Implicaciones del Tiempo-Espacio Einsteiniano

Alejandra Olivas-Dávila

ABSTRACT.

Una fijación equivocada en un sistema objetual es intrínseca a concepciones obsoletas del espacio-

tiempo. Para lograr una versión mas precisa de la realidad, premisas iniciales como la concepción de un

objeto deben ser clarificadas. A través de este argumento se presentaran razones tomadas de las teorías

especial y general de la relatividad Einsteniana. El propósito es demostrar que un objeto es una

individuación epistémica cultivada a través de nuestras observaciones de las relaciones metafísicas del

tiempo-espacio; es decir, nuestra concepción de objetos es equivocada al tomar en cuenta los

fenómenos relativísticos desde un punto de vista ontológico. Para empezar a explicar objetos, relaciones

y tiempo-espacio, trazaré el conflicto entre mecánica clásica y electromagnetismo. Resultante a este

trazo sale la necesidad de un sistema dinámico como herramienta teórica. Un sistema estático había

sido asumido por las teorías naturales desde Aristóteles hasta Newton. Para efectos de medición se

dejaron de lado la complejidad y el dinamismo presente en un fenómeno natural. En esta omisión

metodológica y confusión metafísica entra Einstein y su relatividad.

ANTES DE LA RELATIVIDAD.

Una de las premisas iniciales que fabricaron la mecánica clásica es la adición de velocidades dentro de la

relatividad Galileana. Se asume que las se puede agregar velocidad infinitamente. Galileo iniciando en

su Motu y dando continuación en Las Dos Ciencias, presenta un concepto desconocido hasta entonces,

presentándolo bajo el nombre de aceleración. Dicho concepto permite que

(1) v1+v2+v3+…vn ∞

Sea posible. En (1) se presenta la inexistencia de un límite de aceleración.

Otra premisa esencial de la mecánica clásica es el uso de un marco de referencia universal. El concepto

emerge como concepto unificado en De Caelo de Aristóteles estableciendo el centro de la Tierra como

marco de referencia preferido1. Al establecer un punto de referencia universal, todo sistema de

medición se lleva acabo a partir de ese punto. La Tierra como punto de referencia se ve comprometida

ante el análisis de Copérnico y tiempo después es sustituido por el Sol2. Este punto de referencia es

aplicado como marco de referencia universal solo hasta la crítica Cartesiana que establece un sistema

relativista ingenuo3. El sistema de referencia Cartesiano completamente relativiza los marcos de

referencia, creando un sistema caótico en necesidad de reformación. En este caos sistemático aterriza

Newton con el restablecimiento de un marco de referencia universal respaldado por su teoría

gravitacional4. Dada la repetición de eventos y el gran valor teórico al fin sustentado, la gravedad

1 Barbour, Julian(2007) El Descubrimiento de la Dinámica. Prentice Hall

2 Ibid.

3 Ibid.

4 Okasha, Samir. (2002)Problemas Filosóficos en Biología, Física y Psicología. Oxford UP

Newtoniana muestra una dependencia inmediata al centro de la tierra. Ya una vez establecido el

paradigma Newtoniano con tan inminente evidencia físico-matemática se requeriría de un cambio

radical a la universalidad del marco de referencia preferente.

Por ultimo, la mecánica clásica quedaría mal caracterizada sin incluir las premisas establecidas por

Newton sobre tiempo y espacio absolutos. Para lograr la fortaleza teórica del cálculo del fenómeno del

cambio, Newton asume principalmente que el tiempo es absoluto. Pero que significa esto? Newton

establece un reloj universal el cual funciona igual en todo el universo. El tiempo transcurre igual para

cualquier entidad, en cualquier localidad. De esta manera, Newton evade inconsistencias de medición.

Después de todo, si usamos el mismo reloj para todo el universo, nada puede estar desfasado. En

cuestión del espacio, Newton utiliza la idea de un contenedor universal del cual ningún fenómeno

escapa. El espacio absoluto es aquel necesario para que ocurran eventos, pero separado de ellos; como

peces atrapados en una red. Para Newton cualquier movimiento es “relativo a un espacio absoluto que

trasciende temporalidad, es rígido, 3-dimensional y Euclidiano”5 de manera que el tiempo y el espacio

son entidades separadas, y el espacio a su vez es completamente axiomatizable.

RELATIVIDAD ESPECIAL.

La adición de velocidades bajo relatividad Galileana no es una premisa valida al contrastarse con el

límite de la velocidad de la luz. A través del electromagnetismo se establece una constante a la

velocidad máxima alcanzada por la luz en un espacio vacio6. Bajo (1) es posible que se viole el límite de

la siguiente manera:

(2) c + c + c = 3c

Esta es una ecuación falsa ya que de acuerdo a los postulados del electromagnetismo se debe cumplir la

siguiente ecuación:

(3) E=mc2

La cual especifica que cualquier energía es contenida por una masa. Esta ecuación es conocida como la

“equivalencia energía-masa”7 y en ella E representa la energía total de un sistema físico S. El símbolo m

representa la masa relativística de S. Esta masa es relativística ya que esta siendo medida por un

observador que se mueve a cierta velocidad constante v con respecto a S. “La Mecánica clásica requería

ser modificada… esta modificación afecta solo las leyes para movimientos rápidos, en las cuales las

velocidades no son muy pequeñas comparadas con la velocidad de la luz”8 velocidades altas son un reto

epistémico que enfrentado por medio de las leyes de Newton falla en dar un recuento preciso. Al

5 Huggett, Nick. 2006. Stanford Encyclopedia of Philosophy. Teorías Absolutas y Relacionales sobre Espacio y

Movimiento. 6 Se asume un espacio vacio para esta constante. La luz viaja a diferentes velocidades si es interrumpida de

diferentes tipos de obstáculos: agua, objetos opacos, etc… 7 Fernflores, Francisco. 2001. Stanford Encyclopedia of Philosophy. Equivalencia Masa-Energía.

8 Einstein, Albert. El 2005. Significado de la Relatividad.

momento de relativizar la medición al observador en velocidad constante, Einstein establece el inicio de

la descentralización Newtoniana.

Una vez establecida la relación entre masa y energía, y el límite de velocidades el paso siguiente es

entender el rol del tiempo en estos fenómenos. Uno de los conceptos que emergen del establecimiento

de la velocidad de la luz es el de simultaneidad. Einstein utiliza el ejemplo

“Dos rayos han caído en los rieles de las vías en dos puntos, A y B, distantes el uno del otro.

Haré la aserción que estos dos rayos de luz ocurrieron simultáneamente…La línea conectiva AB

debe ser medida y un observador colocado en el punto medio M de AB…si el observador percibe

los dos rayos de luz al mismo tiempo, entonces son simultáneos… esto es que la luz requiere el

mismo tiempo en viajar de AM que de BM”9

Ahora pensemos en este mismo ejemplo de otra forma. Se sustituye el punto medio M por un punto

mas cercano a A, digamos N. El observador reportaría que el rayo A cae primero que el rayo B, siendo

que la luz viajaría mas pronto AN que BN, por lo cual los eventos no son simultáneos. Einstein

llama atención a la dependencia del concepto “simultaneidad” con el observador y su posición,

concluyendo que la simultaneidad es relativa.

Al explicar la relatividad de eventos simultáneos Einstein nos invita a cuestionar la naturaleza del

tiempo. Si dos eventos son simultáneos en una perspectiva y no simultáneos en otra ¿Qué nos dice esto

sobre la concepción absoluta del tiempo? Hasta ahora hemos trabajado bajo la idea newtoniana de

tiempo absoluto. Bajo ésta idea el tiempo debe ser uniforme y universal, de manera que si AN es

verdadero entonces BN es falso y viceversa. Tradicionalmente calculamos tiempo, distancia y

velocidad por medio de:

(4)

En esta formula solo podemos incluir un tiempo a la vez, y el dilema es escoger evento [ AM ] y

[BM]. No obstante si dejamos a un lado el absolutismo newtoniano el dilema se acaba. Para dejar

atrás este dilema Einstein utiliza la transformación de Lorentz a manera de incluir 2 tiempos, tA & tB:

(5)

En esta formula se puede hablar de dos eventos con tiempos propios y propiedades propias dentro del

mismo contexto. Al momento de incluir tA & tB se habilita la comparación de eventos reportados por

distintos observadores. Sin embargo, las implicaciones de esta ecuación son de gran efecto al

pensamiento Newtoniano. Como se señaló anteriormente, el tiempo absoluto es universal y uniforme.

El hecho de considerar tA & tB como eventos ontológicos es una provocación directa al ideal

newtoniano. Pero lo que nos demuestra Einstein por medio de estos ejemplos y la transformación de

9 Einstein, Albert. Relatividad. Sobre la Idea del Tiempo en la Física.

Lorentz es que el tiempo depende de la relación que tenga con el evento en cuestión. Por lo tanto,

Einstein desbanca así la ontología del tiempo absoluto para suplantarla con la relatividad del tiempo.

Ahora analicemos el siguiente paso del argumento. Tradicionalmente (con escasas excepciones10) se ha

analizado a la naturaleza en base a 3 dimensiones: x para la dimensión lineal, y para altura & z para

fondo. Esta caracterización del espacio ha dejado a un lado al tiempo como factor independiente. En

otras palabras, se ha hablado de tiempo y espacio como entes separados.

Ante la relación de masa y energía (E=mc2 ), se puso en análisis un par de efectos notables que

experimentan los cuerpos al acelerarse. El primer efecto notable muestra que conforme un cuerpo

aumenta su velocidad acercándose a c el cuerpo experimenta una contracción de longitud. Einstein

propone un experimento en el cual se observe el comportamiento de una varilla rígida en movimiento

experimentando diferentes velocidades11 en el cual se registra que “La varilla rígida es más corta cuando

se mueve que cuando esta en reposo, y mientras más rápidamente se mueva, mas corta es la

varilla.”12Este fenómeno se conoce como contracción de longitud13. El segundo efecto que notable que

surge a raíz de la relación entre masa y energía en movimiento funciona de la misma manera que el

efecto anterior. En un objeto en movimiento se coloca un reloj. Conforme el objeto acelera acercándose

a c se indica que “como consecuencia de su movimiento el reloj se mueve mas despacio cuando esta en

movimiento que cuando esta en reposo”14. Este fenómeno se conoce como dilatación del tiempo.

Einstein explica con respecto a la dilatación del tiempo que “aquí también, la velocidad c juega la parte

de una velocidad limitante inalcanzable” 15 ya que al acercarse mas a c el objeto experimenta el tiempo

de una manera distinta, esto es, la velocidad afecta al objeto.

En base a los efectos anteriores, cabe resaltar que el movimiento forma una parte fundamental del

objeto, ya que la velocidad afecta tanto la longitud (extensión espacial) como el tiempo (extensión

temporal). Einstein concluye de estos dos efectos, contracción de longitud y dilatación del tiempo, que

tiempo y espacio no se muestran como propiedades naturales independientes la una de la otra. Al

contrario son un solo fenómeno: Espacio-Tiempo. De esta manera debemos incluir en nuestro recuento

de dimensiones no solo x,y & z sino también t.

Habiendo ya mostrado las implicaciones ontológicas del movimiento de los cuerpos, ahora el argumento

se mueve al aspecto representacional de la teoría. Para poder expresar x,y,z & t un simple plano

cartesiano no será suficiente. En un plano cartesiano se expresan figuras estáticas, bi-dimensionales y en

10

Ya había sido Aristóteles10

, en su Metafísica, quien notó que esta separación no era del todo una representación de la naturaleza. Aristóteles incorpora al tiempo como propiedad de cualquier sistema al hablar de los conceptos de anterioridad y posterioridad. 11

Einstein, Relatividad §12 12

Ibid., 13

La contracción de longitud por incremento en velocidad había sido notada inicialmente por Henryk Lorentz; al analizar los resultados de los experimentos de Michelson & Morley, llamándosele al fenómeno contracción Lorentz. Huggett, Nick. 2006. Stanford Encyclopedia of Philosophy. Teorías Absolutas y Relacionales sobre Espacio y Movimiento. 14

Einstein, Relatividad §12 15

Ibid.,

su más compleja expresión tri-dimensionales. Al unificar tiempo y espacio, Einstein no puede utilizar una

herramienta de medición que falla en representar el aspecto dinámico del tiempo. Por esta razón se

recurre a un espacio derivado del plano cartesiano que incluye la dimensión t: el espacio de Minkowsky.

Espacio-Tiempo en este momento en el argumento es representado por 4 dimensiones que muestran la

evolución de un sistema tomando en cuenta efectos relativísticos:

“El “mundo” de Minkowsky es naturalmente 4-dimensional en el sentido del Espacio-Tiempo.

Puesto que esta compuesto de eventos individuales, cada uno descrito por cuatro números, tres

coordinadas espaciales x,y,z, y una coordinada temporal, t. El “mundo” en este sentido es un

continuum; ya que para cada evento existen tantos eventos colindantes como gustemos

escoger.”16

Siendo que un evento A puede colindar con otros eventos B,C, … etc., se le llama a este espacio de

eventos un continuum17ya que cada objeto en el espacio Minkowsky es en sí un evento, por lo tanto los

eventos se relacionan entre sí. En la perspectiva Newtoniana se manejaba de un espacio absoluto, un

tiempo absoluto y cuerpos contenidos en dicho espacio, cada uno independiente del otro. En la Teoría

Especial de la Relatividad se unifica toda interacción, implicando que de la interacción surge el espacio-

tiempo en vez de que la interacción ocurra en espacio-tiempo.

La teoría especial de la relatividad nos muestra que las leyes naturales aplican del mismo modo desde

cualquier marco de referencia; ej.: El rayo de luz viajara a una velocidad c. El resultado de medición

depende del marco de referencia, pero cualquier marco tiene la misma relevancia ya que lo único

constante es c.

Sin embargo la teoría especial de la relatividad tiene una gran desventaja que requiere una reevaluación

del argumento. Hasta ahora se han manejado solo cuerpos de referencia que mantengan un estado de

movimiento uniforme rectilíneo y no rotativo con respecto al marco de referencia. Einstein explica que:

“la validez del principio de relatividad es solo asumido para estos cuerpos de referencia [en

movimiento uniforme rectilíneo y no rotativo], pero no para otros [aquellos que posean

movimiento de un tipo diferente]…en este sentido, hablamos del principio especial de

relatividad, o de la teoría especial de relatividad.”18

Por movimiento uniforme rectilíneo y no rotativo Einstein se refiere a un marco de referencia “inerte” o

en estado de reposo al momento de medición. Ej.: el observador de los rayos de luz debe estar en

reposo para dar un diagnostico estable. El principio de relatividad aplica a aquellos y solo aquellos casos

que el marco de referencia sea estable y no sea afectado por otros movimientos. Es natural que el lector

generoso se pregunte que tan aplicable es un principio de relatividad que es incapaz de incorporar

cuerpos de referencia que estén a su vez en movimiento ya sea propio o afectado por fuerzas ajenas a

el. Por esta razón “desearíamos entender un principio general de la relatividad por medio de la

16

Ibid., 17

Continuum, latín de continuo. 18

Einstein, Relatividad §18

siguiente aserción: Todo cuerpo de referencia K, K’, etc., es equivalente en la descripción de fenómenos

naturales (formulación de leyes de la naturaleza) bajo cualquier estado de movimiento”19 Será el

siguiente paso del argumento intentar llegar a una resolución general y no especial.

RELATIVIDAD GENERAL.

Tomando en cuenta la objeción anterior para considerar la teoría especial como un recuento natural

completo, habría que expandir de casos especiales a una generalidad que cubra todo tipo de

interacción. La teoría especial al incluir solo casos en los cuales el ente de medición esta en reposo

evade un aspecto fundamental de la naturaleza: la gravitación. Todo cuerpo es afectado de una manera

u otra por al menos un campo magnético que opera sobre las propiedades del cuerpo permitiéndole la

interacción. Si un ente de medición es afectado por la gravitación entonces es lógicamente

contradictorio, y físicamente imposible decir que esta genuinamente en reposo. Por esta razón, Einstein

inicia el análisis de la relatividad general por medio de postular un principio de equivalencia para

explicar la relación intrínseca entre un cuerpo y el campo gravitacional:

(6) Principio de equivalencia: la masa gravitacional de un cuerpo es equivalente a su masa inerte20

Esta equivalencia tiene como propósito establecer que el efecto gravitacional sobre un objeto puede ser

medible. Ej.: Un observador en un cuarto sin ventanas no puede distinguir si esta en la tierra o si esta en

una nave espacial acelerando lentamente mientras su peso y su aceleración sean las mismas. Por lo

tanto se infiere que la masa de un cuerpo es equivalente a su masa inerte (peso) ya que la interacción es

medible de la misma manera. Otra inferencia es que tanto gravitación como aceleración son fenómenos

con efectos iguales, por lo tanto funcionalmente equivalentes. Este principio inicia la generalización de

los efectos relativísticos ya que establece que un cuerpo en movimiento puede ser igual de medible que

uno en ‘reposo’.

Una vez aceptada la posibilidad de medición en movimiento podemos juzgar la relación que tiene la

gravedad con dichos movimientos. Como se menciono con anterioridad, todo cuerpo es afectado por al

menos un campo gravitacional. Al entrar en movimiento un cuerpo experimenta los efectos relativísticos

mencionados en la teoría especial. Pero ¿que pasa con dichos efectos al intervenir un campo

gravitacional en el movimiento? Imaginemos un elevador funcional, el cual cuenta con una lámpara en

una de las paredes laterales y un aparato de medición en la pared perpendicular a la lámpara. Estando

el elevador en “reposo”, al encender la lámpara, el aparato de medición reportara que la luz viajara en

línea recta. Estando el elevador en movimiento, al encender la lámpara, el aparato de medición

reportara que la luz tomará una trayectoria curva descendiente. Hace notar Einstein que “es ya sabido

que un cuerpo gravitacional afecta el movimiento de los cuerpos de tal manera, así que nuestra

consideración nos deja nada esencialmente nuevo” sin embargo se puede concluir que “en general, los

rayos de luz se propagan curvilíneamente en campos gravitacionales”21.

19

Ibid., 20

Einstein, Relatividad, §19 21

Einstein, Relatividad, §22

Se debe hacer una aclaración en este momento del argumento sobre el efecto de una curva en el

movimiento. Al involucrase en un movimiento curvilíneo un cuerpo tiende a la aceleración. Siendo la luz

poseedora de la velocidad más alta posible, aun así se ve afectada por la gravedad. Esto deja a cuerpos

de velocidades más bajas con un efecto gravitacional más enérgico. La gravedad afecta la trayectoria de

los cuerpos en manera curvilínea. Por esta razón y por que el espacio-tiempo resulta de la interacción

de los cuerpos, entonces podemos concluir que el espacio-tiempo es curvo.

En la teoría especial se utilizo como herramienta de medición convencional el espacio de Minkowsky

que incorpora un mapa 4-dimensional. Al tomar en cuenta la curvatura que produce la gravedad y

equivalentemente la aceleración el espacio dinámico de Minkowsky ya no es suficiente. Analicemos esto

un poco más. Una de las implicaciones fundamentales de la teoría especial es la relatividad del tiempo.

El tiempo es afectado diferentemente dependiendo de la velocidad experimentada por un cuerpo. El

espacio de Minkowsky muestra la relatividad del tiempo sin problema, sin embargo dicho espacio aun

trabaja bajo la premisa del espacio absoluto. El efecto de la aceleración/gravitación sobre los cuerpos

muestra una curvatura en la trayectoria. Esta curvatura a su vez afecta eventos colindantes haciendo

emerger un espacio-tiempo curvo. Al depender el tiempo espacio de la interacción gravitación↔cuerpo

el espacio pierde esa cualidad de contenedor absoluto convirtiéndose en espacio relativo, después de

todo estamos ya hablando de un continuum. Por este motivo el espacio de Minkowsky ya no es

suficiente y es necesario encontrar una herramienta para establecer la convención y proveer un

entendimiento y medición de la interacción gravitación↔cuerpo.

La ventaja del espacio de Minkowsky aparte de la incorporación de 4d, es la irrevocable aparición de

geometría hiperbólica. La herramienta a seleccionar debe al menos cumplir estos dos requisitos y

derribar la premisa del espacio-tiempo absoluto y marcos de referencia inertes. El sistema de

coordenadas de Gauss cumple con los requisitos expuestos. Gauss desarrolló el uso de un método

geométrico extendido hasta n dimensiones en su estudio de “geometría intrínseca de superficies curvas

(llamadas intrínsecas porque describe las propiedades métricas que una superficie muestra por si

misma, independientemente de la manera que se encuentran en el espacio)”22 de esta manera el

método de Gauss proporciona un retrato de las 4 dimensiones a través de la situación relacional de un

objeto. La situación relacional es derivable ya que “Gauss introduce una función de valor real, la

curvatura Gauss, que mide la desviación de un plano de una superficie local en términos de su

geometría intrínseca”23 de esta manera se incluye la curvatura que resulta de la “deformación” del

espacio-tiempo a través de la interacción gravitación↔cuerpo.

Consiguientemente llegamos a una formulación del principio de relatividad general:

(7) “Todo sistema de coordenadas Gaussiano es esencialmente equivalente a la formulación de las

leyes generales de la naturaleza”24

22

Torretti, Roberto. 2010. Stanford Encyclopedia of Philosophy. Geometrías del Siglo 19. 23

Ibid., 24

Einstein, Relatividad, §28

Así que los efectos relativísticos (curvatura & trayectoria) pueden ser medibles a través de este método

ya que se incorpora la emergencia del espacio-tiempo a través de la interacción gravitación↔cuerpo.

Este método de derivación de leyes naturales se le conoce como Covariancia General; ya que la

variación o cambio que experimentan tanto cuerpos como leyes naturales se vuelven interdependientes

unos de otros eliminando la supremacía de uno u otro. Éste es el resultado inmediato de la Relatividad

General.

IMPLICACIONES.

Exploremos un par de conceptualizaciones naturales que surgen de la teoría general. La primera será

analizar una vez más la idea que sugiere que de la interacción surge el espacio-tiempo en vez de que la

interacción ocurra en espacio-tiempo. Después analizaremos los limitantes que se establecen a la

concepción tradicional de las leyes de la naturaleza vistas a través del cristal de la relatividad general.

Sobre la primer implicación manejada exploremos nuestros pensamientos mas intuitivos sobre la

concepción de objetos. Cuando observo el libro que reposa en mi escritorio puedo decir varias cosas al

respecto del evento:

a) El libro está en reposo con respecto al escritorio

b) El libro está en reposo con respecto al piso de la oficina

c) Etc…

Las situaciones anteriores describen apropiadamente el evento. No obstante, habiendo estudiado

detenidamente la imposibilidad de inercia absoluta y la relatividad del espacio-tiempo, estoy tentada a

eliminar mi intuición tradicional sobre objetos rígidos y discretos. Esta idea quedaría eliminada a favor

de un visión relacional de un sistema. Tomemos el ejemplo (a) a razón de análisis. Si mi libro está en

reposo con respecto a la mesa, el sistema de relaciones incluye tanto a mi libro, como a la mesa y las

fuerzas gravitacionales que les permiten mantener una forma cohesiva, cierta fricción y más que nada

un peso/masa gravitacional. Entonces mi sistema de individuación de objetos tradicional se ve afectado

por mi aprendizaje sobre la relatividad y los eventos colindantes del mapa de interacciones. Ser, en éste

sentido, es ser parte de una interacción.

Ahora bien, aglomerando esta idea de sistemas relacionales con la idea tradicional de las leyes

naturales, mi epistemología tradicional queda severamente dañada. La segunda implicación manejada

es sobre la supremacía estipulada sobre las leyes naturales. Tradicionalmente se ha entendido que una

ley natural rige el comportamiento de todo y cada uno de los componentes de la naturaleza. Al terminar

el argumento de la relatividad general quedamos en el entendimiento de un sistema interdependiente

de objetos en interacción con fuerzas naturaleza. Es un sistema interdependiente ya que las

propiedades del “objeto” juegan un rol tan fundamental en la aplicación de leyes naturales como las

leyes en la habilitación de la interacción. La posición hegemónica de las leyes naturales pasa a una

posición correlacionada.

Bibliografía

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Barbour, Julian. The Discovery of Dynamics. Boston: Prentice Hall, 2007.

Einstein, Albert. El Significado de la Relatividad. Harvad UP, 2005.

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Fernflores, Francisco. Stanford Encyclopedia of Philosophy. 12 de Septiembre de 2001.

http://plato.stanford.edu/entries/equivME/ (último acceso: 15 de Noviembre de 2008).

Huggett, Nick. Stanford Encyclopedia of Philosophy. 11 de Agosto de 2006.

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Okasha, Samir. «Problemas Filosoficos en Biologia, Fisica y Psicologia.» En Una Introduccion a la Filosofia

de la Cienca, de Samir Okasha. Oxford UP, 2002.

Torreti, Nick. Stanford Encyclopedia of Philosophy. 13 de Enero de 2010.

http://plato.stanford.edu/entries/geometry-19th/#DifGeoRie (último acceso: 16 de Diciembre

de 2010).

Reconocimientos

Agradezco especialmente a Dr. Juan Ferret, Joseph Bernal y el resto del Grupo de Investigación PSI por

sus comentarios e incondicional apoyo en el entendimiento tanto matemático como físico de las Teorías

RE y RG.