IDENTIFICATIONDES SYSTÈMESIDENTIFICATIONDES SYSTÈMES

Akram GhorayebAkram Ghorayeb

I. INTRODUCTION

1. DÉFINITIONS

SystèmeSystème

u1

up

y1

yq

Entréesou actions

Sortiesou réponses

• Système

Exemple (missile)

u = (u1, …, up)’ y = (y1, …, yq)’

1 x

21 1 y

32 2 z

43 3 x

54 4 y

6 z

y v

yu q v

yu q v;

yu q

yu q

y

u y

• Modèle entrée-sortie

q

v

Débits

Vitesse de translation

Vitesse de rotation

( , , ,..., , ,...) h y y y u u 0

Exemple (accéléromètre) y

mk

cu

Entrée: u = accélération du véhicule

Sortie: y = déplacement relatif de m

m(y u) ky cy y (c / m)y (k / m)y u (1)

(1) h(y, y, y,u) 0

avec h fonction linéaire

(1) est un modèle linéaire

Exemple (missile dans un plan vertical)

Entrée: u = (F, ) = force de propulsion

mgF

vR

i

jG

A

C

Sortie: y = (vx, vy, ) = vitesse et inclinaison

Résistance de l’air: R = (a.|vx|vx, b.|vy|vy)’ + e(e = effet du vent = perturbation)

Mouvement selon i

x x x xmv Fcos mgcos a | v | v e (2)

Mouvement selon j

y y y ymv Fsin mgsin b | v | v e (3)

Mouvement de rotation

y y yJ (AG)Fsin (CG)(b | v | v e ) (4)

Modèle de la forme:

h(y,y,y,u,e) = 0

1

2

3

h

h

h

h Non-linéaireperturbé

• Equations d’état d’un modèle

Elles sont de la forme

n p n n p n

q q n p q

, , , :

, , :

x = f(x,u) + w x u w f

y = g(x,u) + v y v g

x: vecteur d’état, y: sortie, u: entrée, w et v: perturbations

Exemple (missile dans un plan vertical)

Supposons que y = (on s’intéresse seulement à l’inclinaison)

En posant 1 x 2 y 3 4 1 2x v , x v , x , x , u F, u ,

le modèle (2), (3), (4) s’écrit sous la forme

x1 1 2 3 1 1

y2 1 2 3 2 2

3 4

y4 1 2 2 2

3

1 ex u cosu mgcos x a | x | x (2')

m me1

x u sin u mgsin x b | x | x (3')m m

x x

(CG)e1x (AG)u sin u (CG)b | x | x (4')

J Jy x

Le modèle est linéaire ssi f et g sont des applications linéaires

Dans ce cas,, : (n,n), : (n,p)

, : (q,n), : (q,p)

x = A.x + B.u + w A B

y = C.x + D.u + v C D

Exemple (accéléromètre)

y (c / m)y (k / m)y u (1) Equation entrée-sortie:

En posant 1 2x y, x y

(1) sera équivalente aux équations d’état:

1 1

2 2

1

2

x x0 1 0u

x xk / m c / m 1

xy 1 0 0 .u

x

BA

DC

2. LINÉARISATION

Soit k k0f : et , . x x Si x est voisin de x0

0

k

0 i 0ii 1 i

ff ( ) f ( ) (x x )

x

x x

x x

(5)

Si chaque variable d’un modèle reste voisine d’une valeur fixe, on peut linéariser ce modèle en appliquant (5) à chaque terme de ses équations.

Taylor d’ordre 1

ou0

k

ii 1 i

ff x

x

x x

avec 0 i i 0if f ( ) f ( ) et x x x x x

x x x xmv Fcos mgcos a | v | v e

y y y ymv Fsin mgsin b | v | v e

y y yJ (AG)Fsin (CG)(b | v | v e )

(2)

(3)

(4)

Modèle:

En régime stationnaire, les dérivées sont nulles. D’où, dans l’absence des perturbations (pas de vent), (2), (3) et (4) impliquent

Exemple (missile dans un plan vertical)

On désire un vol stationnaire

d’inclinaison 0 >0 et de vitesse selon i vx0 > 0

Déterminons d’abord la propulsion F0 et son angle 0 correspondants

0

0

0

0

0

0 0 0 x x0

0 0 0 y y0

0 0 y y0

0y y0

00

x x0 0

00

0 F cos mgcos a | v | v (6)

0 F sin mgsin b | v | v (7)

0 (AG)F sin (CG)b | v | v (8)

(AG)mgsin(7) et (8) | v | v 0

b(AC)

mgsin CG / AC(6) et (7) Arctg 0,

a | v | v mgcos

(CG)mgsin(8) F

(AC)s

0

0.in

(vx0, vy0, 0, F0, 0) = point de fonctionnement

A cause des perturbations, la réponse y s’écarte de y0 = (vx0, vy0, 0)’

Un régulateur écarte l’entrée de (F0, 0) de sorte à ramener y vers y0

Ainsi, (vx, vy, , F, ) fluctue autour de (vx0, vy0, 0, F0, 0) et les dérivées des variables fluctuent autour de 0.

vx et vy étant voisins de vx0 et vy0, sont positives d’où

|vx|vx = vx2 et |vy|vy = vy

2

En appliquant (5) à chaque terme des équations (2), (3) et (4), on obtient:

0

0

0

x 0 0 0 0 x x x

y 0 0 0 0 y y y

0 0 0 y y y

mv (cos )F (F sin ) (mgsin ) (2av )v e

mv (sin )F (F cos ) (mgcos ) (2bv )v e

J (AGsin )F (AG.F cos ) (2CG.bv )v (CG).e

Ce sont des équations linéaires reliant les fluctuations des entrées aux fluctuations des sorties

• Propriété essentielle des systèmes linéaires

La réponse y à une combinaison linéaire d’entrées u1, …, uk est égale à la même combinaison linéaire des réponses y1, …, yk à ces entrées prises séparément.

Cette propriété n’est pas vraies pour des systèmes non linéaires.

3. DISCRETISATION

Pour une période T suffisamment petite,

2

3

z(t) z(t T)z(t)

Tz(t) z(t T) z(t) 2z(t T) z(t 2T)

z(t)T T

z(t) 3z(t T) 3z(t 2T) z(t 3T)z(t) ,...

T

La discrétisation d’un modèle entrée-sortie ou d’état s’obtient en remplaçant les dérivées par les approximations précédentes.

Dans la suite on choisit T comme l’unité du temps (T = 1).

Exemple

Modèle continu : 1 0 1 0y a .y a .y b .u b .u

(9)

(10)

(11)

Pour T = 1, (9) et (10) impliquent

1 0

1 0

y(t) 2y(t 1) y(t 2) a [y(t) y(t 1)] a y(t)

= b [u(t) u(t 1)] b u(t)

D’où le modèle discrétisé

1 2 0 1

T

1 2 0 1

y(t) y(t 1) y(t 2) u(t) u(t 1)

ou y(t) . (t)

avec (t) [y(t 1), y(t 2),u(t),u(t 1)]', [ , , , ]'

θ

θ

(12)

• Forme générale d’un modèle discrétisé 1/1

y(t) = g[(t), ] + v(t)

ut = [u(0), …, u(t)]’, yt = [y(0), …, y(t)]’

et = [1, …, m]’ un vecteur de paramètres

En général, pour un système 1/1 (à une entrée et une sortie), posons

avec (t) = (ut, yt-1) k et g(, ) : k

v(t) : effet aléatoire des perturbations sur la sortie

ut

yt-1

(ut, yt-1)

1

k

(t)

(t)

g[, ]

y(t)v(t)

Espace des données Espace du régresseur Espace de la sortie

y(t)

car si [v(t)] = m 0, on fait : v(t) v(t) – m et g(, ) g(, ) + m

=> [y(t)] = g[(t), ] = y(t) Prédiction de y(t)

On admettra que [v(t)] = 0 ( : espérance mathématique)

4. OBJECTIF DE L’IDENTIFICATION

• Critique de la modélisation analytique

Avantage : - Explique physiquement le fonctionnement du système.

Inconvénients :- Nécessite des hypothèses simplificatrices.- Le système peut être physiquement complexe- Certaines lois physiques régissant le fonctionnement du système peuvent être mal connues.

Dans tous les cas l’expérience est nécessaire pour valider le modèle et déterminer ses paramètres.

• Cas d’un système p/q

En posant ut = [u1(0), …, up(0), …, u1(t), …, up(t)]’

j = [j1, …, jmj]’ et j(t) = j(ut,yt-1) k

on a : yj(t) = gj[j(t), j] + vj(t) j = 1, …, q

q équations de même forme que 1/1

yt = [y1(0), …, yq(0), …, y1(t), …, yq(t)]’

L’identification d’un système est la détermination d’un modèle directement à partir de l’expérience sans le recours obligatoire à une analyse physique.

Il s’agit de déterminer des fonctions(t) = (ut, yt-1) et g(, ) telles que

t ˆt, {u(0),...,u(t)},on a : [y(t)] g[ (t), ] y(t) u θE[

où y(t) = la sortie mesurée à l’instant t

• Plan du coursI. Systèmes linéaires - Fonction de transfert - Réponse à un processus aléatoire - Identification non paramétrique - Modèles linéaires - Observation de l’état (filtre de Kalman)II. Identification paramétrique des systèmes linéaires - Moindres carrés récursifs - Méthodes récursives d’identification :

• de la prédiction de l’erreur• du maximum de vraisemblance• de la variable instrumentale

- Validation du modèleIII. Identification des systèmes non linéaires - Par gradient ajusté - Par ondelettes - Par logique flou

(k n)tZh f (t n)z f (k)zt n k 0

nZh z .Zf

II. SYSTEMES LINEAIRES

1. FONCTION DE TRANSFERT

• Transformée-z d’une fonction Pour f(t), t = 0, 1, 2,…

t 0

tZf (z) f (t)z z C,

Soit0 si t n

h(t)f (t n) si t n

n t

f(t) h(t)

Syst.0 0

g(t)t• Réponse impulsionnelle = la réponse g(t) à (t) d’un syst. initialement inerte

Système stable si tt 0

g(t) g(t) 0

• Stabilité

t1

t 0Or G(p) g(t) p syst. stable | p | 1 p

• Fonction de transfert (FT)

t t

t 0 tG(z) Zg(z) g(t)z g(t)z

Pôle de G : est un point p de tel que G(p) =

Car, pour t < 0,g(t) = 0.

• Réponse d’un syst. linéaire à une entrée quelconque

ty(t) g *u g( ).u(t )

tt-1t-2t-3

…

g(1)u(t-1)

g(2)u(t-2)

(* = produit de convolution)

on a par superposition (cf. fig)

Remarque: comme pour > t, u(t – ) = 0, y(t) g( ).u(t )

Pour u(t), t = 0, 1, 2, …., (u(t) = 0 si t < 0),

t (t )

t 0 t 0Zy g( )u(t ) .z u(t )z g( )z

Donc Zy = G(z).Zu

Pour u(t) = ejt

j (t ) j j t j jy(t) g( ).e g( ).e e G(e ).e

j t j te epour u(t) Asin t A

2jy(t) A | G(e ) | sin( t ),

jarg[G(e )].

jG(e ) = Réponse fréquentielle.= fonction de Bode

• Réponse fréquentielle

A|G(ej)|

At

- u

y

• Equivalence entre équation et FT d’un système linéaire

Forme de l’équation :n m

i ji 0 j 0

a y(t i) b u(t j)

Par transformée z :n m

i ji j

i 0 j 0a z Zy b z Zu

1 m0 1 m

1 n0 1 n

Zy b b z b .zG(z)

Zu a a z a z

0a 0

Si a0 = 0 et b0 0, y(t – 1) serait affecté par u(t). Impossible (principe de causalité)

>> n = [1 0 2];>> d = [1 0.5 0.6];>> sys = tf(n,d,1,'variable','z^-1') Transfer function: 1 + 2 z^-2-----------------------1 + 0.5 z^-1 + 0.6 z^-2

>> u = 1 - exp(-2*t);>> y = lsim(sys,u);>> plot(t,[u', y]);

Sampling time: 1

>> impulse (sys)>> step(sys)>> bode(sys)

• Exemple sur Matlab

>> t = 1:20;

2. REPONSE A UN PROCESSUS ALEATOIRE

• Rappels

Déf. 1 :[u() processus aléatoire] [ t, u(t) est une variable aléatoire].

Soit ft1,…tn() la densité de probabilité de [u(t1),…,u(tn)].

Déf. 2 : [u() est stationnaire] [ft1,…tn() indép. de l’origine du temps]

1 2 1 2

1 2 1 2 1 2 1 2

2

t et t , t tq | t t |

[u(t)] x.f (x)dx m

Cov[u(t ),u(t )] (x m)(x m)f (x ,x )dx dx R( )

Var[u(t)] R(0 puissa) : [ de u(c ]n e )

E

Déf. 3

Densité spectrale : j( ) R( ).e d

[R()] : Tf. de Fourier

j1R( ) ( ).e d

2

1[()]

Pour u() échantillonné de période T,

j(n T)( ) R(nT).en

/T j(k T)TR(kT) ( ).e .d2 /T

Déf. 4

[u() est blanc] [u() stationnaire et ft1,…,tn () = [f()]n]

R() = 2.() et 2( )

L

L L

L2 2 2

T L

L

L L

1m [u(t)] lim . u(t)dt p.s

2L

1{[u(t) m] } lim . [u(t) m] dt p.s,

2L

R( ) {[u(t) m][u(t ) m]}

1 lim . [u(t) m][u(t ) m]dt p.s.

2L

E[

E

E

Déf. 5

[u() est ergodique] [u() stat et ] ps L

L L

1{g[u(t)]} lim g[u(t)]dt

2L E

Pour u() échantillonné, les intégrales deviennent des sommes.

N1E[e(t)] e(i) 0,Ni 0

0 si 0N1R( ) E[e(t).e(t )] e(i).e(i )2N si 0i 0

j 2 e e( ) R( ).e R(0) , .e 2 2

Pour bruit blanc échantillonne (T=1 et t entier relatif)

y(t) u(t) G(z)

• Propriétés de la réponse à une entrée stochastique

y(t) g( ).u(t )

1) u(t) stationnaire => y(t) stationnaire

car y(t k) g( ).u(t k )0

2) u(t) ergodique => y(t) ergodique

car

a)

b) Par un calcul semblable, on démontre que

y y y y

p.s 1E{[y(t) m ].[y(t )] m ]} [y(t) m ].[y(t ) m ]N t 0

Comme la distribution de probabilité de u(t + k – n) est égale à celle de u(t – n), les distributions de y(t + k) et de y(t) sont égales.

y

p.s N1E[y(t)] E[u(n)].g(t n) lim u(t) .g(t n)NNn n t N

N N1 1 lim u(t).g(t n) lim y(t) mN NN Nnt N t N

22 1

u 2 12 1

2y

n

siR ( )

0 si

R ( ) g(n).g(n )

3)

car m E[y(t)] E[u(t )]g( ) E[u(t)]. g( ) m G(1).y ut 0 t 0

my = G(1).mu

4)

R ( ) E[y(t).y(t )]y

g( ) E[u(t ).u(t )].g( )1 1 2 21 2

g( ) R ( ).g( ).1 u 2 1 21 2

Dans le cas où u est blanc,

Autocorrélation (on supposera que mu = 0 (=> my = 0))

1jz e

2j

( )y

j jj n 1 2R (n).e g( )e g( )eu 1 2n 1 2

Donc ( ) ( ) G(z).G(z )y u

( ). G(e )u

j( ) R ( ).ey y

jg( ) R ( ).g( ). e1 u 2 1 21 2

En posant – 2 + 1 = n, on obtient:

(1)

5) Spectre de y

Si u est blanc, uMais

y y1 jR ( ) ( ).e d

2

En posant z = ej, on a d = (z 1/j)dz et tenant compte de (1), on a :

z

1C1

21 1R ( ) . G(z).G(z ).z dzy 2 j C1

[résidus aux pôles de G(z).z-1]

Si G(z) est stable, les pôles de G(z-1) sont extérieurs à C1

=

Si u est blanc,

22

u yusi

R ( ) R ( ) .g( )0 si

yu

u

R ( ) E[y(t).u(t )]

g( )E[u(t ).u(t )] g( )R ( )

6) Corrélation entre u et y

7) Spectre couplé entre y et u

j jyu yu u

j n ju

n

( ) R ( ).e g( )R ( ) .e

R (n).e g( ).e (en posant + =n)

Doncj

yu u( ) ( ).G(e )

et si u est blanc, 2 j

yu ( ) .G(e )

• Modélisation d’une perturbation

Si b(t) est un signal ergodique (par exple une perturbation), on peut le voir comme la réponse à un bruit blanc d’un système linéaire

1 n1 n

b 1 n1 n

1 c z c z

1 d z d zG (z)

Noter que les coefficients c0 et d0 de zn et zm dans Gb(z) sont choisis égaux à 1 puisque le choix de 2 dans (1) est arbitraire. En désignant par i et j les pôles et les zeros de Gb(z), on a:

vérifiant j2 1

b b b z e( ) [G (z).G (z )]

(1)

1j j j

b1 2i i

(z )(z ) 1 ( ), z e(z )(z )

Comme ||i|| >1 <=> ||i-1|| <1 => on peut toujours choisir pour

Gb(z) des pôles stables (à l’intérieur du cercle unité). Idem pour les zeros j.

1 .Zb G(z).Ze Ze cz Ze b(t) e(t) c.e(t 1)

1)

Rb(0) = 2.(1+c2), Rb(1) = Rb(-1) = 2.c, et Rb() = 0 0 et 1

Rb() et b() ?

a) R g n g nbn

( ) . ( ). ( )

2

0 321

c/(1+c2)1R’b

-3 -2 -1

c/(1+c2)

R’b() = Rb()/Rb(0)

• Exemples

1z cG(z) 1 c.z , c 0.

z

1 c 0

2c c 0

0 0 0

g(n)

1

c

0

1 c 0

= -1

= 1

= 0

2 j 2 2b

j( ) (1 c.e ).(1 c.e ) (1 c 2c.cos ) b)

’b() = b()/e() = b()/2

2

b j j

2

2

( )(1 a.e ).(1 a.e )

(1 a 2a.cos )

1/(1-a)2

0

1/(1+a)2

’b

+ -

2) , 0 a 1z 1G(z) z a 11 az

a)

R sz

z a a z

a

ab

p C( ) Re

( )( . ).( )

2 221 11

b) 0

Rb(-) = Rb()et

Vérification:

2R ( ) g(n)g(n ). Orb n 0

1 1 2 2 3 3G (z) 1 a.z a .z a .zb 11 a.z

ng(n) ( a)2 2n 2 2R ( ) .( a) a .( a) /(1 a ).

b

a4

-a3

a2

-a

1

R’b

a4

-a3

a2

-a

3. IDENTIFICATION NON PARAMETRIQUE

u(t) & G(z)Analyse

y(t), R(), Exemplesprécédents

u(t) & y(t) G(z)Identification La suite du

cours

On sait que pour un système linéaire, G(z) est de la forme

1 k0 1 k

1 n0 1 n

Zy z .zG(z)

Zu z z

Si 0 = 1 = … = r-1 = 0, r < k, on peut écrire:

r 1 m0 1 m

1 n1 n

Zy z [b b z b .z ]G(z)

Zu 1 a z a z

Dans ce cas, le système a un retard pur de r périodes.

0 0

Identification paramétrique : détermination des ai, bj, n, m et r

(Chapitre suivant)

Identification non paramétrique : détermination de g(t) et de G(ej)

Soit y(t) g(k)u(t k) v(t), t 0,1, 2, ...k 0

l’équation générale d’un système linéaire d’entrée u et de sortie y perturbée par le signal v.

• Réponse impulsionnelle : g(t)

Syst.

v

yu +

+

uy

k 0

R ( ) [y(t).u(t )]

g(k) [u(t k).u(t )] [v(t).u(t )]

E

E E

On a :

Or [u non corrélé avec v] [v(t).u(t – )] = 0

2 si k[u(t k).u(t )] ,0 si k

Eet si [u blanc]

2

12R ( ) g( ) g( ) R ( )uy uy Donc

N

uyt 0

1R ( ) y(t)u(t )

N Numériquement : N grand

Si l’entrée u(t) n’est pas un bruit blanc, [u coloré],

• on détermine un filtre, dit de blanchiment, ayant la forme

1 1 2 r1 2 rF(z ) 1 f .z f .z .... f .z

tel que 1F(z ).Zu Ze e = bruit blanc

c.à.d vérifiant

u(t) f .u(t 1) ... f .u(t r) e(t)r1

Les paramètres fi de ce processus peuvent être déterminés par la méthode des moindres carrés qui sera donnée au chapitre suivant.

• En multipliant les deux membres de l’équation du système, Zy = G(z).Zu + Zv, par F(z-1), on obtient:

F(z-1).Zy = G(z). F(z-1).Zu + F(z-1).Zv

ou f f fk 0

y (t) g(k)u (t k) v (t)

G(z)

F(z-1) F(z-1)

u

v

y

uf yf

uf, yf et vf sont les filtrages de u, y, et v par F avec uf blanc.

N

f f2t 0

1g( ) y (t).u (t )

.N

• Réponse fréquentielle

0k 0

y (t) g(k)u(t k).

L’équation du système peut s’écrire sous la forme

0y(t) y (t) v(t)

avec v(t) une perturbation et

Spectre de y.

0 0y y v y y vR ( ) R ( ) R ( ) ( ) ( ) ( )

Or, 0

2jy u( ) G(e ) . ( )

2jy u v( ) G(e ) . ( ) ( )

Couplage entre u et y

0yu y u vuR ( ) R ( ) R ( )

[v et u non corrélés] [Rvu() = 0

0

jyu y u u( ) ( ) G(e ). ( )

(1)

(2)

(1) et (2) 2

yuyujv y

u u

( )( )G(e ) et ( ) ( )

( ) ( )

(y0 ind de v)

Calcul numérique de yu(), y() et u().

yu yuj( ) R ( ).e

Quand

jyu

d e

d

,

Meilleure résolution

N

yut

1R ( ) y(t)u(t )

(N )

N

t

t

Val de y

Val de u

Mais

Si grand estimation de Ryu moins précise

Remède : on donne moins d’importance (un poids plus faible) aux grandes valeurs de

Fenêtre de Hamming

j( ) R ( ).w ( ).eyu yu

1avec w ( ) 1 cos

2

- +

1w

(formules semblables pour u et y)

j v

u

( )Var[| G(e ) |] 0.7. .

N ( )

Calcul de la variance de G(ejw)

Remarque :généralement, v()/u() avec Var[G(ej)] avec

• Exemple de MATLAB

Taper « iddemo » pour apprendre à utiliser le Toolbox« system identification ».

>> load dryer2>> dry = iddata(y2, u2, 0.08);>> ze = dry(100 : 300);>> ze = dtrend(ze);>> plot(ze)

dryer2 = tableau de y2 et u2

Données pour identificationToutes les données, 0.08 = T

Pour supprimer les moyennes

>> impulse(ze, 'sd', 3, 'fill') Estimation de la rép. impul.

>> step(ze)

>> gs = spa(ze);

>> bode(gs)

Réponse à un échelon unité

Analyse spectrale de ze

Amplitude et phase de G(ej)

4. MODELES LINEAIRES

• Modèles entrée-sortie

y0 = réponse propre y = réponse mesuréev = perturbation e = bruit blanc (bb)

Zy G(z).Zu H(z).Ze

En posant

bb

ff

cc

dd

n10 1 n

n11 n

n11 n

n11 n

b b z ... b zB(z)G(z)

F(z) 1 f z ... f z

1 c z ... c zC(z)H(z)

D(z) 1 d z ... d z

Forme générale d’une FT

Les racines de C et de D sont de modules < 1 (stables)

(1)

G(z)

H(z)

u

e

vyy0

+

+

Système

Modèle de la perturbation

B(z) C(z)(1) Zy Zu Ze

F(z) D(z) Modèle Box-Jenkens (B-J)

Si F et D ont des racines communes, on pose :

F(z) = A(z).F(z) et D(z) = A(z).D(z)

et B-J B(z) C(z)

A(z)Zy Zu ZeF(z) D(z)

La forme la plus générale

• Modèles particuliers

1) Si F(z) = D(z) = 1, on a :

aa

n11 navec A(z) 1 a z ... a z

A(z)Zy B(z)Zu C(z)Ze

ou, en forme temporelle,

(3)

a

c

b

1 n a

1 n c

0 1 n b

y(t) a y(t 1) ... a y(t n )

c e(t 1) ... c e(t n )

b u(t) b u(t 1) ... b u(t n )

e(t)

Autorégressif (AR)

Moyenne mobile (MA)

Exogène (X)

bb

Modèle ARMAXB(z) C(z)

Zy .Zu .ZeA(z) A(z)

(3)

(2)

(2)

2) Si F(z) = D(z) = C(z) = 1, on a :

A(z)Zy B(z)Zu Ze

ou, en temporelle,

a

b

1 n a

0 1 n b

y(t) a y(t 1) ... a y(t n )

b u(t) b u(t 1) ... b u(t n )

e(t)

Autorégressif (AR)

Exogène (X)

bb

(4)

B(z) 1Zy .Zu .Ze

A(z) A(z) (4) Modèle ARX

3) Si F(z) = D(z) = 1 et C(z) = A(z), on a :

e e

A(z)Zy B(z).Zu A(z).Ze (5)

ou A(z)Zy B(z).Zu avec y y e

ou, en temporelle,

a

b

e 1 e n e a

0 1 n b

y (t) a y (t 1) ... a y (t n )

b u(t) b u(t 1) ... b u(t n )

Sortie erronée

(5) B(z)

Zy .Zu ZeA(z)

Modèle OE(output error)

(2)

(2)

• Modèle d’état discrétisé

1 ,

,

x = A .x + B.u + w

y = C.x + D.u + v

En remplaçant dans

par x(t 1) x(t) on obtient : x

1(t 1) . (t) . (t) (t) avec

(t) . (t) . (t) (t)

x A x Β u w A I A

y C x D u v

5. OBSERVATION DE L’ETAT FILTRE DE KALMAN

n q pet , et , x w y v uR R R

On admet que

[w(t)] = 0 et [w(t).wT(t+)] = ().R1

R1: matrice de corrélation (n, n) entre les composantes de w.

[v(t)] = 0 et [v(t).vT(t+)] = ().R2

[w(t).vT(t+)] = ().R12

R2: matrice de corrélation (q, q) entre les composantes de v.

R12 : matrice de corrélation (n, q) entre w et v.

Forme de l’estimateur de x:

x (t+1) = F(t). x (t) + G(t).u(t) + K(t).y(t)

F, G, K sont des matrices à déterminer. Pour cela on pose

(t) = x(t) x (t)

et on minimise

J(t+1) = [T(t+1).(t+1)]

par rapport aux éléments de F, G et K. Or,

T T T

ij ij ij ij

ˆ ˆ ˆJ(t 1) (t 1) (t 1) (t 1)ˆ ˆ2 (t 1). . (t 1) (t 1).

f f f f

x x xx x xE

TT

ij jiij ij

ˆ ˆ(t 1) (t 1)ˆ ˆ1 . (t) ou (t). 1

f f

x x

( ) x x ( )Mais

car dF/dfij = (1ij)

J(t+1) = [T(t+1).(t+1)]  = {[xT(t+1) T(t+1)]. [x(t+1) (t+1)]} = [ ||x(t+1)||2 2.xT(t+1). (t+1) + T(t+1). (t+1)].

x x

xx x

P1(t) = [(t).T(t)]

K(t) = [A.P1(t).CT + R12].[C.P1(t).C

T + R2]-1

P1(t+1) = A.P1(t).AT + R1 K(t).[C.P1(t).A

T + R12T].

Maintenant, en posant:

On démontre que

avec

T T Tij ji ij

ij

T Tij ij

Tij

i j

J(t 1)ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ[ 2 (t 1). 1 . (t) (t). 1 . (t 1) (t 1). 1 . (t)],

f

ˆ ˆ ˆ[ 2 (t 1). 1 . (t) 2 (t 1). 1 . (t)],

ˆ2. [ (t 1). 1 . (t)],

ˆ2. [ (t 1).x (t)] 0

x ( ) x x ( ) x x ( ) x

x ( ) x x ( ) x

ε ( ) x

E

E

E

E

[(t+1). T(t)] = 0. [(t+1).u T(t)] = 0,

[(t+1).y T(t)] = 0

Equations d’orthogonalité

x

(t+1) = A. (t) + B.u(t) + K(t).[y(t) - C. ] x x x

Matrice de corrélation de l’erreur (t)

Equations de Ricatti

3 équations matricielles à 3 inconnues F, G et K