IL CALCOLO COMBKNATORIO

Nella vita quotidiana può capitare dì dover rispondere a domande come quelle qui riportate.

- Quante parole diverse dì 4 lettere si possono formare avendo a disposizione 10 lettere?— Quanti ambi si possono formare con Ì 90 numeri del gioco del Lotto?- Nel gioco del Totocalcio quante colonne bisognerebbe giocare per realizzare il «13"?- Quante squadre diverse di 5 ragazzi si possono formare in un gruppo di 30 ragazzi?

A queste domande possiamo rispondere con il calcolo combinato rio, che è un modo di manipolazio-ne dei numeri naturali importante dal punto di vista operativo e indispensabile per affrontare il calcolodelle probabilirà in situazioni complesse.Nei quesitì precedenti si tratta di comporre in diversi modi un gruppo di elementi prendendone sem-pre una quantità determinata.Il fine del calcolo combinatorio è quello di costruire e contare Ì raggruppamenti distinti che si posso-no formare con una data quantità di elementi di un insieme.I possibili tipi di raggruppamento di cui tratta il calcolo combinatorio sono:

- disposizioni;— permutazioni;- combinazioni.

Le disposizioni sempliciIntroduciamo il concetto di disposizione con degli esempi.

Esempi

1. Cinque amici si recano al Luna Park e decidono dì andare sull'autoscontro. Solo una macchini-na delFautoscontro è a loro disposizione e poiché ognuno di loro vuole stare alla guida e la mac-chinìna ha solo due posti, si chiedono quanti giri devono fare per soddisfare ciascuno di loro eper accompagnarsi tutti a due a due.Per risolvere questo quesito bisogna innanzitutto stabilire l'insieme in esame; tale insieme è co-stituito dai 5 amici che indichiamo, per semplicità, con le lettere A, B, C, D, E. Per determinarequanti giri i 5 amici devono fare, fissiamo alla guida della macchìnlna uno di loro e lo accoppia-mo con Ì rimanenti 4 determinando, cosi, tutte le possibili coppie che si possono formare.Per visualizzare questo procedimento possiamo utilizzare dei diagrammi ad albero.

C

Le coppie che si possono formare sono: 5 • 4 = 20.Le coppie ottenute si chiamano disposizioni semplici dei cinque elementi presi a due a due e ilnumero di tali disposizioni si indica con D=,2'- pertanto D=,_2 — 20.

2. Dato l'insieme costituito dalle quattro cifre {1, 2, 3, 4j, vogliamo sapere quanti numeri di duecifre sì possono formare.Risulta subito evidente che in questo quesito è importante l'ordine in cui vengono prese le duecifre costituenti il numero; pertanto per risolvere il quesito procediamo come nell'esempio pre-cedente, cioè fissiamo una cifra e la accoppiamo con le rimanenti tre, determinando tutte le pos-sibili coppie che si possono formare.

12 Jj I21

T] [^

TI [24

32_

4 1 134"

LLJ

\H I42

[il ^3

Le coppie che si possono formare sono: 4 • 3 — 12, quindi le disposizioni semplici dì quattroelementi presi a due a due sono: Z\ =12.

3. Dato l'insieme costituito dalle cinque cifre {1, 2, 3, 4, 5}, vogliamo sapere quanti numeri di trecifre si possono formare.Come negli esempi precedenti, l'ordine con cui vengono prese le cifre è importante, la schema-tizzazione risulta invece un po' più complicata; infatti, per rappresentare il problema grafica-mente bisogna costruire un albero con una radice e due livelli di rami così, come segue:

1 M 2 U

AJ I123

T] fl24|

TI PÌ251

2] |132|

TI [134]

~

2] [152]

T 153

4 214

5 215

1 231

4] [234

5 235

r 1 241

[243]

12451

-

Prova a completare la schematìzzazione per le cifre rimanenti.Le terne che si possono formare sono: 5 • 4 • 3 = 60, quindi le disposizioni semplici di cinqueelementi presi a tre a tre sono: /\ = 60.

Gli esempi precedenti ci permettono dì generalizzare i risultati ottenuti al caso di n elementi distinti daraccogliere in gruppi di k elementi, definendo così le disposizioni di n elementi presi a k a k (£)„>).

Dati n elementi distinti, si dicono disposizioni semplici di classe k, o presi a k a k, tutti i possibi-li raggruppamenti formati da k elementi, scelti fra gli n elementi dati. f

I raggruppamenti distinti che si possono formare devono soddisfare le seguenti proprietà:

• il numero naturale k deve essere minore o uguale a n (k ̂ M);• uno stesso elemento non può figurare più volte in uno stesso raggruppamento;• due qualsiasi raggruppamenti si considerano distinti se la loro composizione differisce per almeno

un elemento oppure se gli elementi di un raggruppamento sono gli stessi dell'altro ma è diverso l'or-dine con cui essi sono disposti.

II numero dei raggruppamenti, che si indica con il simbolo £>„<„ si calcola nel seguente modo:

A,,* = « • ( » - 1) ' (« ~ 2) • (n - 3) - • («-*+!)

cioè è il prodotto dì k numeri naturali consecutivi decrescenti a partire da n.Tornando agli esempi precedenti e applicando questa formula si ottiene:

a) nel primo esempio: n — 5, k— 2, n~ k + 1 — 5 — 2 + 1 — 4 , quindi D^2 = 5 • 4 = 20;b) nel secondo esempio: « = 4, k — 2, n — k + 1 = 4 — 2+1 = 3, quindi £>42 = 4 • 3 = 12;e) nel terzo esempio: n — 5, £ = 3, n — k + 1 — 5 — 3 + 1=3, quindi Z\ = 5 • 4 • 3 — 60.

Concludiamo con un altro esempio.

Esempio

In una classe di 18 alunni, in quanti modi diversi si possono scegliere tre alunni per la carica di ca-poclasse, aprifila e chiudifìla da comunicare al responsabile della sicurezza in caso di emergenza?Poiché le cariche hanno mansioni diverse non si possono sommare, quindi per trovare la risposta alquesito bisogna usare le disposizioni semplici di 18 elementi presi a tre a tre.Pertanto sì ha che: n = 18, £=3, « - £ + 1 = 1 8 - 3 + 1 = 16, da cui £>18,3 = 1 8 - 1 7 - 16-4896.

Le permutazioni semplici

Un caso particolare di disposizioni si ha quando si vogliono determinare raggruppamenti in cui il nu-mero degli elementi da raggruppare coincide con il numero degli elementi a disposizione, cioè k = n.A questo caso particolare di disposizione si da il nome di permutazione semplice.

Le permutazioni semplici di classe k di n elementi distinti, con n - k, sono le disposizioni sem-plici degli n elementi presi a n a n.

Si deduce che due qualsiasi permutazioni semplici differiscono solo per l'ordine con cui sono dispostigli n elementi distinti in esse contenuti.Il numero dì permutazioni semplici di n elementi è pertanto D,,,, = » • { « — 1} • (w — 2) • • 2 • 1;se indichiamo con PH il numero delle permutazioni semplici si ha:

/>„ = « • (» - !}•(«-2)- - 2 - 1

Dato un numero naturale n, si definisce fattoriale di n e si indica con w! (si legge «enne fattoriale») ilprodotto di tutti Ì numeri naturali consecutivi decrescenti a partire da n fino al numero 1:

»! = « • (« - !)-(«- 2)- - 2 - 1

quindi possiamo scrivere: Pn — ni

Vediamo con un esempio quando si possono usare le permutazioni semplici.

Esemplo

Dato l'insieme delle lettere [a, m, /'}, vogliamo determinare tutte le possibili parole, anche prive di si-gnificato, che si possono formare utilizzando tutte e tre le lettere.Sfruttando la schematizzazìone vista negli esempi precedenti, costruiamo i diagrammi ad albero peraiutarci nella determinazione delle parole possibili.

Il numero delle parole, anche prive di significato, che si possono formare è 6.Usando la formula delle permutazioni, sì ha infatti che:

/>3 = 3! = 3 • 2 • 1 = 6

Abbiamo visto che:

»! = « • ( » - ! ) • («- 2 ) - - 2 - 1

In particolare, per definizione:

• se n = O, si pone O! = 1;

• se n = 1, si pone 1! = 1.

Per altri valori di n si ha che:

Valori di n n!

2

3

4

5

6

2!

3!

4!

5!

6!

= 2

= 3

= 4

= 5

= 6

1

2

3

4

5

= 2

• 1 = 6

- 2 - 1 = 24

• 3 • 2 • 1 = 120

• 4 • 3 • 2 • 1 = 720

Per calcolare 7! basta prendere il valore di 6! e moltipllcarlo per 7 e così via;

risulta quindi evidente che il fattoriale può essere calcolato moltiplicando il

valore ottenuto ad un certo passo (n — 1) per il successivo intero n, cioèn\ n- (n — 1)!

OSSERVAZIONE

Le combinazioni semplici

Abbiamo visto che nelle disposizioni e nelle permutazioni semplici è importante l'ordine in cui vengo-no presi gli elementi; in questo paragrafo ci proponiamo di studiare dei raggruppamenti in cui l'ordinedegli elementi non ha alcuna importanza: tali raggruppamenti si dicono combinazioni semplici.

Consideriamo i seguenti esempi.

Esempi

1. Dato l'insieme {a, e, i], le disposizioni semplici dei tre elementi dell'insieme presi a due a duesono:

ae ea ai ìa ei ie;

se supponiamo che l'ordine non abbia più importanza, allora si ha che:

ae = ea ai = ia ei — ie

e quindi i raggruppamenti distinti si riducono a 3: ae, ai, ie; pertanto le combinazioni semplicidei tre elementi presi a due a due sono 3.

2. Dato l'insieme delle vocali [a, e, i, o, u], vogliamo determinare il numero di combinazioni sem-plici di questi 5 elementi presi a tre a tte e che indichiamo con Q 3.Consideriamo una qualsiasi combinazione semplice degli elementi dell'insieme prendendoli atre a tre, per esempio a e i\, quindi, le permutazioni di questi tre elementi che, perquanto visto nel paragrafo precedente, sono 3! e sono date da:

ae i e a i aie i a e eia i e a

Per ogni combinazione semplice di 3 elementi esistono 3! disposizioni semplici di classe 3, quin-di da queste considerazioni sì deduce che:

Q.3 • 3! = A,3da cui si ha che:

A 3 5 - 4 - 3C — —-— = — 10

3! 3 - 2 - 1

Analizzando gli esempi precedenti si deduce che:

idati n elementi distinti, si dicono combinazioni semplici di classe k tutti i possibili raggruppa-menti formati da k elementi, scelti fra gli n elementi dati, senza tener conto dell'ordine in cui sipresentano.

I raggruppamenti distinti che si possono formare devono soddisfare le seguenti proprietà:

• Ìl numero naturale k deve essere minore o uguale a n (k =S n);• un elemento non può figurare più volte in uno stesso raggruppamento;• due raggruppamenti sì considerano distinti se differiscono per almeno un elemento.

Segue, pertanto, che due raggruppamenti che differiscono solo per l'ordine con cui in essi sono dispo-sti gli elementi sono da ritenersi identici.II numero delle combinazioni semplici di n elementi distìnti di classe k si indica con il simbolo Cntk.La formula che permette di calcolare le combinazioni semplici di n elementi distìnti di classe k èdata da:

Dnj! » • (»-!)• ( i l -2 ) - • («-*+!)

'•* M k-(k-\)'(k-2)- - 2 - 1

Questa formula è giustificata dal fatto che, come abbiamo visto nell'esempio 2, da ogni combinazionesemplice sì possono ottenere, permutando in tutti ì modi possibili i k elementi che la compongono, k\i semplici. Per convenzione si pone CnA = 1, mentre si ha sempre che Cnn — 1.

in\I numero C. A si indica anche con il simbolo che viene definito coefficiente binomìale dì ordì-

' 'ne n e di classe k. Tale denominazione dipende dal fatto che questi numeri compaiono come coeffi-cienti nello sviluppo della potenza «-esima di un binomio. Infatti, consideriamo il seguente quadratodi binomio (a + b}2\l suo sviluppo sappiamo essere a2 + 2ab + b~, quindi i coefficienti che compaio-

no nello sviluppo sono 1,2, 1. Se consideriamo le combinazioni semplici di 2 elementi presi rispettiva-mente a O a O, 3 1 a 1, a 2 a 2, si ha:

-12\- -( 2\- — _ / 2 \1Qo ~ \ J ~ Cil ~ ^ 1 j ~: 1! ~ 2 Q'2 ~ ( 2 j ~ 2! '

da cui risulta che possiamo scrivere lo sviluppo del quadrato del binomio nel seguente modo:

/ 2 \ 2\a a determinare lo sviluppo del cubo di un binomio utilizzando i coefficienti binomiali . .

\*J

La probabilità e il calcolo combinatorioVediamo, mediante degli esempi, come il calcolo combinatorio sia uno strumento utile per calcolare il nu-mero dei casi possibili e il numero dei casi favorevoli quando si debba calcolare la probabilità dì un evento.

Esempi

1. Si estraggono a caso tre carte da un mazzo di 52 carte; calcoliamo la probabilità che le tre cartesiano di cuori.

E — le tre carte estratte sono di cuori

Poiché l'ordine con cui vengono estratte non ha importanza, tutti i possibili modi diversi diestrarre tre carte da un mazzo di 52 sono le combinazioni semplici di 52 elementi di classe 3,quindi:

5 2 - 5 3 -50CP— combinazioni semplici di 52 elementi di classe 3: C^., — r—r = 22 100

1 3 - 1 2 - 1 1Nel mazzo ci sono 13 carte di cuori, quindi ci sono C]33 = — — 286 modi diversi diestrarre 3 delle 13 carte di cuori presenti nel mazzo, da cui:

CP = C52,3 = 22 100 CF = C13,3 - 286

_CF__ C13.3 286 11p(E)- — - -£— - 22100 - -g^Q-

2. Determiniamo la probabilità che nel gioco del Lotto sulla ruota dì Napoli venga estratto un ter-no prefissato.

E — sulla ruota di Napoli viene estratto un terno prefissatoI numeri del gioco del Lotto sono tutti i numeri naturali da 1 a 90 e su ogni ruota vengonoestratti 5 numeri il cui ordine non ha importanza, quindi:

CP — tutti i modi diversi di estrarre 5 numeri da 90, cioè:

90 • 89 - 88 • 87 • 86CP = Q0>5 = 5 . 4 . 3 . 2 ~ = 43 949268

Per calcolare il numero di casi favorevoli, supponiamo che dai 90 numeri del gioco vengano toltii tre prefissati e che, con gli 87 rimanenti, si costruiscano tutte le combinazioni semplici di clas-se 2: in questo modo, aggiungendo a ciascuna combinazione i tre numeri prefìssati, si ottengonotutte le possibili cinquine contenenti il terno cercato. Si ha quindi:

87-86CF= C87>2 = —-— - 3 741 da cui:

CF C™ 3741 1p(E} = CP C90,5 43949268 11748

1La probabilità che venga estratto un terno prefissato sulla ruota di Napoli è , , _ , „

11 748

Esercizi

1. Quanti numeri di 5 cifre si possono formare con le cifre {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}? [15120]

2. Letizia ha 10 bìglie tutte di colore diverso. In quanti gruppi diversi le può disporre prendendone 2per volta? [90]

3. Quante sono le diverse colonne della schedina del Totocalcio che si possono giocare? [1 594 323]

4. Un codice segreto è formato da 6 lettere diverse dell'alfabeto italiano. Quanti codici diversi sì pos-sono formare? [143 640]

5. Quanti numeri di 4 cifre distinte si possono formare con le cifre dell'insieme {.re rWx < 8]? [840]

6. Quanti sono gli anagrammi, anche privi di significato, che si possono formare dalla parola CAR-TONE? (L'anagramma è un gioco enigmistico che consiste nella permutazione delle lettere compo-nenti una parola o una frase in modo da ottenere altre parole o frasi di significato diverso). [5 040]

7. Quanti sono gli anagrammi, anche privi di significato, che si possono formare dalla parola CASE?[24]

8. Quanti numeri di 3 cifre distinte si possono formare con le cifre |3> 6, 9}? [6]

9. Nel gioco del Lotto quanti sono gli ambi che possono essere estratti sulla ruota di Milano?[4005]

10. Analizza e completa le combinazioni semplici seguendo l'esempio proposto:

n~ 1

n = 3

n = 4

1 11 2 1

1331

1 4 6 4 1

n - 6 =»

La figura che sì forma a lato ti ricorda qualcosa di già noto?

11. Un pittore dispone di 15 colori diversi. Quante tele diverse può colorare, utilizzando su ogni telasolo 4 colori? [1 365]

12. In quanti modi un allenatore può comporre una squadra di pallavolo avendo a disposizione 10giocatori? [210]

RG&C S.R.I.. SOLUZIONI PER ^EDITORIA

CHE HA CURATO PER L'EDITORE PROGETTO

GRAFICO E 1MPAGINAZIONE, REALIZZAZIONE

EDITORIALE, RKDAZIONE DISEGNI E ILLUSTRA-

ZIONI, PROGETTO GRAFICO DELLA COPERTINA.

REALIZZAZIONE LASTRE CTP:FOTOINCISA EFFEGI - SA VIGLIANO

STAMPA;EDIZIONI n CAPITFLLO - TORINO

L'opera è il risultato del lavoro comunedi Ezia Nìcoletti, Nicola Papa,Lia Risposi, Gabrielli! Somaschi.

PROPRIETÀ LI-TIERAKIA RISERVATA

L'Editore, nell'ambito delle leggi in-ternazionali sul copyright, è a disposi-zione degli aventi diritto non potutirintracciare.

1 diritti di traduzione, di riproduzionee di adattamento, totale b parziale,con qualsiasi mezzo, compresi micro-film e copie fotostatiche, sono riserva-ti per tutti i Paesi.

Si ritengono contraffatte le copie nonfirmate o non munite del contrasse-gno S.I.A.E.

1J edizione: febbraio 2008

Ristampa:5 4 3 2 1

2012 2011 2010 2009 2008

© EDIZIONI il capitelloVia Sansovino, 243/22/R10151 Torinotei. 0114513611 - fax 0114513612

II presente testo è stato redattosecondo le norme e avvertenzetecniche adottate dal M.RI. conD.M. n. 547/99 del 7/12/1999. Icontrolli di qualità ai quali è statasottoposta questa prima edizione

sono stali effettuati da: S.T.A.N.i.M.U.C. - Torino(certificato n.207L016)