informÁtica teÓrica

INFORMÁTICA TEÓRICA

•Andrés [email protected]

Informática teórica

Bibliografía:

•John Hopcroft et al., Introduction to Automata Theory, Languages and Computation [2ª ed, 2001] y 1ª ed español

•Michael Sipser, Introduction to the Theory of Computation [2ª ed, 2006]

pdfs disponibles

Informática Teórica

Teoría de Autómatas y Lenguajes Formales

AKA: “TALF”

Teoría de Autómatas y Lenguajes Formales

Máquinas (formales)

Información (digital)

“No hay nada más práctico que una buena teoría”

(K. Lewin)

0. Repaso lógica, conjuntos, relaciones1. Strings, lenguajes, operaciones entre lenguajes2. Lenguajes regulares, autómatas finitos3. Expresiones regulares (“REGEXP”), aplicaciones,

autómatas deterministas y no-deterministas4. Minimización de AF5. Gramáticas formales, jerarquía de Chomsky6. Lenguajes de libre contexto, autómatas de pila7. Aplicaciones

TemarioTemario

1. Lógica2. Conjuntos3. Inducción4. Relaciones5. Clases de equivalencia6. Refinamientos y cerradura transitiva7. Cardinales

RepasoRepaso

Repaso (recordatorio) de algunas Repaso (recordatorio) de algunas cosascosas

Lógica.

•Expresiones verdaderas o falsas (V,F)

•Sus valores de verdad se combinan de acuerdo a ciertas operaciones.

•El resultado de las operaciones podemos representarlo mediante tablas de verdad.

•También las tablas pueden servir para demostrar identidades simples.

NOTA: En inf. se suele usar 1 y 0 en lugar de V y F

LógicaLógica

Operaciones elementales:

111001010000

xyyx

Conjunción, “y”

111101110000

xyyx

Disjunción, “o”

0110xx

Negación

LógicaLógica

Algunas propiedades básicas:

•Asociatividad:

(xy)z = x(yz) , (xy)z = x(yz)

•Distributividad:

x(yz) = (xy)(xz) , x(yz) = (xy)(xz)

•Leyes de Morgan:

(xy) = (x y) , (xy)= x y

LógicaLógicaUna expresión importante: PQ. La idea es que no se dé el caso en que P es cierto, pero Q es falso.

Es decir, se quiere la negación de PQ.Por ley de Morgan, se quiere PQ.

La equivalencia (PQ) se define mediante (PQ QP). Uno esperaría que PQ signifique que P y Q valen lo mismo. En efecto,

P Q PQ QP PQ0 0 1 1 10 1 1 0 01 0 0 1 01 1 1 1 1

LógicaLógica

A partir de una expresión de implicancia PQ aparecen otras expresiones relacionadas:

•La recíproca: QP•La contraria: P Q•La contrarrecíproca: Q P

La recíproca y la contraria son equivalentes entre sí, mientras que la contrarrecíproca es equivalente a la expresión original.

Por eso a veces se demuestra Q P, cuando lo que uno quiere demostrar es PQ.

LógicaLógica

Otra estrategia frecuente es la reducción al absurdo : uno supone que la conclusión es falsa, y llega a una contradicción.

Es decir, suponemos que P es cierto y que Q es falso (es decir, que Q es cierto) y llegamos a algo falso: PQ = 0, que por ley de Morgan significa que PQ = 1, o sea, PQ.

Notemos también que si PQ y QR, entonces PR (ejercicio).

Una consecuencia es que cuando uno quiere demostrar, por ejemplo, PQRS, basta con demostrar PQRSP.


RepasoRepaso

ConjuntosConjuntos

Conjuntos: informalmente, una colección bien definida de objetos.

“Bien definida” definición sin ambigüedad

¿“Colección”? ¿”Objetos”?

En principio uno tendería a decir que toda propiedad P define un conjunto: “sean todos los x tales que P(x) es cierto”, o bien “sean todos los x tales que P(x) es falso”.

ConjuntosConjuntos

Por ejemplo, P(x)=“x es un número primo”.

Entonces el conjunto R(P) será el conjunto de todos los números naturales primos.

¿Pero cuál sería el conjunto de los x que no cumplen P?

•¿Los naturales, salvo los primos?•¿Los reales, salvo los primos?

•Para tener un punto de referencia, se suele trabajar dentro de un conjunto, el “universo” o “conjunto universal” U. También evita paradojas.

ConjuntosConjuntos

•Se define el complemento con respecto a ese U: AC = {xU: xA}

•Todo conjunto admite el subconjunto vacío, . El conjunto vacío es único.

•El conjunto potencia de un conjunto A, es el conjunto P(A) formado por todos sus subconjuntos.

•Si |A|=n, entonces |P(A)|=2n

•Si A B, entonces P(A) P(B).

ConjuntosConjuntos

Inclusión de la intersección:A B A y A B B

Inclusión en la unión:A A B y B A B

Transitividad de la inclusión:(A B B C) A C

Conjuntos vs Lógica:x X Y x X y Yx X Y x X y Yx X\Y x X y Yx Xc x X

ConjuntosConjuntos

Conmutatividad: A B = A B y A B = B A

Asociatividad: (A B) C = A (B C) y

(A B) C = A (B C)

Distributividad:A (B C) = (A B) (A C) y A (B C) = (A B) (A C)

ConjuntosConjuntos

Intersección y unión con conjunto universal: A U = A y A U = U

Doble complemento: (Ac)c = A

Idempotencia: A A = A y A A = A De Morgan:

(A B)c = Ac Bc y (A B)c = Ac Bc

Absorción: A (A B) = A y A (A B) = A

ConjuntosConjuntos

Sean A, B subconjuntos de U. Entonces las afirmaciones siguientes son equivalentes:

a) ABb) AB=Bc) AB=Ad) BCAC

U

B A

Demostración: ejercicio. Aplicar eso de demostrar a b c d a.

Diferencia simétrica: A B=A\B B\AEjercicio: demostrar que es asociativa.

Conjuntos disjuntosConjuntos disjuntos

Un par de conjuntos se dicen disjuntos si su intersección es vacía (no tienen elementos en común).

•Nótese que A\B y B son siempre disjuntos.

Una colección {A1,…Ak} se dice mutuamente disjunta si cualquier par de conjuntos de la colección es disjunto.

ConjuntosConjuntos

Una colección de conjuntos no vacíos {A1,…Ak} es una partición del conjunto A si se cumple

(1) {A1,…Ak} es mutuamente disjunta(2) A es igual a la unión de todos los Ai

Si sólo se cumple lo segundo, decimos que es un recubrimiento de A.


RepasoRepaso

InducciónInducción

Recordar el principio de inducción:Se usa para demostrar que una proposición P que depende de un número natural “n”, es decir, P(n), es cierta para todo “n” por sobre algún umbral n0.

Lo que se hace es demostrar:

•Caso base: P(n0) es cierta

•Paso inductivo: Si P(n) es cierta para n ≥ n0, entonces P(n+1) también es cierta


Nota:

En una variante, que a veces se llama inducción “fuerte”, el paso inductivo demuestra que si P(k) es cierta para todo n0 ≤ k ≤ n, entonces lo es para n+1.

Es decir, no se usa sólo el caso anterior, sino todos los anteriores.


Un ejemplo clásico:

12

)1(1

nnnin

i

Caso base:2

)11(111

1

i

i

Paso inductivo:

2)1()1()1(

1

1

1

nnninin

i

n

i

2)1)(2(

2)1()1(2

nnnnn


Otros:•n3-n es divisible por 3, para todo n ≥ 1•2x ≥ x2, para todo x ≥ 4•… etc (pueden mirar su cuaderno de aquellos tiempos; lo importante es que refresquen estas cosas).Un poco menos trillado: inducción “estructural”:

•Generaliza la misma idea.•La usamos para demostrar propiedades de objetos definidos recursivamente.

Inducción estructuralInducción estructural

En una construcción recursiva, se tienen:

•Objetos básicos (“primitivos”, “iniciales”, etc..)•Reglas para definir nuevos objetos a partir de un conjunto de objetos ya definidos.

Entonces se demuestra que la propiedad en cuestión (el “predicado”):

•Es cierta para los objetos básicos•Si es cierta para un conjunto de objetos, entonces es cierta para el nuevo objeto construido, mediante las reglas, a partir de dicho conjunto.


Ejemplo clásico: consideremos la siguiente definición recursiva de un árbol [conexo].

•Un nodo sólo, es un árbol.•Si T1, T2, …, Tk son árboles disjuntos, entonces

A1 A2 Ak

n

...T1 T2 Tk

...también es un árbol.


Propiedad a demostrar: la cantidad de nodos siempre es igual a la cantidad de aristas + 1.•Caso base: ok.•Sean ni y ai las cantidades de nodos y aristas en los árboles Ti, para i de 1 hasta k. Sean n y a esas cantidades para el nuevo árbol.

A1 A2 Ak

n

...T1 T2 Tk...

Hipótesis inductiva: ian ii 1Paso inductivo:

k

ii

k

ii ann

11

)1(11

aakk

ii

111


Otro ejemplo típico: expresiones aritméticas.

Símbolos elementales: letras, +, *, (, )

(1)Las letras son E.A.

(2)Si E y F son E.A., entonces E+F, E*F y (E) son E.A.

Ejemplos: x+y, x*y+x*(z+b), ((a)), etc…

Ejercicio: demostrar que en una expresión aritmética, el número de “(“ es igual al número de “)”.


Números de Fibonacci:

• F(1)=F(2)=1, • F(n)=F(n-1)+F(n-2) para n > 2

Demostrar que F(n) < 2n para todo n ≥ 1

Nótese que en este caso lo podemos ver como inducción “clásica”, o bien como inducción estructural.


RepasoRepaso

Tuplas y producto cartesianoTuplas y producto cartesiano

•Una n-tupla ordenada es una secuencia de n elementos, escrita en la forma (x1,…,xn).

•Nótese que a diferencia de los conjuntos, donde {1,2}={2,1}, en una n-tupla el orden sí importa.

•Por lo tanto, la única forma de que (x1,…,xn)= (y1,…,yn) es que x1=y1,…,xn=yn.

•El producto cartesiano de n conjuntos A1,...,An es el conjunto formado por las n-tuplas de la forma (x1,…,xn), donde xiAi, 1 ≤ i ≤ n : }1:),,{( 121 niAxxxAAA iinn

RelacionesRelaciones

Un caso de particular interés es el producto cartesiano de sólo dos conjuntos: AB. Una “relación” es un subconjunto RAB.Nótese que:

•no necesariamente A=B•cualquier subconjunto RAB es válido

1 2 3

1 2 3

1 2 3R1

R2

R3

Con A={1,2,3},B={,}, las siguientes son todas relaciones válidas:

R1={(1,),(1,),(3,)} R2=AB \ {(1,)} R3={(2,)}

Relaciones: funcionesRelaciones: funciones

Un caso aún más particular son las funciones: son relaciones en que para cada xA, existe un único yB tal que (x,y)R; así, se define una función de A en B.

1 2 3R5

¿Qué hay de R5, a la izquierda? No es una función, porque estamos viéndolas como subconjuntos de AB. Pero en este caso si la “trasponemos”, y la vemos como subconjunto de BA, entonces sí es una función... de B en A.

1 2 3R4

Las tres relaciones en la transparencia anterior son contraejemplos : no son funciones. En cambio, R4 (a la derecha) sí lo es.

Relaciones: notaciónRelaciones: notación

•Cuando una relación RAB es una función, y se tiene (x,y)R, solemos escribir R(x)=y. Por ejemplo, R4(1)=.

•En el caso general (en que R es una relación cualquiera), cuando (x,y)R se suele escribir xRy.

NOTA: En lo que sigue, consideraremos relaciones dentro de un mismo conjunto: A=B, y le llamaremos “S” (o sea, A=B=S). Anotamos S2=SS.

Relaciones: propiedadesRelaciones: propiedades

Decimos que una relación RS2 es:

•Refleja: si para todo aS, (a,a)R [o sea, aRa].

•Transitiva: si cada vez que aRb y bRc, se tiene además aRc.

•Simétrica: si aRb bRa

•Antisimétrica: si cada vez que aRb y bRa, necesariamente a=b.

•Total: para cualesquiera a,bS, se tiene que aRb o bien bRa (o ambas).

Relaciones: ordenRelaciones: orden

Una relación de orden parcial cumple con ser refleja, transitiva y antisimétrica.

•Ejemplo: Sea A un conjunto finito, S=P(A) [el conjunto potencia de A], y R definida por R = { (B,C): B,CA y BC }

(es decir: es la relación de inclusión entre subconjuntos de A).

NOTA: esto es lo que se llama un orden “no estricto”. En los órdenes estrictos, como “<“ y “”, se prohibe la igualdad, exigiendo que la relación sea antirrefleja: (a,a)R para ningún a.

Relaciones: ordenRelaciones: orden

Si además es total, entonces es una relación de orden total.

•El ejemplo anterior es un caso de orden parcial que no es total. Para ver por qué, consideremos A={1,2}, B={1}, C={2}. Claramente, ni B está incluído en C, ni C está incluído en B.

•Consideremos S=Z (los números enteros), y la relación habitual. Ese sí es un caso de relación de orden total.


RepasoRepaso

Relaciones: equivalenciaRelaciones: equivalencia

Una relación de equivalencia cumple con ser refleja, transitiva y simétrica.

•Ejemplo: Sean Z los números enteros, y sea mN, m0. Definiremos la relación Rm (pues ojo, depende del m) como

a Rm b a mod m = b mod m[donde a mod m es el resto de dividir a por m]

Ejercicio: 1) ver que es relación de equivalencia2) ver que a Rm b (a-b) es divisible por m.


Sea R una relación de equivalencia en S.

• Para cada elemento aS, definimos su clase de equivalencia [a]={ bS: aRb }.

• El conjunto de las clases de equivalencia forma una partición de S. En efecto:

•Todo elemento pertenece a alguna clase de equivalencia (la suya!).•La intersección entre dos clases de equivalencia distintas es vacía: si c[a][b] c[a] y c[b] cRa y cRb aRc y cRb (por simetría) aRb (por transitividad) [a]=[b].


•Ejemplo: consideremos (Z,R3), con la relación de “igualdad módulo 3” definida antes. Entonces [0] = { ..., -6, -3, 0, 3, 6, 9,... } [1] = { ..., -5, -2, 1, 4, 7, ... } [2] = { ..., -4, -1, 2, 5, 8, 10, ... }

Al conjunto de clases de equivalencia (conjunto “cuociente”) lo anotamos S/R. En este caso, Z/R3 = { [0], [1], [2] }

Naturalmente, en un mismo conjunto puede definirse más de una relación de equivalencia, y cada una dará una partición distinta.


•Ejemplo: Sea S una baraja de naipe [inglés],

S={ 1, 2, ..., K, 1, 2, ..., K, 1, 2,..., K, 1, 2, ..., K}

y consideremos las relacionesRp : si dos naipes son de la misma pintaRn : si dos naipes son del mismo númeroRc : si dos naipes son del mismo colorR2 : si el número de dos naipes tiene la misma paridad.

¿Cuántas clases de equivalencia distintas hay en cada caso?


Nota:

La relación entre relaciones de equivalencia y particiones es recíproca: dada una partición de un conjunto, siempre podemos definir una relación de equivalencia (según si los elementos quedan juntos o no) cuyas clases de equivalencias correspondan a esa partición.


RepasoRepaso

Relaciones: refinamientosRelaciones: refinamientos

Sean R,QS2 dos relaciones de equivalencia en S. Decimos que R es más fina que Q, y escribiremos RQ, si se tiene

aRb aQb, a,bSEs decir, R distingue entre elementos de S al menos tan bien como Q.

Ejercicio: demostrar que si RQ, entonces las clases de equivalencia de Q son uniones de clases de equivalencia de R.


•En el ejemplo de los naipes, RpRc , y RnR2.

•Si consideramos la relación de igualdad módulo m, ¿qué deben cumplir m1 y m2 para que Rm1 Rm2 ?

•Otro ejemplo: Sea otra vez A un conjunto finito cualquiera, y S=P(A) su conjunto potencia. Consideremos las relaciones R y Q dadas por:

•aRb a=b•aQb |a| = |b|

Entonces RQ.[Recuérdese que en este caso a y b son subconjuntos de A. |a| es el cardinal de a.]


Nota: en realidad siempre se tiene que la relación de identidad (“=“) es más fina que cualquier otra relación de equivalencia.

Consideremos el conjunto (S) de todas las relaciones de equivalencia posibles sobre el conjunto S.

Entonces “” es una relación en (S) !!

¿Qué tipo de relación es?

Ejercicio: conteste y demuéstrelo.

Relaciones: cerradura transitivaRelaciones: cerradura transitiva

Sea R una relación en S, no necesariamente transitiva. Definimos su cerradura transitiva como la menor relación R’ tal que RR’ y R’ es transitiva (en el peor de los casos, puede ser R’=S2).

En el caso de S finito, lo podemos ver como que “parchamos” R, agregándole los elementos que estén fallándole a la transitividad, hasta que ya no falla nada.

Ejemplo: •S=ciudades del mundo•aRbexiste un vuelo directo de a hasta b•aR’bse puede llegar de a hasta b en avión


¿Cómo encontrar la cerradura transitiva (S finito)?Algoritmo de Warshall (visto en EDA)

•Pensamos en la relación como una matriz binaria, que dice“puedo ir de a hasta c usando un solo arco” o “no puedo”.

a

b

c 010c100b010acbaR

•Queremos ahora una matriz que exprese “puedo ir de i a j” (usando 1 o más arcos). 110c

110b110acbaR’


“ya había camino, o ahora existe un camino porque existen caminos de i a k, y de k a j”

•Definamos A0=R•Aplico |S| veces lo siguiente. •En el paso k-ésimo, Ak[i,j] me dice acaso hay un camino entre i y j que pase por nodos de índice k ó menor.

],[ ],[],[],[ 111 jkAkiAjiAjiA kkkk


Algoritmo de Warshall:

Inicialización:•A = matriz binaria representando R

Iteración:•Para k=1,...,N

Para todo i,jA[i,j] = A[i,j] (A[i,k] A[k,j])

R’ = relación representada por A

[Se habla del algoritmo de Floyd-Warshall, porque esto es una variante del de Floyd para caminos más cortos en grafos.}


RepasoRepaso

CardinalCardinal

Volvamos a las funciones. Si fAB es una función, escribiremos que f:AB.

Decimos que una función f:AB es inyectiva cuando preserva las diferencias: si ab, entonces f(a)f(b).

Intuitivamente se ve que, para que esto sea posible, tiene que haber al menos tantos elementos en B como en A.

CardinalCardinal

Esa intuición se convierte en definición : decimos que el conjunto A tiene cardinalidad menor o igual que B si existe una función inyectiva f:AB. Escribimos |A||B|Si se tiene |A||B| y además |B||A| (es decir, existen funciones inyectivas en ambas direcciones), escribimos |A|=|B|, y decimos que tienen la misma cardinalidad (o el “mismo cardinal”).

Nota: una función biyectiva es inyectiva hacia los dos lados, y se puede usar para probar igualdad de cardinal. Pero a veces es más cómodo usar dos funciones distintas.

CardinalCardinal

Para conjuntos finitos la cardinalidad es simple: identificamos |A| con la cantidad de elementos que contiene, y |A||B| A tiene menos elementos que B.

Para el vacío, ={ }, se tiene ||=0.

Un “singleton” es un conjunto de cardinal 1. Por ejemplo: {2}, { {2,3} }, {{ }}.

CardinalCardinal

La gracia es que la definición funciona también para conjuntos infinitos.

Ejercicio: sea A finito y B infinito. Demostrar que |A|<|B|, es decir, que |A||B|, pero |B||A|.

Ejercicio: Sea AB. Demostrar que |A||B|.•El conjunto infinito “más chico” es N, los números naturales.

CardinalCardinal

•Los enteros (Z), los racionales (Q), los números pares (2Z), tienen todos el mismo cardinal que N.

•Se anota 0 (“aleph 0”). Se dice que son “contables”.•Los reales (R) no tienen el mismo cardinal que N. Su cardinal, 1, es llamado “el cardinal del continuo”, y es el mismo cardinal de [0,1], R2, R3, etc.

Fin del repasoFin del repaso

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