ÇikmiŞ - pegem.net · 2014-04-22 · pozitif gerçel sayılar kümesi üzerinde ve ∆ işlemleri...

2014

kpss

yeni konularla

yeni sorularla

yeni sınav sistemine göre hazırlanmıştır

akıcı

ayrıntılı

güncel

konu anlatımları

örnekler

yorumlar

uyarılar

pratik bilgiler

ösym tarzında özgün sorularve açıklamaları

2013 kpss’de

soru85

geometri

Editörler : Kerem Köker / Kenan Osmanoğlu

KPSS Geometri

ISBN 978-605-364-524-5

Kitapta yer alan bölümlerin tüm sorumluluğu yazarına aittir.

© Pegem AkademiBu kitabın basım, yayın ve satış hakları

Pegem Akademi Yay. Eğt. Dan. Hizm. Tic. Ltd. Şti.ne aittir.Anılan kuruluşun izni alınmadan kitabın tümü ya da bölümleri,kapak tasarımı; mekanik, elektronik, fotokopi, manyetik, kayıtya da başka yöntemlerle çoğaltılamaz, basılamaz, dağıtılamaz.

Bu kitap T.C. Kültür Bakanlığı bandrolü ile satılmaktadır.Okuyucularımızın bandrolü olmayan kitaplar hakkında

yayınevimize bilgi vermesini ve bandrolsüz yayınlarısatın almamasını diliyoruz.

“Bu kitapta yer alan geçmiş yıllarda ÖSYM'nin yapmış olduğu sınavlardaki ÇIKMIŞ SORULAR'ın her hakkı ÖSYM'ye aittir. Hangi amaçla olursa olsun, tamamının veya bir kısmının kopya edilmesi, fotoğraflarının çekilmesi, herhangi bir yolla çoğaltılması ya da kullanılması, yayımlanması ÖSYM'nin yazılı izni olmadan yapılamaz. Pegem Akademi Yayıncılık telif ücreti ödeyerek bu izni almıştır.”

16. Baskı: Eylül 2013, Ankara

Yayın-Proje Yönetmeni: Ayşegül EroğluDizgi-Grafik Tasarım: Didem Kestek

Kapak Tasarımı: Gürsel AvcıBaskı: Tuna Matbaacılık Sanayi ve Ticaret A.Ş.

Bahçekapı Mahallesi 2460. Sokak No: 7Şaşmaz/ANKARA(0312-278 34 84)

Yayıncı Sertifika No: 14749Matbaa Sertifika No: 16102

İletişim

Karanfil 2 Sokak No: 45 Kızılay / ANKARAYayınevi: 0312 430 67 50 - 430 67 51

Yayınevi Belgeç: 0312 435 44 60Dağıtım: 0312 434 54 24 - 434 54 08

Dağıtım Belgeç: 0312 431 37 38Hazırlık Kursları: 0312 419 05 60

E-ileti: [email protected]

Değerli Adaylar;

Bu kitap Kamu Personeli Seçme Sınavı (KPSS) Genel Yetenek Testinde önemli bir yer tutan “Geometri” kapsamındaki 3 veya 4 soruyu etkili bir şekilde çözebilmeniz amacıyla hazırlanmıştır. Kitap, sorulmuş ve sorulması olası soruların titizlikle incelenmesiyle meydana getirilmiş olup;

MATEMATİK

-Geometrik Kavramlar ve Doğruda Açılar,- Çokgenler ve Dikdörtgenler,- Çember ve Daire,- Analitik Geometri ve

- Katı Cisimlerbölümlerinden oluşmaktadır.

Kitapta; bölümlerin sınav formatına uygun ve soru çözümünü kolaylaştıracak bir şekilde ele alınmasına ve bilgilerin açık ve anlaşılır bir dille ifade edilmesine özen gösterilmiştir.

Her ünitenin sonunda,

- çıkmış sorular

- çözümlü testler ve

- cevaplı testlere;

yer verilmiştir.

Bu kitabın hazırlanmasında yardım, destek ve katkılarını esirgemeyen Fikret Birer, Canan Sarıkaya, Eda Tuğçe Buluş ve tüm meslektaşlarımıza, PEGEM AKADEMİ yayınevi ve dershanesi çalışanlarına ve öğrencilerine teşekkürü bir borç biliriz. Bu kitap, uzun bir birikimin ve yoğun bir emeğin ürünüdür. Kitapla ilgili görüş ve önerileriniz bu ürünün niteliğini daha da arttıracaktır. Değerli görüş ve önerilerinizi lütfen bizimle [email protected] aracılığıyla paylaşınız.

Kitabın çalışmalarınızda yararlı olması dileğiyle, KPSS’de ve meslek hayatınızda başarılar.

Editörler: Kerem Köker - Kenan Osmanoğlu

SUNU

1. BÖLÜM

GEOMETRİK KAVRAMLAR VE DOĞRUDA AÇILAR ...................................................1Geometrik Kavramlar ...............................................2Tanımsız Kavramlar ..................................................2Açılar..........................................................................2Açının Ölçüsü ...........................................................2Açının Düzlemde Ayırdığı Bölgeler .........................2Açı Ölçü Birimleri .....................................................2Derecenin Alt Birimleri .............................................3Açı Çeşitleri ...............................................................3Dar Açı .......................................................................3Dik Açı .......................................................................3Geniş Açı ...................................................................3Doğru Açı ..................................................................3Tam Açı ......................................................................3Komşu Açılar ............................................................3Açıortay .....................................................................3Tümler Açılar .............................................................4Bütünler Açılar ..........................................................4Ters Açılar .................................................................5Paralel İki Doğrunun Bir Kesen ile Yaptığı Açılar .............................................................5Paralel İki Doğrunun Birden Çok Kesen İle Meydana Getirdiği Açılar ....................................5Kenarları Paralel Açılar ............................................7Kenarları Dik Açılar ..................................................7Üçgenler ....................................................................10Üçgen Çeşitleri .........................................................10Açılarına Göre Üçgenler...........................................10Kenarlarına Göre Üçgenler ......................................10Üçgende Temel ve Yardımcı Elemanlar ..................11Yükseklik ...................................................................11Açıortay .....................................................................11Kenarortay.................................................................11Üçgende Açılar ile İlgili Özellikler ...........................12Dik Üçgen ..................................................................16Pisagor Teoremi ........................................................16Öklid Bağıntıları ........................................................17Kenarlarına Göre Özel Dik Üçgenler .......................18Açılarına Göre Özel Dik Üçgenler ...........................19Üçgende Açıortay Teoremleri ..................................21İç Açıortay Teoremi...................................................22Dış Açıortay Teoremi ................................................23Üçgende Kenarortay Teoremleri .............................25

Ağırlık Merkezi ..........................................................25Kenarortay Bağıntıları ..............................................27İkizkenar Üçgen ........................................................29Eşkenar Üçgen..........................................................31Üçgende Alan ............................................................35Üçgende Benzerlik ...................................................40Açı – Açı – Açı Benzerlik Kuralı ...............................40Tales Teoremi ............................................................42Temel Orantı Teoremi ...............................................42Çapraz Tales Teoremi ...............................................43Kenar – Açı – Kenar Benzerlik Kuralı .....................44Kenar – Kenar – Kenar Benzerlik Kuralı .................45Üçgende Açı – Kenar Bağıntıları .............................48Üçgen Eşitsizliği .......................................................48Çıkmış Sorular ..........................................................53Cevaplı Test - 1 ........................................................56Cevaplı Test - 2 ........................................................58Cevaplı Test - 3 ........................................................60Cevaplı Test - 4 ........................................................62Cevaplı Test - 5 ........................................................64Cevaplı Test - 6 ........................................................66Cevaplı Test - 7 ........................................................68Cevaplı Test - 8 ........................................................70Cevaplı Test - 9 ........................................................72Cevaplı Test - 10 ......................................................74Cevaplı Test - 11 .......................................................76Cevaplı Test - 12 ......................................................78Cevaplı Test - 13 ......................................................80

2. BÖLÜMÇOKGENLER VE DÖRTGENLER .............................83Çokgenler ..................................................................84Dışbükey ve İçbükey Çokgenler..............................84Düzgün Çokgen ........................................................85Dörtgenler .................................................................90Özellikleri...................................................................90Dörtgenlerde Alan ....................................................91Paralelkenar ..............................................................93Paralelkenarda Alan .................................................94Paralelkenarın Alan Özellikleri ................................94Paralelkenarda Uzunluk İle İlgili Özellikler .............96Eşkenar Dörtgen .......................................................97Dikdörtgen ................................................................98

İÇİNDEKİLER

Kare............................................................................100Yamuk – Deltoid ........................................................102İkizkenar Yamuk ........................................................105Dik Yamuk .................................................................107Deltoid .......................................................................107Çıkmış Sorular ..........................................................108Cevaplı Test - 1 ........................................................110Cevaplı Test - 2 ........................................................112Cevaplı Test - 3 ........................................................114Cevaplı Test - 4 ........................................................116Cevaplı Test - 5 ........................................................118

3. BÖLÜMÇEMBER VE DAİRE ..................................................121Çemberde Açı ...........................................................122Çemberde Yardımcı Elemanlar ................................122Çemberde Yay ve Açı Özellikleri .............................123Merkez Açı .................................................................123Çevre Açı ...................................................................124Teğet Kiriş Açı ...........................................................125İç Açı ..........................................................................125Dış Açı .......................................................................125Çemberde Kiriş Yay Özellikleri ................................127Kirişler Dörtgeni .......................................................127Çemberde Uzunluk ...................................................128Bir Noktanın Bir Çembere Göre Kuvveti ................128Kuvvet Ekseni ...........................................................130İki Çemberin Ortak Teğetleri ....................................131İki Çemberin Birbirine Göre Durumları ...................133Üçgenin Çemberleri..................................................133Üçgenin İç Teğet Çemberi ........................................133Üçgenin Dış Teğet Çemberi .....................................134Teğet Dörtgeni ..........................................................134Dairede Alan ..............................................................135Dairenin Alanı ve Çevresi ........................................135Daire Diliminin Alanı .................................................135Çember Yayının Uzunluğu .......................................135Daire Kesmesinin Alanı ............................................135Daire Halkasının Alanı ..............................................136Çemberde Benzerlik .................................................137Çıkmış Sorular ..........................................................139Cevaplı Test - 1 ........................................................140Cevaplı Test - 2 ........................................................142Cevaplı Test - 3 ........................................................144

4. BÖLÜMANALİTİK GEOMETRİ ...............................................147Noktanın Analitik İncelenmesi .................................148Analitik Düzlem .........................................................148İki Nokta Arasındaki Uzaklık ....................................149Doğrusal Noktalar.....................................................150Doğrusal Olmayan Noktalar ....................................152Doğrunun Analitik İncelenmesi ...............................155Doğrunun Eğim Açısı ve Eğimi ...............................155Doğrunun Grafiğinin Çizimi .....................................157Doğrunun Denklemleri .............................................158Özel Doğrular ............................................................160İki Doğrunun Birbirine Göre Durumları ..................160Doğru Demeti ............................................................162Simetriler ...................................................................165Noktanın Simetriği ....................................................165Doğrunun Simetriği ..................................................168Eşitsizlikler ................................................................170Çıkmış Sorular ..........................................................172Cevaplı Test ...............................................................173

5. BÖLÜMKATI CİSİMLER .........................................................175Prizma ........................................................................176Dikdörtgenler Prizması ............................................177Küp .............................................................................179Silindir .......................................................................179Dönel Silindir ............................................................180Piramit .......................................................................182Düzgün Piramit .........................................................182Kesik Piramit .............................................................183Küre ...........................................................................185Çıkmış Sorular ..........................................................186Cevaplı Testler - 1 ....................................................187Cevaplı Testler - 2 ....................................................189

Genel Yetenek’te

40

ÖSYM SORULARI

MATEMATİK

2013PEGEM AKADEMİ SORULARI

31.

4 287

3 265

:

:

-

-

e

e

o

o

işleminin sonucu kaçtır?

A) 117

B) 119

C) 97

D) 910 E)

913

32. , , ,0 001 0 01 0 1 110 100 1000

+ + ++ +

işleminin sonucu kaçtır?A) 107 B) 106 C) 105 D) 104 E) 103

33. 2 2 2 2

2 2 2 25 6 7 8

5 6 7 8

+ + +

+ + +− − − −

işleminin sonucu kaçtır?A) 27 B) 211 C) 213 D) 2-9 E) 2-12

34. ( !) ( !)

( !) ( !)

4 3

4 32 2

2 2

−

+


A) 1519

B) 1517

C) 1513

D) 1219

E) 1213

31.

31 5

6 31

41

:

−

+c m


A) 43- B) 2

1- C) 21 D) 4

3 E) 2

Genel Yetenek Genel Kültür 15 Deneme Deneme 8 / 31. Soru

3. , , ,, , ,0 1 0 02 0 004

0 01 0 002 0 0004+ +

+ +

işleminin sonucu kaçtır?A) 0,01 B) 0,1 C) 1 D) 10 E) 100

Lisans Mezunları İçin Tamamı Çözümlü Sözel Soru Bankası / Test 35 / 3. Soru

4. , , ,, , ,

1 0 2 0 02 0 0020 4 0 04 0 004− − −

+ +

işleminin sonucu kaçtır?A) 0,5 B) 0,1 C) 0,2 D) 0,4 E) 2


15. 2 2 22 2 2

22 2123

45 46 47

+ +

+ +


A) 88 B) 410 C) 810

D) 222 E) 225

Genel Yetenek Genel Kültür 30 Deneme Deneme 14 / 15. Soru

4. ! !! !

8 710 9

+−

işleminin sonucu kaçtır? A) 64 B) 65 C) 68 D) 70 E) 72


MATEMATİK

PEGEM AKADEMİ SORULARIÖSYM SORULARI

2013

MATEMATİK

35. x3 2 3− − =

eşitliğini sağlayan x değerlerinin toplamı kaçtır?A) 6 B) 4 C) 2 D) -8 E) -10

36. ( )

a ab b

a ab

a b

a b2 2

4 3

4 4

2:

+ +

−

−

+

ifadesinin sadeleştirilmiş biçimi aşağıdakilerden hangisidir?

A) ( )a b

a b2+

− B)

( )a b

a 12+

− C)

( )

a b

b a b2 2+

−

D) ( )

a b

a a b2 2+

+ E)

a b

a b2 2

2

+

+

37. Pozitif gerçel sayılar kümesi üzerinde ve ∆ işlemlerix y x y x

x yyx

y

x :

T

= +

= +

biçiminde tanımlanıyor.

( )a a 2 8x T =

olduğuna göre, a kaçtır?

A) 31

B) 32

C) 1

D) 2 E) 3

9. x 1 4 6+ + = eşitliğini sağlayan x değerlerinin toplamı kaçtır?

A) -4 B) -3 C) -2 D) 0 E) 2

Lisans Mezunları İçin Tamamı Çözümlü Sayısal Soru Bankası / Test 39 / 9. Soru

8. x 3 5 2− − = eşitliğini sağlayan x değerleri toplamı kaçtır?A) -4 B) 0 C) 6 D) 10 E) 12

Lisans Mezunları İçin Konu Anlatımlı Kitap Sayfa 192 / 8. Soru

8. ab b

a aba b

a ab b2 2

4 3

2 2

2 2|

+

+

−

− +

^ hifadesinin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?

A) b

a ab2

2 - B)

bab a

2

2- C)

ba ab

2

2 +

D) b

a b2

- E)

ba b

2+

Lisans Mezunları İçin Konu Anlatımlı Kitap Sayfa 275 / 8. Soru

13. Reel sayılar kümesinde tanımlı “” ve “” işlemleri2 3

2 2

aob a ba b a 2ab b

= −

= + +

şeklinde tanımlanıyor.

Buna göre, (3o2) (5o3) kaçtır?A) 1 B) 4 C) 9 D) 16 E) 25

Genel Yetenek Genel Kültür Çek Kopar Yaprak Test - 73 / 13. Soru

3. Tam sayılar kümesi üzerinde,x y x yx y x y

323

= +

= -

4

işlemleri tanımlanıyor.Buna göre, ( )2 3 434 işleminin sonucu kaçtır?A) 6 B) 8 C) 10 D) 12 E) 14

5000 Genel Yetenek Genel Kültür Soru Bankası Sayfa 217 / 3.Soru


MATEMATİK

201338. İki gerçel sayının çarpımı, bu sayılardan birine 2 ek-

lenip diğerinden 2 çıkarılmasıyla elde edilen sayıların çarpımından 6 fazladır.

Buna göre, sayı doğrusu üzerinde bu iki sayı arasındaki uzaklık kaçtır?A) 5 B) 4 C) 3 D) 2 E) 1

39. Pozitif tamsayılarla yapılan bir bölme işleminde bölen, bölümün iki katından bir fazladır.

Bu bölme işleminde kalan 11 olduğuna göre, bölü-nen sayı en az kaçtır?A) 89 B) 87 C) 85 D) 83 E) 81

40. x, y, z gerçel sayıları için

xy3z5 > 0

eşitsizliği veriliyor.

Buna göre,

I. x > 0 ve y < 0 ise z > 0

II. x < 0 ve z < 0 ise y > 0

III. y > 0 ve z < 0 ise x < 0

önermelerinden hangileri doğrudur?

A) I ve II B) II ve III C) Yalnız I

D) Yalnız II E) Yalnız III

12. mn ile xy iki basamaklı doğal sayılardır.

m nin sayısal değerinin 3 arttırılıp, x in sayısal değerinin 3 azaltılmasıyla oluşan sayıların çarpımı mn • xy çarpımından 120 fazla olduğuna göre, xy - mn işleminin sonucu kaçtır?A) 30 B) 32 C) 34 D) 35 E) 36

Lisans Mezunları İçin Sayısal Soru Bankası Sayfa 44 / 12. Soru

3. Bir bölme işleminde bölünen ile bölenin toplamı 171 dir.

Bölüm 14 ve kalan 6 olduğuna göre bölünen sayı kaçtır?A)151 B)153 C) 157 D) 160 E)163

Lisans Mezunları İçin Tamamı Çözümlü Sözel Soru Bankası / Sayfa 81 / 3. Soru

1. x < 0 < y olmak üzere,

I. x2 < y2

II. x3 < y

III. x + y < 0

ifadelerinden hangileri kesinlikle doğrudur?

A) Yalnız I B) Yalnız II C) Yalnız III

D) I ve II E) I, II ve III

Genel Yetenek Genel Kültür Çek Kopar Yaprak Test - 36 / 1. Soru

2. x, y reel (gerçel) sayılar

x < y

ifadesi için aşağıda verilenlerin hangisi ya da hangileri kesinlikle doğrudur?

I. a 0 için a x a y> ⋅ > ⋅

II. a 0< için a x a y⋅ > ⋅

III. a 0< için x a y a+ > +

IV. a 0> için x ya a<

V. 2 2x y<

A) I ve III B) I ve II C) I, II ve IV

D) II, III ve IV E) II ve IV


MATEMATİK


2013

MATEMATİK

41. x

2 3

1

3 2

1

2 12

++

++

+=

olduğuna göre, x kaçtır?

A) 1 2+ B) 1 2 2+ C) 2 2+

D) 2 3+ E) 3 2

45. Üç saat süren bir yarışta, bir otomobilin her bir saatlik zaman diliminde tamamladığı tur sayıları aşağıdaki grafikte verilmiştir.

1.saat

10203040506070

2.saat 3.saatZaman

Tur sayısı

Bu otomobil, yarışın son bir saatinde sabit hızla ilerlediğine göre, yarışın başlangıcından 135 daki-ka sonra toplam kaç tur tamamlamıştır?A) 125 B) 130 C) 145 D) 150 E) 170

14. 32

331

331

++

−−

işleminin sonucu kaçtır?A) 33 B) 32 C) 3 D) 3− E) 32−


18. 2 3

2

2 3

2

-++

işleminin sonucu kaçtır?A) 1 B) 2 C) 2 3 D) 5 E) 8


4. - 6. SORULARI AŞAĞIDAKİ BİLGİLERE GÖRE CEVAPLAYINIZ

Aşağıdaki tabloda, bir fabrikadaki aynı malı üreten 5 farklı makinenin zamana bağlı ürettikleri mal sayısı gösterilmiştir.

( )Zaman dk

Mal sayısı(adet)

A B C D E

10 12 15 20 25

125

110

90

6040

Mal sayısı (adet)

4. Birim zamanda en çok mal üreten makine hangisidir?A) A B) B C) C D) D E) E

5. Hangi iki makinenin birim zamanda ürettiği mal sayısı eşittir?

A) B ve D B) A ve C C) D ve E

D) C ve E E) B ve E

6. B ve C makinelerinin 1 saatte ürettiği toplam malı, D makinesi kaç saatte üretir?A) 1,5 B) 2 C) 2,5 D) 3 E) 4

Lisans Mezunları İçin Konu Anlatımlı Kitap Sayfa 488 / 4, 5 ve 6. Soru


MATEMATİK

201347. Aşağıda A, B, C, D ve E şehirlerinden geçen yol hattı

gösterilmiş ve bu yol hattına göre şehirler arasındaki bazı uzaklıklar kilometre olarak tabloda verilmiştir.

BC

CD

E

BA

130170

D

E

A

D ile E şehirleri arasındaki uzaklık, A ile C şehirleri arasındaki uzaklığın 2 katından 20 km eksiktir.

Buna göre, A ile E şehirleri arasındaki uzaklık kaç km’dir?A) 230 B) 235 C) 240 D) 245 E) 250

1. - 3. SORULARI AŞAĞIDAKİ BİLGİLERE GÖRE CEVAPLAYINIZ.

DİKKAT! SORULARI BİRBİRİNDEN BAĞIMSIZ OLARAK CEVAPLAYINIZ.

Aynı yol üzerinde bulunan K, L, M, N, P kentleri ara-sındaki yolların uzunluklarını km türünden gösteren bir tablo hazırlanmıştır. Aşağıda bu uzunlukların bazıları verilmiştir.

LMN 140 310P

K L M NTablonun satır ve sütun kesişiminde verilen sayılar, bulundukları satır ve sütunun belirttiği iki kent arasın-daki yolun uzunluğudur.

Örneğin K ile N kentleri arasındaki yolun uzunluğu 140 km dir.

1. N ile P kentleri arasındaki yolun uzunluğu, N ile K arasındaki yolun uzunluğundan kaç km fazladır?A) 370 B) 380 C) 385 D) 390 E) 395

2. Kentlerin yol üzerindeki sıralanışı M, P, K, N, L şeklindeyse M ile L kentleri arasındaki yolun uzunluğu kaç km dir?

A) 1540 B) 1555 C) 1580

D) 1600 E) 1625

3. Kentlerin yol üzerindeki sıralanışı P, L, K, N, M şeklindeyse K ile M kentleri arasındaki yolun uzunluğu kaç km dir? A) 240 B) 250 C) 320 D) 335 E) 380

Lisans Mezunları İçin Konu Anlatımlı Kitap Sayfa 475 / Örnek Soru

MATEMATİK


2013

MATEMATİK

28. - 30. SORULARI AŞAĞIDAKİ BİLGİLERE GÖRE CEVAPLAYINIZ.

100

200

300

400

500

2003 2004 2005 20062002 2007

kişi sayısı

gelen öğrenci

giden öğrenci

yıllar

Yukarıdaki grafik bir ilçeye ilçede bulunan üniversi-tede okumak için gelenlerin sayısını ve bu ilçeden üniversite okumak için ilçe dışına giden öğrencilerin sayılarını yıllara göre göstermektedir.

28. Gelen öğrenci sayısı ile giden öğrenci sayısı ara-sındaki fark hangi yıl en fazladır?

A) 2003 B) 2004 C) 2005

D) 2006 E) 2007

29. 2002-2007 yıllarını kapsayan 6 yıllık dönemde bu ilçeden üni-versite okumak için yılda orta-lama kaç öğrenci ilçe dışına gitmiştir?

A) 200 B) 250 C) 300

D) 350 E) 400

30. İlçede bulunan üniversitede okumak için gelen-lerin sayısı hangi yıl, bir önceki yıla göre % 50 azalmıştır?

A) 2002 B) 2003 C) 2004

D) 2006 E) 2007

Genel Yetenek Genel Kültür 30 Deneme Deneme 9 / 28, 29 ve 30. Soru

53. Özdeş oksijen tüpleri kullanan Cihan ve Levent isimli dalgıçların denizde bulundukları derinliğin zamana göre değişimi ve oksijen tüplerinin doluluk yüzde-lerinin zamana göre değişimi aşağıdaki doğrusal grafiklerde verilmiştir.

10

10Zaman (dk)

75

15

Derinlik (m)

7 10

100

Doluluk(%)

Zaman (dk)

7250

CihanLevent

Levent, 15 metre derinlikte iken oksijen tüpünün yüzde kaçını kullanmıştır?A) 22 B) 20 C) 18 D) 16 E) 14

ÖSYM SORULARI

MATEMATİK

201356. Kesilen parçalar çıkarıldıktan sonra kâğıt, konumu

değiştirilmeden katlandığı yerlerden tamamen açılıyor ve aşağıdaki görünüm elde ediliyor.

Buna göre, kâğıdın açılmadan önceki biçimi aşa-ğıdakilerden hangisidir?A)

D) E)

B) C)

58.

45°

60°

A

B Cx

3 2

ABC bir üçgen

m ACB

m BACAB birim

BC x

45

603 2

=

=

=

=

ο

ο

^^

hh

%

%

Yukarıdaki verilere göre, x kaç birimdir?

A) 3 3 B) 2 2 C) 2 6 D) 32 3 E) 3

5 2

Şekil I Şekil II Şekil III

Şekil I deki dikdörtgen biçimli kâğıt, kesik çizgi boyun-ca okla gösterilen bölge üzerine katlanıp Şekil II, Şekil II'deki kâğıt da yine kesik çizgi boyunca okla gösterilen bölge üzerine katlanıp Şekil III elde ediliyor. Şekil III'teki kâğıdın siyahla gösterilen bölgesi kesilip çıkarılıyor.

Kesilip çıkarılan bölgeler siyahla gösterildiğine göre, kâğıt açıldığında aşağıdakilerden hangisi elde edilir? A) B)

C) D)

E)

A) B)

C) D)

E)

A) B)

C) D)

E)

A) B)

C) D)

E)

A) B)

C) D)

E)

Sezon Finali Sayısal Mantık Sayfa 58

16.

15° 60°x

4

A

CB

ABC üçgen, B( )m 15= ο , C( )m 60= ο , AC = 4 cm'dir.

Yukarıdaki verilenlere göre, BC = x kaç cm dir?

A) ( )2 3 6+ B) 8 2 C) 8 3

D) ( )4 3 1+ E) ( )4 3 2+

Genel Yetenek Genel Kültür Soru Bankası Test 81 / 16. Soru

MATEMATİK


2013

MATEMATİK

59.

A A'

B'

C'

D'

B

3

2CD

Kenar uzunlukları 2 cm ve 3 cm olan ABCD dikdört-geninde

• A noktasının B noktasına göre simetriği alınarak A' noktası

• B noktasının C noktasına göre simetriği alınarak B' noktası

• C noktasının D noktasına göre simetriği alınarak C' noktası

• D noktasının A noktasına göre simetriği alınarak D' noktası elde ediliyor.

A', B', C' ve D' noktalarının birleştirilmesiyle A'B'C'D' dörtgeni oluşturuluyor.

Buna göre, dörtgeninin alanı kaç cm2 dir?A) 30 B) 28 C) 24 D) 18 E) 16

60.

OA

B

C

D

E

x

ABCDE düzgün beşgenm(BOD) = x

O noktası, beşgenin köşelerinden geçen bir çem-berin merkezi olduğuna göre, x kaç derecedir?A) 110 B) 128 C) 136 D) 144 E) 152

12. A D

B C

T

KS

R

R

L

F

E

ABCD paralelkenar doğru parçalarıdır. L, E, F, K bulunduk-ları kenarların orta noktaları ve taralı alan 16cm2'dir.

Yukarıda verilenlere göre A(ABCD) kaç cm2'dir?

A) 60 B) 70 C) 80 D) 90 E) 100


13 � �

��

�

� �

�

�

�� ABCD ve EFGH kareDFBH EC

AG=

=5 55 5? ?? ?

B, G, H ile A, F, G noktaları doğrusalAD cm10=

GB cm6=

Yukarıda verilenlere göre, A EFGH] g kaç cm2 dir?A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) 16


11.

A

B

C D

E

F

αK95°

ABCDEF düzgün altıgenin-de [KF] açıortay,

°( )KDEm 95=%

Yukarıdaki verilenlere göre ( )FKDm α =% kaç dere-cedir?A) 55 B) 65 C) 75 D) 85 E) 95Lisans Mezunları İçin Konu Anlatımlı Kitap Sayfa 110 / 11. Soru

Geometrİk Kavramlar ve Doğruda Açılar� GEOMETRİK KAVRAMLAR

� DOĞRUDA AÇILAR

� ÜÇGENLER

� ÜÇGEN ÇEŞİTLERİ

� ÜÇGENDE TEMEL VE YARDIMCI ELEMANLAR

� ÜÇGENDE AÇILAR

� DİK ÜÇGENLER

� ÜÇGENDE AÇIORTAY TEOREMLERİ

� ÜÇGENDE KENARORTAY TEOREMLERİ

� ÜÇGENDE ALAN

� ÜÇGENDE BENZERLİK

� ÜÇGENDE AÇI – KENAR BAĞINTILARI

“... Evren her an gözlemlerimize açıktır; ama onun dilini ve bu dilin yazıldığı harfleri öğrenmeden ve kavramadan anlaşılamaz. Evren matematik diliyle yazılmıştır; harfleri üçgenler, daireler ve diğer geometrik biçimlerdir. Bunlar olmadan tek sözcüğü bile anlaşılamaz; bunlarsız ancak karanlık bir labirente dalanılır.”

Galıleo

2004

2005

2006

2007

2008

2009

2010

2011

2012

2013

Çıkmış Soru Ağacı

3

2

-

2

2

1

1

1

1

1

2PEGEM AKADEMİ

GEOMETRİK KAVRAMLAR VE DOĞRUDA AÇILAR

GEOMETRİK KAVRAMLAR

Tanımsız Kavramlar

Nokta, doğru, düzlem gibi kavramlar tanımsız kavram-lardır.

Nokta

Kalem ucunun kâğıt üzerine bıraktığı işaret veya izdir. Noktanın belli bir alanı, hacmi veya boyutu yoktur. Nokta büyük harfle gösterilir.

Örneğin;

A A noktası B noktasıB

Doğru

İki ucu sınırsız aynı doğrultulu noktaların kümesidir.

A B d

Doğrular genelde küçük harfle temsil edilirler. d doğrusu veya AB diye sembolize edilebilir.

Doğru Parçası

iki nokta ile bu iki nokta arasında kalan noktaların birle-şim kümesine doğru parçası denir.

A B

doğru parçası AB6 @ sembolü ile gösterilir.

CD CD"6 @ doğru parçası

CD CD" doğru parçasının uzunluğu olarak gösterilir.

Işın

Bir ucu başlangıç noktası olup diğer ucu sonsuza giden noktaların oluşturduğu kümeye ışın denir.

A B d

AB "6 AB ışını diye okunur.

Yarı Doğru

AB6 ışınından başlangıç noktası yani A noktasının çı-kartılması ile elde edilen noktaların kümesine AB yarı doğrusu denir.

A B d

AB AB"@ ışını diye okunur.

Düzlem

Bir masanın üstü, durgun su yüzeyi gibi tamamen düz ve aynı zamanda her yöne sınırsız olan noktaların oluştur-duğu kümeye düzlem denir.

AÇILAR

Başlangıç noktaları aynı olan iki ışının bir-leşimine “Açı” denir.

Yani; AB ve AC66 ışınlarının birleşimi ile oluşan açı BAC ya da CAB açısıdır.

BAC açısı BAC% ya da CAB% açısı ile gösterilir.

Açının Ölçüsü

AB ve AC6 6 ışınları arasında kalan bölgeye At ’nın ölçüsü de-nir. Her At ’na 0 ile 180 arasında bir tek reel sayı karşılık gelir. Bu reel sayıya BAC açısının (ya da CAB açısının) ölçüsü denir.

Yani BAC açısının ölçüsü α dır.

ve ( ) A( )BACm m α = =t% veya

( ) ( )BAC As s α = =t% ile gösterilir.

Eş Açılar: Ölçüleri eşit olan açılara eş açılar denir.

Yani; ( ) ( )m A m B A ileB açýlarý&=t t eş açılardır.

Açının Düzlemde Ayırdığı Bölgeler

Herhangi bir açı düzlemi üç farklı bölgeye ayırır. Bu böl-geler

I. Açının kendisi

II. Açının iç bölgesi

III. Açının dış bölgesi

Açı Ölçü Birimleri

Derece, Grad, Radyan açı ölçü birimleridir. Genelde ölçü birimi olarak derece kullanılır. , ,...20 40o o şeklinde gösterilir.

Bu üç farklı açı ölçü birimleri arasındaki bağıntıyı şöyle verebiliriz,

D: Derece

G: Grad

R: Radyan olmak üzereD G R

180 200 π = = bağıntısı vardır.

A

B

C

[ [ AB AC A∪ =

A

B

C

α

A

B

C

αII.

I.

III.

3

NotBir ışının başlangıç noktası etrafında bir tur dön-dürülmesi ile oluşan açı 360o , 400 Grad ve 2π Radyandır.

Derecenin Alt Birimleri

'

.'''

' '''' dýr

Bir dereceBir dakikaBir saniye

60111

11 601 3600

o o

o

"

"

"

===

_

`

a

bb

b

AÇI ÇEŞİTLERİ

Dar Açı

Ölçüsü 0o ile 90o arasında olan açılara dar açı denir.

Yani; < < 90 dar açýdýr.0o o +a α

Dik Açı

Ölçüsü 90o olan açıya dik açı de-nir.

Yani; dik açýdýr.90o +α α=

Geniş Açı

Ölçüsü 90o ile 180o arasında olan açılara geniş açı denir.

Yani; < < 180 geniþ açýdýr.90o o +a α

Doğru Açı

Ölçüsü 180o olan açıya doğ-ru açı denir.

Yani; doðru açýdýr.180o +α α=

Tam Açı

Ölçüsü 360o olan açıya tam açı denir.

Yani;

tam açýdýr.360o +α α=

A

B

C

α

A

B

C

α

A

B

C

α

180α = °

AC B

360α = °A

B

Örnek

A, O, B noktaları doğrusal, ( ) ,DOBm 2α =% ( )CODm 7α =%

ve ( )AOCm 3α =%

Yukarıdaki verilenlere göre α kaç derecedir?

A) 10 B) 12 C) 15 D) 18 E) 20

Çözüm:A, O, B noktaları doğrusal olduğundan doğru açı tanımı gereği 180o lik açı meydana getirirler.

Yani; 3 7 2 180oα α α+ + = dir.

.bulunur

12 180

15

o

o

&

&

α

α

=

=

Komşu Açılar

Köşeleri ve birer kenarı ortak olan iç bölgelerinin kesişimleri boş küme olan açılara komşu açılar denir.

Yani; COB% ile BOA% komşu iki açıdır.

AÇIORTAY

Açıyı iki eşit açıya ayıran ışına açı-ortay denir.

Yani; ( ) ( )COB BOAm m=% % dır.

OB6 ye COA% nın açıortayı denir.

OC6 ile OA6 ye açıortayın kolları (ke-narları) denir.

Örnek

A, O, B noktaları doğru-sal OC6 ile OF6 açıortay

( )DOEm 80o=%

Yukarıdaki verilenlere göre ( )COFm % kaç derecedir?

A) 100 B) 110 C) 120 D) 130 E) 140

C D

A BO

7α 3α 2α

A

BC

O

A

BC

O

A BO

80°C

D E

F

4

Çözüm:

A, O, B noktaları doğrusal olduğundan meydana gelen açıların ölçüleri toplamı 180o

dir.

( ) ( ) ,AOC CODm m α = =% %

( ) ( )EOF FOBm m β = =% %

dersek

180 2 2 100 502 2 80o o o o& &= + = + =a b a bα β+ +

m( ) 130( )COF COFm 80o o&α β= + + =% % bulunur.

Örnek

Komşu iki açının açıortayları arasında kalan açı 54o dir.

Buna göre bu iki açının ölçüleri toplamı kaç derece-dir?

A) 100 B) 104 C) 106 D) 108 E) 110

Çözüm:

BOC% ile COA% komşu iki açıdır. OD6 ile OE6 açıortaydır. ( )DOEm 54o=% verilmiş ( ) ( ) ,BOD DOCm m α = =% %

( ) ( )COE EOAm m β = =% % dersek ( )DOEm 54oα β= + =% dir.

Buradan ( ) ( )BOC COAm m 2 2α β+ = +% %

( )2 108o

54o& α β+ =S bulunur.

NotAçıortay üzerinde alınan herhangi bir noktanın, açının kollarına olan dik uzunlukları birbirine eşittir.

OD6 açıortay, OB6 ile OA6 açıortayın kolları ol-mak üzere

, ,CK OB DL OB= =6 6 6 6@ @veCE OA DF OA= =6 6 6 6@

çizilirse

.,,

CK CE DL DF veKO EO LO FO dur

= =

= =

O

C

D

B

AE F

L

K

A BO

80°C

D E

Fαα

ββ

TÜMLER AÇILAR

Ölçüleri toplamı 90o olan iki açıya tümler iki açı denir.

Yani α ile β bulundukları açıların ölçüleri olmak üzere

90o + aα β+ = ile β tümler iki açı-dır.

’α nın tümleri 90o - a

nın tümleri 90o - b dır.

BÜTÜNLER AÇILAR

Ölçüleri toplamı 180o olan iki açıya bütünler açılar denir.

Yani; α ile β bulundukları açıların ölçüleri olmak üzere

180o +α β α+ = ile β bü-tünler iki açıdır.

’α nın bütünleri 180o - a

’β nın bütünleri 180o - b dır.

Örnek

Bir açının 4 katının 5o fazlası aynı açının tümlerine eşit olduğuna göre açının bütünleri kaç derecedir?

A) 157 B) 159 C) 161 D) 163 E) 165

Çözüm:

Açı Tümleri

α 09 o - a dır.

Denklem kurulursa;

90 dýr.

.bulunur

4 5

5 85 17

o o

o o&

= -α α

α α

+

= =

O halde açının bütünleri

180 17 163180o o o o- = - =α bulunur.

Örnek

Bütünler iki açıdan biri diğerine bölündüğünde bölüm 4, kalan 10o dir.

Buna göre küçük açı kaç derecedir?

A) 32 B) 34 C) 36 D) 38 E) 40

A

B

αβ

C

O

A BO

βα

C

5

Çözüm:

Bütünler iki açı

α ile β olsun

O halde 180oα β+ = dir.

Verilen denklem yazılacak olursa

α-

10°

β

4 4 10 dir.⇒ α = β + °

Buradan 4 10oα β= + denklemi

180oα β+ = denkleminde yerine yazılacak olursa

180 5 170

dýr.

4 10

34

146

o o o

o

o

&

&

&

+ = =b bβ

β

α

+

=

=

O halde küçük açı °34β = bulunur.

TERS AÇILAR

Kesişen iki doğrunun oluşturduğu açılardan birbirine komşu olmayan açılara ters açılar denir.

Yani; Kesişen d1 ve d2 doğrula-rında at ile ct , bt ile dt açıları ters açılardır.

Ters açıların ölçüleri birbirine eşittir. a c= ve b d= dir.

PARALEL İKİ DOĞRUNUN BİR KESENLE YAPTIĞI AÇILAR

// ,d d1 2 a, b, c, d, x, y, z, t bulun-dukları açıların ölçüleridir.

(i) Yöndeş açılar

//d d1 2 ise

at ile xt , bt ile yt , dt ile tt , ct ile zt yöndeş açılardır. Yöndeş açıların ölçüleri birbirine eşittir.

Yani; ., , , dira x b y c z d t= = = =

1d

2d

ab

cd

1d

2d

abc d

xyz t

(ii) İç ters açılar

//d d1 2 ise

ct ile xt ve dt ile yt iç ters açılardır. İç ters açıların ölçüleri birbirine eşittir.

Yani; c x= ve d y= dir.

(iii) Dış ters açılar

//d d1 2 ise

at ile zt ve bt ile tt dış ters açılardır.

Dış ters açıların ölçüleri birbirine eşittir.

Yani; a z= ve b t= dir.

(iv) Karşı durumlu açılar

//d d1 2 ise

ct ile yt ve dt ile xt karşı durumlu iki açıdır. Karşı durumlu açıların ölçüleri toplamı 180o dir.

Yani; c y 180o+ = ve d x 180o+ = dir.

NotKarşı durumlu açıların açıortayları birbirine diktir.

Yani; //d d1 2 AC6 ile BC6

açıortay AC BC& =6 6 dir.

2d

1d

3d

B

C

A

PARALEL İKİ DOĞRUNUN BİRDEN ÇOK KESEN İLE MEYDANA GETİRDİĞİ AÇILAR

(i) // ;d d d d B1 2 3 4+ = " ,,α ,δ β bulundukları açıların

ölçüleri olmak üzere α δ β+ = dır.

(ii) // ;d d1 2

,α ,β δ bulundukları açı-ların ölçüleri olmak üzere

360oα β δ+ + = dir.

NotParalel doğrular n doğruyla kesilirse meydana ge-

len aynı yönlü açıların ölçüleri toplamı n 180o: dir.

2d

1dA

β

α

δ

3d

B

C4d

2d

1dA

B

C

α

β

δ

6

(iii) //d d1 2 ise şekildeki açılar ardışık zıt yönlü açılardır. Aynı yöndeki ardışık açıların ölçüleri toplamı ile bu açılara göre ters yönde olan ardışık aynı yönlü açıların ölçülerinin toplamları birbirine eşittir.

Yani; , , ,α β δ x, y bulundukları açıların ölçüleri olduğuna göre x yα β δ+ + = + dir.

Örnek

// ,AB CD6 6 ,EC CD=6 6@ ( )AECm 140o=%

Yukarıdaki verilenlere göre ( )BAEm α =% kaç derecedir?

A) 30 B) 40 C) 50 D) 60 E) 70

Çözüm:

Şekilde //AB CD6 6 olduğuna göre sağ tarafa bakan açı-ların ölçüleri toplamı sol tarafa bakan açıların ölçüleri toplamına eşit olacağından 140 5090o o o&= =aα + bulunur.

Örnek

// ,AB CD6 6 a, b, c, d, e bulun-dukları açıların ölçüleridir.

Yukarıdaki verilenlere göre a b c d e+ + + + kaç derece-dir?

A) 360 B) 450 C) 540 D) 630 E) 720

Çözüm:

//AB CD6 6 dir. Paralel doğrular , , ,AE EF FG6 6 6@ @ @ GC6 @ ile kesildiğine göre doğru parçası sayısı 4 dür.

O halde 720a b c d e 4 180o o: =+ + + + = bulunur.

2d

1dα

β

δ

x

y

α

A B

C D

E140°

a

bc

de

A B

C D

E

F

G

Örnek

// ,d d AF CF1 2 =6 6@ @( ) ( ) ,BAF FCDm m 3α = =% %

( ) ,ABEm 5β =%

( )EDCm 3β =% ve

( )BEDm 80o=%

Yukarıdaki verilenlere göre α β+ kaç derecedir?A) 5 B) 10 C) 15 D) 20 E) 25

Çözüm:

Paralel doğrular arasında oluşan aynı yöne bakan açıla-rın ölçüleri toplamı, zıt yönlü açıların ölçüleri toplamına eşit olduğundan

6 90 15

.dir

3 3 90

5 3 8 80 10

o o o

o o

& &

&

= =a aα α

β β β β

+ =

+ = = =

O halde 10 2515o o o+ =α β+ = bulunur.

Örnek

//CD AB6 6,( )EABm 65o=%

( )AECm 55o=%

Yukarıdaki verilenlere göre ( )ECDm α =% kaç derecedir?

A) 100 B) 110 C) 120 D) 130 E) 140

Çözüm:

A B

C D

E

120α = °55°

65°

FK

65°

E noktasından // //KF CD AB6 6 olacak biçimde KF çizilir-se ( ) ( )KEA EABm m 65o= =% % (iç ters açıların eşitliği) ve

( ) ( )KEC ECDm m 120o= =% % dir. (iç ters açıların eşitliği)

O halde 120oα = bulunur.

2d

1d3α 5β

3β3α

A B

C D

EF 80°

A B

C D

E

α55°

65°

7

KENARLARI PARALEL AÇILAR

(i) Kenarları aynı yönde para-lel açılar:

//AB DE6 6 ve //DF AC6 6 ise yön-deş açıların eşitliğinden

( ) ( )BAC EDFm m α = =% % dır.

(ii) Kenarları ters yönden paralel açılar:

//AB CD6 6 ve //CB AD6 6 ise yöndeş ve iç ters açıların eşit-liklerinden dolayı;

( ) ( )BCD BADm m α = =% % dır.

(iii) Kenarlarından biri aynı diğeri ters yönde paralel açılar:

//AB EF6 6 ve //ED AC6 6 ise yöndeş ve karşı durumlu açı tanımlarından

( ) ( )DEF BACm m 180oα β+ = + =% % dir.

KENARLARI DİK AÇILAR

(i) DE AC=6 6 ve DK AB=6 6 ise ( ) ,EDKm α =% ( )BACm β =% olmak

üzere α β= dır.

(ii) AB DF=6 6 ve AC DE=6 6 ise ( ) ,BACm α =% ( )FDEm β =% olmak üzere 180oα β+ = dir.

Örnek

// , // ,AK EC AB CD6 6 6 6@ @

FH AK=6 6@ @ ve ( )ECDm 35o=% Yukarıdaki verilenlere göre

( )AFHm α =% kaç derecedir?A) 25 B) 35 C) 45 D) 55 E) 65

α

α αA

B E

F

C

D

A

αα

α

B

C D

Eα

αB F

A C

Dβ

α

βA

B

C

D

E

L K

Aα

β

B

C

D

E

FK

L

35°

αA B

CD

E

F

H K

Çözüm:

//AB CD6 6 ve //AK EC6 6@ @ olduğundan BAK% ile ECD% ke-narlarından biri aynı diğer kenarı ters yönde paralel açı-lardır. O halde

( ) ( )BAK ECDm m 35o= =% % dir. FAH üçgeninde iç açıların ölçüleri toplamı yazılırsa

90 180 5535o o o o&+ + = =aα bulunur.

Örnek

// , ,AB CD KE AB=6 6 6 6@KF AC=6 6 ve ( )FKEm 50o=%

Yukarıdaki verilenlere göre ( )ACDm α =% kaç derecedir?

A) 50 B) 55 C) 60 D) 65 E) 70

Çözüm:

CAB% ile FKE% kenarları dik iki açıdır.

O halde ( ) ( )CAB FKEm m 180o+ =% % dir.

180 m( ) 130( )CAB CABm 50o o o&= =+% % bulunur.

CAB% ile ACD% karşı durumlu iki açı olduğundan

( ) ( )CAB ACDm m 180o+ =% %

180 50130o o o&+ = =aα bulunur.

Örnek

Bütünleri tümlerinin 2 katından 50o fazla olan açı kaç derecedir?

A) 40 B) 50 C) 60 D) 70 E) 80

Çözüm:

Açı Tümleri Bütünleri

α 90o α − 180o α −

Bütünleri tümlerinin 2 katından 50o fazla ise

) 2(90 ) 50

180 2 50

° 50 bulunur.

(180

180

2 50

o o o

o o o

o&

- = - +

- = - +

=

a

a a

a a a

α

− =

50°

α

A B

C D

E

FK

8

Örnek

// , ,AB CD AF CF=6 6 6 6@ @( ) ( ),BAE FCEm m=% %

( ) ( )EAB ECDm m=% %

Yukarıdaki verilenlere göre ( )AECm α =% kaç derecedir?

A) 30 B) 45 C) 50 D) 60 E) 75

Çözüm:

Paralel doğrular arasında-ki aynı yöne bakan açıla-rın ölçüleri toplamı zıt yöne bakan açıların ölçüleri top-lamına eşit olduğundan

( ) ( ) ( )BAE ECD AECm m m+ =% % % ve ( ) ( ) ( )BAF FCD AFCm m m+ =% % % dir.

( ) ( ) , ( ) ( )BAE FCE EAB ECDm m a m m b= = = =% % % % dersek

a b α + = ve a b2 2 90o+ = bulunur.

a b 45o& = a+ = bulunur.

Örnek

// , // ,AB DE AC DF6 6 6 6

AK6 @ ile DK6 @ açıortay

Yukarıdaki verilenlere göre ( )AKDm α =% kaç derecedir?

A) 60 B) 75 C) 90 D) 120 E) 135

Çözüm:

CAB% ile EDF% bir kenarları aynı, diğer kenarları zıt yönlü paralel açılar olduğundan ölçüleri toplamı 180o dir.

Yani; ( ) ( )CAB EDFm m 180o+ =% % dir.

α

A B

C D

F E

α

A B

C D

F E

a

b

b

a

C

K

F

EB

DA

α

( ) ( )

( ) ( )

CAK KAB

EDK KDF

m m a

m m b dersek

= =

= =

% %

% %

( )a b2 180o+ = dir.

O halde a b 90o+ = dir.

// ,AC DF6 6//AB DE6 6 olduğundan

( ) ( ) ( )CAK FDK AKDm m m+ =% % % dir. O halde

a b α + = dır.

90oα = bulunur.

Örnek

// ,AB CD6 6 FP6 @ ile KP6 @ açıortay, ,( )BAEm 160o=%

( )AEFm 150o=% ve ( )FPKm 50o=% dir.

Yukarıdaki verilenlere göre ( )KCDm α =% kaç derece-dir?

A) 150 B) 145 C) 140 D) 135 E) 130

Çözüm:

//AB CD6 6 olduğundan aynı yöne bakan ,BAE% ,AEF%

,EFK% ,FKC% KCD% açılarının öl-çüleri toplamı 072 o dir.

FPK∆

de iç açıların öl-çüleri toplamı yazıla-cak olursa ( ) ( ) ( )PFK FKP FPKm m m 180o+ + =% % %

180( ) ( )PFK FKPm m 50o o=+ +% % dir.

( ) ( )PFK FKPm m 130o+ =% %

Buradan 150 2(m( ) m( )) 720PFK FKP160o o o+ + + + =a% %

150 260 720 150160o o o o&+ + + = =aα bulunur.

CK

F

EB

DA

α

aa

bb

A B

C D

E

F

K

160°150°

50° P

α

A B

C D

E

F

K

160°150°

50° P

α

9

Örnek // //

( )

( )

( ) ( )

BAK

FEK

EKC AKC

ve

AB CD EF

m

m

m m

120

150

o

o

=

=

=

6 6 6%

%

% %

Yukarıdaki verilenlere göre ( )DCKm α =% kaç derece-dir?

A) 115 B) 120 C) 125 D) 130 E) 135

Çözüm:

// // //AB CD EF d6 6 6 çizilirse FEK% ile ,EKL% BAK% ile ,AKL% DCK% ile CKL% karşı durumlu açılar olduğundan ölçüleri toplamı 180o dir. Buradan

150 m( ) 180

120 m( ) 180

30 2m( )

( )

( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )

FEK EKL EKL

EKL

BAK AKL AKL

AKL

AKL EKL CKE CKE

CKE

CKE

m m

m

m m

m

m m m

m

m

180

30

180

60

2 60

30 2

15

o o o

o

o o o

o

o o

o

o

&

&

&

&

&

&

&

+ =

+ =

= +

+ =

=

+ =

=

= +

=

=

%

%

% % %

%

% % %

%

% % % %

O halde ( ) ( ) ( )CKL CKE EKLm m m= +% % %

30 45( )CKLm 15o o o+ ==%

Buradan

180

bulunur.

( ) ( )

( )

( )

DCK CKL

DCK

DCK

m m

m

m

180

45

135

o

o o

o

&

&

=

+ =

+

=

% %

%

%

Örnek

,// ( )FEKAB CD m 120o=6 6 %

,( )FABm 5oα = +%

( )DCKm 2 10oα = +%

Yukarıdaki verilenlere göre ( )FABm % kaç derecedir?

A) 35 B) 40 C) 45 D) 50 E) 55

α

150°

120°A

C

E

K

B

D

F

B

D 2 10α + °

5α + °

120°

A

K

E

C

F

Çözüm:

AB6 ile CD6 doğrusal uzatı-lırsa ters açıların eşitliğinden

°( ) ( )FAB TAEm m 5α = = +% % ( ) ( )ECH DCKm m 2 10oα = = +% %

bulunur.

//BT DH olduğundan ( ) ( ) ( )TAE ECH FEKm m m+ =% % %

.

.

( ) .FAB

dir

Ohalde dir

m bulunur

5 2 10 120 3 15 120 3 105

35

5 40

o o o o o

o

o o

& & &α α α α

α

α

+ + + = + = =

=

= + =%

Örnek

// , ,AB CD EF CF=6 6 6 6@ @

( )EABm 110o=% ve

( )FCDm 55o=%

Yukarıdaki verilenlere göre ( )AEFm α =% kaç de-recedir?

A) 60 B) 65 C) 70 D) 75 E) 80

Çözüm:

// //KL CD AB6 6 çizilirse KEA% ile EAB% karşı du-rumlu iki açı olduğundan ölçüleri toplamı 180o dir.

180

dir.

( ) ( )

( )

( )

KEA EAB

KEA

KEA

m m

m

m

180

110

70

o

o o

o&

+ =

+ =

=

% %

%

%

//KL CD6 olduğundan

90( ) ( ) ( ) ( )

( ) .

LEF FCD EFC LEF

LEF

m m m m

m dir

55

35

o o

o

&

&

=+ = +

=

% % % %

%

K, E, L noktaları doğrusal olduğundan

( ) ( ) ( )

.

KEA AEF LEFm m m

bulunur

180

70 35 180 75

o

o o o o&α α

+ + =

+ + = =

% % %

B

D 2 10α + °

5α + °

120°

A

K

E

C

F

2 10α + °

5α + °

T

H

ABC D

55°110°

α

E

F

ABC D

55°110°

α

E

F

LK35°70°

10PEGEM AKADEMİ

ÜÇGENDE AÇILAR

ÜÇGENLER

Doğrusal olmayan üç noktayı birleştiren doğru parçaları-nın birleşimi ile oluşan geometrik şekle üçgen denir.

AB BC AC ABC, , =∆ 6 6 6@ @ @

ABC "∆

ABC üçgeni diye okunur.

A, B, C noktaları ABC∆

nin köşeleri ve ,AB6 @ ,BC6 @ AC6 @ üçgenin ke-narlarıdır.

ABC üçgeninde , ,α β δ üç-genin iç açıları, , ,α β δl l l üçge-nin dış açılarıdır.

, ,BC a AC b AB c= = = uzunluklarına üçgenin kenar uzunlukları denir.

NotÜçgenin iç bölgesinde kalan açılara iç açılar, üçge-nin dış bölgesinde kalan ve iç açıların bütünleri olan açılara dış açılar denir.

, , ,180 180 180o o oα α β β δ δ+ = + = + =l l l

ÜÇGEN ÇEŞİTLERİ

Açılarına Göre Üçgenler

(i) Dar açılı üçgen

İç açılarından her birinin ölçüsü 90o den küçük olan üçgenlere dar açılı üçgenler denir. Yani

90

90

90

<

<

<

o

o

o

α

β

δ

ABC∆

dar açılı üçgendir.

(ii) Dik açılı üçgen

Herhangi bir açısının ölçüsü 90o olan üçgenlere dik açılı üçgen denir.

Yani; ( )m B 90o=t ise ABC∆

dik üçgen-dir. 'AC na6 @ hipotenüs denir.

A

B C

A

BC

α

β δ′β

′δ

′α

a

bc

A

B C

α

β δ

B C

A

(iii) Geniş açılı üçgen

Herhangi bir iç açısının öl-çüsü 90o dan büyük olan üçgenlere geniş açılı üçgen denir.

Yani; ( )m B 90> oα =t ise

ABC∆

geniş açılı üçgendir.

Kenarlarına Göre Üçgenler

(i) Çeşitkenar üçgen

Bir üçgeninin bütün kenar uzun-lukları birbirinden farklı ise ABC çeşitkenar üçgendir.

Yani; ABC üçgeninde

,,

BC aAC bAB c

=

=

=

olmak üzere

( )AB BC AC a b c! ! ! !

ise ABC çeşitkenar üçgendir.

(ii) İkizkenar üçgen

Bir üçgenin herhangi iki kenarının uzunlukları birbirine eşit ise üçgene ikizkenar üçgen denir.

Yani; AB AC= ise ABC üçgeni ikizkenar üçgendir.

'BC na6 @ “taban”, eşit kenarların taban ile yaptıkları açılara “taban açıları” ve köşesi A noktası olan açıya “tepe açısı” denir.

İkizkenar üçgende taban açıları eşittir. Bu ifadenin terside doğru-dur.

O halde ( ) ( )ABC ACBm m AB AC+= =% % dir.

(iii) Eşkenar üçgen

Bütün kenar uzunlukları birbi-rine eşit olan üçgene eşkenar üçgen denir.

Eşkenar üçgenin iç açılarının ölçüleri birbirine eşit ve 60o dir.

Yani; AB BC CA= = ise ( ) ( ) ( )m A m B m C 60o= = =t t t

dir.

Buradan ABC üçgeni eşkenar üçgendir.

B C

A

α

A

B C

c b

a

A

B C

A

B C60°

60°

60°

11

ÜÇGENDE TEMEL VE YARDIMCI ELEMANLAR

Bir üçgenin kenarlarına ve açılarına “temel elemanlar”, yükseklik, kenarortay, açıortay ve orta dikme gibi kav-ramlara da “yardımcı elemanlar” denir.

(i) Yükseklik

Bir üçgende bir köşeden karşı kenara ya da uzantısına çizilen dik doğru parçasına yükseklik denir.

Yani; ABC üçgeninde ,,

AD BCBE ACCF AB olmak zereü

=

=

=

6 66 66 6

@ @@ @@ @

AD ha BC"= 6 @ na ait yükseklik

BE h ACb "= 6 @ na ait yükseklik

CF hc AB"= 6 @ na ait yükseklik

Not

( )ABCm 90o=% olursa AB6 @ ile BC6 @ üçgenin iki yüksekliği olur.

( )ABCm 90> o% olursa üçgenin yüksekliklerinin iki-si üçgenin sınırladığı bölgenin dışındadır.

NotBir üçgenin üç farklı yüksekliği bir noktada kesi-şir. Bu kesişim noktasına üçgenin diklik merkezi denir.

(ii) Açıortay

Üçgenin bir köşesindeki açıyı iki eşit parçaya ayıran doğru parça-sına açıortay denir.

Yani ABC üçgeninde

nA " A köşesine ait iç açı-ortay

ABC üçgeninde 'n AA " kö-şesine ait dış açıortay

A

B C

P EF

D

A

B C

An

N

A

B NC

An ′

Bir üçgende üç iç açıortayın kesim noktası iç teğet çemberin merkezidir.


AD nA "= A köşesine ait açı-ortay

BE nB "= B köşesine ait açı-ortay

CF nC "= C köşesine ait açı-ortaydır.

Bir üçgende bir içaçıortay ile diğer köşelere ait dış açıortaylar üçgenin dışında bir noktada kesi-şirler. Bu kesişim noktası üçgenin dış teğet çemberlerinden birinin merkezidir.

Yani D noktası ABC üçgeninin dış teğet çemberlerinden birinin mer-kezidir.

Not

Bir üçgenin üç tane dış teğet çemberi vardır.

(iii) Kenarortay

Bir üçgenin bir kenarının orta noktasını karşısındaki köşe ile birleştiren doğru parçasına o ke-nara ait kenarortay denir.

Yani ,AD6 @ BC6 @ ye ait kenaror-taydır. Va ile gösterilir.

AD V BCa "= 6 @ na ait kenaror-taydır.

BE V ACb "= 6 @ na ait kenaror-taydır.

CF V ABc "= 6 @ na ait kenaror-taydır.

A

B C

EF

D

Z

D

CB

A

A

B CD

aV

A

B C

F E

D

G

12

Bir üçgende üç kenarortay bir noktada kesişir. Kesi-şim noktasına üçgenin ağırlık merkezi denir. G ile gös-terilir.

NotBir dik üçgende hipotenüse ait kenarortayın uzunlu-ğu hipotenüsün uzunluğu-nun yarısına eşittir.

Yani;

AD V 2BC

dir.( )BACm 90 ao + = ==%

B D C

A

aV

ÜÇGENDE AÇILAR İLE İLGİLİ ÖZELLİKLER

1. Özellik: Bir üçgenin iç açılarının ölçüleri toplamı 180o dir.


( ) ,

( )

( ) ;

BAC

ABC

ACB

m

m ve

m olmak zereü

α

β

δ

=

=

=

%

%

%

( ) ( ) ( ) .BAC ABC ACBm m m dir180oα β δ+ + = + + =% % %

2. Özellik: Bir üçgenin dış açı-ları ölçüleri toplamı 360o dır.

Yani; ,α β δl l l ABC üçge-nin dış açıları olmak üzere

.dir360oα β δ+ + =l l l

3. Özellik: Bir üçgende bir dış açının ölçüsü kendisine komşu olmayan iki iç açının ölçüleri toplamına eşittir.


( )

( )

BAC

ABD

m ve

m

α

β

=

=

%

%

olmak üzere

( ) ( ) ( )BAC ABD ACDm m mα β+ = + =% % % dir.

A

B C

α

β δ

A

BC

′α

′β

′δ

A

B C

α

β α + β

D

Örnek

İç açıları 2, 3, 5 sayıları ile doğru orantılı olan üçgenin en küçük iç açısı kaç derecedir?

A) 52 B) 48 C) 44 D) 40 E) 36

Çözüm:Üçgenin iç açıları 2, 3, 5 sayıları ile doğru orantılı oldu-ğundan açılar 2k, 3k, 5k şeklindedir. Üçgenin iç açıları ölçüleri toplamı 180o olduğundan

10k 180

dir.

k k k

k

2 3 5 180

18

o o

o

&

&

=+ + =

=

O halde en küçük iç açı 2k olduğundan 362 18o o: = bu-lunur.

Örnek

ABC üçgeninde ( ) ,BAEm α =% ( ) ,ABDm β =% ( )DCEm δ =%

ve 340oα β δ+ + = dir.


A) 85 B) 80 C) 75 D) 70 E) 65

Çözüm:

ABC üçgeninde DBA% ile ABC% bütünler iki açı olduğuna göre

( )ABCm 180o - b=% dır. Bir üçgende iki iç açısının ölçüleri toplamı kendisine komşu ol-mayan bir dış açının ölçüsüne eşit olduğundan

( ) ( ) ( )BAE ABC DCEm m m+ =% % % dir.

Yani; 180180o o&- = + = +b d a b dα + dır.

340°

o

180

α β δ+ + =

α +S olduğundan

340 2 160

.bulunur

2 180

80

o o o

o

&

&

= =aα

α

+

=

A

BC

α

β

D Eδ

A

BC

α

β

D Eδ

180 -β°

13

Örnek

ABC üçgen ( ) ( ),EAC ABDm m=% % ( )ADBm 115o=%

Yukarıdaki verilenlere göre ( )BACm % kaç derecedir?

A) 65 B) 60 C) 55 D) 50 E) 45

Çözüm: ( ) ( ) , ( )EAC ABD BAEm m mα β= = =% % % dersek,

ABD üçgeninde iç açılar ölçüleri toplamı yazılacak olursa

( ) ( ) ( )ABD BAD ADBm m m 180o+ + =% % % dir.

180 65115o o o&= + =a bα β+ + dir.

Buradan ( )BACm 65oα β= + =% bulunur.

Örnek

ABC üçgen BD6 @ açıortay

,( )BDCm 96o=%

,( )ACBm 49o=%

( )BAEm 41o=% dir.

Yukarıdaki verilenlere göre ( )EACm α =% kaç derece-dir?

A) 35 B) 30 C) 25 D) 20 E) 15

Çözüm:

DBC üçgeninde iç açılar ölçüleri toplamı 180o olduğun-dan

( ) ( ) ( )DBC BDC DCBm m m 180o+ + =% % % dir.

49 180( )DBCm 96o o o+ =+%

180 m( ) 35( )DBC DBCm 145o o o& &= =+ %% dir.

( ) ( )ABD DBCm m 35o= =% % ABD üçgeninde iki iç açının ölçüleri toplamı kendisine komşu olmayan bir dış açının ölçüsüne eşit olduğundan

( ) ( ) ( )ABD BAD BDCm m m+ =% % %

41 96 m( ) 20EAC35o o o o&+ + = = =a a% bulunur.

A

B C

ED

115°

A

B C

α41°

96°

D

E49°

4. Özellik: ABC üçgeninin iki iç

açıortayının kesişmesi ile oluşan

açı ( )BDCm α =% olsun

2m(A)90o +α =t

dir.

5. Özellik: ABC üçgeninde her-

hangi iki dış açının açıortaylarının

oluşturduğu açı ( )BDCm α =% ol-

sun.A

2m( )90o -α =t

dir.

Örnek

ABC üçgeninde BD6 @ ile CD6 @ dış açıortay ,( )BDCm x4 15o= +%

( )BACm x6 10o= +%

Yukarıdaki verilenlere göre x kaç derecedir?

A) 10 B) 15 C) 20 D) 25 E) 30

Çözüm: ABC üçgeninde BD6 @ ile CD6 @ dış açıortay olduğundan

2m( )( )BDC

BACm 90o= −%%

dir.

Yani; 90 26x 10x4 15o o

o= -

++

90 (3x 5 )

.

x

x x x

x bulunur

4 15

4 15 90 3 5 7 70

10

o o o

o o o o

o

&

&

= - ++

+ = − − =

=

6. Özellik: Bir üçgende bir iç açıortay ve dış açıortayın üç-genin dışında kesiştiklerinde oluşan açı

( ) ( )BDCm m A

2&α α= =t% dir.

Yani ( ) ( )BDC BACm m 2+α α= =% % dır.

A

B C

Dα

D

CB

A

α

A

BC

D

A

B C

Dα

2α

14

7. Özellik:

B

α

β

δ

A

B C

D

α + β + δ

A

C

α + β + δα

D

β

δ

, ,α β δ bulundukları açıların ölçüleri olmak üzere

( )BDCm α β δ= + +% dır.

8. Özellik: Bir ikizkenar üçgen-

de tepe noktasından tabana

indirilen yükseklik, hem açıortay

hemde kenarortaydır.

Yani; ABC ikizkenar üçgeninde

AH BC=6 6@ @ çizilirse BH HC=

ve ( ) ( )BAH HACm m=% % dır.

Örnek

ABC üçgen

,BD AD=

,AE EC=

( )DAEm 20o=% dir.

Yukarıdaki verilenlere göre ( )BACm % kaç derecedir?

A) 115 B) 110 C) 105 D) 100 E) 95

Çözüm:

BDA∆

ile AEC∆

ikiz-kenar üçgen oldu-ğundan

( ) ( )ABC BADm m α = =% %

( ) ( )EAC ACDm m β = =% %

dersek ve ABC üçgeninde iç açıların ölçüleri toplamını yazarsak

1802 2 20o o=α β+ + dir.

802 2 160o o& + =a bα β+ = dir.

( )BACm 20oα β= + +% olduğundan

( )BACm 100o=% bulunur.

A

B CH

A

B C

20°

D E

A

B C

20°

D E

α β

α β

Örnek

,AC BC CD= =

( )BCDm 130o=% dir.

Yukarıdaki verilenlere göre ( )BADm % kaç dere-cedir?

A) 50 B) 55 C) 60 D) 65 E) 70

Çözüm:

ABC∆

ile ACD∆

ikiz-kenar üçgenlerinde

( ) ( )ABC BACm m α = =% %

( ) ( )m CDA m CAD β = =% %

dersek;

( ) ( ) ( ) ( )ABC BAD ADC BCDm m m m+ + =% % % % özelliğinden

2 2 130

.dir

130

65

o o

o

&

&

+ =a bα α β β

α β

+ + + =

+ + O halde ( )BADm 65oα β= + =% bulunur.

Örnek

ABC üçgen ,DE AC=6 6@ @

, ,AB DC AE EC= =

( )ACDm 40o=% dir.

Yukarıdaki verilenlere göre ( )BACm % kaç dere-cedir?

A) 50 B) 60 C) 65 D) 70 E) 75

Çözüm:

AD6 @ çizilirse DE AC=6 6@ @ ve AE EC= olduğun-

dan ADC üçgeni ikizke-

nar üçgendir. O halde

( ) ( )ACD DACm m 40o= =% %

dır. ADC üçgeninde DAC%

ile ACD% nin ölçüleri toplamı kendisine komşu olmayan

ADC% nin ölçüsüne eşit olduğundan

( ) ( ) ( )DAC ACD ADBm m m+ =% % % dir.

130°

A

B

CD

130°

A

B

CD

α β

βα

40°DB

A

C

E

40°DB

A

C

E

80°80°

20°40°

15

Buradan 40 dir.( )ADBm 40o o+=%

( )ADBm 80o=% olur.

DC AB= ve ADC üçgeni ikizkenar üçgen olduğun-

dan AB AD= dir. O halde ABD üçgenide ikizkenardır.

Yani ( ) ( )ADB ABCm m 80o= =% % dir. ABC üçgeninde iç

açılar ölçüleri toplamı yazılırsa

( ) ( ) ( ) .

( )

( ) .

m ABC m ACB m BAC dir

m AC

m BAC bulunur

180

80 40 180

60

o

o o o

o&

+ + =

+ + =

=

% % %

%

%

Örnek

ABC üçgen AD6 @ açıortay,

,BE BD= ( )ABEm 28o=% dir.

Yukarıdaki verilenlere göre ( )ACBm α =% kaç derecedir?

A) 28 B) 30 C) 32 D) 34 E) 36

Çözüm:

Şekilde AD6 @ açıortay. O halde

( ) ( )BAD DACm m β = =% % dersek

ABE∆

ile ADC∆

ninde iki iç açının

ölçüleri toplamı kendilerine kom-

şu olmayan bir dış açının ölçüsü-

ne eşit olacağından

( )BEDm 28oβ = +% ve ( )BDAm α β= +% dır.

BE BD= ise ( ) ( )BED BDAm m=% %

bulunur.

28

28

o

o

&

&

α β β

β

+ = +

=

Y Y

9. Özellik: Eşkenar üçgende

aynı tabana ait yükseklik, açı-

ortay ve kenarortay çakışıktır.

Uzunlukları eşittir.

Yani;

( ) ( ) ( )m A m B m C 60o= = =t t t

ise;

A

B C

28° αE

D

A

B C

28° αE

D

β β

28α + β = β + °

α + β

A

B C

D E

F

G

30o 30o

30o

30o30o

30o

Eşkenar üçgende bütün yardımcı elemanların uzunluk-ları birbirine eşittir.

.

h h h

n n n

V V V

dir ve h n V dira b c

A B C

a b c

a B c

= =

= =

= =

= =

_

`

a

bb

bb

Örnek

ABC üçgen BE AE ED AD DC= = = =

dir.

Yukarıdaki verilenle-re göre ( )ABCm α =% kaç derecedir?

A) 80 B) 75 C) 65 D) 60 E) 45

Çözüm:

AE ED AD= =

ise AED üçgeni eş-

kenar üçgendir. Yani;

( ) ( ) ( )AED ADE EADm m m 60o= = =% % %

dir. DE DC= olduğundan DEC üçgeni ikizkenar üç-

gendir. Buradan ( ) ( )DEC DCEm m=% % dir. ,ADE% DEC∆

nin

dış açısı olduğundan °( ) ( )DEC ADEm m2 60= =% % dır.

m( )( )DEC DCEm 30o& ==% % bulunur.

( ) ( )ABE BAEBE AE m m& α = = =% % dersek ABC üç-

geninde iç açıların ölçüleri toplamı yazılacak olursa

30 180 452 60o o o o&+ = =aα + bulunur.

10. Özellik: Bir üçgende iki ke-narın orta noktasını birleştiren doğru parçası üçüncü kenara paraleldir ve uzunluğu üçüncü kenarın uzunluğunun yarısına eşittir. Burada DE6 @ye orta taban denir. Yani; AD DB= ve AE EC= ise //DE BC6 6@ @ dir.

Buradan BC

DE k2 = = dir.

α

A

B C

D

E

α

A

B C

D

E

α 60°60°

60°30° 30°

A

B C

D Ek

2k

16PEGEM AKADEMİ

DİK ÜÇGEN

Bir iç açısının ölçü-sü 90o olan üçgene dik üçgen denir. Yani

( )ABCm 90o=% ise ABC üçgeni dik üçgen-dir. AB6 @ ve BC6 @ dik kenarlar AC6 @ hipote-nüstür.

Pisagor Teoremi

Bir dik üçgende dik kenarla-rın uzunluklarının karelerin toplamı hipotenüs uzunluğu-nun karesine eşittir.

Yani BAC dik üçgeninde ,BC a= AC b= ve AB c= olmak üzere

b c a2 2 2+ = dir.

Örnek

ABCD dörtgeninde ,DA AB=6 6@ @ DC BC=6 6@ @

,AD cm3 3= BC cm2 3= ve DC cm2 6= dir.

Yukarıdaki verilenlere göre AB x= kaç cm dir?

A) 2 B) 3 C) 2 3 D) 4 E) 2 5

Çözüm:

BD6 @ çizilirse ABD∆

ile BCD∆

dik

üçgen olur ve pisagor teoremi uy-

gulanırsa AD AB BD2 2 2+ =

BC DC BD2 2 2+ = dir.

AD AB BC DC2 2 2 2& + = +

dir.

x3 3 2 3 2 62 2 2 2+ = +^ ^ ^h h h dir.

.

x x

x x cm bulunur

27 12 24 27 36

9 3

2 2

2&

& &

+ = + + =

= =

A

B C

hipotenüs

Dikkenarlar

A

B C

bc

a

x

2 3

A

B C

D3 3

2 6

x

2 3

A

B C

D3 3

2 6

Örnek

ABC dik üçgen ,AB cm24= AC cm72= dir.

Yukarıdaki verilenlere göre BC x= kaç cm dir?

A) 12 10 B) 16 10 C) 20 10

D) 24 10 E) 28 10

Çözüm:

ABC dik üçgeninde AB cm k24= = dersek AC cm k72 3= = olur.

Pisagor teoremi yazılacak olursa

AB AC BC k k x

k k x

x kx k

3

9

1010

2 2 2 2 2

2 2

2

2

2

2

&

&

&

&

+ = + =

+ =

=

=

^ h

k 24= olduğundan

x cm24 10= bulunur.

Örnek

.

,

,,,,,vedir

AC CDCD DEDE EFEF FBAC cmDC cmDE cmEF cmFB cm

41345

=

=

=

=

=

=

=

=

=

6 66 66 66 6

@ @@ @@ @@ @

Yukarıdaki verilenlere göre A ile B noktaları arasın-daki uzaklık kaç cm dir?A) 10 B) 13 C) 15 D) 17 E) 20

A

B C

7224

x

A

B

C

DE

F 5

43

14

17

Çözüm:

A ile B noktaları bir doğru parçası ile birleştirilip şekil-deki dikdörtgenler meydana getirilirse DC cm1= ise

,AL cm1= EF cm4= ise

,DH LK cm4= = AC cm4= ise DL KH cm4= =

ve DE cm3= ise HF cm3= dir.

Buradan ,AK cm5= KB cm12= bulunur. AKB dik üçgeninde Pisagor teoreminde

AK KB AB2 2 2+ = dir.

.AB AB

AB cm bulunur5 12 25 144 169

13

2 2 2 2&

&

+ = = + =

=

ABC dik üçgeninde hi-potenüs ve hipotenüse ait yüksekliğin çarpımı dik ke-narların çarpımına eşittir.

Yani ,AH BC=6 6@ @ ,BC a= ,AC b= AB c= ve

AH h= olmak üzere

BC AH AC AB: :=

a h b c: := dir.

Örnek

ABC dik üçgen ,BD DC=

,AD cm5= AC cm8=


A) 3 B) 10 C) 2 3 D) 13 E) 15

Çözüm:

BD DC y= = dersek ve ABD ve ABC dik üçgenlerinde Pisagor teoremlerini uygularsak

AB BD AD2 2 2+ =

AB BC AC2 2 2+ = dir.

Buradan: x y 252 2+ =

x y4 642 2+ = dir.

A

B

C

DE

F 5

43

141L

4

K H4 3

5

12

A

B C

bc

aH

h

A

B CD

x 58

A

B CD

x 5

y y

8

Denklemleri çözümlersek

.

x y

x y

y y y cmdir

4 64

25

3 39 13 13

2 2

2 2

2 2& &

"

+ =

− =−

= = =

y 13= değeri denklemlerin birinde yerine yazılırsa x cm2 3= bulunur.

Öklid Bağıntıları Bir dik üçgende dik köşeden hipotenüse çizilen yükseklik hipotenüsde ayırdığı parça-lar ve dik kenarlar arasındaki bağıntılara öklid bağıntıları denir.Yani; ABC dik üçgen

, , , , ,AH BC AC b AB c BC a AH h= = = = =6 6@ @veBH p HC k= = olmak üzere

1 h p k2 :=

2 ( )

( )

b k p k k a

c p p k p a

2

2:

:

= + =

= + =

3 h b c1 1 12 2 2= + bağıntıları sağlanır.

Örnek ABC dik üçgen

,AH BC=6 6@ @ HCBH

32= dir.

Yukarıdaki verilenlere göre ACAB

oranı kaçtır?

A) 32 B) 3

6 C) 32 2 D) 1 E) 3

2 3

Çözüm:

HCBH

32= ise BH k2=

dersek HC k3= olur. ABC dik üçgeninde öklid bağıntısı uygulanacak olursa

AB BH BC k k k AB k

AC HC BC k k k AC k

2 5 10 10

3 5 15 15

2

2 2

2&

&

: $

: $

= = = =

= = = =

Buradan ACAB

kk

1510

5 35 2

32

36

:

:= = = =YY bulunur.

A

B C

bc

aH

h

p k

A

B CH

A

B CH2k 3k

18

Örnek ABC dik üçgen

,BA AC=6 6@ @ ,AB AD= ,BD cm8= DC cm5=

dir.

Yukarıdaki verilenlere göre AC x= kaç cm dir?

A) 2 10 B) 4 6 C) 10 D) 6 3 E) 3 13

Çözüm:

ABD ikizkenar üçgen olduğundan AH BD=6 6@ @ çizilirse BH HD cm4= = bulunur.

ABC dik üçgeninde öklid bağıntısı uygulanacak olursa

AC HC BC2:= dir.

x x cm9 13 3 132 &:= = bulunur.

Örnek

ABC dik üçgen ,BE EC DE= =

,AB cm3 10= AD cm6= dir.

Yukarıdaki verilenlere göre DC x= kaç cm dir?A) 9 B) 8 C) 7 D) 6 E) 5

Çözüm:

BD6 @ çizilirse BE EC DE= = oldu-

ğundan BD AC=6 6@ @ olur. Buradan öklid bağıntısı uygulanacak olursa

( ) ( )( )

.

AB AD AC xx

xx cm bulunur

3 10 6 690 6 615 6

9

2 2&

&

&

&

: :

:

= = +

= +

= +

=

A

B C

x

8 5D

A

B C

x

4 5DH 4

A

B C

D

x

6

E

3 10

A

B C

D

x

6

E

3 10

Kenarlarına Göre Özel Dik Üçgenler(3-4-5) Üçgeni

Kenar uzunlukları 3, 4, 5 sa-yıları ve bu sayıların katları olan dik üçgenlerdir.

Yani;

A

B C

159

12

A

B C

106

8

A

B C

53

4

k 3=k 2=k 1=

üçgenleri (3-4-5) üçgeninin katları olan üçgenlerden bir kaçıdır.

(5-12-13) Üçgeni

Kenar uzunlukları 5, 12, 13 sayıları ve bu sayıların katla-rı olan dik üçgenlerdir.

Yani;

A

B C

3915

36

A

B C

2610

24

A

B C

135

12

k 3=k 2=k 1=


(8-15-17) Üçgeni

Kenar uzunlukları 8, 15, 17 sayı-ları ve bu sayıların katları olan dik üçgenlerdir.

Yani;

A

B C

5145

24

A

B C

3430

16

A

B C

1715

8k 3=k 2=k 1=


A

B C

5k3k

4k

A

B C

13k5k

12k

A

B C

17k15k

8k

19

(7-24-25) Üçgeni

Kenar uzunlukları 7, 24, 25 sayıları ve bu sayıların katla-rı olan dik üçgenlerdir.

Yani;

A

B C

7521

72

A

B C

5014

48

A

B C

257

24

k 3=k 2=k 1=


Örnek

ABC üçgen ,AH BC=6 6@ @ ,BH cm5= AC cm15=

ve HC cm9= dir.


A) 10 B) 11 C) 12 D) 13 E) 14

Çözüm:

AHC dik üçgeni (3-4-5) üçgeninin kenarlarının uzunlukla-rının 3 katı olan 9-12-15 üçgenidir. O halde AH cm12= dir.

ABH 5-12-13 üçgeni olduğundan AB x cm13= = bulu-nur.

Açılarına Göre Özel Dik Üçgenler

(30o - 60o - 90o) Üçgeni

Bir dik üçgende diğer iç açılar 30o ve 60o ise 30o nin karşısındaki dik kenarın uzunluğu hipote-nüs uzunluğunun yarısına eşittir. Aynı zamanda 60o

nin karşısındaki dik kenarın uzunluğu 30o lik açının kar-şısındaki dik kenar uzunluğunun 3 katıdır.

A

B C

25k7k

24k

A

B CH

x15

95

k

A

B C2k60° 30°

k 3

(45o - 45o - 90o) Üçgeni

Bir dik üçgenin diğer iç açıları 45o ise dik kenarlarının uzunluklarının

2 katı hipotenüsün uzunluğuna eşittir.

(15o - 75o - 90o) Üçgeni

Bir dik üçgeninin diğer iç açıları 15o ve 75o ise hi-potenüse çizilen yükseklik hipotenüsün 4’de 1’idir.

Yani; 75 9015o o o- - üç-genininde AH BC=6 6@ @ çi-zilirse AH h BC h4&= = dir.

Örnek

ABC dik üçgen ,( )DACm 15o=% ,( )ACBm 30o=%

AD cm5 2= dir.


A) 8 B) 10 C) 12 D) 14 E) 16

Çözüm:

ADC üçgeninde iki iç açının ölçüsü kendisine komşu ol-mayan bir dış açının ölçüsü-ne eşit olacağından

30 m( )

dir.

( ) ( ) ( )

( )

DAC ACB ADB

ADB

ADB

m m m

m

15

45

o o

o&

+ =

+ =

=

% % %

%

%

Buradan ABD üçgeni 45 90 ,45o o o- - ABC üçgeni 60 9030o o o- - üçgenidir.

O halde AD cm5 2= ise AB BD cm5= = bulu-nur. ABC dik üçgeninde 30o nin karşısındaki dik kenarın uzunluğu 5 cm ise 90o nin karşısı 10 cm dir.

A

B C

k 2

k

k

45°

45°

A

B C

h

H4h

75° 15°

A

B C

x

D

5 2

30°

15°

A

CB D5

545o

45o 30o

15o

5 2

x 10=

20

Örnek

ABC üçgen ,( )BACm 105o=% ,( )ACBm 30o=%

AB cm6 2= dir.


A) 8 B) 9 C) 10 D) 12 E) 15

Çözüm:

AH BC=6 6@ @ çizilirse üç-genin iç açıları ölçüleri toplamı 180o olduğundan

,( ) ( )ABC BAHm m 45o= =% % ( )HACm 60o=% bulunur.

O halde ABH 45 90 ,45o o o- - AHC 60 9030o o o- - üç-genidir. Bu özel üçgenlerin özelliklerini kullanacak olur-sak AB cm6 2= ise BH AH cm6= = dir.

AHC dik üçgeninde 30o nin karşısındaki kenar uzunluğu

6 cm ise 90o nin karşısındaki kenarın uzunluğu 12 cm dir.

Örnek

ABC üçgen ,( )BACm 135o=% ,AC cm5 2= .AB cm dir7=


A) 10 B) 13 C) 15 D) 17 E) 20

Çözüm:

ABC geniş açılı bir üçgen olduğundan yükseklikle-rinden iki tanesi üçgenin dışına çizilir.

O halde CH BH=6 6@ @ çizi-lirse ( )BACm 135o=% olduğundan HAC

∆ 45 9045o o o- -

üçgenidir. AC cm5 2= ise AH HC cm5= = olur.

HBC∆

5-12-13 üçgeni olduğundan BC x cm13= = bu-lunur.

B

A

C

6 2

30°

105°

B

A

C

6 2

30°

x 12=

45°

6

H6

45° 60°

A

B Cx

135° 5 27

A

B Cx 13=

135°5 27

45°

45°

55

H

Örnek

ABC dik üçgen AE EC ,= AD BC cm8= = ve DB cm2= dir.

Yukarıdaki verilenlere göre DE x= kaç cm dir?

A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7

Çözüm:

ABC dik üçgeninde EH AB=6 6@ @ çizilir-

se //HE BC6 6@ @ olur. AE EC= olduğundan HE6 @ orta tabandır. Bura-

dan HEBC

cm2 4= = ve AH HB= olur.

Yani ,HD cm3= AH cm5= dir.

O halde HDE üçgeni 3-4-5 üçgenidir. Buradan DE x cm5= = bulunur.

Örnek

ABC üçgeninde

,AB AD=6 6@ @ ,BE ED=

AC cm5= ve

( )AEC cm18Ç =∆

dir.

Yukarıdaki verilenlere göre BC kaç cm dir?

A) 10 B) 11 C) 12 D) 13 E) 14

Çözüm:

BAD dik üçgeninde hipo-tenüse çizilen kenarortay, ayırdığı parçaların uzun-luklarına eşittir. O halde AE BE ED a= = = ve DC b= dersek

.( )AEC a b cm

a b cm dir2 5 18

2 13Ç

&

= + + =

+ =

∆

Buradan BC a b cm2 13= + = bulunur.

A

B C8

x2

8

D

E

A

B C8

x 5=

2

5

D

E43

8H

A

B CDE

5

A

B CDEa a b

5a

2a b+

53

1.

o25

ECB

x DA

Yukarıdaki verilere göre, x kaç derecedir? (2007)

A) 25 B) 30 C) 38 D) 42 E) 50

Açıklama:

ABC üçgeninde BD6 @ iç, CD6 @ dış açıortay olduğun-dan

( ) ( )

.

BDCBACm m x

x bulunur

2 25 2

50

o

o

&= =

=

%%

2. Alanı 2 3 cm2 iç açılarının ölçüleri ,30 60o o ve 90o olan üçgenin çevre uzunluğu kaç cm dir? (2007)A) 2 3 B) 3 3 C) 3 1+

D) 3 2+ E) 2 3 3+^ h

Açıklama:

İç açıları ,30 60o o ve 90o olan üçgenin hipotenüsü 2x cm ise dik kenarlar x cm ve x 3 cm dir.

A

B C60°

30°

2x

x

x 3

O halde,

( )

.

BA A C x x x

xx cm olur

23 2 3 2

3

42

2

2

&:= =

=

=

T

Buna göre, üçgenin çevre uzunluğu

.

x x x x xx

cm bulunur

2 3 3 33 3

2 3 3

+ + = +

= +

= +

^^

hh

3.

ABC, DBE, FEC birer eşkenar üçgen

Yukarıdaki şekilde BC cm12= olduğuna göre, ADEF dörtgeninin çevre uzunluğu kaç cm dir? (2008)A) 36 B) 32 C) 28 D) 24 E) 20

Açıklama:.BE x ve EC y olsun= =

F

CEB

D

y

y y

y

x

x

x x

A

..

DB BE ED AF x veEF EC CF AD y olurBC cm x y cm dir12 12&

= = = =

= = = =

= + = Buna göre,

.

evre ADEF x yx y

cm bulunur

2 222 1224

Ç = +

= +

=

=

^^^

hhh

A

D

F

CEB

ÇIKMIŞ SORULAR

54

4.

ABCD bir dikdörtgen EAF bir üçgen AB cm1= BF cm3=

Şekildeki EDC üçgeninin alanı S1 , ABCD dörtgeni-nin alanı S2 ve CBF üçgeninin alanı S3 tür.

Buna göre, S SS

1 3

2+ oranı kaçtır? (2008)

A) 51 B) 5

3 C) 43 D) 3

2 E) 31

Açıklama:EDC ve CBF üçgenleri benzerdir.

DC AB cm ve BF cm1 3= = = olduğundan,

benzerlik oranı 31 tür.

F

C

B 3A

D

3h 3h

hS

SS

1

23

1

1

E

O halde ED h ise CB h ve3= =

.AE h h h olur3 4= + =

Buna göre, istenilen oran,

.

S S

Sh h

hhh

bulunur

21

23 3

3 1

2103

53

1 2

2: ::

+=

+=

=

E

D C

F B A 1 3

3 S 2 S

1 S

5. Aşağıdaki şekilde, uç noktaları A ve D olan bir su bitkisinin durgun ve rüzgârlı havadaki konumu gösterilmiştir.

OA BCAB cmBC cmCD cmOB x

5123

=

=

=

=

=

6 6@ @

Buna göre x kaç cm dir? (2009)

A) 26 B) 28 C) 30 D) 32 E) 35

Açıklama:

Bitkinin boyu AO OD= olacağından OC OD DC x x5 3 2= − = + − = +

olur.

OBC dik üçgeninde Pisagor bağıntısından:

( )

.

x x

x x xxx cm olur

12 2

144 4 44 140

35

2 2 2

2 2

+ = +

+ = + +

=

=

6.

ABC bir eşkenar üçgen DBC bir ikiz-kenar dik üçgenDB DCBC a

=

=

Taralı bölgenin alanı ( )cm16 3 1 2- olduğuna göre, a kaç cm dir? (2010)

A) 4 B) 6 C) 8 D) 6 3 E) 8 3

Açıklama:

ABC eşkenar ve DBC

ikizkenar dik üçge-

ninde BC a= ise

DB DC a2

2= = dir.

ý

.

Taral Alan aa a

a a

a aa cm dir

43

22

22

2

16 3 16 43

4

64 3 64 38

2

2 2

2 2

&

:= −

− = −

− = −

=

A 5 12

O

x

B

3 DC

Sulak alanın dibi

Su yüzeyi

A

O

D312

C

x

B

5

x2+

x 5+

A

B Ca

D

a

D

CB

A

a a

a 22

a 22

55

1. E 2. E 3. D 4. B 5. E 6. C 7. C 8. E 9. A

7.

ý

( )

( )

ABC

ACB

ABC bir genAN a ortay

m

mAN a birimBN b birimCN c birim

48

40

üçç

o

o

=

=

=

=

=

6 @%

%

Yukarıdaki verilere göre, a,b ve c arasındaki sıra-lama aşağıdakilerden hangisidir? (2011)

A) a b c1 1 B) a c b1 1

C) b a c1 1 D) b c a1 1

E) c b a1 1

Açıklama:

)( ) (BAN NACm m 46o= =% %

ABN üçgeninde 48 46o o2

olduğundan a b2 olur.

ANC üçgeninde 46 40o o2

olduğundan c a2 olur.

Dolayısıyla b a c1 1 olmalıdır.

8.

ABC bir dik üçgen

( )BCAm 30o=%

BA ACED BCAE EF

ED cm3

=

=

=

=

Şekildeki ABC dik üçgeninde AF6 @ kenarortaydır.

Buna göre, |BD| uzunluğu kaç cm’dir? (2012)

A) 3 B) 5 C) 6 D) 2 3 E) 3 3

A

BD F C

E

30o

3

Açıklama:A

BD F C

E

30o

30o

30o

60o

3

2 3

2 3

2 3 3 4 3

AF6 @ kenarortay olduğundan AF FC BF= = olur.

( ) ( )FAC ACFm m 30o= =% %

( ) ( ) .EFD DEFm ve m olur60 30o o= =% %

DEF üçgeni 30 60 90o o o- - üçgeni olduğundan

.

.

cm

cm

cm

DF ve EF olur

AF FC BF iseBD bulunur

33

33 3 3 2 3

4 34 3 3 3 3

= = = =

= = =

= − =

9. ABC bir üçgen

m ACB

m BACAB birim

BC x

45

603 2

=

=

=

=

ο

ο

^^

hh

%

%

Yukarıdaki verilere göre, x kaç birimdir? (2013)

A) 3 3 B) 2 2 C) 2 6 D) 32 3 E) 3

5 2

Açıklama:

45°

60°

45°30

°

A

H

B Cx

3 2

23 2

23 6 2

3 6

[BH] ⊥ [AC] çizilirse,

, , , üç .,

,

.

ABH HBC genidirBuradan

AH cm BH HC

cm bulunur

30 60 90 45 45 90

23 2

23 6 2 2

3 12

3 3

− − − −

= = = + =

=

3 3ο ο ο ο ο ο

45°

60°

A

B Cx

3 2

56

1. Bir açının tümlerinin bütünlerine oranı 31 olan

açı kaç derecedir?

A) 15 B) 30 C) 45 D) 60 E) 67,5

2. Bir açının tümleri ile bütünlerinin toplamı 200o ise bu açı kaç derecedir?

A) 15 B) 25 C) 35 D) 45 E) 55

3. Komşu iki açının ölçüleri toplamı 72o olduğuna göre, bu iki açının açıortayları arasında kalan açının ölçüsü kaç derecedir?

A) 20 B) 24 C) 28 D) 36 E) 40

4.

// ,AB CD6 6 ( )BAEm 85o=% ve

( )AECm 35o=% dir.

Yukarıdaki verilenlere göre ( )DCEm α =% kaç derece-

dir?

A) 100 B) 110 C) 120 D) 130 E) 140

5.

// ,AE CD6 6 CB6 @ açıortay

( )EACm 142o=% dir.

Yukarıdaki verilenlere göre ( )EBCm α =% kaç derecedir?

A) 131 B) 141 C) 151 D) 161 E) 171

B

D C

E

A85°

35°α

A B

C D

E

142° α

6.

// ,AB CD6 6

,( )AEFm 130o=%

( ) ,BAEm α =%

( )DCFm β =% ve

150oα β+ = dir.

Yukarıdaki verilenlere göre α kaç derecedir?

A) 100 B) 105 C) 110 D) 115 E) 120

7.

A, O, B noktaları doğrusal, ,OD OE=6 6

( ) ( )EOF AOCm m=% % ve( ) ( )COD FOBm m=% % dir.

Yukarıdaki verilenlere göre ( )COFm % kaç derecedir?

A) 100 B) 110 C) 120 D) 130 E) 135

8.

// ,AB CD6 6BAE EAFm( ) m( ),=% %

( ) ( )DCE ECFm m=% % ve

( ) ( )AEC AFCm m 150o+ =% %

dir.

Yukarıdaki verilenlere göre ( )AFCm α =% kaç derecedir?

A) 70 B) 80 C) 90 D) 100 E) 110

9.

// // ,AB CD EF6 6,( )DCTm 50o=%

( ) ,BAPm 3α =%

( ) ,CLFm 5α =%

( )AKEm β =% dir.

Yukarıdaki verilenlere göre β α− kaç derecedir?

A) 70 B) 72 C) 74 D) 76 E) 78

130°

αA B

CDβ

F

E

A BO

D E

CF

α

D C

AB

E F

50°

5αβ

3αAB

C D

L

TPKE F

CEVAPLI TEST - 1 Geometrik Kavramlar

57

10.

// ,AB CD6 6 ( )AECm 158o=% ve

( )ECDm 52o=% dir.


A) 22 B) 24 C) 26 D) 28 E) 30

11.

// ,AB CD6 6 ,( )BAKm 20o=%

,( )KFEm 30o=%

,( )ECDm 40o=%

( ) ,AKFm β =% ( )FECm α =%

ve 20oα β− = dir.

Yukarıdaki verilenlere göre ( )FECm α =% kaç derecedir?

A) 45 B) 50 C) 55 D) 60 E) 65

12.

// ,AB CD6 6 ,KF AC=6 6@ @KE CD=6 6@ ve

( )BACm 115o=% dir.

Yukarıdaki verilenlere göre ( )FKEm α =% kaç derece-

dir?

A) 65 B) 75 C) 85 D) 105 E) 115

13.

AB//CD, ,LN AB=6

KF LT=6 6@ @ ve

( )KFEm 100o=% dir.

Yukarıdaki verilenlere göre ( )FEDm α =% kaç derecedir?

A) 20 B) 30 C) 40 D) 50 E) 60

158°

52°

αA B

CD

E

20°

30°

40°

α

β

B A

CD

EF

K

α

115°AB

CD E

K F

A

C

100°

α

50°

NH K T

P

B

F

E D

L

14.

// ,AB CD6 6 AF6 @ ile EA6 @ açıortay ve

( )AFEm 108o=% dir.

Yukarıdaki verilenlere göre ( )FECm α =% kaç derecedir?

A) 84 B) 86 C) 88 D) 96 E) 100

15.

// ,AB CD6,( ) ( )PCD BELm m 60o= =% %

,( )AFRm 50o=%

,( )FRPm 80o=%

,( )RPCm 20oα = +%

( )ELKm 30oα = +% ve ( )LKDm β =% dir.

Yukarıdaki verilenlere göre α β+ kaç derecedir?

A) 100 B) 105 C) 110 D) 115 E) 120

16.

// // ,AB CD EF6 6 6,EA KA=6 6@ @

,( )AEFm 140o=%

( )CKAm 60o=% dir.

Yukarıdaki verilenlere göre ( )DCKm α =% kaç derecedir?

A) 130 B) 125 C) 120 D) 115 E) 110

α

108°

AB

C D

F

E

β

30α + °

60°50°

80°

60°20α + °

A B

C D

EF

K

LP

R

140°

60°α

AB

E F

CD

K

1. C 2. C 3. D 4. C 5. D 6. A 7. E 8. D 9. D 10. E 11. C 12. E 13. D 14. A 15. C 16. E

58

1. İç açıları 3, 4, 5 sayıları ile doğru orantılı olan üç-genin en büyük dış açısı en küçük dış açısından kaç derece fazladır?

A) 15 B) 30 C) 45 D) 60 E) 75

2. ABC üçgen, ( ) ,DACm α =% ( ) ,DBEm β =% ( )ACEm δ =% ve

200oα β δ+ + = dir.

Yukarıdaki verilenlere göre ( )DACm α =% kaç derecedir?

A) 10 B) 20 C) 25 D) 30 E) 35

3. ABC üçgen ( ) ( )ABF FCBm m=% % ve

( )BFCm 110o=% dir.

Yukarıdaki verilenlere göre ( )ABCm % kaç derecedir?

A) 50 B) 55 C) 60 D) 65 E) 70

4. ABC üçgen, DC6 @ açıortay,

,( )ADCm 81o=% ( )EACm 31o=% ve ( )ABCm 59o=%


A) 16 B) 22 C) 32 D) 46 E) 50

A

BC

α

E

δ

D β

A

B C

F

110°

B C

A

59°

81°

α 31°

ED

5. ABC üçgen,

B, A ve E noktaları

doğrusal, BD6 @ ile

CD6 @ açıortay ve

( )BDCm 125o=% dir.

Yukarıdaki verilen-lere göre ( )EACm α =% kaç derecedir?

A) 70 B) 90 C) 110 D) 120 E) 135

6. ABC üçgen,

BD6 @ ile CD6 @ açıortay,

( ) ( ),EAF BDCm m=% %

( )EBDm α =% ve

( )DCFm β =%

Yukarıdaki verilenlere göre α β+ toplamı kaç dere-cedir?

A) 150 B) 135 C) 120 D) 105 E) 90

7. ABC üçgen, I noktası ABC

üçgeninin iç teğet çem-

berin merkezi, D noktası

ABC üçgeninin dış teğet

çemberinin merkezi ve

( ) ( )m I m D 72o− =t t

Yukarıdaki verilenlere göre ( )BACm % kaç dere-cedir?

A) 36 B) 54 C) 60 D) 72 E) 90

8.

ABC üçgen BD6 @ açıortay ( ) ,BDCm x=%

( )BACm x2=% ve ( )ACBm 70o=% dir.

Yukarıdaki verilenlere göre ( )ACDm α =% kaç derecedir?

A) 35 B) 40 C) 55 D) 65 E) 70

125°

αAE

B C

D

A

C

Fβ α

B

E

D

A

B C

D

I

A

B C

D

α

x2x

70°

CEVAPLI TEST - 2 Üçgende Açılar

59

9. ( ) ( )ABD DCEm m=% %

( ) ( )DBE ACDm m=% %

( )BACm 80o=% ve

( )BECm 160o=% dir.

Yukarıdaki verilenlere göre ( )BDCm α =% kaç derecedir?

A) 100 B) 105 C) 110 D) 115 E) 120

10. ABC üçgen, AD BD ,=

AE EC=

( )DAEm 36o=% dir.

Yukarıdaki verilenlere göre

( )BACm % kaç derecedir?

A) 72 B) 90 C) 100 D) 108 E) 120

11. ABC üçgen, ,AH BH CH= =

( )BACm 46o=% dir.

Yukarıdaki verilenlere göre ( )BHCm α =% kaç derece-

dir?

A) 92 B) 96 C) 102 D) 106 E) 108

12. ABC üçgen,

,DE AC=6 6@ @

,AE EC=

DC AB= ve

( )ABCm 70o=% dir.

Yukarıdaki verilenlere göre ( )BACm α =% kaç derecedir?

A) 40 B) 70 C) 75 D) 80 E) 100

A

Dα

E

CB 160o

80o

A

B C

36°

D E

A

B C

α

H

B C

A

α

70°

E

D

13. ABC üçgen,

,BE BD=

( ) ( )ABE ACBm m xo= =% %

ve ( )BADm 32o=% dir.

Yukarıdaki verilenlere ( )DACm α =% kaç derece-

dir?

A) 32 B) 40 C) 48 D) 56 E) 64

14. ABC üçgeninde,

,DE EC=

( ) ( )ECB BADm m=% %

( )ABCm 40o=% dir.

Yukarıdaki veri-lenlere göre ( )ADEm α =% kaç derecedir?

A) 35 B) 40 C) 45 D) 50 E) 60


,BC AH=6 6@ @ BH HC=

( )ABCm x2 5o= −% ve

( )HACm x 10o= −% dir.

Yukarıdaki verilenlere göre ( )BAHm % kaç derecedir?

A) 15 B) 20 C) 25 D) 30 E) 35

16. ABC üçgeninde, ( )BDCm 108o=%

,( )BACm 40o=% ( ) ( )DBC ACDm m=% % dir.

Yukarıdaki verilenlere göre ( )ABCm % kaç derecedir?

A) 40 B) 48 C) 52 D) 64 E) 68

A

B C

x°

32° α

x°D

E

40°

A

B CD

E

α

A

B CH

x 10− °

2x 5− °

A

B C

D

108°

40°

1. B 2. A 3. E 4. D 5. C 6. C 7. D 8. C 9. E 10. D 11. A 12. C 13. A 14. B 15. C 16. E

60

1. ABC dik üçgen,

,AB BC=6 6@ @

,BE EC=

,BC cm12=

AB cm16= dir.

Yukarıdaki verilenlere göre AE x= kaç cm dir?

A) 7 B) 8 C) 9 D) 10 E) 11

2. ABCD dörtgeninde,

,DA AB=6 6@ @,BC CD=6 6@ @,CD cm12=

,AB cm4 3=

BC cm5=

Yukarıdaki verilenlere göre AD x= kaç cm’dir?

A) 71 B) 9 C) 91 D) 111 E) 11

3. ,AH AB=6 6@ @,HB BC=6 6@ @,HC CD=6 6@ @,HD DE=6 6@ @

HF EF=6 6@ @AH AB BC CD DE EF cm1= = = = = = dir.

Yukarıdaki verilenlere göre FH x= kaç cm dir?

A) 3 B) 2 C) 5 D) 6 E) 7

4. ,AB BC=6 6@ @,BC CD=6 6@ @,CD DE=6 6@ @,ED EF=6 6@ @

,AB CD cm6= =

,BC DE cm4= = EF cm3= dir.

Yukarıdaki verilenlere göre A ile F noktaları ara-sındaki uzaklık kaç cm dir?

A) 15 B) 16 C) 17 D) 18 E) 19

A

B C12

E

x

16

A

x

D

12

C

5

B

4 3

A

B

C DE

F

H1

1

11 1

1

x

A B

CD

EF34

6

6

4

5. ,CB CD=6 6@ @

,AB AD=6 6@ @ ,AD cm2 3=

BC cm5= ve

AB cm7= dir.

Yukarıdaki verilenlere göre CD kaç cm dir?

A) 2 3 B) 6 C) 4 3 D) 5 2 E) 8

6. ABCD dörtgen,

,AB AC=6 6@ @ ,BC DH=6 6@ @ // ,AD BC6 6@ @ ,AB cm6=

AC cm8= dir.

Yukarıdaki verilenlere göre DH kaç cm dir?

A) 4,8 B) 6,4 C) 7,2 D) 9,6 E) 10

7. ABC dik üçgen

,AB BC=6 6@ @ ,AD cm3 5=

,DC cm5=

AC cm10= dir.

Yukarıdaki verilenlere göre BD x cm= kaç cm dir?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

8. ABC üçgen,

,AH HB=6 6@ @ ( ) ( ),BAH HBCm m=% %

,HB cm3=

,AH cm4=

BC cm12= dir.


A) 13 B) 14 C) 15 D) 16 E) 17

C

A

2 3

D

B

5

A D

B H C

6

A

B CD

10

5x

3 5

A

B C

H3

4

12

x

CEVAPLI TEST - 3 Dik Üçgen

61

9. ABC dik üçgen,

,AH BC=6 6@ @ ,AC AB=6 6@ @ ,AC cm6=

BH cm9= dir.

Yukarıdaki verilenlere göre AH x= kaç cm dir?

A) 3 B) 3 2 C) 5 D) 3 3 E) 4 2

10. ABC üçgen,

,AB AC=6 6@ @ ,AB AD=

,BD cm4=

DC cm2= dir.


A) 2 2 B) 4 C) 2 6 D) 5 E) 4 2

11. ABC dik üçgen,

,AC BC=6 6@ @ ,AD DC=

,AC cm6=

,DB cm5=

BE cm3= dir.

Yukarıdaki verilenlere göre DE x= kaç cm’dir?

A) 2 2 B) 3 C) 10 D) 2 3 E) 4

12. ABC üçgen,

,AH BC=6 6@ @ ,AB cm20=

,AC cm13=

HC cm5= dir.


A) 21 B) 20 C) 18 D) 17 E) 16

A

B C

6x

H9

A

B C2

x

4 D

A

B CE

D5

3

6

x

A

B CH 5

1320

13. ABC üçgen,

,AH BC=6 6@ @ ,BC cm21=

,AB cm17=

AC cm10= dir.

Yukarıdaki verilenlere göre AH x= kaç cm dir?

A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9

14. ,AB BC=6 6@ @,EC BC=6 6@ @,BC cm15=

,AB cm5=

EC cm3= dir.

Yukarıdaki verilenlere göre AD ED+ toplamı-nın en küçük değeri kaç cm dir?

A) 10 B) 12 C) 15 D) 17 E) 20

15. ABC üçgen

( ) ( ),ABD ACBm m2 =% %

,AB cm5=

AD cm1= dir.

Yukarıdaki verilenlere göre DC BC x= = kaç cm dir?

A) 12 B) 11 C) 10 D) 9 E) 8

16. ABC dik üçgen,

AC AB ,=6 6@ @ AH BC=6 6@ @ ,BF FD=6 6@ @ ,BD DC=

BF cm4= dir.


A) 5 B) 4 2 C) 6 D) 7 E) 5 2

A

B CH

1017x

A

B CD

E5

3

A

B Cx

D

x

1

5

A

x

B H D C

F4

1. D 2. E 3. B 4. C 5. B 6. A 7. C 8. A 9. D 10. C 11. C 12. A 13. D 14. D 15. A 16. B

62

1. ABC dik üçgen,

,AB BC=6 6@ @CN6 @ açıortay,

,AC BC 4= +

NB cm3= dir.

Yukarıdaki verilenlere göre AN kaç cm dir?

A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 7

2. BD6 @ açıortay, ,BA DA=6 6 @

,BA FN=6 6 @ ,BC DC=6 6 @

,BC HN=6 6 @ ( ) ,FN t cm2=

NH (k 1)cm,= +

( )DC t cm3= ve

AD k cm24 1=

+c m dir.

Yukarıdaki verilenlere göre t kaçtır?

A) 21 B) 1 C) 2

3 D) 2 E) 25

3. ABC üçgen, AN6 @ açıortay,

,( )ACBm 60o=%

,( )ABCm 45o=%

NC cm2 3= dir.

Yukarıdaki verilenlere göre BN x= kaç cm dir?

A) 2 B) 2 2 C) 3 D) 4 E) 3 2


,AB cm8=

,NB cm4=

NC cm3= dir.


A) 23 B) 4 C) 5 D) 6 E) 9

A

B C

N

3

2t

3t

4k 12+

A

B C

DF

H

N

k 1+

A

B C45° 60°

N 2 3x

A

B CN 34

8 x


,AB AC cm48 2: =

,AN cm6=

NB cm3= dir.


A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8

6. ABC dik üçgen,

AB BC ,=6 6@ @AN6 @ açıortay,

,AN cm3 5=

BN cm3= dir.

Yukarıdaki verilenlere göre NC x= kaç cm dir?

A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 10

7. ABC üçgen,

AN6 @ ve BD6 @ açıortay, ,AD DN3=

,AB cm9=

NC cm2= dir.

Yukarıdaki verilenlere göre DN x= kaç cm dir?

A) 3 B) 2 3 C) 3 2 D) 3 3 E) 4 2

8. ABC ve FSH üçgen, F noktası iç açıortayla-rın kesim noktası,

,BA AC=6 6@ @ // ,AB FS6 6@ @ // ,AC FH6 6@ @

AB cm5= ve ( )FSH cm13Ç =∆

dir.


A) 8 B) 9 C) 10 D) 11 E) 12

A

B C

6

N3

A

B CN x3

3 5

A

B C

DxN 2

9

A

B C

x5 F

S H

CEVAPLI TEST - 4 Üçgende Açıortay Teoremleri

63

9. ABC ve ABD dik üçgen,

,AD DB=6 6@ @ ,AB BC=6 6@ @

( ) ( ),BAC CADm m=% %

,BC cm6= NC cm5= dir.

Yukarıdaki verilenlere göre ( )NBCÇ

∆ kaç cm dir?

A) 14 B) 15 C) 16 D) 17 E) 18

10. ABC üçgen,

,AN BC=6 6@ @ ,BN NC=

,FS FH3 2= ,HC cm7=

FB cm5= dir.

Yukarıdaki verilenlere göre AB kaç cm dir?

A) 7 B) 9 C) 12 D) 14 E) 18


AD6 @ dış açıortay,

,CD BD3 =

AB cm9=

Yukarıdaki verilen-lere göre AC x= kaç cm dir?

A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7

12. ABC üçgeninde, AD6 @ dış açıortay,

,CD cm12= ,AB cm8=

AC cm6= dir.

Yukarıdaki verilen-lere göre AD x= kaç cm dir?

A) 6 B) 8 C) 10 D) 12 E) 16

AD

N

5

C6B

A

B C

H

F

N

75

S

EA

B C

9

D

x

EA

BC 12 D

8 6x

13. ABC üçgen, B, A, E

noktaları doğrusal,

,( ) ( )BAC EADm m 60o= =% %

,AB cm8= AC cm5=

dir.

Yukarıdaki verilenlere göre CD x= kaç cm dir?

A) 1335 B) 7 C) 3

35 D) 370 E) 13

70

14. ABD dik üçgen, ,AB AD=6 6@ @

CADm( ) 45 ,o=% ,AB cm12=

AD cm5= dir.


A) 1765 B) 7

13 C) 765 D) 10 E) 13

15. I noktası ABC üçgeninin iç teğet çemberinin merkezi;

// ,DE BC6 6@ @ BC cm12=

Yukarıdaki verilenlere göre ( ) ( )ABC ADEÇ Ç−

∆ ∆ kaç cm

dir?

A) 6 B) 9 C) 12 D) 18 E) 24

16. ABD üçgeninde, AN6 @ iç

açıortay, AC6 @ dış açıortay,

,AN cm7= NC cm25=

dir.


A) 20 B) 21 C) 22 D) 23 E) 24

EA

BC D

8 5

x

60°

60°

A

12

BD x

C5

45o

A

B C

I E

12

D

C

EA

B

x

DN

7

1. D 2. C 3. E 4. D 5. D 6. A 7. A 8. E 9. D 10. B 11. A 12. D 13. C 14. C 15. C 16. E

64

1. ABC üçgeninde

G noktası ağırlık merkezi,

,AE DC BF G+ + =6 6 6@ @ @ " ,

DG GF GE cm12+ + =

dir.

Yukarıdaki verilenlere göre toplamı kaç cm dir?

A) 24 B) 26 C) 28 D) 32 E) 36

2. ABC üçgen, G noktası ağırlık merkezi,

,AE BD CF G+ + =6 6 6@ @ @ " , ,GE cm2=

GD cm4= ve DC cm5= dir.

Yukarıdaki verilenlere göre ( )AGDÇ∆

kaç cm dir?

A) 11 B) 12 C) 13 D) 14 E) 15

3. ABC üçgen, ,AB AC=6 6@ @ ,BD DC=

,AD cm5= AB cm2= dir.


A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

4. ABC üçgen, ,AB AC=6 6@ @ ,GH BC=6 6@ @

G noktası ABC üçge-ninin ağırlık merkezi,

,( )ACBm 30o=% dir.


A) 4 B) 6 C) 8 D) 10 E) 12

A

B C

GF

E

D

A

B C

F D

E

G

2

45

A

B CD

5x2

A

B C3

H30°

G

5. ABC üçgen, G noktası ağırlık merkezi, ,AB BC=6 6@ @ AC cm12= dir.

Yukarıdaki verilenlere göre BG x= kaç cm dir?

A) 6 B) 5 C) 4 C) 3 E) 2

6. ABC üçgen, ,BE DC=6 6@ @ D ve E noktaları

bulundukları kenarların orta noktalarıdır, AG cm10= dir.


A) 5 B) 6 C) 8 D) 10 E) 15

7. ABC üçgen, ,AB AC=6 6@ @ ,BE AD=6 6@ @ ,BD DC= ,AE EC=

BC cm18 2= dir.


A) 6 B) 6 2 C) 6 3 D) 12 E) 6 6

8. ABC üçgeninde G noktası ağırlık merkezi, ,AB AC=6 6@ @

,AF BE DC G+ + =6 6 6@ @ @ " , HG cm1= dir.

Yukarıdaki verilenlere göre BC AH GF+ + toplamı kaç cm dir?

A) 11 B) 12 C) 15 D) 17 E) 18

A

B C

G12

x

A

D E10

G

B Cx

A

B CD

EG

x

A

B C

E

G1D

F

H

CEVAPLI TEST - 5 Üçgende Kenarortay Teoremleri

65

9. ABC üçgen, ,BD DC cm4= =

,AC cm7= AB cm5= dir.

Yukarıdaki verilenlere göre AD x= kaç cm dir?

A) 6 B) 33 C) 5 D) 21 E) 4

10. ABC üçgen, G noktası

ağırlık merkezi,

,BE DC AF G+ + =6 6 6@ @ @ " ,

,GE cm29= ,BF cm4=

DG cm25=

Yukarıdaki verilenlere göre AF kaç cm dir?

A) 6 B) 37 C) 7 D) 15 E) 3 37

11. ABC üçgen,

, ,BD DC cm6 5= =

AC 12cm,=

AB cm5=


A) 6 B) 6,5 C) 9 D) 12 E) 13

12. ,AB AC=6 6@ @ ,BD EC F+ =6 6@ @ " , ,AD DC cm4= =

AE EB cm3= = dir. Yukarıdaki verilenlere göre AF x= kaç cm dir?

A) 35 B) 3

7 C) 310 D) 3

14 E) 5

A

B CD4 4

75x

A

B C

G

F

ED 52

4

92

A

B C

12

D

5x

6,5 6,5

F

A

B

C

DE x

34

34

13. ABC üçgen, ,AB AC=6 6@ @ ,DG GE=6 6@ @

,DF FE= ,EC BD cm3= =

,GF cm1 5= dir.

Yukarıdaki verilenlere göre AF kaç cm dir?

A) 3 B) 4 C) 4,5 D) 5 E) 6

14. ABC üçgeninde G noktası ağırlık merkezi, A, G, D noktaları doğrusal,

,AE DF H+ =6 6@ @ " , ,AF FC=

,AH HE2= HF cm2= dir.


A) 12 B) 10 C) 8 D) 6 E) 4

15. ABC ile DBC üçgen, A, G, E noktaları doğrusal,

,BA AC=6 6@ @,GF FD=

,FD BG2 =

,AF FC= BC cm12= dir.

Yukarıdaki verilenlere göre DC kaç cm dir?

A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

16. ABC üçgeninde G noktası ağırlık merkezi, ,AG GC=6 6@ @

,AB cm10= AG cm4= dir.


A) 13 B) 5 C) 6 D) 2 13 E) 8

A

B CD E

G

1,5

33 F

A

B C

2HG

D E

x F

AD

FG

ECB

G

A

B C

104 x

1. E 2. C 3. C 4. E 5. C 6. D 7. E 8. D 9. D 10. E 11. B 12. C 13. C 14. A 15. C 16. D

66

1. ABC üçgen, ,AC BH=6 6@ @ ,AB AC=

,BC cm2 5= BH cm4= dir.


A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

2. ABC üçgen, ( ) ( ),BAH HACm m=% %

,BH HC= ,AC cm17=

AH cm15= dir.


( )ABCÇ∆

kaç cm dir?

A) 25 B) 32 C) 36 D) 44 E) 50

3. ABC üçgen,

( ) ( ),BAH HACm m=% %

,AB AC cm13= =

AH cm12= dir.


A) 10 B) 8 C) 7 D) 6 E) 5

4. ABC üçgen, ,AB AC= ,AC BH=6 6@ @

( ) ( ),BAF FACm m=% % ( ) ,FH x cm2 1= −

BC cm10= dir.

Yukarıdaki verilenlere göre x kaç cm dir?

A) 49 B) 2 C) 3 D) 2

9 E) 211

B C

A

2 5

Hx

4

A

B CH

1517

A

B CH

121313

A

B CF

H

x21-

5. ABC dik üçgen, ,AB AC=6 6@ @ ,FH BC=6 6@ @ ,BH HC=

,FB cm7= AC cm4 3= dir.

Yukarıdaki verilenlere göre FA x= kaç cm dir?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 2 E) 5

6. ABC üçgen, ,DE BC=6 6@ @ ,BE EC= ,BD cm2=

,AC cm3= AD cm1= dir.

Yukarıdaki verilenlere göre ( )BCAm α =% kaç derecedir?

A) 30 B) 45 C) 60 D) 75 E) 90

7. ABC üçgen,

// ,DE BC6 6@ @,AB AC=

( ) ( ),ABE EBCm m=% %

,BC cm6= DB cm3= dir.

Yukarıdaki verilenlere göre ( )ABCÇ

∆ kaç cm dir?

A) 15 B) 18 C) 21 D) 24 E) 27

8. ABC üçgen,

,FC BE AD H+ + =6 6 6@ @ @ " ,,AC BE=6 6@ @ ,BC AD=6 6@ @,AB AC= ,FC cm8=

EC cm4= dir.

Yukarıdaki verilenlere göre HB x= kaç cm dir?

A) 4 B) 2 5 C) 5 D) 6 E) 7

A

B C

xF

4 37

H

A

B C

D1

23

α

E

A

B C

ED

3

6

A

B CD

EHx

F

CEVAPLI TEST - 6 Özel Üçgenler

67

9. ABC üçgen, A, C, D noktaları doğrusal,

,AB HC=6 6@ @ ,AB AC= ,BD cm13= ,HC cm5=

HB cm4= dir.


A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9

10. ABC dik üçgen, ,AB AC=6 6@ @ ,FS BD=6 6@ @ ,HS AC=6 6@ @

BD DC= ,AD HS cm3= =

,FS cm1= dir.


A) 4 B) 5 C) 8 D) 4 5 E) 5 5

11. ABC üçgen,

,HS AC=6 6@ @,AB FH=6 6@ @

,( )ABCm 75o=%

,AB AC cm14= =

FH cm5= dir.

Yukarıdaki verilenlere göre HS x= kaç cm dir?

A) 2 B) 4 C) 5 D) 7 E) 9

12. ABC üçgen, B, C ve E noktaları doğrusal,

,AB EF=6 6@ @,AD DE=6 6@ @,CS AB=6 6@ @,AB AC=

,HE cm10=

,HC cm5= CS cm12= dir.

Yukarıdaki verilenlere göre FH kaç cm dir?

A) 6 B) 8 C) 10 D) 12 E) 15

A

B C

H5

D13

x

4

A

B C

DH

S1 3

F

3

A

B C

5 x SF

H75°

A

FS

BD

CE

10H

12 5

13. ABC üçgen,

// ,AB DH6 6@ @// ,EH AC6 6@ @ ,AB AC=

( )ABC

EH HD31

Ç

+=∆ dir.


ACBC

oranı kaçtır?

A) 31 B) 2

1 C) 1 D) 2 E) 3

14. ABC üçgen,

,AH BC=6 6@ @ ,FH AC=6 6@ @// ,DE AB6 6@ @ // ,KD AC6 6@ @

( ) ( ),BAH HACm m=% %

,DE cm1=

FH cm4= dir.

Yukarıdaki verilenlere göre KD kaç cm dir?

A) 3 B) 11 C) 12 D) 15 E) 16

15. ABC üçgen,

,BH HD=

( ) ( ),BAH HADm m=% %

,AB cm13=

,AH cm12=

DC cm11= dir.


A) 16 B 17 C) 20 D) 22 E) 25

16. ABC üçgen,

,( )ACBm 80o=%

,( )CBDm 70o=%

1 ,( )ABDm 0o=%

BC cm10= dir.


A) 5 B) 8 C) 5 3 D) 10 E) 8 3

A

B C

E D

H

A

B C

F

H75° E

D

K

13

B H D 11

12

A

x

C

A

B C70°

10°

1080°

xD

1. D 2. E 3. A 4. C 5. A 6. C 7. B 8. C 9. D 10. D 11. A 12. B 13. C 14. D 15. C 16. D

ÇikmiŞ - pegem.net · 2014-04-22 · pozitif gerçel sayılar kümesi üzerinde ve ∆ işlemleri...

Documents