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Corso di Modelli Matematici per i Mercati Finanziari – Prof.ssa Rosella Giacometti
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ModelliModelli MatematiciMatematici per i per i MercatiMercati FinanziariFinanziariAnnoAnno accademicoaccademico 2005/062005/06
Prof.ssa Rosella Giacometti
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2Il Il ValueValue at at riskrisk
Nuove metriche di rischio: il VaR-Cosa è il VaR -Come si calcola:La stima dei parametri di un modello VaR multinormale
-Misure di VaR marginale-Il VaR dei portafogli gestiti a benchmark
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3Da quale esigenza e’ nato il VaR?Da quale esigenza e’ nato il VaR?
•Cattura, in un solo numero, un importante aspetto del rischio.
•Risponde alla semplice domanda: “Quanto male possono andare le cose?”
•Introduce il concetto di distribuzione di probabilità
•Permette di misurare strumenti diversi con lo stesso metro
•È facile da comprendere
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4Misurazione del rischio di mercato. Misurazione del rischio di mercato.
Istogramma profitti/perdite giornalieri, JP Morgan 1995
02468
101214161820
-30 -25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25 30
Profitti perdite giornaliere ($m)
Num
ero
di g
iorn
i
m=7.6m$m=7.6m$
2
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5ValueValue at at riskrisk. Analisi dell’istogramma. Analisi dell’istogramma
– Consideriamo l’istogramma di Profit & Loss (P&L) giornaliere della JP Morgan.
– Siamo concentrati sulle perdite estreme possibili e una stima monetaria di quanto è possibile perdere il giorno successivo (o alcuni giorni successivi) con una data probabilità.
– Fissiamo un livello di confidenza α che ci permette di individuare un punto di cut-off. Con α=95%, individuiamo la massima perdita W* giornaliera realizzabile il 95% delle volte (19 giorni su 20).
– Livello di confidenza 95% ∆W* =-11,4 m$– Livello di confidenza 99% ∆W* =-16,5m$
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6Cos’è il Valore a Rischio (VaR)?Cos’è il Valore a Rischio (VaR)?
Il calcolo del VaR mira a consentire un’affermazione del seguente tipo: “Siamo certi all’ α per cento che non perderemo più di W Euro nei prossimi N giorni”.
La variabile ∆W* è il VaR del portafoglio.
Il VaR è funzione di due parametri: N, l’orizzonte temporale, e α, il livello di confidenza.
La scelta di N dipende dal grado di liquidità dei mercati in cui gli operatori lavorano dalla frequenza con cui viene ricalibrato il portafoglio gestito
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Elementi fondamentali nel calcolo del VAR sono
livello di confidenza αorizzonte temporale N (dipende dalla liquidità delle posizioni)In genere si lavora con rendimenti R* (perdite percentuali) e
si deduce la perdita monetaria associata ∆W* .
Indichiamo con R(N) il rendimento aleatorio del portafoglio in [0,N].
Il valore critico R* è quel valore del rendimento per il quale vale
Pr[R(N)<R*]=1-α
Cos’è il Valore a Rischio (VaR)?Cos’è il Valore a Rischio (VaR)?
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RR*
99%
GraficamenteGraficamente
3
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Siano
W0 valore dell’investimento inizialeE(WN) valore dell’investimento dopo N giorniW* dell’investimento valutato al livello critico
VaR= ∆W* = E(WN)-W*=W0 (1+ µ)-W0 (1+R*)= +µW0 -R*W0
Poiché l’orizzonte N è breve si pone µ =0 e
∆W* =-R*W0
Nella definizione di perdita e’ implicito un segno meno Var= |R*W0 |
Cos’è il Valore a Rischio (VaR)?Cos’è il Valore a Rischio (VaR)?
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RData una distribuzione di probabilità P&L, il Var Data una distribuzione di probabilità P&L, il Var corrispondente ad un corrispondente ad un αα=99% ad N giorni =99% ad N giorni e’ e’ determinato dal punto di cut off R*, determinato dal punto di cut off R*, VAR=|R*WVAR=|R*W00||
R*
99%
GraficamenteGraficamente
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11Come si calcola il VAR?Come si calcola il VAR?
– La metodologia VAR differisce principalmente nel modo in cui viene costruita la funzione di densità di probabilità.
– Le classiche tecniche per approssimare la distribuzione di probabilità sono:
• 1.Metodi parametrici o varianza covarianza• 2.Simulazioni storiche• 3.Simulazioni Montecarlo
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12Metodo parametricoMetodo parametrico
VAR ad un giorno di una posizione unica con ipotesi di normalità
Dove σ è la volatilità giornaliera. Ipotizzando µ=0 e considerando α=99% questo si traduce nel dire che
e quindi
VAR=2,33σW0
Il VaR a N giorni si ottiene ipotizzando
VAR=2,33σW0√N
σσ 33,2* %1 == ZR
µσ
ασ
µσ
µα
α +=
−=−
<−
−=<
−1
*
*
1)Pr(1*)Pr(
ZR
RRRR
4
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13Graficamente Graficamente αα=99% =99%
W*=2.33 σW0 √N
99%
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14bibliografiabibliografia
Hull “Opzioni futures e e altri derivati” terza edizione il sole 24 oreCap 16 (VaR)Cap 26 (rischio di credito)
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15PrevisionePrevisione delladella volatilitàvolatilità
•Come si calcola la volatilità?
Per semplicità possiamo usare la volatilità storica.
RiskMetrics usa l’ exponentially weighted moving averagemodel (EWMA) con utilizza λ = 0,94 .
A seguito di uno shock (un rendimento grande in valore assoluto), la volatilità reagisce velocemente allo shock, in base al peso dato all’informazione piu’ recente. Inoltre la volatilità decresce esponenzialmente nel tempo, rimanendo come patrimonio storico.
)( 21
21
21
2−−− −+= nnnn rr σλσ
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16PrevisionePrevisione delladella volatilitàvolatilità
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17Volatilità GiornaliereVolatilità Giornaliere
Nel calcolo del VaR si usa una misura di “volatilità giornaliera”Se ci sono 252 giorni lavorativi in un anno, la relazione tra la
volatilità giornaliera, σg e quella annuale, σa, è
Ricordiamo che se X∼N((µ1,σ12) e Y∼N((µ2,σ2
2) sono normali indipendenti allora X+Y ∼ N((µ1+ µ2,σ1
2 +σ22)
Questa formula è esatta quando le variazioni di valore del portafoglio in giorni successivi sono normali indipendenti, a media nulla e il rendimento è logaritmico.
252a
gσσ =
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18VAR per attività che dipendono VAR per attività che dipendono da un solo fattoreda un solo fattore
Esempio Valute e Azioni. Ipotizziamo che il rendimento sia distribuito normalmente
Esempio con Azioni IBM
Abbiamo una posizione lunga su azioni IBM del valore di 10.000 Euro. La volatilità giornaliera dell’IBM è del 2% (circa il 32% su base annua)
Usiamo N = 10 e α = 99%
VaR=2,33σW0√N=1.473,621Euro
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19Esempio con Azioni AT&TEsempio con Azioni AT&T
Valore della posizione: 5 mila EuroVolatilità giornaliera dell’AT&T: 1%
VaR decadale con un livello di confidenza del 99%:
VaR=2,33σW0√N= 368,405 Euro
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20Il VaR di un portafoglioIl VaR di un portafoglio
Consideriamo un portafoglio con 2 azioni
dove σi è la volatilità dell’i-esima variabile xi è il valore della posizione i-esimaρ è il coefficiente di correlazione
Il Var del portafoglio di valore W è
2122
21 2 VARVARVARVARVARp ρ++=
σp2 = x1
2σ12 + x2
2σ22 + 2x1x2 ρσ1σ2
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21Il VAR di un portafoglioIl VAR di un portafoglio
Considerando due titoli rischiosi
– se ρ=1
– se ρ=0
– se ρ=-1
E’ facile estendere ad un portafoglio ad n titoli
21VARVARVARp +=
2122
21 VARVARVARVARVARp +<+=
21VARVARVARp −=
2122
21 2 VARVARVARVARVARp ρ++=
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22Il VAR di un portafoglio: esempioIl VAR di un portafoglio: esempio
Consideriamo ora un portafoglio composto dalle azioni IBM e dalle azioni AT&T
Supponiamo che la correlazione tra i tassi di rendimento delle due azioni sia pari a 0,7
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23Il VAR di un portafoglio: esempioIl VAR di un portafoglio: esempio
Dalla formula della varianza
Il VaR delle azioni IBM e AT&T è pari, rispettivamente, a 1.473,6 e a 368,4, il coefficiente di correlazione ρ = 0,7
quindi
4,17514,3686,14737,024,3686,1473 22 =×××++
2122
21 2 VARVARVARVARVARp ρ++=
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24VaR di un Portafoglio: esempioVaR di un Portafoglio: esempio
Il VaR delle azioni IBM e AT&T è pari, rispettivamente, a 1.473,621 e a 368,405
I benefici della diversificazione sono pari a
Qual è l’effetto marginale delle azioni AT&T sul VaR?
1.751,4 - 1.473,6 = 277,8
( ) 6,904,751.14,3686,473.1 =−+
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25VaR marginale di un titoloVaR marginale di un titolo
Se voglio studiare il contributo marginale di un titolo A al VaR del portafoglio, devo:
1) Calcolare il VaR del portafoglio completo2) Calcolare il VaR del portafoglio completo - A3) calcolare la differenza tra i due VaR
Il VaR marginale può essere – positivo => contributo positivo al rischio– negativo => il nuovo titolo costituisce un “hedge”– nullo
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26VaR di un Portafoglio: esempioVaR di un Portafoglio: esempio
il calcolo del VaR in forma matriciale è
Dove C è la matrice delle correlazioniIl VaR dell’esempio precedente puo’ essere calcolato come
' '1 0 V ( ) ( )pVaR Z W N x x VaR C VaRα−= =
[ ]1 0.7 1.473,6
1.473,6 368,4 1751,40.7 1 368,4pVaR
= =
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27Il Modello LineareIl Modello Lineare
Abbiamo lavorato fino ad ora con un modello lineare in cui– la variazione di valore del portafoglio dipende
in modo lineare dalle variazioni di alcune variabili di mercato
– le variazioni di valore delle variabili di mercato si distribuiscono in modo normale
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28Come risolviamo le non Come risolviamo le non linearita’linearita’
Se nel portafoglio sono presenti titoli il cui valore non varia in modo lineare rispetto al sottostante?
Esempio: Rendimenti su opzioni e obbligazioni non sono funzioni lineari delle variazioni nei fattori di rischio
S
Max(0,S-K)
i
P
8
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29Il VAR per opzioni su azioniIl VAR per opzioni su azioni
Consideriamo un’opzione call C che dipende dal prezzo, S, di un’azione
Sia
SC
∆∆=δ SC ∆≈∆ δ
δδ SkSSCC o +=−+≈ )( 0
con k trascurabile perché costante1( )C sVAR VAR Z S Nαδ δ σ−= =
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30Opzioni su IBM Opzioni su IBM
Consideriamo un’opzione su azioni IBM (il prezzo unitario del titolo è di Euro 120)
Il delta delle opzioni rispetto al prezzo del titolo è 0,6
il VAR della singola opzione su IBM con δ=0,6
VAR=2,33 × 120 × 0,02 × δ × √10=10,61 Euro
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31Obbligazioni e tassi d’interesseObbligazioni e tassi d’interesse
Come vengono trattate le obbligazioni?due approcci1) linearizzazione2) clumping
Sia P il valore di una obbligazione, allora vale
La volatilità di tassi influenza la volatilità dell’obbligazione, secondo la relazione
ΜDP iip i
∆ ∆≈ − ⋅ ⋅
P iMD iσ σ≅ ⋅ ⋅
i tassi
P
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32Obbligazioni e tassi d’interesseObbligazioni e tassi d’interesse
Il VaR viene calcolato come al solito
P iMD iσ σ≅ ⋅ ⋅
1 iVAR Z MD i P Nα σ−= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
Questo mi permette di calcolare il VAR in funzione della volatilità dei tassi invece che della volatilità del rendimento del titolo,
NPZVAR pσα−= 1
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33Cash Flow Mapping (clumping)Cash Flow Mapping (clumping)
Abbiamo visto un metodo per calcolare il VaR di un’obbligazione basato sulla approssimazione lineare.
Un approccio alternativo consiste nello scegliere come variabili di mercato tassi di rendimento spot di titoli senza cedola con scadenze standard (1m, 3m, 6m, 1a, 2a, 5a, 7a, 10a, 30a)
il problema diventa distribuire i flussi ct relativi a scadenze τ-1<t< τdiverse dalle scadenze scelte come riferimento, in flussi c τ-1e c τ
criteri– uguale segno dei flussi– uguale valore attuale (valore di mercato)– uguale rischio di mercato ( Riskmetrics suggerisce che i
flussi abbiano la stessa volatilità)
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34Cash Flow Mapping (clumping)Cash Flow Mapping (clumping)
Occupiamoci di un flusso alla volta. Supponiamo di avere un flusso di 10000 Euro all’anno 6,5 e che le
scadenze di riferimento siano 5 e 7 anni
Per tali scadenze sono stati stimati i seguenti valori: • I tassi a 5 e a 7 anni sono pari al 6% e al 7%• Le volatilità giornaliere dei due tassi sono pari, rispettivamente,
allo 0,5 e allo 0,58%• La correlazione tra i tassi a 5 e a 7 anni e’ pari a 0,6
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35GraficamenteGraficamente
5 6,5 7
i5=6%
i7=7%
σ5=0,5%
σ7=0,58%
scadenzeCorso di Modelli Matematici per i Mercati Finanziari – Prof.ssa Rosella Giacometti
36Cash Flow Mapping (clumping)Cash Flow Mapping (clumping)
Un metodo per procedere e’ l’interpolazione lineare delle curve dei tassi e delle volatilità
Il tasso a 6,5 anni, ottenuto mediante interpolazione dei tassi a 5 e 7 anni, è del 6,75%
La volatilità giornaliera del titolo a 6,5 anni, ottenuta mediante interpolazione delle volatilità dei titoli a 5 e 7 anni, è dello0,56%
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37GraficamenteGraficamente
5 6,5 7
i5=6%
i7=7%
σ5=0,5%
σ7=0,58%
scadenze
σ6,5=0,56%
i6,5=6,75%
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38Cash Flow Mapping (clumping)Cash Flow Mapping (clumping)
Criterio 1: stessi segniCriterio 2: stesso valore di mercatoIl valore attuale del pagamento di 10.000 tra 6,5 anni è pari a
Allochiamo ai titoli a 5 e a 7 anni una quota del valore attuale dei 10.000 pari, rispettivamente, ad α e 1 - α
540.60675,1
000.105,6 =
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39Cash Flow Mapping (clumping)Cash Flow Mapping (clumping)
Criterio 3 : stessa volatilita’
Supponiamo che la correlazione tra le variazioni dei prezzi dei titoli a 5 e a 7 anni sia pari a 0,6
Affinché la varianza del portafoglio sia uguale alla varianza del titolo a 6,5 anni occorre che
0,52α2 + 0,582(1-α)2 +2×0,6×0,5×0,58×α(1-α)=0,56 2
Risolvendo si ottiene α = 0,074Corso di Modelli Matematici per i Mercati Finanziari – Prof.ssa Rosella Giacometti
40Cash Flow MappingCash Flow Mapping (clumping)(clumping)
Il pagamento di 10.000 Euro tra 6,5 anni viene sostituito da duepagamenti:
- Euro 648=6.540×1,065×0,074 tra 5 anni
- Euro 9.725 =6.540 × 1,077 × 0,926 tra 7 anni
Il valore e la varianza del portafoglio così costruito sono uguali al valore e alla varianza del titolo a 6,5 anni.
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41GraficamenteGraficamente
5 6,5 7
i5=6%
i7=7%
Euro 648
Euro 9725
scadenze
Euro10.000
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42Se ho un BTP ?Se ho un BTP ?
Ipotizziamo che le scadenze di riferimento siano 3 mesi, 6 mesi e 1 anno. Il valore attuale della posizione sia W0.
- Scompongo il primo flusso in flussi a 3 e 6 mesi.- Scompongo il secondo flusso in 2 flussi a 6 mesi e 1 anno.- Sommo i flussi relativi alle scadenze 3 mesi, 6 mesi e 1 anno.- Le volatilità e le correlazioni dei tassi a 3 mesi, 6 mesi e 1 anno sono
note.- Calcolo la volatilità del portafoglio .- Calcolo il VaR come 2,33 × σ × √10 ×W0. - Oppure calcolo il VaR delle singole posizioni e aggrego i VaR…..
0,3 0,80,3 0,8
500001050000
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43EsempioEsempio
flusso in 0,3 flusso in 0,8 totale volatilita'50000 1050000
3 mesi 37397 37397 0.0006
6 mesi 11793 319589 331382 0.001
1 anno 678074 678074 0.002
Noti ρ3mesi,6mesi=0,9 ρ3mesi,1anno=0,6 ρ6mesi,1anno=0,7
σ=0.003
VaR= 2,33 × 0.003 × √10 × W0Corso di Modelli Matematici per i Mercati Finanziari – Prof.ssa Rosella Giacometti
44RiassumendoRiassumendo
ho due nodi e un flusso ct da ripartire α e 1- α
1. dati i tassi nei due nodi, calcolo il tasso yt in t 2. dati i due nodi, calcolo la volatilità σt in t 3. calcolo il valore attuale W0=W(1+yt)-t
4. determino le percentuali di ripartizione α e 1- α in modo che la volatilità pesata dei 2 flussi sia uguale alla volatilità del flusso originale
5. determino i valori dei due flussi scomposti • W1= α W0(1+yτ-1)τ-1
• W2= (1-α) W0(1+yτ)τ
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45Procedura per il calcolo del VARProcedura per il calcolo del VAR
1. Valuto le posizioni a rischio e dei diversi fattori• posizioni in valuta• posizioni in azioni e indici azionari• posizioni in obbligazioni• prodotti derivati con pay-off non lineari
2. calcolo delle volatilità e correlazioni tra i fattori di rischio
3. Valuto l’orizzonte in base al tempo di liquidazione4. Scelgo il livello di confidenza5. calcolo del VaR per ogni classe6. aggrego i singoli VaR utilizzando le correlazioni
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46Esempio 1Esempio 1
Supponiamo di essere un investitore italiano e di possedere un portafoglio in titoli azionari ($100) e obbligazionari statunitensi ($200). In nostro portafoglio e’ soggetto a 3 fonti di rischio.
Scomponiamo operazioni finanziari complesse in operazioni semplici
– Rischio di cambio USA ⇒300$× cambio €/$– Rischio di interesse USA ⇒ 200$ × cambio €/$– Rischio azionario USA ⇒ 100$ × cambio €/$
– cambio $/€=1/1.2
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47Esempio 1Esempio 1
Stimiamo la volatilità del tasso di cambio, delle obbligazioni edelle azioni
Calcoliamo il Var di ogni posizione
Supponiamo, per semplicità, che la correlazione tra i diversi comparti sia nulla allora
3223
22
211
VARVARVARVARVARVARVARp ++<++=
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48Esempio 1Esempio 1
Supponiamo che le volatilità delle singole posizioni siano pari a
– Volatilità del tasso di cambio 10%- Volatilità della posizione in obbligazioni 7% ( )- Volatilità delle azioni 15%
Calcoliamo, usando un foglio excel il Var del portafoglio
Inserire le correlazioni corrette
3223
22
211
VARVARVARVARVARVARVARp ++<++=
rP rMD σσ ⋅⋅≅
13
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49Esempio 2Esempio 2
Il contributo di un titolo al VaR complessivo di un portafoglio dipende dalla composizione pregressa.
Esempio Due investitori A e B inseriscono in portafoglio titoli IBM con VAR=20L’investitore A ha un portafoglio prevalentemente azionario USA con VaR=100L’investitore B ha un portafoglio prevalentemente obbligazionario con VAR= 100
Cosa mi aspetto?
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50Esempio 2Esempio 2
Supponiamo che
la correlazione delle azioni IBM con il portafoglio esistente USA sia 0.8 la correlazione delle azioni IBM con il portafoglio esistente obbligazionario sia 0.2
2122
21 2 VARVARVARVARVARp ρ++=
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51Esempio 2Esempio 2
Il Var del portafoglio A diventa
Con un VaR marginale di 16.62
Il Var del portafoglio B diventa
Con un VaR marginale di 5.83
62.116100208.0220100 22 =×××++=AVAR
83.105100202.0220100 22 =×××++=BVAR
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52Osservazioni finaliOsservazioni finali
Il rischio marginale di un nuovo titolo in portafoglio dipende dalla composizione pregressa.
Il VaR di portafoglio può subire delle variazioni a causa di un aumento della volatilità del mercato, anche a parità di composizione.
Ricordiamoci la scomposizione del rischio in
Rischio totale= Rischio specifico+ rischio sistematico
Anche in questo caso la “diversificazione” agisce solo sul rischio specifico
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53Vantaggi e Svantaggi Vantaggi e Svantaggi
Questo approccio è molto facile e trattabile tuttavia:
il calcolo della matrice di varianza covarianza non è banale per grandi portafogli,
le ipotesi di normalità sono molto limitative,
è possibile ipotizzare altre distribuzioni (esempio gamma) ma non tutte hanno la stessa versatilità della normale,
le non linearità degli assets rimangono un problema se il portafoglio non è quasi lineare in partenza (con poche opzioni)
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54Simulazioni StoricheSimulazioni Storiche
Idea alla base del metodo
Questo metodo si basa sull’ipotesi che l’andamento dei prezzi segue un moto che si ripete nel tempo
Seguendo questo approccio, la costruzione della variazione nel valore del portafoglio viene effettuata in base ai dati storici e non in base a delle ipotesi sulla distribuzione dei rendimenti (per questo motivo viene spesso chiamato metodo non parametrico)
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55Simulazioni StoricheSimulazioni Storiche
Passi
1. Individuati i fattori di rischio e data la loro serie storica, viene costruito il database e delle variazioni percentuali giornaliere dei fattori di rischio su un orizzonte τ.
2. Partendo dal valore attuale del fattore di rischio, si costruisce una serie di fattori di rischio futuri, moltiplicando tra loro il valore attuale e le variazioni passate.
3. Per ogni variazione cosi’ ottenuta, si valuta il valore finale del portafoglio considerando la composizione odierna.
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56Simulazioni StoricheSimulazioni Storiche
Passi….. ( continua)
4.Si valuta la variazione percentuale nel valore del portafoglio o rendimento
5. Si costruisce la distribuzione empirica del portafoglio.
6. Infine si calcoli il VAR a τ
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57Simulazioni Storiche Simulazioni Storiche --VantaggiVantaggi
– estremamente semplice (basta uno spread-sheet),– non richiede il calcolo della matrice di varianza e covarianza,– non richiede l’ipotesi di distribuzione normale,– non ha problemi con non linearità
– richiede la disponibilità di molti dati,– l’ipotesi che il passato è una accurata immagine del futuro è
molto forte,– i dati passati hanno tutti lo stesso peso nel determinare il
futuro.– la scelta della lunghezza del database influenza i risultati
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58Simulazioni Monte CarloSimulazioni Monte Carlo
L’idea alla base del metodoL’idea di base di questo metodo è la simulazione di un grande
numero di scenari di evoluzione dei prezzi. Consideriamo una sola azione
Si consideri un’azione che non paga dividendi con tasso di rendimento atteso µ e volatilità annua ρ
Possiamo simulare un «sentiero» scegliendo un intervallo di lunghezza ∆t e usando la versione discreta del processo:
dove ε è un’estrazione casuale da N(0, 1)
ttSS ∆+∆=∆ σεµ
tStSS ∆+∆=∆ εσµ
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59Metodo Monte Carlo Metodo Monte Carlo -- Un Sentiero Un Sentiero
σ=20%σ=20% µ=14% ∆µ=14% ∆tt =0.01 =0.01 annianni
————————————————————————————————————————————Prezzo Shock effetto Shock Variazione
S ε η = ( µ ∆t + σ ε √ ∆t ) ∆S = Sη————————————————————————————————————————————20,000 0,52 0,0118 0,23620,236 1,44 0,0302 0,61120,847 −0,86 −0,0158 −0,32920,518 1,46 0,0306 0,62821,146 −0,69 −0,1240 −0,26220,883 −0,74 −0,0134 −0,28020,603 0,21 0,0056 0,11520,719 −1,10 −0,0206 −0,42720,292 0,73 0,0160 0,32520,617 1,16 0,0246 0,50721,124 2,56 0,0526 1,111————————————————————————————————————————————
(0.14 0,2 )0.01
S S t tt
ε∆ = ∆ + ∆∆ =
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60Metodo Monte Carlo Metodo Monte Carlo -- Un Sentiero Un Sentiero
1) Questo è solo uno dei possibili scenari
Scenario
19.820
20.220.420.620.821
21.221.4
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1
tempo
Pre
zzo
azio
ne
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61Estrazioni da una Normale BivariataEstrazioni da una Normale Bivariata
Per ottenere un’estrazione casuale da una normale bivariata si devono generare, da N(0, 1), due estrazioni indipendenti, x1 ed x2
Quindi si pone
dove ρ è il coefficiente di correlazione tra le variabili della distribuzione bivariata (SI VEDA FOGLIO EXCEL)
Una procedura nota come scomposizione di Cholesky può essere utilizzata per estrarre campioni da distribuzioni normali multivariate
221211 1 e ρρεε −+== xxx
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62Simulazioni Monte CarloSimulazioni Monte Carlo
Passi
1. Specifica il “meccanismo casuale” che governa i fattori di rischio.
2. Stima i parametri dai dati storici3. Simula diversi scenari di evoluzione dei fattori di rischio4. Considera le correlazioni5. Calcola i prezzi dei singoli asset che costituiscono il portafoglio6. Calcola e ‘memorizza‘ il rendimento del portafoglio7. Ripeti i punti 3,4,5,6 molte volte(NSIM)8. Calcola il VAR della distribuzione empirica
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63Metodo Monte Carlo: Vantaggi e SvantaggiMetodo Monte Carlo: Vantaggi e Svantaggi
L’approccio è simile alle simulazioni storiche ma qui gli scenari sono ottenuti grazie ad un processo stocastico
E’ un approccio molto potente tuttavia– e’ molto oneroso perché una buona stima del VAR richiede molte
simulazioni (N_SIM),– un portafoglio di 100 titoli richiede 100*N_SIM simulazioni,– il rischio di modello ha un peso notevole.
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64RiassumendoRiassumendo
Paramet Simul. Storiche
Montecarlo
Asset non lineari
no si si
Distribuzioni normale qualsiasi qualsiasi Calcolo Σ si no si Correlazioni si si si Valuation partial Full Full Model risk si no si Facile implement.
si si no
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65BackBack--Testing e Stress Tests Testing e Stress Tests
Le procedure di back-testing verificano, in via retrospettiva, l’accuratezza delle misure di VaR
Rispondono alla domanda: “Quanto spesso si sono verificate perdite superiori al VaR decadale con un livello di confidenza del 99 per cento?”
Gli stress tests consistono nella stima della performance del portafoglio in presenza di alcuni tra i più estremi movimenti dimercato verificatisi negli ultimi 10 o 20 anni
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66VaR e CVaR e C--VaRVaR
Il VaR è il livello delle perdite che, ad un certo livello di probabilità,non verrà superato
Varα=(R*| Prob(R<R*)=1-α)
Il C-VaR ( o expected shortfall) è la perdita attesa, condizionata dal fatto che la perdita sia superiore al VaRIl C-VaR non è molto usato, anche se è teoricamente più attraente del VaR
C-Varα=E(R|R<Varα)
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67VaR e Requisiti PatrimonialiVaR e Requisiti Patrimoniali
Le autorità di vigilanza chiedono alle banche di avere un capitale minimo pari al prodotto tra la media dei VaR stimati negli ultimi 60 giorni lavorativi (con N = 10 e X = 99) e un coefficiente moltiplicativo
Di solito, il coefficiente moltiplicativo è pari a 3