3. s-2 probabilidad, distribuci+¦n discreta e introducci+¦n @risk.pdf

Profesor Gonzalo Cuadros

Probabilidades

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Definiciones

Experimento aleatorio Es cualquier experimento cuyo resultado no se puede predecir con certeza

Espacio muestral asociado a un experimento aleatorio Es el conjunto de los resultados posibles del experimento. Se denota por o S

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Espacio muestral

Discretos finitos: tienen un número finito de elementos

Discretos infinitos: tienen un número infinito numerable de elementos.

Continuos: tienen un número infinito no numerable de elementos.

Eventos

Es cualquier subconjunto de espacio muestral.

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Eventos

Sean A y B dos eventos de

Unión AB es el evento que ocurre en al menos

uno de los dos eventos ocurre

Intersección AB es el evento que ocurre en

ambos eventos ocurren

AC = - A es el evento complementario de A y ocurre en A no ocurre.

Eventos mutuamente excluyentes si AB=.

Los eventos A, B son mutuamente excluyentes si la ocurrencia de uno impide la ocurrencia del otro

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Probabilidad de un evento

Definición axiomática Una probabilidad es una transformación P, que asigna a cada evento A de un espacio muestral , un número real P(A) tal que:

P(A) 0 para todo evento A.

P() = 1

P() = 0

P(A) + P(AC) = 1

P(A) 1

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Regla de la suma y multiplicación Si A y B son mutuamente excluyentes:

P(A o B) = P(A) + P(B)

Si A y B no son mutuamente excluyentes: P(A o B) = P(A) + P(B) – P(A y B)

Si A y B son eventos independientes:P(A y B) = P(A) x P(B)

Si A y B son eventos dependientes: P(A y B) = P(A) x P(B/A)

Los eventos A y B son independientes si la ocurrencia de uno no afecta en ninguna forma a las posibilidades de que ocurra el otro

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Variable aleatoria

Sea un espacio muestral. Una variable aleatoria es una función X, que transforma cada resultado w del espacio muestral en un número real X(w)

El rango de la variable aleatoria X es el conjunto RX de todos sus posibles valores.

RX

Reales

x=X(w)

w

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Tipos de variable aleatoria

Discreta si su rango es un conjunto finito o infinito numerable , solo un número limitado de valores.

Continua si su rango es un conjunto

continuo, es aquella que puede tomar

cualquier valor dentro de un intervalo dado

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Distribución de probabilidad

Una distribución de probabilidad describe laforma en que se espera que varíen losresultados.

Se puede pensar en una distribución deprobabilidad como una distribución defrecuencias teóricas.

Valores xi de X x1 x2 ... xn

Probabilidad f(xi)=P[X=xi] f(x1) f(x2) ... f(xn)

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Probabilidad en una v.a. discreta

Sea un espacio muestral y P una asignación

de probabilidades definida sobre sus eventos.

Son aquellas para las cuales las variablesposibles tienen un número limitado devalores.

f(x) 0

f(x) = P(X = x )

La suma de f(xi) = 1

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Función de distribución acumulada

La función de distribución acumulada F(x)

La función distribución acumulada nos indica cual es la probabilidad que cierta variable aleatoria sea menor o igual a un determinado valor.

Esta probabilidad es la suma ( variables discretas) de las probabilidades de todos los valores posibles.

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Valor esperado de una variable

aleatoria discreta

( )i X

i i

x R

E X x f x

E (x) = Sumatoria [(x) * f (x)] f(x)=P(x)

E(x): valor esperado

x: cada valor de la distribución

P(x): probabilidad de ocurrencia de cada x

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Caso 1

Usted con frecuencia invierte en la Bolsa de Valores, estudia

cuidadosamente cualquier inversión potencial. En la actualidad está

analizando la posibilidad de invertir en la Cía. EdelSur. Haciendo un análisis

del comportamiento pasado de la compañía, usted ha dividido los resultados

potenciales de la inversión en cinco resultados posibles, con sus respectivas

probabilidades. Los resultados son los índices anuales de recuperación de un

solo paquete de acciones que actualmente cuestan $150.

Recuperación inversión en $ 0 10 15 25 50

Probabilidad 0.20 0.25 0.30 0.15 0.10

Encuentre el valor esperado de la recuperación de la inversión en un

solo paquete de acciones. (ver base de datos S-2)

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Solución con @Risk

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Distribución Binomial

Un experimento Binomial consiste de una

serie de n pruebas o ensayos fijados antes de

realizar el experimento.

Las pruebas son idénticas y cada una puede resultar en uno de dos resultados: Éxito (E) o Fracaso (F).

Las pruebas son independientes entre si.

La probabilidad de éxito es constante de

una prueba a otra y se denota por p.

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Esperado o media: E[X] = n p

Varianza: V[X] = n p (1-p)

p>0.5 tiene

sesgo izquierdo

p<0.5 tiene

sesgo derecho

p=0.5 la distribución

es simétrica

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La variable aleatoria Binomial se definecomo el número de éxitos obtenidos enlos n intentos.

La función de probabilidad es:

Los parámetros de la distribución Binomial

son n y p.

Se denota por X~ B(n, p)

nxppCxXxfxnxn

x ,,2,1,01P

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Caso 2

Una prueba de opciones múltiples consiste de siete preguntas. Cada pregunta tiene cuatro respuestas posibles, de las cuales sólo una es la correcta. Una persona responde todas las preguntas de la prueba marcando las respuestas al azar. (ver base de datos S-2)

Se define la variable aleatoria X como la cantidad de preguntas contestadas correctamente:

a. Elabore la tabla de distribución de probabilidades de X.

b. Elabore el gráfico de la función de probabilidades

c. Calcule la probabilidad de que responda dos preguntas al azar.

d. Calcule la probabilidad de que responda al menos dos preguntas al azar.

e. Calcule el valor esperado de X.

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Elabore la tabla de distribución de probabilidades

Solución a

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Elabore el gráfico de la función de probabilidades

Solución b con @Risk

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Calcule la probabilidad de que responda dos preguntas al azar

Solución c con Excel

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Calcule la probabilidad de que responda al menos dos preguntas al azar

Solución d con Excel

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Solución d con @Risk

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Solución e con Excel

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Calcule el valor esperado de X.

Solución e con @RISK

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Caso 3

Se ha determinado que el 85% de las personas que compranuna computadora en una tienda por departamento noefectúan algún tipo de reclamo. Se eligen al azar 160personas que compraron la computadora.

(ver base de datos S-2)

a. Defina la variable y elabore la tabla de distribución de probabilidades.

b. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos 10 pero como máximo 20 personas efectúen algún reclamo?

c. ¿Cuál es la probabilidad de que más de 25 personas efectúen algún reclamo?

d. Elabore el gráfico de la función de probabilidades.

INTRODUCCIÓN AL @RISK


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Cargando el @RISK

Muévase a la ventana o celda o área de interés

Luego haga clic derecho.

Si en tal localización existen capacidades de @RISK, entonces aparecerá un menú tipo “pop-up” sensible

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Preliminares

¡No tenga más de un modelo @RISK abierto al mismo tiempo!

Intente mantener su modelo en un solo libro de trabajo con varias o muchas hojas

Localice las funciones @RISK en celdas individuales y utilice referenciamiento de celdas

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Asuntos de modelación

Las referencias circulares crean una significativa disminución en el desempeño de la simulación. Trate de no incorporarlas en su modelo.

Puede ejecutar sus macros VBA durante una simulación.

Elimine las funciones ALEATORIO() (“RAND()”) DE SU MODELO.

Si se requiere de la Búsqueda de Objetivos y/o del Solver de Excel para ejecutar cada iteración, entonces adicione una macro para cada iteración.

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Ventanas de @RISK

1. Ventana de Modelo @RISK (Risk Model)

2. Ventana de resultados @Risk (Risk Results)

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Ventana de Modelo

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Ventana de Modelo @RISK (Risk Model

Windows)

Examinar la estructura de su modelo @Risk

Revisar el nombre de sus variables de entrada y salida @Risk

Eliminar variables de entrada @Risk.

Adicionar/editar correlaciones entre las variables de entrada @Risk

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Ventana Resumen @RISK

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Ventana de resultados @RISK (@Summary Window)

Tablas estadísticas de resumen de resultados

Gráficos de resumen de resultados

Reportes rápidos de una página para cada una de las celdas designadas como resultado de salida Risk.

Reportes personalizados que usted construya

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Pasos introductorios

Abra su modelo Excel

Decida cuáles celdas contienen variabilidad Seleccione la distribución y especifique sus parámetros

usando el ícono de Definición de Distiribuciones (“Define Distributions”):


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Celdas de salida (“output”)

Seleccione aquellas celdas que son las celdas de salida en su modelo de Excel.


REALIZANDO UN ANÁLISIS DE

RIESGO Y ESTRUCTURANDO SU

MODELO DE LIBRO DE TRABAJO

@RISK

Esta sección define los pasos que recomendamos para desarrollar su modelo @RISK.


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Pasos en la Ejecución de una Evaluación de Riesgo con @RISK

Desarrolle

un modelo

determinístico

Inserte

distribuciones

@RISK

Defina las

variables de

salida

Presente

los resultados

Ejecute la

simulaciónInterprete los

resultados

Genere gráficos

y reportes

Inserte

correlaciones

Defina la

configuración

de simulación

Creación Configuración Ejecución Resultados

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Una Perspectiva hacia delante

El próximo capítulo le introducirá a la versión integrada de Inserción de distribuciones, la importante herramienta de visualización de distribuciones.

Esta funcionalidad es tan importante como lo es la graficación de los datos antes de utilizarlos.

Especifique y visualice las distribuciones antes de implementarlas en su evaluación.

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Estructurando su Modelo de Libro de

Trabajo @Risk

Cada evaluación de riesgo requiere la identificación de:

1. las variables clave de salida

2. las variables inciertas de entrada primarias

3. la interdependencia entre las variables de entrada inciertas

4. las variables inciertas dependientes del tiempo

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Ensamble del Modelo

Despliegue la estructura del modelo.

Incorpore los componentes de pronóstico

Identifique las variables importantes. Considere realizar pruebas sobre variables importantes usando TopRank.


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Apetito de riesgo

Esta es la cantidad de exposición al riesgo que el tomador de decisiones está dispuesto a tomar previo a considerar .

Esto puede ser visualizado como la cantidad de dinero que una firma tiene ya disponible en el caso de que suceda un evento extraordinario.

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Inserción de distribuciones @RISK

Se transforma el modelo determinístico en un modelo estocástico o probabilístico

@RISK proveerá las herramientas y distribuciones para esta importante tarea

Tema del próximo capítulo


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Definición de variables de salida

Uno o más variables de salida definidas por este ícono

Una variable de salida puede también ser una variable de entrada


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Configuración de la simulación

Define cómo se realizará la simulación:

Número de iteraciones, métodos de números aleatorios, control del proceso de simulación, velocidad, convergencia, etc.

No hay que estar en alguna celda en particular para configurar la simulación


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Ejecución de la simulación

Este es el núcleo de todo el proceso

@RISK toma control del proceso de cálculo de Excel para generar números aleatorios, generar distribuciones de probabilidad (correlacionadas o no) y generar los datos, estadísticos, reportes y gráficos


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Ejecute el Modelo Probado

Hemos encontrado que el mínimo número de iteraciones a utilizar es de 5000.

Utilice la funcionalidad de convergencia para determinar cuántas iteraciones utilizar


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Prueba del Modelo

Trate de estresar el modelo asumiendo un conjunto consistente de valores optimistas, y luego pesimistas sobre las variables clave.


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Generación de gráficos y reportes

Existen al menos 3 formas distintas para generar gráficos y reportes en @RISK:

Ventana resumen (Summary)

Reportes de Excel

Estadísticos @RISK


3. s-2 probabilidad, distribuci+¦n discreta e introducci+¦n @risk.pdf

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