ingeniero henry gonzalez - casd manuela beltran 1
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LÍMITES
Ingeniero Henry Gonzalez - CASD Manuela Beltran 1
¿Qué te dice esta Frase?
Ingeniero Henry Gonzalez - CASD Manuela Beltran 2
“No hay rama de la matemática, por
abstracta que sea, que no pueda
aplicarse algún día a los fenómenos del
mundo real.”
Nikolay
Lobachevsky (1792 – 1856)
Cuando hablamos de límites, en verdad nos planteamos una pregunta: ¿Hacia que punto, o valor numérico se acercan los valores de una función, cuando nos acercamos hacia un determinado valor numérico del dominio de la misma?Tenemos entonces que desplazarnos a través de la gráfica por valores que se aproximen al punto en mención, tanto por valores que vienen desde la izquierda de él, como de valores que vienen desde la derecha hacia él.
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El valor que encontramos al recorrer la gráfica de la función a través de valores menores que el punto del dominio dado, es decir, que vienen desde la izquierda se denomina «límite lateral de f(x) cuando x tiende al valor a por la izquierda» y se denota por:
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¿Qué ocurre con f(x) cerca de
x=2, por la izquierda?
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El valor que encontramos al recorrer la gráfica de la función a través de valores mayores que el punto del dominio dado, es decir, que vienen desde la derecha se denomina «límite lateral de f(x) cuando x tiende al valor a por la derecha» y se denota por:
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¿Qué ocurre con f(x) cerca de
x=2, por la derecha?
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Definición de límite
El valor numérico único hallado, cuando «x» tiende hacia el valor numérico «a» del dominio, tanto por la izquierda como por la derecha, se denomina: limite de la función f(x) cuando «x» tiende al valor «a»
Se denota por:
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Existencia del límite
El límite de una función f(x) cuando «x» tiende al valor numérico «a» del dominio, existe, y es un único valor numérico, si y solo si, se cumple:
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Propiedades de los límites g(x)limf(x)limg(x)f(x)lim
axaxax
g(x)lim.f(x)limf(x).g(x)limaxaxax
g(x)lim/f(x)limf(x)/g(x)limaxaxax
g(x)limKK.g(x)limaxax
n
ax
n
axf(x)limf(x)lim
1
2
3
4
5
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Pasos para calcular límites
Evaluar para saber si se trata de un límite directo o estamos en presencia de una forma indeterminada.
Intentar desaparecer la indeterminación a través de operaciones algebraicas: factorización, productos notables, racionalización, sustitución de alguna identidad trigonométrica, etc.
Indeterminaciones: 0/0 , / , 0· , 1, 00, 0 , -
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Evaluar los siguientes límites
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x 0
x 4 2
xlim
x 4 2 x 4 2
x x 4 2
x 4 4
x x 4 2
x 4 4
x x 4 2
x
x x 4 2 1
x 4 2
x 0 x 0
x 4 2 1
x x 4 2lim lim
1
0 4 2 2
1
2 x 0
1
x 4 2lim4
1
Ejemplo 1:
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Ejemplo 2:
x 0
1 x 1 x
xlim
1 x 1 x 1 x 1 x
x 1 x 1 x
1 x 1 x
x 1 x 1 x
1 x 1
x
x 1 x 1 x
2 x
x 1 x 1 x
2
1 x 1 x
x 0 x 0
1 x 1 x 2
x 1 x 1 xlim lim
x 0
2
1 x 1 xlim
2
1 0 1 0 1
2
1 2
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Ejemplo 3:
2
3 2x 1
1/3x x 2
x 4x 3xlim
2
3
1/3x x 1
x x x 1
2 x x 1
3 x x x 1
1/3
2
3
1/3x
x x
2
3
2
3 2x 1 x 1
1/31/3x x 2 x
x 4x 3x x xlim lim
2
3
x 1
1/3x
x xlim 2
3
1/31
1 13
2
1/33
3
2
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Ejemplo 4:
2x 2
x 2lim
4 x
x 2
2 x 2 x 2
x 24 x
2 x2 x 2 x
2 x
2 x 2 x 12 x
1
x 2 x 2lim lim2
x 24 x 2 x
1
x 2
lim 2 x 1
2 2
1
4
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Ejemplo 5:
2 2x a
x b a blim , a > b
x a
x b a b x b a bx a x a x b a b
x b a +b
x a x a x b a b
x a
x a x a x b a b
1
x a x b a b
1
x a x alim lim2 2
x b a bx a x a x b a b
1
x alim
x a x b a b 1
a a a b a b
1 a a b
1
a ba a b a b
a ba a b
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Ejemplo 6:
2
x 4
4x xlim
2 x
24x x2 x
x 4 x 2 x2 x 2 x
x 4 x
2 x
4 x x 2 x
x 4 x 4lim lim
24x x x 2 x
2 x
x 4lim x 2 x 4 2 4 16
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Ejemplo 7:
2
3x
x + x + 2lim
x + x +11 2
1 1
22
32 3
x 1 + +x x
x 1 + +x x
2x1 2
2
3
1 + +x x
x1 1
2 31 + +
x x
1 2
1 1
2
2 3
1 + +x x
x 1 + +x x
1 2
1 1
x xlim lim
2 2
3
2 3
1 + +x + x + 2 x x x + x +1 x 1 + +
x x
1 2
1 1
xlim
2
2 3
1 + +x x
x 1 + +x x
1 2
1 1
2
2 3
1 + +
1 + +
0 0
0 0
1 + +1 + +
1
0
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Ejemplo 8:
4 2
4 2x
2x 3x + 6lim
3x 5x + 3
3 6
5 3
42 4
42 4
x 2 + +x x
x 3 +x x
3 6
5 3
4 2 2 4
4 2
2 4
2 + +2x 3x + 6 x x 3x 5x + 3 3 +
x xx xlim lim
0 0
0 0
2 + +3 +
2
3
4x3 6
2 4
4
2 + +x x
x5 3
2 43 +x x
3 6
5 3
2 4
2 4
2 + +x x
3 +x x
3 6
5 3
2 4
2 4
2 + +x x
3 +x x
xlim
3 6
5 3
2 4
2 4
2 + +
3 +xlim
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21
Ejemplo 9:
5 3
2x
4x 3x +1lim
x x +1
3 1
1 1
52 5
22
x 4 + +x x
x 1 +x x
3 1
1 1
35 3 2 5
2
2
x 4 + +4x 3x +1 x x
x x +1 1 +x x
x xlim lim
5x3 1
2 5
2
4 + +x x
x1 1
21 +x x
3 1
1 1
32 5
2
x 4 + +x x
1 +x x
3 1
1 1
32 5
2
x 4 + +x x
1 +x x
xlim
3 1
1 1
32 5
2
4 + +=
1 +
0 0
0 0
3 4 + +=
1 +3= =
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22
Ejemplo 10:
3
2
x
2x +1lim
x 5
3 3
22
12 +
x2x +1
5x 5x
x xlim lim
3
2
12 +
= 5
3
22
1x 2 +
xx 5 3
2
1x 2 +
xx 5
3
2
x 12 +
x xx 5x x
xx
3
2
12 +
xx
x 5
x
3
2
12 +
x5x
3
2
12 +
x
5x
xlim 0
3 0
2 +=
2
3=
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Conclusión:
x
f(x)lim =
g(x)Dado:
Si [f(x)]º < [g(x)]º, entonces:
x
f(x)lim = 0
g(x)
Si [f(x)]º > [g(x)]º, entonces:
x
f(x)lim =
g(x)
Si [f(x)]º = [g(x)]º, entonces:
x
f(x) Coeficiente del término de mayor grado de f(x)lim =
g(x) Coeficiente del término de mayor grado de g(x)
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24
Límite de una sucesión
ex1limlim )( x1
ax
n
xn
11
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25
Ejemplo 11: n
n+311+lim n
n
n 31 11+ 1+lim n n
n n
n 31 11+ 1+lim limn n
n
311+e lim 31+0e e
n
n+311+lim n
e
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26
Ejemplo 12: n
2n11+lim n
2
n
n11+lim n n
2n11+lim n
2
n
n1lim 1+n 2e
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27
Ejemplo 13:
n
n 111+lim n+2
2
n
n+2 111+lim n+23
n
n+211+lim n+23
n
n+21 11+ 1+lim n+2 n+2
3
n
n+211+n+2lim11+n+2
3
n
n
n+21lim 1+n+211+lim n+2
3
e11+ +2
3
e11+ 30
e
1+
e
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28
Límites trigonométricos
1x
xSenlim
0x
1x Sen
xlim
0x
1x
xTglim
0x
1xTg
xlim
0x
0xSenlim0x
1xCos lim0x
1x
xCos1lim
-0x
1x
1xCoslim
-0x
5
6
7
8
1
2
3
4
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29
x 0
Sen 3xlim
2x
Ejemplo 14:
x 0
Sen 3xlim
2x
x 0
Sen 3l m
3 x3
i2x
3
2
x 0
Sen 3xlim
3x3
2 x 0
Sen 3xlim
3x
31
2
3
2
1
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30
Ejemplo 15:
x 0
Sen x 1 Cos xlim
x Sen 2x
x 0
Sen x 1 Cos xlim
x Sen 2x 2
x 0
Sen x 1 Cos x 1 Cos xlim
x Sen x Cos x 1 Cos x
2
2
x 0
Sen x 1 xCoslimx Sen x Cos x 1 Cos x
x 0
Sen x Sen xlim
2x Sen x Cos x 1 Cos x 2 x 0
Sen xlim
x Cos x 1 Cos x
1 1
2 x 0
Sen xlim
x Cos x 1 Cos x
1 1
2 x 0 x 0
Sen xlim lim
x Cos x 1 Cos x
1 Cos 0º=1
1
2
22 2
24
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31
Ejemplo 16:
x 0
Tg x Sen xlim
1 Cos x
Tg x Sen x1 Cos x
Sen xSen x
Cos x1 Cos x
1
Sen x Sen x Cos xCos x
1 Cos x
1
1
Sen x Cos xCos x
1 Cos x
1
Sen x Cos xCos x 1 Cos x
1Sen x Cos x
Cos x 1 Cos x
Sen xCos x
x 0 x 0
Tg x Sen x Sen xlim lim
1 Cos x Cos x
x 0
x 0
limSen x
limCos xx 0
Sen xlim
Cos x
0
1 0
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32
Ejemplo 17:
π
x4
Tg x 1lim
πx
4
Tg x 1π
x4
πTg x Tg
4π
x4
πSenSenx 4
πCos x Cos4
πx
4
π πSenx Cos Sen Cos x
4 4π
Cos x Cos4
πx
4
π πSenx Cos Sen Cos x
4 4π π
x Cos x Cos4 4
πSen x
4π π
x Cos x Cos4 4
1
πSen x
4ππ Cos x Cosx44
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33
Ejemplo 17:
1
π πx x
4 4
πSen x
Tg x 1 4lim limπ ππx Cos x Cosx4 44
1
πx
4
πSen x
4limππ Cos x Cosx44
1
π πx x
4 4
πSen x
4lim limππ Cos x Cosx44
11
π πCos Cos
4 4
11
2 2
2 2
2
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34
Importante:
π
x h4
; π
Si x h4
π
Si x4
h 0
1
π h 0x4
πSen x
Sen h4lim limπ hx4
Por cambio de variable, tenemos:
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35
A partir de la gráfica . . . , ¿en qué valor de a, se cumple:
)(lim xfax
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36
Ejemplo 18:
3xsi,1x1/
3 xsi2,xf(x)
2
30,5
11
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37
Ejemplo 18:
3xsi,1x1/
3 xsi2,xf(x)dondef(x);
2
3xlim
3
lim ( ) 9x
f x
3
lim ( ) 0,5x
f x
(3) 11f
limite no existe y además es discontinua
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38
-4
-1
1
2
0x1,x
0x4,2xf(x)f(x);lim
0x
0
lim ( ) 1x
f x
0
lim ( ) 4x
f x
(0) 4f
limite no existe y además es discontinua
Ejemplo 19:
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39
( ) 0AN
Y N NB N
Ejemplo 20:
donde A y B son constantes positivas. ¿Qué le sucede a la cosecha cuando el nivel de nitrógeno se incrementa indefinidamente?
Si se siembra cierto cultivo en una tierra donde el nivel de nitrógeno es N, entonces el volumen de la cosecha Y puede modelarse con la función de Michaelis – Menten:
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40
El efecto de reducción del dolor de una droga puede medirse empleando la función:
2
2
x100P(x) =+0,5x+0,03x
donde p(x) es el porcentaje de alivio del dolor que se espera, cuando seutilicen x unidades de droga.¿Qué le sucede a p(x) cuando x∞?
Ejemplo 21:
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41
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42
Si f(x)= x3,calcular:
h 0
f(x +h) f(x)lim
h
3 3
h 0
(x +h) xlimh
. ..3 2 2 3 3
h 0
+ + -3 3xx x h h +h xlimh
3
h 0
xlim. ..2 2 3 3+ + -3 3xx h h +h x
h
.
h 0
hlim
. . .2 2+3 3xx h+hh
. . .2 2
h 0 h 0
f(x +h) f(x)lim lim +3 3xx h+h
h
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43
. . .2 2
h 0lim +3 3xx h+h .. . 22 + (0)3 3x +0x . 23x
Lo que se oye se olvida,
lo que se ve se recuerda,
lo que se hace se aprende.