Tema:

ECUACIONES QUE DESCRIBEN EL FLUJO DE FLUIDOS EN MEDIOS POROSOS

Clasificacin de los Sistemas de Flujo en el Yacimiento

1. ECUACIN DE TRANSPORTE

La ley de darcy en una de las ecuaciones que nos permite que nos permite calcular el

movimiento de los fluidos nos describe las caractersticas del movimiento del fluido.

=

(

9,67 104)

En unidades de campo

= 1,27 103

(

0.433)

=

= 1,27 103

Dnde:

v= velocidad aparente

k=permeabilidad

u= viscosidad

TIPO DE FLUIDOCOMPRESIBLE

INCOMPRESIBLE

LIGERAMANETE COMPRESIBLE

GEOMETRALINEAL

RADIAL

ESFRICO

# FASESMONOFSICO

BIFSICO

TRIFSICO

RGIMEN DE FLUJOCONTINUO

SEMICONTINUO

TRANSITORIO

Figura 1. Clasificacin de los Sistemas de Flujo en el Yacimiento

=

. =

2. ECUACIN-POTENCIAL DEL FLUIDO

En la prctica obtenemos este resultado mediante la introduccin de un nuevo

parmetro, llamado "potencial del fluido", que tiene las mismas dimensiones como la

presin, psi. Su smbolo es . Teniendo en cuenta que Zi es la distancia vertical desde un punto i en el depsito hasta el nivel de referencia.

= (

144) (1)

donde es la densidad en lb/ft3

Expresando la densidad del fluido en g/cm3 da:

=

144

= 0.433 (2)

donde:

= fluido potencial en el punto , psi = presin en el punto , psi = distancia vertical desde el punto hasta el nivel de referencia. = densidad del fluido bajo condiciones del reservorio.

= densidad del fluido bajo condiciones del reservorio, g/cm3; esta no es la gravedad especfica del fluido.

La aplicacin del concepto anteriormente generalizada a la ecuacin de Darcy se

obtiene:

=0,001127(1 2)

(3)

N.R.

Z2

Angulo de Buzamiento

Z1

Figura 14. Yacimientos inclinados potenciales:

3. ECUACIN SISTEMA LINEAL

Partimos de la ecuacin de Darcy:

=

=

Nos quedamos con:

=

Pasamos el dx para poder integrar como se muestra:

=

0

2

1

Nos da la siguiente ecuacin:

=(1 2)

A la relacin anterior la expresamos en unidades de campo:

=1,127 103(1 2)

Y las unidades a utilizar son:

q = tasa de flujo, bbl/da

k = permeabilidad absoluta, md

p = presin, psia

= viscosidad, cp L = distancia, ft

A = rea de seccin transversal, ft2

Si deseamos obtener barriles fiscales a la ecuacin se le aade el factor volumtrico que:

=

=

> 1

La ecuacin quedara con este termin:

=1,127 103(1 2)

4. ECUACIN Fluido Ligeramente Comprensible

En estos casos existe variacin de velocidad por tanto varia el caudal y la presin:

Para este tipo de fluido partimos:

= 1[1 + ( )]

Modificaos la ecuacin para obtener en trminos de flujo:

= [1 + ( )]

A esta expresin la vamos a dividir para el rea y si poder igualar a la ley de Darcy

por tanto queda:

=

[1 + ( )]

= 1,127 103

Despejando para poder integrar se obtiene:

=

0

1,127 103

[

[1 + ( )]]

2

1

Una vez integrado queda:

= [1,127 103

] [

[1 + ( 2)]

[1 + ( 1)]]

Ahora si tomamos de referencia p1 nos queda:

1 = [1,127 103

] [1 + (1 2)]

Ahora si tomamos de referencia p2 nos queda:

2 = [1,127 103

] [

1

[1 + (2 1)]]

5. ECUACIN Flujo de gases en estado continuo

1 > 2 2 > 1

Por lo tanto se deduce:

Para poder llegar a la ecuacin deseada vamos a suponer iun sistema aislado en el

cual el nmero de moles es constante: 11

11=

2222

Simplificamos unidades y dividimos para el tiempo y no queda: 1111

=2222

Con la expresin anterior se puede deducir: 1111

=2222

Ahora vamos a lo anterior a suponer que un lado esta a condiciones estndar por lo

tanto z=1 nos queda:

=

Despejamos q:

= 5.615

Segn la ley de Darcy tenemos:

= 1,127 103

Uniendo las dos ltimas ecuaciones nos queda:

5.615

= 1,127 103

Dnde:

, , , .

Y los valores de z y viscosidad son contantes en la presiones, adems se despeja de

la ecuacin anterior para poder integrar:

1,127 103 5.615

=

0

2

1

Integrando la ecuacin nos da lo siguiente:

=3.164 103

(12 2

2)

Nota:

2

Ahora s que remos esta expresin en trminos de:

, , Por lo tanto:

= (1 + 2

2)

Con esto podemos deducir:

=

Utilizando esta ecuacin:

=3.164 103

(12 2

2)

Igualamos las dos ecuaciones anteriores obtendremos:

(1 + 2)2

=3.164 103

(1 + 2)(1 2)

Simplificando y despejando caudal promedio nos queda:

=. ( )

6. ECUACIN PERMEABILIDAD PROMEDIO EN CAPAS

LINEALES - Flujo en serie de capas lineales (promedio

armnico)

Considrese dos o ms capas de arena de igual seccin transversal pero de diferentes

longitudes y permeabilidades (ver figura), donde existe la misma rata de flujo lineal, q,

de un fluido considerado incompresible.

La cada total de presin P es igual a la suma de las cadas de presin en cada capa de

arena, es decir: P=P1+P2+P3

(1 4) = (1 2) + (2 3) + (3 4) (1.1)

Sustituyendo las equivalentes de estas cadas de presin de la ecuacin de Darcy tenemos.

= 1.127 103

(

1 4

)

Entonces la variacin de presin en cada capa de arena es:

(1 2) =1

1.127 1031 (1.2)

(2 3) =2

1.127 1032 (1.3)

(3 4) =3

1.127 1033 (1.4)

Sustitucin de (1.2), (1.3), (1.4), en (1.1).

1.127 103

= (1

1.127 1031) + (

2

1.127 1032) + (

3

1.127 1033)

Cancelando trminos iguales

=

11

+22

+33

=

11

+22

+33

7. ECUACIN PERMEABILIDAD PROMEDIO EN CAPAS

LINEALES - Flujo en capas lineales paralelas (promedio

aritmtico)

Sea un sistema de flujo compuesto por dos o ms capas de arena paralelos de igual

longitud y de diferentes secciones transversales y permeabilidades, separados unos de

otros por barreras impermeables, es decir, que no existe flujo entre ellas, por el cual pasa

el mismo fluido bajo condiciones de flujo lineal y con la misma cada de presin (P1-P2),

como se representa en la figura

Se tiene que el flujo o caudal total es el resultado de la suma de los caudales individuales

de cada capa de arena.

= 1 + 2 + 3 (2.1)

De la ecuacin de Darcy tenemos:

= 1.127 103

(1 2

) (2.2)

1 = 1.127 103

11

(1 2

) (2.3)

2 = 1.127 103

22

(1 2

) (2.4)

Unidades de campo:

k = ()

= ()

3 = 1.127 103

33

(1 2

) (2.5)

Sustitucin de (2.2), (2.3), (2.4), (2.5), en (2.1).

1.127 103

(

1 2

)

= 1.127 103 11

(

1 2

) + 1.127 103 22

(

1 2

) + 1.127

103 33

(

1 2

)

Cancelando trminos iguales

= 11 + 22 + 33

=11 + 22 + 33

=

8. ECUACIN PERMEABILIDAD PROMEDIO EN CAPAS

LINEALES - Flujo en capas lineales paralelas (promedio

aritmtico) - Caso particular

Si todas las capas de arena son del mismo ancho, de manera que sus reas son

proporcionales a sus espesores.

Se tiene que el caudal total es el resultado de la suma de los caudales individuales de cada

capa de arena.

= 1 + 2 + 3 (2.1.1)

De la ecuacin de Darcy tenemos:

= 1.127 103

(1 2

) (2.1.2)

1 = 1.127 103

11

(1 2

) (2.1.3)

Unidades de campo:

k = ()

= (2)

2 = 1.127 103

22

(1 2

) (2.1.4)

3 = 1.127 103

33

(1 2

) (2.1.5)

Sustitucin de (2.1.2), (2.1.3), (2.1.4), (2.1.5), en (2.1.1).

1.127 103

(

1 2

)

= 1.127 103 11

(

1 2

) + 1.127 103 22

(

1 2

)

+ 1.127 103 33

(

1 2

)

Cancelando trminos iguales

= 11 + 22 + 33

=11 + 22 + 33

=

9. ECUACIN FLUJO RADIAL DE UN FLUIDO INCOMPRESIBLE

EN ESTADO CONTINUO

=

=

2= 1.127 103

Pero el caudal q es positiva en la direccin positiva de r. separando variables e integrando

entre el radio del pozo (rw) y el radio externo (re), donde las presiones son Pw y Pe,

respectivamente.

2

= 1.127 103

=2(1.127 103)()( )

ln ()

Unidades a condiciones de yacimiento

q =7.08 103k (Pe Pw)

ln (rerw)

Dnde:

Unidades de campo:

k = ()

= ()

= (

) = () = () = ()

= () = () = ()

Se acostumbra an ms, expresar al caudal (q) en unidades a condiciones superficiales en

vez de unidades a condiciones del yacimiento. Por lo tanto.

=

=

[

]

= (1.2)

Reemplazo de (1.2), en (1.1)

=7.08 103k (Pe Pw)

ln (rerw)

Unidad de superficie:

qsc = [BF

da]

El drenaje puede producirse por diferentes causas las cuales mantienen la presin externa

(Pe) constante como puede ser por:

10. ECUACIN Flujo Radial De Un Fluido Ligeramente

Compresible En Estado Continuo

Ecuacin para fluidos ligeramente compresibles.

= [1 + ( )]

Donde q ref. Es la tasa de flujo a una presin de referencia (Pref).

Si esta ecuacin se sustituye en la forma radial de la Ley de Darcy, tenemos:

=

[1 + ( )]

2= 1.127 103

Separando variables e integrando, se obtiene la siguiente expresin:

2

= 1.127 103

1 + ( )

Despejando se obtiene:

=.

(

) [

+ ( )

+ ( )]

Unidades en condiciones de yacimiento:

= (

)

= () = () = ()

= () = () = ()

= (1)

Unidades en condiciones de superficie:

=.

(

) [

+ ( )

+ ( )] []

Si = entonces la ecuacin queda:

Unidades en condiciones de yacimiento:

=.

(

)[ + ( )] []

Unidades en condiciones de superficie:

=.

(

)[ + ( )] []

11. ECUACIN FLUJO RADIAL DE UN FLUIDO

COMPRESIBLE EN ESTADO CONTINUO

El gas es el fluido del yacimiento que es altamente compresible a condiciones de

yacimiento. La tasa de flujo de gas se suele medir en unidades de pies cbicos estndar

por da (/). Esto se puede convertir en tasa de flujo a condiciones de yacimiento con la formacin del factor de volumen del gas.

=

3

=

5.615

Por lo tanto, tasa de flujo de gas en / es convertida a Bls / por:

= (

5.615)

Sustituir Ec. (3.1) en Ec .para flujo radial de un fluido compresible tenemos:

2

= 1.127 103

2(

5.615

) = 1.127 103

Ordenando la ecuacin anterior nos queda:

()0.03976

=

Suponiendo que el producto () es constante y la integracin entre los lmites y (figura) da como resultado:

()

0.03976

=

()0.03976

ln (

) =1

2(

2 2 )

Ordenando la ecuacin anterior tenemos:

=0.01988(

2 2 )

() ln (

)

Unidades en condiciones de yacimiento:

= (

) = ()

= () = ()

= () = ()

= () = ()

= ()

Condiciones estndar:

= 520()

= 14.7()

=0,703(

2 2)

(

)[

]

Bibliografa:

1. Ahmed, T., & McKinney, P. (2005). Advanced Reservoir Engineering. Burlington,

MA: Elsevier/Gulf Professional Pub.

2. Ral Valencia, Fundamentos de Pruebas de Presin(2011)