Index-számításIndex-számítás

1.előadás1.előadás

Indexszámítás során megválaszolandó kérdések

Hogyan változott a termelés értéke, az értékesítés árbevétele, az értékesítési forgalom ?

Hogyan változott a termelés, értékesítés mennyisége ?

Hogyan változott a termékek ára, az árszínvonal ?

AlapfogalmakAlapfogalmakA termékek kisebb-nagyobb körére

vonatkozó összesített értékadatokat aggregátumoknak, magát az értékben való összesítést aggregálásnak nevezzük.

Indexszám: Közvetlenül nem összesíthető adatok összetett összehasonlító viszonyszáma

Az indexszámítás keretén belül az egyes cikkekre vonatkozó viszonyszámokat egyedi indexeknek nevezik.

Indexek típusai

Lehet

Időbeli Területi Egyedi Összetett (aggregát)

Pl.: tárgyidőszaki és bázisidőszaki mennyiségek hányadosa

n

ii

n

ii

q

q

qI

10

11

*

Jelölések:v: érték, árbevétel, forgalomp: egységárq: mennyiség

Egyedi indexek: iv; ip; iqÖsszetett indexek: Iv; Ip; Iq

Értékindex A termékek összességét tekintve a termelési érték (árbevétel, forgalom) együttes, átlagos változását mutatja.

n

iii

n

iii

n

ii

n

ii

v

pq

pq

v

vI

100

111

10

11

v

vv

i

v

v

v

iv

pq

pq

v

vI

1

1

0

0

00

11

0

1

ÁrindexÁrindexAz árindex különböző termékek,

árucikkek árainak együttes, átlagos változását, röviden: az árszínvonal változását mutatja.

Az árindex arra a kérdésre válaszol, hogy egy különböző termékek meghatározott mennyiségeiből álló termékhalmaz ára – a különböző mértékű, esetleg különböző irányú árváltozások együttes eredményeképpen – hogyan változott?

ÁrindexÁrindex

Attól függően, hogy bázisidőszaki vagy tárgyidőszaki mennyiségi adatokat használunk az árindex kiszámításához, a következő formulákat kapjuk:

,

100

110

0

n

iii

n

iii

p

pq

pq

I .

101

111

1

n

iii

n

iii

p

pq

pq

I

Bázisidőszaki súlyozású Bázisidőszaki súlyozású árindexárindex(Laspeyres-féle árindex)(Laspeyres-féle árindex)

0

0

00

100

v

iv

pq

pqI pp

Tárgyidőszaki súlyozású Tárgyidőszaki súlyozású árindexárindex(Paasche-féle árindex)(Paasche-féle árindex)

p

p

iv

v

pq

pqI

1

1

01

111

VolumenindexVolumenindexKülönböző termékek, árucikkek

termelt, (eladott, fogyasztott) mennyiségeinek együttes átlagos változását mutatja.

A volumenindex arra ad választ: Hogyan változott volna az aggregátum, ha az egyes termékeknél az érték két tényezője közül csak a termelt mennyiség változott volna?

VolumenindexVolumenindex

Attól függően, hogy tárgyidőszaki, vagy bázisidőszaki árakat használunk a volumenindex meghatározásához kétféle formulát különböztetünk meg:

n

iii

n

iii

q

pq

pq

I

100

101

0

n

iii

n

iii

q

pq

pq

I

110

111

1

Bázisidőszaki súlyozású Bázisidőszaki súlyozású volumenindexvolumenindex(Laspeyres-féle (Laspeyres-féle volumenindex)volumenindex)

0

0

00

010

v

iv

pq

pqI qq

Tárgyidőszaki súlyozású Tárgyidőszaki súlyozású volumenindexvolumenindex(Paasche-féle (Paasche-féle volumenindex)volumenindex)

q

q

iv

v

pq

pqI

1

1

10

111

Aggregát-indexek Aggregát-indexek tulajdonságaitulajdonságai

Az egyedi indexek számtani, vagy harmonikus átlaga, amely körül az egyedi indexek szóródnak.

Mindaz, amit (a számtani és a harmonikus) átlagról tudunk, az aggregát-indexekre is igaz.

Számszerű értéke nem eshet kívül a legkisebb és legnagyobb egyedi index által meghatározott intervallumon.

Az egyes cikkek egyedi indexe annál jobban közelít az aggregát-indexhez, minél nagyobb súllyal szerepel az adott cikk az összértéken belül.

Súlyként az értékadatok helyett a belőlük számított megoszlási viszonyszámokat is használhatjuk.

IndexpróbákIndexpróbákösszemérhetőségi próba;időpróba,tényezőpróba,arányossági vagy átlagpróba,láncpróba.

IndexpróbákIndexpróbák

Az összemérhetőségi próba azt a követelményt támasztja az indexformulával szemben, hogy a vele kiszámított index értéke ne függjön az alapadatok mértékegységétől.

Az időpróba azt a követelményt támasztja az indexformulával szemben, hogy az időszakok felcserélésével számított indexek között reciprok viszony álljon fenn.A Laspeyres- és a Paasche-formula megbukik ezen a próbán.

IndexpróbákIndexpróbákA tényezőpróba szerint az

értékindexnek egyenlőnek kell lennie a tényezők indexeinek szorzatával. (Sem a Laspeyres-, sem a Paasche-formula nem elégíti ki ezt a követelményt).

Az arányossági próba elvárja a formulától, hogy abban az esetben, ha minden cikk ára (mennyisége) azonos arányban változik, akkor az árindex (volumenindex) legyen egyenlő ezzel az aránnyal.

Fisher-féle indexekFisher-féle indexekA Laspeyres –, és a Paasche formulák

átlagolásával új indexformulát alkotott, mely eleget tesz a tényezőpróba és az időpróba követelményeinek.

A gyakorlati alkalmazás előnyben részesíti a Laspeyres- és Paasche-féle formulákat.

Hazánkban pl. Laspeyres formulával számítják a fogyasztói árindexet.

Fisher-féle árindex (keresztezett formula)

n

ii

n

ii

n

ii

n

ii

ppFp

qp

qp

qp

qpIII

110

111

100

101

10 *

Fisher-féle volumen-index

keresztezett formula

n

ii

n

ii

n

ii

n

ii

qqFq

qp

qp

qp

qpIII

101

111

100

110

10 *

Index-összefüggések iv = iq i p

0

1

0

1

0

1

p

p

q

q

v

v

Fq

Fpv III *

10 * qpv III

01 * qpv III

Aggregátumok különbsége

Összefüggés: Kv = Kq + Kp.

vKpqpq 0011

qKpqpq 0001

.0111 pKpqpq

Mintapélda

Termék Mértékegység

Értékesítettmennyiség

Eladási ár(Ft/ egység)

2001December

2002Január

2001December

2002Január

Kenyér Kg 80 86 155 175Tej Liter 95 106 130 125Virsli Pár 60 55 120 140Vaj Doboz 20 27 240 255Cukor Kg 45 57 180 185

•Számítsa ki az egyedi ár-, érték-, és volumenindexeket!•Számítsa ki az együttes árindexet a tanult formákban!•Határozza meg a termékek együttes volumenindexét bázis- és tárgyidőszaki súlyozással!•Számítsa ki az együttes értékindexet a lehetséges formákban!•Az értékesítés bevételének változását bontsa fel az ár és a volumenváltozás hatására!

Egyedi indexek

Termék

Kenyér 112,90% 107,50% 121,37%Tej 96,15% 111,58% 107,29%Virsli 116,67% 91,67% 106,94%Vaj 106,25% 135,00% 143,44%Cukor 102,78% 126,67% 130,19%Összesen - - 119,13%

0

1

p

pip

0

1

q

qiq

0

1

v

viv

Mellékszámítás

Termék q0 * p0 q1 * p1 q0 * p1 q1 * p0

Kenyér 124.000 150.500 140.000 133.300

Tej 123.500 132.500 118.750 137.800

Virsli 72.000 77.000 84.000 66.000

Vaj 48.000 68.850 51.000 64.800Cukor 81.000 105.450 83.250 102.600Összesen 448.500 534.300 477.000 504.500

Bázisidőszaki súlyozású árindex

%35,106500.448

000.477

00

100

pq

pqIp

%35,1065,448

0278,1810625,1481667,1729615,05,123129,11240

Ip

%35,106

0278,1

83250

0625,1

51000

1667,1

84000

9615,0

118750

129,1

140000477000

10

100

ip

pq

pqIp

%91,105504500

534300

01

111

pq

pqIp

01

011

pq

ippqIp

%91,105504500

0278,11026000625,1648001667,1660009615,0137800129,11333001

Ip

%91,105

0278,1

105450

0625,1

68850

1667,1

77000

9615,0

132500

129,1

150500534300

11

111

ip

pq

pqIp

Tárgyidőszaki súlyozású árindex

%91,105504500

534300

01

111

pq

pqIp

01

011

pq

ippqIp

%91,1055,504

0278,16,1020625,18,641667,1669615,08,137129,13,1331

Ip

%91,105

0278,145,105

0625,185,68

1667,177

9615,05,132

129,15,150

3,534

1

11

piv

vIp

Volumenindexek

%49,112448500

504500

00

010

pq

pqIq

%01,112477000

534300

10

111

pq

pqIq

Értékindex

%13,119448500

534300

00

11

pq

pqIv

0

0

v

ivIv v

%13,1195,448

3019,1814344,1480694,1,720729,15,1232137,1124

Iv

%13,119

3019,183250

4344,151000

0694,184000

0729,1118750

2137,1140000

477000

1

1

viv

vIv

Különbségfelbontás

858004485005343000011 pqpqKv

298005045005343000111 pqpqKp

560004485005045000001 pqpqKq

IndexsorokKettőnél több időszakra

vonatkozó indexek sorozata

Indexsorok csoportosításaTartalma szerint:

◦ érték◦ ár◦ volumen

Az időszakok összehasonlítási rendje szerint:◦ bázis◦ lánc

A súlyozás módja szerint:◦ állanó súlyozású◦ változó súlyozású

Területi indexekTerületi indexekA területi volumenindex arra ad választ,

hogy bizonyos termékek összességére nézve, az összehasonlítandó területeken a termelés, értékesítés mennyisége hányszorosa, hányadrésze (hány százaléka) az összehasonlítás alapjául szolgáló terület termelésének, értékesítésének.

A területi árindex azt mutatja meg, hogy az egyik területen kialakult árszínvonal milyen arányban áll a másik egység árszínvonalával. Ha az összehasonlított egységek (eltérő valutájú) országok, akkor a területi árindex a két valuta egy egysége értékének (vásárlóerejének) arányát jelzi.

Indexek a gyakorlatbanFogyasztói árindex: A lakosság által

vásárolt termékek és szolgáltatások átlagos árváltozását méri.

Agrárolló: A mezőgazdasági termékek értékesítési árindexének, és a mezőgaz-daságban felhasznált iparcikkek beszerzési árindexének a hányadosa.

Cserearányindex: Az ország által expor-tált, és importált termékek árindexeinek a hányadosa.

Indexek a gyakorlatbanReálkereset-indexGDP volumen-indexeKülkereskedelem volumenindexei

Egy piaci árusnál a kiemelt zöldségfélék forgalmáról az alábbiakat ismerjük:

Zöldségféle

Március Április Eladott

mennyiség Egységár (Ft/ mértékegység)

Forgalom (Ft) Eladott

mennyiség Egységár (Ft

/mértékegység) Forgalom (Ft)

q0 p0 q0p0=v0 q1 p1 q1p1=v1 Paprika 8200 db 70 574000 9500 db 40 380000 Paradicsom 1220 kg 510 622000 2340 kg 350 819000 Uborka 380 kg 400 152000 550 kg 310 170500 Összesen - - 1348200 - - 1369500

Az egyes zöldségfélék árváltozása:

0

1

p

pip

%5,77775,0400

310 :uborka

%6,686862,0510

350 :paradicsom

%1,575714,070

40 :paprika

Együttes árindex a bázisidőszak mennyiségével súlyozva:

Együttes árindex a tárgyidőszak mennyiségével súlyozva:

6473,01348200

872800

4003805101220708200

3103803501220408200

00

100

pq

pqI p

689,02078400

1369500

4005505102340709500

3105503502340409500

01

111

pq

pqI p

A tárgyidőszaki mennyiséggel súlyozva az árváltozás miatt a forgalom csökkent:Kp=∑q1p1-∑q1p0=1369500-20784000=-708900 Ft

A kétféle súlyozású index átlaga:%3,656529,0426373,0659,0647,0 F

pI

Cikkenkénti forgalomcsökkenés paprika 9500•(40-70)=9500•(-30)= –285000 Ft paradicsom 2340•(350-510)=2340•(-160)= –374400 Ft uborka 550•(310-400)=550•(-90)= –49500 Ft Együtt –708900 Ft

Az egyes zöldségfélék eladott mennyiségének alakulása:

0

1

q

qiq

%7,144447,1380

550 :uborka

%8,191918,11220

2340 :paradicsom

%8,115158,18200

9500 :paprika

Együttes árindex a bázisidőszak mennyiségével súlyozva:

Együttes volumenindex a tárgyidőszak mennyiségével súlyozva:

%2,154542,11348200

2078400

4003805101220708200

4005505102340709500

00

010

pq

pqIq

%9,156569,1872800

1369500

3103803501220408200

3105503502340409500

10

111

pq

pqIq

A bázisidőszaki árakkal súlyozva a mennyiségváltozás miatt a forgalomcsökkenés:Kq=∑q1p0-∑q0p0=20784000-1348200=730200 Ft

A Fisher-féle volumenindex:%5,155555,1569,1542,1 FqI

Cikkenkénti forgalomcsökkenés paprika 70•(9500-8200)= 91000 Ft paradicsom 510•(2340-1220)= 571200 Ft uborka 400•(550-380)= 68000 Ft Együtt 730200 Ft

Köszönöm a figyelmet!