i.e.s. manuel losada

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MATEMÁTICAS B 4º E.S.O. MATERIAL CURRICULAR CURSO 2011-2012 ALUMNO/A:............................................................. GRUPO:...............

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS I.E.S. MANUEL LOSADA VILLASANTE

MATEMÁTICASB. PROGRAMACIÓN PARA EL CURSO 2011-2012.

Índice:

UNIDAD I. NÚMEROS REALES. POTENCIAS Y RADICALES. ............................. 3

1. Números Reales. .................................................................................................... 3 Números Racionales e Irracionales. ......................................................................... 3 Ordenación de los números reales. ........................................................................... 6 Relación de orden y suma......................................................................................... 6 La recta real. ............................................................................................................. 7 Intervalos y semirrectas. Valor absoluto. Entornos de un punto. ........................... 10

2. Potencias Reales.................................................................................................... 13 Propiedades de las potencias. ................................................................................. 13 Potencia de exponente fraccionario........................................................................ 14 Potencias de exponente irracional. ......................................................................... 14 Radicales. Propiedades. Operaciones con radicales. Racionalización. .................. 16

UNIDAD II. TRIGONOMETRÍA ................................................................................ 23 Introducción............................................................................................................ 23 Medidas de ángulos. Sistema sexagesimal y S.I. ................................................... 30 Razones trigonométricas de ángulos agudos. ......................................................... 31 Cálculo de las razones de los ángulos de 30º, 45º y 60º. ........................................ 32 Relaciones fundamentales de la trigonometría....................................................... 34 Ampliación del concepto de ángulo. Sentido de giro. Ángulos positivos y negativos................................................................................................................. 35 Razones de un ángulo cualquiera. Reducción a las razones de un ángulo conocido del primer cuadrante. .............................................................................................. 36 Ejercicios y problemas de trigonometría. ............................................................... 37

UNIDAD III. EXPRESIONES ALGEBRAICAS. ....................................................... 41 Manejo de expresiones literales.............................................................................. 41 Operaciones con polinomios. ................................................................................. 43 Regla de Ruffini. .................................................................................................... 47 Factorización. ......................................................................................................... 49 Fracciones Algebraicas........................................................................................... 52

UNIDAD IV. ECUACIONES E INECUACIONES. ............................................. 63

1. Ecuaciones. ............................................................................................................ 63 Ecuaciones de segundo grado y grado superior...................................................... 63 Ecuaciones irracionales. Ecuaciones racionales..................................................... 67 Resolución gráfica y algebraica de los sistemas de ecuaciones lineales y no lineales con dos incógnitas. ................................................................................................. 70

2. Inecuaciones. ......................................................................................................... 76 Resolución de inecuaciones de primer grado. ........................................................ 77 Inecuaciones lineales con dos incógnitas. .............................................................. 78 Sistemas de inecuaciones lineales. ......................................................................... 79

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Inecuaciones de segundo grado. ............................................................................. 80 Inecuaciones polinómicas de grado superior al segundo. ...................................... 82 Inecuaciones Racionales......................................................................................... 84

UNIDAD V. LOGARITMOS. ECUACIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS. ......................................................................................................... 96

Concepto de logaritmo. Nomenclatura. Cálculo de logaritmos en cualquier base. 96 Propiedades de los logaritmos. ............................................................................... 97 Ecuaciones logarítmicas y exponenciales............................................................... 97

UNIDAD VI. FUNCIONES........................................................................................ 102 Funciones. Definición........................................................................................... 102 Propiedades generales de las funciones................................................................ 107 Clasificación de las funciones a partir de la ecuación o criterio que la define. Representación gráfica. ........................................................................................ 119 Límite de funciones .............................................................................................. 136

UNIDAD VII. ESTADÍSTICA.................................................................................... 142 Estadística: clases y conceptos básicos. ............................................................... 142 Variables o caracteres estadísticos. ...................................................................... 143 Encuestas y muestreo. .......................................................................................... 143 Encuestas y muestreo. .......................................................................................... 144 Tablas estadísticas: recuento. ............................................................................... 146 Tablas estadísticas: frecuencias. ........................................................................... 148 Representaciones gráficas..................................................................................... 150 Diagramas de tallos y hojas. ................................................................................. 153 Medidas estadísticas. Clasificación. ..................................................................... 157 Parámetros de centralización. ............................................................................... 157 Parámetros de dispersión. ..................................................................................... 161 Coeficiente de variación. ...................................................................................... 163

UNIDAD VIII. PROBABILIDAD .............................................................................. 168 Experimentos aleatorios. Sucesos......................................................................... 168 Operaciones con sucesos. ..................................................................................... 170 Probabilidad de un suceso .................................................................................... 172 Regla de Laplace .................................................................................................. 173 Frecuencia y probabilidad .................................................................................... 175 Propiedades de la probabilidad............................................................................. 176 Probabilidad condicionada. .................................................................................. 178 Sucesos dependientes e independientes................................................................ 178

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UNIDAD I. NÚMEROS REALES. POTENCIAS Y RADICALES.

1. Números Reales. Números Racionales e Irracionales. Recordemos los tipos de números que conocemos: Números naturales que representamos por N. Son los números que utilizamos para contar y ordenar. Formado por los números 1,2,3,4… Números enteros que representamos por Z. Son los números que necesitamos para representar operaciones imposibles en N, como la resta o diferencia : 3 - 8 Formado por los números …,-3,-2,—1, 0, +1 ,+ 2, +3… Números racionales que representamos por Q. Son los números que se representan mediante fracciones o mediante el decimal que procede de esta división indicada. De esta forma hemos trabajado con números decimales, de los que conocemos decimales limitados. Ej. 2,34 ; 1,25 ... y decimales ilimitados periódicos Ej. 2,333…; 1,2323 23... . y también con fracciones. Números Racionales: (Q) Sabemos que los racionales podemos representarlos mediante fracciones o mediante decimales. Para pasar de fracción a decimal solamente tenemos que dividir el numerador entre el denominador.

Veamos casos que se pueden presentar: 75,043= decimal exacto;

...6666,032= decimal periódico puro; ..166.2

613

= .decimal periódico mixto

Vemos por lo tanto que pasar de fracción a decimal es muy simple solo debemos dividir. Veamos el recíproco, pasar de decimal a fracción: a) Primer caso decimal exacto: Es muy simple solo tenemos que escribir la fracción

decimal correspondiente 43

1007575, ==0 y así obtenemos la fracción

Numerador: Parte entera y decimal sin coma. Denominador: Unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales haya. En el caso de los decimales periódicos: Tenemos el problema de las infinitas cifras decimales y que hacer con ellas para poder escribir la fracción correspondiente. b) Segundo caso decimal periódico puro: calculo de la fracción del decimal 0,666… Llamaremos “x” a la fracción buscada: Luego ...666,0=x . El sistema consiste en escribir dos igualdades equivalentes de forma que su diferencia elimine todos los decimales. Para ello multipliquemos x = 0,666.. por diez y obtenemos 10 x = 6,666..

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Restando ambas :

10 x = 6, 666… x = 0, 666…

9 x = 6 32

96==→ xdespejando obtenemos la

fracción. Numerador: A la parte entera y decimal sin coma se le resta la parte entera. Denominador: Tantos 9 como cifras tiene el periodo. Ejercicio 1.- Calcula la fracción generatriz del decimal: a) 0,3333... b) 12,787878... c) 9,256256256... d) 145,2222... e) – 34,676767.... c)Tercer caso decimal periódico mixto: calculo de la fracción del decimal 2,166… Llamaremos “x” a la fracción buscada: Luego x = 2,166… que es un decimal periódico mixto, y en principio no sabemos como tratarlo, pero si multiplicamos está ecuación por 10 obtendremos un decimal periódico puro que trataremos como en el caso anterior: 10 x = 21,666… que ya sería un decimal puro, y procederíamos como en el caso a) Volvemos a multiplicar por diez: 100 x = 216,666…

Restando ambas :100 x = 216 ,666… 10 x = 21,666…

90 x = 195 6

131839

90195

===→ x

Para comprobar si hemos encontrado la fracción adecuada basta dividir 13 9÷ Numerador: A la parte entera y decimal sin coma se le resta la parte entera seguida de anteperiodo. Denominador: Tantos 9 como cifras tiene el periodo seguidos de tantos 0 como cifras tiene el anteperiodo Ejercicio 2.- Escribe la fracción de los siguientes decimales a) 3,4 b) 2,02 c ) 1,333… d ) 12, 2 333… e) 2,8212121 … f) 1,2 3535… Número irracionales. Tomemos el cuadrado mas simple el de lado 1 (cm, m, km etc) sabemos que existe una relación entre el lado y la diagonal Calculemos la diagonal del cuadrado de lado 1.

Apliquemos el Teorema de Pitágoras al triangulo rectángulo que resulta de dividir mediante la diagonal el cuadrado en dos partes:

d 2 = 12 + 1 2 = 1+1 = 2 d 2 = 2

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He aquí la información: la diagonal es un número cuyo cuadrado es 2 Si calculamos el número que multiplicado por sí mismo dé 2, es decir si calculamos la raíz cuadrada de 2 obtenemos: 2 = 1, 41421356237309505…. Podemos ver que la raíz es un número decimal ilimitado no periódico. Demostración: Como todo los números decimales que conocemos son periódicos es lógico pensar que éste número procede de una división. Si procede de una división podemos suponer que esa división es la fracción irreducible

ba ;

Luego el número cuyo cuadrado es 2 será : 2=ba

Si elevamos al cuadrado los dos miembros de la anterior igualdad tendremos:

( )22

2=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

ba 22 2

22

2

2

=→=→ba

ba

Esta última igualdad es absurda. ¿Cómo una fracción irreducible puede ser igual a 2? ¡Algo está mal!

En efectos: Habíamos dicho que ba era una fracción irreducible, luego 2

2

ba también lo

será. (una fracción irreducible no es posible simplificarla mas).

Luego si 2

2

ba es irreducible ¿Cómo puede ser igual a 2?

Conclusión: Por lo tanto la hipótesis de que este número procede de una división, es falsa. Este número decimal no periódico con infinitas cifras decimales es distinto a los conocidos hasta ahora. Estos números no son racionales, y se les llaman IRRACIONALES. Se dice que un número es irracional a un decimal que posee infinitas cifras decimales no periódicas. El conjunto de estos se representa por I. Otros números irracionales son: ,7,5,3 … También son irracionales los que proceden de operaciones con irracionales con números racionales:

3 - 2 , ,2

51+ 5 9 ,….

También lo es el número π = 3,141592653589793…..cuya irracionalidad no se demostró hasta el siglo XVIII.

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Vamos a llamar números reales al conjunto de los números por racionales e irracionales: Naturales (N) Enteros (Z) Cero Racionales (Q) Enteros negativos (Z - ) Fraccionarios REALES ( R ) Irracionales (I) Ordenación de los números reales. En los números reales se define la relación de orden como una extensión de la definida en los números racionales. Cuando queremos expresar que 7 es menos o igual que 19, escribimos 7 ≤ 19, equivalente a decir que 19 – 7 = 12 es positivo. La relación de orden, <, menor que, entre números reales se define así:

a < b ⇔ b – a es positivo Una desigualdad, lo mismo que una igualdad, puede ser cierta o falsa. Por ejemplo, la desigualdad x < 7 es cierta para x = 5, ya que 5 < 7, pero es falsa para x = 12, ya que 12 < 7 no es cierta. Se define de forma análoga las relaciones menor o igual que, ≤ , mayor que, >, mayor o igual que, ≥ . Relación de orden y suma. Veamos en los siguientes ejemplos cómo varía la relación de orden al sumar o restar un número a los dos miembros de la desigualdad:

7 < 10,5 restando 12 se tiene – 5 < - 1,5 - 2,6 > - 4 sumando 10,3 se tiene 7,7 > 6,3

- Si a los dos miembros de una desigualdad se les suma o resta un mismo número, se obtiene otra desigualdad en el mismo sentido. Relación de orden y producto En estos ejemplos se muestra cómo varía la relación de orden al multiplicar o dividir por un número distinto de 0 los dos miembros de la desigualdad:

3,2 < 5,7 multiplicando por - 10 se tiene – 32 > - 57 - 8,1 <- 4,7 multiplicando por 10 se tiene – 81 < - 47

Si los dos miembros de una desigualdad se multiplican o dividen por un número, se obtiene otra desigualdad:

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- Si el número es mayor que cero, del mismo sentido. - Si el número es menor que cero, de sentido contrario.

La recta real. Existe una correspondencia entre el conjunto de los números reales y el de los puntos de una recta; es decir, a cada número real corresponde precisamente un punto, y a cada punto corresponde un número real preciso, a una recta de éste tipo se le llama recta real.

Representar números enteros.

Representar números decimales. Para representar el número decimal 0,7 observamos que es un número comprendido entre 0 y 1. Dividimos el segmento unidad entre los números 0 y 1 en 10 partes iguales. Tomamos 7 de esas partes contando a la derecha

(pues 0,7 es un número positivo) desde el 0.

Para representar el número 2,5 que es un número comprendido entre 2 y 3, dividimos el segmento entre los números 2 y 3 en 10 partes iguales. Tomamos 5 de esas partes contando a la derecha desde el 2.

Representar números fraccionarios. Fracciones propias e impropias.

Una fracción se llama propia si el numerador es menor que el denominador. Su cociente es un número comprendido entre 0 y 1.

Por ejemplo, 2/3 y 3/4 son fracciones propias.

Una fracción es impropia si por el contrario el numerador es mayor que el denominador. Su cociente es mayor que 1.

Por ejemplo, 5/3 y 9/4 son fracciones impropias.

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Si queremos representar el número 1/3, por ser una fracción propia, su representante en la recta será un punto comprendido entre 0 y 1. Dividimos el segmento unidad en tres partes y tomamos 1, contando desde el 0.

Ejercicio 1. Representa el número 1/3 en tu cuaderno. Para dividir el segmento unidad en tres partes iguales realiza las siguientes operaciones con el cartabón, la escuadra y el compás:

• Dibuja un segmento horizontal. Señala el extremo izquierdo con el número 0 y el derecho con el 1. Ese será nuestro segmento unidad.

• Traza desde el 0 una semirecta cualquiera que no sea horizontal. • Con el compás, marcamos en esa semirecta desde el 0 tres medidas iguales. • Con una regla trazamos el segmento que une la última marca del compás en la

semirecta con el punto 1. • Utilizando el cartabón y la escuadra, trazamos paralelas a ese segmento que

pasen por las otras tres marcas del compás.

Los puntos de corte de esos segmentos en el segmento unidad dividen al mismo en tres partes iguales. Cada una será 1/3, o lo que es lo mismo 0,33333…., que sería imposible de representar dividiendo infinitamente la unidad, para obtener decimas , centesimas , milésimas ….etc como hicimos con los decimales exactos.

Ejercicio 2.- Representar el número 1/6.

Si la fracción es impropia, siempre se puede descomponer en suma de un número entero más una fracción propia.

Por ejemplo, 5

13 dividiendo

Dividiendo 13 5 13/5 = 2 + 3/5,

Donde 2 es el cociente entero de la división de 13 entre 5 y 3, el resto.

Así, el número 13/5 será un punto comprendido entre el 2 y el 3. Para representar el número 13/5 deberemos representar el número 3/5 en el segmento [2,3], es decir, dividir el segmento [2,3] en 5 partes y tomar 3 desde el punto 2.

Ejercicio 2. Representa también los números 10/3, y 13/2

Observa: si el decimal que obtenemos de la fracción no es periódico siempre puedes representarlo como decimal, sin embargo si el decimal es periódico necesita para poder representarlo la construcción basada en el concepto de fracción.

El conjunto de los números racionales Q es un conjunto denso, es decir, que entre dos números racionales siempre existe otro número racional.

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Ejercicio 3.-Encuentra dos números racionales comprendidos entre:

a) 1,4 y 1,5. b) 0,34 y 0,35.

c) 47

37 y

¿Cuántos números racionales existen entre dos números racionales?

Representar números irracionales.

También los números irracionales, las raíces, por ejemplo, se representan en la recta.

Por ejemplo, para calcular el punto que representa el número 2 realiza los siguientes pasos:

Levanta sobre la recta un cuadrado cuyo lado sea el segmento unidad entre el 0 y el 1. Según el teorema de Pitágoras, la diagonal del cuadrado mide 2 .

• Utiliza un compás para trasladar esa diagonal sobre la recta. El punto de corte del arco del compás sobre la recta representa el número 2

Fíjate en la siguiente figura y dibújala en tu cuaderno.

Ejercicio 4.- De igual forma construyendo cuadrados o rectángulos de distintas dimensiones se pueden representar otros números irracionales:

a) 5 b) 10 c) 13 d) 18

Dibuja en tu cuaderno un rectángulo cuyos lados midan 2 y 1 ¿Cuánto medirá la diagonal exactamente? Represéntalo en la recta real

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Intervalos y semirrectas. Valor absoluto. Entornos de un punto. Intervalos Puesto que se pueden representar, se pueden ordenar. Es decir que dados dos números reales a y b, podemos decir que a < b , si al representarlos en la recta b queda a la derecha de a. La ordenación de números reales permite hablar de subconjuntos de números INTERVALOS comprendidos entre otros dos números, que llamaremos extremos. Tipos de intervalos: Intervalo cerrado: Conjunto de números comprendidos entre los extremos que incluye a estos extremos. Por Ej. Intervalo que contiene todos los números desde el “1” al “2” incluidos ambos números. Representemos en la recta real: ______________

[ 2,1 ]

[

[

]

1 2 Intervalo abierto: Conjunto de números comprendidos entre los extremos que NO incluye a estos extremos. Por Ej. Intervalo que contiene todos los números desde el “1” al “2” SIN incluir a ambos números.

] 2,1

Representemos en la recta real: ______________ 1 2 Intervalo semiabierto o semicerrado: Conjunto de números comprendidos entre los extremos que NO incluye a uno de los estos extremos. Por Ej. Intervalo que contiene todos los números desde el “1” al “2” SIN incluir al 2, e incluyendo al 1 ambos números. Representemos en la recta real:

[ 2,1

1 También podemos expresarlos mediante desigualdades Para el intervalo cerrado [ , siendo x cualquier número del intervalo, escribiremos: 1≤x 2

2,1≤

Para el intervalo abierto , siendo x cualquier número del intervalo, escribiremos: ] [2,1 1< x <2 Para el intervalo semiabierto [ [2,1 , siendo x cualquier número del intervalo, escribiremos: 1≤ x <2 La recta completa. Hasta ahora hemos visto la recta real, ahora vamos a ampliar R ( números reales), con dos nuevos elementos, que designaremos por ∞−∞+ y y que llamaremos mas infinito y menos infinito, completando la recta real con dichos elementos ∞− ∞+

Para ello conviene aclarar que podremos también utilizar los intervalos utilizando estos dos nuevos elementos.

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Ejemplos [ [,,1+∞ ] 3,+∞ ]− para y 1≥x 3≤x respectivamente (intervalos abiertos siempre en y ∞− ∞+ ) Ejercicio 5.- Escribir en notación de desigualdades y graficar en un eje numérico o recta real. a) [ b) [3,2− ] [2,4 −− c) [ ]2,9,3 −− d) [ [+∞− ,6 e) ] ]0,∞− Ejercicio 6.- Escribir las siguientes desigualdades en notación de intervalos y graficar: a) b) c)33 ≤<− x 21 ≤≤− x 1−>x d) 2≤x Valor Absoluto. Si “a“ es un punto de la recta real, la distancia de “a” al origen, que es una cantidad no negativa, se representa por a y se denomina valor absoluto. El valor absoluto se define: -Si el número es positivo o cero su valor absoluto es el mismo -Si el número es negativo es el opuesto del número.

⎩⎨⎧

<−≥

=00

asiaasia

a

Con el valor absoluto se pueden expresar los intervalos por ejemplo 1<x , implicará que x puede tomar los valores - 0,9 , - 0,8 ,- 0, 7, …-0,123 , 0, 0, 2 0,69, 0,999 …es decir que podemos expresarlo mediante -1<x<1 y también por el intervalo ] [1,1− Ejercicio 7.- Representar en la recta real cada uno de los conjuntos de números siguientes: a) 5,1=x b) 3≤x c) 1>x d) 0<x Entornos de un punto. El punto medio del segmento que determinan los extremos del intervalo cerrado [1, 5] es x = 3. La distancia de este punto a los extremos es 2. Los puntos x de este intervalo verifican la relación 23 ≤−x . El punto medio del intervalo abierto (1, 3) es x = 2 y su distancia a los extremos es 1. Los puntos s de este intervalo verifican 12 <−x . Los intervalos determinados por rax <− ó rax ≤− se llaman entornos cerrados o abiertos del punto a. El punto a se llama centro y la distancia r se llama radio del entorno.

El entorno cerrado se designa por E[a, r] y por E(a, r) el abierto

Ejercicio 8: Representa los intervalos: 34 ≤−x y 12 ≤+x

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Repaso 1.- Escribe un decimal correspondiente a cada número racional indicando de que tipo se trata.

157)

67)

35)

83) dcba

2.- Encuentra un número racional comprendido entre 54

74 y .

3.- Escribe en forma fraccionaria los números: a) 3,6 b) 2,444444… c) 5,4232323… 4.- Los números a, b y c son tres números reales de los que sabemos,

y 7,13,2 −≤≤− a 5,14,1 ≤≤ b 6,29,3 ≤<− c ¿Es posible escribir el signo < ó > entre a y b, b y c? y ¿entre c y a? 5.- Halla la fracción generatriz del número decimal 1,23333333... 6.-¿Cuál es el valor exacto de la altura de un triángulo equilátero de 10 cm. de lado? ¿Cuánto mide exactamente el lado de un rombo cuyas diagonales miden 18 y 12 cm.? 7.- Escribe tres números reales pertenecientes a cada intervalo: [ ] ] [ ] [ [ ] [ ]24,7,25,7,2,5,2,2,3,2,0,1,1 −−−−−− 8.- Escribe tres intervalos cuyo punto medio sea –3,25 9.- Indica en una línea recta los números que pueden sustituir a x. 7;2,5;5,2 ><= xxx 10.- Representa en la recta real los siguientes números, indicando al menor conjunto numérico al que pertenecen:

2;31;1;3 −

11.-Explica a partir del número 0,6666666... las aproximaciones que conozcas ya sea por truncamiento o redondeo ( a las décimas, centésimas, milésimas) 12.- Representa en la recta real los intervalos: a) ] [ [ [0,1)3)3)44)3,5 −<−≥<<−− exdxcxb f) E[2, 3] g) 35 ≤+x

13.- Representa en la recta real los números: 3;65;5,0;1 −− y clasifícalo

integrándolo en el menor conjunto a que pertenezcan.

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2. Potencias Reales. Propiedades de las potencias. Potencia de exponente entero. 1 Definición: a a a a a a nn = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅... ( veces). 2 Producto de potencias de igual base: a a an m n m⋅ = +

3 División de potencias de igual base: a a aaa

an m n mn

mn m: = =− − ó

4 . a 0 1=

5 aa

nn

− =1

.

6 Potencia de un producto: ( ) . a b c n an bn cn⋅ ⋅ = ⋅ ⋅

7 Potencia de una división: ( )a b a bab

ab

n n nn n

n: :=⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = ó .

8 Potencia de potencia: ( ) . a an m n m= ⋅

Además debes tener en cuenta: • Trabajar con los números descompuestos en factores primos al resolver un problema de potenciación donde intervienen las operaciones producto, división y potencia de potencia. • La simplificación de factores siempre que sea posible.

• Observa que ab

ba

ab

ba

n n n n⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ −

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = −

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

− −

y .

Al resolver esta hoja no te inventes normas nuevas, ten en cuenta las reglas de la potenciación, prioridad de operaciones y simplificación de factores sobre todo. 1. Calcula: a) ; ; ; ; ; ( ; ( ; ; ; ; ;b) 2 3 + (5 2) ; ( 3) 7 ; + 5 3 ; ; ;c) ; ; ; ; ; ; ; ;

2 3 2 2

2 2 2 10 10 1 1 1 1 1 15 3 2 7 2 7 2 7 2

3 3 6 3 5 10 2 2

2 2 2 5 8 8 9 7 8 2 2

2 2 3 3 3 3

4 4 1 4 3 4 6 6

( ) ( ) ) ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

− − − − − − − − − −

⋅ ⋅ − ⋅ − − ⋅ − − ⋅ − −

− − − − − −

+

− − − − − − − −

n n 1

d) ; ; ; ; ; ; ; ; ;

e) ; ; ; ;

( , ) ( , )

( , ) ( , ) ( )

0 0232

34

23

34

13

15

0 2523

0 572

3 2 0 5 16 2 3 2 8 4 2

52 4 2 0

2

0 21

3

23

1 2 2 1

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ −

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ −

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ − ⋅ − ⋅ − − ⋅ − ⋅

−−

−

−−

− − − −

2. Opera simplificando el resultado:

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a) ; ; ; ; 27 ; b) 2 ; ; ; ;

c) 2

; ; 5

; ;

4

8 2

2 32 4 3 27 9 3 81 8 2 625 16 5 2 81 2432 10 10 2 3 16 243 2 5 2 5 2 5 5

316 243

3 8 79 2 49

2 11625 6

2 125 32 516 5 5 2

3 2 2 2 2 2 5 6

5 4 3 8 4 2 3 5 7 4 2 7

4 5

2

2 7

3 7

3 4

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅⋅

⋅ ⋅⋅ ⋅

⋅ ⋅⋅

⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅

− − − − −

− −

− −

x x x

a b c: : ( ):( ) ( ):( )

( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )

− −

− −

−

− − −

⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⎡⎣

⎤⎦ ⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅⋅

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⋅ ⋅⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⎛⎝

3 8 3 7

4 2 6 3 7

2 4 3 5 3 2 2 28

23 2 4

3 3 2 3 5 5 7 2 2

2 4 2

12864

3 2 125 2 5 4 4 9 81 2 2 0 4 0 5

10001125 1125 625 4 100 135

7 2 35

35

a b ca b a c c

a b a b

;

d) ; ; ; 2 3 ; ;

e) ; ; ; 90 ;

f) 16 325 7

;

2

3

( ) ( , ) (5 , )

( : ) :

: ⎜⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ ⋅

⎛⎝⎜⎞⎠⎟ ⋅ ⋅

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ ⋅

⎛⎝⎜⎞⎠⎟−

−3 2 2 2 43

3 3925

2125

53

57

53

1015

: ; ; ;

Potencia de exponente fraccionario. Una potencia de exponente fraccionario es un radical donde: • el denominador de la fracción es el índice del radical, y • el numerador de la fracción es el exponente del radicando. Las potencias de exponente fraccionario verifican las mismas propiedades dque las potencias de exponente entero. Las operaciones con radicales se simplifican mucho si se pasan a potencia de exponente fraccionario. Veamos los siguientes ejemplos:

( )

( )

( ) ( ) 991

31

31

331

3 3

71

71

71

71

77

31

31

31

31

33

154

53

31

53

31

5 33

53

52

51

52

51

5 25

77777

25:105:105:10

15353535

555:55:5

333333

==⎟⎠⎞

⎜⎝⎛==

===

=⋅=⋅=⋅

===

==⋅=⋅

−−

+

Potencias de exponente irracional. Veremos como se definen y calculan las potnecias cuando el exponente es un número irrracional: π , ,2 7 ... Una potencia con exponente irracional se calcula por aproximaciones sucesivas de potencias racionales; las operaciones se pueden realizar con la calculadora. Ejemplo: Calcula 2 π . Aproximamos π a números decimales y se calculan los valores que toman las potencias en los extremos del intervalo de aproximaciones. Siguiendo este proceso nos acercaremos cada vez más al verdadero valor de la potencia 2 π .

INTERVALOS DE π INTERVALOS DE POTENCIAS INTERVALOS NUMÉRICOS3<π<4 2 2 23 4< <π 8<2 π <16

3,1<π<3,2 2 2 23 1 3 2, ,< <π 8,57<2 π <9,18 3,14<π<3,15 2 2 23 14 3 15, ,< <π 8,815<2 π <8,876

3,141<π<3,142 2 2 23 141 3 142, ,< <π 8,8213<2 π <8,8274 π 2 π 2 π

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Cada uno de estos pasos, determinan un intervalo, dentro del cual se encuentra 2 π .

2 π ∈[8, 16] 2 π ∈[8,57, 9,18]

2 π ∈[8,815, 8,876] 2 π ∈[8,8213, 8,8274]

Cada intervalo está contenido en el anterior. ¿Cuál es el error máximo en cada paso?

Al aumentar el número de cifras de π , el error es cada vez más pequeño y se aproxima a cero. En el cuarto paso vemos que hay ya dos decimales exactos. Este proceso es válido para cualquier número y cualquier base. Ejercicios: 1. Expresa, en términos de raíces, las siguientes expresiones:

a) 435 b) 7

23

− c)

34

37⎛

⎝⎜

⎞⎠⎟ d)

23

13⎛

⎝⎜

⎞⎠⎟−

2. Simplifica, descomponiendo en factores y pasando la raíz a exponente fraccionario, las siguientes expresiones: (utiliza las propiedades de las potencias)

a) 5 53 4⋅ b) a a43 5⋅ c) 25

125 5

3

4 ⋅ d)

a

a a

3

24 ⋅

3. Utiliza la calculadora para hallar las siguientes potencias con tres cifras decimales exactas: a) 5π b) 2 3 c) 3 2 d) 5 3 e) 3 3 Ejercicio 14.- Escribe las siguientes potencias como radicales:

a) 435 = b) =− 215 c) ( ) =− 323 d) =53

x e) 322x

f) =− 415 g) ( ) =− − 522 h) ( ) =− 433x i) =− 322x j) ( ) 432 −+ x Ejercicio 15 .- Escribe los siguientes radicales como potencias:

a) 3 = b) =3 23 c) 5 3x = d) x2 = e) 5 3x

f) =2

1 g)

3 2

2x

h) =+ 2

1x

i) 4 3

2xx

=

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Radicales. Propiedades. Operaciones con radicales. Racionalización.

Uso de la calculadora: Utilizaremos la función yx1

, que encontramos como segunda función en el signo ÷ , por lo que tendremos que utilizar shift. Ejemplo: calculo de la raíz de 5 1024 Teclear: 1024 shift ÷5 = y aparecerá en el visor 4. Radicales equivalentes. Sabemos que los radicales lo podemos escribir como potencias de exponente

fraccionario. Por ejemplo 323 2 33 = y como ...96

64

32

=== son fracciones

equivalentes también podremos obtener radicales equivalentes multiplicando el índice del radical y el exponente del radicando por un mismo número. Así:

...333 9 66 43 2 === son radicales equivalentes. Ejercicio 16.-

a) Halla tres radicales equivalentes a los tres siguientes pero que tenga el

mismo índice: 63 2 55,5 y . b) Igual que en ejercicio anterior:

3 23 y Operaciones con radicales: 1. Producto de radicales del mismo índice es igual a otro radical cuyo radicando es el producto de los radicandos y cuyo índice es el mismo de los radicales nnn qpqp ·· = Ejercicio 17.- Efectúa los siguientes productos, si fuese necesario obtén los radicales equivalentes para obtener el producto. a) =3·5 b) =3·3 c) =6·5·2 d) 33 4·3 = e) =2·33 f) ( )252 −⋅ g) ( ) 3222 ⋅+ h) ( )223333 −⋅ i) ( )15252 −⋅ j) ( )22322 −⋅

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2.Cociente de radicales del mismo índice es igual a otro radical cuyo radicando es el cociente de los radicandos y cuyo índice es el mismo de los radicales.

nn

n

qp

qp=

Ejercicio 18.- Efectúa los siguientes cocientes simplificando:

a) =6436

b) =5

125 c)

52003

d ) 101004

3.Potencia de un radical es igual a otro radical con el mismo índice y cuyo radicando es una potencia de exponente igual al del rafdical:

( ) ( )n mmn pp =

Ejercicio 19.- Calcula:

a) ( ) =2

2 b) ( ) =33 3 c) ( ) =

32 d) ( )23 27 = e) ( )22 x+

f) ( ) =2

23 g) ( )252 = h) ( )33 32 i) =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

2

332

j) ( )44 2− =

4.Raíz de una radical es igual a otro radical cuyo radicando es el mismo y cuyo índice es el producto de los índices de los radicales:

mnn m pp ·= Ejercicio 20.- Calcula

a) =3 2 b) =3 c) =4 3x d) 2+x 5.Extracción de factores : La operación producto de radicales nos va a permitir descomponer en factores el radicando y extraer del signo radical los factores que tengan raíces exactas:

Ejemplos: 222·22·22·228 223 =====

263·2·23·2·23·2·23·272 222223 =====

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Nota: De igual forma que podemos extraer factores de los radicales podemos introducir factores en el radical sin más que elevarlos al índice del radical

Ejemplos: 2·626 2=

3 33 4·343 = Ejercicio 21.-Contesta a cada uno de los apartados siguientes: a) Extraer factores de los siguientes radicales: 45,162,75,6·16,18 b) Introducir factores en el radical:

232,32,34,52 3

6. Suma de radicales: la suma de radicales solo es posible si estos son idénticos: Ejemplo: ( ) ( ) 33233252213235232 −=+−++=+−+ Ejercicio 22.- Suma los siguientes radicales: a) =++− 3253352 b) =++−+− 2332222 Ejercicio 23.- Suma los siguientes radicales: (al no ser idénticos debes extraer factores y ver cuales lo son) a) =++− 27238752 b) =+− 1288322 Productos Notables. Cuadrado de una suma: La expresión (a + b)2 se lee a mas b elevado al cuadrado. Esta potencia o producto es tan habitual en matemáticas que solemos memorizar su producto: (a +b)2 = ( a + b) (a + b) = a2 + a b + b a + b2 = a2 + 2 a b + b2

Y se dice “ el cuadrado de una suma es igual al cuadrado del primero mas dos veces el primero por el segundo mas el cuadrado del segundo” Cuadrado de una diferencia: La expresión (a - b)2 se lee a menos b elevado al cuadrado. Esta potencia o producto es tan habitual en matemáticas que solemos memorizar su producto: (a -b)2 = ( a - b) (a - b) = a2 - a b - b a + b2 = a2 - 2 a b + b2

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Y se dice “el cuadrado de una diferencia es igual al cuadrado del primero menos dos veces el primero por el segundo mas el cuadrado del segundo” Diferencias de cuadrados. A la expresión ( a + b) ( a – b) se le llama suma por diferencia y su producto es igual a la diferencia de los cuadrados: ( a + b) (a - b) = a2 + a b - b a - b2 = a 2 - b2

Ejemplos:

( ) ( ) ( ) 625362233·2223322232 22222+=++=++=++=+

( ) ( ) ( ) ( ) 13232323232 2222−=−=−=−=+⋅−

Ejercicio 24.- Calcula los siguientes productos:

a) ( )2232 + b) ( )252 − c) ( )223 + d) ( )2221−

e) ( )23322 + f) ( )2432 − g) ( )2252 − h) ( )2522 − i) ( ) ( )2525 −⋅+ j) ( ) ( )523523 −⋅+ k) ( ) ( )2222 −⋅+ l) ( ) ( )327327 −⋅− m) ( ) ( )221221 −⋅+ n) ( ) ( )2323 +⋅+ Ejercicio 25.- Desarrolla los siguientes productos: a) ( ) =+ 5·32 b) ( ) 5·25 − = c) ( )=−− 52·3 d) ( )=− 722·22 f) ( )=− 72332 g) ( )=+ 2522 h) ( )( )32·32 ++ = i) ( )( )53·53 +− = j) ( )( )=−− 25·25 k) ( )( )232·232 −+ = l) ( )( )=+− 27·27

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Denominadores Irracionales. Racionalizar : Cuando en las expresiones fraccionaria los denominadores son números irracionales, es conveniente convertirlos en racionales, es decir Racionalizar, para facilitar las operaciones. Veremos dos casos:

a) Si en el denominador aparece un radical cuadrático , multiplicamos numerador y denominador por dicho radical, y así obtendremos una fracción equivalente a la anterior pero que carece de radical en el denominador, es decir racionalizada:

Ejemplo: 2

652

2·3522·

235

235

2===

b) Si en el denominador de la fracción aparece una suma o resta de radicales cuadráticos, multiplicamos numerador y denominador por el conjugado del denominador, y así obtendremos una fracción equivalente a la anterior pero que carece de radicales en el denominador, es decir racionalizada: Llamamos conjugado de la expresión a + b a la expresión a –b, y reciproco, conjugado de a –b a la expresión a + b. Ejemplo:

( )( ) ( ) 4

14673146

73

7327373·

732

732

22 −+

=−+

=−

+=

++

−=

−

Ejercicio 26.- Racionaliza el denominador y simplifica el resultado:

a) =3

5 b) =232 c) =

2533 d) =

+2

32 e) =−

32231

f) =+ 323 g)

32223+

= h) =++

3232 i) =

−+

122332 j) =

+−

5252

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Repaso 3º E.S.O.: 1.- Simplifica los siguientes radicales: a) 3 62 b) 12 48 c) 18 125 d) 12 62 e) 15 103 f) 10 152 solución: a) 4 b) 2 c) 3 25 d) 2 e) 3 23 f) 2222 3 = 2.- Extrae fuera de la raíz todos los factores posibles: a) 12 b) 200 c) 75 d) 3 40 e) 20 f) 63 g) 45 h) 80 i) 50 j) 3 16 k) 4 64 l) 3 40 solución: a) 32 b) 210 c) 35 d) 3 52 e) 52 f) 73 g) 53 h) 54 i) 25 j) 3 22 k) 22 l) 3 52 3.- Realiza las siguientes operaciones: a) 23508 −+ b) 832 − c) 25032 −+ d) 12375 +− e) 208055 +− F) 228125027 −++− solución: a) 24 b) 22 c) 28 d) 36 e) 53 f) 2535 − 4.- Calcula los siguientes productos de raíces: a) 322 ⋅ b) 250 ⋅ c) 33 4025 ⋅ d) 4 33 2 22 ⋅ e) 825 ⋅ f) 36 2 255 ⋅ solución: a) 8 b) 10 c) 10 d) 12 522 e) 10 722 f) 5 5.- Reduce los siguientes radicales utilizando las propiedades:

a)3

33 2

b)3 3

9 c)2

165

d)3

7294

solución: a) 6 3 b) 3 23 c) 10 32 d) 3 6.- Racionaliza:

a)3

1 b)8

1 c)3 31 d)

323

e)5 128

10 f)31

3+

g)25

1−

h)28

2−

solución: a) 33 b)

42 c)

333 2

d) 6 e) 2255 3

f) 2

33−− g)

325 + h) 1

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UNIDAD II. TRIGONOMETRÍA

1. Introducción 2. Concepto de ángulo. Medidas: sistema sexagesimal y S.I. 3. Razones trigonométricas de ángulos agudos. Cálculo de las razones de los ángulos de 30º, 45º y 60º. 4. Relaciones fundamentales. 5. Ampliación del concepto de ángulo. Sentido de giro: Ángulos positivos y negativos. 6. Razones de un ángulo cualquiera. Reducción a las razones de un ángulo conocido del primer cuadrante. Introducción. El origen de la palabra trigonometría proviene del griego. Es la composición de las palabras griegas trigonon: triángulo y metron: medida; trigonometría: medida de los triángulos.

Se considera a Hiparco (180-125 a.C.) como el padre de la trigonometría debido principalmente por su hallazgo de algunas de las relaciones entre los lados y los ángulos de un triángulo. También contribuyeron a la consolidación de la trigonometría Claudio Ptolomeo y Aristarco de Samos quienes la aplicaron en sus estudios astronómicos. En el año 1600, el profesor de matemáticas de Heidelberg (la universidad más antigua de Alemania) Bartolomé Pitiscus (1561-1613), publicó un texto con el título de Trigonometría, en el que desarrolla métodos para la resolución de triángulos. El matemático francés François Viète (1540-1603) hizo importantes aportes hallando fórmulas trigonométricas de ángulos múltiples. Los cálculos trigonométricos recibieron un gran impulso gracias al matemático escocés John Neper (1550-1617), quien inventó los logaritmos a principios del siglo XVII. En el siglo XVIII, el matemático suizo Leonard Euler (1707-1783) hizo de la trigonometría una ciencia aparte de la astronomía, para convertirla en una nueva rama de las matemáticas.

Originalmente, la trigonometría es la ciencia cuyo objeto es la resolución numérica (algebraica) de los triángulos. Los seis elementos principales en todo triángulo son sus tres lados y sus tres ángulos. Cuando se conocen tres de estos elementos, con tal que al menos uno de ellos sea un lado, la trigonometría enseña a solucionar el triángulo, esto es, a encontrar los otros tres elementos. En este estado de la trigonometría se definen las funciones trigonométricas (seno, coseno, tangente, etc.), de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo, como las razones entre dos de los lados del triángulo; el dominio de definición de estas funciones es el conjunto de los valores que puede tomar el ángulo [0, 180].

Sin embargo, el estudio de la trigonometría no limita sus aplicaciones a los triángulos: geometría, navegación, agrimensura, astronomía; sino también, para el tratamiento matemático en el estudio del movimiento ondulatorio, las vibraciones, el sonido, la corriente alterna, termodinámica, investigación atómica, etc. Para lograr esto, se debe ampliar el concepto de función trigonométrica a una función de una variable real, en vez de limitarse a una función de ángulos.

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Ángulo es la parte del plano que delimitan dos semirrectas con el mismo origen. El origen de las dos semirrectas es el vértice del ángulo. Y las dos semirrectas son los lados. Ejercicio 1.- Dibuja un ángulo y nómbralo escribiendo una letra mayúscula en el vértice. Ejercicio 2.- Dibuja dos rectas secantes y señala seis ángulos diferentes. ¿Cuál es su

vértice? Ejercicio 3. Ahora vas a dibujar un ángulo igual a otro. Para ello sigue las instrucciones:

• Dibuja un ángulo cualquiera de vértice P. • Elige un punto cualquiera Q del plano. • Traza las paralelas por Q a los lados del ángulo P. • ¿Observas algún ángulo igual a P? ¿Cuántos?

El transportador: Para medir con el transportador debes hacer coincidir el punto del centro con el vértice del ángulo y colocar el cero sobre un lado; de esta manera el otro lado coincide con la regla graduada. Utiliza la escala adecuada al ángulo a medir, de izquierda a derecha o de derecha a izquierda. Ejercicio 4.- Mide los siguientes ángulos con tu transportador: Veamos como clasificamos los ángulos comparándolo con el ángulo recto y con el llano. Ángulo agudo Ángulo obtuso Ángulo convexo Ángulo cóncavo

º90<Α 18090 <Ε< º180<Β º180>Ο Ejercicio 5.- Dibujando

a) Dibuja un ángulo agudo y otro obtuso que mida el doble. b) Dibuja un triángulo que tenga un ángulo agudo y otro obtuso. ¿Cómo es el

tercer ángulo? c) Dos rectas no alineadas y con el mismo origen ¿Determinan un ángulo cóncavo

y otro convexo? d) Un ángulo cóncavo ¿puede ser agudo? e) Un ángulo agudo ¿es convexo? ¿Y cóncavo? f) Un ángulo convexo ¿puede ser agudo? ¿y obtuso?

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Operando con ángulos en la calculadora: ( modo grados:DEG ) Utilizamos el registro º º º cada vez que introduzcamos los grados, minutos y segundos: por ejemplo para calcular: 71º 28´45´´ - 23 º 22´ 12 ´´ = Comenzaremos por escribir 71 pulsar º º º , 28 pulsar º º º 45, pulsar º º º y aparecerá en la pantalla 71,47916667 , es decir ha convertido todo el ángulo en grados, a continuación operación restar (signo menos) y escribimos el ángulo 23 pulsar º º ºº, 22 pulsar º º ºº , 12 pulsar º º ºº y aparecerá en la pantalla 23,37, es decir ha convertido el ángulo en grados, seguido pulsando el signo igual y nos da 48,10916667 que si queremos obtenerlo en grados, minutos y segundo, solo tendremos que pulsar “shift” y º º ºº aparecerá 48º 6º 33. Ejercicio 6. Calcular. a) 12º 11´ 23 ´´ + 162º 22 ´12´´ = b) 2 · 23 º 56´45´´ = Ángulos complementarios y suplementarios. Dos ángulos son complementarios cuando las sumas de sus amplitudes es 90º.

a) Los ángulos agudos de un cartabón ¿son complementarios?

b) ¿El complementario de 27º 45´ es 32º 15´? c) Calcula la medidas de los complementarios de :

25º ; 27º 14´ ; 39º 18´ 13´´ ; Dos ángulos son suplementarios cuando la suma de sus amplitudes es de 180º.

a) El suplementario de 38º 25´ es de 141º 35´ Compruébalo.

b) Agrupa los siguientes ángulos por parejas de suplementarios: 95º; 73º 24´, 106º 36´, 85º, 73º 24´, 106º 59´36´´

c) ¿Cuánto miden los suplementarios de los siguientes ángulos?

38º 23´, 110º38´, 55º 20´32´´.

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Ángulos alternos externos 1 y 8, 2 y 7 son pares de ángulos alternos externos en la figura que se muestra a la derecha (Lección 4.2).

Ángulos alternos internos 3 y 6, 4 y 5 son pares de ángulos alternos internos en la figura que se muestra a la derecha..

Ángulos congruentesDos ángulos son congruentes si y sólo si tienen la misma medida.

Ángulos consecutivosDos ángulos de un polígono que comparten un lado común

Ángulos correspondientes 1, 5, 2 y 6, 3 y 7, 4 y 8 son pares de ángulos correspondientes en la figura que se muestra a la derecha

Ángulos internos consecutivos 4 y 6, 3 y 5 son pares de ángulos internos consecutivos en la figura que se muestra arriba a la derecha.

Ángulo centralÁngulo cuyo vértice es el centro de una circunferencia y cuyos lados contienen a los radios de ésta.

Ángulo de depresiónSi una persona está mirando hacia abajo, entonces el ángulo visto desde la horizontal hacia abajo a la línea de visión se denomina ángulo de depresión.

Ángulo de elevaciónSi una persona está mirando hacia arriba, entonces el ángulo de la horizontal a la línea de visión se denomina ángulo de elevación.

Ángulo de rotaciónUn número, por lo general en grados, que describe un movimiento de giro alrededor de un centro dado.

Ejercicio 7.- a) Calcula el ángulo suplementario de 23º 32´32´´ b) Calcula el ángulo complementario de 46º 45´27´´ Ejercicio 8.- A la vista del siguiente dibujo y recordando lo visto anteriormente sobre ángulos alternos internos y alternos externos. ¿Podrías demostrar que la suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180º?

Ejercicio 9.- Utiliza tu calculadora y calcula el ángulo A en cada caso,

35º 22´ 15 ´´ A 65º 25º32´16´´ A A

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Teorema de Thales: Si varias paralelas cortan a dos transversales, determinan sobre ellas segmentos proporcionales. O

A B

´´´´ BAAB

OBOB

OAOA

== A´ B´

Ejercicio 10.- En tu cuaderno dibuja una escena similar a la anterior (emplea toda la página; cuanto mayor sea el dibujo mejores resultados obtendrás). Con una regla mide cuidadosamente los segmentos determinados en las dos rectas y calcula sus razones. ¿Se sigue verificando el teorema de Thales? Razona tu respuesta.

Fíjate que de OA/OA' = OB/OB' Deducimos OA · OB' = OB · OA' (producto de medios = producto de extremos) Y de aquí OA/OB = OA'/OB'

Obtenemos así otra forma de enunciar el Teorema de Tales: Teorema de Thales (Segundo enunciado): Cuando dos rectas secantes son cortadas por una serie de paralelas, la razón entre dos segmentos de una de las rectas es igual a la razón entre los segmentos correspondientes de la otra recta. En el caso de la escena: OA/OB = OA'/OB' AB/OB = A'B'/OB' etc. Semejanza: Dos triángulos son semejantes si tiene los lados proporcionales y los ángulos iguales

Dos triángulos son semejantes si cumplen unas condiciones mínimas que se conocen como criterios de semejanza. Estos son: - Si dos triángulos tienen los lados proporcionales, son semejantes - Si dos triángulos tienen dos ángulos iguales, son semejantes. - Si dos triángulos tienen un ángulo igual y los lados que lo forman

proporcionales, son semejantes. Ejercicio 11.-Los lados de un triángulo ABC miden 30, 40 y 50 m y los lados de otro triángulo HIJ son 12, 16 y 20 cm. Estudia si los dos triángulos son semejantes, justificando tu respuesta. Ejercicio 12.-Dados los triángulos MNP y M´N´P´ completa los datos de la figura: P P´ N´ M N M´ P = 70º M = 60º N´= 50 º M´= 60 º MP = 14,5 ; PN =16,6 ; MN = 18; M´N´= 8

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TEOREMA DE PITÁGORAS En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

a c c 2 = a 2 + b 2

b

Cada uno de los sumandos, representa el área de un cuadrado de lado, a, b, y c. Con lo que la expresión anterior, en términos de áreas se expresa en la forma siguiente: El área del cuadrado construido sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo, es igual a la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos.

Una de las demostraciones más antiguas e intuitivas sobre el teorema de Pitágoras es la siguiente, que puede seguirse fácilmente a partir de la construcción gráfica que se muestra:

Partimos del triángulo rectángulo cuya área es 1/2 a b. A continuación construimos un cuadrado cuyo proceso se describe en el gráfico anterior El lado del cuadrado así obtenido es a + b y su área es: A = (a + b) 2. Dicho cuadrado consta de cuatro triángulos rectángulos cuya área es: A 1 = 4 ( 1/2 a b) = 2 a b y un cuadrado interior de lado c cuya área es: A 2 = c 2

Igualando ambas áreas tendremos: A = A 1 + A 2 ; luego (a + b) 2 = c 2 + 2 a b por lo que: a 2 +2 a b + b 2 = c 2 + 2 a b y reduciendo términos semejantes: a 2 + b 2 = c 2

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Ejercicio 13.-Dibuja un ángulo de 30º en una hoja de papel cuadriculado, y en uno de sus lados señala los puntos A, A´, y A ´´ Y traza por ellos perpendiculares al otro lado, que lo cortarán en los puntos B , B´ y B ´´ . En la forma siguiente: A

A´

A´´

B B´ B´´ O Como verás se forman tres triángulos rectángulos semejantes AOB , AÓB´ , A´Ó B´´. Utilizando tu regla y toma las medidas que se indican con la mayor precisión posible: Ängulo de 30º

hipotenusaopuestocateto

hipotenusacontiguocateto

contiguocatetoopuestocateto

AOB AÓB´ A´Ó B´´ (Cateto opuesto y cateto contiguo al ángulo considerado) Repite el proceso para ángulos de 45º y 60 º

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2. Consideremos el plano y en él, dos rectas secantes. Como vemos se divide el plano en cuatro regiones o zonas (iguales dos a dos): pues bien, llamemos ÁNGULO a cada una de dichas regiones; o de otra forma, si consideramos dos semirrectas con el origen común, llamamos ángulo a la región limitada por ambas semirrectas. Definición: A cada una de las semirrectas se les llama lados del ángulo y al origen común, vértice. ´

Como vemos en el dibujo podríamos considerar que existen dos regiones angulares que comparten los lados y el vértice; por ello a partir de ahora para saber a qué zona nos referimos pondremos una especie de arco o curva dentro del ángulo para saber a cuál nos referimos.

2 3 1 4

Medidas de ángulos. Sistema sexagesimal y S.I. Si al considerar las rectas secantes del comienzo, se forman cuatro regiones angulares iguales, decimos que las rectas son perpendiculares y a cada trozo lo llamamos ángulo RECTO. En principio, este podría ser nuestra unidad de medida, pero al ser muy grande, la comparación con otros ángulos por lo general serían números decimales menos que la unidad y por lo tanto poco práctico para trabajar. Por ello, vamos a dividir el ángulo recto en 90 partes iguales y cada una de ellas le llamaremos GRADO SEXAGESIMAL. Cada grado lo dividimos en 60 partes iguales que dan lugar al MINUTO SEXAGESIMAL. Cada minuto se divide en 60 partes y obtenemos el SEGUNDO SEXAGESIMAL. (SEX.) Ejercicio 1: ¿Cuántos minutos hay en 5º? ¿Cuántos segundos? ¿Cuántos grados son 14 400’? ¿y 7 280’’? Sin embargo, existe otra unidad de medida llamada RADIÁN. Tracemos una circunferencia de centro O y radio a, decimos que el ángulo POQ mide un radián y escribimos 1 rad si el arco PQ que abarca mide lo mismo que el radio, es decir, a. (S.I.).

P a O a a Q

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CAMBIO DE UN SISTEMA A OTRO: El ángulo central completo en SEX tendrá 4·90º = 360º En el S.I.: por una regla de tres: Si a un arco con a cm. 1 rad para longitud de circunferencia 2πa x rad

x = 2π a

a x = 2π rad.

Ejercicio 2: ¿Cuántos radianes son 30º, 45º, 60º, 90º y 180º ?

Ejercicio 3: ¿Cuántos grados son 32π

rad, π2

rad y 34π

rad?

Razones trigonométricas de ángulos agudos. Consideremos un triángulo rectángulo (con el ángulo recto en C): Definimos las siguientes razones trigonométricas:

Si observamos la siguiente figura, para esa abertura del ángulo el cateto opuesto es siempre la mitad del contiguo, luego la razón entre ellos, siempre se conserva:

Es decir, las razones, de un ángulo son siempre las mismas, sin importar el triángulo rectángulo considerado.

abˆ

caˆcos

cbˆ

==

==

==

contiguocatetoopuestocatetoBtg

hipotenusacontiguocatetoB

hipotenusaopuestocatetoBsen

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Lo anterior también se cumple si el triángulo lo consideramos dentro de una circunferencia de radio c. Esa situación es la que consideraremos al ampliar el concepto de razón trigonométrica para ángulos no agudos. Cálculo de las razones de los ángulos de 30º, 45º y 60º. A continuación vamos a calcular las razones trigonométricas de los ángulos de 30º, 45º y 60º.

Si partimos de un triángulo equilátero (los tres lados iguales y los tres ángulos iguales, 60º), la altura podría calcularse por PITÁGORAS:

23

43

43

42

2222

222 llhlllllh ===−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−=

Entonces:

33

31

322

232º30

º60232

3º30cos

º60cos21

22º30

====

===

====

ll

l

ltg

senl

ll

ll

lsen

Si queremos calcular los de 45º, partimos de un cuadrado:

1º45

º45cos22

21

2º45

222 22222

==

====

===+=

lltg

llsen

lldllld

30º 60º 45º

sen

cos

tg

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Uso de la calculadora para el cálculo de las razones trigonometricas: Solo tienes que escribir el ángulo y después la razón pedida: (Uso de los registros sin, cos y tan) sen 45º = ( 45º y pulsar: sin) = 0,707106781 Ejercicio 4.- Obtener con cuatro cifras significativas, usando la calculadora, los valores siguientes: sen 23º 12´34´´ = cos 45º 24´´ 12 ´´ = tg 65º 23´22´´ = Uso de la calculadora para el cálculo de un ángulo, conocidas las razones trigonométricas: Solo tienes que escribir la razón y después “shift” (recíproca) de la razón pedida: (Uso de los registros sin, cos y tan) sen A = 0,707106781, y quiero saber cuál será el ángulo que tiene por seno 0,70 71 06 781, que en matemáticas se escribirá: A = arc sen 0,70716781 Con la calculadora escribiremos 0, 707167 81 a continuación “shift“ “ sin” =, y aparecerá 45,00494528 que serán grados, y si queremos ver los grados minutos y segundos º ´´´ , utilizaremos “shift” y “ º ´´´ “, y aparecerá 45º 0º 17,8 Ejercicio 5.- Obtener en grados, minutos y segundos, que ángulos corresponden a las siguientes razones. sen B = 0,3973 cos C = 0, 3457 tg D = 1,2345 Ejercicio 6. - Resuelve los siguientes triángulos rectángulos teniendo en cuenta los datos de las figuras: C A C C B=60º A B =35º a=100 m. b=10m. B =73º A c =7m. Ejercicio 7. - De un triángulo rectángulo en A se conocen el ángulo C = 80º y la hipotenusa cuyo valor es de 13 cm. Calcula el resto de los valores de ángulos y lados del triángulo. Ejercicio 8. - De un triángulo rectángulo se conocen la hipotenusa y un cateto cuyos valores son 13 y 5 cm., respectivamente Calcula el resto de los valores. Ejercicio 9. - De un triángulo rectángulo se conocen los catetos cuyos valores son 8 y 6 cm. Calcula el resto de los valores.

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Relaciones fundamentales de la trigonometría. Deduciremos la FÓRMULA FUNDAMENTAL DE LA TRIGONOMETRÍA:

caˆcos

cbˆ

=

=

B

Bsen Elevando al cuadrado

( )

( )⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

==

==

2

222

2

222

aˆcosˆcos

bˆˆ

cBB

cBsenBsen

222

2

2

2

22

2

2

2

222

c :Pitágoras de Teorema elPor

1cbabˆcosˆ

ba

cca

ccBBsen

+=

↓

==+

=+=+

1ˆcosˆ 22 =+ BBsen FÓRMULA FUNDAMENTAL DE LA TRIGONOMETRÍA

Si tomamos la definición de tangente:

↓

===BBsenBtg ˆcos

ˆ

cacb

abˆ

BBsenBtg ˆcos

ˆˆ =

dividimos numerador y denominador por c.

Atendiendo a las definiciones de , y cotg (razones trigonométricas inversas a , y respectivamente):

Bec ˆcos B̂sec B̂Bsen ˆ B̂cos Btg ˆ

BtgBg ˆ

1ˆcot =

BB ˆcos

1ˆsec = BsenBec ˆ

1ˆcos =

A partir de la FÓRMULA FUNDAMENTAL DE LA TRIGONOMETRÍA

dividimos por Bsen ˆ2

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1ˆcosˆ 22 =+ BBsen BsenBsen

BBsenBsen

ˆ1

ˆˆcos

ˆˆ

22

2

2

2

=+ obtenemos: BecBg ˆcosˆcot1 22 =+ O bien si dividimos por , resulta: B̂cos2

1ˆcosˆ 22 =+ BBsen BB

BBBsen

ˆcos1

ˆcos

ˆcosˆcos

ˆ22

2

2

2

=+ obtenemos:

Ampliación del concepto de ángulo. Sentido de giro. Ángulos positivos y negativos. La interpretación geométrica de ángulo “como región plana” sólo permite expresar ángulos menores o iguales a 360º. Supongamos que un móvil se desplaza en una circunferencia de radio r partiendo de A y girando en sentido contrario a las agujas del reloj.

Si el sentido de giro es contrario al de las agujas del reloj, se dice que los ángulos son positivos y su medida es un número positivo. Si el sentido de giro es el mismo que el de las agujas del reloj, a los ángulos se les pone el signo menos delante para distinguirlos de los positivos, y su medida es un número negativo. Ejercicio 4: Expresar los siguientes ángulos como suma de un número entero de vueltas y un ángulo menor de 360º: a) 720º b) 3 000º c) 900º d) 1 120º e) 2 520º NOTA: Se divide cada ángulo por 360º. El número de vueltas es el cociente y el ángulo menos de 360º es el resto. 5. Las definiciones de seno, coseno y tangente se extienden ahora a un ángulo cualquiera. Para ello se utiliza un sistema de coordenadas cartesianas OXY y una circunferencia con centro en O y radio r. Cada ángulo se representa tomando como vértice el centro, como lado fijo OX y como segundo lado la semirrecta OA, siendo A el punto que determina este lado sobre la circunferencia. Ángulo agudo positivo.

En este caso las razones trigonométricas se definen en el triángulo OAA’, como se ha hecho anteriormente:

rysen =α

rx

=αcos xytg =α

- Si el móvil se detiene en P, el arco recorrido es AP y la región angular la determinada por AOP.

- Si el móvil no se detiene en P, sigue girando, pasando por A y parándose en la segunda vuelta en P, el camino recorrido es una vuelta entera más el arco AP, es decir, 360º + AP.

- Si el móvil da k vueltas antes de detenerse en P, entonces el camino recorrido será k·360º + AP.

BB ˆsec1ˆ 22 =+tg

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Razones de un ángulo cualquiera. Reducción a las razones de un ángulo conocido del primer cuadrante. Las coordenadas de los puntos A del 2º, 3º y 4º cuadrante no siempre son positivas, por lo que las razones de los ángulos serán a veces negativas. Las razones definidas, no dependen del radio de la circunferencia elegida ya que los triángulos rectángulos son semejantes por tener el ángulo α común. Los valores del seno y el coseno pertenecen al intervalo [ ] 1 1,- , si x = 0 no hay tangente (α = 90º y α = 270º).

1º cuadrante 2º cuadrante 3º cuadrante 4º cuadrante

seno positivo positivo negativo negativo coseno positivo negativo negativo positivo tangente positivo negativo positivo negativo

Finalmente para el razonamiento de las razones de 0º, 90º, º80º, 270º y 360º, veremos como serían el cateto opuesto y contiguo en un triángulo “límite” donde el lado se reduce a un punto. 0º 90º 180º 270º 360º seno coseno tangente Ejercicio 5: Expresar las razones trigonométricas de 135º, 225º y 315º conocidas las de 45º.

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Ejercicios y problemas de trigonometría. 1. Calcula las razones trigonométricas de los ángulos agudos A y B de un triángulo rectángulo cuyos catetos son a = 3 cm y b = 4 cm. 2. Resuelve los siguientes triángulos, si conoces: a) La hipotenusa a = 6,4 cm. y el cateto c = 3,8 cm. b) Un cateto b = 10,5 cm y el ángulo B = 60º. 3. Calcula las restantes razones trigonométricas sabiendo que:

a) cos º ºα α= <45

270 360<

b) sen º ºα α= < <13

90 180

c) tanα α= <4 0º º< 90

d) sen º ºα α= − < <12

180 270

4. Calcula las siguientes razones trigonométricas a partir de las razones conocidas: a) sen (-120º) b) cos (-30º) c) tan (-150º) d) sen 4 500º

e) cos π6

f) sen 34π

g) tan π2

h) sen 11π

5. Un escalera de 6 m. está apoyada en la pared formando un ángulo de 60º con el suelo. ¿Qué altura alcanza? 6. Una carretera tiene el perfil como se muestra el dibujo. ¿Qué ángulo forma con la horizontal? ¿Cuánto habremos subido si recorremos 200 m.?

7. Queremos hallar la altura de una torre: observamos desde A con un ángulo de 30º y desde B con 45º. La distancia AB = 80 m. 8. Desde A y B vemos una antena bajo ángulos de 60º y 30º. La distancia entre A y B es

de 126 m. y la antena está alineada con ambos puntos. Calcula la altura de la antena.

9. Desde la orilla de un río se ve la copa de un árbol en la otra orilla bajo un ángulo de 60º y si se retrocede 40 m, se ve bajo un ángulo de 30º. Halla la altura del árbol y la anchura del río.

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REPASO 1.- Desde un faro situado a 120 m sobre el nivel del mar se ve un barco bajo un ángulo de depresión de 35º ¿A que distancia está el barco del faro?

2.-Desde la orilla de un río se ve un árbol en la otra orilla bajo un ángulo de 45º y si se retrocede 40 m, se ve bajo un ángulo de 30º. Halla la altura del árbol y la anchura del río.

3.- Completa la tabla que sigue sabiendo que I∈α cuadrante. Razona la respuesta. ( No utilizar calculadora)

α α−180 α+180 α−90

senα 0,2

cosα

4.- Responde si son verdaderas o falsas las siguientes igualdades:

a) sen β = 1,23 b) cos δ = 1,032 c) tgϕ = 2

Razona tus respuestas.

5.- Calcula los ángulos de un rombo cuyas diagonales son 23 y 12 cm.

6.- De un triángulo isósceles se conoce el valor de su altura, 35 m. y el ángulo opuesto a la base 121 º 23 ´´ Calcula el valor de sus lados, de sus ángulos, su área y perímetro.

7.-Calcula el valor de la apotema de un pentágono regular de 14 cm. de lado.

8.- Desde una altura de 11.000 pies un piloto de un airbus observa la luz del aeropuerto de Jerez bajo un ángulo de depresión de 44º 21´23´´. Calcula la distancia entre el airbus y la torre del aeropuerto.

9.- Calcula la pendiente de una carretera que sube 275 m en una longitud de 3 km.

10.- Desde un punto A determinado se ve una torre bajo un ángulo de elevación de 37º, y si se retrocede 45 m. se ve bajo un ángulo de17º. Calcula la altura de la torre.

11.- ¿Qué es un radián? ¿Cuál es su valor?

Expresa los siguientes ángulos como un número entero de vueltas y un ángulo menor de 360º, e indica el signo de sus razones trigonométricas. Sitúalas en la circunferencia

goniométrica: .4

13 radπ y 900 º

12.- Al crecer un ángulo de 0º a 90º que ocurre con el seno coseno y tangente de dicho ángulo aumentan o disminuyen. Razona tu respuesta.

13.- Dados los triángulos: ABC y A'B'C' y los siguientes datos A = 38º B = 42º B'=42º

C' = 100º a= 12 cm b=16 cm c = 20 cm a'= 30 cm Estudia si los dos triángulos son semejantes justificando tu respuesta y completa los datos.

14.- Si las dos ramas de un compás forman un ángulo de 60º y las ramas tienen 12 cm de longitud, halla el radio de la circunferencia que puede trazarse.

15.- La longitud de los lados de un octógono regular es de 12 m. Halla su área.

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16.- Calcular el valor “x” en los siguientes casos:

a) sen x = -1/2 b) cos 2 x = - 1 c) sen x =23

−

17.-Calcula el lado de un triángulo equilátero de altura 6 cm.

18.- Obtener las razones trigonometricas de los siguientes ángulos reduciéndolas previamente al primer giro.

3425º 12437º 390º

Ángulos de 1º giro

Signo del sen β

Signo del cos β

Sitúa los ángulos en la circunferencia gonimétrica dibujando los segmentos que corresponden a los senos y cosenos.

19.- La distancia de un cañón a una carretera es de 15 Km. Si el alcance es de 35 Km., ¿qué longitud de carretera puede barrer el cañón?

20.- Si las dos puntas de las ramas de un compás distan 7 cm., y cada rama mide 12 cm. Hala el ángulo que forman las dos ramas del compás.

21.-Desde un acantilado, situado a 32 m. sobre el nivel del mar, se divisan dos embarcaciones. Los ángulos de depresión son de 28º para el velero y de 34º para una motora. Sabrías calcular la distancia entre ambas embarcaciones.

22.- La base de un triángulo isósceles mide 20 cm. y el ángulo opuesto 80º. Calcula los lados y el área del triángulo.

23.-La longitud del lado de un octágono regular es de 12 m. Halla los radios de la circunferencia inscrita y circunscrita.

24.- Desde una nave espacial se ve la tierra con un ángulo de 29º 9´48´´. Siendo el radio de la tierra 6366 Km., halla la distancia de la nave a la superficie terrestre.

25.-Desde un cierto punto del suelo se ve el punto mas alto de un edificio formando un ángulo de 31º 22´ con la horizontal. Si nos acercamos 75 m. hacia el edificio, ese ángulo mide 59º 12 ´32´´. Halla la altura del edificio.

26.- Simplifica las siguientes expresiones trigonometricas.

=α

αtg

sena 1) b) =− α

αsen1

cos2

c) =+ ααα 23 cossensen

27.- ¿Qué relación existe entre el seno de un ángulo y el coseno de su complementario? Justifica tu respuesta.

28.- Si un ángulo mide 1,5 radianes ¿es mayor o menor que un recto?

29.- Desde un avión situado a 300 metros sobre el nivel del suelo se hacen observaciones de un lago obteniendo los resultados que se muestran en la figura. Calcule la longitud del lago.

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Autoevaluación

1.- Define y dibuja dos ángulos complementarios, suplementarios, y consecutivos.

2.- Criterios de semejanza de triángulos.

3.- ¿Qué es un radián? Expresa en radianes 1º y en grados 1 rad.

4.- Verdadero o falso ¿Por qué?

El seno de un ángulo puede ser mayor que uno

La tangente de un ángulo puede ser igual que 1.

El seno de un ángulo puede ser igual a 1

La tangente de un ángulo solo puede ser positiva

5.- ¿Qué relación existe entre el seno de un ángulo y el seno de su suplementario? ¿Y entre los cosenos? Justifica tu respuesta.

6.- Comprueba si es verdad que sena

aa

sena+

=−

1cos

cos1

7.- ¿Cuánto miden los catetos de un triángulo rectángulo isósceles sabiendo que su hipotenusa mide 10 cm?

8.- Sabiendo que el sen 53

=β y que ∈β II cuadrante, calcula las demás razones

trigonométricas?

9.- Calcular la longitud de la sombra de la Torre Eiffel ( altura 300 m.) cuando la inclinación de los rayos solares es de 14º (sobre el horizonte).

10.- Los árboles mas grandes del mundo nacen en el Redwood National Park de California su altura es mayor que el largo de un campo de fútbol. Encontraremos la altura de estos árboles con las siguientes mediciones: Desde un determinado punto se ve la parte más alta de la copa con un ángulo de 44º y si retrocedemos 100 pies se ve bajo un ángulo de 37º10´. Encontrar la altura de estos árboles en metros.

11.- ¿Qué relación existe entre el seno de un ángulo y el coseno de su complementario? Justifica tu respuesta.

12.- En un triángulo ABC se conocen el lado BC = 10m., el ángulo ABC = 105º, y el ángulo ACB que vale 30º. Halla los lados y el área.

13.- Dos lados adyacentes de una parcela en forma de paralelogramo de área 851 m 2 tienen unas longitudes de 30 y 80 metros. ¿Cuál es el valor del ángulo que forman dichos lados?

14.- Calcula el lado de un pentágono regular inscrito en una circunferencia de radio 10 m

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UNIDAD III. EXPRESIONES ALGEBRAICAS. Manejo de expresiones literales. Escribe una expresión algebraica que represente las siguientes afirmaciones:

a) Un número impar.

b) La tercera parte del doble un número impar.

c) La triple del cuadrado de un número par.

d) La superficie de un hexágono cuyo lado es el doble de su apotema mas dos unidades

e) La suma de los cuadrados de cualquier número y seis

f) El cuadrado de la suma de cualquier número y seis

g) El cuadrado del triple de un número.

h) El área de un triángulo que tiene de base el triple de la altura.

i) La mitad del cuadrado de cualquier número más seis.

j) La suma de dos números consecutivos.

k) El doble de la raíz cuadrada de un número

l) La tercera parte del cuadrado de cualquier número.

m) El producto de dos números consecutivos.

n) El volumen de un cilindro de radio x.

o) El precio de una piso es de x € ¿cuánto valdrá después de una subida del 15%?

p) La hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos se diferencian en 2.

q) La diferencia de los cuadrados de un número y su mitad.

r) El cuadrado de la diferencia de un número y su triple.

s) La superficie de un cubo de arista x.

t) Si las dimensiones de un prisma recto rectangular son tres números

consecutivos, ¿Cuál es su área? ¿Y su volumen?

u) Tres números impares consecutivos.

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Definiciones 1.- Términos de una expresión algebraica. Término de una expresión algebraica es cada uno de los sumandos que constituyen la expresión algebraica. Ejemplo: 3x2 + 2y – 3x+ 13- 5x2 tiene cinco términos que son: 3x2; + 2y; – 3x; + 13; -5 x2

2.-Coeficientes. Son los valores numéricos que aparecen en cada uno de los términos de la expresión algebraica. Ejemplo: 3x2 + 2y – 3x+ 13- 5x Coeficientes: +3 , + 2 , - 3 , +13 y - 5 3.-Indeterminadas o parte literal. Son las letras que aparecen en la expresión algebraica. Ejemplo: 3x2 + 2y – 3x+ 13- 5x Las indeterminadas son x e y 4.-Términos semejantes Son los términos que se diferencian sólo en los coeficientes. Ejemplo: 3x2 + 2y – 3x+ 13- 5x2; Términos semejantes -5 x2 y 3x2 son semejantes 5.-Grado de un término. Se llama grado al número de factores que forman la parte literal. Por ejemplo en la expresión 3 x 2 + 2 y – 3 x y z + 13 3x2 ( x · x grado 2 ó segundo grado); + 2y ( y grado 1 o primer grado) ; – 3xy z(x · y · z tercer grado); + 13 (grado

cero); 6.-Grado de una expresión algebraica. Es el mayor de los grados de los términos que lo forman. Ejemplo. Expresión algebraica de tercer grado o polinomio de tercer grado:

3x3- 2x2 + 4x+13 7.- Polinomios . son expresiones algebraicas del tipo: a x 3 + b x2 + c x + d Estas expresiones se llaman polinomios . Un polinomio es una expresión algebraica en la que los exponentes de la parte literal son números naturales, es decir no hay “x” en los denominadores. En general se les nombra con las letras P, Q , R … etc. seguida de un paréntesis en el que figura la parte literal, en la forma P (x), Q (y) … se leen “ p de x”, “ q de y” etc. Ejemplos:

1) Polinomio de primer grado: P(x) = 3 x – 2 2) Polinomio de tercer grado: P (x) = 2 x3 + 2x2 – 5 x +2 3) Polinomio de cuarto grado: P ( x) =3+2 x2 – 6 x4

Los polinomios de los ejemplos 1 y 2 se dicen completos y ordenados porque figuran todos los grados en orden decreciente de la parte literal, y el ejemplo 3 se dice incompleto y desordenado, ya que le faltan los términos de primero y tercer grado.

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Ejercicio 1.- Escribe un polinomio de cuarto grado, en una indeterminada, completo y además que el coeficiente del término de tercer grado sea 3, el coeficiente del término de cuarto grado sea –4, el coeficiente del término de segundo grado sea -8, el coeficiente del término de primer grado sea 2 y el de grado cero 9. Ejercicio 2.- Escribe un polinomio de tercer grado completo, en una indeterminada, y además con el coeficiente del término de segundo grado sea – 4, los términos de primer grado y tercer grado tenga los coeficiente iguales a 1/3 y el término independiente –19 Valor numérico de un polinomio o expresión algebraica es el valor que toman estas expresiones cuando se sustituyen las letras por números. Ejemplo: Valor numérico del polinomio P(x)= x2- 3 x–2 para x = -2. Se escribe: P (x) = x2 –3 x –2; Para calcular el valor x = -2 se escribe P(-2) y se lee “ p de -2” P(-2) = (-2)2 – 3 ·(-2) – 2 = 4+ 6 –2 = 8 Luego el valor de la expresión algebraica cuando la x vale -2 es 8. En matemáticas esto lo escribimos de la siguiente forma: P(-2) = 8. Ejercicio 3.-Calcula el valor numérico de los siguientes polinomios:

P(x) = -2 x 2 + 7 x - 1 Calcula: P(- 21 ), P ( -1) y P( 0)

Q(x) = x 2 –2 x – 2 x 3 Calcula: Q( 32

− ), Q (-2) y Q ( -1)

R(x) = - 2 x + 3 x 3+ 31 Calcula: R(

21

− ), R ( -2 ) y R ( -1)

Operaciones con polinomios. Suma y resta de Polinomios Los términos de un polinomio se pueden sumar sólo si son semejantes (Son los términos que se diferencian sólo en los coeficientes). Ejemplo: Suma los términos semejantes:

x - 3 x + 7 x2 – 10 x +5 - 4 x2 - 9 = En esta expresión o polinomio los términos semejantes son: x, -3 x y - 10 x. Sumamos pues los coeficientes 1 - 3 – 10 = -12 Otros términos semejantes son + 7 x 2 y - 4 x 2. Sumamos los coeficientes + 7 - 4 = +3 Otros términos semejantes son + 5 y -9 . Sumamos +5 – 9 = -4 La solución sería: x - 3 x + 7 x 2 – 10 x + 5 - 4 x 2 – 9 = - 12 x + 3 x 2 – 4 Ejercicio 4 . Reducir términos o sumar términos semejantes. a) 2 x 2+ 2/3 x 3- 2 x 2- 8 x 3 - x 2= b) y –2 y - 1 - 8 y 2 – y – y 2 +2 = c) –9 + y - y 2- 2 y + 2 y 2 – 3 = d) 2 x 2 – 3 x - 2/3 + x 2 - 4 x 2 – x3 - 1= Producto de términos. Para multiplicar los términos de una expresión algebraica se multiplican primero los coeficientes y después la parte literal. Ejemplo: -3x2 · 10 x = -3 · 10 · x2· x = - 30 x2+1 = - 30 x3

Ejercicio 5. Calcula los siguientes productos:

a) 31

− x2 · -5 x3 · x = b) x · - 72 x · 3 x 3 =

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Productos: a) El producto de un polinomio por un término se obtiene multiplicando el término por cada uno de los términos de la expresión algebraica (recuerda cómo se multiplican términos). Ejemplo: (Fíjate bien) ( 2x2 – 3x + 12 ) · 2x3 = 2x2 · 2x3 – 3x · 2x3 + 12 · 2x3 = 4x2+3 – 6x1+3 + 24x3 = = 4x5 – 6x4 + 24x3 . Ejercicio 6.- Realiza los siguientes productos: a) (-x 2 + x – 2) · - 3 x 2 = b) 2 x ( 3 x2 – 7x 3 ) =

c) (-32 x – 2) · -

51 x2 = d) -

23 y2 (4 y – y2 ) =

Productos de dos polinomios . Es el resultado de multiplicar todos los términos de un de ellos por todos los términos del otro. Ejemplo: ( - x2 + 2 x – 8 ) · ( 2 x2 - 3 ) = Para llevar acabo esta operación es más cómodo disponer los términos como en una multiplicación numérica: - x2 + 2 x – 8 2 x2 - 3 + 3 x 2 - 6 x + 24 (resultado de multiplicar - 3 · (- x 2 + 2 x – 8) -2 x 4 + 4 x 3 - 16 x 2 (resultado de multiplicar +2 x 2 · (-x 2 + 2 x – 8)

- 2 x 4 + 4 x 3 - 13 x 2– 6 x + 24 Ejercicio 8. Realiza los siguientes productos: a) (x3 – 4 x + 1) · (x2 - 2x ) = b) ( - x2 – 3 x - 2 ) · ( 5 x - 5 ) = c) (5x – 5) · (5x – 5) = d) (- x4 +3 x 3 - 2x - 3) · (x2 – 2 x) = Ejercicios 9.- Calcular

a) (3x -2)2 + 2 ( x 2 – 3 x + 4) – (3 x 2 – 5 x) 2 = b) 2 x ( x- x 2) – 3 ( x +2 ) ( x – 2) + 3 ( 2x 3 + 2x) = c) (3 x 2 + 2 ) 2 x – 2x ( x + 3)2 – 3 ( x + 2) =

División de polinomios.- Veamos tres casos: 1.-Cociente de dos términos. Para dividir dos términos se dividen los coeficientes y después se divide la parte

literal: Ejemplo: 23

428 x

xx

= ; 32

5

32

32 x

xx

=

Condición: para dividirlos es necesario que el grado del numerador sea que el grado del denominador.

≥

2.- Cociente de un polinomio por un término:

Pág. 44


Para dividir P(x) entre un término se divide cada uno de los términos del P(x) entre el término divisor:

Ejemplo: ( ) 1221

22

24

2224 24

3535 ++=−+=÷−+ xx

xx

xx

xxxxxx

3.- Cociente entre dos polinomios. Veámoslo con un ejemplo: =+−÷+−− )484()4422( 235 xxxxx 1.- Colocamos el dividendo y el divisor ordenados, teniendo en cuenta que en el dividendo colocaremos espacios en los términos ausentes. Y después

a) Dividimos: 32

5

21

42 x

xx

= que es el primer término del cociente.

b) Multiplicamos 3

21 x ( 4 x 2- 8 x + 4) = 2 x 5 + 4 x 4 + 2 x 3 y lo restamos al

dividendo, por lo que le cambiaremos el signo: - 2 x 5 - 4 x 4 - 2 x 3 2 x 5 + -2 x 3 + - 4 x + 4 4 x 2 – 8 x + 4

-2 x 5 + 4 x 4 – 2 x 3 21 x3

+ 4 x 4 – 4 x 3

2.- Añadimos los demás términos del dividendo.

a) Dividimos: 22

4

44 x

xx

= que es el segundo término del cociente.

b) Multiplicamos ( 4 x 2x 2- 8 x + 4) = 4 x 4 - 8 x 3 + 4 x 2 y lo restamos al dividendo por lo que le cambiaremos el signo: - 4 x 4 + 8 x 3 - 4 x 2 2 x 5 + -2 x 3 + - 4 x + 4 4 x 2 – 8 x + 4

-2 x 5 + 4 x 4 – 2 x 3 21 x3 + x 2

+ 4 x 4 – 4 x 3 + -4 x + 4 - 4 x 4 + 8 x 3 – 4 x2 + 4 x 3 - 4 x 2 – 4 x + 4 3.- Añadimos los demás términos del dividendo.

a) Dividimos: xxx

=2

3

44 que es el segundo término del cociente.

b) Multiplicamos x ( 4 x 2- 8 x + 4) = 4 x 3 - 8 x 2 + 4 x y lo restamos al dividendo por lo que le cambiaremos el signo: - 4 x 3 + 8 x 2 - 4 x 2 x 5 + -2 x 3 + - 4 x + 4 4 x 2 – 8 x + 4

Pág. 45


-2 x 5 + 4 x 4 – 2 x 3 21 x3 + x 2 + x

+ 4 x 4 – 4 x 3 + -4 x + 4 - 4 x 4 + 8 x 3 – 4 x2 + 4 x 3 - 4 x 2 – 4 x + 4 - 4 x 3 + 8 x 2 - 4 x + 4 x 2 – 8 x + 4 4.- Añadimos los demás términos del dividendo.

a) Dividimos: 144

2

2

=xx que es el segundo término del cociente.

b) Multiplicamos 1 ( 4 x 2- 8 x + 4) = 4 x 2- 8 x + 4 y lo restamos al dividendo por lo que le cambiaremos el signo: - 4 x 2 + 8 x - 4 2 x 5 + -2 x 3 + - 4 x + 4 4 x 2 – 8 x + 4

-2 x 5 + 4 x 4 – 2 x 3 21 x3 + x 2 + x + 1

+ 4 x 4 – 4 x 3 + -4 x + 4 - 4 x 4 + 8 x 3 – 4 x2 + 4 x 3 - 4 x 2 – 4 x + 4 - 4 x 3 + 8 x 2 - 4 x + 4 x 2 – 8 x + 4 - 4 x + 8 x - 4 0 Ésta es una división exacta, ya que el resto es cero. El proceso de la división se puede continuar hasta que el grado del dividendo sea mayor o igual que el divisor, si no fuese así NO podremos continuar, y la división habrá terminado. También sabemos que la división es correcta cuando: Dividendo = divisor · cociente + resto Es decir: P(x) = d(x) ·Q(x) + R(x). En este caso podremos escribir:

2x5+ 2x3 – 4 x + 4 = (4 x2 – 8x + 4 )· ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +++ 1

21 23 xxx + 0 ;

Ejercicio 9.- Calcula el cociente y el resto de las siguientes divisiones

a) ( 4 x 3- 3 x 2 + 2 x – 1 ) ( x ÷ 2 – 3 ) = b) ( x -3 x 2 + x 3 -1 ) (x ÷ 2- x + 1) = c) (4 x 3- 2 x 2 + 3) (2 x ÷ 2 -3) = d) (3 m 2 – 5 m 3 – 1 + m 4 – 4 m ) ÷ ( 3 – 4m + m2) = e) (2x 5- 3 ) ÷ (2 x2 – 4 ) = f) (x 6 – 3 x + x 3 – 3 ) (x÷ 2 – 3 x) = g) (x 5 – 3 x3 - x 2 + 1) ( x ÷ 2 – 2 x + 1) =

Pág. 46


Divisiones por x – a. Regla de Ruffini. Esta es una regla para dividir polinomios siempre que el divisor sea del tipo x± a, y que reduce los cálculos de forma apreciable. Por ejemplo: (6 x 3 – 4 x 2 + 5 x + 6) ÷ (x – 2)= Regla de Ruffini. El proceso consiste en colocar los coeficientes del dividendo de forma ordenada, y colocando ceros en los términos ausentes, y en el extremo izquierdo el opuesto del término independiente del divisor. 6 -4 +5 +6 + + + +2 12 16 42 6 8 21 48 = resto a) Los números 6 , - 4 , + 5 , +6 son los coeficientes del dividendo. b) El número +2 del extremo izquierdo resulta de cambiar el signo del término independiente del divisor x – 2. c) El primer número seis es siempre el coeficiente del término de mayor grado. d) Los números 12, 16 42 resultan de multiplicar por +2: 6 , 8 , 21 e) Los números 8 y 21 resultan de sumar a los coeficientes 12 y 16. Ejercicio 10.- Utilizando la división clásica, divide (6 x 3 – 4 x 2 + 5 x + 6) ÷ (x – 2). ¿Sabrías explicar los resultados de la regla de Ruffini? ¿Qué significan los números 6, 8 y 21? ¿De qué grado será el cociente? Ejercicio 11.- Utilizando la regla de Ruffini halla el cociente y el resto de las siguientes divisiones:

a) ( x 2 – 3 x 3 – x + x 5 + 1 ) ÷ ( x + 1) = b) (4 x 3 – x 5 + 32 - 8 x 2 ) (x + 2) = ÷c) ( x 3 – x 2 +11x – 10) (x – 2 ) = ÷d) ( 8 x 3- 3 x + x 4 + 20 + 12 x 2 ) ÷ ( x + 3 ) = e) ( x 5 + 1 ) (x + 1 ) = ÷

Relación entre el valor numérico y la división de un polinomio x a± Teorema del resto.- A veces conviene conocer el valor del resto de la división P(x) (x - a ), sin necesidad de conocer el cociente, es decir sin hacer la división. ÷El teorema del resto nos dice que el resto de la división P(x) ÷ (x – a), coincide con el valor numérico de P(x) para x = a. Es decir el resto de la división P(x) ÷ (x – a) , es igual que P(a). En efecto: Si sabemos que al dividir P( x ) , entre x – a , nos dá Q(x) de cociente y R de resto, podemos escribir que: P(x) = Q(x) · (x – a) + Resto Y si hallamos P(a), es decir sustituimos x = a , en la expresión anterior tendremos;

Pág. 47


P(a) = Q(a) · (a – a) + Resto 0 Como (a- a) = 0, entonces Q(a) · 0 = 0, y por lo tanto P(a) = Resto Ejemplo: El resto e la división de (3 x 3 – 2 x + 4) ÷ (x – 2) es: P(x) = 3 x 3 – 2 x + 4 luego P (2) = 3 · (2) 3 – 2 · 2 + 4 = 24, por lo tanto el resto

de la división será 24.

Ejercicio 12.- Demuestra el Teorema del Resto para el caso de la división P(x) ÷ (x + a). ¿Se puede aplicar el teorema del resto en cualquier tipo de división? Ejercicio 13.- Calcula el resto sin hallar el cociente en las divisiones siguientes

a) ( ) ( ) =−÷+− 1532 32 xxx

b) ( ) =+÷⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +− 22

21 42 xxxx

c) ( 2 x 4 + 3 x 3 - 4 x 2 + x – 18 ) ÷ ( x – 2) =

d) (10 x 3 – 15 ) ÷ (x + 5 ) = Raíces de un polinomio. Un número “a” es una raíz de un polinomio P(x) si el valor numérico de P (x) para x = a, es cero. Ejemplo: Dado el polinomio P(x) = x 2 – 5 x + 6, comprueba si x = 3, x = 2, x = -1 son raíces de dicho polinomio. Es decir comprueba si P (3), P (2) o P (-1) son ceros. Veámoslo: P (3) = (3)2 - 5 (3) + 6 = 0, luego x = 3 es una raíz P (2) = (2)2 – 5 (2) + 6 = 0, luego x = 2 es una raíz P (-1) = (-1)2 – 5 (-1) + 6 = 12, luego x = -1 no es una raíz Teorema fundamental del álgebra: Todo polinomio de grado “n” admite “n” raíces reales o complejas. Este teorema nos permite afirmar que todo polinomio de grado “n”admite como máximo “n” raíces reales. Estas raíces pueden ser: Simples. Si son todas distintas entre sí. Dobles. Si el polinomio admite dos raíces iguales.

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Por ejemplo: P(x)= x3- 1 = (x -1) (x2+ x +1), P (1) = 0, luego x = 1 es una raíz simple P(x)= x2-2x + 1 = (x-1) (x-1), x = 1 raíz doble. ¿Cómo podemos encontrar las raíces de un polinomio? Veamos sólo un caso: cuando el polinomio tiene coeficientes enteros las raíces enteras son divisores del término independiente. Es decir, el polinomio P(x) = x 2 – 5 x + 6, este polinomio de segundo grado tendrá, como máximo dos raíces reales, y las posibles raíces enteras serán los divisores de 6, que son . Ahora deberíamos probar para ver si alguna de ellas hace que el valor numérico del polinomio sea cero.

6,3,2,1 ±±±±

Vamos a demostrarlo para un polinomio de segundo grado, aunque es valido para cualquier polinomio de coeficientes enteros: Sea P(x) = x 2 – 5x + 6 Supongamos que x = a es una raíz, “a” , de dicho polinomio, luego P(a) = 0 P(a) = a 2 – 5 a + 6 = 0 Si sacamos factor común “a” nos quedará: a ( a – 5 ) + 6 = 0 Como “a” es un número entero también lo será ( a – 5) Llamaremos “c”, ( a – 5) = c Luego dónde escribimos a ( a - 5 ) + 6 = 0 escribiremos : a · c + 6 = 0

Y despejando a

c 6−= luego la raíz entera “a” es un divisor del término

independiente Ejercicio 13.- Escribe las posibles raíces enteras de los siguientes polinomios:

a) P( x) = x 2 – 4 b) Q(x) = 5 x - 3 x 3 +8 x 2 - 6 c) R(x) = 4 x 2 - 8 x + 4

Factorización.

Divisibilidad de un polinomio. Factorización. La condición para que un polinomio P(x), cualquiera sea divisible por un binomio de la forma x - a, es que P(a) =0, ya que esto quiere decir que el resto de la división es cero, y por tanto P(x) es múltiplo de x - a: Es decir que: P(x) x – a luego: P(x) = Q(x) · (x-a) 0 Q(x)

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Veamos un ejemplo de factorización de polinomios, dado el polinomio: P(x) = x 3 + 2 x 2- x - 2 Las posibles raíces enteras como hemos vistos son los divisores del término independiente que son . (este polinomio es de tercer grado luego como máximo podrá tener tres raíces enteras).

2,1 ±±

Probemos con +1, para ello dividamos por x -1, utilizando la regla de Ruffini:

+1

+1 +2 +1

-1 +3

-2 +2

+1 +3 +2 0 = resto Hemos dividido P(x) entre x – 1, nos da cociente Q1(x) = x 2 + 3 x + 2 y de resto 0, Luego podemos escribir: x 3 + 2 x 2- x – 2 = (x- 1) · (x 2 + 3 x + 2), y así hemos factorizado el polinomio. Ahora factoricemos el cociente Q(x) = x 2 + 3 x + 2, cuyas raíces enteras son también divisores de 2, que son . 2,1 ±±Probemos con -1, para ello dividamos por x + 1, utilizando Ruffini

-1

+1 +3 -1

+2 -2

+1 +2 0= resto Hemos dividido Q1(x) entre x +1, nos da cociente Q2(x) = x + 2 y de resto 0, Luego podemos escribir: (x 2 + 3 x + 2) = (x + 1) · (x + 2), y así hemos factorizado el polinomio. Y sustituyendo en la expresión: x 3 + 2 x 2- x – 2 = (x- 1) · (x 2 + 3 x + 2) = (x – 1) ( x + 1) ( x + 2) Luego hemos descompuesto el polinomio P(x) en un producto de tres factores, es decir hemos factorizado el polinomio. Ejercicio 14.- Factoriza los siguientes polinomios.

a) x 3 –x 2 – 4 x + 4 = b) x 3 - 5 x 2 –x + 5 = c) x 3 + 2 x 2 – 5 x – 6 = d) x 4 – 1 =

Ejercicio 15.- Factoriza los polinomios siguientes, sacando factor común. a) x 4 – 5 a x 2 = b) 3 a z – b z 2 + 6 z 3 = c) – x + x 2 - x 3 + x 4 = d) 6 b – 36 b 2 = e) 49 x 2 – 21 a x + 42 x 3 = f) 2 a x 2 – 4 a 2 x + 12 a x =

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Ejercicio 16.- Descompón en factores los siguientes trinomios: (Recuerda los desarrollos de: (a + b ) 2 , (a – b ) 2 )

a) x 2 + 4 x + 4 b) x 2 - 4 x + 4 c) 2

32

91 xx +−

d) 9x 2 +6 x + 1 e) 4 x4 + y 4 + 4 x2 y 2 f) 9+ x 4 – 6 x 2 Ejercicio 17.- Descompón en factores los siguientes binomios. (Recuerda: a2 – b 2 = (a – b) ( a + b) )

a) x 2 -9 b) 4 x 2 - 9 c) x 2 – 1 d) 1 – x 4 = e ) 259

22 ba−

Pautas a seguir en la factorización de polinomios:

1) Extraer factor común. 2) Identificar los productos notables. 3) Estudiar los divisores del polinomio, dividir y factorizar.

Polinomios irreducibles: Un polinomio se dice irreducible cuando no puede descomponerse en producto de polinomios de grado mayor o igual que uno, en caso contrario se dice reducibles. De la definición se deduce que todos los polinomios de grado cero o uno son irreducibles Ejercicio 18.- Factorizar

a) x 5 – 16 x = b) 3 x 3 – 12 x 2 – 15 x = c) 18- 2 x 2 = d) 20 + 20 x + 5 x 2 = e) x 6 - 1 = f) x 4 + x 3 – 16 x 2 – 4 x + 48 =

Máximo común divisor y minino común múltiplo de dos polinomios Vamos a generalizar los conceptos de máximo común divisor y mínimo común múltiplo de dos números enteros. El proceso es similar al realizado en los números enteros. Máximo común divisor de dos polinomios: Vamos a llamar m .c. d. de dos o mas polinomios a un polinomio de grado máximo que sea divisor de los polinomios. Si el máximo común divisor es una constante se dice que son primos entre sí. Veamos con un ejemplo su cálculo. Ejemplo: Calcular el máximo común divisor de los polinomios siguientes: P(x) = x 2 + x + 2 Q(x) = 2 x 2 – 2 Descomponemos los polinomios en productos de factores siguiendo las pautas de factorización. Supongamos que realizamos estas operaciones y los resultados son los que siguen: P(x) = x 2 + x - 2 = (x-1) ( x + 2) Q(x) = 2 x 2 – 2 = 2 ( x-1 ) ( x+1)

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El m.c.d. se obtiene multiplicando los factores comunes elevados a los menores exponentes: Luego m.c.d. (P(x) ,Q(x) ) = x - 1 Ejercicio 19.- Halla el m.c.d. de los polinomios: P(x) = x 2 + x - 12; Q(x) = x 3 – 9 x Ejercicio 20.- Halla el m.c.d. de los polinomios: P(x) =x 3 + x 2 - x - 1; Q(x) = x 3 – x Mínimo común múltiplo Se llama m.c.m. de dos o mas polinomios a un polinomio de grado mínimo que sea múltiplo común de ambos. Veamos con un ejemplo su cálculo: Calcular el m.c.m. de los polinomios: P(x) = x 2 – x – 6 ; Q(x) = x 2 – 6 x + 9 Descomponemos los polinomios en productos de factores siguiendo las pautas de factorización. Supongamos que realizamos estas operaciones y los resultados son los que siguen: P(x) = x 2 – x – 6 = (x-3) ( x + 2) Q(x) = x 2 – 6 x + 9 = (x- 3 )2 El m.c..m. se obtiene de multiplicar los factores comunes y no comunes con mayor exponente : Luego el m.c.m. ( P(x) , Q(x) ) = (x + 2) ( x – 3) 2

Ejercicio 21.- Halla el m.c.m de los polinomios: P(x) = 2 x 2 –x – 3; Q(x) = x 2 + 2 x + 1 Ejercicio 22.- Halla el m.c.m de los polinomios: P(x) = 2 x +x 2 + 1; Q(x) = x 2 - 1 Fracciones Algebraicas.

Una fracción algebraica es una expresión del tipo )()(

xQxP siendo 0)( ≠xQ

Ejercicio 23 .Escribe tres fracciones algebraicas. Fracciones equivalentes. Simplificar. Si se multiplican o dividen el numerador y denominador de una fracción algebraica por un mismo polinomio se obtiene otra fracción algebraica equivalente. Aplicando esta propiedad podemos simplificar una fracción, dividiendo sus dos términos por un divisor común, si los tiene. Cuando una fracción no se puede simplificar mas se dice irreducible Ejemplo:

yx

xyyx

23

812 2

2

3

=

22

)2)(2()2(

4)2( 2

2

2

+−

=+−

−=

−−

xx

xxx

xx

Pág. 52


Ejercicio 24.- Simplifica las siguientes fracciones algebraicas:

a) =+xy

xxy12

33 2

b) 2

2

)5(4502

−−

xx c) 22

33yxyx

−+ d)

11

4

23

−+++

xxxx

Valor numérico de una fracción algebraica. Es el valor que resulta de sustituir las letras por sus valores numéricos respectivos: Ejemplo:

132

2 +−

xx para x = 2 ;

51

1232·2

132

22 =+−

=+−

xx

Ejercicio 24.- Calcula el valor numérico de la fracción: 312 2

++

xx para x = -1

Puede ocurrir que la fracción algebraica no esté definida para un determinado valor de x, por ejemplo la fracción:

312 2

++

xx no está definida para x = -3, ya que

312 2

++

xx =

019

3319·2=

+−+ y como sabemos la

división entre “0” no es posible.

También puede ocurrir que cierto valor de x =a, haga que la fracción sea 00 , en

ese caso la fracción se dice INDETERMINADA. Cuando esto ocurre, el hecho de que dicho valor anule simultáneamente al denominador y numerador, supone que “a”, es una raíz y dichos polinomios serán divisible por x - a, por lo tanto podemos factorizar el numerador y denominador de la fracción y por consiguiente podemos simplificar. Veamos un ejemplo: Calcular el valor de numérico de :

2275

8623

2

=−+−

+− xparaxxx

xx ; 00

22·72·5282·62

27586

23

2

23

2

=−+−

+−=

−+−+−

xxxxx

Como x 2 – 6 x + 8 se anula para x = 2 , es divisible por x- 2

1 -6 8 2 2 -8

1 -4 0 = resto x 2 – 6 x + 8 = (x-2) (x- 4)

Como x 3 – 5 x 2 + 7 x - 2 se anula para x = 2, es divisible por x- 2 1 -5 +7 -2

2 2 -6 2 1 -3 1 0 = resto

x 3 – 5 x 2 + 7 x - 2 = ( x -2) ( x 2 – 3 x + 1)

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Ahora podemos simplificar la fracción algebraica:

134

)13)(2()4)((2(

27586

2223

2

+−−

=+−−

−−=

−+−+−

xxx

xxxxx

xxxxx

Y ahora en esta fracción equivalente a la anterior calculemos su valor numérico para x = 2

212·32

4213

422 =

+−−

=+−

−xx

x

A este valor numérico obtenido a partir de la fracción anterior se le llama verdadero valor de la fracción dada. Ejercicio 25.- Halla el verdadero valor de las fracciones siguientes:

a) 11

232

=−

+− xparax

xx b) 265

42

−=++

− xparaxx

x

c) 3393

63223

23

=−+−−−+ xparaxxx

xxx d) 02

4324

3

=−+

− xparaxxx

xx

e) 11

122

2

=−+− xpara

xxx f) 2

8665

2

2

=+−+− xpara

xxxx

Suma de fracciones algebraicas. Para sumar fracciones algebraicas procedemos de la misma forma que procedemos en las fracciones numéricas. a) Si tienen igual denominador, su suma es una fracción con el mismo denominador y el numerador es la suma de los numeradores. b) Si tienen distinto denominador, se halla el mínimo común denominador y después se suman como en el caso a) Veamos unos ejemplos: Ejemplo 1:

a)xxx

xxxx

xxxx

xxx

xx

−−−

=−−−

=−+−

=−+

−− 1

31

3321

)23(21

2312 2222

b) 2

2

2

2

123

12233

)1)(1()1(2)1(3

12

13

xxx

xxxx

xxxxx

xxx

−++

=−

−++=

+−−++

=+

+−

1 - x = 1 – x luego el mínimo común denominador será el producto de AMBOS 1 + x = 1 + x

c) 965

9623

)3)(3()3(2)3(

932

3 22

222

2

2

−−

=−

+−++=

+−−−++

=−

−+

+− x

xx

xxxxxx

xxxxx

xxx

x

x -3 = x -3 x +3 = x +3 luego el mínimo común múltiplo será ( x-3) ( x + 3) x 2 -9 = (x- 3 ) ( x +3)

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Ejercicio 26.- Efectúa las siguientes adiciones de fracciones algebraicas:

a) =+−

+−

+463

12

yyyx

yx

yx b) =+

−+

+−

+−+ 1

111

11

2

2

xx

xx

xx

c) =−

−−

+−

xx

xx

xx

31

123 d) =

+−

+++

−+−

443

222

662

xx

xx

xx

Multiplicación de fracciones algebraicas. Dadas dos o más fracciones algebraicas, se llama fracción producto a la que tiene por numerador el producto de los numeradores y como denominador a los productos de los denominadores de las fracciones dadas.

Es decir: )()·()()·(

)()(·

)()(

xSxQxRxP

xSxR

xQxP

=

Nota: La fracción producto es conveniente simplificarla, por lo que mantendremos los productos indicados. Ejemplos:

a) 11

)1()·1(

1·1

−+

=−

+=

−+

xx

xxxx

xx

xx

b) xxx

xxxx

xxx

xx

x23

)·3(2)3(3

)·62()3(33·

623

222 =−−

=−−

=−

−

Ejercicio 27.- Efectúa los siguientes productos de fracciones algebraicas:

a) =−+

−−

yxyx

yxyx ·)(

22

2

b) =−

− xyyxy

yxx

3·6 2

c) =−

− 2

3

216·

44

xxx

x d) =

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+ 2

2

2·1

yxyx

yx

División de fracciones algebraicas. El cociente de fracciones algebraicas se obtiene multiplicando la fracción dividendo por la fracción inversa del divisor.

Es decir: )()·()()·(

)()(:

)()(

xRxQxSxP

xSxR

xQxP

=

Ejemplo:

1)(3

)1()())((3

))(()(3·3:3 2

2

222

2

222

22

22

−+

=−−+−

=−−

−=

−−

−=

−−

− xyxx

xxyxyxyxx

xxyxyxx

xxyx

yxx

yxxx

yxx

Ejercicio 28.- Efectúa las siguientes divisiones:

a) =−+

÷−+

22121233

yxyx

xx b) =

+−

÷−−+

11

121

2

2

xx

xxx

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REPASO 1.- Realiza las siguientes divisiones:

a) ( 4 x y 2) : ( 2 x y) = b) ( 5 a 3 b2 c) : ( 2 a 2 b2) = c) =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛÷⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ yzxzyx 243

53

34

d) ( 2 x 4- 3 x 2 + 5 x 3 – 3 x) : ( 2 x) = e) =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛÷⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +− 2324

323

32 xxxx

2.- Calcula el cociente y el resto de cada una de las siguientes divisiones: a) ( - 3 x 2 + 4 x 3 + 2 x – 1) : ( x 2 –3) = b) ( x – 3 x 2 + x 3 –1 ) : ( x 2 –x +1) = c) ( 4 x 3 – 2 x 2 + 3 ) : ( 2 x 2 – 3) = d) ( 2 x 5- 3 ) : ( 2 x 2 – 4) = 3.- Calcula el resto sin hallar el cociente de las siguientes divisiones:

a) ( 2 x 2 – 3 x 3 + 5 ) : ( x –1) = b) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +− 422

21 xxx : ( x –2) =

4.- Calcula "m" para que el resto de la siguiente división sea 3: ( 2 x 2 – 3 m x + x 3 –2 ) : ( x –1) = 5.- Utilizando la regla de Ruffini, halla el cociente y el resto de las siguientes divisiones: a) ( x 3- x 2+ 11 x – 10) : ( x – 2) = b) ( 8 x 3 – 3 x + x 4 + 20 + 12 x 2) : ( x + 3)= 6.- Descompón en factores: a) 2 5 x 2 – 9 y 2 = b) x 3 + 1 = c) 12 – 3 x 2 = d) 1 – x 6 = e) 4 x – x 2 – 4 = f) x 2- 3 x + 2 = g) x 3 – 4 x = h) x 5 – 3 x 4 + 2 x 3 = i) 32 x 2 –18 = j) 9 x 2 – 3 x = k) 1 0 x 2 y – 25 x y 2 = l) –x + x 2 – x 3 + x 4 = 7.- Averigua si son exactas las siguientes divisiones: a) ( x 4 – 81 ) : ( x –3 ) = b) ( x 6 –64) : ( x +2) = c) (x 3 + 27 ) : ( x +3) = 8.- Halla el m.c.m. de los polinomios de cada uno de los apartados siguientes:

a) a 2 – b 2 , (a + b) 2 b) a 2 –1, a 2 + 2 a + 1 , a 3 + 1 c) x 2 – y 2 , x 2 – 2 x y + y 2, x 2 – x y

9.- Halla el valor de k para que el polinomio P(x) sea divisible entre x-1: P(x) =2 x 3 + k x 2 + x + 2 10.- Halla el valor de m para que el polinomio Q ( x) sea múltiplo de x –3 Q ( x) = x 3 – 5 x 2 + m x – 3

Pág. 56


11. - En algunos de los siguientes ejercicios puede que se hayan cometido errores, corrígelos: a) ; b) ( ) ( ) (44222 42 yxyx +=+ )222 baba +=+ c)

d) e) f)

2422 3)3)(3( yxyxyx −=+−

32 532 xxx =+ yy 642 =+ yy=

+2

2 g)252

23

=+

i)3

63

23 yy +=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

12.- Escribe en lenguaje algebraico, las siguiente informaciones relativas a la base x y la altura y de un rectángulo.

a) La base es la mitad de la altura b) La base excede en seis unidades a la altura c) La altura es tres cuartos de la base d) La base es a la altura como cinco es a dos

13.- Efectúa las siguientes operaciones: a) 3 · (2 x + y -3 z)2 b) (2 – 3 x)2+ (3 + 5 x)2- (4 – 2 x)2

14.- Siendo P(x) = 1/2 x 2 – 3 x; Q (x) = 2/ 5 x + 1 /2 Calcula: a) P(x) · Q(x) = b) P(x) – 2 Q(x) 215.- Saca factor común en las siguientes expresiones algebraicas: a) 2 x - 2 x 2 = b) 3 x y - 9 x y 3 = c) 12 x - 2 x 3 – 12 x2 = d) a 2 – 12 a – 2 a 2 = e) 12 x y - 23 y = 16.- Utilizando los productos notables factoriza las siguientes expresiones algebraicas: a) x 2 – 4 = b) x 2 – 4 x + 4 = c) 1 – x 2 = d) y 4 + 16 + 8 y 2= e) 9 x 2 -12 x + 4 = f) 16 x 2+ 16 x 3+ 4 x 4= g) x 2 -22x + 121 = h) x 4 – 81 = i) 9 – 6 x 2 + x 4 j) 1 – y 4 = k) 25 x2 – y 4 = 17.- Divide por el método mas adecuado: a) (x 5 + 3 x 3 – x -- 8) ÷ (x 2-- 2 x + 1) = b) ( 6 x 5 – 4 x 3 + 2 x ) ÷ ( ( x -2) = 18.- ¿Cómo podrías calcular el resto de la siguiente división sin realizarla? ¿En que teorema te basas? Enunciadlo. ( x 3 – 2 x 2 – x + 3) ( x +1) ÷ 19.- Calcula el valor de “a” para que x + 2 sea un divisor del polinomio P(x) = 3 x 2 – a x + x3 - 1 . 20.- Calcula el valor de “m” para que el P(x) = 2 x 2 – m x + 3 sea divisible entre x – 2 21.- Factoriza los siguientes polinomios: a) 3 x 4 – 10 x 3 + 7 x2 + 4 x - 4 = b) x 3 – 2 x2 + 4 x = c) x 4 + 2 x 3 – 5 x 2 - 18 x - 36 = d) 1 – 4 x2 e) x 5 – 1 f) x 5 – 2 x 4 – 6 x 3 + 12 x 2 + 9 x – 18

Pág. 57


22.- Escribe un polinomio de cuarto de cuarto grado cuyas raíces sean 1 , 2 , -3 y -1 23. -Divide ( ) ( ) =−÷−−+ 112683 3234 xxxx y comprueba el resultado. 24.- Se sabe que al dividir x 3- x 2 + a x - 10 entre x – 2 la división es exacta ¿Cuánto vale a? 25.- ¿Qué es una raíz, cero o solución de un polinomio? 26.- Descompón en factores los siguientes polinomios P(x) = x 3- x 2+ 6 R (x) = x 3- x + 2 – 2 x 2Q(x) = 32 - 2 a2 S(x) = x 4- x3-13x2 + x +12

27.- Calcula las raíces del siguiente polinomio: P (x) = (2 x – 1) (x + 5) (x 2- 1) 28.- Efectúa las siguientes adiciones de fracciones algebraicas:

a) =−

+−

yyx

yx

631 b) =+

−+ 1

11

xx

c) =−

−+ x

xx

x3

11

d) =++

−−−

442

12

2 xx

xx

29.- Calcular el verdadero valor de las siguientes fracciones algebraicas:

a) 111

2

3

=−− xpara

xx

b) 44

862

=−

+− xparax

xx

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Autoevaluación 1.- Enuncia el teorema del Resto. ¿A qué se le llama raíz de un polinomio? ¿Es x +1 un divisor de x 8 - 1? . ¿Por qué? 2.- Escribe en lenguaje algebraico el área de un triángulo teniendo en cuenta las siguientes informaciones. a) La base excede en cinco unidades a la mitad de la altura. ¿Cuál es su área si la

altura 8 cm? b) La altura es dos quintos de la mitad de la base. ¿Cuál es su área si la base 10 cm?

3.- Calcula el valor de la siguiente fracción algebraica:

24

22

2

−=−+ xpara

xxx

4.- Previa descomposición en factores del polinomio P(x) = x 3 + 2 x 2 – x - 2 , resuelve la ecuación x 3 + 2 x 2 – x - 2 = 0. 5.- Simplifica:

=++

+234

34

2 xxxxx

6.-Halla el valor de "m" de forma que el P(x) = - 3 x + x 2 – m + 2 x 3 sea múltiplo de x -3 7.- Descomponer en factores: a) 2 x 2 – 8 = b) 4 x 3 - 10 x 2 + 2 x + 4 = c) 1 + 25 x 2 –10 x = 8.- Calcula y simplifica:

a) =+−

−−

−−−

=+

+−−

22

422

11 2

22

xx

xx

xx

xx

xxx

9.- Calcula el m.c.m. de los siguientes polinomios: a) P (x) = 2 x 2 – 4 x + 2 , Q ( x) = 4 x 3 - 4 x , R ( x ) = 8 x - 8

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REFUERZO 1.- Enuncia el teorema del Resto. ¿A qué se le llama raíz de un polinomio? 2.- Sin dividir. ¿Es x- 2 un factor de x7 - 32? . Verdadero o falso .En que te basas. 3.- Escribe en lenguaje algebraico el área de un rectángulo teniendo en cuenta las siguientes informaciones. c) La base excede en dos unidades al cuadrado de la altura.. d) La altura es la tercera parte de la base disminuida en 2 4.- Halla el cociente y el resto de la división. ¿Podrías utilizar la regla de Ruffini? Razona tu respuesta: (3 x 3 + x2 + 1) ÷ ( x 2 + 3) 5.- Resuelve la ecuación x 3 +7 x +5 x 2 + 3 = 0 6.- Halla el verdadero valor de las siguientes fracciones algebraicas.

0

5342)

2275

86)

24

23

23

2

=+−+−

=−+−

+−

xparaxxxxxxc

xparaxxx

xxa

7.- Siendo P (x)= 3x 2 – 3 x + 3 ; Q ( x) = 1/ 2 x + 1 /2 ; R(x) = x + 2 x 2 - 1 Calcula: a) P ( x) - 2 Q ( x) b) P ( x) - 2 ( R ( x) )2 8.- Descomponer en factores: a) 3 x 3 – 27x = b) x 3–10 x2 + 25 x = 9.- Escribe un polinomio ordenado de tercer grado cuyas raíces sean -2, 0 y 2 10.- Efectúa las operaciones con fracciones algebraicas en cada uno de los apartados siguientes:

=−−

÷−

=+−

−

=+−

−++

=−

−−

−−

=−

−+

yxx

xxe

xxxd

xx

xxc

xxx

xxb

xx

xa

223

23)

112)

132

6322)

15

11)

224) 2

11- Se sabe que al dividir x 3- m x 2 + x - 7 entre x – 2 la división tiene resto igual 2 exacta ¿Cuánto vale m? 12.- ¿Qué es una raíz, cero o solución de un polinomio? 13.- Descompón en factores los siguientes polinomios P(x) = x 3- x 2+ 6 R (x) = x 3- x + 2 – 2 x 2Q(x) = 32 - 2 a2 S(x) = x 4- x3-13x2 + x +12

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Pág. 61


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UNIDAD IV. ECUACIONES E INECUACIONES.

1. Ecuaciones. Ecuaciones de segundo grado y grado superior. Ecuaciones de segundo grado. Una ecuación de segundo grado con una incógnita es una expresión del tipo : a x 2 + b x + c = 0 En ésta ecuación: - “a ” coeficiente del término de segundo grado que llamaremos coeficiente cuadrático - “ b ” Coeficiente del término de primer grado que llamaremos coeficiente lineal. - " c " que es el término independiente. Se pueden presentar dos casos cuando algún coeficiente es nulo, entonces diremos que la ecuación es incompleta Primer caso:

Modelo Ejemplo a x 2 + c = 0 4 x 2 – 9 = 0

a x 2= - c 4 x 2 = 9

acx −=2

492 =x

acx −±=

23

49

±=±=x

Segundo caso:

Modelo Ejemplo a x 2 + bx = 0 3 x 2 + 5 x = 0

x ( a x + b ) = 0 x ( 3 x + 5 ) = 0 x = 0

a x + b = 0 x = 0

3 x + 5 = 0 x = 0

a x = - b ; luego x =ab

−

x = 0

3 x = - 5 ; luego x = 35

−

Ejercicio 1.- Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado incompletas: a) 2 x 2- 32 = 0 b) 5 x 2- 15 x = 0 c) 3 x 2- 108 = 0 d) 7 x 2 +42 x = 0 e) x 2- x = 0 f) 5 x 2 + x = 0 g) x 2- 2 x = 3 x 2 h) x 2 + 12 x = 5 x

Pág. 63


Resolución de la ecuación completa. Las ecuaciones de segundo grado completas ordenadas se escriben de la forma: a x 2 + b x + c = 0 siendo a, b y c números Reales

a

acbbx2

42

1−+−

=

Las soluciones vienen dadas por las fórmulas:

a

acbbx2

42

2−−−

=

Veamos como podemos obtener dicha fórmula: Partiendo de la ecuación: a x 2 + b x + c = 0 Vamos a restar “c” a x 2 + b x + c - c = -c a x 2 + b x = -c Se multiplica por “4 a” 4 a 2x 2 + 4 a b x = - 4 a c Sumamos “ b 2 ” 4 a 2x 2 + 4 a b x + b 2 = + b 2 - 4 a c El primer término de la igualdad podemos ver que es el desarrollo de un producto notable y lo podemos escribir como tal: ( 2 a x + b ) 2 = + b 2 – 4 a c Luego podemos escribir que: 2 a x + b = acb 42 −± Y despejando “x” : 2 a x = - b acb 42 −±

Luego: a

acbbx2

42 −±−=

Discusión de las soluciones de una ecuación de segundo grado La expresión b 2 – 4 a c se llama discriminante, y se indica con la letra delta (Δ ) mayúscula: = b Δ 2 – 4 a c Según los valores que tome el discriminante Δ= b 2 – 4 a c, se presentan tres casos: 1.- Cuando > 0 ( positivo), se obtienen dos raíces reales. Δ2.-Cuando = 0 los valores que se obtienen para las dos raíces son iguales, se dice que tiene una raíz doble.

Δ

3.- Cuando < 0 (negativo) la ecuación no tiene raíces reales. Δ

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Ejercicio 2.- Halla las raíces o soluciones de las ecuaciones: a) x 2+ 7 x + 3= 0 b) 3x 2 -6 x -12 = 0 c) x 2 – 8 x + 15 = 0 d) 2 x 2 - 9 x - 1 = 0 e) x 2 + x - 2 = 0 f) x 2 - x + 1 = 0 g) x 2 -16 x + 64 = 0 Ejercicio 3.- Halla las raíces de las ecuaciones:

4

112

)3(23

2)92

32

23

2)

22 −−=

++

−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −−

xxxbxxxa

Suma y producto de las raíces de una ecuación de segundo grado. A partir de la forma general de la ecuación: a x 2 + b x + c = 0 , y llamando

a sus raíces. 21 xyxVamos a demostrar que:

La suma de las raíces: abxx −=+ 21

y que su producto : acxx =21·

En efecto sabiendo:

a

acbbx2

42

1−+−

= y que a

acbbx2

42

2−−−

=

Veamos que obtenemos al sumar sus raíces:

=+ 21 xxa

acbb2

42 −+− + a

acbb2

42 −−− = a

acbbacbb2

44 22 −−−−+− =

=ab

ab

−=−22

Veamos que obtenemos al multiplicar sus raíces:

=21·xxa

acbb2

42 −+− · a

acbb2

42 −−− = 2

22

4)4)·(4(

aacbbacbb −−−−+− =

( ) ( ) ( )ac

aac

aacbb

aacbb

aacbb

==+−

=−−

=−−−

= 22

22

2

22

2

222

44

44

44

44

Luego hemos demostrado que: abxx −=+ 21

acxx =21·

Pág. 65


Ejercicio 4 .- Halla la suma y el producto de las raíces de las siguientes ecuaciones: a) x 2 – 5 x + 4 = 0 b) x 2 + 9 x + 14 = 0 c) x 2 + 10 x + 21 = 0 Forma canónica de la ecuación de segundo grado: Dada la ecuación a x 2 + b x + c = 0 , si dividimos todos los términos por “a”

tendremos: ;0;0 22

=++⇒=++acx

abx

aac

abx

aax

que también podemos escribir: 02 =+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−−

acx

abx

Y si a la suma de las raíces le llamaremos “s”: sabxx =−=+ 21

Y al producto de las raíces le llamaremos “p”: pacxx ==21·

Sustituyendo estos valorasen la ecuación quedará: x 2- s x + p = 0 Que es la forma canónica de la ecuación de segundo grado Ejercicio 5.- Escribe una ecuación de segundo grado que tenga por soluciones a) x 1= 4 , x 2 = - 6 b) x 1 = -3 , x 2= - 5 c ) x 1 = 2, x 2 = -7

Ejercicio 6 .- Halla dos números sabiendo que su suma es 53− y su producto

52−

Descomposición factorial de la ecuación de segundo grado. Un trinomio de segundo grado P (x) = a x 2 + b x + c se puede factorizar resolviendo la ecuación a x 2 + b x + c = 0 , asociada a dicho trinomio, si consideramos que sus raíces son x1, x 2 , podremos escribir P(x) = a( x - x1) (x - x 2) En efecto: x1 + x2 P (x) = a x 2 + b x + c =

= ( )( ) =++−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ++ 2121

222 ·xxxxxxaacx

abxa

acx

abxa

= ( )2º1212 xxxxxxxa +−− =

x1· x2

Sacamos x factor común en los dos primeros términos: = ( )( )2121 ·xxxxxxxa +−− = Sacamos - x 2 factor común en los dos últimos: = ( ) ( )( )121 xxxxxxa −−− = Y sacando factor común (x – x1): = a (x - x1) (x - x 2)

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Ejercicio 7.- Descompón en factores los siguientes polinomios: a) P(x) = 3 x 2 – 10 x + 3; b) P(x) = 2 x 2 – 5 x + 2; c) T(x) = 12 x 2 + x – 1; d) R(x) –x2 +1; Ecuaciones Bicuadradas: Son aquellas que se pueden reducir a la forma de una ecuación de segundo grado mediante la utilización de incógnitas auxiliares. Veamos un ejemplo: x 4 – 13 x 2 + 36 = 0 Tomemos incógnitas auxiliares: x 4 = a 2

x 2 = a luego sustituyendo en la ecuación dada: a 2 – 13 a + 3 6 = 0 a 1 = 9

=±

=−−±

=2

5132

36·4)13(13 2

a

a 2 = 4 x 1= +3 Deshaciendo el cambio: x 2 = a ; x 2 = 9; =±= 9x x 2 = -3 x 3 = + 2 x 2 = 4 ; =±= 4x x 4 = -2 Ejercicio 8.- Resuelve las siguientes ecuaciones bicuadradas: a) x 4 – 5 x 2 + 4 = 0 b) x 4 – 10 x 2 + 9 = 0 c) x 4 – 26 x 2 + 25 = 0 d) x 4 –17 x 2 +16 = 0 Ecuaciones irracionales. Ecuaciones racionales. Se llaman ecuaciones irracionales aquellas en las que algunas de las incógnitas figura bajo el signo radical. Estudiaremos ecuaciones irracionales con radicales de índice dos. Ejemplos de ecuaciones irracionales:

a) xx =− 3 b) 112 =−x c) xx

=− 5

12

El proceso de resolución de estas ecuaciones se basa en el siguiente principio: Si se elevan al cuadrado los dos miembros de una ecuación, se obtiene otra ecuación que además de tener las soluciones de la primera, puede contener otras soluciones que proceden de la nueva ecuación obtenida al elevar al cuadrado la original.

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Una consecuencia importante: Siempre que la resolución de la ecuación exija elevar al cuadrado los dos miembros de la ecuación, es preciso comprobar si las soluciones halladas satisfacen la ecuación propuesta. Veamos unos ejemplos de resolución de ecuaciones irracionales: Ejemplo 1: Resolver la ecuación 21018 =+− x 1º) Aislamos en un miembro el término que contiene el radical que queremos eliminar: 10218 +=− x 1016 += x 2º) Elevamos al cuadrado los dos miembros de la ecuación: ( ) ( ) 246102561016

22 =⇒+=⇒+= xxx 3º) Comprobar: 222161822561821024618 =⇒=−⇒=−⇒=+− Por lo tanto podemos afirmar que la solución de la ecuación es x = 246 Ejemplo 2. Resolver la ecuación 639 =−++ xx 1º) Aislamos en un miembro uno de los radicales que queramos eliminar: 369 −−=+ xx 2º) Elevamos los dos miembros de la ecuación al cuadrado: ( ) ( )22

369 −−=+ xx Operando: ( )2336·2369 −+−−=+ xxx 3312369 −+−−=+ xxx 3º) Como existe otro radical, volvemos a repetir el proceso. Aislamos el término que contiene el radical y reducimos términos semejantes: 9336312 −−−+=− xxx AGRUPAR LOS TÉRMINOS!! 24312 =−x 4º) Elevamos al cuadrado los dos miembros de la ecuación: ( ) ( ) ( )

7714410081008144

43257614457643214457631224312 222

=⇒==⇒=

+=⇒=−⇒=−⇒=−

xxx

xxxx

5º) Comprobar: 62463797639 =+⇒=−++⇒=−++ xx Por lo tanto podemos afirmar que la solución de la ecuación es x = 7

Pág. 68


Ejercicio 9.- Resolver las ecuaciones irracionales siguientes: a) 12314 =−−+ xx b) 112 −=+ xx c) 737 =−− xx

REPASO DE ECUACIONES 1) Determinar, sin resolver las ecuaciones, el valor de la suma y del producto de sus

soluciones:

a) b) 01572 2 =−+ xx xx

−= 920 c) d) 0363 2 =++ xx 0652 =+− xx

2) Determinar la ecuación de segundo grado en los siguientes casos:

a) Si la suma de soluciones vale 5 y cuyo producto vale 6.

b) b) Si sus soluciones son 51 =x ; 12 −=x

c) Si la suma de soluciones vale -1/4 y cuyo producto vale -3/8.

d) d) Si sus soluciones son 52

1 =x ; 32 =x

e) Si sus soluciones son ; 21 −=x 32 =x

f) f) Si sus soluciones son 32

1 −=x ; 53

2 =x

3) Descomponer los polinomios a partir de sus soluciones:

a) b) c) d) 3116 2 +− xx 2715 2 −− xx 6136 2 ++ xx 2910 2 ++ xx

4) Obtener dos números sabiendo que su suma es 5 y su producto es -14.

5) Resuelve las siguientes ecuaciones bicuadradas:

a) b) c) 0910 24 =+− xx 03613 24 =+− xx 090061 24 =+− xx

d) e) f) 014425 24 =+− xx 022516 24 =−− xx 0910 24 =+− xx

g) h) i) 03 24 =− xx 010029 24 =+− xx 042 24 =++− xx

j) k) l) 24 40169 xx =+ 045 24 =+− xx 067 36 =+− xx

6) Resuelve las siguientes ecuaciones irracionales:

a) 132 −=−− xx x=2 b) xx 2145 =−+ x=1

c) xx 21113 =+− x=10 d) 24 =−+ xx x=4

e) 6412 =++− xx x=5 f) 0213284 =−−+−− xx x=-7

g) 1123213 +−=−− xx x=7 h) 6722 −=−−− xx x=-1

7) Resuelve las siguientes ecuaciones racionales:

a) 01

112 =

−−

− xxx b)

41

21

21

2 −=

++

− xxx c)

61313 −

+=x

x

d) 3

265

22 2 −

=+−

+− xxxxx e)

44

21

4 22 −+

=−

−− x

xxx

x f) 2

311

1xxxx −

+=−

−

g) ( )

11

11 2

2

=−

−− xxx h)

121

22

2 +−

=−−

+− x

xxxx

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Resolución gráfica y algebraica de los sistemas de ecuaciones lineales y no lineales con dos incógnitas. Veamos primero una ecuación lineal con dos incógnitas. Por ejemplo la ecuación: y =-x + 10 es una ecuación de primer grado con dos incógnitas. Busquemos soluciones para esta ecuación, ya que aparentemente parece tener más de una.

Valores de x 1 2 4 5 Valores de y 9

¿Podrías encontrar mas soluciones? En caso afirmativo escribe cuatro soluciones mas. Veamos ahora otra ecuación lineal con dos incógnitas: Por ejemplo la ecuación: y = x + 2 es una ecuación de primer grado con dos incógnitas. Busquemos soluciones para esta ecuación:

Valores de x 1 4 5 7 Valores de y

¿Cuántas soluciones mas podrías encontrar para esta ecuación? Si ahora consideramos juntas las dos ecuaciones, se dice que que ambas forman un sistema de ecuaciones lineales: x + y = 10 x – y = 2 Una solución del sistema sería una pareja de números que fuese solución de las dos ecuaciones ala vez. Llamamos solución de un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas a todo par de números x1 e y1, tales que sustituyendo x por x1 e y por y1 se verifican las dos ecuaciones a la vez. Dos sistemas se dice que son equivalentes cuando tienen las mismas soluciones. Resolución de sistemas de ecuaciones. Resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas es encontrar un par de valores (uno para cada incógnita) de forma que al sustituir las incógnitas por esos valores las dos igualdades sean ciertas. Ejemplo: 2 x + y = 5 2 x – y = -1 La solución del sistema es x = 1, e y =3 ya que......... Para encontrar la solución de un sistema de ecuaciones estudiaremos tres métodos. Los tres métodos consisten de una u otra manera en pasar de una ecuación con dos incógnitas a otra equivalente con una sola incógnita, que sabemos resolver.

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Método de sustitución. Consiste en despejar una incógnita en una ecuación y sustituir el valor obtenido en la otra. Ejemplo: 3x – 2y = 10 x + 3y = 7 Elegimos la incógnita más fácil de despejar (la x de la 2ª ecuación). x = 7 – 3 y Sustituimos el valor de la x despejada en la otra ecuación: 3x – 2y = 10 3 · (7 – 3y) – 2y = 10. Ya tenemos una ecuación con una sola incógnita que sabemos resolver. 21 – 9y – 2y = 10

-11 y = -11 y = 11111

=−− y = 1 Ahora este valor de "y" lo

sustituimos en la ecuación:

x = 7 – 3 y = 7 – 3 · 1 = 7 – 3 = 4 Luego la solución será el par : x = 4 y = 1 Ejercicio 1.-Resuelve por el método de sustitución los siguientes sistemas de ecuaciones: a) x + y = 8 b) 2 x + 3 y = 7 c) 2 x + y = 4 x - y = - 6 3 x - y = 5 x – y = 2 Método de igualación. Consiste en despejar la misma incógnita en las dos ecuaciones e igualar las expresiones obtenidas. Ejemplo:

3x – 2y = 10 3x = 10 + 2y x = 3

210 y+ Igualamos

x + 3y = 7 x = 7 – 3y

3

210 y+ = 7 – 3y 10 + 2y = 3 · (7 – 3y) 10 + 2y = 21 – 9y Obtenemos una ecuación Con una sola incógnita

11y = 11 y = 11111

= y = 1 . Sustituimos el valor de y en

cualquiera de las expresiones obtenidas de x.

x = 3

210 y+ = 43

123

2103

1210==

+=

⋅+

Solución: x = 4 y = 1

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Ejercicio 2.- Resuelve por el método de igualación los siguientes sistemas:

a) x + y = 10 b) x + y = 2 c) 2 x + y = 2 x =y x - y = 1 x + 3 y = 6 Método de reducción. Consiste en multiplicar las ecuaciones por los números adecuados para que, al sumarlas, nos desaparezca una de las incógnitas. Así, la ecuación que obtengamos tendrá una sola incógnita. Ejemplo: 3x – 2y = 10 Si multiplicamos la segunda ecuación por –3, obtendremos un sistema equivalente a éste. x + 3y = 7 3x – 2y = 10 3x – 2y = 10 Sumando las dos ecuaciones, -3 · (x + 3y) = -3 · 7 -3x – 9y = -21 + nos queda: 0 - 11y = -11 Obtenemos una ecuación con una sola incógnita

y = 11111

=−− y = 1

A continuación sustituimos el valor de y en cualquiera de las ecuaciones iniciales y despejamos el valor de x. x + 3 · 1 = 7 x + 3 = 7 x = 7 – 3 = 4 Solución: x = 4 y = 1 Ejercicio 3.-Resuelve por el método de reducción los siguientes sistemas de ecuaciones: a) - 7 x - 4 y = -7 b) 2 x + 3 y = 1 c) 5 x –8 y = -13 2 x - y = 2 x + y = - 2 2 x - 3 y = -4

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Método gráfico. Consideremos el siguiente sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas: 3x - 2 y = 10 x + 3y = 7 Vamos a representar gráficamente las soluciones de cada una de las ecuaciones. La representación gráfica de las infinitas soluciones de cada una de las ecuaciones que forman el sistema se encuentran en una recta. Como son rectas basta con conocer un par de soluciones para poderlas trazar: Ecuación: 3x - 2 y = 10 para facilitar el calculo de las soluciones despejamos la incógnita y:

yxyx =−

+=2

103;2103 2

103 −=

xy

Construyendo una tabla de soluciones:

x 4 2 y 1 -2

Ecuación: x + 3 y = 7 para facilitar el calculo de las soluciones despejamos la incógnita y:

3

7 xy −=

Construyendo una tabla de soluciones:

Representan los puntos:

x 1 4 y 2 1

3 x – 2 y = 10 x + + 3 y = 7 (4,1)

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El punto de intersección el punto de coordenadas (4, 1) que es solución de ambas ecuaciones, será la solución del sistema. Ejercicio 4.- Resuelve gráficamente el siguiente sistema: 2 x + y = 7 x – y = -1 Ejercicio 5.- Resuelve gráficamente los siguientes sistemas: x – y =1 x – y = 1 - 2x + 2y = -2 2 x – 2 y = 6 Discusión de un sistema: Un sistema puede tener una, infinitas o ninguna solución: • Si tiene una única solución , se dice que el sistema es compatible determinado (rectas secantes). • Si tiene infinitas soluciones, el sistema es compatible indeterminado (rectas coincidentes). • Si no tiene solución, el sistema es incompatible (rectas paralelas). Ejercicio 6.- Completa los sistemas de forma que sean compatible determinado: a) x + y = 10 b) 2 x + y = 4 x - ... = x + ... = Ejercicio 7.- Completa los sistemas de forma que sean compatible indeterminado: a) x + y = 10 b) 2 x + y = 4 2 x + ... 3 x + = Ejercicio 8.- Completa los sistemas de forma que sean incompatible: a) x + y = 10 b) 2 x + y = 4 x + ... = 2 x + ... = Ejercicio 9.- Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones por el método que consideres más adecuado:

a) ( )

323

232

=+

−=−−yx

yyxx b)

( )

( ) ( )6

161

31

314

4223

−=−−+

−+=

++

yyxyx

yxxy

d))1(

212

12364

−=+

+−=+

xyx

yyx

e)( )

( )3

228

84921

223

654

xyxxy

yxyxxy

−=−

−+

+−=−

+−

f)

151612

318

5203

65

43yxyyx

yx

+=

+−

+

=+

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Sistemas de ecuaciones no lineales Vamos a resolver sistemas de ecuaciones con dos incógnitas no lineales, es decir sistemas en los que al menos una de las ecuaciones no es de primer grado. Para resolver este tipo de sistemas es aconsejable utilizar el método de sustitución despejando la incógnita en la de primer grado y sustituyendo en la de segundo grado. Veamos un ejemplo, resolver el sistema 3x + y = 5 x 2 – y 2 = 3

Despejemos en la primera ecuación “y” y = 5 – 3 x y = 5 – 3 x x 2 – y 2 = 3 Sustituimos en la segunda ecuación x 2 – ( 5 – 3x ) 2 = 3 Resolvemos la ecuación de segundo grado: x 2 – ( 5 – 3x ) 2 = 3 x ⇒ 2 – ( 25 – 30 x + 9 x 2 ) = 3 ; x ⇒ 2 –25 + 30 x -9 x 2 = 3 Ordenando: - 8 x 2 + 30 x – 28 = 0 Simplificando: x 1 = 2

- 4 x 2 + 15 x – 14 = 0; ( ) ( )

=−

−−−±−=

814·4·422515

x

x 2 = 47

Y sustituyendo estos valores en la ecuación: y = 5 – 2 x

41

4735

47

1)2(352

22

11

−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=⇒=

−=−=⇒=

yxPara

yxPara Las soluciones serán: ( ) ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −−

41,

471,2 y

Ejercicio 10.- Resuelve los siguientes sistemas: x 2 + y 2 = 13 x2 – y 2 = 0 4 x y – 6 y = 3 y + 3 = 3x y -3 x = -5 3 x – 8 y = 5

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2. Inecuaciones. Desigualdades numéricas: ejemplo 3 < 8 1.- Si sumamos o restamos un mismo número a los dos miembros de una desigualdad se obtiene una nueva desigualdad del mismo sentido que la anterior. Ejercicio 1.-SUMA o RESTA un número cualquiera a la desigualdad anterior y comprueba lo afirmado. 2.- Si multiplicamos o dividimos por mismo número positivo a los dos miembros de una desigualdad. Se obtiene una desigualdad del mismo sentido. Ejercicio 2.- MULTIPLICA o DIVIDE por un número cualquiera positivo la desigualdad anterior y comprueba lo afirmado. 3.- Si multiplicamos o dividimos por un mismo número negativo a los dos miembros de una desigualdad. Se obtiene una desigualdad de distinto sentido. Ejercicio 3.-MULTIPLICA o DIVIDE por un número cualquiera negativo la desigualdad anterior y comprueba lo afirmado. Inecuación es una desigualdad entre expresiones algebraicas. Las dos partes de una inecuación, a uno y otro lado del signo de la desigualdad se llaman miembros. Las letras se llaman incógnitas. Ejemplos: a) 3 x – 9 > 6 b) 4x - 6 ≤ x + 3 Las soluciones de una inecuación son los números que al sustituir a la incógnita o incógnitas hacen ciertas la desigualdad. La inecuación del apartado:

a) tiene por solución (los números mayores que cinco) x >5, ya que si sustituimos la x por números mayores que cinco se cumple la desigualdad. Compruébalo.

b) tiene por solución (los números menores o iguales que 3) x 3, ya que si

………..(completa)…Compruébalo. ≤

Las soluciones también la podemos representarlas mediante intervalos o representaciones en la recta real. Por ejemplo la solución x > 5, también se puede escribir ] o representar en la recta real: [∞+,5

5 ∞+ Ejercicio 4 .- ¿ Como representarías en la recta real las soluciones de la inecuación 4 x – 6 ≤ x + 3 ? Inecuaciones equivalentes son las que tienen las mismas soluciones.

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Resolución de inecuaciones de primer grado. El procedimiento de resolución de las inecuaciones es similar a los procesos utilizados en la resolución de ecuaciones, es decir a partir de una inecuación obtenemos inecuaciones equivalentes: 1.- Si sumamos o restamos un mismo término a los dos miembros de una inecuación se obtiene una inecuación equivalente a la anterior. Lo que permite trasponer términos. Ejemplo: 3 x – 9 > 6; 3x > 6 + 9; 3 x > 15 2.- Si multiplicamos o dividimos los dos miembros de una inecuación por número positivo, y distinto de cero, resulta una inecuación equivalente a la anterior

Ejemplo: 3 x > 15 ; 3

15>x ; x > 5

3.- Si multiplicamos o dividimos los dos miembros de una inecuación por número negativo, y distinto de cero resulta una inecuación equivalente a la anterior pero la desigualdad cambia de sentido. Ejemplo: - 2 x > 8 ….. dividir por -2……… Ejercicio 5.- Plantea y resuelve inecuaciones:

a) Busca números tales que al sumarle doce sean menores que cuarenta b) ¿Qué número cumplen que su tercera parte es mayor o igual que ocho? c) ¿Qué números al multiplicarlos por cinco serán mayores que el cuadrado de

quince? d) ¿Qué números cumplen que al sumar diez a sus dobles nos dan un resultado

menor o igual que ocho? e) ¿Cuándo la tercera parte de un número menos quince será menor o igual que

ocho? f) ¿Qué números restados de siete son menores que diez? g) Si el perímetro de un triángulo equilátero es mayor que veinte y cuatro,¿qué

puede decir de su lado? h) Si el lado de un cuadrado es menor que dieciséis,¿qué puedes decir de su

perímetro? ¿Y de su área? i) ¿Cómo debe ser el término independiente de la ecuación x2 -2 x + c = 0 para

que tenga dos soluciones distintas? j) Si el lado de un hexágono está comprendido entre tres y cinco ¿ ¿cómo será su

perímetro?

Ejercicio 6.- Resuelve las siguientes inecuaciones con una incógnita y representa sus soluciones mediante intervalos y representaciones de estos en la recta real. a) 9 – 2/3( 3 – x) < 1 d) x – x/2 ≤ 1 – 3 x b) ( 1 – x )/ 2 + 1 > x + 4 e) ( x + 1)/2 - (x – 1)/ 3 > 4 c) 3 x + 1 > - 3 ( 5 – x) f) 25 – 2 x < -2 – 2 x

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Inecuaciones lineales con dos incógnitas. Se llama inecuación lineal con dos incógnitas “x” e “y” cualquiera de las expresiones siguientes: a x + b y > c; a x + b y < c ; a x + b y ≤ c; a x + b y . c≥ Estas inecuaciones se van a resolver desde el punto de vista gráfico, la ecuación a x + b y = c, asociada a la inecuación correspondiente representa una recta. Esta recta divide al plano en dos zonas llamadas semiplanos, como vemos en la representación siguiente:

La solución de la inecuación de primer grado en las incógnitas x e y la forman los infinitos puntos de uno de los semiplanos en los que la recta correspondiente divide al plano, incluyendo la recta si la desigualdad es ≥≤ ó y sin incluirla cuando la desigualdad es > ó < . Veamos unos ejemplos: Ejemplo 1. 2 x + y < 4 Primero representamos la recta asociada a la inecuación, 2 x + y = 4 . Para ello mediante una tabla de valores representamos algunas de sus soluciones. Facilitará los cálculos despejar una de las incógnitas por ejemplo: y = 4 – 2 x , y dando valores de “x” a l azar encontrar los valores de “y"

x 0 2y 4 0

Para ver la solución de la inecuación 2x + y < 4, se toma un punto cualquiera de uno de los dos semiplanos que determina la representación gráfica de la recta asociada a la inecuación: 2x + y = 4 , por ejemplo el punto (0,0) y sustituyendo en la inecuación 2 x + y < 4, tendremos 2 · 0 + 0 < 4, luego 0 < 4, lo que es cierto, luego este punto y todos los puntos que se encuentran en este semiplano será solución de dicha inecuación.

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La solución de la inecuación 2 x + y < 4 es el semiplano rayado de la figura siguiente.

Ejercicio 7.- Resuelve las siguientes inecuaciones: a) x- y > 0 b) 2 x – y ≥ 2 c) 2 x + y ≤ 4 d) 3 x – y > 6 e) x f) y > 2 0≤ Sistemas de inecuaciones lineales. Se llama sistema de dos inecuaciones lineales con dos incógnitas al conjunto formado por dos o más inecuaciones de primer grado con dos incógnitas inecuaciones. La solución del sistema es el conjunto de pares que satisfacen ambas inecuaciones. Gráficamente procedemos: a1 x + b1y ≥ c1 a2 x + b2 y < c2 Representamos ambas inecuaciones en el mismo sistema de ejes coordenados, la solución será la intersección de los dos semiplanos

(Zona cuadriculada)

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Ejemplo 2: Veamos un ejemplo:

11

≥−≤+

yxyx

Sigue las instrucciones: a) Representa la ecuación asociada a la primera inecuación x + y = 1. Siguiendo

las indicaciones del ejemplo 1 b) Representa la ecuación asociada la inecuación x – y =1. Siguiendo las

indicaciones del ejemplo 1 Ejercicio 8.- Sistema de tres inecuaciones. Sigue las instrucciones que a continuación se dictan:

a) Busca pares de números que cumplan las siguientes condiciones: cada uno mayor que uno y la suma de los dos menor que diez

b) Escribe las inecuaciones que forman el sistema cumpliendo las condiciones anteriores.

c) Representa en el mismo sistema de ejes coordenado las soluciones de las tres inecuaciones tres inecuaciones- ¿Qué figuran determinan?

d) Toma puntos del interior de la figura y comprueba que satisfacen todas la inecuaciones

e) Haz igual con los puntos del exterior de la figura. f) ¿Cuál será la solución?

Ejercicio 9.- Resuelve los siguientes sistemas de inecuaciones con dos incógnitas:

a) b) c) 331652−≤+≤−

yxyx

10≤+

≥yx

y

00

203

≥≥

≤+

yx

yx

Inecuaciones de segundo grado. Para estudiar las soluciones de una inecuación de segundo grado, a x2 + bx + c > 0 ( y también en los casos de <, ) se descompone en factores la ecuación asociada a la inecuación:

≥≤,

a x2 + b x + c = 0, cuyas raíces son x1 y x2 a (x – x1) ( x – x2) Por lo tanto el signo de la inecuación depende de los tres factores implicados: a, (x – x1), ( x – x2) . Para resolver la inecuación se hace la representación geométrica de las raíces sobre la recta real, dividiendo a ésta en los intervalos representados: ( x)1, x∞− 1 ( )21 , xx x 2 ( )+∞,2x

Y ahora simplemente tendremos que evaluar (estudiar el signo) del producto a (x – x1) ( x – x2) en los intervalos, tomando puntos al azar pertenecientes a éstos y, sustituyéndolos en la ecuación y comprobando si el resultado es positivo, o negativo.

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Veamos un ejemplo: Resuelve la inecuación: x 2 – 7 x – 18 < 0 Primero calculemos las soluciones de la ecuación asociada a la inecuación: x 2 – 7 x – 18 = 0 x 1 =-2

Serán : =±

=+±

=2117

272497x

x 2 = 9 Luego podemos escribir la ecuación factorizada: 1 (x +2) ( x –9) = 0 Para resolver la inecuación se hace la representación geométrica de las raíces sobre la recta real, dividiendo a ésta en los intervalos representados: ( - 2) )2,−∞− ( 9,2− 9 ( )+∞,9

Estudiemos el signo del producto en cada uno de los intervalos considerados: a) Tomemos un punto cualquiera del intervalo ( )2,−∞− , por ejemplo -3, y sustituimos este punto en la ecuación factorizada: 1 (x +2 ) ( x – 9 ) = 1 (-3 +2 ) ( -3 – 9 ) = -1 · -12 = + 12 Resultado Positivo Esto indica que para todos los puntos pertenecientes al primer intervalo considerado, el signo de la ecuación siempre es positivo. Ejercicio 10.- Comprueba tu la anterior afirmación para otros valores del intervalo

( )2,−∞− b) Tomemos un punto cualquiera el intervalo ( )9,2− , por ejemplo 0, y sustituimos este punto en la ecuación factorizada: 1 (x +2) ( x – 9 ) = 1 (0 +2 ) (0 –9) = +2 · -9 = - 18 Resultado negativo Esto indica que para todos los puntos pertenecientes al segundo intervalo considerado, el signo de la ecuación siempre es negativo. Ejercicio 10.- Comprueba tu la anterior afirmación para otros valores del intervalo

( )7,2−c) Tomemos un punto cualquiera el intervalo ( )+∞,9 , por ejemplo 10, y sustituimos este punto en la ecuación factorizada: 1 (x +2) ( x – 9 ) = 1 (10 +2 ) (10– 7 ) = +12 · 2 = + 24 Resultado positivo Esto indica que para todos los puntos pertenecientes al tercer intervalo considerado, el signo de la ecuación siempre es positivo. Ejercicio 11.- Comprueba tu la anterior afirmación para otros valores del intervalo.

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Solución: La solución de la inecuación x 2 – 7 x – 18 < 0 será el intervalo (-2,9). Esto indica que para todos los valores de x correspondientes al intervalo (-2,9), el signo de la ecuación siempre será negativo. Dos casos Especiales: a) Discriminante nulo. Cuando el discriminante es nulo la ecuación asociada a la inecuación a x2 + bx + c > 0 tiene una raíz doble y resulta: a (x – x 1) 2 > 0 Como el término (x – x 1) 2 siempre es positivo y el signo del producto dependerá del signo de “a”solamente. b) Discriminante es negativo, y por no ser nunca cero el signo depende también del signo del coeficiente “a” del término de segundo grado. Nota. Téngase en cuenta que si las inecuaciones incluyen el signo , los intervalos en que queda dividida la recta real representada incluye los valores de las raíces, ya que son soluciones, luego las soluciones serán por lo tanto intervalos cerrados.

≥≤ ó

Ejercicio 12.- Resuelve las inecuaciones: a) x 2 - 4 x + 3 < 0 b) x 2 + 5 x - 6 > 0 c) x 2 - 4 < 0 d) 6x 2 - 7x + 2 0 ≤ e) 3x 2 - 10 x +3 ≥ 0 f) 6 - x – x 2 > 0 g) 2 x ( x- 3) > 3 x 2 h) x 2 – 6 < 5x Inecuaciones polinómicas de grado superior al segundo. Una inecuación polinomica de grado superior a segundo grado, si se puede descomponer en productos de primer o segundo grado, se resuelve de forma similar a la explicada en el caso anterior. Ejemplo: Resolver la inecuación x 3 – x 2 – 6 x < 0 Descomponiendo en factores la ecuación asociada: x 3 – x 2 – 6 x = x ( x 2 –x – 6) = x ( x - 3) ( x + 2) Para resolver la inecuación se hace la representación geométrica de las raíces sobre la recta real, (raíces x = 0, x = 3 , x = -2 ) dividiendo a ésta en los intervalos representados: (raíces x = 0, x = 3 , x = -2 ) ∞− -2 0 +3

∞+

-Si tomamos un punto cualquiera perteneciente al intervalo ] [2,−∞− , por ejemplo -3, y lo sustituimos en el producto x ( x - 3) ( x + 2). Resultará: -3 · ( -3 - 3) ( -3 + 2) = -3 · -6 · -1 = -18 NEGATIVO Esto indica que para todos los puntos pertenecientes al intervalo considerado, el signo de la ecuación siempre es negativo.

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-Si tomamos un punto cualquiera perteneciente al intervalo ] [0,2− por ejemplo -1, y lo sustituimos en el producto x ( x - 3) ( x + 2). Resultará: -1 · ( -1 -3) ( -1 +2) = -1 · -4 · +1 = + 4 POSITIVO Esto indica que para todos los puntos pertenecientes al intervalo considerado, el signo de la ecuación siempre es positivo. -Si tomamos un punto cualquiera perteneciente al intervalo ] [3,0 , por ejemplo 1, y lo sustituimos en el producto x ( x - 3) ( x + 2). Resultará: 1 ( 1 – 3) ( 1 + 2 ) = 1 · -2 · 3 = - 6 NEGATIVO Esto indica que para todos los puntos pertenecientes al intervalo considerado, el signo de la ecuación siempre es negativo. -Si tomamos un punto cualquiera perteneciente al intervalo ] [∞+,3 , por ejemplo 4, y lo sustituimos en el producto x ( x - 3) ( x + 2). Resultará: 4 (4 – 3) ( 4 + 2) = 4 · 1 · 6 = 24 POSITIVO. Esto indica que para todos los puntos pertenecientes al intervalo considerado, el signo de la ecuación siempre es positivo. Las soluciones de una inecuación son los números que al sustituir a la incógnita hacen ciertas la desigualdad. Luego la solución de la inecuación x 3 – x 2 – 6 x < 0 se encontrará en los valores de x donde la inecuación toma valores menores que cero ( < 0) Luego la solución será ] [2,−∞− ∪ ] [3,0 Ejercicio 13.- Resuelve as inecuaciones: a) x 3 - 5 x 2 - 6x < 0 b) (x 2 -9) ( x +1) > 0 c) (1 -x 2 ) ( x 2 – 9) < 0 d) (10 x +3) ( x + 1) ( x-2) ≥ 0 e) ( x+ 1) ( x -2 ) ( x +2) > 0

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Inecuaciones Racionales.

Inecuaciones del tipo 0)()(≤

xQxP , se pueden resolver descomponiendo los polinomios

que forman el denominador y numerador en factores de primer grado, representando sus raíces en la recta real, y estudiando el signo del cociente de forma similar al estudiado en las inecuaciones polinómicas de grado superior a dos.

Veamos un ejemplo: 01

)3)(2(≥

+−−

xxx , en este caso ya está descompuesta en factores

de primer grado. Raíces del numerador: x = 2 , x = 3, raíces del denominador x = - 1. Representemos las raíces en la recta real: -1 2 3

Debemos tener en cuenta que x no puede valer nunca 1, ya que hace que el denominador se haría cero, y no existe la división por cero. Sin embargo en numerador puede ser cero en x = 2 y x = 3, luego los intervalos serán: ] [1, −∞−

] ] [ ]3,2,2,1− [ [∞+,3 -Si tomamos un punto cualquiera perteneciente al intervalo ] [1,−∞− , por ejemplo -3, y

lo sustituimos en 1

)3)(2(+

−−x

xx

Resultará 2

302

6·513

)33)(23(−+

=−−−

=+−

−−−− que e s un número NEGATIVO

Esto indica que para todos los puntos pertenecientes al intervalo considerado, el signo de la ecuación siempre es negativo. -Si tomamos un punto cualquiera perteneciente al intervalo ] 2,1 ]− por ejemplo 0, y lo

sustituimos en 1

)3)(2(+

−−x

xx .

Resultará: 16

10)30)(20(

++

=+

−− que es un número POSITIVO.

Ahora tú: Comprueba los signo de los dos intervalos restantes. ¿Cuál será la solución entonces de la inecuación propuesta? Ejercicio 14. - Resuelve las siguientes inecuaciones :

a) 2112

−≥−−

xx b) 0

552≤

−+x

x c) 124

−≥−+

xx d) 01

253

≤−−−

xx

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Ejercicio 15. -Resuelve las siguientes inecuaciones de segundo grado: a) b) c)04 2 ≤− x 0232 ≤+− xx ( )( ) 0323 ≤−− xx d) ( ) 032 ≤+xx Ejercicio 16. - Resuelve las siguientes inecuaciones representando las soluciones en la recta real

a) b))2(3)3(2 +≤+ xx xxxx−

−≤

+−

−6

133

24

1 c) ( ) ( ) 523 22 ≤+−− xx

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EJERCICIOS DE INECUACIONES

1. Resuelve las siguientes inecuaciones de primer grado y representa gráficamente sus soluciones:

( ) 131)5392)7436) 2 ++>−+>++<− xxxxcxxbxxa

2214

48

325)

1252

342)

65

23) −

+>

−−

−−<

−−>+

xxxfxxexxxd

2. Resuelve las siguientes inecuaciones de segundo grado:

( )( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ∞+∪⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ∞−∈>+−−∈<−− ,

32

41,:021112)9,2:0187) 22 xSolxxbxSolxxa

( )( )⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎥⎦⎤

⎢⎣⎡−∈−≤

−+−−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎢⎣⎡ ∞+∪⎥⎦

⎤⎜⎝⎛ −∞−∈≤− 1,

219:44

5121),

23

23,:049)

22 xSolxxxxdxSolxc

( )( ) ( )tieneNoSolxxfxSolxxe :032),:096) 22 <++∞+∞−∈≥+−

( )( ) ( ) ( ) ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ∞+∪∞−∈

+−>

++

−+ ,595,:

4121

21

3132)

2

xSolxxxxg

3. Resuelve las siguientes inecuaciones de grado superior:

( ) ( )( )∞+∪−∈>− ,10,1:0) 3 xSolxxa( )( ) [ )( )∞+∈≥+−− ,3:0341) 2 xSolxxxb

( ) ( )( )2,12,:044) 23 ∪−∞−∈<+−− xSolxxxc ( ] [ ]( )3,20,:065) 23 ∪∞−∈≤+− xSolxxxd [ ]( )1,0:032) 24 ∈≤−+ xSolxxxe

( ) ( )( )3,22,3:03613) 24 ∪−−∈>−+− xSolxxf ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )∞+∪∞−∈>−−− ,21,:0211) 23 xSolxxxg ( ) ( ) [ ] [ )( )∞+∪∈≥−+− ,21,0:0121) 2 xSolxxxxh

4. Resuelve las siguientes inecuaciones racionales:

]( )2,2:022) −∈≤

+− xSol

xxa ] ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎢⎣⎡∈≤

−− 3,

23:0

332) xSol

xxb

( ) (( )∞+∪−∞−∈>+

,01,:01

) xSolx

xc )

( ] [ )( )∞+∪−−∈≥+− ,11,3:031)

2

xSolxxd

[ [ ( ]( )3,21,3:02

9) 2

2

∪−−∈≤−−

− xSolxx

xe

( ) (( )9,33,:3

23

1) ∪−∞−∈+

>−

xSolxx

f )

( ) (( )4,22,:23

21

44) 2

2

+∪−∞−∈++

>−

−−+ xSol

xx

x)

xxg

Pág. 86


Repaso 1.- Plantea y resuelve:

a) Halla un número sabiendo que su cuadrado mas su doble es igual a cero.¿Cuántos números cumplen la condición?

b) Halla un número sabiendo que el doble de su cuadrado menos diez veces su valor es cero ¿Cuántos hay?

c) Si al cuadrado de la cantidad de monedas de euro que tengo lo disminuyo en diez veces dicha cantidad,” me quedo sin un duro” ¿Cuántas céntimos tengo?

2.-Plantea ecuaciones de segundo grado que tengan por soluciones:

a) x 1= 2 ; x 2= -1; b) x 1= 2 ; x 2 = -3; c) x 1 = 1/2 ; x 2 = 2; d) x 1= 0 ; x 2 = - 3;

3.- Resuelve las ecuaciones de segundo grado:

a) m2 = 5 m – 7 b) 4x - 8 = x2/2; c) t2 = - 2 t – 1 ; d) x2 – 10 ( x - 3 ) = - 4 ;

d) x 4-5 x 2+4=0 e)x 4-26 x 2+25 = 0

4.-.- ¿Cuántas soluciones puede tener una ecuación de segundo grado?

a) ¿En qué caso las soluciones de una ecuación de segundo grado serán números racionales? ¿En que caso serán números irracionales? ¿De qué dependen el número y el tipo de soluciones de una ecuación de segundo grado?

b) ¿Plantea ecuaciones de segundo grado que tengan una, dos ó ninguna solución y resuélvalas para comprobarlo?

5. - Un albergue juvenil tiene habitaciones con literas de dos y de cuatro camas. Sabiendo que tiene 80 habitaciones y 270 camas ¿cuántas habitaciones son de cada tipo?

6. -En unos grandes almacenes hacen una rebaja del 20% en abrigos y del 10% en camisas, Julia paga 128,4 €. por un abrigo y una camisa. Si los hubiera comprado antes de las rebajas habrían costado 156 €. ¿Cuál era el precio sin rebajar del abrigo y de la camisa?

7. - Divide un listón de madera de 1,20 metros en dos trozos de modo que el producto de las longitudes de los dos trozos sea de 1100 cm2. Halla las longitudes de los dos trozos.

8. - Un estanque tiene un volumen de 2000 m3. Si tiene 5 m. de profundidad y es 5 m mas largo que ancho, ¿cuáles son las dimensiones?

9. - La suma de las edades de un padre y su hijo es de 58 años y dentro de diez años la edad del padre será el doble que la de su hijo. Calcula las edades de ambos.

10. - Elisa y Patricia van a jugar un partido de tenis y entre el público se encuentran sus hermanos, que forman un grupo no superior a seis.

a) ¿Qué condición deben de cumplir los hermanos de Elisa y Patricia?

b) ¿Puede ser el número de hermanos un número negativo?

c) Plantea el sistema de inecuaciones y resuélvelo gráficamente.

d) ¿Todas las soluciones del sistema de inecuaciones son soluciones del problema en este contexto?

Pág. 87


11. - ¿Cómo debe ser el término independiente de la ecuación x2 – 2 x + c = 0 para que tenga dos soluciones distintas?

12.- Dibuja los ejes coordenados en cada caso y resuelve de forma gráfica las inecuaciones siguientes:

2);0);22);01);22):0) −≥≥≥−<−≥−<− yfyeyxdxcyxbyxa

13.- Un día estaba pintando distraídamente los ejes cartesianos en el suelo, cuando observé que una hormiguita se paseaba alegremente sin salir del recinto determinado por las ecuaciones:

Dibuja el recinto por dónde se paseaba la hormiguita ⎩⎨⎧

<+>−

0201

yx

14.- Resuelve las siguientes inecuaciones poli nómicas:

a) x 2 - 4 x - 3 < 0 b) x 2 + 5 x - 6 > 0 c) x 2 - 4 < 0 d) 6x 2 - 7x - 2 0 ≤

e) 3x 2 - 10 x +3 ≥ 0 f) 6 - x – x 2 > 0 g) 2 x ( x- 3) > 3 x 2 h) x 2 – 6 < 5x

a) x 2-5 x + 6<0 b) x 2- 4>0 c) x 2-4 x + 3≤ 0 d)x 3-x 2-4 x + 4<0

15.-Calcula la solución de las siguientes inecuaciones fraccionarias:

22

)13

)0212)0

13) ≥

−−<

−≤

+−

<−+

xxd

xxc

xxb

xxa

16.- Resuelve la inecuación: y-2x+4<0

17.- Resuelve las inecuaciones:

a) x + 5 >11 b) 33

22

3>

+−

− xx

18.- Determina la ecuación de segundo grado que tiene por suma y producto de las raíces los valores que a continuación de dan: S = 2 y P = -15

19.- Resuelve la ecuación irracional

a) 737 =−− xx b) xx =++ 112 c) xx 25163 =−+

20.-Tres segmento miden respectivamente 8, 22 y 24 cm. Si se añade a los tres una misma longitud, el triángulo construido con ellos es rectángulo. Halla dicha longitud.

21.- El producto de dos números es 4 y la suma de sus cuadrados es 17 ¿ Cuáles son esos números?

22. - Resuelve gráficamente los siguientes sistemas de ecuaciones:

a) b)1025623

=+=−

yxyx

22112

=−=+

yxyx

c)2451032−=+−=−

yxyx

Pág. 88


23. - Por métodos algebraicos soluciona los siguientes sistemas de ecuaciones:

a) 3

32

23)(2

=+

−=+−yx

yyxx b)

431

512

24

52

3

yx

yx

+=

=+ c)

( )( ) 53

1210=−+=+−

yxxyx

24. -Resuelve las siguientes inecuaciones de segundo grado:

a) b) c)04 2 ≤− x 0232 ≤+− xx ( )( ) 0323 ≤−− xx d) ( ) 032 ≤+xx

25. - Resuelve las siguientes inecuaciones representando las soluciones en la recta real

a) b))2(3)3(2 +≤+ xx xxxx−

−≤

+−

−6

133

24

1 c) ( ) ( ) 523 22 ≤+−− xx

26. - Resuelve los siguientes sistemas de inecuaciones lineales con dos incógnitas:

a) b) c) 331652−≤+≤−

yxyx

10≤+

≥yx

y

00

203

≥≥

≤+

yx

yx

27. - Si el perímetro de un triángulo equilátero es mayor que 24 ¿qué puedes decir de su lado?

Pág. 89



Pág. 90

Pág. 90


Pág. 91


Pág. 92


Pág. 93


Autoevaluación 1.- Atendiendo al número de soluciones clasifica los siguientes sistemas de ecuaciones. a) x + y = -1 b) 2 x – y = 3 c) 3x + 2 y = 4 2 x -y = 1 4 x -2 y = 12 6 x = 8 - 4 y Si representásemos gráficamente estos sistemas, ¿qué podríamos prever de la situación de las de las ecuaciones en el plano cartesiano? 2.- ¿Cómo debe ser el coeficiente “b” en la ecuación x 2 + b x + 1 = 0 para que dicha ecuación deba tener dos soluciones reales? ¿Y para que tenga una raíz? ¿Y para que no tenga raíces reales? 3.- Resuelve las inecuaciones:

a) x3 + 4 x2 + 5 x + 2 0≤ 343

5) ≥+xxb c) x 2 – 6 < 5x

4.- La diagonal de un rectángulo mide 30 cm. y su área 432 cm2. Halla las dimensiones del rectángulo. 5.-Resuelve las ecuaciones siguientes: a) 6412 =+−− xx b) x 4- 5 x 2 + 4 = 0 6.- Resuelve: x + y≤ 1 x - y > 1

Pág. 94


Refuerzo Unidad IV 1.- En un triángulo rectángulo un cateto mide 24 cm. y la hipotenusa 18 cm más que el otro cateto. Halla el perímetro y el área del triangulo. 2.- Halla la solución de las siguientes ecuaciones. a) x 4 –17 x 2 + 16 = 0 b) (x-2)2 = 3 c) xx 25163 =−+ 3.- Por métodos algebraicos resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones:

323

23)(2

=+

−=+−yx

yyxx

426122

=−=+

yxyx

4.- Resuelve las siguientes inecuaciones:

a) x 2-2 x – 3 < 0 b) x3 – x > 0 c) 13

2>

+xx d) x 3 – x 2 -4 x + 4 < 0 e) 2

112

−≥−−

xx

5.- Para que la solución del sistema a x + b y = 4 sea (2,3) Calcula los valores de a y b 6.-Explica los siguientes términos apoyándote en ejemplos y representaciones gráficas:

a) Sistemas de ecuaciones lineales b) Sistemas de ecuaciones compatibles determinado c) Sistemas de ecuaciones compatibles indeterminados d) Sistemas de ecuaciones incompatibles e) Resolver un sistemas de ecuaciones f) Solución de un sistema de ecuaciones lineales g) Solución de un sistema de inecuaciones

7.- Representar el conjunto de puntos que satisface la inecuación 2 x – 3 y + 5 > 0 ; 8.- Resuelve: 7 x + 2 y > 14 4 x + 5 y > 20 9.- Escribe una ecuación de segundo grado que tenga por soluciones: 3 /4 y -2. 10.- Halla el lado de un cuadrado tal que la suma de su área mas su perímetro es igual a 252. 11.-Calcula el valor de b para que la ecuación 3 x 2 – b x + 3 = 0 tenga dos soluciones.

Pág. 95


UNIDAD V. LOGARITMOS. ECUACIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS.

1. Concepto de logaritmo. Nomenclatura. Cálculo de logaritmos en cualquier base. 2. Propiedades de los logaritmos. 3. Ecuaciones logarítmicas y exponenciales.

Concepto de logaritmo. Nomenclatura. Cálculo de logaritmos en cualquier base. Consideremos la igualdad (tomaremos la base y el exponente natural para comprender más fácilmente los conceptos).

823 =

Si ocultamos la base, esto es, , y nos preguntamos ¿qué número elevado al cubo, es decir, multiplicado tres veces por sí mismo, da 8?, averiguamos que es 2 y escribimos

83 =x

283 = diciendo entonces que 2 es la raíz cúbica de 8.

Por otro lado, si ocultamos el exponente, es decir, , y nos preguntamos ¿a qué número tenemos que elevar 2 para obtener 8?. Averiguamos que es 3, escribiendo entonces que diciendo entonces que 3 es el logaritmo de 8 en base 2. Esto dará lugar a otra operación desconocida hasta ahora llamada logaritmo. En general daremos la siguiente:

82 =x

38log2 =

Definición: llamamos logaritmo en base b del número N al exponente al que hay que elevar b para obtener N, es decir,

aNb =log “si y solo si” abN =

La base “b” ha de ser siempre positiva (aunque puede ser cualquier número real) y por lo tanto N también lo será.

Si escribimos “log” sin indicar ninguna base supondremos que ésta es 10 llamándose logaritmo decimal, y si escribimos “ln”, la base será el número “e” diciendo entonces que los logaritmos son neperianos.

En las calculadoras científicas aparecen ambos logaritmos y para su cálculo escribimos primero el número y después la tecla de logaritmo correspondiente (es al contrario en los modelos nuevos). Para calcular el logaritmo en cualquier base usaremos las fórmulas siguientes:

bNNb log

loglog = o bien bNNb ln

lnlog =

Ejemplo: 5log

100log100log5 =

Si no disponemos de calculadora intentaremos realizar el cálculo mediante la definición, es decir:

x=81log3 → → → x = 4 813 =x 433 =x

esto lo haremos si el número dado se puede escribir como potencia de la base del logaritmo, pues en caso contrario terminaremos usando la calculadora.

Pág. 96


Propiedades de los logaritmos. a) para cualquier base. 01log =b

b) 1log =bb

c) Solo tienen logaritmos los números positivos.

d) ( ) BABA logloglog +=⋅

e) BABA logloglog −=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

f) ApA p loglog ⋅=

g) Para el “log de una raíz” basta escribir una potencia de exponente fraccionario.

Ecuaciones logarítmicas y exponenciales. Ecuaciones logarítmicas: son ecuaciones donde la incógnita está sometida a la acción del logaritmo, como por ejemplo:

21log)1log(log =+− xx

Para resolverlas intentaremos llegar a una igualdad del tipo

log ESTO = log AQUELLO, de donde deduciremos que ESTO = AQUELLO (desapareciendo el log).

Resolvamos pues el ejemplo anterior (usando las fórmulas de la pregunta anterior)

21log)1log(log =+− xx ;

21log

1log =

+xx ;

21

1=

+xx ; 12 += xx ; x = 1

Ejemplo: en algunos ejercicios donde aparece un número suelto podemos sustituirlo por otra expresión que incluya la palabra logaritmo como por ejemplo:

24loglog =+ xx ; ; ; 100log4log =⋅ xx 1004 2 =x4

1002 =x ; ; x = 5 252 =x

o bien, si no usamos este artificio, aplicamos la definición de logaritmo

24loglog =+ xx ; ; ; ; 24log =⋅ xx 24log 2 =x 22 410 x=4

1002 =x ; x = 5

A veces al resolver una ecuación logarítmica podemos terminar resolviendo una de tipo exponencial, en la cual también se intenta llegar a una expresión de la forma:

baseESTO = baseAQUELLO ,de donde pondremos: ESTO = AQUELLO

(“base ha de ser el mismo número en ambos miembros”)

Pág. 97


Ejercicios de logaritmos

Sabiendo que si y solo si , realiza los siguientes ejercicios: aNb =log abN =

1. Calcula x en: a) ; b) 2log5 =x 2log4 −=x ; c) 4log21 −=x ; d) , 0log =x

e) ; f) 3log −=x31log8 =x ; g)

21log4 =x ; h) 1log3 −=x ; i)

21log25 =x

2. Calcula x en: a) ; b) x=36log6 x=27log3 ; c) x=2187

1log3 ;

d) ; e) ; f) x=3log9 x=8log4 x=2log4 ; g) x=81log8 ; h) x=2log

21

3. Calcula x en: a) , b) 216log =x 4110log =x ; c) 4

811log =x ; d)

219log =x

e) ; f) 25,02log =x 3001,0log −=x ; g) 3125log −=x ; h) 313log =x

4. ¿Qué relación existe entre y 2log3 21log

31 = .

5. Si , ¿cuánto vale ? 25,0log =ba ablog

6. ¿Qué relación hay entre a y b si log a + log b = 0?

7. ¿Qué relación hay entre a y b si log a + log b = 1?

8. Calcula x sabiendo que 0)))(log(loglog 235 =x

9. Calcula a sabiendo que 2loglog 77 =+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ x

ba

10. Prueba que 0loglog 11 =− baba

11. Prueba que si loga x + loga y = 0, entonces x·y = 1

12. ¿Qué se le tiene que hacer a un número para que su logaritmo en base 3 aumente en 2 unidades?

13. Si se multiplica por 36 el número N, su logaritmo en cierta base aumenta en 2 unidades, ¿cuál es dicha base?

14. Prueba que ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⋅=−

ab

bababa log)log()log( 22

15. Prueba que 0)1(log)1(log 2122

12 =⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −−+⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ −+ xxxx para todo x > 1

16. Prueba ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +−−=++⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛− 2

12

1

21

21 ln)ln(ln

21ln

2111ln baabba

ba

Pág. 98


EJERCICIOS DE ECUACIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS 1. Resuelve:

5331 39)160054)181232) ++− ==⋅⋅=⋅ xxxxxx cba

( ) 117333)18)5210) 112323011 22

=++=⋅= −++++− xxxxxxx fed

( ) ( ) ( ) 15

12212 5,372)5,02)033283) +−++ =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛==+⋅− xxxxx ihg

( ) 01787)14)) 1322323 7 =+⋅−== ++−−− xxxxx lkaaj

32)93)812) 3 4

112122

=+== −−−− xxxxx eeñnm

( ) ( ) 0813644)01222)319223) 2433 =−⋅−=−−⋅=⋅ −+ xxxxxx qpo

124

2)368) =

−= −

xxx

x sr

2. Calcula el valor de x en los siguientes casos:

( ) 3log

33

4

913

77)91log)

33log)33log) =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛== xdxcxbxa

( ) ( 10loglog)2log)27log)2log) 4

777 ===−= xhxgxfxe ) 3. Calcula:

( )

( )10loglog)279log)

91log)

33log)

33log)1681log)

1251log)7log)

12527log)

125log)6

1log)125.0log)2log)5

1log)

3

333

4

91

33

2253433

5

2521624

8125

nmlk

jihgf

edcba

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

4. Desarrolla, aplicando las propiedades de los logaritmos:

4 3

32

log)c

baa ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ⋅ 4log) dcbab ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅ 3log) qp

nmc

Pág. 99


5. Halla la expresión algebraica de x si:

( ) ( )dcbaxa loglog221log3log2log) +−+=

( )dcbaxb log2log31log3log

21log) +−+= bcaxc log

21loglog

53log) −−=

6. Sabiendo que log 2 y log 3 son conocidos, calcula (sin calculadora):

3

512log) ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛a 8log) 5b 025,2log)c

2

536log) ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛d ( ) 32 5.08,64log) ⋅e

7. Resuelve:

( ) ( ) ( ) 3125log2log95)25log232log216log) 2 =++−−=−−+ xxbxxa

5log132log13log)932loglog3

3log2

2log5) −=−−+−=+ xxdxxxc

( ) ( ) ( ) xxfxxe +−−=−=−+−2222 2log221250log)243log97log)

( ) ( ) ( ) 04log325log)9.0log1log2) 3 =−−−−+= xxhxxg

( ) ( )⎩⎨⎧

=⋅=−

=++−4log

5loglog2)416log5log74) 2

yxyx

jxxi

⎩⎨⎧

−=−=+

1log2log23loglog

)yx

yxk

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=+

=−

31log3log

91log

51log5log5log

)yx

yxl

8. Resuelve:

25log5

log)3loglog7log) 33 =++=xbxa

( ) ( ) xxexxdc xx 2log3log2log)1log1log)225log100log) =−+=−+=−

( ) ( ) ( ) ( ) 2log23log14log)5log112log53log) =−−−−=+−+ xxgxxf

( ) ( ) 05log5log1log)06loglog2) =−−+−−=+− xxxixxh

( ) ( ) ( ) ( ) 5log54loglog4)1log52log1log32log) 2 =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−−−−=+−− xxkxxxxj

( ) ( )9,0log1log2)022loglog3) 2 −+==−+− xxmxxxl

( ) ( ) 25log232log216log)

932loglog3

3log2

2log5) −=−−+−=+ xxñxxxn

Pág. 100


9. Resolver:

⎩⎨⎧

=−=−

⎩⎨⎧

=+=−

⎪⎩

⎪⎨⎧

=

=+

1loglog2

)1loglog

9)

5

1loglog)

yxyx

cyx

yxb

yx

yxa

⎩⎨⎧

=+=+

⎩⎨⎧

=+=−

⎩⎨⎧

=−=+

4loglog57log5log

)2loglog3

5log3log2)

1loglog3loglog

)yxyx

fyx

yxe

yxyx

d

⎪⎩

⎪⎨⎧

=

=+

⎪⎩

⎪⎨⎧

=+

=+

⎩⎨⎧

=+=−

−+− 421022

)952

952)

1loglog21

)11

22

yx

yx

yx

yx

ihyx

yxg

( )

( )

( )

( )

( ) ( )

⎪⎩

⎪⎨⎧

=

=−−+

⎪⎩

⎪⎨⎧

=+

=−

⎪⎩

⎪⎨⎧

=+

=−

222

5log5loglog)

213log

23log)

24log214log

)y

x

y

x

y

xxyx

lx

yk

x

yj

Repaso 1. Desarrolla, aplicando las propiedades de los logaritmos:

4 3

3

log)bc

baa⋅

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ⋅ 4

2log) dcbab

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅ 3 2log) qp

nmc

2. Usando la definición calcula el valor de:

log (81) log , log log , log .3 25 94

2

5

35 32

329 27, ,

3. Conociendo log2=0,3010 y log3=0,4771 y utilizando las propiedades de los logaritmos, calcula: log , log , log( , ) , log , .12 0 6 0 027 51 843 3 5 log 4,8 , , 5 4. Resuelve las siguientes ecuaciones logarítmicas:

a) b)

d)

e) f)

43

814

2 3 5 2

4 1 3 2 2 3 2 2 0

2 16 2 4 212

4

2

log log log log( ) log( ) log

) log( ) log( ) log log log( )

log log( ) log(5 ) log log( )

1 1 5x

x x x

c x x x x x

x x x x

+ = + − + = −

− − − = − + + =

− − = + − = +

5. Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales: a) b) c)

d) e) f) 9x

2 2 320 0 4 5 2 4 0 5 5 2500

25 30 5 125 0 31

34 2 3

2 1 3 2 1 2

1 11

2

( )x x x x x x

x x xx

x

+ +

81 0

+ +

+ +−

+

+ − = − ⋅ + = − =

− ⋅ + = + = − ⋅ + =

Pág. 101


UNIDAD VI. FUNCIONES. Funciones. Definición. Son muchas las relaciones que existen entre diversos conjuntos de objetos en las actividades cotidianas. Por ejemplo, - A cada persona le corresponde una edad. - A cada medicamento le corresponde un precio - A cada automóvil le corresponde una matricula - A cada número le corresponde su cuadrado. - A cada número real le corresponde dos raíces cuadradas. Uno de los aspectos mas importantes de la ciencia consiste en establecer relaciones entre diversos tipos de fenómenos. Una vez que se conoce la relación entre los dos tipos de fenómenos se pueden hacer predicciones. (Relación entre el espacio y el tiempo, la relación entre la presión de un gas y la temperatura. etc.) Las relaciones especiales llamadas funciones representan unos de los conceptos más importantes de las matemáticas. Relaciones y funciones: Veamos algunos ejemplos de las relaciones: Relación 1.-A cada número se le hace corresponder su cuadrado Relación 2. -A cada número se le hace corresponder su raíz cuadrada. Relación 3.-A cada número se le hace corresponder su cubo. Relación 1 Relación 2 Relación 3 Dominio. Recorrido dominio recorrido dominio recorrido Número cuadrado número raíz cuadrada número cubo

1 1 0 0 0 0 -1 1 +1 1 1 0 0 -1 -1 -1 - 2 4 2 + 2 2 8 +2 - 2 . . . . . . . . . Una relación o correspondencia es una regla (proceso, método) que produce una correspondencia entre un primer conjunto llamado dominio y un segundo conjunto llamado recorrido, tal que a cada elemento del dominio le corresponde uno o más elemento del recorrido.

Una función es una relación en la que se agrega la restricción de que a cada elemento del dominio le corresponde uno y solo uno de los elementos del recorrido

En las relaciones anteriores vemos que la relación 1 y la relación 3 son funciones, y que la relación 2 no es función, ya que un elemento del dominio le corresponde dos elementos del recorrido.

Relaciones especificadas mediante ecuaciones:

La mayoría de los dominios y recorridos que vamos a estudiar serán dados en R y las reglas que hacen corresponder o asociar a cada elemento del dominio un elemento del recorrido serán ecuaciones.

Por ejemplo, consideremos la ecuación: y = x 2 – x dónde Rx∈ (x es un número Real)

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Para cada valor de x se obtiene un resultado de y.

Por ejemplo, para x = 3, entonces y = 3 2 - 3 = 6

La ecuación asocia a cada valor x del dominio (número real cualquiera) un valor y del recorrido. La variable “x” se le llama variable independiente (puesto que los valores se dan en forma independiente) y la variable “y” se le llama variable dependiente (ya que dependen del valor que le demos a la variable independiente) Con la ecuación anterior y = x 2 – x dónde Rx∈ podemos obtener una tabla de valores de la función, simplemente sustituyen la variable independiente por números reales en la ecuación:

x 0 1 -1 2 -2 3 Y 0 0 2 2 6 6

Por comodidad solemos elegir números enteros, pero también podríamos haber tomados otros números reales:

Por ejemplo x =21− , entonces y = ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−

21

21 2

= 43

Dado que en una función los elementos del recorrido y del dominio forman parejas, esta correspondencia se puede ilustrar también en forma de pares ordenados:

(0,0) , ( 1,0) , (-1,2), ( 2, 2) (-2, 6) , ( 3 , 6) , ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

43,

21

Esta sería una forma alternativa pero equivalente de definir las funciones., por pares ordenados. Si representamos estos pares de valores en un sistema de ejes coordenados, obtendremos una gráfica de la función.

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Como consecuencia de las definiciones vemos que una función, se puede determinar de diferentes formas: -Mediante una ecuación. -Mediante una tabla. -Mediante un conjunto de pares ordenados. -Mediante una gráfica. Prueba de la recta vertical de una función: Una relación es una función si una recta vertical pasa como máximo por un punto de la gráfica de la función, si la recta pasa por más de un punto de la gráfica no es una función. En la figura siguiente vemos la gráfica de una relación que no es una función, ya que cualquier recta vertical puede cortar a la gráfica en más de un punto.

Notación de funciones. De la misma forma que utilizamos letras ”x” e “y” para designar las variables independiente y dependiente, utilizaremos también letras para designar las funciones, por ejemplo las letras “f” y “g”, para designar las siguientes funciones: f : y = 2 x + 1 g: y = x 2 + 2 x - 3 Si “x” representa un elemento del dominio de la función f, frecuentemente vamos a utilizar f(x) en lugar de “y” para designar el número del recorrido de la función f asociado a “x”. El símbolo f(x), se lee “efe de x “ y representa la pareja de “x”, o valor de “y” asociado a “x”, utilizaremos indistintamente: “y” ó “f(x)”, es decir las funciones anteriores la podemos escribir: f (x) = 2 x + 1 g (x) = x 2 + 2 x - 3 La ventaja de esta notación es que si escribimos f (2) y g (1), es que indican de forma clara el valor del recorrido asociado a estos valores:

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f(2) = 2 · 2 + 1 = 5 g(1) = 12 + 2 · 1 – 3 = 0 Ejercicio 3.- Dadas las funciones:

a) f(x) = 2x +3 Calcula f(0), f(-1), f ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

32

b) g(x) = 4

22 −x

x Calcula g( 0), g ( 1 ), g ( 2), g ( -2 ) , g ( 3)

Ejercicio 4.- a) Dada la función f(x) = x + 7. Calcula “ x “ para f(x) = 2, y =0 , f(x) = -3

b) Dada la función y = 4

22 −x

x . Calcula “x” para f(x) = 0, y = 1, y = - 2

Ejercicio 5.- Obtén una tabla con cinco pares de valores de la función dada por la ecuación y = 2x – x 3

Ejercicio 6.- La función dada por la ecuación y 2 = x siendo “x” la variable independiente ¿es una función? Ejercicio 7.- Encontrar el dominio y el recorrido de la función: ( ) ( ) ( ) ( ){ }2,1,2,0,3,1,3,2 −−=f Ejercicio 8.- Encontrar el dominio y recorrido de la función: ( ) ( ) ( ) ( )( ){ }2,14,5,3,2,1,1,1,2 −−−=g Si una función está definida mediante una ecuación y no se indica el dominio, se supondrá que éste es el conjunto de todos los números reales que, al reemplazar a la variable independiente produzcan valores reales de la variable dependiente. El recorrido será el conjunto de todos los resultados correspondientes a los valores sustituidos. Ejercicio 9.- ¿Cuál es el dominio y recorrido de la función definida por la ecuación y = x 2 +3? ¿Y de la función y = 3 x 3 + 2 x 2 + 5 x -2?

Ejercicio 10.- ¿Cuál es el dominio de la función x

y 1= ? ¿Y de la función

422 −

=x

xy ?

Ejercicio 11.- ¿Cuál es el dominio de la función y = x+ ?¿Y de la función

y = xx −+ 2 ? Ejercicio 12.- Sabrías encontrar una regla para definir los dominios de funciones polinómicas ( ejercicio 9), racionales (ejercicio 10 ) e irracionales (ejercicio 11)?

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También podemos calcular el dominio a través de sus gráficas. Cuando se dibuja la gráfica de una función, los valores del dominio se asocian por lo general al eje de abscisas (eje horizontal) y los valores del recorrido al eje de ordenadas (eje vertical).

x

y

-3 -2 -1 0 1 2 3 4

-3

-2

-1

0

1

2

3

Ejemplo: Gráfica de la función “f” R e c o r r i d o Dominio Ejercicio 13.- ¿Cuál será el dominio de la función “f”? ¿Y su recorrido? A la vista de la gráfica podrías completar la siguiente tabla:

x -1,5 1 0 2y 1,5

Ejercicio 14.- Calcula el dominio y el recorrido de las gráficas de las funciones representadas: Función: f (x) Función: g(x)

Puntos de Intersección con los ejes: Son los puntos donde la gráfica corta a los ejes de coordenadas. En los puntos de intersección con el eje X el valor de y = 0, mientras que los puntos de intersección con el eje Y el valor de x =0. Ejemplo: Calcula los puntos de intersección con los ejes de las siguientes funciones: y = 2 x + 3 En la función y = 2x +3 ,

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Para calcular la intersección con el eje X sabemos que y = 0, y calculamos el valor de “x” que le corresponde sustituyendo: 0 = 2 x +3, luego - 2 x = 3 y despejando

23

−=x luego el punto de intersección o de corte será ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛− 0,

23 .

Para calcular la intersección con el eje Y , sabemos que x =0 , y calculamos el valor de “y” que le corresponde sustituyendo: y = 2 · 0 + 3 , luego y = 3, por lo tanto el punto de intersección será ( 0, 3)

Ejercicio 16.- Calcula los puntos de intersección con los ejes de las siguientes funciones:

a) y = 3x -2 b) y = x 2 – 4 c) 3

22 +=

xy d) y = x – 1 e) 12

−+

=xxy

Propiedades generales de las funciones. Todas las funciones que tienen un dominio y un recorrido de números reales tienen una gráfica, que es la grafica de las parejas ordenadas de números reales que constituyen la función. Ahora vamos a ver algunas propiedades de la funciones mediante su graficas. Simetrías: Una función que es simétrica con respecto al eje de ordenadas se le llama función par, si la función es simétrica con respecto al origen se dice impar.

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Sin necesidad de dibujar la gráfica podemos conocer si una función es par o impar simplemente comprobando: Si f (-x) = f (x) entonces la función es par. (simétrica respecto al eje de ordenadas) Si f (-x) = - f(x) entonces la función es impar. (simétrica respecto al origen de coordenadas) Ejemplo: Determina sin hacer la gráfica si las funciones siguientes son pares o impares.

a) f (x) = x 3 , b) g(x) = x 2 d) h(x) = x 3 + 1 a) f(x) = x 3; Sustituyendo “x” por “-x” en la función dada f(-x) = (-x) 3 = - x 3 vemos que “- x 3 ” es igual f(x) pero negativa, es decir que f(-x) = (-x) 3 = - x 3 = - f(x) luego la función es IMPAR b) g(x) = x2; Sustituyendo “x” por “-x” en la función dada g(-x) = (-x) 2 = x 2 vemos que “ x 2 ” es igual g(x) , es decir que g(-x) = (-x) 2 = x 2 = g (x) luego la función es PAR. c) h(x) = x 3 +1; Sustituyendo “x” por “-x” en la función dada h(-x) = (-x) 3 +1= - x 3 +1 vemos que no es igual que h(x) , ni que -h(x) luego dicha función no es par ni impar. Veamos sus gráficas: Para la función f(x) = x 3. Impar. Simétrica con respecto al origen

f(1) = 1

f(-1) = -1

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Para la función g(x) = x 2. Par. Simétrica respecto del eje de ordenadas

g ( -2) =4 g ( 2) = 4 Para la función h ( x ). Ni par, ni impar.

¿Por que importa saber si una función es impar o par? Por que si desea graficar la función nos va a dar información auxiliar para dibujarla reduciendo los cálculos. Ejercicio 15.- Sin graficar, determinar si las funciones siguientes son pares o impares. a) y = x 3 + x b) g(x) = x 2 + 1 c) y = 2 x + 4 d) h(x) = 3 x

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Tasa de variación Consideremos una función y = f(x) y consideremos dos puntos próximos sobre el eje de abscisas "a" y "a+h" , siendo "h" un número real que corresponde al incremento de x (Δx) .

Se llama tasa de variación (T.V.) de la función en el intervalo [a, a+h] , que se representa por Δy , a la diferencia entre las ordenadas correspondientes a los puntos de abscisas a y a+h . Δy = [f (a+h) − f (a)]

Tasa de variación media Se llama tasa de variación media (T.V.M.) en intervalo [a , a+h] , y se

representa por ó , al cociente entre la tasa de variación y la amplitud del intervalo considerado sobre el eje de abscisas, h ó Δx, esto es:

Interpretación geométrica La expresión anterior coincide con la pendiente de la recta secante a la función f(x) , que pasa por los puntos de abscisas a y a+h .

ya que en el triángulo PQR resulta que:

Calcular la T.V.M. de la función f(x) = x2 − x en el intervalo [1,4].

El índice de la bolsa de Madrid pasó cierto año de 1350 a 1510. Hallar la tasa de variación media mensual.

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Signo de la función: Si la función es positiva, su gráfica se sitúa por encima del eje X, y si es negativa se sitúa por debajo del eje X. Ejemplo: Dada la gráfica de la función “f”, estudia el signo de la función

x

y

-3 -2 -1 0 1 2 3 4

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

La función será positiva para todos los números menores que -1, es decir en el intervalo

] [1,−∞−La función será negativa para todos los números mayores que -1 y menores que 1 es decir en el intervalo ] [1,1−La función volverá ser positiva para todos los números mayores que 1 y menores que 2, es decir en el intervalo ] [2,1La función volverá a ser negativa para todos los números mayores que 2, es decir en el intervalo . ] [+∞,2La función será nula en x= -1, x = 1 , y en x = 2 Ejercicio 16.- Estudia el signo de la gráfica de la función siguiente

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Monotonía: Crecimiento y decrecimiento: El crecimiento y decrecimiento son propiedades locales, es decir no se estudian en todo su dominio sino por intervalos., aunque a veces podemos decir que una función es creciente en todo su dominio si lo es en todos sus puntos. Intuitivamente una función es creciente en un intervalo de su dominio si al aumentar el valor de la variable independiente (x) aumenta el valor de su variable dependiente (y) Es decir si tomamos dos puntos cualesquiera de un intervalo “x 1” y “ x 2 ” , y si lo comparamos vemos que : x 1 > x 2 y sus asociados f(x 1) > f(x 2) se dice que la función es creciente en ese intervalo: Intuitivamente una función es decreciente en un intervalo de su dominio si al aumentar el valor de la variable independiente disminuye el valor de su variable dependiente. Es decir si tomamos dos puntos cualesquiera de un intervalo “x 1” y “ x 2 ” , y si lo comparamos vemos que : x 1 > x 2 y sus asociados f(x 1) < f(x 2) se dice que la función es decreciente en ese intervalo: Y se dice que una función es constante en un intervalo de su dominio si para cualquier par de valores de “ x”: x1, x2 de dicho intervalo siempre se cumple que f(x1) =f(x2) Ejercicio 9.- Estudia el dominio, recorrido, signo, intersecciones con los ejes, y monotonía (crecimiento, decrecimiento), de la grafica de la función siguiente: D C. D. Cte.

D= decreciente; C = creciente; C te= constante

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Máximos y mínimos. Si observamos la representación de una función vemos puntos donde la gráfica presenta cambios en el crecimiento de la función Max. relativo mín. relativo mín. relativo Se observa que hay puntos donde la función pasa de ser creciente a decreciente y al revés. Estos puntos se les llama máximo y mínimos relativos. -Si observamos la gráfica vemos que x = -1,5 es un mínimo relativo porque cualquier punto cercano a él le corresponde un valor de la función mayor. De igual forma podemos afirmar que la función tiene un máximo relativo en x = 0 porque cualquier punto cercano a él le corresponde un valor de la función menor. Ejercicio 10.- ¿Existe otro mínimo relativo en la gráfica anterior? ¿En que punto? ¿Cuál es su valor? En general el Máximos absoluto de una función es el mayor de los máximos relativos de dicha función. Por otra parte, si una función está definida en un intervalo cerrado

sus máximos absolutos, si los tiene, serán los puntos del intervalo dónde la función alcance esos valores. [ ba, ]

]

En general el Mínimos absoluto de una función es el menor de los mínimos relativos de dicha función. Por otra parte, si una función está definida en un intervalo cerrado

sus mínimos absolutos, si los tiene, serán los puntos del intervalo dónde la función alcance esos valores. [ ba,

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Max. Absoluto Mín. Absoluto Asíntotas:

Veamos una función racional que se llama hipérbola: f(x) = x1 , si queremos

representarla construyamos una tabla de valores:

x -3 -2 -1 0 1 2 3 Y

Aunque es obvio que esta función no existe para x = 0 , es conveniente saber lo que sucede en la gráfica cuando x toma valores próximos a cero, ya sea acercándonos por la derecha del cero ( ) o por la izquierda del cero ( ) +→ 0x −→ 0x Construye las tablas: x se aproxima a 0 ( ) +→ 0x

x 1 0,1 0,01 0,0001 0,0000001 … … 1/x

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x se aproxima a 0 ( ) −→ 0x

x -1 -0,1 -0,001 …… …… …… 1/x

Observemos las tablas y la gráfica: Cuando x se aproxima a 0 por la derecha ( ) 1/x se vuelve cada vez mayor, aumenta sin límite.

+→ 0x

Cuando x se aproxima a 0 por la izquierda ( ) 1/x se vuelve cada vez menor, disminuye sin límite.

−→ 0x

Por lo tanto la gráfica de la función se acerca al eje vertical “Y” pero sin tocarlo cuando x se acerca a cero. Las rectas fijas a las que se aproxima una gráfica se llaman asíntotas. En este caso el eje vertical Y es una asuntota vertical. Veamos ahora el comportamiento de la función para valores de “ x ” muy grandes, es decir cuando x y también cuando x+∞→ −∞→

x 1 10 1000 100000 100000000 … … 1/x

x -1 -10 -1000 …… …… 1/x

Ejercicio 11.-¿Qué puedes deducir de estas dos últimas tablas? En general una recta x =a es una asíntota vertical de una función si esta aumento o disminuye sin límite cuando o . +→ ax −→ ax Una recta y = b es una asíntota horizontal si f(x) se aproxima a “b” cuando x +∞→ o x −∞→

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Ejercicio 12.- En las siguientes gráficas de funciones racionales escribe las ecuaciones de sus asíntotas horizontales y verticales.

Continuidad. Una función es continua cuando su gráfica no presenta interrupciones. En caso contrario será discontinua en los valores de “x” en los que se presentan interrupciones. Discontinuidades. Una función es discontinua en un punto x = a si su gráfica se interrumpe en ese punto. En ese puntos x = a se pueden presentar los tres tipos de discontinuidades siguientes a) Discontinuidad evitable

x

y

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-1

0

1

2

3

4

5

x

y

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-1

0

1

2

3

4

5

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Estas gráficas se dicen que presentan una discontinuidad evitable en el punto x = a, ya que sólo faltaría añadir o modificar dicho punto para que las funciones fuesen continuas en él. Este tipo de discontinuidad crea un “agujero” en la gráfica de la función. b) Discontinuidad de salto finito.

x

y

-3 -2 -1 0 1 2 3 4

-2

-1

0

1

2

3

4

Ésta gráfica se dice que en el punto x = 1 presenta una discontinuidad de salto finito La amplitud del salto es la diferencia positiva entre 1 y 0,5 c) Discontinuidad asintótica

En la gráfica de esta función se dice que en el punto x = -1 presenta una discontinuidad de salto infinito o asintótica.

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Estudiemos que ocurre con la función en valores de “x” próximos a -1: - Para cada valor de x próximos a -1 y menores que -1, (valores por la izquierda

de -1: -1,1; -1,01; -1,001; …), la función (y) toma valores cada vez mas pequeños; matemáticamente esto se expresa diciendo que la función tiende a menos infinito ( −∞→y ).

- Para cada valor de x próximos a -1 y mayores que -1, (valores por la derecha de -1 : -0,9; -0,99;…), la función (y) toma valores cada vez más grandes; matemáticamente esto se expresa diciendo que la función tiende a más infinito ( ). +∞→y

Esta función presenta una discontinuidad de salto infinito en el punto x = -1, porque en valores próximos a -1 (por la izquierda y por la derecha) la función tiende a

. ∞+∞− ó Veamos otro ejemplo de discontinuidades de salto infinito. ¿En que punto presenta la discontinuidad la función de la gráfica?

x

y

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8

-2

0

2

4

6

8

10

12

Ejercicio 13.- Estudia las discontinuidades de las siguiente función.

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Clasificación de las funciones a partir de la ecuación o criterio que la define. Representación gráfica.

- Funciones polinómicas: Función lineal: f es una función del tipo y = m x + n dónde m ≠ 0, m, n ∈ R mx + n es un polinomio de primer grado. La gráfica de esta función es una línea recta, y ya que por dos puntos pasa una línea recta solamente será necesario construir una tabla de valores para un par de puntos.

Por ejemplo, estudiemos la función y = 432

+− x

Grafiquemos la función y = 432

+− x , construyamos su tabla

x 0 3 y 4 2

Cualquier otro punto estará alineado con estos dos puntos, es decir pertenece a la recta. Ejercicio 14.- Comprueba si los puntos (1,2), (6,0) pertenecen a dicha recta

Grafiquemos y = 432

+− x

x

y

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8

-6

-4

-2

0

2

4

6

Ejercicio 15 .- En la grafica de la función anterior, calcula: Dominio: Recorrido: Intersecciones con los ejes: Continuidad: Crecimiento: Ejercicio 16.- Graficar las siguientes funciones lineales

a) y = x21 - 2 b) y = 2x + 3 c) y = 2 x

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Estudiemos el significado de “m” y “n”. Pendiente de una recta. El coeficiente “m” nos da una medida de la inclinación de la recta, que llamaremos pendiente. Interpretada geométricamente la pendiente de la recta es la razón (cociente) del cambio de las ordenadas (y) al cambio de las abscisas (x), cuando P1 se mueve a P2, Figura 1. P2 (x 2, y 2) P1 (x 1, y 1) En la Figura 1, P 1 ( x 1, y 1) y P2 ( x2, y2) son dos puntos distintos de una recta , la pendiente vendrá dada por:

12

12

xxyy

abscisasdecambioordenadasdecambiom

−−

==

Figura 2 P1 ( , ) P2 ( , ) Ejercicio 17.- Escribe las coordenadas de los puntos P 1 y P 2 y calcula la pendiente de la recta de la figura 2. ¿Sabrías relacionar el signo de la pendiente con el crecimiento y decrecimiento de la función lineal?

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Figura 3. P1 ( , ) P2 ( , ) Ejercicio 17 .- Escribe las coordenadas de dos puntos P 1 y P 2 y calcula la pendiente de la recta de la figura 3 Veamos el caso de una recta vertical o paralela al eje Y. Por ejemplo la gráfica de la recta de la figura 4. Ésta grafica no representa ninguna función, ya que para un determinado valor de x ( en este caso x = 1), la ordenada toma cualquier valor, y si recordamos la definición de función que vimos al principio de la unidad: Una función es una relación en la que se agrega la restricción de que a cada elemento del dominio le corresponde uno y solo uno de los elementos del recorrido Y como independientemente del valor que tenga “y”, “x” siempre toma el valor 1, su ecuación será x = 1. Luego la recta de ecuación x = 1 no es una función

x

y

-3 -2 -1 0 1 2 3 4

-2

-1

0

1

2

3

4

5

Figura 4 Ejercicio 18.- Encuentra la pendiente de la recta representada en la figura 4.

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Ejercicio 19.- Trazar una recta que pase por cada par de puntos y encontrar su pendiente. a) (-3,-4) , (3,2) b) (-2,3), (1, -3) c) (-4,2), (3,2) d) (2,4) , (2, -3) Comprueba que el orden de sustitución de los puntos en la expresión de la pendiente

12

12

xxyy

m−−

= es irrelevante.

Ejercicio 20.- Encontrar las ecuaciones de las rectas verticales y horizontales que pasan por el punto (7, -12) y también por el punto (0,0). ¿Cuáles serían las ecuaciones de los ejes coordenados? Ordenada en el origen “n”. El término “n” en la ecuación de la recta y = m x + n, corresponde al valor de la ordenada (y) cuando la abscisa es cero ( x = 0), es decir en el origen. Ejemplo: Calcula la ordenada en el origen de la ecuación de la recta: y = 3 x - 2 La ordenada en el rigen será n = - 2, ya que si x = 0 , y = 3 · 0 -2 = -2. El afirmar que la ordenada en el origen es -2 , equivale a afirmar que pasa por el punto (0,-2). Ejercicio 21.- Calcula la ordenada en el origen de las funciones:

a) y = x21 - 2 b) y = 2x + 3 c) 2 x

Ecuación de la recta: Hasta ahora hemos dibujado las gráficas de las rectas a partir de un par de puntos obtenidos de su ecuación. Ahora veremos como calcular la ecuación a partir de un par de puntos de su gráfica. Ejemplo: Calcula la ecuación de la recta que pasa por los puntos (-3, -4) y (3, 2) Veamos dos formas de abordar este problema: a) Queremos hallar la ecuación de una recta que pasa por dos puntos. Si es una recta sabemos que su ecuación es de la forma y = m x + n, y también sabemos que los puntos (-3, -4) y (3, 2) pertenecen a dicha recta luego: y = m x + n ; sustituyendo las coordenadas (-3, -4) -4 = m · -3 + n sustituyendo las coordenadas (3, 2) 2 = m · 3 + n Luego solo tendremos que resolver dicho sistema de ecuaciones cuyas incógnitas son “ m “ y “n” , ordenando dichas ecuaciones y resolviéndolo por reducción tendremos: - 3 m + n = - 4 - 3 m + n = - 4 3 m + n = 2 3 m + n = 2

+ 2 n = -2 n = 122

−=− n = - 1

y sustituyendo en cualquiera de las ecuaciones del sistema tendremos el valor de “ m “ : 3 m + ( -1 ) = 2 ; 3 m – 1 = 2 ; 3 m = 2 + 1 ; 3 m = 3 ; m = 1 Luego la ecuación de la recta pedida será y = x - 1

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Ejercicio 22 .- Calcula la ecuaciones de las rectas que pasan por cada par de puntos. No hay que graficar. a) ( -1,2) y ( 1 ,5) b) (-3, -3) y (2, -3) c) (0,4) y (2,4) b) Otra forma de abordar este problema. Queremos calcular la ecuación de la recta que pasa por los puntos (-3, -4) y (3, 2), Para ello vamos a considerar también otro punto cualquiera de la recta de coordenadas genéricas (x , y ) R( x, y) Q (3, 2) P(-3, -4)

Calculemos primero la pendiente de la recta que pasa por

los puntos P y Q : 13324

12

12 =−−−−

=−−

=xxyy

m ; m = 1

Ahora calculemos la pendiente de la recta que pasa por los puntos Q y R :

32

12

12

−−

=−−

=xy

xxyym ;

Las pendientes tienen que ser iguales ya estos puntos pertenecen a la misma recta, luego igualando ambas pendientes tendremos:

321

−−

=xy ; Luego x – 3 = y – 2 ,

Despejando: y = x – 1 que será la ecuación de la recta pedida Ejercicio 23.- Utilizando el método anterior. Calcula la ecuación de las rectas que pasan por cada par de puntos. a) ( 2,-1) y ( 3 , 1) b) ( -1 , 2) y ( 3, -4) c) (0,2) y (3,0) Función polinomica de segundo grado: Función cuadrática Función cuadrática viene dada por la función. f(x) = a x2 + b x + c siendo a 0 ≠

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Vamos a graficar el caso más simple de una función cuadrática: f (x) = x 2 cuando b, c ≠ 0. Con la ecuación anterior y = x 2 dónde Rx∈ podemos obtener una tabla de valores de la función, simplemente sustituyen la variable independiente por números reales en la ecuación. Se observa que el conjunto de pares ordenados que se pueden obtener es infinito y su gráfica se extiende mas allá de cualquier hoja de papel, por grande que sea. Por lo tanto para dibujar su grafica se incluyen suficientes puntos de tal forma que el resto sea evidente. Tomemos los siguientes puntos:

x -2 -1 0 1 2

y 4 1 0 1 4

La gráfica es una curva que se llama parábola

x

y

-3 -2 -1 0 1 2 3 4

-1

0

1

2

3

4

5

Eje simetría

Vértice: Punto de intersección de la curva con su eje

Se puede demostrar que la gráfica de cualquier función cuadrática es una parábola. De hecho la grafica de f(x) = ax2 + b x + c, dónde a≠ 0, es la misma que f(x) = x 2, modificada por desplazamiento a la derecha, a la izquierda, arriba, abajo, expansión o contracción según los valores de a, b, y c .

Ejercicio 24 .- En la grafica de la función anterior, calcula: Dominio: Recorrido: Intersecciones con los ejes: Continuidad: Crecimiento: Máximo y mínimos Eje de simetría

Pág. 124


Gráficas en movimiento: Ejercicio 25.- Asocia cada gráfica a su ecuación. ¿Qué puedes decir del coeficiente “a”?

x

y

-3 -2 -1 0 1 2 3 4

-1

0

1

2

3

4

5

a) y = x 2 b) y = 2 x 2 c) y = 21 x 2

(1) (2) ( 3) Ejercicio 26 .- Asocia cada gráfica a su ecuación. ¿Qué puedes decir del coeficiente

“a”? a) y = - x 2 b) y = - 2x2 c ) y =21

− x 2

x

y

-3 -2 -1 0 1 2 3 4

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

(1) (2) (3)

Pág. 125


Ejercicio 27.-Asocia cada gráfica a su ecuación. a) y = (x +2)2 b) y = ( x -2) 2

Calcula en ambas gráficas: dominio, recorrido, intersecciones con los ejes, continuidad, crecimiento, máximo y mínimos, eje de simetría, vértice.

x

y

-3 -2 -1 0 1 2 3 4

-2

-1

0

1

2

3

4

(1) (2) Ejercicio 28.-Asocia cada gráfica a su ecuación. a) y = x 2 + 2 b) y = x 2 -2 . Calcula en ambas gráficas: dominio, recorrido, intersecciones con los ejes, continuidad, crecimiento, máximo y mínimos, eje de simetría, vértice.

x

y

-3 -2 -1 0 1 2 3 4

-2

-1

0

1

2

3

4

(1) (2)

Pág. 126


Ejercicio 29.- Asocia cada gráfica a su ecuación una ecuación a) y = ( x + 2)2 -2 b) y = (x - 2)2 + 2 c) y = ( x -2) 2 -2 d) y = ( x + 2)2 +2

I II III IV Ejercicio 30.- En las funciones del ejercicio 27 estudia: Dominio, recorrido, intersecciones con los ejes, continuidad, crecimiento, máximos y mínimos, eje de simetría., vértice. Ejercicio 31.- Escribe las ecuaciones de las siguientes graficas de funciones cuadráticas. I II III Ejercicio 32.- En las funciones del ejercicio 29 estudia: Dominio, recorrido, intersecciones con los ejes, continuidad, crecimiento, máximos y mínimos, eje de simetría., vértice.

Pág. 127


Representación gráfica de un función cuadrática completa. Forma general f(x) = a x 2 + b x + c si está función cuadrática la pudiésemos escribir de la forma f(x) = a ( x – x1)2 + y1 . El punto de coordenadas ( x1, y1) sería el vértice de dicha parábola.

Veamos: =+−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++=+−++=++= c

ab

abx

abxac

ab

abbxaxcbxaxxf

4444)(

2

2

22

2222

a

acba

bxa4

42

22 +−+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

Por tanto su gráfica es una parábola que tiene por eje de simetría a

bx2

−= y su vértice

será el punto ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +−−

aacb

abV

44,

2

2

O mejor sabiendo la abscisa del vértice que es a

bx2

−= su ordenada será ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

abf2

Ejemplo: Dada la función f(x) = 2 x 2 + 4 x – 5. Calcula su eje de simetría y su vértice.

Eje de simetría: 144

2−=−=−=

abx

Vértice de abscisa x = -1 y de ordenada f(-1) = 2 ( -1)2 + 4 (-1) - 5 = -7 ; Vértice: V (-1,-7) Para representar gráficamente una parábola: f(x) = a x 2 + b x + c a) Se estudia el valor del coeficiente “a” de x 2 )0,0( UI →>→< asiasi

b) Se halla el eje de simetría. a

bx2

−=

c) Hallamos el vértice. d) Se hallan intersecciones con los ejes.(Eje X: y = 0; Eje Y: x = 0) e) Y si fuese necesario se forma una tabla de valores tomando abscisas próximas al eje de simetría. Ejemplo. Representar gráficamente la función f(x) = x 2 – 4 x + 3 a) Se estudia el valor del coeficiente “a” de x 2 U→> 0asi

b) Se halla el eje de simetría. 2;224

2=→=

−−=−= x

abx

c)Vértice: x = 2, f(2)= 22 – 4 · 2 + 3 = -1 luego el vértice ( 2, - 1)

Pág. 128


d) Se hallan intersecciones con los ejes. Eje X: y = 0; x 2 – 4 x + 3 = 0; x 1 =3

=±

=−±

=2

242

12164x

x 2 = 1 Intersecciones con el eje X: (3,0) y (1, 0) Eje Y: x = 0 y = 0- 0 + 3 = 3 Intersecciones con el eje Y: (0,3) Representa los puntos calculados y dibuja su gráfica

Ejercicio 33.- Representa las parábolas definidas por las funciones siguientes

a) y = - x 2 + 2 x + 3 b) y = x 2 + 6 x + 5 c) y = 41 x 2 + x + 3

Pág. 129


- Funciones Racionales.- Vimos una función racional (Pág. 103) que se llama hipérbola:

f(x) = x1 , Si queremos representarla construyamos una taba de valores.

x -3 -2 -1 0 1 2 3 y

Ejercicio 34.- Grafica la función x

xf 1)( −=

Ejercicio 35.- Asocia cada gráfica a su ecuación una ecuación:

a) x

xf 2)( = b) xx

xg215,0)( == c)

xxf 1)( =

I II III

Pág. 130


Ejercicio 36.- En general las funciones del tipo xkxf =)( . Tienen las propiedades:

Su dominio es ………………………. Su gráfica es simétrica……………. Si k>0 la función es ………………. Si k<0 la función es ………………. Ejercicio 37.- Asocia cada gráfica a su ecuación y determina sus asíntotas

21)11) −=+=x

ybx

ya

I II

La gráfica de pxkya +=) se obtienen trasladando verticalmente ” p” unidades la

hipérbola xkxf =)( . La traslaciones hacia arriba o hacia abajo según sea p >0 ó

p<0

Pág. 131


Ejercicio 38.- Asocia cada gráfica a su ecuación y determina sus asíntotas

21)

21)

+=

−=

xyb

xya

I II

Ejercicio 39.- Representa las hipérbolas:

a) 3

1+

=x

y b) 2

1−

=x

y c) 12

2+

+=

xy

- Funciones definidas a intervalos.

Hasta ahora hemos visto funciones definidas por una sola ecuación para todo su dominio. Pero también podemos definir las funciones con diferentes ecuaciones, siempre que se especifique los intervalos en los que actúa la ecuación, Ejemplo: Graficar la función dada

⎪⎩

⎪⎨

⎧

≤−<<+

≤=

xparaxparax

xparaxxf

53501

0)(

2

Esto quiere decir que la función tiene tres tramos, y entre los tres trozos cubren el conjunto de números reales, su dominio es ℜ . Formemos una tabla por cada tramo y después grafiquemos: Primer Trozo: y = x 2 para x 0≤

x -3 -2 -1 0 Y

Pág. 132


Segundo trozo: y = x +1 para 0 < x < 5

x 0 5 y

Tercer trozo; y = -3 para 5≥x

x 5 7 y

Ejercicio 40.- Representa la siguiente función:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

>≤≤−

<−

=21

2221

)( 2

xparaxparax

xparaxf

Determina su dominio, recorrido, monotonía, cortes con los ejes y continuidad. Ejercicio 41.- Representa la siguiente función:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

>+≤≤−

−<+−=

15132

332)(

xparaxxparaxparax

xf

Determina su dominio, recorrido, monotonía, cortes con los ejes y continuidad. Ejercicio 42.- Estudia la continuidad de las siguientes funciones:

a) b) ⎩⎨⎧

≥<−

=32

31)(

xparaxpara

xf⎩⎨⎧

=≠+

=31

33)(

xparaxparax

xf

Ejercicio 43.-.De la gráfica de la función siguiente determina su dominio, recorrido,

monotonía, cortes con los ejes, continuidad y escribe su ecuación.

Ejercicio 44.-. Representa gráficamente: a) xy = b) 4−= xy c) 42 −= xy d) 652 +−= xxy

Pág. 133


- Función Exponencial. y = a x con a >1 Vamos a estudiar la función exponencial: y = 2 x Para graficar la función, construyamos la tabla. (Utiliza tu calculadora)

x -3 -2 -1 0 1 2 3 1/4 y

Gráfica:

Características. Dominio: Recorrido: Continuidad: Monotonía: Asíntotas. Corte con los ejes.

Vamos a estudiar la función exponencial: y = a x con 0 < a < 1

Estudiemos la función x

y ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

21 .

Para graficar la función, construyamos la tabla. (Utiliza tu calculadora)

x -3 -2 -1 0 1 2 3 y

Pág. 134


Gráfica:

Características. Dominio:

Recorrido: Continuidad: Monotonía:

Asíntotas.

Corte con los ejes

Ejercicio 44.- En filipinas abunda un alga en la que se ha observado que la superficie que ocupa crece de forma gradual, duplicándose cada año. Se ha estudiado el crecimiento de una muestra que ocupa una superficie de 1 dm2. Contesta.

a) ¿Qué superficie ocupa al cabo de tres años? b) ¿Cuál es la ecuación de la función? c) ¿De qué tipo es el crecimiento, lineal o exponencial?

- Función Logarítmica. y = donde a es un número real positivo (a >0) y distinto de 1 (a ≠ 1)

xalog

Representa los función logarítmica xxf log)( = Función recíproca de una función dada.- a)Graficar las funciones y = 3x +1. b) En el mismo sistema de referencia vamos a representar su función recíproca. La función recíproca de ésta función la obtenemos de la siguiente forma: 1.- En y = 3x +1 despejamos “x” 2.- Después reemplazamos “x” por “y” Dicha función es la función recíproca de y = 3x + 1; Al trazar la bisectriz del primer cuadrante ( y = x) ambas son simétricas respecto de la bisectriz del primer cuadrante. Ejercicio 45.- Grafica la función y = x 2 y su recíproca para valores de x > 0

Pág. 135


Límite de funciones

Límite de una función: Decimos que la función f(x) tiene por límite L en el punto x=u, si a medida que x se acerca a u, se verifica que f(x) se acerca a L (tanto como queramos).

Se escribe:

⎩⎨⎧

∞+∞−∞+∞−

=+−

→ ., real,cualquier ser puede L.,,,,ser puede

donde limaaau

Lf(x) ux

Propiedades:

Operaciones Función Propiedades

( )Suma =+→

)(im xgflax

)(im)(im xglxflaxax →→

+

( )−→

)(im xflax

=Opuesta )(im xflax→

−

Adición

( )Diferencia =−→

)(im xgflax

)(im)(im xglxflaxax →→

−

( )Producto =→

)(im xfglax

)(im)·(im xglxflaxax →→

Multiplicación

Inversa =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛→

)(1im xf

lax )(im

1xfl

ax→

)(im

)(im

xgl

xfl

ax

ax

→

→ Cociente =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛→

)(im xgfl

ax

( )Producto por un número

=⋅→

)(im xgcax

l )(im xglcax→

⋅ Multiplicación por un número

cclaxConstante =

→im

[ ])(im xflgax→

[ ]Compuesta =→

)(im xfglax

Composición

axlaxIdentidad =

→im

[ ] )(im)(im xgl

axaxxfl →

→ Potencia =

→

)()(im xg

axxflPotencia

.0,,1,,0,,00,

000∞∞−∞∞−

∞∞ ∞kExpresiones indeterminadas:

Pág. 136


Límite de funciones (cuando resultan expresiones indeterminadas):

0) ka se calculan límites laterales

⎩⎨⎧ ∞+∞∃

límite. el existe no distintosson si. ó - se puedey límite iguales,son si

00)b se descomponen numerador y denominador (RUFFINI), simplificando a

continuación.

∞∞)c se divide numerador y denominador por la máxima potencia de x en el

denominador.

d) se multiplica y divide por la conjugada. ∞−∞

e) se aplica la definición del número e. ∞1

CONTINUIDAD

Def. 1:

f(x) continua en a si [ ] 0)()(lim0

=−+→

afhafh

Def. 2:

f(x) continua en a si

∃ f(a)

∃ )(lim xfax→

y de cumple = f(a) )(lim xfax→

Definición de continuidad lateral

1. CONTINUA a la derecha si = f(a) )(lim xfax +→

2. CONTINUA a la izquierda si = f(a) )(lim xfax −→

Pág. 137


Def. 3:

f(x) continua en a si

1. ∃ f(a)

2. = )(lim xfax −→

)(lim xfax +→

⇒

)

∃ )(lim xfax→

3. f(a)= (lim xfax→

⎪⎪⎩

⎪⎪ DISCONTINUIDADES

EVITABLE:⎨

⎧ ∃/≠∃→

CONTINUA fuese que para )( adar deberíamos que valor al VALOR VERDADERO llamaremos

)(bien ó )( pero)(lim

xf

afafxfax

{

⎪⎪⎪⎪⎪

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

−

≠∃

+−

+−

+−

→→

→→

→→

)(lim)(limª2

)(lim)(lim

a FUNCIÓNLA DE SALTO llamamos

)(lim)(lim

ª1

xfóxfexisteNoespecie

xfxf

xfxf

especie

axax

axax

axax

INEVITABLE:

Pág. 138


FUNCIONES 1. Calcula el dominio de las siguientes funciones:

a) b) c) d)

f) g) h)

yxx

yx x

yx

x xy

xx x x x

e y x x y x yxx

yx

x

=++

=− +

=+ +

=+

− + −

= + + = + =−+

=−−

13

12 5 2

21

1

1 141

4 11

2 2

2

4 3 2

2 32

2

2

2)

2. Representa las siguientes funciones indicando: a) Domino y recorrido. b) Monotonía y acotación. c) Máximos y mínimos.

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

≥−

<<+−

≤<−

≤≤−−−

−<≤−−<−

=

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

>≤<+−

≤<

≤

=

⎪⎩

⎪⎨

⎧

<<<−

<+=

⎪⎩

⎪⎨

⎧

><<+−

<++=

−==−−=+−=

⎪⎩

⎪⎨

⎧

>=<

=⎩⎨⎧

>−<−

=++−=

6 si 1263 si 330 si 103 si 32

35 si )(5 si 2

)()

6 si 063 si 6

31 si

1 si 1

)()

3 si 831 si 13

1 si )()

2 si 120 si 3

0 si 34x)()

)()())()()12)()23)()

2 si 42 si 12 si

)(c) 1 si 321 si 2

)()152)()

2

22

2

22

2

xx

xxxxx-xxxxE

x

xfj

xxx

xx

xx

xfi

xxx

xxxxfi

xxx

xxxfh

xExxfgxExffxxxfexxxfd

xxxx

xfxxxx

xfbxxxfa

3. Estudia la simetría de las siguientes funciones:

a) b) y x= −2 5 yx

x=

+−

122 c) d) xxy += 2 xxy += 3

4. Dadas las funciones f x x g x x f g g f( ) , ( ) . .= − = +1 32 Calcula y o o

Haz lo mismo con las funciones f x x g xxx

( ) , ( ) .= + =++

312

5. Calcula las funciones recíprocas de:

y x yxx

yx

yxx

= + =++

=−

=−+

221

12

11

12

, , , .

6. Estudia la continuidad de las siguientes funciones:

a)

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

≥

<−

=11

12

3

)(

2

xsix

xsix

xf b) g xx si x

xsi x

( ) =− <

−≥

⎧⎨⎪

⎩⎪

2 33

20

0

Pág. 139


7. Un bar de “copas” abre sus puertas a las 9 de la noche sin ningún cliente y las cierra cuando se han marchado todos. Se supone que la función que representa el número de clientes, C, en función del número de las horas que lleva abierto, h, es

21080)( hhhc −= a) Hallar el número máximo de clientes que llegan a concentrarse en el local en una

noche. b) Se deseamos ir cuando haya menos de 150 personas pero más de 70, ¿entre qué

horas debemos hacerlo? c) ¿A qué hora cierra el bar?

8. Un agente comercial cobra por la venta de mercaderías una comisión:

2001,01,010)( xxxc −+= donde x representa la cantidad e euros de la venta efectuada. Determinar la cantidad que habrá que vender para que la comisión que haya que pagar sea máxima. 9. Halla la fórmula de las siguientes funciones y represéntalas:

a) Recta que pasa por los puntos (1, 2) y (–3, 4).

b) Recta que pasa por (2, 3) y es paralela a 432

+−= xy .

c) Parábola con a=-2, b=2 y corta al eje Y en (0, 4). 10. Dibujar la gráfica que indica el costo de una carrera de taxi de 2 Km, sabiendo que cada 300 metros cuesta 50 céntimos y la bajada de bandera inicial un euro. 11.Una empresa de alquiler de vehículos ofrece para una semana las siguientes dos modalidades:

a) 30 € diarias y kilometraje ilimitado. b) 60 € a la semana, más 30 céntimo cada kilómetro.

Estudia la conveniencia de elegir una u otra modalidad, apoyándote en una representación gráfica y en las respectivas funciones que dan el gasto. 12. Un depósito de agua está completamente lleno con 50 000 litros y debido a una fuga empieza a perder agua a razón de 25 litros por minuto.

a) Escribe la función que liga la cantidad de agua contenida en el depósito y el tiempo transcurrido desde que empezó la pérdida. Represéntala.

b) ¿Cuánto tiempo ha de transcurrir para que quede en el depósito 4 000 litros? c) Si en ese instante se tapa el agujero y empieza a llenarse a razón de 100 litros

por minuto, ¿cuánto tiempo tardará en llenarse? 13. Una persona va a comprarse un coche y no sabe si elegir diesel (D) o gasolina (G). El D vale 11 500 €, consume 5 litros a los 100 kilómetros y el precio del gasoil es de 0,64 € por cada litro. Por otro lado, el G vale 9 800 €, consume 6 litros cada 100 kilómetros y el precio de la gasolina es de 0,80 € por litro. Da la función que liga el gasto total de cada modelo en función de los kilómetros recorridos (se supone que el consumo de los coches no va a variar ni el precio del combustible). Haz una representación gráfica. ¿Cuál de los dos modelos conviene más?

Pág. 140


LÍMITE DE FUNCIONES. Calcula los siguientes límites:

( )( )

( )

( )

( )

),(lim),(lim),(lim)(lim),(lim),(lim),(lim

)(lim)(lim),(lim),(lim),(lim),(lim),(lim :Calcula

13

1032

132

)(

4 si 2

4031

032

)(

:funciones las Dadas

22lim.36

13312lim.35

1lim.341lim.3334

41639lim.32

21)3)(2(lim.31

41

321lim.30

223lim.29

211

lim.2811

12lim.271223

5lim.26

2412lim.251

5245lim.241

3232lim.23

12lim.2213

13lim.21023lim.20

02lim.1911lim.18

22lim.17

12lim.160

214lim.15

214lim.14

4124lim.131lim.12

21

211lim.11

02lim.1032

2232lim.95

236lim.8

1525lim.72

525lim.63lim.503lim4.

21

841lim.333

21

21lim.23

21

21lim.1

43201

43201

2

2

)2(1

223

2

1

22

0

3211

1

2

2

1

0

3 3

2

22

213

521312

252

2

2

241

21

2

62

2

20

22

2

223

2

12

2

2

2

2

2

2

523

4

23

4

0

222

2

2

xgxgxgxgxgxgxg

xfxfxfxfxfxfxf

xsi

xsix

xxsix

xg

x

xsixx

xsixx

xf

xxxx

xx

xxx

xxx

xx

xxxx

xexx

xx

xxx

xxxx

exxxx

xx

xx

xxxx

xxx

xxexxe

xx

exx

xxx

xxxxxxx

xx

xxxxx

xxxxxx

xxx

xxx

xxx

xxx

xxxxxx

xxxxxxx

xxxxxxx

x

xx

xxx

xx

x

x

xxx

x

xx

x

x

xx

x

x

x

xx

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

xxx

xxx

xxxx

xxx

+∞→→→→→−→−∞→

+∞→→→→→−→−∞→

−

→−→

−∞→+∞→→

+∞→→

−−

→

→+∞→+∞→

+∞→+

−

+∞→

+−

+∞→

+∞→

+

+∞→+∞→

+∞→+∞→

−−

→

−

+∞→+∞→+∞→

→+∞→→

+∞→→→

+∞→→+∞→→

→+∞→→

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

>

<≤−+

−<+−

=

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

>

<<−+

<−+

=

∞=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

∞=+++

++

−=+

=+

=−+−+

−=−−+=−−+

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

−=+−

=+

−+−=

+−

−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−+−

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+−

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+−

=−+=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=+−+

=−−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−+

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+−

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

∞=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=−−−

=−−+=−

−−

=−−=−−+

−+=

+−−+

=−−

=−−

∞=+

=+

=+−

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

−+

+±∞=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

−+

+

Pág. 141


UNIDAD VII. ESTADÍSTICA.

− Estadística: clases y conceptos básicos − Variables o caracteres estadísticos − Encuestas y muestreo − Tablas estadísticas: recuento. − Tablas estadísticas: frecuencias − Representaciones gráficas. − Diagramas de tallos y hojas − Medidas estadísticas. Clasificación. − Parámetros de centralización: media aritmética, mediana, moda y percentiles. − Parámetros de dispersión: recorrido, desviación media, varianza, desviación

típica. − Coeficiente de variación.

Estadística: clases y conceptos básicos. En sus orígenes históricos, la Estadística estuvo ligada a cuestiones de Estado (recuentos, censos, etc.) y de ahí proviene su nombre. Hoy en día está presente en todos los ámbitos humanos, tanto individuales como colectivos. La Estadística surge ante la necesidad de poder tratar y comprender conjuntos numerosos de datos. Los estudios estadísticos, en la actualidad, impregnan numerosos ámbitos. Algunos de estos son: salud y enfermedad, comunicación con los demás, gente en el trabajo, gente en la escuela y en deporte, recuento de bienes, etc. Entre otras, podemos adoptar como definición de Estadística la siguiente: La Estadística es la ciencia que se ocupa de la recogida de datos, su organización y análisis; así como de las predicciones que, a partir de estos datos, pueden hacerse. Por tanto, la Estadística es la parte de las Matemáticas que se ocupa de los procedimientos que permiten el tratamiento sistemático de datos, la búsqueda de conclusiones de los mismos y la toma de decisiones tras su análisis. Según el problema que se estudie y el método utilizado, se distinguen dos clases de Estadística, la Estadística descriptiva y la Estadística inferencial.

ESTIDISTÍCA DESCRIPTIVA INFERENCIAL

La Estadística descriptiva se ocupa de tomar los datos de un conjunto, organizarlos en tablas o en representaciones gráficas y del cálculo de unos números que nos informen de manera global del conjunto estudiado. Los conceptos básicos que aparecen en cualquier estudio estadístico son:

• Población. Es el conjunto formado por todos los elementos que existen para el estudio de un determinado fenómeno.

• Individuo u objeto. Es cada elemento de la población.

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• Muestra. Es el subconjunto que tomamos de la población para determinar el estudio del fenómeno.

• Tamaño de la muestra. Es el número de individuos que la componen. La Estadística inferencial trata sobre la elaboración de conclusiones para la población, partiendo de los resultados de una muestra y del grado de fiabilidad de estas conclusiones. Variables o caracteres estadísticos. Cada una de las cualidades o propiedades referidas a los elementos de una población objeto de estudio estadístico se llama variable o carácter estadístico. Las clases de variables estadísticas que aparecen en cualquier estudio estadístico son:

Variables o caracteres cualitativos son aquellos que no se pueden medir y se describen con palabras.

Algunas de las variables cualitativas son: la raza de un perro, la marca de un automóvil, las preferencias en el deporte, el estado civil de una persona, etc.

Variables o caracteres cuantitativos son aquellos que se pueden medir y expresar con números.

Estas últimas pueden ser de las clases que se describen a continuación:

Variables o caracteres cuantitativos discretos son aquellos que pueden tomar solamente un número finito de valores numéricos. Algunas de estas variables son: el número de hermanos de cada alumno de tu clase, el número de parados de cada ciudad española, la temperatura máxima diaria de una localidad a lo largo de un mes, etc. Variables o caracteres cuantitativos continuos son aquellos que pueden tomar cualquier valor en un intervalo dado. Se consideran variables cuantitativas continuas las siguientes: la estatura de los alumnos de tu centro, el peso de cada una de las frutas que tiene un árbol, etc.

CARACTERES O VARIABLES ESTADÍSTICAS

CUALITATIVAS CUANTITATIVAS

DISCRETAS CONTINUAS

1. Clasifica los siguientes caracteres estadísticos: a) Numero de huesos de cada ser vivo. b) Intención de voto. c) Velocidad que, en un instante dado, llevan los vehículos que circulan por las carreteras españolas. d) Talla de calzado de los alumnos de tu centro. e) Tipos de zumos que prefieren los adolescentes. f) Temperatura máxima en tu ciudad cada día del año. g) La medida de los diámetros de las ruedas de un automóvil. h) La duración de cada lámpara eléctrica producida por una empresa durante un mes.

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Encuestas y muestreo. En el estudio de cualquier fenómeno estadístico y para conocer los datos hay que preguntar a un numero determinado de individuos.

Se llama encuesta a las preguntas que se formulan a un cierto número de individuos de un colectivo o población.

Las encuestas deben contener las preguntas precisas que nos permiten conseguir los datos que nos hacen falta, por ello es importante elaborar bien el cuestionario de preguntas. Las características más significativas que debe poseer una encuesta son:

• El tema de la encuesta y las variables que intervengan deben ser claras y concretas.

• Las preguntas tienen que ser precisas para que sean entendidas por todos los encuestados.

• Las preguntas no deben influir en los encuestados. • En la medida de lo posible, cada pregunta debe ser contestada con una sola

palabra. • Las preguntas deben estar ordenadas para que unas respuestas no

condicionen a otras.

Muestreo

Una vez que se ha elaborado una encuesta hay que plantearse a quién se la hacemos. En unos casos se aplica a toda la población, y en otros a la parte de la población que llamamos muestra. Es conveniente conocer los siguientes criterios básicos en la elección de muestras:

• Cada elemento de la población debe tener igual oportunidad de encontrarse en la muestra.

• Las características de los elementos de la muestra han de reproducir, con la máxima exactitud posible, los de la población.

• Si la muestra es demasiado pequeña puede inducir a errores y si es demasiado grande no resulta manejable.

A las técnicas que nos permiten elegir una muestra se la llama muestreo. El tipo de muestreo más utilizado que garantiza que la muestra es representativa de la población es el muestreo aleatorio simple. El muestreo aleatorio simple se basa en que todas las muestras del mismo tamaño tienen las mismas posibilidades de ser tomadas.

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La obtención de una muestra mediante muestreo aleatorio simple puede verse en la actividad resuelta que sigue. En ella se ha utilizado la tabla de números aleatorios del margen. La tabla de números aleatorios, forma parte del libro A million random digits publicado en Estados Unidos en el año 1955. En el citado libro aparece una tabla de un millón de dígitos, obtenidos de forma aleatoria mediante una ruleta electrónica de diez sectores. ACTIVIDAD RESUELTA

1. En un centro de enseñanza hay 650 estudiantes. Se desea obtener una muestra de 15 alumnos con el fin de conocer su opinión acerca de las actividades deportivas que el centro organiza.

Para obtener la muestra de los 15 alumnos que responderán a una encuesta, seguimos el siguiente proceso:

a) Numeramos todos los alumnos con los números: 001, 002, 003, ... 648, 649 y 650.

b) Vamos a la tabla de números aleatorios y

comenzamos por cualquier fila (columna) separamos los dígitos en grupos de tres. No tendremos en cuenta los siguientes: 000, 651, 652, ..., 998 y 999.

12159 66144 05091 13446 30156 90519 95785 47544 59069 01722 53338 41942 54107 58081 82470 59407 99681 81295 06315 19458 27252 37875 53679 01889 93259 74585 11863 78985 84098 43759 75814 32261 68582 97054 25251 63787 60646 11298 19680 10087 97437 52922 80739 59178 58009 20681 98823 50979 77211 70110 93803 60135 54256 84591 65302 99257 37493 69330 94609 39544 87569 22661 55970 52623 22896 62237 39635 63725 33230 64527 97210 20080 15652 37216 12456 14526 12544 56985 12544 23654 72771 12459 89654 56324 38472 32596 45689 12536 24511 25643 25463 78965 12458 12354 12456 52124 45978 25874 36415 25786 25631 45329 82931 46312 78326 45973 56248 59431 25731 02145 20189 25012 20564 01568 50479 63025 12542 78032 54301 12981 15487 67980 46302 20684 45217 03458 45178 34987 02385 12554 25445 22684 22485 66487 02310 35971 03144 40023 56881 22956 Tabla de números aleatorios.

c) Si comenzamos por la primera columna de la tabla del margen

obtenemos que los alumnos que se van a encuestar se corresponderán con los números:

121, 301, 590, 541, 272, 606, 580, 542, 374, 228, 332, 156, 125, 384 y 245.

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Tablas estadísticas: recuento. A partir de la recogida de datos, a través de encuestas o entrevistas, suelen ordenarse para un mejor manejo. La forma usual de ordenarlos consiste en realizar un recuento, y posteriormente, formar una tabla. El recuento en Estadística se realiza de la siguiente forma:

1. Se ordenan las cualidades o valores que puede tomar la variable estadística, colocándolos en la primera columna de la tabla.

2. Cada vez que aparece un dato correspondiente a una cualidad o valor se traza un pequeño segmento.

3. En la columna del total se anota el número total de segmentos trazados para cada cualidad o valor.

Veamos la realización del recuento en el ejemplo que sigue. Preguntados los alumnos de una clase por el color de la pared de su habitación, han respondido:

“blanco, marrón, blanco, marrón, blanco, blanco, blanco, marrón, marrón, azul, blanco, marrón, blanco, rosa, verde, rosa, blanco, verde, blanco, verde, blanco, azul, azul, amarillo, amarillo”.

COLOR DE LA HABITACIÓN RECUENTO TOTAL

amarillo 2 azul 3

blanco 10 marrón 5

rosa 2 verde 3

Preguntados por el número de hermanos de cada una, las respuestas han sido:

2, 3, 3, 2, 2, 3, 3, 1, 1, 2, 2, 3, 1, 1, 4, 2, 2, 3, 4, 2, 2, 3, 4, 2, 1, 2, 4, 2, 5.

NÚMERO DE HEMANOS RECUENTO TOTAL

1 5 2 10 3 6 4 3 5 1

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Cuando se trabaja con variables cualitativas o cuantitativas discretas, las cualidades o valores de estas aparecen descritos en la tabla. En el caso de las variables cuantitativas continuas, los datos deben agruparse en clases o intervalos. El valor medio de cada clase o intervalo se llama marca de clase y se calcula como la semisuma de los extremos del intervalo. Para construir intervalos o clases hemos de tener en cuenta los siguientes puntos:

• Es conveniente que el número de intervalos que debemos considerar en cualquier estudio esté entre 5 y 10.

• Usualmente tomamos los intervalos con igual amplitud o longitud. Sólo en el caso de que existan valores muy dispersos tomamos distintas amplitudes.

• Calculamos la diferencia entre el valor más grande y el más pequeño de la variable a estudio (recorrido de la variable).

• Calculamos la amplitud de cada intervalo dividendo el recorrido por el número de intervalos que tomemos.

En la actividad que sigue puede verse el recuento de una variable cuantitativa continua. ACTIVIDAD RESUELTA

1. Los pesos de 60 alumnos que cursan 3º de ESO, en kg, son: 48, 48, 50, 55, 59, 54, 60, 60, 64, 65, 69, 57, 62, 70, 59, 57, 52, 60, 53, 57, 53, 45, 54, 47, 59, 60, 57, 66, 62, 55, 52, 63, 67, 58, 49, 47, 54, 62, 57, 53, 51, 46, 54, 67, 62, 46, 49, 57, 56, 64, 60, 50, 48, 67, 53, 49, 63, 68, 55, 60. Elabora la tabla estadística correspondiente utilizando cinco intervalos de igual amplitud. Observamos que los valores extremos son 45 y 70. El recorrido o amplitud total de los datos es 70 – 45 = 25. Como deseamos tener cinco intervalos estos tendrán 5 de amplitud. El recuento nos lleva a la tabla siguiente:

PESOS EN INTERVALOS

MARCA DE CLASE RECUENTO TOTAL

[45, 50] 47,5 11 [50, 55] 52,5 14 [55, 60] 57,5 14 [60, 65] 62,5 13 [65, 70] 67,5 8

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Tablas estadísticas: frecuencias. En las tablas construidas en el epígrafe anterior, en la comuna correspondiente al total se obtienen unos valores cuyo significado es el número de veces que se presenta cada cualidad o valor de la variable estadística. A estos números les llamamos frecuencias absolutas.

Frecuencia absoluta, fi, de una cualidad o de un valor xi de la variable estadística es el número total de veces que aparece esta cualidad o valor. La suma de todas las frecuencias absolutas es necesariamente el tamaño de la muestra o la población a estudio: En ocasiones nos interesa saber cuál es la proporción del número de individuos con un valor determinado respecto del total. Estos valores reciben el nombre de frecuencias

relativas.

Signo sumatorio, Σ En Estadística resulta muy útil el uso del signo sumatorio, (letra griega sigma mayúscula).

Σ

Con él se expresa la suma de todos los números o valores sobre los que actúa. Por ejemplo:

54321

5

1xxxxxxii

++++=Σ=

Se lee: “suma (o sigma) desde i=1 hasta i=5 de los x sub i”.

Nffffff i

n

inn =Σ=+++++=− 11321 ...

Frecuencia relativa o proporción, hi, de una cualidad o de un valor xi, es el cociente que resulta de dividir su frecuencia absoluta entre el número total, N, de individuos. Representa la proporción de estos sobre el total y verifica .10 ≤≤ ih La suma de todas las frecuencias relativas es la unidad:

1...11321 =Σ=+++++=− i

n

inn hhhhhh Frecuentemente en las tablas estadísticas aparecen porcentajes. Frecuencia porcentual o porcentaje, pi, de una cualidad o de un valor xi es el tanto por ciento que representa este valor o cualidad respecto del total. Se calcula multiplicando la frecuencia relativa por 100 y verifica .10 ≤≤ ip La suma de todos los porcentajes es 100:

100...11321 =Σ=+++++=− i

n

inn pppppp

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Frecuencias acumuladas A menudo nos interesa conocer cuántos datos estadísticos presentan valores, proporciones o porcentajes que son menores o iguales a uno dado. Para este fin se estudian las frecuencias acumuladas. Frecuencia absoluta acumulada, Fi, de una cualidad o de un valor xi es la suma de todas las frecuencias absolutas correspondientes a los valores anteriores a xi y a la suya propia. Las frecuencias absolutas acumuladas se obtienen:

ii fffF +++= ...21

Frecuencia relativa acumulada, Hi, de una cualidad o de un valor xi es la suma de todas las frecuencias relativas correspondientes a los valores anteriores a xi y a la suya propia. Las frecuencias relativas acumuladas se obtienen:

ii hhhH +++= ...21

Frecuencia porcentual acumulada, Pi, de una cualidad o de un valor xi es la suma de todas las frecuencias porcentuales correspondientes a los valores anteriores a xi y a la suya propia. Las frecuencias porcentuales acumuladas se obtienen:

ii pppP +++= ...21

ACTIVIDA RESUELTA

1. Construye una tabla con las frecuencias y las frecuencias acumuladas con los datos obtenidos para la variable estadística número de hermanos que figura en el epígrafe 4.

Frecuencia absoluta Frecuencia absoluta Frecuencia porcentual Número de

hermanos xi

fi

Acumulada Fi = f1 + f2 +...+ fi

Acumulada Hi = h1 + h2 +...+ hi

100⋅=Nif

ih = ii hp

Acumulada Pi = p1 + p2 +...+ pi

1 5 5 0,20 0,20 20 % 20 % 2 10 15 0,40 0,60 40 % 60 % 3 6 21 0,24 0,84 24 % 84 % 4 3 24 0,12 0,96 12 % 96 % 5 1 25 0,04 1 4 % 100 %

TOTAL 25 1 100 %

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Representaciones gráficas. A veces es conveniente expresar la información contenida en las tablas estadísticas mediante un gráfico, con el fin de hacerla más clara y evidente. Mencionaremos los principales tipos de gráficos.

Diagrama de sectores Se utiliza para comparar las distintas modalidades de un carácter, y consiste en un círculo dividido en tantos sectores circulares como modalidades tiene el carácter. Para construir un diagrama de sectores, el ángulo central de cada sector ha de ser proporcional a la frecuencia absoluta correspondiente. Representamos mediante un diagrama de sectores la distribución estadística que clasifica a los alumnos según la Autonomía de nacimiento. Para el cálculo del ángulo central procedemos así:

Número de

alumnos

Autonomía Medida del ángulo central

Andalucía

º228º3603019

=⋅ 19

º84º360307

=⋅ Castilla-La Mancha 7

º24º360302

=⋅ Cataluña 2

Galicia 1 º12º360301

=⋅

º12º360301

=⋅ País Vasco 1

30 Tabla estadística de una variable cualitativa

Diagrama de sectores

Andalucía

Castilla-La Mancha

Cataluña

Galicia

País Vasco

AndalucíaCastilla-La ManchaCataluñaGaliciaPaís Vasco

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Diagrama de barras. Polígono de frecuencias Se utiliza para comparar datos cualitativos o cuantitativos discretos. Para construir un diagrama de barras se representan sobre el eje de abscisas los datos y en esos puntos se levantan barras proporcionales a las frecuencias absolutas. Representamos el diagrama de barras asociado a la distribución que clasifica a los alumnos según el número de hermanos.

3

9

13

21 1 1

0123456789

1011121314

Si unimos los extremos de las barras obtenemos el polígono de frecuencias.

Histograma. Polígono de frecuencias Se utiliza para distribuciones de variable estadística continua o para distribuciones que variable estadística discreta cuyos datos han sido agrupados en clases. Para construir el histograma se representan sobre el eje de abscisas los extremos de las clases. Se construyen unos rectángulos de base la amplitud del intervalo y de altura la frecuencia absoluta si los intervalos tienen la misma amplitud. En caso contrario, las alturas de los rectángulos se calculan de modo que sus áreas son proporcionales a las frecuencias de cada intervalo. Representamos el histograma asociado a la distribución que clasifica a los alumnos según su peso en kilogramos. El polígono de frecuencias se obtiene al unir los puntos medios de los lados superiores de cada rectángulo. Con el fin de que el área encerrada bajo el polígono de frecuencias sea igual a la suma de las áreas de los rectángulos, se une el extremo por la izquierda del polígono con la marca de clase anterior; análogamente, con el extremo por la derecha.

0 1 2 3 4 5 8

Número de

hermanos

Número de

alumnos 0 3 1 9 2 13 3 2 4 1 5 1 8 1

Tabla estadística de una variable discreta.

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Histograma y polígono de frecuencias

0

2

4

6

8

10

12

Peso en Kg

Nº d

e al

umno

sPESO (Kg)

Número de

alumnos [40, 45] 1 [45, 50] 3 [50, 55] 10 [55, 60] 9

Diagrama lineal Se utiliza para mostrar las fluctuaciones de uno o varios caracteres estadísticos con el paso del tiempo. El gráfico siguiente expresa, en miles, los matrimonios, nacimientos y defunciones que se ha producido en un determinado año:

MATRIMONIOS NACIMIENTOS DEFUNCIONES

0

10

20

30

40

50

60

70

E F M A M J J A S O N D

MIL

ES

[60, 65] 4 [65, 70] 2 [75, 80] 1 40 45 50 55 60 65 70 75

nacidos vivos

defunciones matrimonio

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Diagramas de tallos y hojas. Una moderna técnica de recogida de datos es la que se conoce como diagrama de tallos y hojas. Veamos en qué consiste con el siguiente ejemplo: Las puntuaciones obtenidas por 40 alumnos en un test han sido las siguientes: 41, 53, 72, 62, 81, 93, 81, 74, 56, 62, 45, 47, 62, 58, 88, 76, 77, 63, 43, 56, 76, 63, 78, 73, 65, 66, 91, 82, 61, 72, 36, 50, 91, 32, 60, 80, 51, 68, 61, 71. Para construir el diagrama de tallos y hojas procederemos del siguiente modo:

Paso 1º. Se observa entre qué valores están las cifras de las decenas de todos los datos y se tiene que van de 3 a 9. Tallo 3 4 5 6 7 8 9

Paso 2º.

Se va leyendo uno a uno cada dato, anotando la cifra de las unidades de cada uno en la fila correspondiente: Primer dato 41 Segundo dato 53 Tallo Hojas 3 4 1 5 6 7 8 9

Paso 3º.

Cuando los datos han sido anotados, se obtiene una tabla como esta: Tallo Hojas 3 6 2 4 1 5 7 3 5 3 6 8 6 0 1 6 2 2 2 3 3 5 6 1 0 8 1 7 2 4 6 7 6 8 3 2 1

Tallo Hojas 3 4 1

8 1 1 8 2 0 9 3 1 1

Paso 4º.

Se vuelve a escribir la tabla ordenando de menor a mayor las unidades dentro de cada fila: Tallo Hojas 3 2 6 4 1 3 5 7 5 0 1 3 6 6 8 6 0 1 1 2 2 2 3 3 5 6 8 7 1 2 2 3 4 6 6 7 8 8 0 1 1 2 8 9 1 1 3 Esto es un diagrama de tallos y hojas.

Del diagrama se deduce:

Hay 2 alumnos con puntuaciones entre 30 y 39; 4 alumnos con puntuaciones entre 40 y 49, y así sucesivamente.

Hay más alumnos con puntuaciones entre 70 y 79 que entre 50 y 59. La clase con mayor frecuencia es la que tiene de extremos 60-69. Si unimos los últimos números de cada fila obtenemos el polígono de

frecuencias.

5 3 6 7 8 9

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ACTIVIDADES

1. Enuncia tres variables estadísticas de cada una de las clases que aparecen en el texto, referidas a los alumnos de tu curso.

2. Responde a lo que se pide en la actividad anterior, referidas, en este caso, a un

individuo de tu lugar de residencia.

3. Clasifica las siguientes variables estadísticas:

a. La profesión que piensan tener los alumnos de tu clase. b. El peso de cada una de las manzanas producidas por un determinado

manzano. c. El número de caries que tiene cada uno de los alumnos de un colegio. d. La altura de los árboles de un parque público. e. Los habitantes de cada una de las provincias españolas. f. La categoría de cada club de fútbol español. g. El número de miembros de cada familia de tu centro. h. La longitud del brazo de los habitantes de una ciudad. i. El número de satélites de cada planeta del Sistema Solar. j. El número de habitaciones de las viviendas de tu barrio.

4. En una ciudad viven 9800 personas de la tercera edad. El Ayuntamiento desea

conocer la opinión de este colectivo acerca de la Asistencia Social ofertada por el Ayuntamiento. Para realizar este estudio extrae una muestra de tamaño 30.

¿Cómo efectuar esta muestra utilizando la técnica de muestreo aleatorio simple?

5. Hemos lanzado al aire 4 monedas 50 veces y hemos anotado el número de caras obtenido en cada lanzamiento. Los resultados son:

3, 4, 2, 2, 1, 1, 1, 0, 2, 3, 0, 3, 2, 2, 2, 1, 3, 1, 1, 2, 4, 2, 2, 1, 0, 2, 2, 1, 1, 0, 3, 2, 4, 2, 2, 3, 1, 1, 0, 2, 3, 1, 2, 4, 2, 1, 0, 2, 3, 2. Haz el recuento y la correspondiente tabla estadística.

6. En un prestigioso laboratorio científico se midió durante varios años la velocidad de la luz, de forma experimental. Los treinta valores que se obtuvieron, en km/s, fueron:

300 006 299 400 299 507 299 781 300 000 299 712 299 904 299 825 299 984 300 090 300 035 300 012 300 144 299 587 300 202 300 075 299 804 299 875 300 380 300 021 299 822 299 904 299 806 300 120 299 789 300 082 300 043 299 640 299 751 299 603

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Observa que el valor mayor es de 300 380 y el menor 299 400. El recorrido es de 300 380 –299 400 = 980. Hacemos cinco intervalos, luego la amplitud de cada uno será 980 / 5 = 196. Los intervalos que hay que considerar serán:

[299 400, 299 596); [299 596, 299 792); [299 792, 299 988); [299 988, 300184); [300 184, 300 380].

A la vista de lo anterior calcula la tabla estadística correspondiente con intervalos, marcas de clase, recuento y todas las frecuencias que aparecen en esta unidad.

7. La densidad de población, en habitantes por km2, de las provincias españolas, en

el año 1986, era de:

50, 141, 54, 63, 43, 48, 158, 110, 13, 10, 48, 105, 136, 184, 226, 99, 23, 24, 13, 12, 32, 23, 25, 34, 24, 29, 22, 10, 60, 21, 597, 83, 29, 83, 208, 65, 1093, 31, 21, 141, 41, 59, 201, 598, 89, 50, 88, 345, 532, 52, 3 620, 3 742. En ocasiones no resulta útil usar intervalos de la misma amplitud, como ocurre en este caso. Utiliza los intervalos [0, 20), [20, 40), [40, 80), [80, 160), [160, 3 800] y elabora la tabla estadística completa.

8. Las calificaciones obtenidas por los 50 alumnos de dos clases de 3º de ESO, en un ejercicio de Matemáticas han sido:

4, 6, 6, 0, 3, 2, 4, 4, 7, 0, 4, 9, 5, 4, 3, 6, 5, 2, 6, 3, 5, 6, 8, 4, 3, 4, 10, 5, 8, 7, 3, 4, 2, 8, 4, 7, 9, 1, 10, 6, 3, 7, 6, 8, 2, 5, 4, 1, 7, 8.

Elabora una tabla estadística en la que aparezcan las frecuencias simples y acumuladas.

9. Completa los datos que faltan en las tablas estadísticas siguientes: a) xi fi Fi hi b) xi fi Fi pi c) xi fi Hi Pi 1 40 0,16 1 3 0,03 1 3 2 10 2 6 2 0,08 3 65 0,06 3 15 9,37 3 12 20 4 5 0,02 4 8 12,50 4 0,35 5 60 5 10 5 0,53 6 185 6 42 6 17 70 7 210 7 50 7 16 8 20 8 5 8 0,94 9 245 9 59 9 4 10 0,02 10 7,81 10 TOTAL TOTAL TOTAL

10. Representa las siguientes series de datos mediante diagrama de barras: a) 1, 3, 3, 5, 5, 5, 7, 7, 9. b) 2, 2, 2, 6, 6, 8, 8, 8. c) 2, 2, 3, 4, 4, 5, 6, 7, 8, 8.

155


11. Representa las siguientes distribuciones de datos mediante polígono de frecuencias:

a) xi 1 2 3 4 5 6

b) xi 1 2 3 4 5 6 c) xi 1 2 3 4 5 6 fi 15 20 16 18 15 12 fi fi 15 11 17 20 17 10 16 19 16 19 15 20

12. Los siguientes datos son una muestra del número de ejemplares vendidos (en

miles) de un periódico en 20 puntos de venta diferentes durante un mes:

7, 4, 10, 9, 6, 9, 7, 8, 11, 6, 8, 10, 11, 6, 10, 10, 8, 11, 6, 5. Construye la tabla con las diferentes frecuencias y dibuja el polígono de frecuencias acumuladas.

13. Preguntados 60 alumnos por el número de miembros de su familia, las respuestas han sido:

5, 4, 4, 5, 6, 6, 4, 7, 3, 2, 8, 4, 5, 6, 3, 6, 5, 7, 3, 4, 3, 5, 6, 2, 4, 5, 6, 6, 4, 3, 7, 7, 4, 4, 4, 3, 8, 5, 6, 3, 6, 4, 3, 7, 2, 5, 4, 8, 6, 5, 7, 4, 4, 3, 6, 5, 7, 8, 4, 3. Construye una tabla con los datos anteriores en la que figure el recuento y las frecuencias. Dibuja un diagrama de barras con los valores de las frecuencias absolutas.

14. La tabla (que aparece incompleta) resume las calificaciones obtenidas por los 80 alumnos de 3º de ESO en cierto instituto:

Calificación Frecuencia absoluta Frecuencia relativa Insuficiente 0,375 Suficiente 20

Bien 10 Notable 6

Sobresaliente

a. Completa la tabla con las frecuencias que faltan. b. A través de un diagrama de sectores, representa gráficamente la

información.

15. Se han obtenido las pulsaciones de un equipo de atletas después de una carrera. Los datos obtenidos han sido los siguientes:

Pulsaciones [70, 75) [75, 80) [80, 85) [85, 90) [90, 95) [95, 100]Número de atletas 3 3 7 10 12 8 Calcula:

a. Las marcas de clase y la tabla con las frecuencias porcentuales correspondientes.

b. Representa el histograma con las frecuencias de la tabla de arriba.

156


Medidas estadísticas. Clasificación.

Para poder comparar entre sí distribuciones estadísticas de distintas poblaciones o muestras y, en cualquier caso, para disponer de un modo rápido que nos indique la forma de la distribución estadística, sin necesidad de repasar grandes tablas y gráficos, se han establecido unos números llamados parámetros o medidas estadísticas, que aparecen clasificados en el cuadro siguiente: Parámetros estadísticos:

o De centralización: Media aritmética Mediana Moda

o De dispersión:

Rango o recorrido Desviación media Varianza Desviación típica

Parámetros de centralización.

Media aritmética de una variable estadística es el cociente que resulta de dividir la suma de todos los valores por el numero total de estos. Se representa por x .

Su cálculo se realiza, según las expresiones que siguen, atendiendo a la presentación de los datos:

o Para datos sin frecuencias

N

x

Nxxx

xi

n

in 121 ... =Σ

=+++

=

o Para datos con frecuencias

N

fx

f

fx

ffffxfxfx

xii

n

i

i

n

i

ii

n

i

n

nn 1

1

1

21

2211

...... =

=

=Σ

=Σ

Σ=

++++++

=

Mediana de una variable estadística es el valor que deja a su izquierda un número de datos iguales a los que deja a su derecha. Se denota por Me.

Ejemplo: La calificación que han obtenido 7 alumnos en Matemáticas y 8 alumnos en Lengua han sido (los datos tienen que estar ordenados):

2, 4, 5, 6, 6, 7, 7. 2, 2, 4, 4, 6, 8, 8, 8.

157


Observamos que en Matemáticas la nota 6 deja tres alumnos a su izquierda y tres a su derecha. En las de Lengua, como no hay una nota central, tomamos la media aritmética de las dos notas centrales: (4 + 6) / 2 = 5. Decimos que la nota mediana en Matemáticas es 6 y en Lengua 5. El proceso anterior, para calcular la mediana, es útil cuando disponemos de pocos datos, pero cuando el número de estos es grande este procedimiento resulta muy laborioso, siendo necesario construir una tabla estadística con frecuencias acumuladas como podemos ver en el margen. Cuando los datos están agrupados en intervalos llamamos clase mediana a la primera clase o intervalo cuya frecuencia acumulada sobrepase a la mitad del número de individuos. Si no necesitamos mucha precisión podemos tomar como valor aproximado de la mediana la marca de clase correspondiente a la clase mediana. Cuando es necesaria mayor precisión en el cálculo de la mediana, para variables agrupadas en intervalos, utilizamos la expresión que nos da su valor exacto, como podemos ver en la siguiente actividad resuelta: 1. En la tabla adjunta mostramos los resultados obtenidos al tallar los 30 alumnos de una clase. Calcula la talla mediana.

El intervalo o clase mediana es [165, 170) ya que es el primer intervalo cuya frecuencia acumulada Fi = 26, sobrepasa a la mitad del número de individuos N/2 = 15.

Para obtener la mediana exacta utilizamos la siguiente expresión:

cf

FN

LMeMe

Me⋅

−+=

−1

12

42,165512

1415165 =⋅−

+=Me cm es la talla mediana.

Cuartiles

Al estudiar la mediana hemos visto que, una vez ordenados de menor a mayor los datos de una distribución, la mediana divide a éstos en dos partes iguales. Ejemplo:

Frecuencias Talla (cm) Marca de clase xi Absolutas fi Acumuladas Fi[150, 155) 152,5 1 1 [155, 160) 157,5 3 4 [160, 165) 162,5 10 14 [165, 170) 167,5 12 26 [170, 175] 172,5 4 30

Cálculo de la mediana Las notas que obtuvieron 32 alumnos en un examen de matemáticas:

Notas xi

fi Fi

1 2 2 2 2 4 3 3 7 4 5 12<16 5 7 19>16 6 5 24 7 3 27 8 2 29 9 2 31

10 1 32 La mediana es el primer valor cuya frecuencia acumulada, Fi sea mayor que la mitad del número de individuos N/2 = 16.

l

L1 = extremo inferior de la clase mediana c = amplitud de la clase mediana fMe = frecuencia absoluta de la clase mediana FMe-1 = frecuencia absoluta acumulada de la clase anterior a la clase mediana.

158


Si tenemos los 20 datos de la siguiente distribución:

16, 22, 21, 20, 23, 22, 17, 15, 13, 22, 17, 18, 20, 17, 22, 16, 23, 21, 22, 18.

Para calcular la mediana ordenamos los datos de menor a mayor:

13, 15, 16, 16, 17, 17, 17, 18, 18, 20, 20, 21, 21, 22, 22, 22, 22, 22, 23, 23. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Los valores que quedan en medio son: 20 y 20, pues hacia la izquierda quedan 9 datos y hacia la derecha otros 9. Por lo tanto la mediana es 20. Me = 20.

Se llama cuartiles a tres valores que dividen la serie de datos en cuatro partes iguales. Se representan por Q1, Q2, Q3, y se designa cuartil primero, segundo y tercero, respectivamente. En la distribución anterior Q1 = 17 (20 : 4 = 5), Q2 = 20 (5 x 2 =10) y Q3 = 22. Se llama quintiles a cuatro valores que dividen la serie de datos en cinco partes iguales. Se representan por K1, K2, K3, y se designa quintil primero, segundo y tercero, respectivamente. En la distribución anterior:

K3 = 21 (4 x 3 =12), K1 = 16 (20 : 5 = 4), K4 = 22 (4 x 4 =16). K2 = 18 (4 x 2 =8),

Se llama deciles a nueve valores que dividen la serie de datos en diez partes iguales. Se representan por D1, D2, D3,..., D9, y se designa decil primero, segundo, tercero,.., noveno, respectivamente. En la distribución anterior:

D6 = 21 (6 x 2 =12), D1 = 15 (20 : 10 = 2), D7 = 22 (7 x 2 =14), D2 = 16 (2 x 2 =4), D8 = 22 (8 x 2 =16), D3 = 17 (3 x 2 =6), D9 = 22 (9 x 2 =18), D4 = 18 (4 x 2 =8), D5 = 20 (5 x 2 =10),

Se llama percentiles a 99 valores que dividen la serie de datos en cien partes iguales. Se representan por P1, P2, P3,..., P99, y se designa percentil primero, segundo, tercero,.., nonagésimo noveno, respectivamente.

En la distribución anterior: P1 = (20 : 100 = 0,2), P2 = (2 x 0,2 =0,4), . . . P10 = 15 (10 x 0,2 =2),

P40 = 18 (40 x 0,2 =8), P50 = 20 (50 x 0,2 =10), P60 = 21 (60 x 0,2 =12), P70 = 22 (70 x 0,2 =14), P80 = 22 (80 x 0,2 =16), P90 = 22 (90 x 0,2 =18), P20 = 16 (20 x 0,2 =4),

P30 = 17 (30 x 0,2 =6),

159


Debido a que los cuantiles son parámetros del tipo de la mediana, su cálculo se realiza de forma análoga. Ejercicios:

1. Las calificaciones en la asignatura Matemáticas de los 40 alumnos de una clase vienen dadas por la siguiente tabla:

Calificaciones 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Nº de alumnos 2 2 4 5 8 9 3 4 3

Calcular:

a. Los cuartiles primero y tercero. b. Los percentiles de orden 30 y 70.

2. Se ha aplicado un test sobre satisfacción en el trabajo a 88 empleados de

una fábrica, obteniéndose los resultados que se dan en la siguiente tabla:

Clases fi Fi[38-44) 7 7 [44-50) 8 15 [50-56) 15 30 [56-62) 25 55 [62-68) 18 73 [68-74) 9 82 [74-80) 6 88

88 Calcular:

a. Los cuartiles primero y tercero. b. Los percentiles de orcen 40 y 90.

3. Dadas estas series estadísticas:

a. 3, 5, 2, 7, 6, 4, 9. b. 3, 5, 2, 7, 6, 4, 9, 1.

Hallar:

a. Los cuartiles 1º y 3º. b. Los deciles 2º y 7º. c. Los percentiles 32 y 85.

La moda de una variable estadística discreta cualitativa es el valor o cualidad de la variable con mayor frecuencia absoluta. Se representa por Mo.

A veces la moda no es única, pues existen distribuciones que tienen dos, tres o más modas. A la distribución que tiene dos modas se le llama distribución bimodal, a la que tiene tres modas, distribución trimodal y así sucesivamente. Cuando los datos están agrupados en intervalos llamamos clase modal a la clase con mayor frecuencia absoluta. Si no necesitamos mucha precisión en el cálculo de la moda, podemos tomar como valor aproximado de la misma la marca de clase de la clase modal.

160


Cuando es necesario mayor precisión en el cálculo de la moda para variables agrupadas en intervalos recurrimos a la expresión que nos da su valor exacto como podemos ver en la siguiente actividad resuelta:

1. Encuentra la talla moda en la distribución estadística de la página anterior. El mayor valor de la frecuencia absoluta, 12 da como clase modal [165, 170). El valor aproximado de la moda es 167,5 cm. Para obtener la moda exacta utilizamos la siguiente expresión:

( ) ( ) cffff

ffLMo

MoMoMoMo

MoMo ⋅−+−

−+=

+−

−

11

11

L1 = extremo inferior de la clase modal c = amplitud de la clase modal fMo , fMo-1 , fMo+1 = frecuencias absolutas de la clase modal, de la clase anterior y de la posterior

( ) ( ) 16654121012

1012165 =⋅−+−

−+=Mo cm

Por tanto, la talla moda de esta clase es Mo = 166 cm, que como podemos ver se aproxima mucho al valor central de la clase modal, 167,5 cm. Parámetros de dispersión. Los Parámetros de dispersión son valores numéricos que nos informan de las desviaciones que sufren los datos de una distribución estadística respecto de los parámetros centrales, en particular respecto a la media aritmética.

Recorrido o rango de una variable estadística es la diferencia entre el dato mayor y el menor. Es decir, es la longitud del tramo dentro del cual están los datos. Desviación media de una variable estadística es el promedio de las distancias de los datos a la media:

Nfxx

Nfxxfxxfxx

DM inn 12211 ... ⋅−Σ=

⋅−++⋅−+⋅−=

Varianza de una variable estadística es la media aritmética de los cuadrados de las desviaciones de todos los datos o marcas de clase respecto de la media. Se representa por . 2σLas expresiones equivalentes que permiten calcular la varianza son:

( )N

fxx ii

n

i⋅−Σ

= =

2

12σ 2

2

12 xN

fx nin

i −Σ

= =σ

Desviación típica de una variable estadística es la raíz cuadrada positiva de la varianza. Nos informa de la dispersión, por término medio, de cada dato respecto de la media. Se representa por .σ Las expresiones equivalentes que permiten calcular la desviación típica son:

161


( )N

fxx ii

n

i⋅−Σ

= =

2

1σ 2

2

1 xN

fx ni

n

i −Σ

= =σ

Utilización conjunta de la media y la desviación típica Se han anotado las tallas, en centímetros, de 33 alumnos, obteniéndose: 163, 169, 171, 163, 158, 168, 173, 167, 165, 172, 178, 156, 168, 165, 162, 158, 169, 171, 163, 171, 170, 177, 151, 181, 167, 167, 165, 166, 164, 158, 161, 176, 170. Representamos el polígono de frecuencias y observamos que la distribución es unimodal y bastante simétrica. Calculamos la media y la desviación típica:

76,166=x cm. 47,6=σ cm.

Vamos a calcular el porcentaje de personas con estaturas en los siguientes intervalos: ( ) ( )23,173;29,160, =+− σσ xx

Hay 24 personas con estaturas en este intervalo; o sea, el 72 % del total. ( ) ( )70,179;82,1532,2 =+− σσ xx

Hay 31 personas con estaturas en este intervalo; o sea, el 94 % del total. ( ) ( )17,186;35,1473,3 =+− σσ xx

Hay 33 personas con estaturas en este intervalo; o sea, el 100 % del total. Estos resultados que acabamos de obtener experimentalmente se generalizan del siguiente modo: En distribuciones con una sola moda y bastante simétricas (comportamiento normal) se verifica que: - En el intervalo ( )σσ +− xx , se encuentra el 68 % de los datos. - En el intervalo ( )σσ 2,2 +− xx se encuentra el 95 % de los datos. - En el intervalo ( )σσ 3,3 +− xx se encuentra el 99 % de los datos.

162


Coeficiente de variación. Los pesos de los toros de lidia de una ganadería se distribuyen con una media

kgx 500= y una desviación típica kg40=σ . Los pesos de los perros de una exposición canina tienen una media kgx 20= y una desviación típica kg10=σ . La desviación típica de los pesos de la manada de toros bravos (40 kg) es superior que la de los perros (10 kg). Sin embargo, los 40 kg son poca cosa para el enorme tamaño de los toros (es decir, los toros de esa manada son muy parecidos en peso), mientras que 10 kg es mucho en relación con el peso de un perro. En casos como este, la desviación típica no es una medida adecuada para comparar dispersiones. Por ello, definimos un nuevo parámetro estadístico.

Para comparar la dispersión de dos poblaciones heterogéneas, se define el coeficiente de variación así:

xCV σ

=

Al dividir σ entre x estamos relativizando la dispersión. El resultado se da, a veces, en tantos por ciento.

En el ejemplo de los toros y los perros, obtenemos:

o Para los toros: 08,050040

==CV Es decir, el 8 %

o Para los perros: 50,02010

==CV Es decir, el 50 %

De este modo sí que se aprecia claramente que la variación de los pesos de los perros (50 %) es mucho mayor que la de los pesos de los toros (8 %).

163


ACTIVIDADES

1. Las calificaciones que obtuvieron 32 alumnos de una clase, en Matemáticas, en la primera evaluación fueron las que aparecen en la tabla.

xi 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 fi 2 2 3 5 7 5 3 2 2 1

¿Cuál es la calificación media de la clase?

2. La temperatura que ha marcado un

termómetro en los diferentes días de la semana, ha sido (en grados centígrados) los que pueden verse en la tabla.

Calcula:

a. La temperatura media mínima. b. La temperatura media máxima. c. La media de las oscilaciones extremas

diarias.

3. Las edades de los componentes de una peña de aficionados al fútbol son:

18, 16, 21, 20, 18, 16, 21, 18, 21, 18, 20, 19, 36, 24, 18, 20, 18, 19 Y 20.

Mínima MáximaLunes 4 19 Martes -2 18

Miércoles -3 21 Jueves 1 13 Viernes 4 12 Sábado 0 14

Domingo 3

Calcula la edad media aritmética, la edad mediana y la edad moda.

4. Las temperaturas medias en las capitales de 12 países miembros de la UE, en grados centígrados, son: Amsterdam, 13; Atenas, 25; Berlín, 14; Bruselas, 15; Copenhague, 11; Dublín, 14; Lisboa, 20; Londres, 15; Luxemburgo, 15; Madrid, 20; París, 15; Roma, 22. Calcula, en esta distribución, la media, la moda y la mediana. Haz el gráfico más adecuado a esta distribución.

5. La renta per cápita de las provincias españolas figura en la tabla siguiente: Renta per cápita

en euros [1000, 1300) [1300, 1600) [1600, 1900) [1900, 2200) [2200, 2500) [2500, 2800]

Número de provincias 5 15 11 13 3 3

Calcula la renta per cápita media, mediana y moda.

6. La tabla muestra la distribución, a lo largo de una mes del número de camiones que circulan diariamente por un cruce de carreteras.

22

PASO DE VEHÍCULOS Nº de días

Nº de camiones por día Calcula la media, la moda y la mediana y haz

el gráfico más adecuado. [350 400) 2

164


7. Para el siguiente conjunto de datos:

19, 9, 15, 17, 11, 18, 11, 6, 8, 21, 14, 5, 10, 10, 7, 4, 13, 19, 17, 11, 12, 9, 8, 5, 14 y 11. Obtén su mediana.

8. Las respuestas correctas a un test de 79 preguntas realizado por 600 personas son las que se recogen en la siguiente tabla:

Respuestas [0, 10) [10, 20) [20, 30) [30, 40) [40, 50) [50, 60) [60, 70) [70, 80]Nº de personas 40 60 75 90 105 85 80 65

a. Calcula el número medio de respuestas correctas. b. Obtén la mediana. c. Representa gráficamente los datos de esta distribución.

9. Los siguientes datos son calificaciones obtenidas en cierta prueba de Idioma:

2, 5, 3, 4, 7, 9, 5, 2, 7, 4, 8, 3, 5, 8, 7, 9, 3, 2, 4, 1, 10, 9, 4, 8, 6, 9, 3, 3, 7, 1, 2, 8, 6, 7, 3, 6, 4, 7, 4, 8, 2, 3, 7, 5, 4, 6, 7, 5, 6, 7, 8, 4, 3, 7, 5, 6, 9, 5, 7 y 2.

a. Elabora una tabla en la que aparezcan las diferentes frecuencias simples. b. Calcula media, mediana y moda de las calificaciones. c. Calcula todos los parámetros de dispersión citados en el texto.

10. En un hospital se quiere estimar el peso de las niñas recién nacidas. Para ello se

seleccionan, de forma aleatoria, 100 de estas obteniéndose los siguientes resultados:

Intervalos

(kg) [1; 1,5) [1,5; 2) [2; 2,5) [2,5; 3) [3; 3,5) [3,5; 4) [4; 4,5) [4,5; 5]

Nº de niñas 1 2 5 20 40 26 5 1

a. Calcula los pesos medio, mediano y moda de la distribución anterior. b. Determina la desviación típica.

11. El cartograma muestra la potencia (en kw)

instalada con energía solar fotovoltaica a finales de 1995 en las distintas Comunidades Autónomas.

a. Calcula la media y la desviación

típica de la potencia instalada. b. ¿Cuántas Comunidades Autónomas

tienen el valor de su potencia instalada en el intervalo ( )σσ +− xx , ?¿Qué porcentaje representan?

165


12. Una fábrica de yogures empaqueta estos en cajas de cien unidades cada una. Para probar la eficacia de la producción se han analizado 80 cajas comprobando los yogures defectuosos que contiene cada una y se han obtenido los resultaos de la tabla:

Nº de yogures defectuosos 0 1 2 3 4 5 6

Nº de cajas 40 15 10 9 3 2 1

Define cuáles son los individuos de esta muestra y la variable estadística. Después calcula para esta distribución estadística la media aritmética, la moda, la mediana, la varianza, la desviación típica y el número de cajas que están en los intervalos: ( )σσ +− xx , ; ( )σσ 2,2 +− xx ; ( )σσ 3,3 +− xx . A la vista de los resultados, ¿puede calificarse la distribución de normal?

13. El presupuesto del Insalud, por Comunidades Autónomas y en miles de millones, del año 1992 fue el siguiente:

Comunidad País

Vasco Gestión directa

Comunidad Autónoma Cataluña Navarra Andalucía Galicia Valenciana

379 29 Presupuesto 417 146 243 132 1040 a. Construir el diagrama de sectores correspondientes a esta distribución de

frecuencias. b. ¿Qué datos de los anteriores se encuentran en el intervalo ( )σσ +− xx , ?

14. En cierta línea de autobuses municipales se ha

registrado el número diario de viajeros que la han utilizado el último mes, obteniéndose la información que aparece en la tabla.

a. Realiza el gráfico correspondiente. b. Calcula la media, la mediana y la moda

del número de viajeros. c. Encuentra la desviación típica.

15. En la fabricación de cierto tipo de bombillas se han detectado algunas

defectuosas. Se han estudiado 200 lotes diferentes de 500 piezas cada uno, obteniéndose los datos de la tabla adjunta:

Defectuosas 1 2 3 4 5 6 7 8 Nº de lotes 5 15 38 42 49 32 17 2 Calcula los parámetros de centralización y de dispersión.

16. Calcula parámetros de centralización y de dispersión:

xi [0, 25) [25, 50) [50, 75) [75, 100]fi 20 40 100 60

Nº de viajeros (miles)

Nº de días

[0, 3) 5 [3, 6) 5 [6, 9) 15 [9, 12] 5

166


17. Los lados de dos cuadrados miden 5 y 7 m respectivamente. Halla el área del cuadrado cuyo lado sea la media aritmética de los otros dos lados.

18. Un trayecto de 7 km es recorrido por una motocicleta en la siguiente forma: 3

km a 60 km/h y los otros 4 restantes a 100 km/h ¿Cuál es la velocidad media?

19. Se desea compara la duración de dos marcas de lámparas halógenas, A y B. Para ello, elegimos dos muestras, compuestas por 10 lámparas de cada una de las marcas. La duración en semanas de cada una de ellas fue:

Marca A 23 26 24 32 28 26 22 25 20 21 Marca B 22 29 24 27 30 29 25 27 22 30

a. Calcula la media y la desviación típica de las duraciones de cad marca de lámparas.

b. ¿Qué marca sería aconsejable elegir?

20. Si a los numero 10, 12, 14, 16, 18 y 20, los sumamos 9 se obtiene 19, 21, 23, 25, 27, 29. Compara las medias y desviaciones típicas de ambas series.

21. Si a los numero 10, 12, 14, 16, 18 y 20, los multiplicamos por 4 se obtiene 40,

48, 56, 64, 72, 80. Compara las medias y desviaciones típicas de ambas series.

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UNIDAD VIII. PROBABILIDAD

- Experimentos aleatorios. Sucesos. - Operaciones con sucesos. - Probabilidad de un suceso. - Regla de Laplace. - Frecuencia y probabilidad. - Propiedades de la probabilidad. - Probabilidad condicionada. - Sucesos dependientes e independientes.

Experimentos aleatorios. Sucesos. Un experimento aleatorio es aquel del que no podemos predecir su resultado, es decir, que depende de la suerte o del azar.

Cuando conocemos el resultado del experimento antes de realizarlo, decimos que es un experimento determinista. Ejemplo 1:

El juego de la rana consiste en lanzar discos de metal a la boca de una rana, ganando el premio si encestas. Acertar o no es un hecho en el que influye la suerte; sin embargo, siempre que tiras el disco, este cae por efecto de la gravedad. Determina un experimento aleatorio y otro determinista. Acertar en la boca

1º Lanzar el disco

No acertar en la boca

2º Lanzar el disco El disco cae

El caso 1 es un experimento aleatorio porque no podemos asegurar elresultado. En el caso 2, sí sabemos de antemano lo que va a ocurrir, luego es un experimento determinista. Un suceso elemental es cada uno de los posibles resultados de un experimento aleatorio. El conjunto de todos los sucesos elementales se llama espacio muestral.

En general, un suceso es cualquier subconjunto del espacio muestral.

Ejemplo 2:

Extraemos una bola de una urna con bolas numeradas del 1 al 5. Define el espacio muestral y escribe sucesos que no sean elementales. El espacio muestral tiene 5 sucesos elementales: E = {1, 2, 3, 4, 5} Los sucesos no elementales pueden ser: A = “Sacar un número par” = {2, 4} B = “Sacar un número mayor que 3” = {4, 5, 6}

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Una técnica muy utilizada para calcular el espacio muestral de un experimento aleatorio es el diagrama de árbol.

Ejemplo 3:

Juan tiene 2 corbatas, una azul y otra roja, y 3 camisas de colorees azul, rosa y blanco, respectivamente. Si escoge al azar una corbata y una camisa, ¿cuál será el espacio muestral?

Para calcular el espacio muestral construimos un diagrama de árbol:

Corbata Azul Corbata Roja Cam. Azul Cam. Rosa Cam. Blanc Cam. Azul Cam. Rosa Cam. Blanc

E = {AA, AR, AB, RA, RR, RB}

Un suceso compuesto es aquel suceso que está formado por dos o más sucesos elementales.

Cuando dos sucesos pueden ocurrir simultáneamente decimos que son compatibles; en caso contrario, se denominan incompatibles.

Ejemplo 4:

En un experimento de lanzar un dado, escribe ejemplos de sucesos compuestos, compatibles e incompatibles. Consideramos los sucesos compuestos:

A = “Salir par” B = “Salir múltiplo de 3” C = “Salir potencia de 2”

Los sucesos A y B son compatibles. Si sale 6 es “par” y “múltiplo de 3”.

Los sucesos B y C son incompatibles. No hay ningún número que sea “múltiplo de 3” y, a la vez, sea “potencia de 2”

Ejercicios:

1. Di cuáles de los siguientes experimentos son aleatorios y cuáles son deterministas.

a) Pesar 1 dm3 de agua.

b) Medir el lado de un cuadrado de 2 cm2.

c) Preguntar un número de 2 cifras.

d) Lanzar un dado y anotar la puntuación.

e) Elegir un jersey del armario.

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2. Define los sucesos elementales, el espacio muestral y dos sucesos no elementales al extraer una carta de la baraja española.

3. En un experimento de elegir un número al azar y anotar su resto de dividir entre 3, pon un ejemplo de suceso que no sea el conjunto vacío.

4. Lanzamos una moneda y un dado. Calcula el espacio muestral mediante una diagrama de árbol.

5. se extrae una carta de la baraja española. Indica cómo son los siguientes sucesos.

a) A = “Sacar oros” B = “Sacar copas”

b) A = “Sacar bastos” B = “Sacar un as”

6. Tenemos una bolsa con 8 bolas numeradas del 1 al 8. Extraemos una bola, y si tiene un número impar, extraemos otra sin reemplazar la primera. Si el número es par, extraemos dos bolas sin reemplazar la que ya hemos sacado.

a) Determina el espacio muestral.

b) Pon un ejemplo de dos sucesos compatibles.

c) Escribe dos sucesos incompatibles.

Operaciones con sucesos. La unión de dos sucesos, A y B, es otro suceso formado por todos los sucesos elementales que hay en A o en B, y se escribe A U B.

La intersección de dos sucesos, C y D, es otro suceso formado por todos los sucesos comunes de C y D, y se escribe C D. I

En términos de operaciones con sucesos: - Que ocurra A o B se traduce como A U B.

- Que ocurra A y B se traduce como A I B.

Ejemplo 5: Lourdes y José juegan a lanzar un dado. Lourdes gana si saca un número par o mayor que 4, y José gana cuando es impar y menor que 3.

Describe esta situación en términos de experimentos aleatorios y sucesos.

En el experimento aleatorio que consiste en lanzar un dado, el espacio muestral es:

E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Los sucesos son:

A = “Número par” = {2, 4, 6}

B = “Número mayor que 4” = {5, 6}

Lourdes gana si: GL = “Número par o mayor que 4” = {2, 4, 5, 6}

GL es la unión de A y B GL = A B U

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Otros sucesos son:

C = “Número impar” = {1, 3, 5}

D = “Número menor que 3” = {1, 2} José gana si: GJ = “Número impar y menor que 3” = {1} GJ es la intersección de C y D GL = C D I A partir de las operaciones con sucesos es fácil definir otros sucesos: El suceso contrario o complementario de un suceso A es otro suceso, que escribimos como A , y que está formado por los sucesos elementales del espacio muestral que no están en A.

• El contrario de la unión es la intersección de los contrarios. BAIU =BA

• El contrario de la intersección es la unión de contrarios. BAUI =BA

• El contrario del contrario coincide con el suceso de partida. AA =

Siempre se cumple que: A U A = E

A I A = Ø

E = Ø Ø = E Ejemplo 6: En el experimento aleatorio que consiste en lanzar un dado y una moneda, considerando el suceso A = “Sacar divisor de 6 en el dado y cara en la moneda”, calcula el suceso contrario de A. El espacio muestral es: E = {1C, 2C, 3C, 4C, 5C, 6C, 1X, 2X, 3X, 4X, 5X, 6X}

A = {1C, 2C, 3C, 6C}

El suceso contrario de A está formado por todos los sucesos del espacio muestral que no están en A.

E = {1C, 2C, 3C, 4C, 5C, 6C, 1X, 2X, 3X, 4X, 5X, 6X}

A = {1C, 2C, 3C, 6C}

Por tanto, tenemos que A = {4C, 5C, 1X, 2X, 3X, 4X, 5X, 6X}

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Ejercicios: 7. En el experimento aleatorio que consiste en lanzar un dado con sus caras

numeradas del 1 al 8, expresa en forma de uniones e intersecciones los siguientes sucesos.

a) “Salir número par y no primo”

b) “Salir número impar o primo”

c) “Salir número primo o par”

8. En la extracción de una bola de una bolsa que contiene 10 bolas numeradas del 1 al 10, consideramos los sucesos A = “Número par” y B = “Múltiplo de 3”. Calcula:

a) A B U

b) A B I

9. De un experimento de sacar una carta de la baraja española, consideramos los sucesos a = “Sacar una figura” y B = “Sacar oros”. Obtén los sucesos.

a) A U B b) A I B c) A d) B

10. Tomamos una pieza de fruta de un frutero donde hay manzanas, fresas, plátanos y peras. Calcula los contrarios de los siguientes sucesos.

a) “Que sea manzana o pera”

b) “Que no sea plátano”

c) “Que crezca en árboles”

11. En una caja hay 8 bolas numeradas del 1 al 8. Escribe el suceso contrario, uno compatible y otro incompatible de estos sucesos.

a) A = “Sacar número menor que 4”

b) B = “Sacar número impar”

12. Con los datos del ejercicio anterior, calcula estos sucesos.

a) A e) BAI

b) BAI f) BAU

c) BAU g) BAI

d) BAU h) BAI

Probabilidad de un suceso La probabilidad, P, de un suceso es una función que a cada suceso de un experimento aleatorio le asocia un número comprendido entre 0 y 1 y mide la facilidad de que el suceso ocurra.

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Cuanto más se acerque la probabilidad de un suceso a 1, mayor será la posibilidad de que ocurra, y recíprocamente, cuanto más se acerque a 0 más difícil será que suceda.

Un suceso seguro es aquel que siempre ocurre, y su probabilidad es 1. Por ejemplo: P(E) = 1.

Se dice que un suceso es un suceso imposible cuando nunca sucede, es decir, cuando su

probabilidad es 0. Por ejemplo: P(Ø) = 0. Ejemplo 7:

Tenemos 2 bolas de igual peso y tamaño, una blanca y otra negra, en una bolsa. Si extraemos una bola, ¿cuál es la probabilidad de que sea blanca? La probabilidad de coger una u otra bola será igual. Por tanto, podríamos repartir la probabilidad de que ocurran ambos sucesos:

P(blanca) = 21 P(negra) =

21

Lo mismo sucedería si tuviéramos 3 bolas, iguales en peso y tamaño, pero de diferente color; podríamos repartir la probabilidad de los 3 sucesos elementales, y a cada uno le

asignaríamos una probabilidad de 31

Regla de Laplace Un experimento es regular cuando todos sus sucesos elementales tienen la misma probabilidad, es decir, son sucesos equiprobables. La regla de Laplace nos permite calcular probabilidades de un suceso cuando el experimento aleatorio es regular. La regla de Laplace afirma que la probabilidad de un suceso es igual al número de sucesos elementales que contiene dividido entre el número total de sucesos elementales del espacio muestral. Para operar se suele utilizar esta expresión.

posibles casos de nºA de favorables casos de nº P(A) =

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Ejemplo 8: Carmen tiene una bolsa con 5 caramelos: 1 de menta, 2 de limón y 2 de fresa. Si escoge un caramelo al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea de menta?¿Y de limón?¿Y de fresa?

Este es un experimento regular, porque Carmen tiene igual probabilidad de coger cualquiera de los 5 caramelos. Para poder aplicar la regla de Laplace, los sucesos elementales tienen que se equiprobables. Si aplicamos la regla de Laplace, tenemos que:

caramelos denºmenta de caramelos de nº P(menta) = = 2,0

51=

caramelos de nºlimón de caramelos de nº P(limón) = = 4,0

52=

caramelosde nºfresa de caramelos de nº P(fresa) = = 4,0

52=

Ejercicios 13. Si en una bolsa tenemos 4 bolas de diferentes colores: rojo, blanco, verde y

amarillo, calcula la probabilidad de :

a) “Sacar bola marrón”

b) “Sacar bola de algún color”

c) “Sacar bola verde”

14. Halla las probabilidades de estos sucesos. a) “Salir cara al lanzar una moneda”

b) “Obtener un 5 cuando juegas al parchís”

c) “Sacar un 2 en un dado con forma de tetraedro y cara numeradas del 1 al 4”.

15. De los siguientes experimentos, escribe cuáles son sus sucesos elementales. a) “Lanzar un dado”

b) “Lanzar una moneda”

c) “Observar cómo cae una chincheta, con lapunta hacia arriba o hacia abajo”

d) “Contestar al azar una pregunta con 4 posibles respuestas”

e) “Extraer una bola de una bolsa que tiene 2 bolas rojas y 3 azules”

f) “Lanzar un dado de 8 caras y una moneda”

¿Qué probabilidad le asignarías a cada uno de los sucesos?

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16. En una bolsa hay 5 bolas rojas, 10 verdes y 5 azules, y se extrae una bola, Calcula la probabilidad de los sucesos.

a) “Sacar bola roja”

b) “Sacar bola verde”

c) “Sacar bola azul”

17. En un aula hay 17 chicos y 19 chicas. Se elige una persona al azar. Determina la probabilidad de estos sucesos.

a) “Ser un chico”

b) “Ser una chica”

18. Se lanza un dado de 6 caras. Calcula la probabilidad de estos sucesos. a) A = “Salir un número par”

b) B = “Salir un número múltiplo de 3”

c) C = “Salir un número menor que 4”

19. En un dado se suprime la cara 6 y se añade otra cara 1. ¿Cuál es el espacio muestral? ¿Son los sucesos elementales equiprobables?¿Puedes calcular su probabilidad?

Frecuencia y probabilidad La probabilidad coincide con el número hacia el que se aproximan las frecuencias relativas de un suceso cuando repetimos el experimento aleatorio un número elevado de veces. Esa propiedad se conoce como ley de los grandes números. Esta propiedad es una herramienta muy útil para calcular probabilidades de manera experimental. Ejemplo 9:

Calcula la probabilidad de que, al alanzar una moneda, salga cara.

Sin aplicar la regla de Laplace, realizamos el experimento numerosas veces y contamos el número de caras que van saliendo.

Número de lanzamientos Número de caras (fi) Frec. Relativa (hi)

10 7 0,7

100 41 0,41

1.000 556 0,556

10.000 4.968 0,4968

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Observamos que las frecuencias relativas se aproximan al valor de la probabilidad que podríamos haber obtenido aplicando la regla de Laplace, esto es, a 0,5.

5,021

posibles casos de nº favorables casos de nº P(A) ===

Propiedades de la probabilidad.

• La probabilidad de un suceso no puede ser menor que 0 ni mayor que 1.

0 ≤ P(A) ≤ 1

• La probabilidad del suceso seguro es 1 y la probabilidad del suceso imposible es 0.

P(E) = 1 P(Ø) = 0

• Cuando dos sucesos son incompatibles, la probabilidad de su unión es la suma de sus probabilidades.

P(A U B) = P(A) + P(B)

• La probabilidad de cualquier suceso es igual a 1 menos la probabilidad de su contrario.

P(A) = 1 – P( A )

• Para dos sucesos cualesquiera, A y B, se verifica siempre que la probabilidad de la unión es igual a la suma de las probabilidades menos la probabilidad de la intersección.

P(A U B) = P(A) + P(B) - P(A B) I

Si A y B son sucesos incompatibles la probabilidad de su intersección es 0.

Ejemplo 10:

Consideramos los sucesos:

A = “Ser una persona morena” con P(A) = 0,6

B = “Tener los ojos marrones” con P(A) = 0,7

A I B = “Ser moreno y con ojos marrones” con P(A I B) = 0,42

Calcula la probabilidad de que, elegida una persona al azar:

a) No sea morena b) Sea morena o tenga ojos marrones

a) “No sea morena” = A

P( A ) = 1 – P(A) = 1 – 0,6 = 0,4

b) “Sea morena o tenga ojos marrones” = A B U

P(A B) = P(A) + P(B) - P(A B) = 0,6 + 0,7 –0,42 = 0,88 U I

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Ejercicios:

20. Se ha lanzado una moneda 75 veces obteniéndose 43 caras. ¿Cuál es la frecuencia relativa del suceso “Salir cruz”?

a) 7532 b) 32 c)

10032 d) 0,32

21. Una máquina hace arandelas para tornillos. Explica cómo calcularías la probabilidad de que, escogida una de las arandelas al azar, sea defectuosa.

22. E una bolsa hay bolas numeradas del 1 al 5. Se repite 5.000 veces el experimento de extraer una bola, se anota el resultado y, después, se devuelve a la bolsa. Las frecuencias obtenidas son:

Bola 1 2 3 4 5

1.200 800 700 1.300 1.000 fi

Calcula la probabilidad de que, al sacar una bola, se obtenga un múltiplo de 2.

23. Una urna contiene 4 bolas blancas, 1 roja y 5 negras. Se considera el experimento de sacar una bola al azar. Calcula las probabilidades de estos sucesos.

a) A = “Sacar bola blanca”

b) B = “Sacar bola roja”

c) C = “Sacar bola que no sea negra”

d) D = “Sacar bola que no sea roja”

e) E = “Sacar bola vede”

f) F = “Sacar bola blanca o negra”

g) G = “Sacar bola roja o negra”

24. Se lanzan dos dados y se suman los puntos obtenidos. Halla la probabilidad de que la suma:

a) Sea 3 b) Sea inferior a 11.

c) No sea 7. d) Sea 4 ó 5.

25. Si dos sucesos, A y B, verifican que la suma de sus probabilidades es igual a 1, son:

a) Compatibles c) Incompatibles

b) Contrarios d) No se puede saber

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Probabilidad condicionada. El cálculo de la probabilidad de un suceso B, cuando sabemos que ha ocurrido otro suceso A, se denomina probabilidad condicionada.

Se escribe P(B/A) y se lee “probabilidad de B condicionada a A”

Ejemplo 11

En una clase de 4º eso hay 8 chicos y 12 chicas. Si 5 chicos y 8 chicas lee el periódico y escogemos un estudiante al azar, calcula la probabilidad de que:

a) “Lea el periódico y sea chico”

b) “ No lea el periódico o sea chico”

c) “ Sea chica, sabiendo que lee el periódico”

d) “Lea el periódico, sabiendo que es chica” Como todos los alumnos tienen la misma probabilidad de ser escogidos, los sucesos elementales son equiprobables y podemos aplicar la regla de Laplace.

A = “Ser chica”

B = “Ser chico”

C = “Lee el periódico”

D = “No lee el periódico”

a) 25,0205

sestudiantedenº periódico elleen que chicos de nº B)P(C ===I

b) P(D) + P(B) - P(D B) = B)P(D =U I 6,0203

208

207

=−+

c) P(A/C) = 615,0138

leen que sestudiante de nº periódico elleen que chicas de nº ==

d) P(C/A) = 6,0128

chicasdenº periódico elleen que chicas de nº ==

Sucesos dependientes e independientes. Dos sucesos, A y B son independientes cuado que ocurra uno no influye en que ocurra el otro. En caso contrario, decimos que los sucesos son dependientes.

Dos sucesos, A y B, son independientes, si P(B/A) = P(B) y P(A/B) = P(A).

Regla del producto La regla del producto es una forma de calcular la probabilidad de la intersección de sucesos.

P(A I B) = P(A) · P(B/A) = P(B) · P(A/B)

Si dos sucesos A y B, son independientes, entonces P(A I B) = P(A) · P(B).

La regla del producto se puede utilizar para calcular el valor de la probabilidad condicionada.

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Ejemplo 12:

Extraemos 2 bolas de una bolsa en la que hay 12 bolas rojas y 8 azules. Si al sacar la primera la devolvemos, ¿cuál es la probabilidad de que la primera sea roja y la segunda sea azul?¿Y si no la devolvemos? CON DEVOLUCIÓN

P(A) P(B/A)

2012 Roja

2012 Roja

208 Azul

208

Azul 2012 Roja

208 Azul

P(A B) = P(A) · P(B/A) I

P(Roja Azul) = P(Roja) · P(Azul /Roja) = I 24,0208

2012

=⋅

SIN DEVOLUCIÓN

P(A) P(B/A)

1911 Roja

2012 Roja

198 Azul

208

Azul 1912 Roja

197 Azul

P(A B) = P(A) · P(B/A) I

179


25,0198

2012

=⋅P(Roja Azul) = P(Roja) · P(Azul /Roja) = I

Si devolvemos la bola, los sucesos “Obtener primera bola azul” y “Obtener segunda bola roja” son independientes. Y si no la devolvemos, son dependientes.

Ejercicios:

26. En una caja de bombones hay 5 bombones de chocolate blanco y 15 de chocolate negro. Si 2 bombones de chocolate blanco y 10 de chocolate negro tienen relleno de licor, y escogemos un bombón al azar, calcula la probabilidad de los sucesos.

a) “Sea de chocolate negro y esté relleno”

b) “No tenga relleno o sea de chocolate blanco”

c) “Sea de chocolate blanco, sabiendo que es relleno”

d) “Sea relleno, sabiendo que es de chocolate negro”

27. En una urna tenemos 2 bolas blancas y 2 azules. Si la primera bola que extraemos no se vuelve a introducir en la urna (sin reemplazamiento), calcula la probabilidad de obtener una bola azul y, después, una bola blanca.

28. Si el experimento anterior fuera con reemplazamiento, halla la probabilidad de obtener una bola azul y, después, una bola blanca.

29. Al extraer una bola de la urna (en la urna hay dos bolas rojas y tres azules) y anotar el color, se devuelve a la urna. Calcula la probabilidad de que, al extraer dos bolas, sean rojas.

30. En el ejercicios anterior, ¿son los sucesos dependientes o independientes?

31. Propón un experimento, y busca un ejemplo de sucesos independientes y otro de sucesos incompatibles.

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i.e.s. manuel losada

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