Índices de concentración

Índices de concentraciónÍndices de concentración

Propiedades y limitesPropiedades y limites

Propiedades básicas de los índicesPropiedades básicas de los índices

1) Efecto escala1) Efecto escala

2) Pigou-Dalton2) Pigou-Dalton

3) Cambio Relativo3) Cambio Relativo

Existen otras propiedades como: la estandarización Existen otras propiedades como: la estandarización del índice, sensibilidad, descomposición inter-del índice, sensibilidad, descomposición inter-grupal e intra-grupal, etc., pero aquí no se verán.grupal e intra-grupal, etc., pero aquí no se verán.

Efecto escalaEfecto escala

El índice no debe modificarse al cambiar El índice no debe modificarse al cambiar de unidades de medida.de unidades de medida.

Si por ejemplo, medimos el ingreso de 10 individuos en pesos, calculamos Si por ejemplo, medimos el ingreso de 10 individuos en pesos, calculamos con algún índice la concentración de ingreso, pero resulta que al medirla en con algún índice la concentración de ingreso, pero resulta que al medirla en

dólares la concentración es otra, el índice no cumple la propiedad.dólares la concentración es otra, el índice no cumple la propiedad.

Igualdad absoluta

Nivel del índice

Distribución en el grupo

Desigualdad absoluta

Propiedad Pigou-DaltonPropiedad Pigou-Dalton

Si el índice crece al crecer la desigualdad, tiene la propiedad Pigou-Dalton

Los índices deben de Los índices deben de distinguir entre un tipo de distinguir entre un tipo de transferencia moderada y transferencia moderada y

extremaextrema

Cambio relativoCambio relativo

I II III IV V VI VII VIII IX X


Transferencia Moderada

Transferencia Extrema

D=X- X amínimamáxima

Índice de rango absoluto de desigualdad

Dk=Xk- Xk amínimamáxima

Análisis de Da y como no cumple el efecto escala

Al multiplicarla por un factor homogéneo a todos los individuos (para convertir a dólares vgr.), la concentración cambia en un factor “k”.

La concentración se multiplicó en k veces cuando en realidad se mantuvo.

Análisis de los índicesAnálisis de los índices

De acuerdo a sus De acuerdo a sus propiedades. El Rango propiedades. El Rango relativo, un ejemplo.relativo, un ejemplo.

x

D=

xX- X=R mínimamáxima

Índice de rango relativo

xkDk

=R

Análisis de R

Es decir a (R) no le afecta el cambio de escala.

n=x

xn=

x0-x= R

máximaMax

¿Cuál es el valor máximo de R?

Vamos a suponer que la observación más favorecida, obtiene todo el ingreso de todos los individuos.

Ante un grupo ordenado descendentemente de mayor a menos ingreso, la observación “mínima” obtendría “cero”. Por tanto:

Este es un resultado elegante, el valor de R máximo, sería igual al número de individuos “n”.

Por tanto la estandarización o acotación de R en el intervalo de 0 a 1 se podrá realizar al dividir cualquier valor de Ri/n =RE.

Esto facilita la lectura, pues si Re=0.9 estamos ante un grupo muy asimétrico.

Limites del rango relativo (R)Limites del rango relativo (R)

Pero el índice R tiene una limitación aunque Pero el índice R tiene una limitación aunque cumple el efecto escala, y es que al utilizar cumple el efecto escala, y es que al utilizar sólo observaciones extremas dentro del sólo observaciones extremas dentro del grupo omite información valiosa.grupo omite información valiosa.

Esto se puede demostrar fácilmente. Esto se puede demostrar fácilmente. Comparemos un grupo más simétrico con Comparemos un grupo más simétrico con uno polarizado en el ingreso, el índice R no uno polarizado en el ingreso, el índice R no sólo no crece, decrece.sólo no crece, decrece.

R y su sesgo por utilizar sólo a los individuos extremos R y su sesgo por utilizar sólo a los individuos extremos

Distribución más igualitaria

Distribución menos igualitaria (polarizada)

Paradójicamente el índice no capta esta diferencia, en cambio hace disminuir su nivel de desigualdad; el índice R estandarizado cae de 26% a 16%.

Hay entonces una limitación interna en el Índice R

observación grupo 1 grupo 2

1 300 200

2 100 200

3 100 200

4 100 200

5 100 200

6 100 22

7 100 22

8 100 22

9 100 22

10 10 22

Suma 1110 1110

Promedio 111 111

R 2.613 1.604

Re 26.13% 16.04%

Existen otros índices que no tienen Existen otros índices que no tienen estos problemas, auque tengan estos problemas, auque tengan

otros.otros.

Mostraremos primero el menú de Mostraremos primero el menú de índices de concentracióníndices de concentración

X-X=R mínimamáxima

x

D=

xX-X=R mínimamáxima

R

xn

|x-x|=D i

n

=1i

x

/n)x-(x=V

2

2i

n

=1i

n

)x -x (=L

2i

n

1=i2

lnLn

)( p

qq=R

i

i

i

n

=1iM

P

)Q-P(=G

i

1-n

=1i

ii

1-n

=1i

X

/n)x-(x

=X

VC

2i

n

1=i

..

)( p

qq=H

i

i

i

n

=1i

ln

Rango Absoluto

X- X=R mínimamáxima

Rango relativo

x

D=

xX- X=R mínimamáxima

R

Índice de desviación media relativa

|x-x|=|d|=D Donde Xn

|d|

=D i

n

=1ii

n

=1i

i

n

=1i

Varianza relativa

x

S=x

/n)x-(x

x

d

=V2x

2

2

2

i

n

=1I

2

i

n

=1I

=n

Varianza de logaritmos

n

)x -x (=L

2n

=1I2

lnLn

Coeficiente de Gini

P

)Q-P(=G

i

1-n

=1i

ii

1-n

=1i

Indice Rm

)( p

qq=R

i

i

i

n

=1iM

Indice de Theil

)(n p

qq=H

i

i

i

n

=1i

l

Límites en el índice de Gini y Límites en el índice de Gini y bondades de Theilbondades de Theil

G Σ

n 1

i 1(P i Q i)

Σn 1

i 1P i

equivalente a : G Área de concentración

Área a distribuir =A BD/ABC

0%

20%

40%

60%

80%

100%

120%

I II III IV V VI VII VIII IX XDeciles

% In

gres

o

G=57,08%

A

B

C

D

El índice de Gini es un índice muy El índice de Gini es un índice muy difundido para medir la distribución del difundido para medir la distribución del ingreso.ingreso.

Sin embargo tiene algunos límites, Sin embargo tiene algunos límites, mencionaremos sólo su menor sensibilidad mencionaremos sólo su menor sensibilidad ante diferentes tipo de redistribuciones. Lo ante diferentes tipo de redistribuciones. Lo compararemos con Theil, luego compararemos con Theil, luego mostraremos un límite en su construcción.mostraremos un límite en su construcción.

0

6

12

Gini Theil

Cambio del índice 1984-1994

Comparación de sensibilidad: Gini y Theil Comparación de sensibilidad: Gini y Theil

Distribuciones del ingreso México 1984 y 1994 Distribuciones del ingreso México 1984 y 1994

MéxicoMéxico

ÍndiceÍndice 19841984 19941994 DDTasa Tasa

crecimientocrecimiento

Gini Gini 50.6850.68 57.0857.08 6.46.4 12.6312.63

TheilTheil 35.4135.41 47.247.2 11.811.8 33.3033.30

Fuente: Elaboración propia con datos del Ingreso corriente monetarioFuente: Elaboración propia con datos del Ingreso corriente monetario

Encuesta nacional de ingreso gasto de los hogares.Encuesta nacional de ingreso gasto de los hogares. 1984, 1994. INEGI. La estandarización tiene el recorrido de 0 a 100. 1984, 1994. INEGI. La estandarización tiene el recorrido de 0 a 100.

0.00%

20.00%

40.00%

60.00%

80.00%

100.00%

120.00%


Deciles

% I

ngre

so

C. Equidistribución

C. Lorenz. México.1994

G=57,08%

Coeficiente de Gini. Desigualdad en México 1994

Pero hay un límite en Gini de Pero hay un límite en Gini de construcción al utilizar “áreas” de construcción al utilizar “áreas” de

concentraciónconcentración

-20.00%

0.00%

20.00%

40.00%

60.00%

80.00%

100.00%

120.00%


Deciles

% I

ngre

so

C. Equidistribución

C. Lorenz. México.1994

C. Lorenz. Caso hipotético B

G=57,08%

G=57,08%

Problema de medir la desigualdad con Gini

Dada una nueva Curva de Lorenz, el índice Gini puede mantenerse constante incluso en una distribución más desigual (“caso hipotético B”), basta mantener el área.

Esta es una seria limitación en el coeficiente de Gini.

Otra observación en los índices:

¿Por qué es más sensible L2 que V?

x

S=x

/n)x-(x

x

d

=V2x

2

2

2

i

n

=1I

2

i

n

=1I

=n

n

)x -x (=L

2n

=1I2

lnLn

Elemento de construcción básica

Comportamiento de (Xi)2 y de ( ln Xi)

2

Ante una progresiva desigualdad

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

G1 G2 G3 G4 G5 G6

Suma ( Xi)2

Suma ( ln Xi)2

0%10%20%30%40%50%60%70%80%90%

100%

G1 G2 G3 G4 G5 G6

C

B

A

¿Qué sucede si el ingreso se va repartiendo progresivamente con mayor asimetría?

Valores absolutos ( Xi)2 ( ln Xi)

2

G1 G2 G3 G4 G5 G6 G1 G2 G3 G4 G5 G6 G1 G2 G3 G4 G5 G6

2 3 4 5 5.8 5.98 4 9 16 25.00 33.64 35.76 0.48 1.21 1.92 2.59 3.09 3.20

2 2 1 0.5 0.1 0.01 4 4 1 0.25 0.01 0.00 0.48 0.48 0.00 0.48 5.30 21.21

2 1 1 0.5 0.1 0.01 4 1 1 0.25 0.01 0.00 0.48 0.00 0.00 0.48 5.30 21.21

Suma 6 6 6 6 6 6 12 14 18 25.5 33.7 35.8 1.4 1.7 1.9 3.6 13.7 45.6

n 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3

m (media) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Ln 2 =0,693

G1 G2 G3 G4 G5 G6

Suma ( Xi)2 12 14 18 26 34 35.8

Suma ( ln Xi)2 1.4 1.7 1.9 3.6 14 45.6

S ( Xi-m)2 0 2 6 14 22 23.8

S ( ln Xi-ln m)2 0 0.6 1.4 4.7 19 57.3

Indice V 0 1 3 6.8 11 11.9Indice L2 0 0.2 0.5 1.6 6.4 19.1

Distribución del ingreso en Distribución del ingreso en MéxicoMéxico

Hogares y su ingreso corriente monetario total trimestral. 1994Hogares y su ingreso corriente monetario total trimestral. 1994

(familias y miles de pesos)(familias y miles de pesos)

Total NacionalTotal Nacional % acumulado% acumulado

p ip i q iq i PiPi QiQi Pi - QIPi - QI

DecilDecil HogaresHogares IngresoIngreso% %

HogaresHogares% %

IngresoIngreso % Hogares% Hogares % Ingreso% Ingreso

TotalTotal 19,440,28019,440,280 121,740,626121,740,626100.00100.00

%% 100.00%100.00%

II 1,944,0281,944,028 1,232,5601,232,560 10.00%10.00% 1.01%1.01% 10.00%10.00% 1.01%1.01% 8.99%8.99%

IIII 1,944,0281,944,028 2,761,1062,761,106 10.00%10.00% 2.27%2.27% 20.00%20.00% 3.28%3.28% 16.72%16.72%

IIIIII 1,944,0281,944,028 3,980,8053,980,805 10.00%10.00% 3.27%3.27% 30.00%30.00% 6.55%6.55% 23.45%23.45%

IVIV 1,944,0281,944,028 5,186,6215,186,621 10.00%10.00% 4.26%4.26% 40.00%40.00% 10.81%10.81% 29.19%29.19%

VV 1,944,0281,944,028 6,512,4756,512,475 10.00%10.00% 5.35%5.35% 50.00%50.00% 16.16%16.16% 33.84%33.84%

VIVI 1,944,0281,944,028 8,123,3908,123,390 10.00%10.00% 6.67%6.67% 60.00%60.00% 22.83%22.83% 37.17%37.17%

VIIVII 1,944,0281,944,028 10,264,50010,264,500 10.00%10.00% 8.43%8.43% 70.00%70.00% 31.26%31.26% 38.74%38.74%

VIIIVIII 1,944,0281,944,028 13,628,64213,628,642 10.00%10.00% 11.19%11.19% 80.00%80.00% 42.46%42.46% 37.54%37.54%

IXIX 1,944,0281,944,028 19,842,53919,842,539 10.00%10.00% 16.30%16.30% 90.00%90.00% 58.76%58.76% 31.24%31.24%

XX 1,944,0281,944,028 50,207,98850,207,988 10.00%10.00% 41.24%41.24% 100.00%100.00% 100.00%100.00%

SumatoriaSumatoria 4.504.50 2.572.57

C. GiniC. Gini 57.08%57.08%

I II III IV V VI VII VIII IX X C1

10%

20%

30%

40%

50%

60%

70%

80%

90%

100%

1% 3% 7%11%

16%23%

31%

42%

59%

100%

0.00%

20.00%

40.00%

60.00%

80.00%

100.00%

Distribución del ingreso corriente monetarioMéxico 1994

Curva de equidistribución y Lorenz. Con datos del INEGI

Análisis de sensibilidad de los Análisis de sensibilidad de los índicesíndices

Se mostrará el cambio que tiene cada índice con Se mostrará el cambio que tiene cada índice con objetivo de observar su sensibilidad.objetivo de observar su sensibilidad.

Para ello tendremos tres grupos diferentes: el Para ello tendremos tres grupos diferentes: el grupo 1 será la base de comparación, el grupo 2 grupo 1 será la base de comparación, el grupo 2 sufrirá una transferencia moderada y el grupo 3 sufrirá una transferencia moderada y el grupo 3 una transferencia extrema.una transferencia extrema.

El grupo tendrá 10 individuos y se repartirá un El grupo tendrá 10 individuos y se repartirá un Ingreso de 1110 $, por tanto el promedio “ideal”, Ingreso de 1110 $, por tanto el promedio “ideal”, para cada individuo será de 111 $/persona.para cada individuo será de 111 $/persona.

observación grupo 1 grupo 2 grupo 31 300 250 2502 100 150 1003 100 100 1004 100 100 1005 100 100 1006 100 100 1007 100 100 1008 100 100 1009 100 100 100

10 10 10 60Suma 1110 1110 1110

Promedio 111 111 111R 2.613 2.162 1.712Re 26.13% 21.62% 17.12%Disminución 4.50% 9.01%

Transferencia moderada

Transferencia extrema

Tabla de valores originales y Rango relativo

Desviaciones respecto a la media

observación grupo 1 grupo 2 grupo 3

1 189 139 139

2 11 39 11

3 11 11 11

4 11 11 11

5 11 11 11

6 11 11 11

7 11 11 11

8 11 11 11

9 11 11 11

10 101 101 51

Suma 378 356 278

Promedio 111 111 111

D 0.341 0.321 0.250

De 18.92% 17.82% 13.91%

Disminución 1.10% 5.01%

Desviación media relativa

Redistribución Redistribución

Original Moderada Extrema


1 35721 19321 19321

2 121 1521 121

3 121 121 121

4 121 121 121

5 121 121 121

6 121 121 121

7 121 121 121

8 121 121 121

9 121 121 121

10 10201 10201 2601

Suma 46890 31890 22890

Promedio 111 111 111

V 0.381 0.259 0.186

Ve 4.23% 2.88% 2.06%


Varianza relativa

Redistribución Redistribución

Original Moderada Extrema


1 0.99 0.66 0.66

2 0.01 0.09 0.01

3 0.01 0.01 0.01

4 0.01 0.01 0.01

5 0.01 0.01 0.01

6 0.01 0.01 0.01

7 0.01 0.01 0.01

8 0.01 0.01 0.01

9 0.01 0.01 0.01

10 5.79 5.79 0.38

Suma 6.87 6.62 1.12

Promedio 4.71 4.71 4.71

L 2 0.69 0.66 0.11

Disminución 0.02 0.57

Varianza de logaritmos

Original Moderada Extremagrupo 1, 2 y 3 grupo 1 grupo 2 grupo 3

observación Pi Qi Qi Qi Pi-Qi Pi-Qi Pi-Qi1 10.00% 27.03% 22.52% 22.52% -17.03% -12.52% -12.52%2 20.00% 36.04% 36.04% 31.53% -16.04% -16.04% -11.53%3 30.00% 45.05% 45.05% 40.54% -15.05% -15.05% -10.54%4 40.00% 54.05% 54.05% 49.55% -14.05% -14.05% -9.55%5 50.00% 63.06% 63.06% 58.56% -13.06% -13.06% -8.56%6 60.00% 72.07% 72.07% 67.57% -12.07% -12.07% -7.57%7 70.00% 81.08% 81.08% 76.58% -11.08% -11.08% -6.58%8 80.00% 90.09% 90.09% 85.59% -10.09% -10.09% -5.59%9 90.00% 99.10% 99.10% 94.59% -9.10% -9.10% -4.59%10 100.00% 100.00% 100.00% 100.00%

Suma n-1 4.5 -1.18 -1.13 -0.77

Redistribución RedistribuciónOriginal Moderada Extremagrupo 1 grupo 2 grupo 3

Gini -26.13% -25.13% -17.12%

Nota Bene : Recordemos que G exige una ordenación ascendente

El no tenerla implicará anticipadamente un índice

de igual magnitud, pero con signo contrario.

Coeficiente de Gini

Redistribución RedistribuciónOriginal Moderada Extrema

grupo 1, 2 y 3 grupo 1 grupo 2 grupo 3

( p i ) (q i ) (q i ) (q i )

10.00% 27.03% 22.52% 22.52%10.00% 9.01% 13.51% 9.01%10.00% 9.01% 9.01% 9.01%10.00% 9.01% 9.01% 9.01%10.00% 9.01% 9.01% 9.01%10.00% 9.01% 9.01% 9.01%10.00% 9.01% 9.01% 9.01%10.00% 9.01% 9.01% 9.01%10.00% 9.01% 9.01% 9.01%10.00% 0.90% 0.90% 5.41%100.00% 100.00% 100.00% 100.00%

Datos transformados de los datos originales en % relativas

Original Moderada Extremagrupo 1 grupo 2 grupo 3

observación q i (q i /pi ) q i (q i /pi ) q i (q i /pi )

1 0.73 0.51 0.512 0.08 0.18 0.083 0.08 0.08 0.084 0.08 0.08 0.085 0.08 0.08 0.086 0.08 0.08 0.087 0.08 0.08 0.088 0.08 0.08 0.089 0.08 0.08 0.08

10 0.00 0.00 0.03Rm 1.38 1.26 1.19Rme 4.23% 2.88% 2.06%


Coeficiente Rm

Redistribución RedistribuciónOriginal Moderada Extremagrupo 1 grupo 2 grupo 3

observación qi ln(qi/pi ) qi ln(qi/pi ) qi ln(qi/pi )

1 0.27 0.18 0.182 -0.01 0.04 -0.013 -0.01 -0.01 -0.014 -0.01 -0.01 -0.015 -0.01 -0.01 -0.016 -0.01 -0.01 -0.017 -0.01 -0.01 -0.018 -0.01 -0.01 -0.019 -0.01 -0.01 -0.0110 -0.02 -0.02 -0.03H' 0.17 0.14 0.07

H'e 7.46% 5.91% 3.23%Disminución 1.55% 4.23%

Índice de Theil

Redistribución RedistribuciónOriginal Moderada Extrema Decrecimiento

Índice G1 G2 G3 G1 a G2 G1 a G2 G1 a G3

Re 26.13% 21.62% 17.12% 4.50% 9.01% -34.48%

De 18.92% 17.82% 13.91% 1.10% 5.01% -26.46%

Ve 4.23% 2.88% 2.06% 1.35% 2.16% -51.18%

Gini 26.13% 25.13% 17.12% 1.00% 9.01% -34.48%

Rme 4.23% 2.88% 2.06% 1.35% 2.16% -51.18%

H'e 7.46% 5.91% 3.23% 1.55% 4.23% -56.70%

Resúmen

Reflexión crítica en la utilización de Gini para el caso de la distribución del ingreso y la pertinencia del cambio relativo

Jesús estaba una vez sentado frente a los cofres de las ofrendas, mirando como la gente echaba dinero en ellos. Muchos ricos echaban mucho dinero. En eso llego una viuda pobre, y echó en uno de los cofres dos moneditas de cobre, de muy poco valor. Entonces Jesús llamó a sus discípulos y les dijo:

- Les aseguro que esta viuda pobre ha dado más dinero que todos los otros que echan dinero en los cofres; pues todos dan de lo que les sobra, pero ella en su pobreza, ha dado todo lo que tenía para vivir-.

Marcos 12. 41-44.

Los concentración del ingreso Los concentración del ingreso en el mundoen el mundo

Disparidades de ingreso a nivel internacional % de ingreso internacional

20% más rico

20% más

pobre

Relación 20% más

rico al 20% más pobre

Gini

1960 2.3 70.2 30 a 1 69%

1970 2.3 73.9 32 a 1 71%

1980 1.7 76.3 45 a 1 79%

1989 1.4 82.7 59 a 1 87%

Fuente: ONU. Desarrollo humano 1992. Tercer mundo editores. Bogotá , Colombia. p.86 .

El cuarto estado

Índices de concentración

Documents