عشر  الثاني  الفصل     املرونة     

  ١۱٢۲-١۱ مقدمة

١۱٢۲-٢۲ االجهاد واالنفعال ١۱٢۲-٣۳ قانون هوك ١۱٢۲-٤ اجهاد القص ١۱٢۲-٥ التغير احلجمي ١۱٢۲-٦ طاقة االنفعال

     

1  

املقدمة١۱‐­-١۱   

: هي قابلية املادة للتشوه عند تأثير قوة خارجية عليها مع قدرة املرونةاملادة على استعادة وضعها االصلي بعد زوال السبب الذي أدى إلى

تشوهها . و للتشوه نوعان :

تشوه خاص بالسوائل و الغازات ( املوائع ) : حيث تنساب املادة حتت تأثير القوة اخلارجية املؤثرة عليها .

تشوه خاص باملواد الصلبة : وهو مرن في طبيعته و مؤقت - ضمن حد معني ملرونة املادة –)يزول التشوه بإزالة القوة املشوهة (  

 

Abeer Alghamdi 2  

Abeer Alghamdi 3  

تنقسم املواد من حيث القدرة على إسترجاع شكلها بعد إزالة السبب الذي أدى إلى

تشوهها إلى ثالثة أقسام:١۱-مواد تامة املرونة وهى املواد التى تستطيع أن تعود إلى شكلها وحجمها االصلي متاما

( وضعها األصلي) بعد زوال السبب الذي أدى إلى تشوهها.ً٢۲- مواد مرنه وهى املواد التى تستطيع أن تعود إلى وضع قريب جدا وضعها االصلي بعد

زوال السبب الذي أدى إلى تشوهها.٣۳- مواد غير مرنه وهى املواد التى ال تستطيع أن تعود إلى وضعها األصلي بعد زوال

السبب الذي أدى إلى تشوهها . فى هذه الفصل سوف نختص بدارسة املواد تامة املرونة.

١۱٢۲‐­-١۱املقدمة 

تعريف املادة املرنة:- هى املادة التى لها القدرة على إسترجاع شكلها األصلي بعد زوال

القوة املؤثرة عليها.-ترجع خاصية املرونه فى األجسام إلى القوى البينيه الكبيره بني

الذرات املكونه له. • ومن أمثلة املواد املرنة:

• اإلسفنج– كرة التنس – النابض 

4  

5  

  اإلجهاد  و  االنفعال   ١۱٢۲‐­-٢۲

Abeer Alghamdi

 عند التأثير بقوة على املواد املرنة فانها تقع حتت إجهاد ينتج عنه إنفعال • ( تشوه) هذا اإلنفعال يكون إما بالزيادة فى طولها أو احلجم أو بالنقصان

وكذلك قد يكون هذا االنفعال تغير فى الشكل. أنواع اإلجهاد:

اجهاد طولى - اجهاد حجمى - اجهاد قص أنواع اإلنفعال:

انفعال طولى - انفعال حجمى - انفعال قص

! = !! !!!!!!!/!

! !

6  Abeer Alghamdi

اإلجهادتعريف    stres :stresS

هو القوة املؤثرة عموديا على وحدة املساحات. ويعطى بالعالقة التالية:

 

.املرونة  حد  اإلجهاد  يتجاوز  ال  أن  يشترط     حيث : F هى القوة و A مساحة مقطع املادة.

:IS نيوتنو يقاس بالوحدات العاملية متر٢۲  /  

  االجهاد     -­‐١۱

7  

���طوليإجهاد Tensile  Stress  

 عندما تؤثر القوه على أبعاد جزيئات اجلسم • باجتاه عامودي. املرن  

 مثل وضع سلك مشدود حتت تأثير قوتني •متساويتني ومتضادتني وتعمالن على

(a)أو إستطالة السلك(b)ضغطه .   :يعرف اجهاد الطولي•  

بأنه القوة التى تؤثر عاموديا على وحدة املساحات بإجتاه االنفعال الطولى احلادث.

! = !! !!!!!!!/!

! !

���Shearing Stress (سطحي)إجهاد قصي  

   و  السطح  على  تؤثر  قصية  مماسية  قوة  هي•   حد  مراعاة  مع  شكله  تغير  إلى  تؤدي  التي   املرونة  .

 إذا أثرت قوة على سطح مكعب يؤدي هذا •إلى تغير شكله إلى متوازى مستطيالت أي أن اجلسم حدث لها قص كما في الشكل.

يعرف اجهاد القص : هو القوة املماسية للسطح و املؤثرة على وحدة

املساحة.

8  

���Bulk Stress إجهاد حجمي :يعرف االجهاد احلجمي 

القوة التي تؤثر على وحدة املساحات من السطح الكلى للجسم أو يعرف بأنه في  الزيادة  .ΔP الزيادة في الضغط  

.املرونة  حد  اإلجهاد  يتجاوز  ال  أن  يشترط   فإذا فرضنا أن القوة الكلية التى حتدث " إنضغاطا " فى اجلسم املرن تساوى F وأن املساحة الكلية للجسم التى تؤثر فيها بانتظام هى A حيث تعمل القوى على تغير حجم اجلسم.

،فإن اإلجهاد احلجمى فى هذه احلالة يساوى:  

وميكن أن نحقق هذه احلالة عمليا، إذا غمرنا مكعب مثال فى سائل على عمق كبير، حيث تؤثر على سطح املكعب فى جميع االجتاهات قوة تسمى بالضغط الهيدروستاتيكى للسائل.

ويسمى أحيانا اإلجهاد احلجمى باإلجهاد االنضغاطى.9  

! = !! = ∆!!!!!!!/!! !

10  Abeer Alghamdi

   Strain االنفعال     -­‐٢۲ يعرف االنفعال بـ

١۱- إستجابة املادة للقوة املؤثرة عليها قد يكون تغير فى الطول أو احلجم أو الشكل.

التغير النسبي احلادث في أبعاد املادة , أو التغير فى الطول بالنسبة إلى  -­‐٢۲ أو التغير فى احلجم بالنسبة للحجم أصلي .  االصليالطول  

بالتغير الطارئ على وحده البعد الذى يطرأ ويقاس اإلنفعال احلادث للجسم

عليه التغير سواء كان هذا البعد طوال أو حجما أو زاوي

 نالحظ هنا أن االنفعال ليس له وحدة النه نسبة بني طولني أو حجمني.  •

11  Abeer Alghamdi

الطولي  االنفعال١۱‐­-   

بنيهو النسبة L 0 إلى الطول األصل ΔL التغير في الطول    

h  

12  Abeer Alghamdi

لو فرضنا أن مكعبا من املطاط املرن، طول ضلعه L م قد ثبت سطحه السفلى تثبيتا محكما فى سطح املنضدة، ثم أثرنا على سطحه األعلى بقوة سطحية.

 X املتحققةيعرف االنفعال القصي بـ النسبة بني اإلزاحة الركن  عند   A إلى   

طول  :h        

θ بالزاوية نصف قطرية و تسمى زاوية القص. وتعرف   عندما تكون الزاوية صغيرة فإن ظل الزاوية يساوى الزاوية نفسها أى أن

سطحي  (قصي  انفعال٣۳‐­-   (

13  Abeer Alghamdi

حجمي٢۲‐­-انفعال   

إلى  ΔV احلجم  في  التغير  بني  النسبة  هو   األصلي  احلجم  V  0  

! = ∆!!! = ! − !!

!! !

14  Abeer Alghamdi

كما فى الشكل السابق إذا أثرنا على سلك طولة L بقوة F فإنه يحدث له إستطالة مقدارها x وكلما زادت القوة تزداد معها

وتكتب بالشكل التالى اإلستطالةاإلستطالة أى أن القوة دالة فى  . F(x)  

ينص قانون هوك :"يتناسب اإلنفعال احلادث فى املادة املرنة، تناسبا طرديا مع اإلجهاد

الذى يؤثر فيها، بشرط أال تتعدى املادة حدود مرونتها".  وبهذا ميكن التعبير عن قانون هوك رياضيا، كما يلى:  •

اإلجهاد= ثابت ×اإلنفعال  

F(x)=-­‐kx   حيث :  

 K يسمى بثابت القوة للمادة أو ثابت هوك

 Hook’s  Law   ١۱٢۲‐­-٣۳قانون  هوك 

15  

اإلذعان  نقطة   أو     املرونة  حد  

Y     التناسب  حد  

نقطة   االنكسار  

E  N  

 Hook’s  Law   قانون  هوك  االستطالة  و  الثقل  بني  بيانيا  العالقة  ) املواد  وتصنيف)  واالنفعال  االجهاد  بني  العالقة  أو   

16  Abeer Alghamdi

البياني  التمثيل  شرح  :• املرحلة األولى 0E مرحلة املرونة وفيها تخضع املادة إلى قانون هوك ) حيث االنفعال

يتناسب طرديا مع االجهاد ( وحتتفظ فيها املادة بكامل مرونتها ويكون لديها القدرة التناسبالتامة على استرجاع شكلها األصلي وتسمى النقطة E بحد .

• املرحلة الثانية مرحلة اللدانة EY وفيها ال تستطيع املادة استرجاع كامل شكلها االصلي ولكن يحدث تشوهات قليلة فى شكل املادة بعد زوال القوة املؤثرة عليها.

• املرحلة الثالثة مرحلة اإلذعان YC وفيها نالحظ زيادة االنفعال رغم ثبوت االجهاد وفى هذه املرحلة ال تخضع املادة إلى قانون هوك و ال تستطيع املادة استرجاع شكلها

االصلي بعد زوال القوة املؤثرة عليه.• املرحلة الرابع مرحلة القطع CN وفى هذه املرحلة حتدث تشوهات كبيرة فى املادة

تؤدى فى النهاية إلى القطع أو االنكسار.  

       

Abeer Alghamdi 17  

  : إذا جتاوزت القوى املؤثرة على اجلسم الصلب هذا احلد – حد املرونة • مهما كان نوعه – أكسبته تشوها دائما

  : مقدار التشوه احلاصل في االجسام املرنة(استطالة أو قانون هوك • انضغاط أو قص) يتناسب طرديا مع القوة املؤثرة ضمن حد املرونة.

تصنيف املواد حسب استجابتها للقوى اخلارجية :  Ductile  Materials :١۱ـ املواد القابلة للسحب

اتزان  مواقع  حول  تهتز  و  قليال  جزئياتها  تتباعد  لقوة  املادة  تتعرض  عندما   اخلارجية  القوة  زوال  وعند  جتاذب  قوة  تربطها  و  جديدة   جزئيات  تعود    األصلي  توازنها  مواقع  إلى  املادة    .   واملطاط  احلديد  و  النحاس:  أمثلتها  من     :القصيفة  املواد٢۲‐­-   Br=leMatrials  

اخلاصية  متتلك  ال  املرونة  حد  جتاوز  عند  الكسر  إلى  املواد  هذه  تتعرض   اللدنة    . الزجاج  أمثلتها  من      

18  Abeer Alghamdi

  معامالت  املرونة 

 يتناسب االنفعال مع االجهاد املسبب له تناسباً طرديا , تسمى هذه النسبة مبعامل املرونة. •  معامل املرونة = االجهاد / االنفعال •

 يقاس بنفس وحدة االجهاد. •  تنقسم معامالت املرونة إلى ثالث أقسام تعتمد فيه على حسب أنواع االجهاد و االنفعال:  •

القصي  

19  Abeer Alghamdi

االنفعال فى مرحلة املرونة االجهاداكتشف العالم يوجن أن النسبة بني   للمادة املرنة تساوي دائما مقدارا ثابتا للمادة الواحدة.

 مبعنى أن احلديد له قيمة مميزة عن النحاس عنه فى الذهب و هكذا , • سمى هذه النسبة مبعامل ينج ويكتب على الشكل التالى:

s(ويعرف فى بعض الكتب مبعامل ينج الطولى ) معامل ينج Y حيثاإلجهاد , e االنفعال , F القوة , A مساحة مقطع املادة , Lطول املادة

األصلي, ΔL التغير فى الطول.

معامل  املرونة  الطولي)   ) معامل  يوجن   -­‐١۱

20  Abeer Alghamdi

 و هو النسبة بني القوة املماسية املؤثرة على واحدة املساحة و زاوية • القص

الصالبة  معامل  أو  لقصيمعامل املرونة ا

! = !!!!=!!!ℎ= !!!!! !!!!!!!/!!!

21  Abeer Alghamdi

 هو املعامل الذي يربط بني ازدياد الضغط و نقص احلجم • املقابل له:

 االشارة السالب تدل على نقصان احلجم مع زيادة الضغط. • يعتمد هذا العامل على توزيع اجلزئيات ففي حالة اجلامد •

تكون كبيرة و صغيرة في حالة السائلة و أصغر في حالة الغاز.

 و يسمى مقلوب معامل املرونة احلجمي مبعامل • االنضغاطي)في الغاز يكون أكبر ماميكن(:

 

معامل املرونة احلجمي و معامل االنضغاطي

22  Abeer Alghamdi

 عند إجهاد أى جسم مرن تختزن به كميه من الطاقه ممكن إستخدامها •إذا رفع اإلجهاد عنها عند زوال القوة. وحتسب الطاقه ا{تزنه فى جسم

مرن أثناء إنفعاله من العالقه:   الطاقه ا{تزنه لوحدة احلجوم = ٠۰,٥ × اإلجهاد × اإلنفعال •

 طاقة االنفعال: الطاقة ا{تزنة لوحدة احلجم: •

طاقة  االنفعال

! = !! ∆! =

!!!"

!∆!!! !

!! =!∆!!

!! =!!!"!

املرونة  معامل   االنفعال   االجهاد  

واالنفعال  االجهاد  بني  النسبة   إستجابة املادة للقوة املؤثرة عليها  املساحات  وحدة  على  املؤثرة  القوة    

:يقيس مقاومة اجلسم يوجن  معامل الصلب للتغير في الطول 

أو  الطول  في  التغير  بني  النسبة   األصلي  الطول  إلى  االستطالة  

وحدة  على  عاموديا  املؤثرة  القوة   املساحات    

 فعريالت

 

وليالط

 Y=S/e=FL0/ΔLA   e=ΔL/L0   S=F/A  

ضياريا

 

يقيس مقاومة حركة املستويات املنزلقة فوق بعضها البعض 

واالرتفاع  احلاصلة  االزاحة  بني  النسبة   وحدة  على  تؤثر  التي  املماسية  القوة   املساحة    

فعريالت

 

حيسطال

)صيالق

 (  

G=Ss/es=Fh/XA=F/Aθ    

es=X/h=θ   Ss=F/A  

ضياريا

 

يقيس مقاومة اجلسم الصلب أو السائل للتغير في

احلجم 

إلى  احلجم  في  التغير  بني  النسبة   األصلي  احلجم  

القوة التي تؤثر على وحدة في  الزيادة   املساحات من السطح الكلى للجسم  أو يعرف بأنه الزيادة في الضغط 

ΔP.  

فعريالت

 

ميحلجا

 

B=S/e=-­‐ΔP/(ΔV/V0)   e=ΔV/V0   Ss=F/A=ΔP  

ضياريا

 

23  Abeer Alghamdi

24  Abeer Alghamdi

(١۱) مثال 

25  Abeer Alghamdi

26  Abeer Alghamdi

(٢۲) مثال 

27  Abeer Alghamdi

28  Abeer Alghamdi

(٣۳) مثال 

29  Abeer Alghamdi

30  Abeer Alghamdi

(٤) مثال 

31  Abeer Alghamdi

(٥) مثال 

32  Abeer Alghamdi

سلك من النحاس فى وضع رأسى طوله ١۱.٢۲ م و قطره ٠۰.٠۰٨۸٢۲م مثبت من طرفه العلوى و معلق فى نهاية طرفه األخر ثقل قدره 3.5 كيلوجرام.

أوجد قيمة: اإلجهاد املؤثر على السلك؟

اإلستطاله احلادثه فى طول السلك؟ اإلنفعال الناجت فى جسم السلك؟

وعجلة  N/m21.2 × 10 13 = مبعلومية أن معامل يوجن ملادة السلك اجلاذبيه األرضيه ٩۹.٨۸ م/ث

(٦) مثال 

33  Abeer Alghamdi

وضعت قطعه من النحاس عرضها 3 سم و طولها 4 سم وارتفاعها 4 سم

داخل اسطوانه من الصلب مملوءة بالزيت. فإذا ازداد ضغط الزيت من 1 ضغط يجوى الى 101 ضغط جوى . أوجد:

اإلجهاد  -­‐1 اإلنفعال  -­‐2

التغيرفى حجم قطعة النحاس. مبعلوميه أن معامل املرونه احلجمى للنحاس  3 يساوى  

13 10× 1.4 N/m2.  

(٧۷) مثال 

34  Abeer Alghamdi

على السطح العلوى ملستطيل من نيوتنأثرت قوه مماسيه قدرها ٠۰٤.٠۰   

الصلب ارتفاعه ٥سم و مساحة سطحه العلوى ١۱٥ سم٢۲. فإذا علم أن قاعدة املستطيل غير قابله للحركه أوجد:

١۱-إجهاد القص؟ ٢۲-انفعال القص؟

٣۳-االزاحه الناجته فى اجتاه القوه؟

(٨۸) مثال 

Abeer Alghamdi 35  

حل  ١۱٢۲‐­-٧۷ صفحة  أمثلة   ٣۳٧۷٧۷  

أمثلة رقم ٥,٦,٢۲,١۱