An|elka Nikoli}, Marina Jovanovi}

IGRA BROJEVA I OBLIKA 3Matematika za 3. razred osnovne {kole

PRIRU^NIK ZA U^ITEQE

IGRA BROJEVA I OBLIKA 3

Matematika za 3. razred osnovne {kole

priru~nik za u~iteqe

prvo izdawe

Autorke: An|elka Nikoli}, Marina Jovanovi}

Recenzenti: dr Branislav Popovi}, docent, Prirodno-matemati~ki fakultet u Kragujevcu

dr Nada Kora}, profesor, U~iteqski fakultet u Beogradu,

Prirodno-matemati~ki fakultet u Novom Sadu

Qiqana Jovanovi}, profesor razredne nastave,

O[ „Jovan Sterija Popovi}” u Novom Beogradu

Grafi~ko oblikovawe: Branka Milo{evi}

Lektura: mr Goran Zeqi}, Marija \or|evi}

Izdava~: Izdava~ka ku}a „Klett“, d.o.o.

Svrtozara ]orovi}a 15, 11 000 Beograd

Tel.: 011/3348-384, faks: 011/3348-385

office@klett.rs, www.klett.rs

Za izdava~a: Gordana Kne`evi}-Orli}

Urednik: Aleksandar Rajkovi}

Zabraweno je reprodukovawe, distribucija, objavqivawe, prerada ili druga upotreba ovog autorskog dela ili

wegovih delova u bilo kom obimu ili postupku, ukqu~uju}i fotokopirawe, {tampawe ili ~uvawe u elektron-

skom obliku, bez pismene dozvole izdava~a. Navedene radwe predstavqaju kr{ewe autorskih prava.

SADR@AJ

1. Uvod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2. Nastavni program obrazovawa i vaspitawa

za tre}i razred osnovnog obrazovawa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.1. Uvodna napomena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.2. Svrha, ciq i zadaci programa obrazovawa i vaspitawa . . . . . . . . 7

2.3. Matematika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.4. Matematika za tre}i razred . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.4.1. Operativni zadaci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.4.2. Sadr`aj programa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.4.3. Na~in ostvarivawa programa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.4.4. Osnovni zahtevi u pogledu matemati~kih

znawa i umewa u~enika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3. Sadr`aj radnog uxbenika: Igra brojeva i oblika 3. . . . . . . . . . . . . . . . . 17

4. Metodi~ke napomene autora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

4.1. Uvodne napomene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

4.2. Aritmetika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

4.2.1. Obnavqawe gradiva drugog razreda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

4.2.2. Sabirawe i oduzimawe brojeva do 1000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

4.2.3. Rimske cifre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

4.2.4. Mno`ewe i deqewe brojeva do 1000. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4.2.5. Jedna~ine i nejedna~ine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

4.2.6. Razlomci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

4.3. Geometrija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

4.3.1. Krug i kru`nica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

4.3.2. Prava, poluprava i du` . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4.3.3. Mnogougao i ugao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

4.3.4. Pravougaonik, kvadrat i trougao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

4.3.5. Simetrija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4.4. Mere i merewa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4.4.1. Mere i merewe du`ine. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4.4.2. Mere i merewe mase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4.4.3. Mere i merewe zapremine te~nosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4.4.4. Mere i merewe vremena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4.5. Prostor za komentare korisnika radnog uxbenika . . . . . . . . . . . 39

1. Uvod

Ispisuju}i stranice ovog radnog uxbenika, imale smo u vidu, s jedne

strane, nastavne sadr`aje matematike koji se iz prethodnih razreda

pro{iruju i produbquju, a sa druge strane dete od devet godina i na~in na

koji ono pri hvata nove pojmove i sadr`aje.

Da bismo povezale i jedno i drugo, potrudile smo se da nastavne sadr`aje

prilagodimo uzrastu jednog tre}aka, ali da ga istovremeno edukujemo, usme-

rimo ka istra`ivawima, navedemo na posredna i neposredna zakqu~ivawa i

ubedimo da je dovoqno dorastao tim pojmovima i da nije te{ko mani -

pulisati wima.

Ovaj put istra`ivawa i saznavawa izuzetno je te`ak i zahtevan, zato bez

pomo}i u~iteqa mo`e biti jo{ te`i i komplikovaniji.

Zbog toga bi ovaj uxbenik trebalo da poslu`i i u~eniku i u~itequ kao

neophodna pomo} u nastavi, odnosno kao planerski mehanizam koji bi pomo-

gao u kvalitetnijem obrazovawu dece.

Drugim re~ima, namera nam je bila da po{tujemo programske i nastavne

standarde, ali i da zadovoqimo potrebu devetogodi{weg deteta za dozi r a -

nim znawem. Osim toga, imale smo `equ da doprinesemo razvoju deteta u

kreativnom smislu i da potpomognemo da se to dete razvije u osobu koja }e

celog `ivota usvajati znawa i vrednovati profesionalni razvoj.

Deca u ovom periodu sredweg detiwstva imaju sposobnost objektivnog

posmatrawa, pa je samim tim i wihova analiti~nost mnogo ve}a nego u prva

dva razreda. Oni shvataju kvalitet odre|enog predmeta (veli~ina, oblik,

boja, prostor...), kao i odnose me|u samim predmetima. Kona~no, ovo je peri-

od u kojem oni mogu da shvate da istu pojavu ili predmet mo`emo sagledavati

iz vi{e uglova, a da pri tom budu svesni da taj predmet i ta pojava u osnovi

ostaju isti. Osim toga, ovo je period u kojem oni imaju ve} dovoqno rutine

i iskustva u re{avawu zadataka.

To su sve uslovi za razvoj pam}ewa koje treba podsticati i usmeravati. To

ne mo`e u~initi samo uxbenik bez pomo}i u~iteqa. Zato u~enika treba ista}i

u prvi plan, tako {to }emo mu dozvoliti da bude slobodan (u u~ewu, u sarad-

wi sa vr{wacima i u odnosu sa u~iteqom), da sam istra`uje, da gre{i i da se

ispravqa, da zakqu~uje i shvata odnose da bi se osposobio za samostalan rad.

Ovo je radni uxbenik koji podr`ava takvog |aka i u~iteqa koji }e da ga

ohrabri i usmeri, da ga podu~i i da posreduje izme|u gradiva na~ina

razmi{qawa |aka, individualnih i kulturnih razlika, ali i razvojnih

potreba. U~iteq mora dokazati |aku da je on (u~enik) subjekat nastave i da

wegov ciq nije da ga nau~i samo re{avawu zadataka, ve} i da otkrije {to

vi{e kvaliteta wegove li~nosti.

5

Zbog toga je ovaj uxbenik delom zami{qen kao razgovor nekoliko vr{wa -

ka, koji raspravqaju o matemati~kim problemima; jedni druge upu}uju na

izvore znawa, sara|uju i izvode zakqu~ke.

Poku{ale smo da izbegnemo samo uokvirena i obojena definisawa, koja

kod u~enika izazivaju nesvrsishodno mehani~ko u~ewe. Ciq je da oni defi-

ni{u stvari, da ih zapa`aju i zakqu~uju, jer je to siguran put do osamostaqi-

vawa. Zato mislimo da je sugestivnost ovog radnog uxbenika jedna od wego -

vih bitnih karakteristika.

S jedne strane, ova kwiga ima za ciq da pomogne u~itequ da kreativno

usmeri decu ka logi~kom stvarala{tvu, i s druge strane – da u~eniku koji

sam istra`uje pru`i pomo} u radu. Polaze}i od toga da se matematika pre

svega shvata i razume a ne „u~i’’, ponudile smo niz zadataka i zahteva koji }e

u~enici re{iti sopstvenim radom i istra`ivawem uz pomo} u~iteqa.

Matematika, osim ta~nih rezultata, nosi i zadovoqstvo postizawa rezul-

tata i ja~awe samopo uzdawa dece. Tako }e najsigurnije biti na putu da

izgrade mi{qewe i da steknu znawa koja }e primeniti u konkretnim

situacijama.

Podrazumevamo da }e savesni i kreativni u~iteqi povremeno i}i i daqe

i dubqe u pojedinim datim temama. Oni }e to znati da procene.

[to se ti~e ovog priru~nika za u~iteqe, u wemu }e biti prokomen-

tarisane osnovne namere koje smo imale pri re{avawu nekih metodi~kih

problema. Tako|e, dajemo i neke sugestije za razradu pojedinih primera.

Smatrale smo korisnim da u Priru~niku bude i materijal Ministarstva

prosvete i sporta koji se odnosi na tre}i razred i matematiku posebno, jer

je to bila polazna ta~ka za pisawe ovog radnog uxbenika.

Svima puno sre}e u radu!

Autorke

6

2. NASTAVNI PROGRAM OBRAZOVAWA

I VASPITAWA ZA TRE]I RAZRED

OSNOVNOG OBRAZOVAWA

2.1. Uvodna napomena

Kako je osnov za pisawe ovog radnog uxbenika bio materijal Mini -

starstva prosvete i sporta Republike Srbije koji se odnosi na tre}i razred,

smatrale smo da on svakako mora biti deo ovog priru~nika. U wemu su date

op{te preporuke za obradu pojedinih tema, kojih smo se u najve}oj meri (pot-

puno) pridr`avale. Konkretne komentare na na{a re{ewa pojedinih meto-

di~kih problema i predloge razrade nekih primera koje smo u radnom

uxbeniku navele da}emo u drugom delu ovog priru~nika.

2.2. Svrha, ciqevi i zadaci programa obrazovawa i vaspitawa

Svrha programa obrazovawa

- Kvalitetno obrazovawe i vaspitawe, koje omogu}ava sticawe jezi~ke,

matemati~ke, nau~ne, umetni~ke, kulturne, zdravstvene, ekolo{ke i infor-

mati~ke pismenosti, neophodne za `ivot u savremenom i slo`enom

dru{tvu.

- Razvijawe znawa, ve{tina, stavova i vrednosti koje osposobqavaju

u~enika da uspe{no zadovoqava sopstvene potrebe i interese, razvija sop-

stvenu li~nost i potencijale, po{tuje druge osobe i wihov identitet,

potrebe i interese, uz aktivno i odgovorno u~e{}e u ekonomskom, dru{tve -

nom i kulturnom `ivotu i doprinosi demokratskom, ekonomskom i kul-

turnom razvoju dru{tva.

Ciqevi i zadaci programa obrazovawa jesu:

- razvoj intelektualnih kapaciteta i znawa dece i u~enika nu`nih za

razumevawe prirode, dru{tva, sebe i sveta u kome `ive, u skladu sa wihovim

razvojnim potrebama, mogu}nostima i interesovawima;

- podsticawe i razvoj fizi~kih i zdravstvenih sposobnosti dece i

u~enika;

- osposobqavawe za rad, daqe obrazovawe i samostalno u~ewe, u skladu sa

na~elima stalnog usavr{avawa i na~elima do`ivotnog u~ewa;

- osposobqavawe za samostalno i odgovorno dono{ewe odluka koje se

odnose na sopstveni razvoj i budu}i `ivot;

- razvijawe svesti o dr`avnoj i nacionalnoj pripadnosti, negovawe

srpske tradicije i kulture, kao i tradicije i kulture nacionalnih mawina;

7

- omogu}avawe ukqu~ivawa u procese evropskog i me|unarodnog povezi-

vawa;

- razvijawe svesti o zna~aju za{tite i o~uvawa prirode i `ivotne sredine;

- usvajawe, razumevawe i razvoj osnovnih socijalnih i moralnih vredno -

sti demokratski ure|enog, humanog i tolerantnog dru{tva;

- uva`avawe pluralizma vrednosti i omogu}avawe, podsticawe i izgrad-

wa sopstvenog sistema vrednosti i vrednosnih stavova koji se temeqe na

na~elima razli~itosti i dobrobiti za sve;

- razvijawe kod dece i u~enika radoznalosti i otvorenosti za kulture

tradicionalnih crkava i verskih zajednica, kao i etni~ke i verske toleran-

cije, ja~awe poverewa me|u decom i u~enicima i spre~avawe pona{awa koja

naru{avaju ostvarivawe prava na razli~itost;

- po{tovawe prava dece, qudskih i gra|anskih prava i osnovnih sloboda

i razvijawe sposobnosti za `ivot u demokratski ure|enom dru{tvu;

- razvijawe i negovawe drugarstva i prijateqstva, usvajawe vrednosti

zajedni~kog `ivota i podsticawe individualne odgovornosti.

2.3. Matematika

Ciq i zadaci

Ciqevi nastave matematike u osnovnoj {koli jesu:

- da u~enici usvoje elementarna matemati~ka znawa koja su potrebna za

shvatawe pojava i zavisnosti u `ivotu i dru{tvu;

- da osposobi u~enike za primenu usvojenih matemati~kih znawa u

re{avawu raznovrsnih zadataka iz `ivotne prakse, za uspe{no nastavqawe

matemati~kog obrazovawa i za samoobrazovawe;

- da doprinose razvijawu mentalnih sposobnosti, formirawu nau~nog

pogleda na svet i svestranom razvitku li~nosti u~enika.

Zadaci nastave matematike jesu:

- da u~enici sti~u znawa neophodna za razumevawe kvantitativnih i

prostornih odnosa i zakonitosti u raznim pojavama u prirodi, dru{tvu i

svakodnevnom `ivotu;

- da u~enici sti~u osnovnu matemati~ku kulturu potrebnu za otkrivawe

uloge i primene matematike u razli~itim podru~jima ~ovekove delatnosti

(matemati~ko modelovawe) za uspe{no nastavqawe obrazovawa i

ukqu~ivawe u rad;

- da razvija u~enikovu sposobnost posmatrawa, opa`awa i logi~kog,

kriti~kog, stvarala~kog i apstraktnog mi{qewa;

- da razvija kulturne, radne, eti~ke i estetske navike u~enika, kao i

matemati~ku radoznalost u posmatrawu i izu~avawu prirodnih pojava;

- da u~enici sti~u naviku i obu~avaju se u kori{}ewu raznovrsnih izvo-

ra znawa;

8

9

- da u~enicima omogu}i razumevawe odgovaraju}ih sadr`aja prirodnih

nauka i doprinese radnom i politehni~kom vaspitawu i obrazovawu;

- da izgra|uje pozitivne osobine u~enikove li~nosti, kao {to su: istino-

qubivost, upornost, sistemati~nost, urednost, ta~nost, odgovornost,

smisao za samostalni rad;

- da interpretacijom matemati~kih sadr`aja i upoznavawem osnovnih

matemati~kih metoda doprinese formirawu pravilnog pogleda na svet i

svestranom razvitku li~nosti u~enika;

- da u~enici sti~u sposobnost izra`avawa matemati~kim jezikom,

jasno}u i preciznost izra`avawa u pismenom i usmenom obliku;

- da u~enici usvoje osnovne ~iwenice o skupovima, relacijama i pre -

slikavawima;

- da u~enici savladaju osnovne operacije s prirodnim, celim, racional-

nim i realnim brojevima, kao i osnovne zakone tih operacija;

- da u~enici upoznaju najva`nije ravne i prostorne geometrijske figure

i wihove uzajamne odnose;

- da osposobi u~enike za preciznost u merewu, crtawu i geometrijskim

konstrukcijama.

2.4. Matematika za tre}i razred

2.4.1. OPERATIVNI ZADACI

U~enici treba da:

- savladaju ~itawe, pisawe i upore|ivawe prirodnih brojeva do 1000;

- upoznaju rimske cifre (I, V, X, L, C, D, M) i princip ~itawa i pisawa

brojeva pomo}u wih;

- uspe{no obavqaju sve ~etiri ra~unske operacije do 1000;

- upoznata svojstva operacija koriste za racionalnije (lak{e) ra~unawe;

- upoznaju zavisnost rezultata od komponenata operacije;

- znaju da izra~unaju vrednost brojevnog izraza sa najvi{e tri operacije;

- umeju da pro~itaju i zapi{u pomo}u slova svojstva ra~unskih operacija;

- znaju da odrede vrednost izraza sa slovima iz date vrednosti slova;

- znaju da re{avaju jednostavnije jedna~ine u skupu brojeva do 1000;

- upoznaju i pravilno zapisuju razlomke ~iji je brojilac 1, a imenilac

mawi ili jednak 10;

- uspe{no re{avaju tekstualne zadatke;

- formiraju predstave o pravoj i polupravoj;

- uo~avaju i umeju da crtaju prav, o{tar i tup ugao;

- znaju da crtaju paralelne i normalne prave, kvadrat, pravougaonik,

trougao i kru`nicu (pomo}u lewira, trougaonika i {estara);

- sti~u predstave o podudarnosti figura (preko modela i crtawa);

- znaju da odrede obim pravougaonika, kvadrata i trougla;

- upoznaju merewe mase tela i zapremine te~nosti, kao i nove jedinice za

vreme (godina, vek).

2.4.2. SADR@AJI PROGRAMA

Blok brojeva do 1000

Dekadno zapisivawe i ~itawe brojeva do 1000. Upore|ivawe brojeva

prema wihovim dekadnim zapisima. Pisawe brojeva rimskim ciframa.

Sabirawe i oduzimawe brojeva u bloku do 1000. Deqewe sa ostatkom u

bloku brojeva do 100 (ukqu~uju}i i usmene ve`be). Mno`ewe i deqewe tro-

cifrenog broja jednocifrenim.

Izrazi. Kori{}ewe zagrada i wihovo izostavqawe. Svojstva ra~unskih

operacija i wihova primena na transformisawe izraza i za ra~unske

olak{ice.

Upotreba znakova za skup i pripadnost skupu: { , }, Î.

Jedna~ine oblika poput: x ± 13 = 25, 125 – x = 25, 5 ± x = 225.

Nejedna~ine oblika poput: x > 15, h < 245. Skup re{ewa nejedna~ine.

Tekstualni zadaci.

Razlomci oblika __ (a = 10).

Geometrijski objekti i wihovi me|usobni odnosi

Kru`nica (kru`na linija) i krug. Crtawe pomo}u {estara. Ugao. Vrste

uglova – o{tar, prav, tup. Paralelne i normalne prave i wihovo crtawe

pomo}u obi~nog i trougaonog lewira.

Pravougaonik i kvadrat. Trougao. Crtawe ovih figura pomo}u lewira i

{estara.

Pore|ewe i grafi~ko nadovezivawe du`i. Obim pravougaonika, kvadra-

ta i trougla.

Merewe i mere

Milimetar i kilometar. Kilogram. Litar. Godina i vek. Odnosi izme|u

mawih i ve}ih jedinica koji ostaju u okviru bloka brojeva do 1000.

10

1a

11

2.4.3. NA^IN OSTVARIVAWA PROGRAMA

Zbog lak{eg planirawa nastave daje se orijentacioni predlog ~asova po

temama po modelu (ukupno: ~asova za temu; ~asova za obradu, ~asova za po -

navqawe i uve`bavawe).

Blok brojeva do 1000 (138; 54 + 84)

Geometrijske figure i wihovi me|usobni odnosi (32; 12 + 20)

Merewe i mere (10; 4 + 6)

Glavna odlika programa matematike za mla|e razrede jeste {to su akcen-

tovani opa`ajni pojmovi, koji se stvaraju kroz dobro planiranu aktivnost.

Skupovi. Izdvajawem grupa objekata, koji se posmatraju kao samostalne

celine, planski se sistematizuje didakti~ki materijal. Da bi imenovawe

ovakvih raznovrsnih celina i wihovih objekata bilo jednoobraznije i da bi

se time podsticala apstrakcija, predvi|a se aktivna upotreba re~i skup i

elemenat, bez poku{aja da se ideja skupa u~ini eksplicitnom. Pri izdva-

jawu skupova vodi se ra~una o tome da je na neki detetu dostupan na~in jasan

kqu~ po kojem je izvr{eno izdvajawe i time je u wegovoj svesti potpuno

odre|ena realizacija pripadnosti.

Tako|e, treba u raznovrsnim primerima i zadacima koristiti simbole

za skup i pripadnost elementa skupu.

Grafi~ko predstavqawe raznih stvarnih situacija pomo}u Venovih dija-

grama (i na druge prikladne na~ine) ima izvanrednu saznajnu ulogu: isti-

cawe bitnog i zanemarivawe nebitnog, razvijawe „didakti~ke pismenosti”

i osposobqavawe deteta za svrsishodno mi{qewe. Istovremeno, time se ost-

varuju razne korespondencije, {to aktivno za~iwe i podsti~e razvoj ideje o

funkciji. Zbog toga se ~esto predvi|a kori{}ewe dijagramskih slika i rad

sa wima – spajawe, preslagawe elemenata i sl.

Dijagramske slike treba koristiti i u predstavqawu linija. Na podesan

vizuelan na~in ili kroz prigodan jezik treba isticati svojstva relacije,

zahtevaju}i pri tome da ih u~enici i sami uo~avaju, ispravno predstavqaju

i u tom smislu sa wima aktivno rade. Pri tome je izli{no prerano insi -

stirawe na terminima koji izra`avaju svojstva relacija, kao i na

odre|ivawu pojmova putem definicija.

Brojevi. Program matematike u razrednoj nastavi predvi|a da u~enici

postupno upoznaju brojeve prirodnog niza i broj nulu kako bi na kraju IV

razreda u potpunosti savladali sistem prirodnih brojeva i wegova svojstva.

Operacije s brojevima, u duhu ovog programa, treba shvatiti po slede}em

planu: izdvajati pogodne prirodne i didakti~ki pripremqene situacije

koje daju zna~ewe operacijama i brojevima uz isticawe nepromenqivosti

rezultata.

Deqewe jednocifrenim brojem, sa ostatkom i bez wega, zaokru`uje mini-

mum sadr`aja obaveznih za usmeno ra~unawe i tako ~ine usmeni fond za

algoritme ra~unawa sa brojevima u dekadskom zapisu.

Program predvi|a prvo upoznavawe svojstava operacija, a zatim, na toj

osnovi, obja{wavawe na~ina ra~unawa. Time se pove}ava efikasnost na -

stave i u~enicima znatno olak{ava usvajawe tablica sabirawa i mno`e -

wa, kao i formirawe drugih ra~unskih umewa. Isto tako, blagovremeno

izu~a vawe svojstava operacija i veza izme|u wih podi`e teorijski nivo

celog rada iz matematike i potpunije otkriva smisao operacije. Usvajawe

svakog svojstva operacije prolazi kroz nekoliko etapa: pripremna ve`bawa,

odgovaraju}e operacije na odabranim primerima, formulisawe svojstva,

primena svojstva u odre|ivawu vrednosti izraza i na~inu ra~unawa.

Pored pismenog ra~unawa, u III razredu treba i daqe poklawati pa`wu

usmenom ra~unawu, jer ono ~esto br`e i jednostavnije dovodi do rezultata i

ima prednost u prakti~nom `ivotu kad se ra~una s malim brojevima. Tako,

na primer, umesto da u~enici pismeno izra~unavaju 8 • 39, mnogo je br`e i

jednostavnije da usmeno izra~unavaju 8 • 40. Za ovakav rad neophodno je da

u~enici dobro shvate svojstva ra~unskih operacija. Ovo }e biti ostvareno

tek kada u~enicima postane potpuno jasna zavisnost izme|u komponenata

ra~unskih operacija.

Pri izu~avawu operacija, treba predvideti dovoqan broj ve`bawa ~ijim

}e obavqawem u~enici izgra|ivati sigurnost i spretnost usmenog i pi -

smenog ra~unawa. Me|utim, sama ta tehnika nije dovoqna. Tek razumevawem

{ta koja ra~unska operacija predstavqa u konkretnim zadacima, odnosno

svesno odlu~ivawe, a ne naga|awe, kada koju operaciju treba primeniti,

pretvara tu tehniku u stvarno, a ne formalno znawe.

Brojevne izraze treba obra|ivati uporedo sa uve`bavawem ra~unskih

operacija. Treba insistirati na tome da u~enici tekstualno zapisane

zadatke prikazuju brojevnim izrazima i da re~ima iskazuju brojevne izraze,

odnosno da ih ~itaju. Ovakvim na~inom obra|ivawa brojevnih izraza,

u~enici se sigurno snalaze u redosledu ra~unskih operacija i lako shvataju

zna~aj zagrada u zadacima.

Po~eci formirawa matemati~kog jezika. Matemati~ki jezik ~ine

osnovni simboli, izrazi i formule. To je ta~an, jasan i istovremeno pre-

cizan jezik.

Kod u~enika se postupno izgra|uje predstava o promenqivoj, pri ~emu

slovo nastupa u svojstvu simbola promenqive. U~enici najpre odre|uju

vrednosti najprostijih izraza (oblika: a + 3, b – 4, a + b, a – b) za razli~ite

brojevne vrednosti slova koja u wima figuri{u. Kasnije postepeno upozna-

ju slo`enije izraze.

Paralelno sa slu~ajevima jednakosti dvaju izraza, u~enici upoznaju i

slu~ajeve nejednakosti, koji dozvoqavaju ne samo uvo|ewe mnogih

raznovrsnosti u sistem ve`bawa, nego i upoznavawe novih slu~ajeva kada

postoji samo odre|eni broj vrednosti slova koje zadovoqavaju postavqeni

uslov (npr. odre|uju}i vrednost slova za koju je istinit zapis

a + 4 < 8, u~enici se uveravaju da u wima poznatom skupu brojeva datim

uslovima udovoqavaju samo vrednosti 0, 1, 2, 3). Korisno je razmatrati i

12

slu~ajeve kada nijedna od mogu}ih brojevnih vrednosti date oblasti brojeva

ne ispuwava zadate uslove (na primer, u ve`bawima tipa: Odrediti vredno -

sti slova za koje su istiniti zapisi: a + 5 < 5 i sl.).

Program predvi|a da se jedna~ine i nejedna~ine, kao specijalne formule,

re{avaju paralelno sa vr{ewem odgovaraju}ih ra~unskih operacija.

Re{avawe jedna~ina zasniva se na poznavawu ra~unskih operacija i wihove

me|usobne povezanosti. Pri re{avawu jedna~ina s nepoznatim elementom

mno`ewa i deqewa, treba uzimati samo primere s celobrojnim re{ewima.

Kod re{avawa nejedna~ina u razrednoj nastavi, treba koristiti na~in

„poga|awa” na pogodno odabranim primerima. Isto tako, uz datu

nejedna~inu, treba posmatrati i odgovaraju}u jedna~inu koja se dobija kad se

u nejedna~ini znak nejednakosti zameni znakom jednakosti. Ako odredimo

re{ewe jedna~ine, onda je lako odrediti skup re{ewa date nejedna~ine.

Jedna~ine i nejedna~ine pru`aju velike mogu}nosti za jo{ potpunije

sagledavawe svojstava ra~unskih operacija i funkcionalne zavisnosti

rezultata operacije od wenih komponenata.

Kada odre|eni broj zadovoqava (ne zadovoqava) datu jedna~inu ili nejed-

na~inu, onda to u~enici treba da iskazuju i zapisuju re~ima „ta~no”

(„neta~no”) ili na neki drugi, kra}i na~in.

Ideja funkcije.Ideja funkcije pro`ima sve programske sadr`aje, po~ev{i

od formirawa pojma broja i operacije. Najve}i zna~aj na ovom planu pridaje se

otkrivawu ideje preslikavawa (npr. svakoj du`i, pri odre|enoj jedinici mere-

wa, odgovara jedan odre|eni broj itd.). Izgra|ivawu pojma preslikavawa poma`e

uvo|ewe tablica i dijagrama. Na primer, u vidu tablice pregledno se mo`e

zapisati re{ewe zadatka: „U dvema kutijama nalazi se ukupno 8 olovaka. Koliko

olovaka mo`e biti u jednoj, a koliko u drugoj kutiji?” Pri tome u~enici uo~avaju

sve odnose (u prvoj kutiji broj olovaka pove}ava se za 1, u drugoj se smawuje za 1, a

ukupan broj olovaka u obe kutije se ne mewa).

Tabli~ni na~in izra`avawa preslikavawa koristi se za utvr|ivawe

promene rezultata operacija, u zavisnosti od promene jedne od komponena-

ta, kao i za ustanovqavawe proporcionalnosti promena pojedinih elemena-

ta operacije.

U procesu sistematskog rada s tablicama, u~enici ovladavaju samim

na~inom kori{}ewa tablica za utvr|ivawe odgovaraju}ih zavisnosti

izme|u podataka (veli~ina) {to je, samo po sebi, posebno va`no.

Otkrivawu ideje funkcije doprinose i raznovrsna ve`bawa s brojevnim

nizovima. Na primer, mo`e se dati zadatak: „Produ`iti niz 10, 15, 20... Koji

}e broj biti u nizu na osmom (petnaestom) mestu? Da li je u datom nizu broj

45 (ili 44)? Na kojem }e mestu u datom nizu biti broj 55 (ili 70)?”

Tekstualni zadaci. Tekstualni zadaci koriste se kao sadr`aji raznih

ve`bawa, pri ~emu u~enici u raznim `ivotnim situacijama uo~avaju odgo-

varaju}e matemati~ke relacije, i obratno – matemati~ke apstrakcije

primewuju u odgovaraju}im `ivotnim odnosima: oni predstavqaju sredstvo

13

povezivawa nastave matematike sa `ivotom. U procesu re{avawa zadataka

u~enici izgra|uju prakti~na umewa i navike koje su im neophodne u `ivotu

i upoznaju na{u dru{tvenu stvarnost. Sam proces re{avawa tekstualnih

zadataka na najboqi na~in doprinosi matemati~kom i op{tem razvitku

u~enika. Treba nastojati da se u procesu re{avawa potpuno iskoriste sve

mogu}nosti koje postoje u zadacima.

Pri razmatrawu svake nove operacije, prvo se uvode prosti zadaci koji su

usmereni na otkrivawe smisla te operacije (zadaci za odre|ivawe zbira,

razlike, proizvoda, koli~nika), a zatim se uvode zadaci pri ~ijem se

re{avawu otkriva novi smisao operacija (zadaci povezani s pojmovima ra -

zlike i koli~nika); na kraju se razmatraju prosti zadaci koji se odnose na

otkrivawe uzajamnih veza izme|u direktnih i obratnih operacija (zadaci za

odre|ivawe nepoznate komponente). Slo`ene zadatke treba re{avati po -

stupno, prema wihovoj komplikovanosti: prvo zadatke sa dve, a zatim i sa

tri operacije.

Upotreba izraza predvi|a se i pri re{avawu slo`enih zadataka. Pri

re{avawu zadataka s prethodnim sastavqawem izraza, pa`wa se usredsre|uje

na analizu uslova zadataka i sastavqawe plana wegovog re{ewa. U strukturi

izraza prikazuje se ceo tok re{ewa zadataka: operacije koje treba obaviti,

brojevi nad kojima se obavqaju operacije i redosled kojim se izvr{avaju te

operacije.

Sastavqawe izraza predstavqa dobru pripremu za sastavqawe najprosti-

jih jedna~ina prema uslovu zadatka. U svakoj konkretnoj situaciji zadatke

treba re{avati najracionalnijim na~inom, uz upotrebu dijagrama, shema i

drugih sredstava prikazivawa. Neophodno je, tako|e, da u~enik prethodno

procewuje rezultat i da proverava ta~nost samog rezultata. Proveri treba

posve}ivati veliku pa`wu; ukazati u~enicima na wenu neophodnost, na

razne na~ine proveravawa i navikavati ih da samostalno vr{e proveru

rezultata. Nijedan zadatak ne treba smatrati zavr{enim dok nije izvr{ena

provera. Pri ra~unawu, koje se mora obavqati ta~no, treba razvijati brzinu,

s tim da ona nikada ne ide na {tetu ta~nosti.

Geometrijski sadr`aji. Osnovna intencija programa u oblasti

geometrije sastoji se u tome {to se insistira i na geometriji oblika, kao i

na geometriji merewa (merewe du`i, povr{i, tela). Izu~avawe geometrij -

skog gradiva povezuje se s drugim sadr`ajima po~etne nastave matematike.

Koriste se geometrijske figure u procesu formirawa pojma broja i

operacija s brojevima; i obratno, koriste se brojevi za izu~avawe svojstva

geometrijskih figura. Na primer: pojam razlomka daje se pomo}u deqewa

du`i i kruga na jednake delove; distributivno svojstvo mno`ewa ilustruje

se izra~unavawem obima pravougaonika (ili povr{ine pravougaonika po -

deqenog na dva mawa pravougaonika); komutativno svojstvo mno`ewa

prikazuje se na pravougaoniku koji je rastavqen na jednake kvadrate; zadaci

o kretawu ilustruju se na du`ima itd.

14

Po~etna nastava geometrije mora biti eksperimentalna, tj. najprostije

geometrijske figure i neka wihova svojstva upoznaju se prakti~nim radom,

preko raznovrsnih modela figura u toku posmatrawa, crtawa, rezawa, pre-

savijawa, merewa, procewivawa, upore|ivawa, poklapawa itd. Pri tome

u~enici uo~avaju najbitnija i najop{tija svojstva odre|enih figura koja ne

zavise od vremena, materijala, boje, te`ine i dr. Tako u~enici sti~u elemen-

tarne geometrijske predstave, apstrahuju}i nebitna konkretna svojstva

materijalnih stvari.

Iako osnovu nastave geometrije u mla|im razredima ~ine organizovano

posmatrawe i eksperiment, ipak je neophodno da se u~enici navikavaju, u

skladu sa uzrastom, ne samo da posmatraju i eksperimenti{u, i da sve vi{e

rasu|ivawem otkrivaju geometrijske ~iwenice.

Sistematski rad na razvijawu elementarnih prostornih predstava kod

u~enika u razrednoj nastavi treba da stvori dobru osnovu za {ire i dubqe

izu~avawe geometrijskih figura i wihovih svojstava u starijim razredima

osnovne {kole.

Merewe i mere. Za upoznavawe metarskog sistema mera treba koristiti

o~igledna sredstva i davati u~enicima da mere predmete iz okoline (u

u~ionici, {kolskom dvori{tu, kod ku}e itd.). Isto tako, neophodno je i da

se u~enici ve`baju da procewuju „odoka” (npr. razdaqinu izme|u dva pre -

dmeta i sl.), pa da po zavr{enom takvom merewu, utvr|uju izra~unavawem

koliku su gre{ku u~inili. Prilikom obrade mera za povr{inu treba kori -

stiti modele u veli~ini kvadratnog metra, kvadratnog decimetra,

kvadratnog centimetra kao i crte`e ovih modela. Mere za povr{inu treba

obra|ivati uporedo sa odgovaraju}im gradivom iz geometrije.

Pretvarawe jedinica u mawe i ve}e jedinice treba pokazivati i uve -

`bavati na primerima, ali u zadacima ne treba preterivati s velikim bro-

jem raznih jedinica. Blagovremenim uvo|ewem metarskog sistema mera, ne -

staje potreba da se vi{eimeni brojevi izdvajaju u poseban odeqak, odno sno

ra~unske operacije sa vi{eimenim brojevima treba izvoditi uporedo s

ra~unawem prirodnim brojevima na taj na~in {to }e se vi{eimeni brojevi

pretvarati u jednoimene brojeve najni`ih jedinica.

15

2.4.4. OSNOVNI ZAHTEVI U POGLEDU MATEMATI^KIH ZNAWA I UMEWA U^ENIKA

Znati:

- niz brojeva do 1000;

- tabli~ne slu~ajeve operacija (napamet); tablicu sabirawa jednoci -

frenih brojeva i odgovaraju}e slu~ajeve oduzimawa, tablicu mno`ewa

jednocifrenih brojeva i odgovaraju}e slu~ajeve deqewa;

- jedinice za du`inu, masu i zapreminu te~nosti;

- svojstva ra~unskih operacija.

Umeti:

- ~itati, zapisivati i upore|ivati brojeve prve hiqade;

- vr{iti ~etiri osnovne ra~unske operacije u okviru prve hiqade;

- koristiti pri obavqawu ra~unskih operacija upoznata svojstva opera -

cija, kao i specijalne slu~ajeve operacija (sa nulom i jedinicom);

- izra~unati vrednost brojevnog izraza sa najvi{e tri operacije;

- koristiti znake za skup i pripadnost elementa skupu;

- re{avati jedna~ine (navedene u programu) na osnovu zavisnosti izme|u

rezultata i komponenata operacija;

- re{avati nejedna~ine (navedene u programu) metodom probawa;

- re{avati jednostavnije zadatke sa najvi{e tri operacije;

- zapisivati razlomke (navedene u programu);

- crtati uglove (prav, o{tar i tup), paralelne i normalne prave, pravo -

ugaonik i kvadrat, trougao i krug (pomo}u odgovaraju}eg geome trij skog

pribora);

- izra~unati obim pravouganika, kvadrata i trougla;

- koristiti uxbenik.

16

3. SADR@AJ RADNOG UXBENIKA:

IGRA BROJEVA I OBLIKA 3

1. DEO

Zdravo, drugari! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

Sadr`aj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

Obnavqawe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

Sabiram i oduzimam do 100 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

Mno`im i delim do 100 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

Brojevi prve hiqade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

Stotine prve hiqade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

Brojevi prve hiqade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

Upore|ivawe brojeva do 1000 (prvi deo) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

Upore|ivawe brojeva do 1000 (drugi deo) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

Rimske cifre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

Zapisivawe brojeva rimskim ciframa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

Ve`bam zapisivawe brojeva rimskim ciframa . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

Krug . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

Sabirawe i oduzimawe 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

Sabiram i oduzimam stotine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

Zamena mesta sabiraka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

Zdru`ivawe sabiraka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

Sabiram trocifrene i jednocifrene brojeve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

Oduzimam jednocifrene od trocifrenih brojeva . . . . . . . . . . . . . . . 49

Sabiram i oduzimam . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

Sabiram dvocifrene brojeve (zbir je ve}i od 100) . . . . . . . . . . . . . . . 56

Sabiram trocifrene brojeve i desetice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

Oduzimam dvocifrene od trocifrenih brojeva

(razlika je mawa od 100) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

Oduzimam desetice od trocifrenih brojeva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

Sabiram i oduzimam . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

Sabiram trocifrene i dvocifrene brojeve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

Mere i merewe 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

Merewe du`ine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

Merewe mase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

Sabirawe i oduzimawe 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

Oduzimam dvocifrene od trocifrenih brojeva . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

Sabiram i oduzimam . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

Sabiram trocifrene brojeve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

Oduzimam trocifrene od trocifrenih brojeva . . . . . . . . . . . . . . . . 102

Sabiram i oduzimam (prvi deo) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

Sabiram i oduzimam (drugi deo) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

Zavisnost zbira od sabiraka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

17

Zavisnost razlike od umawenika i umawioca . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

Ravan i prave u woj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

[ta je prava, a {ta poluprava? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

Ravan i prave u woj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

Crtam paralelne i normalne prave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

Mnogougao i ugao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

Mnogougao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

Ugao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

Vrste uglova – prav ugao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

Vrste uglova – o{tar i tup ugao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

Upore|ivawe du`i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

2. DEO

Zdravo, drugari! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

Sadr`aj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

Mno`ewe i deqewe 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

Mno`im brojem 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

Mno`im brojem 100 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

Delim brojem 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

Delim brojem 100 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

Mno`im i delim sa 10 i 100 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

Zamena mesta ~inilaca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

Zdru`ivawe ~inilaca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

Mno`im jednocifrene brojeve i desetice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

Delim desetice jednocifrenim brojevima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

Mno`im i delim . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

Mno`im zbir i razliku brojem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

Mno`im dvocifrene jednocifrenim brojevima . . . . . . . . . . . . . . . . 23

Delim zbir i razliku brojem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

Pravougaonik i kvadrat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

Uo~avam pravougaonike i kvadrate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

Crtam pravougaonike i kvadrate uz pomo} trougaonika i lewira . . 35

Crtam pravougaonike i kvadrate uz pomo} {estara i trougaonika . . 37

Ve`bam crtawe pravougaonika i kvadrata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

Obim pravougaonika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

Obim kvadrata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

Mno`ewe i deqewe 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

Delim sa ostatkom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

Delim dvocifrene jednocifrenim brojevima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

Mno`im i delim dvocifrene i jednocifrene brojeve . . . . . . . . . . . 53

Mno`im trocifrene jednocifrenim brojevima . . . . . . . . . . . . . . . . 55

Delim trocifrene jednocifrenim brojevima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

Mno`im i delim (prvi deo) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

Mno`im i delim (drugi deo) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

Zavisnost proizvoda od ~inilaca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

18

Zavisnost koli~nika od deqenika i delioca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

Mere i merewe 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

Merewe zapremine te~nosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

Merewe vremena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

Minut, ~as, dan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

Mesec, godina, decenija, vek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

Jedna~ine i nejedna~ine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

Jedna~ine sa sabirawem i oduzimawem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

Jedna~ine sa mno`ewem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

Jedna~ine sa deqewem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

Jedna~ine sa mno`ewem i deqewem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

Skupovi (prvi deo) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

Skupovi (drugi deo) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

Nejedna~ine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

Trougao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

Crtam trouglove . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

Obim trougla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

Simetrija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

Razlomci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

Razlomci __ , __ i __ (prvi deo) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

Razlomci __ , __ i __ (drugi deo) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

Razlomci __ , __ i __ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

Razlomci __ i __ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

Razlomci __ , ___ i ____ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

Dodatni materijal za se~ewe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

Napomena:

Sabirawe i oduzimawe brojeva podeqeno je na dva dela, jer smo smatrale da je

ova oblast preobimna da bi se radila odjednom. Zato smo, imaju}i u vidu zain-

teresovanost u~enika za razli~ite stvari, pretpostavile da }e na ovaj na~in

lak{e savladati sabirawe i oduzimawe. Skoro identi~an slu~aj je sa mno`ewem

i deqewem, koje je tako|e podeqeno na dva dela zbog obimnosti.

^iwenica je da se sabirawe i oduzimawe rade u prvom polugodi{tu

(delu), a mno`ewe i deqewe u drugom. To, naravno, ne zna~i da se sa sabi-

rawem i oduzimawem zavr{ilo u prvom polugodi{tu. Naprotiv, ra~unske

operacije sabirawa i oduzimawa provla~e se kroz gradivo tokom cele

godine, bilo da se radi o merewima, izra~unavawu obima ili re{avawu

jedna~ina i nejedna~ina. Sli~no, mno`ewe i deqewe }e se raditi od prvih

~asova (obnavqawe gradiva drugog razreda), preko raznih zadataka iz mere-

wa, pa do posledwih ~asova (razlomci).

19

12

14

18

12

14

18

13

16

19

15

110

1100

11000

17

4. METODI^KE NAPOMENE AUTORA

4.1. Uvodne napomene

Postojale su dve mogu}nosti za realizaciju ovog dela priru~nika. Prva –

da se komentari{e svaka lekcija posebno, i druga – da se komentari{u

osnovni delovi radnog uxbenika povremeno kroz sasvim konkretne primere.

Opredelile smo se za drugu mogu}nost, ne samo zbog toga {to je po na{em

mi{qewu boqa, ve} pre svega zbog toga {to po{tujemo li~nost u~iteqa –

korisnika ovog priru~nika.

Iako je gradivo tre}eg razreda iz matematike bogato raznim temama, ipak

se ono mo`e grubo podeliti u tri dela:

• aritmetika,

• geometrija,

• mere i merewe.

Naravno da }e se elementi nekih delova javqati u drugim delovima. Jasno

je i to da ~im napravimo neku tabelu, mi smo na korak od funkcija, a taj

pojam mo`da zaslu`uje poseban deo. Me|utim, uz sva uva`avawa razli~itih

mogu}nosti, opredelile smo se za podelu na tri dela. Treba napomenuti da je

vi{e od dve tre}ine radnog uxbenika posve}eno aritmetici, {to je,

uostalom, i programski zahtev za tre}i razred.

4.2. Aritmetika

4.2.1. OBNAVQAWE GRADIVA DRUGOG RAZREDA

Smatrale smo da je poznavawe bloka brojeva do sto i ~etiri ra~unske

operacije u wemu dovoqan osnov za uspe{nu realizaciju programskih zahte-

va u tre}em razredu. Zato smo se opredelile da deset uvodnih strana budu

tome posve}ene. Naravno, svaki u~iteq }e, imaju}i konkretno odeqewe pred

sobom, znati da ovo dopuni odgovaraju}im sadr`ajima tokom prve dve sed-

mice u tre}em razredu.

4.2.2. SABIRAWE I ODUZIMAWE BROJEVA DO 1000

Imenovawe i zapisivawe brojeva do 1000

U~enici ve} poznaju prirodne brojeve do 100. Znaju pojmove „jedinica”,

„desetica”, „jedna stotina”. Za formirawe (pojmova) brojeva do 1000 mogu se

koristiti kocke. Jedna kocka predstavqa jednu jedinicu. Zdru`ivawem deset

takvih kockica dobijamo „{tapi}” koji materijalizuje deseticu. Zdru`ivawem

deset takvih {tapi}a dobijamo plo~u od 100 kockica koja materijalizuje stotinu.

20

Sada uvodimo nove pojmove. Zdru`ivawem 10 takvih plo~a od po 100 jedi-

ni~nih kockica dobijamo veliku kocku i tako predstavqamo 1000. U~enici

uo~avaju to da je 10s = 1h, odnosno 1h = 10s = 100d = 1000j.

Daqe u~enici treba, zdru`ivawem stotina, da zakqu~e da dve plo~e od po

100 kockica mo`emo zapisati kao 2 · 100 ili kra}e 200, a ~itamo dve stotine

ili dvesta, tri puta po 100 kockica mogu zapisati kao 3 · 100, a ~itamo tri

stotine ili trista...

Nakon formirawa pojmova vi{estrukih stotina, prelazimo na formi-

rawe brojeva od 100 do 1000. Nema potrebe da prvo na stotine dodajemo dese -

tice, na primer 500 + 40, pa tek onda jedinice, na primer 500 + 40 + 2, jer su

svi dvocifreni brojevi u~enicima ve} poznati; stoga }emo raditi, na

primer, ovako: 500 + 42.

Brojeve prve hiqade tako|e formiramo koriste}i kockice grupisane u

„plo~e” ili „{tapi}e” i pojedina~ne kockice. Tako, na primer, broj 234

crte`om prikazujemo kao dve plo~e od po 100 kockica (2 stotine), 3

{tapi}a od po 10 kockica (3 desetice) i 4 zasebne kockice (4 jedinice).

To prikazujemo i nanizanim kuglicama koje poma`u da se preciznije

predstavi mesna vrednost svake od cifara. Za prikazivawe stotina, deseti-

ca i jedinica koriste se tri razli~ite boje kuglica. Model sa kuglicama }e

biti od velike koristi posebno kod vertikalnog sabirawa i oduzimawa.

Polaze}i od ovakvih grafi~kih prikaza, u~enici lak{e shvataju struktu-

ru trocifrenih brojeva, a na osnovu we lako uvi|aju simboli~ki zapis i

nazive trocifrenih brojeva.

Zapisivawe i imenovawe brojeva zasniva se na principu pozicione vre -

dnosti cifre, {to zna~i da svaka cifra, pored brojevne vrednosti, ima i

pozicionu vrednost. Tra`iti od u~enika da na vi{e primera uo~e i ka`u

koja cifra predstavqa cifru stotina, koja cifru desetica, a koja cifru

jedinica.

Na primerima ve`bati zapisivawe brojeva koji ima npr. 4s, 2d, 3j i obr-

nuto, na primer da za broj 324 zapi{u koliko ima stotina, koliko desetica,

a koliko jedinica.

Upore|ivawe brojeva do 1000

Kod upore|ivawa trocifrenih brojeva polazimo od onoga {to u~enici

ve} znaju – upore|ivawa jednocifrenih i dvocifrenih brojeva. Na primer,

budu}i da je 3 mawe od 5 i 3s su mawe od 5s, onda je i 300 mawe od 500.

Polaze}i od toga, ako dva trocifrena broja imaju razli~it broj stotina,

ve}i je onaj broj ~ija je cifra stotina ve}a, bez obzira na ostale cifre. Ako

su cifre stotina jednake, upore|ujemo cifre desetica, bez obzira na cifre

jedinica, i na kraju, ako su cifre stotina i cifre desetica jednake kod oba

broja, ve}i je onaj broj ~ija je cifra jedinica ve}a.

Na primerima ve`bati ~itawe, zapisivawe i upore|ivawe brojeva do 1000.

21

Sabirawe i oduzimawe stotina

Postupke izvo|ewa aritmeti~kih operacija u okviru bloka brojeva od

100 do 1000 izvodimo analogno sa izvo|ewem tih operacija u okviru bloka

brojeva do 100.

Sabirawe i oduzimawe trocifrenih brojeva izvodimo postupno od

najjednostavnijih slu~ajeva do onih najslo`enijih. Polazimo od sabirawa

i oduzimawa stotina. U~enici ve} znaju da je 3 + 2 = 5, shodno tome i

3s + 2s = 5s, pa je 300 + 200 = 500. Shvatawu poma`e i materijalizovawe

stotina kori{}ewem ve} poznatih plo~a od 100 kockica. Sli~no je i sa

oduzimawem. Ovde tako|e radimo i sa nizawem kuglica.

Tu su i zadaci gde u~enici treba da upi{u nepoznati sabirak, umawenik

ili umawilac, kako bi dobili tra`eni zbir ili razliku upisanu u sredinu

cveta. Treba tra`iti da u~enici obja{wavaju, na primer, u zadatku

300 + ____ = 600 da je prvi sabirak 300, drugi sabirak nepoznati broj, a zbir

600, a zatim da odre|uju nepoznati sabirak.

Odmah se uvode i lak{i brojevni izrazi koje treba obra|ivati uporedo sa

uve`bavawem ra~unskih operacija. Treba insistirati da u~enici tekstu-

alne zadatke prikazuju brojevnim izrazima. Ve} i na ovim najlak{im

slu~ajevima sabirawa i oduzimawa treba uvoditi tekstualne zadatke, pri

~emu u~enici u raznim `ivotnim situacijama uo~avaju odgovaraju}e

matemati~ke relacije.

Zamena mesta i zdru`ivawe sabiraka

Pre slo`enijih slu~ajeva sabirawa i oduzimawa, program predvi|a

prethodno obnavqawe svojstava operacije sabirawa, a zatim na toj osnovi

obja{wava na~in ra~unawa. Tako se u~enicima olak{ava izvo|ewe sabi-

rawa, a istovremeno omogu}ava potpunije shvatawe operacije sabirawa.

Ne treba upotrebqavati re~i komutativnost i asocijativnost, jer su

one deci nerazumqive i predstavqaju im optere}ewe.

Zamenu mesta sabiraka, tj. da vrednost zbira ne zavisi od redosleda sabi-

raka, prikazujemo polaze}i od primera. Devoj~ica, gledaju}i sleva nadesno, u

jednoj ruci ima 2, a u drugoj 4 balona. Zbir zapisujemo 2 + 4, a ako se okrene

le|ima, opet gledaju}i sleva nadesno, u jednoj ruci ima 4 balona, a u drugoj 2.

Zbir pi{emo 4 + 2. Kako je to ista devoj~ica, samo jedanput okrenuta licem,

a drugi put le|ima, jasno je da se ukupan broj balona ne mewa. Zna~i, 2 + 4 jed-

nako je 4 + 2. Sada mo`emo formalno to izra~unati, a zatim ovo podi}i na

vi{i nivo i preko ve} poznatog sabirawa stotina zakqu~iti, na primer, da

je 200 + 400 = 400 + 200, materijalizuju}i sve to plo~ama kockica.

Za zdru`ivawe sabiraka po`eqno je koristiti didakti~ki materijal;

npr. `etone, a mogu poslu`iti i bojice. Ako grupi{emo prvo 1 crvenu i 2

plave bojice, pa im dodamo 3 zelene, zbir zapisujemo: (1 + 2) + 3 = 3 + 3 = 6.

Zatim jednoj crvenoj bojici dodajemo zdru`ene 2 plave i 3 zelene i zapisu-

jemo: 1 + (2 + 3) = 1 + 5 = 6. A zatim zdru`ujemo 1 crvenu i 3 zelene, pa im

22

dodajemo 2 plave bojice. Zapisujemo (1 + 3) + 2 = 4 + 2 = 6. Zatim se posmatra

primer sa cveti}ima u radnom uxbeniku i uo~ava nepromenqivost zbira,

bez obzira na na~in zdru`ivawa i redosled sabiraka, i nakon toga se uvode

poznate plo~e kockica, pa pravilo primewujemo na stotine. Na nizu

primera sledi ve`bawe i utvr|ivawe.

Sabirawe i oduzimawe trocifrenih i jednocifrenih brojeva

Pri sabirawu trocifrenih i jednocifrenih brojeva polazimo od najjed-

nostavnijeg slu~aja – sabirawa stotina i jednocifrenog broja. To prikazu-

jemo kockicama. Pored horizontalnog sabirawa (koje odgovara usmenom

sabirawu), istovremeno se uvodi i vertikalno („pisano”) sabirawe, koje se

materija lizuje ve} poznatim kuglicama.

Za uvodne reprezentativne primere kori{}ena je lupa, koja simbolizuje

mogu}nost sagledavawa detaqa. Za po~etna ve`bawa kori{}ena je kvadratna

mre`a koja olak{ava upisivawe pozicije svake cifre.

Paralelno se obra|uju i horizontalno i vertikalno sabirawe i oduzi-

mawe. Usmenom sabirawu i oduzimawu i daqe treba poklawati pa`wu, jer

ono ~esto br`e i jednostavnije dovodi do rezultata i ima prednosti u prak-

ti~nom `ivotu kada se ra~una malim brojevima.

Konkretno, kre}emo od slu~aja sabirawa 20 + 5, pa na to nadovezujemo

sabirawe 420 + 5 = 425, a zatim tako usvojeno znawe primewujemo u novoj

situaciji. Zatim, u slu~aju 313 + 4 idemo preko 13 + 4 i tako daqe. Kod ver-

tikalnog sabirawa treba insistirati (bez obzira na to {to u dosada{wim

slu~ajevima nema prelaska preko desetice ili stotine) da se sabiraju prvo

jedinice, pa desetice, pa stotine.

Pre uvo|ewa sabirawa sa prelaskom preko desetice, u~enici obnavqaju i

pro{iruju ste~ena znawa o dekadnom zapisivawu trocifrenih brojeva. Na

primer, broj 325 mogu zapisati kao 325 = 3 · 100 + 2 · 10 + 5, ali 1 stotina ima

10 desetica, tako da ga mogu zapisati i kao 325 = 2 · 100 + 12 · 10 + 5 ili kao

325 = 3 · 100 + 1 · 10 + 15. Daqe se radi na na~in prikazan u radnom uxbeniku.

Pri sabirawu oblika 536 + 4 koristimo 5 plo~a od po 100 kockica koje

predstavqaju stotine, 3 „{tapi}a” od po 10 kockica koje predstavqaju dese -

tice i 6 kockica kojima dodajemo jo{ 4 kockice druge boje. U~enici

uo~avaju da one predstavqaju jo{ jedan „{tapi}” od 10 kockica, odnosno 1

deseticu, tako da imamo 5 stotina i 4 desetice, odnosno 540.

Za grafi~ko prikazivawe postupka pismenog sabirawa koristimo

kuglice. Na ve} postoje}ih 6, na `icu jedinica dodajemo jo{ 4 kuglice, tako

da imamo 10 kuglica, odnosno 1 deseticu. Simboli~no, neobojenom kuglicom

predstavqamo ono {to se „prebacuje” (10 jedinica u 1 deseticu). Strelice

pokazuju na novu sliku, gde se prikazuje 5 stotina i 4 desetice.

Vertikalno sabirawe prikazano je kao i do sada, s tim {to je uvedeno

pomo}no poqe. Prvo zbir jedinica upisujemo u levo poqe, {to nam i

pokazuje strelica, pa upisujemo desetice, pa stotine. Opet pratimo stre-

licu, pa u desno poqe upisujemo zbir: 10 jedinica ~ine 1 deseticu, pa na

23

mestu jedinica pi{emo nulu. Zatim, ve} postoje}im deseticama dodajemo

jo{ jedan, pa pi{emo 4 i prepisujemo stotine, odnosno 5. Za slu~aj sabirawa

224 + 8 koristi se isti postupak kao u prethodnom primeru.

Dato je dosta zadataka u kojima se popuwavaju tablice. Rad sa tablicama je

va`an, jer u~enici uo~avaju odgovaraju}u zavisnost veli~ina i formiraju

po~etnu ideju funkcija.

Oduzimawe, tako|e, obra|ujemo polaze}i od jednostavnijih primera.

Analogno onome {to ve} znaju, da je na primer 5 – 5 = 0, a onda i 35 – 5 = 30,

pa zakqu~uju da je 435 – 5 = 430. To prikazujemo kockama i kuglicama. U

slu~aju 420 – 5 uvodimo kod vertikalnog sabirawa pomo}na poqa, jer od

„nule ne mo`e da se oduzme 5’’, pa prvo u pomo}na poqa upisujemo na mesto

jedinica 10 („uzeta” je 1 desetica), na mesto desetica 1, a stotine prepisuje-

mo. Oduzimamo jedinice od jedinica, a desetice i stotine prepisujemo.

Zatim, prate}i strelicu, zbir upisujemo u desno poqe. Ostali slu~ajevi

re{avaju se analogno prethodnim. Slede ve`bawa na brojnim primerima.

Tekstualnim zadacima treba posvetiti posebnu pa`wu. U svakoj konkret-

noj situaciji zadatke treba re{avati upotrebom dijagrama, shema i drugih

sli~nih mogu}nosti.

Sabirawe i oduzimawe trocifrenih i dvocifrenih brojeva

Pre prelaska na sabirawe trocifrenih i dvocifrenih brojeva, potre bno

je obraditi sabirawe dvocifrenih brojeva sa prelaskom preko stotine, jer

je to u~enicima nepoznato. Po{to znaju da je 8 + 4 = 12, lako zakqu~uju da je

8d + 4d = 12d, odnosno 80 + 40 = 120. Kada to znaju, lako zakqu~uju da je

85 + 40 = 125.

Kod sabirawa trocifrenih i dvocifrenih brojeva, drugi sabirak pot-

pisujemo ispod prvog, tako da su cifre iste dekadne jedinice jedna ispod

druge. U po~etku opet koristimo kvadratnu mre`u radi preciznijeg potpi-

sivawa.

U~enici sabiraju na na~in prikazan u radnom uxbeniku. Primere tipa

420 + 50 re{avaju tako {to prvo 420 rastave na zbir 400 + 20, pa onda

zdru`ivawem sabiraka dolaze do izraza 400 + (20 + 50), {to im je poznato i

{to lako ra~unaju. Sli~no je sa zadacima tipa 280 + 40. Kod po~etnog sabi-

rawa ovde koristimo pomo}nu {emu; sada zbir desetica prelazi 9. Sve

ostale slu~ajeve re{avamo po istom principu.

Kod oduzimawa u~enici prvo rade oduzimawe dvocifrenih od troci -

frenih brojeva kada je razlika mawa od 100. Polaze}i od poznatog 13 – 6 = 7,

lako dolaze do 130 – 60 = 70. Zatim prelaze na oduzimawe desetica od tro-

cifrenih brojeva, tako|e polaze}i od ve} poznatog. Ne{to te`i slu~aj je

kada od vi{estrukih stotina oduzimaju dvocifreni brojevi. Na primer:

300 – 40, prvo broj 300 rastave na zbir brojeva 200 i 100, pa od 100 oduzima-

ju 40 i daqe primewuju ono {to im je od ranije poznato. Kod prikaza sa

kuglicama na po~etku na `ici sa stotinama nalaze se 3 kuglice, a ostale su

prazne. Po{to treba da oduzmu 4 desetice, jednu stotinu predstavqaju kao 10

24

desetica i to je prikazano neobojenim kuglicama. Odatle oduzimaju 4

kuglice i ostaju 2 stotine i 6 desetica, odnosno 260. Sli~na situacija je i u

primerima tipa 420 – 30. Ovde 420 treba da rastave na zbir brojeva 300 i 120,

pa od 120 oduzimaju 30, i daqe po poznatom postupku.

Sabirawe i oduzimawe trocifrenih brojeva

Kod sabirawa trocifrenih brojeva tako|e polazimo od lak{ih slu~ajeva, na

primer: 222 + 200 i postepeno idemo ka te`im slu~ajevima. Posebno iz dvajamo

slu~aj kada i zbir desetica i zbir jedinica prelazi 9, na primer:

158 + 164. Potrebna su nam dva pomo}na poqa. Postupak sabirawa obja{wavamo:

8 jedinica plus 4 jedinice jesu 12 jedinica (pi{emo 12 u pomo}no poqe u koje

nam pokazuje strelica); 5 desetica plus 6 desetica jesu 11 desetica, upisujemo na

mestu desetica 11; 1 stotina plus 4 stotine jesu 5 stotina i zapisujemo na mesto

stotina 5. Sada nam treba i drugo pomo}no poqe: 12 jedinica jesu 1 desetica i 2

jedinice. Na mesto jedinica, prate}i strelicu, pi{emo 2, a deseticama dodajemo

jo{ jednu i pi{emo 12 desetica; prepisujemo 5 stotina. Zatim opet pratimo

strelicu, prepisujemo jedinice; 12 desetica sadr`e 1 stotinu i 2 desetice, na me -

stu dese tice pi{emo 2; stotinama dodajemo jo{ 1 i pi{emo 3 na mesto stotina.

Samo prva dva primera re{avaju se ovako postupno, a zatim pokazujemo

u~enicima kako kra}e da zapisuju 8 jedinica plus 4 jedinice jesu 12 jedini-

ca, gde imamo 1 deseticu i 2 jedinice, zatim u zbiru na mestu jedinica

pi{emo 2, a 1 deseticu sabiramo sa deseticama, 5 desetica plus 6 desetica

jesu 11 desetica i 1 desetica koja je dodata od zbira jedinica jesu 12 deseti-

ca, gde imamo 1 stotinu i 2 desetice, pi{emo 2 desetice, a 1 stotinu sabi-

ramo sa stotinama, pa imamo 1 stotina plus 1 stotina i „ona” 1 stotina od

desetica i pi{emo 3 stotina. Zna~i zbir je 322.

Oduzimawe trocifrenog broja od trocifrenog broja radimo sli~no kao

i oduzimawe dvocifrenog broja od trocifrenog, na primer: 465 – 342. Broj

342 zapisujemo kao zbir brojeva 300 i 42, pa od 465 oduzimamo 300, a od te raz-

like 42. Vertikalno, tj. „pisano” oduzimamo jedinice od jedinica, desetice

od dese tica i stotine od stotina. Karakteristi~an je primer 544 – 356, tj.

kada su i cifra desetica i cifra jedinica umawenika mawe od cifre

jedinica i cifre desetica umawioca. Postupak ra~unawa je slede}i: Od 4

jedinice ne mo`emo oduzeti 6 jedinica. Od 4 desetice „pozajmqujemo” 1

deseticu koju prevodimo u 10 jedinica. Dodajemo ih na ve} postoje}e 4

jedinice, pratimo strelicu i na mesto jedinica upisujemo 14. Desetica je

bilo 4, jednu smo pretvorili u jedinice, upisujemo 3 desetice i prepisujemo

5 stotina na mesto stotina. Sada od 3 desetice ne mo`emo da oduzmemo 5

desetica, pa od stotina uzimamo 1 stotinu i prevodimo je u 10 desetica,

dodajemo postoje}e 3 desetice i na mesto desetica upisujemo 13. Stotina

ostaje 4. Sada oduzimamo: 14j – 6j = 8j; 17d – 9d = 8d; 4s – 3s = 1s, pratimo

strelicu i upisujemo razliku u prethodna dva poqa.

Posle dva detaqno ura|ena primera prelazimo na kra}e zapisivawe. Tada

radimo na slede}i na~in: Od 4 jedinice ne mo`emo oduzeti 6 jedinica.

25

Uzimamo 1 deseticu koju prevodimo u 10 jedinica. Od 14 jedinica oduzimamo

6 jedinica i pi{emo 8. Od preostale 3 desetice ne mo`emo oduzeti 5 dese -

tica, uzimamo 1stotinu i sada od 13 desetica oduzimamo 5 desetica i

pi{emo 8 desetica. Ostale su 4 stotine, od wih oduzimamo 3 stotine i

pi{emo 1 stotinu. Dakle, razlika brojeva 544 i 356 jeste 188.

Treba ista}i vezu sabirawa i oduzimawa. To potpuno otkriva smisao

ovih operacija. Sli~nu funkciju imaju i zadaci u kojima se od u~enika

tra`i da od datih brojeva sastave ~etiri jednakosti, sa ciqem da se uo~i ta

veza sabirawa i oduzimawa.

U ciqu racionalnog izvo|ewa aritmeti~kih operacija potrebno je da se

u~enici upoznaju sa tim kako se mewa vrednost zbira u zavisnosti od

promene jednog od sabiraka. Upoznavawe u~enika sa navedenom zavisno{}u

radimo polaze}i od konkretnih primera.

Zavisnost razlike od promene umawenika i umawioca obra|ujemo na isti

na~in, polaze}i od konkretnih primera. Nametnuti u~enicima da se ove

osobine koriste kao olak{ice pri ra~unawu.

4.2.3. RIMSKE CIFRE

O rimskim ciframa do sada nije bilo re~i. U~enici se prvi put sre}u sa

pojmom zapisivawa brojeva arapskim i rimskim cifarama. Treba im

nazna~iti da su to cifre koje obi~no slu`e za bele`ewe rednih brojeva

(datuma, redova u bioskopu, poglavqa u kwigama...).

Zanimqivo je re}i i kako su postale rimske cifre. U~enicima treba

objasniti i sam na~in zapisivawa rimskim ciframa. Brojevi do 3 zapisuju

se kao 1, 1 + 1, 1 + 1 + 1, dok se broj 4 zapisuje kao 5 – 1. Da bi se rimskim

ciframa zabele`ili svi brojevi do 1000, koristi se sedam znakova (I, V, X,

L, S, D, M). Za uspe{no bele`ewe brojeva do 1000 rimskim ciframa postoje

pravila: ako je cifra ve}e vrednosti levo od cifre mawe vrednosti, vre -

dnosti cifara se sabiraju ( na primer VI = 5 + 1 = 6 ); cifra (i to ne sve)

iste vrednosti mo`e se ponoviti najvi{e tri puta (na primer

HHH = 10 + 10 + 10 = 30 ili SSSHHH = 100 + 100 + 100 + 10 + 10 + 10 = 330);

i posebno ako je cifra mawe vrednosti napisana levo od cifre ve}e vred-

nosti tada postupamo kao u primerima IV = 5 – 1 = 4 ili XC = 100 – 10 = 90.

Insistirati na pravilu dodavawa vrednosti (aditivnom principu) kod

zapisivawa brojeva rimskim ciframa.

Nizom zadataka u~enici }e mo}i da utvrde ste~ena znawa, da zapi{u bro-

jeve rimskim ciframa ili da brojeve date rimskim ciframa zapi{u arap-

skim. Isti zahtev }e se odnositi i na 5. zadatak gde }e u~enici popuwavati

tabelu. Sedmi zadatak ima za ciq da u~enicima na zanimqiv na~in omogu}i

snala`ewe u konkretnoj situaciji. Taj zadatak mo`e da poslu`i i kao ideja

za neku malu igru. Tra`iti od u~enika da donesu ili zapaze konkretne

primere upotrebe rimskih cifara u svom okru`ewu.

26

4.2.4. MNO@EWE I DEQEWE BROJEVA DO 1000

U drugom razredu smo mno`ewe i deqewe obradili na skupu brojeva do

100. Tablica mno`ewa morala bi da predstavqa fond znawa svakog u~enika

kojim on barata do automatizma. Dakle, mo`emo re}i da je mno`ewe poznata

ra~unska operacija.

Mno`ewe i deqewe sa 10 i 100

Razmatrawe po~iwemo na primeru kockica koje su date u {est redova. To

smo zapisali kao 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 = 6 · 10 = 60. Na sli~an na~in

obradili smo i mno`ewe brojem 100.

Deqewe brojevima 10 i 100 name}e se kao suprotna operacija operaciji

mno`ewa, kojom mo`emo proveriti da li je ra~un ta~an (na primer 60 : 10 =

6, jer je 6 · 10 = 60).

Nizom od nekoliko zadataka u~enici }e utvrditi ste~ena znawa.

Zamena mesta i zdru`ivawe ~inilaca

Zamena mesta ~inilaca je poznata osobina mno`ewa, ali se u radnom

uxbeniku ponovo obra|uje. To je slikovito prikazano kockicama u ~etiri

reda po 10 kockica i 10 kolona po 4 kockice, pa se zakqu~uje da je

4 · 10 = 10 · 4 i uop{te da je a · b = b · a.

Zdru`ivawe ~inilaca je tako|e poznata osobina mno`ewa. Dakle, ponovo

se skre}e pa`wa na to da je (a · b) · c = a · (b · c) = (a · c) · b.

Nizom zadataka u~enici }e biti u prilici da obnove ste~ena znawa

vezana za mno`ewe i deqewe.

Mno`ewe i deqewe zbira i razlike brojem

Mno`ewe i deqewe zbira i razlike brojem jeste nephodan korak ka usva-

jawu postupka mno`ewa i deqewa trocifrenih brojeva jednocifrenim bro-

jem. Modeli }e i u ovom slu~aju biti neophodan korak. Potrebno je da nau~e

i da zapamte da se zbir mno`i nekim brojem tako {to se oba sabirka

pomno`e tim brojem, a razlika se mno`i nekim brojem tako {to se i

umawenik i umawilac mno`e istim brojem.

Deqewe sa ostatkom

Ne{to sasvim novo kada je deqewe u pitawu jeste deqewe sa ostatkom. Da

bi u~enici savladali tehniku deqewa trocifrenih brojeva jednocifrenim,

deqewe sa ostatkom je neophodan korak. Posebnost u oblasti mno`ewa i

deqewa brojeva do 1000 predstavqa deqewe sa ostatkom koje deci u prvom

momentu predstavqa pote{ko}u.

27

Mno`ewe i deqewe trocifrenih brojeva jednocifrenim brojevima

Mno`ewe trocifrenih brojeva jednocifrenim javqa se u momentu kad su

sve situacije mno`ewa i deqewa dvocifrenih i jednocifrenih brojeva

obra|ene. Kod deqewa trocifrenog broja jednocifrenim, u~enicima treba

detaqno objasniti i postupak deqewa. Posebnu pa`wu obratiti na pre -

tvarawe ostatka stotina u desetice i ostatka desetica u jedinice.

Popuwavawem tablica i re{avawem tekstualnih zadataka u~enici }e

ve`bati mno`ewe i deqewe, {to je jedan od va`nijih zadataka u ovom razredu.

4.2.5. JEDNA^INE I NEJEDNA^INE

Jedna~ine

U tre}em razredu re{avamo jedna~ine oblika: h ± 138 = 452, 225 – h = 116,

ali i 5 . h = 225. Tehnika re{avawa potpuno je ista kao i u drugom razredu,

samo {to je pro{iren skup brojeva na koje se te jedna~ine odnose.

Skupovi

Pre nego {to pre|emo na re{avawe nejedna~ina, uvodimo, preciznije nego do

sada, pojam skupa. To je neophodno za opisivawe skupa re{ewa nejedna ~ina.

Ve} u prvom razredu u~enici se upoznaju sa pojmom skupa. Treba ih pod-

setiti na to da skup ~ine elementi koji imaju neke zajedni~ke osobine

(veli~inu, boju, oblik, namenu...). Zato smo i krenuli od primera sa figura-

ma (krug, kvadrat, trougao). Ove figure mo`emo razvrstati prema veli~ini,

boji i obliku. Na taj na~in u~enici }e shvatiti {ta je skup na primerima

iz neposredne okoline.

Novina je i upotreba simbola {, } i Î. Te simbole }emo koristiti pre

svega za ozna~avawe skupova brojeva.

Na ve} formirana znawa, kao {to su na primer parni brojevi tre}e

desetice ili stotine prve hiqade, primewiva}emo nove mogu}nosti zapisi-

vawa kori{}ewem novih simbola. U okviru skupa prirodnih brojeva

potrebno je da u~enici znaju da zapi{u pripadnost nekog elementa ovom

skupu. Pri zapisivawu elemenata u okviru nekog skupa treba voditi ra~una

o tome da se u zagradama koje izdvajaju elemente nekog skupa ~esto javqaju tri

ta~ke (...). Objasniti im da u nekim slu~ajevima ove ta~ke zamewuju nekoliko

brojeva (na primer tri u slu~aju skupa {1, 2, ... , 6, 7}) ili mnogo vi{e (na

primer 95 brojeva u slu~aju skupa {1, 2, 3, ... 99, 100}).

Nejedna~ine

Na osnovu ve} ste~enog znawa zakora~i}emo u re{avawe nejedna~ina.

U~enici bi trebalo da shvate razliku izme|u re{avawa jedna~ina i nejed-

28

na~ina. Oni ru{e ravnote`u koju u jedna~inama odr`ava znak jednakosti

izme|u leve i desne strane. Znakovi < i > postavqaju uslov da leva strana

bude mawa ili ve}a od desne.

Pri re{avawu nejedna~ine oslawa}emo se na re{avawe odgovaraju}e

jedna~ine. U ve}ini slu~ajeva zahtevi nejedna~ine su jasni deci ovog uzra sta.

Za otkrivawe re{ewa nejedna~ine najboqe su se pokazale tablice pomo}u

kojih se sagledavaju re{ewa.

Da bi uspe{no savladali re{avawe nejedna~ine, u~enici moraju dobro

znati kako se dobija nepoznati sabirak, kako izra~unavamo nepoznati

umawenik ili umawilac. Kroz date primere u~enici }e biti u prilici da

prove`baju nejedna~ine. Posebno su zna~ajni zahtevi tekstualnih zadataka

koje treba prevesti u matemati~ki zapis.

4.2.6. RAZLOMCI

U drugom razredu bilo je re~i o razlomcima. Jedno celo delili smo na

polovine i na ~etvrtine. Ovaj put }emo obnoviti znawa vezana za polovine

i ~etvrtine i pro{iriti znawa u~e}i osmine, zatim tre}ine, {estine i

devetine, pa petine i sedmine i na kraju desetine, stote i hiqadite delove.

Na konkretnim primerima u~enici uvi|aju kako izgleda jedna celina i

kako izgledaju delovi te celine (grafi~ki prikazi). Simetrija se obra|uje

pre razlomaka kao uvod u mogu}nost podele celog na dva jednaka dela ili

vi{e wih. Trebalo bi ukazati na to da mo`emo jedno celo, na primer krug,

deliti na dva jednaka dela, ali i neku koli~inu, na primer 126 dinara, deli-

ti na dve jednake koli~ine.

Od u~enika }e se zahtevati da obojene delove figure (celog) zapi{u

razlomkom ili da u odnosu na dati razlomak oboje deo neke figure. Ukoliko

su dobro razumeli grafikone, onda }e na osnovu slika (3, 4. i 5. zadatak)

zakqu~iti kako da oboje polovinu zelenom bojom ili kako da podele jagode na

~etiri dela (tawira). Na kvadratnoj mre`i }e uz pomo} kvadrati}a da

odrede koliko iznosi cela figura, ako je dat samo jedan wen deo. Tu se, pre

svega, ima u vidu povr{ina figure.

Kao jedno celo uzimali smo veli~ine poput jednog metra ili deset litara

i odre|ivali wihove polovine, ~etvrtine, petine itd. Na taj na~in,

ve`baju}i razlomke, utvr|ivali smo i mere i deqewe.

29

4.3. Geometrija

4.3.1. KRUG I KRU@NICA

U okviru ove teme od u~enika se o~ekuje da odgovore na pitawa:

• [ta je kru`nica (kru`na linija)?

• [ta je krug?

• [ta je unutar kruga, a {ta je van wega?

• [ta je polupre~nik?

• [ta je pre~nik?

i da ispune zahteve:

• crtawa kru`nice uz pomo} {estara i

• uo~avawa centra i polupre~nika kruga.

Od u~iteqa se o~ekuje da ohrabri, podu~i i usmeri u~enika da zapa`a

oblike uz pomo} novih termina krug, kru`nica, pre~nik i polupre~nik, da ga

podu~i kori{}ewu didakti~kih sredstava lewira, {estara... i da ga pod-

stakne na kreirawe novih oblika.

U~enicima treba skrenuti pa`wu na to da im je za ovaj ~as potreban meta -

lni nov~i}. U~iteq mora da insistira na tome da je zatvorena kriva linija

opisana oko nov~i}a kru`nica, a da je povr{, kasnije obojena, krug. Na taj

na~in }e praviti razliku izme|u kru`nice kao linije i kruga kao povr{i.

Ista}i da je kru`nica deo kruga.

Pored ovih termina uvode se pojmovi pre~nika i polupre~nika, kao i

centra kruga. U~enici bi trebalo da uvide da je centar kruga ta~ka od koje su

sve ta~ke na kru`nici podjednako udaqene. Zato je udaqenost od centra do

neke ta~ke na kru`nici (polupre~nik) obra|ena u nekoliko zadataka da bi

te termine u~enici savladali pojmovno i manipulativno.

Samo dovr{avawe viwete za u~enike ima vi{estruki zna~aj, jer }e oni,

pored toga {to razvijaju ma{tu i stvaraju nove oblike, tra`iti centre tih

krugova da bi dovr{ili viwetu. Uz to }e morati da koriste i pribor

({estar).

U~enici }e biti u prilici da mere polupre~nike i pre~nike i da

ve`baju i utvr|uju znawa vezana za merewe du`ine.

30

4.3.2. PRAVA, POLUPRAVA I DU@

Paralelne i normalne prave

U okviru ove teme od u~enika se o~ekuje:

• da pro{ire i upotpune znawa o du`ima, pravama i polupravama ste~ena

u prethodnim razredima,

• da upoznaju i intuitivno shvate mogu}e polo`aje dve prave u ravni

(paralelne prave, prave koje se seku i, specijalno, prave koje se seku pod

pravim uglom, tj. normalne prave),

• da rukuju priborom za crtawe ({estar i lewir),

• da znaju da obele`e nacrtane figure i

• da razvijaju i neguju potrebu za uredno{}u, precizno{}u i estetikom.

Od u~iteqa se o~ekuje da u~enike podseti na ve} ste~ena znawa, da pod-

stakne zapa`awa u~enika i da im pomogne u sticawu rutine u baratawu

{estarom i lewirom.

U~enici su upoznati sa pojmovima du`, poluprava, prava i prav ugao. Svoja

znawa o ovim pojmovima pro{iri}e saznawima o odnosu dve prave u ravni

i o nadovezivawu du`i. Potrebno je da deca umeju da prepoznaju ove odnose u

prirodi i neposrednoj okolini.

Ciq je da u~enici umeju da prepoznaju i razlikuju du`, pravu i polupravu.

Od wih se o~ekuje da ove figure znaju da obele`e i nacrtaju. U prvom zadatku

od wih se tra`i da iz ta~ke povuku nekoliko polupravih. Ciq je da sami

do|u do saznawa da se iz ta~ke mo`e povu}i bezbroj polupravih.

U okviru ove nastavne teme ponu|eno je i savla|ivawe crtawa paralelnih

i normalnih prava u nekoliko koraka. Nizom od desetak zadataka u~enici

}e imati priliku da prove`baju uo~avawe i crtawe pravih i polupravih

koje su paralelne ili normalne.

Merewe, upore|ivawe i nadovezivawe du`i

U prethodnim razredima nau~ili smo {ta su krive, prave i izlomqene

linije, kao i to {ta su otvorene i zatvorene linije. Kroz temu „Upore|i -

vawe du`i” podseti}emo se znawa o du`ima i pro{iriti ih saznawem o po -

stupku merewa du`ine du`i lewirom i o postupku nadovezivawa du`i. Ovo

je jedna od tema koja ima za ciq da pripremi u~enika za izra~unavawe obima

figura, specijalno u tre}em razredu za izra~unavawe obima pravougaonika,

kvadrata i trougla.

U~enici }e nadovezivati du`i pomo}u {estara, a proveravati pomo}u

lewira. Tako }e istovremeno ve`bati aritmetiku (sabirawe i mno`ewe),

rukovawe {estarom i lewirom i merewe du`ine.

31

4.3.3. MNOGOUGAO I UGAO

U okviru ove teme od u~enika se o~ekuje da nau~i {ta je ugao, {ta ~ini

ugao, da zna kako se obele`ava i zapisuje ugao, da zna da imenuje, razlikuje i

delimi~no upore|uje uglove (o{tri, pravi tupi uglovi), da zna da ih nacrta

i prepozna modele uglova u svom okru`ewu.

Nastavna jedinica „Ugao” treba da utvrdi i pro{iri znawa vezana za

ugao. Od u~enika se o~ekuje da na crte`ima uo~ava neke jednostavnije vrste

mnogouglova kao {to su trougao, ~etvorougao i petougao.

Dato je i nekoliko kombinatornih zadataka tipa: odrediti sve mnogou-

glove koje odre|uju tri poluprave i sli~no.

4.3.4. PRAVOUGAONIK, KVADRAT I TROUGAO

Pravougaonik i kvadrat

U okviru ove teme od u~enika se o~ekuje da nau~i:

• da razlikuje kvadrat i pravougaonik i da ih uo~ava u okolini,

• da obnovi znawa o kvadratu i pravougaoniku i wihovim elementima

(teme, stranica, ugao),

• da zna da meri i upore|uje du`inu stranica i da odredi {ta su to

naspramna, a {ta susedne stranice,

• da nacrta kvadrat i pravougaonik na kvadratnoj mre`i,

• da nacrta kvadrat i pravougaonik uz pomo} trougaonika,

• da nacrta kvadrat i pravougaonik uz pomo} {estara i lewira,

• da usvoji i upore|uje svojstva kvadrata i pravougaonika,

• da zna {ta ozna~ava pojam obim,

• da primeni znawa o obimu na konkretnim zadacima.

Od u~iteqa se o~ekuje da u~enika motivi{e, ohrabri, usmeri, podu~i i ispi-

ta mogu}nosti primene ste~enih znawa o pravougaoniku i kvadratu kao i da ga

nau~i da crta pravougaonik i kvadrat na na~ine date u radnom uxbeniku.

Uo~avawe pravougaonika i kvadrata

Na po~etku je predvi|eno da se obnove znawa iz prethodnih razreda. Ciq je

da se u~enici prisete obele`avawa temena i stranica pravougaonika i kvadra-

ta. Pored toga, potrebno je da znaju da izmere du`inu stranica i da ove figure

mogu nacrtati na kvadratnoj mre`i ili uz pomo} {ablona. U ovom uzrastu

u~enici bi trebalo da znaju koja su zajedni~ka svojstva pravougaonika i

kvadrata (da su im naspramne stranice paralelne, a susedne stranice obrazuju

prave uglove). Tako|e, trebalo bi da znaju da istaknu i osnovnu ra zliku izme|u

kvadrata i pravougaonika (susedne stranice kod pravougaonika su razli~itih

du`ina, a kod kvadrata su sve stranice jednakih du`ina, pa i susedne).

32

Kao prvi zahtev dato je izdvajawe pravougaonika i kvadrata odre|enim

bojama iz mno{tva mnogouglova. Ove figure }emo prepoznavati i na pre d -

metima koji nas okru`uju (tabla, sat, ormar, polica za kwige).

Crtawe pravougaonika i kvadrata uz pomo} trougaonika i lewira

Kroz crtawe pravougaonika i kvadrata u~enici }e biti u prilici da

primene sva ste~ena znawa o ovim figurama. Mora}e da vode ra~una o tome

da uglovi budu pravi (zato }e im poslu`iti prav ugao na trougaoniku), da

stranice budu odgovaraju}ih du`ina i da ih pravilno obele`e.

Crtawe pravougaonika i kvadrata {estarom i trougaonikom

Kod crtawa {estarom i trougaonikom u~enicima treba skrenuti pa`wu

na prave koje se seku i na na~in na koji se one seku. Da bi se dobio pravouga -

onik, potrebno je nacrtati prave koje se seku pod o{trim uglom. [estarom

opisujemo kru`nicu i spajamo mesta gde prave seku kru`nicu. Kod crtawa

kvadrata prave se seku pod pravim uglom. Opisujemo kru`nicu i spajamo

mesta gde prave seku kru`nicu i dobijamo kvadrat. Crtawe ovih figura

trougaonikom ili trougaonikom i {estarom ima za ciq da kod dece pod-

sti~e preciznost, opa`awe itd.

Obim pravougaonika

Postupak odre|ivawa obima pravougaonika je slikovito dat preko

odre|ivawa obima jedne fotografije. U~enici treba da zapaze da du`ina

izlomqene linije opisane oko fotografije predstavqa obim. Ta du`ina li -

nije predstavqa zbir du`ina stranica. Zatim nadovezivawem stranica

pravougaonika dobijamo du` ~ija je du`ina jednaka obimu pravougaonika.

Izra~unavawe obima obi~no }emo raditi kori{}ewem odgovaraju}e formule.

Obim pravougaonika }emo zatim izra~unavati u nizu zadataka. Jedan broj

zadataka odnosi se na situacije iz realnog `ivota (izra~unavawe obima

dvori{ta, sportskih terena...).

Obim kvadrata

Obim kvadrata izra~unavamo na isti na~in kao i obim pravougaonika.

Pri tom }emo isticati i koristiti ~iwenicu da su kod kvadrata sve ~etiri

stranice jednake du`ine.

Trougao

U okviru ove teme od u~enika se o~ekuje da:

• nau~i da trouglove razlikuje po vrstama (jednakostrani~an i jed-

nakokrak) i da ih uo~ava u okolini,

33

• obnovi znawa o trouglovima i wihovim elementima (teme, stranica,

ugao),

• zna da meri i upore|uje du`ine stranica i da ih imenuje,

• nacrta trougao uz pomo} pribora za crtawe,

• zna {ta je obim trougla,

• primeni ste~ena znawa ne samo u zadacima nego i u konkretnim situaci-

jama.

Od u~iteqa se o~ekuje da u~enika motivi{e i ohrabri u u~ewu i da ga

nau~i da crta trougao.

Uo~avawe trouglova

Uo~avawe trouglova podrazumevalo bi podse}awe na ve} poznate kara -

kteristike: tri stranice, tri ugla... Ono {to je tako|e poznato jeste i na~in

obele`avawa stranica i temena. Kao novina pomiwu se vrste trouglova,

trouglovi sa jednakim stranicama, trouglovi sa svim stranicama razli~ite

du`ine, trouglovi ~ije su dve stranice jednake du`ine, a tre}a razli~ita. U

kwizi je pomenuto i obele`avawe uglova unutar trougla i na~in na koji se

oni obele`avaju.

Crtawe trouglova

Crtawe trouglova uz pomo} trougaonika i {estara bi}e izlo`eno u neko-

liko koraka. Crtawe pojedinih vrsta trouglova je posebno izlo`eno.

Naravno da crtawe nije samo sebi svrha, ve} je osnovni ciq utvr|ivawe

ste~enih znawa o trouglu, razvijawe manipulativnih sposobnosti, pre-

ciznosti i sli~no.

Obim trougla

Obim trougla uveden je slikovito da bi u~enici lak{e shvatili pojam

obima trougla. Za trougao va`i isto pravilo kao i za pravougaonik i

kvadrat – da je obim zbir du`ina svih stranica figure.

U radnom uxbeniku dat je dovoqan broj zadataka na kojima }e u~enici

biti u prilici da prove`baju i utvrde ste~ena znawa.

4.3.5. SIMETRIJA

Neposredan povod za obradu simetrije jeste potpunije obja{wavawe i

uvo|ewe razlomaka, a prava korist je po~etno uobli~avawe intuitivne pred-

stave o simetriji.

Simetriju uvodimo koriste}i se rezawem preklopqenog papira. Linija

po kojoj smo preklopili papir i koja ga deli na dva jednaka dela }e pre d -

34

stavqati simetralu figure nacrtane na papiru. To se mo`e lepo videti iz

prilo`enog materijala. U~iteqima predla`emo da u~enicima poka`u i

otisak boje na preklopqenom papiru. U slede}em koraku u~iteq bi mogao da

donese providan papir.

Na po~etku u~enici uo~avaju simetri~ne figure koje imaju vertikalnu

simetralu (qudsko telo), zatim fugure koje imaju horizontalnu simetralu

(odraz predmeta u vodi, ogledalu itd.) i na kraju figure koje imaju kosu sime-

tralu.

Kroz zadatke koji su dati, u~enici }e utvr|ivati koje su simetri~ne fi -

gure, a koje ne, utvr|iva}e crtawe simetrala i dr. Tako }e do}i do saznawa da

nisu sve figure simetri~ne, a i one koje jesu, nemaju isti broj simetrala. Na

primeru pravougaonika i kvadrata (presavijawem izrezanih figura)

uveri}e se u broj simetrala koje ove figure imaju.

4.4. Mere i merewe

4.4.1. MERE I MEREWE DU@INE

U okviru ove teme od u~enika se o~ekuje:

• da potpuno utvrdi znawa o jedinicama za merewe du`ine koje je ve}

radio (centimetar, decimetar, metar),

• da usvoji znawa o novim jedinicama za merewe du`ine (milimetar,

kilometar),

• da uo~ava i zapisuje odnos me|u jedinicama mere,

• da shvati kada se koja jedinica koristi (da se rastojawe izme|u gradova

ne meri ni metrima, a posebno ne milimetrima...) i

• da primeni nau~eno u konkretnim situacijama.

Od u~iteqa se o~ekuje da podu~i i motivi{e rad u~enika i kada je merewe

du`ine u pitawu da koordinira, organizuje i kontroli{e razna merewa u

u~ionici i {kolskom dvori{tu. Na ove ~asove u~iteq bi trebalo da donese

{to vi{e razli~itih vrsta mernih „instrumenata” (zidarski metar, kroja -

~ki metar i sli~no).

Jo{ jednom }emo podsetiti u~enike da merewe ne mo`emo vr{iti bilo

kako, ve} da, ukoliko `elimo precizne podatke, moramo imati odgovaraju}i

pribor i poznavati tehniku merewa.

U~enike bi trebalo osposobiti da ~itaju auto-kartu, da izmere dimenzi-

je svoje sobe i kona~no da mogu u otvor {estara da uzmu 37 milimetara. [to

vi{e prakti~nih merewa, to }e ova tema biti boqe realizovana. Tabelirawe

rezultata merewa je svakako po`eqno.

Putem zadataka u~enici }e biti u prilici da utvrde ve} ste~ena znawa i

da ih primene u konkretnim situacijama.

35

4.4.2. MERE I MEREWE MASE

U okviru ove teme od u~enika se o~ekuje:

• da intuitivno shvate pojam mase kao svojstva materije (tela),

• da usvoje znawa o jedinicama za merewe mase (gram, kilogram, tona),

• da upore|uju mase razli~itih tela ili koli~ina (ve}a masa, mawa masa),

• da shvate kad se koja jedinica mere upotrebqava (da se ugaq meri tonama,

jabuke kilogramima, a kafa gramima),

• da primene nau~ena znawa ne samo u zadacima, ve} pre svega u realnom

`ivotu.

Od u~iteqa se o~ekuje da podu~i i da motivi{e u~enike u radu, da orga-

nizuje, koordinira i kontroli{e razna konkretna merewa. Zbog toga bi ~as

posve}en ovoj nastavnoj jedinici trebalo da po~ne dono{ewem vi{e

razli~itih vrsta vaga, kao {to su vaga za merewe telesne te`ine, vaga sa di -

gitalnom skalom i standardna kuhiwska vaga.

Svaki u~enik trebalo bi da zna da obavi merewe, pro~ita rezultat i da ga

zapi{e. Rezultate wihovih merewa mo`emo sre|ivati po vi{e osnova (npr.:

Koliko kilograma ima ceo red ili svaki u~enik pojedina~no?). Tabelirawe

podataka je po`eqno. Iz tabela je lako pro~itati ko je najte`i ({ta je

najte`e) i sli~no. Osim toga, ova merewa mogu poslu`iti i za ve`bawe

sabirawa i mno`ewa. [to vi{e prakti~nih merewa izvr{imo (mo`emo

koristiti terazije, pomo}u kojih u~enici mogu da mere kwige, bojice,

olovke ili bilo {ta drugo), to }e ova tema biti boqe realizovana.

Pored toga, trebalo bi obratiti pa`wu i na bruto i neto masu, odnosno

te`inu suda u kome se neka masa nalazi. Konkretna merewa u ovom smislu jesu

neophodna.

Merewe mase i vaga mogu pomo}i u re{avawu jedna~ina kao pomo}na ili

alternativna metoda.

4.4.3. MERE I MEREWE ZAPREMINE TE^NOSTI

U okviru ove teme od u~enika se o~ekuje:

• da intuitivno shvate pojam zapremine,

• da usvoje znawa o jedinicama za merewe zapremine te~nosti (litar,

decilitar, centilitar, mililitar, hektolitar),

• da upore|uju razli~ite zapremine te~nosti,

• da shvate kad se koja jedinica mere upotrebqava i

• da primene nau~ena znawa ne samo u zadacima, ve} i u konkretnim

situacijama.

Od u~iteqa se o~ekuje da podu~i i motivi{e u~enike u radu, da organizu-

je, koordinira i kontroli{e razna merewa zapremine. Zato je na ovim ~aso-

vima neophodna odgovaraju}a posuda za merewe zapremine te~nosti.

36

Od nekoliko u~enika tra`iti da donesu posude razli~itih zapremina, pa

na ~asu sprovesti konkretna merewa. Obavqena merewa tabelirati, a zatim

podsta}i u~enike da kombinuju (razna dodavawa i oduzimawa) izra~unate

zapremine. Uz pomo} merewa zapremine te~nosti u~enici }e obnoviti

osnovne ra~unske operacije, {to }e pomo}i wihovom utvr|ivawu.

Ovu nastavnu jedinicu mo`emo iskoristiti da ubedimo u~enike da posto-

ji razlika izme|u mase i zapremine te~nosti. Za po~etak, trebalo bi tra`iti

od u~enika da na ~as donesu razli~ite deklaracije sa proizvoda kao {to su

uqe, sok, kafa, ~okolada i sli~no. Slede}i korak bio bi da se na primeru

poka`e (uzeti, recimo bra{no i {e}er) da dva tela ili koli~ine mogu imati

iste zapremine, ali razli~ite mase. To }e u~enike najboqe ubediti u

neophodnost, s jedne strane, i razlike, s druge strane, jednih i drugih merewa.

4.4.4. MERE I MEREWE VREMENA

O merewu vremena bilo je re~i u drugom razredu. Ovaj put obnovi}emo

znawa o pojmovima kao {to su minut, ~as, dan, nedeqa, mesec, godina... i

pro{iriti znawa u istom smeru.

Jo{ na samom po~etku podseti}emo se merewa vremena na ~asovniku ({ta

pokazuje mala, a {ta velika kazaqka, koliko ~as ima minuta, koliko dan ima

~asova...). Uz pomo} prva dva zadatka u~enici }e se podsetiti redosleda dana u

nedeqi. Tada }e sami sastaviti raspored ~asova uz zahtev da pored ~asova ispi{u

vreme po~etka i zavr{etka ~asa. Tako }e povezivati pojmove u jednu celinu.

Osim toga ima}e mogu}nost da utvrde nau~eno gradivo pomo}u pre -

tvarawa minuta u ~asove i obrnuto. U ~etvrtom i petom zadatku }e imati

mogu}nost da primene znawe na konkretnim primerima (koliko ima sati –

da to zabele`e na ~asovniku i da sa ~asovnika pro~itaju i zapi{u). Jo{

zahtevniji uslov javqa se u osmom zadatku u kojem treba da izra~unaju koliko

je vremena pro{lo. To }e im pomo}i da uspe{no vladaju kategorijom vreme-

na i da se snalaze u svakoj situaciji (TV program, po~etak ~asa, kraj ~asa,

po~etak i kraj koncerta, filma, predstave...).

U kategoriju merewa vremena spadaju meseci i godine. Kroz primer dat u

uxbeniku (Ko je stariji?) u~enici }e se u~iti merewu vremena (dana u mese-

cu, meseci u godini). Redom kojim odmi~u meseci dobi}e odgovor. Kroz

zadatke koji su dati mo}i }e da prove`baju pretvarawe godine u mesece i

mesece u godine. Zatim }e odrediti stoti dan u godini koja nije prestupna

(prestupnu godinu u zadacima treba nagla{avati), koliko ima meseci u

odre|enom broju godina, koliko ima dana u odre|enom broju meseci...

Ovakva ve`bawa }e ih podsta}i na razmi{qawe i na razvijawe pa`we, jer

}e morati da vode ra~una o ve} ste~enim pojmovima (broju dana u mesecu,

broju dana u godini...).

Osnovna razlika u odnosu na drugi razred jeste u tome {to sada mogu kori -

stiti brojeve preko 100. U~enici imaju mogu}nost da pretvaraju ~asove u

minute, na primer: Koliko 6 ~asova ima minuta?

37

Ova nastavna jedinica mo`e se iskoristiti za organizovawe igara sa

~asovnikom. Na primer, za koliko minuta mo`emo obi}i {kolsko

dvori{te tr~e}im korakom, ili za koliko minuta mo`emo obi}i {kolsko

dvori{te hodom. U~enici }e biti motivisani da precizno mere vreme, jer

}e tako utvrditi ko je pobedio ili ko je od koga br`i i za koliko.

U svakom slu~aju, i ova nastavna jedinica, pored svih pojmova kojima je

u~enike nau~ila, vra}a ih opet na sam po~etak, na ra~unske operacije (sabi-

rawe, oduzimawe, mno`ewe, deqewe). Pretvaraju}i ~asove u minute i obrnu-

to, ili, ra~unaju}i koliko je vremena potrebno za neki posao, u~enici pre

svega obnavqaju ra~unske operacije.

38

4.5. PROSTOR ZA KOMENTARE

KORISNIKA OVOG RADNOG UXBENIKA

39