengen mellom stig-ningstallet til tangenten og kurvas form, men de er ikke helt fornøyde selv.

De diskuterer videre noen resultater de har funnet og sjekker på nytt om disse er riktige eller gale. Gro sier: «Er det ikke bare å si det da. Når stigningstallet er negativt så går kurva ned-over». Ine er enig i at det må være nok å skrive det, men helt sikre er de nok ikke. De tar nem-lig videre utgangspunkt i forsøket og prøver å finne en sammenheng og følgende kommen-tarer faller: «Vogna stiger men så går han ned igjen etterpå», «Ja for det er når vogna kommer nærmere og avstanden til bevegelsessensoren blir mindre at stigningstallet er positivt og omvendt. Skal vi bare skrive det?». Jentene prøver så å for-mulere det de skal skrive ned i arbeidsheftet, og som endelig kommentar før de skriver ned sva-ret sier Gro: «Stigningstallet bestemmer jo hvor mye og hvilken vei kurva går». Hvorpå Ine sva-rer: «Stigningstallet bestemmer alt!». Jentene ler og skriver ned svaret sitt, som står i klar sam-menheng til det elevene ga uttrykk for i starten av denne episoden. Nemlig: «Når stigningstallet er negativt går posisjon-tid kurva nedover», «og positivt så går posisjon-tid kurva oppover. Det er jo bare det». Her ser vi tydelig hvordan elevene gjennom en praktisk tilnærming til problem-stillingen bekrefter eller avkrefter hypoteser de har dannet seg underveis. Dermed ble datalog-geren brukt som et verktøy og en berikelse for

elevene når de skulle beskrive ulike sammen-henger.

Episode �Elevene skulle nå ta utgangspunkt i posisjon-tid kurva og fart-tid kurva, som ble vist på datamaskinens skjerm mens de utførte forsø-ket (figur 5 og 6). Ut fra disse to kurvene fikk elevene en åpen oppgave der de ble bedt om å redegjøre for sammenhenger mellom disse to kurvene.

Dette var en vanskelig oppgave for elevene, og det viste seg også at det var en del elever som ikke besvarte denne oppgaven. Likevel var det så mye som 45 % av elevene totalt som i etter-kant av forsøket ga en god besvarelse av sam-menhengen mellom de to kurvene. Jeg vil også her framheve en av diskusjonene som foregikk på en gruppe mens de jobbet med forsøket.

Ida og Tea diskuterer situasjonen der stig-ningstallet er lik null. Ida startet med å se på der fart-tid kurva skjærer tidsaksen, og kon-kluderer med at da må farten vare lik null. I det samme tidspunktet på posisjon-tid kurva oppdager hun at denne har et nullpunkt, og Ida sier at «Farten er lik null, når stigningstallet er null, på en måte». Den siste delen av setningen der hun sier «… på en måte» kan tyde på at hun ikke er helt sikker på sitt eget utsagn. Tea sva-rer da bekreftende på Idas utsagn, og presiserer tidspunktet for da farten var lik null til 2,8 sek-under. Deretter ser Tea på posisjon-tid kurva og finner at tidspunktet for da stigningstallet er lik null også er etter samme tid. Ida nikker enig og får bekreftet at det utsagnet hun kom med først stemmer. Her ser vi et fint eksempel

Figur �


IKT

på at elevene i samhandling med hverandre finner fram til løsningen, og igjen er begreps-forståelsen knyttet opp mot dataloggeren som verktøy.

Episode �Til sist ble elevene bedt om å beskrive det de kjenner til om begrepet den deriverte. Som svar på denne oppgaven var det 58 % av elevene som brukte terminologi fra forsøket i sin forklaring, og alle disse forklaringene var gode beskrivelser av den deriverte. Deres besvarelser er selvsagt ikke identiske, men idémessig relativt like, og deres svar kan representeres gjennom besvarel-sen i figur 7.

Svaret henviser som sagt til forsøket. Den deriverte beskrives konkret med bakgrunn i posisjon-tid kurva og fart-tid kurva. Svaret er godt i den forstand at den deriverte settes lik stigningstallet til tangenten i et bestemt punkt. Elevene gir ikke en formel for den deriverte, men beskriver med egne ord det de mener den deriverte er et uttrykk for. Dette kan tyde på at begrepsforståelsen er sterkere enn om elevene kun hadde skrevet opp en formel.

OppsummeringDet kan trekkes fram både fordeler og ulemper ved bruk av datalogger i matematikkundervis-ningen. Blant ulempene er det at dataloggings-utstyr koster penger, som ikke alle stramme

skolebudsjett kan unnvære. Har man ikke mulighet til å skaffe utstyr til en hel klasse, må man tenke alternativt. En mulighet da er å ha ett utstyrssett, og koble dette til en framviser og et lerret slik at man kan jobbe med gode klasse-diskusjoner knyttet rundt forsøkene. En annen ulempe er at utstyret tar relativt stor plass, slik at man trenger et rom med doble pulter til dis-posisjon. Med bakgrunn i dette egner dermed ikke utstyret seg noe særlig til hjemmearbeid. Fordelene derimot er at elevene i løpet av kort tid kan utføre mange forsøk, samt at det er lett å reprodusere eksperimenter. Elevene kan selv innad i gruppene stille hypoteser som de kan teste ved hjelp av verktøyet. Gjennom observa-sjonen i klasserommet fikk jeg bekreftet at flere elever arbeidet på denne måten, og dette er en god form for elevaktivitet. Elevene får gjennom en slik arbeidsform en induktiv tilnærming til lærestoffet, noe som ofte har vært utelatt i den tradisjonelle matematikkundervisningen. I til-legg til samarbeidet i gruppene, med godt moti-verte elever, danner dette gode læringsarenaer for elevene. Dataprogrammet har også den for-delen at det kan samle store mengder informa-sjon. Dermed blir det opp til brukerne å velge ut hvor mye av denne informasjonen som blir behandlet. I denne forbindelse er det viktig at verktøyet blir brukt i en pedagogisk sammen-heng. Fra mitt ståsted vil jeg si at datalogger helt klart vil være en hensiktsmessig innfallsvinkel

Figur �Figur �


IKT

til begrepsforståelse av den deriverte. Videre er det flere begreper som kan synliggjøres ved et slik verktøy, og det er nesten bare fantasien som setter en stopper for bruken. I forlengelsen av de episodene jeg har skissert, kunne også datapro-grammet ha vist en akselrasjons-tid kurve, som dermed er den andrederiverte av posisjon-tid kurva. Ellers kan også bevegelsessensoren knyt-tes opp mot forståelse og tolkning av kinetiske grafer, noe som er høyst aktuelt i ungdomssko-len.

Litteratur[�] Amit, M. & Vinner, S. (��0). Some misconcep-

tions in calculus – Anecdotes or the tip of an iceberg? In proceeding of the 14th conference of the international group for the Psychology of Mathematics Education, 1, 3-10. Mexico: The program committee of the ��th PME confe-rence.

[�] Aspinwall, L., Shaw, K. L. & Presmeg, N. C. (��). Uncontrollable mental imagery: Grap-hical connections between a function and its derivative. Educational Studies in Mathematics, ��, �0�-��.

Figur �

[�] Bezuidenhout, J. (��). First-year university students’ understanding of rate of change. International Journal of Mathematical Education in Science and Technology, ��, ��-��.

[�] Ferrini-Mundy, J. & Graham, K. (��). Rese-arch in calculus learning: Understanding of limits, derivatives, and integrals. In Kaput, J. J. & Dubinsky, E. (Eds.), Research issues in under-graduate mathematics learning. Preliminary analyses and results. MAA notes number ��, ��-��. Washington: The Mathematical Associa-tion of America.

[�] Kalvø, T. (�00�) Den deriverte på skråplanet. Bruk av datalogger i begrepsforståelse av den deriverte. Hovedoppgave i matematikkdidak-tikk. Kristiansand: Høgskolen i Agder.

[�] Orton, A. (��). Students’ understanding of differentiation. Educational Studies in Mathe-matics, ��, ��-��0.

[�] Villarreal, M. E. & Borba, M. C. (��). Con-ceptions and graphical interpretations about derivative. In Oliver, A. & Newstead, K. (Eds.), Proceedings of the 22nd conference of the international group for the Psychology of Mathematics Education, �, ��. Stellenbosch, South Africa: The program committee of the ��nd PME conference.


Tor Andersen

Forunderlige p og e som dukker opp overalt

Ved hjelp av IKT-verktøy kan vi nå gjøre en rekke avanserte formler tilgjengelig for elever i videregående skole. Selv om utledninger og bevis krever kunnskaper og ferdigheter som våre elever først tilegner seg gjennom videre stu-dier i faget, kan vi av og til krydre timene ved å la våre elever ”stifte bekjentskap” med spen-nende formler som hører hjemme på universitet og høgskole.

�. Wallis’ produktformel for pI dette avsnittet tar jeg utgangspunkt i Wallis formel for p. Den engelske matematikeren John Wallis (1616–1703) regnes som en av Englands største matematikere før Newton.

Jeg håper at noen kolleger kan få lyst til å gjennomføre et opplegg der elevene kan ta del i undringen rundt et tall som vi støter på svært ofte i skolen. Selv blir jeg aldri helt ferdig med å forundre meg over p.

La oss starte med litt multiplikasjon:

22

1◊ ◊ ◊ ◊ ◊ ◊ ◊ ◊ ◊ ◊ ◊

◊ ◊ ◊ ◊ ◊

2

3

4

3

4

5

6

5

6

7

8

7

8

9

10

9

10

1112

11

12

13

14

13

14

15

16

115

16

17

18

17

18

193 06◊ ◊ ◊ = ,

Vi holder den første faktoren, nemlig 2, for seg selv. Så spør vi: Hvordan er brøkfaktorene i dette produktet dannet?

Vi ser umiddelbart at tellerne i brøkene er partall. Det betyr at tellerne er 2n der n er hele tall fra 1 og oppover. Men hva så med nevnerne i brøkene? Nevnerne er oddetall, 1 mindre og 1 større enn partallene i nevneren. Altså 2n – 1 og 2n + 1.

Produktet vårt har altså generelle faktorer

gitt ved 2

2 1

n

n - og

2

2 1

n

n +. Når for eksempel

får vi de to nabofaktorene 8 / 7 og 8 / 9. I pro-duktet ovenfor starter vi med n = 1 og slutter med n = 9. Men ingen kan forby oss å fortsette å multiplisere.

Hva skjer dersom vi fortsetter å multiplisere

med 20

19

20

21◊ osv? Brøkene begynner etter hvert

å nærme seg 1. Men produktet vil fortsette å vokse siden vi hele tiden multipliserer med et nytt produkt større enn 1.

Hvor mye bidrar produktet 20

19

20

21

400

399◊ = ?

Tor Andersen er lektor med hovedfag i fysikk. Han er for tiden engasjert som forsker ved [email protected]


IKTLitt økning får vi. Svaret blir da 3,0677.

Siden 2

2 1

2

2 1

4

4 1

2

2

n

n

n

n

n

n-◊

+=

-, kan vi finne

produktet ved å multiplisere bare halvparten så mange brøker med hverandre. Noen ganger er det ”ålreit” å kunne tredje kvadratsetning.

Men det er nok best å starte med 2

2 1

2

2 1

n

n

n

n-◊

+

for lettere å kunne oppdage hvordan brøkene er dannet.

Vi gjentar multiplikasjonen med halvparten så mange brøker, Da får vi at

24

3

16

15

36

35

64

63

100

99

144

143196

195

256

255

324

323

400

◊ ◊ ◊ ◊ ◊ ◊ ◊

◊ ◊ ◊ ◊3399

3 0677= ,

De fleste har vel allerede tatt i bruk lommereg-neren eller annet IKT-verktøy til å sjekke om multiplikasjonen stemmer. Min lommeregner kan enkelt skrive ut faktorene i produktet oven-for. Se skjermbildet:

Syntaksen virker kanskje noe komplisert. Vi må angi at n tar verdier fra 1 til 10 og at stepver-dien er 1. Så er oppgaven å multiplisere brøkene med hverandre. Dette kan gjøres på forskjellige måter, avhengig av hvor avansert regneverktøy den enkelte bruker. Her vil jeg benytte kom-mandoen ”prod”. Denne kommandoen multi-pliserer tallene i en liste. Se skjermbildet ned-enfor.

Sekvensen med brøker er enkelt lagt i listen ved hjelp av kopiering og liming. Svaret blir heldig-vis nok en gang 3,0677.

Nå har vi forhåpentligvis skapt lyst til å la antall faktorer i produktet øke. La oss presse elektronikken til å jobbe seg skikkelig varm. Hvilket svar får vi når n går fra 1 til 100?

Hmm … 3,134. Begynner dette å lukte p? ”Gå opp til 150, lærer”. Greitt. Men la oss samtidig kalle den lange listen med brøker for A. Da benytter vi den såkalte tilordningspilen.

Med bruk av forhøyningsregelen har vi kommet


IKT

opp til 3,14. Kravet om å la n øke ytterligere, vil selvfølgelig melde seg.

Men hva gjør vi når vi får ubehagelige mel-dinger om utilstrekkelig minne fra IKT-verk-tøy vårt?

Vi får forsøke å dele sekvensene opp i mindre delsekvenser.

På denne måten kan vi tyne elektronikken til uttrettelig å jobbe seg stadig nærmere p.

Vi må selvfølgelig presisere at vi kun skaper en ”tro” på at produktet langsomt vil nærme seg p.

Elevene i videregående skole blir tidlig kjent

med summetegnet Σ. Men kanskje det er på tide å gjøre seg kjent med produkttegnet Π.

Jeg tror våre elever vil forstå at denne lom-meregnerleken har vært et forsøk på å skape økt nysgjerrighet rundt forunderlige p.

Kanskje noen til og med vil gi seg i kast med et matematikkstudium som gjør vedkommen-de i stand til å føre et elegant bevis for at Wallis´ produktformelen for p gjelder. Nemlig at

2

2

2 1

2

2 11

n

n

n

nn -◊

+=

=

•

’ p

�. Stirlings formel for n!Vi skal nå se på en formel som skriver seg fra en av Newtons fremste etterfølgere, den skot-ske matematikeren James Stirling (1692–1770). Vi kan godt dvele litt ved årstallene og minne våre elever på at matematikere på den tiden ikke hadde noen knapper å trykke på – samt at det var andre samfunnsforhold som heller ikke gjorde livet lett.

La oss bruke IKT-verktøyet vårt til å stu-dere n! for store n. Fortsatt forundres jeg en smule over hvor fort n! vokser. Usle 3! er bare lik 1 ⋅ 2 ⋅ 3 = 6, mens 8! ender opp med impone-rende 40 320. Det baller på seg ganske eksplo-sivt. Hva med 24!? Det største fakultet-tallet som det er plass til på min smale lommereg-nerskjerm er 24!. Når jeg forsøker med 25! må jeg skrolle skjermbildet til høyre for å få med meg alle sifrene.

Vel, men hva har dette med p og e å gjøre? Dukker virkelig e opp i forbindelse med n!? Hva med forunderlige p?

2005 tangenten�0

IKTRiktignok uten noen begrunnelse – la oss

sjekke verdien for 2pnn

n

◊ÊËÁ

ˆ¯̃e

også for n = 24.

Her er både e og p med. Uten IKT-verktøy ville utregningen ha vært en ”livsoppgave”. Hva får vi på skjermen?

Hvor vil jeg med dette? Det er vel meningen at vi skal sammenligne de to svære tallsvarene på hvert sitt skjermbilde. Hvis vi ser på de to, tre første sifrene til venstre, får vi ikke inntrykk av disse to tallene er særlig like.

Men tar vi størrelsen til tallene med i vår betraktning, er kanskje disse tallene tross alt ganske like.

La oss derfor dele de to svære tallene med hverandre. Da får vi

Her ser vi – ganske så lik teller og nevner siden kvotienten er såpass nær 1. Men er dette til-feldig? Er det 24 som er spesiell i denne sam-menhengen? La oss prøve med andre og større verdier for n.

Men nå lager vi en tabell med startverdi n = 50

og sluttverdi n = 100 og med stepverdi lik 10.Da får vi:

Imponerende nært 1 etter hvert som n vokser. Teller og nevner blir altså meget like for store n. Her må det gå an å presse elektronikken. Jeg prøvde meg fram og fant at n = 180 var briste-punktet på min lommeregner. Men det er klart at store tallknusere makter mer.

Så kan jo hver og en prøve med store n på sitt IKT-verktøy og samtidig undre seg på om slike numeriske tilnærminger til fantastiske konklusjoner har noen verdi.

Vel, konkludere kan vi vel ikke før det er ført et matematisk bevis.

Men vi har forhåpentligvis skapt lyst hos noen – lyst til å lære mer matematikk for blant annet å kunne bevise Stirlings formel for n!, nemlig at

n! går mot 2pnn

n

◊ÊËÁ

ˆ¯̃e

når n går mot ∞.


Hans Jørgen Riddervold

Dynamisk geometri i videregående skole

Dynamisk geometriÅ arbeide med dynamisk geometri går ut på å bruke datamaskinen til å for eksempel lage kon-struksjoner og utforske dem interaktivt: Eleven kan «ta tak i» et punkt i konstruksjonen, og der-etter se hvordan konstruksjonen forandrer seg avhengig av hvordan punktet «dras» omkring på skjermen. Dette åpner med andre ord for en alternativ visualiseringsmulighet, gjerne i kom-binasjon med utforskningsaktiviteter eller dis-kusjon omkring de matematiske begrepene som inngår. Les mer om dynamisk geometri i Anne Berit Fuglestads kapittel «Konstruktivistisk per-spektiv på datamaskiner i matematikkundervis-ningen» i boken Matematikk for skolen [2].

Denne artikkelen omhandler dynamisk geometri i et program som heter GEONExT, men skal ikke være noen omfattende manual for programmet – den raskeste måten å lære det på er sannsynligvis å hive seg ut i det og prøve seg frem. Du kan lese mer om GEONExT i Tangenten 2/2005 [5].

GEONExT er et gratis dataprogramDet finnes flere programmer for dynamisk geo-metri, og det vanligste er nok Cabri. Men en opplagt ulempe ved de fleste av dem, er at de fort koster mye penger å kjøpe. Programmet GEONExT er derimot gratis for alle! I tillegg inneholder GEONExT en del funksjoner som ikke finnes i alle slike programmer; noen av disse funksjonene er av interesse for elever og lærere i den videregående skolen. Muligheten til å studere parameterfremstilling av kurver finnes for eksempel ikke i Cabri. Så hvem vet – kanskje noen får sånn «dilla» på programmet at de installerer det hjemme?

For norskspråklige lærere og elever har GEONExT inntil nylig vært lettest tilgjengelig på tysk eller engelsk, men en norsk utgave av programmet skal være klar for bruk fra høsten 2005.

EksemplerEn arbeidsmåte for dynamisk geometri er å studere såkalte arbeidsark. Dette går ut på at elevene får utdelt en mer eller mindre ferdig konstruksjon som de kan utforske direkte. Denne tilnærmingen gir elevene anledning til å konsentrere seg mer om matematikken og mindre om eventuelle «tekniske sider» ved programmet. Du kan lese mer om arbeidsark i Anne Berit Fuglestads artikkel Elektroniske

Hans Jørgen Riddervold arbeider ved Høgskolen i Bergen, Avdeling for læ[email protected]


IKT

arbeidsark i Cabri [1].Nedenfor kommer det eksempler på ar-

beidsark som er laget i GEONExT. Alle disse eksemplene finner du på nettsiden min [6], der du kan eksperimentere med programmet og trekke i visse punkter på konstruksjonene. Du kan også laste ned GEONExT-filene for å se nærmere på hvordan de er laget.

TrigonometriGEONExT kan for eksempel brukes til å utfor-ske trigonometriske identiteter; figur 1 viser cos(u) = sin(u + p/2) og sin(u) = cos(u + p/2). Her kan eleven flytte punktet (cos(u), sin(u)) langs enhetssirkelen, og utforske figuren fortlø-pende. Det er selvfølgelig mulig å få GEONExT til å vise de ulike avstandene vi sammenligner i denne figuren, men jeg velger å skjule dem for å ikke ha for mye informasjon på figuren. I et arbeidsark kan det godt være naturlig å ta dem med.

ArealsetningenVed hjelp av GEONExT kan vi også illustrere arealsetningen (figur 2).

Elevene kan trekke i punktene A, B og C, og deretter beregne trekantarealet for hvert nytt skjermbilde. Dette kan de gjøre manuelt, men kanskje aller helst ved å legge inn en tekst som beregner arealet med arealsetningen og en

som beregner arealet ved hjelp av formelen de er vant til. Det kan vi gjøre ved å bruke GEO-NExT-funksjonen Dist(A,B) til å finne av-standen mellom punktene A og B, og deretter regne slik:

(1/2)*Dist(A,B)*Dist(A,C)* Sin(Rad(B,A,C))

og

(Dist(A,B)*Dist(C,D))/2

Hvis du ikke vil at elevene skal bruke radianer, kan du få arbeidsarket til å oppgi vinkelen i grader.

Dette eksemplet antyder en viktig side ved programmer for dynamisk geometri: Vi kan «se» at en observasjon kan se ut til å stemme, og kanskje kan vi bli overbevist om det også, men det beviser ingenting: Vi har jo bare sett på spesialtilfeller, uten å finne noe generelt ar-gument! Så mens elever på den ene siden kan komme til å føle mindre behov for å bevise arealsetningen – den ser jo stort sett ut til å stemme – så vil akkurat samme egenskap ved slike programmer kunne gjøre oss i stand til å utforske og eksperimentere på en langt mer effektiv og kraftfull måte enn vi kunne før. Vi kan bruke programmene for dynamisk geome-tri til å skaffe oss bakgrunn for å opparbeide intuisjon og for å finne frem til beviser, se for eksempel artikkelen Morleys hjerte [3].

Figur �

Figur �


IKT

Grafisk fremstilling av grafer til trigonometriske funksjonerGEONExT er et program for plangeometri, så romgeometrien faller utenfor. Men siden vi kan få tilgang til koordinatene til alle punktene vi bruker, så er det relativt enkelt å jobbe med plangeometri. Hvis vi har et punkt A, så kaller GEONExT x-koordinaten for X(A) og y-koor-dinaten for Y(A).

Ved hjelp av arbeidsark i GEONExT kan vi bruke enhetssirkelen til å studere trigonome-triske funksjoner. Her er et eksempel med tan-gensfunksjonen. Dette tydeliggjør sammen-hengen mellom grafen til tangensfunksjonen og den geometriske informasjonen i enhetssir-kelen.

Tangens til u kan vi lese av i punktet T, der linjen AC skjærer tangenslinjen som jeg har merket «tangens». Å begrunne dette kan vel

elevene få gjøre selv… Tangenslinjen skal være utstyrt med de samme enhetene som x- og y-aksen i det lille koordinatsystemet hvor enhets-sirkelen er inntegnet.

Elevene bruker arbeidsarket ved å «dra» punktet C langs enhetssirkelen til venstre på dataskjermen, og samtidig se hvordan y-ver-dien til T i det lille koordinatsystemet samsva-rer med y-verdiene til den prikkete «linjen» i det store koordinatsystemet. Det er lett å legge inn mer informasjon i arbeidsarket, som for eksempel kontinuerlig avlesning av vinkelen u i det lille koordinatsystemet, de nevnte y-verdi-ene eller enheter langs tangenslinjen.

Måten jeg fikk frem funksjonsverdiene til tangensfunksjonen her, var å si at punktet som er merket «tan(u)» skal være et såkalt xy-punkt – da kan vi nemlig få angi punktkoordi-natene direkte. Som x-koordinat skrev jeg inn

Figur �


IKT

Rad(B,A,C), mens jeg som y-koordinat valgte (Y(T) – Y(B))/Dist(A,B), med andre ord: Avstanden mellom punktene T og B (målt med fortegn), delt på avstanden mellom punktene A og B (som blir 1 i en enhetssirkel, men jeg må ha med avstanden siden jeg ville ha noe større radius i sirkelen min).

Tilsvarende eksempler for sinus og cosinus er tilgjengelig via nettsiden min [6].

DerivasjonGEONExT kan beregne deriverte til en del funksjoner – la oss her ta sinusfunksjonen som eksempel. Skriver vi D(Sin(x),x) i feltet for tekst og beregninger (og da strengt tatt etter å ha klikket på en knapp merket «Term» eller «Uttrykk»), sier vi at GEONExT skal derivere y = sin(x) med hensyn på x. Bruker vi i stedet D(Sin(x),x)/.x->X(A) får vi den deriverte av y = sin(x) med hensyn på x, innsatt x-koordina-ten til et punkt A.

Hvis vi nå lar A = (x1, y

1) og B = (x

2, y

2)

være to fritt valgte glidepunkter på grafen til y = sin(x), så kan vi bruke ettpunktsformelen y – y

1 = a(x – x

1) til å finne funksjonsuttryk-

ket for tangenten til kurven i punktet A. Vi

definerer med andre ord en lineær funksjon y = ax + b der

a

d

dxx= sin( ) innsatt x

1

og

b = y1 – ax

1

Da kan vi få GEONExT til å tegne opp grafen til tangenten i punktet A ved å angi

(D(Sin(x),x)/.x->X(A))*x + (Y(A) – (D(Sin(x),x)/.x->X(A))*X(A))

som funksjonsuttrykk. Nå kan elevene flytte punktene A og B langs sinuskurven:

Stigningstallet til den rette linjen mellom punktene A og B, kan GEONExT regne ut når vi finner Dy ved å beregne Y(B) – Y(A) og Dx ved å beregne X(B) – X(A).

GEONExT har også mulighet til å integrere, men det virker som om den muligheten kan være noe svakere utbygd til nå.

Figur �


IKT

Parametriske kurverGEONExT tilbyr oss å jobbe med parameter-fremstilling av kurver.

Kurven Agnesis heks fremkommer ved å konstruere en sirkel med to parallelle tangen-ter, og deretter trekke en stråle fra det ene tan-geringspunktet. Da får vi frem et punkt på kur-ven ved å ta x-koordinaten til skjæringspunktet mellom strålen og den andre tangenten, og y-koordinaten til skjæringspunktet mellom strålen og sirkelen. Ved å flytte på strålen ser vi hvordan punktet følger kurven.

For å finne frem til en parameterfremstil-ling for denne kurven, er det ikke mer som skal til enn noen utregninger med formlikhet og Pytagoras [7].

En kuriositet ved Agnesis heks, er at den har fått navnet sitt etter en feiloversettelse: Maria Agnesi selv kalte kurven for «la versiera» i 1748, men i en senere engelsk oversettelse ble dette misoppfattet som «l’aversiera» som betyr heks. Les mer om Agnesi (1718–1799) på MacTutur [4], les mer om Agnesis heks på Mathworld [8].

Klassisk konstruksjonJeg har ofte opplevd at Periferivinkelsetningen er et resultat som mange blir forbauset over. Uansett; dette er snakk om en virkelig mate-matisk skjønnhet det er vel verdt å utforske dynamisk. Med GEONExT er det relativt enkelt å konstruere en passende illustrasjon. I figur 6 kan punktene A, B og C flyttes langs sirkelbuen – uansett hvor eleven plasserer dem, vil figu-ren vise at sentralvinkelen α med toppunkt i O alltid er dobbelt så stor som periferivinkelen β med toppunkt i C. Hvordan kan vi bevise eller argumentere for noe slikt?

Referanser[�] Fuglestad, Anne Berit: Elektroniske arbeidsark i

Cabri, Tangenten �/�00�.[�] Grevholm, Barbro (red.): Matematikk for skolen,

Fagbokforlaget, �00�.[�] Knudtzon, Signe Holm og Aarnes, Johan F.:

Morleys hjerte, Normat, ��:� (�00�) og ��:� (�00�).

[�] MacTutor History of Mathematics: Maria Gaëtana Agnesi, (http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Agnesi.html), ��

[�] Riddervold, Hans Jørgen: Gratis dynamisk geometri med GEONExT, Tangenten �/�00� (tilgjengelig via http://www.caspar.no/Tangen-ten/�00�/geonext.pdf)

[�] Riddervold, Hans Jørgen: http://home.hib.no/ansatte/hjr/GEONExT

[�] Thompson, Jan og Martinsson, Thomas: Kunn-skapsforlagets matematikkleksikon, Kunnskaps-forlaget, ��.

[�] Weisstein, Eric: http://mathworld.wolfram.com/WitchofAgnesi.html

Figur �

Figur �


Kjartan Tvete

Solens gang

– Hei, – fint postkort, hva?– Ja visst, – jeg har sett typen før. Flott reklame for «midnattsolens land»!– Du, denne kurven som sola slik tegner gjen-nom et døgn må da være en sinuskurve, vel?– Skulle tro det. Dette er jo et typisk periodisk fenomen. – Jeg har lurt litt på om det er mulig å sjekke

det. – Enn om vi kunne finne et funksjonsut-trykk for kurven?– Ok, da må vi vel starte med å presisere hva som her er en funksjon av hva: Langs x-asken har vi opplagt tiden gjennom et døgn, mens det må være solas høyde på himmelen som er avsatt langs y-aksen. Og så ser vi altså funksjonsverdi-ene for alle hele timetidspunkter.– Ja. Men du, noe «juks» er det med dette bildet. Fotografen kan ikke ha hatt utsikt utover det samme landskapet for hvert av de 24 bildene. Hvis vi f. eks. tenker oss at utsikten faktisk er den han så i kameraet ved midnatt kl. 24.00,

Figur �

Kjartan Tvete er førsteamanuensis ved Høgskolen i Nord-Trø[email protected]


Sol, tid …

så måtte han jo holdt kameraet i stikk motsatt retning, vendt mot syd, da bildet kl. 12.00 ble tatt. Så egentlig har han jo nettopp tegnet inn solhøydene i et koordinatsystem slik som du sa, men med et landskapsbilde som bakgrunn.– Sånn må det være. Jeg kommer dessuten på noe annet: Denne funksjonen vi snakker om, solas høyde på himmelen, vil jo selvsagt også avhenge av når på året det gjelder, og også med hvor langt mot nord stedet ligger. Det vanlige vil jo være at en slik kurve befinner seg under x-aksen i større eller mindre deler av døgnet, når sola er gått ned.– Ja, bak på kortet står det at bildene er tatt på øya Loppa fra 21. juli kl. 19.00 til 22. juli kl. 18.00. Faktisk ville vel kurven vært enda høyere rundt St. Hans en måned tidligere. Det slår meg nå at solas høyde for et sted på jorda egentlig er en funksjon av tre variable: Tid på døgnet, tid på året, og nord– syd beliggenhet, dvs. ste-dets breddegradstall. – Er det mulig å finne den funksjonen, mon tro?…

– Hei igjen! – Jeg har gjort en liten utprøving av sinuskurven som modell for solhøydegra-fen. Du vet, enhver sinusfunksjon kan skrives på formen

(1) y = b + Asin(kx – v)

der b forteller hvor mye likevektslinjen er løftet oppover fra x-aksen, A er amplituden, altså maksimums- og minimumsutslaget fra like-vektstillingen, k er en passende konstant slik at kx kommer ut i vinkelmål, og der v viser hvor mye kurven er forskjøvet mot høyre i for-hold til standardsinuskurven. Jeg la x-aksen langs horisontlinjen på postkortet, dvs. der himmel og hav møtes. Så målte jeg med linjal den minimale solhøyden kl. 00.00 til 1,5 mm, og den maksimale solhøyden kl. 12.00 til 40,5 mm. Først hadde jeg etter beste skjønn bestemt midtpunktene i solskivene med en spiss blyant. Dermed blir b = (40,5 + 1,5)/2 = 21,0 og A = (40,

5 – 1,5)/2 = 19,5. Videre valgte jeg å sette opp y-aksen ved tidspunktet kl. 00.00. Når så x, tiden målt i timer, varierer fra 00.00 til 24.00, skal vinkelen kx variere fra 0° til 360°. Da passer det å sette k = 360/24 = 15. Siden min sinusfunksjon starter i et minimumspunkt for x = 0, er den vannrette forskyvningen på 90°, dvs. jeg setter v = 90°. Altså får jeg denne sinusmodellen for solas høyde gjennom dette spesielle døgnet på Loppa:

(2) y = 21,0 + 19,5sin(15x – 90)

Her ser du grafen til denne funksjonen, og også solhøydene fra prospektkortet. Jeg har målt dem alle med linjal, opp til midtpunktene i sol-skivene.

02 04 06 08 10 12 14 16 18 20 22 24

10

20

30

40

Figur �

Litt pussig, det virker som om sinuskurven min blir liggende for høyt. Kanskje har ikke fotogra-fen vært så nøye når han tegnet inn solskivene, – for «solas gang» skulle da egentlig gi en sinus-kurve, vel?– Det var interessant det der. Jeg har prøvd litt med noe annet. Vi sa jo at solhøyda generelt er en funksjon av tre variable. Da høres det umiddelbart ikke så lett ut å finne den. Men en god strategi er jo ofte å først se om en kan komme noen vei med problemet i et eller flere enklere spesialtilfeller. Hør nå: Jeg velger å fik-sere datoen til sommersolhverv, som vanligvis faller ved 21. juni, og tidspunktet til kl. 12.00. Så tar jeg for meg et sted på jorda med et vilkårlig breddegradstall b.


Sol, tid …

– Aha, du studerer med andre ord hvor høyt sola står på et sted når den er på det aller høy-este, nemlig midtsommers midt på dagen!– Ja, nettopp. Og da får jeg bruk for noen kunn-skaper fra naturgeografi og geometri. Det er for-resten ganske lurt å ha en globus å se på. Aller først, solas høyde i et punkt P på jorda, som jeg kaller h, mener jeg må måles som den vinkelen solstrålen mot P danner med horisontalplanet i P. Og dette siste er det samme som tangentpla-net til jordkula i P. Se illustrasjonen til venstre i figur 3.

Videre er breddegradstallet b for et sted P den vinkelen som jordradien i P danner med ekvatorplanet. Se figuren til høyre i figur 3, som også viser breddegradssirkelen for alle ste-der med samme breddegradstall som P. Min neste figur (4) viser hvordan det vil se ut midt-

sommers (på nordlig halvkule), midt på dagen for stedet P. Du husker at jordaksen danner ca. 66,5° med ekliptikkplanet (dvs. det planet som inneholder sola og jordbanen rundt sola). Du kan lett se at det nå er midnattsol på nordpolen og over et område omkring den, bare tenk deg å la kloden rotere én gang (et døgn) om jordak-sen. At det er midt på dagen for stedet P vil si at meridianen fra nordpol til sydpol gjennom P nå vender maksimalt inn mot sola (eller mer presist: Utvidelsen av meridianplanet til P vil akkurat nå inneholde sola.)

Figuren viser jorda sett rett fra siden, slik at ekvatorplanet og tangentplanet til blir som rette streker. Nå ser du solas høyde h på stedet P som en vinkel. Så har jeg forlenget jordra-dien CP, og ser dermed to like store vinkler: k = b – 23,5°. Disse er nemlig samsvarende vin-

Ph

P

S

N

β

Figur �

solstråler

h

k P

N

S

Cβ

23,5°

Ekvator

Figur �


Sol, tid …

kler ved parallelle linjer. Ja, for alle solstrålene som faller over jorda er i praksis selvsagt paral-lelle. Men k og h er tilsammen 90°, og dermed får jeg:

(3) h = 90° – k = 90° – (b – 23,5°) = 113,5° – b

– Det var da en svært enkel formel.– Ja, den virker for steder P nord for 23,5° nord-lig bredde, det vil si nord for Krepsens vende-krets. Det er lett å se av figuren at hvis P er et sted mellom ekvator og denne spesielle bred-degradssirkelen så blir uttrykket istedet:

h = 90° – k = 90° – (23,5° – b) = 66,5° + b

Her ser du grafen, dvs. hvordan maksimalsol-høyden midtsommers varierer med breddegrad-stallet fra b = 0° (ved ekvator) til b = 90° (ved nordpolen):

23,5°

40°

60°66,5°

90°

23,5° 40° 60° 90°

Figur �

– Litt morsom den. De har altså senitsol (h = 90°) ved Krepsens vendekrets midtsommers, som vi jo også kan se av figur 4. Lengre mot nord enn til denne breddesirkelen kan tydeligvis ikke sola komme i senit. Fenomenet senitsol vender der omkring 21. juni og beveger seg så sørover igjen. Ved Nordpolen er solhøyden 23,5° midt-sommers. Og i Trondheim, f. eks., med bredde-gradstall b ª 63,5° får vi at maksimalsolhøyden

på årets lengste dag blir h ª 113,5° – 63,5° = 51,0°. Som trønder ville jeg jammen trodd det var høyere...– Jeg ser noe her: Sett at vi var på Nordpolen midtsommers, og så observerte solhøyden hver time gjennom et helt døgn. Figur 4 ovenfor viser at klokkeslettet ikke ville spille noen rolle, for Nordpolen flytter seg jo ikke, solhøyden må være konstant, h = 23,5° hele dette midtsom-merdøgnet. Et «solens gang»-kort fra Nordpolen ville måtte vise en rekke like høye solskiver!

00

23,5°

02 04 06 08 10 12 14 16 18 20 22 24

Figur �

Dette kunne faktisk være en sinuskurve, der amplituden var falt sammen til 0!– Artig. – Jeg skal lure på om vi også kunne klare å finne solhøyda ved et tilfeldig tidspunkt på døgnet ved ekvator midtsommers … Men det virker ikke så lett …– Antagelig er problemet like lett eller vanskelig om vi studerer det midtsommers eller midtvin-ters. Men hva om vi forsøker ved vår- eller høst-jevndøgn, altså midt mellom St. Hans og jul, så og si? – La meg tegne en figur for dette:.

N

S

Ekvator

Figur �

Det typiske nå er at solstrålene mot jorda faller parallelt med ekvatorplanet. Jeg tegner også en

2005 tangenten�0

Sol, tid …

figur der vi kan tenke oss å se ned på jorda fra et sted langt ute i rommet, i jordaksens forlengelse (figur 8). Randa vi ser, er da ekvator. I punktet P har jorda rotert en viss vinkel g etter ”midtdag”, dvs. det er gått g/15 timer fra midtdag. (360° svarer til 24 timer, og f. eks. 90° til 6 timer.) Pga. samsvarende vinkler ved parallelle linjer ser vi at k = g, og da har vi jo ganske enkelt:

(4) h = 90° – g

Dermed blir «solens gang-grafen» for vår- eller høstjevndøgnet ved ekvator slik:

Ekvator

h

kP

Nγ

Figur �

12 18 kl.24 06 12 18

90°

–90°

Figur �

– Jaha. Sola står altså i senit kl. 12, og synker så med jevn fart til den blir borte kl. 18, og går videre ned under horisonten fram til midnatt. Deretter stiger den like jevnt, står opp kl. 6 og klatrer til senit kl. 12 igjen.– Du, nå har vi faktisk funnet funksjonsuttryk-ket og grafen for solhøyden h i to spesialtilfeller, ved nordpolen midtsommers og ved ekvator ved vår- og høstjevndøgn. Det er da en start. Men en ting til slår meg: Denne siste grafen, med de lineære delene, den passer slett ikke med noen sinuskurve! Den generelle løsningen for h må nok være mer komplisert. Dette må vi spekulere mer på, tror jeg.

En fortsettelse av denne artikkelen finner du i Tangenten nr. 1 og 2, 2000.


Mange emner fra matematikkhistorien kan være egnet til å ta opp i klasserommet. Jeg har lett etter tema som kunne passe for mellomtrin-net og ungdomsskolen, og spesielt vært opptatt av algebra og ligningsløsning. Under letingen etter slike emner kom jeg over et arbeide av den tyske matematikeren Adam Ries. Dette arbeidet forbauset meg, og jeg tror det kan være med på å «piffe opp» undervisningshverdagen.

Adam Ries levde på 1500-tallet. Han arbeidet som «regnskapsansvarlig» i en stor gruvebedrift som tilhørte fyrstene Albert og Ernst av Sach-sen. Arbeidet innebar utfordringer som vi i dag vanskelig kan forestille oss.

Tyskland var på den tiden delt opp i et myl-der av små fyrstedømmer, og hadde like mange forskjellige valutaer. Malmen som ble utvunnet ved gruvene, ble solgt i store deler av Tyskland. Kjøperne betalte med forskjellige valuttaer, og kursene vekslet stadig. Av den regnskapsan-svarlige krevde dette store regneferdigheter. Dette desto mer siden titallsystemet så vidt var kommet til Europa. Desimaltall (kommatall) var stort sett ukjente, og all regning med tall

som ikke var hele, var «selvfølgelig» brøkreg-ning. Regning på papir var en ferdighet som bare noen få utvalgte behersket. Adam Ries hadde det nødvendige regnetalent for å utføre slike beregninger.

I tillegg til «økonomiansvaret» i bergverket drev han også en privat «regneskole». Han utga også en del regnebøker som lenge ble brukt i Tyskland. Ennå i dag kan en høre folk si: «Nach Adam Ries macht das zwei Euro fünfzig» når ekspeditøren har lagt sammen prisene.

Adam Ries argumenterte for de arabiske tallene og posisjonssystemet sine fortrinn, dvs. titallssystemet kontra romertallene. I sin regne-skole underviste han blant annet i regning på papir, og han argumenterte for at slike regnin-ger skulle avløse bruken av abakus som til da var det rådende hjelpemiddel. Med papirreg-ningen ble også algebraen enklere dvs. løsning av ligninger.

I regnebøkene angir og forklarer Ries flere metoder til løsning av ligninger. Noen av me-todene brukes også i dag, mens andre metoder var «gammelmodige» allerede på hans tid. Re-gula falsi er en slik metode. Metoden var kjent allerede i Babylon, og er dermed eldre enn alt vi kjenner fra den greske matematikken. Det spesielle med regula falsi er at den gir oss en mulighet for å løse ligninger uten kunnskap om formell algebra, dvs. uten kunnskap om

Christoph Kirfel

Regula falsi – et gammelt triks for å løse ligninger



Algebra

å «flytte tall og bokstaver» fra den ene til den andre siden av likhetstegnet. Metoden består utelukkende av en regneoppskrift.

La oss se på et eksempel som også er brukt av Adam Ries. Vi siterer fra hans egen oppgavesamling:

«Item / einer spricht: Gott grüss euch Gesel-len alle dreyssig. Antwortet einer / wann vnser noch so viel vnd halb so viel weren, so weren vnser dreyssig. Die frag / wie vil jhr gewesen?»

En sier: «Vær hilset alle dere tredve svenner». En annen svarer: «Hadde vi vært dobbelt så mange og halvparten til, da hadde vi vært tredve». Spørsmål: Hvor mange var de?

I moderne «språkdrakt» får vi en ligning som kan se slik ut:

x x

x+ + =2

30

I stedet for å gå gjennom hele prosessen med å slå sammen variablene, flytte og dele foreslår Ries en prosedyre som vi med våre symboler kan beskrive slik:

Sett inn et vilkårlig tall for x og regn ut for-skjellen mellom høyre og venstre side.

Vi setter inn i ligningen over og får

16 1616

240+ + = .

Vi har nå beregnet hver av sidene, 40 og 30. Dif-feransen mellom dem kalles sideforskjellen og er her 10.

Ries kaller tallet 16 en falsk løsning – derav regula falsi. Sideforskjellen s

1 = 10 kaller han for

løgn. Den falske løsningen «lyver» med 10, dvs. venstre side er 10 fra høyresiden, altså 10 fra en korrekt løsning. Ries tar nå en ny «stikkprøve» og setter inn en ny «falsk løsning». Denne gang velges tallet x = 22. Samme beregning som over gir sideforskjell 25.

Vi kan sette opp følgende skjema/tabell:

Falsk løsning Sideforskjell

x� �� s� �0

x� �� s� ��

Regula falsi sier nå at den korrekte løsningen beregnes på følgende måte: Kryssmultipliser de falske løsningene med sideforskjellene og trekk produktene fra hverandre. Divider dette resul-tatet på differansen mellom sideforskjellene og det svaret du får er den søkte løsningen.

Hos oss blir det slik:1. Kryssmultipliser og trekk fra hverandre:

16 · 25 – 10 · 22 = 180

2. Del resultatet på differansen mellom side-forskjellene:

180

25 10

180

1512

-= =

Den korrekte løsningen er altså her 12.En formalisering av regelen ved hjelp av våre

symboler er:

x

x s x s

s s=

--

1 2 2 1

2 1

Det forbausende med oppskriften er at den alltid gir løsningen av en lineær ligning med en variabel. Vi trenger ingen kunnskaper om å flytte symboler, bokstaver eller tall fra en side til en annen. Det eneste som trenges er regnekunn-skaper i addisjon, multiplikasjon, subtraksjon og divisjon.

I vårt eksempel hadde det nok vært atskillig enklere å løse ligningen på den formelle må-ten vi er vant med fra skolen. Regula falsi kan imidlertid brukes på langt mer kompliserte ligninger hvor den algebraiske utfordringen er langt tøffere. La oss se på et eksempel:

4(x + 13) – 3x + 9 = 2(x – 3) + 7(x + 1) + 20


Algebra

Vi velger oss to falske løsninger x1 = 3 og

x2 = 6, som gir oss s

1 = 16 og s2

= –8. Vi kryss-multipliserer og trekker fra:

3 · (–8) – 6 · 16 = –120.

Resultatet deles på differansen mellom sidefor-skjellene

-

- -= =120

8 16

120

245

og 5 er den søkte løsningen.

Vi må være obs. på rekkefølgen av s1, x

1, x

2 og

s2. Dessuten må en passe godt på minustegn. Vi

ser her at metoden også fungerer for ligninger der vi ikke har «ryddet opp» og samlet x-ene på en side, og alle konstantene på den andre siden. Ligningen kan bare få stå ubearbeidet.

Dette kan muligens være en fordel for elever som synes ligningsløsning er en abstrakt pro-sess, og som har problemer med flytting av symboler. Til gjengjeld må en være klar over at regula falsi ikke gir oss løsningen gratis. Den krever – som vi så i det siste eksempelet – at en er meget nøye med fortegn og husker rekkeføl-gen på uttrykkene som inngår.

Vi skal nå bevise regula falsi for lineære lig-ninger. Vi antar ligningen ikke er ryddet opp i slik at vi på hver side har x-ledd og konstanter. Disse kan vi godt tenke oss slått sammen slik at ligningen blir

Vx + v = Hx + h.

Løser vi ligningen på standard måte får vi

xh v

V H= -

-.

Vi skal nå vise at regula falsi gir samme løs-ning. Setter vi de falske løsningene x

1 og x

2 inn

i ligningen får vi sideforskjellene

s1 = (V – H) · x

1 + v – h og

s2 = (V – H) · x

2 + v – h.

Ifølge regula falsi beregnes nå løsningen som

xx s x s

s s

x V H x v h x V H x v h

V H x x

=--

=-( ) + -( )- -( ) + -( )

-( ) -

1 2 2 1

2 1

1 2 2 1

2 1(( )=

- - -- -

= --

x v h x v h

V H x x

h v

V H

1 2

2 1

( ) ( )

( )( )

I noen tilfeller er det intuitivt rett at regula falsi fører frem til rett svar. Tenk deg at du ønsker å løse en ligning og du har testet to tall x

1 og x

2. I

det første tilfellet er venstre siden et visst beløp for lite, i det andre tilfellet er venstre siden det samme beløpet for mye. Intuitivt vil vi da tippe at den korrekte løsningen er tallet midt mellom de to testtallene, dvs. gjennomsnittet av de to testtallene våre. Et eksempel:

40x – 12 = 35x + 18.

Vi tester tallet x1 = 4. Venstre siden er nå 10 for

lite i forhold til høyre siden. Vi tester så tallet x

2 = 8 og får at venstre side nå er 10 for stor.

Det er da rimelig å anta at den rette løsningen – der venstre og høyre side er like store – ligger halvveis mellom 4 og 8. I dette tilfellet medfører denne antakelsen at x = 6 er løsningen. Regula falsi brukt på ligningen gir

x = ◊ - ◊ -

= ◊ +◊

= + =

( ( ))

( )

4 10 8 10

1010 4 8

2 104 8

26

Fra det foregående er det lett å se at løsningen er gjennomsnittet av testtallene hvis sideforskjel-lene er motsatte tall, dvs. har samme tallverdi, men forskjellige fortegn.


AlgebraTil slutt en liten nøtt: Du løser en ligning ved hjelp av regula falsa. Det viser seg at ett av test-tallene dine x

1 eller x

2 gir sideforskjell 0, dvs. er

den rette løsningen. Hva gir regula falsi i dette tilfellet?

Det går også an å se på regula falsi fra et geometrisk perspektiv og komme frem til den samme regelen ved hjelp av noen enkle geome-triargumenter. Stort sett trenger vi ikke mer enn formelen for linjer i et koordinatsystem og litt kjennskap til formlike trekanter.

Problemet var som følger: Gitt en lineær lik-ning Vx + v = Hx + h, som ikke behøver å være «ordnet». Dvs. begge sider må gjerne inneholde både variabelen x og eventuelle konstantledd. Ved å sette inn to vilkårlige «falske løsnin-ger» x

1 og x

2 for x, finner vi sideforskjellene s

1

og s2 i begge tilfeller (venstre side minus høy-

re side). Dette er nok informasjon til å finne den «rette» løsningen for likningen. Vi fant at

xx s x s

s s=

--

( )1 2 2 1

2 1

er den korrekte løsningen.

Utfra den gitte problemstillingen

Vx + v = Hx + h

kan vi tolke hver av sidene av likningen som en lineær funksjon som gir oss en rett linje når vi tegner den inn i et koordinatsystem. Vi har f(x) = Vx + v og g(x) = Hx + h. Å løse den opp-rinnelige likningen blir da det samme som å finne skjæringspunktet mellom disse to liknin-gene. Med utgangspunkt i to «falske løsninger» og de tilhørende sideforskjellene skal vi nå løse dette problemet på en geometrisk måte.

Trekantene OAB og OCD er formlike fordi sidene AB og CD er parallelle og vinkelen ved O er felles. Kaller vi skjæringspunktets første koordinat for x og utnytter vi at høydene på de loddrette sidene i trekantene står i samme for-hold som sidene AB og CD får vi

x x

x x

s

s1

2

1

2

--

= ,

eller x

1 · s

2 – x · s

2= x

2 ·s

1 – x ·s

1.

Ordner vi og løser mhp. x får vi

x

x s x s

s s=

--

1 2 2 1

2 1

,

akkurat som regula falsi tilsier. Nå kan det hende at x

1 og x

2 ligger på hver

sin side av skjæringspunktet. Da får vi en litt annen situasjon men argumentet er så å si det samme.

xx2 x

1 x

g(x) = Hx + h

f(x) =

Vx + v

s2 s

1

C

O

A

BD

y

Igjen er trekantene OAB og OCD formlike. Høydene er denne gangen gitt ved x

1 – x og

x – x2. Størrelsen s

2 er denne gangen negativ

siden vi trekker verdien på høyre side g(x1), fra

verdien på venstre side, f(x1). Dvs. at vi også i

denne situasjonen får

x x

x x

s

s1

2

1

2

--

= - .

Dermed får vi det samme svaret som i det første tilfellet og regula falsi fungerer også her.x x

y

x2

x1

O

BD

s1

s2

A

C

g(x) = Hx + h

f(x) =

Vx + v


Svein H. Torkildsen

Det svinger i Bodø!En matematisk modell

Takket være tidevannets endeløse svingninger mellom flo og fjære, kan det bli virkelig sving på matematikktimene også – med god hjelp av Regnereisens Oppgavebok 8, siste kapittel. Avsnittet har Tidevannet som overskrift, og det er altså Bodø havn det dreier seg om. Virkelig en fristende sak, som jeg måtte prøve ut – på min måte. Øyvind (9. klasse) ble ”forsøkskanin” i sine fagfordypningstimer. ”Kaninen” trivdes og la på seg atskillig matematikkunnskap.

Er du vill?Til oppgaven er det en tabell som viser vann-høyden i forhold til Sjøkartverkets null-linje. Tabellen viser vannhøyden i Bodø havn time for time fredag 8. november 1991. Øyvind blir bedt om å legge dataene fra tabellen inn i ei regneark-fil. Den jobben tar ikke lang tid, og snart sitter han der med en fin kurve på skjermen.

Først får vi ta oss tid til å undres litt over na-turens regelmessige svingninger. Men så: ”Tror du at du kunne lage et funksjonsuttrykk som passer til de målte dataene?” Svaret kommer kjapt: ”Er du vill? Kan det gå an?”. – Kurven skrives ut på papir (figur 1).

Det går – med godt verktøy Læreboka gir tips om at vi kan prøve med sin og cos på et graftegningsprogram. Øyvind slut-ter av regnearket og finner fram Grafbox. Han får litt erfaring med både sinuskurver og cosi-nuskurver. Men han konsentrerer seg fort om cosinuskurvene, for de ”starter oppe” slik tide-vannet også gjør. I løpet av timen får han utfor-sket effekten av tre konstanter (figur 2 og 3).

Neste time starter med en kort oppsumme-ring, og Øyvind blir bedt om å skrive ned det han nå vet om cosinusfunksjonen. Og slik blir hans notat:A. 3·cos(x). Høyere tall du skriver foran cos,

jo høyere blir bølgene.B. cos(x) + 3. Det er det tallet vi plusser på

i slutten av uttrykket som bestemmer midten av kurven.

C. cos(3·x). Hvis vi multipliserer x med et tall, blir kurven tettere.

D. cos(x/3). Hvis vi dividerer x med et tall, blir kurven slakere.

Vi oppsummerer i et generelt uttrykk: a·cos(b·x) + c – og her får vi repetert både mot-satte og inverse tall.

Modellen tar formNå får du prøve å lage et funksjonsuttrykk som kan passe til tidevannets svingninger. Hva vil

Svein H. Torkildsen arbeider ved Samfundets skole i Kristiansand, [email protected]


Funksjoner

du begynne med? Øyvind velger å starte med c, midten av kurven. Tabellen forteller at min er 71 cm og max er 300 cm. Snittet blir 185,5. Deretter tar han fatt på a, som forteller hvordan kurven skal være (høy eller lav): 300 - 185,5 = 114,5. Så langt går alt glatt, men han er mer usikker på hvordan han skal velge b. Kurven skal ”strekkes ut” eller ”være slakere”, så han vil dividere x med et tall. Øyvind hadde nettopp prøvd med 3, og det gav for ”slake” svingninger. Det blir til at han

gjetter på 2. En opptegning i Grafbox gir grafen i figur 3.

Tredje time står for tur. Regnearket med de målte vannhøyder kommer fram på ny. Klokkeslettet står i kolonne A og målte data i kolonne B. Øyvind setter inn sin formel i ”regneark-språk” i kolonne C, 114,5* cos(A1/2) + 185,5 (figur 4).

Dette ser ut til å være nære på. En grafisk opptegning bekrefter at dette er en brukbar modell. Men den kan bli bedre, og Øyvind fin-ner ut at det er 2-tallet som må endres. Etter litt prøving og feiling slår han seg til ro med 2,1. Han kan da få tegnet begge grafene i samme koordinatsystem. Det blir spennende å se hvor-dan den beregnede vannhøyde passer overens med de målte data. Figur 5 viser det endelige produkt. Det er en tydelig tilfreds elev som

skriver ut diagrammet.

Nok en utfordringKan en vanlig flink elev i 9.klasse få kontroll på trigonometriske funksjoner? Var vi bare heldige som fikk et så pass godt resultat på første forsøk? Øyvind fikk nok en utfordring som han løste med glans. Han laget funksjoner som beskrev hvordan høyeste og laveste vannstand varierte i løpet av en måned. Det overbeviste meg om at det i alle fall ikke bare var tilfeldigheter som førte til kurvene som er beskrevet.

Bortkastet tid?Den matematikken som her er beskre-vet, hører ikke til det vi vanligvis for-binder med matematikk i ungdoms-skolen. Likevel ser jeg fram til å la store deler av en klasse få arbeide med slike

0 3 6 9 12 15 18 21 240

50

100

150

200

250

300Bodø havn – tidevann 8.11.91

Klokken

cm

Figur �

Figur �

x2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24

-2

0

2

4cos(x)+3

3cos(x)

cos(x)

Figur �

x2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24

-1

-0,5

0

0,5

1

cos(x/3)

cos(3x)


Funksjoner

problem. Er det bortkastet tid? Vil det gå på bekostning av nødvendig eksamenstrening? Jeg forstår innvendingene, men er ikke så redd for at denne type matematisk aktivitet resulterer i dårligere eksamensresultater. Tvert imot. Jeg erfarer heller at når matematikken anvendes i realistiske sammenhenger, skjer det noe med stemningen i klassen. Det er i seg selv et pluss. Elevene blir nysgjerrige på sammenhenger og søker etter dem i flere forbindelser.

Dessuten kan dette arbeidet inngå i et tema med tilknytning til såvel naturfag som sam-funnsfag der en tar for seg andre sider ved naturfenomenet tidevann. Hvilke faktorer på-virker tidevannet? Hvilke konsekvenser har ti-devannet for daglig liv og virke der det er store svingninger? I Kristiansand havn merker vi lite

til tidevannet. Men en halv times forsinkelse med lossing eller lasting av et lasteskip i Kristiansand havn, kan gi tolv timers forsinkelse hvis båtens neste havn er London. Det er et fenomen havnear-beidere vet å minne om når det forhandles om lønn, ar-beidstid og spisepauser!

Kontekstens kraft ...Sammenhengen matematik-ken presenteres i, er av betyd-

ning for om det skal være interessant å jobbe videre med den. Her kunne vi holde konsen-trasjonen rettet mot en type grafer i flere timer. Stemningen steg etter hvert som tiden gikk og vi nærmet oss målet. Jeg kan vanskelig se for meg at vi kunne arbeidet med denne matema-tikken så lenge og så grundig uten det målet og den inspirasjonen som lå i selve konteksten. Den gjør på et vis matematikken meningsfull. Jeg har i arbeid med andre kontekster mer enn en gang fått dette spørsmålet av elevene: Er det system i alt? Og spørsmålet kommer nettopp mens vi arbeider med problem og utforsking knyttet til naturen, historien, samfunnet eller gjenstander vi kan undersøke nærmere.

Dessuten er selve konteksten en god støtte i kommunikasjonen omkring matematiske

tema. Da Øyvind under-søkte faktoren a i uttryk-ket a cos(x), kunne vi stille spørsmål som: Hvis det er stor forskjell mellom flo og fjære, hvordan må da denne faktoren være? Og da det stod om hvorvidt vi skulle multiplisere eller dividere x i cos(x) med et tall, kunne spørsmålet bli: Hvor mange ganger i døg-net er det høyvann? Mens

Figur �

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24

50

100

150

200

250

300

114,5cos(x/2) + 185,5

Figur �

0 3 6 9 12 15 18 21 240

50

100

150

200

250

300Tidevann – Bodø havn – 8.11.91

Klokken

cmva

nn

høy

de


Funksjoner

eksperimenteringen pågikk, kunne vi konsta-tere at ”nå er det ikke høyvann klokken 24, så vi må endre tallet vi dividerer x med”.

Arbeid med realistiske kontekster er en god katalysator når det gjelder å få i gang muntlig kommunikasjon, så vel i klassen som helhet som i elevgrupper. Diskusjon om hva proble-met består i og hvilke muligheter vi har for å finne en løsning, er en nyttig aktivitet i mate-matikktimene. Det gir en annen læringssitua-sjon enn når elevene sitter med sine egne tanker for seg selv - og bare kommuniserer med tegn på et papir. En muntlig eksamen skal jo blant annet vise hvordan elevene kan kommunisere muntlig om matematiske sammenhenger. En slik arbeidsform er god i så måte også - om det er et viktig mål for oss å trene til eksamen.

Etter at det var blitt arbeidet så pass grundig med cosinusfunksjonen, antydet jeg et par mu-ligheter til: Vi kan legge et ledd til x, f. eks. cos(x + 3). Vi kan også kombinere cosinusfunksjo-nen med en annen funksjon: cos(x)+x. Data-maskinen gir oss umiddelbart svar på hvilken innvirkning dette får på kurven, og Øyvinds konklusjon blir: Da kan vi jo få til nesten hva som helst!

– Om mulighetene ikke er ubegrensede, så er de i alle fall mange nok til flere års studier for de som ønsker å gi seg i kast med matema-tikken.

Til slutt blir Øyvind minnet om at til ek-samen i 9.klasse dreier det seg stort sett om å kjenne funksjoner av typen y = ax + b . Elevene mine har mange erfaringer med funksjoner, men nesten ikke erfaring med en så naken pre-sentasjon. Men med de nye erfaringene i bak-hodet, blir det ikke vanskelig å reflektere over hvilken innvirkning faktoren a og leddet b har på den lineære grafen. Nye erfaringer er knyt-tet til de som allerede var der. Ny kunnskap er konstruert, nye tråder er slått inn i den ”mate-matiske veven”.

Og enda er det sikkert sider ved denne ar-beidsformen som jeg ikke har sett eller evner å utnytte.

... og et velegnet verktøyUten datamaskin og passende programvare hadde det ikke vært mulig å utnytte konteksten tidevann på denne måten. Riktignok er det mulig å knytte mange andre gode oppgaver til tabellene som viser tidevannets svingninger, noe også nevnte oppgavebok gjør. Men uten dette verktøyet vil det neppe være mulig for grunn-skoleelever å gi seg i kast med utforsking av slike sammenhenger. Vi blir nå etter hvert i stand til å gi grunnskolens algebra og funksjonslære en ny dimensjon. Den vil kanskje ikke først og fremst øke ferdigheten i å håndtere bokstavuttrykk og funksjoner, men den kan avgjort bidra til å gi forståelse for hva det tjener til å kunne både konstruere og håndtere slike uttrykk. Og den forståelsen har nok vært mangelvare i skolen til nå. Vi bør gå spennende tider i møte når folk etter hvert kommer fram med sine erfaringer og gode idéer.


Kurt Klungland

Tetraedere og kuber i gangetabellen

Hvordan det hele begynte? Det husker jeg ikke. Tankene har bare kommet etter hvert som jeg har syslet med objektene, syslet både med hodet og med hendene.

Det følgende kan leses som en matematisk tekst, men mest av alt er det ’en advarsel’ om hvor tankene kan havne hvis de får kretse fritt og uhemmet. De behøver ikke bare gå rundt, de kan også havne i trekanter og firkanter, og dimensjoner er ingen hindring.

Vi starter enkelt, med …

Kvadrattall og oddetallJeg er glad i tall, særlig figurtall. Ser de for meg. Kvadrattallene for eksempel. De ligger der på rekke og rad og vokser med oddetal-lene. Selvfølgelig vokser de med oddetallene, ettersom du legger til ei rad på to av sidene (partall) og så legger du en ’brikke’ i hjørnet for at det skal bli et nytt kvadrat. Som i figur 1: 16 + 4 + 4 +1 = 25.

5·5=25. Og 25 ligger greit plassert på gange-tabellen, langs en, ja i grunnen langs den eneste diagonalen (Figur 2). («Allting har en ende, et tau har jammen to» – men rekka av naturlige tall har bare én ende – det første tallet, 1. Li-

kedan har et rektangel fire sider, men gangeta-bellen bare to, nemlig de to linjene av naturlige hele tall som står normalt på hverandre.)

På tvers av kvadrattallene er det noe interes-sant: 6·4 er 24, altså 1 mindre enn 25, og 7·3 er

XFigur �

� � � � � � � � � �0

� � � � �0 �� 0

� � � �� 0

� � �� 0 �� 0

� �0 �� 0 �� 0 �� 0 �� 0

� �� 0 �� 0

� �� 0

� �� 0 �� 0

� �� 0

�0 �0 �0 �0 �0 �0 �0 �0 �0 �00

Figur �

Kurt Klungland arbeider ved Samfundets skole, [email protected]

2005 tangenten�0

Tall

21, 3 mindre enn 24 og 4 mindre enn 25. Slik fortsetter det i begge retninger bort fra kva-drattallene. Og i disse differensene finner vi igjen oddetallene og kvadrattallene (Figur 3).

I rekka 25, 24, 21, 16, 9 minker tallene med oddetallene. Ovenfor har jeg prøvd å vise dette med rektangler. Det kan også beskrives med ’rektangel-setningen’ (a + b)(a – b) = a2 – b2, eller med ord omtrent slik: Når vi starter med et kvadrat og øker den ene sida med like mye som vi reduserer den andre, blir det nye rektanglet redu-sert med kvadratet av endringen.

Tetraedere av ’tallene på tvers’Nok om det. Når en går og tenker på slike skrålinjer, så kommer jo tankene inn på andre parallelle linjer, og da ikke bare de som står normalt på kvadrattallene, men også de som ligger mellom disse skrålinjene. En av disse er markert i gangetabellen i figur 2, nemlig linja

4, 6, 6 og 4.Og den er jo interessant. Er ikke det antall

kuler i det puslespillet jeg kjøpte på Vitensente-ret i fjor? Det som gikk ut på å lage et tetraeder av fire brikker: to med 4 kuler på rad, og to med 2·3 kuler? Jo, så sannelig. Og ikke bare det, men alle linjer som går normalt på hoveddiagona-len i gangetabellen er brikker i et tetraeder! Og hvilke brikker! Tetraederet er jo en romfigur, en trekanta pyramide, den regulære romfigu-ren som lages av færrest mulig sider, nemlig 4 likesida trekanter. Og disse ’brikkene’ av kuler

X X X

Figur �


Tall

er flate, plane. Men når de stilles på skrå oppå hverandre (snaut 60°), danner de et tetraeder, slik som du ser på bildet og i tegninga på for-rige side.

Fem trekanta pyramider er en kubeTetraedere i gangetabellen? Jasså. Da må vi gå litt bakover i tida: For et års tid siden satt jeg sammen med 10. klasse og lekte med brikker. Vi skulle forberede oss til eksamen og satt og laget ulike figurer av Polydron.

Da kom jeg i hu en oppgave jeg liker godt, en slik ’Aha-oppgave’, nemlig: Hva er vinkelen mellom disse to diagonalene på terningen?

Løsningen er jo elegant: Trekk den tredje diago-nalen, og vi har en likesida trekant, med vinkler på 60°.

Trekker vi den tredje diagonalen, får vi en trekanta pyramide som skjærer av en viss del av kuben. Hvor mye? – Jeg laget pyramiden, av én likesida og tre rettvinkla trekanter.

Har du sett på maken? Ja, jeg laget den óg, og da satt jeg der med to likesida pyramider som til sammen dekket bunnen av kuben og som ’strakte seg’ opp til to av ’de øverste’ hjørnene.

Vel, da så det ut som om jeg trengte to py-ramider til, og det stemte. De fire trekanta pyramidene utgjorde til sammen hele kuben. – Men det var et hull i midten? Hvor stort? Jo, innersidene på de fire brikkene var jo likesida trekanter, så jeg laget et tetraeder. Og satte det inni. Som hånd i hanske!

Vel, jeg kunne ikke sitte og holde på pyrami-dene hele tiden. (Plastbrikkene hadde utgli-dende tendenser, som da vi i 5. klasse skulle lage Borgund stavkirke i Jovo-brikker og endte opp med utstilling av ruinene på Domkirkeodden på Hamar!) Så jeg satte brikkene fra meg på bordet. Der lå de – i all sin prakt, fire små og en større. – Hvor mye større? To hjørnepyramider oppå hverandre var like høye som tetraederet, og med samme grunnflate ville det jo si at tetra-ederet var dobbelt så stort som hver av de andre pyramidene, og dermed 1/3 av hele kuben.


Tall

Tilfreds med meg sjøl og klassens resultater til eksamen, tok jeg sommerferie, med tetraedere og kuber surrende i bakhodet.

Det skader ikke å kjede segIfølge Jon Haugstad i siste nummer av Tangen-ten (nr 3, 2003), oppfant Piet Hein et puslespill mens han kjedet seg i en fysikktime.

Jeg har opplevd noe tilsvarende. Hva jeg had-de tenkt å høre på, husker jeg naturligvis ikke, men tankene gikk til gangetabellen. Jeg tenkte på hvor mange kuler jeg måtte kjøpe inn for å visualisere Den lille multiplikasjonstabellen, eller matematisk sagt: Hva er summen av alle tallene i alle mulige rektangler fra 1·1 til 10·10? Igjen fikk jeg bruk for ’rektangelsetningen’, da jeg vanligvis ikke tar med meg kalkulator til foredrag, (ja, ikke noen plass forresten, jeg bruker den innebygde: ’verkstedet’).

Sidene i gangetabellen er jo tallene fra 1 til 10, som er 55. Altså er det 55·55 ’kuler’ i tabel-len. 55·55 er jo 5,5·5,5·100 som igjen er (5·6 + 0,25) ·100.

Hvordan skulle jeg få råd til 3025 isopor-kuler? Vel, jeg er glad i tall, men de blir alltid så mye vanskeligere straks de kommer i nærheten av kr. NOK er NOK, mener nå jeg. Og så fløy tankene videre. (Er det det som kalles den as-sosiative lov i matematikken?)

Kuber av kuberTankene gikk på tvers. I stedet for å gå diagonalt ut fra kvadrattallene, falt tankene på illustra-

sjonen av kvadrater som sum av oddetall (figur 1). Og dermed laget jeg følgende figur, først i tankene, siden med centikuber (som jo er lettere å fotografere).

Her ser du centikuber. Pent ordnet på et bord, i alle fall noen av dem. Er dette gange-tabellen? Er gangetabellen det første du tenker på når du ser dette? Hvorfor tenker vi bare på gangetabellen som hundre tall? Hvor ofte har du latt elevene lage denne ’tabellen’ med knot-ter? Jeg hadde heller aldri gjort det før (og vi har foreløpig bare to tusen centikuber på skolen).

Det du ser ovenfor, er rett og slett den en-kleste firedelen av den lille gangetabellen:

Jeg måtte lage rektanglene av kuber, fordi jeg hadde tenkt å stable dem oppå hverandre. (Det er vanskelig med kuler, hvis en ikke kan stikke pinner mellom dem.) Og resultatet av bygginga ser du på neste side.

Kvadrattallene utgjør bunnplatene i kubene, og så ligger rektanglene på den ene sida ’i trapp’ oppover fra N·(N – 1) til N·1, og rektanglene på den andre sida i ei omvendt trapp, slik at de til sammen utgjør ei kube på N·N·N. Hvilket vil si at 3025 er summen av de 10 første kubikktal-lene, eller antall brikker i det tiende kubikktår-net, om du vil. Som igjen betyr at kvadratet av de N første trappetallene er summen av de N første kubikktallene.

Summer av trappetall er jo tetraedertallene, men tetraedere av kuler (appelsinhauger) kan

� � � � �

� � � � �0

� � � ��

� � �� 0

� �0 �� 0 ��

Figur �


Tall

også deles på skrå i plane skiver som vi finner igjen som rader i gangetabellen, på tvers av dia-gonalen med kvadrattallene. Og alt dette ser

vi i multiplikasjonstabellen, den tallsamlinga som alle helst bør kunne utenat!

Galskap eller kjennskap?Men så var det de andre folk da. Hvordan rea-gerer de på den tallgærne læreren som sitter og pusler med knotter og trekanter?

Det får bli en hemmelighet – kanskje også for meg! – Howard Gardner nevner flere intel-ligenser enn den romlige.

Men jeg er sikker på at for noen mennesker, heriblant også for noen av de i den store alders-gruppe som kalles elever, vil det være noen som kan trekke generaliseringer på grunnlag av ar-beid med slike konkreter – samt en enda større del som kanskje kunne ha fått mindre brist i sjøltilliten sin under innøving av gangetabellen hvis de hadde fått mulighet til bygge og flytte på kuler og knotter. – Skal vi gi dem en sjanse til å bli venn med tallene?


Christoph Kirfel

Beregning av påskefullmånen

Påskefestens opphav ligger i den jødiske tra-disjon. I gammeltestamentlig tid var ’pas-sahfesten’ en vårens jordbruksfest. Festen begynte ved første fullmåne etter vårjevn-døgnet og varte i en uke. Men etter at jødene hadde klart å kaste det egyptiske fangenska-pets åk fra seg fikk festen et nytt innhold. Det ble en minnefest om Israelittenes utgang fra Egypt. Det nye testamentet knytter påsken til Jesu død, langfredag og oppstandelses- søndagen etter påskesabatten.

Når den kristne menighet etter hvert hadde tatt den Julianske kalenderen i bruk – en ka-lender som utelukkende retter seg etter solen – ble det problematisk å bestemme en påske-dato som skulle beregnes etter månen. Dessu-ten ville mange ikke feire påsken samtidig med Jødefolket. Kirkemøtet i Nikæa 325 slo imid-lertid fast at:

Påskesøndag skal være den første søndag etter den første fullmåne etter 21. mars. Faller denne fullmånen på en søndag skal det være den neste søndag. Dermed vil påsken alltid falle mellom 22. mars og 25. april.

I den første tiden både før og etter kirkemøtet i Nikæa ble nok ikke denne regelen fulgt, men etter en lang strid mellom den aleksandrinske kirken, som hadde fått ansvaret for påskebereg-ningen, og den romerske kirken utarbeidet Dyo-nysius Exignus i 525 en påsketabell som etter en stund (det 8. århundre) ble fulgt av den ganske kristenhet. Dermed inntrådte en ’påskefred’ som varte i 800 år helt fram til den Gregorian-ske reform.

Nå er det meget komplisert å beregne må-nefasene helt nøyaktig siden månen noen gan-ger beveger seg raskere enn andre ganger. På den andre siden vil små avvik i beregningen av fullmånedatoen kunne gi store utslag for på-skedatoen. For å forenkle beregningen tok man nå ikke utgangspunkt i de astronomisk obser-verte månefasene men i en ’tenkt måne’ som har en jevn bevegelse og som stemmer ganske bra overens med de astronomiske data. Denne tenkte månen kan av og til avvike litt fra den månefasen en kan se på nattehimmelen. Det er en slags gjennomsnittsmåne. Denne modellen kalles for syklisk beregning av månefasene. Al-lerede grekeren Meton 432 f. Kr. hadde obser-vert at 235 månesykler ganske nøyaktig utgjør 19 år.

Etter Ptolomæus er månens synodiske om-løp 29,5305 døgn. Dermed utgjør 235 måneder 6939,689 døgn, mens 19 julianske år utgjør




6939,75 døgn. Forskjellen er liten og i løpet av 1000 år hoper den seg ikke opp til stort mer enn 3 døgn. Det betyr at hvert nittende år vil f. eks. fullmånen falle på de samme kalenderda-toene i året.

Et alminnelig år på 365 døgn er 11 dager lenger enn 12 fulle månesykler (354 døgn). Her regner vi en månesyklus på 29,5 døgn (12 · 29,5 = 354). Det betyr at påskefullmånen kommer 11 dager tidligere for hvert år. Her (i den sykliske beregningsmåten) velger man faktisk å se bort fra skuddårsregelen. Over-skrider vi påskegrensen (21. mars) må vi gå til neste fullmåne 30 dager senere. Gjør vi dette 19 ganger etter hverandre så har påskefullmå-nens dato ’minket’ med 19 · 11 = 209 dager. For at dette skal bli et helt antall månesykler lot man den siste forminskingen være på 12 i stedet for 11 (saltus lunæ, månens hopp), slik at månefasene etter 19 år var tilbake på de samme kalenderdatoene (19 · 11 + 1 = 210 = 7 · 30 må-nesykler), slik at det passet med Metons og Pto-lomæus observasjoner. Siden månefasene faller på de samme datoene i året etter 19 år er det nok å kjenne påskefullmånens dato for 19 på-følgende år.

Nå er det imidlertid bestemt at påskefull-månen aldri må inntreffe før 21. mars. Det be-tyr at påskefullmånen må ligge i tidsrommet 21. mars og 30 dager senere 19. april.

Kirken bestemte at fullmåner som faller på den 19. april skal tilbakedateres til 18. april.

På samme måte skal en påskefullmåne som faller på den 18. april tilbakedateres til 17. april for å unngå at påskefullmånen faller 2 ganger på 18.april. Dette gjelder perioden 1900–2199.

Året 1900 var påskefullmånen 14. april. Året etter kom fullmånen 11 dager tidligere 14 – 11 = 3 april. For hvert år ’minker’ påske-fullmånedatoen med 11 unntatt i det 19. året der den minker med 12 (saltus lunæ, månens hopp) og vi er tilbake til utgangsdatoen 14. april.

Nå gjentar månefasene seg etter 19 år og vi

kan beregne alle påskefullmåner med utgangs-punkt i denne tabellen.

Vi lager en påskeskive:Ta to kopier av ’Påskeskive 1’. Klipp ut den lille sirkelen i en av kopiene. Denne skal festes med splittbinders på den store sirkelen.

Først fyller vi inn årgangene fra 00 til 18. Siden fullmånedatoene gjentar seg etter 19 år kan vi skrive tallet 19 i samme sektor som 00, årgang 20 havner i samme sektor som årgang 01, osv. På den måten kan vi fylle inn hundre årganger fra 00 til 99.

I ytterringen fyller vi nå inn datoene for på-

Årstall Påskefullmåne

��00 ��. april

��0� �. april = ��. april – ��

��0� ��. mars = �. april – ��

��0� ��. april = ��. mars + �0

��0� ��. mars = ��. april – ��

��0��. april (��. april = �0. mars + �0 tilbakedatering gir ��. april)

��0� �. april = ��. april – ��

��0� ��. mars = �. april – ��

��0� ��. april = ��. mars + �0

��0� �. april = ��. april – ��

��0 ��. mars = �. april – ��

�� . april = ��. mars + �0

�� . april = ��. april – ��

�� . mars = �. april – ��

�� 0. april = ��. mars + �0

�� 0. mars = �0. april – ��

��. april (��. april = ��. mars + �0tilbakedatering gir ��. april)

�� . april = ��. april – ��

�� . mars = �. april – ��

Saltus lunæ

�� dager tidligere



skefullmånen. Vi kan begynne et vilkårlig sted med 14. april. Så går vi en sektor mot høyre og skriver 3. april. Slik fortsetter vi til vi har fylt ut den siste sektoren med 27. mars. Datoene henter vi fra tabellen. Vi monterer nå den lille skiven i midten med en splittbinders. Så setter vi pilen på den lille skiven på årgang 00 og fin-ner frem den korrekte påskefullmåne datoen for året 1900 (som var den 14. april). I den til-hørende sektoren på den lille skiven skriver vi nå 1900–1999. For å finne datoen til påskefull-månen i et bestemt år mellom 1900 og 1999, f. eks. 1957 setter vi pilen på den rette årgangen 57, så går vi til sektoren der det står 1900-1999. Denne peker nå på den korrekte datoen for på-skefullmånen.

For å finne plasseringen av århundret 2000–2099 er det nok å finne den rette påske-fullmånedatoen for året 2000. Peker pilen på årgangsfeltet til høyre for 99 leser vi påskefull-månens dato av som 18. april. Det betyr at det i år 2000 = 1999 + 1 falt påskefullmånen på den 18. april. Denne informasjonen kan vi nå ut-nytte til å plassere århundret 2000–2099 i en

sektor i innerringen, slik at denne peker på 18. april når pilen peker på årgang 00. På samme vis kan en også få plassert 2100–2199. Påske-skiven er nå gyldig for 300 år. Ønsker vi en mer omfattende oversikt må vi lage en ny skive der vi også tar hensyn til noen korreksjoner som ble foretatt i tidenes løp.

Korreksjoner for tidligere og senere tidsperioderSiden den gregorianske reformen kuttet ut 3 skuddager i løpet av 400 år ville årets påske-fullmånedato også bli forandret for hver gang en dag ble utelatt i den gregorianske kalender i forhold til den Julianske som var utgangspunkt for påskeberegningen. For å bøte på dette må man ’forøke’ datoen for påskefullmånen med

en dag hver gang den gregorianske kalender ute-later en skuddag. Dette fenomenet heter soljev-ning (æquatio solaris), se tabell 2.I tillegg måtte også den 19-årige månesy-klen forbedres. Man gikk nå ut fra de prute-niske tabeller i følge hvilke en månesykel er 29,53059236 døgn. Dvs. at 235 måneder inne-holder 6939,689205 døgn. Forskjellen fra 19 juli-anske år blir 0.060795 døgn. Etter 312,5 år vil denne forskjellen hope seg opp til 1 døgn. For hver periode på 312,5 år vil fullmånen altså inn-treffe 1 dag tidligere enn formelen hittil tilsa.

Figur: Påskeskive � Tidsperiode Soljevning

��–�� – �

��00–�� – �

��00–�� – �

��00–�� 0

�000–�0�� 0

��00–��

��00–��

��00–��

��00–��

��00–�� Tabell �



Påskefullmånen måtte derfor flyttes tilbake en dag. Dette fenomenet kalles månejevning (æquatio lunaris). Slik skulle altså påskefull-månedatoen justeres 8 ganger i løpet av 2500 år siden 8 · 312,5 = 2500.

For første gang i 1800, deretter i årene 2100, 2400, 2700, 3000, 3300, 3600, 3900, 4300, 4600 … Vi ser at tilpasningene er foretatt i se-kelår (årstall som slutter på 00). Det er forstå-elig at en justering etter 312,5 år ville gitt en uhåndterlig formel.

Vi ser at det er 7 sprang på 300 år og ett sprang på 400 år i løpet av en 2500 års periode. Vi får dermed følgende tabell for månejev-ning:

Tidsperiode Månejevning

��–��

��00–�0�� 0

��00–�� – �

��00–�� – �

��00–�� – �

�000–�� – �

��00–�� – �

��00–�� – �

��00–�� – �

��00–�� – �

Tabell �

Vi setter alle korreksjonene i en tabell og bereg-ner den samlete effekten (tabell 4). Vi samler så korreksjonene i tabell 5.

Disse korreksjonene skal nå bakes inn i på-skeskiven slik at denne gjelder for vel 1000 år (fra 1583 til 2599).

Vi tar utgangspunkt i den skiven vi har laget og deler den ytterste datoringen i fem felt for hver av de 19 sektorene. I det midterste av fel-tene skriver vi datoen som gjelder i tidsperio-den 1900–2199, altså det vi allerede har funnet ovenfor.

Først plasserer vi århundret 1800–1899 i innerringen fem felt før 1900–1999. Vi farge-legger denne innersektoren grønt og registrerer

Tidsperiode Samlet korreksjon

��-�� -�

��00-�� -�

��00-�� 0

��00-��

��00-��

��00-��

��00-�� Tabell �

i ytterfeltet den korrigerte datoen i felt num-mer to i hver sektor som vi også fargelegger grønt. Korreksjonen er –1 i tabellen. Det betyr at den passende datoene er en dag før datoen i feltet for perioden 1900–1999. Altså 14. april blir til 13. april osv. Her er der imidlertid en del ’feller’. For eksempel kan ikke 21. mars korrige-res til 20. mars, siden vi da overskrider påske-grensen. 21. mars blir da korrigert til 19. april og pga. kirkens tilbakeflyttingskrav blir den så satt til 18. april.

Nå kan det hende at en påskefullmåneta-bell for en tidsperiode inneholder 18. april men ikke 19. april (før tilbakedatering). Da er det ikke nødvendig med flytting av påskefullmå-nen til 17. april for å unngå dobbelbruk av da-

Tids-periode

Sol-jevning

Måne-jevning

Samlet korreksjon

��-�� -� � -�

��00-�� -� � -�

��00-�� -� 0 -�

��00-�� 0 0 0

�000-�0�� 0 0 0

��00-�� -� 0

��00-�� -� �

��00-�� -� �

��00-�� -� �

��00-�� -� �

Tabell �



toen 18. april. I disse tilfellene benyttes 18 april for påskefullmånen.

18. april i perioden 1900–1999 som er re-sultat av en tilbakeflytting blir korrigert til 18. april i perioden 1800–1899. Til slutt: 17. april som er resultat av en tilbakeflytting blir også korrigert til 17. april i perioden 1800–1899. På samme måte fortsetter vi med de andre århun-drene og ender opp med en påsketabell som gjelder i 1000 år.

Det forekommer at den sykliske beregnin-gen av månefasene avviker noe fra de astrono-misk observerte månefasene. I slike tilfeller f. eks. 1943 kan til og med en oppmerksom lek-mann forundre seg over at påsken nettopp ikke faller på den første søndag etter første fullmåne

etter vårjevndøgnet. Men dette skyldes da at man har bestemt seg for den sykliske metoden for å beregne den aktuelle fullmånen mens den astronomiske fullmånen gjerne inntreffer like før eller like etter. Slike fenomen kalles påske-paradoks.

I historiens løp har protestanter og katolik-ker til tider beregnet påskedatoen etter forskjel-lige oppskrifter og feiret påsken på forskjellige datoer. I dag beregnes imidlertid påsken etter den sykliske metoden verden over.

Om illustrasjoneneKopieringsoriginaler (i A4-størrelse) til de to påskeskivene kan du laste ned fra nettet: www.caspar.no/tangenten/�00�/paaskeskiver.pdf


Christoph Kirfel

Broderier med matematikk

De fleste av oss har sett flotte geometriske mønster brodert på papplater eller kjempe-symmetriske spindelvev spunnet mellom et nett av spiker på en treplate akkurat slik som du kan se dem her på tegningen. Mønstrene er ofte veldig tiltalende og estetiske. For en stund siden var de veldig mye brukt som innslag i for-mingsundervisningen. Elevene kom hjem med disse moderne kunstverkene sine til foreldre-nes fortvilelse som fikk fylt opp kjellerstuer og loft med litt tvilsomme prydgjenstander. Idag skal vi pusse støvet av disse «antikvitetene» og se hva som gjemmer seg bak 70-tallets elev-kunstverk.

Få har nemlig tenkt over den matematikken som ligger bak. I denne artikkelen legger vi til rette for aktiviteter som gir oss innsyn i denne matematikken. Vi skal sy oss et meget pent mønster etter en veldig enkel regel. Varierer man mønsteret får man et mangfold av former som til slutt kan bli så kompliserte at vi neppe klarer å analysere dem mere. Men grunnfor-men er overkommelig og forståelig for oss også med beskjedne matematiske midler. Derfor skal vi også løfte sløret og analysere matema-

tikken som er innvevd i disse broderiene.

Vi trenger: · En stiv papplate · En syl, eller spiker· En kraftig nål. · Flere tråder, 5m· En linjal og en blyant.

Vi setter igang: · På papplaten tegner vi to rette linjer som

møtes i et punkt M på platen.· Linjene deler platen i fire deler. Papplaten

utnyttes optimalt hvis den ene av delene nærmest tar all plassen mens de andre «kvadranter» er relativt små.

· På den ene linje (L) lager vi oss nå en skala. Dvs. vi merker av punkter med samme avstand og så merker vi punktene med


2005 tangenten�00


1, 2, 3, osv. til 10. Skjæringspunktet M får da nummer 0.

· På den andre linjen (H) lager vi oss en lik-nende skala. Vi behøver ikke bruke samme målestokk her, bare den innbyrdes avstan-den mellom punktene er den samme. Igjen nummererer vi fra 1 til 10. Endepunktene, dvs. punktene som har fått nummer 10, kaller vi for A og B henholdsvis.

Med sylen lager vi oss hull gjennom de markerte punktene og syr tråden etter følgende mønstere: L1→H9, L2→H8, L3→H7 osv. til L9→H1.

Vi gjør etter hvert en merkelig oppdagelse. Trådene våre lager et pent mønster. Det ser ut som om de omslutter en usynlig figur og denne figuren likner en parabel.

Hvis vi har dårlig tid kan vi selvfølgelig teg-ne alt sammen bare på papir. Det blir kanskje ikke fullt så råflott, men du kan se nøyaktig den samme effekten. Det går også an å spikre opp en rekke med spiker på en treplate og så spenne tråder mellom spikrene.

Presisering av regelen for trådenes gang i matematisk språkForholdet mellom linjestykkene MP og PA skal være det samme som forholdet mellom QB og MQ. (Her svarer P og Q til hullene som blir for-bundet med en tråd.) Dette kan vi formulere slik:

MP

PA

QB

MQ=

AnalyseVi prøver nå å forklare fenomenet matematisk og ser derfor på en enkel utgave av en parabel. Parabelen vi her ser på har formelen y = x2.

Vi har også tegnet inn to tangenter. Tan-geringspunktene A og B har fått koordinatene A = (a, a2)og B = (b, b2). Ved hjelp av deriva-sjon finner vi at stigningstallet til de respek-tive tangentene må være 2a og 2b henholdsvis. Siden a er negativ peker den første tangenten nedover mens den andre med posistiv stigning peker oppover som forventet. Dermed er det lett å sette opp likningen for tangentene og fin-ne skjæringspunktet M. Den første tangenten

har nemlig likningen y a

x aa

--

=2

2 , mens den

siste får likningen y b

x bb

--

=2

2 .

tangenten 2005 �0�


Vi forenkler og får y a x a a= - +2 2( ) , dvs. y ax a= -2 2 for den første og y bx b= -2 2 for den andre tangenten. Skjæringspunktet M finner vi ved å sette y-verdiene like, altså

2 22 2ax a bx b- = - som gir oss xa b= +

2.

Dette er i grunnen en bemerkelsesverdig opp-dagelse. Vi kan tolke den slik: Vi ser på to linjer som tangerer samme parabel. Linjene vil skjære hverandre. Skjæringspunktets x-koordinat er da gjennomsnittet av tangeringspunktenes x-koor-dinater. Eller sagt på en nonchalant måte: Tan-gentene til en parabel treffes halvveis mellom tangeringspunktene. Dette gjelder da bare x-verdiene og ikke y-verdiene. Våre to tangenter svarer til de to rette linjene vi startet med før vi begynte å sy mønsteret vårt.

Legger vi nå inn en tredje tangent som be-rører parabelen i punktet T med koordinatene (t, t 2) så skjærer denne nye tangenten de to opprinnelige tangentene i to punkter. Vi kaller dem P og Q. Disse må da ha følgende x-koor-

dinater: For P er x-verdien xa t

P = +2

og for Q

har vi xt b

Q = +2

. Situasjonen ser da slik ut:

Nå kan vi ta en titt på lengdeforholdene AP

PM

og MQ

QB som er viktige i følge regelen for trå-

denes gang som vi satte opp til å begynne med. Vi kan tenke oss at punktene A, P, M, S og R danner to likeformete trekanter som ligger inne i hverandre.

Siden vi bare er interessert i forholdstallet

kan vi like godt se på SR

RM i stedet for

AP

PM.

Trekantene er jo formlike og forholdstallet må derfor være det samme. Vi finner altså

AP

PM

SR

RM

a ta

a b a tt a

b t= =

+ -

+ - + = --

2

2 2

og

2005 tangenten�0�


MQ

QB

t b a b

bt b

t a

b t=

+ - +

- + = --

2 2

2

Forbløffende nok er altså begge forholdene like, akkurat som regelen som vi formulerte i starten tilsier. Den tredje tangenten som vi la inn opp-fyller altså nøyaktig regelen om like forhold og svarer dermed til en av trådene som vi syr fra hull til hull. Det betyr at kurveformen som vi valgte, nemlig parabelen, var korrekt.· Hva skjer forresten hvis vi velger punkter

på linjen H som ville fått et nummer som var høyere enn 10, la oss si 11 eller 12? Kan vi fortsatt finne motsvarende punkter på linjen L slik at forbindelseslinjen tangerer parabelen? Hva skjer nå med forholdene av linjestykkene som vi satte en regel opp for?

· Hvilket punkt på linjen H må forbindes med A for at det skal bli en tangent til parabelen?

· Vi kan velge forskjellige linjepar og studere hvilken effekt vinkelen mellom linjene har på parabelens åpning og plassering.

· Vi kan også variere mønstert vårt. I stedet for å nøye seg med to linjestykker kan vi arbeide med en trekant der hver side får en skala. På den måten kan vi få tre parabler som tilsammen gir mønsteret som vi åpnet artikkelen med. Firkanter vil også være mulig eller sikk-sakk-linjer som vist neden-for. Nå er det bare fanatsien som begrenser.

En veldig god innføring i den matematiske bro-derikunsten finner du i «Curve Stitching, The art of sewing beautiful mathematical patterns», Jon Millington, Tarquin Publications (1989), ISBN 0-906212-65-0.


Hans Isdahl

Er jorda flat eller rund?Erasmus Montanus og geometri

Det var ingen overraskelse for vikingene at ski-pene sank i havet når de var et stykke fra land. I Olav Trygvassons saga fortelles det – med van-lige underdrivelser – at Raud seilte så langt ut at masta var usynlig for kongen. Og: «Tore ble seint ferdig i havna, men da de fikk opp seilene, styrte de ut gjennom Vestfjorden og derfra ut på havet og så sørover langs land så langt ute at sjøen stod midt i liene, eller at landet stun-dom sank i sjøen; slik lot han det gå sørover til han seilte inn i Englandshavet og kom fram til England.»1 Eller: «Da han hørte de var kommet i Fjordane og lå og ventet på bør for å seile nord forbi Stad, så seilte Håkon Jarl sørover forbi Stad så langt ute at de ikke kunne se seilene hans fra land. Nå lot han det gå havleia østover langs landet og kom fram til Danmark, derfra seilte han i austerveg og herjet der om sommeren.»2

Det kan virke som om vikingene visste at de bodde på ei kule. Sjøl kan jeg ikke huske at jeg syntes det var rart da jeg som liten fikk vite at vi gjør det. Derimot synes jeg stadig det følgende er rart: En kuleforma appelsin har en radius på 3 cm. Trekker vi et snøre stramt rundt midten på appelsinen, blir snøret snaue 19 cm langt.

Trekker vi et snøre rundt ekvator på jordklo-den, blir det 40 000 km langt. Hvis vi vil løfte snøret rundt appelsinen 7 cm opp, vil vi måtte skjøte inn ca. 44 cm. Så langt ser alt greitt ut. Men hvis vi så vil heve snøret rundt jorda med 7 cm, må vi skjøte inn – tro det eller ei – like lite: 44 cm!

Professor Hans-Henrik Stølum, spesialist på jorda, har målt elvelengder og sammenlikna faktisk lengde på elver med den korteste ruta ei elv kunne tatt dersom den ikke meandrerte – den rette linja: Forholdstallet blir 3,14.3 Siden dette er resultater av målinger og sannsynligvis umulig å gjennomføre noe matematisk bevis for, kan vi ikke slutte at tallet er p. Men for ma-tematikeren – eller skal vi kalle ham estetikeren – sin skyld hadde jo akkurat det vært et drøm-mesvar. (En tilsvarende empirisk sammenheng mellom matematiske konstanter husker jeg fra min egen studietid: ’Idealtemperaturen for pils er p2 – e grader.’)

’Oppgavene’ i denne artikkelen (i fargete bokser) er ment som mulig inspirasjon i un-dervisningssituasjoner der emnene berøres. Det finnes ikke nødvendigvis noen fasit – na-turligvis.

«Han tegner Landkort og læser Loven/Han er saa flittig som jeg er doven.»5 skreiv Johan Herman Wessel om sin jordmålende bror Cas-par. Og landmåleren, som beskjeftiget seg med

Hans Isdahl arbeider ved Nordreisa videregående skole, [email protected]



konkret, handfast matematikk der en skulle komme langt med positive rasjonale tall, måtte ty til de imaginære tallene allerede i 1785, før noen andre.6

Store vann på Finnmarksvidda – og andre vakre steder – er ganske lange, trass i at det er små vann vi snakker om. Hvis vi tenker oss et 5 km langt vann og sikter fra en bredd til den motsatte, vil siktelinja vår gå hele 60 cm under vannspeilet midtvegs. Ganske utrulig når vi tenker oss om. Og større vann i Norge gir langt mer imponerende resultater. Er vannet 11 km langt kommer siktelinja 2 m under vannspeilet, 22 km gir 10 m, 33 km gir 22 m, 44 km 39 m,

56 km 61 m og 110 km (Mjøsa) 242 m under vannspeilet!

Når man ferdes på havet er det viktig å kun-ne bedømme avstander. Til dette brukes tabel-ler for å lese avstand fra der du står med riktig øyehøgde (A på figuren neste side) og legge til avstand til det du skal se på (B på figuren), som du også må vite høgda på.7

Ellers er behovet for å måle omtrentlig av-stand sjølsagt, og har vært det lenge. Det er nyttig under jakt og krigføring, men også ved vurdering av avstander i andre sammenhenger. Et kjent knep er dette: Strekk ut armen og la

Egentlig er alle flater i vårt univers krumme – ikke-euklidske – fordi jordoverflata er krum. Det betyr at en sirkel på jordas overflate har en radius som ikke er ei rett linje: Den er lengre enn den radien vi vanligvis regner med: Hvor lang blir derved p på jorda? Enn p på månen?

Egypterne hadde en logisk sett bedre flateformel enn det vi har: A = (kd)� der k er en konstant og d er diameteren i sirkelen. Finn egypternes K. Egypterne valgte en tilnærma k som var en ’pen’ brøk.� Hva slags ’pen’ brøk ville du valgt som tilnærmingsverdi?

Hvor god p klarer du å måle ved hjelp av sykkelen din? Av det runde spisebordet?

Avstand (i nautiske mil) fra et fyr som dukker opp eller forsvinner i horisonten

0 3 4 5 6 7 8 9 12 15 0 0,0 �,� �,� �,� �,� �,� �,� �,� �,� �,� 5 �,� �,� �,� �,� �,� �0,� �0,� �0,� ��,� ��,� 10 �,� �0,� �0,� ��,� ��,� ��,� ��,� ��,� ��,� ��,� 50 ��,� ��,� ��,� ��,� ��,� �0,� �0,� �0,� ��,� ��,� 100 �0,� ��,� ��,0 ��,� ��,� ��,� ��,� ��,0 ��,0 ��,� 150 ��,� ��,� ��,� �0,� �0,� ��,0 ��,� ��,� ��,� ��,�

Observatørs øyehøgde i meterObjektets høgde i meter

Dette er et eksempel på en tabell� i bruk ved seilas. (� nautisk mil er �� meter.)

Prøv å se over et vann eller en fjord. Hvor lavt klarer du å se dersom du sitter? Kan du prøve eksperimentet med en kamerat på den andre sida av vannet og for eksempel sende signal med speil samt kommunisere med mobiltelefon. Stemmer resultatene med kontrollregning ved hjelp av kart over stedet og jordas krumning?

Hvilken matematisk formel kan ligge til grunn for avstandstabellen nedenfor? Bruk figuren og summen av avstandene A og B for å finne en formel. Bruk �0 000 km som jordas omkrets.

Nedenfor er det beskrevet et knep for å måle omtrentlig avstand. Hvorfor er dette riktig? Før et matematisk bevis.



bare tommelen peke opp. Sikt med ett øye mot det stedet du skal måle avstand til. Hold tom-melen i ro og sikt så med det andre øyet. Du ser at tommelen flytter seg. Vurder hvor langt den flytter seg. Har du en bil eller et hus som står omtrent der du skal måle avstanden til, er det lett å gi et overslag på denne lengden. Lengden fram til målet vil da bli 10 ganger den lengden siktelinja di flytta seg.

Når man ferdes til sjøs, er det viktig å vite – i god tid – om man er på kollisjonskurs med et annet fartøy. Hvis man er i god avstand fra land, fins det et enkelt knep: Sikt på det andre fartøyet og mot landet i bakgrunnen. Hvis det ser ut som om det andre fartøyet beveger seg baklengs i forhold til land, kommer det til å krysse din kurs bak deg. Ser det ut som om det beveger seg framover i forhold til land, vil det krysse foran. Ser det derimot ut som om det står stille, er det fare på ferde.

Historien om EratostenesFra sitt ganske snevre utgangspunkt klarte han å måle seg fram til at jorda måtte være rund9, og at omkretsen måtte være (etter våre mål) 40 000 kilometer.

Eratostenes10 visste at sola sto loddrett i Syene én spesiell dag i året: Dette var det lett å se hvis man sto nede i en brønn – Eratostenes’ brønn. Og i Alexandria kasta sola på samme tid en skygge bak en søyle som gjorde at man lett kunne måle solhøgda til 82,8°. Når solstrå-

lene kommer inn som parallelle linjer pga. den enorme avstanden i forhold til jorda, vil buen fra Alexandria til Syene utgjøre 90° – 82,8° = 7,2°. Eratostenes fikk så en mann til å gå strek-ningen mellom de to byene og måle den: Dette ble 5000 stadier. Med en viss usikkerhet av hvor

Bevis disse påstandene matematisk. Prøv også å finne ut hva det ligger i ’god avstand fra land’. Hvorfor er denne forutsetninga med?

I dag kan vi late som om vi er Eratostenes ved enkle hjelpemidler. Velg en solrik dag, ta en telefon til en kjenning som bor et godt stykke sør eller nord for der du er. Avtal å måle største solhøgde på én spesiell dag. (Bruk solstav og skygge, ikke sikt rett på sola!) Du må sjøl finne ut hvor mange kilometer sør eller nord for deg det måles! Bruk de to resultatene til å regne ut jordas omkrets.

Columbus trodde han reiste til India: Undersøk hvor lang tid han brukte til ’De vestindiske øyene’ og sammenlikn med hvor lang tid han ville brukt til India hvis han ikke hadde møtt land på vegen. Ville de ha overlevd turen dersom ’Den nye verden’ ikke hadde dukka opp?

Finn stoff om meridianstøtta i Hammerfest og Ismailstøtta ved Svartehavet: Hva var hensikten med disse støttene?



lang en stadie er, har man funnet ut at den må ha vært omkring 160 meter, noe som førte til at Eratostenes måling av jordas omkrets blei usedvanlig god. (Og hadde Columbus kunnet bruke disse tallene, ville han neppe turd å leg-ge ut på sin berømte reise. Reisa til India ville nemlig vært 23000 km. Columbus trodde han skulle seile 4000 og var heldig fordi det dukka opp et kontinent etter bare 6500 km.11)

Vikingene og turen til IslandSekstanten12 – og oktanten og kvadranten – er hjelperedskaper som satte sjøfarende i stand til å lese av himmellegemenes høgde i forhold til horisonten. Ved hjelp av disse høgdene og kunn-skaper om hvordan høgdene skulle være, kunne man til enhver tid finne posisjonen. Men disse er alle såpass nye instrumenter at de norrøne sjøfarerne ikke kunne ha glede av dem.

Det er mulig å forstå at det er lett å finne både Grønland og Vinland når man ferdes over havet. Særlig når utgangspunktet var Island. Ikke går det an å bomme på Grønland, og avstanden er heller ikke forskrekkelig stor. Og enda enklere blir seilasen fra Grønlands østkyst og til Vin-land. Men å treffe Island fra Norge må ha vært langt vanskeligere! Vi veit ikke så mye om vikingenes navigeringer.13 De brukte en såkalt solstein som instrument, og et eller annet slags solur må de ha hatt, eller en solstav, for å avgjøre posisjonen øst-vest. I tillegg må de altså ha hatt

kunnskaper om solhøgda, spesielt høgda når sola sto i sør i Norge og på Island. Og til å holde riktig kurs, må de ha tatt utgangspunkt et sted i Norge der solhøyden var lik den på Island: Der-etter kunne de holde seg på denne breddegraden til de var framme.

19-vinkelen er et kjent hjelpemiddel for skjønnsmessig vurdering av kurs i stedet for å ta nøyaktig kompasskurs på et draft (sjøkart): Hold en arm utstrakt og sprik med alle fingre-ne; handflata skal være ned. Den synssektoren som tangerer tommelens ytterkant og lillefin-gerens ytterkant er 18–20 grader på kompass-rosa, dvs. 19 grader hos de aller fleste av oss. Ved hjelp av fingerspriking er det enkelt å anslå vinkler mellom båer og skjær som halvdelen av 19 grader, tredelen osv. Et morsomt poeng er det jo at denne fingersprikinga vår er kvadrat-rota av 360 …

I dag brukes GPS (forkortelse for Global Positioning System), et lite lommeregnerlik-nende teknisk vidunder som leser informasjon fra satellitter som kretser rundt jorda. GPS-en – populært kalt – leser klokkeslett og posisjon for de satellittene den klarer å få kontakt med, og avstand i det øyeblikket som er aktuelt. Der-etter bestemmer GPSen nøyaktig posisjon på jorda, breddegrad, lengdegrad og høgde over havet.14 Med to satellitter får man vite posisjon som ett eller annet sted på en sirkel (øverste fi-gur neste side). Med tre satellitter er posisjonen bestemt som ett av to punkt, og kartreferansen velger rett punkt (nederste figur neste side). Fire satellitter gir oss bare ett mulig punkt i verdensrommet.

B E A

U

C

I

D G



Boring av tunnellerHvordan i all verden har man klart å treffe nøyaktig der man har villet når man har lagd tunneler?

Bruk figuren nederst på forrige side. Den skal vise en tunnel IU gjennom et fjell. Innsla-get skal være i I og utgang i U. Fra U gå 50 meter rett nord til A og merk stedet. (Himmel-retnin-gene trenger naturligvis ikke ta utgangspunkt i nord. Men det viktige er at vinklene i A, B, C og D må være rette!) Mål 150 meter til B mot vest, merk, 225 meter mot sør til C, merk. Gå rett sør fra I til omkring D. Gå rett øst fra C til du treffer linje i D, merk. Tenk deg en rettvinkla trekant med UI som hypotenus og en katet pa-rallell med CD og den andre parallell med BC. De to katetene blir utfra målingene 125 meter og 100 meter, noe som setter oss i stand til å finne vinkel v ved hjelp av tangens til vinkelen. Her blir svaret 39,3 grader, og vi kan fullføre tegninga slik at vi kan lage ei siktelinje i G mot I og en tilsvarende i E mot U. Derved kan det bores fra begge kanter.

Dersom innslaget ligger i et annet nivå enn utgangen, må man kompensere for det: Ret-

ninga i horisontalplanet er stadig den samme. Lengden på tunnelen finner vi, den er jo hy-potenusen der vi kjenner katetene, og nivå-forskjellen må fordeles med jamt fall over hy-potenusens lengde. Nøyaktig høgde på I og U kan være et problem. Men hvis sjøen ligger rett nedafor, kan man jo ta høgde i forhold til vann-speilet. Et langt vaterpass kan man også lage seg med en lang vannslange med vann der man kan lese av vannspeilet i hver sin ende av slan-gen og måle nivåforskjell med denne. Og i dag fins det naturligvis elektroniske instrumenter basert på trykkforskjeller eller GPS-målinger. En nøyaktig GPS kunne for øvrig gitt oss alle dataene vi trenger, også horisontal retning.

Enkle instrumenter – Hugh Grant som læremesterEn søt britisk film fra 1995 – som også fins i bokform – er The Englishman who went up a

Når står sola høgest på himmelen der du bor? (Bruk GMT som klokke og prøv å finne svar på minuttet!) Hvordan vil dette være lengst vest i Norge? Lengst øst? Eller på Island?

Fra hvor ville du seilt i Norge for å treffe Island hvis det eneste du kunne hjelpe deg med var den maksimale solhøyden? Hvor stort slingringsmonn har du for å treffe øya?Hva ville du gjort for å treffe Færøyene?

Spriker dine fingre ��º? Hvor mange sprik hos deg utgjør en full sirkel? Prøv å finne sprikevinkelen din mellom andre fingre, for eksempel peke- og langfinger. Eller handa uten tommelen.

Hvor stor sektor har du å gå på når du skal styre mot Island fra Norge? Hvor vil sektoren bli størst? Hvordan er det med Færøyene? Færøyene til Island? Island til Grønland?

Carl Friedrich Gauss var involvert i landmåling. Prøv å finne ut hvilke metoder han brukte.��



Prøv å prosjektere en skrå tunnell fra den ene sida av skolebygninga og ut gjennom et valgt sted på den andre sida. Et annet arbeidslag kan jo ta utgangspunkt i motsatt retning. Kontrollen blir om de to svara er like.

Hill but came down a Mountain, skrevet og regissert av Christopher Monger. ’The Eng-lishman’ er den britiske kartografen Reginald Anson og ’the hill’ eller ’mountain’ er Ffynnon Garw, en 984-fot høy kul i Wales. I 1917, på slutten av første verdenskrig, kommer Anson til Wales med sin militære sjef, George Garrad for å kartlegge Ffynnon Garws høyde. Når fjel-let blir målt til mindre enn de 1000 fot som er nødvendig for offisielt å bli erklært som fjell, blir lokalbefolkninga heller uglad. Forferdet av tanken om at ’the first mountain in Wales’ ikke skal bli tatt for å være noe annet enn en bakke bestemmer de seg for å bygge en 20 fot høg jord-voll på toppen. Og dermed er intrigen satt.16

I tillegg til å være en sjarmerende film, gir den oss et innblikk i klassisk måling av land og høyder. Vi lærer av Reginald Anson at de må ha sollys, og at høyden måles i forhold til en nabo-topp der absolutt høyde og avstanden til fjellet som skal måles, er kjente størrelser.

I gammel tid brukte man solstav og gno-mon for å måle solhøyde. Dette var loddrette staver som man kunne bruke for å lese av skyg-gens lengde og retning, dvs. solas høgde og klokkeslettet. Solstein brukte man for å finne ut hvor sola var på en overskya dag. Og men-nesket brukte sin egen kropp for å måle. Det er ikke uten grunn at måleenhetene for lengde var tomme – tommelfinger, alen – underarm, fot og favn. Og slike kunnskaper kan være nyttige også i dag: Bruk for eksempel centimetermål og finn ut hvor lang fot du har.

En teodolitt er en avansert form for kikkert som kan lese av vinkler i horisontalplanet i for-hold til retninga nord-sør.17 Det betyr at vi kan lese av vinkelen mellom to punkter som ligger

et stykke fra oss, sett fra vårt ståsted. Teodolit-ten kan også lese av vinkler i vertikalplanet, i forhold til det vannrette planet. Det betyr igjen at vi kan finne vinkelen til ei tenkt linje opp til et punkt som ligger høgere (eller lavere) enn der vi står. I forhold til figuren under 18 kan man måle opp lengden AB på et høvelig sted og deretter måle vinkler til punktene C, D, E, F, G og H fra A og B. Utfra disse vinklene samt leng-

Veit du hvor lang en meter er? Hvor nøyaktig kan du skritte opp lengde av det rommet du er i? Er det bedre å bruke fot – din egen fot? Har du gode lengde på hender, fingre eller liknende for å måle lengder der det er vanskelig å bruke beina?

Rigg opp en solstav eller gnomon, en loddrett stav på plant underlag som skal stå stille. Bruk den over tid til å måle solhøgde, dvs. lengde på skyggen, til ulike tidspunkt i døgnet og ulike dager i året. Overfør dataene til et regneark og en graftegner. Hva finner du ut?



den AB kan man bestemme alle lengder samt høgda på treet HC. Denne teknikken brukes i landmåling – sjøl om man i dag har forlatt de tradisjonelle teodolittene og bruker elektronisk utstyr som også foretar utregningene – og for å bestemme høgda på for eksempel fjell.

Skarpe svinger, bratte bakker og vanskelige vegerHvor mye matematikk ligger det ikke egentlig i konstruksjon av veger? En veg kan sees på som en matematisk kurve der stigning og krumning er vesentlige elementer for at vegen ikke skal resultere i unødvendig farlige situasjoner. Mens fysikeren og matematikeren måler stigning som tangens til tangentens vinkel, måler ingeniørene stigning i prosent beregna med sinus til vinke-len: Hvor høgt du har steget i forhold til hvor langt du har kjørt. Multiplisert med 100 blir det prosent direkte. Med utgangspunkt i en tofelts hovedveg, vanlige europa-veger i Norge, skal ikke stig-ninga være over 7 % på veger som bygges i dag.21 Det stilles også krav til svinger: På en tilsvarende veg med toppfart 90 km/h skal minste radius i sving målt horisontalt være 320 meter. Med toppfart 110 km/h er kravet 650 meter. En firefelts veg krever en radius på 1200 meter for å kunne tåle en toppfart på 130 km/h! Topp-

(Enhver skole bør ha en teodolitt…)�� Bruk en teodolitt til å måle avstander og arealer ute, for eksempel størrelse på skoleplassen. Hvor høg er skolebygninga? Flaggstanga? (Klatring er juks …)�0

Hvor langt er det til nærmeste fjell? Stemmer dette med kartet? Hvor høgt er nærmeste fjell?

Tørrtrening i klasserommet er kanskje nødvendig: Hvor høge er dere, målt med teodolitt? Hvor brei er tavla?

Hvordan kan man måle høgda på flaggstanga med linjalen og �0–�0–�0-trekanten eller ��–��–�0-trekanten i klasserommet? Bredden på ei elv?

Hvor mange kubikkmeter inneholder et tre? Hvor stor radius har treet?

Oppgaver med hastighet? Hvor fort renner ei elv? Kjører en bil? Hvor fort går lyden i luft? I jern?

fart på 50 km/h, enfelts veg, trenger 70 meters radius.22

Og hvor mye matematikk ligger det ikke i konstruksjon av en hoppbakke?23 Og hvor bratt blir ei ur?

2005 tangenten��0


VinklerEgentlig er vinkler noe svineri. Med unntak av det vi definerer som ’pene’ vinkler – det er bare folk med spesielt matematiske hjer-nevindinger som snakker estetikk i denne sammenhengen – kan vi for eksempel ikke finne et eksakt talluttrykk for sinus til én grad. Inndelinga av sirkelen i 360° eller 400° er tilfeldig. Bruken av p eller 2p gjør det ikke akkurat bedre. Personlig kan jeg heller tenke meg ei egen inndeling: La oss bruke begrepet omdreininger og telle brøker av ei omdreining. ¼ skulle da for eksempel tilsvare 90°.

En gammel leirtavle fra Babylon24 har over-sikter over hvilke rettvinkla trekanter som inneholdt nyttige vinkler. Det var lettere å lage en trekant med sidene 120–119–169 for å lage en vinkel på 440 46’ enn å bruke transportør. Og leirtavla ’Plimpton 322’ inneholder ei liste over slike trekanter og vinkler.

Sjøl husker jeg ennå gleden ved et lite kapit-tel i læreboka fra gymnaset: Herons formel!25 (Se også Tangenten 2/2000, side 20, eller side XX i denne boka.) Kjenner vi sidene i en tre-kant, kan vi beregne for eksempel arealet: Først definerer vi s som summen av de tre sidene a, b og c i trekanten. Da blir arealet lik:

Oppgavene nedenfor prøver å inspirere til litt gammeldags gresk og babylonsk tenkning.

Matematikk – kulturfagetHolberg har brukt anekdoten om bonden som ikke visste at han bodde på ei kule, som et motiv i komedien Erasmus Montanus. jordas form er ikke det viktigste i menneskets dag-lige virke. Det samme kan man si om sfæ-risk geometri: Vi bruker plane papirark og synes det er helt i orden at Norge i atlaset er blitt noe større enn landet vårt egentlig skal være. Likevel har matematikere brydd seg om jordas fasong så langt tilbake som til den tida vi setter som matematikkens fødsel. Og det fascinerende ved dette – i alle fall sett fra mitt ståsted – er at det er matematikerne, ei yrkes-gruppe som i utgangspunktet befinner seg i en teoretisk verden, som helt og holdent har funnet svar på spørsmål om form og avstan-der i verdensrommet. Og resultatene er utvi-kla fra modeller skapt av den menneskelige tanke.

Prøv å finne en formel for arealet av en trekant der du kjenner lengden på de tre medianene.

I det gamle realgymnaspensumet bruktes formler for radien i omskrevet og innskrevet sirkel i en kjent trekant. Disse brukte riktignok de trigonometriske funksjonene. Prøv å gjenoppdage disse to formlene ved bruk av trekantens sider a, b og c!

Kan vi bruke lengdene av halveringslinjene for vinklene i en trekant som utgangspunkt for å finne en arealformel? Eller linjene som halverer motstående side?

Hvor bratte er vegene der du bor? Kan du finne gjennomsnittlig prosentvis stigning opp til en fjellovergang i ditt hjemmeområde? Hva med berømte fjelloverganger?

Prøv å måle hvor krapp en vanskelig sving du kjenner er. Hvordan finner du radien?

Hvor bratt blir ei ur? Fins det noen matematisk regel? Blir det brattere på månen?

Hvordan defineres kul, unnarenn, kritisk punkt og overgang i en hoppbakke? Når begynner overgangen? Hvorfor er kritisk punkt så kritisk?



Noter� Olav den helliges saga (Heimskringla, side ��)

� Håkon Jarls saga (Heimskringla, side �)

� Simon Singh: Fermats siste sats (��, norsk over-

settelse, side �0) (Fermat’s Last Theorem, ��)

� C.H. Edwards jr.: The Historical Development of the

Calculus (��, side �)

� Johan Herman Wessel: Digte (Caspar Wessel, side

��0) (Gyldendal ��)

� Wessels møte med det imaginære er beskrevet her:

www.nifustep.no/Fpol/�-�000/art�.html

� Båteierboka (�. utgave, Nordanger forlag ��)

� Båteierboka (�. utgave, Nordanger forlag ��)

� Litt om jordas form opp gjennom tidene: www.

skepsis.no/tema/historie/flatjord�.htm

�0 Illustrasjon fra: www.falster-vuc.dk/eratosthenes/

vucprojekt/eratosthenes-fra-syene/erathostenes-

fra-syene.htm

�� Tallene er fra www.skepsis.no/tema/historie/flat-

jord�.html

�� Illustrasjon fra Kunnskapsforlagets Store norske

leksikon

�� Litt om navigasjon i Nord-Atlanteren rundt år �000:

www.extend.no/les/nav.html

�� Illustrasjoner fra GPS Guide: www.garmin.com

�� Dette er en mulig kilde: www.mathpages.com/rr/

s�-0�/�-0�.htm

�� Filmen The Englishman who went up a Hill but

came down a Mountain, ��

�� Beskrivelse av bruk: www.nordreisa.vgs.no/

Larere/HI/�MX-�00�/Diverse/Teodolitt.htm

�� Illustrasjon fra Lancelot Hogben: Matematikk for

millioner (Norsk utgave ��)

�� Elevbesvarelser: www.nordreisa.vgs.no/Larere/

HI/�MX-�00�/Gruppeoppgaver/uteoppgaver.htm

�0 Oppgaver: www.nordreisa.vgs.no/Larere/HI/�MX-

�00�/Diverse/Uteoppgaver.htm

�� Med takk til Karl Martin Eriksen ved Storslett veg-

trafikkstasjon

�� Storslett vegtrafikkstasjon

�� Illustrasjonen er fra VM-bakken i Ramsau

�� Audun Holme: Matematikkens historie – Fra Baby-

lon til Hypatias død (Fagbokforlaget �00�, side ��)

�� Søgaard & Tambs Lyche: Matematikk for realgym-

naset – første del (Gyldendal ��, side ��)


Christoph Kirfel

Romerske rundbuer med treklosser

På bildene ser vi hvordan romerne kunne bygge buer som kunne bære stor vekt. På den måten kunne de lage portaler, vinduer og knytte sammen bropilarer. Søylene til høyre og venstre tar av for vekten som måtte legges på toppen av buen. Vi skal her se hva slags matematikk som gjemmer seg i denne byggeskikken og hvordan vi må dimensjonere våre byggeklosser for å kunne lage bro over et gitt spenn.

Siporeksklossene på fotografiene er i denne artikkelen erstattet med treklosser. Vi velger å arbeide med klosser som har et trapesformet tverrsnitt. Vi velger også at trapesene skal være

symmetriske om linjen mellom midtpunktene av de to parallelle sidene. Slike klosser kan en med litt fingerferdighet sage ut av en bjelke eller litt tjukkere plank. Planketjukkelsen setter vi lik c.

Med tanke på trapeset så er c lik høyden el-ler avstanden mellom de to parallelle sidene.

For å få til en bue må overkanten a av klos-sen være bredere enn underkanten b.

Vi prøver nå å regne ut hvor stor radien i den ’sirkelbuen’ er som klossene kan settes sammen til.Christoph Kirfel er førsteamanuensis ved

Universitetet i [email protected]



Ved å se på de form-like trekantene i frontflaten får vi med

en gang: R

b

R c

a= +

eller aR = bR + bc eller

(a – b)R = bc dvs.

R

bc

a b=

-.

Jo mindre forskjellen a – b mellom over-kantens og underkantens lengde er jo større blir radien. Radien vokser også når man velger tjukkere materialer (øker c) og ellers beholder målene likt.

Nå skulle man tro at vi dermed har beskre-vet hele problemstillingen uttømmende og at vi for et gitt brospenn (avstand 2R mellom pila-rene) kan velge passende a, b og c og at vi bare kan sette i gang sagingen. Imidlertid ønsker vi jo å fylle buen (180°) med et helt antall klos-ser. Normalt vil vi ikke bruke halve eller kvarte

klosser for å fylle opp buen.

På bildet i starten av artikkelen er det brukt 11 klosser. I tillegg ser vi at det er vanlig med en ’hjør-nestein’ på toppen. Skal vår bygning også ha en slik hjørnestein må vi benytte et odde antall klosser slik som på tegningen.

Hver klosse dekker da en ellevtedel av en halvsirkel.

a = ∞ ª ∞180

1116 36,

For å få dette til må vi påse at forholdet (b/2)/R svarer til tangens av den tilhørende vinkelen.

b

R2

180

1116 36= ∞ = ∞ ªtan tan , 0,29362649

Tangens til en vinkel er forholdet mellom kate-tene (motstående/hosliggende) i en rettvinklet trekant der den ene hjørnevinkelen er nettopp lik den aktuelle vinkelen.



Antall steiner i buen, n

Vinkel 180°/n tan(180°/n)

� �0 �,��

� ��

� �� 0,��

� �0 0,��

� ��,�� 0,��

� ��,� 0,��

� �0 0,��

�0 �� 0,��

�� ,�� 0,��

�� 0,��

�� ,�� 0,��

�� ,�� 0,��

�� 0,��

�� ,�� 0,��

�� 0,�� 0,��

�� 0 0,��

�� ,�� 0,��

�0 � 0,��

Hvis vi sier at antall stei-ner i buen skal være n, der n vanligvis er et oddetall så er det bare noen utvalgte verdi-er som er mulige for forholdet mellom den halve underkants-bredden b/2 og radien R.

b

R n2

180= ∞tan

EksempelVi bestemmer oss for å bygge en modell av en rundbue med 19 steiner og spennet mellom pilarene er på 32 cm. Da er 2R = 32 cm. Vi har materialer tilgjengelig som er 4 cm tjukke. Da har vi

n R c

b

= = =

= ∞ ª ∞

= ∞ ª ∞ ª

19 2 32 4

180

199 47

180

199 47 0 167

, ,

,

tan tan tan , ,

a

a

== ◊ =

=◊ +( )

= ◊ + =

0 167 2 5 340

5 340 4 16

166 675

, ,

, ( ),

R

ab c R

R

Dermed har vi alle målene som skal til for byg-gingen. Lykke til!


InnledningUtkastet til ny læreplan i matematikk for hele grunnopplæringa (kalt Kunnskapsløftet1), viderefører vektlegging av modellering og anvendelser i matematikken slik det ble presen-tert og på mange måter introdusert i Reform 94 og som siden ble videreført i de reviderte planene for matematikk på grunnkurs, VK1 og VK2 fra 1999.

I Reform 94 ble ”Modellbygging og pro-blemløsning” presentert som et eget mål i ma-tematikk for alle trinn og kurs i den videregå-ende skolen. Dessuten påpekes det her under de fleste mål at matematikken skal knyttes til praktiske anvendelser. Når dette skrives er som nevnt en ny reform med nye læreplaner for hele grunnopplæringen under utforming (kalt Kunnskapsløftet). Utkastet til læreplan i matematikk tilsier at vekt på modellbygging er minst like framtredende som i Reform 94 og planene fra 1999 og vi finner ”Kultur og mo-dellering” som et av syv målområder i faget for hele opplæringen. Da er det nærliggende å spørre hvilke konsekvenser vektlegging på mo-dellbygging får for innholdet og undervisnin-

gen i matematikk?I denne artikkelen gir jeg en presentasjon

og klargjøring av begrepene anvendelse og matematisk modellering, og deretter ser jeg på hvordan og hvorfor vi bør la disse sidene ved matematikken få plass i skolen. Med dette som utgangspunkt avslutter jeg med å sette søkelys på hva som kan gjøres for å bedre elevenes fer-digheter i å anvende matematikk og bygge mo-deller og gir eksempler på oppgaver som kan brukes.

Klargjøring av begrepene anvendelse og matematisk modelleringDet er forsket en god del på hvordan vi kan utnytte anvendelser og gjøre bruk av mate-matisk modellering i undervisningen. Før jeg ser nærmere på dette, kan det være fornuftig å avklare hva som menes med begrepene anven-delse og matematisk modellering.

Blum & Niss, [1] definerer en anvendelse som en relasjon mellom den virkelige verden (“real world”) og matematikken. Det betyr at man ved hjelp av matematiske redskap kan studere og finne ut mer om noe i den virkelige verden.

Matematisk modellering er en prosess der et problem, gjerne knyttet til en praktisk situasjon analyseres ved at man bruker en matematisk “tankebygning”. Matematisk modellering er

Ingvald Erfjord


Ingvald Erfjord er stipendiat ved Høgskolen i Agder. [email protected]



altså et hjelpemiddel til å strukturere det ma-tematiske arbeidet med å ”løse anvendelser”. Elevene skal i følge både Reform 94, planen fra 1999 og Kunnskapsløftet læres opp til å bygge matematiske modeller. Når modeller skal byg-ges ser man for seg at denne prosessen foregår i flere trinn. En vanlig oppstilling er den som er illustrert i figuren nedenfor:

5Testing

avmodellen

4Tolkning

avresultatene

3Analyse

avmodellen

1Fenomen

fravirkeligheten

2Formulering

avmatematisk

modell

Figuren ovenfor bør forstås på følgende måte: Vi står ovenfor en situasjon hvor vi tror at mate-matikk kan være egnet som hjelpemiddel. Hvis matematikk skal kunne være et hjelpemiddel i dette arbeidet, bør neste trinn være å formu-lere sentrale sider ved fenomenet i et mate-matisk språk. Det betyr at vi for eksempel må bestemme hvilke variabler det er fornuftig å se på, og eventuelt gjøre nødvendige og fornuftige begrensninger. I neste trinn (3) prøver vi å løse “det matematiske problemet”. Hvis dette er van-skelig bør vi gå tilbake til trinn 2 igjen og prøve å angripe problemet på en annen måte.

I det nest siste trinnet (4) skal resultatene fra trinn 3 tolkes og vurderes. Dette er et viktig trinn i arbeidet, siden vi her vurderer om løs-ningen kan brukes til å slutte noe om fenome-net fra virkeligheten. I siste trinn tester vi om modellen gir fornuftige svar. Hvis dette ikke er tilfellet er modellen urealistisk, og vi bør starte opp på trinn 2 igjen og angripe problemet på nytt.

Vi ser at det å bygge en modell er en prosess som vi kan tenke oss foregår over flere trinn.

Det er lett å la seg friste til å hoppe av etter trinn 3, men det er viktig at også trinn 4 og 5 gjennomføres. Det er nettopp gjennom disse trinnene at vi kan få en forståelse av hva vi har funnet ut om det praktiske fenomenet. Det er kanskje nettopp på dette punktet at mange in-geniører har bommet når beregninger slår feil!

Hvorfor og hvordan jobbe med anvendelser og modellbygging i matematikk?Så langt har vi sett på hva som menes med en anvendelse og hvilke trinn man bør gå gjennom for å bygge en modell. Et naturlig spørsmål nå er hvilken verdi det har for elevene å jobbe med anvendelser og bygge modeller?

Kaiser-Messmer, [3] peker på økt motiva-sjon som et viktig argument for å la elevene jobbe på denne måten med faget. Det gir en variasjon i matematikken som i seg selv kan være verdifullt, samt at det tilfører en dimen-sjon ekstra til faget. Blum & Niss [1] peker på at matematisk modellering gir elevene et bilde av den virkelige verden (“creates a piece of rea-lity”). Et problem med klassisk matematikkun-dervisning har ofte vært at elevene ikke ser at matematikk er noe som kan anvendes utenfor “klasserommet”. Elevenes arbeid med anven-delser og utvikling av matematiske modeller, kan derfor bidra til at elevene blir bedre i stand til å bruke matematikk som et nyttig verktøy til å studere fenomener. Dette er noe de også kan ha nytte av senere i livet, for eksempel hvis de ender som ingeniører.

På bakgrunn av egne undersøkelser påpeker Kaiser-Messmer at det er mulig for elevene å:• bruke matematiske metoder i hverdags-

situasjoner. Dette må trenes opp og er ikke direkte overførbart (fra lærer til elev),

• utvikle modelleringsevner, men at det tar tid og krever arbeid og motivasjon,

• bli mer motiverte for matematikk gjennom erfaring med å bruke matematikk i prak-tiske situasjoner,

• bruke og tolke matematiske begrep i



ukjente situasjoner fra virkeligheten, og at dette kan bedres sterkt ved at matematiske begrep læres gjennom en introduksjon basert på anvendelser.

Et typisk problem er at elevene ofte faller av tidlig i modelleringsprosessen. Kaiser-Messmer peker på at mange elever faller ut allerede under problemformuleringen, og at identifisering og behandling av variabler er vanskelig. Dessuten understreker Blum & Niss betydningen av at elevene utvikler evne til å vurdere den modellen de kommer fram til. Dette er det ikke vanskelig å være enig i siden nettopp denne prosessen kan være med på å gi refleksjon og innsyn i hva de studerer. Dermed vil elevene kunne fornemme om svaret de kommer fram til er fornuftig og hva det forteller.

Et annet problem for lærere er en frykt for at økt vektlegging på anvendelser og matematisk modellering i undervisningen vil føre til at en overdriver arbeidet med åpne problemer/an-vendelser, som i neste omgang fører til at elev-ene ikke lærer seg sentrale algoritmer og tek-nikker til å løse mer klassiske oppgaver. Mange lærere synes derfor at de ikke kan overdrive vektleggingen av arbeid med anvendelser, siden det kan føre til at elevene ikke lykkes like godt til eksamen. De er redde for at konsekvensen blir at mer tidsbruk på anvendelser og matema-tisk modellering i matematikktimene, gir dår-ligere karakterer og i neste omgang begrenser elevenes framtidsutsikter til jobb.

Fins det noen ”løsning” på disse to proble-mene? Kan elevene innenfor de timerammene faget har både få gode basiskunnskaper og samtidig bli gode til å anvende matematikk og bygge modeller? Tilsynelatende går ikke dette ”helt i hop” innenfor dagens timeramme. Ar-beid med anvendelse og modellbygging er tid-krevende og resultatet kan tilsynelatende være så som så i forhold til hva elevene klarer å finne ut av. Er gevinsten av å jobbe på denne måten likevel så stor at vi bør prioritere det? Uansett

hva vi mener, så stiller de aktuelle læreplanene krav om å bruke tid på modellbygging og ar-beid med anvendelser. Vi bør derfor fokusere på hvordan dette kan bli mest mulig vellyk-ket. Andre arbeidsformer enn det som gjerne har vært det typiske i matematikk bør vurderes og kan være nyttige i arbeid med anvendelser og modellbygging. Elevene kan kommunisere matematikk, planlegge og så teste hverandres idéer gjerne gjennom et prosjektarbeid. Dette kan gi oss prosjekt der matematikken kommer i sentrum, noe som ofte ikke er tilfellet når det jobbes med prosjekter i skolen. Altfor ofte blir såkalte tverrfaglige prosjekter preget av sam-funnsfaglige aspekter der matematikk blir et verktøy til å lage enkel statistikk og matema-tikklærerens rolle blir å dele ut sakser og åpne opp skap!

Vi kan konkludere med at det er viktig at elevene utvikler sine evner til å stille opp mate-matiske modeller, analysere og vurdere de svar de kommer fram til. Skal dette kunne skje vil det være av stor betydning at skolen og læreren tilrettelegger for at dette kan skje på en velegnet måte. Endret rollemønster i klasserommet og større vekt på gruppe- og prosjektarbeid er to viktige momenter i denne sammenheng.

Didaktiske implikasjonerJeg startet denne artikkelen ved å gi en kort pre-sentasjon og klargjøring av begrepene anven-delse og matematisk modellering, og deret-ter presenterte jeg noen erfaringer knyttet til hvordan og hvorfor vi bør la disse sidene ved matematikken få plass i skolen.

Et spørsmål er selvsagt hvilken lærdom vi kan trekke ut av dette? På hvilke måter kan vi tilrettelegge undervisningen slik at elevene får oppleve faget som et verdifullt redskap til å stu-dere fenomener fra deres hverdag? Dette er om-fattende spørsmål som ikke har opplagte svar. Derfor har jeg valgt å se på et aspekt som jeg mener er viktig; hvordan oppgavene stilles opp og hvilket innhold de har. Arbeid med oppga-



ver er sentralt i matematikk, og derfor mener jeg at man ved å gi oppgavene en bestemt utfor-ming gir elevene et viktig utgangspunkt for det videre arbeidet. Denne utformingen og selve bruken av matematikk (praktiske situasjoner og tilknytningsfag) bør varieres, slik at elevene hele tiden stimuleres til å tenke gjennom hvor-dan problemet skal angripes og stilles opp og hva de endelige svarene sier om den praktiske situasjonen/faget.

På slutten av artikkelen presenterer jeg to eksempler på anvendelser som kan danne ut-gangspunkt for å bygge modeller i matematikk. Disse to oppgavene samt flere andre, med læ-rerveiledning, er også presenteret på lærersi-dene på nettstedet www.matematikk.org under ”Undervisningsopplegg”.

I den første oppgaven valgte jeg å bruke overskriftene “Beskrivelse av problemet” og “Konstruksjon av modell”. Dette gjorde jeg for at elevene på denne måten skal bli vant med å skille mellom selve problemet og den matema-tiske modellen av problemet. Gjennom å jobbe med denne oppgaven, lærer elevene at volumet av kvikksølv i termometeret vokser proporsjo-nalt med temperaturen. Dette forklarer at man kan bruke en lineær skala på termometeret. I oppgaven ovenfor studerer elevene noe kjent fra hverdagen (termometer), og får mulighet til å bruke matematikk sammen med et annet fag (kjemi og fysikk) til å forstå hvordan det fun-gerer.

Som tidligere nevnt mener jeg det er viktig å variere både utforming og innfallsvinkel til oppgavene. Den andre oppgaven tar for seg bil-kjøring, noe elever i denne aldersgruppen na-turlig nok er svært opptatt av. Oppgaven byg-ger på sett og vis på en av de andre oppgavene som jeg har presentert på www.matematikk.org. I den oppgaven studeres stopplengde, der elev-ene gjennom modellering vil kunne komme fram til formelen l

T = av + bv2 for total stoppe-

lengde og verdiene til parametrene a og b som brukes i oppgaven. Oppgavene bør passe bra på

VG1 etter den nye reformen Kunnskapsløftet (var opprinnelig tilpasset grunnkurset og 2 MX etter Reform 94). Oppgaven om trafikkflyt kan forhåpentligvis gi elevene ganske ”avslørende” lærdom. (Best trafikkflyt oppnås hvis farten er omlag 27 km/t og avstanden mellom bilene cirka 10 meter. Dessuten er det en dramatisk økning av bremselengden når farten øker!).

Den første av oppgavene er ganske ledende i sin utforming, mens den andre oppgaven stil-ler elevene i en noe mer aktiv rolle. Tanken er at elevene gradvis skal trenes opp til å hente ut viktig informasjon, gjøre fornuftige forenklin-ger og stille opp sammenhenger. På dette om-rådet er det min erfaring at mange elever sliter. Oppgavene er testet ut med elever i videregå-ende skole og allmennlærerstudenter på det obligatoriske grunnkurset i matematikk i deres utdannelse. Gjennomgående er erfaringen at oppgavene engasjerer men at mange elever/stu-denter har problemer og føler oppgavene som fremmede og annerledes enn det de er vant med. Jeg vil sette stor pris på å få tilbakemel-dinger fra brukere av oppgavene, enten via til-bakemeldingsloggen på www.matematikk.org eller direkte til [email protected].

KonklusjonI denne artikkelen har jeg pekt på noen argu-menter for å gi matematisk modellering økt plass i videregående skole og hvordan dette kan gjøres. Økt motivasjon og evne til å tenke matematisk er to viktige momenter i denne for-bindelse. Samtidig peker jeg på at denne måten å jobbe med matematikk på trolig best lar seg gjennomføre gjennom andre arbeidsformer, undervisningsformer og vurderingsmåter enn det som ofte har vært vanlig.

Erfjord, [2] gir en historisk presentasjon og analyse av noen sentrale norske læreplaner, læ-reverk og eksamener fra de siste 50 årene. Den-ne analysen viser gjennomgående en tendens mot økt vekt på anvendelser fra ulike praktiske situasjoner, selv om det også var framtredende



tidligere som praktisk regning. Framstillingen i bøkene er likevel fortsatt preget av liten varia-sjon, med mange oppstilte problemer der én al-goritme skal brukes. Dette gjør også at analyse og vurdering av problemer og resultat, som er to sentrale trinn i matematisk modellering, ikke blir behandlet så bra som trolig var intensjonen i Reform 94. Forhåpentligvis er vi nå kommet lenger slik at det blir lettere å følge opp krav til vektlegging av modellering i Kunnskapsløftet.

Siden jeg som nevnt ser det som et behov, har jeg i denne artikkelen pekt på hvordan vi

kan formulere oppgaver og gi dem et innhold som gjør at elevene på en mest mulig natur-lig måte får trening og forhåpentligvis positiv erfaring med arbeid med anvendelser og det å lage modeller i matematikk. Slike oppgaver hå-per jeg kan bidra til at elevene kan få oppleve matematikk som et fornuftig hjelpemiddel til å studere problemer fra hverdagen. Dette håper jeg kan virke engasjerende, og være med på å gjøre elevene mer bevisst på hva de gjør og til å tenke mer over de resultater de kommer fram til.

Kvikksølv

Beskrivelse av problemetKvikksølv har ofte vært brukt i termometre. I dag er denne bruken blitt mer sjelden, og ofte brukes andre stoff enn kvikksølv i termometrene for å forhindre de skadevirkningene kvikksølv er kjent for å ha. Likevel finner vi fortsatt mange termometre i bruk som består av en kvikksølvkjerne. Hva er det med kvikksølv som gjør det så gunstig å bruke i termometre?

Konstruksjon av modellNedenfor i tabell �.� er det oppgitt sammenhørende data for temperatur og tetthet til kvikksølv. Tetthet er oppgitt i gram per kubikkcentimeter (g/cm�) og temperatur i grader Celsius (°C):

Temperatur 0 �0 �� 0 �00

Tetthet ��,�� ,��0� ��,��0 ��,�� ,��Tabell �.�

a) Still opp en sammenheng som viser hvordan volumet V(t) (målt i cm�) forholder seg til tettheten d(t) av kvikksølv ved samme temperatur t. Hva er volumet av �,�� gram kvikksølv ved hver av disse temperaturene? Hva kan du si om forholdet mellom volum og tetthet?

b) Lag et diagram der du plotter inn sammenhørende verdier for temperatur og volum. Velg hensiktsmessig inndeling på aksene og tegn en graf.

c) Studér grafen fra punkt b). Indikerer denne en egenskap til kvikksølv som gjør kvikksølv fordelaktig å bruke i termometre? I så fall, hvilken egenskap?



Maksimal trafikkflyt

Beskrivelse av problemetI dette problemet skal vi utvikle en matematisk modell som kan brukes til å bestemme den fart og bilavstand som gir maksimal flyt i trafikken. Med maksimal trafikkflyt mener vi at flest mulig biler på en trygg måte kan passere et bestemt punkt innenfor et gitt tidsintervall. Modellen vi skal fram til må derfor basere seg på at en bil i en kø er i stand til å stanse når bilen foran stopper momentant.

Konstruksjon av modellAnta at vi ser på en bilkø som innenfor et bestemt tidsrom beveger seg med konstant fart v.a) Begrunn hvorfor flyten av biler (flytraten) kan beskrives ved funksjonen

f =

+fart

bilavstand billengde

I tabell �.� er noen amerikanske observasjonsdata gjengitt, med sammenhørende verdier for fart, reaksjonslengde og bremselengde:

Hastighet (v) (måles i meter per

sekund (m/s))

Reaksjonslengde (lR) (måles i meter (m))

Bremselengde (lB)(måles i meter,

intervall og gjennomsnittsverdi)

Total stopplengde (lT)(måles i meter, intervall og

gjennomsnittsverdi)

�,� (��,� km/t) �,� �,�–�,� (�,�) ��,�–��,� (��,�)

��,� (�0,� km/t) �,� �,�–�,� (�,�) ��,�–��,� (��,0)

��,� (��,� km/t) �0,� ��,0–��,� (��,�) ��,�–��,� (��,�)

��,� (��,� km/t) ��,� ��,�–��,� (��,�) ��,�–��,� (��,0)

��,� (��,� km/t) ��,� ��,�–��,� (��,0) ��,�–��,� (��,�)

�0,� (��,� km/t) ��,� ��,0–��,� (��,�) �0,�–��,� (��,�)

��,� (�0,� km/t) ��,� ��,0–��,� (��,0) ��,�–��,� (��,�)

��,� (��,� km/t) ��,� �0,�–�0,� (��,�) ��,�–��,� (��,�)

��,� (��,� km/t) �0,� ��,�–��,� (��,�) ��,�–��,� (��,�)

��,� (�0�,� km/t) ��,� ��,�–��,� (��,�) ��,�–��,� (��,�)

��,� (��,� km/t) ��,� ��,�–��,� (��,�) ��,�–��,� (�0�,�)

��,� (��0,� km/t) ��,� ��,�–�0�,� (��,0) ��,�–��,� (��,�)

��,� (��,� km/t) ��,� �0�,�–��,� (��,�) ��,�–��,� (��,�)Tabell �.� Observerte reaksjons- og bremselengder

Fra tabellen ser vi at en bils stopplengde avhenger av bilførerens reaksjonslengde og bilens bremselengde. Reaksjonslengden er tilnærmet proporsjonal med farten, og bremselengden er tilnærmet proporsjonal med kvadratet av farten. Dette kan man se ved å framstille disse forholdene grafisk.

(fortsettes neste side)



Dermed kan stopplengden uttrykkes ved formelen:

lT = av + bv�

der a og b er konstanter gitt ved de eksperimentelle data, v er bilens fart (målt i meter per sekund (m/s)) og lT stopplengden (målt i meter (m)). La L være bilenes lengde målt i meter.

b) Anta at billengden er den samme for alle biler, og bestem farten som gir maksimal trafikkflyt.

c) Finn den tilhørende bilavstanden for farten ovenfor.

Ved å se på eksperimentelle data for stopplengde, kan det vises at a = 0,� (sek) og b = 0,0� (sek�/m) er rimelig gode mål for konstantene a og b. For en gjennomsnittlig bil er L = �,� m et ganske godt anslag.

d) Bestem bilavstand og fart ved maksimal trafikkflyt ut fra disse verdiene for a, b og L. Kommentér svaret.

e) Ta utgangspunkt i resultatet fra punkt d), og undersøk hvordan den nødvendige avstanden mellom bilene (stopplengden) endrer seg når farten øker.

f) Vurder om modellen synes fornuftig og gir et realistisk bilde av situasjonen. Vurder også hvilke andre faktorer som kan spille inn og ha betydning for den fart og avstand man bør ha mellom bilene i en kø.

Noter� For mer informasjon om Kunnskapsløftet,

se nettsiden www.kunnskapsloeftet.no og Stortingsmelding nr. �0 (�00�–�00�) Kultur for læring

Referanseliste[�] Blum, W. & Niss, M. (��). Applied Mathemati-

cal Problem Solving, Modelling, Links to other Subjects. Educational Studies in Mathematics, 22, ��-��.

[�] Erfjord, I. (��). Matematisk modellering og bruk av matematikk i videregående skole. Hovedoppgave ved Høgskolen i Agder, Norge.

[�] Kaiser-Messmer, G. (��). Application-orien-ted Mathematics Teaching: A survey on Theo-retical Conceptions and Empircal Research. In Bazzini, L. & Steiner, H. G.: Proceedings of the First Italian-German Bilateral Symposium on Didactics of Mathematics, ��–��.


Kjersti Wæge, Nils Kristian Rossing

Strikkhopp med Barbie

Del �: En matematisk modell med utgangspunkt i målte dataSom en del av grunnlaget for datainnsamling til mitt doktorgradsprosjekt om motivasjon for matematikk, har jeg utviklet et fullstendig undervisningsopplegg i matematikk for grunn-kurs i videregående skole. Dette gjennomføres i samarbeid med en lærer og hans klasse i inne-værende skoleår.

Et av undervisningsoppleggene er basert på å la Barbiedukker hoppe i strikk fra ei ”bru”. Matematikktemaet i dette opplegget er praktisk bruk av funksjoner. Idéen til opplegget fikk vi ved å delta på Åsa Hansen og Sanja Herrströms workshop på Matematikkbiennalen i Malmö, 2004 (se www.mah.se/matematikbiennalen).

Vi har brukt opplegget fra 4. trinn i grunn-skolen til videregående skole. Denne artikkelen beskriver hvordan opplegget kan gjennomfø-res i videregående skole. Strikkhopping er po-pulært blant ungdommen, og gjennom dette

Kjersti Wæge er doktorgradsstudent ved Matematikksenteret. Hun har skrevet første del av denne artikkelen. [email protected] Kristian Rossing arbeider ved Skolelaboratoriet ved NTNU. Han har skrevet andre del av artikkelen. [email protected]



opplegget får elevene erfare at matematikk kan brukes til å lage matematiske modeller av vir-keligheten. Jeg vil først gi en karakteristikk av modelleringskompetansen, deretter vil jeg be-skrive selve undervisningsopplegget, hvor fo-kus er på nettopp modelleringskompetansen. Jeg vil også gi et innblikk i hvordan opplegget ble gjennomført i grunnkursklassen vår.

ModelleringskompetanseModelleringskompetanse er en av åtte matema-tiske kompetanser som ble lagt frem i rapporten [1], Kompetencer og matematiklæring. Ideer og inspiration til utvikling af matematikundervis-ning i Danmark av Mogens Niss og Thomas Højgaard Jensen, 2002.

I år ble det gjennomført nasjonale prøver for første gang på grunnkurs. Nasjonale prøver i matematikk er laget for at lærere skal vurdere elevenes matematikkompetanse, og beskrivel-sen av kompetansene i nasjonale prøver bygger på rapporten nevnt over.

En matematisk kompetanse er innsiktsfull beredskap til å handle på en fornuftig og vel-overveid måte i situasjoner der matematikk inngår.

Modelleringskompetanse – å kunne analysere og bygge matematiske modeller vedrørende andre felterEn side av denne kompetansen består i å kunne utføre aktiv modellbygging i en gitt sammen-heng.

Aktiv modellbygging inneholder flere for-skjellige elementer:- å kunne strukturere situasjonen som skal

modelleres,- å gjennomføre en matematisering av situa-

sjonen, dvs. å oversette objekter, relasjoner, problemstillinger osv. til et område innen matematikken, som resulterer i en mate-matisk modell,

- å kunne behandle modellen, herunder å løse de matematiske problemene den gir,

- å validere den ferdige modellen, dvs. bedømme dens holdbarhet både i forhold til modellens matematiske egenskaper og i forhold til situasjonen modellen handler om,

- å kunne analysere modellen kritisk, både i forhold til modellens brukbarhet og relevans og i forhold til mulige alternative modeller,

- å kunne kommunisere med andre om modellen og dens resultater,

- å ha overblikk over og kunne styre den samlede modelleringsprosess.

Vi vil her bruke ordene modell og modellbyg-ging i de tilfeller hvor det er en ikke-opplagt sammenheng med den modellerte situasjonen, som innebærer beslutninger, antagelser, inn-samling av opplysninger og data m.v.

Barbie hopper strikk fra ei ”bru”De faglige målene for opplegget varierer, avhen-gig av hvilke forhåndskunnskaper elevene har og når opplegget blir gjennomført innen temaet funksjoner.

Hvis opplegget blir gjennomført i starten av temaet funksjoner, kan målene være- at elevene skal få en innføring i funksjons-

begrepet, - å se sammenhengen mellom rette linjer og

lineære funksjoner,- bruke kurvetilpasning (regresjon) med

linjal og deretter å finne funksjonsuttryk-ket når linjen er gitt,

- få en forståelse av begrepene stigningstall og konstantledd og å kunne tolke det i praktiske situasjoner,

- aktiv modellbygging.

I vår klasse hadde elevene arbeidet med rette linjer og lineære uttrykk i to timer før opplegget ble gjennomført. De faglige målene for oppleg-get var derfor som nevnt over.

Hvis opplegget gjennomføres når elevene



allerede har arbeidet en del med temaet funk-sjoner, kan hensikten være- å bli kjent med praktiske eksempler på

funksjoner,- bruke regresjon,- oppøve modelleringskompetanse (som

innebærer både å finne modellen, analysere den, vurdere resultatene og gyldigheten av modellen, og vurdere alternative modeller).

Utstyr og klassesituasjonMålebånd, gummistrikk, Barbie-dukker (alle bør ikke ha samme vekt), linjal, lommeregner, ruteark, skrivesaker.

Elevene arbeider i grupper på to eller tre. Tidsrammen er på 3-4 skoletimer.

Utførelse av oppleggetGummistrikkene skal knytes sammen og festes til Barbies føtter. Elevene får i oppgave å finne en sammenheng mellom antall strikk som er knyttet sammen og festet til Barbies føtter og fallhøyden hennes. De skal med andre ord lage en matematisk modell for denne situasjo-nen. Hvis elevene ikke har arbeidet noe særlig med funksjoner tidligere, kan det være lurt å tegne et koordinatsystem på tavla og diskutere hva de to koordinataksene skal vise. For å lage en god modell, er det viktig at elevene finner nøyaktige måter å måle fallhøyden på. Når alle gruppene har laget en matematisk modell er det tid for konkurranse. Vi drar til en trappeopp-sats eller liknende hvor vi har plassert en stor balje med vann under ”stupet”. Elevene får vite hvor langt det er ned til baljen, og ved hjelp av den matematiske modellen de har laget skal de beregne hvor mange strikk de skal koble til Bar-bies føtter. Den gruppa som kommer nærmest vannet, helst slik at håret berører vannet, har vunnet!

Læreren i vår klasse, Morten, presenterte oppgaven for elevene og illustrerte hvordan de små gummistrikkene skulle kobles sammen og festes til Barbies føtter. Han ba elevene finne en

lineær funksjon, et lineært uttrykk, som viste sammenhengen mellom antall strikk og fall-høyden. Etterpå tegnet han et koordinatsystem på tavla, og elevene kom raskt med forslag til hva de to aksene skulle vise. Elevene fikk vite at dagen etter skulle det være en konkurranse i vestibylen, og gruppa som vant konkurransen, ville få en sjokolade. Klasserommet var lite, og gruppene valgte selv å spre seg over hele skolen. Elevenes vinnerinstinkt var til å ta og føle på. I slutten av timen, mens en av elevene etterprøv-de gruppas funksjonsuttrykk, kom han med følgende innbitte kommentar: Vi skal vinne den sjokoladen!

Mens elevene arbeidet, gikk Morten rundt til alle gruppene. Han fikk elevene til å forklare hvordan de hadde funnet funksjonsuttryk-ket sitt, hvilke målemetoder de hadde brukt og hvorfor. På forhånd hadde Morten og jeg diskutert hvordan elevene ville løse problemet med at punktene ikke ville ligge på en nøyak-tig rett linje og hvilke hint vi eventuelt skulle gi dem. Det viste seg å være uproblematisk. Elev-ene tok intuitivt frem linjalen og tegnet ei linje som passet godt til punktene. Deretter brukte de linja til å finne konstantleddet og stignings-tallet. En av gruppene fikk konstantledd lik 0, for de hadde satt Barbie opp ned og målt fra hodet. Det var helt ok, elevene bestemte selv forutsetningene i modellen sin. Under opp-summeringen derimot, i samlet klasse, dis-kuterte vi hvilke situasjoner som var reelle og ikke. Hvordan ville hoppet vært gjennomført i virkeligheten?

Så var det tid for konkurranse. Elevene fikk opplyst hvor langt det var fra gelendret og ned til vannflata. De fleste gruppene beregnet hvor mange strikk de skulle bruke ved regning. En av gruppene fant svaret grafisk. I etterkant ble denne gruppa utfordret til også å finne svaret ved regning. Deres Barbie hadde berørt vann-flata med håret under konkurransen, så moti-vasjonen for å regne litt ekstra etterpå var na-turlig til stede. En av elevene spurte meg om



de måtte bruke hele strikk. ”Vi fikk svaret 27,4. Er det lov å holde et sted på strikken?” Vi dis-kuterte hvorfor det ble slik og ble enige om at gruppa selv fikk bestemme hva de skulle gjøre. Temaet ble tatt opp igjen under oppsumme-ringen i felles klasse. Under selve hoppkonkur-ransen skjedde det noe merkelig. Den første gruppa gjorde et perfekt hopp. Barbie berørte vannflaten med håret. En av de andre gruppene forsøkte å jukse og spurte hvor mange strikk de hadde brukt. Når det var deres tur havnet Barbie langt over vannflata. Hvorfor gikk det ikke like bra for den gruppa? Etter konkurran-sen ble det delt ut sjokolade til den gruppa som kom aller nærmest og til den som kom lengst unna.

Oppsummering og refleksjoner i samlet gruppeI denne delen av læringsprosessen er det elevene som skal fortelle hvordan de har tenkt, hva de har gjort og hvorfor? Det er viktig å beregne god tid til oppsummeringen. - Hvordan tenkte de forskjellige gruppene

når de fant modellene? - Måleusikkerhet og feilkilder. - Hva betyr de ulike parametrene i model-

len? - Gyldighetsområde.- Alternative modeller?- Har vekta til Barbie betydning? Hva hvis

Ken skulle hoppe? Hva hvis vi skulle hoppe? Hvordan forgår det når man skal hoppe strikk på ordentlig?

- Er funksjonen kontinuerlig? Hva betyr dette for presisjonen? Diskutér.

- Andre ting? En av tingene elevene i vår klasse var opptatt av var hvorfor det ikke gikk like bra for den gruppa som jukset.

”Dukkene har forskjellig vekt”, foreslo en av elevene. Han forklarte videre hvordan vekta ville påvirke strikkene. Vi snakket om hvordan

stikkhopp foregår på ordentlig. Hva skjer hvis vi lyver på vekta? I diskusjonen om måleusik-kerhet og mulige feilkilder kom det frem man-ge gode forslag:- Vi prøvde å slippe Barbie på samme måte

hver gang, men det var vanskelig.- Vi passet på at Barbie hadde samme

utgangsstilling hver gang, at hun ikke var bøyd forskjellig.

- Strikkene var litt forskjellige, så vi forsøkte å plukke ut strikk som så like ut.

- Når vi knyttet strikkene, var vi nøye med å knytte dem sammen på midten.

- Øyemål er ikke godt nok. Vi holdt en bok under for å måle fallhøyden mer nøyaktig.

Det ble også diskutert hva de ulike parametrene i funksjonsuttrykket fortalte oss. I senere arbeid med lineære funksjoner brukte vi denne kunn-skapen.

KommentarerFør en gjennomfører opplegget, må læreren ha prøvd det ut på forhånd og tenkt nøye gjennom hva som skal være det matematiske fokus. Det



er flere grunner til at ikke alle Barbie-dukkene bør ha samme vekt. Den viktigste grunnen er at elevene erfarer at modellene er avhengige av dukkens vekt. Den matematiske modellen som passer best til forsøket er lineær, men det er fint hvis elevene prøver ulike kurvetilpasninger ved hjelp av regresjon på lommeregneren. Hvis elev-ene har vært nøye med målingene, vil flere av gruppene komme svært nærme vannflata. Det er viktig å utfordre elevene til å finne nøyaktige måter å måle fallhøyden på. Erfaringer viser at de fleste elevene er i stand til å finne gode meto-der, bare de blir gjort oppmerksomme på at det er viktig. Et annet viktig element som bør dis-kuteres under oppsummeringen, er hvor nøye elevene har vært når de har festet strikkene til hverandre og hvordan dette kan ha påvirket resultatene.

Under konkurransen skal elevene bruke den matematiske modellen de har laget til å be-regne hvor mange strikk de skal bruke. Elevene vil oppleve, som i vårt tilfelle, at beregningene tilsier at de skal bruke for eksempel 25,7 strikk. Hva velger de og hvorfor? Er funksjonen kon-tinuerlig? Kan vi ved å bruke andre redskaper få en kontinuerlig funksjon? Hva med Barbies sikkerhet? Det er mye matematikk vi kan dis-kutere og reflektere over under oppsummerin-gen, og jeg har bare nevnt noe av det. Det vik-tigste er å bruke god tid og la elevene få være aktive også i denne delen av opplegget. Våre elever synes opplegget var både spennende og interessant. De hadde arbeidet praktisk, de hadde erfart at matematikk kan brukes i vir-keligheten, og at kunnskapene og erfaringene de hadde fått kunne brukes på andre områder i matematikken.

Del �: Modellering med utgangspunkt i fysiske lover�

I denne delen av artikkelen vil vi se på Bar-bies strikkhopp med utgangspunkt i de fysiske lovene som styrer forløpet. Dette krever kunn-skap om disse lovene, hvilke fysiske størrel-

ser som er avgjørende for utfallet og hvordan formlene som beskriver lovene kan behandles matematisk.

Den fysiske modellenVi plasserer Barbi på stupebrettet. Strikken er festet i et ankerpunkt i høyde med dukkens tyngdepunkt. Den andre enden av strikken er festet i dukkens føtter. Når så Barbie dyttes utfor kanten vil hun først falle et stykke i fritt fall, så vil strikken strekke seg og bremse opp fallbe-vegelsen til hun spretter opp igjen. Den mak-simale fallhøyden, H, må beregnes for å kunne forutsi om hun vi berøre bakken og skade seg og

om strikkens lengde må justeres. Fra tegningen neste side ser vi at fallhøyden er like lang som strikklengden pluss strekkleng-den, dvs. H = h + l eller h = H – l. Det er en lineær sammenheng mellom fallhøyden H og strekklengden h.

Ser vi på eksperimentet med fysikerens bril-ler er det nærliggende å benytte oss av energi-betraktninger. I fallet vil potensiell energi bli omgjort til lagret energi i strikken. En spent strikk representerer en viss energi som senere kan frigjøres eller omformes.

Vi går ut fra at strikkens lengde er fast og at vi ikke skal variere antall strikk i eksperimentet. Problemstillingen er å beregne fallhøyden for dukken når den hopper. En rekke parametre kan være avgjørende for denne spørsmålsstillingen. Vi må kjenne til strikkens lengde og fjærkonstant og Barbis vekt. I første omgang interesserer vi oss for dukkens tyngdepunkt og hvor langt ned dette beveger seg i dukkens fallbevegelse. Vi må sørge for å ta høyde for avstanden fra tyngdepunktet til hodet siden dukken stuper med hodet først.Strikken må justeres ettersom den beregnede fallhøyden er større eller mindre enn stupebrettets høyde over bakken.



Den potensielle energien er muligens den enkleste i dette oppsettet. Når tyngdepunktet for dukken har falt en viss høyde H, kan vi be-regne den tilhørende energien som settes fri til

Epot

= m · g · H,

der m er dukkens masse og g = 9,81 m/s2 er tyngdeakselerasjonen. Hele denne energien regner vi med blir omformet til energi lagret i strikken. Da ser vi bort fra friksjon og luftmot-stand. La oss se hvordan vi kan beregne ener-gien i strikken? Vi velger å se på strikken som en slags fjær som er velkjent blant fysikerens hjelpemidler. For fjærer gjelder ofte en lineær sammenheng mellom kraften, F, som er nød-vendig for å strekke fjæren, og den tilhørende forlengelsen, h.

Vi får følgende sammenheng F = k · h, der k er fjærkonstanten med benevning N/m.

StrikkenergiDet trenges energi for å utøve en kraft over en viss avstand. I vårt tilfelle må kraften ”over-

vinne” strikkens motstand. Energien er da produktet av kraften og lengden på strekningen som kraften virket. Strikkens motstandskraft er ikke konstant men øker når vi drar i den. Derfor er det ikke helt opplagt hvordan vi skal beregne energien i en utstrakt strikk. Illustrasjonen ned-enfor kan hjelpe oss.

Forlengelse [cm]

Kraft [N]

Vi regner med at kraften i et lite intervall (over en liten strekning) er konstant. Da blir det enkelte energibidrag lett å beregne som produkt av den lille lengden og den aktuelle kraften. Produktet synliggjøres i tegningen som arealet av det enkelte rektangelet under linjen.

Kraft [N]

h

sF

Forlengelse [cm]

Vi ser at den totale energien som trengs for å strekke strikken en viss lengde h svarer til area-let av en trekant under kurven. Dette kan imid-lertid beregnes raskt:

EF h

k hstrikks=◊

= ◊2

1

22 , hvor F

s = k · h.

Siden all potensiell energi blir omformet til

Total fallhøydeH for dukkenstyngdepunkt

Stupebrett

Barbie-dukke

Strikkoppheng isamme høyde somdukkenstyngdepunkt

Avstand fratyngdepunkttil hode

Strekklengde, h

Strikklengde, l(slakk uten dukke)


Matematisk modelleringstrikkenergi kan vi sette opp:

E E

m g H k h

pot strikk=

◊ ◊ = ◊1

22

eller mgH k H l= -1

22( ) som gir oss en kvadra-

tisk likning for fallhøyden H, nemlig

H H

mg

kl l2 22 0- +Ê

ËÁˆ¯̃

+ = ,

som fører til

H

mg

kl

m g

k

lmg

k1 2

2 2

22, = + ± +

Valg av fortegn i løsningen

Uttrykket under roten er ekte større enn m 2g 2 / k2

og selve rotuttrykket er dermed større

enn mg /k . Skulle vi velge det negative tegnet i løsningen av den kvadratiske likningen ville det bety at løsningen ble mindre enn l, altså strik-kens lengde når den henger slakt ned. Dette er selvsagt urimelig ut fra fysiske betraktninger. Det betyr at vi velger løsningen hvor rotuttryk-ket gir positivt bidrag:

H

mg

kl

m g

k

lmg

k= + + +

2 2

22

Vekt (g) �0 g �00 g ��0 g �00 g ��0 g �00 g

Kraft (F) 0,�� N 0,�� N �,�� N �,�� N �,�� N �,�� N

Forlengelse (h) �,� cm �,� cm �,� cm �,� cm �,� cm �,� cm

Fjærkonstant (F/h) �0,� N/m ��,� N/m ��,� N/m ��,� N/m ��,� N/m �0,� N/m

Måling av fjærkonstantFjærkonstanten for en fjær beskriver hvor hard eller myk en fjær er. Den forteller oss noe om sammenhengen mellom kraften vi trenger for å strekke ut fjæren og hvor langt vi klarer å strekke den ut med en gitt kraft. Den er defi-nert ved: F = k · h, hvor en strekkraft F gir en forlengelse h i strikken. Her er k fjærkonstanten til strikken. Den er en proporsjonalitetskon-stant som uttrykker kraften som funksjon av forlengelsen. Vi kan beregne fjærkonstanten ved å måle forlengelsen som funksjon av strekkraf-ten. Kraften kontrollerer vi ved å henge lodd på fjæren. Vi starter med ett lodd og øker så til to, tre fire osv. Måler vi forlengelsene for flere strekkrefter kan vi beregne konstanten flere ganger for deretter å midle målingene. Slik får vi et resultat vi kan stole på.

Vi ser fra tabellen at fjærkonstanten ligger rundt omkring 40 N/m.

Referanser [�] Niss, M. & Højgaard Jensen T. (�00�) Kompe-

tencer og matematiklæring. Ideer og inspiration til utvikling af matematikundervisning i Danmark. Uddannelsesstyrelsens temahæfteserie nr. �� – �00�. Undervisningsministeriet, (http://pub.

uvm.dk/�00�/kom/).

Note� Artikkelens andre del er redigert og omarbeidet

av Christoph Kirfel og Inger Elin Lilland.


Denne artikkelen handler om matematikk-undervisning på grunnkurs allmennfag, og om Mia som var min elev. Artikkelen bygger på min hovedoppgave, Jensen [6]. Gjennom hele skoleåret la jeg opp til undervisningsfor-mer der eleven skulle være den aktive i lærings-arbeidet. Jeg tok i bruk en langt større variasjon av arbeidsmetoder enn det jeg hadde gjort tid-ligere. Jeg erfarte at dette arbeidet ga elevene en bedre og mer allsidig læring i matematikk, og Mias eksempel kan illustrere hvordan en elev arbeidet og opplevde sitt eget arbeid og sin egen læring. Jeg vil fortelle om utviklingen av hennes læring, holdninger og trivsel gjennom et skoleår med elevaktiv undervisning i matematikk.

Men jeg vil først trekke fram litt av teorien som har gitt meg veiledning, støtte og dypere innsikt i arbeidet som lærer.

LæringI de senere år har både forskere, lærere og sko-lemyndigheter flyttet fokus stadig mer bort fra undervisningen og i stedet fokusert på læring. Det synet man som lærer har på hva læring er,

hvordan læring foregår og hvordan forholdene best kan legges til rette for at god læring skal kunne skje, blir avgjørende for hvordan under-visningen legges opp.

Knud Illeris, [4] side 16, sier at læring om-fatter to delprosesser som hører tett sammen og gjensidig påvirker hverandre: Samspillspro-sessen mellom individet og dets omgivelser og den indre psykiske tilegnelses- og bearbeidelses-prosessen fører sammen fram til et lærings-resultat.

Dette er et sosialkonstruktivistisk læringssyn. Barbara Jaworski, [5] beskriver læring som en individuell kunnskapskonstruksjon i sosiale omgivelser. Vygotski utviklet begrepet den nærmeste utviklingssone, og Illeris har oversatt hans definisjon (side 44):

”Afstanden mellem det aktuelle udviklings-niveau som det kan konstateres ved indivi-duel problemløsning, og niveauet for den potentielle udvikling som det kan konsta-teres ud fra problemløsning med vejledning fra voksne eller i samarbejde med dygtigere jævnaldrende.”

Helle Alrø, [1] side 9, kaller slikt samarbeid, med samtaler og diskusjoner for forhandlinger:

Anne-Mari Jensen

Mia – en taper i matematikk?Fra hovedfagsstudiet ved Matematikksenteret

Anne-Mari Jensen er ressursperson for Matematikksenteret, og arbeider til daglig ved Meløy videregående skole i [email protected]


Didaktiske artikler

”– den gensidige udforskning af perspektiv resulterer med andre ord i en forhandling af mening, og igen drejer det sig mindre om, hvem der har det rigtige perspektiv end om den refleksion, der foregår gennem forhand-lingen. Det er dog ikke ensbetydende med, at alting er lige godt. På et tidspunkt er det påkrævet at tage stilling til brugbarheden i de respektive perspektiver.”

Med dette læringssynet i ryggen, blir det viktig å legge opp til arbeidssituasjoner som tar hensyn til alle sidene ved læringsprosessene. I eksempe-let nedenfor med Mia ser vi hvor viktig det er å ikke bare se på matematikklæring som en kog-nitiv (erkjennelsesmessig) prosess. Skal det bli et godt læringsutbytte, må den psykodynamiske prosessen hjelpe til, - følelsene, holdningene og motivasjonen må bidra positivt om resultatet skal bli bra. Vi må også ta hensyn til de sosiale prosessene. Læringsarbeidet er effektivt om vi kan utnytte et positivt mellommenneskelig samspill. Vi må utnytte potensialet som ligger i elevenes nærmeste utviklingssone. Dessuten er det av betydning hvorvidt eleven ser det hun skal lære som nyttig eller relevant i sin egen vir-kelighet, både innenfor og utenfor skolen.

Den didaktiske kontraktGuy Brousseau, [3] tar i bruk begrepet den didaktiske kontrakt: Det vil etter hvert, i alle undervisningssituasjoner, etableres noen ”spille-regler”, noen rutiner og uutalte regler for måten man forholder seg til hverandre på. Morten Blomhøy, [2] har arbeidet videre med begrepet og han kaller det

”en kontrakt der danner rammerne for virksomheden, både i klassen som helhed, men også for samspillet mellem læreren og de enkelte elever og mellem eleverne ind-byrdes. […] Hvis ikke der skabes en eller anden form for kontrakt mellem lærer og elever, kan undervisningen simpelthen ikke

gennemføres. Etableringen af en didaktisk kontrakt er således ikke blot en følge af undervisningen, men også en nødvendig forudsætning for den.” (side 16)

Da jeg begynte skoleåret med mye elevaktivi-tet i matematikkundervisningen, var de fleste elevene positive de første dagene, men så kom en negativ reaksjon: Det ble for mye leking, de ønsket mer tid til oppgaveløsning og tavle-undervisning. Jeg oppfattet det slik at elevene syntes det var morsomt med noe annerledes enn det vanlige, men når denne arbeidsformen varte ved, ble det et brudd med den didaktiske kon-trakten de tidligere hadde opplevd i matema-tikktimene. De gjorde motstand for dette lignet ikke på noe de forbandt med seriøs matematikk-undervisning, de ble usikre på om dette arbeidet ville føre fram til noe godt resultat.

Men hvordan skulle elevene kunne ønske seg og føle trygghet ved en arbeidsform de ikke var fortrolig med og som de ikke ante konsekven-sene av? For meg ble det viktig å ikke gi opp i første omgang. De måtte få tid til å venne seg til mer elevaktive arbeidsformer før de kunne vurdere dem. Og det viste seg at både Mia og de andre elevene etter hvert begynte å sette pris på måten vi arbeidet på. Mange ga uttrykk for at de fikk bedre forståelse, og mange sa at arbeids-formene ga bedre trivsel og motivasjon.

FagsynEn av årsakene til den konflikten vi opplevde i skoleårets begynnelse, tror jeg lå i at elevene og jeg hadde ulike fagsyn. Mitt eget fagsyn, mitt syn på hva matematikk er, hva det vil si å forstå matematikk og hva elevene skulle lære, stemte ikke overens med elevenes.

Læreplanen for matematikk, felles allment fag, i videregående skole (KUFD, 1999) vekt-legger matematikkens anvendelse. Men også fagets egne problemstillinger, metoder og tek-nikker nevnes, - ”det er disse som binder fa-get sammen, og som gjør det mulig å utvikle


Didaktiske artikler

generelle metoder som kan benyttes på mange forskjellige fagfelt” (s. 3).

Fagsynet i det jeg velger å kalle tradisjonell undervisning er at matematikk er et system av fakta og prosedyrer som har med antall, mengder og former og forholdet mellom dis-se å gjøre, og målet er å lære å beherske disse faktaene og metodene. På den andre siden kan man se på matematikk som ”mønstrenes viten-skap” (”science of patterns”) – et syn vi finner presisert hos Schoenfeld, [7]. Det å lete etter mønster og systemer er grunnleggende både for en matematiker som forsker og ”bryter nytt land” i faget, men også for elevene som skal ar-beide med å oppdage og forstå matematikken på sitt nivå. De må lære metoder til å utforske og undersøke for å oppdage sammenhenger og utdype sin egen forståelse. Dessuten skal de se og erfare at matematikken er et verktøy for å løse mange praktiske problemer i hverdagsliv, yrkesliv og samfunnsliv.

UndervisningenAv stor betydning for meg ble det å lese om andres forskning og deres analyser og resultater. Barbara Jaworski [5] har fulgt flere lærere som observatør og samtalepartner. Hun har pekt på tre aspekter som karakteriserte undervisnin-gen hos lærere som underviste etter sosialkon-struktivistiske prinsipper (side 107-108): For det første viser hun gjennom flere eksempler at god læring skjer i arbeidsmiljøer der læreren er en tydelig arbeidsleder, mens eleven, den lærende, er den aktive. Læringsarbeidet må være orga-nisert med varierte arbeidsformer og med pro-blemer som kan utfordre elever på ulike nivåer. For det andre peker hun på hvor viktig det er at læreren har interesse for og kjennskap til elevene som hele og ulike mennesker. Dette vil prege forholdet mellom lærer og elev og påvirke måten læreren støtter og utfordrer elevene på. For det tredje er det avgjørende at læreren selv har en god faglig oversikt og kan lede læringsar-beidet med faglig trygghet og autoritet.

I undervisningen ønsket også jeg å legge opp til mange varierte arbeidsformer. Arbeidet tok utgangspunkt i læreplanens mål, - lærebøkene ble brukt som støttelitteratur. Jeg la spesielt vekt på at delmål 1 og 2, ”Kultur, språk og kommu-nikasjon” og ”Modellering, eksperimentering og utforsking”, i læreplanen skulle tas på alvor. Med utgangspunkt i læringssynet jeg skisserte ovenfor, tok vi ulike arbeidsformer i bruk:

· Laborativt arbeid, eksperimenter og forsøk · Problemløsning og det å kunne stille egne

spørsmål (problem posing) · Modellering · Oversettelse fra ”vanlig” språk til matema-

tikkspråk – og tilbake · Leting etter mønster · Gjetning · Veiledning av elever mot det målet at de

selv skal finne løsninger og føle kunnska-pen som sin egen

· Skriving, - resultater, konklusjoner og forklaringer

· Diskusjon og forhandlinger (negotiations) · Refleksjon, tolkning og evaluering · Presentasjon av resultater, skriftlig og

muntlig

MiaMia viste seg å ha faglige problemer i mate-matikk. Hun ga uttrykk for at hun hadde slitt med faget på ungdomsskolen uten å lykkes noe særlig. Hun var nokså stille i klassen, men hadde mot til å si ifra på en real måte om det trengtes, og hun stilte seg gjerne i spissen for de andre når klassen hadde ting de ville ta opp med skolens ledelse. Hun hadde omtanke for andre og var flink til å organisere, - alt fra leker i klasserom-met til skoletur.

Det første som falt Mia inn når hun hørte ordet matematikk var ”Vanskelig!” Mitt første inn-trykk bekreftet at Mia var en elev som hadde store vansker med matematikken, hun virket


Didaktiske artiklersvært usikker når jeg snakket med henne under arbeidet i timene. Hun ga også uttrykk for at selv om hun trodde hun forstod i øyeblikket, så var det borte neste gang hun trengte det. Hun hadde behov for ekstra mye tid for å lære noe nytt.

Elevene fikk et spørreskjema første skoledag, og Mia fortalte der at hun syntes matematikk var kjedelig, selv om både hun selv, venner og foreldre syntes det var et viktig fag. Hun mente at hun ikke hadde noe talent for matematikk og sa at hun hadde dårlige resultater i faget. Hun ville likt faget bedre om det ikke hadde vært så vanskelig. Videre sa hun at hun lærte best når hun løste oppgaver, når hun kunne finne fram til løsning av oppgaver sjøl, når læreren forklarte på tavla og når hun kunne samar-beide med andre i klassen. Men hun mente at hun ikke lærte så godt når hun jobbet med noe praktisk. Hun forventet seg hardt arbeid, store utfordringer og vanskelige oppgaver, og hun håpet læreren var flink og ville ta seg tid til å hjelpe og forklare godt. Men hun hadde også forventninger til seg sjøl:

”Jeg håper jeg selv er flink til å følge med, prøver så godt jeg kan og viktigst av alt: Ikke gir opp!”

Fra første dag var undervisningen lagt opp med mye praktisk arbeid, spill og eksperimentering, der det var viktig at elevene diskuterte seg imel-lom, både i smågrupper og i samlet klasse, og det ble lagt vekt på at de måtte skrive ned det de gjorde og fant ut etter hvert. Etter denne perioden skrev Mia at ”dette er den vanske-ligste matten jeg har vært borti, noen sinne!” Hun skrev at hun syntes hun forstod en del av det som foregikk i timene, men når hun skulle gjøre noe på egen hånd, ble hun stående fast. Det hadde etter hennes mening vært veldig mye tavleundervisning og dessuten leker hun ikke har fått noe igjen for. Men samarbeidet med andre elever hadde vært fint og hun skrev:

”Jeg har vel trivdes, men følt meg litt lita og hjelpeløs.”

Den første prøven var også en svært negativ opplevelse, hun følte at hun ikke kunne noen ting og sto helt fast. Etter prøven var hun ganske misfornøyd og ulykkelig.

Utover høsten viste det seg at Mia fortsatte å arbeide jevnt og flittig, selv om hun ranger-te matematikk som det faget hun likte minst. Hun var alltid forberedt, hun hadde gjort det hun klarte. Hun arbeidet seint, men prøvde å beholde kontrollen med det hun gjorde. Og hun opplevde innleveringsoppgavene positivt: her fant hun oppgaver som var annerledes enn dem hun var vant til, og hun kunne løse dem på sin egen måte. For hver ny arbeidsperiode ble hun mer positiv i vurderingen av sin egen læring, selv om hun stadig syntes faget var van-skelig og at arbeidet tok mye tid. Innstillingen til praktisk arbeid i matematikken forandret seg, - etter hvert trakk hun fram praktisk ar-beid som en arbeidsform hun syntes var bra.

I forkant av hver prøve fikk klassen 10-20 minutter til å snakke sammen om oppgavene. De fikk ikke lov til å notere noe, men de fikk tid til å lese og diskutere oppgavene med hver-andre. Mia sa, både i intervju og i logger, at hun ofte klarte å løse oppgaver når hun bare fikk litt ”starthjelp”, en støtte i begynnelsen, men ikke mer enn at hun følte at hun hadde fått den til selv. Likevel opplevde hun prøvene som ubeha-gelige. I desember hadde vi en skriftlig prøve, og – som vanlig – var hun misfornøyd og syn-


Didaktiske artikler

tes hun ikke klarte å få fram det hun kunne. Denne gangen ble vi enige om at hun kunne ta prøven med hjem og gjøre den på nytt. Det viste seg da at med mer tid og ro, og med litt ”starthjelp” på enkelte oppgaver, ble resultatet langt bedre. Det var godt for Mia å kjenne at hun klarte seg bedre, og det var godt for henne å få vist meg det.

Klassen hadde også en muntlig prøve der elevene ble delt i grupper, og oppgaven gikk ut på å planlegge en klassetur: reise, mat, øko-nomi og informasjon. Her kom hennes beste egenskaper fram: Hun viste seg å være god til å planlegge og organisere, så i tillegg til å bi-dra til en god besvarelse av oppgaven, hadde gruppa hennes sett for seg turen i virkelighe-ten og tenkt på mange flere detaljer, som f. eks. huskeliste over hva alle måtte ha med av mat, klær og utstyr, planlegging av hvordan maten skulle tilberedes og serveres med arbeidslister osv. Her kom hennes praktiske og organisato-riske evner til nytte.

I 2. termin ble klassen delt i moduler, og Mia valgte modul 1Y. Vi hadde nå en lang periode med læreplanmålet ”Praktisk bruk av funk-sjoner og algebra”. Arbeidet ble innledet med strikkskyting, hvor læringa tar utgangspunkt i en praktisk oppgave: Elevene skulle finne sam-menhengen mellom hvor langt man strammer en strikk og hvor langt den fyker av gårde. De skulle tegne graf, finne en matematisk modell og vurdere modellen (Se www.matematikk.org). Nå var Mia en av de ivrigste. Elevene job-bet i par, og Mias par jobbet effektivt. Dette var så moro at mens de andre gjorde forsøket ferdig, gjorde Mias par samme forsøk en gang til, - men med en ny strikk. ”Man kan jo ikke vite sikkert, - kanskje ville det gi andre måle-resultater?” Hun tok til og med strikk med seg i pennalet, og da vi en time seinere begynte å diskutere gyldighetsområdet, var hun rask med å ta fram strikken sin og eksperimentere og vise de andre hvordan vi skulle finne ut lengste skytelengde.

Det viste seg at Mia taklet praktiske oppga-ver meget godt, og her var det ofte slik at hun kunne forklare og vise de andre. Hun gledet seg tydelig over arbeidet, og hvis vi jobbet med å lage ting og bruke kreative evner, hendte det at hun ble sittende igjen å kose seg med oppgaven etter timen hvis hun hadde tid.

Etter arbeidet med dette læreplanmålet, - før vi hadde prøve, repeterte hun og vurderte seg selv innenfor emnet, og slik jeg ser det, var det ei trygg jente som hadde en ganske realis-tisk vurdering av egen læring. I loggen etter ar-beidet denne perioden skrev hun at hun syntes læringen hadde vært bra. Hun var selv veldig fornøyd og vurderte arbeidsinnsatsen sin som god. Hun kommenterte at ”vi har gjort mye praktisk, det har jeg lært av”. Hun mente også at hun hadde lært mye av innleveringsoppgave-ne, for oppgavene krevde tid og konsentrasjon.

Jeg la stor vekt på samtale og samarbeid i læringsarbeidet. Det var øvinger der elevene laget problemer til hverandre, og etter at de var løst, ble de utgangspunkt for diskusjon, i par, grupper eller i hele klassen. De fikk også innle-veringsoppgaver der to og to elever måtte sam-arbeide, og det var mange praktiske oppgaver de måtte løse i fellesskap. Mange ganger brukte vi god tid på ett problem eller en oppgave, - jeg presenterte en problemstilling, så diskuterte de seg i mellom, i par eller grupper, og de måtte prøve å formulere løsningene med ord eller på ”matematikkspråket”. Så ble løsningene presentert i klassen, og vi vurderte dem i fel-lesskap: Var løsningen god? Var alt rett? Hvis det ikke var rett, hva var feil? Og hvorfor var dette feil? Hadde vi ulike løsninger som var like gode? En slik runde ga ofte utgangspunktet for en ny problemstilling som førte oss videre i læ-ringa. Mia sa at hun likte denne arbeidsformen godt, - det var stor frihet til å tenke og vurdere selv og til å bruke fantasien til å leite etter løs-ninger. Samtidig hadde læreren regien og kon-trollen på det faglige, jeg sikret at de var på rett vei og ledet arbeidet framover.


Didaktiske artikler

Ved skoleårets slutt fikk elevene et spørre-skjema og de skrev logg. Her er noen sitater fra Mias svar:

”Beskriv – så nøye du kan – hva du har lært i matematikken i år?”

”Jeg har lært utrolig mye. Det jeg kjenner jeg har lært best er å lete, studere og forske etter svar og forklaringer. Tidligere har jeg lært at ”slik blir sånn, og sånn blir slik” uten å vite hvorfor. I år har jeg lært hvorfor ting blir slik de blir og da er det mye enklere å forstå og få det til. Det er jeg godt fornøyd med!”

Hvis du var en lærer som skulle undervise i matematikk, hvordan ville du legge opp under-visningen? Hvilke arbeidsformer ville du synes det var viktig å bruke?

”Jeg ville brukt mest mulig praktisk arbeid. Noe som virker veldig vanskelig og vrient i ei lærebok kan bli lett og forståelsesfullt når man får prøvd det selv.”

”Oppgaver der man må prøve seg fram og ”forske” etter svar er også veldig bra, synes jeg.”

OppsummeringMia ble ikke så mye flinkere i brøkregning og andre regneferdigheter i løpet av dette skoleåret, men hun fikk se at å være god i matematikk, betyr å være god på mange ulike måter. Hun ble for eksempel svært dyktig til å undersøke, lete etter mønster og sammenhenger, og hun var en aktiv deltaker i diskusjoner og refleksjoner rundt faglige emner. Hun fikk se at matema-tikken hadde en sammenheng med mye i det ”virkelige livet”. Og hun fikk oppleve å ha det moro i matematikktimene, å kose seg med en oppgave og å undre seg over sammenhenger.

Og noe av det aller viktigste som skjedde i løpet av skoleåret med Mias syn på matema-

tikk, og hennes evne til å møte matematiske utfordringer på: Hun ville ikke vært redd for å ta utfordringen om hun en gang fikk behov for å lære mer matematikk i utdanning eller yrkesliv.

Mia kunne lett ha blitt en taper i matematikk, jeg tror sjansen for det ville vært stor ved ”tra-disjonell” undervisning. I stedet ble Mia en elev som gikk ut av kurset med stor selvtillit og tilfredshet, samtidig som hun hadde en ganske realistisk vurdering av sin egen læring og de faglige resultatene hun hadde oppnådd.

Litteratur[�] Alrø, Helle (��). En nysgjerrig undersøgende

matematikundervisning. Center for forskning i matematiklæring. Skrift nr. �. Danmarks Lærer-højskole.

[�] Blomhøj, Morten (��). Den didaktiske kon-trakt i matematikkundervisningen. Kognition og pædagogik �(�), ��-��.

[�] Brousseau, Guy (��). Theory of didactical Situations in mathematics. Mathematics Edu-cation Library, Volume ��. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers.

[�] Illeris, Knud (�000). Læring - aktuell læringsteori i spenningsfeltet mellom Piaget, Freud og Marx. Oslo: Gyldendal Akademisk. (Første utgave ��, Roskilde Universitetsforlag.)

[�] Jaworski, Barbara (��). Investigating mathematics teaching: A constructivist enquiry. London: The Falmer Press. (First Ed. ��.)

[�] Jensen, Anne-Mari (�00�). ”Jeg føler det som om jeg kom hit som en tom bok og går som en 100 siders bok.” Om elevaktiv undervisning i videregående skoles grunnkurs. Cand. Scient.-oppgave i matematikk, NTNU, Trondheim

[�] Schoenfeld, Alan H. (��). Learning to think mathematically: Problem solving, metacog-nition, and sense making in mathematics. In D. A. Grouws (red.), Handbook of research on mathematics teaching and learning: A project of the national council of teachers of mathematics (s. ��-��0). New York: Macmillan Publishing Company.


Reinert A. Rinvold

Matematikklæring og det absurde?

Resonnementer og begrunnelser har hatt en relativt beskjeden rolle i skolematematikken de senere årene. Bevis blir ofte forbundet med noe litt sterilt som skal oppfylle en felles objektiv standard for matematisk tenkning. Elevene for-stod gjerne ikke disse bevisene, og det medførte i beste fall ofte at de pugget beviset uten å ha forstått noe særlig av det hele. Det ble viktigere å gjøre det «riktig» enn å forstå noe av hva som foregikk. Tradisjonen med en slik bruk av bevis i skolen kan kritiseres for å være en misforstått tilpasning av vitenskapelige objektivitetskrav til barns læring av faget. Men er dette virkelig den eneste og rette forståelse av hva matematisk bevis er?

Subjektivitet og metaforerMatematikken har også en subjektiv side, og den har dessverre blitt nedvurdert i forhold til hva som kan gjøres presist gjennom et formelt språk. Idéer, forestillinger og begreper er en viktig del av matematikken både for matema-tikeren og for folk flest. Forstillingene knyttet til et matematisk emne, vil imidlertid variere

fra person til person og dermed ha en vesentlig komponent av subjektivitet. For ikke å skape tvil om matematikkens posisjon som den mest pre-sise av alle vitenskaper, har matematikerne vært lite villige til offisielt å gjøre idéer og intuisjon til en del av presentasjonen av faget i artikler og bøker. I dag er det imidlertid en unison oppfat-ning blant matematikkdidaktikere om at det må noe mer til enn symbolene for å skape matema-tisk mening. For virkelig å forstå matematikk, må vi få med oss idéene som ligger bak. Pug-ging av formler og beviser alene gir minimalt med innsikt. Hvis vi trekker inn den subjektive komponenten i bevisene, kan det derimot hende vi må revurdere det vanlige synet på verdien av bevis i skolen.

Matematikeren David Henderson trekker tre konklusjoner angående subjektive bevis i Henderson [4]. To av disse er:

1. In order for me to be satisfied by a proof, the proof must answer my why-questions and relate my meanings of the concepts involved.

2. A proof that satisfies someone else may not satisfy me because their meanings and why-questions are different from mine.

En mulig konklusjon vi kunne trekke fra dette, er at det er umulig å finne bevis og forklaringer

Reinert Rinvold er førsteamanuensis ved Norsk Lærerakademi Lærerhøgskolen. [email protected]


Didaktiske artikler

av allmenn verdi. I ytterste konsekvens er det riktig, men vi kan finne mange former for argu-mentasjon hvor sjansen for forståelse og innsikt er langt større enn med mange tradisjonelle for-melle bevis. Grunnlaget for en slik optimisme er at vi mennesker har eller kan skaffe oss en god del felles erfaringer og språk. Desto nærmere begrunnelsen kommer allment utbrette erfarin-ger og forestillinger, desto større er sjansen for at mange kan oppnå innsikt. En variant av denne tenkemåten finner vi i metaforteorien, som er en av tidens retninger i matematikkdidaktik-ken. En metafor er en måte å skape abstrakte idéer med bakgrunn i erfaringer. Et eksempel på en metafor er «skjære til beinet». Denne metafo-ren er så innarbeidet at vi nesten glemmer den bokstavlige meningen. Matematikkdidaktikere som Anna Sfard [8], mener at metaforer spiller en sentral rolle for dannelsen av matematiske begreper. Tallbegrepet er blant annet knyt-tet til metaforer som «passere i rekkefølge» og «identiske fysiske gjenstander». Det er mulig å gjennomføre en analyse av matematiske begre-per for å se hvilke typer metaforer og analogier som ligger til grunn for dem. Et bidrag til dette er gjort av Lakoff og Nunez, se English [2]. En slik analyse av matematikken kan gi verdifulle bidrag til matematikkundervisningen, men kan også fornye selve matematikken! I noen tilfeller kan det hende at vi kan gjøre matema-tikken mer tilgjengelig ved å avsløre uheldige tankekonstruksjoner. For mange er det sikkert en oppsiktsvekkende tanke at vi kan kritisere den matematiske praksis, men i historisk sam-menheng er det ikke noe nytt. Særlig har temaet uendelighet vært gjenstand for kontrovers flere ganger.

Intuisjonistisk matematikkMetaforteoretikerne er ikke de første som har foreslått å endre selve matematikken på grunn av manglende bakkekontakt. Allerede for hundre år siden gjorde nederlenderen L.E.J. Brouwer (1881–1966) en banebrytende inn-

sats med sin intuisjonistiske matematikk. Han avviste et klassisk bevisprinsipp kjent som «ad absurdum bevis». Vi skal se hvordan Brouwers intuisjonisme har sammenheng både med metaforteorien og den psykologisk/filosofiske retningen som kalles konstruktivismen. I star-ten av forrige århundre var det en heftig debatt om grunnlagsproblemer i matematikken. Brou-wer var allerede som ung kritisk til den formelle matematikken som på denne tiden hadde stor vind i seilene. Idéene ble først presentert i hol-landsk språkdrakt i Brouwers doktoravhandling i 1907. Det var imidlertid først etter at Brouwer var blitt en berømt matematiker innen det van-lige matematiske paradigmet, at de relativt radi-kale idéene hans ble tatt på alvor. Noen hevder at Brouwer bevisst ventet med å publisere sine intuisjonistiske idéer internasjonalt til han hadde fått en høy stjerne blant matematikerne! Etter hvert utviklet Brouwer sammen med sine «disipler» en ny matematikk som skulle erstatte mye av den klassiske matematikken. Dette var kreativt og nyskapende, men er likevel lite kjent blant matematikere flest. Grunnen er nok at det falt mange tungt for brystet at Brouwer mente at man burde forkaste mye klassisk matematikk som uholdbar. Brouwers idéer fortjener imid-lertid å bli studert, ikke minst ved det lys han kan kaste over metaforteorien og den filoso-fisk/læringspsykologiske retningen konstruk-tivismen. En av de bedre og mest tilgjengelige innføringene i intuisjonistisk matematikk er Heytings klassiske bok Intuitionism, an intro-duction, [5].

En vesentlig tanke hos Brouwer er at enkelte former for matematiske bevis ikke er aksep-table. Vi skal se på et eksempel som viser hva Brouwer var kritisk til. Påstanden som skal be-vises er:

Det finnes irrasjonale tall a og b slik at ab er et rasjonalt tall.

Beviset går slik:


Didaktiske artikler

1. Hvis 22

er et rasjonalt tall, så la

a b= = 2 .

2. Hvis 22

ikke er et rasjonalt tall,

så la a = 22

og b = 2 . Da er

ab = ( ) = = =( )2 2 2 2

22

2 2 2, som er

rasjonalt.Hva kan være galt med denne tankegangen? Problemet er at beviset ikke gir noe svar på om det er alternativ 1 eller 2 som gir oss de ønskede irrasjonale tallene a og b. Dermed gir beviset ikke noe sikkert eksempel på det vi ønsker. Intuisjonistene godtar ikke et eksistensbevis med mindre det finnes en metode til å regne ut størrelsene som påstås å eksistere.

Et litt dypere dykk i materien får vi ved å se på logikken i beviset vårt. Klassisk logikk tilsier

at enten så er 22

et rasjonalt tall, eller så er det ikke. Dette er Aristoteles’ klassiske prinsipp om det utelukkede tredje, «tertium non datur». I følge Aristoteles så er et utsagn enten sant el-ler usant, og noen annen mulighet finnes ikke. Grunnen til at prinsippet kan utfordres, er at påstanden vår involverer uendelighet. I almin-nelighet er det ikke mulig i løpet av endelig tid å avgjøre om et reelt tall er rasjonalt eller ikke. Et desimaltall er rasjonalt hvis desimalutviklin-gen er periodisk. Det finnes velkjente metoder

til å regne ut 22

med så mange desimaler vi måtte ønske, men hvordan kan vi vite om de-simalutviklingen er periodisk eller ikke når vi til enhver tid kjenner bare et endelig antall de-simaler?

Beviset vi har sett på, er et eksempel på det som kalles et ad absurdum bevis. Det kan fremstilles som at vi antar at det ikke finnes ir-rasjonale tall a og b slik at ab er et rasjonalt tall.

Dermed må 22

være irrasjonalt siden det er

kjent at 2 er irrasjonalt. Punkt 2 gir da et ek-sempel på irrasjonale tall a og b slik at ab er ra-

sjonalt. Det motsier antagelsen om at slike tall ikke finnes, og antagelsen må dermed være feil. Her gjelder det å holde tunga rett i munnen!

Brouwers kritikk av ad absurdum bevis er at de ikke gir oss metoder til å regne ut tall som påstås å eksistere. Kanskje er det også absurd å tro at elever eller studenter vil forstå noe av et ad absurdum bevis? Vi kan tilføre nytt skyts til kritikken av denne bevisformen ved å slå fast at disse bevisene ikke gir innsikt i hvorfor en på-stand er sann. Matematikerne ville ikke gi slipp på den elegante matematikken som bygger på prinsippet tertium non datur, men hva er det da de egentlig holder fast på? Matematikere flest er kanskje ikke så bevisste på hvilke bevisprinsip-per som ligger bak deres resultater, men disipli-nen matematisk logikk har bidratt til at dette har blitt kartlagt i stor grad.

Noe av det oppsiktsvekkende ved Brouwer, er at han trekker inn menneskets erkjennelse som grunnlag for matematikken. Dermed foregriper han tenkningen innen moderne matematikkdidaktikk. Brouwer sentrerer ma-tematikken om tallbegrepet som han baserer på metaforen tidsbevegelse og skillet vi kan gjøre mellom fortid og nåtid, se von Wright [9] og Sandmel [7]. Han bygde på filosofen Imma-nuel Kant (1724–1804) som baserte sin mate-matikkfilosofi på menneskets erkjennelse av tid og rom. Konstruktivismen kan også spores til-bake til Kant gjennom Jean Piaget, se von Gla-serfeld [3]. En vesentlig forskjell er imidlertid at konstruktivistene i motsetning til Brouwer og Kant, avviser at matematikken inneholder nødvendige sannheter.

Et poeng som så vidt meg bekjent ikke er trukket frem andre steder, er at konstruktivis-men nødvendigvis må slutte seg til Brouwers kritikk av «ad absurdum bevis». Referansen til

at 22

enten er et rasjonalt tall eller ikke, er basert på en erkjennelse som ikke er tilgjenge-lig for noe menneske. Konstruktivismen er en humanistisk tankeretning som ikke godtar re-


Didaktiske artiklerferanse til noe annet enn det menneskelig er-kjennbare. Den kan derfor vanskelig referere til abstrakt platonsk eksistens slik ad absurdum beviset forutsetter.

Uendelig mange primtall på klassisk og intuisjonistisk visI noen tilfeller blir bevis fremstilt som ad absur-dum bevis uten at det er nødvendig. Et godt eksempel på dette er Euklids bevis for eksis-tensen av uendelig mange primtall. Hvis det finnes bare endelig mange primtall, så la n være 1 addert til produktet av alle disse primtallene. Da er n ikke delelig med noen primtall. Det er i motstrid med at n kan skrives som et produkt av primtall. Siden det kan bevises at alle naturlige tall større enn 1 kan skrives som et slikt pro-dukt, har vi oppnådd en selvmotsigelse. Anta-gelsen om at det finnes endelig mange primtall må derfor være feil. Det finnes derfor uendelig mange primtall.

En innvendig vi kan få mot beviset, er hvor-dan vi kan ta produktet av tall vi ikke vet hva er. Denne innvendingen er slett ikke så dum som man kan tenke seg. Kan man virkelig ut-lede at noe eksisterer ut fra en antagelse om at noe ikke eksisterer!?

Vårt alternative bevis starter med å bevise en litt mer presis påstand i stedet. Denne på-standen er at for ethvert positivt helt tall, så fin-nes det et primtall som er større. Begrunnelsen er nå gitt på få linjer:

Tallet n! + 1 har som alle positive hele tall, en faktorisering i primtall. Symbolet n! står for produktet av alle tallene fra 1 til n, og le-ses «n fakultet». Eksempler er 2! = 1 · 2 og 4! = 1 · 2 · 3 · 4. Alle primtallene som går opp i tallet n! + 1 er større enn n, hvorfor? En enkel metode for å finne det minste av disse prim-tallene er å begynne med n + 1, og systematisk forsøke større og større tall for å se om de går opp i n! + 1. Det første tallet som går opp er et primtall, hvorfor?

Det kan neppe være tvil om at den siste me-toden inneholder færre vanskeligheter og gir

mer innsikt. Siden beviset gir en metode for å finne primtall, kan vi la elevene eller studen-tene regne ut n! + 1 for, la oss si, de 10 første po-sitive hele tallene. Det blir store tall, men det er spennende! Faktoriseringen er vanskelig, men læreren kan sørge for å ha til rådighet kalku-latorer eller et dataprogram som kan faktori-sere. I tillegg til å bevise påstanden, har vi fått et interessant utforskningsobjekt. Et eksempel på hva man kan lure på, er hvilke primtall som dukker opp som minste faktor i tall av typen n! + 1. Her er det ingen fasit, men lærer og elever stiller på lik linje. Et spørsmål som vi lar stå igjen, men som har et enkelt svar, er hvordan vi kan skaffe oss uendelig mange forskjellige primtall ved hjelp av metoden. En liten van-skelighet er at noen primtall er minste faktor i flere tall av typen n! + 1. Andre interessante måter å fremskaffe uendelig mange primtall på finnes i Breiteig & Kirfel [1] og Kirfel [6].

Skjæringssetningen holder ikke intuisjonistiskEt kjent eksempel på et resultat som ikke holder i intuisjonistisk matematikk er skjæringssetnin-gen fra funksjonslæren.

Den sier at en kontinuerlig funksjon f a b,[ ]Æ slik at f (a) < 0 og f (b) > 0, har et

nullpunkt. Tenker vi på en kontinuerlig funk-sjon som en sammenhengende kurve, så virker resultatet opplagt. Kurven må intuitivt skjære x-aksen. Men, hva vil det egentlig si å skjære x-aksen? Skal vi ha nytte av denne opplysningen, må det være mulig å tegne grafen med vilkårlig stor nøyaktighet. Med andre ord vil det si at vi må være i stand til å regne ut skjæringspunktet med så mange desimaler vi måtte ønske. Her oppstår problemene. Funksjonsbegrepet er så generelt at vi ikke er i stand til å gi en generell algoritme som gir oss et svar i løpet av endelig tid. Ser vi bort fra den menneskelige begren-singen med endelig tidsbruk, så kan vi faktisk gi en algoritme. Vi kan bruke det velkjente prinsippet om intervallhalvering. Idéen er å se


Didaktiske artikler

om fa b+Ê

ËÁˆ¯̃2

er mindre enn null, lik null eller

større enn null. Da får vi et halvparten så stort intervall hvor skjæringssetningens betingelser gjelder. Slik kan vi fortsette og få to følger som konvergerer mot det ønskede nullpunktet. Pro-blemet er at vi ikke alltid i løpet av endelig tid kan avgjøre hvordan en funksjonsverdi ligger i forhold til null. Klassisk tenker vi ofte på et reelt tall som en uendelig desimalutvikling. Da vet vi fortegnet til tallet allerede i utgangspun-ket. Prinsippet om det ekskluderte middel gir da også at enten er x > 0, eller så er x = 0 eller x < 0. Når et reelt tall er et resultat av en uende-lig regneprosess eller beregning, er ikke dette like klart. Prosessen gir oss en følge av rasjona-le tall, eller om vi vil desimaltall med et endelig antall desimaler. Etter hvert som vi beregner en funksjonsverdi mer og mer nøyaktig, så kan verdien vippe frem og tilbake. Et eksempel er

f x g x tt

( ) lim ( , )=Æ•

, der g x t e txt( , ) sin= -

Da er

g (1, 9) = 5,085946 · 10–5, g (1, 11) = –1,670153 · 10–5 ogg (1, 13) = 9,497159 · 10–7.

Verdiene til g (1, t) svinger mellom positive og negative verdier etter som t vokser. I dette til-fellet kan vi bevise at g (1, t) går mot 0 når t går mot uendelig.

Det er imidlertid mulig å finne eksempler hvor fortegnet avhenger av løsningen av hittil uløste matematiske problemer. Et eksempel på et slikt desimaltall er gitt ved tallfølgen (p(k)), hvor p(k) = (–1)t(k) · 10–t(k) og t(k) er antall tvil-lingprimtallspar som er mindre eller lik k.

De første tvillingprimtallsparene er (3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19) og (29, 31). Det gir at p(5) = –10–1, p(7) = 10–2, p(13) = –10–3, p(19) = 10–4, p(31) = –10–5.

Matematikerne vet ikke om det finnes ende-lig eller uendelig mange tvillingprimtallspar. Hvis det finnes uendelig mange slike par, vil

p(k) ha null som grense når k går mot uendelig. I motsatt fall blir grensen enten et positivt eller et negativt tall avhengig av om antallet par er et like eller et odde tall!

Hvilken nytte har et så generelt resultat som skjæringssetningen og dens ikke-konstruktive bevis? Det kan være dristig å utfordre matema-tiske dogmer, men det er et faktum at generelle utsagn kan inneholde mindre informasjon enn mer spesifikke påstander. Ved å sette begrens-ninger på de funksjonene vi studerer, kan vi gjøre intervallhalveringsmetoden effektiv. De vanlig brukte funksjonene oppfyller dette, for eksempel funksjoner som polynomer, ekspo-nentialfunksjoner, sinus og cosinus. Et problem kan være at vi hverken i skolen eller i lærerut-danning kan gå inn på kriterier for utvalg av slike funksjoner. Vi kan heller ikke se på bevis for at funksjonene oppfyller skjæringssetnin-gen. Men er dette egentlig noe nytt problem? Mange detaljer må uansett utelates i elementær undervisning av funksjonslære. Vi bør fortelle at detaljer utelates, men det går an å gjøre på en faglig hederlig måte.

En viktig lærdom å trekke fra den intuisjo-nistiske kritikken av skjæringssetningen, er at det ikke er noen automatisk kobling mel-lom den visuelle og den algoritmiske siden ved funksjonsbegrepet. Når vi gjør skjærings-setningen til noe opplagt, underslår vi at funk-sjonsbegrepet er en syntese av to idéer som i utgangspunktet er ganske forskjellige. Kanskje kan undervisningen vår profitere på en bevisst-het om dette!

Referanser:[�] Breiteig T. & Kirfel, C. (��). Primtall i rekursive

følger. Normat �� (�), �0�–��.[�] English, L. D. (Ed.) (��) Mathematical reaso-

ning: Analogies, metaphors, and images. Mahwah, N.J. : Lawrence Erlbaum Associates.

[�] von Glaserfeld, E. Homage to J. Piaget,

http://www.oikos.org/Piagethom.htm

(fortsetter side 146)


”Uroen over å ikke få gått gjennom alt det du skulle vært gjennom er sterk. Du må klare å roe ned nervene, til du ser at det begynner å fun-gere. I starten må du få en bekreftelse på at det fungerer, for det kan være følelsesmessig hardt til å begynne med. Å tørre å holde på. Å ikke falle tilbake. Men du må være villig til å gi alt det nye tid. Tidspresset du føler i 1MA er ikke behagelig. Det rammer enhver som skal prøve.” (Sitat fra intervjuet med Morten)

Innledning Forskning og utviklingsarbeid ved Matema-tikksenteret vil alltid avhenge av godt samar-beid med skoler, elever og lærere som er villige til å prøve nye arbeidsmåter, og som med dette tar en sjanse. Denne artikkelen handler om muligheter og bekymringer, glede og tvil som vil komme gjennom et sånt samarbeid.

I doktorgradsprosjektet mitt utvikles og utprøves undervisningsopplegg som vektleg-ger utforskning, eksperimentering, kreativitet, samarbeid, samt viser matematikk i et tverr-faglig og anvendt perspektiv. Jeg ønsker å un-dersøke hvordan elevenes motivasjon og læring utvikles når undervisningen er som nevnt over.

Deltakerne i prosjektet er en matematikklærer, Morten, og elevene hans på grunnkurs i videre-gående skole. Morten og jeg har utviklet under-visningsopplegg som til sammen dekker hele læreplanen for grunnkurset. Denne artikkelen handler ikke om mitt doktorgradsprosjekt, men om hvordan Morten, gjennom prosjektet, har opplevd det å skulle forandre praksis.

Først gir jeg en kort beskrivelse av Mortens matematikkundervisningen før prosjektstart, deretter forteller jeg hvorfor han valgte å delta i prosjektet. Jeg vil gi et par eksempler på opp-legg vi har brukt før jeg gjengir et intervju med Morten, hvor vi får et innblikk i hvordan han har opplevd prosessen han har vært gjennom. Avslutningsvis vil jeg gi en kort refleksjon over prosessen sett fra mitt ståsted.

Lærerens matematikkundervisning før prosjektstartMatematikkundervisningen var veldig struk-turert og systematisk. I begynnelsen av timene gjennomgikk Morten ny teori og viste praktiske eksempler hvor teorien ble benyttet. Resten av tiden løste elevene oppgaver fra læreboka, og hvis det dukket opp problemer med oppgavene ble det tatt i fellskap på tavla. Timene var teo-retisk anlagt, strukturerte og intense. Det var tydelig for lærer og elever hva som skulle gjen-nomgås i timen og hva elevene skulle ha lært i

Kjersti Wæge

Tør jeg å slippe kontrollen? – en lærers beretning om den smertefulle prosessen det er å endre egen undervisningspraksis

Kjersti Wæge er doktorgradsstudent ved [email protected]


Didaktiske artikler

løpet av timen.Morten var opptatt av å motivere elevene,

og han var veldig god til det. Han arbeidet med å endre elevenes holdning om at ”matematikk er vanskelig”. ”Matte er gøy” var første leksa elevene fikk i matematikk.

Hvorfor Morten ville delta i prosjektet.Det var to årsaker til at Morten ville delta i pro-sjektet. For det første var han interessert fordi det handlet om motivasjon. Han følte at elevene hans for det meste var godt motiverte for mate-matikk hele høsten. I andre termin, derimot, dalte motivasjonen.

I mars/ april sa elevene fremdeles at ”matte er gøy”, men munnen og øynene smilte ikke lengre, fortalte Morten i intervjuet. De sa det fordi Morten forventet det. – Kunne undervisningsmetodene i prosjektet

hjelpe han til å holde på elevenes motiva-sjon gjennom hele skoleåret?

For det andre var han interessert fordi det handlet om forståelse. Morten mente at elevene stort sett var flinke til å løse oppgavene i boka. Problemet oppstod når de skulle overføre det de hadde lært til et annet område i matematikken. Morten fikk ofte tilbakemeldinger fra elevene om at de synes oppgavene på prøvene var svært forskjellig fra oppgavene de hadde arbeidet med i timene. Elevene var ikke i stand til å se at de kunne bruke de matematiske redskapene de hadde fått på et annet beslektet område. Morten forsøkte å løse dette problemet ved å kjøre på med oppgaver. Han var flink til å få elevene til å arbeide. Tankegangen var at elevene hadde fått redskapene, og hvis de fikk tilstrekkelig ”meng-detrening” i å bruke denne redskapen, så ville det skli inn av seg selv. Elevene måtte rett og slett jobbe! Når motivasjonen begynte å synke utover året, fikk elevene problemer med å holde tempoet. Dermed ble det for lite mengdetrening etter hvert. – Gjennom prosjektet ønsket Morten å få en

mer grunnleggende innarbeiding av forstå-else slik at elevene lettere kunne overføre matematikkunnskaper fra et område til et annet.

Eksempler på undervisningsopplegg i prosjektetSe rammer på de to neste sidene.

Mortens fortellingI april, i skoleåret hvor prosjektet ble utført, gjorde jeg et intervju med Morten om hvordan han som lærer hadde opplevd det å delta i pro-sjektet, om det å endre praksis. Gjennom inter-vjuet får vi et inntrykk av Mortens opplevelser og meninger om det som har skjedd hittil i sko-leåret. Jeg tror det kan være nyttig og spennende for andre lærere å få et innblikk i Mortens erfa-ringer med å endre praksis.

– Hvordan opplevde du starten av prosjektet? Det var mye mer (konstruktiv) uro i klasserom-met enn det jeg var vant til. Når elevene arbeidet i grupper, skulle de snakke, de skulle ordne ting og de skulle hente ting. Det var et lite kaos, og jeg måtte greie å håndtere dette kaoset. I tillegg var det vanskelig å planlegge timene veldig nøye. Jeg kunne planlegge rammen for timen, men hva som skjedde innenfor den rammen, det var vanskeligere å planlegge, mye vanskeligere å for-utsi. Jeg hadde ikke den samme kontrollen som jeg var vant til. Jeg måtte være mye mer åpen for at det kunne skli i forskjellige retninger.

– Hva med forberedelsene? Det å bruke andres metoder? Du har mange ganger sagt at du måtte gjøre oppleggene til dine.Jeg måtte prøve å lære meg tankegangen bak oppleggene. Når jeg underviste på den tradi-sjonelle måten, visste jeg hva vi skulle gjennom og hva jeg ville oppnå. Nå (i prosjektet) visste jeg hvilket emne vi skulle gjennom, men jeg var usikker på hvor vi ønsket å styre elevene. Jeg måtte vite hvor jeg ville styre elevene, og det var


Didaktiske artikler

diffust i startfasen. Jeg måtte rett og slett sette meg inn i ideologien bak oppleggene. La oss ta dette med mønstergjenkjenning. Matematikk er mønster, og elevene skulle lete etter mønster, kjenne igjen mønster og anvende mønster på ulike områder. Jeg måtte også lære de nødven-dige trinnene elevene måtte gjennom for å se mønstrene. Alt dette tok det litt tid å sette seg inn i.

– Mye tid?Ja, det tok mye tid. Jeg hadde min ideologi, og den tar det lang tid å forandre. Den kan endres, men det tar tid. Jeg måtte prøve, erfare og vur-dere denne nye måten å tenke på. Hvis ikke nye innspill stemmer med det bildet du har på læring, så finner du feilene og svakhetene, i stedet for å lete etter styrkene og mulighetene. Det er svakheter og styrker ved alle undervis-ningsopplegg, og jeg måtte få frem de sterke

Eksempel �: Sett sammen fargekolonner – innføring i uoppstilte likninger

Utstyr: Røde, grønne og blå brikker.

�. Du skal bruke �0 brikker til å lage � kolonner slik at

– Den røde kolonnen inneholder � flere enn den blå kolonnen.

– Den grønne kolonnen inneholder � flere enn den blå kolonnen.

La brikkene/kolonnene ligge til oppgave �.

�. Løs oppgaven ved hjelp av likninger.

�. Bruk �0 brikker til å lage � kolonner slik at

– Den blå kolonnen inneholder � mindre enn den røde kolonnen.

– Den grønne kolonnen inneholder � mindre enn den røde kolonnen.

La brikkene/kolonnene ligge til oppgave �.


�. Sammenlikn kolonnene og likningsuttrykkene fra oppgave � og oppgave �. Forklar hva du ser og hvorfor.

�. Bruk �� brikker til å lage � kolonner slik at




�. Bruk �� brikker til å lage � kolonner slik at



�. Lag minst to lignende oppgaver selv.


Didaktiske artikler

sidene. Tidligere, når jeg fikk nye innspill, var jeg selektiv og plukket ut det som stemte med mitt syn.

– Kan du beskrive matematikkundervisningen nå?Vi gir elevene anledning til å kjenne igjen møn-ster. De lager matematiske regler og finner ut hvordan reglene kan anvendes på praktiske pro-blemer. Vi arbeider mye med forståelsen. Hvis elevene har den grunnleggende forståelsen, kan du dra dem langt ut over 1MA. De svakere elev-ene stopper ikke opp i de tekniske oppgavene, men får arbeide med konkreter og praktiske problemer. Det har blitt lettere å differensiere.

I starten av timen får ofte elevene et eller flere problemer de skal arbeide med. I tillegg blir det delt ut konkreter elevene kan bruke

når de arbeider. Gjennom disse problemene skal elevene selv finne mønster og utvikle den teorien som tidligere ble gjennomgått på tavla. Undervisningen er mye mer elevaktiviserende. Etter hvert lærer elevene å arbeide på denne måten. De begynner å lete etter mønster med en gang. Vi har også vært meget bevisst på at de skal produsere en forståelse. Elevene skal sette ord på ting. Gjerne egne ord. De skal forklare hvordan de har tenkt. Det at de blir nødt til å gi tilbakemelding på at de har forstått, det er viktig. Og jeg har registrert mer og mer at det er viktig. Det er de store endringene. Resten av tiden regner de oppgaver hvor de bruker det de har kommet frem til.

– Hva er forskjellen hos deg som matematikk-lærer, din rolle, har den blitt forandret?

Eksempel �: Barbie hopper strikk fra ei bru – matematisk modellering. Idéen til dette opplegget fikk vi ved å delta på Åsa Hansen og Sanja Herrströms workshop på Matematikkbiennalen i Malmö, �00�.

Utstyr: Målebånd, gummistrikk, Barbie-dukker (alle bør ikke ha samme vekt), linjal, lommeregner, ruteark.Elevene arbeider i grupper på � eller �.

Utførelse: Barbie skal hoppe i strikk fra ei bru. Strikkene skal knytes sammen og festes til Barbies føtter. Læreren illustrerer hvordan dette gjøres. Elevene skal lage en matematisk modell som viser sammenhengen mellom antall strikk og Barbies fallhøyde. Når alle gruppene har laget en modell er det tid for konkurranse. Vi drar til en trappeoppsats eller liknende hvor vi har plassert en stor balje med vann under trappa. Elevene får vite hvor langt det er ned til baljen og ved hjelp av den matematiske modellen de har laget skal de beregne hvor mange strikk de skal koble til Barbies føtter. Den gruppa som kommer nærmest vannet, helst slik at håret berører vannet, har vunnet!

Etterarbeid: Hvordan tenkte de forskjellige gruppene når de fant modellene? Hva forteller de ulike parametrene i modellen oss? Måleusikkerhet? Har vekta til Barbie betydning? Hva nå hvis Ken skulle hoppe? Er funksjonen kontinuerlig? Andre ting? Diskutér.


Didaktiske artikler

Jeg er blitt mer bevisst på at jeg ikke gir elev-ene løsningen. Det var kanskje min svakhet tid-ligere. Jeg ga dem løsningen, og så ba jeg dem om å gjøre en tilsvarende oppgave. Nå gir jeg elevene hint, som jeg i den grad det er mulig, har tenkt gjennom på forhånd. Det er viktig at det er elevene selv som skal finne mønstrene. En annen forandring er at foreleserrollen har blitt kraftig nedtonet. Jeg har trukket meg mer tilbake og elevaktiviteten er kommet mer i sen-trum. Selv når vi skal ta oppsummeringene, er det elevene som aktiviseres.

– Når synes du at du begynte å forandre tenke-måte, lyktes i å tenke slik det var ønsket ut fra prosjektet? Det er vanskelig å si. Utover høsten begynte jeg å forstå tankegangen bak oppleggene, men det hendte at jeg falt tilbake til det gamle mønsteret, fordi jeg ville ha effektivitet. Jeg ville ha fart. Det å være bevisst på at din fart hjelper ikke, det er elevenes fart som gjelder, det er elev-ene som skal lære, det var en utfordring. Ennå langt utover høsten, hadde jeg det vi kan kalle tilbakefall. Nå har jeg forandret tenkemåte. Det har gått sakte men sikkert, og først ut i andre termin begynte den nye tankegangen å domi-nere. Det merker jeg på den måten, at når jeg skal forberede en time, blir det ikke effektivt og ”straight”, fordi jeg tenker på en annen måte. Nå kan jeg godt si at det sitter i ryggmargen. Men det tok lang tid.

–Kan du fortelle om prosessen hos deg som matematikklærer under prosjektet? Hvilke valg har du stått overfor? Hvilke erkjennelser har du kommet til?Et av de viktigste valgene jeg har stått overfor er effektivitet kontra elevaktivitet. Tidligere hadde jeg full kontroll i forhold til læreplanen. Det var trygt å vite at ”Vi har jo gått gjennom det”. Men forsto elevene det vi gikk gjennom? Når man gir rom for mye elevaktivitet, tar ting tid. Det tar lengre tid hvis elevene må finne reglene selv, enn

hvis læreren forteller dem hvordan ting henger sammen. Det var en stor forandring og en slags kollisjon i forhold til hva jeg var vant til. Jeg måtte prioritere elevaktiviteten på bekostning av noe annet, og det var selvfølgelig tid til opp-gaveløsning. Det var vanskelig. Jeg måtte endre syn og se verdien i denne elevaktiviteten.

Utfordringen i den nye måten å undervise på, er å gripe tak i det elevene kommer fram til og prøve å trekke det videre. Dette vil variere fra elev til elev, og læreren må forsøke å gi dem utfordringer videre på alle mulige nivå. Det er ikke så lett. Det er mye enklere hvis du tenker at nå går du gjennom A, B, C og da har elevene forutsetning til å løse D, E, F. Ja vel, differensi-eringen vil være at de faller av på ulike plasser. Det er den tradisjonelle måten å tenke på. Med den nye måten får læreren en annen type utfor-dring, som jeg ikke hadde jobbet så mye med, og som jeg ikke hadde full kontroll over. Krever du 100% kontroll, så skjærer det seg. Helt sik-kert. For du har ikke det.

– Nettopp, en av tingene du har snakket om i løpet av prosjektet, er at læreren må tørre å slippe kontrollen. Og da har du også snakket om faglig kontroll. Det kan oppleves mindre trygt for enkelte lærere. Kan du fortelle litt om hvordan du opplevde det?

Når jeg underviste på den tradisjonelle må-ten, visste jeg hvilket område i matematikken vi skulle arbeide med i de forskjellige timene. Elevene stilte spørsmål innenfor avgrensete rammer og jeg følte at jeg hadde kontroll. Når jeg gikk inn i timen var det en god situasjon følelsesmessig. Jeg visste at jeg stort sett ville kunne svare på alle spørsmål. Kort sagt, jeg følte meg som en ”vellykket” lærer. Når jeg be-gynte å jobbe slik vi gjør innenfor prosjektet, ble rammene utvidet. Noen av elevene så andre mønster enn de jeg hadde sett, og jeg fikk sånne aha-opplevelser der jeg rett og slett måtte stop-pe opp og tenke. Jeg hadde ikke svaret direkte, og jeg måtte være villig til å kommunisere med


Didaktiske artikler

elevene. Jeg fikk en helt annen funksjon i klas-sen. Hvis læreren har all sin personlighet knyt-tet opp i mot det å være en helt perfekt lærer, et leksikon, så blir det der hardt. Det rammer deg direkte. Både i lærersjela og ditt eget selvbilde. Hvis det er tilfelle, da blir det vanskelig. Men læreren må være åpen, og såpass trygg på seg selv at han kan sette seg ned og diskutere og undersøke ting med elevene. Noen elever kan komme svært langt, og læreren har ikke nød-vendigvis kontroll på det området de kommer inn på.

– Hvordan har du opplevd det?Jeg har alltid ønsket å ha hele oversikten, så det har vært vanskelig, for det hadde med selvbildet mitt å gjøre. Et bilde av meg selv som lærer. Det har vært vanskelig å justere, at jeg har en litt annen rolle. Det har tatt tid.

–Føler du deg komfortabel med den rollen nå?Ja, nå går det greit. Jeg har jo vært borti elever tidligere som ligger langt foran de andre, så jeg er ikke ukjent med det. Men det har blitt mer av det nå.

– Beskriv trekk du har oppdaget hos elevene med denne undervisningsformen. Elevene er ikke så raske til å spørre etter løsnin-gen. Fasiten er ikke alfa og omega. De er opptatt av hvordan de må tenke for å løse problemet. De vil vite hvorfor det er riktig. Det gjelder selvføl-gelig mer hos enkelte elever enn andre. I stedet for at de spør hverandre: ”Hva er svaret ditt, har jeg fått det samme? Ja vel, da er det sikkert riktig.”, spør de hverandre om hvordan de har tenkt når de løste oppgaven. Den matematiske filosofiske refleksjonen er blitt høyere. Hvordan de skal gjøre det, hva de gjør, hvorfor de gjør det.

– Andre ting?Det har stort sett vært ganske høy aktivitet i gruppene. Motivasjonen har holdt seg lengre i

år. Jeg har ikke sett den dalende kurven. Moti-vasjonen mot funksjonslæra og prøven, altså hvor jeg tidligere har hatt vanskeligheter med å få fart på tidligere elever, har vært stor. Det er bare en klasse, så det er ikke et allmenngyl-dig svar, men det har vært en forbedring. De vil fortsatt lære matematikk.– Har elevenes reaksjoner og engasjement underveis i prosjektet påvirket deg til å ville fortsette med den nye undervisningsmåten?

De fleste elevene har trivdes med det, de har fått det til, de har vært interessert og de vil. Det er flere av elevene som sliter med matematik-ken, også med helt grunnleggende ting, men allikevel, så vil de. Det er en fantastisk motiva-sjon for en lærer. Det har gjort at jeg har villet fortsette med den nye undervisningsformen. Jeg ser at det fungerer. Motivasjonen har vært på topp hos elevene.

– Tror du at også elevene trenger lang tid for å bli kjent med den nye måten å arbeide på og å tenke på?Det har vært en prosess, både for meg og elev-ene. Det var noen elever som en god stund ville ha svaret med en gang. Det er arbeidskrevende og tidkrevende, også for elevene, og elevene må se at de har nytte av det på prøver og innleve-ringer. Måten vi underviser på må avspeiles i prøvene og innleveringene. I tillegg har vi andre typer vurdering som stemmer overens med undervisningen.

– Hva har det krevd av deg følelsesmessig å delta i dette prosjektet?Uroen over å ikke få gått gjennom alt det du skulle vært gjennom er sterk. Du må klare å roe ned nervene, til du ser at det begynner å fun-gere. I starten må du få en bekreftelse på at det fungerer, for det kan være følelsesmessig hardt til å begynne med. Å tørre å holde på. Å ikke falle tilbake. Men du må være villig til å gi alt det nye tid. Tidspresset du føler i 1MA er ikke behagelig. Det rammer enhver som skal prøve.


Didaktiske artikler

– Hva mener du kreves for at en lærer skal for-andre egen praksis?Det krever tid og arbeid. Det er helt klart mye lettere hvis man kan samarbeide med andre. Det er viktig at du har en støtte hos noen. Men først og fremst krever det en vilje hos den enkelte til å gjøre det, og du må være villig til å prøve over en lengre periode. En måned er for kort tid. I vårt prosjekt har vi hatt størst utbytte av denne undervisningsformen i andre termin. Grunnen til det er at elevene da har blitt vant til den nye måten å arbeide på. De har lært den nye måten å tenke på, de har lært å lete etter mønster, de har lært å overføre teori til praksis.. Hvis lære-ren har vilje til å forandre praksis, kommer han langt. Vilje innbefatter ganske mye.

– Hvordan har prosjektet forandret deg som matematikklærer? Jeg ser nye innfallsvinkler til matematikken, og jeg ser verdien av at elevene er aktivisert i større grad. Jeg ser at dette kan gi gevinst utover det du har tenkt på tidligere, spesielt på forståelse. Det hjelper ikke mye med teknikk når du ikke har forståelse. Teknikken kan vi greie å jobbe inn likevel. Jeg har blitt mer fleksibel fordi jeg har fått flere bein å stå på. Vi har lykkes relativt bra med motivasjon. Det er høy aktivitet. Det er behagelig for en lærer at det er faglig aktivitet i timene. Men forandring tar tid. Det er ikke lett å forandre et menneskets ideologi.

– I hvilken grad kommer du til å fortsette med å undervise på denne måten når samarbeidet vårt er over?I høy grad. Ja, det vil jeg. Jeg vil forsøke å til-passe og utvikle metodene for hver ny klasse jeg får. Jeg vil la elevene arbeide med forståelsen, la dem se mønstrene og knytte det til det vi har vært gjennom tidligere.

Noen refleksjonerJeg har hatt store forventninger til prosjektet,

samarbeidet med Morten og oppleggene, og jeg trodde alt skulle gå akkurat slik jeg hadde planlagt. Jeg var forberedt på at det kunne ta tid for elevene å bli vant til den nye måten å jobbe på, men at det skulle ta så lang tid for en lærer å forandre praksis, det ble en ny erfaring for meg. Til tross for at vi samarbeidet tett, krevde det mye arbeid og det tok lang tid. De første månedene gikk frustrasjoner, skuffelser og gleder hånd i hånd. I begynnelsen av sko-leåret fikk Morten ferdig utarbeidete undervis-ningsopplegg som han skulle bruke i klassen, og vi diskuterte oppleggene både før og etter timene. Jeg innså etter hvert at selv om Morten forsøkte å gripe tankegangen bak oppleggene, var det ikke gjort i en håndvending. Mortens sterke ønske om effektivitet var en motsetning til det jeg ønsket. Vi ble etter hvert enige om at Morten skulle avsette mye tid på oppsum-mering og refleksjon i klassen. Glemme alt det andre. Det ble et vendepunkt. Morten erfarte at elevene fant frem til teorien og reflekterte over den. Samarbeidet har utviklet seg til å bli nyttig, spennende og faglig utviklende for begge parter. Det er interessant å oppdage hvor likt vi har begynt å tenke, og hvordan vi sammen har etablert et felles læringssyn og elevsyn.

[�] Hendersson, D. W. (��). Experiencing geome-try on Plane and Sphere. Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall.

[�] Heyting, A. (��). Intuitionism. An Introduction. North Holland Publishing Company.

[�] Kirfel, C. (��) Fibonacci-tall i tallteorien. Normat �� (�), ��–��.

[�] Sandmel, T. (��) Matematikkfilosofiske strandhugg II. Normat �� (�), ��–��.

[�] Sfard, A. (��) Reification as the Birth of Metaphor. For the Learning of Mathematics ��(�), ��–��.

[�] von Wright, G. H. (��) Logik, filosofi och språk. Strömningar och gestalter i modern filo-sofi. Bokförlaget Nya Doxa.

(fortsatt fra side 139)


Erfaringer fra undervisning i matematikkVi har mer enn tretti års undervisningserfaring fra videregående skole. Vi har observert mye, undret oss stort, men ser fram til hver under-visningstime i matematikk. Kolleger slutter i frustrasjon, journalister klager, politikere refor-merer, men utnytter de kunnskapene erfarne lærere har? Sjelden blir vi spurt og kan hende er mange blitt lei av å svare.

Undersøkelser viser at jenter i Norge i større grad enn jenter i andre land velger bort ma-tematikk og realfag når dette er mulig. Jenter innsnevrer derfor sine muligheter for valg av utdanning og yrke. Den lave rekrutteringen av jenter til realfag har ført til politisk opp-merksomhet. Utdannings- og forsknings-departementet har bidratt med midler til et landsomfattende prosjekt rettet mot jenter og matematikk, operasjon Minerva. Målet er å oppmuntre unge jenter til å vurdere en karri-ere med realfaglig bakgrunn.

Våre erfaringer har vist at jenter og gut-ter er like dyktige i matematikk. Men vi har også sett at godt kvalifiserte jenter velger bort matematikk på Vk1 og Vk2. Gutter velger fa-

get enten de har gode eller svake resultater fra grunnkurset. Det har vært et problem ved vår skole at lærerne ikke ønsker undervisningen i matematikk på grunnkurset. Det er slitsomt og lite inspirerende. Da vi fikk forespørsel om å delta i Minerva prosjektet, så vi nye utfor-dringer. Vi meldte oss frivillig til innsats i før-ste klasse, oppfordret kolleger til å være med i et tett samarbeid om tidsplaner, prosjekter og prøver. Vi anså dette som tidsbesparende og muligheter til lik og rettferdig vurdering av alle elevene på grunnkurset. Dessuten ønsket vi å få jentene i tale. Vi ville satse på differensier-ing og hentet inspirasjon til løypemodellen fra Hetland videregående skole i Stavanger. Planen var å følge elevene videre på Vk1 og Vk2. Ledel-sen var svært positiv til initiativet.

Anne Berit Lunde Holme, Kari Larsson

Matematikk er for jenter!Minerva-prosjektet og løypedeling ved Bergen Katedralskole

Anne Berit Lunde Holme og Kari Larsson arbeider ved Bergen [email protected]@hfk.no


Didaktiske artikler

Organisering og gjennomføring av løypemodellenFem av skolens lærere bestemte seg for å prøve et opplegg skoleåret 2001-2002. De fem lærerne underviste fire grunnkursklasser i matematikk, slik at antallet elever i hver basisgruppe ble færre enn i en vanlig klasse. Alle matematikktimer ble lagt parallelt. Hver lærer fikk ansvar for sin basisgruppe.

Elevene ble testet i grunnleggende kunnska-per og ferdigheter fra ungdomstrinnet. Spred-ningen var stor, enkelte synes å mangle de mest elementære ferdighetene. Vi tilbød tre løyper, løype 1 for de elevene som hadde som mål å bestå faget, løype 2 for de som synes de kunne en del og løype 3 for de som ville satse på ma-tematikk og ville arbeide litt ekstra. I løype 1 og i løype 2 ble ikke alle læreplanens mål gjen-nomgått. Elever og foreldre ble informert både skriftlig og muntlig. Vi gjorde oppmerksom på at elever som valgte løype 1 gjennom hele skoleåret antagelig ikke ville få bedre karak-ter enn 3 i faget. Elevene fikk velge løype fritt og hadde mulighet til å velge ny løype i neste periode. Lese og lekseplan ble delt ut for hver periode. Alle elevene fikk det samme arket slik at alle kunne vite hva som ble gjennomgått på de ulike løypene.

Av de 110 elevene valgte 10 løype 1, 40 løy-pe 2 og 60 løype 3. Få elever valgte den minst utfordrende løypen og læreren kunne gi indi-viduell veiledning. Etter hver periode ble det holdt prøve. Prøven var felles for alle elevene. Hver oppgave hadde underspørsmål a, b, c og d. De to første spørsmålene var slik at alle elev-ene skulle ha forutsetning for å besvare dem. Spørsmål c var beregnet for løype 2 og 3 og d for løype 3. Selvfølgelig var det tillatt for alle elever å besvare alle spørsmål. Dersom en elev på løype 1 besvarte et d spørsmål, ga det selv-sagt samme uttelling som for en elev på løype 3. Når perioden var over valgte elevene løype på nytt. Dette med tanke på at en elev kan være god i et emne, for eksempel algebra, men svak i

et annet emne, for eksempel praktisk regning.Slik valgte elevene løype tre ganger til vi var

ferdig med målene i 1M. Deretter ble det ende-lig valg mellom 1X og 1Y. Lærerne byttet på å undervise de ulike løypene og ble dermed kjent med de fleste elevene på grunnkurset. Vi regnet med å ha nytte av dette på Vk1. Elevene skiftet løyper, men antallet på hver løype holdt seg ri-melig konstant. En lærer underviste løype 1, to lærere løype 2 og to lærere underviste løype 3. Dette medførte at elever i løype 3 måtte arbeide mer selvstendig. For å få dette til måtte lærerne samarbeide tett og lojalt. Hver mandag hadde vi møte etter at undervisningen var slutt. Re-sultatet etter første året var• Færre elever strøk i grunnkurset.• Flere elever fikk bedre karakterer i faget.• Elevene følte seg likt behandlet.• Flere elever valgte matematikk på Vk1.• Elevene ble kjent med alle lærerne.

Meningen var å følge elevene videre andre året, men på grunn av permisjoner gikk ikke dette. Vi var godt fornøyd med resultatene vi hadde oppnådd og startet opp på nytt med grunn-kurset skoleåret 2003-2004. Dette året var det færre som ønsket løype 1 og vi klarte oss med to løyper. Nye lærere kom med, en var nyutdannet og satte pris på teamarbeidet. En annen var mer erfaren og likte å kjøre sin egen vei. Vi kom i mål og elevene var fornøyd.

Resultatet var at så mange elever ønsket matematikk på Vk1 at skolen ikke kunne opp-fylle ønskene deres, 15 elever ventet i kø for å komme inn på 2MX. Men det ordnet seg et-ter at en språklærer gikk ut i permisjon og en mindre gruppe ble lagt ned. I dag har vi tre grupper i 2MX og en gruppe i 2MZ. Det er stor spredning i nivå, men gruppene i 2MX er lagt parallelt og lærerne samarbeider om periode-planer, hjemmearbeid og prøver. Vi har tilbudt løypedeling, men det er svært få som vil ut i en slakkere løype. Derfor har vi timer med Hull-stopping (her kan elevene arbeide med emner de


Didaktiske artikler

ikke behersker godt nok). Her møter elevene et-ter behov. Noen av de svakeste har sluttet eller gått til 2MZ, men elvene synes å trives.

Minerva-prosjektetNoe av hensikten med differensieringen på grunnkurset var å få jentene i tale. Vi ønsket å• skape et positivt bilde av matematikk og

realfag,• vise jenter at matematikk og realfag kan

være interessant og morsomt,• avkrefte myter og stereotypier knyttet til

disse fagene,• introdusere kvinnelige rollemodeller for

jentene.

Vi har invitert kvinnelige studenter og besøkt Universitet i Bergen, der studenter har vist hva studiet deres går ut på. En jente fra ingeniør-høgskolen fortalte at hun fikk 2 i matematikk på videregående skole. I dag tegner hun bore-plattformer. Elevene lyttet intenst.

Vi lærere har hatt samarbeid med lærere i grunnskolen som har erfaring med Minerva prosjektet for yngre elever. Vi er blitt mer be-visst på den rollen vi har som lærer.

Det er en lang vei å gå. Mange trenger be-visstgjøring på dette området.

Resultater så langtEtter første år med løypedeling på grunnkurset valgte flere jenter 2MX i andre klasse, omtrent like mange jenter som gutter. I 2MZ var det dob-belt så mange jenter som gutter. Av de elevene som fortsatte med 3MX var jentene i mindretall, i 3MZ var det omvendt. Det ble ikke gitt ekstra oppmuntring eller støtte for jenter dette året. Inneværende år har vi flere jenter enn gutter i 2MX og vi har en liten gruppe 2MZ. Alle elever i 2MX får tilbudet om hullstopping. Både jenter og gutter møter, men antall jenter er størst. Pro-sjekt Minerva virker dermed positivt for både gutter og jenter. Vi håper å følge mange av disse elevene videre til høyeste nivå, 3MX eller 3MZ.

Tradisjoner og fordommerHvorfor sette i gang tiltak for jenter? Mine beste elever er jo jenter, er innvendinger fra enkelte kolleger. Det burde settes i gang noe for guttene. Vårt svar er da: Sett i gang!

Det er ikke så rart at lektor NN sine beste elever er jenter. Vi visste jo at bare de beste jen-tene fortsatte med matematikken. Gutter fort-satte jo enten karakteren var svak eller god. Det retter seg nok, tenker guttene, de skal jo søke opptak til videre studier som krever matema-tikk. Men jentene tenker stakkars meg, hvem skal hjelpe meg, jeg kan komme til å stryke. Da er det bedre å velge et lettere fag, og så snevrer de inn sine muligheter for valg av utdanning og yrke. Og samfunnet mister verdifulle talenter og ressurser.

Stadig får vi høre at matematikk er ikke noe for jenter. Den store matematikeren Carl Frie-drich Gauss kalte dette ”tradisjoner og fordom-mer” da han skrev til den betydelige matemati-keren Sophie Germain. Det var for 200 år siden. Sophie Germain vokste opp under den franske revolusjonen. Hun ble interessert i matematikk, men foreldrene likte det ikke. De tok fra henne bøkene. Sophie holdt ut og ble en skarpsindig matematiker, men mange menn i Frankrike motarbeidet henne på en sjofel måte. Carl Frie-drich Gauss, derimot, ble en trofast støttespiller for henne så lenge hun levde. Men fordommene er seiglivede.

Presidenten for det prestisjetunge Harvard University holdt nylig et innlegg på en konfe-ranse om kvinner og minoriteter innen na-turvitenskap og teknologi. Der fremførte han nettopp disse fordommene, i det Herrens år 2005! I skrivende stund har han fremført sin tredje tilbakekallelse og unnskyldning. Det er bra at det går fremover. Vårt svar til Harvards president og alle andre må bli: Sats på jenter og matematikk!


Oppgave �Vi har 10 klosser av lengde 1, 2, 3….10.a) Kan du bygge to like høye tårn av disse

klossene når du setter de på høykant? Dersom du tar vekk klossen med lengde 10,

kan du bygge 2 like høye tårn nå? Dersom du legger til en klosse av lengde 11,

kan du nå bygge to like høye tårn? Hvorfor eller hvorfor ikke går dette? Kan du finne en regel?

b) Hva med 3 like høye tårn, 4 like høye tårn, 5 like høye tårn….?

Ser du noe mønster? Øk antall klosser til 20, lengde 1, 2, 3….20.

c) Kan du finne alle løsningene for 2 tårn av klossene av lengde 1,2…n - for forskjellige n, når n ≤ 20.

d) Bygg 3 like høye tårn, 4 like høye tårn eller 5 like høye tårn. Når er det mulig?

Kan du finne et mønster?

e) Bruk bare klossene med lengde oddetall, 1,3,5…. Når kan du bygge 2 like høye tårn?

f) Bruk bare klossene med lengde partall, 2, 4, 6... Når kan du bygge 2 like høye tårn?

Oppgave �Vi har kvadrattallene, 1, 4, 9……..a) Kan du finne kvadrattall som er lik sum

av to kvadrattall. Dette kalles også Pytha-goreiske tripler.

b) Matematikeren Lagrange (1736−1813) beviste at alle naturlige tall kan skrives som en sum av maksimalt fire kvadrattall.

1 = 12 2 = 12 + 12 3 = 12 + 12 + 12 4 = 22 18 446 744 073 709 551 613 = 4 086 643 7102 + 1 321 395 9502 + 63 9932 + 21 3422

Prøv å skriv tallene, 50, 126, 5120 og 18 446 som sum av maksimalt fire kvadrat-tall.

Mer om Lagrange finner du på: www.maths.tcd.ie/pub/HistMath/People/Lagrange/RouseBall/RB_Lagrange.html

c) Vi har 4 = 1 + 3 9 = 1 + 3 + 5 Vis at kvadrattallene 25 og 81 kan skrives

som sum av påfølgende oddetall.

Oppgaver


Oppgave �: TrekanttallVi har trekanttallene T

1 = 1, T

2 = 3, T

3 = 6,

a) Kan du finne trekanttall T4, T

5 og T

6?

b) Finn et formeluttrykk for det n-te trekanttallet T

n.

c) Kan du finne trekanttall lik summen av to andre trekanttall? Kan du finne et uttrykk som gir mange slike tripler?

d) Kan du finne trekanttall som er pro-duktet av to andre trekanttall?

Oppgave �: Tallkuriositet �

99 = 9 ⋅ 11 9999 = 909 ⋅ 11

999999 = 90909 ⋅ 11

Tallmønsteret fortsetter slik i det uendelige. Kan du finne ut hvorfor?

11 = 1 ⋅ 11 1001 = 91 ⋅ 11 100001 = 9091 ⋅ 11 10000001 = 909091 ⋅ 11

Kan du finne ut hvordan dette mønsteret henger sammen?


121

22 22

1 2 1= ◊

+ +

1331

22 22 22

1 3 3 1= ◊ ◊

+ + +

14641

22 22 22 22

1 4 6 4 1= ◊ ◊ ◊

+ + + +

Er det mulig å fortsette mønsteret? Når stopper det eventuelt opp? Ser du noen sammenheng med Pascals trekant?

(Hint! Se på summene i nevnerne.)


121

22 22

1 2 1= ◊

+ +

12321

333 333

1 2 3 2 1= ◊

+ + + +

1234321

4444 4444

1 2 3 4 3 2 1= ◊

+ + + + + +

12345678987654321

999999999 999999999

1 2 3 4 5 6 7 8 9 8 7= ◊

+ + + + + + + + + + ++ + + + + +6 5 4 3 2 1

Hvordan vil de manglende linjene se ut?Er de tilhørende regnestykkene også riktige?Hvorfor er det slik, tror du?(Hint! Studer summene i nevnerne.)


LAMIS

Matematikksenteret

Renatesenteret

Utdanningsforbundet

NTNU

UiB

UiTø

Abelkomitéen

Norsk matematikkråd / Holmboeprisen

Tekna

Nito

Nito: ”Inspire” (Bjørn Gitle Hauge)

Vi har også fått to bidrag fra en av leverandørene av kalkulatorer til skolemarkedet:

Casio

Statistikk og sannsynlighet på ClassPad 300 (Tor Andersen)Sannsynlighetsregning på Casios fx-9x50-serie (Bjørn Bjørneng)

Våre støttespillereBoka inneholder artikler fra tidligere utgaver av Tangenten og nye artikler som ikke har vært publisert i bladet. I tillegg har vi fått flere bidrag fra ulike miljø som til sammen dekker de fleste sider ved bruk av matematikk i utdanning og yrkesliv i Norge. Disse presenterer seg på de følgende sidene:


LAMIS – en organisasjon for deg som jobber med matematikk i den videregående skole

Landslaget er— et forum for utveksling av pedagogiske idéer for matematikkundervisning,— en kilde til praktiske opplegg for matematikklæring,— et forum for fagkritikk når det gjelder læreplaner, eksamensoppgaver og læreverk,— et forum for diskusjoner om matematikk, både teoretisk og praktisk.

Landslaget har— lokallag som arrangerer kurs og samlinger om matematikk,— sommerkurs med varierte temaer og arbeidsmåter,— god kontakt på tvers av skoleslag,— tidsskriftet Tangenten inkludert i medlemskapet.

Landslaget vil— satse spesielt på videregående skole framover,— legge vekt på matematikk og yrkesfag,— følge nøye utviklingen når det gjelder bruken av IKT som redskap i matematikk,— satse på etterutdanningskurs når det gjelder formativ vurdering.

LAMIS

Landslaget for matematikk i skolenv/Randi Håpnes

Høgskoleringen �� Trondheim

[email protected] · www.lamis.noPostgiro: �� 0�00�� Organisasjonsnr: ��0 �0� �0�


NSMO – tre år i søkelysetIngvill Merete Stedøy, faglig leder

I løpet av Abel-året (200 år siden Niels Henrik Abel ble født), ble Matematikksenteret etablert som et nasjonalt senter for matematikk i opplæ-ringa. Senterets hovedoppgave skal være å utvi-kle nye og bedre arbeidsformer i matematikk. I mandatet står det:

Senteret skal ha som hovedoppgave å lede og å koordinere utvikling av nye og bedre arbeidsmåter og læringsstrategier i matema-tikkopplæringen i barnehage, grunnskole, videregående skole, voksenopplæring og lærerutdanning i Norge.

Senterets målgruppe er først og fremst lærere som underviser i matematikk i skole og lærerutdanning, samt lærerstudenter ved høgskoler og universiteter, og læremiddelut-viklere. For å bygge opp et positivt syn på matematikk i samfunnet generelt, vil også foreldre, media og allmennheten være vik-tige målgrupper for senterets virksomhet.

Senteret skal være et nasjonalt ressurssenter for matematikkdidaktisk kompetanse. Det

skal foregå forsknings- og utviklingsarbeid knyttet til senterets virksomhet. Forskningen og utviklingsarbeidet som foregår ved sen-teret, skal være skolebasert. Anbefalinger og tiltak fra senteret skal baseres på kunnskap etablert gjennom utprøving i praksisfeltet.

Senteret skal legge vekt på å utvikle arbeids-metoder og eksempler på undervisningsma-teriell som bidrar til å gjøre matematikk-opplæringen variert, spennende og levende for elever og studenter på et høyt faglig nivå. Arbeid med grunnleggende begrepsforstå-else, ferdigheter og evne til å møte ukjente problemstillinger med et utvalg av mate-matisk ”verktøy” skal forenes med å velge innfallsvinkler og temaer som virker moti-verende på de som skal lære. Kunnskap om læremidler i matematikk og matematikkdi-daktikk og utvikling av gode undervisnings-opplegg skal utvikles, utprøves og spres.

Hvordan har Matematikksenteret klart å jobbe i forhold til disse målene? Kan vi vise til noen resultater?

Vi kan med rette si at ting ar skjedd rundt oss. Mange baller er kastet opp, og mange er hentet ned. Når det gjelder forskning, kan vi vise til fire påbegynte doktorgradsprosjekter som er knyttet til senteret, fire avlagte cand.

Nasjonalt senter for matematikk i opplæringenRealfagbygget A�, NTNU�� TrondheimTelefon: +�� Faks: +�� [email protected]


scient./mastergrader, en rekke bidrag på konfe-ranser og publikasjoner i ulike tidsskrifter.

Mange lærere er knyttet til senteret, noen med arbeidssted i Trondheim, og mange res-surspersoner spredt over hele landet. De siste har delstillinger i skolen med frikjøp for å spre senterets idéer og bidra til kompetanseheving blant lærere i egne fylker og regioner. Lærere som har hel- eller delstilling ved Matematikk-senteret i Trondheim, bidrar på ulikt vis til å oppfylle senterets mandat. Alle er med og utvikler undervisningsopplegg og bidrar til spredning av disse på ulike måter. I senterets skriftserie finner vi en rekke idéhefter med un-dervisningsopplegg for ulike klassetrinn. To av senterets ansatte, Bones og Gravanes, har startet eget firma der de utvikler materiell og undervisningsopplegg for uteskoleaktiviteter. Faglig leder har sammen med Settemsdal utvi-klet matematikkofferter for grunnskolen. Med materialet følger fyldige og gjennomprøvde un-dervisningsopplegg. Disse prosjektene er under stadig utvikling, og mer materiell og undervis-ningsopplegg vil bli tilgjengelig.

Senteret har satt i gang forsøk med mate-matikklubber for barn. Erfaringer herfra ligger på senterets nettsider, ferdig til nedlasting og bruk. Konseptet med matteklubber videreutvi-kles, og vi arbeider med å teste ut nettbaserte klubber. Dette arbeidet følges opp med forsk-ningsprosjekter. Erfaringene fra matteklub-bene for 5-åringer skal spres gjennom en bok beregnet for førskolelærere og foreldre.

I samarbeid med Bro kompetansesenter og Snøball film vil senteret spre gode under-visningsopplegg i form av videoer med så-kalt eksemplarisk matematikkundervisning. Bidragsytere er dyktige lærere fra ulike deler av landet. I første omgang er filmene rettet mot grunnopplæringen fra 1. til 4. klasse.

To av senterets medarbeidere, Svorkmo og Gravanes, har startet opp Kengurukonkurran-sen for elever i barneskolen. Det var ca. 5000 elever med i 2005, oppstartsåret, så dette har vi

forventninger om skal bli til inspirasjon for elever og lærere over hele landet. Det faglige ansvaret for KappAbelkonkurransen, en matematikkonkur-ranse for 9. klasse, har ligget hos faglig leder siden oppstarten i 2000. Omtrent 1/3 av landets 9. klassinger er med hvert år. Nå har konkur-ransen blitt nordisk, og finalen for 2005 ble av-holdt på Island.

Senteret har fått spesielle tilleggsoppdrag av Utdanningsdirektoratet. En egen stab arbei-der med utvikling av Nasjonale prøver i mate-matikk for grunn- og videregående skole. Vi arbeider med å lage oppfølgingsmateriell for skoler som gjennom nasjonale prøver ser at undervisningspraksis bør endres og forbedres. Faglig leder har vært med i arbeidet med å ut-vikle nye læreplaner som skal implementeres i skolen i 2006, og vi har fått ansvar for å bidra til nødvendig kompetanseheving blant lærere for at de skal kunne møte de nye utfordringene som følger med nye læreplaner.

Flere av våre ansatte er med og utvikler ek-samensoppgaver, og vi satser spesielt på bruk av IKT i matematikkundervisningen. Årets no-vemberkonferanse skal i sin helhet dreie seg om dette temaet. I samråd med senterets faglige råd, har vi bestemt at videregående opplæring skal vies spesiell oppmerksomhet de kommen-de år. Vi ønsker å bygge ut nettverket av res-surspersoner med flere lærere fra videregående skole. Ressurspersonene er viktige medspillere i arbeidet med å spre de gode undervisnings-oppleggene.

Vårt nye nettsted www.matematikksenteret.no blir hele tiden oppdatert med nye idéer og andre nyheter fra senteret. Ambisjonene er at dette skal være vårt ansikt utad, der de som ikke har mulighet til å komme til senteret, kan besøke oss på nettet. Vi oppfordrer til å lese mer om vår virksomhet på nettstedet vårt.


Fremtiden virker lys for de som er interessert i realfag. Et av anslagene for fremtiden går ut på at Norge vil mangle så mange som 10 000 ingeniører i 2010. En av RENATE sine oppgaver er å hindre at dette skjer, men hvordan skal vi få det til?

RENATE står for ”Nasjonalt senter for kon-takt med arbeidslivet om rekruttering til real-fag”. RENATE ble opprettet i 2000 og har et-ter hvert fått en tilknytning i Utdannings- og forskningsdepartementets strategiplan ”Real-fag, naturligvis”. Denne planen går over 5 år, fra 2002–2007 og har som et av målene å styrke kompetansen i realfag hos elever, lærere, hos le-dere og arbeidstakere i arbeidslivet og hos all-mennheten. Vår primære målgruppe er elever og studenter under utdanning.

Våren 05 fikk flere realfagsutdannelser strengere inntakskrav i og med at de fikk krav om fordypning i realfag fra VGO. Dette har ført til at mange av studiene viser en nedgang i antall søkere. Verst ut kommer farmasistu-diet som har en tilbakegang på 26 % i antall søkere. Det kan med andre ord bli vanskelig å få et tilstrekkelig antall kompetente realister i Norge. Om ikke mange år vil vi ha underskudd av både ingeniører og realfagslærere. Spesielt er det siste bekymringsmessig da engasjerte og flinke lærere er viktig for å få ungdommen in-teressert i fagene.

RENATE har satt i gang flere langsiktige og kortsiktige tiltak for å snu denne trenden. Et av tiltakene er nettsiden www.velgriktig.no. Siden er til for elever, rådgivere, foreldre og lærere som vil se hvilke muligheter realfag gir. Her får du informasjon om mange ting innen real-fag og videre studier. Du får oversikt over alle studiene som krever fordypning i realfag samt en kort beskrivelse av hva studiet går ut på. Du finner linker til studiestedene som tilbyr de

forskjellige studiene og liker rett til sider som beskriver det enkelte studium. Det er beskre-vet 15 forskjellige yrker hvor realfag er særlig viktig, og du får og en kort beskrivelse av ar-beidsoppgavene man møter i yrket. Det finnes utfyllende informasjon om studier innen real-fag, ingeniør, sivilingeniør og lærerutdanning med fordypning realfag. Bare innen for de fire forskjellige retningene er mulighetene mange. På www.velgriktig.no vil du og finne en søker-funksjon som viser deg hvilke fag du mangler ut fra hvilket studium du vil ta. I tillegg til alt dette finner du også en del generell informa-sjon samt linker til andre sider som kan være av interesse.

RENATE har engasjert seg sterkt for å få teknologi og design inn i den norske skole. Vi har lykkes med det i og med at Stortinget har vedtatt å innfør teknologi og design som obli-gatorisk tema i hele grunnskolen. Fagene mate-matikk, naturfag og kunst og håndverk har fått et særlig ansvar for å etablere teknologi og de-sign i skolen. Vi har opprettet nettstedet www.teknologiforum.no for å understøtte det videre arbeidet med teknologi og design.

En bro laget av studenter på høgskolen i Østfold


Institutt for matematiske fag utgjør et nasjonalt tyngdepunkt i utdanning og forskning innen sine fagfelt. Vi har vært en pådriver i utviklin-gen av NTNUs program for lærerutdanning i realfag, og arbeider aktivt for å styrke rekrutte-ringen til realfag og teknologi. I den anledning nevner vi at vi i disse dager er i ferd med å styrke den fagdidaktiske kompetansen ved instituttet ved at vi utlyser en hel stilling og en deltidsstil-ling rettet mot matematikkdidaktikk.

Vi registrerer også en gledelig økning i søk-ningen til lærerutdanningsprogrammet LUR (se mer om dette programmet nedenfor), som ved siste opptak hadde det høyeste opptakskra-vet av studieprogrammene ved IMEfakultetet1.

Instituttet har et betydelig ansvar for kva-liteten i sivilingeniørutdanningen gjennom de store grunnkursene i matematikk og statistikk. Lærerstaben er engasjert i forskning over et vidt spektrum innen matematikk, numerikk og sta-tistikk; en betydelig del av dette skjer i samspill med naturvitenskap og teknologi.

Instituttet er ansvarlig for to allmennvi-tenskapelige studieprogram – ”Matematikk og statistikk” (MatStat) og ”Biomatematikk” (BioMat) - samt en teknologisk studieretning, “Industriell matematikk” (IndMat)2. I tillegg er vi en av hovedaktørene innen studieprogram-met ”Lektorutdanning i realfag” (LUR).3 Av de nevnte studiene er IndMat og LUR de største.

Instituttet tilbyr også PhD-studier i mate-matikk innen områdene algebra, analyse, ma-

tematikkdidaktikk, numerikk, statistikk og topologi.

Ved siden av ordinære universitetsstudier tilbyr instituttet også nettbaserte studier. Et nytt tiltak i så måte er DELTA, som starter høs-ten 2005. Dette er en årsenhet i matematikk som kan tas som fleksibelt deltidsstudium med frivillige samlinger i Trondheim. Tilbudet er beregnet på studenter som ønsker å oppgradere sine kunnskaper i matematikk, eller vil bruke årsenheten som en del av et Bachelor- eller Masterstudium i matematikk eller andre real-fag.

Studiet passer godt for lærere som ønsker videreutdanning i matematikk.

DELTA er et samarbeid mellom Institutt for matematiske fag og Program for lærerutdan-ning. Les mer på http://www.ntnu.no/delta/.

Studieprogrammet Lærerutdanning i re-alfag (LUR) er et Masterprogram (5 år) der praktisk pedagogisk utdanning er integrert i et realfagsstudium.

LUR er ett studieprogram med fem studie-retninger som hver gir undervisningskompe-tanse i to fag: • Kjemi og biologi • Matematikk og fysikk • Matematikk og informatikk • Mate-matikk og kjemi • Matematikk og naturfag.

Studentene velger studieretning etter at de er tatt opp på LUR. På slutten av studiet vil de spesialisere seg videre innen ett av de to fagene, og skrive en Masteroppgave. Oppgaven kan være rent faglig eller fagdidaktisk.

Institutt for matematiske fag, NTNU


I den siste varianten kan det for eksempel forskes på nye arbeidsmetoder i matematikk el-ler hvordan IKT kan inngå i undervisningen.

Om instituttets øvrige studieprogrammer nevner vi her kort følgende (for mer info, se lenkene nedenfor):

Studieprogrammet Matematikk og sta-tistikk gir innføring i grunnleggende mate-matiske og statistiske emner som er sentrale i store deler av all matematisk-naturvitenskape-lig forskning og undervisning. Det legges stor vekt på forståelse og fordypning. I det treårige Bachelorstudiet har studentene også mulighet til å ta andre realfag så vel som fag fra andre fakulteter. Ved å bygge videre på Bachelor- eller Masterstudiet med praktiskpedagogisk utdan-ning kan de dessuten bli adjunkter eller lekto-rer.

Studieprogrammet Biomatematikk tar sikte på å utdanne kandidater med gode kunnskaper både i biologi og i matematiske disipliner som er anvendbare i biologi. Det tilbys foreløpig bare som Bachelorstudium, men avhengig av valg av studieretning kan studentene gå videre med et Masterprogram i statistikk, kvantitativ biologi, eller biologi.

Den teknologiske studieretningen Industriell matematikk gir stor bredde og solid bakgrunn i anvendt matematikk, matematisk modellering, numeriske metoder, sannsynlighetsregning og statistikk. Det fokuseres på matematikkens an-vendelsespotensiale, men programmet gir også muligheter til teoretisk fordypning. Utdannel-sen gir kompetanse innenfor et bredt spektrum innen teknologi, biologi og medisin, naturres-surser og miljø, produktutvikling, økonomi og finans.

Instituttet samarbeider med Nasjonalt sen-ter for matematikk i opplæringen (NSMO el-ler Matematikksenteret) innen veilednings- og rekrutteringsvirksomhet og arbeid rettet mot ungdom. Et eksempel på det siste er KappAbel-konkurransen, hvor også Froland kommune er partner. Dette er nå blitt en matematikk-

konkurranse for skoleklasser4 i de nordiske landene. Finaler avholdes både på nasjonalt og nordisk nivå. Den nordiske finalen i 2006 blir i Trondheim under ICMI-konferansen ”Chal-lenging Mathematics in and beyond the Class-room”. Vi samarbeider med NSMO også om arrangementet av NTNUs Fagligpedagogiske dag, og har felles stand på Forskningsdagene rettet mot ungdom.

Instituttet har også ansvaret for Abelkon-kurransen som henvender seg til elever i den vi-deregående skole eller lavere. I tillegg har Norsk matematisk forening – som har som formål “at fremme studiet av de matematiske videnskaber ved at samle norske matematikinteresserte” – sitt hovedsete på instituttet for tiden.

Vi er aktiv deltaker i tiltaket matematikk.org, som er et nasjonalt nettsted for matema-tikk. Det henvender seg til elever, lærere og foreldre med barn i skolen, og tilbyr nettsider fylt med levende matematikk for alle, og verk-tøy som vekker nysgjerrighet og interesse hos elever. Alt dette helt gratis!

Institutt for matematiske fag er nå størst blant landets matematiske institutter målt i an-tall ansatte. Vi har også den høyeste produksjon av kandidater på master- og doktorgradsnivå,

Stipendiat Kjersti Wæge gir LUR-studenter en innføring

i multiplikasjonstabellens mysterier ...


og det klart største undervisningsvolumet. Dette siste kan illustreres ved følgende: Ved siden av grunnundervisningen i matematikk innen den allmennvitenskapelige utdannin-gen – sammenlignbar med den som gis ved de andre norske universitetene – gir IMF fem ett-semesters kurs til ca. 1400 teknologistudenter, hvert av dem i seks eller syv paralleller. IMF sto i 2004 for ca. 7 % av NTNUs totale produksjon av årsenheter.

Den høye produksjon av kandidater på mastergradsnivå skyldes i første rekke studie-retningen ”Industriell matematikk” som alene står for ca. 35 kandidater pr. år. Den er også hovedleverandør til doktorgradsstudiet, hvor vi utdanner 6-9 kandidater pr. år.

Til slutt tar vi med at vi også gjør det godt innen forskning: I regi av Norges forskningsråd (NFR) ble de matematiske instituttene ved de fire universitetene og de to vitenskapelige høy-skolene forskningsevaluert av et internasjonalt ekspertpanel i 2002. Ifølge NFR kom Institutt for matematiske fag best ut av denne evaluerin-gen!

Noter� IME = Fakultet for informasjonsteknologi, mate-

matikk og elektroteknikk.� Under studieprogrammet ”Fysikk og matema-

tikk” (FysMat) ved Fakultet for naturvitenskap og teknologi (NT-fakultetet).

� BioMat tilbys foreløpig bare som Bachelor-studium, mens MatStat kan tas både som Bachelor- og Masterstudium. IndMat og LUR er Masterstudier (� år).

� Niende klassetrinn i Norge og Island, åttende klassetrinn i Danmark, Finland og Sverige.

LenkerInstituttet:

www.math.ntnu.noEtterutdanning - Delta:

www.ntnu.no/delta/Studier, generelt:

www.math.ntnu.no/studier/Matematikk.org:

www.matematikk.orgKappAbel-konkurransen:

www.kappabel.comAbelkonkurransen:

www.math.uio.no/div/abelkonkurransen/Matematikksenteret:

www.matematikksenteret.noNorsk matematisk forening:

www.matematikkforeningen.no


Matematikere med rike yrkesmuligheter

Aldri før i matematikkfagets historie har det skjedd så mye nybrottsarbeid som akkurat nå. Med utviklingen av matematiske modelleringer har faget fått enda en fot å stå på.

Bachelorprogrammet i matematikk ved Universitetet i Bergen er fleksibelt oppbygd og gir studenten rik anledning til å smake på ulike faglige problemstillinger. Samtidig er det lett å endre retning underveis, uten å miste tid.

– På videregående skole tenker man gjerne: ”Hvorfor studere matte – alt er jo gjort fra før?” Men dette er langt fra tilfellet. Den gylne æra i faget, er nå. Aldri tidligere i matematikkfagets historie har det skjedd så mye nybrottsarbeid som akkurat nå. Jeg tenker på store gjennom-brudd innen avansert algebra, samt utviklin-gen av numerisk analyse, som muliggjør et helt annet faglig nivå enn før. For ikke å glemme utviklingen innen regnevitenskapen, med ster-ke regne- og datamaskiner, forteller Lars Arne Jordanger, førstekonsulent ved Matematisk in-stitutt, UiB, og selv utdannet matematiker.

Jordanger er slett ikke med på at regnemas-kinene har overflødiggjort matematikerne.

– I virkeligheten er det omvendt: På grunn av at man har tilgang på numerisk analyse og modelleringer, kan man få maskiner til å gjøre den kjedelige biten av arbeidet, mens studen-ten får rik anledning til å fordype seg i alt det kjekke som faget har å tilby, ikke minst de teo-retiske fundamentene.

Viktig verktøyMatematikk er læren om tall, former, sammen-henger og endringer. Fagfeltet spenner vidt, fra

det veldig teoretiske over til informatikk og modelleringer i industri, til numeriske analy-ser. Spennvidden innen statistikk er like stor, fra det teoretiske til svært konkrete bruksområder innen dataanalyse, finans og forsikring.

– Matematikk er et viktig verktøy innen an-dre realfag, derfor kan det være gunstig å starte sine realfagsstudier med et bachelorprogram i nettopp matematikk. Det er forholdsvis enkelt å gå fra matematikk til å bli spesialisert i et an-net realfag, men ikke omvendt, forklarer Jor-danger, som peker på den store spennevidden når han blir bedt om å forklare hva som er så spennende med matematikk.

– Uansett hvor gammel man blir, så kan man alltid lære noe nytt innen matematikken. Man kan velge å gå i dybden, eller man kan knytte matematikken opp mot andre fag. Alle dører er åpne.

Professor og programstyreleder Alf Hartvig Øien poengterer fagets analytiske karakter.

– Det fascinerende med faget er at vi driver med analyser, vi prøver å se problemstillinger fra ulike vinkler – for så å føre dette over til konkrete anvendelsesområder. Vi prøver å gå helt til bunns og fjerne alle usikkerhetsmo-menter.

Ny fot å stå påMed utviklingen av kraftige regne- og datamas-kiner har vi nå en utvikling hvor matematikk griper tungt inn i en rekke fagområder, så som medisin, biologi og fysikk. Faget har fått en ny fot å stå på, mener Øien.

– Fra før har vi ren, teoretisk matematikk,


i tillegg til den anvendte matematikken, som jobber mot ulike bruksområder. Avanserte computere tillater nå at vi i tillegg kan drive numeriske modelleringer nærmest på like fot med de tradisjonelle, naturvitenskaplige ek-sperimentene. Man simulerer eksperimenter der hvor eksperimenter ikke er mulig eller øn-skelig. Skal man forske på framtidens klimaut-vikling, kan man ikke eksperimentere, og skal man vurdere nye medisiner har man gjerne etiske betenkeligheter med å eksperimentere. Innen medisin går utviklingen mer og mer bort fra bruk av forsøksdyr og over mot simulering, basert på numeriske analyser.

Dessuten er det dyrt å drive fysiske eksperi-menter, noe som også favoriserer matematiske modelleringer, påpeker Jordanger

– Oljeutvinningen i Nordsjøen blir mer og mer effektiv, og dette skyldes numeriske mo-deller. Det handler både om hvor man skal sette ned borrerøret og hvordan man skal ut-vinne mer olje fra hvert enkelt reservoar – man simulerer først og borrer etterpå.

Deponering av avfallsstoffer kan ikke igang-settes før man har forsket på eventuelle skade-virkninger. Da er det viktig å kjenne modellene godt, ellers kan man gjøre alvorlige feil, under-streker Jordanger.

– Det er viktig å kunne vurdere og uttale seg om kvaliteten på modellene, inkludert feilmar-ginene. For modellene er ikke verden, bare en tilnærming til den.

God klang i næringslivetUtdannede matematikere har yrkesmuligheter innen en rekke fag. Olje, medisin, klimafors-kning, oseanografi, fysikk, industri og økonomi er noen av dem.

– Matematikere, kanskje særlig de innen anvendt matematikk, har ikke problemer med å få seg jobb, det være seg i forskningsinsti-tusjoner eller i oljebransjen. De har en veldig god klang ute i næringslivet. Innen marine fag brukes matematikk til modelleringer av fiske-

bestander. Mange fremtredende økonomer har en base av matematikk og statistikk i bunn. En kollega omtalte en gang anvendt matematikk som faget ”über alles”. Og det er noe i det: Ma-tematikk kan anvendes på utrolig mange felt, det er nesten ikke grenser, sier Øien.

Jordanger nikker. – De som studerer ren matematikk får kanskje ikke arbeid med ak-kurat det de er spesialister på, men etter endt mastergrad får man gjerne jobbtilbud ut fra sin generelle bakgrunn, for man er trent i å se sam-menhenger. Rene matematikere får gjerne jobb innen forvaltning, industri eller forskning. Dessuten er det stor mangel på matematikere og statistikere innen finans, bank og forsik-ring. Matematikere trengs alltid i skolen, mens de som virkelig blir frelst på faget, gjerne fort-setter med en forskerkarriere.

Trenger ikke sekserMan trenger ikke sekser i matematikk fra vide-regående skole for å studere faget på universite-tet, mener Erlend Grong, som er bachelorstudent i matematikk ved UiB på fjerde semesteret.

– Den store fordelen med matte, er at man setter to streker under svaret. Alle andre realfag er nødt til å bruke matematikk for å kunne si noe om hvordan ting vil utvikle seg i framti-den. Er du biolog og skal si noe om utviklingen til en dyrebestand, vil du trenge matematikk.

Overgangen fra videregående skole var ikke avskrekkende, ifølge Grong.

– Vi jobber mye grundigere her, lærer ting ordentlig. Men mye fra videregående tas opp igjen, så man trenger absolutt ikke sekser i matematikk fra videregående for å begynne på matematikkstudier ved UiB, fastslår Grong, som er tilfreds med miljøet på faget.

– Det er et godt sosialt miljø. Realistforenin-gen har ulike arrangementer på Det akademis-ke kvarter, og det er også mye annet spennende som skjer.

Runo Isaksen


Videreutdanning i matematikk for lærere

Institutt for matematikk og statistikk ved Det matematisk- naturvitenskapelige fakultet tilbyr ettårig videreutdanning i matematikk for lærere. Tilbudet er i samarbeid med Institutt for peda-gogikk og lærerutdanning, IPLU.

Studiet er satt sammen av seks enkeltemner med et samlet omfang på 60 studiepoeng. Fire av emnene er i matematikk, et i statistikk og et i matematikkdidaktikk. Det faglige innholdet er grunnleggende kalkulus, lineær algebra, dis-kret matematikk, statistikk, sannsynlighets-regning og didaktikk.

Målgruppen for studiet er primært lærere som ønsker en årsenhet i matematikk og som ikke har matematikk ut over videregående sko-le fra før, og som ønsker å undervise i matema-tikk i skolen. Målet er å gi en grunnleggende innføring i matematikk og statistikk samt ma-tematikkdidaktikk.

Studiet er organisert som fulltidsstudium eller som deltidsstudium over to år. Tabellene nedenfor viser studieplanene for både fulltids-studenter og deltidsstudenter. Alle studenter

må ta emnet PFF-6101 Matematikkdidaktikk første høst. Deltidsstudenter kan velge om de vil ta STA-1001 Statistikk og sannsynlighet 1 første eller andre vår.

På grunn av begrensende resurser blir det ikke spesiell tilpassing av matematikk- og sta-tistikkemnene for fjernstudenter. Fjernstuden-ter må regne med å jobbe mye på egen hånd på disse emnene. Det er ikke oppmøteplikt på forelesninger og grupper. Obligatoriske oppga-ver og liknende kan sendes inn per e-post eller vanlig post. Det er viktig å sjekke innleverings-frister under emneinformasjon.

Undervisninga i matematikkdidaktikkem-net blir lagt opp med samlinger med selvsten-dig arbeid mellom samlingene. Alle studentene, også fjernstudentene, må delta på samlingene.

I enkelte av matematikkemnene brukes pro-gramvaren Mathematica ved løsning av obliga-toriske oppgaver.

Studenten må selv anskaffe seg programmet som kan kjøpes til studentpris via www.wol-fram.com eller altasoft.no

For å starte på studiet kreves det påbegynt eller fullført lærerutdanning eller tilsvarende i tillegg til det generelle opptakskravet som er generell studiekompetanse og 2MX/2MY/3MZ + 3MX/3FY/3KJ/3BI.

Undervisninga i matematikk forutsetter kunnskaper tilsvarende 3MX fra videregående skole.

Søknadsfrist for studiet er 15. april. Det sø-kes på Universitetets skjema for lokalt opptak. Skjema fås ved å kontakte Studieavdelinga eller det kan lastes ned fra Internett, se uit.no/studie-avdelinga/tjenester/��.

For flere opplysninger se nettsidene uit.no/matnat/videreutdanning/� oguit.no/matstat/matematikkemner/.

Kontaktperson for studiet er studiekonsulent Siv Andreassen som kan kontaktes på telefon 77 64 40 04 eller e-post: [email protected]


Ettårig videreutdanning i matematikk for lærere, heltidsvariant

Vår MAT-�00� Kalkulus �

STA-�00�Statistikk og sannsynlighet �

MAT-�00� Lineær algebra

Høst MAT-�00� Kalkulus �

MAT-�00� Diskret matematikk �

PFF-��0� Matematikkdidaktikk

Ettårig videreutdanning i matematikk for lærere, deltidsvariant

Vår 2MAT-�00� Lineær algebra

(STA-�00� kan også tas her)

Høst 2MAT-�00� Diskret matematikk �

Vår 1MAT-�00� Kalkulus �

STA-�00�Statistikk og sannsynlighet �

Høst 1MAT-�00� Kalkulus �

PFF-��0� Matematikkdidaktikk

Utdanningsforbundet er Norges største læreror-ganisasjon med om lag 130 000 medlemmer. De aller fleste av de som underviser i matematikk, er medlemmer av Utdanningsforbundet. Dette gjelder både barnetrinn, ungdomstrinn og vide-regående skole.

Utdanningsforbundet har et eget “Fagråd i realfag” som er rådgivende for Sentralstyret i saker som gjelder realfagene. Matematikken

spiller en viktig rolle her. Innspillene fra fag-rådet går via Sentralstyret. I forbindelse med Kunnskapsløftet betyr dette at innspillene set-tes inn i en helhetlig sammenheng med stor gjennomslagskraft.

Utdanningsforbundet har også lokale fag-forumsmøter der mange interessante matema-tikktemaer blir tatt opp.


Abelprisen ble etablert av Stortinget i 2002 og den første prisen ble delt ut til Jean-Pierre Serre, Paris, året etter. På tross av denne relativt korte historien har Abelprisen vunnet ry som verdens viktigste matematikkpris, på linje med Nobel-prisene i fysikk, kjemi og medisin.

Abelprisen har fått navnet sitt etter Niels Henrik Abel, en av verdens mest betydnings-fulle matematikere. Abel var født på Finnøy i Rogaland i 1802 og døde på Froland Verk snaut 27 år senere. Han var elev ved Katedralskolen i Kristiania og det var her han fattet sin dype interesse for matematikk, bl.a. inspirert av sin unge lærer Bernt Michael Holmboe.

I dag er det nye generasjoner av lærere og elever som skal bære matematikkarven videre. Matematikk er fundamentet for vårt tekno-logiske samfunn, og matematisk innsikt og kunnskaper er av stor betydning for en videre utvikling av menneskeheten. Vårt århundredes største oppgave er å sikre at alle mennesker i verden har mat, tilgang på medisiner, et sted og bo og muligheter for å få en god utdannelse. Dette må vi få til uten at vi samtidig ødeleg-ger livsgrunnlaget vårt på jordkloden. Til dette

trenger vi mange dyktige ungdommer som behersker matematikkens språk og som kan bruke det til vårt felles beste.

Da Stortinget etablerte Abelprisen hadde de dette perspektivet i bakhodet. Derfor har Abel-prisen fått to store oppgaver. Den ene er å dele ut verdens mest prestisjefylte matematikkpris. Den andre er å bidra til å stimulere barn og unge til å fatte interesse for matematikk og re-alfag, på samme måte som den unge Niels Hen-rik Abel ble stimulert av sine omgivelser.

Styret i Niels Henrik Abels Minnefond, som forvalter Abelprisen, har bidratt til utgivelsen av denne Inspirasjonsboka som du nå har i hendene. Vi håper og tror at den kan være med å gi deg den motivasjonen som skal til for at du bestemmer deg for å trenge litt dypere inn i ma-tematikkens verden. Der vil du kanskje oppleve noe av den skjønnheten som Niels Henrik Abel ble så fascinert av for snart 200 år siden.

Lykke til.

Arne B. Sletsjøenestleder i Niels Henrik Abels Minnefond


Bernt Michael Holmboes minnepris er en pris for matematikklærere i grunnskolen og den videregående skolen. Den deles ut en gang i året til en eller flere lærere som har gjort en innsats for matematikkfaget ut over det vanlige. Prisen er på 50 000 kr, og skal deles mellom prisvin-neren og skolen han eller hun arbeider ved. På denne måten ønsker man å løfte frem fremra-gende lærere og skape gode forbilder som andre kan lære og inspireres av.

Bernt Michael Holmboe (1795–1850) var matematikklæreren til Niels Henrik Abel på Christiania Katedralskole. Det var han som oppdaget Niels Henriks usedvanlige talent og hjalp ham frem i begynnelsen av hans karriere. Gjennom hele Abels korte liv var Holmboe en nær venn og støttespiller. Holmboe endte se-nere som professor ved Universitetet, men det er for hans lærergjerning vi husker ham i dag, og det er derfor prisen er oppkalt etter ham.

Idéen om en lærerpris i matematikk har vært drøftet i fagmiljøene i en del år, men det var først etter etableringen av Abelfondet at det ble mulig å realisere den. Styret for Abelfon-

det har tatt på seg å finansiere Holmboeprisen og gitt Norsk matematikkråd oppdraget med å velge ut en prisvinner og dele ut prisen. En egen komité, bredt sammensatt med represen-tanter fra skole og norske matematikkmiljøer, vurderer de nominerte kandidatene. Alle kan nominere kandidater til Holmboeprisen, og på nettsidene www.holmboeprisen.no finner man retningslinjer og nominasjonsskjema.

Hva ser man etter i en prisvinner? Holmboe var en dyktig lærer i sin tid, men han kan ikke stå som modell for dagens lærere. Tidene har endret seg, og det har også kravene til god un-dervisning. En god lærer skal kunne formidle faglig innsikt og gi et godt grunnlag for å kunne gå videre med faget. Samtidig må elevene opp-leve at faget angår nettopp dem og er et redskap som de aktivt kan gjøre bruk av. Hos en pris-vinner ønsker vi i tillegg at engasjementet for faget har gitt ringvirkninger ut over klasserom-met, enten på eller utenfor egen skole.

Et godt eksempel på en moderne matema-tikklærer er Svein Hallvard Torkildsen, som fikk den første Holmboeprisen i 2005. Tor-kildsen er ungdomsskolelærer ved Samfundets skole i Kristiansand med en åpen og utforsken-de undervisningsstil, der elever blir møtt med utfordringer på sitt nivå. Han var tidlig ute med å prøve ut prosjektarbeid i matematikk da dette ble innført i skolen, og han har skrevet

Per Manne er leder for Norsk matematikkråd og førsteamanuensis ved Norges Handelshø[email protected]

Per Manne

Bernt Michael Holmboes minnepris


om sine erfaringer slik at andre har kunnet ta del i dem. Torkildsen var også en av grunnleg-gerne og den første lederen av Landslaget for matematikk i skolen (LAMIS). Du kan lese mer om vinnerne av Holmboeprisen på nettsidene til prisen.

En ny matematikkpris er opprettet. Bernt Mic-hael Holmboes minnepris vil bli delt ut årlig til en eller flere matematikklærere i grunnskolen og den videregående skolen. Dette er en pris på 50 000 kr som skal gå til en lærer eller en gruppe av lærere som har gjort en innsats ut over det vanlige for matematikkfaget. Prisbeløpet vil bli delt mellom prisvinneren og skolen han/hun arbeider ved. Gjennom høsten 2004 vil det være

mulig å nominere kandidater, og prisen vil bli delt ut første gang våren 2005.

Bakgrunn for prisenIdéen om en pris for matematikklærere har eksistert i flere år. Bakgrunnen ligger i de store utfordringene vi møter i matematikkundervis-ningen i dag. Samtidig som verden rundt oss blir mer og mer teknologisert så blir den under-liggende matematikken på mange områder skjø-vet i bakgrunnen. Det er en krevende oppgave å skape begeistring for faget og å utdanne men-nesker som kan bruke det i en moderne verden. En pris for matematikklærere vil være en beløn-ning for en lærergjerning utover det normale, men den vil også synliggjøre gode og positive forbilder som kan være til inspirasjon for både lærere og elever.

I forkant av Abel-jubileet i 2002 ble det tatt et initiativ for å gjøre denne ideen til virkelig-het. Dessverre var det da ikke mulig å få til en langsiktig finansiering, og forslaget kunne ikke realiseres. Med etableringen av et Abelfond endret imidlertid dette seg. Abelstyret fant å kunne stå for den nødvendige finansieringen, og ba om at Norsk matematikkråd utredet en pris for matematikklærere. Dette arbeidet har nå båret frukter. Prisen er etablert, og ble lan-sert i forbindelse med sluttarrangementet for KappAbel ved Oslo Katedralskole, dagen før Abel-prisen ble delt ut til Sir Michael Atiyah og Isadore Singer. Begge Abelprisvinnerne var til stede og kastet glans over arrangementet.

Litt om prisenMulige vinnere av Holmboe-prisen er mate-matikklærere i norsk grunnskole og videregå-ende skole. Det vil bare bli delt ut en pris hvert år, men det er fullt mulig å gi denne til flere lærere eller et helt lærermiljø som har arbeidet sammen, for eksempel med å utvikle opplegg som de har utprøvd sammen eller hver for seg. Alle kan nominere kandidater de synes har gjort seg fortjent til en slik utmerkelse. Man bruker

Bernt Michael Holmboe (��-��0)

J. A. Aubert © Matematisk institutt, UiO


her et skjema som fins på nettsidene til Norsk matematikkråd – se www.mi.uib.no/nmr/holm-boe-prisen/. Forslaget skal være begrunnet, og inneholde referansepersoner som kan under-støtte forslaget og eventuelt gi mer opplysnin-ger.

Nominasjoner til prisen vil bli tatt i mot gjennom høstsemesteret. De vil deretter bli vurdert av en egen Holmboe-komite, som be-står av fem personer fra henholdsvis grunn-skolen, videregående skole, lærerutdannin-gene, universitetene, og matematikksenteret i Trondheim. Komiteen har mulighet til å samle inn mer informasjon om de ulike kandidatene, og våren 2005 blir den første Holmboe-prisen delt ut ved Oslo Katedralskole, hvor Holmboe underviste gjennom mange år. Det vil også bli arrangert et seminar i samarbeid med Høg-skolen i Oslo rettet mot lærere og studenter, og med et tema relatert til prisvinnerens bidrag.

Abels matematikklærerAt prisen skulle oppkalles etter Bernt Michael Holmboe har hele tiden vært klart. Holmboe (1795–1850) var matematikklæreren til Niels Henrik Abel, og den som oppdaget og fremel-sket hans talent. Gjennom hele Abels liv spilte Holmboe en sentral rolle, først som lærer og senere som nær venn og støttespiller. Holmboe hadde en respektabel karriære og endte som professor ved Universitetet i Christiania. Hans lærebøker var mye brukt i skolene, og han var aktiv ved etableringen av forsikringsselskaper i Norge. Se www.abelprisen.no/no/abel/holmboe�.html for en omtale av ham forfattet av Arild Stubhaug.

Som matematiker var Holmboe likevel ikke særlig betydelsesfull, og det er for hans lærer-gjerning som vi husker ham i dag. Holmboe underviste etter andre prinsipper enn det som var vanlig den gangen. Han lot elevene få opp-gaver å løse i tillegg til bare å skrive av tavlen. Dette gjorde at han raskt oppdaget at Abel hadde spesielle evner og ga ham utfordringer

som gjorde at den unge eleven snart kunne like mye som og mer enn sine lærere. Senere i livet spilte Holmboe en tilsvarende rolle for Ole Ja-cob Broch. Selv beskriver han høsten 1818 sine undervisningsmetoder etter å ha undervist et halvt år på katedralskolen:

Jeg har imidlertid ved praktisk Regning idelig övet dem i Reglernes Anvendelse; deels for derved at fæste dem bedre i deres Hukommelse, hvorved Beviserne for samme, naar de siden i 2den Classe bliver dem fore-dragne, bettre vilde fattes; deels fordi prak-tisk Regning, efter mine Tanker er en for denne Alder meget passende Beskjæftigelse, hvortil de fleste haver megen Lyst, og hvor-ved de vennes til at arbeide med Orden og Hurtighed.

Dagens utfordringerSelv om Holmboe var en dyktig lærer i sin tid, så er det ikke mulig å bruke ham som modell for dagens lærere. Tidene har endret seg, og det har også kravene til god undervisning. En vinner av Holmboe-prisen bør utvise en innsats for faget klart utover det som normalt forventes av en matematikklærer. Evne og vilje til å for-midle faget og å skape interesse og begeistring for det er en nødvendig forutsetning, sammen med oppmerksomhet om de ulike behovene til forskjellige elever. Godt lederskap og evne til å trekke linjer til verdenen utenfor klasserommet er også viktig. Disse kriteriene har ikke endret seg siden Holmboes dager, men utfordringen er å gi ny mening til dem og si noe om hva de betyr i dag.


Hvem tar seg av realistenes interesser i skoleverket?

Tekna – Teknisk-naturvitenskapelig forening er en fagforening med over 42 000 medlemmer og en lærerorganisasjon for deg med høyere teknisk-naturvitenskapelig utdanning.

Realistenes formål er å:

Ivareta medlemmenes faglige og fagpolitiske interesser Arbeide for bedring av standens faglige utvikling Arbeide for økt rekruttering til skoleverket på masternivå Arbeide for større forståelse og interesse forrealfagenes plass i videregående skole og medvirke til at elever i videregående skole velger realfag som fordypning

Leder i Realistenes styre: Bjørn Gjermundsen, Fagerborg videregående skole e-post: [email protected]

Kontaktperson i Tekna: Trine Eide Olsen, tlf 22 94 75 81 e-post: [email protected] mer på www.tekna.no/realistene


Tekna – Teknisk-naturvitenskapelig forening er landets største profesjonsforening for akademikere. Foreningen har over 42 000medlemmer med ulik bakgrunn innenfor teknologi og naturvitenskap, i ulikeyrkessituasjoner og med ulike interesser.

Vår virksomhet spenner over et stort område, fra kurs og etterutdanning via lønnsforhandlinger til studentaktiviteter.

Tekna arbeider for bedre betingelser for norsk teknisk-naturvitenskapelig forskning og verdiskaping. Vi arbeider for å fremme medlemmenes interesser overfor Regjeringen, Stortinget og andre beslutningstakere i samfunnet. Vi profilerer også våre meninger i media.

Visste du … at Tekna gir deg juridisk hjelp? at Tekna hjelper deg til å få riktig lønn? at landets fremste fagfolk holder kurs for deg? at du får Teknisk Ukeblad hjem hver uke? at vi har en CV-bank som er tilgjengelig for alle medlemmer og bedrifter? at du får gunstige bank- og forsikringstilbud?

Hvem er Teknas medlemmer? Personer med en utdanning på hovedfags-/masternivå innen naturvitenskap og teknologi er medlemsberettiget i Tekna. Sivilingeniører er den største medlemsgruppen.

www.tekna.no/innmelding


NITO Tangenten1.indd 1 09.05.05 13:27:18


NITO Tangenten2.indd 1 09.05.05 13:17:46

2005 tangenten�� 1

Figur 1. Elektromagnetisk felt

INSPIREInteractive NASA Space Physics Ionosphere radio experiment

Et møte mellom fysikk, matematikk og ingeniørkunnskap i jakten på det ukjente

Høgskolelektor Bjørn Gitle Hauge, Høgskolen i Østfold, [email protected]

1 Innledning INSPIRE- programmet er et verdensomspennende forskningsprogram for ungdom, hvis formål er å motivere til videre studier i teknologi og realfag. Programmet som er utviklet av NASA, går ut på å bygge mottagerutstyr for utforskning av lavfrekvent elektromagnetisk stråling fra naturlige radiokilder. Naturlige radiokilder kan være lynnedslag, nordlys og stråling fra planeter og stjerner i universet. Da frekvensen til disse radiosignalene er fra 0-20000Hz, vil det være mulig å høre disse hvis en antenne kobles til en enkel audio-forsterker og høyttaler. Ved å koble dette audio-signalet til mikrofon inngangen på en datamaskin kan man med matematiske analyseprogram kartlegge frekvensinnholdet i signalet og utforske radiokildene som er opphav til signalene. Programmet kombinerer ingeniørkunnskap med fysikk, matematikk og astronomi (se: http://image.gsfc.nasa.gov/poetry/inspire/). I Science Camp-prosjektet benyttes INSPIRE- mottagere til å utforske de uforklarlige lysfenomenene i Hessdalen. Italienske forskere fra institutt for radioastronomi har i en årrekke undersøkt disse uforklarlige lysfenomenene uten at man har funnet noen forklaring. Dette kobler prosjektet opp mot astrofysikk og radioastronomi (se: www.hessdalen.org og www.sciencecamp.no ).Lavfrekvente radiosignaler benyttes også til kommunikasjon med ubåter. Nødsignaler fra den havarerte russiske atomubåten KURSK kunne for eksempel detekteres av INSPIRE-mottagere. Utforskingen av lavfrekvente radiosignaler byr på mange mysterier, blant annet muligheten til å forhåndsvarsle jordskjelv. Mer om dette på: http://www.vlf.it og http://www.altair.org

2 Elektromagnetiske signalerULF, ultra low frequency, er betegnelsen på det frekvensområdet som INSPIRE-mottagerne kan motta. Disse ligger fra 0 – 20000 Hz. Betegnelsen Hz, Hertz, kommer fra den tyske forskeren Heinrich Hertz som oppdaget at tidsvarierende elektriske felter, radiosignaler, kunne bevege seg gjennom rommet. Hans oppdagelser førte til at Italieneren Guglielmo Marconi oppfant den første radiosender. Et elektrisk felt oppstår mellom to elektriske ladninger som befinner seg i en viss avstand fra hverandre. Hvis ladningene er like og de befinner seg en meter fra hverandre, uttrykker feltstyrken den kraft vi må bruke på ladningene for å holde dem i samme posisjon, ellers

ville de frastøte hverandre. Hvis disse to ladningene hadde skiftet polaritet en gang i sekundet ville kraftfeltet skiftet retning en gang i

sekundet, og frekvensen ville vært 1 Hz. Skifter polariteten 100 ganger i sekundet vil frekvensen være 100 Hz. Dersom et elektrisk felt forandrer seg, vil det bli generert et magnetfelt, og hvis ladningene begynner å bevege seg vil det oppstå et magnetisk felt rundt dem, noe som Mikael Faraday oppdaget på begynnelsen av 1800 tallet, og som James Clerk Maxwell beskrev i sine fire berømte ligninger. I en av disse ligningene var det et ledd som ingen helt forsto hva var, men som avslørte radiosignalene. Matematikken hadde funnet radiosignalene allerede før Heinrich Hertz og Guglielmo Marconi. Radiosignaler består derfor av både elektriske og magnetiske felt.

Bidrag fra NITO

tangenten 2005 ��2

Figur 3. Skjematikk for INSPIRE ULF mottager

Figur 4. INSPIRE mottager og analysesystem

Nordlyset som opplyser vår nordlige natthimmel, består av ladede partikler som solen bombarderer jorda med. Deres bevegelse setter opp magnetfelt, og deres varierende innbyrdes avstand genererer et tidsvarierende elektrisk felt, radiosignaler. Disse feltene kan detekteres av INSPIRE-mottagere ved å bruke to forskjellige antenner, en for magnetfelt og en for elektrisk felt. ULF signaler er meget lavfrekvente elektromagnetiske signaler, se figur 2. Lys er også elektromagnetisk stråling, og skiller seg fra radiostråling med en mye høyere frekvens. Rødt lys har en frekvens på 428 570 GHz, mens TV signaler fra satellitt har en frekvens på ca. 10G Hz. Røntgenstråling og radioaktiv stråling er elektromagnetiske bølger de også, men med mye høyere frekvens enn lys. De lavfrekvente elektromagnetiske strålene kan nå veldig langt, og derfor benyttes de til kommunikasjon med ubåter fordi de er i stand til å trenge gjennom is og dypt ned i havet.

Figur 2. Det elektromagnetiske spekter

3 MottagersystemetMottagersystemet består av antenne for magnetfelt eller elektrisk felt som kobles til en mottager med forsterker, og denne kobles til mikrofoninngangen på en PC. I datamaskinen benyttes det et frekvensanalyseprogram. Slike analyseprogram kan lastes gratis ned fra nettsidene til INSPIRE. På samme nettside kan man bestille byggesett for INSPIRE-mottagere og laste ned skjematikk og detaljerte byggeinstrukser hvis man vil gjøre alt selv. Høgskolen i Østfold har også utviklet egne mottagere som studentene bygger selv som en innføring i elektronikkfaget. Disse er enklere enn den som vises i figur 3. Øverst til venstre i figur 3 vises antennen og tilpassningskretsene, til transistoren (Q1). Denne er koblet

til en skilletransformator (L1) som mater en utgangstransistor (Q2). Denne tilpasser signalnivået til de

to operasjonsforsterkerne i bunn av figuren. En bryter i (JP8) mater signalet til en eller begge operasjonsforsterkerne. Dette gir valget mellom en datautgang og en audio-utgang. Begge disse utgangene har nivåregulering. Hele kretsen er egentlig ikke noe annet enn en HIFI audio-forsterker som er tilpasset signalet fra en antenne, der det er et filter på inngangen som kun slipper inn de lave frekvensene fra 0-20000 Hz som vi er ute etter. Datautgangen kobles til mikrofoninngangen på en PC, og audio-utgangen kobles til

en opptager og en høyttaler slik at man kan høre signalene. I figur 4 vises et fult mottagersystem. Dette består av en høyttaler, PC med analyse-software, Inspire mottager og en minidisk til å ta opp signalene med. Det er viktig å være klar over at både PC’en og minidisken inneholder elektromotorer som avgir støy i ULF området, og selv det å bruke mus eller tastatur kan gi betydelig støy. I nærheten av enhver form for elektriske maskiner og elektriske kabler vil vi få støy som kan forveksles med naturlige radiosignaler eller tilsløre disse. Utstyret i figur 4 er plassert i 1000 meters høyde på et fjell i Hessdalen, lengst vekk fra alle forstyrrende signaler, og utstyret benytter likestrøm fra solcellepaneler og 12 V batterier.

ULF

INSPIRE mottager

Bidrag fra NITO


Figur 5. Spektrogram

Figur 6. Oppbygging av firkantpuls med sinusfunksjoner

4 Matematikk & analyse-softwareSignalene som kommer inn til datamaskinen blir målt eller samplet med visse mellomrom av en analog-til-digital omformer (AD-omformer). Ut av denne kommer det en serie av tall som datamaskinen lagrer, der hvert tall representerer signalverdien ut av INSPIRE-mottageren ved et bestemt tidspunkt. For å kunne få en riktig avbilding av signalet må målehastigheten være den dobbelte av høyeste signalfrekvens som vi mottar, altså det dobbelte av 20000Hz. Ut fra AD-omformeren renner det derfor ut 40000 måleverdier i sekundet! Alt som datamaskinen ser er kun tall, og alt den kan gjøre med disse tallene er å regne på dem. Hva i all verden skal vi gjøre for å finne ut hvilke radiokilder og deres frekvenser som denne serien av tall skjuler for oss? Det er her matematikken kan hjelpe oss med kunnskapen om rekker. Rekker benyttes jo til å avbilde kurver som ikke kan

beskrives ved en enkelt funksjon, og en spesiell type rekker som kalles Fourierrekker egner seg til å finne frekvenskomponenter da den består av en uendelig mengde sinusfunksjoner som øker i frekvens utover i rekken:

)sin()( 01

0 kk

k xkaaxf θω ++=∞

=

En matematisk operasjon som kalles Fouriertransformasjon bestemmer nivåene, ak, grunnfrekvensen 0 og fasene k til hver av disse sinusfunksjonene. Hvis signalet inn til datamaskinen består av kun en tone på 1000 Hz, vil Fouriertransformasjonen gi verdi null for alle komponentene, ak , i rekken bortsett fra den med frekvens 1000 Hz. Hvis signalet er en serie av firkantpulser som vist i figur 6 vil rekken bestå av en uendelig mengde med sinuskomponenter som summeres sammen. De 5 første cosinuskomponentene i den uendelige rekken vises under:

...)9sin(14,0)7sin(18,0)5sin(25,0)3sin(42,0)sin(27,1)( +++++= xxxxxxf

Her er grunnfrekvensen Hz10 =ω og alle faseforskyvninger 0=kθ .Formelen for å utføre Fouriertransformasjonen programmeres derfor inn i datamaskinen, og dette programmet setter i gang med å beregne verdiene på frekvenskomponentene. Simulator og beskrivelse av Fouriertransformasjonen finnes på: http://www.falstad.com/fourier/ og http://www.jhu.edu/~signals/fourier2/

Etter at verdiene er beregnet presenteres de på skjermen i et aksesystem der tiden går langs den horisontale akse, og frekvensen langs den vertikale akse. Amplituden ak vises med intensiteten på fargen, lysere farge betyr høyere amplitude. Dette vises i figur 5. Denne presentasjonsformen kalles et spektrogram. En annen betegnelse på en maskin som kun gjør dette er en spektrumsanalysator, et vanlig instrument for alle som driver med elektronikk og radioteknikk der man må bestemme frekvens og styrke på radiosendere. Matematikken er derfor et av ingeniørens viktigste verktøy. Eksempler på gratisprogrammer for frekvensanalyse er GRAM og Spectum laboratory. Slike programmer kan lastes ned fra nettsidene til INSPIRE gratis. Se: http://www.qsl.net/dl4yhf/spectra1.html En kan også

Bidrag fra NITO


Figur 7. Magnetfeltsantenne

Figur 7. Dopplereffekten

Figur 8. Italiensk radioteleskop, 38m

benytte programmer for analyse av lyd/audio signaler da inspire signalene befinner seg i dette frekvensområdet.

5 AntennerSiden radiostråling består av både elektrisk og magnetisk felt trenger vi en antennetype for hvert felt. Magnetfeltet skiller seg fra det elektriske ved at feltet danner sirkulære lukkede baner rundt bevegelige

ladede partikler, mens det elektriske oppstår mellom ladede partikler. Faraday oppdaget magnetisk induksjon tidlig på 1800 tallet, noe som gav støtet til utviklingen av elektromotorer og generatorer. Hvis du forandrer magnetfeltet gjennom en spole, vil det genereres en strøm i spolen. Dette er prinsippet for hvordan en generator og en magnetfeltsantenne virker. En magnetfeltsantenne er en spole, og jo flere vindinger den har jo mer følsom er den. I figur 7 vises en magnetfeltsantenne utviklet av Institutt for radioastronomi i Bologna Italia. Hvis spolens åpning gjøres større vil følsomheten også forbedres. En slik antenne er meget retningsbestemt, og åpningen må peke mot signalkilden. Fra siden vil den ikke detektere noe. Den kan derfor brukes til å finne retningen til radiokilden. Siden radiosignalene lager strøm i en magnetfeltsantenne, må mottageren detektere strømforandringen og ha lav inngangsmotstand. En antenne for deteksjon av elektrisk felt kan ikke være lukket slik som magnetfeltsantennen, og den genererer ikke strøm. Den vanligste av denne antennetypen er dipolantennen som ser ut som en T. Antennen detekterer spenningsforandring og mottageren må være konstruert for dette ved å ha høy inngangsimpedans. Man kan ikke bruke samme mottager til å detektere både magnetfelt og elektrisk felt. Problemet med en

dipolantenne er at den er mest følsom når den har en lengde som er halvparten av bølgelengden til radiosignalet. Bølgelengden bestemmes av frekvensen til radiosignalet og lyshastigheten som er C0=3x108

m/s. Den optimale lengden for en dipolantenne er halvparten av signalets bølgelengde. Ved 15000 Hz kreves det en antenne som er 1000 m lang for å være optimalt tilpasset! Denne lengden vil være nærmest umulig i praksis, men antenner som har lengder mellom 10 – 40 m vil være i stand til å detektere signaler brukbart innenfor området 100 – 20000 Hz. .

6 Fysikk & AstronomiOppdagelsene til den østerrikske matematikeren Christian Andreas Doppler (1803–1853) gav astronomen Edvind Hubble det verktøyet han trengte for totalt å forandre vårt bilde av universet. Dopplereffekten kan vi registrere hver gang vi står ved veikanten og hører en bil komme i mot oss. Etter hvert som den nærmer seg øker tonen, frekvensen, og når den passerer, avtar tonen til en lav brumming. Det samme merker vi når vi kjører med en båt mot bølgene, slagene fra bølgene kommer hurtigere enn om vi kjører fra bølgene. Tilsvarende vil et radiosignal som sendes fra en satellitt som kommer i mot oss øke i frekvens, og avta i frekvens når det passerer forbi oss. Dette betyr at for å motta radiosignaler fra en satellitt, så må vi vite hvor fort den kommer mot oss eller går fra oss for å kunne bestemme riktig frekvens. Hvis

en måler forandringen i frekvens f(Hz), og vet bølgelengden, λ, i meter til radiosenderen, så er det derfor

Bidrag fra NITO


Figur 11. Optisk spekter med emisjonslinjer fra oksygen

Figur 9. Dopplerskift

Figur 10. Galakse sett med teleskoper på forskjellige frekvenser

mulig å bestemme hastigheten til satellitten. Under første verdenskrig begynte astronomen Edvind Hubble å analysere lyset fra stjernene. Han spaltet lyset gjennom et prisme og fikk se regnbuemønsteret, også kalt spekteret til lyset fra stjernene. I dette spekteret oppstår det lyse striper, såkalte emisjonslinjer, som er fingeravtrykket til den gassen som brenner i stjernen (se figur 11). Til å begynne med så det ut som om stjernene bestod av grunnstoffer som var ukjent for oss her på jorda, inntil man forstod at spektrene var forskjøvet enten mot rødt eller blått. Dette måtte være forårsaket av Dopplereffekten, og de fleste av stjernene var forskjøvet mot rødt (se figur 9). Konklusjonen var at stjernene beveget seg fra oss, og at vi befant oss i et univers som utvidet seg. Dette gav støtet til ”Big Bang” teorien. Dopplereffekten har derfor vært nøkkelen til å bevise at universet utvider seg. I 1931 på Mount Wilson observatoriet møtte Albert Einstein astronomen Edvind Hubble. Einstein kom for å fortelle at han i sine ligninger hadde forutsett at universet utvidet seg, men fordi han trodde dette var umulig, hadde han innført en faktor som motvirket utvidelsen, den såkalte kosmologiske konstant. Einstein kalte dette sitt livs største tabbe, og fjernet den kosmologiske konstanten fra sine ligninger. Men igjen hadde matematikken forutsett noe som ingen kunne

forstå, og som senere skulle bli påvist. Frem til nå hadde all utforskning av universet skjedd ved hjelp av optiske teleskoper, men dette skulle brått forandre seg da Karl Jansky, en radioingeniør, startet med å kartlegge støy som ødela radiosendinger. I 1932 bygde han et roterende antennesystem med en mottager for signaler på 20,5MHz. Til hans store overraskelse kom støyen som ødela radiosendinger på jorda fra universet, og en av de sterkeste radiokildene viste seg å ligge i universets senter. Senere detekterte han radiosignaler fra Venus og Jupiter, og påviste at universet var fylt opp med radiokilder. Dette var

starten på utforskningen av verdensrommet ved hjelp at antenner og radiomottagere, og disse mottagersystemene kalles radioteleskoper. Signalene fra universet er svake, og antennene må derfor være meget store. I figur 7 vises det Italienske radioteleskopet i Medicina med en antenne på 38 m i diameter. Det største Arecibo, er 305 m i diameter (se: http://www.naic.edu). Radioteleskoper er nå en av de viktigste redskaper i utforskningen av universet, da de kan motta elektromagnetisk stråling som øyet ikke kan se. INSPIRE-systemet kan sammenlignes med et lite radioteleskop for lavfrekvente signaler, mens de store teleskopene går stadig høyere opp i frekvens, hvor mottagere på 40 GHz er vanlige. Teleskoper blir utviklet for stadig høyere frekvenser, og i figur 10 ser vi samme galaksen sett med fire forskjellige teleskoper som mottar på forskjellig frekvens.

Figur 9 Dopplershift

Bidrag fra NITO


Figur 12 Hessdalsfenomenet

Figur 14 Forskningsbase på Rognfjell

Figur 13 Blue Box

7 Inspire & Hessdalsfenomenet I over 20 år har den lille bygda nord for Røros vært hjemsøkt av flygende lyskuler med diameter opp til 30 m. Lyskulene skifter farge og form mens de blinker. Fenomenet er blitt sett mens det står stille midt i dalen og lyser opp bakken under. Bildet i figur 12 er tatt i 1982 mens fenomenet beveger seg over fjelltoppen Finså mens det blinker blått. Høgskolen i Østfold har etablert en automatisk ubemannet forskningsstasjon i Hessdalen ”Blue Box”, figur 13, utstyrt med digitale stereo- kamerasystemer, magnetometere, spektrums-analysatorer og radar. Måleresultater legges automatisk ut på www.hessdalen.org. Forskningsstasjonen er bygd opp i samarbeid med institutt for radioastronomi i

Bologna, Italia, http://www.ira.cnr.it/. Italienske forskere

har siden 1999 gjennomført årlige feltaksjoner i Hessdalen under navnet Project Embla. Disse finnes dokumentert på: http://www.itacomm.net/PH. Mye av instrumentutviklingen til forskningsstasjonen i Hessdalen har blitt utført av italienske og norske ingeniør-studenter, og i 2002 ble idéen unnfanget om å gjennomføre en forskningsleir for ungdomsskoleelever i Hessdalen. Denne ble kalt Science Camp, og formålet var å motivere ungdom til å studere teknologi og realfag (se: www.sciencecamp.no). Under Science Camp etableres det to forskningsbaser på hvert sitt fjell i Hessdalen (se figur 14). Hver utrustes med INSPIRE-utstyr. På den ene basen er det et dobbelt mottagersystem som kan måle magnetfelt og elektrisk felt samtidig. Under disse feltaksjonene oppstod det jevnlig nordlys, noe som også kunne registreres på mottagerutstyret. Siden fenomenet blinker og lyser samtidig som det skifter farge fra blått til rødt, må det sende ut energi. Noe av denne energien kan frigjøres i form av radiostråling. Den underlige blinkende oppførselen har fått forskere til å spekulere omkring virkemåten til Hessdalsfenomenet. I universet finnes det en type stjerner som kalles pulsarer, som roterer og blinker. Kanskje er Hessdalsfenomenet en type ”ministjerne” a la pulsarene (se artikkel av Massimo Teodorani, http://www.itacomm.net/PH). INSPIRE-utstyret benyttes derfor til å lete etter elektromagnetisk stråling fra fenomenet, og siden utstyret er i stand til å måle Dopplerforskyvning og retning til lyset eller signalet, kan viktige mekanismer ved fenomenet avsløres. Hvis en lavfrekvent radiokilde beveger seg i dalen vil INSPIRE-utstyret

kunne detektere dette, og man kan måle Dopplerforskyvningen og bestemme relativ hastighet. Kan denne bevegelse knyttes til fenomenet har man et en mulighet til å skille Hessdalsfenomenet fra andre lyskilder som biler og fly. Slik Dopplerforskyvning ble registrert av Italienske forskere i 2002. Til nå er det ikke registrert noen lavfrekvente radiosignaler som med 100% sikkerhet kan kobles til Hessdalsfenomenet, men mange interessante målinger er blitt gjort som indikerer at INSPIRE-utstyret kan forvarsle fenomenet. For mer informasjon om forskningen rundt Hessdalsfenomenet vises til: http://www.itacomm.net/PH. Mysteriet i Hessdalen venter fremdeles på å bli løst, og INSPIRE-deltakerne kan være nøkkelen til å løse gåten.

Bidrag fra NITO

2005 tangenten�� Annonse

®nyttnyttNR. 2 - 2005

11. årgang

Casio lanserer i nær framtid et nytt tilskudd påstammen av grafiske lommeregnere spesieltberegnet for videregående skole. Den svart – hviteskjermen, er blitt større og nye funksjonsområderer kommet til. Den viktigste nye funksjonen erregneark. Det er mulig å importere og eksportereExcel-regneark. Eget område for elektroniskeaktiviteter er også lagt til. Matematikklærerejorden rundt er av Casio engasjert for å utvikleaktiviteter som skal legges ut på Casio sin nett-side. Herfra vil en kunne laste ned matematiskeemner til styrking av kunnskaper om ønskedeemner og egne studier.Modellen har samme tasteplassering og

samme funksjoner som de tidligere 9x50 serier.Lommeregneren er gjort om til flashminne-maskin noe som gjør at den kan opp-graderes ved kommende programendringer.Modellen har fått USB tilkopling til PC og egen port for ekstra SD-minnekort forlagring av programmer og egne e-aktiviteter.

FX-9860G SDFX-9860G SD

Regneark: eAktivitet: Nye listefunksjoner:26 kolonner fra A-Z elektroniske bøker 156 listekolonner999 linjer 999 linjer

tangenten 2005 ��Annonse

STATISTIKK OG SANNSYNLIGHET PÅ CLASSPAD 300

ClassPad 300 er en kraftig maskin som kan

utføre svært mange og kompliserte

regneoppgaver innen statistikk og

sannsynlighetsregning. I denne artikkelen

vil jeg i korte ordelag vise bruken av noen

få av funksjonene og kommandoene som

finnes på denne symbolbehandlende

lommeregneren fra Casio. Artikkelen er

ikke ment å være en brukerveiledning, men

en kilde til ideer for bruk av IKT-verktøy

innenfor emnet.

Av lektor/forsker Tor Andersen Matematikksenteret, NTNU

Histogram I en skoleklasse er det 25 elever. På en

matematikkprøve fikk elevene følgende

karakterer:

3, 5, 4, 1, 3, 4, 2, 3, 2, 6, 3, 3, 5, 3, 2, 4, 3,

1, 5, 2, 3, 4, 2, 3, 3

Det usorterte tallmaterialet med karakterer

legger vi inn i list1 slik skjermbildet i neste

spalte viser.

Vi trykker på ikonet for ”valg av graf” og

velger ”Histogram” som type.

Hstart og Hstep settes lik 1.

Diagrammet viser karakterfordelingen på

denne matematikkprøven.

Diagrammet viser tydelig at det er flest

med karakter 3. Bare én elev fikk 6, mens

to elever strøk på denne prøven.

Men hva ble gjennomsnittskarakteren på

denne matematikkprøven?

Gjennomsnitt Vi skal nå finne gjennomsnittskarakteren

på matematikkprøven. Uten bruk av

lommeregner må vi legge sammen alle

karakterene og dele på antall elever. I et

større tallmateriale kan dette være svært

arbeidsomt og tidkrevende. Ved hjelp av

ClassPad 300 finner vi gjennomsnittet ved

2005 tangenten��0 Annonse

å trykke på Calc på øverste linje. Vi velger

One-Variable med XList lik list1 og Freq

lik 1. Stat Calculation er vist på det tredje

bildet nedenfor.

Av skjermbildet nedenfor ser vi at

gjennomsnittskarakteren er 3,16.

Relativ frekvens i prosent Vi ser av både tabellen og diagrammet for

karakterfordeling at 2 av 25 elever fikk

karakteren 1. Det betyr at 2100% 8%

25=

fikk karakter 2. Dette er et eksempel på det

vi kaller ”relativ frekvens i prosent”.

Hvordan skal vi få ClassPad 300 til å regne

ut den relative frekvensen i prosent for alle

karakterene? Tallmaterialet ligger jo

allerede i list1. Først sorterer vi karakterene

i stigende orden i list1. Karakterene legger

vi i list2. Frekvensen for de ulike

karakterene fører vi inn i list3.

Så tar vi en svipptur innom Main og utfører

regneoperasjonen

list3100%

25 .

Resultatet legger vi inn i list4 ved hjelp av

tilordningssymbolet . Den relative

frekvens i prosent kommer da ut i list4.

Resultatet ser vi i list4

Vi ser at for eksempel 16 % av elevene

fikk karakteren 4.


Typetall Karakteren som forekommer hyppigst på

denne matematikkprøven, er karakter 3. Et

resultat eller en observasjon som

forekommer hyppigst, kaller vi for

typetallet i tallmaterialet. Vi bruker

kommandoen ”mode” for å finne typetallet.

List1 på figuren nedenfor inneholder

samlingen av karakterer.

Resultatet av mode(list1) havner da i

øverste celle i list2.

Median Vi studerer lønnsforholdene i en bedrift

med 17 ansatte. Sjefen har 1,2 millioner

kroner i årsinntekt. Noen få ansatte tjener

godt, mens de aller fleste har relativt lav

årsinntekt. Inntektene er lagt inn i list1 og

sortert i stigende orden.

ClassPad 300 har beregnet

gjennomsnittsinntekten til 402 588 kroner.

Men dette kan gi et skjevt inntrykk av

lønnsforholdene i denne bedriften. Det er

klart at sjefen og et par andre ansatte drar

opp gjennomsnittslønnen. I slike tilfeller

gir medianen et bedre bilde av forholdene.

Medianen i et tallmateriale er verdien i

midten når materialet er sortert. Arbeideren

som havner på 9. plass har 8 kolleger som

tjener mindre enn seg og 8 kolleger som

tjener mer. Vi ser av den sorterte tabellen

at denne arbeideren tjener 280 000 kroner.

Derfor er 280 000 kroner medianlønnen i

denne bedriften. Når vi ruller skjermbildet i

Stat Calculation nedover, ser vi at Med =

280 000. Vi ser også at Mode = 210 000.

Det er nemlig to arbeidere som tjener

210 000. De øvrige har forskjellig inntekt.

Derfor er 210 000 typetallet i dette

tallmaterialet.

Men hva skjer dersom en arbeider slutter?

Da har vi en liste med 16 lønnsmottakere


og det er ingen som ligger akkurat på

midten. Medianen blir i dette tilfellet

gjennomsnittet av lønnen til de to som

ligger på 8. og 9. plass. I list1 har

arbeideren på 15.plass sluttet i bedriften.

Da ser vi at arbeiderne på 8. og 9. plass

tjener henholdsvis 265 000 kroner og

280 000 kroner. Gjennomsnittet av disse to

inntektene er 272 500 kroner. Dette finner

vi ved å lese av Med på ClassPad 300.

Dersom antall observasjoner N er et partall,

er medianen gjennomsnittet av

observasjonsverdiene til observasjon

nummer N/2 og nummer N/2 + 1.

Vi ser også at Stat Calculation finner

laveste og høyeste inntekt. Tallene blir

presentert som henholdsvis

minX = 180 000 og maxX = 1 200 000.

Nå har vi sett hvordan vi ved hjelp av

ClassPad 300 kan finne gjennomsnitt,

typetall og median. Siden disse tre

måleverdiene sier noe om hvor vi finner

midten av materialet, kaller vi disse

verdiene for sentralmål.

ClassPad 300 kan også finne

spredningsmål som variasjonsbredde,

kvartiler og standardavvik.

Sannsynlighet i en normalfordeling Vi kan la ClassPad 300 ”kaste mynt” for

oss 50 ganger. Mynt setter vi til 1 og krone

til 2. Resultatet av første runde med 50 kast

legger vi inn i list1. Etter en sortering i for

eksempel stigende orden, er det lett å få

rede på antall mynt og krone. Vi kan ta en

ny runde med 50 kast. Denne gangen

legger resultatene list2. Slik kan vi fortsette

med å legge i list3, list4 osv.

Etter sortering får vi

I første runde fikk ClassPad 300 mynt 30

ganger, i andre runde mynt 24 ganger og i

tredje runde mynt 20 ganger. Slik kan vi

eksperimentere med ClassPad 300 for å

vekke interessen for spørsmål av typen:


1. Hva er sannsynligheten for at vi får

krone akkurat 15 ganger når vi kaster

mynten 50 ganger?

2. Eller – hva er sannsynligheten for å få

krone 20 ganger eller færre?

Vi lar X være antall ganger vi får krone.

Sannsynlighetsfordelingen til X blir en

binomisk fordeling. Sannsynligheten for

suksess er nøyaktig 0,5p = . Enten får vi

krone eller mynt i et kast. Sannsynligheten

for det ene utfallet er like stor som

sannsynligheten for det andre utfallet. La

oss se på sannsynligheten for få krone x

ganger.

Sannsynlighet:

50 5050 50

( ) 0,5 0,5 0,5x xP X x

x x= = =

Spørsmål 1 kan vi besvare ved å sette

direkte inn i formelen. På ClassPad 300 får

vi da

Sannsynligheten for å få 15 krone i 50 kast

er altså 0,001999 0,2% . ClassPad 300

har en egen kommando for den såkalte

punktsannsynligheten i et binomisk forsøk,

nemlig BinomialPD. Vi får

Vi får bekreftet at sannsynligheten for å få

15 krone i 50 kast er altså

0,001999 0,2% .

Før vi besvarer spørsmål 2 ser vi på

sannsynlighetsfordelingen til X.

Her har vi utfallsrommet inn i list1 og

punktsannsynlighetene for å få mynt fra

null til 50 ganger inn i list2.

På figuren nedenfor har vi ved hjelp av

ClassPad 300 framstilt fordelingen i et

histogram.

Spørsmål 2 kan vi besvare ved å summere

punktsannsynlighetene fra null til og med

20.

Da lister vi først ut sannsynlighetene og

summerer alle elementene i denne listen.


Listen legges enkelt inn bak sum-

kommandoen ved hjelp av kopiering og

liming.

Sannsynligheten for å få krone 20 ganger

eller færre er altså:

0,101 10,1%= .

Dersom vi ikke er interessert i

sannsynlighetsfordelingen, men ønsker kun

å få direkte svar på spørsmål av denne

kategorien, kan vi enkelt benytte

kommandoen BinomialCD.

BinomialCD bekrefter at sannsynligheten

for å få krone 20 ganger eller færre er

0,101 10,1%= .

Dersom vi ønsker å få svar på spørsmål av

typen ”hva er sannsynligheten for å få

mynt flere ganger enn 20, men færre

ganger enn 40”, er det best å benytte

framgangsmåten med å summere

punktsannsynligheter.

Terningkast og rekrutthøyde La oss avslutte med et par typiske

problemstillinger. Vi kaster en terning 72

ganger og lar X være antall seksere.

Terningen er ikke trikset med og vi kan

anta at sannsynligheten for å få seks i et

kast er 1

6

. Nå lurer vi på hvor stor

sannsynlighet det er for å få seks mellom

10 og 14 ganger. Altså er vi ute etter

(10 14)P X . Da får vi:

Vi ser av resultatet på ClassPad 300 at

(10 14) 0,57 57%P X = = .

Et typisk eksempel på en normalfordeling

er høyden til rekrutter. Blant norske

rekrutter er forventningsverdien: 180cm=

og standardavviket:

7cm= .

Hvordan kan vi ved hjelp av ClassPad 300

finne hvor stor del av norske rekrutter som

er lavere enn 190 cm?


Vi leser av skjermen at 92,3 % av norske

rekrutter er lavere enn 190 cm.

Men hvordan kan vi finne ut hvor stor del

av rekruttene som er høyere enn 170 cm?

Når vi ved hjelp av NormCD har funnet

hvor mange rekrutter som er lavere enn

170 cm, kan vi finne hvor stor del av

rekruttene som er høyere enn 170 cm ved å regne ut 1 ( 170)P X < .

I stedet for ved hjelp av ”DispStat” henter

vi nå fram sannsynligheten ved hjelp av

”prob”. Da får vi:

Vi ser at omtrent 92,4 % av norske

rekrutter er høyere enn 170 cm.

Det kan være av interesse å finne ut hvor

stor del av rekruttene som befinner seg

innenfor intervallet:

[ , ]+ ,

altså innenfor ett standardavvik til høyre og

venstre for forventningsverdien på 180 cm.

Vi ser at omtrent 68,3 % av rekruttene

ligger innenfor ett standardavvik på begge

sider av forventningsverdien.

Det betyr at 68.3 % av rekruttene har en

høyde mellom 173 cm og 187 cm.

Vi kan også benytte normal-

fordelingsfunksjonen f gitt ved:

2

2

( )

21

( ) e2

x x

f x =

til å finne sannsynligheter. La oss se

hvordan vi finner sannsynligheten for at en

tilfeldig valgt rekrutt har en høyde som

avviker ett standardavvik fra

forventningsverdien.

Vi integrerer normalfordelingsfunksjonen

fra 173 til 187 og ser at vi får samme svar

som ovenfor.

Det er så mye mer, men det får vi komme

tilbake til ved en senere anledning i

Casionytt.


SANNSYNLIGHETS-REGNING PÅ CASIOS FX-9X50 SERIE.

Av lektor Bjørn Bjørneng

Dokka videregående skole

Det er mange muligheter på Casios

kalkulator i sannsynlighetsregning.

Gjennom noen eksempler vil jeg vise noen

av de.

Enkel kalkulasjon i STAT MENY.

Eksempel 1. Behandling av en måleserie for å finne

forventningsverdi, standardavvik og

empirisk standardavvik.

Måleserien :12,14,13,11,15,16,11,12,14,13, 13,

16,10,12 legges på LIST 1 og sorteres etter

stigende rekkefølge. Etter SET utfører vi

CALC 1 VAR:

Dette gir forventningsverdi 13,

standardavvik 1,77 og empirisk

standardavvik 1,84.

Det kan være greit å se at dette stemmer og

vi fortsetter i STAT –mode.

Vi plasserer avvikene fra forventningsverdi

i List 2 og kvadratet av avvikene i LIST 3

Vi finner først variansen ved å bestemme

gjennomsnittet av LIST 3 og så bestemmer

vi standardavviket. Deretter bestemmer vi

det empirisk standardavviket .


Som selvsagt stemmer med hva vi fant ved

hjelp av CALC av 1VAR.

Eksempel 2 : Binomisk forsøk. Vi spør 30 personer om de liker pølser med

en sannsynlighet for ja på 0,6.

X er antall som svarer ja og da har vi.

p(X = n) = 0,6 n .

0,4 (30-n) .

n

30

Metode 1 er i STATMENY.

Vi plasser n i LIST 1 og

p(X = n) i LIST 2

På List 2 plasserer vi:

0,6 LIST1 .

0,4 (30-LIST1) .

30 C LIST1

Nå kan vi både lage graf og gjøre en

kalkulasjon.

Vi ser her at forventningsverdien er

p.n = 0,6

.30 = 18 og at

standardavviket er gitt ved

4,06,030)1( =ppn =

2,683.

Vi legger også merke til at grafen blir

ganske lik grafen til en normalfordeling.


Metode 2: REKURSJON.

I menyvalget rekursjon kan vi også

kontrollere formel for forventningsverdi og

standardavvik for binomisk fordeling med

sannsynlighet 0,6 for et utvalg på 30.

Vi velger RECUR på menyen

og type an ,

)30(4,06,030

nn

n

Vi får med oss summefunksjonen og stiller

RANG fra 0 til 20.

Tabellen viser sum sannsynlighet = 1 og at

18 har størst sannsynlighet.

Formelen utvides slik at vi multipliserer

med n:

Rekursjonsformel:

nn

nn )30(4,06,030

som summeres til

forventningsverdien 18.

Standardavviket kan også sjekkes :

2)30( )18(4,06,030

nn

nn

Var = 30 0,6 0,4 7,2=

og standardavvik = 2,68

NORMALFORDELING:Tetthetsfunksjonen til en normalfordeling

bør ha følgende egenskaper.

En samling rundt en middelverdi og at den

faller raskt mot null i en viss avstand fra

middelverdien. Vi starter med å velge 0

som middelverdi og ser på funksjonen :

Y1 = 2x

e

som ser lovende ut.

Vi integrerer Y1 fra x = -10 til + 10 i

praksis fra ± .

En tetthetsfunksjon kan da være :

Y1 = 21

)( xexf =


Forventningsverdien er selvsagt 0 og

variansen finner vi ved å integrere f(x).x

2

Variansen er 0,5 med standardavvik 2

2

Dersom standardavviket er og

middelverdien får vi følgende

tetthetsfunksjon :

f(x) = 2

2

2

)(

2

1x

e

Eksempel: En normalfordeling med

middelverdi 100 og standardavvik 8.

Y2 = 128

)100( 2

28

1x

e

og vi integrerer Y2(x-100)2 mellom 0 og

200 og får :

Som gir varians på 64 og standardavvik 8.

Funksjonene P(t), Q(t), R(t) og t(x). OPTN ,F6, PROB og F6.

t(x) er avvik fra middelverdi

standardavvik

Vi må først ha gjort en kalkulasjon i

statistikk for å bruke denne funksjonen.

Vi har vårt binomiske eksempel med

middelverdi 18 og standardavvik 2,68.

t(20) = 0,745 forteller at 20 avviker med

0,745 standardavvik fra 18.

P(t) gir sannsynligheten for å få en verdi mindre enn + t .

Eksempel: P(1,5)

For å bestemme

P ( +<< X )

tar vi P(1) - P(- 1)

Q(t) gir sannsynligheten for å treffe

mellom + tog

Eksempel: Q(-1)

R(t) gir ( )P X t> +

Eksempel: R(1,5) som må være 1- P(1,5)

2005 tangenten��0 Annonse

Jeg synes det er viktig at elevene arbeider

med disse funksjonene før vi tar de

enkleste måtene i bruk som vi finner i

statisikkmode.

DIST i STAT-mode.

Vi trykker F5 og F5 (BINM)

F1 (Bpd) gir oss to muligheter.

Enten lage liste eller regne ut

sannsynligheten for et resultat.

Eksempel: Hva er sannsynligheten for at

18 svarer ja i vår binomiske undersøkelse:

Vi ser at dette stemmer.

Velger vi list må vi huske på at verdi nr. 1

er 0.

Vi ser at verdi nr. 19 svarer til ja fra 18

personer.

Valget Bcd summerer sannsynlighetene.

Eksempel: Hva er sannsynligheten for at

inntil 19 svarer ja?

Dette gir at sannsynligheten for at flere enn

18 svarer ja er 0,431.

Bruker vi list må vi igjen huske på at verdi

nr. 1 svarer til X = 0.


Tilsvarende for normalfordeling.

Her har vi tre valg.

Npd regner ut sannsynligheten for å få en

bestemt verdi.

Eksempel: Vårt binomiske forsøk:

68,218 == og

Vi finner sannsynligheten for å få 17 som

svarer ja.

Vi ser her at med n = 30 er det liten

forskjell på binomisk og normalfordeling.

Ncd regner ut sannsynligheten for at X

ligger mellom to verdier.

Eksempel: 8155 == og

Hva er sannsynligheten for en verdi

mellom 150 og 170

Enklere kan det ikke bli.

Som kontroll beregner vi P(15/8) – P(-5/8).

Dersom en skal regne ut sannsynligheten

for X > 170, bør øverste grense være mer

enn 10 standardavvik over gjennomsnittet.

Som kontroll beregner vi R(15/8).

InvN

Oppgave: Vi ønsker å bestemme en

grense som for eksempel 90 % av alle

verdiene er mindre enn.

svarer til

X = 18


La oss si at 90 % av alle verdiene er mindre

enn 162,25.

For å bestemme et 80 % konfidens-

intervall må vi da i tillegg se på verdier

som ligger 10% under.

Dette gir et 80% konfidensintervall

mellom 144,7 og 162,3.

Egentlig betyr dette at 80 % av alle

målinger ligger mellom disse verdiene.

I noen oppgaver kan det lønne seg å velge

10 == og

Vi får vite at 95 % av alle verdiene skal

svare til et gitt avvik fra middelverdien;

for eksempel at avviket skal være 5.

Dette betyr at 56448,1 =

som gir = 3,04

I denne artikkelen har jeg tatt for meg

statistikkfunksjonene på Casios grafiske

kalkulatorer. Noen av funksjonene er

nyttige ved innlæring, og elevene finner

fort ut hva som er letteste veg når de skal

løse oppgavene i statistikk.

PS: Jeg synes det er forunderlig hvordan tallene

og e dukker opp i denne sammenhengen.

Jeg husker fortsatt hvor elegant fysikeren

Erik Eriksen viste at I=2

x

e dx = ;

Vi finner at I2 =

2 2 2 2

2 2

( )

0 0

2 2

x y x y

r r t

e dx e dy e dxdy

e rdr e rdr e dt

+= =

= = =

Hilsen Bjørn Bjørneng.


CASIO nytt blir utgitt av:

CASINUS AS

Pb. 54 Nyborg - 5871 BergenTlf: 55 19 79 90 - Fax 55 19 79 91Casio hjemmeside: www.casinus.no

I redaksjonen:Kjell Skajaa, [email protected] Andersen, [email protected]ørn L. Bjørneng, [email protected]

Lærertilbud:….. stk ClassPad 300 á kr 1003.-

….. stk Classpad manager

skolelisens á kr 3113.-

….. stk Algebra FX-2.0 á kr 903.-

….. stk FX-1.0 á kr 599.-

….. stk CFX-9850GC Plus á kr 699.-

….. stk FX-9860G SD á kr 895.-

….. stk FX-9750G Plus á kr 554.-

….. stk FX-82ES á kr 159.-

….. stk FX-115MS á kr 233.-

….. stk "Shapes and numbers" á kr 98.-

….. stk Opplæringshefte á kr 45.-

….. stk SB-87

overføringskabel PC á kr 160.-

….. stk SB-62 overførings-

kabel kalkulator á kr 96.-

Alle priser inkl. mva.

Forhandler

Skolens navn: Kontaktperson:

Telefon: E-post:

Adresse:

Postnr.: Sted:

Trenger skolen overheadversjon

av den grafiske lommeregneren, er det bare å ta

kontakt direkte med oss på telefon. Spesielt

gunstige skolepriser.

Faks eller send inn din bestilling til:

Casinus AS – Pb.54 Nyborg – 5871 Bergen

Tlf. 55 19 79 90 – Faks. 55197991

Jeg ønsker å lese neste Casionytt på min

datamaskin.

Kurs i bruk av lommeregnere tar vi som en

utfordring.

KURSPAKKER Vi tar imot utfordringer . . . .

Casio sider på internettwww.casinus.no Norsk importør Casinus sin hjemmeside med linker til andre casiosider

www.casio.no Internasjonal link til Casio sin offisielle hjemmeside.

www.casio.edu.shriro.com.au Australsk hjemme side med mange ulike programmer for grafiske lommeregnere

www.casio.co.uk Engelsk Casio hjemmeside

http://classpad.net En hjemmeside for classpadbrukere og for den som vil vite litt mer om Classpad 300


I de følgende utgavene av TANGENTEN finner du stoff som passer i din klasse.

− Christoph Kirfel: Areal og omkrets 4 (92) og 1 (93)

− Christoph Kirfel: Pytagoras mølle 3/4 (93)

− Christoph Kirfel, Ole Einar Torkildsen: Tallkuriositeter I og II og III 1, 2 og 4 (94)

− Christoph Kirfel: Eksperimenter med periferivinkler 1 (94)

− Trygve Breiteig: Utforskning, tal og talmønster 2 (94)

− Jon Henjum: Matematikk og takvinklar 3 (94)

− Kjartan Tvete: Om p 1 (96)

− Leserbrev: Om David, Abigail og en revesaks 2 (97)

− Arne Kåre Topphol: Monte Carlo simulering 2 (97) Ligger også på Tangentens sider på nettet www.caspar.no/Tangenten/ta��/MCSIMUL.pdf

− Trygve Breiteig: Den gamle algoritmen for kvadratrot, 4 (97)

− Olav Fjæra: Kjærlighet uten strømper 2 (98)

− Eystein Raude: Matematisk modellering og bruk av mate-matikk i videregående skole 1 (99)

− Frode Rønning: Fra soloppgang til solnedgang 4 (99)

− Memund Dahltveit og Jon A. Ringseth: Matematikkprosjekt i videregående skole, 4 (99)

− Kjartan Tvete: Solens gang 1 og 2 (00)

− Nils Voje Johansen: Caspar Wessel − Norges første matematiker 2 (00)

− Arild Stubhaug: Sophus Lie 2 (00)

− Harald Totland: Tidevann 3 (00)

− Memund Dahltveit og Jon A. Ringseth: Laborativ matematikk 3 (02)

− Frode Rønning: Å bruke sola til å måle tid og sted 4 (02)

− Aslak Bakke Buan, Ole Enge: Kryptografi i skolen 3 og 4 (04)

− Anne Bruvold: Lag et solur som virker 4 (04)

− Dag Gulaker, Kjartan Tvete: Hvor krum er Jorden? 4 (04)

− Leif Bjørn Skorpen: Å uttrykke musikk ved hjelp av tal 4 (04)

− Sindre Haugstad Torp: Eksponentielle tallfølger og geometriske figurer 1 (05)

− Reidar Mosvold: Takvinkler til besvær? 1 (05)

Lesetips


Tangenten har trykt en rekke artikler under tittelen ”Matematikere på frimerker”. Disse er skrevet av Gunnar Gjone:

− Adam Ries 2 (91)− Srinivasa Ramanujan 3 (91)− Jean D’Alembert, Nyttige geometriske

setninger 4 (91)− Sophia Kowaleski 1 (92)− Benjamin Banneker 2 (92)− Evariste Galois 3 (92)− Arkimedes 4 (92)− Leonard Euler 1 (92)− Carl Friedrich Gauss 2 (92)− Blaise Pascal 3 (92)− Pi 3 (94)− Komplekse tall 3 (94)− Kvaternioner 1 (95)− Meterkonvensjonen 3 (95)− Pave Sylvester den annen 1 (96)− Tycho Brahe 2 (96)− De store talls lov 2 (97)− Koordinatgeometri (Rene Descartes) 3 (97)− Lengdegrad 4 (97)− Simon Stevin (1548−1620) og desimalene

2 (98)− De internasjonale matematikerkongressene

1 (99)− Pytagoras fra Samos 3 (99)− Hva er tall? 1 (00)− Uendelige mengder 3 (00)− Möbius-båndet 4 (01)− Enheter og omgjøring mellom enheter

4 (02)

Tangenten har også trykt en rekke artikler om matematikk på nettet og IKT i klasserommet:

− Anne Brit Fuglestad: Internettressurser; Grafplotting 1 (00)

− Internettressurser – Dynamisk geometri 3 (00)

− Internettressurser: Dataspill i matematikk 3 (01)

− Simulering på regneark 4 (01)− Internettressurser: måling og måleenheter

4 (02)− Elektroniske arbeidsark i Excel 1 (03)− Elektroniske arbeidsark i Cabri 2 (05)

− Per G. Østerlie: Rapport fra IKT-forsøk med matematikk i videregående skole 1 (04)

− Ronald Bradal: Funksjoner i Excel 2 (05)

− Øystein Nordvik: Eksperimenter med parabler 2 (05)

− Tor Jan Aarstad: Tekniske hjelpemidler og kunnskapsnivå i matematikk 2 (05)


Christoph Kirfel:

Eksperimentering med matematikk (1 og 2)Med utgangspunkt i konkrete eksperimenter (balanse, volum, ulike mønstre) får leseren i disse bøkene møte nye og spennende matematiske emner. Her er stoff for alle; samtidig er det ikke nødvendig at leserne skal forstå alt. Matematikk blir spennende, en ser nye sammenhenger og stiller nye spørsmål. Samtidig som bøkene er matematikkfaglige er de også bøker om metode. De konkretiserer en undervisningsmetode der eksperimentet står sentralt. Bøkene er aktuelle i videregående skole.

Begge bøkene er gjennomillustrert av Grethe Nina Hestholm.

Bøkene kan bestilles fra Caspar Forlag:

Caspar Forlag ASPostboks �� Landås�� Bergen

[email protected]�� 0 / fax ��

innhold - caspar

Documents