III. Функции нескольких переменных.

• Определение. Если каждой паре действительных чисел (x; y) из области D по определенному правилу ставится в соответствие только одно число z из области Е, то говорит, что на множестве D задана функция двух переменных z = z(x, y).

• Значение z(a; b) функции z = z (x, y) есть значение этой функции, вычисленное при x = a, y = b.

• Пример 1.

. Найти значение z в

т. М(1; -1).

23

2

5),(

yx

yxyxz

3

1

6

2

)1(51

)1(1)1;1(

23

2

z

• Пример 2. Найти область определения

функции . Такая функция вычисляется, если подкоренное выражение неотрицательно, т.е. 1 – x2 – y2 ≥ 0 x2 + y2 ≤ 1

221 yxz

Область есть указанный на рисунке круг.Область есть указанный на рисунке круг.

Определение. Частной производной функции z = z(x, y) по аргументу x называется производная этой функции по x, при постоянном y.

Обозначения:

Частные производные.

, .x

zz

x

• Аналогично, частной производной функции z = z(x, y) по аргументу y называется производная этой функции по y при постоянном x.

• Обозначения: .,y

zz y

• Из определения следует, что на момент дифференцирования функция z является функцией одной переменной и, следовательно, при нахождении частных производных справедливы обычные правила и формулы дифференцирования функций одной переменной.

• При дифференцировании полезна следующая таблица:

xx' = 1, xy' = 0

yy' = 1, yx' = 0

cx' = 0, cy' = 0, c – const

• Примеры.1. z = x3 – 3x2y + 2y3 + 1, zx', zy' - ?

zx' = (x3 – 3x2y + 2y3 + 1)x' =(y – const)

= (x3)x' – (3x2y)x' + (2y3)x' + 1x' =

= 3x2 - 3y · (x2)x' + 0 + 0 = 3x2 – 6xy

zy' = (x3 – 3x2y + 2y3 + 1)y' = (x – const)

= (x3)y' – (3x2y)y‘ + (2y3)y' + 1y' =

= 0 – 3x2 · yy' + 2(y3)y' + 0 = -3x2 + 6y2

2. z = xy, zx', zy' - ?

zx' = (xy)x' = yxy-1, zy' = (xy)y' = xylnx (y – const) (x – const)

Полный дифференциал• Пусть z=z(x, y), где x=x(u, v), y=y(u, v),

u и v – независимые переменные. Тогда частные производные сложной функции z = z(x(u, v), y(u, v)) = f(u, v) находятся по формулам:

(1)

(2)v

y

y

z

v

x

x

z

v

z

u

y

y

z

u

x

x

z

u

z

• Пример.

v

z

u

z

и Найти

.ey v),-ln(u xгде ,xz функция Дана vu

y

Найдем 6 частных производных, входящих вНайдем 6 частных производных, входящих вправые части равенств (1) и (2):правые части равенств (1) и (2):

v

u

v

u

vv

u

v

u

uv

u

vu

yy

yxx

y

ev

u

v

uee

v

y

vee

u

y

uvvuvuv

xvuvu

u

x

xxxy

zxyx

x

z

22

,

1

)()'( ,1

)'(

11))'(ln(1))'(ln(

ln)'( ,)'(

Эти 6 производных подставляются в (1) и (2):Эти 6 производных подставляются в (1) и (2):

(4) 2

1

(3) 1

ln1

ln11

v

uyx

v

uyx

exxv

uvuxy

v

z

exxvvuxy

u

z

В данные выражения подставлять В данные выражения подставлять x(u, v) x(u, v) и и y(u, v)y(u, v) и иупрощать их необязательно. В каждом конкретномупрощать их необязательно. В каждом конкретномслучае, когда необходимо вычислить случае, когда необходимо вычислить z’z’uu и и z’z’vv в в

т. т. М(хМ(х00; у; у00),), рациональнее предварительно вычислять х рациональнее предварительно вычислять х

и у в этой точке и полученные значения подставлять и у в этой точке и полученные значения подставлять в (3) и (4).в (3) и (4).

Частные производные высших порядков

• Частными производными второго порядка функции z=z(x, y) называются частные производные от частных производных первого порядка.

)('' ),(''

)('' ),(''

22

2

2

2

2

y

z

xxy

zz

x

z

yyx

zz

y

z

yy

zz

x

z

xx

zz

xyxy

yyxx

• Порядок дифференцирования указан в индексе пи прочтении слева направо.

• Последние две производные отличаются только порядком, называются смешанными и в случае их непрерывности равны.

ПримерПример..z = xz = x22-2xy-2xy22 Найти все частные производные Найти все частные производные 2-ого порядка и проверить равенство2-ого порядка и проверить равенство z’’z’’xyxy = z’’ = z’’yxyx

• Вначале найдем частные производные первого порядка:

z’x = (x2-2xy2)’x = 2x-2y2, z’y = (x2-2xy2)’y = -4xyТеперь z’’xx = (2x-2y2)’x = 2, z’’yy = (-4xy)’y = -4x

z’’xy = (2x-2y2)’y = -4y, z’’yx = (-4xy)’x = -4yНетрудно видеть, что z’’xy = z’’yx

Выполнение этого условия может служить критериемправильности нахождения частных производных 1-огопорядка и смешанных – 2-ого порядка.

Экстремум функции нескольких переменных

• Точка M(a; b) называется точкой максимума (минимума) функции Z(x , y), если существует такая окрестность точки M, что для всех других точек из этой окрестности

Z(x, y)<Z(a, b) (Z(x, y)>Z(a, b)) • Точки максимума и минимума функции

называются точками ее экстремума. Соответствующее значение функции есть экстремум.

Находить экстремум согласно определению в общем случае бессмысленно. Выделить из области определения функции конечное число точек, претендующих на точки экстремума, помогает необходимое условие экстремума.

• «Точками экстремума могут служить только критические точки, т.е. точки из области определения функции, в которых все ее частные производные 1-ого порядка обращаются в нуль, или не существует хотя бы одна из них».

• Выделить из множества критических точек точки экстремума позволяют достаточные условия экстремума. Укажем на 2 из них.

• Точками экстремума являются лишь те из критических точек, в окрестности которых приращение функции∆Z = Z(x, y) - Z(a, b) не меняет знака. При этом, если ∆Z>0 (∆Z<0), то критическая точка есть точка минимума (максимума).

I.

• Рассмотрим в критической точке М(a; b) дискриминант ∆=АС-В2, где А=z’’xx(a; b), C=z’’yy(a; b), B=z’’xy(a; b), или B=z’’yx(a; b).

Тогда:1) если ∆>0, то М(a; b) - точка экстремума, а именно

точка максимума при А<0 (или C<0) и точка минимума при A>0 (или C>0);

2) если ∆<0, то в точке М экстремума нет;3) если ∆=0, то требуется дополнительное

исследование.

II.

Найти экстремум функции z=y2-4y+x2

Найдем критические точки. Выпишем частные производные 1-ого порядка:

z’x=(y2-4y+x2)’x=2x

z’y=(y2-4y+x2)’y=2y-4

Приравниваем их к нулю:

Пример.Пример.

2) M(0; 2y 04-2y

0 x 0x2

- критическая - критическая точкаточка

Найдем дискриминант ∆=АС-В2. Для этого вначале вычислим частные производные 2-ого порядка:

z’xx=(2x)’x=2z’yy=(2y-4)’y=2

Из равных смешанных производных находят ту, которая получается проще, например, z’’xy:

z’’xy=(2x)’y=0

Производные существуют во всей Производные существуют во всей области определения.области определения.

Тогда A=z’’xx(0; 2)=2, C=z’’yy(0; 2)=2,B=z’’xy(0; 2)=0.

Дискриминант ∆=2·2-02=4>0 => М(0; 2) точка экстремума.

A=2>0 => М(0; 2) - точка минимума.Тогда zmin = z(0; 2) = 22 - 4·2 + 0 = -4

Ответ: zmin=-4