commande floue [mode de compatibilité]

Pr Aziz SOULHI : [email protected] NATIONALE SUPERIEURE DES MINES DE RABAT

A) Notion de variable floue

B) Notion de logique floue

C) Principe de la commande floue

D) Exemple introductif

E) Commande PI floue

LA COMMANDE FLOUELA COMMANDE FLOUE


NOTION DE VARIABLE FLOUENOTION DE VARIABLE FLOUE

Précision

µ (x)

x 0 x

Mesure exacte : µ (x) = 1 pour x = x0µ (x) = 0 pour x ≠ x 0

10


Imprécision

µ(x)

0x0-ε x0 x0 + ε x

x - x 0 < ε : précision ε

µ(x) = 0 si |x – x0| > ε

x – x0 + ε si x0 - ε < x < x0

µ(x) = ____________

ε

x – (x0 + ε)µ(x) = - _______________ si x0 < x < x0 + ε

ε

10


Incertitude

µ (x)

x1 x2 x

x ∈ [x1, x2]

µ (x) = 1 si x ∈ [x1, x2]

µ (x) = 0 si x ∉ [x1, x2]


Variable floue

µ (x)

x’1 x1 x2 x’2 x

x ∈ [x’1, x’2]

x ∈ ensemble de valeurs possibles ou classe

µ (x) fonction d’appartenance à cette classe

µ (x) = 1 : appartenance totale

µ (x) = 0 : non appartenance


10

0 0

11

0 1

01

0 1

X X

NEGATION

NOTION DE LOGIQUE FLOUENOTION DE LOGIQUE FLOUE

LOGIQUE CLASSIQUELOGIQUE CLASSIQUE

0 1

1

0

XY

ET, X ∩ Y

0 1

1

0

XY

OU, X∪Y


Logique floue

cohérente avec la logique classique

Exemple 1

ET : x Λ y = min {x, y }

OU : x V y = max { x, y }

Négation : x = 1 - x

Exemple 2

ET : x Λ y = xy

OU : x V y = x + y - xy

Négation : x = 1 - x


: fuzzificationA partir des données, définir des classes de situations•

• A partir de nos connaissances, définir des classes de décisions:

• A chaque classe de situation, associer une classe de décision

table de règles ou moteur d’inférence.Si situation, alors décision

• A partir des données et de la table de règles, déterminer les décisions exactes: défuzzification

:

PRINCIPE DE LA COMMANDE FLOUEPRINCIPE DE LA COMMANDE FLOUE


EXEMPLE INTRODUCTIFEXEMPLE INTRODUCTIF

µC

Eau chaude

µF

Eau froide

µT

Eau tiède

θB

µ

Le problème consiste à remplir un bassin d’eau tiède.

3 classes seront définies pour l’eau du bassin : froide, tiède ou chaude


Si l ’eau du bassin est froide, ajouter de l ’eau chaude

Si l ’eau du bassin est chaude, ajouter de l ’eau froide

Si l ’eau du bassin est tiède, ajouter de l ’eau tiède

REGLES FLOUESREGLES FLOUES


µ(θA)

Froid Tiède Chaud

θA

µ(θB)

θB

Froid Tiède Chaud

EXEMPLE INTRODUCTIFEXEMPLE INTRODUCTIF

θBASSIN

L ’eau du basin appartient à la classe froide avec le coefficient d ’appartenance µ(F)

1

1

µ(F)

L ’eau du basin appartient à la classe tiède avec le coefficient d ’appartenance µ(T)

2

2 µ(T)

Considérons maintenant la situation qui correspond à l’eau du bassin à la température θB


La décision prise est d’ajouter de l’eau chaude avec l’appartenance µF

et de l’eau tiède avec l’appartenance µT

Il convient de faire le OU de ces deux situations, par exemple en prenant l’opérateur MAX

µ(θA)

Froid Tiède Chaud

θA

µ(θ)

θB

Froid Tiède Chaud

θBASSIN


La défuzzification consiste à déterminer la valeur exacte à choisir pour θA. Nous utiliserons ici, par exemple, la méthode du centre de gravité :

∫DF θA µθA dθA

θA = ____________________

∫DF µθA dθA

DF domaine coloré

On constate qu’en fait la température de l’eau d’alimentation estparfaitement définie à partir de la température de l’eau du bassin

θA = ∫(θB)


SIMULATIONSIMULATION

Loi de commande avec défuzzification

θA

θB


La fuzzification correspond à la définition de classes de situations.

Par exemple, une personne peut être jugée très jeune, d’âge moyen, âgée ou très âgée.

Cette répartition en classes dépend de l’objectif visé et n’est pas absolue. Il existe une incertitude.

TJ J AM A JA

y

FUZZIFICATIONFUZZIFICATION


Chaque classe est définie par sa fonction d’appartenance, le plus souvent choisie trapézoïdale

L’ensemble des situations possibles constitue l’univers de discours.

Toutes les situations possibles doivent être envisagées : les classes doivent assurer un recouvrement complet de l’univers de discours.

Il doit également y avoir un chevauchement des classes pour permettre des décisions nuancées.


Ce chevauchement ne doit toutefois pas être excessif pour ne pascompliquer inutilement la recherche de la décision finale.

Il est préférable d’éviter d’avoir les fonctions d’appartenance de plusieurs classes simultanément égales à 1.


Chevauchements excessifs

Exemples de mauvaises fuzzifications

Non reconnaissance de l’univers de discours

Chevauchements insuffisants


Il ne faut pas confondre les fonctions d’appartenance avec des probabilités.

Si leurs valeurs restent comprises entre 0 et 1, leur somme pour une situation donnée peut être inférieure ou supérieure à 1.

Elles sont déterminées à partir de la connaissance du problème (expertise) et non par suite de données statistiques.

REMARQUESREMARQUES


MOTEUR D’INFERENCEMOTEUR D’INFERENCE

Ensemble des règles qui, à chaque classe de situations associe une classe de décisions. Considérons, par exemple, les situations suivantes :

•Il pleut•Le temps est incertain•Il ne pleut pas•Il fait chaud•Il fait froid

et les classes de décisions :

•Prendre un parapluie•Prendre un imperméable chaud•Ne rien prendre


Les règles peuvent être les suivantes :

- S’il pleut ou si le temps est incertain et s’il ne fait pas froid, prendreun parapluie.

- S’il pleut ou si le temps est incertain et s’il fait froid, prendre unimperméable chaud et éventuellement un parapluie.

- S’il ne pleut pas et s’il fait chaud et si le temps n’est pas incertain, ne rien prendre.

- …


La défuzzification consiste à donner une valeur exacte à la décision.

Cas d’une variable

A la classe de situation Ci, on associe la classe de décision Di

Soit x une variable appartenant à la classe Ci avec la fonctiond’appartenance à µi

DEFUZZIFICATIONDEFUZZIFICATION


C1 C2 C3 C4

x x

µ(C2)

µ(C1)


Si les classes de décisions se réduisent à des singletons

Deux solutions principales sont envisageables :

Prendre la décision Di correspondantà la classe ayant la fonction d’appartenance maximale.

Prendre la moyenne pondérée des décisions

Σi µi Di

y = ____________________

Σi µi

C1 C2 C3 C4

x x


Données et décisions sont réparties en classes

Reporter le niveau d’appartenance µi à la classe Ci sur la courbe caractérisant la classe Di

correspondante.L’approche la plus courante est la défuzzification barycentrique qui consiste à faire le OU del’ensemble des situations concernées (règles activées) par exemple prendre le MAX et déterminer le centre de gravité de la surface ainsi délimitée.

∫DF µF y dyθA = ____________________

∫DF µF dy

C1 C2 C3 C4

x x

µ(C2)

µ(C1)

D1 D2 D3 D4

y


µ(A) µ(B) µ(Y)

X1 X2 Y

A1 A2 A3 B1 B2 B3 D1 D2 D3 D4 D5

DEFUZZIFICATION DEFUZZIFICATION

Cas de plusieurs variables “ d’entrée ” et d’une variable de “ sortie ”.

Nous avons 3 classes pour chaque variable d’entrée et 5 classes pour la variable de sortie avec la table de règles suivantes pour déterminer y.


X2

X1

D2

D1

D5

D4D3

D2

A1

D3

A2 A3

B3 D3 D4

B1

B2


X1 ∈ A1 et X2 ∈ B2 alors Y ∈ D2 avec µ(Y) = min(µA1 , µB2) = µB21

X1 ∈ A1 et X2 ∈ B3 alors Y ∈ D3 avec µ(Y) = min(µA1 , µB3) = µA12

X1 ∈ A2 et X2 ∈ B2 alors Y ∈ D3 avec µ(Y) = min(µA2 , µB2) = µB23

X1 ∈ A2 et X2 ∈ B3 alors Y ∈ D4 avec µ(Y) = min(µA2 , µB3) = µA24


Prenons pour le OU le MAX et pour le ET le MINSoit l’exemple suivant avec x1 = a et x2 = b


YG

1

2

3

4

DEFFUZZIFICATIONDEFFUZZIFICATION


Prenons le OU (MAX) de toutes les situations. Il vient la surfacelimitée pour la courbe DF

La défuzzification barycentrique nous donne pour y la valeur yG

YG

∫DF y µF (y) dyYG = ____________________

∫DF µF (y)dy


COMMANDE PI FLOUECOMMANDE PI FLOUE

On veut commander un processus avec retour unitaire avec une action proportionnelle et intégrale. Les grandeurs mesurées sont :

•l’erreurε = yc – y

avec yc grandeur de consigne et y grandeur à commander

•la dérivée ε’ = dε / dtLes données sur le système sont :

•le gain statique est supposé positif•les variations admissibles de la commande U•les valeurs possibles du signal d’erreur et de et de sa dérivée sont connues.


µ(ε ) µ(dε) µ(∆u )

ε dε ∆u

N Z P N Z P GN PN Z PP GP

Nous considérons 3 classes pour ε et ε’ : positif (P), négatif (N), proche de zéro (Z) et 5 classes pour ∆u, Grand Négatif (GN), Petit Négatif(PN), proche de zéro (Z), Petit Positif (PP) et Grand Positif.Les notions de grand et de petit concernent le module de la variable ∆u


dε/dt

ε

PN

Z

N

N

Z

PN

P

Z

PPZ

Z

Z

∆ u GN

N

N

Z

N

P

PP

P

Z

GP

P

P

Z

P

N

Y

Construction de la base de règles définissant ∆U


dε

ε

PN

GN

GP

PPZ

PN

N

Z

Z P

P Z PP

N

Z



SIMULATIONSIMULATION

εdε/dt

∆u


L’influence de la définition des classes d’appartenance apparaît directement sur cet exemple :

µ(ε ) µ(dε) µ(∆ u)

ε dε ∆ u

N Z P N Z P GN PN Z PP GP


εdε/dt

∆u

COMPARAISONCOMPARAISON

εdε/dt

∆u

commande floue [mode de compatibilité]

Documents

x x0 x

x x0 x x0

x xnegationnotion

nationale superieure

appartenance totale

xypr aziz soulhi

chaudepr aziz soulhi

xpr aziz soulhi