ii 10 1 deplacements

8/17/2019 II 10 1 Deplacements

1/17

II - 10Calculs des déplacements

[email protected] 5 décembre 2011

II – 10 - 1 - 2Calculs des déplacements

Calcul des déplacements Motivation Déformée due à la flexion

– équation différentielle et CL – intégration directe – intégrales de Mohr

Effet de l’effort tranchant Introduction aux systèmes hyperstatiques

– [Frey, T. II, Chap. 10 & 12]


2/17


Calcul des déplacements Motivation

– États Limites de Service (ELS)• limiter la déformabilité (les déplacements) des

structures• souvent, critère plus exigeant que celui de résistance

– Structures hyperstatiques• détermination des inconnues hyperstatiques


Déformée due à la flexion flexion simple plane axe initialement rectiligne, actions

perpendiculaires petits déplacements (linéarisation

géométrique) effets de M et de T dissociés on cherche l’équation de la déformée de l’axe

= ligne élastique


3/17


z y EI

M

R−=

1

( )"

'1

"1

23

2

y

y

y

R y≈

+=

Ligne élastique On a :

Or,

(***)

linéarisationgéométrique

EI

M y −="


Démonstration alternative Petits déplacements, petites rotations

ds

d

R

Rd ds

θ

θ

=

=

1

[Frey, 2000, Vol. 2]dxds petit ≈⇒≈⇒ 1cosθ θ

dx

dycar

dx

yd

dx

d

R==≈ θ

θ 2

21


4/17


Allongement des poutres fléchies

cos

0

dx u du u ds

u dx

du

θ + + = +

≈ +

⇓

≈

en petits déplacements,la portée d’une poutre fléchie ne varie pas[Frey, 2000, Vol. 2]


Équations différentielles des poutres fléchies

( )

( )

"

" '

" "

EIy M

dM EIy T car T

dx

dT EIy q car q

dx

= −

= − =

= = −

( )

EI

qy 4 =

Cas particulier : EI constant

équation différentielledu 4ème ordre


5/17


Conditions aux limites conditions sur y

– flèche imposée (appuis)

conditions sur y′ – rotation imposée (encastrement)

conditions sur y″ – moment fléchissant imposé (extrémité libre)

conditions sur y ′ ″

– effort tranchant imposé (extrémité libre)


Conditions aux limites

00

00

=′′′⇒=

=′′⇒=

yT

y M

00

0

=′′⇒=

=

y M

y

000

=′⇒== y yθ

d g

d g

y y

y y

′=′

=


6/17


Intégration directe

[Frey, 2000, Vol. 2]



[Frey, 2000, Vol. 2]


7/17



avantage

– on trouve y(x) en tout point

inconvénient

– en général, on cherche y et θ en quelques points

– → trouver une méthode de calcul plus adaptée


Remarques (1) cas de la flexion pure

– M = cste ⇒ y″= cste ⇒ y est une parabole – 1/R=-M/EI ⇒ y est un cercle – l’approximation vient de

– valable uniquement si les déplacements sontpetits

( )"

'1

"1

23

2

y y

y

R y≈

+=


8/17


Remarques (2) grands déplacements

– le principe de superposition n’est plus valable – les sollicitations dépendent de la configuration

déformée


Théorèmes des travaux virtuels T.V. : forces réelles - déplacements virtuels

T.V. : forces virtuelles - déplacements réels

( )i

V ijij

S i

n

iV

ii udV adS uT dV u f '''' ∀=+ ∫∫∫ τ

( )

( ) équilibreenT f

dV adS uT dV u f

ij

n

ii

V ijij

S i

n

iV

ii

',','

'''

τ

τ

∀

=+ ∫∫∫


9/17


Intégrales de Mohr choisir les forces et les contraintes virtuelles

en équilibre en plaçant une force unitaire dansle sens du déplacement cherché

δ = déplacement cherché

( ) δ 1'' ∫∫ =+ S in

iV

ii dS uT dV u f


Contribution de M

( )

dx EI

MM

dxdA y EI

MM

dV EI

My

I

y M dV a

L

A L

V V

ijij

∫

∫∫

∫∫

=

=

=

'

'

''

2

2

τ


10/17


Contribution de N

( )

dx EA

NN

dxdA EA

NN

dV EA

N

A

N dV a

L

A L

V V

ijij

∫

∫∫

∫∫

=

=

=

'

'

''

2

τ


Contribution de T

dxGA

TT

dxdAb

S

I

A

GA

TT

dV GIb

TS

Ib

S T dV a

L

A L

V V

ijij

∫

∫∫

∫∫

=

=

=

'

'

''

2

2

2

χ

τ χ= facteur de correction


11/17


Intégrale de Mohr

dxGA

TT

EA

NN

EI

MM

L

∫

++=

''' χ δ

moment fléchissantdû aux actions réelles

moment fléchissant dû à une forceunitaire placée au point où l’oncherche le déplacement dans ladirection et le sens de celui-ci

En général,

dx EI

MM

L∫

=

'δ

Calculs pratiques

dx M M L

L

∫ ′′′1

Tableau de


12/17

A

Aflèche en A

EI8qLL

2qL

41

EIL

42

==δ

M

2

qL2

M ′L

Exemple 1a:

déplacement


Exemple 1b : rotation

rotation en A

EI

qLqL

EI

L

6123

1 32

==θ

AM

2

qL2

M ′1


13/17


Exemple 2

EI

qL

384

5

4

L

8

qL

34

1

2

11

EI

Ly

42

max =−+

=

[Frey, 2000, Vol. 2]


Effets thermiques élévation uniforme de température

– ∆T = Taprès - Tavant gradient thermique (constant)

– ∆T´/h

T x ∆=α ε

yh

T x

′∆=α ε

∆T

−∆T′ /2

∆T′ /2

h/2

h/2


14/17


Effets thermiques contribution du gradient thermique

contribution de l’élévation uniforme

dx M h

T

dV yh

T

I

y M dV a

L

V V

ijij

∫

∫∫

′∆=

′∆=

'

''

α

α τ

dxTN

dV T A

N dV a

L

V V

ijij

∫

∫∫

∆=

∆=

'

''

α

α τ


Intégrale de Mohr

dx N T dx M

h

T

dxGA

TT dx

EA

NN dx

EI

MM

L L

L L L

''

'''

∫∫

∫∫∫

∆+′∆

+

++=

α α

χ δ


15/17


Effet de l’effort tranchant

GB

TGA

T

=

= χ γ

χ AB =

aire réduite [Frey, 2000, Vol. 2]


La contribution additionnelle due à T estdonnée par

La ligne élastique est solution de

dx

dT

GAy

GA

Ty χ =′′⇒=′

Effet de T : équation différentielle

GA

q

EI

M

y χ −−=′′


16/17


poutre isostatique sur 2 appuis, charge quniforme

section rectangulaire en acier

+=+=

==

2

24

TM

2

T

4

M

L

h5,21

EI

qL

384

5yyy

qGA8

Ly;

EI

qL

384

5y χ

Effet de T : exemple

12h

AI;

56 2== χ 6,2G

E;3,0 ==υ

↑↑⇒≈⇒=y

y

L

h%5,2

y

y

10

1:

L

h TT


Effet de T : aires réduites

[Frey, 2000, Vol. 2]


17/17


Gauchissement entravé résultats valables si la poutre est libre de

gauchir OK si T varie continûment

[Frey, 2000, Vol. 2]


Intro aux systèmes hyperstatiques illustration sur un système 1x hyperstatique

(a) ≡ (b) (b) = superposition charge répartie + réaction

3

4 2 A

L qL

EI

δ =flèche due à q

2

3 A A

L X L

EI δ = −flèche due à XA 8

qL3XA =

[Frey, 2000, Vol. 2]

ii 10 1 deplacements

Documents