Inférence floue

Adapté de Michael Negnevitsky

Plan

Inférence floue de Mamdani Inférence floue de Sugeno Conclusion

Base des systèmes experts et de régression flous En 1975, Ebrahim Mamdani construit un

système de contrôle pour une machine à vapeur, en appliquant un ensemble de règles floues qui copient l’expérience d’opérateurs humains.

En 1988, Michio Sugeno propose une approche alternative qui accélère les calculs pour certains problèmes

Plusieurs variantes ont été proposées depuis

Inférence floue

Règle 1IF x is A3 IF project_funding is adequateOR y is B1 OR project_staffing is smallTHEN z is C1 THEN risk is low

Règle 2IF x is A2 IF project_funding is marginalAND y is B2 AND project_staffing is largeTHEN z is C2 THEN risk is normal

Règle 3IF x is A1 IF project_funding is inadequateTHEN z is C3 THEN risk is high

Système à 2 entrées, 1 sortie et 3 règles

Inférence floue de Mamdani

Elle comprend quatre étapes:

Flouïfication des variables d’entrée Évaluation des règles Agrégation des résultats des règles Déflouïfication.

Étape 1: flouïfication

Consiste à prendre les variables d’entrée, x1 et y1 (financement_projet et personnel_projet), et déterminer leur degré d’appartenance aux ensembles flous correspondants..

Entrée durey1

0.1

0.71

0y1

B1 B2

Y

Entrée dure

0.20.5

1

0

A1 A2 A3

x1

x1 X

(x = A1) = 0.5

(x = A2) = 0.2

(y = B1) = 0.1

(y = B2) = 0.7

Étape 2 : évaluation des règles

1. On prend les entrées flouïfiées (x=A1) = 0.5, (x=A2) = 0.2, (x=A3) = 0

(y=B1) = 0.1, (y=B2) = 0.7

et on les applique aux antécédents des règles floues.

2. Si l’une de règles possède des antécédents multiples, les opérateurs flous AND ou OR sont utilisés pour obtenir le résultat final de l’évaluation.

3. Chaque résultat est alors associé à la fonction d’appartenance du conséquent correspondant.

Évaluation d’antécédents multiples

Pour évaluer la disjonction des antécédents d’une règle, on utiliser l’opération floue OR. Typiquement, les systèmes experts flous font usage de l’opération floue classique union:

AB(x) = max [A(x), B(x)]De manière similaire, la conjonction des antécédents d’une règle est évaluée à l’aide de l’opération floue AND, typiquement l’opération d’intersection:

AB(x) = min [A(x), B(x)]

Évaluation des règles floues selon Mamdani

A3

1

0 X

1

y10 Y

0.0

x1 0

0.1C1

1

C2

Z

1

0 X

0.2

0

0.2C1

1

C2

Z

A2

x1

Rule 3:

A11

0 X 0

1

Zx1

THEN

C1 C2

1

y1

B2

0 Y

0.7

B10.1

C3

C3

C30.5 0.5

OR(max)

AND(min)

OR THENRule 1:

AND THENRule 2:

IF x is A3 (0.0) y is B1 (0.1) z is C1 (0.1)

IF x is A2 (0.2) y is B2 (0.7) z is C2 (0.2)

IF x is A1 (0.5) z is C3 (0.5)

Corrélation de l’évaluation des antécédents avec le conséquent

La méthode la plus simple et la plus rapide est d’écrêter (clip) la fonction d’appartenance du conséquent au niveau du degré de vérité de l’évaluation des antécédents. Cependant, cela peut mener à une distorsion de d’information.

L’écrasement (Scaling) offre une meilleure approche pour préserver la forme de la fonction d’appartenance du conséquent. Celle-ci est simplement multipliée par une constante égale au degré de vérité de l’évaluation des antécédents.

Z

1.0

0.0

0.2

C 2

c2

c2 1.0

0.0

0.2

Z

C 2

Étape 3: Agrégation des résultats des règles

Processus d’unification des résultats de toutes les règles.

Consiste à prendre les fonctions d’appartenance de tous les conséquents, écrêtées ou écrasées, et à les regrouper en un ensemble flou composite.

00.1

1C1

Cz is 1 (0.1)

C2

0

0.2

1

Cz is 2 (0.2)

0

0.5

1

Cz is 3 (0.5)

ZZZ

0.2

Z0

C30.5

0.1

Étape 4: déflouïfication

Permet de revenir à des valeurs dures en convertissant l’ensembles des valeurs linguistiques obtenues à l’étape 3 en un nombre unique

Plusieurs approches sont possibles Calcul du centre de gravité Réseaux de neurones Régression linéaire Etc.

Méthode du centre de gravité

4.675.05.05.05.02.02.02.02.01.01.01.0

5.0)100908070(2.0)60504030(1.0)20100(

COG

1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

0 20 30 40 5010 70 80 90 10060

Z

Degree ofMembership

67.4

Une des méthodes les plus populaires ; détermine le point où une ligne verticale couperait l’ensemble flou agrégé en deux masse égales :

b

a

A

b

a

A

dxx

dxxx

CdG

( x )

1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

160 170 180 190 200

a b

210

A

150X

Un estimé raisonnable consiste à évaluer le CdG à partir d’un ensemble fini de points

Le méthode du CdG est lente en temps de calcul

Michio Sugeno propose d’accélérer le processus en définissant le résultat d’une règle par un singleton (valeur d’un point unique).

Au lieu d’un ensemble flou pour le conséquent d’une règle, l’inférence de Sugeno utilise une fonction des variables d’entrées :

IF x is AAND y is BTHEN z is f (x, y) au lieu de

z is C

Inférence de Sugeno

Modèle de Sugeno le plus courant :

IF x is AAND y is BTHEN z is k

où k est une constante.

Comme la sortie de chaque règle est une constante, le résultat global de toutes les règles est un ensemble de singletons.

Inférence de Sugeno d’ordre 0

A3

1

0 X

1

y10 Y

0.0

x1 0

0.1

1

Z

1

0 X

0.2

0

0.2

1

Z

A2

x1

IF x is A1 (0.5) z is k3 (0.5)Rule 3:

A11

0 X 0

1

Zx1

THEN

1

y1

B2

0 Y

0.7

B10.1

0.5 0.5

OR(max)

AND(min)

OR y is B1 (0.1) THEN z is k1 (0.1)Rule 1:

IF x is A2 (0.2) AND y is B2 (0.7) THEN z is k2 (0.2)Rule 2:

k1

k2

k3

IF x is A3 (0.0)

Évaluation des règles floues selon SugenoÉvaluation des règles floues selon Sugeno

Agrégation des résultats

z is k1 (0.1) z is k2 (0.2) z is k3 (0.5) 0

1

0.1Z 0

0.5

1

Z0

0.2

1

Zk1 k2 k3 0

1

0.1Zk1 k2 k3

0.20.5

Dëflouïfication de Sugeno

655.02.01.0

805.0502.0201.0

)3()2()1(

3)3(2)2(1)1(

kkk

kkkkkkWA

On prend la moyenne pondérée de toutes les valeurs des singletons :

0 Z

Sortie durez1

z1

Mamdani ou Sugeno?

La méthode de Mamdani est bien adaptée pour capturer le savoir d’experts. Permet de décrire l’expertise de manière intuitive, mais

demande un effort de calcul plus grand. La méthode de Sugeno est bien adaptée à

l’automatique et aux problèmes d’ingénierie en général Filtres adaptatifs et optimisation en temps réel,

automatique, système dynamiques non linéaires, etc.

D’autres techniques existent qui font appel à des approches hybrides (e.g. neuro-floues)