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ELEMENTI DI CALCOLO COMBINATORIO

16.1 Introduzione Oggetto del calcolo combinatorio è quello di determinare il numero dei modi mediante i quali possono essere associati, secondo prefissate regole, gli elementi di uno stesso insieme o di più insiemi. In molte applicazioni sorge il problema di sapere in quanti modi possibili si può presentare un certo fenomeno. Il problema, all’apparenza, sembra banale: ciò è vero se il numero degli elementi presi in considerazione è piccolo, ma quando questo numero è elevato si presentano delle difficoltà nel formare tutti i raggruppamenti possibili e senza considerare ripetizioni. Nelle applicazioni ci si può, per esempio, chiedere:

• In quanti modi diversi si possono scegliere tre libri da una libreria che ne contiene 12?

• In quanti modi si possono scegliere tre numeri diversi, compresi tra 1 e 50, in modo che la loro somma sia divisibile per 4?

• Nel menù di un ristorante si può scegliere tra cinque primi piatti, sei secondi e sette dessert: quanti tipi di pasti, con almeno una portata diversa, può somministrare il ristoratore?

e così via. Il calcolo combinatorio oltre che a rispondere a domande del tipo precedente costituisce anche uno strumento aritmetico che è di supporto indispensabile nel Calcolo delle Probabilità poiché consente di determinare il numero di eventi possibili (ma anche quelli favorevoli e contrari) che si possono verificare in una prova. In definitiva possiamo dire che il Calcolo combinatorio fornisce quegli strumenti di calcolo per determinare il numero di raggruppamenti che si possono formare con un numero k di oggetti presi da un insieme contenente n oggetti ( kn ≥ ) secondo le modalità seguenti: a) i k oggetti possono formare gruppi ordinati (che chiameremo disposizioni); b) i k oggetti possono formare gruppi non ordinati (che chiameremo combinazioni); c) se k = n otterremo dei gruppo ordinati che chiameremo permutazioni. Esaminiamo in dettaglio questi raggruppamenti.

16.2 Disposizioni semplici Consideriamo un insieme A formato da n elementi distinti ed un numero nk ≤ . Si chiamano disposizioni semplici degli n elementi presi a k a k ( o disposizioni della classe k) un gruppo ordinato formato da k degli n elementi dell’insieme dato A in modo che valgano le seguenti proprietà: 1. in ciascun raggruppamento figurano k oggetti senza ripetizione;

Capitolo 16

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2. due di tali disposizioni si ritengono diverse quando differiscono per almeno un elemento oppure per l’ordine con cui gli stessi elementi si presentano. Il numero delle disposizioni semplici di n elementi distinti, della classe k, si indica con il simbolo knD , il cui valore è dato dal teorema (che non dimostreremo) seguente: Il numero delle disposizioni semplici di n elementi distinti della classe k, è uguale al prodotto di k numeri interi consecutivi decrescenti dei quali il primo è n. Si ha cioè:

)()()(, 121 +−−⋅−⋅= knnnnD kn Λ e si dimostra che:

)!(!

, knnD kn −

=

Il simbolo !n si legge n fattoriale e non è altro che il prodotto di n numeri interi decrescenti a partire da n e per definizione si pone 10 =! . Così, ad esempio, se vogliamo calcolare D7,3 nei due modi descritti, si ha:

21056737 =⋅⋅=,D

.)!(

!, 210

12341234567

377

37 =⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅⋅⋅=

−=D

16.3 Disposizioni con ripetizione Consideriamo un insieme costituito n elementi distinti ed un numero naturale k senza alcuna limitazione superiore. Il problema che ci poniamo è quello di costruire tutti i possibili raggruppamenti distinti prendendo k oggetti in modo che: a) in ciascun raggruppamento figurano k oggetti ed uno stesso oggetto può figurare, ripetuto, fino ad un massimo di k volte; b) due qualsiasi raggruppamenti sono distinti se uno di essi contiene almeno un oggetto che non figura nell’altro, oppure gli oggetti sono diversamente ordinati, oppure gli oggetti che figurano in uno figurano anche nell’altro ma sono ripetuti un numero diverso di volte. Il numero delle disposizioni con ripetizione si indica con il simbolo knD ,' e si dimostra che tale numero è dato da:

.' ,k

kn nD = Esempi 1. Usando le cifre significative 1,2,3,4,5,6,7,8,9 del sistema decimale, quanti numeri di 3 cifre differenti si possono formare con esse? E quanti se ne possono formare se non tutte le cifre sono differenti? Per rispondere alla prima domanda occorre considerare le disposizioni (conta l’ordine) semplici (le cifre non si ripetono) di 9

elementi di classe 3, cioè: 50478969

=⋅⋅=!! . Per rispondere alla seconda domanda

occorre considerare le disposizioni (conta l’ordine) con ripetizione (le cifre si ripetono) di 9 elementi di classe 3, cioè: .72993 = 2. Quanti numeri naturali con 3 cifre distinte si possono formare? Le cifre significative sono: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9. Occorre considerare le disposizioni (conta l’ordine) semplici (le cifre devono essere distinte) di 10 elementi di classe 3:

720310 =,D . Occorre poi tenere presenti che calcolando 310 ,D si considerano anche le disposizioni del tipo 0345786912, che non è un numero naturale con 10 cifre.

Pertanto, tenendo conto che esistono 7210720

= disposizioni aventi come cifra iniziale

lo 0, il numero richiesto sarà: .,, 64872720

10310

310 =−=−D

D

ALTRO METODO

Supponiamo di avere dei vincoli (in questo caso la prima cifra non può essere zero) allora le possibili scelte saranno:

per la prima cifra: 9 opzioni diverse (1,...,9)

per la seconda cifra: 9 opzioni diverse (tutti i numeri da 0 a 9 tranne la cifra scelta come primo numero)

per la terza cifra: 8 opzioni (sono escluse le cifre già scelte)

In totale

9·9·8= 648

Esempio:

Avendo a disposizione le cifre le cifre 2,4,7,9 quanti numeri dispari di tre cifre distinte posso formare?

_ _ 7

_ _ 9

Le ultime due cifre devono essere necessariamente 7 o 9.

Le restanti due possono essere scelte tra le tre rimanenti.

Prima cifra: 3 opzioni

Seconda cifra: 2 opzioni

Terza cifra: 2 opzioni

3·2·2= 12 configurazioni diverse 2·D3,2=2·6=12

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16.4 Permutazioni semplici Le permutazioni semplici altro non sono che le disposizioni di n oggetti presi ad n ad n, ossia, dato un insieme di n oggetti, si dicono permutazioni di tali n oggetti tutti i gruppi che si possono formare con gli n oggetti dati prendendoli tutti. Se ne deduce allora che le permutazioni semplici differiscono soltanto per l’ordine con cui sono disposti gli n oggetti distinti contenuti nei vari raggruppamenti. Dalla definizione segue quindi che le permutazioni coincidono con le disposizioni semplici di classe n. Il numero delle permutazioni si indica con nP e il calcolo delle permutazioni è uguale al calcolo del numero delle disposizioni semplici di n elementi di classe n; in pratica è:

1221 ⋅−⋅−⋅=⇒= Λ)()(, nnnPDP nnnn cioè: il numero delle permutazioni di n elementi distinti è uguale al prodotto dei primi n numeri naturali (escluso lo zero). Ricorrendo alla definizione di fattoriale, possiamo anche dire che: il numero delle permutazioni semplici di n elementi distinti è dato dal fattoriale del numero n, ossia:

!nPn = Gli anagrammi altro non sono che le permutazioni che si ottengono da una parola variando solo il posto delle lettere. Ad esempio, con la parola ROMA (composta da 4 lettere) si ottengono 2444 == !P anagrammi. 16.5 Permutazioni di n elementi non tutti diversi Nel paragrafo precedente abbiamo supposto che gli n elementi dell’insieme fossero tutti distinti. Supponiamo ora che di questi n elementi ve ne siano α uguali tra loro ( n<α ). Ci proponiamo allora di trovare il numero delle loro permutazioni che indicheremo con )( nPα . Iniziamo con un esempio. Consideriamo la parola ORO che contiene due lettere uguali. Abbiamo visto che il numero di anagrammi di una parola (con lettere tutte diverse) di tre lettere è dato da:

633 == !P Nel caso della parola ORO i possibili anagrammi distinti sono soltanto: ORO ROO OOR cioè sono tre e non sei come ci si sarebbe aspettato, cioè sono in numero minore di nP . In generale, volendo calcolare le permutazioni di n oggetti in cui ve ne siano α identici fra loro, si ottiene un numero di permutazioni dato da:

!!

!)(

ααα nP

P nn == .

Nel nostro caso quindi è:

.!!)( 3

262

6 ==P

Se poi, data una parola di n lettere nella quale una lettera è ripetuta α volte, un’altra β volte, ecc. o, più in generale, dato un insieme di n elementi dei quali α sono uguali fra loro, β uguali fra loro, ecc., il numero delle permutazioni distinte con elementi ripetuti che si possono ottenere è dato da:

!!!!

!!!),,,(

γβαγβαγβα

ΚΚΚ nP

P nn == .

Ad esempio, se prendiamo in considerazione la parola MATEMATICA, osserviamo che nelle 10 lettere in essa contenute, la lettera M si ripete 2 volte (α = 2), la lettera A si ripete 3 volte (β = 3) e la lettera T si ripete 2 volte (γ = 2). Il numero di anagrammi distinti che si possono costruire con essa è dato da:

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151200232

1023210 ==

!!!!),,(P .

16.6 Combinazioni semplici Dato un insieme di n elementi, si dicono combinazioni semplici degli n elementi presi a k a k (o di classe k) nk ≤ tutti i gruppi di k elementi, scelti fra gli n dell’insieme dato, in modo che ciascun gruppo differisca dai restanti almeno per uno degli elementi in esso contenuti (senza considerare, quindi, l’ordine degli elementi). Da notare la differenza fra disposizioni e combinazioni (semplici): mentre nelle disposizioni si tiene conto dell’ordine, nelle combinazioni semplici, invece, si considerano distinti solo quando due i raggruppamenti differiscono almeno per un elemento. Per determinare il numero delle combinazioni semplici di n elementi di classe k, e che indichiamo con il simbolo knC , , ci serviamo della formula:

k

knkn P

DC ,

, =

ossia:

121121

⋅−⋅+−−⋅−⋅

=ΛΛ

)()()()(

, kkknnnnC kn

Da questa formula si ricava che il numero delle combinazioni di n oggetti di classe k è dato dal quoziente di k fattori interi, consecutivi, decrescenti a partire da n ed il prodotto di k fattori interi, consecutivi, decrescenti, a partire da k. Questa formula può essere scritta anche sotto un’altra forma; infatti, moltiplicando numeratore e denominatore per il fattore )!( kn − si ottiene:

)!()()!()()()(

, knkkknknnnnC kn −⋅⋅−⋅

−⋅+−−⋅−⋅=

121121

ΛΛ

)!()()()()()()(

, knkkknknknnnnC kn −⋅⋅−⋅

⋅⋅−−⋅−⋅+−−⋅−⋅=

121121121

ΛΛΛ

Essendo il numeratore di questa frazione uguale ad n!, possiamo scrivere:

)!(!!

, knknC kn −

= .

Esempio Quanti ambi si possono formare con i 90 numeri del lotto? Occorre considerare tutte le possibili combinazioni di 90 numeri di classe 2, tenendo presente che l’ordine non ha importanza (ad esempio le coppie (12,2),(2,12) rappresentano lo stesso ambo) e che in un ambo i numeri non si possono ripetere (combinazioni semplici). Quindi si

ha: .!!

!)!(!

! 4005864

90==

− knkn

16.7 Combinazioni con ripetizione Si possono prendere in considerazione anche le combinazioni con ripetizione. Consideriamo un insieme formato da n elementi e fissiamo un numero k (senza alcuna limitazione superiore): ci proponiamo di costruire i possibili raggruppamenti distinti prendendo k elementi dell’insieme dato in modo che: a) in ciascun raggruppamento figurino k elementi dell’insieme dato potendovi uno stesso elemento figurare più volte fino ad un massimo di k volte; b) due raggruppamenti sono distinti se uno di essi contiene almeno un elemento che non figura nell’altro, oppure gli elementi che figurano in uno figurano anche nell’altro ma sono ripetuti un numero diverso di volte. Consideriamo, ad esempio, l’insieme:

{ }cbaA ,,= . Le combinazioni di classe 2, con ripetizione, sono:

(a, a) (a, b) (a, c) (b, b) (b, c) (c, c) (sono sei). Le combinazioni di classe 3, con ripetizione, sono:

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(a, a, a) (a, a, b) (a, a, c) (a, b, b) (a, b, c) (a, c, c) (b, b, b) (b, b, c) (b, c, c) (a, c, c)

(sono 10). La formula che dà il numero delle combinazioni con ripetizione di n elemento di classe k è:

)!(!)!('

, 11

−−+

=nkknC kn .

Nell’esempio precedente si ha:

612121234

223

132123

23 =⋅⋅⋅⋅⋅⋅

==−−+

=!!

!)!(!)!('

,C

101212312345

235

133133

33 =⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

==−−+

=!!

!)!(!)!('

,C .

Esempio Gli unici concorrenti di 4 gare podistiche sono: Mario, Luigi, Franco, Giorgio, Sergio. Ciascuna gara ha come premio una medaglia (le medaglie sono tutte uguali). Considerato che ogni concorrente può vincere più di una medaglia, in quanti modi può avvenire la suddivisione delle medaglie? Sulle 5 persone, occorre scegliere le 4 con una medaglia a testa, considerato che una persona può essere “ripetuta” un numero di volte uguale al numero di medaglie che prende; non conta l’ordine in quanto le medaglie sono tutte uguali. Si tratta pertanto delle combinazioni con ripetizione di 5 oggetti di classe 4, il cui numero è dato da:

.!!

!)!(!)!( 70

448

11

==−−+

nkkn

16.8 Coefficienti binomiali e potenza di un binomio Il numero delle combinazioni semplici, knC , è spesso indicato con il simbolo seguente:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛kn

che si legge “n su k” e viene detto coefficiente binomiale perché se ne fa uso nello sviluppo della potenza di un binomio. Per definizione è quindi:

)!(!!

, knkn

kn

C kn −=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

Per la convenzione 0! = 1, ha significato anche la scrittura

100

==⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛!!

!n

nn .

In base a questa nuova definizione possiamo dire che il numero delle combinazioni con ripetizione è dato dalla:

.', ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+=

kkn

C kn

1

Consideriamo due numeri reali qualunque a e b. Sono note le formule: baba +=+ 1)(

222 2 bababa ++=+ )( 32233 33 babbaaba +++=+ )(

e così via. Analizzando il calcolo della generica potenza di un binomio notiamo che tutti gli sviluppi sono dei polinomi omogenei e completi, di grado uguale all’esponente della potenza. Ordinando gli sviluppi secondo le potenze decrescenti di uno dei due monomi, notiamo che i loro coefficienti sono numeri del seguente

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prospetto che noi chiamiamo Triangolo di Tartaglia e che i francesi chiamano Triangolo di Pascal:

ΚΚΚΚΚΚΚΚΚΚΚΚΚΚΚΚΚΚΚΚΚΚ

1510105114641

1331121

111

per la cui costruzione è sufficiente osservare che ogni riga inizia e termina con 1 e gli altri valori si ottengono come somma dei due elementi sovrastanti. Questo triangolo può essere scritto nel modo seguente con lo sviluppo della potenza secondo Newton, il quale, nella sua dimostrazione, fa uso delle combinazioni:

ΚΚΚΚΚΚΚΚΚΚΚΚΚΚΚΚΚΚΚΚΚΚΚΚΚΚ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

44

34

24

14

04

33

23

13

03

22

12

02

11

01

00

Sussiste il teorema: qualunque siano i due numeri a e b e l’intero positivo n, si ha:

( ) nnnnnn bnn

abn

nba

nba

na

nba ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

++⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=+ −−− 1221

1210Κ

cioè lo sviluppo di (a + b)n è un polinomio omogeneo di grado n nel complesso delle due variabili a e b che, ordinato secondo le potenze decrescenti di a (e crescenti di b e viceversa) ha per coefficienti i numeri:

121

10

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛nnnnn

,,,, Κ .

Lo sviluppo della potenza del binomio con il metodo di Newton può essere scritto in maniera più compatta nel modo seguente:

( ) ∑=

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=+

n

k

kknn bakn

ba0

.

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Esempio Si sviluppi la potenza seguente: 42 )( yx − . Si ha:

432234 244

234

224

214

04

)()()()( yyxyxyxx −⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ .

Tenendo presente che i coefficienti binomiali che appaiono in questo sviluppo si possono leggere nella quinta riga del triangolo di Tartaglia, si ha:

.)()(4)(6)(4

432234

432234

16322482222

yxyyxyxxyyxyxyxx

+−+−

=−+−+−+−+

ESERCIZI PROPOSTI

1) Il commissario Basettoni sta finendo il blocchetto delle multe; gli restano solo 4 moduli, ma vede 7 macchine in divieto di sosta (tutte nelle stesse condizioni). In quanti modi può scegliere 4 macchine da multare?

a) 4! b) 28 c) 210 d) 35

2) 8 amministratori pubblici vengono condotti a S. Vittore, ove sono disponibili solo 6 celle singole (tutte uguali); in quanti modi si possono scegliere i 6 che avranno la singola?

a) 56 b) 28 c) 6! d) 48

3) Quanti sono gli anagrammi, anche privi di senso, della parola “cavalla”? a) 5040 b) 420 c) 840 d) 2520

4) Per fare una gita a mare, 5 persone hanno a disposizione 3 canoe singole (uguali fra loro) e due pedalò singoli (uguali fra loro), in quanti modi possono spartirsi le imbarcazioni?

a) 60 b) 120 c) 10 d) Nessuna delle precedenti è corretta

5) In quanti modi, su 6 studenti, 3 possono occupare gli ultimi 3 posti liberi in un

aula d’esame (uno, in prima fila, sotto gli occhi del docente, l’altro in fondo all’aula, e l’ultimo vicino al primo della classe)?

a) 20 b) 120 c) 63 d) 36

6) 7 persone si contendono 4 cioccolatini (tutti uguali); ogni persona, se ci riesce, può prenderne più di uno. In quanti modi può avvenire la spartizione?

a) 35 b) 840 c) 210 d) 2401

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7) In una gara ciclistica con 12 atleti, oltre al traguardo finale, c’è un traguardo intermedio (gran premio della montagna); quanti sono i casi possibili dei vincitori dei due traguardi?

a) 132 b) 66 c) 78 d) 144

8) Sviluppare le seguenti potenze: 462 311 )(,)( xx +− . Soluzioni 1) d 2) b 3) b 4) c 5) b 6) c 7) d 8) 16152015612 +−+−+− xxxxxx , 1125410881 34 ++++ xxxx

Osservazione: Problema della tavola rotondaIn quanti modi diversi si possono disporre 4 persone intorno ad un tavolorotondo?

Attorno ad un tavolo rotondo non esiste la posizione iniziale e la posizionefinale; ciò che importa è che ciascuna persona non abbia mai alla sua destra ealla sua sinistra una disposizione di persone già osservata in precedenza.Ad esempio:

formano la stessa configurazione. Le permutazioni saranno allora Pn

Nell'esempio saranno · 4! = 6

Questo tipo di permutazioni sono dette PERMUTAZIONI CICLICHE e sono lepermutazioni di n elementi lungo una circonferenza (o circuito chiuso).Si calcolano

P'(n) = (n-1)!

ESEMPI SVOLTI SULLA SCELTA DELLE FORMULE: PERMUTAZIONI,COMBINAZIONI, DISPOSIZIONI

1) Le targhe automobilistiche sono costituite da 2 lettere, seguite da 3 cifre,

seguite a loro volta da 2 lettere. Sapendo che le 2 lettere possono essere

scelte fra le 26 dell'alfabeto anglosassone, si calcoli quante automobili si

possono immatricolare in questo modo.

Svolgimento: come già spiegato dal testo del problema una targa automobilistica haquesta struttura:

lettera lettera numero numero numero lettera lettera

Abbiamo cioè tre tipi di raggruppamenti diversi.

Nel primo " lettera lettera " abbiamo k=2 elementi che si possono scegliere tra n=26elementi distinti (le lettere dell'alfabeto anglosassone)

L'ordine ha importanza? SI, in quanto, due lettere scambiate di posto generano duetarghe distinte. Abbiamo a che fare quindi con Disposizioni (in quanto ).

Uno stesso elemento, all'interno di un raggruppamento, può essere ripetuto? SI, visono infatti targhe che iniziano con due lettere uguali

Siamo quindi di fronte a disposizioni con ripetizione di classe k. Ne segue che lelettere possono essere raggruppate in:

modi diversi

Per quanto riguarda le cifre, esse sono raggruppamenti di k=3 elementi, scelti da uninsieme che ne contiene n=10. Anche in questo caso l'ordine ha importanza e unastessa cifra può essere ripetuta fino a tre volte. Utilizzeremo quindi le disposizioni conripetizione da cui:

modi diversi

Avendo tre raggruppamenti (lettere - cifre - lettere) il numero totale delle targheautomobilistiche che si possono formare è dato da:

2) 24 amici, ex compagni di liceo, si rivedono dopo qualche anno e organizzanouna cena. A fine serata si salutano e ognuno stringe la mano a tutti gli altri.Quante strette di mano ci saranno?

Soluzione: come di consueto iniziamo con l'individuare n (numero totaleelementi) e k (numero di elementi con cui si forma un raggruppamento).

Ovviamente n=24 e k=2 in quanto una stretta di mano avviene fra duepersone. L'ordine ha importanza? NO, ognuno può stringere la mano a chivuole e in che ordine vuole. Ci orientiamo quindi verso le Combinazioni

Uno stesso elemento, all'interno di un raggruppamento può essereripetuto? NO, sarebbe assurdo infatti che ciascun tipo salutasse se stessostringendosi da solo la mano!

Per contare il numero delle strette di mano ricorreremo quindi allecombinazioni semplici, da cui:

3) 8 amici si incontrano settimanalmente per un banchetto, cambiando ognivolta la loro posizione a tavola. Dopo quanti anni avranno esaurito tutte lepossibili configurazioni?

Soluzione: l'ordine ha importanza? Certo che SI. Ogni disposizione a tavolavarierà dalle altre proprio per l'ordine in cui gli amici occuperanno i posti.

Quanto valgono k ed n? In questo caso k=n=8. Gli elementi son tutti distinti? SI.Utilizzeremo quindi le permutazioni semplici, da cui troveremo:

possibili modi di occupare i posti a tavola.Considerando che si vedono una volta la settimana ed in un anno vi sonocirca 52 settimane, ci impiegheranno la bellezza di circa 40320:52≈775 anniper esaurire tutte le possibili disposizioni a tavola.

4) Sei amici, Aldo, Baldo, Carla, Dino, Enza e Fausto viaggiano insieme in trenooccupando uno scompartimento di 6 posti. In quanti modi possibili si possonosedere sapendo che Enza e Carla vogliono sedersi accanto al finestrino?

Soluzione: k=n si tratta di una permutazione ma con il vincolo che due postidevono essere occupati necessariamente da Enza e Carla.E C

Restano 4 posti liberi che i restanti 4 ragazzi occuperanno 4! = 4· 3 ·2= 24In totale 2· 24= 48 configurazioni diverse

C E

5) In quanti modi uno studente può scegliere 5 materie per il proprio piano distudi avendo a disposizione 5 materie informatiche e 4 matematiche edessendo vincolato a scegliere almeno due materie informatiche ed almeno unamatematica.Soluzione:Gli elementi sono 9 e tutti distinti. La stessa materia non può essere ripetuta el'ordine non ha importanza.A causa del vincolo le scelte potrebbero essere:- 2 informatiche e 3 matematiche C5,2 ·C4,3= 10·4 =40- 3 informatiche e 2 matematiche C5,3 ·C4,2= 10·6 =60- 4 informatiche e 1 matematica C5,4 ·C4,1= 5·4 =20

In totale sono 40 + 60 + 20= 120 piani di studio