ing. yacimientos ii - mod iii ecuaciones de flujo de fluidos
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Ingeniería de Yacimientos II - 2009-II
Modulo IIIFUNDAMENTOS DEL FLUJO DE FLUIDOS EN MEDIO POROSO
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Dependiendo de la variación en volumen con presión (compresibilidad isotérmica), los fluidos de yacimientos se clasifican en tres grupos:
TIPOS DE FLUIDOS
- Fluidos Incompresibles: Para estos se cumple que no hay cambio en elvolumen con la presión. Ej. Yacimientos de petróleo con muy baja Rs
- Fluidos Ligeramente Compresibles: Pequeños cambios en volumen congrandes cambios en presión (c es pequeña). Ej: Petróleo negro y aguaentran en esta clasificación
Si c es pequeña, se puede aproximar a
, quedando
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TIPOS DE FLUIDOS (Cont.)- Fluidos Compresibles: La variación en volumen con cambios de presión esmuy grande. Ej. Gases.
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REGIMENES DE FLUJOExisten tres tipos de regimenes de flujo:
- Flujo de Estado Estable: En este caso la presión del yacimiento, encualquier punto, se mantiene constante en el tiempo. Matemáticamente seexpresa asi:
- Flujo de Estado No Estable: Es el regimen de flujo en el cual la variación dela presión con el tiempo es una función tanto de la posición en elyacimiento, como del tiempo. Es llamado tambien Flujo Transiente
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REGIMENES DE FLUJO (Cont.)Flujo de Estado Pseudo-Estable: En este caso la presión del yacimiento declinalinealmente con el tiempo, para cualquier posición dentro del yacimiento.También es denominado Flujo de Estado Semi-estable. Matemáticamente seexpresa asi:
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REGIMENES DE FLUJO (Cont.)Comportamiento de la Presión dependiendo del Regimen de Flujo
Estado No Estable
Estado Estable
Estado Pseudo-Estable
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ECUACIONES DE FLUJO DE FLUIDOSDependiendo del tipo de fluido y el regimen de flujo, las ecuaciones quegobiernan el movimiento de fluidos en el medio poroso serán diferentes. Sinembargo, la mayor parte de ellas están basadas en la Ley de Darcy, combinadacon ecuaciones de estado y de conservación de la masa
En el caso de flujo radial y horizontal, el gradiente de presión es positivo y laecuación de Darcy queda asi:
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ECUACIONES DE FLUJO DE FLUIDOS
)/rln(rµ Pw)7.082hk(PeQ
we
Q en barriles por día (Bls/dia)
h en pies
Pe , Pw Presión en los límites (lpca)
re , rw Radios externo e interno,
en unidades consistentes
Flujo de Estado Estable:
Para flujo radial, Fluido Incompresible
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ECUACIONES DE FLUJO DE FLUIDOSFlujo de Estado Estable:
Craft y Hawkins establecieron que la presión promedio de un yacimiento seubica a un 61% del radio de drenaje (re)
)/rln(0.61rBµ Pw)7.082hk(PrQ
weoo
0.5)/rln(rBµ Pw)7.082hk(PeQ
weoo
Solo para Flujo de Estado Estable
r = 0.61re
Pr
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ECUACIONES DE FLUJO DE FLUIDOSFlujo de Estado No Estable (Transiente):
Si se supone que se tiene un pozo en el centro de un yacimiento circular, deradio re , homogéneo, con una Pi uniforme.
El pozo se empieza a producir a una tasa constante “q”, con lo cual se crea unadisturbancia de presión. La presión en el pozo caerá instantáneamente y ladisturbancia se moverá alejandose del pozo.
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ECUACIONES DE FLUJO DE FLUIDOSFlujo de Estado No Estable (Transiente):
Mientras la disturbancia de presión se mantenga lejos del límite externo delyacimiento, se puede considerar que el yacimiento actúa como si fuese infinitoen tamaño (re =∞ ).
Se denomina entonces Flujo Transiente como aquel período de tiempo durante elcual ell borde externo del yacimiento no afecta el comportamiento de la presión yel yacimiento actuará como si fuese infinito.
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ECUACIÓN BÁSICA DE FLUJO TRANSIENTEEsta derivación matemática toma en cuenta tres ecuaciones independientes:
-Ecuación de continuidad (Balance de masa)
-Ecuación de transporte (Darcy generalizada)
-Ecuación de compresibilidad (Ec. de Estado)
Adicionalmente, deben existir una (1) condición inicial y dos (2) condiciones deborde
Condición Inicial: Presión uniforme en todo el yacimiento para t=0
Condiciones de Borde:
a) El yacimiento produce con una tasa de flujo constante hacia el pozo
b) No existe flujo a través del límite externo y el yacimiento se comporta comoinfinito (Estado No Estable, re =∞ )
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ECUACIÓN BÁSICA DE FLUJO TRANSIENTE
- Ecuación de Continuidad
Masa que entra al volumen durante un
tiempo t
Masa acumulada dentro del volumen de
control
- =Masa que sale del
volumen durante un tiempo t
(q)r+dr
(q)r
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ECUACIÓN BÁSICA DE FLUJO TRANSIENTE
Masa que entra al volumen durante un tiempo t =
Masa que sale del volumen durante un tiempo t =
t[Av]r+dr
Donde:
A: Area a un radio r+dr, pies2
: Densidad del fluido a un radio r+dr, lb/pie3
t:Tiempo, dias
v: Velocidad de flujo, pies/dia
t[Av]r
Ar+dr=2(r+dr)h
Masa Entra = 2t (r+dr)h(v)r+dr
Masa Sale = 2t rh(v)r
Ar=2rh
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ECUACIÓN BÁSICA DE FLUJO TRANSIENTE
Masa acumulada en volumen de control durante un tiempo t
El balance de materiales para un tiempo t quedaría así
DondeMasa Acumulada = dV[(tt()t] dV=(2rh)dr
= (2rh)dr[(tt()t]
2t (r+dr)h(v)r+dr - 2t rh(v)r = (2rh)dr[(tt()t]
Dividiendo por (2rh)dr
]ρ)(ρ)[(Δt1]r(vρ(dr)(vρr[(r
rdr1
tΔttrdrr
ρ)(t
)][r(vrr
1
Ecuación de Continuidad (1)
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ECUACIÓN BÁSICA DE FLUJO TRANSIENTE
Combinando las Ecs. (1) y (2), se obtiene:
El término de la derecha
rpv
k006328.0
ρ)(tr
)(krr
0.006328
pr
t
tρ)(
t
Pero, por la definición de compresibilidad
- Ecuación de Transporte (Ec. de Darcy): Se requiere para relacionar la velocidad deflujo con el gradiente de presión dentro del volumen de control (dV)
Ecuación de Transporte (2)
ff cpp
1c
Aplicando regla de la cadena al termino d/dt
tc
tpt f
pp
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Sustituyendo
La ecuación variará dependiendo del tipo de fluido a la que se aplique
tc
tr)(k
rr0.006328
f
ppr
tc
tρ)(
t f
p
Esta es la ecuación general que describe el flujo radial de cualquier fluido en un medio poroso
-Fluidos Ligeramente Compresibles
-Fluidos Compresibles
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Luego de realizar simplificaciones y reordenando la ecuación general, se obtiene
La mayoría de los análisis de pruebas de pozo se toma el tiempo en hora, por lo que la Ec queda asi:
t0.006328krr1
r2
2
pcpp t Ecuación de
Difusividad para fluidos ligeramente
compresibles
-Fluidos Ligeramente Compresibles
Donde:
k: Permeabilidad, md
t: Tiempo, dias
ct: Compresibilidad Total, lpc-1
t0.0002637krr1
r2
2
pcpp t Donde:
t: Tiempo, horas
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Si en el yacimiento existe más de un fluido, la compresibilidad total (ct) se puede expresar asi:
Adicionalmente, se define la Constante de Difusividad, denotada como
tc 0.0002637k
-Fluidos Ligeramente Compresibles
fggwwoot cScScScc
Por lo cual la Ecuación de Difusividad queda así:
t1
rr1
r2
2
ppp
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ECUACIÓN BÁSICA DE FLUJO TRANSIENTE
Existen dos soluciones generales:
-Solución de Presión Terminal Constante: Se considera la presión constante en el limite externo, y se cuantifica el flujo acumulado para un tiempo “t”. Se usa frecuentemente para cálculos de influjo de agua.
-Solución de Tasa Terminal Constante: En este caso se considera una tasa constante a un determinado radio (rw), y se hallan los cambios en la presión (Pwf) con el tiempo. Hay dos formas de solución comunmente usadas:
- Solución de la Función Ei: Propuesta por Matthews y Russell en 1967
Soluciones a la Ecuación de Difusividad
Supone:
-Yacimiento Infinito
-Tasa de flujo constante
-Presión Uniforme Pi para t=0
-El pozo productor se encuentra en el centro de un yacimiento cilíndrico de radio re
-No existe flujo a través del límite externo
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t: Tiempo, horas
Donde:
p (r,t): Presión al radio “r” desde el pozo, para un tiempo “t”, lpc
Solución de la Función Ei
k: Permeabilidad, mdQo: Tasa de Flujo, BND
Ei es una función llamada Integral Exponencial y esta definida como
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Solución de la Función Ei
Para valores de x<0.01, la Integral Exponencial se puede aproximar a la siguiente expresión:
Donde
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Ejercicio 1
Un pozo produce con una tasa constante de 300 BND, bajo flujo no estable. Se conocen las siguientes propiedades:
Bo= 1.25 BY/BN o= 1.5 cp ct= 12x10-6 psi-1
ko= 60 md h= 15 ft pi= 4000 lpc
= 15% rw=0.25 ft
Calcular:
1.- Presiones a radios de 0.25, 5,10,50,100,500,1000,1500, 2000 y 2500 pies, para un t= 1 h. Graficar P(r,t) vs. R
2.- Repetir el paso 1 para t= 12 h y t= 24 h
Ver ejercicio en el Ahmed Tarek, pag 376; usar Tabla 6.1 para valores de Ei
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Para valores de x < 0.01, la solución de la ecuación de difusividad se puede obtener empleando la aproximación logarítmica a la función Ei, resultando:
Aplicando la ecuación para determinar la presión de fondo fluyente (p(rw,t)), se obtiene:
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Ejercicio 2
Resolver el ejercicio 1 estimando la presión de fondo para un tiempo de 10 horas:
Bo= 1.25 BY/BN o= 1.5 cp ct= 12x10-6 psi-1
ko= 60 md h= 15 ft pi= 4000 lpc
= 15% rw=0.25 ft
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Rearreglándola
Solución de la Caída de Presión Adimensional
Ambos términos son adimensionales, quedando la ecuación
Supongamos la Ec. de Darcy en su forma radial
donde pD: Caida de Presión Adimensional
reD: Radio Externo Adimensional
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Solución de la Caída de Presión Adimensional
Extendiendo esta solución para los cambios de presión en flujo no estable
donde pD: Caida de Presión Adimensional
reD: Radio Externo Adimensional
Como en flujo transiente, la presión es función del tiempo y localización, es común expresar pD en función de tiempo y radios adimensionales