Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Υπερυπολογισιμότητα στην ανάλυση

Απόστολος Συρόπουλος1113578 Κυριάκος Παπαδόπουλος1113579

1113578Ελληνική ομάδα μοριακής υπολογισιμότητας Ξάνθη

1113579University of Birmingham England

12ο Πανελλήνιο Συνέδριο Μαθηματικής Ανάλυσης

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Περίγραμμα παρουσίασης

1 Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα της υπολογισιμότητας

2 Yπερ-υπολογισιμότητα

3 Mηχανές TAE

4 Mηχανές Type 2

5 Mηχανές Type 2-TAE

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Η έννοια της υπολογισιμότητας

Η εδραιωμένη άποψη είναι ότι ένας φυσικός αριθμός ή μια

συνάρτηση 120593 ∶ ℕ119899 rarr ℕ119898 119899119898 isin ℕ είναι υπολογίσιμη αν

υπάρχει μια μηχανή Turing που μπορεί να την υπολογίσει

Κάθε άλλη περιγραφή της έννοιας του υπολογίσιμου

φαίνεται να είναι ισοδύναμη με την προηγούμενη

Αναδρομικές συναρτήσεις ένας εναλλακτικός τρόπος ορισμού

της έννοιας του υπολογίσιμου αριθμού

Αίτημα των Church-Turing μια συνάρτηση φυσικών αριθμών

ή ένας φυσικός αριθμός είναι υπολογίσιμηος αν και μόνο αν

είναι αναδρομικήός

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Η έννοια της υπολογισιμότητας

Η εδραιωμένη άποψη είναι ότι ένας φυσικός αριθμός ή μια

συνάρτηση 120593 ∶ ℕ119899 rarr ℕ119898 119899119898 isin ℕ είναι υπολογίσιμη αν

υπάρχει μια μηχανή Turing που μπορεί να την υπολογίσει

Κάθε άλλη περιγραφή της έννοιας του υπολογίσιμου

φαίνεται να είναι ισοδύναμη με την προηγούμενη

Αναδρομικές συναρτήσεις ένας εναλλακτικός τρόπος ορισμού

της έννοιας του υπολογίσιμου αριθμού

Αίτημα των Church-Turing μια συνάρτηση φυσικών αριθμών

ή ένας φυσικός αριθμός είναι υπολογίσιμηος αν και μόνο αν

είναι αναδρομικήός

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Η έννοια της υπολογισιμότητας

Η εδραιωμένη άποψη είναι ότι ένας φυσικός αριθμός ή μια

συνάρτηση 120593 ∶ ℕ119899 rarr ℕ119898 119899119898 isin ℕ είναι υπολογίσιμη αν

υπάρχει μια μηχανή Turing που μπορεί να την υπολογίσει

Κάθε άλλη περιγραφή της έννοιας του υπολογίσιμου

φαίνεται να είναι ισοδύναμη με την προηγούμενη

Αναδρομικές συναρτήσεις ένας εναλλακτικός τρόπος ορισμού

της έννοιας του υπολογίσιμου αριθμού

Αίτημα των Church-Turing μια συνάρτηση φυσικών αριθμών

ή ένας φυσικός αριθμός είναι υπολογίσιμηος αν και μόνο αν

είναι αναδρομικήός

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Η έννοια της υπολογισιμότητας

Η εδραιωμένη άποψη είναι ότι ένας φυσικός αριθμός ή μια

συνάρτηση 120593 ∶ ℕ119899 rarr ℕ119898 119899119898 isin ℕ είναι υπολογίσιμη αν

υπάρχει μια μηχανή Turing που μπορεί να την υπολογίσει

Κάθε άλλη περιγραφή της έννοιας του υπολογίσιμου

φαίνεται να είναι ισοδύναμη με την προηγούμενη

Αναδρομικές συναρτήσεις ένας εναλλακτικός τρόπος ορισμού

της έννοιας του υπολογίσιμου αριθμού

Αίτημα των Church-Turing μια συνάρτηση φυσικών αριθμών

ή ένας φυσικός αριθμός είναι υπολογίσιμηος αν και μόνο αν

είναι αναδρομικήός

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Σκοποί της υπολογίσιμης ανάλυσης

laquoΟρισμόςraquo της έννοιας του υπολογίσιμου πραγματικού

αριθμού της υπολογίσιμης πραγματικής συναρτησης κά

Ανακάλυψηαποκάλυψη των ορίων του τι μπορεί να

υπολογισθεί

Ισχυροποίηση των θεμελίων της αριθμητικής ανάλυσης

Επέκταση της θεωρίας πολυπλοκότητας ώστε να

περιλαμβάνει και το ℝ

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Σκοποί της υπολογίσιμης ανάλυσης

laquoΟρισμόςraquo της έννοιας του υπολογίσιμου πραγματικού

αριθμού της υπολογίσιμης πραγματικής συναρτησης κά

Ανακάλυψηαποκάλυψη των ορίων του τι μπορεί να

υπολογισθεί

Ισχυροποίηση των θεμελίων της αριθμητικής ανάλυσης

Επέκταση της θεωρίας πολυπλοκότητας ώστε να

περιλαμβάνει και το ℝ

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Σκοποί της υπολογίσιμης ανάλυσης

laquoΟρισμόςraquo της έννοιας του υπολογίσιμου πραγματικού

αριθμού της υπολογίσιμης πραγματικής συναρτησης κά

Ανακάλυψηαποκάλυψη των ορίων του τι μπορεί να

υπολογισθεί

Ισχυροποίηση των θεμελίων της αριθμητικής ανάλυσης

Επέκταση της θεωρίας πολυπλοκότητας ώστε να

περιλαμβάνει και το ℝ

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Σκοποί της υπολογίσιμης ανάλυσης

laquoΟρισμόςraquo της έννοιας του υπολογίσιμου πραγματικού

αριθμού της υπολογίσιμης πραγματικής συναρτησης κά

Ανακάλυψηαποκάλυψη των ορίων του τι μπορεί να

υπολογισθεί

Ισχυροποίηση των θεμελίων της αριθμητικής ανάλυσης

Επέκταση της θεωρίας πολυπλοκότητας ώστε να

περιλαμβάνει και το ℝ

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Σκοποί της υπολογίσιμης ανάλυσης

laquoΟρισμόςraquo της έννοιας του υπολογίσιμου πραγματικού

αριθμού της υπολογίσιμης πραγματικής συναρτησης κά

Ανακάλυψηαποκάλυψη των ορίων του τι μπορεί να

υπολογισθεί

Ισχυροποίηση των θεμελίων της αριθμητικής ανάλυσης

Επέκταση της θεωρίας πολυπλοκότητας ώστε να

περιλαμβάνει και το ℝ

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μοντέλα υπολογίσιμης ανάλυσης

Alan Turing ένας αριθμός 119909 isin [0 1] είναι υπολογίσιμος ανυπάρχει μια υπολογίσιμη συνάρτηση 119891 ∶ ℕ rarr 0 1 hellip 9τέτοια ώστε 119909 = sum119894isinℕ 119891(119896) sdot 10minus119896Ο χαρακτηρισμός του Andrzej Grzegorczyk και η θεωρία

πολυπλοκότητας στο ℝ του Ker-I Ko

Θεωρία υπολογισιμότητας των Mariam B Pour-El και

Jonathan I Richards

Μηχανές BSS των Lenore Blum Michael Shub και Steve

Smale

Type 2 theory of effectivity του Klaus Weihrauch

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μοντέλα υπολογίσιμης ανάλυσης

Alan Turing ένας αριθμός 119909 isin [0 1] είναι υπολογίσιμος ανυπάρχει μια υπολογίσιμη συνάρτηση 119891 ∶ ℕ rarr 0 1 hellip 9τέτοια ώστε 119909 = sum119894isinℕ 119891(119896) sdot 10minus119896

Ο χαρακτηρισμός του Andrzej Grzegorczyk και η θεωρία

πολυπλοκότητας στο ℝ του Ker-I Ko

Θεωρία υπολογισιμότητας των Mariam B Pour-El και

Jonathan I Richards

Μηχανές BSS των Lenore Blum Michael Shub και Steve

Smale

Type 2 theory of effectivity του Klaus Weihrauch

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μοντέλα υπολογίσιμης ανάλυσης

Alan Turing ένας αριθμός 119909 isin [0 1] είναι υπολογίσιμος ανυπάρχει μια υπολογίσιμη συνάρτηση 119891 ∶ ℕ rarr 0 1 hellip 9τέτοια ώστε 119909 = sum119894isinℕ 119891(119896) sdot 10minus119896Ο χαρακτηρισμός του Andrzej Grzegorczyk και η θεωρία

πολυπλοκότητας στο ℝ του Ker-I Ko

Θεωρία υπολογισιμότητας των Mariam B Pour-El και

Jonathan I Richards

Μηχανές BSS των Lenore Blum Michael Shub και Steve

Smale

Type 2 theory of effectivity του Klaus Weihrauch

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μοντέλα υπολογίσιμης ανάλυσης

Alan Turing ένας αριθμός 119909 isin [0 1] είναι υπολογίσιμος ανυπάρχει μια υπολογίσιμη συνάρτηση 119891 ∶ ℕ rarr 0 1 hellip 9τέτοια ώστε 119909 = sum119894isinℕ 119891(119896) sdot 10minus119896Ο χαρακτηρισμός του Andrzej Grzegorczyk και η θεωρία

πολυπλοκότητας στο ℝ του Ker-I Ko

Θεωρία υπολογισιμότητας των Mariam B Pour-El και

Jonathan I Richards

Μηχανές BSS των Lenore Blum Michael Shub και Steve

Smale

Type 2 theory of effectivity του Klaus Weihrauch

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μοντέλα υπολογίσιμης ανάλυσης

Alan Turing ένας αριθμός 119909 isin [0 1] είναι υπολογίσιμος ανυπάρχει μια υπολογίσιμη συνάρτηση 119891 ∶ ℕ rarr 0 1 hellip 9τέτοια ώστε 119909 = sum119894isinℕ 119891(119896) sdot 10minus119896Ο χαρακτηρισμός του Andrzej Grzegorczyk και η θεωρία

πολυπλοκότητας στο ℝ του Ker-I Ko

Θεωρία υπολογισιμότητας των Mariam B Pour-El και

Jonathan I Richards

Μηχανές BSS των Lenore Blum Michael Shub και Steve

Smale

Type 2 theory of effectivity του Klaus Weihrauch

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μοντέλα υπολογίσιμης ανάλυσης

Alan Turing ένας αριθμός 119909 isin [0 1] είναι υπολογίσιμος ανυπάρχει μια υπολογίσιμη συνάρτηση 119891 ∶ ℕ rarr 0 1 hellip 9τέτοια ώστε 119909 = sum119894isinℕ 119891(119896) sdot 10minus119896Ο χαρακτηρισμός του Andrzej Grzegorczyk και η θεωρία

πολυπλοκότητας στο ℝ του Ker-I Ko

Θεωρία υπολογισιμότητας των Mariam B Pour-El και

Jonathan I Richards

Μηχανές BSS των Lenore Blum Michael Shub και Steve

Smale

Type 2 theory of effectivity του Klaus Weihrauch

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Τί είναι η υπερ-υπολογισιμότητα

Το αίτημα των Church-Turing δεν μπορεί να είναι αληθές

Υπάρχουν νοητικές μηχανές που ξεπερνούν τα όρια των

δυνατοτήτων της μηχανής Turing

Οι υπερ-μηχανές μπορούν να υλοποιηθούν

Ο Jack Copeland και η Diane Proudfoot είναι αυτοί που

εισαγάγανε τον όρο ŦὓĦŊŦὓ ʼnĽʼnĘIJŞIJľĚş Į şĐ (στα αγγλικά

hypercomputation)

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Τί είναι η υπερ-υπολογισιμότητα

Το αίτημα των Church-Turing δεν μπορεί να είναι αληθές

Υπάρχουν νοητικές μηχανές που ξεπερνούν τα όρια των

δυνατοτήτων της μηχανής Turing

Οι υπερ-μηχανές μπορούν να υλοποιηθούν

Ο Jack Copeland και η Diane Proudfoot είναι αυτοί που

εισαγάγανε τον όρο ŦὓĦŊŦὓ ʼnĽʼnĘIJŞIJľĚş Į şĐ (στα αγγλικά

hypercomputation)

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Τί είναι η υπερ-υπολογισιμότητα

Το αίτημα των Church-Turing δεν μπορεί να είναι αληθές

Υπάρχουν νοητικές μηχανές που ξεπερνούν τα όρια των

δυνατοτήτων της μηχανής Turing

Οι υπερ-μηχανές μπορούν να υλοποιηθούν

Ο Jack Copeland και η Diane Proudfoot είναι αυτοί που

εισαγάγανε τον όρο ŦὓĦŊŦὓ ʼnĽʼnĘIJŞIJľĚş Į şĐ (στα αγγλικά

hypercomputation)

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Τί είναι η υπερ-υπολογισιμότητα

Το αίτημα των Church-Turing δεν μπορεί να είναι αληθές

Υπάρχουν νοητικές μηχανές που ξεπερνούν τα όρια των

δυνατοτήτων της μηχανής Turing

Οι υπερ-μηχανές μπορούν να υλοποιηθούν

Ο Jack Copeland και η Diane Proudfoot είναι αυτοί που

εισαγάγανε τον όρο ŦὓĦŊŦὓ ʼnĽʼnĘIJŞIJľĚş Į şĐ (στα αγγλικά

hypercomputation)

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Τί είναι η υπερ-υπολογισιμότητα

Το αίτημα των Church-Turing δεν μπορεί να είναι αληθές

Υπάρχουν νοητικές μηχανές που ξεπερνούν τα όρια των

δυνατοτήτων της μηχανής Turing

Οι υπερ-μηχανές μπορούν να υλοποιηθούν

Ο Jack Copeland και η Diane Proudfoot είναι αυτοί που

εισαγάγανε τον όρο ŦὓĦŊŦὓ ʼnĽʼnĘIJŞIJľĚş Į şĐ (στα αγγλικά

hypercomputation)

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές TAE των Hintikka-Mutanen

Αποτελούν μηχανές Turing με μία επιπλέον ταινία στην

οποία γράφονται και σβήνονται δεδομένα

Υπολογίζουν εξισώσεις της μορφής 119891(119886) = 119887 119886 119887 isin ℕ

Υπολογίζουν αριθμούς και συναρτήσεις ʼnŊIJĐij

Λύνουν το πρόβλημα του τερματισμού των μηχανών Turing

Δεν μπορούν να λύσουν το δικό τους πρόβλημα

τερματισμού

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές TAE των Hintikka-Mutanen

Αποτελούν μηχανές Turing με μία επιπλέον ταινία στην

οποία γράφονται και σβήνονται δεδομένα

Υπολογίζουν εξισώσεις της μορφής 119891(119886) = 119887 119886 119887 isin ℕ

Υπολογίζουν αριθμούς και συναρτήσεις ʼnŊIJĐij

Λύνουν το πρόβλημα του τερματισμού των μηχανών Turing

Δεν μπορούν να λύσουν το δικό τους πρόβλημα

τερματισμού

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές TAE των Hintikka-Mutanen

Αποτελούν μηχανές Turing με μία επιπλέον ταινία στην

οποία γράφονται και σβήνονται δεδομένα

Υπολογίζουν εξισώσεις της μορφής 119891(119886) = 119887 119886 119887 isin ℕ

Υπολογίζουν αριθμούς και συναρτήσεις ʼnŊIJĐij

Λύνουν το πρόβλημα του τερματισμού των μηχανών Turing

Δεν μπορούν να λύσουν το δικό τους πρόβλημα

τερματισμού

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές TAE των Hintikka-Mutanen

Αποτελούν μηχανές Turing με μία επιπλέον ταινία στην

οποία γράφονται και σβήνονται δεδομένα

Υπολογίζουν εξισώσεις της μορφής 119891(119886) = 119887 119886 119887 isin ℕ

Υπολογίζουν αριθμούς και συναρτήσεις ʼnŊIJĐij

Λύνουν το πρόβλημα του τερματισμού των μηχανών Turing

Δεν μπορούν να λύσουν το δικό τους πρόβλημα

τερματισμού

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές TAE των Hintikka-Mutanen

Αποτελούν μηχανές Turing με μία επιπλέον ταινία στην

οποία γράφονται και σβήνονται δεδομένα

Υπολογίζουν εξισώσεις της μορφής 119891(119886) = 119887 119886 119887 isin ℕ

Υπολογίζουν αριθμούς και συναρτήσεις ʼnŊIJĐij

Λύνουν το πρόβλημα του τερματισμού των μηχανών Turing

Δεν μπορούν να λύσουν το δικό τους πρόβλημα

τερματισμού

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές TAE των Hintikka-Mutanen

Αποτελούν μηχανές Turing με μία επιπλέον ταινία στην

οποία γράφονται και σβήνονται δεδομένα

Υπολογίζουν εξισώσεις της μορφής 119891(119886) = 119887 119886 119887 isin ℕ

Υπολογίζουν αριθμούς και συναρτήσεις ʼnŊIJĐij

Λύνουν το πρόβλημα του τερματισμού των μηχανών Turing

Δεν μπορούν να λύσουν το δικό τους πρόβλημα

τερματισμού

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 του Weihrauch

y0 output tape 0 (one-way)

M

work tapes k + 1 N

yk

y1

input tapes 1 k (one-way)

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Ας υποθέσουμε ότι

μπορούμε και να γράφουμε σε όλες τις ταινίεςmiddot

μπορούμε να υπολογίζουμε σε κάθε βήμα μια εξίσωση της

μορφής 119891(1198861113578 hellip 119886119899) = 119887 (η εξίσωση γράφεται στη ταινία

εξόδου)middot

μπορούμε να αποφασίσουμε πότε έχουμε φτάσει στο τέλος

ενός υπολογισμού

Tότε μιλούμε για μια επέκταση της θεωρίας των μηχανών Type 2

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Ας υποθέσουμε ότι

μπορούμε και να γράφουμε σε όλες τις ταινίεςmiddot

μπορούμε να υπολογίζουμε σε κάθε βήμα μια εξίσωση της

μορφής 119891(1198861113578 hellip 119886119899) = 119887 (η εξίσωση γράφεται στη ταινία

εξόδου)middot

μπορούμε να αποφασίσουμε πότε έχουμε φτάσει στο τέλος

ενός υπολογισμού

Tότε μιλούμε για μια επέκταση της θεωρίας των μηχανών Type 2

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Ας υποθέσουμε ότι

μπορούμε και να γράφουμε σε όλες τις ταινίεςmiddot

μπορούμε να υπολογίζουμε σε κάθε βήμα μια εξίσωση της

μορφής 119891(1198861113578 hellip 119886119899) = 119887 (η εξίσωση γράφεται στη ταινία

εξόδου)middot

μπορούμε να αποφασίσουμε πότε έχουμε φτάσει στο τέλος

ενός υπολογισμού

Tότε μιλούμε για μια επέκταση της θεωρίας των μηχανών Type 2

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Ας υποθέσουμε ότι

μπορούμε και να γράφουμε σε όλες τις ταινίεςmiddot

μπορούμε να υπολογίζουμε σε κάθε βήμα μια εξίσωση της

μορφής 119891(1198861113578 hellip 119886119899) = 119887 (η εξίσωση γράφεται στη ταινία

εξόδου)middot

μπορούμε να αποφασίσουμε πότε έχουμε φτάσει στο τέλος

ενός υπολογισμού

Tότε μιλούμε για μια επέκταση της θεωρίας των μηχανών Type 2

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Ας υποθέσουμε ότι

μπορούμε και να γράφουμε σε όλες τις ταινίεςmiddot

μπορούμε να υπολογίζουμε σε κάθε βήμα μια εξίσωση της

μορφής 119891(1198861113578 hellip 119886119899) = 119887 (η εξίσωση γράφεται στη ταινία

εξόδου)middot

μπορούμε να αποφασίσουμε πότε έχουμε φτάσει στο τέλος

ενός υπολογισμού

Tότε μιλούμε για μια επέκταση της θεωρίας των μηχανών Type 2

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Απαιτείται

να ορίσουμε αυστηρά τις νέες αυτές νοητικές μηχανέςmiddot

να δούμε ποιούς αριθμούς υπολογίζουν (πόσο ψηλά στην

αριθμητική ιεραρχία laquoπηγαίνουνraquo)middot

και να δείξουμε ότι λύνουν το προβλημα τερματισμού των

μηχανών του Weihrauch

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Απαιτείται

να ορίσουμε αυστηρά τις νέες αυτές νοητικές μηχανέςmiddot

να δούμε ποιούς αριθμούς υπολογίζουν (πόσο ψηλά στην

αριθμητική ιεραρχία laquoπηγαίνουνraquo)middot

και να δείξουμε ότι λύνουν το προβλημα τερματισμού των

μηχανών του Weihrauch

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Απαιτείται

να ορίσουμε αυστηρά τις νέες αυτές νοητικές μηχανέςmiddot

να δούμε ποιούς αριθμούς υπολογίζουν (πόσο ψηλά στην

αριθμητική ιεραρχία laquoπηγαίνουνraquo)middot

και να δείξουμε ότι λύνουν το προβλημα τερματισμού των

μηχανών του Weihrauch

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Απαιτείται

να ορίσουμε αυστηρά τις νέες αυτές νοητικές μηχανέςmiddot

να δούμε ποιούς αριθμούς υπολογίζουν (πόσο ψηλά στην

αριθμητική ιεραρχία laquoπηγαίνουνraquo)middot

και να δείξουμε ότι λύνουν το προβλημα τερματισμού των

μηχανών του Weihrauch

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Τέλος

Ευχαριστώ για την προσοχή σας

• Εισαγωγή
• • Περί υπολογισιμότητας
  • Υπολογισιμότητα στην ανάλυση
  • Προσεγγίσεις στο θέμα της υπολογισιμότητας
  • • Yπερ-υπολογισιμότητα
    • Mηχανές TAE
    • Mηχανές Type 2
    • Mηχανές Type 2-TAE

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Περίγραμμα παρουσίασης

1 Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα της υπολογισιμότητας

2 Yπερ-υπολογισιμότητα

3 Mηχανές TAE

4 Mηχανές Type 2

5 Mηχανές Type 2-TAE

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Η έννοια της υπολογισιμότητας

Η εδραιωμένη άποψη είναι ότι ένας φυσικός αριθμός ή μια

συνάρτηση 120593 ∶ ℕ119899 rarr ℕ119898 119899119898 isin ℕ είναι υπολογίσιμη αν

υπάρχει μια μηχανή Turing που μπορεί να την υπολογίσει

Κάθε άλλη περιγραφή της έννοιας του υπολογίσιμου

φαίνεται να είναι ισοδύναμη με την προηγούμενη

Αναδρομικές συναρτήσεις ένας εναλλακτικός τρόπος ορισμού

της έννοιας του υπολογίσιμου αριθμού

Αίτημα των Church-Turing μια συνάρτηση φυσικών αριθμών

ή ένας φυσικός αριθμός είναι υπολογίσιμηος αν και μόνο αν

είναι αναδρομικήός

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Η έννοια της υπολογισιμότητας

Η εδραιωμένη άποψη είναι ότι ένας φυσικός αριθμός ή μια

συνάρτηση 120593 ∶ ℕ119899 rarr ℕ119898 119899119898 isin ℕ είναι υπολογίσιμη αν

υπάρχει μια μηχανή Turing που μπορεί να την υπολογίσει

Κάθε άλλη περιγραφή της έννοιας του υπολογίσιμου

φαίνεται να είναι ισοδύναμη με την προηγούμενη

Αναδρομικές συναρτήσεις ένας εναλλακτικός τρόπος ορισμού

της έννοιας του υπολογίσιμου αριθμού

Αίτημα των Church-Turing μια συνάρτηση φυσικών αριθμών

ή ένας φυσικός αριθμός είναι υπολογίσιμηος αν και μόνο αν

είναι αναδρομικήός

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Η έννοια της υπολογισιμότητας

Η εδραιωμένη άποψη είναι ότι ένας φυσικός αριθμός ή μια

συνάρτηση 120593 ∶ ℕ119899 rarr ℕ119898 119899119898 isin ℕ είναι υπολογίσιμη αν

υπάρχει μια μηχανή Turing που μπορεί να την υπολογίσει

Κάθε άλλη περιγραφή της έννοιας του υπολογίσιμου

φαίνεται να είναι ισοδύναμη με την προηγούμενη

Αναδρομικές συναρτήσεις ένας εναλλακτικός τρόπος ορισμού

της έννοιας του υπολογίσιμου αριθμού

Αίτημα των Church-Turing μια συνάρτηση φυσικών αριθμών

ή ένας φυσικός αριθμός είναι υπολογίσιμηος αν και μόνο αν

είναι αναδρομικήός

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Η έννοια της υπολογισιμότητας

Η εδραιωμένη άποψη είναι ότι ένας φυσικός αριθμός ή μια

συνάρτηση 120593 ∶ ℕ119899 rarr ℕ119898 119899119898 isin ℕ είναι υπολογίσιμη αν

υπάρχει μια μηχανή Turing που μπορεί να την υπολογίσει

Κάθε άλλη περιγραφή της έννοιας του υπολογίσιμου

φαίνεται να είναι ισοδύναμη με την προηγούμενη

Αναδρομικές συναρτήσεις ένας εναλλακτικός τρόπος ορισμού

της έννοιας του υπολογίσιμου αριθμού

Αίτημα των Church-Turing μια συνάρτηση φυσικών αριθμών

ή ένας φυσικός αριθμός είναι υπολογίσιμηος αν και μόνο αν

είναι αναδρομικήός

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Σκοποί της υπολογίσιμης ανάλυσης

laquoΟρισμόςraquo της έννοιας του υπολογίσιμου πραγματικού

αριθμού της υπολογίσιμης πραγματικής συναρτησης κά

Ανακάλυψηαποκάλυψη των ορίων του τι μπορεί να

υπολογισθεί

Ισχυροποίηση των θεμελίων της αριθμητικής ανάλυσης

Επέκταση της θεωρίας πολυπλοκότητας ώστε να

περιλαμβάνει και το ℝ

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Σκοποί της υπολογίσιμης ανάλυσης

laquoΟρισμόςraquo της έννοιας του υπολογίσιμου πραγματικού

αριθμού της υπολογίσιμης πραγματικής συναρτησης κά

Ανακάλυψηαποκάλυψη των ορίων του τι μπορεί να

υπολογισθεί

Ισχυροποίηση των θεμελίων της αριθμητικής ανάλυσης

Επέκταση της θεωρίας πολυπλοκότητας ώστε να

περιλαμβάνει και το ℝ

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Σκοποί της υπολογίσιμης ανάλυσης

laquoΟρισμόςraquo της έννοιας του υπολογίσιμου πραγματικού

αριθμού της υπολογίσιμης πραγματικής συναρτησης κά

Ανακάλυψηαποκάλυψη των ορίων του τι μπορεί να

υπολογισθεί

Ισχυροποίηση των θεμελίων της αριθμητικής ανάλυσης

Επέκταση της θεωρίας πολυπλοκότητας ώστε να

περιλαμβάνει και το ℝ

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Σκοποί της υπολογίσιμης ανάλυσης

laquoΟρισμόςraquo της έννοιας του υπολογίσιμου πραγματικού

αριθμού της υπολογίσιμης πραγματικής συναρτησης κά

Ανακάλυψηαποκάλυψη των ορίων του τι μπορεί να

υπολογισθεί

Ισχυροποίηση των θεμελίων της αριθμητικής ανάλυσης

Επέκταση της θεωρίας πολυπλοκότητας ώστε να

περιλαμβάνει και το ℝ

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Σκοποί της υπολογίσιμης ανάλυσης

laquoΟρισμόςraquo της έννοιας του υπολογίσιμου πραγματικού

αριθμού της υπολογίσιμης πραγματικής συναρτησης κά

Ανακάλυψηαποκάλυψη των ορίων του τι μπορεί να

υπολογισθεί

Ισχυροποίηση των θεμελίων της αριθμητικής ανάλυσης

Επέκταση της θεωρίας πολυπλοκότητας ώστε να

περιλαμβάνει και το ℝ

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μοντέλα υπολογίσιμης ανάλυσης

Alan Turing ένας αριθμός 119909 isin [0 1] είναι υπολογίσιμος ανυπάρχει μια υπολογίσιμη συνάρτηση 119891 ∶ ℕ rarr 0 1 hellip 9τέτοια ώστε 119909 = sum119894isinℕ 119891(119896) sdot 10minus119896Ο χαρακτηρισμός του Andrzej Grzegorczyk και η θεωρία

πολυπλοκότητας στο ℝ του Ker-I Ko

Θεωρία υπολογισιμότητας των Mariam B Pour-El και

Jonathan I Richards

Μηχανές BSS των Lenore Blum Michael Shub και Steve

Smale

Type 2 theory of effectivity του Klaus Weihrauch

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μοντέλα υπολογίσιμης ανάλυσης

Alan Turing ένας αριθμός 119909 isin [0 1] είναι υπολογίσιμος ανυπάρχει μια υπολογίσιμη συνάρτηση 119891 ∶ ℕ rarr 0 1 hellip 9τέτοια ώστε 119909 = sum119894isinℕ 119891(119896) sdot 10minus119896

Ο χαρακτηρισμός του Andrzej Grzegorczyk και η θεωρία

πολυπλοκότητας στο ℝ του Ker-I Ko

Θεωρία υπολογισιμότητας των Mariam B Pour-El και

Jonathan I Richards

Μηχανές BSS των Lenore Blum Michael Shub και Steve

Smale

Type 2 theory of effectivity του Klaus Weihrauch

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μοντέλα υπολογίσιμης ανάλυσης

Alan Turing ένας αριθμός 119909 isin [0 1] είναι υπολογίσιμος ανυπάρχει μια υπολογίσιμη συνάρτηση 119891 ∶ ℕ rarr 0 1 hellip 9τέτοια ώστε 119909 = sum119894isinℕ 119891(119896) sdot 10minus119896Ο χαρακτηρισμός του Andrzej Grzegorczyk και η θεωρία

πολυπλοκότητας στο ℝ του Ker-I Ko

Θεωρία υπολογισιμότητας των Mariam B Pour-El και

Jonathan I Richards

Μηχανές BSS των Lenore Blum Michael Shub και Steve

Smale

Type 2 theory of effectivity του Klaus Weihrauch

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μοντέλα υπολογίσιμης ανάλυσης

Alan Turing ένας αριθμός 119909 isin [0 1] είναι υπολογίσιμος ανυπάρχει μια υπολογίσιμη συνάρτηση 119891 ∶ ℕ rarr 0 1 hellip 9τέτοια ώστε 119909 = sum119894isinℕ 119891(119896) sdot 10minus119896Ο χαρακτηρισμός του Andrzej Grzegorczyk και η θεωρία

πολυπλοκότητας στο ℝ του Ker-I Ko

Θεωρία υπολογισιμότητας των Mariam B Pour-El και

Jonathan I Richards

Μηχανές BSS των Lenore Blum Michael Shub και Steve

Smale

Type 2 theory of effectivity του Klaus Weihrauch

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μοντέλα υπολογίσιμης ανάλυσης

Alan Turing ένας αριθμός 119909 isin [0 1] είναι υπολογίσιμος ανυπάρχει μια υπολογίσιμη συνάρτηση 119891 ∶ ℕ rarr 0 1 hellip 9τέτοια ώστε 119909 = sum119894isinℕ 119891(119896) sdot 10minus119896Ο χαρακτηρισμός του Andrzej Grzegorczyk και η θεωρία

πολυπλοκότητας στο ℝ του Ker-I Ko

Θεωρία υπολογισιμότητας των Mariam B Pour-El και

Jonathan I Richards

Μηχανές BSS των Lenore Blum Michael Shub και Steve

Smale

Type 2 theory of effectivity του Klaus Weihrauch

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μοντέλα υπολογίσιμης ανάλυσης

Alan Turing ένας αριθμός 119909 isin [0 1] είναι υπολογίσιμος ανυπάρχει μια υπολογίσιμη συνάρτηση 119891 ∶ ℕ rarr 0 1 hellip 9τέτοια ώστε 119909 = sum119894isinℕ 119891(119896) sdot 10minus119896Ο χαρακτηρισμός του Andrzej Grzegorczyk και η θεωρία

πολυπλοκότητας στο ℝ του Ker-I Ko

Θεωρία υπολογισιμότητας των Mariam B Pour-El και

Jonathan I Richards

Μηχανές BSS των Lenore Blum Michael Shub και Steve

Smale

Type 2 theory of effectivity του Klaus Weihrauch

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Τί είναι η υπερ-υπολογισιμότητα

Το αίτημα των Church-Turing δεν μπορεί να είναι αληθές

Υπάρχουν νοητικές μηχανές που ξεπερνούν τα όρια των

δυνατοτήτων της μηχανής Turing

Οι υπερ-μηχανές μπορούν να υλοποιηθούν

Ο Jack Copeland και η Diane Proudfoot είναι αυτοί που

εισαγάγανε τον όρο ŦὓĦŊŦὓ ʼnĽʼnĘIJŞIJľĚş Į şĐ (στα αγγλικά

hypercomputation)

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Τί είναι η υπερ-υπολογισιμότητα

Το αίτημα των Church-Turing δεν μπορεί να είναι αληθές

Υπάρχουν νοητικές μηχανές που ξεπερνούν τα όρια των

δυνατοτήτων της μηχανής Turing

Οι υπερ-μηχανές μπορούν να υλοποιηθούν

Ο Jack Copeland και η Diane Proudfoot είναι αυτοί που

εισαγάγανε τον όρο ŦὓĦŊŦὓ ʼnĽʼnĘIJŞIJľĚş Į şĐ (στα αγγλικά

hypercomputation)

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Τί είναι η υπερ-υπολογισιμότητα

Το αίτημα των Church-Turing δεν μπορεί να είναι αληθές

Υπάρχουν νοητικές μηχανές που ξεπερνούν τα όρια των

δυνατοτήτων της μηχανής Turing

Οι υπερ-μηχανές μπορούν να υλοποιηθούν

Ο Jack Copeland και η Diane Proudfoot είναι αυτοί που

εισαγάγανε τον όρο ŦὓĦŊŦὓ ʼnĽʼnĘIJŞIJľĚş Į şĐ (στα αγγλικά

hypercomputation)

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Τί είναι η υπερ-υπολογισιμότητα

Το αίτημα των Church-Turing δεν μπορεί να είναι αληθές

Υπάρχουν νοητικές μηχανές που ξεπερνούν τα όρια των

δυνατοτήτων της μηχανής Turing

Οι υπερ-μηχανές μπορούν να υλοποιηθούν

Ο Jack Copeland και η Diane Proudfoot είναι αυτοί που

εισαγάγανε τον όρο ŦὓĦŊŦὓ ʼnĽʼnĘIJŞIJľĚş Į şĐ (στα αγγλικά

hypercomputation)

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Τί είναι η υπερ-υπολογισιμότητα

Το αίτημα των Church-Turing δεν μπορεί να είναι αληθές

Υπάρχουν νοητικές μηχανές που ξεπερνούν τα όρια των

δυνατοτήτων της μηχανής Turing

Οι υπερ-μηχανές μπορούν να υλοποιηθούν

Ο Jack Copeland και η Diane Proudfoot είναι αυτοί που

εισαγάγανε τον όρο ŦὓĦŊŦὓ ʼnĽʼnĘIJŞIJľĚş Į şĐ (στα αγγλικά

hypercomputation)

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές TAE των Hintikka-Mutanen

Αποτελούν μηχανές Turing με μία επιπλέον ταινία στην

οποία γράφονται και σβήνονται δεδομένα

Υπολογίζουν εξισώσεις της μορφής 119891(119886) = 119887 119886 119887 isin ℕ

Υπολογίζουν αριθμούς και συναρτήσεις ʼnŊIJĐij

Λύνουν το πρόβλημα του τερματισμού των μηχανών Turing

Δεν μπορούν να λύσουν το δικό τους πρόβλημα

τερματισμού

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές TAE των Hintikka-Mutanen

Αποτελούν μηχανές Turing με μία επιπλέον ταινία στην

οποία γράφονται και σβήνονται δεδομένα

Υπολογίζουν εξισώσεις της μορφής 119891(119886) = 119887 119886 119887 isin ℕ

Υπολογίζουν αριθμούς και συναρτήσεις ʼnŊIJĐij

Λύνουν το πρόβλημα του τερματισμού των μηχανών Turing

Δεν μπορούν να λύσουν το δικό τους πρόβλημα

τερματισμού

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές TAE των Hintikka-Mutanen

Αποτελούν μηχανές Turing με μία επιπλέον ταινία στην

οποία γράφονται και σβήνονται δεδομένα

Υπολογίζουν εξισώσεις της μορφής 119891(119886) = 119887 119886 119887 isin ℕ

Υπολογίζουν αριθμούς και συναρτήσεις ʼnŊIJĐij

Λύνουν το πρόβλημα του τερματισμού των μηχανών Turing

Δεν μπορούν να λύσουν το δικό τους πρόβλημα

τερματισμού

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές TAE των Hintikka-Mutanen

Αποτελούν μηχανές Turing με μία επιπλέον ταινία στην

οποία γράφονται και σβήνονται δεδομένα

Υπολογίζουν εξισώσεις της μορφής 119891(119886) = 119887 119886 119887 isin ℕ

Υπολογίζουν αριθμούς και συναρτήσεις ʼnŊIJĐij

Λύνουν το πρόβλημα του τερματισμού των μηχανών Turing

Δεν μπορούν να λύσουν το δικό τους πρόβλημα

τερματισμού

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές TAE των Hintikka-Mutanen

Αποτελούν μηχανές Turing με μία επιπλέον ταινία στην

οποία γράφονται και σβήνονται δεδομένα

Υπολογίζουν εξισώσεις της μορφής 119891(119886) = 119887 119886 119887 isin ℕ

Υπολογίζουν αριθμούς και συναρτήσεις ʼnŊIJĐij

Λύνουν το πρόβλημα του τερματισμού των μηχανών Turing

Δεν μπορούν να λύσουν το δικό τους πρόβλημα

τερματισμού

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές TAE των Hintikka-Mutanen

Αποτελούν μηχανές Turing με μία επιπλέον ταινία στην

οποία γράφονται και σβήνονται δεδομένα

Υπολογίζουν εξισώσεις της μορφής 119891(119886) = 119887 119886 119887 isin ℕ

Υπολογίζουν αριθμούς και συναρτήσεις ʼnŊIJĐij

Λύνουν το πρόβλημα του τερματισμού των μηχανών Turing

Δεν μπορούν να λύσουν το δικό τους πρόβλημα

τερματισμού

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 του Weihrauch

y0 output tape 0 (one-way)

M

work tapes k + 1 N

yk

y1

input tapes 1 k (one-way)

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Ας υποθέσουμε ότι

μπορούμε και να γράφουμε σε όλες τις ταινίεςmiddot

μπορούμε να υπολογίζουμε σε κάθε βήμα μια εξίσωση της

μορφής 119891(1198861113578 hellip 119886119899) = 119887 (η εξίσωση γράφεται στη ταινία

εξόδου)middot

μπορούμε να αποφασίσουμε πότε έχουμε φτάσει στο τέλος

ενός υπολογισμού

Tότε μιλούμε για μια επέκταση της θεωρίας των μηχανών Type 2

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Ας υποθέσουμε ότι

μπορούμε και να γράφουμε σε όλες τις ταινίεςmiddot

μπορούμε να υπολογίζουμε σε κάθε βήμα μια εξίσωση της

μορφής 119891(1198861113578 hellip 119886119899) = 119887 (η εξίσωση γράφεται στη ταινία

εξόδου)middot

μπορούμε να αποφασίσουμε πότε έχουμε φτάσει στο τέλος

ενός υπολογισμού

Tότε μιλούμε για μια επέκταση της θεωρίας των μηχανών Type 2

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Ας υποθέσουμε ότι

μπορούμε και να γράφουμε σε όλες τις ταινίεςmiddot

μπορούμε να υπολογίζουμε σε κάθε βήμα μια εξίσωση της

μορφής 119891(1198861113578 hellip 119886119899) = 119887 (η εξίσωση γράφεται στη ταινία

εξόδου)middot

μπορούμε να αποφασίσουμε πότε έχουμε φτάσει στο τέλος

ενός υπολογισμού

Tότε μιλούμε για μια επέκταση της θεωρίας των μηχανών Type 2

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Ας υποθέσουμε ότι

μπορούμε και να γράφουμε σε όλες τις ταινίεςmiddot

μπορούμε να υπολογίζουμε σε κάθε βήμα μια εξίσωση της

μορφής 119891(1198861113578 hellip 119886119899) = 119887 (η εξίσωση γράφεται στη ταινία

εξόδου)middot

μπορούμε να αποφασίσουμε πότε έχουμε φτάσει στο τέλος

ενός υπολογισμού

Tότε μιλούμε για μια επέκταση της θεωρίας των μηχανών Type 2

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Ας υποθέσουμε ότι

μπορούμε και να γράφουμε σε όλες τις ταινίεςmiddot

μπορούμε να υπολογίζουμε σε κάθε βήμα μια εξίσωση της

μορφής 119891(1198861113578 hellip 119886119899) = 119887 (η εξίσωση γράφεται στη ταινία

εξόδου)middot

μπορούμε να αποφασίσουμε πότε έχουμε φτάσει στο τέλος

ενός υπολογισμού

Tότε μιλούμε για μια επέκταση της θεωρίας των μηχανών Type 2

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Απαιτείται

να ορίσουμε αυστηρά τις νέες αυτές νοητικές μηχανέςmiddot

να δούμε ποιούς αριθμούς υπολογίζουν (πόσο ψηλά στην

αριθμητική ιεραρχία laquoπηγαίνουνraquo)middot

και να δείξουμε ότι λύνουν το προβλημα τερματισμού των

μηχανών του Weihrauch

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Απαιτείται

να ορίσουμε αυστηρά τις νέες αυτές νοητικές μηχανέςmiddot

να δούμε ποιούς αριθμούς υπολογίζουν (πόσο ψηλά στην

αριθμητική ιεραρχία laquoπηγαίνουνraquo)middot

και να δείξουμε ότι λύνουν το προβλημα τερματισμού των

μηχανών του Weihrauch

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Απαιτείται

να ορίσουμε αυστηρά τις νέες αυτές νοητικές μηχανέςmiddot

να δούμε ποιούς αριθμούς υπολογίζουν (πόσο ψηλά στην

αριθμητική ιεραρχία laquoπηγαίνουνraquo)middot

και να δείξουμε ότι λύνουν το προβλημα τερματισμού των

μηχανών του Weihrauch

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Απαιτείται

να ορίσουμε αυστηρά τις νέες αυτές νοητικές μηχανέςmiddot

να δούμε ποιούς αριθμούς υπολογίζουν (πόσο ψηλά στην

αριθμητική ιεραρχία laquoπηγαίνουνraquo)middot

και να δείξουμε ότι λύνουν το προβλημα τερματισμού των

μηχανών του Weihrauch

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Τέλος

Ευχαριστώ για την προσοχή σας

• Εισαγωγή
• • Περί υπολογισιμότητας
  • Υπολογισιμότητα στην ανάλυση
  • Προσεγγίσεις στο θέμα της υπολογισιμότητας
  • • Yπερ-υπολογισιμότητα
    • Mηχανές TAE
    • Mηχανές Type 2
    • Mηχανές Type 2-TAE

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Η έννοια της υπολογισιμότητας

Η εδραιωμένη άποψη είναι ότι ένας φυσικός αριθμός ή μια

συνάρτηση 120593 ∶ ℕ119899 rarr ℕ119898 119899119898 isin ℕ είναι υπολογίσιμη αν

υπάρχει μια μηχανή Turing που μπορεί να την υπολογίσει

Κάθε άλλη περιγραφή της έννοιας του υπολογίσιμου

φαίνεται να είναι ισοδύναμη με την προηγούμενη

Αναδρομικές συναρτήσεις ένας εναλλακτικός τρόπος ορισμού

της έννοιας του υπολογίσιμου αριθμού

Αίτημα των Church-Turing μια συνάρτηση φυσικών αριθμών

ή ένας φυσικός αριθμός είναι υπολογίσιμηος αν και μόνο αν

είναι αναδρομικήός

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Η έννοια της υπολογισιμότητας

Η εδραιωμένη άποψη είναι ότι ένας φυσικός αριθμός ή μια

συνάρτηση 120593 ∶ ℕ119899 rarr ℕ119898 119899119898 isin ℕ είναι υπολογίσιμη αν

υπάρχει μια μηχανή Turing που μπορεί να την υπολογίσει

Κάθε άλλη περιγραφή της έννοιας του υπολογίσιμου

φαίνεται να είναι ισοδύναμη με την προηγούμενη

Αναδρομικές συναρτήσεις ένας εναλλακτικός τρόπος ορισμού

της έννοιας του υπολογίσιμου αριθμού

Αίτημα των Church-Turing μια συνάρτηση φυσικών αριθμών

ή ένας φυσικός αριθμός είναι υπολογίσιμηος αν και μόνο αν

είναι αναδρομικήός

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Η έννοια της υπολογισιμότητας

Η εδραιωμένη άποψη είναι ότι ένας φυσικός αριθμός ή μια

συνάρτηση 120593 ∶ ℕ119899 rarr ℕ119898 119899119898 isin ℕ είναι υπολογίσιμη αν

υπάρχει μια μηχανή Turing που μπορεί να την υπολογίσει

Κάθε άλλη περιγραφή της έννοιας του υπολογίσιμου

φαίνεται να είναι ισοδύναμη με την προηγούμενη

Αναδρομικές συναρτήσεις ένας εναλλακτικός τρόπος ορισμού

της έννοιας του υπολογίσιμου αριθμού

Αίτημα των Church-Turing μια συνάρτηση φυσικών αριθμών

ή ένας φυσικός αριθμός είναι υπολογίσιμηος αν και μόνο αν

είναι αναδρομικήός

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Η έννοια της υπολογισιμότητας

Η εδραιωμένη άποψη είναι ότι ένας φυσικός αριθμός ή μια

συνάρτηση 120593 ∶ ℕ119899 rarr ℕ119898 119899119898 isin ℕ είναι υπολογίσιμη αν

υπάρχει μια μηχανή Turing που μπορεί να την υπολογίσει

Κάθε άλλη περιγραφή της έννοιας του υπολογίσιμου

φαίνεται να είναι ισοδύναμη με την προηγούμενη

Αναδρομικές συναρτήσεις ένας εναλλακτικός τρόπος ορισμού

της έννοιας του υπολογίσιμου αριθμού

Αίτημα των Church-Turing μια συνάρτηση φυσικών αριθμών

ή ένας φυσικός αριθμός είναι υπολογίσιμηος αν και μόνο αν

είναι αναδρομικήός

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Σκοποί της υπολογίσιμης ανάλυσης

laquoΟρισμόςraquo της έννοιας του υπολογίσιμου πραγματικού

αριθμού της υπολογίσιμης πραγματικής συναρτησης κά

Ανακάλυψηαποκάλυψη των ορίων του τι μπορεί να

υπολογισθεί

Ισχυροποίηση των θεμελίων της αριθμητικής ανάλυσης

Επέκταση της θεωρίας πολυπλοκότητας ώστε να

περιλαμβάνει και το ℝ

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Σκοποί της υπολογίσιμης ανάλυσης

laquoΟρισμόςraquo της έννοιας του υπολογίσιμου πραγματικού

αριθμού της υπολογίσιμης πραγματικής συναρτησης κά

Ανακάλυψηαποκάλυψη των ορίων του τι μπορεί να

υπολογισθεί

Ισχυροποίηση των θεμελίων της αριθμητικής ανάλυσης

Επέκταση της θεωρίας πολυπλοκότητας ώστε να

περιλαμβάνει και το ℝ

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Σκοποί της υπολογίσιμης ανάλυσης

laquoΟρισμόςraquo της έννοιας του υπολογίσιμου πραγματικού

αριθμού της υπολογίσιμης πραγματικής συναρτησης κά

Ανακάλυψηαποκάλυψη των ορίων του τι μπορεί να

υπολογισθεί

Ισχυροποίηση των θεμελίων της αριθμητικής ανάλυσης

Επέκταση της θεωρίας πολυπλοκότητας ώστε να

περιλαμβάνει και το ℝ

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Σκοποί της υπολογίσιμης ανάλυσης

laquoΟρισμόςraquo της έννοιας του υπολογίσιμου πραγματικού

αριθμού της υπολογίσιμης πραγματικής συναρτησης κά

Ανακάλυψηαποκάλυψη των ορίων του τι μπορεί να

υπολογισθεί

Ισχυροποίηση των θεμελίων της αριθμητικής ανάλυσης

Επέκταση της θεωρίας πολυπλοκότητας ώστε να

περιλαμβάνει και το ℝ

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Σκοποί της υπολογίσιμης ανάλυσης

laquoΟρισμόςraquo της έννοιας του υπολογίσιμου πραγματικού

αριθμού της υπολογίσιμης πραγματικής συναρτησης κά

Ανακάλυψηαποκάλυψη των ορίων του τι μπορεί να

υπολογισθεί

Ισχυροποίηση των θεμελίων της αριθμητικής ανάλυσης

Επέκταση της θεωρίας πολυπλοκότητας ώστε να

περιλαμβάνει και το ℝ

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μοντέλα υπολογίσιμης ανάλυσης

Alan Turing ένας αριθμός 119909 isin [0 1] είναι υπολογίσιμος ανυπάρχει μια υπολογίσιμη συνάρτηση 119891 ∶ ℕ rarr 0 1 hellip 9τέτοια ώστε 119909 = sum119894isinℕ 119891(119896) sdot 10minus119896Ο χαρακτηρισμός του Andrzej Grzegorczyk και η θεωρία

πολυπλοκότητας στο ℝ του Ker-I Ko

Θεωρία υπολογισιμότητας των Mariam B Pour-El και

Jonathan I Richards

Μηχανές BSS των Lenore Blum Michael Shub και Steve

Smale

Type 2 theory of effectivity του Klaus Weihrauch

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μοντέλα υπολογίσιμης ανάλυσης

Alan Turing ένας αριθμός 119909 isin [0 1] είναι υπολογίσιμος ανυπάρχει μια υπολογίσιμη συνάρτηση 119891 ∶ ℕ rarr 0 1 hellip 9τέτοια ώστε 119909 = sum119894isinℕ 119891(119896) sdot 10minus119896

Ο χαρακτηρισμός του Andrzej Grzegorczyk και η θεωρία

πολυπλοκότητας στο ℝ του Ker-I Ko

Θεωρία υπολογισιμότητας των Mariam B Pour-El και

Jonathan I Richards

Μηχανές BSS των Lenore Blum Michael Shub και Steve

Smale

Type 2 theory of effectivity του Klaus Weihrauch

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μοντέλα υπολογίσιμης ανάλυσης

Alan Turing ένας αριθμός 119909 isin [0 1] είναι υπολογίσιμος ανυπάρχει μια υπολογίσιμη συνάρτηση 119891 ∶ ℕ rarr 0 1 hellip 9τέτοια ώστε 119909 = sum119894isinℕ 119891(119896) sdot 10minus119896Ο χαρακτηρισμός του Andrzej Grzegorczyk και η θεωρία

πολυπλοκότητας στο ℝ του Ker-I Ko

Θεωρία υπολογισιμότητας των Mariam B Pour-El και

Jonathan I Richards

Μηχανές BSS των Lenore Blum Michael Shub και Steve

Smale

Type 2 theory of effectivity του Klaus Weihrauch

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μοντέλα υπολογίσιμης ανάλυσης

Alan Turing ένας αριθμός 119909 isin [0 1] είναι υπολογίσιμος ανυπάρχει μια υπολογίσιμη συνάρτηση 119891 ∶ ℕ rarr 0 1 hellip 9τέτοια ώστε 119909 = sum119894isinℕ 119891(119896) sdot 10minus119896Ο χαρακτηρισμός του Andrzej Grzegorczyk και η θεωρία

πολυπλοκότητας στο ℝ του Ker-I Ko

Θεωρία υπολογισιμότητας των Mariam B Pour-El και

Jonathan I Richards

Μηχανές BSS των Lenore Blum Michael Shub και Steve

Smale

Type 2 theory of effectivity του Klaus Weihrauch

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μοντέλα υπολογίσιμης ανάλυσης

Alan Turing ένας αριθμός 119909 isin [0 1] είναι υπολογίσιμος ανυπάρχει μια υπολογίσιμη συνάρτηση 119891 ∶ ℕ rarr 0 1 hellip 9τέτοια ώστε 119909 = sum119894isinℕ 119891(119896) sdot 10minus119896Ο χαρακτηρισμός του Andrzej Grzegorczyk και η θεωρία

πολυπλοκότητας στο ℝ του Ker-I Ko

Θεωρία υπολογισιμότητας των Mariam B Pour-El και

Jonathan I Richards

Μηχανές BSS των Lenore Blum Michael Shub και Steve

Smale

Type 2 theory of effectivity του Klaus Weihrauch

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μοντέλα υπολογίσιμης ανάλυσης

Alan Turing ένας αριθμός 119909 isin [0 1] είναι υπολογίσιμος ανυπάρχει μια υπολογίσιμη συνάρτηση 119891 ∶ ℕ rarr 0 1 hellip 9τέτοια ώστε 119909 = sum119894isinℕ 119891(119896) sdot 10minus119896Ο χαρακτηρισμός του Andrzej Grzegorczyk και η θεωρία

πολυπλοκότητας στο ℝ του Ker-I Ko

Θεωρία υπολογισιμότητας των Mariam B Pour-El και

Jonathan I Richards

Μηχανές BSS των Lenore Blum Michael Shub και Steve

Smale

Type 2 theory of effectivity του Klaus Weihrauch

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Τί είναι η υπερ-υπολογισιμότητα

Το αίτημα των Church-Turing δεν μπορεί να είναι αληθές

Υπάρχουν νοητικές μηχανές που ξεπερνούν τα όρια των

δυνατοτήτων της μηχανής Turing

Οι υπερ-μηχανές μπορούν να υλοποιηθούν

Ο Jack Copeland και η Diane Proudfoot είναι αυτοί που

εισαγάγανε τον όρο ŦὓĦŊŦὓ ʼnĽʼnĘIJŞIJľĚş Į şĐ (στα αγγλικά

hypercomputation)

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Τί είναι η υπερ-υπολογισιμότητα

Το αίτημα των Church-Turing δεν μπορεί να είναι αληθές

Υπάρχουν νοητικές μηχανές που ξεπερνούν τα όρια των

δυνατοτήτων της μηχανής Turing

Οι υπερ-μηχανές μπορούν να υλοποιηθούν

Ο Jack Copeland και η Diane Proudfoot είναι αυτοί που

εισαγάγανε τον όρο ŦὓĦŊŦὓ ʼnĽʼnĘIJŞIJľĚş Į şĐ (στα αγγλικά

hypercomputation)

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Τί είναι η υπερ-υπολογισιμότητα

Το αίτημα των Church-Turing δεν μπορεί να είναι αληθές

Υπάρχουν νοητικές μηχανές που ξεπερνούν τα όρια των

δυνατοτήτων της μηχανής Turing

Οι υπερ-μηχανές μπορούν να υλοποιηθούν

Ο Jack Copeland και η Diane Proudfoot είναι αυτοί που

εισαγάγανε τον όρο ŦὓĦŊŦὓ ʼnĽʼnĘIJŞIJľĚş Į şĐ (στα αγγλικά

hypercomputation)

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Τί είναι η υπερ-υπολογισιμότητα

Το αίτημα των Church-Turing δεν μπορεί να είναι αληθές

Υπάρχουν νοητικές μηχανές που ξεπερνούν τα όρια των

δυνατοτήτων της μηχανής Turing

Οι υπερ-μηχανές μπορούν να υλοποιηθούν

Ο Jack Copeland και η Diane Proudfoot είναι αυτοί που

εισαγάγανε τον όρο ŦὓĦŊŦὓ ʼnĽʼnĘIJŞIJľĚş Į şĐ (στα αγγλικά

hypercomputation)

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Τί είναι η υπερ-υπολογισιμότητα

Το αίτημα των Church-Turing δεν μπορεί να είναι αληθές

Υπάρχουν νοητικές μηχανές που ξεπερνούν τα όρια των

δυνατοτήτων της μηχανής Turing

Οι υπερ-μηχανές μπορούν να υλοποιηθούν

Ο Jack Copeland και η Diane Proudfoot είναι αυτοί που

εισαγάγανε τον όρο ŦὓĦŊŦὓ ʼnĽʼnĘIJŞIJľĚş Į şĐ (στα αγγλικά

hypercomputation)

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές TAE των Hintikka-Mutanen

Αποτελούν μηχανές Turing με μία επιπλέον ταινία στην

οποία γράφονται και σβήνονται δεδομένα

Υπολογίζουν εξισώσεις της μορφής 119891(119886) = 119887 119886 119887 isin ℕ

Υπολογίζουν αριθμούς και συναρτήσεις ʼnŊIJĐij

Λύνουν το πρόβλημα του τερματισμού των μηχανών Turing

Δεν μπορούν να λύσουν το δικό τους πρόβλημα

τερματισμού

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές TAE των Hintikka-Mutanen

Αποτελούν μηχανές Turing με μία επιπλέον ταινία στην

οποία γράφονται και σβήνονται δεδομένα

Υπολογίζουν εξισώσεις της μορφής 119891(119886) = 119887 119886 119887 isin ℕ

Υπολογίζουν αριθμούς και συναρτήσεις ʼnŊIJĐij

Λύνουν το πρόβλημα του τερματισμού των μηχανών Turing

Δεν μπορούν να λύσουν το δικό τους πρόβλημα

τερματισμού

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές TAE των Hintikka-Mutanen

Αποτελούν μηχανές Turing με μία επιπλέον ταινία στην

οποία γράφονται και σβήνονται δεδομένα

Υπολογίζουν εξισώσεις της μορφής 119891(119886) = 119887 119886 119887 isin ℕ

Υπολογίζουν αριθμούς και συναρτήσεις ʼnŊIJĐij

Λύνουν το πρόβλημα του τερματισμού των μηχανών Turing

Δεν μπορούν να λύσουν το δικό τους πρόβλημα

τερματισμού

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές TAE των Hintikka-Mutanen

Αποτελούν μηχανές Turing με μία επιπλέον ταινία στην

οποία γράφονται και σβήνονται δεδομένα

Υπολογίζουν εξισώσεις της μορφής 119891(119886) = 119887 119886 119887 isin ℕ

Υπολογίζουν αριθμούς και συναρτήσεις ʼnŊIJĐij

Λύνουν το πρόβλημα του τερματισμού των μηχανών Turing

Δεν μπορούν να λύσουν το δικό τους πρόβλημα

τερματισμού

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές TAE των Hintikka-Mutanen

Αποτελούν μηχανές Turing με μία επιπλέον ταινία στην

οποία γράφονται και σβήνονται δεδομένα

Υπολογίζουν εξισώσεις της μορφής 119891(119886) = 119887 119886 119887 isin ℕ

Υπολογίζουν αριθμούς και συναρτήσεις ʼnŊIJĐij

Λύνουν το πρόβλημα του τερματισμού των μηχανών Turing

Δεν μπορούν να λύσουν το δικό τους πρόβλημα

τερματισμού

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές TAE των Hintikka-Mutanen

Αποτελούν μηχανές Turing με μία επιπλέον ταινία στην

οποία γράφονται και σβήνονται δεδομένα

Υπολογίζουν εξισώσεις της μορφής 119891(119886) = 119887 119886 119887 isin ℕ

Υπολογίζουν αριθμούς και συναρτήσεις ʼnŊIJĐij

Λύνουν το πρόβλημα του τερματισμού των μηχανών Turing

Δεν μπορούν να λύσουν το δικό τους πρόβλημα

τερματισμού

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 του Weihrauch

y0 output tape 0 (one-way)

M

work tapes k + 1 N

yk

y1

input tapes 1 k (one-way)

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Ας υποθέσουμε ότι

μπορούμε και να γράφουμε σε όλες τις ταινίεςmiddot

μπορούμε να υπολογίζουμε σε κάθε βήμα μια εξίσωση της

μορφής 119891(1198861113578 hellip 119886119899) = 119887 (η εξίσωση γράφεται στη ταινία

εξόδου)middot

μπορούμε να αποφασίσουμε πότε έχουμε φτάσει στο τέλος

ενός υπολογισμού

Tότε μιλούμε για μια επέκταση της θεωρίας των μηχανών Type 2

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Ας υποθέσουμε ότι

μπορούμε και να γράφουμε σε όλες τις ταινίεςmiddot

μπορούμε να υπολογίζουμε σε κάθε βήμα μια εξίσωση της

μορφής 119891(1198861113578 hellip 119886119899) = 119887 (η εξίσωση γράφεται στη ταινία

εξόδου)middot

μπορούμε να αποφασίσουμε πότε έχουμε φτάσει στο τέλος

ενός υπολογισμού

Tότε μιλούμε για μια επέκταση της θεωρίας των μηχανών Type 2

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Ας υποθέσουμε ότι

μπορούμε και να γράφουμε σε όλες τις ταινίεςmiddot

μπορούμε να υπολογίζουμε σε κάθε βήμα μια εξίσωση της

μορφής 119891(1198861113578 hellip 119886119899) = 119887 (η εξίσωση γράφεται στη ταινία

εξόδου)middot

μπορούμε να αποφασίσουμε πότε έχουμε φτάσει στο τέλος

ενός υπολογισμού

Tότε μιλούμε για μια επέκταση της θεωρίας των μηχανών Type 2

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Ας υποθέσουμε ότι

μπορούμε και να γράφουμε σε όλες τις ταινίεςmiddot

μπορούμε να υπολογίζουμε σε κάθε βήμα μια εξίσωση της

μορφής 119891(1198861113578 hellip 119886119899) = 119887 (η εξίσωση γράφεται στη ταινία

εξόδου)middot

μπορούμε να αποφασίσουμε πότε έχουμε φτάσει στο τέλος

ενός υπολογισμού

Tότε μιλούμε για μια επέκταση της θεωρίας των μηχανών Type 2

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Ας υποθέσουμε ότι

μπορούμε και να γράφουμε σε όλες τις ταινίεςmiddot

μπορούμε να υπολογίζουμε σε κάθε βήμα μια εξίσωση της

μορφής 119891(1198861113578 hellip 119886119899) = 119887 (η εξίσωση γράφεται στη ταινία

εξόδου)middot

μπορούμε να αποφασίσουμε πότε έχουμε φτάσει στο τέλος

ενός υπολογισμού

Tότε μιλούμε για μια επέκταση της θεωρίας των μηχανών Type 2

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Απαιτείται

να ορίσουμε αυστηρά τις νέες αυτές νοητικές μηχανέςmiddot

να δούμε ποιούς αριθμούς υπολογίζουν (πόσο ψηλά στην

αριθμητική ιεραρχία laquoπηγαίνουνraquo)middot

και να δείξουμε ότι λύνουν το προβλημα τερματισμού των

μηχανών του Weihrauch

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Απαιτείται

να ορίσουμε αυστηρά τις νέες αυτές νοητικές μηχανέςmiddot

να δούμε ποιούς αριθμούς υπολογίζουν (πόσο ψηλά στην

αριθμητική ιεραρχία laquoπηγαίνουνraquo)middot

και να δείξουμε ότι λύνουν το προβλημα τερματισμού των

μηχανών του Weihrauch

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Απαιτείται

να ορίσουμε αυστηρά τις νέες αυτές νοητικές μηχανέςmiddot

να δούμε ποιούς αριθμούς υπολογίζουν (πόσο ψηλά στην

αριθμητική ιεραρχία laquoπηγαίνουνraquo)middot

και να δείξουμε ότι λύνουν το προβλημα τερματισμού των

μηχανών του Weihrauch

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Απαιτείται

να ορίσουμε αυστηρά τις νέες αυτές νοητικές μηχανέςmiddot

να δούμε ποιούς αριθμούς υπολογίζουν (πόσο ψηλά στην

αριθμητική ιεραρχία laquoπηγαίνουνraquo)middot

και να δείξουμε ότι λύνουν το προβλημα τερματισμού των

μηχανών του Weihrauch

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Τέλος

Ευχαριστώ για την προσοχή σας

• Εισαγωγή
• • Περί υπολογισιμότητας
  • Υπολογισιμότητα στην ανάλυση
  • Προσεγγίσεις στο θέμα της υπολογισιμότητας
  • • Yπερ-υπολογισιμότητα
    • Mηχανές TAE
    • Mηχανές Type 2
    • Mηχανές Type 2-TAE

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Η έννοια της υπολογισιμότητας

Η εδραιωμένη άποψη είναι ότι ένας φυσικός αριθμός ή μια

συνάρτηση 120593 ∶ ℕ119899 rarr ℕ119898 119899119898 isin ℕ είναι υπολογίσιμη αν

υπάρχει μια μηχανή Turing που μπορεί να την υπολογίσει

Κάθε άλλη περιγραφή της έννοιας του υπολογίσιμου

φαίνεται να είναι ισοδύναμη με την προηγούμενη

Αναδρομικές συναρτήσεις ένας εναλλακτικός τρόπος ορισμού

της έννοιας του υπολογίσιμου αριθμού

Αίτημα των Church-Turing μια συνάρτηση φυσικών αριθμών

ή ένας φυσικός αριθμός είναι υπολογίσιμηος αν και μόνο αν

είναι αναδρομικήός

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Η έννοια της υπολογισιμότητας

Η εδραιωμένη άποψη είναι ότι ένας φυσικός αριθμός ή μια

συνάρτηση 120593 ∶ ℕ119899 rarr ℕ119898 119899119898 isin ℕ είναι υπολογίσιμη αν

υπάρχει μια μηχανή Turing που μπορεί να την υπολογίσει

Κάθε άλλη περιγραφή της έννοιας του υπολογίσιμου

φαίνεται να είναι ισοδύναμη με την προηγούμενη

Αναδρομικές συναρτήσεις ένας εναλλακτικός τρόπος ορισμού

της έννοιας του υπολογίσιμου αριθμού

Αίτημα των Church-Turing μια συνάρτηση φυσικών αριθμών

ή ένας φυσικός αριθμός είναι υπολογίσιμηος αν και μόνο αν

είναι αναδρομικήός

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Η έννοια της υπολογισιμότητας

Η εδραιωμένη άποψη είναι ότι ένας φυσικός αριθμός ή μια

συνάρτηση 120593 ∶ ℕ119899 rarr ℕ119898 119899119898 isin ℕ είναι υπολογίσιμη αν

υπάρχει μια μηχανή Turing που μπορεί να την υπολογίσει

Κάθε άλλη περιγραφή της έννοιας του υπολογίσιμου

φαίνεται να είναι ισοδύναμη με την προηγούμενη

Αναδρομικές συναρτήσεις ένας εναλλακτικός τρόπος ορισμού

της έννοιας του υπολογίσιμου αριθμού

Αίτημα των Church-Turing μια συνάρτηση φυσικών αριθμών

ή ένας φυσικός αριθμός είναι υπολογίσιμηος αν και μόνο αν

είναι αναδρομικήός

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Σκοποί της υπολογίσιμης ανάλυσης

laquoΟρισμόςraquo της έννοιας του υπολογίσιμου πραγματικού

αριθμού της υπολογίσιμης πραγματικής συναρτησης κά

Ανακάλυψηαποκάλυψη των ορίων του τι μπορεί να

υπολογισθεί

Ισχυροποίηση των θεμελίων της αριθμητικής ανάλυσης

Επέκταση της θεωρίας πολυπλοκότητας ώστε να

περιλαμβάνει και το ℝ

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Σκοποί της υπολογίσιμης ανάλυσης

laquoΟρισμόςraquo της έννοιας του υπολογίσιμου πραγματικού

αριθμού της υπολογίσιμης πραγματικής συναρτησης κά

Ανακάλυψηαποκάλυψη των ορίων του τι μπορεί να

υπολογισθεί

Ισχυροποίηση των θεμελίων της αριθμητικής ανάλυσης

Επέκταση της θεωρίας πολυπλοκότητας ώστε να

περιλαμβάνει και το ℝ

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Σκοποί της υπολογίσιμης ανάλυσης

laquoΟρισμόςraquo της έννοιας του υπολογίσιμου πραγματικού

αριθμού της υπολογίσιμης πραγματικής συναρτησης κά

Ανακάλυψηαποκάλυψη των ορίων του τι μπορεί να

υπολογισθεί

Ισχυροποίηση των θεμελίων της αριθμητικής ανάλυσης

Επέκταση της θεωρίας πολυπλοκότητας ώστε να

περιλαμβάνει και το ℝ

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Σκοποί της υπολογίσιμης ανάλυσης

laquoΟρισμόςraquo της έννοιας του υπολογίσιμου πραγματικού

αριθμού της υπολογίσιμης πραγματικής συναρτησης κά

Ανακάλυψηαποκάλυψη των ορίων του τι μπορεί να

υπολογισθεί

Ισχυροποίηση των θεμελίων της αριθμητικής ανάλυσης

Επέκταση της θεωρίας πολυπλοκότητας ώστε να

περιλαμβάνει και το ℝ

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Σκοποί της υπολογίσιμης ανάλυσης

laquoΟρισμόςraquo της έννοιας του υπολογίσιμου πραγματικού

αριθμού της υπολογίσιμης πραγματικής συναρτησης κά

Ανακάλυψηαποκάλυψη των ορίων του τι μπορεί να

υπολογισθεί

Ισχυροποίηση των θεμελίων της αριθμητικής ανάλυσης

Επέκταση της θεωρίας πολυπλοκότητας ώστε να

περιλαμβάνει και το ℝ

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μοντέλα υπολογίσιμης ανάλυσης

Alan Turing ένας αριθμός 119909 isin [0 1] είναι υπολογίσιμος ανυπάρχει μια υπολογίσιμη συνάρτηση 119891 ∶ ℕ rarr 0 1 hellip 9τέτοια ώστε 119909 = sum119894isinℕ 119891(119896) sdot 10minus119896Ο χαρακτηρισμός του Andrzej Grzegorczyk και η θεωρία

πολυπλοκότητας στο ℝ του Ker-I Ko

Θεωρία υπολογισιμότητας των Mariam B Pour-El και

Jonathan I Richards

Μηχανές BSS των Lenore Blum Michael Shub και Steve

Smale

Type 2 theory of effectivity του Klaus Weihrauch

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μοντέλα υπολογίσιμης ανάλυσης

Alan Turing ένας αριθμός 119909 isin [0 1] είναι υπολογίσιμος ανυπάρχει μια υπολογίσιμη συνάρτηση 119891 ∶ ℕ rarr 0 1 hellip 9τέτοια ώστε 119909 = sum119894isinℕ 119891(119896) sdot 10minus119896

Ο χαρακτηρισμός του Andrzej Grzegorczyk και η θεωρία

πολυπλοκότητας στο ℝ του Ker-I Ko

Θεωρία υπολογισιμότητας των Mariam B Pour-El και

Jonathan I Richards

Μηχανές BSS των Lenore Blum Michael Shub και Steve

Smale

Type 2 theory of effectivity του Klaus Weihrauch

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μοντέλα υπολογίσιμης ανάλυσης

Alan Turing ένας αριθμός 119909 isin [0 1] είναι υπολογίσιμος ανυπάρχει μια υπολογίσιμη συνάρτηση 119891 ∶ ℕ rarr 0 1 hellip 9τέτοια ώστε 119909 = sum119894isinℕ 119891(119896) sdot 10minus119896Ο χαρακτηρισμός του Andrzej Grzegorczyk και η θεωρία

πολυπλοκότητας στο ℝ του Ker-I Ko

Θεωρία υπολογισιμότητας των Mariam B Pour-El και

Jonathan I Richards

Μηχανές BSS των Lenore Blum Michael Shub και Steve

Smale

Type 2 theory of effectivity του Klaus Weihrauch

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μοντέλα υπολογίσιμης ανάλυσης

Alan Turing ένας αριθμός 119909 isin [0 1] είναι υπολογίσιμος ανυπάρχει μια υπολογίσιμη συνάρτηση 119891 ∶ ℕ rarr 0 1 hellip 9τέτοια ώστε 119909 = sum119894isinℕ 119891(119896) sdot 10minus119896Ο χαρακτηρισμός του Andrzej Grzegorczyk και η θεωρία

πολυπλοκότητας στο ℝ του Ker-I Ko

Θεωρία υπολογισιμότητας των Mariam B Pour-El και

Jonathan I Richards

Μηχανές BSS των Lenore Blum Michael Shub και Steve

Smale

Type 2 theory of effectivity του Klaus Weihrauch

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μοντέλα υπολογίσιμης ανάλυσης

Alan Turing ένας αριθμός 119909 isin [0 1] είναι υπολογίσιμος ανυπάρχει μια υπολογίσιμη συνάρτηση 119891 ∶ ℕ rarr 0 1 hellip 9τέτοια ώστε 119909 = sum119894isinℕ 119891(119896) sdot 10minus119896Ο χαρακτηρισμός του Andrzej Grzegorczyk και η θεωρία

πολυπλοκότητας στο ℝ του Ker-I Ko

Θεωρία υπολογισιμότητας των Mariam B Pour-El και

Jonathan I Richards

Μηχανές BSS των Lenore Blum Michael Shub και Steve

Smale

Type 2 theory of effectivity του Klaus Weihrauch

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μοντέλα υπολογίσιμης ανάλυσης

Alan Turing ένας αριθμός 119909 isin [0 1] είναι υπολογίσιμος ανυπάρχει μια υπολογίσιμη συνάρτηση 119891 ∶ ℕ rarr 0 1 hellip 9τέτοια ώστε 119909 = sum119894isinℕ 119891(119896) sdot 10minus119896Ο χαρακτηρισμός του Andrzej Grzegorczyk και η θεωρία

πολυπλοκότητας στο ℝ του Ker-I Ko

Θεωρία υπολογισιμότητας των Mariam B Pour-El και

Jonathan I Richards

Μηχανές BSS των Lenore Blum Michael Shub και Steve

Smale

Type 2 theory of effectivity του Klaus Weihrauch

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Τί είναι η υπερ-υπολογισιμότητα

Το αίτημα των Church-Turing δεν μπορεί να είναι αληθές

Υπάρχουν νοητικές μηχανές που ξεπερνούν τα όρια των

δυνατοτήτων της μηχανής Turing

Οι υπερ-μηχανές μπορούν να υλοποιηθούν

Ο Jack Copeland και η Diane Proudfoot είναι αυτοί που

εισαγάγανε τον όρο ŦὓĦŊŦὓ ʼnĽʼnĘIJŞIJľĚş Į şĐ (στα αγγλικά

hypercomputation)

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Τί είναι η υπερ-υπολογισιμότητα

Το αίτημα των Church-Turing δεν μπορεί να είναι αληθές

Υπάρχουν νοητικές μηχανές που ξεπερνούν τα όρια των

δυνατοτήτων της μηχανής Turing

Οι υπερ-μηχανές μπορούν να υλοποιηθούν

Ο Jack Copeland και η Diane Proudfoot είναι αυτοί που

εισαγάγανε τον όρο ŦὓĦŊŦὓ ʼnĽʼnĘIJŞIJľĚş Į şĐ (στα αγγλικά

hypercomputation)

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Τί είναι η υπερ-υπολογισιμότητα

Το αίτημα των Church-Turing δεν μπορεί να είναι αληθές

Υπάρχουν νοητικές μηχανές που ξεπερνούν τα όρια των

δυνατοτήτων της μηχανής Turing

Οι υπερ-μηχανές μπορούν να υλοποιηθούν

Ο Jack Copeland και η Diane Proudfoot είναι αυτοί που

εισαγάγανε τον όρο ŦὓĦŊŦὓ ʼnĽʼnĘIJŞIJľĚş Į şĐ (στα αγγλικά

hypercomputation)

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Τί είναι η υπερ-υπολογισιμότητα

Το αίτημα των Church-Turing δεν μπορεί να είναι αληθές

Υπάρχουν νοητικές μηχανές που ξεπερνούν τα όρια των

δυνατοτήτων της μηχανής Turing

Οι υπερ-μηχανές μπορούν να υλοποιηθούν

Ο Jack Copeland και η Diane Proudfoot είναι αυτοί που

εισαγάγανε τον όρο ŦὓĦŊŦὓ ʼnĽʼnĘIJŞIJľĚş Į şĐ (στα αγγλικά

hypercomputation)

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Τί είναι η υπερ-υπολογισιμότητα

Το αίτημα των Church-Turing δεν μπορεί να είναι αληθές

Υπάρχουν νοητικές μηχανές που ξεπερνούν τα όρια των

δυνατοτήτων της μηχανής Turing

Οι υπερ-μηχανές μπορούν να υλοποιηθούν

Ο Jack Copeland και η Diane Proudfoot είναι αυτοί που

εισαγάγανε τον όρο ŦὓĦŊŦὓ ʼnĽʼnĘIJŞIJľĚş Į şĐ (στα αγγλικά

hypercomputation)

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές TAE των Hintikka-Mutanen

Αποτελούν μηχανές Turing με μία επιπλέον ταινία στην

οποία γράφονται και σβήνονται δεδομένα

Υπολογίζουν εξισώσεις της μορφής 119891(119886) = 119887 119886 119887 isin ℕ

Υπολογίζουν αριθμούς και συναρτήσεις ʼnŊIJĐij

Λύνουν το πρόβλημα του τερματισμού των μηχανών Turing

Δεν μπορούν να λύσουν το δικό τους πρόβλημα

τερματισμού

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές TAE των Hintikka-Mutanen

Αποτελούν μηχανές Turing με μία επιπλέον ταινία στην

οποία γράφονται και σβήνονται δεδομένα

Υπολογίζουν εξισώσεις της μορφής 119891(119886) = 119887 119886 119887 isin ℕ

Υπολογίζουν αριθμούς και συναρτήσεις ʼnŊIJĐij

Λύνουν το πρόβλημα του τερματισμού των μηχανών Turing

Δεν μπορούν να λύσουν το δικό τους πρόβλημα

τερματισμού

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές TAE των Hintikka-Mutanen

Αποτελούν μηχανές Turing με μία επιπλέον ταινία στην

οποία γράφονται και σβήνονται δεδομένα

Υπολογίζουν εξισώσεις της μορφής 119891(119886) = 119887 119886 119887 isin ℕ

Υπολογίζουν αριθμούς και συναρτήσεις ʼnŊIJĐij

Λύνουν το πρόβλημα του τερματισμού των μηχανών Turing

Δεν μπορούν να λύσουν το δικό τους πρόβλημα

τερματισμού

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές TAE των Hintikka-Mutanen

Αποτελούν μηχανές Turing με μία επιπλέον ταινία στην

οποία γράφονται και σβήνονται δεδομένα

Υπολογίζουν εξισώσεις της μορφής 119891(119886) = 119887 119886 119887 isin ℕ

Υπολογίζουν αριθμούς και συναρτήσεις ʼnŊIJĐij

Λύνουν το πρόβλημα του τερματισμού των μηχανών Turing

Δεν μπορούν να λύσουν το δικό τους πρόβλημα

τερματισμού

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές TAE των Hintikka-Mutanen

Αποτελούν μηχανές Turing με μία επιπλέον ταινία στην

οποία γράφονται και σβήνονται δεδομένα

Υπολογίζουν εξισώσεις της μορφής 119891(119886) = 119887 119886 119887 isin ℕ

Υπολογίζουν αριθμούς και συναρτήσεις ʼnŊIJĐij

Λύνουν το πρόβλημα του τερματισμού των μηχανών Turing

Δεν μπορούν να λύσουν το δικό τους πρόβλημα

τερματισμού

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές TAE των Hintikka-Mutanen

Αποτελούν μηχανές Turing με μία επιπλέον ταινία στην

οποία γράφονται και σβήνονται δεδομένα

Υπολογίζουν εξισώσεις της μορφής 119891(119886) = 119887 119886 119887 isin ℕ

Υπολογίζουν αριθμούς και συναρτήσεις ʼnŊIJĐij

Λύνουν το πρόβλημα του τερματισμού των μηχανών Turing

Δεν μπορούν να λύσουν το δικό τους πρόβλημα

τερματισμού

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 του Weihrauch

y0 output tape 0 (one-way)

M

work tapes k + 1 N

yk

y1

input tapes 1 k (one-way)

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Ας υποθέσουμε ότι

μπορούμε και να γράφουμε σε όλες τις ταινίεςmiddot

μπορούμε να υπολογίζουμε σε κάθε βήμα μια εξίσωση της

μορφής 119891(1198861113578 hellip 119886119899) = 119887 (η εξίσωση γράφεται στη ταινία

εξόδου)middot

μπορούμε να αποφασίσουμε πότε έχουμε φτάσει στο τέλος

ενός υπολογισμού

Tότε μιλούμε για μια επέκταση της θεωρίας των μηχανών Type 2

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Ας υποθέσουμε ότι

μπορούμε και να γράφουμε σε όλες τις ταινίεςmiddot

μπορούμε να υπολογίζουμε σε κάθε βήμα μια εξίσωση της

μορφής 119891(1198861113578 hellip 119886119899) = 119887 (η εξίσωση γράφεται στη ταινία

εξόδου)middot

μπορούμε να αποφασίσουμε πότε έχουμε φτάσει στο τέλος

ενός υπολογισμού

Tότε μιλούμε για μια επέκταση της θεωρίας των μηχανών Type 2

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Ας υποθέσουμε ότι

μπορούμε και να γράφουμε σε όλες τις ταινίεςmiddot

μπορούμε να υπολογίζουμε σε κάθε βήμα μια εξίσωση της

μορφής 119891(1198861113578 hellip 119886119899) = 119887 (η εξίσωση γράφεται στη ταινία

εξόδου)middot

μπορούμε να αποφασίσουμε πότε έχουμε φτάσει στο τέλος

ενός υπολογισμού

Tότε μιλούμε για μια επέκταση της θεωρίας των μηχανών Type 2

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Ας υποθέσουμε ότι

μπορούμε και να γράφουμε σε όλες τις ταινίεςmiddot

μπορούμε να υπολογίζουμε σε κάθε βήμα μια εξίσωση της

μορφής 119891(1198861113578 hellip 119886119899) = 119887 (η εξίσωση γράφεται στη ταινία

εξόδου)middot

μπορούμε να αποφασίσουμε πότε έχουμε φτάσει στο τέλος

ενός υπολογισμού

Tότε μιλούμε για μια επέκταση της θεωρίας των μηχανών Type 2

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Ας υποθέσουμε ότι

μπορούμε και να γράφουμε σε όλες τις ταινίεςmiddot

μπορούμε να υπολογίζουμε σε κάθε βήμα μια εξίσωση της

μορφής 119891(1198861113578 hellip 119886119899) = 119887 (η εξίσωση γράφεται στη ταινία

εξόδου)middot

μπορούμε να αποφασίσουμε πότε έχουμε φτάσει στο τέλος

ενός υπολογισμού

Tότε μιλούμε για μια επέκταση της θεωρίας των μηχανών Type 2

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Απαιτείται

να ορίσουμε αυστηρά τις νέες αυτές νοητικές μηχανέςmiddot

να δούμε ποιούς αριθμούς υπολογίζουν (πόσο ψηλά στην

αριθμητική ιεραρχία laquoπηγαίνουνraquo)middot

και να δείξουμε ότι λύνουν το προβλημα τερματισμού των

μηχανών του Weihrauch

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Απαιτείται

να ορίσουμε αυστηρά τις νέες αυτές νοητικές μηχανέςmiddot

να δούμε ποιούς αριθμούς υπολογίζουν (πόσο ψηλά στην

αριθμητική ιεραρχία laquoπηγαίνουνraquo)middot

και να δείξουμε ότι λύνουν το προβλημα τερματισμού των

μηχανών του Weihrauch

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Απαιτείται

να ορίσουμε αυστηρά τις νέες αυτές νοητικές μηχανέςmiddot

να δούμε ποιούς αριθμούς υπολογίζουν (πόσο ψηλά στην

αριθμητική ιεραρχία laquoπηγαίνουνraquo)middot

και να δείξουμε ότι λύνουν το προβλημα τερματισμού των

μηχανών του Weihrauch

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Απαιτείται

να ορίσουμε αυστηρά τις νέες αυτές νοητικές μηχανέςmiddot

να δούμε ποιούς αριθμούς υπολογίζουν (πόσο ψηλά στην

αριθμητική ιεραρχία laquoπηγαίνουνraquo)middot

και να δείξουμε ότι λύνουν το προβλημα τερματισμού των

μηχανών του Weihrauch

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Τέλος

Ευχαριστώ για την προσοχή σας

• Εισαγωγή
• • Περί υπολογισιμότητας
  • Υπολογισιμότητα στην ανάλυση
  • Προσεγγίσεις στο θέμα της υπολογισιμότητας
  • • Yπερ-υπολογισιμότητα
    • Mηχανές TAE
    • Mηχανές Type 2
    • Mηχανές Type 2-TAE

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Η έννοια της υπολογισιμότητας

Η εδραιωμένη άποψη είναι ότι ένας φυσικός αριθμός ή μια

συνάρτηση 120593 ∶ ℕ119899 rarr ℕ119898 119899119898 isin ℕ είναι υπολογίσιμη αν

υπάρχει μια μηχανή Turing που μπορεί να την υπολογίσει

Κάθε άλλη περιγραφή της έννοιας του υπολογίσιμου

φαίνεται να είναι ισοδύναμη με την προηγούμενη

Αναδρομικές συναρτήσεις ένας εναλλακτικός τρόπος ορισμού

της έννοιας του υπολογίσιμου αριθμού

Αίτημα των Church-Turing μια συνάρτηση φυσικών αριθμών

ή ένας φυσικός αριθμός είναι υπολογίσιμηος αν και μόνο αν

είναι αναδρομικήός

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Η έννοια της υπολογισιμότητας

Η εδραιωμένη άποψη είναι ότι ένας φυσικός αριθμός ή μια

συνάρτηση 120593 ∶ ℕ119899 rarr ℕ119898 119899119898 isin ℕ είναι υπολογίσιμη αν

υπάρχει μια μηχανή Turing που μπορεί να την υπολογίσει

Κάθε άλλη περιγραφή της έννοιας του υπολογίσιμου

φαίνεται να είναι ισοδύναμη με την προηγούμενη

Αναδρομικές συναρτήσεις ένας εναλλακτικός τρόπος ορισμού

της έννοιας του υπολογίσιμου αριθμού

Αίτημα των Church-Turing μια συνάρτηση φυσικών αριθμών

ή ένας φυσικός αριθμός είναι υπολογίσιμηος αν και μόνο αν

είναι αναδρομικήός

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Σκοποί της υπολογίσιμης ανάλυσης

laquoΟρισμόςraquo της έννοιας του υπολογίσιμου πραγματικού

αριθμού της υπολογίσιμης πραγματικής συναρτησης κά

Ανακάλυψηαποκάλυψη των ορίων του τι μπορεί να

υπολογισθεί

Ισχυροποίηση των θεμελίων της αριθμητικής ανάλυσης

Επέκταση της θεωρίας πολυπλοκότητας ώστε να

περιλαμβάνει και το ℝ

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Σκοποί της υπολογίσιμης ανάλυσης

laquoΟρισμόςraquo της έννοιας του υπολογίσιμου πραγματικού

αριθμού της υπολογίσιμης πραγματικής συναρτησης κά

Ανακάλυψηαποκάλυψη των ορίων του τι μπορεί να

υπολογισθεί

Ισχυροποίηση των θεμελίων της αριθμητικής ανάλυσης

Επέκταση της θεωρίας πολυπλοκότητας ώστε να

περιλαμβάνει και το ℝ

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Σκοποί της υπολογίσιμης ανάλυσης

laquoΟρισμόςraquo της έννοιας του υπολογίσιμου πραγματικού

αριθμού της υπολογίσιμης πραγματικής συναρτησης κά

Ανακάλυψηαποκάλυψη των ορίων του τι μπορεί να

υπολογισθεί

Ισχυροποίηση των θεμελίων της αριθμητικής ανάλυσης

Επέκταση της θεωρίας πολυπλοκότητας ώστε να

περιλαμβάνει και το ℝ

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Σκοποί της υπολογίσιμης ανάλυσης

laquoΟρισμόςraquo της έννοιας του υπολογίσιμου πραγματικού

αριθμού της υπολογίσιμης πραγματικής συναρτησης κά

Ανακάλυψηαποκάλυψη των ορίων του τι μπορεί να

υπολογισθεί

Ισχυροποίηση των θεμελίων της αριθμητικής ανάλυσης

Επέκταση της θεωρίας πολυπλοκότητας ώστε να

περιλαμβάνει και το ℝ

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Σκοποί της υπολογίσιμης ανάλυσης

laquoΟρισμόςraquo της έννοιας του υπολογίσιμου πραγματικού

αριθμού της υπολογίσιμης πραγματικής συναρτησης κά

Ανακάλυψηαποκάλυψη των ορίων του τι μπορεί να

υπολογισθεί

Ισχυροποίηση των θεμελίων της αριθμητικής ανάλυσης

Επέκταση της θεωρίας πολυπλοκότητας ώστε να

περιλαμβάνει και το ℝ

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μοντέλα υπολογίσιμης ανάλυσης

Alan Turing ένας αριθμός 119909 isin [0 1] είναι υπολογίσιμος ανυπάρχει μια υπολογίσιμη συνάρτηση 119891 ∶ ℕ rarr 0 1 hellip 9τέτοια ώστε 119909 = sum119894isinℕ 119891(119896) sdot 10minus119896Ο χαρακτηρισμός του Andrzej Grzegorczyk και η θεωρία

πολυπλοκότητας στο ℝ του Ker-I Ko

Θεωρία υπολογισιμότητας των Mariam B Pour-El και

Jonathan I Richards

Μηχανές BSS των Lenore Blum Michael Shub και Steve

Smale

Type 2 theory of effectivity του Klaus Weihrauch

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μοντέλα υπολογίσιμης ανάλυσης

Alan Turing ένας αριθμός 119909 isin [0 1] είναι υπολογίσιμος ανυπάρχει μια υπολογίσιμη συνάρτηση 119891 ∶ ℕ rarr 0 1 hellip 9τέτοια ώστε 119909 = sum119894isinℕ 119891(119896) sdot 10minus119896

Ο χαρακτηρισμός του Andrzej Grzegorczyk και η θεωρία

πολυπλοκότητας στο ℝ του Ker-I Ko

Θεωρία υπολογισιμότητας των Mariam B Pour-El και

Jonathan I Richards

Μηχανές BSS των Lenore Blum Michael Shub και Steve

Smale

Type 2 theory of effectivity του Klaus Weihrauch

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μοντέλα υπολογίσιμης ανάλυσης

Alan Turing ένας αριθμός 119909 isin [0 1] είναι υπολογίσιμος ανυπάρχει μια υπολογίσιμη συνάρτηση 119891 ∶ ℕ rarr 0 1 hellip 9τέτοια ώστε 119909 = sum119894isinℕ 119891(119896) sdot 10minus119896Ο χαρακτηρισμός του Andrzej Grzegorczyk και η θεωρία

πολυπλοκότητας στο ℝ του Ker-I Ko

Θεωρία υπολογισιμότητας των Mariam B Pour-El και

Jonathan I Richards

Μηχανές BSS των Lenore Blum Michael Shub και Steve

Smale

Type 2 theory of effectivity του Klaus Weihrauch

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μοντέλα υπολογίσιμης ανάλυσης

Alan Turing ένας αριθμός 119909 isin [0 1] είναι υπολογίσιμος ανυπάρχει μια υπολογίσιμη συνάρτηση 119891 ∶ ℕ rarr 0 1 hellip 9τέτοια ώστε 119909 = sum119894isinℕ 119891(119896) sdot 10minus119896Ο χαρακτηρισμός του Andrzej Grzegorczyk και η θεωρία

πολυπλοκότητας στο ℝ του Ker-I Ko

Θεωρία υπολογισιμότητας των Mariam B Pour-El και

Jonathan I Richards

Μηχανές BSS των Lenore Blum Michael Shub και Steve

Smale

Type 2 theory of effectivity του Klaus Weihrauch

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μοντέλα υπολογίσιμης ανάλυσης

Alan Turing ένας αριθμός 119909 isin [0 1] είναι υπολογίσιμος ανυπάρχει μια υπολογίσιμη συνάρτηση 119891 ∶ ℕ rarr 0 1 hellip 9τέτοια ώστε 119909 = sum119894isinℕ 119891(119896) sdot 10minus119896Ο χαρακτηρισμός του Andrzej Grzegorczyk και η θεωρία

πολυπλοκότητας στο ℝ του Ker-I Ko

Θεωρία υπολογισιμότητας των Mariam B Pour-El και

Jonathan I Richards

Μηχανές BSS των Lenore Blum Michael Shub και Steve

Smale

Type 2 theory of effectivity του Klaus Weihrauch

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μοντέλα υπολογίσιμης ανάλυσης

Alan Turing ένας αριθμός 119909 isin [0 1] είναι υπολογίσιμος ανυπάρχει μια υπολογίσιμη συνάρτηση 119891 ∶ ℕ rarr 0 1 hellip 9τέτοια ώστε 119909 = sum119894isinℕ 119891(119896) sdot 10minus119896Ο χαρακτηρισμός του Andrzej Grzegorczyk και η θεωρία

πολυπλοκότητας στο ℝ του Ker-I Ko

Θεωρία υπολογισιμότητας των Mariam B Pour-El και

Jonathan I Richards

Μηχανές BSS των Lenore Blum Michael Shub και Steve

Smale

Type 2 theory of effectivity του Klaus Weihrauch

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Τί είναι η υπερ-υπολογισιμότητα

Το αίτημα των Church-Turing δεν μπορεί να είναι αληθές

Υπάρχουν νοητικές μηχανές που ξεπερνούν τα όρια των

δυνατοτήτων της μηχανής Turing

Οι υπερ-μηχανές μπορούν να υλοποιηθούν

Ο Jack Copeland και η Diane Proudfoot είναι αυτοί που

εισαγάγανε τον όρο ŦὓĦŊŦὓ ʼnĽʼnĘIJŞIJľĚş Į şĐ (στα αγγλικά

hypercomputation)

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Τί είναι η υπερ-υπολογισιμότητα

Το αίτημα των Church-Turing δεν μπορεί να είναι αληθές

Υπάρχουν νοητικές μηχανές που ξεπερνούν τα όρια των

δυνατοτήτων της μηχανής Turing

Οι υπερ-μηχανές μπορούν να υλοποιηθούν

Ο Jack Copeland και η Diane Proudfoot είναι αυτοί που

εισαγάγανε τον όρο ŦὓĦŊŦὓ ʼnĽʼnĘIJŞIJľĚş Į şĐ (στα αγγλικά

hypercomputation)

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Τί είναι η υπερ-υπολογισιμότητα

Το αίτημα των Church-Turing δεν μπορεί να είναι αληθές

Υπάρχουν νοητικές μηχανές που ξεπερνούν τα όρια των

δυνατοτήτων της μηχανής Turing

Οι υπερ-μηχανές μπορούν να υλοποιηθούν

Ο Jack Copeland και η Diane Proudfoot είναι αυτοί που

εισαγάγανε τον όρο ŦὓĦŊŦὓ ʼnĽʼnĘIJŞIJľĚş Į şĐ (στα αγγλικά

hypercomputation)

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Τί είναι η υπερ-υπολογισιμότητα

Το αίτημα των Church-Turing δεν μπορεί να είναι αληθές

Υπάρχουν νοητικές μηχανές που ξεπερνούν τα όρια των

δυνατοτήτων της μηχανής Turing

Οι υπερ-μηχανές μπορούν να υλοποιηθούν

Ο Jack Copeland και η Diane Proudfoot είναι αυτοί που

εισαγάγανε τον όρο ŦὓĦŊŦὓ ʼnĽʼnĘIJŞIJľĚş Į şĐ (στα αγγλικά

hypercomputation)

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Τί είναι η υπερ-υπολογισιμότητα

Το αίτημα των Church-Turing δεν μπορεί να είναι αληθές

Υπάρχουν νοητικές μηχανές που ξεπερνούν τα όρια των

δυνατοτήτων της μηχανής Turing

Οι υπερ-μηχανές μπορούν να υλοποιηθούν

Ο Jack Copeland και η Diane Proudfoot είναι αυτοί που

εισαγάγανε τον όρο ŦὓĦŊŦὓ ʼnĽʼnĘIJŞIJľĚş Į şĐ (στα αγγλικά

hypercomputation)

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές TAE των Hintikka-Mutanen

Αποτελούν μηχανές Turing με μία επιπλέον ταινία στην

οποία γράφονται και σβήνονται δεδομένα

Υπολογίζουν εξισώσεις της μορφής 119891(119886) = 119887 119886 119887 isin ℕ

Υπολογίζουν αριθμούς και συναρτήσεις ʼnŊIJĐij

Λύνουν το πρόβλημα του τερματισμού των μηχανών Turing

Δεν μπορούν να λύσουν το δικό τους πρόβλημα

τερματισμού

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές TAE των Hintikka-Mutanen

Αποτελούν μηχανές Turing με μία επιπλέον ταινία στην

οποία γράφονται και σβήνονται δεδομένα

Υπολογίζουν εξισώσεις της μορφής 119891(119886) = 119887 119886 119887 isin ℕ

Υπολογίζουν αριθμούς και συναρτήσεις ʼnŊIJĐij

Λύνουν το πρόβλημα του τερματισμού των μηχανών Turing

Δεν μπορούν να λύσουν το δικό τους πρόβλημα

τερματισμού

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές TAE των Hintikka-Mutanen

Αποτελούν μηχανές Turing με μία επιπλέον ταινία στην

οποία γράφονται και σβήνονται δεδομένα

Υπολογίζουν εξισώσεις της μορφής 119891(119886) = 119887 119886 119887 isin ℕ

Υπολογίζουν αριθμούς και συναρτήσεις ʼnŊIJĐij

Λύνουν το πρόβλημα του τερματισμού των μηχανών Turing

Δεν μπορούν να λύσουν το δικό τους πρόβλημα

τερματισμού

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές TAE των Hintikka-Mutanen

Αποτελούν μηχανές Turing με μία επιπλέον ταινία στην

οποία γράφονται και σβήνονται δεδομένα

Υπολογίζουν εξισώσεις της μορφής 119891(119886) = 119887 119886 119887 isin ℕ

Υπολογίζουν αριθμούς και συναρτήσεις ʼnŊIJĐij

Λύνουν το πρόβλημα του τερματισμού των μηχανών Turing

Δεν μπορούν να λύσουν το δικό τους πρόβλημα

τερματισμού

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές TAE των Hintikka-Mutanen

Αποτελούν μηχανές Turing με μία επιπλέον ταινία στην

οποία γράφονται και σβήνονται δεδομένα

Υπολογίζουν εξισώσεις της μορφής 119891(119886) = 119887 119886 119887 isin ℕ

Υπολογίζουν αριθμούς και συναρτήσεις ʼnŊIJĐij

Λύνουν το πρόβλημα του τερματισμού των μηχανών Turing

Δεν μπορούν να λύσουν το δικό τους πρόβλημα

τερματισμού

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές TAE των Hintikka-Mutanen

Αποτελούν μηχανές Turing με μία επιπλέον ταινία στην

οποία γράφονται και σβήνονται δεδομένα

Υπολογίζουν εξισώσεις της μορφής 119891(119886) = 119887 119886 119887 isin ℕ

Υπολογίζουν αριθμούς και συναρτήσεις ʼnŊIJĐij

Λύνουν το πρόβλημα του τερματισμού των μηχανών Turing

Δεν μπορούν να λύσουν το δικό τους πρόβλημα

τερματισμού

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 του Weihrauch

y0 output tape 0 (one-way)

M

work tapes k + 1 N

yk

y1

input tapes 1 k (one-way)

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Ας υποθέσουμε ότι

μπορούμε και να γράφουμε σε όλες τις ταινίεςmiddot

μπορούμε να υπολογίζουμε σε κάθε βήμα μια εξίσωση της

μορφής 119891(1198861113578 hellip 119886119899) = 119887 (η εξίσωση γράφεται στη ταινία

εξόδου)middot

μπορούμε να αποφασίσουμε πότε έχουμε φτάσει στο τέλος

ενός υπολογισμού

Tότε μιλούμε για μια επέκταση της θεωρίας των μηχανών Type 2

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Ας υποθέσουμε ότι

μπορούμε και να γράφουμε σε όλες τις ταινίεςmiddot

μπορούμε να υπολογίζουμε σε κάθε βήμα μια εξίσωση της

μορφής 119891(1198861113578 hellip 119886119899) = 119887 (η εξίσωση γράφεται στη ταινία

εξόδου)middot

μπορούμε να αποφασίσουμε πότε έχουμε φτάσει στο τέλος

ενός υπολογισμού

Tότε μιλούμε για μια επέκταση της θεωρίας των μηχανών Type 2

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Ας υποθέσουμε ότι

μπορούμε και να γράφουμε σε όλες τις ταινίεςmiddot

μπορούμε να υπολογίζουμε σε κάθε βήμα μια εξίσωση της

μορφής 119891(1198861113578 hellip 119886119899) = 119887 (η εξίσωση γράφεται στη ταινία

εξόδου)middot

μπορούμε να αποφασίσουμε πότε έχουμε φτάσει στο τέλος

ενός υπολογισμού

Tότε μιλούμε για μια επέκταση της θεωρίας των μηχανών Type 2

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Ας υποθέσουμε ότι

μπορούμε και να γράφουμε σε όλες τις ταινίεςmiddot

μπορούμε να υπολογίζουμε σε κάθε βήμα μια εξίσωση της

μορφής 119891(1198861113578 hellip 119886119899) = 119887 (η εξίσωση γράφεται στη ταινία

εξόδου)middot

μπορούμε να αποφασίσουμε πότε έχουμε φτάσει στο τέλος

ενός υπολογισμού

Tότε μιλούμε για μια επέκταση της θεωρίας των μηχανών Type 2

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Ας υποθέσουμε ότι

μπορούμε και να γράφουμε σε όλες τις ταινίεςmiddot

μπορούμε να υπολογίζουμε σε κάθε βήμα μια εξίσωση της

μορφής 119891(1198861113578 hellip 119886119899) = 119887 (η εξίσωση γράφεται στη ταινία

εξόδου)middot

μπορούμε να αποφασίσουμε πότε έχουμε φτάσει στο τέλος

ενός υπολογισμού

Tότε μιλούμε για μια επέκταση της θεωρίας των μηχανών Type 2

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Απαιτείται

να ορίσουμε αυστηρά τις νέες αυτές νοητικές μηχανέςmiddot

να δούμε ποιούς αριθμούς υπολογίζουν (πόσο ψηλά στην

αριθμητική ιεραρχία laquoπηγαίνουνraquo)middot

και να δείξουμε ότι λύνουν το προβλημα τερματισμού των

μηχανών του Weihrauch

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Απαιτείται

να ορίσουμε αυστηρά τις νέες αυτές νοητικές μηχανέςmiddot

να δούμε ποιούς αριθμούς υπολογίζουν (πόσο ψηλά στην

αριθμητική ιεραρχία laquoπηγαίνουνraquo)middot

και να δείξουμε ότι λύνουν το προβλημα τερματισμού των

μηχανών του Weihrauch

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Απαιτείται

να ορίσουμε αυστηρά τις νέες αυτές νοητικές μηχανέςmiddot

να δούμε ποιούς αριθμούς υπολογίζουν (πόσο ψηλά στην

αριθμητική ιεραρχία laquoπηγαίνουνraquo)middot

και να δείξουμε ότι λύνουν το προβλημα τερματισμού των

μηχανών του Weihrauch

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Απαιτείται

να ορίσουμε αυστηρά τις νέες αυτές νοητικές μηχανέςmiddot

να δούμε ποιούς αριθμούς υπολογίζουν (πόσο ψηλά στην

αριθμητική ιεραρχία laquoπηγαίνουνraquo)middot

και να δείξουμε ότι λύνουν το προβλημα τερματισμού των

μηχανών του Weihrauch

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Τέλος

Ευχαριστώ για την προσοχή σας

• Εισαγωγή
• • Περί υπολογισιμότητας
  • Υπολογισιμότητα στην ανάλυση
  • Προσεγγίσεις στο θέμα της υπολογισιμότητας
  • • Yπερ-υπολογισιμότητα
    • Mηχανές TAE
    • Mηχανές Type 2
    • Mηχανές Type 2-TAE

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Η έννοια της υπολογισιμότητας

Η εδραιωμένη άποψη είναι ότι ένας φυσικός αριθμός ή μια

συνάρτηση 120593 ∶ ℕ119899 rarr ℕ119898 119899119898 isin ℕ είναι υπολογίσιμη αν

υπάρχει μια μηχανή Turing που μπορεί να την υπολογίσει

Κάθε άλλη περιγραφή της έννοιας του υπολογίσιμου

φαίνεται να είναι ισοδύναμη με την προηγούμενη

Αναδρομικές συναρτήσεις ένας εναλλακτικός τρόπος ορισμού

της έννοιας του υπολογίσιμου αριθμού

Αίτημα των Church-Turing μια συνάρτηση φυσικών αριθμών

ή ένας φυσικός αριθμός είναι υπολογίσιμηος αν και μόνο αν

είναι αναδρομικήός

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Σκοποί της υπολογίσιμης ανάλυσης

laquoΟρισμόςraquo της έννοιας του υπολογίσιμου πραγματικού

αριθμού της υπολογίσιμης πραγματικής συναρτησης κά

Ανακάλυψηαποκάλυψη των ορίων του τι μπορεί να

υπολογισθεί

Ισχυροποίηση των θεμελίων της αριθμητικής ανάλυσης

Επέκταση της θεωρίας πολυπλοκότητας ώστε να

περιλαμβάνει και το ℝ

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Σκοποί της υπολογίσιμης ανάλυσης

laquoΟρισμόςraquo της έννοιας του υπολογίσιμου πραγματικού

αριθμού της υπολογίσιμης πραγματικής συναρτησης κά

Ανακάλυψηαποκάλυψη των ορίων του τι μπορεί να

υπολογισθεί

Ισχυροποίηση των θεμελίων της αριθμητικής ανάλυσης

Επέκταση της θεωρίας πολυπλοκότητας ώστε να

περιλαμβάνει και το ℝ

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Σκοποί της υπολογίσιμης ανάλυσης

laquoΟρισμόςraquo της έννοιας του υπολογίσιμου πραγματικού

αριθμού της υπολογίσιμης πραγματικής συναρτησης κά

Ανακάλυψηαποκάλυψη των ορίων του τι μπορεί να

υπολογισθεί

Ισχυροποίηση των θεμελίων της αριθμητικής ανάλυσης

Επέκταση της θεωρίας πολυπλοκότητας ώστε να

περιλαμβάνει και το ℝ

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Σκοποί της υπολογίσιμης ανάλυσης

laquoΟρισμόςraquo της έννοιας του υπολογίσιμου πραγματικού

αριθμού της υπολογίσιμης πραγματικής συναρτησης κά

Ανακάλυψηαποκάλυψη των ορίων του τι μπορεί να

υπολογισθεί

Ισχυροποίηση των θεμελίων της αριθμητικής ανάλυσης

Επέκταση της θεωρίας πολυπλοκότητας ώστε να

περιλαμβάνει και το ℝ

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Σκοποί της υπολογίσιμης ανάλυσης

laquoΟρισμόςraquo της έννοιας του υπολογίσιμου πραγματικού

αριθμού της υπολογίσιμης πραγματικής συναρτησης κά

Ανακάλυψηαποκάλυψη των ορίων του τι μπορεί να

υπολογισθεί

Ισχυροποίηση των θεμελίων της αριθμητικής ανάλυσης

Επέκταση της θεωρίας πολυπλοκότητας ώστε να

περιλαμβάνει και το ℝ

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μοντέλα υπολογίσιμης ανάλυσης

Alan Turing ένας αριθμός 119909 isin [0 1] είναι υπολογίσιμος ανυπάρχει μια υπολογίσιμη συνάρτηση 119891 ∶ ℕ rarr 0 1 hellip 9τέτοια ώστε 119909 = sum119894isinℕ 119891(119896) sdot 10minus119896Ο χαρακτηρισμός του Andrzej Grzegorczyk και η θεωρία

πολυπλοκότητας στο ℝ του Ker-I Ko

Θεωρία υπολογισιμότητας των Mariam B Pour-El και

Jonathan I Richards

Μηχανές BSS των Lenore Blum Michael Shub και Steve

Smale

Type 2 theory of effectivity του Klaus Weihrauch

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μοντέλα υπολογίσιμης ανάλυσης

Alan Turing ένας αριθμός 119909 isin [0 1] είναι υπολογίσιμος ανυπάρχει μια υπολογίσιμη συνάρτηση 119891 ∶ ℕ rarr 0 1 hellip 9τέτοια ώστε 119909 = sum119894isinℕ 119891(119896) sdot 10minus119896

Ο χαρακτηρισμός του Andrzej Grzegorczyk και η θεωρία

πολυπλοκότητας στο ℝ του Ker-I Ko

Θεωρία υπολογισιμότητας των Mariam B Pour-El και

Jonathan I Richards

Μηχανές BSS των Lenore Blum Michael Shub και Steve

Smale

Type 2 theory of effectivity του Klaus Weihrauch

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μοντέλα υπολογίσιμης ανάλυσης

Alan Turing ένας αριθμός 119909 isin [0 1] είναι υπολογίσιμος ανυπάρχει μια υπολογίσιμη συνάρτηση 119891 ∶ ℕ rarr 0 1 hellip 9τέτοια ώστε 119909 = sum119894isinℕ 119891(119896) sdot 10minus119896Ο χαρακτηρισμός του Andrzej Grzegorczyk και η θεωρία

πολυπλοκότητας στο ℝ του Ker-I Ko

Θεωρία υπολογισιμότητας των Mariam B Pour-El και

Jonathan I Richards

Μηχανές BSS των Lenore Blum Michael Shub και Steve

Smale

Type 2 theory of effectivity του Klaus Weihrauch

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μοντέλα υπολογίσιμης ανάλυσης

Alan Turing ένας αριθμός 119909 isin [0 1] είναι υπολογίσιμος ανυπάρχει μια υπολογίσιμη συνάρτηση 119891 ∶ ℕ rarr 0 1 hellip 9τέτοια ώστε 119909 = sum119894isinℕ 119891(119896) sdot 10minus119896Ο χαρακτηρισμός του Andrzej Grzegorczyk και η θεωρία

πολυπλοκότητας στο ℝ του Ker-I Ko

Θεωρία υπολογισιμότητας των Mariam B Pour-El και

Jonathan I Richards

Μηχανές BSS των Lenore Blum Michael Shub και Steve

Smale

Type 2 theory of effectivity του Klaus Weihrauch

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μοντέλα υπολογίσιμης ανάλυσης

Alan Turing ένας αριθμός 119909 isin [0 1] είναι υπολογίσιμος ανυπάρχει μια υπολογίσιμη συνάρτηση 119891 ∶ ℕ rarr 0 1 hellip 9τέτοια ώστε 119909 = sum119894isinℕ 119891(119896) sdot 10minus119896Ο χαρακτηρισμός του Andrzej Grzegorczyk και η θεωρία

πολυπλοκότητας στο ℝ του Ker-I Ko

Θεωρία υπολογισιμότητας των Mariam B Pour-El και

Jonathan I Richards

Μηχανές BSS των Lenore Blum Michael Shub και Steve

Smale

Type 2 theory of effectivity του Klaus Weihrauch

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μοντέλα υπολογίσιμης ανάλυσης

Alan Turing ένας αριθμός 119909 isin [0 1] είναι υπολογίσιμος ανυπάρχει μια υπολογίσιμη συνάρτηση 119891 ∶ ℕ rarr 0 1 hellip 9τέτοια ώστε 119909 = sum119894isinℕ 119891(119896) sdot 10minus119896Ο χαρακτηρισμός του Andrzej Grzegorczyk και η θεωρία

πολυπλοκότητας στο ℝ του Ker-I Ko

Θεωρία υπολογισιμότητας των Mariam B Pour-El και

Jonathan I Richards

Μηχανές BSS των Lenore Blum Michael Shub και Steve

Smale

Type 2 theory of effectivity του Klaus Weihrauch

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Τί είναι η υπερ-υπολογισιμότητα

Το αίτημα των Church-Turing δεν μπορεί να είναι αληθές

Υπάρχουν νοητικές μηχανές που ξεπερνούν τα όρια των

δυνατοτήτων της μηχανής Turing

Οι υπερ-μηχανές μπορούν να υλοποιηθούν

Ο Jack Copeland και η Diane Proudfoot είναι αυτοί που

εισαγάγανε τον όρο ŦὓĦŊŦὓ ʼnĽʼnĘIJŞIJľĚş Į şĐ (στα αγγλικά

hypercomputation)

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Τί είναι η υπερ-υπολογισιμότητα

Το αίτημα των Church-Turing δεν μπορεί να είναι αληθές

Υπάρχουν νοητικές μηχανές που ξεπερνούν τα όρια των

δυνατοτήτων της μηχανής Turing

Οι υπερ-μηχανές μπορούν να υλοποιηθούν

Ο Jack Copeland και η Diane Proudfoot είναι αυτοί που

εισαγάγανε τον όρο ŦὓĦŊŦὓ ʼnĽʼnĘIJŞIJľĚş Į şĐ (στα αγγλικά

hypercomputation)

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Τί είναι η υπερ-υπολογισιμότητα

Το αίτημα των Church-Turing δεν μπορεί να είναι αληθές

Υπάρχουν νοητικές μηχανές που ξεπερνούν τα όρια των

δυνατοτήτων της μηχανής Turing

Οι υπερ-μηχανές μπορούν να υλοποιηθούν

Ο Jack Copeland και η Diane Proudfoot είναι αυτοί που

εισαγάγανε τον όρο ŦὓĦŊŦὓ ʼnĽʼnĘIJŞIJľĚş Į şĐ (στα αγγλικά

hypercomputation)

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Τί είναι η υπερ-υπολογισιμότητα

Το αίτημα των Church-Turing δεν μπορεί να είναι αληθές

Υπάρχουν νοητικές μηχανές που ξεπερνούν τα όρια των

δυνατοτήτων της μηχανής Turing

Οι υπερ-μηχανές μπορούν να υλοποιηθούν

Ο Jack Copeland και η Diane Proudfoot είναι αυτοί που

εισαγάγανε τον όρο ŦὓĦŊŦὓ ʼnĽʼnĘIJŞIJľĚş Į şĐ (στα αγγλικά

hypercomputation)

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Τί είναι η υπερ-υπολογισιμότητα

Το αίτημα των Church-Turing δεν μπορεί να είναι αληθές

Υπάρχουν νοητικές μηχανές που ξεπερνούν τα όρια των

δυνατοτήτων της μηχανής Turing

Οι υπερ-μηχανές μπορούν να υλοποιηθούν

Ο Jack Copeland και η Diane Proudfoot είναι αυτοί που

εισαγάγανε τον όρο ŦὓĦŊŦὓ ʼnĽʼnĘIJŞIJľĚş Į şĐ (στα αγγλικά

hypercomputation)

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές TAE των Hintikka-Mutanen

Αποτελούν μηχανές Turing με μία επιπλέον ταινία στην

οποία γράφονται και σβήνονται δεδομένα

Υπολογίζουν εξισώσεις της μορφής 119891(119886) = 119887 119886 119887 isin ℕ

Υπολογίζουν αριθμούς και συναρτήσεις ʼnŊIJĐij

Λύνουν το πρόβλημα του τερματισμού των μηχανών Turing

Δεν μπορούν να λύσουν το δικό τους πρόβλημα

τερματισμού

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές TAE των Hintikka-Mutanen

Αποτελούν μηχανές Turing με μία επιπλέον ταινία στην

οποία γράφονται και σβήνονται δεδομένα

Υπολογίζουν εξισώσεις της μορφής 119891(119886) = 119887 119886 119887 isin ℕ

Υπολογίζουν αριθμούς και συναρτήσεις ʼnŊIJĐij

Λύνουν το πρόβλημα του τερματισμού των μηχανών Turing

Δεν μπορούν να λύσουν το δικό τους πρόβλημα

τερματισμού

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές TAE των Hintikka-Mutanen

Αποτελούν μηχανές Turing με μία επιπλέον ταινία στην

οποία γράφονται και σβήνονται δεδομένα

Υπολογίζουν εξισώσεις της μορφής 119891(119886) = 119887 119886 119887 isin ℕ

Υπολογίζουν αριθμούς και συναρτήσεις ʼnŊIJĐij

Λύνουν το πρόβλημα του τερματισμού των μηχανών Turing

Δεν μπορούν να λύσουν το δικό τους πρόβλημα

τερματισμού

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές TAE των Hintikka-Mutanen

Αποτελούν μηχανές Turing με μία επιπλέον ταινία στην

οποία γράφονται και σβήνονται δεδομένα

Υπολογίζουν εξισώσεις της μορφής 119891(119886) = 119887 119886 119887 isin ℕ

Υπολογίζουν αριθμούς και συναρτήσεις ʼnŊIJĐij

Λύνουν το πρόβλημα του τερματισμού των μηχανών Turing

Δεν μπορούν να λύσουν το δικό τους πρόβλημα

τερματισμού

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές TAE των Hintikka-Mutanen

Αποτελούν μηχανές Turing με μία επιπλέον ταινία στην

οποία γράφονται και σβήνονται δεδομένα

Υπολογίζουν εξισώσεις της μορφής 119891(119886) = 119887 119886 119887 isin ℕ

Υπολογίζουν αριθμούς και συναρτήσεις ʼnŊIJĐij

Λύνουν το πρόβλημα του τερματισμού των μηχανών Turing

Δεν μπορούν να λύσουν το δικό τους πρόβλημα

τερματισμού

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές TAE των Hintikka-Mutanen

Αποτελούν μηχανές Turing με μία επιπλέον ταινία στην

οποία γράφονται και σβήνονται δεδομένα

Υπολογίζουν εξισώσεις της μορφής 119891(119886) = 119887 119886 119887 isin ℕ

Υπολογίζουν αριθμούς και συναρτήσεις ʼnŊIJĐij

Λύνουν το πρόβλημα του τερματισμού των μηχανών Turing

Δεν μπορούν να λύσουν το δικό τους πρόβλημα

τερματισμού

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 του Weihrauch

y0 output tape 0 (one-way)

M

work tapes k + 1 N

yk

y1

input tapes 1 k (one-way)

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Ας υποθέσουμε ότι

μπορούμε και να γράφουμε σε όλες τις ταινίεςmiddot

μπορούμε να υπολογίζουμε σε κάθε βήμα μια εξίσωση της

μορφής 119891(1198861113578 hellip 119886119899) = 119887 (η εξίσωση γράφεται στη ταινία

εξόδου)middot

μπορούμε να αποφασίσουμε πότε έχουμε φτάσει στο τέλος

ενός υπολογισμού

Tότε μιλούμε για μια επέκταση της θεωρίας των μηχανών Type 2

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Ας υποθέσουμε ότι

μπορούμε και να γράφουμε σε όλες τις ταινίεςmiddot

μπορούμε να υπολογίζουμε σε κάθε βήμα μια εξίσωση της

μορφής 119891(1198861113578 hellip 119886119899) = 119887 (η εξίσωση γράφεται στη ταινία

εξόδου)middot

μπορούμε να αποφασίσουμε πότε έχουμε φτάσει στο τέλος

ενός υπολογισμού

Tότε μιλούμε για μια επέκταση της θεωρίας των μηχανών Type 2

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Ας υποθέσουμε ότι

μπορούμε και να γράφουμε σε όλες τις ταινίεςmiddot

μπορούμε να υπολογίζουμε σε κάθε βήμα μια εξίσωση της

μορφής 119891(1198861113578 hellip 119886119899) = 119887 (η εξίσωση γράφεται στη ταινία

εξόδου)middot

μπορούμε να αποφασίσουμε πότε έχουμε φτάσει στο τέλος

ενός υπολογισμού

Tότε μιλούμε για μια επέκταση της θεωρίας των μηχανών Type 2

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Ας υποθέσουμε ότι

μπορούμε και να γράφουμε σε όλες τις ταινίεςmiddot

μπορούμε να υπολογίζουμε σε κάθε βήμα μια εξίσωση της

μορφής 119891(1198861113578 hellip 119886119899) = 119887 (η εξίσωση γράφεται στη ταινία

εξόδου)middot

μπορούμε να αποφασίσουμε πότε έχουμε φτάσει στο τέλος

ενός υπολογισμού

Tότε μιλούμε για μια επέκταση της θεωρίας των μηχανών Type 2

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Ας υποθέσουμε ότι

μπορούμε και να γράφουμε σε όλες τις ταινίεςmiddot

μπορούμε να υπολογίζουμε σε κάθε βήμα μια εξίσωση της

μορφής 119891(1198861113578 hellip 119886119899) = 119887 (η εξίσωση γράφεται στη ταινία

εξόδου)middot

μπορούμε να αποφασίσουμε πότε έχουμε φτάσει στο τέλος

ενός υπολογισμού

Tότε μιλούμε για μια επέκταση της θεωρίας των μηχανών Type 2

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Απαιτείται

να ορίσουμε αυστηρά τις νέες αυτές νοητικές μηχανέςmiddot

να δούμε ποιούς αριθμούς υπολογίζουν (πόσο ψηλά στην

αριθμητική ιεραρχία laquoπηγαίνουνraquo)middot

και να δείξουμε ότι λύνουν το προβλημα τερματισμού των

μηχανών του Weihrauch

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Απαιτείται

να ορίσουμε αυστηρά τις νέες αυτές νοητικές μηχανέςmiddot

να δούμε ποιούς αριθμούς υπολογίζουν (πόσο ψηλά στην

αριθμητική ιεραρχία laquoπηγαίνουνraquo)middot

και να δείξουμε ότι λύνουν το προβλημα τερματισμού των

μηχανών του Weihrauch

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Απαιτείται

να ορίσουμε αυστηρά τις νέες αυτές νοητικές μηχανέςmiddot

να δούμε ποιούς αριθμούς υπολογίζουν (πόσο ψηλά στην

αριθμητική ιεραρχία laquoπηγαίνουνraquo)middot

και να δείξουμε ότι λύνουν το προβλημα τερματισμού των

μηχανών του Weihrauch

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Απαιτείται

να ορίσουμε αυστηρά τις νέες αυτές νοητικές μηχανέςmiddot

να δούμε ποιούς αριθμούς υπολογίζουν (πόσο ψηλά στην

αριθμητική ιεραρχία laquoπηγαίνουνraquo)middot

και να δείξουμε ότι λύνουν το προβλημα τερματισμού των

μηχανών του Weihrauch

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Τέλος

Ευχαριστώ για την προσοχή σας

• Εισαγωγή
• • Περί υπολογισιμότητας
  • Υπολογισιμότητα στην ανάλυση
  • Προσεγγίσεις στο θέμα της υπολογισιμότητας
  • • Yπερ-υπολογισιμότητα
    • Mηχανές TAE
    • Mηχανές Type 2
    • Mηχανές Type 2-TAE

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Σκοποί της υπολογίσιμης ανάλυσης

laquoΟρισμόςraquo της έννοιας του υπολογίσιμου πραγματικού

αριθμού της υπολογίσιμης πραγματικής συναρτησης κά

Ανακάλυψηαποκάλυψη των ορίων του τι μπορεί να

υπολογισθεί

Ισχυροποίηση των θεμελίων της αριθμητικής ανάλυσης

Επέκταση της θεωρίας πολυπλοκότητας ώστε να

περιλαμβάνει και το ℝ

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Σκοποί της υπολογίσιμης ανάλυσης

laquoΟρισμόςraquo της έννοιας του υπολογίσιμου πραγματικού

αριθμού της υπολογίσιμης πραγματικής συναρτησης κά

Ανακάλυψηαποκάλυψη των ορίων του τι μπορεί να

υπολογισθεί

Ισχυροποίηση των θεμελίων της αριθμητικής ανάλυσης

Επέκταση της θεωρίας πολυπλοκότητας ώστε να

περιλαμβάνει και το ℝ

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Σκοποί της υπολογίσιμης ανάλυσης

laquoΟρισμόςraquo της έννοιας του υπολογίσιμου πραγματικού

αριθμού της υπολογίσιμης πραγματικής συναρτησης κά

Ανακάλυψηαποκάλυψη των ορίων του τι μπορεί να

υπολογισθεί

Ισχυροποίηση των θεμελίων της αριθμητικής ανάλυσης

Επέκταση της θεωρίας πολυπλοκότητας ώστε να

περιλαμβάνει και το ℝ

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Σκοποί της υπολογίσιμης ανάλυσης

laquoΟρισμόςraquo της έννοιας του υπολογίσιμου πραγματικού

αριθμού της υπολογίσιμης πραγματικής συναρτησης κά

Ανακάλυψηαποκάλυψη των ορίων του τι μπορεί να

υπολογισθεί

Ισχυροποίηση των θεμελίων της αριθμητικής ανάλυσης

Επέκταση της θεωρίας πολυπλοκότητας ώστε να

περιλαμβάνει και το ℝ

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Σκοποί της υπολογίσιμης ανάλυσης

laquoΟρισμόςraquo της έννοιας του υπολογίσιμου πραγματικού

αριθμού της υπολογίσιμης πραγματικής συναρτησης κά

Ανακάλυψηαποκάλυψη των ορίων του τι μπορεί να

υπολογισθεί

Ισχυροποίηση των θεμελίων της αριθμητικής ανάλυσης

Επέκταση της θεωρίας πολυπλοκότητας ώστε να

περιλαμβάνει και το ℝ

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μοντέλα υπολογίσιμης ανάλυσης

Alan Turing ένας αριθμός 119909 isin [0 1] είναι υπολογίσιμος ανυπάρχει μια υπολογίσιμη συνάρτηση 119891 ∶ ℕ rarr 0 1 hellip 9τέτοια ώστε 119909 = sum119894isinℕ 119891(119896) sdot 10minus119896Ο χαρακτηρισμός του Andrzej Grzegorczyk και η θεωρία

πολυπλοκότητας στο ℝ του Ker-I Ko

Θεωρία υπολογισιμότητας των Mariam B Pour-El και

Jonathan I Richards

Μηχανές BSS των Lenore Blum Michael Shub και Steve

Smale

Type 2 theory of effectivity του Klaus Weihrauch

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μοντέλα υπολογίσιμης ανάλυσης

Alan Turing ένας αριθμός 119909 isin [0 1] είναι υπολογίσιμος ανυπάρχει μια υπολογίσιμη συνάρτηση 119891 ∶ ℕ rarr 0 1 hellip 9τέτοια ώστε 119909 = sum119894isinℕ 119891(119896) sdot 10minus119896

Ο χαρακτηρισμός του Andrzej Grzegorczyk και η θεωρία

πολυπλοκότητας στο ℝ του Ker-I Ko

Θεωρία υπολογισιμότητας των Mariam B Pour-El και

Jonathan I Richards

Μηχανές BSS των Lenore Blum Michael Shub και Steve

Smale

Type 2 theory of effectivity του Klaus Weihrauch

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μοντέλα υπολογίσιμης ανάλυσης

Alan Turing ένας αριθμός 119909 isin [0 1] είναι υπολογίσιμος ανυπάρχει μια υπολογίσιμη συνάρτηση 119891 ∶ ℕ rarr 0 1 hellip 9τέτοια ώστε 119909 = sum119894isinℕ 119891(119896) sdot 10minus119896Ο χαρακτηρισμός του Andrzej Grzegorczyk και η θεωρία

πολυπλοκότητας στο ℝ του Ker-I Ko

Θεωρία υπολογισιμότητας των Mariam B Pour-El και

Jonathan I Richards

Μηχανές BSS των Lenore Blum Michael Shub και Steve

Smale

Type 2 theory of effectivity του Klaus Weihrauch

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μοντέλα υπολογίσιμης ανάλυσης

Alan Turing ένας αριθμός 119909 isin [0 1] είναι υπολογίσιμος ανυπάρχει μια υπολογίσιμη συνάρτηση 119891 ∶ ℕ rarr 0 1 hellip 9τέτοια ώστε 119909 = sum119894isinℕ 119891(119896) sdot 10minus119896Ο χαρακτηρισμός του Andrzej Grzegorczyk και η θεωρία

πολυπλοκότητας στο ℝ του Ker-I Ko

Θεωρία υπολογισιμότητας των Mariam B Pour-El και

Jonathan I Richards

Μηχανές BSS των Lenore Blum Michael Shub και Steve

Smale

Type 2 theory of effectivity του Klaus Weihrauch

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μοντέλα υπολογίσιμης ανάλυσης

Alan Turing ένας αριθμός 119909 isin [0 1] είναι υπολογίσιμος ανυπάρχει μια υπολογίσιμη συνάρτηση 119891 ∶ ℕ rarr 0 1 hellip 9τέτοια ώστε 119909 = sum119894isinℕ 119891(119896) sdot 10minus119896Ο χαρακτηρισμός του Andrzej Grzegorczyk και η θεωρία

πολυπλοκότητας στο ℝ του Ker-I Ko

Θεωρία υπολογισιμότητας των Mariam B Pour-El και

Jonathan I Richards

Μηχανές BSS των Lenore Blum Michael Shub και Steve

Smale

Type 2 theory of effectivity του Klaus Weihrauch

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μοντέλα υπολογίσιμης ανάλυσης

Alan Turing ένας αριθμός 119909 isin [0 1] είναι υπολογίσιμος ανυπάρχει μια υπολογίσιμη συνάρτηση 119891 ∶ ℕ rarr 0 1 hellip 9τέτοια ώστε 119909 = sum119894isinℕ 119891(119896) sdot 10minus119896Ο χαρακτηρισμός του Andrzej Grzegorczyk και η θεωρία

πολυπλοκότητας στο ℝ του Ker-I Ko

Θεωρία υπολογισιμότητας των Mariam B Pour-El και

Jonathan I Richards

Μηχανές BSS των Lenore Blum Michael Shub και Steve

Smale

Type 2 theory of effectivity του Klaus Weihrauch

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Τί είναι η υπερ-υπολογισιμότητα

Το αίτημα των Church-Turing δεν μπορεί να είναι αληθές

Υπάρχουν νοητικές μηχανές που ξεπερνούν τα όρια των

δυνατοτήτων της μηχανής Turing

Οι υπερ-μηχανές μπορούν να υλοποιηθούν

Ο Jack Copeland και η Diane Proudfoot είναι αυτοί που

εισαγάγανε τον όρο ŦὓĦŊŦὓ ʼnĽʼnĘIJŞIJľĚş Į şĐ (στα αγγλικά

hypercomputation)

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Τί είναι η υπερ-υπολογισιμότητα

Το αίτημα των Church-Turing δεν μπορεί να είναι αληθές

Υπάρχουν νοητικές μηχανές που ξεπερνούν τα όρια των

δυνατοτήτων της μηχανής Turing

Οι υπερ-μηχανές μπορούν να υλοποιηθούν

Ο Jack Copeland και η Diane Proudfoot είναι αυτοί που

εισαγάγανε τον όρο ŦὓĦŊŦὓ ʼnĽʼnĘIJŞIJľĚş Į şĐ (στα αγγλικά

hypercomputation)

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Τί είναι η υπερ-υπολογισιμότητα

Το αίτημα των Church-Turing δεν μπορεί να είναι αληθές

Υπάρχουν νοητικές μηχανές που ξεπερνούν τα όρια των

δυνατοτήτων της μηχανής Turing

Οι υπερ-μηχανές μπορούν να υλοποιηθούν

Ο Jack Copeland και η Diane Proudfoot είναι αυτοί που

εισαγάγανε τον όρο ŦὓĦŊŦὓ ʼnĽʼnĘIJŞIJľĚş Į şĐ (στα αγγλικά

hypercomputation)

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Τί είναι η υπερ-υπολογισιμότητα

Το αίτημα των Church-Turing δεν μπορεί να είναι αληθές

Υπάρχουν νοητικές μηχανές που ξεπερνούν τα όρια των

δυνατοτήτων της μηχανής Turing

Οι υπερ-μηχανές μπορούν να υλοποιηθούν

Ο Jack Copeland και η Diane Proudfoot είναι αυτοί που

εισαγάγανε τον όρο ŦὓĦŊŦὓ ʼnĽʼnĘIJŞIJľĚş Į şĐ (στα αγγλικά

hypercomputation)

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Τί είναι η υπερ-υπολογισιμότητα

Το αίτημα των Church-Turing δεν μπορεί να είναι αληθές

Υπάρχουν νοητικές μηχανές που ξεπερνούν τα όρια των

δυνατοτήτων της μηχανής Turing

Οι υπερ-μηχανές μπορούν να υλοποιηθούν

Ο Jack Copeland και η Diane Proudfoot είναι αυτοί που

εισαγάγανε τον όρο ŦὓĦŊŦὓ ʼnĽʼnĘIJŞIJľĚş Į şĐ (στα αγγλικά

hypercomputation)

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές TAE των Hintikka-Mutanen

Αποτελούν μηχανές Turing με μία επιπλέον ταινία στην

οποία γράφονται και σβήνονται δεδομένα

Υπολογίζουν εξισώσεις της μορφής 119891(119886) = 119887 119886 119887 isin ℕ

Υπολογίζουν αριθμούς και συναρτήσεις ʼnŊIJĐij

Λύνουν το πρόβλημα του τερματισμού των μηχανών Turing

Δεν μπορούν να λύσουν το δικό τους πρόβλημα

τερματισμού

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές TAE των Hintikka-Mutanen

Αποτελούν μηχανές Turing με μία επιπλέον ταινία στην

οποία γράφονται και σβήνονται δεδομένα

Υπολογίζουν εξισώσεις της μορφής 119891(119886) = 119887 119886 119887 isin ℕ

Υπολογίζουν αριθμούς και συναρτήσεις ʼnŊIJĐij

Λύνουν το πρόβλημα του τερματισμού των μηχανών Turing

Δεν μπορούν να λύσουν το δικό τους πρόβλημα

τερματισμού

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές TAE των Hintikka-Mutanen

Αποτελούν μηχανές Turing με μία επιπλέον ταινία στην

οποία γράφονται και σβήνονται δεδομένα

Υπολογίζουν εξισώσεις της μορφής 119891(119886) = 119887 119886 119887 isin ℕ

Υπολογίζουν αριθμούς και συναρτήσεις ʼnŊIJĐij

Λύνουν το πρόβλημα του τερματισμού των μηχανών Turing

Δεν μπορούν να λύσουν το δικό τους πρόβλημα

τερματισμού

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές TAE των Hintikka-Mutanen

Αποτελούν μηχανές Turing με μία επιπλέον ταινία στην

οποία γράφονται και σβήνονται δεδομένα

Υπολογίζουν εξισώσεις της μορφής 119891(119886) = 119887 119886 119887 isin ℕ

Υπολογίζουν αριθμούς και συναρτήσεις ʼnŊIJĐij

Λύνουν το πρόβλημα του τερματισμού των μηχανών Turing

Δεν μπορούν να λύσουν το δικό τους πρόβλημα

τερματισμού

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές TAE των Hintikka-Mutanen

Αποτελούν μηχανές Turing με μία επιπλέον ταινία στην

οποία γράφονται και σβήνονται δεδομένα

Υπολογίζουν εξισώσεις της μορφής 119891(119886) = 119887 119886 119887 isin ℕ

Υπολογίζουν αριθμούς και συναρτήσεις ʼnŊIJĐij

Λύνουν το πρόβλημα του τερματισμού των μηχανών Turing

Δεν μπορούν να λύσουν το δικό τους πρόβλημα

τερματισμού

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές TAE των Hintikka-Mutanen

Αποτελούν μηχανές Turing με μία επιπλέον ταινία στην

οποία γράφονται και σβήνονται δεδομένα

Υπολογίζουν εξισώσεις της μορφής 119891(119886) = 119887 119886 119887 isin ℕ

Υπολογίζουν αριθμούς και συναρτήσεις ʼnŊIJĐij

Λύνουν το πρόβλημα του τερματισμού των μηχανών Turing

Δεν μπορούν να λύσουν το δικό τους πρόβλημα

τερματισμού

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 του Weihrauch

y0 output tape 0 (one-way)

M

work tapes k + 1 N

yk

y1

input tapes 1 k (one-way)

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Ας υποθέσουμε ότι

μπορούμε και να γράφουμε σε όλες τις ταινίεςmiddot

μπορούμε να υπολογίζουμε σε κάθε βήμα μια εξίσωση της

μορφής 119891(1198861113578 hellip 119886119899) = 119887 (η εξίσωση γράφεται στη ταινία

εξόδου)middot

μπορούμε να αποφασίσουμε πότε έχουμε φτάσει στο τέλος

ενός υπολογισμού

Tότε μιλούμε για μια επέκταση της θεωρίας των μηχανών Type 2

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Ας υποθέσουμε ότι

μπορούμε και να γράφουμε σε όλες τις ταινίεςmiddot

μπορούμε να υπολογίζουμε σε κάθε βήμα μια εξίσωση της

μορφής 119891(1198861113578 hellip 119886119899) = 119887 (η εξίσωση γράφεται στη ταινία

εξόδου)middot

μπορούμε να αποφασίσουμε πότε έχουμε φτάσει στο τέλος

ενός υπολογισμού

Tότε μιλούμε για μια επέκταση της θεωρίας των μηχανών Type 2

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Ας υποθέσουμε ότι

μπορούμε και να γράφουμε σε όλες τις ταινίεςmiddot

μπορούμε να υπολογίζουμε σε κάθε βήμα μια εξίσωση της

μορφής 119891(1198861113578 hellip 119886119899) = 119887 (η εξίσωση γράφεται στη ταινία

εξόδου)middot

μπορούμε να αποφασίσουμε πότε έχουμε φτάσει στο τέλος

ενός υπολογισμού

Tότε μιλούμε για μια επέκταση της θεωρίας των μηχανών Type 2

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Ας υποθέσουμε ότι

μπορούμε και να γράφουμε σε όλες τις ταινίεςmiddot

μπορούμε να υπολογίζουμε σε κάθε βήμα μια εξίσωση της

μορφής 119891(1198861113578 hellip 119886119899) = 119887 (η εξίσωση γράφεται στη ταινία

εξόδου)middot

μπορούμε να αποφασίσουμε πότε έχουμε φτάσει στο τέλος

ενός υπολογισμού

Tότε μιλούμε για μια επέκταση της θεωρίας των μηχανών Type 2

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Ας υποθέσουμε ότι

μπορούμε και να γράφουμε σε όλες τις ταινίεςmiddot

μπορούμε να υπολογίζουμε σε κάθε βήμα μια εξίσωση της

μορφής 119891(1198861113578 hellip 119886119899) = 119887 (η εξίσωση γράφεται στη ταινία

εξόδου)middot

μπορούμε να αποφασίσουμε πότε έχουμε φτάσει στο τέλος

ενός υπολογισμού

Tότε μιλούμε για μια επέκταση της θεωρίας των μηχανών Type 2

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Απαιτείται

να ορίσουμε αυστηρά τις νέες αυτές νοητικές μηχανέςmiddot

να δούμε ποιούς αριθμούς υπολογίζουν (πόσο ψηλά στην

αριθμητική ιεραρχία laquoπηγαίνουνraquo)middot

και να δείξουμε ότι λύνουν το προβλημα τερματισμού των

μηχανών του Weihrauch

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Απαιτείται

να ορίσουμε αυστηρά τις νέες αυτές νοητικές μηχανέςmiddot

να δούμε ποιούς αριθμούς υπολογίζουν (πόσο ψηλά στην

αριθμητική ιεραρχία laquoπηγαίνουνraquo)middot

και να δείξουμε ότι λύνουν το προβλημα τερματισμού των

μηχανών του Weihrauch

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Απαιτείται

να ορίσουμε αυστηρά τις νέες αυτές νοητικές μηχανέςmiddot

να δούμε ποιούς αριθμούς υπολογίζουν (πόσο ψηλά στην

αριθμητική ιεραρχία laquoπηγαίνουνraquo)middot

και να δείξουμε ότι λύνουν το προβλημα τερματισμού των

μηχανών του Weihrauch

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Απαιτείται

να ορίσουμε αυστηρά τις νέες αυτές νοητικές μηχανέςmiddot

να δούμε ποιούς αριθμούς υπολογίζουν (πόσο ψηλά στην

αριθμητική ιεραρχία laquoπηγαίνουνraquo)middot

και να δείξουμε ότι λύνουν το προβλημα τερματισμού των

μηχανών του Weihrauch

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Τέλος

Ευχαριστώ για την προσοχή σας

• Εισαγωγή
• • Περί υπολογισιμότητας
  • Υπολογισιμότητα στην ανάλυση
  • Προσεγγίσεις στο θέμα της υπολογισιμότητας
  • • Yπερ-υπολογισιμότητα
    • Mηχανές TAE
    • Mηχανές Type 2
    • Mηχανές Type 2-TAE

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Σκοποί της υπολογίσιμης ανάλυσης

laquoΟρισμόςraquo της έννοιας του υπολογίσιμου πραγματικού

αριθμού της υπολογίσιμης πραγματικής συναρτησης κά

Ανακάλυψηαποκάλυψη των ορίων του τι μπορεί να

υπολογισθεί

Ισχυροποίηση των θεμελίων της αριθμητικής ανάλυσης

Επέκταση της θεωρίας πολυπλοκότητας ώστε να

περιλαμβάνει και το ℝ

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Σκοποί της υπολογίσιμης ανάλυσης

laquoΟρισμόςraquo της έννοιας του υπολογίσιμου πραγματικού

αριθμού της υπολογίσιμης πραγματικής συναρτησης κά

Ανακάλυψηαποκάλυψη των ορίων του τι μπορεί να

υπολογισθεί

Ισχυροποίηση των θεμελίων της αριθμητικής ανάλυσης

Επέκταση της θεωρίας πολυπλοκότητας ώστε να

περιλαμβάνει και το ℝ

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Σκοποί της υπολογίσιμης ανάλυσης

laquoΟρισμόςraquo της έννοιας του υπολογίσιμου πραγματικού

αριθμού της υπολογίσιμης πραγματικής συναρτησης κά

Ανακάλυψηαποκάλυψη των ορίων του τι μπορεί να

υπολογισθεί

Ισχυροποίηση των θεμελίων της αριθμητικής ανάλυσης

Επέκταση της θεωρίας πολυπλοκότητας ώστε να

περιλαμβάνει και το ℝ

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Σκοποί της υπολογίσιμης ανάλυσης

laquoΟρισμόςraquo της έννοιας του υπολογίσιμου πραγματικού

αριθμού της υπολογίσιμης πραγματικής συναρτησης κά

Ανακάλυψηαποκάλυψη των ορίων του τι μπορεί να

υπολογισθεί

Ισχυροποίηση των θεμελίων της αριθμητικής ανάλυσης

Επέκταση της θεωρίας πολυπλοκότητας ώστε να

περιλαμβάνει και το ℝ

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μοντέλα υπολογίσιμης ανάλυσης

Alan Turing ένας αριθμός 119909 isin [0 1] είναι υπολογίσιμος ανυπάρχει μια υπολογίσιμη συνάρτηση 119891 ∶ ℕ rarr 0 1 hellip 9τέτοια ώστε 119909 = sum119894isinℕ 119891(119896) sdot 10minus119896Ο χαρακτηρισμός του Andrzej Grzegorczyk και η θεωρία

πολυπλοκότητας στο ℝ του Ker-I Ko

Θεωρία υπολογισιμότητας των Mariam B Pour-El και

Jonathan I Richards

Μηχανές BSS των Lenore Blum Michael Shub και Steve

Smale

Type 2 theory of effectivity του Klaus Weihrauch

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μοντέλα υπολογίσιμης ανάλυσης

Alan Turing ένας αριθμός 119909 isin [0 1] είναι υπολογίσιμος ανυπάρχει μια υπολογίσιμη συνάρτηση 119891 ∶ ℕ rarr 0 1 hellip 9τέτοια ώστε 119909 = sum119894isinℕ 119891(119896) sdot 10minus119896

Ο χαρακτηρισμός του Andrzej Grzegorczyk και η θεωρία

πολυπλοκότητας στο ℝ του Ker-I Ko

Θεωρία υπολογισιμότητας των Mariam B Pour-El και

Jonathan I Richards

Μηχανές BSS των Lenore Blum Michael Shub και Steve

Smale

Type 2 theory of effectivity του Klaus Weihrauch

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μοντέλα υπολογίσιμης ανάλυσης

Alan Turing ένας αριθμός 119909 isin [0 1] είναι υπολογίσιμος ανυπάρχει μια υπολογίσιμη συνάρτηση 119891 ∶ ℕ rarr 0 1 hellip 9τέτοια ώστε 119909 = sum119894isinℕ 119891(119896) sdot 10minus119896Ο χαρακτηρισμός του Andrzej Grzegorczyk και η θεωρία

πολυπλοκότητας στο ℝ του Ker-I Ko

Θεωρία υπολογισιμότητας των Mariam B Pour-El και

Jonathan I Richards

Μηχανές BSS των Lenore Blum Michael Shub και Steve

Smale

Type 2 theory of effectivity του Klaus Weihrauch

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μοντέλα υπολογίσιμης ανάλυσης

Alan Turing ένας αριθμός 119909 isin [0 1] είναι υπολογίσιμος ανυπάρχει μια υπολογίσιμη συνάρτηση 119891 ∶ ℕ rarr 0 1 hellip 9τέτοια ώστε 119909 = sum119894isinℕ 119891(119896) sdot 10minus119896Ο χαρακτηρισμός του Andrzej Grzegorczyk και η θεωρία

πολυπλοκότητας στο ℝ του Ker-I Ko

Θεωρία υπολογισιμότητας των Mariam B Pour-El και

Jonathan I Richards

Μηχανές BSS των Lenore Blum Michael Shub και Steve

Smale

Type 2 theory of effectivity του Klaus Weihrauch

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μοντέλα υπολογίσιμης ανάλυσης

Alan Turing ένας αριθμός 119909 isin [0 1] είναι υπολογίσιμος ανυπάρχει μια υπολογίσιμη συνάρτηση 119891 ∶ ℕ rarr 0 1 hellip 9τέτοια ώστε 119909 = sum119894isinℕ 119891(119896) sdot 10minus119896Ο χαρακτηρισμός του Andrzej Grzegorczyk και η θεωρία

πολυπλοκότητας στο ℝ του Ker-I Ko

Θεωρία υπολογισιμότητας των Mariam B Pour-El και

Jonathan I Richards

Μηχανές BSS των Lenore Blum Michael Shub και Steve

Smale

Type 2 theory of effectivity του Klaus Weihrauch

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μοντέλα υπολογίσιμης ανάλυσης

Alan Turing ένας αριθμός 119909 isin [0 1] είναι υπολογίσιμος ανυπάρχει μια υπολογίσιμη συνάρτηση 119891 ∶ ℕ rarr 0 1 hellip 9τέτοια ώστε 119909 = sum119894isinℕ 119891(119896) sdot 10minus119896Ο χαρακτηρισμός του Andrzej Grzegorczyk και η θεωρία

πολυπλοκότητας στο ℝ του Ker-I Ko

Θεωρία υπολογισιμότητας των Mariam B Pour-El και

Jonathan I Richards

Μηχανές BSS των Lenore Blum Michael Shub και Steve

Smale

Type 2 theory of effectivity του Klaus Weihrauch

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Τί είναι η υπερ-υπολογισιμότητα

Το αίτημα των Church-Turing δεν μπορεί να είναι αληθές

Υπάρχουν νοητικές μηχανές που ξεπερνούν τα όρια των

δυνατοτήτων της μηχανής Turing

Οι υπερ-μηχανές μπορούν να υλοποιηθούν

Ο Jack Copeland και η Diane Proudfoot είναι αυτοί που

εισαγάγανε τον όρο ŦὓĦŊŦὓ ʼnĽʼnĘIJŞIJľĚş Į şĐ (στα αγγλικά

hypercomputation)

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Τί είναι η υπερ-υπολογισιμότητα

Το αίτημα των Church-Turing δεν μπορεί να είναι αληθές

Υπάρχουν νοητικές μηχανές που ξεπερνούν τα όρια των

δυνατοτήτων της μηχανής Turing

Οι υπερ-μηχανές μπορούν να υλοποιηθούν

Ο Jack Copeland και η Diane Proudfoot είναι αυτοί που

εισαγάγανε τον όρο ŦὓĦŊŦὓ ʼnĽʼnĘIJŞIJľĚş Į şĐ (στα αγγλικά

hypercomputation)

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Τί είναι η υπερ-υπολογισιμότητα

Το αίτημα των Church-Turing δεν μπορεί να είναι αληθές

Υπάρχουν νοητικές μηχανές που ξεπερνούν τα όρια των

δυνατοτήτων της μηχανής Turing

Οι υπερ-μηχανές μπορούν να υλοποιηθούν

Ο Jack Copeland και η Diane Proudfoot είναι αυτοί που

εισαγάγανε τον όρο ŦὓĦŊŦὓ ʼnĽʼnĘIJŞIJľĚş Į şĐ (στα αγγλικά

hypercomputation)

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Τί είναι η υπερ-υπολογισιμότητα

Το αίτημα των Church-Turing δεν μπορεί να είναι αληθές

Υπάρχουν νοητικές μηχανές που ξεπερνούν τα όρια των

δυνατοτήτων της μηχανής Turing

Οι υπερ-μηχανές μπορούν να υλοποιηθούν

Ο Jack Copeland και η Diane Proudfoot είναι αυτοί που

εισαγάγανε τον όρο ŦὓĦŊŦὓ ʼnĽʼnĘIJŞIJľĚş Į şĐ (στα αγγλικά

hypercomputation)

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Τί είναι η υπερ-υπολογισιμότητα

Το αίτημα των Church-Turing δεν μπορεί να είναι αληθές

Υπάρχουν νοητικές μηχανές που ξεπερνούν τα όρια των

δυνατοτήτων της μηχανής Turing

Οι υπερ-μηχανές μπορούν να υλοποιηθούν

Ο Jack Copeland και η Diane Proudfoot είναι αυτοί που

εισαγάγανε τον όρο ŦὓĦŊŦὓ ʼnĽʼnĘIJŞIJľĚş Į şĐ (στα αγγλικά

hypercomputation)

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές TAE των Hintikka-Mutanen

Αποτελούν μηχανές Turing με μία επιπλέον ταινία στην

οποία γράφονται και σβήνονται δεδομένα

Υπολογίζουν εξισώσεις της μορφής 119891(119886) = 119887 119886 119887 isin ℕ

Υπολογίζουν αριθμούς και συναρτήσεις ʼnŊIJĐij

Λύνουν το πρόβλημα του τερματισμού των μηχανών Turing

Δεν μπορούν να λύσουν το δικό τους πρόβλημα

τερματισμού

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές TAE των Hintikka-Mutanen

Αποτελούν μηχανές Turing με μία επιπλέον ταινία στην

οποία γράφονται και σβήνονται δεδομένα

Υπολογίζουν εξισώσεις της μορφής 119891(119886) = 119887 119886 119887 isin ℕ

Υπολογίζουν αριθμούς και συναρτήσεις ʼnŊIJĐij

Λύνουν το πρόβλημα του τερματισμού των μηχανών Turing

Δεν μπορούν να λύσουν το δικό τους πρόβλημα

τερματισμού

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές TAE των Hintikka-Mutanen

Αποτελούν μηχανές Turing με μία επιπλέον ταινία στην

οποία γράφονται και σβήνονται δεδομένα

Υπολογίζουν εξισώσεις της μορφής 119891(119886) = 119887 119886 119887 isin ℕ

Υπολογίζουν αριθμούς και συναρτήσεις ʼnŊIJĐij

Λύνουν το πρόβλημα του τερματισμού των μηχανών Turing

Δεν μπορούν να λύσουν το δικό τους πρόβλημα

τερματισμού

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές TAE των Hintikka-Mutanen

Αποτελούν μηχανές Turing με μία επιπλέον ταινία στην

οποία γράφονται και σβήνονται δεδομένα

Υπολογίζουν εξισώσεις της μορφής 119891(119886) = 119887 119886 119887 isin ℕ

Υπολογίζουν αριθμούς και συναρτήσεις ʼnŊIJĐij

Λύνουν το πρόβλημα του τερματισμού των μηχανών Turing

Δεν μπορούν να λύσουν το δικό τους πρόβλημα

τερματισμού

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές TAE των Hintikka-Mutanen

Αποτελούν μηχανές Turing με μία επιπλέον ταινία στην

οποία γράφονται και σβήνονται δεδομένα

Υπολογίζουν εξισώσεις της μορφής 119891(119886) = 119887 119886 119887 isin ℕ

Υπολογίζουν αριθμούς και συναρτήσεις ʼnŊIJĐij

Λύνουν το πρόβλημα του τερματισμού των μηχανών Turing

Δεν μπορούν να λύσουν το δικό τους πρόβλημα

τερματισμού

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές TAE των Hintikka-Mutanen

Αποτελούν μηχανές Turing με μία επιπλέον ταινία στην

οποία γράφονται και σβήνονται δεδομένα

Υπολογίζουν εξισώσεις της μορφής 119891(119886) = 119887 119886 119887 isin ℕ

Υπολογίζουν αριθμούς και συναρτήσεις ʼnŊIJĐij

Λύνουν το πρόβλημα του τερματισμού των μηχανών Turing

Δεν μπορούν να λύσουν το δικό τους πρόβλημα

τερματισμού

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 του Weihrauch

y0 output tape 0 (one-way)

M

work tapes k + 1 N

yk

y1

input tapes 1 k (one-way)

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Ας υποθέσουμε ότι

μπορούμε και να γράφουμε σε όλες τις ταινίεςmiddot

μπορούμε να υπολογίζουμε σε κάθε βήμα μια εξίσωση της

μορφής 119891(1198861113578 hellip 119886119899) = 119887 (η εξίσωση γράφεται στη ταινία

εξόδου)middot

μπορούμε να αποφασίσουμε πότε έχουμε φτάσει στο τέλος

ενός υπολογισμού

Tότε μιλούμε για μια επέκταση της θεωρίας των μηχανών Type 2

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Ας υποθέσουμε ότι

μπορούμε και να γράφουμε σε όλες τις ταινίεςmiddot

μπορούμε να υπολογίζουμε σε κάθε βήμα μια εξίσωση της

μορφής 119891(1198861113578 hellip 119886119899) = 119887 (η εξίσωση γράφεται στη ταινία

εξόδου)middot

μπορούμε να αποφασίσουμε πότε έχουμε φτάσει στο τέλος

ενός υπολογισμού

Tότε μιλούμε για μια επέκταση της θεωρίας των μηχανών Type 2

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Ας υποθέσουμε ότι

μπορούμε και να γράφουμε σε όλες τις ταινίεςmiddot

μπορούμε να υπολογίζουμε σε κάθε βήμα μια εξίσωση της

μορφής 119891(1198861113578 hellip 119886119899) = 119887 (η εξίσωση γράφεται στη ταινία

εξόδου)middot

μπορούμε να αποφασίσουμε πότε έχουμε φτάσει στο τέλος

ενός υπολογισμού

Tότε μιλούμε για μια επέκταση της θεωρίας των μηχανών Type 2

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Ας υποθέσουμε ότι

μπορούμε και να γράφουμε σε όλες τις ταινίεςmiddot

μπορούμε να υπολογίζουμε σε κάθε βήμα μια εξίσωση της

μορφής 119891(1198861113578 hellip 119886119899) = 119887 (η εξίσωση γράφεται στη ταινία

εξόδου)middot

μπορούμε να αποφασίσουμε πότε έχουμε φτάσει στο τέλος

ενός υπολογισμού

Tότε μιλούμε για μια επέκταση της θεωρίας των μηχανών Type 2

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Ας υποθέσουμε ότι

μπορούμε και να γράφουμε σε όλες τις ταινίεςmiddot

μπορούμε να υπολογίζουμε σε κάθε βήμα μια εξίσωση της

μορφής 119891(1198861113578 hellip 119886119899) = 119887 (η εξίσωση γράφεται στη ταινία

εξόδου)middot

μπορούμε να αποφασίσουμε πότε έχουμε φτάσει στο τέλος

ενός υπολογισμού

Tότε μιλούμε για μια επέκταση της θεωρίας των μηχανών Type 2

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Απαιτείται

να ορίσουμε αυστηρά τις νέες αυτές νοητικές μηχανέςmiddot

να δούμε ποιούς αριθμούς υπολογίζουν (πόσο ψηλά στην

αριθμητική ιεραρχία laquoπηγαίνουνraquo)middot

και να δείξουμε ότι λύνουν το προβλημα τερματισμού των

μηχανών του Weihrauch

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Απαιτείται

να ορίσουμε αυστηρά τις νέες αυτές νοητικές μηχανέςmiddot

να δούμε ποιούς αριθμούς υπολογίζουν (πόσο ψηλά στην

αριθμητική ιεραρχία laquoπηγαίνουνraquo)middot

και να δείξουμε ότι λύνουν το προβλημα τερματισμού των

μηχανών του Weihrauch

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Απαιτείται

να ορίσουμε αυστηρά τις νέες αυτές νοητικές μηχανέςmiddot

να δούμε ποιούς αριθμούς υπολογίζουν (πόσο ψηλά στην

αριθμητική ιεραρχία laquoπηγαίνουνraquo)middot

και να δείξουμε ότι λύνουν το προβλημα τερματισμού των

μηχανών του Weihrauch

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Απαιτείται

να ορίσουμε αυστηρά τις νέες αυτές νοητικές μηχανέςmiddot

να δούμε ποιούς αριθμούς υπολογίζουν (πόσο ψηλά στην

αριθμητική ιεραρχία laquoπηγαίνουνraquo)middot

και να δείξουμε ότι λύνουν το προβλημα τερματισμού των

μηχανών του Weihrauch

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Τέλος

Ευχαριστώ για την προσοχή σας

• Εισαγωγή
• • Περί υπολογισιμότητας
  • Υπολογισιμότητα στην ανάλυση
  • Προσεγγίσεις στο θέμα της υπολογισιμότητας
  • • Yπερ-υπολογισιμότητα
    • Mηχανές TAE
    • Mηχανές Type 2
    • Mηχανές Type 2-TAE

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Σκοποί της υπολογίσιμης ανάλυσης

laquoΟρισμόςraquo της έννοιας του υπολογίσιμου πραγματικού

αριθμού της υπολογίσιμης πραγματικής συναρτησης κά

Ανακάλυψηαποκάλυψη των ορίων του τι μπορεί να

υπολογισθεί

Ισχυροποίηση των θεμελίων της αριθμητικής ανάλυσης

Επέκταση της θεωρίας πολυπλοκότητας ώστε να

περιλαμβάνει και το ℝ

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Σκοποί της υπολογίσιμης ανάλυσης

laquoΟρισμόςraquo της έννοιας του υπολογίσιμου πραγματικού

αριθμού της υπολογίσιμης πραγματικής συναρτησης κά

Ανακάλυψηαποκάλυψη των ορίων του τι μπορεί να

υπολογισθεί

Ισχυροποίηση των θεμελίων της αριθμητικής ανάλυσης

Επέκταση της θεωρίας πολυπλοκότητας ώστε να

περιλαμβάνει και το ℝ

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Σκοποί της υπολογίσιμης ανάλυσης

laquoΟρισμόςraquo της έννοιας του υπολογίσιμου πραγματικού

αριθμού της υπολογίσιμης πραγματικής συναρτησης κά

Ανακάλυψηαποκάλυψη των ορίων του τι μπορεί να

υπολογισθεί

Ισχυροποίηση των θεμελίων της αριθμητικής ανάλυσης

Επέκταση της θεωρίας πολυπλοκότητας ώστε να

περιλαμβάνει και το ℝ

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μοντέλα υπολογίσιμης ανάλυσης

Alan Turing ένας αριθμός 119909 isin [0 1] είναι υπολογίσιμος ανυπάρχει μια υπολογίσιμη συνάρτηση 119891 ∶ ℕ rarr 0 1 hellip 9τέτοια ώστε 119909 = sum119894isinℕ 119891(119896) sdot 10minus119896Ο χαρακτηρισμός του Andrzej Grzegorczyk και η θεωρία

πολυπλοκότητας στο ℝ του Ker-I Ko

Θεωρία υπολογισιμότητας των Mariam B Pour-El και

Jonathan I Richards

Μηχανές BSS των Lenore Blum Michael Shub και Steve

Smale

Type 2 theory of effectivity του Klaus Weihrauch

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μοντέλα υπολογίσιμης ανάλυσης

Alan Turing ένας αριθμός 119909 isin [0 1] είναι υπολογίσιμος ανυπάρχει μια υπολογίσιμη συνάρτηση 119891 ∶ ℕ rarr 0 1 hellip 9τέτοια ώστε 119909 = sum119894isinℕ 119891(119896) sdot 10minus119896

Ο χαρακτηρισμός του Andrzej Grzegorczyk και η θεωρία

πολυπλοκότητας στο ℝ του Ker-I Ko

Θεωρία υπολογισιμότητας των Mariam B Pour-El και

Jonathan I Richards

Μηχανές BSS των Lenore Blum Michael Shub και Steve

Smale

Type 2 theory of effectivity του Klaus Weihrauch

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μοντέλα υπολογίσιμης ανάλυσης

Alan Turing ένας αριθμός 119909 isin [0 1] είναι υπολογίσιμος ανυπάρχει μια υπολογίσιμη συνάρτηση 119891 ∶ ℕ rarr 0 1 hellip 9τέτοια ώστε 119909 = sum119894isinℕ 119891(119896) sdot 10minus119896Ο χαρακτηρισμός του Andrzej Grzegorczyk και η θεωρία

πολυπλοκότητας στο ℝ του Ker-I Ko

Θεωρία υπολογισιμότητας των Mariam B Pour-El και

Jonathan I Richards

Μηχανές BSS των Lenore Blum Michael Shub και Steve

Smale

Type 2 theory of effectivity του Klaus Weihrauch

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μοντέλα υπολογίσιμης ανάλυσης

Alan Turing ένας αριθμός 119909 isin [0 1] είναι υπολογίσιμος ανυπάρχει μια υπολογίσιμη συνάρτηση 119891 ∶ ℕ rarr 0 1 hellip 9τέτοια ώστε 119909 = sum119894isinℕ 119891(119896) sdot 10minus119896Ο χαρακτηρισμός του Andrzej Grzegorczyk και η θεωρία

πολυπλοκότητας στο ℝ του Ker-I Ko

Θεωρία υπολογισιμότητας των Mariam B Pour-El και

Jonathan I Richards

Μηχανές BSS των Lenore Blum Michael Shub και Steve

Smale

Type 2 theory of effectivity του Klaus Weihrauch

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μοντέλα υπολογίσιμης ανάλυσης

Alan Turing ένας αριθμός 119909 isin [0 1] είναι υπολογίσιμος ανυπάρχει μια υπολογίσιμη συνάρτηση 119891 ∶ ℕ rarr 0 1 hellip 9τέτοια ώστε 119909 = sum119894isinℕ 119891(119896) sdot 10minus119896Ο χαρακτηρισμός του Andrzej Grzegorczyk και η θεωρία

πολυπλοκότητας στο ℝ του Ker-I Ko

Θεωρία υπολογισιμότητας των Mariam B Pour-El και

Jonathan I Richards

Μηχανές BSS των Lenore Blum Michael Shub και Steve

Smale

Type 2 theory of effectivity του Klaus Weihrauch

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μοντέλα υπολογίσιμης ανάλυσης

Alan Turing ένας αριθμός 119909 isin [0 1] είναι υπολογίσιμος ανυπάρχει μια υπολογίσιμη συνάρτηση 119891 ∶ ℕ rarr 0 1 hellip 9τέτοια ώστε 119909 = sum119894isinℕ 119891(119896) sdot 10minus119896Ο χαρακτηρισμός του Andrzej Grzegorczyk και η θεωρία

πολυπλοκότητας στο ℝ του Ker-I Ko

Θεωρία υπολογισιμότητας των Mariam B Pour-El και

Jonathan I Richards

Μηχανές BSS των Lenore Blum Michael Shub και Steve

Smale

Type 2 theory of effectivity του Klaus Weihrauch

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Τί είναι η υπερ-υπολογισιμότητα

Το αίτημα των Church-Turing δεν μπορεί να είναι αληθές

Υπάρχουν νοητικές μηχανές που ξεπερνούν τα όρια των

δυνατοτήτων της μηχανής Turing

Οι υπερ-μηχανές μπορούν να υλοποιηθούν

Ο Jack Copeland και η Diane Proudfoot είναι αυτοί που

εισαγάγανε τον όρο ŦὓĦŊŦὓ ʼnĽʼnĘIJŞIJľĚş Į şĐ (στα αγγλικά

hypercomputation)

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Τί είναι η υπερ-υπολογισιμότητα

Το αίτημα των Church-Turing δεν μπορεί να είναι αληθές

Υπάρχουν νοητικές μηχανές που ξεπερνούν τα όρια των

δυνατοτήτων της μηχανής Turing

Οι υπερ-μηχανές μπορούν να υλοποιηθούν

Ο Jack Copeland και η Diane Proudfoot είναι αυτοί που

εισαγάγανε τον όρο ŦὓĦŊŦὓ ʼnĽʼnĘIJŞIJľĚş Į şĐ (στα αγγλικά

hypercomputation)

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Τί είναι η υπερ-υπολογισιμότητα

Το αίτημα των Church-Turing δεν μπορεί να είναι αληθές

Υπάρχουν νοητικές μηχανές που ξεπερνούν τα όρια των

δυνατοτήτων της μηχανής Turing

Οι υπερ-μηχανές μπορούν να υλοποιηθούν

Ο Jack Copeland και η Diane Proudfoot είναι αυτοί που

εισαγάγανε τον όρο ŦὓĦŊŦὓ ʼnĽʼnĘIJŞIJľĚş Į şĐ (στα αγγλικά

hypercomputation)

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Τί είναι η υπερ-υπολογισιμότητα

Το αίτημα των Church-Turing δεν μπορεί να είναι αληθές

Υπάρχουν νοητικές μηχανές που ξεπερνούν τα όρια των

δυνατοτήτων της μηχανής Turing

Οι υπερ-μηχανές μπορούν να υλοποιηθούν

Ο Jack Copeland και η Diane Proudfoot είναι αυτοί που

εισαγάγανε τον όρο ŦὓĦŊŦὓ ʼnĽʼnĘIJŞIJľĚş Į şĐ (στα αγγλικά

hypercomputation)

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Τί είναι η υπερ-υπολογισιμότητα

Το αίτημα των Church-Turing δεν μπορεί να είναι αληθές

Υπάρχουν νοητικές μηχανές που ξεπερνούν τα όρια των

δυνατοτήτων της μηχανής Turing

Οι υπερ-μηχανές μπορούν να υλοποιηθούν

Ο Jack Copeland και η Diane Proudfoot είναι αυτοί που

εισαγάγανε τον όρο ŦὓĦŊŦὓ ʼnĽʼnĘIJŞIJľĚş Į şĐ (στα αγγλικά

hypercomputation)

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές TAE των Hintikka-Mutanen

Αποτελούν μηχανές Turing με μία επιπλέον ταινία στην

οποία γράφονται και σβήνονται δεδομένα

Υπολογίζουν εξισώσεις της μορφής 119891(119886) = 119887 119886 119887 isin ℕ

Υπολογίζουν αριθμούς και συναρτήσεις ʼnŊIJĐij

Λύνουν το πρόβλημα του τερματισμού των μηχανών Turing

Δεν μπορούν να λύσουν το δικό τους πρόβλημα

τερματισμού

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές TAE των Hintikka-Mutanen

Αποτελούν μηχανές Turing με μία επιπλέον ταινία στην

οποία γράφονται και σβήνονται δεδομένα

Υπολογίζουν εξισώσεις της μορφής 119891(119886) = 119887 119886 119887 isin ℕ

Υπολογίζουν αριθμούς και συναρτήσεις ʼnŊIJĐij

Λύνουν το πρόβλημα του τερματισμού των μηχανών Turing

Δεν μπορούν να λύσουν το δικό τους πρόβλημα

τερματισμού

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές TAE των Hintikka-Mutanen

Αποτελούν μηχανές Turing με μία επιπλέον ταινία στην

οποία γράφονται και σβήνονται δεδομένα

Υπολογίζουν εξισώσεις της μορφής 119891(119886) = 119887 119886 119887 isin ℕ

Υπολογίζουν αριθμούς και συναρτήσεις ʼnŊIJĐij

Λύνουν το πρόβλημα του τερματισμού των μηχανών Turing

Δεν μπορούν να λύσουν το δικό τους πρόβλημα

τερματισμού

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές TAE των Hintikka-Mutanen

Αποτελούν μηχανές Turing με μία επιπλέον ταινία στην

οποία γράφονται και σβήνονται δεδομένα

Υπολογίζουν εξισώσεις της μορφής 119891(119886) = 119887 119886 119887 isin ℕ

Υπολογίζουν αριθμούς και συναρτήσεις ʼnŊIJĐij

Λύνουν το πρόβλημα του τερματισμού των μηχανών Turing

Δεν μπορούν να λύσουν το δικό τους πρόβλημα

τερματισμού

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές TAE των Hintikka-Mutanen

Αποτελούν μηχανές Turing με μία επιπλέον ταινία στην

οποία γράφονται και σβήνονται δεδομένα

Υπολογίζουν εξισώσεις της μορφής 119891(119886) = 119887 119886 119887 isin ℕ

Υπολογίζουν αριθμούς και συναρτήσεις ʼnŊIJĐij

Λύνουν το πρόβλημα του τερματισμού των μηχανών Turing

Δεν μπορούν να λύσουν το δικό τους πρόβλημα

τερματισμού

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές TAE των Hintikka-Mutanen

Αποτελούν μηχανές Turing με μία επιπλέον ταινία στην

οποία γράφονται και σβήνονται δεδομένα

Υπολογίζουν εξισώσεις της μορφής 119891(119886) = 119887 119886 119887 isin ℕ

Υπολογίζουν αριθμούς και συναρτήσεις ʼnŊIJĐij

Λύνουν το πρόβλημα του τερματισμού των μηχανών Turing

Δεν μπορούν να λύσουν το δικό τους πρόβλημα

τερματισμού

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 του Weihrauch

y0 output tape 0 (one-way)

M

work tapes k + 1 N

yk

y1

input tapes 1 k (one-way)

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Ας υποθέσουμε ότι

μπορούμε και να γράφουμε σε όλες τις ταινίεςmiddot

μπορούμε να υπολογίζουμε σε κάθε βήμα μια εξίσωση της

μορφής 119891(1198861113578 hellip 119886119899) = 119887 (η εξίσωση γράφεται στη ταινία

εξόδου)middot

μπορούμε να αποφασίσουμε πότε έχουμε φτάσει στο τέλος

ενός υπολογισμού

Tότε μιλούμε για μια επέκταση της θεωρίας των μηχανών Type 2

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Ας υποθέσουμε ότι

μπορούμε και να γράφουμε σε όλες τις ταινίεςmiddot

μπορούμε να υπολογίζουμε σε κάθε βήμα μια εξίσωση της

μορφής 119891(1198861113578 hellip 119886119899) = 119887 (η εξίσωση γράφεται στη ταινία

εξόδου)middot

μπορούμε να αποφασίσουμε πότε έχουμε φτάσει στο τέλος

ενός υπολογισμού

Tότε μιλούμε για μια επέκταση της θεωρίας των μηχανών Type 2

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Ας υποθέσουμε ότι

μπορούμε και να γράφουμε σε όλες τις ταινίεςmiddot

μπορούμε να υπολογίζουμε σε κάθε βήμα μια εξίσωση της

μορφής 119891(1198861113578 hellip 119886119899) = 119887 (η εξίσωση γράφεται στη ταινία

εξόδου)middot

μπορούμε να αποφασίσουμε πότε έχουμε φτάσει στο τέλος

ενός υπολογισμού

Tότε μιλούμε για μια επέκταση της θεωρίας των μηχανών Type 2

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Ας υποθέσουμε ότι

μπορούμε και να γράφουμε σε όλες τις ταινίεςmiddot

μπορούμε να υπολογίζουμε σε κάθε βήμα μια εξίσωση της

μορφής 119891(1198861113578 hellip 119886119899) = 119887 (η εξίσωση γράφεται στη ταινία

εξόδου)middot

μπορούμε να αποφασίσουμε πότε έχουμε φτάσει στο τέλος

ενός υπολογισμού

Tότε μιλούμε για μια επέκταση της θεωρίας των μηχανών Type 2

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Ας υποθέσουμε ότι

μπορούμε και να γράφουμε σε όλες τις ταινίεςmiddot

μπορούμε να υπολογίζουμε σε κάθε βήμα μια εξίσωση της

μορφής 119891(1198861113578 hellip 119886119899) = 119887 (η εξίσωση γράφεται στη ταινία

εξόδου)middot

μπορούμε να αποφασίσουμε πότε έχουμε φτάσει στο τέλος

ενός υπολογισμού

Tότε μιλούμε για μια επέκταση της θεωρίας των μηχανών Type 2

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Απαιτείται

να ορίσουμε αυστηρά τις νέες αυτές νοητικές μηχανέςmiddot

να δούμε ποιούς αριθμούς υπολογίζουν (πόσο ψηλά στην

αριθμητική ιεραρχία laquoπηγαίνουνraquo)middot

και να δείξουμε ότι λύνουν το προβλημα τερματισμού των

μηχανών του Weihrauch

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Απαιτείται

να ορίσουμε αυστηρά τις νέες αυτές νοητικές μηχανέςmiddot

να δούμε ποιούς αριθμούς υπολογίζουν (πόσο ψηλά στην

αριθμητική ιεραρχία laquoπηγαίνουνraquo)middot

και να δείξουμε ότι λύνουν το προβλημα τερματισμού των

μηχανών του Weihrauch

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Απαιτείται

να ορίσουμε αυστηρά τις νέες αυτές νοητικές μηχανέςmiddot

να δούμε ποιούς αριθμούς υπολογίζουν (πόσο ψηλά στην

αριθμητική ιεραρχία laquoπηγαίνουνraquo)middot

και να δείξουμε ότι λύνουν το προβλημα τερματισμού των

μηχανών του Weihrauch

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Απαιτείται

να ορίσουμε αυστηρά τις νέες αυτές νοητικές μηχανέςmiddot

να δούμε ποιούς αριθμούς υπολογίζουν (πόσο ψηλά στην

αριθμητική ιεραρχία laquoπηγαίνουνraquo)middot

και να δείξουμε ότι λύνουν το προβλημα τερματισμού των

μηχανών του Weihrauch

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Τέλος

Ευχαριστώ για την προσοχή σας

• Εισαγωγή
• • Περί υπολογισιμότητας
  • Υπολογισιμότητα στην ανάλυση
  • Προσεγγίσεις στο θέμα της υπολογισιμότητας
  • • Yπερ-υπολογισιμότητα
    • Mηχανές TAE
    • Mηχανές Type 2
    • Mηχανές Type 2-TAE

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Σκοποί της υπολογίσιμης ανάλυσης

laquoΟρισμόςraquo της έννοιας του υπολογίσιμου πραγματικού

αριθμού της υπολογίσιμης πραγματικής συναρτησης κά

Ανακάλυψηαποκάλυψη των ορίων του τι μπορεί να

υπολογισθεί

Ισχυροποίηση των θεμελίων της αριθμητικής ανάλυσης

Επέκταση της θεωρίας πολυπλοκότητας ώστε να

περιλαμβάνει και το ℝ

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Σκοποί της υπολογίσιμης ανάλυσης

laquoΟρισμόςraquo της έννοιας του υπολογίσιμου πραγματικού

αριθμού της υπολογίσιμης πραγματικής συναρτησης κά

Ανακάλυψηαποκάλυψη των ορίων του τι μπορεί να

υπολογισθεί

Ισχυροποίηση των θεμελίων της αριθμητικής ανάλυσης

Επέκταση της θεωρίας πολυπλοκότητας ώστε να

περιλαμβάνει και το ℝ

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μοντέλα υπολογίσιμης ανάλυσης

Alan Turing ένας αριθμός 119909 isin [0 1] είναι υπολογίσιμος ανυπάρχει μια υπολογίσιμη συνάρτηση 119891 ∶ ℕ rarr 0 1 hellip 9τέτοια ώστε 119909 = sum119894isinℕ 119891(119896) sdot 10minus119896Ο χαρακτηρισμός του Andrzej Grzegorczyk και η θεωρία

πολυπλοκότητας στο ℝ του Ker-I Ko

Θεωρία υπολογισιμότητας των Mariam B Pour-El και

Jonathan I Richards

Μηχανές BSS των Lenore Blum Michael Shub και Steve

Smale

Type 2 theory of effectivity του Klaus Weihrauch

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μοντέλα υπολογίσιμης ανάλυσης

Alan Turing ένας αριθμός 119909 isin [0 1] είναι υπολογίσιμος ανυπάρχει μια υπολογίσιμη συνάρτηση 119891 ∶ ℕ rarr 0 1 hellip 9τέτοια ώστε 119909 = sum119894isinℕ 119891(119896) sdot 10minus119896

Ο χαρακτηρισμός του Andrzej Grzegorczyk και η θεωρία

πολυπλοκότητας στο ℝ του Ker-I Ko

Θεωρία υπολογισιμότητας των Mariam B Pour-El και

Jonathan I Richards

Μηχανές BSS των Lenore Blum Michael Shub και Steve

Smale

Type 2 theory of effectivity του Klaus Weihrauch

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μοντέλα υπολογίσιμης ανάλυσης

Alan Turing ένας αριθμός 119909 isin [0 1] είναι υπολογίσιμος ανυπάρχει μια υπολογίσιμη συνάρτηση 119891 ∶ ℕ rarr 0 1 hellip 9τέτοια ώστε 119909 = sum119894isinℕ 119891(119896) sdot 10minus119896Ο χαρακτηρισμός του Andrzej Grzegorczyk και η θεωρία

πολυπλοκότητας στο ℝ του Ker-I Ko

Θεωρία υπολογισιμότητας των Mariam B Pour-El και

Jonathan I Richards

Μηχανές BSS των Lenore Blum Michael Shub και Steve

Smale

Type 2 theory of effectivity του Klaus Weihrauch

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μοντέλα υπολογίσιμης ανάλυσης

Alan Turing ένας αριθμός 119909 isin [0 1] είναι υπολογίσιμος ανυπάρχει μια υπολογίσιμη συνάρτηση 119891 ∶ ℕ rarr 0 1 hellip 9τέτοια ώστε 119909 = sum119894isinℕ 119891(119896) sdot 10minus119896Ο χαρακτηρισμός του Andrzej Grzegorczyk και η θεωρία

πολυπλοκότητας στο ℝ του Ker-I Ko

Θεωρία υπολογισιμότητας των Mariam B Pour-El και

Jonathan I Richards

Μηχανές BSS των Lenore Blum Michael Shub και Steve

Smale

Type 2 theory of effectivity του Klaus Weihrauch

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μοντέλα υπολογίσιμης ανάλυσης

Alan Turing ένας αριθμός 119909 isin [0 1] είναι υπολογίσιμος ανυπάρχει μια υπολογίσιμη συνάρτηση 119891 ∶ ℕ rarr 0 1 hellip 9τέτοια ώστε 119909 = sum119894isinℕ 119891(119896) sdot 10minus119896Ο χαρακτηρισμός του Andrzej Grzegorczyk και η θεωρία

πολυπλοκότητας στο ℝ του Ker-I Ko

Θεωρία υπολογισιμότητας των Mariam B Pour-El και

Jonathan I Richards

Μηχανές BSS των Lenore Blum Michael Shub και Steve

Smale

Type 2 theory of effectivity του Klaus Weihrauch

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μοντέλα υπολογίσιμης ανάλυσης

Alan Turing ένας αριθμός 119909 isin [0 1] είναι υπολογίσιμος ανυπάρχει μια υπολογίσιμη συνάρτηση 119891 ∶ ℕ rarr 0 1 hellip 9τέτοια ώστε 119909 = sum119894isinℕ 119891(119896) sdot 10minus119896Ο χαρακτηρισμός του Andrzej Grzegorczyk και η θεωρία

πολυπλοκότητας στο ℝ του Ker-I Ko

Θεωρία υπολογισιμότητας των Mariam B Pour-El και

Jonathan I Richards

Μηχανές BSS των Lenore Blum Michael Shub και Steve

Smale

Type 2 theory of effectivity του Klaus Weihrauch

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Τί είναι η υπερ-υπολογισιμότητα

Το αίτημα των Church-Turing δεν μπορεί να είναι αληθές

Υπάρχουν νοητικές μηχανές που ξεπερνούν τα όρια των

δυνατοτήτων της μηχανής Turing

Οι υπερ-μηχανές μπορούν να υλοποιηθούν

Ο Jack Copeland και η Diane Proudfoot είναι αυτοί που

εισαγάγανε τον όρο ŦὓĦŊŦὓ ʼnĽʼnĘIJŞIJľĚş Į şĐ (στα αγγλικά

hypercomputation)

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Τί είναι η υπερ-υπολογισιμότητα

Το αίτημα των Church-Turing δεν μπορεί να είναι αληθές

Υπάρχουν νοητικές μηχανές που ξεπερνούν τα όρια των

δυνατοτήτων της μηχανής Turing

Οι υπερ-μηχανές μπορούν να υλοποιηθούν

Ο Jack Copeland και η Diane Proudfoot είναι αυτοί που

εισαγάγανε τον όρο ŦὓĦŊŦὓ ʼnĽʼnĘIJŞIJľĚş Į şĐ (στα αγγλικά

hypercomputation)

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Τί είναι η υπερ-υπολογισιμότητα

Το αίτημα των Church-Turing δεν μπορεί να είναι αληθές

Υπάρχουν νοητικές μηχανές που ξεπερνούν τα όρια των

δυνατοτήτων της μηχανής Turing

Οι υπερ-μηχανές μπορούν να υλοποιηθούν

Ο Jack Copeland και η Diane Proudfoot είναι αυτοί που

εισαγάγανε τον όρο ŦὓĦŊŦὓ ʼnĽʼnĘIJŞIJľĚş Į şĐ (στα αγγλικά

hypercomputation)

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Τί είναι η υπερ-υπολογισιμότητα

Το αίτημα των Church-Turing δεν μπορεί να είναι αληθές

Υπάρχουν νοητικές μηχανές που ξεπερνούν τα όρια των

δυνατοτήτων της μηχανής Turing

Οι υπερ-μηχανές μπορούν να υλοποιηθούν

Ο Jack Copeland και η Diane Proudfoot είναι αυτοί που

εισαγάγανε τον όρο ŦὓĦŊŦὓ ʼnĽʼnĘIJŞIJľĚş Į şĐ (στα αγγλικά

hypercomputation)

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Τί είναι η υπερ-υπολογισιμότητα

Το αίτημα των Church-Turing δεν μπορεί να είναι αληθές

Υπάρχουν νοητικές μηχανές που ξεπερνούν τα όρια των

δυνατοτήτων της μηχανής Turing

Οι υπερ-μηχανές μπορούν να υλοποιηθούν

Ο Jack Copeland και η Diane Proudfoot είναι αυτοί που

εισαγάγανε τον όρο ŦὓĦŊŦὓ ʼnĽʼnĘIJŞIJľĚş Į şĐ (στα αγγλικά

hypercomputation)

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές TAE των Hintikka-Mutanen

Αποτελούν μηχανές Turing με μία επιπλέον ταινία στην

οποία γράφονται και σβήνονται δεδομένα

Υπολογίζουν εξισώσεις της μορφής 119891(119886) = 119887 119886 119887 isin ℕ

Υπολογίζουν αριθμούς και συναρτήσεις ʼnŊIJĐij

Λύνουν το πρόβλημα του τερματισμού των μηχανών Turing

Δεν μπορούν να λύσουν το δικό τους πρόβλημα

τερματισμού

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές TAE των Hintikka-Mutanen

Αποτελούν μηχανές Turing με μία επιπλέον ταινία στην

οποία γράφονται και σβήνονται δεδομένα

Υπολογίζουν εξισώσεις της μορφής 119891(119886) = 119887 119886 119887 isin ℕ

Υπολογίζουν αριθμούς και συναρτήσεις ʼnŊIJĐij

Λύνουν το πρόβλημα του τερματισμού των μηχανών Turing

Δεν μπορούν να λύσουν το δικό τους πρόβλημα

τερματισμού

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές TAE των Hintikka-Mutanen

Αποτελούν μηχανές Turing με μία επιπλέον ταινία στην

οποία γράφονται και σβήνονται δεδομένα

Υπολογίζουν εξισώσεις της μορφής 119891(119886) = 119887 119886 119887 isin ℕ

Υπολογίζουν αριθμούς και συναρτήσεις ʼnŊIJĐij

Λύνουν το πρόβλημα του τερματισμού των μηχανών Turing

Δεν μπορούν να λύσουν το δικό τους πρόβλημα

τερματισμού

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές TAE των Hintikka-Mutanen

Αποτελούν μηχανές Turing με μία επιπλέον ταινία στην

οποία γράφονται και σβήνονται δεδομένα

Υπολογίζουν εξισώσεις της μορφής 119891(119886) = 119887 119886 119887 isin ℕ

Υπολογίζουν αριθμούς και συναρτήσεις ʼnŊIJĐij

Λύνουν το πρόβλημα του τερματισμού των μηχανών Turing

Δεν μπορούν να λύσουν το δικό τους πρόβλημα

τερματισμού

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές TAE των Hintikka-Mutanen

Αποτελούν μηχανές Turing με μία επιπλέον ταινία στην

οποία γράφονται και σβήνονται δεδομένα

Υπολογίζουν εξισώσεις της μορφής 119891(119886) = 119887 119886 119887 isin ℕ

Υπολογίζουν αριθμούς και συναρτήσεις ʼnŊIJĐij

Λύνουν το πρόβλημα του τερματισμού των μηχανών Turing

Δεν μπορούν να λύσουν το δικό τους πρόβλημα

τερματισμού

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές TAE των Hintikka-Mutanen

Αποτελούν μηχανές Turing με μία επιπλέον ταινία στην

οποία γράφονται και σβήνονται δεδομένα

Υπολογίζουν εξισώσεις της μορφής 119891(119886) = 119887 119886 119887 isin ℕ

Υπολογίζουν αριθμούς και συναρτήσεις ʼnŊIJĐij

Λύνουν το πρόβλημα του τερματισμού των μηχανών Turing

Δεν μπορούν να λύσουν το δικό τους πρόβλημα

τερματισμού

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 του Weihrauch

y0 output tape 0 (one-way)

M

work tapes k + 1 N

yk

y1

input tapes 1 k (one-way)

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Ας υποθέσουμε ότι

μπορούμε και να γράφουμε σε όλες τις ταινίεςmiddot

μπορούμε να υπολογίζουμε σε κάθε βήμα μια εξίσωση της

μορφής 119891(1198861113578 hellip 119886119899) = 119887 (η εξίσωση γράφεται στη ταινία

εξόδου)middot

μπορούμε να αποφασίσουμε πότε έχουμε φτάσει στο τέλος

ενός υπολογισμού

Tότε μιλούμε για μια επέκταση της θεωρίας των μηχανών Type 2

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Ας υποθέσουμε ότι

μπορούμε και να γράφουμε σε όλες τις ταινίεςmiddot

μπορούμε να υπολογίζουμε σε κάθε βήμα μια εξίσωση της

μορφής 119891(1198861113578 hellip 119886119899) = 119887 (η εξίσωση γράφεται στη ταινία

εξόδου)middot

μπορούμε να αποφασίσουμε πότε έχουμε φτάσει στο τέλος

ενός υπολογισμού

Tότε μιλούμε για μια επέκταση της θεωρίας των μηχανών Type 2

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Ας υποθέσουμε ότι

μπορούμε και να γράφουμε σε όλες τις ταινίεςmiddot

μπορούμε να υπολογίζουμε σε κάθε βήμα μια εξίσωση της

μορφής 119891(1198861113578 hellip 119886119899) = 119887 (η εξίσωση γράφεται στη ταινία

εξόδου)middot

μπορούμε να αποφασίσουμε πότε έχουμε φτάσει στο τέλος

ενός υπολογισμού

Tότε μιλούμε για μια επέκταση της θεωρίας των μηχανών Type 2

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Ας υποθέσουμε ότι

μπορούμε και να γράφουμε σε όλες τις ταινίεςmiddot

μπορούμε να υπολογίζουμε σε κάθε βήμα μια εξίσωση της

μορφής 119891(1198861113578 hellip 119886119899) = 119887 (η εξίσωση γράφεται στη ταινία

εξόδου)middot

μπορούμε να αποφασίσουμε πότε έχουμε φτάσει στο τέλος

ενός υπολογισμού

Tότε μιλούμε για μια επέκταση της θεωρίας των μηχανών Type 2

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Ας υποθέσουμε ότι

μπορούμε και να γράφουμε σε όλες τις ταινίεςmiddot

μπορούμε να υπολογίζουμε σε κάθε βήμα μια εξίσωση της

μορφής 119891(1198861113578 hellip 119886119899) = 119887 (η εξίσωση γράφεται στη ταινία

εξόδου)middot

μπορούμε να αποφασίσουμε πότε έχουμε φτάσει στο τέλος

ενός υπολογισμού

Tότε μιλούμε για μια επέκταση της θεωρίας των μηχανών Type 2

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Απαιτείται

να ορίσουμε αυστηρά τις νέες αυτές νοητικές μηχανέςmiddot

να δούμε ποιούς αριθμούς υπολογίζουν (πόσο ψηλά στην

αριθμητική ιεραρχία laquoπηγαίνουνraquo)middot

και να δείξουμε ότι λύνουν το προβλημα τερματισμού των

μηχανών του Weihrauch

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Απαιτείται

να ορίσουμε αυστηρά τις νέες αυτές νοητικές μηχανέςmiddot

να δούμε ποιούς αριθμούς υπολογίζουν (πόσο ψηλά στην

αριθμητική ιεραρχία laquoπηγαίνουνraquo)middot

και να δείξουμε ότι λύνουν το προβλημα τερματισμού των

μηχανών του Weihrauch

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Απαιτείται

να ορίσουμε αυστηρά τις νέες αυτές νοητικές μηχανέςmiddot

να δούμε ποιούς αριθμούς υπολογίζουν (πόσο ψηλά στην

αριθμητική ιεραρχία laquoπηγαίνουνraquo)middot

και να δείξουμε ότι λύνουν το προβλημα τερματισμού των

μηχανών του Weihrauch

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Απαιτείται

να ορίσουμε αυστηρά τις νέες αυτές νοητικές μηχανέςmiddot

να δούμε ποιούς αριθμούς υπολογίζουν (πόσο ψηλά στην

αριθμητική ιεραρχία laquoπηγαίνουνraquo)middot

και να δείξουμε ότι λύνουν το προβλημα τερματισμού των

μηχανών του Weihrauch

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Τέλος

Ευχαριστώ για την προσοχή σας

• Εισαγωγή
• • Περί υπολογισιμότητας
  • Υπολογισιμότητα στην ανάλυση
  • Προσεγγίσεις στο θέμα της υπολογισιμότητας
  • • Yπερ-υπολογισιμότητα
    • Mηχανές TAE
    • Mηχανές Type 2
    • Mηχανές Type 2-TAE

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Σκοποί της υπολογίσιμης ανάλυσης

laquoΟρισμόςraquo της έννοιας του υπολογίσιμου πραγματικού

αριθμού της υπολογίσιμης πραγματικής συναρτησης κά

Ανακάλυψηαποκάλυψη των ορίων του τι μπορεί να

υπολογισθεί

Ισχυροποίηση των θεμελίων της αριθμητικής ανάλυσης

Επέκταση της θεωρίας πολυπλοκότητας ώστε να

περιλαμβάνει και το ℝ

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μοντέλα υπολογίσιμης ανάλυσης

Alan Turing ένας αριθμός 119909 isin [0 1] είναι υπολογίσιμος ανυπάρχει μια υπολογίσιμη συνάρτηση 119891 ∶ ℕ rarr 0 1 hellip 9τέτοια ώστε 119909 = sum119894isinℕ 119891(119896) sdot 10minus119896Ο χαρακτηρισμός του Andrzej Grzegorczyk και η θεωρία

πολυπλοκότητας στο ℝ του Ker-I Ko

Θεωρία υπολογισιμότητας των Mariam B Pour-El και

Jonathan I Richards

Μηχανές BSS των Lenore Blum Michael Shub και Steve

Smale

Type 2 theory of effectivity του Klaus Weihrauch

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μοντέλα υπολογίσιμης ανάλυσης

Alan Turing ένας αριθμός 119909 isin [0 1] είναι υπολογίσιμος ανυπάρχει μια υπολογίσιμη συνάρτηση 119891 ∶ ℕ rarr 0 1 hellip 9τέτοια ώστε 119909 = sum119894isinℕ 119891(119896) sdot 10minus119896

Ο χαρακτηρισμός του Andrzej Grzegorczyk και η θεωρία

πολυπλοκότητας στο ℝ του Ker-I Ko

Θεωρία υπολογισιμότητας των Mariam B Pour-El και

Jonathan I Richards

Μηχανές BSS των Lenore Blum Michael Shub και Steve

Smale

Type 2 theory of effectivity του Klaus Weihrauch

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μοντέλα υπολογίσιμης ανάλυσης

Alan Turing ένας αριθμός 119909 isin [0 1] είναι υπολογίσιμος ανυπάρχει μια υπολογίσιμη συνάρτηση 119891 ∶ ℕ rarr 0 1 hellip 9τέτοια ώστε 119909 = sum119894isinℕ 119891(119896) sdot 10minus119896Ο χαρακτηρισμός του Andrzej Grzegorczyk και η θεωρία

πολυπλοκότητας στο ℝ του Ker-I Ko

Θεωρία υπολογισιμότητας των Mariam B Pour-El και

Jonathan I Richards

Μηχανές BSS των Lenore Blum Michael Shub και Steve

Smale

Type 2 theory of effectivity του Klaus Weihrauch

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μοντέλα υπολογίσιμης ανάλυσης

Alan Turing ένας αριθμός 119909 isin [0 1] είναι υπολογίσιμος ανυπάρχει μια υπολογίσιμη συνάρτηση 119891 ∶ ℕ rarr 0 1 hellip 9τέτοια ώστε 119909 = sum119894isinℕ 119891(119896) sdot 10minus119896Ο χαρακτηρισμός του Andrzej Grzegorczyk και η θεωρία

πολυπλοκότητας στο ℝ του Ker-I Ko

Θεωρία υπολογισιμότητας των Mariam B Pour-El και

Jonathan I Richards

Μηχανές BSS των Lenore Blum Michael Shub και Steve

Smale

Type 2 theory of effectivity του Klaus Weihrauch

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μοντέλα υπολογίσιμης ανάλυσης

Alan Turing ένας αριθμός 119909 isin [0 1] είναι υπολογίσιμος ανυπάρχει μια υπολογίσιμη συνάρτηση 119891 ∶ ℕ rarr 0 1 hellip 9τέτοια ώστε 119909 = sum119894isinℕ 119891(119896) sdot 10minus119896Ο χαρακτηρισμός του Andrzej Grzegorczyk και η θεωρία

πολυπλοκότητας στο ℝ του Ker-I Ko

Θεωρία υπολογισιμότητας των Mariam B Pour-El και

Jonathan I Richards

Μηχανές BSS των Lenore Blum Michael Shub και Steve

Smale

Type 2 theory of effectivity του Klaus Weihrauch

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μοντέλα υπολογίσιμης ανάλυσης

Alan Turing ένας αριθμός 119909 isin [0 1] είναι υπολογίσιμος ανυπάρχει μια υπολογίσιμη συνάρτηση 119891 ∶ ℕ rarr 0 1 hellip 9τέτοια ώστε 119909 = sum119894isinℕ 119891(119896) sdot 10minus119896Ο χαρακτηρισμός του Andrzej Grzegorczyk και η θεωρία

πολυπλοκότητας στο ℝ του Ker-I Ko

Θεωρία υπολογισιμότητας των Mariam B Pour-El και

Jonathan I Richards

Μηχανές BSS των Lenore Blum Michael Shub και Steve

Smale

Type 2 theory of effectivity του Klaus Weihrauch

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Τί είναι η υπερ-υπολογισιμότητα

Το αίτημα των Church-Turing δεν μπορεί να είναι αληθές

Υπάρχουν νοητικές μηχανές που ξεπερνούν τα όρια των

δυνατοτήτων της μηχανής Turing

Οι υπερ-μηχανές μπορούν να υλοποιηθούν

Ο Jack Copeland και η Diane Proudfoot είναι αυτοί που

εισαγάγανε τον όρο ŦὓĦŊŦὓ ʼnĽʼnĘIJŞIJľĚş Į şĐ (στα αγγλικά

hypercomputation)

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Τί είναι η υπερ-υπολογισιμότητα

Το αίτημα των Church-Turing δεν μπορεί να είναι αληθές

Υπάρχουν νοητικές μηχανές που ξεπερνούν τα όρια των

δυνατοτήτων της μηχανής Turing

Οι υπερ-μηχανές μπορούν να υλοποιηθούν

Ο Jack Copeland και η Diane Proudfoot είναι αυτοί που

εισαγάγανε τον όρο ŦὓĦŊŦὓ ʼnĽʼnĘIJŞIJľĚş Į şĐ (στα αγγλικά

hypercomputation)

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Τί είναι η υπερ-υπολογισιμότητα

Το αίτημα των Church-Turing δεν μπορεί να είναι αληθές

Υπάρχουν νοητικές μηχανές που ξεπερνούν τα όρια των

δυνατοτήτων της μηχανής Turing

Οι υπερ-μηχανές μπορούν να υλοποιηθούν

Ο Jack Copeland και η Diane Proudfoot είναι αυτοί που

εισαγάγανε τον όρο ŦὓĦŊŦὓ ʼnĽʼnĘIJŞIJľĚş Į şĐ (στα αγγλικά

hypercomputation)

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Τί είναι η υπερ-υπολογισιμότητα

Το αίτημα των Church-Turing δεν μπορεί να είναι αληθές

Υπάρχουν νοητικές μηχανές που ξεπερνούν τα όρια των

δυνατοτήτων της μηχανής Turing

Οι υπερ-μηχανές μπορούν να υλοποιηθούν

Ο Jack Copeland και η Diane Proudfoot είναι αυτοί που

εισαγάγανε τον όρο ŦὓĦŊŦὓ ʼnĽʼnĘIJŞIJľĚş Į şĐ (στα αγγλικά

hypercomputation)

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Τί είναι η υπερ-υπολογισιμότητα

Το αίτημα των Church-Turing δεν μπορεί να είναι αληθές

Υπάρχουν νοητικές μηχανές που ξεπερνούν τα όρια των

δυνατοτήτων της μηχανής Turing

Οι υπερ-μηχανές μπορούν να υλοποιηθούν

Ο Jack Copeland και η Diane Proudfoot είναι αυτοί που

εισαγάγανε τον όρο ŦὓĦŊŦὓ ʼnĽʼnĘIJŞIJľĚş Į şĐ (στα αγγλικά

hypercomputation)

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές TAE των Hintikka-Mutanen

Αποτελούν μηχανές Turing με μία επιπλέον ταινία στην

οποία γράφονται και σβήνονται δεδομένα

Υπολογίζουν εξισώσεις της μορφής 119891(119886) = 119887 119886 119887 isin ℕ

Υπολογίζουν αριθμούς και συναρτήσεις ʼnŊIJĐij

Λύνουν το πρόβλημα του τερματισμού των μηχανών Turing

Δεν μπορούν να λύσουν το δικό τους πρόβλημα

τερματισμού

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές TAE των Hintikka-Mutanen

Αποτελούν μηχανές Turing με μία επιπλέον ταινία στην

οποία γράφονται και σβήνονται δεδομένα

Υπολογίζουν εξισώσεις της μορφής 119891(119886) = 119887 119886 119887 isin ℕ

Υπολογίζουν αριθμούς και συναρτήσεις ʼnŊIJĐij

Λύνουν το πρόβλημα του τερματισμού των μηχανών Turing

Δεν μπορούν να λύσουν το δικό τους πρόβλημα

τερματισμού

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές TAE των Hintikka-Mutanen

Αποτελούν μηχανές Turing με μία επιπλέον ταινία στην

οποία γράφονται και σβήνονται δεδομένα

Υπολογίζουν εξισώσεις της μορφής 119891(119886) = 119887 119886 119887 isin ℕ

Υπολογίζουν αριθμούς και συναρτήσεις ʼnŊIJĐij

Λύνουν το πρόβλημα του τερματισμού των μηχανών Turing

Δεν μπορούν να λύσουν το δικό τους πρόβλημα

τερματισμού

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές TAE των Hintikka-Mutanen

Αποτελούν μηχανές Turing με μία επιπλέον ταινία στην

οποία γράφονται και σβήνονται δεδομένα

Υπολογίζουν εξισώσεις της μορφής 119891(119886) = 119887 119886 119887 isin ℕ

Υπολογίζουν αριθμούς και συναρτήσεις ʼnŊIJĐij

Λύνουν το πρόβλημα του τερματισμού των μηχανών Turing

Δεν μπορούν να λύσουν το δικό τους πρόβλημα

τερματισμού

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές TAE των Hintikka-Mutanen

Αποτελούν μηχανές Turing με μία επιπλέον ταινία στην

οποία γράφονται και σβήνονται δεδομένα

Υπολογίζουν εξισώσεις της μορφής 119891(119886) = 119887 119886 119887 isin ℕ

Υπολογίζουν αριθμούς και συναρτήσεις ʼnŊIJĐij

Λύνουν το πρόβλημα του τερματισμού των μηχανών Turing

Δεν μπορούν να λύσουν το δικό τους πρόβλημα

τερματισμού

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές TAE των Hintikka-Mutanen

Αποτελούν μηχανές Turing με μία επιπλέον ταινία στην

οποία γράφονται και σβήνονται δεδομένα

Υπολογίζουν εξισώσεις της μορφής 119891(119886) = 119887 119886 119887 isin ℕ

Υπολογίζουν αριθμούς και συναρτήσεις ʼnŊIJĐij

Λύνουν το πρόβλημα του τερματισμού των μηχανών Turing

Δεν μπορούν να λύσουν το δικό τους πρόβλημα

τερματισμού

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 του Weihrauch

y0 output tape 0 (one-way)

M

work tapes k + 1 N

yk

y1

input tapes 1 k (one-way)

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Ας υποθέσουμε ότι

μπορούμε και να γράφουμε σε όλες τις ταινίεςmiddot

μπορούμε να υπολογίζουμε σε κάθε βήμα μια εξίσωση της

μορφής 119891(1198861113578 hellip 119886119899) = 119887 (η εξίσωση γράφεται στη ταινία

εξόδου)middot

μπορούμε να αποφασίσουμε πότε έχουμε φτάσει στο τέλος

ενός υπολογισμού

Tότε μιλούμε για μια επέκταση της θεωρίας των μηχανών Type 2

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Ας υποθέσουμε ότι

μπορούμε και να γράφουμε σε όλες τις ταινίεςmiddot

μπορούμε να υπολογίζουμε σε κάθε βήμα μια εξίσωση της

μορφής 119891(1198861113578 hellip 119886119899) = 119887 (η εξίσωση γράφεται στη ταινία

εξόδου)middot

μπορούμε να αποφασίσουμε πότε έχουμε φτάσει στο τέλος

ενός υπολογισμού

Tότε μιλούμε για μια επέκταση της θεωρίας των μηχανών Type 2

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Ας υποθέσουμε ότι

μπορούμε και να γράφουμε σε όλες τις ταινίεςmiddot

μπορούμε να υπολογίζουμε σε κάθε βήμα μια εξίσωση της

μορφής 119891(1198861113578 hellip 119886119899) = 119887 (η εξίσωση γράφεται στη ταινία

εξόδου)middot

μπορούμε να αποφασίσουμε πότε έχουμε φτάσει στο τέλος

ενός υπολογισμού

Tότε μιλούμε για μια επέκταση της θεωρίας των μηχανών Type 2

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Ας υποθέσουμε ότι

μπορούμε και να γράφουμε σε όλες τις ταινίεςmiddot

μπορούμε να υπολογίζουμε σε κάθε βήμα μια εξίσωση της

μορφής 119891(1198861113578 hellip 119886119899) = 119887 (η εξίσωση γράφεται στη ταινία

εξόδου)middot

μπορούμε να αποφασίσουμε πότε έχουμε φτάσει στο τέλος

ενός υπολογισμού

Tότε μιλούμε για μια επέκταση της θεωρίας των μηχανών Type 2

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Ας υποθέσουμε ότι

μπορούμε και να γράφουμε σε όλες τις ταινίεςmiddot

μπορούμε να υπολογίζουμε σε κάθε βήμα μια εξίσωση της

μορφής 119891(1198861113578 hellip 119886119899) = 119887 (η εξίσωση γράφεται στη ταινία

εξόδου)middot

μπορούμε να αποφασίσουμε πότε έχουμε φτάσει στο τέλος

ενός υπολογισμού

Tότε μιλούμε για μια επέκταση της θεωρίας των μηχανών Type 2

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Απαιτείται

να ορίσουμε αυστηρά τις νέες αυτές νοητικές μηχανέςmiddot

να δούμε ποιούς αριθμούς υπολογίζουν (πόσο ψηλά στην

αριθμητική ιεραρχία laquoπηγαίνουνraquo)middot

και να δείξουμε ότι λύνουν το προβλημα τερματισμού των

μηχανών του Weihrauch

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Απαιτείται

να ορίσουμε αυστηρά τις νέες αυτές νοητικές μηχανέςmiddot

να δούμε ποιούς αριθμούς υπολογίζουν (πόσο ψηλά στην

αριθμητική ιεραρχία laquoπηγαίνουνraquo)middot

και να δείξουμε ότι λύνουν το προβλημα τερματισμού των

μηχανών του Weihrauch

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Απαιτείται

να ορίσουμε αυστηρά τις νέες αυτές νοητικές μηχανέςmiddot

να δούμε ποιούς αριθμούς υπολογίζουν (πόσο ψηλά στην

αριθμητική ιεραρχία laquoπηγαίνουνraquo)middot

και να δείξουμε ότι λύνουν το προβλημα τερματισμού των

μηχανών του Weihrauch

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Απαιτείται

να ορίσουμε αυστηρά τις νέες αυτές νοητικές μηχανέςmiddot

να δούμε ποιούς αριθμούς υπολογίζουν (πόσο ψηλά στην

αριθμητική ιεραρχία laquoπηγαίνουνraquo)middot

και να δείξουμε ότι λύνουν το προβλημα τερματισμού των

μηχανών του Weihrauch

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Τέλος

Ευχαριστώ για την προσοχή σας

• Εισαγωγή
• • Περί υπολογισιμότητας
  • Υπολογισιμότητα στην ανάλυση
  • Προσεγγίσεις στο θέμα της υπολογισιμότητας
  • • Yπερ-υπολογισιμότητα
    • Mηχανές TAE
    • Mηχανές Type 2
    • Mηχανές Type 2-TAE

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μοντέλα υπολογίσιμης ανάλυσης

Alan Turing ένας αριθμός 119909 isin [0 1] είναι υπολογίσιμος ανυπάρχει μια υπολογίσιμη συνάρτηση 119891 ∶ ℕ rarr 0 1 hellip 9τέτοια ώστε 119909 = sum119894isinℕ 119891(119896) sdot 10minus119896Ο χαρακτηρισμός του Andrzej Grzegorczyk και η θεωρία

πολυπλοκότητας στο ℝ του Ker-I Ko

Θεωρία υπολογισιμότητας των Mariam B Pour-El και

Jonathan I Richards

Μηχανές BSS των Lenore Blum Michael Shub και Steve

Smale

Type 2 theory of effectivity του Klaus Weihrauch

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μοντέλα υπολογίσιμης ανάλυσης

Alan Turing ένας αριθμός 119909 isin [0 1] είναι υπολογίσιμος ανυπάρχει μια υπολογίσιμη συνάρτηση 119891 ∶ ℕ rarr 0 1 hellip 9τέτοια ώστε 119909 = sum119894isinℕ 119891(119896) sdot 10minus119896

Ο χαρακτηρισμός του Andrzej Grzegorczyk και η θεωρία

πολυπλοκότητας στο ℝ του Ker-I Ko

Θεωρία υπολογισιμότητας των Mariam B Pour-El και

Jonathan I Richards

Μηχανές BSS των Lenore Blum Michael Shub και Steve

Smale

Type 2 theory of effectivity του Klaus Weihrauch

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μοντέλα υπολογίσιμης ανάλυσης

Alan Turing ένας αριθμός 119909 isin [0 1] είναι υπολογίσιμος ανυπάρχει μια υπολογίσιμη συνάρτηση 119891 ∶ ℕ rarr 0 1 hellip 9τέτοια ώστε 119909 = sum119894isinℕ 119891(119896) sdot 10minus119896Ο χαρακτηρισμός του Andrzej Grzegorczyk και η θεωρία

πολυπλοκότητας στο ℝ του Ker-I Ko

Θεωρία υπολογισιμότητας των Mariam B Pour-El και

Jonathan I Richards

Μηχανές BSS των Lenore Blum Michael Shub και Steve

Smale

Type 2 theory of effectivity του Klaus Weihrauch

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μοντέλα υπολογίσιμης ανάλυσης

Alan Turing ένας αριθμός 119909 isin [0 1] είναι υπολογίσιμος ανυπάρχει μια υπολογίσιμη συνάρτηση 119891 ∶ ℕ rarr 0 1 hellip 9τέτοια ώστε 119909 = sum119894isinℕ 119891(119896) sdot 10minus119896Ο χαρακτηρισμός του Andrzej Grzegorczyk και η θεωρία

πολυπλοκότητας στο ℝ του Ker-I Ko

Θεωρία υπολογισιμότητας των Mariam B Pour-El και

Jonathan I Richards

Μηχανές BSS των Lenore Blum Michael Shub και Steve

Smale

Type 2 theory of effectivity του Klaus Weihrauch

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μοντέλα υπολογίσιμης ανάλυσης

Alan Turing ένας αριθμός 119909 isin [0 1] είναι υπολογίσιμος ανυπάρχει μια υπολογίσιμη συνάρτηση 119891 ∶ ℕ rarr 0 1 hellip 9τέτοια ώστε 119909 = sum119894isinℕ 119891(119896) sdot 10minus119896Ο χαρακτηρισμός του Andrzej Grzegorczyk και η θεωρία

πολυπλοκότητας στο ℝ του Ker-I Ko

Θεωρία υπολογισιμότητας των Mariam B Pour-El και

Jonathan I Richards

Μηχανές BSS των Lenore Blum Michael Shub και Steve

Smale

Type 2 theory of effectivity του Klaus Weihrauch

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μοντέλα υπολογίσιμης ανάλυσης

Alan Turing ένας αριθμός 119909 isin [0 1] είναι υπολογίσιμος ανυπάρχει μια υπολογίσιμη συνάρτηση 119891 ∶ ℕ rarr 0 1 hellip 9τέτοια ώστε 119909 = sum119894isinℕ 119891(119896) sdot 10minus119896Ο χαρακτηρισμός του Andrzej Grzegorczyk και η θεωρία

πολυπλοκότητας στο ℝ του Ker-I Ko

Θεωρία υπολογισιμότητας των Mariam B Pour-El και

Jonathan I Richards

Μηχανές BSS των Lenore Blum Michael Shub και Steve

Smale

Type 2 theory of effectivity του Klaus Weihrauch

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Τί είναι η υπερ-υπολογισιμότητα

Το αίτημα των Church-Turing δεν μπορεί να είναι αληθές

Υπάρχουν νοητικές μηχανές που ξεπερνούν τα όρια των

δυνατοτήτων της μηχανής Turing

Οι υπερ-μηχανές μπορούν να υλοποιηθούν

Ο Jack Copeland και η Diane Proudfoot είναι αυτοί που

εισαγάγανε τον όρο ŦὓĦŊŦὓ ʼnĽʼnĘIJŞIJľĚş Į şĐ (στα αγγλικά

hypercomputation)

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Τί είναι η υπερ-υπολογισιμότητα

Το αίτημα των Church-Turing δεν μπορεί να είναι αληθές

Υπάρχουν νοητικές μηχανές που ξεπερνούν τα όρια των

δυνατοτήτων της μηχανής Turing

Οι υπερ-μηχανές μπορούν να υλοποιηθούν

Ο Jack Copeland και η Diane Proudfoot είναι αυτοί που

εισαγάγανε τον όρο ŦὓĦŊŦὓ ʼnĽʼnĘIJŞIJľĚş Į şĐ (στα αγγλικά

hypercomputation)

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Τί είναι η υπερ-υπολογισιμότητα

Το αίτημα των Church-Turing δεν μπορεί να είναι αληθές

Υπάρχουν νοητικές μηχανές που ξεπερνούν τα όρια των

δυνατοτήτων της μηχανής Turing

Οι υπερ-μηχανές μπορούν να υλοποιηθούν

Ο Jack Copeland και η Diane Proudfoot είναι αυτοί που

εισαγάγανε τον όρο ŦὓĦŊŦὓ ʼnĽʼnĘIJŞIJľĚş Į şĐ (στα αγγλικά

hypercomputation)

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Τί είναι η υπερ-υπολογισιμότητα

Το αίτημα των Church-Turing δεν μπορεί να είναι αληθές

Υπάρχουν νοητικές μηχανές που ξεπερνούν τα όρια των

δυνατοτήτων της μηχανής Turing

Οι υπερ-μηχανές μπορούν να υλοποιηθούν

Ο Jack Copeland και η Diane Proudfoot είναι αυτοί που

εισαγάγανε τον όρο ŦὓĦŊŦὓ ʼnĽʼnĘIJŞIJľĚş Į şĐ (στα αγγλικά

hypercomputation)

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Τί είναι η υπερ-υπολογισιμότητα

Το αίτημα των Church-Turing δεν μπορεί να είναι αληθές

Υπάρχουν νοητικές μηχανές που ξεπερνούν τα όρια των

δυνατοτήτων της μηχανής Turing

Οι υπερ-μηχανές μπορούν να υλοποιηθούν

Ο Jack Copeland και η Diane Proudfoot είναι αυτοί που

εισαγάγανε τον όρο ŦὓĦŊŦὓ ʼnĽʼnĘIJŞIJľĚş Į şĐ (στα αγγλικά

hypercomputation)

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές TAE των Hintikka-Mutanen

Αποτελούν μηχανές Turing με μία επιπλέον ταινία στην

οποία γράφονται και σβήνονται δεδομένα

Υπολογίζουν εξισώσεις της μορφής 119891(119886) = 119887 119886 119887 isin ℕ

Υπολογίζουν αριθμούς και συναρτήσεις ʼnŊIJĐij

Λύνουν το πρόβλημα του τερματισμού των μηχανών Turing

Δεν μπορούν να λύσουν το δικό τους πρόβλημα

τερματισμού

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές TAE των Hintikka-Mutanen

Αποτελούν μηχανές Turing με μία επιπλέον ταινία στην

οποία γράφονται και σβήνονται δεδομένα

Υπολογίζουν εξισώσεις της μορφής 119891(119886) = 119887 119886 119887 isin ℕ

Υπολογίζουν αριθμούς και συναρτήσεις ʼnŊIJĐij

Λύνουν το πρόβλημα του τερματισμού των μηχανών Turing

Δεν μπορούν να λύσουν το δικό τους πρόβλημα

τερματισμού

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές TAE των Hintikka-Mutanen

Αποτελούν μηχανές Turing με μία επιπλέον ταινία στην

οποία γράφονται και σβήνονται δεδομένα

Υπολογίζουν εξισώσεις της μορφής 119891(119886) = 119887 119886 119887 isin ℕ

Υπολογίζουν αριθμούς και συναρτήσεις ʼnŊIJĐij

Λύνουν το πρόβλημα του τερματισμού των μηχανών Turing

Δεν μπορούν να λύσουν το δικό τους πρόβλημα

τερματισμού

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές TAE των Hintikka-Mutanen

Αποτελούν μηχανές Turing με μία επιπλέον ταινία στην

οποία γράφονται και σβήνονται δεδομένα

Υπολογίζουν εξισώσεις της μορφής 119891(119886) = 119887 119886 119887 isin ℕ

Υπολογίζουν αριθμούς και συναρτήσεις ʼnŊIJĐij

Λύνουν το πρόβλημα του τερματισμού των μηχανών Turing

Δεν μπορούν να λύσουν το δικό τους πρόβλημα

τερματισμού

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές TAE των Hintikka-Mutanen

Αποτελούν μηχανές Turing με μία επιπλέον ταινία στην

οποία γράφονται και σβήνονται δεδομένα

Υπολογίζουν εξισώσεις της μορφής 119891(119886) = 119887 119886 119887 isin ℕ

Υπολογίζουν αριθμούς και συναρτήσεις ʼnŊIJĐij

Λύνουν το πρόβλημα του τερματισμού των μηχανών Turing

Δεν μπορούν να λύσουν το δικό τους πρόβλημα

τερματισμού

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές TAE των Hintikka-Mutanen

Αποτελούν μηχανές Turing με μία επιπλέον ταινία στην

οποία γράφονται και σβήνονται δεδομένα

Υπολογίζουν εξισώσεις της μορφής 119891(119886) = 119887 119886 119887 isin ℕ

Υπολογίζουν αριθμούς και συναρτήσεις ʼnŊIJĐij

Λύνουν το πρόβλημα του τερματισμού των μηχανών Turing

Δεν μπορούν να λύσουν το δικό τους πρόβλημα

τερματισμού

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 του Weihrauch

y0 output tape 0 (one-way)

M

work tapes k + 1 N

yk

y1

input tapes 1 k (one-way)

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Ας υποθέσουμε ότι

μπορούμε και να γράφουμε σε όλες τις ταινίεςmiddot

μπορούμε να υπολογίζουμε σε κάθε βήμα μια εξίσωση της

μορφής 119891(1198861113578 hellip 119886119899) = 119887 (η εξίσωση γράφεται στη ταινία

εξόδου)middot

μπορούμε να αποφασίσουμε πότε έχουμε φτάσει στο τέλος

ενός υπολογισμού

Tότε μιλούμε για μια επέκταση της θεωρίας των μηχανών Type 2

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Ας υποθέσουμε ότι

μπορούμε και να γράφουμε σε όλες τις ταινίεςmiddot

μπορούμε να υπολογίζουμε σε κάθε βήμα μια εξίσωση της

μορφής 119891(1198861113578 hellip 119886119899) = 119887 (η εξίσωση γράφεται στη ταινία

εξόδου)middot

μπορούμε να αποφασίσουμε πότε έχουμε φτάσει στο τέλος

ενός υπολογισμού

Tότε μιλούμε για μια επέκταση της θεωρίας των μηχανών Type 2

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Ας υποθέσουμε ότι

μπορούμε και να γράφουμε σε όλες τις ταινίεςmiddot

μπορούμε να υπολογίζουμε σε κάθε βήμα μια εξίσωση της

μορφής 119891(1198861113578 hellip 119886119899) = 119887 (η εξίσωση γράφεται στη ταινία

εξόδου)middot

μπορούμε να αποφασίσουμε πότε έχουμε φτάσει στο τέλος

ενός υπολογισμού

Tότε μιλούμε για μια επέκταση της θεωρίας των μηχανών Type 2

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Ας υποθέσουμε ότι

μπορούμε και να γράφουμε σε όλες τις ταινίεςmiddot

μπορούμε να υπολογίζουμε σε κάθε βήμα μια εξίσωση της

μορφής 119891(1198861113578 hellip 119886119899) = 119887 (η εξίσωση γράφεται στη ταινία

εξόδου)middot

μπορούμε να αποφασίσουμε πότε έχουμε φτάσει στο τέλος

ενός υπολογισμού

Tότε μιλούμε για μια επέκταση της θεωρίας των μηχανών Type 2

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Ας υποθέσουμε ότι

μπορούμε και να γράφουμε σε όλες τις ταινίεςmiddot

μπορούμε να υπολογίζουμε σε κάθε βήμα μια εξίσωση της

μορφής 119891(1198861113578 hellip 119886119899) = 119887 (η εξίσωση γράφεται στη ταινία

εξόδου)middot

μπορούμε να αποφασίσουμε πότε έχουμε φτάσει στο τέλος

ενός υπολογισμού

Tότε μιλούμε για μια επέκταση της θεωρίας των μηχανών Type 2

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Απαιτείται

να ορίσουμε αυστηρά τις νέες αυτές νοητικές μηχανέςmiddot

να δούμε ποιούς αριθμούς υπολογίζουν (πόσο ψηλά στην

αριθμητική ιεραρχία laquoπηγαίνουνraquo)middot

και να δείξουμε ότι λύνουν το προβλημα τερματισμού των

μηχανών του Weihrauch

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Απαιτείται

να ορίσουμε αυστηρά τις νέες αυτές νοητικές μηχανέςmiddot

να δούμε ποιούς αριθμούς υπολογίζουν (πόσο ψηλά στην

αριθμητική ιεραρχία laquoπηγαίνουνraquo)middot

και να δείξουμε ότι λύνουν το προβλημα τερματισμού των

μηχανών του Weihrauch

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Απαιτείται

να ορίσουμε αυστηρά τις νέες αυτές νοητικές μηχανέςmiddot

να δούμε ποιούς αριθμούς υπολογίζουν (πόσο ψηλά στην

αριθμητική ιεραρχία laquoπηγαίνουνraquo)middot

και να δείξουμε ότι λύνουν το προβλημα τερματισμού των

μηχανών του Weihrauch

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Απαιτείται

να ορίσουμε αυστηρά τις νέες αυτές νοητικές μηχανέςmiddot

να δούμε ποιούς αριθμούς υπολογίζουν (πόσο ψηλά στην

αριθμητική ιεραρχία laquoπηγαίνουνraquo)middot

και να δείξουμε ότι λύνουν το προβλημα τερματισμού των

μηχανών του Weihrauch

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Τέλος

Ευχαριστώ για την προσοχή σας

• Εισαγωγή
• • Περί υπολογισιμότητας
  • Υπολογισιμότητα στην ανάλυση
  • Προσεγγίσεις στο θέμα της υπολογισιμότητας
  • • Yπερ-υπολογισιμότητα
    • Mηχανές TAE
    • Mηχανές Type 2
    • Mηχανές Type 2-TAE

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μοντέλα υπολογίσιμης ανάλυσης

Alan Turing ένας αριθμός 119909 isin [0 1] είναι υπολογίσιμος ανυπάρχει μια υπολογίσιμη συνάρτηση 119891 ∶ ℕ rarr 0 1 hellip 9τέτοια ώστε 119909 = sum119894isinℕ 119891(119896) sdot 10minus119896

Ο χαρακτηρισμός του Andrzej Grzegorczyk και η θεωρία

πολυπλοκότητας στο ℝ του Ker-I Ko

Θεωρία υπολογισιμότητας των Mariam B Pour-El και

Jonathan I Richards

Μηχανές BSS των Lenore Blum Michael Shub και Steve

Smale

Type 2 theory of effectivity του Klaus Weihrauch

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μοντέλα υπολογίσιμης ανάλυσης

Alan Turing ένας αριθμός 119909 isin [0 1] είναι υπολογίσιμος ανυπάρχει μια υπολογίσιμη συνάρτηση 119891 ∶ ℕ rarr 0 1 hellip 9τέτοια ώστε 119909 = sum119894isinℕ 119891(119896) sdot 10minus119896Ο χαρακτηρισμός του Andrzej Grzegorczyk και η θεωρία

πολυπλοκότητας στο ℝ του Ker-I Ko

Θεωρία υπολογισιμότητας των Mariam B Pour-El και

Jonathan I Richards

Μηχανές BSS των Lenore Blum Michael Shub και Steve

Smale

Type 2 theory of effectivity του Klaus Weihrauch

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μοντέλα υπολογίσιμης ανάλυσης

Alan Turing ένας αριθμός 119909 isin [0 1] είναι υπολογίσιμος ανυπάρχει μια υπολογίσιμη συνάρτηση 119891 ∶ ℕ rarr 0 1 hellip 9τέτοια ώστε 119909 = sum119894isinℕ 119891(119896) sdot 10minus119896Ο χαρακτηρισμός του Andrzej Grzegorczyk και η θεωρία

πολυπλοκότητας στο ℝ του Ker-I Ko

Θεωρία υπολογισιμότητας των Mariam B Pour-El και

Jonathan I Richards

Μηχανές BSS των Lenore Blum Michael Shub και Steve

Smale

Type 2 theory of effectivity του Klaus Weihrauch

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μοντέλα υπολογίσιμης ανάλυσης

Alan Turing ένας αριθμός 119909 isin [0 1] είναι υπολογίσιμος ανυπάρχει μια υπολογίσιμη συνάρτηση 119891 ∶ ℕ rarr 0 1 hellip 9τέτοια ώστε 119909 = sum119894isinℕ 119891(119896) sdot 10minus119896Ο χαρακτηρισμός του Andrzej Grzegorczyk και η θεωρία

πολυπλοκότητας στο ℝ του Ker-I Ko

Θεωρία υπολογισιμότητας των Mariam B Pour-El και

Jonathan I Richards

Μηχανές BSS των Lenore Blum Michael Shub και Steve

Smale

Type 2 theory of effectivity του Klaus Weihrauch

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μοντέλα υπολογίσιμης ανάλυσης

Alan Turing ένας αριθμός 119909 isin [0 1] είναι υπολογίσιμος ανυπάρχει μια υπολογίσιμη συνάρτηση 119891 ∶ ℕ rarr 0 1 hellip 9τέτοια ώστε 119909 = sum119894isinℕ 119891(119896) sdot 10minus119896Ο χαρακτηρισμός του Andrzej Grzegorczyk και η θεωρία

πολυπλοκότητας στο ℝ του Ker-I Ko

Θεωρία υπολογισιμότητας των Mariam B Pour-El και

Jonathan I Richards

Μηχανές BSS των Lenore Blum Michael Shub και Steve

Smale

Type 2 theory of effectivity του Klaus Weihrauch

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Τί είναι η υπερ-υπολογισιμότητα

Το αίτημα των Church-Turing δεν μπορεί να είναι αληθές

Υπάρχουν νοητικές μηχανές που ξεπερνούν τα όρια των

δυνατοτήτων της μηχανής Turing

Οι υπερ-μηχανές μπορούν να υλοποιηθούν

Ο Jack Copeland και η Diane Proudfoot είναι αυτοί που

εισαγάγανε τον όρο ŦὓĦŊŦὓ ʼnĽʼnĘIJŞIJľĚş Į şĐ (στα αγγλικά

hypercomputation)

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Τί είναι η υπερ-υπολογισιμότητα

Το αίτημα των Church-Turing δεν μπορεί να είναι αληθές

Υπάρχουν νοητικές μηχανές που ξεπερνούν τα όρια των

δυνατοτήτων της μηχανής Turing

Οι υπερ-μηχανές μπορούν να υλοποιηθούν

Ο Jack Copeland και η Diane Proudfoot είναι αυτοί που

εισαγάγανε τον όρο ŦὓĦŊŦὓ ʼnĽʼnĘIJŞIJľĚş Į şĐ (στα αγγλικά

hypercomputation)

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Τί είναι η υπερ-υπολογισιμότητα

Το αίτημα των Church-Turing δεν μπορεί να είναι αληθές

Υπάρχουν νοητικές μηχανές που ξεπερνούν τα όρια των

δυνατοτήτων της μηχανής Turing

Οι υπερ-μηχανές μπορούν να υλοποιηθούν

Ο Jack Copeland και η Diane Proudfoot είναι αυτοί που

εισαγάγανε τον όρο ŦὓĦŊŦὓ ʼnĽʼnĘIJŞIJľĚş Į şĐ (στα αγγλικά

hypercomputation)

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Τί είναι η υπερ-υπολογισιμότητα

Το αίτημα των Church-Turing δεν μπορεί να είναι αληθές

Υπάρχουν νοητικές μηχανές που ξεπερνούν τα όρια των

δυνατοτήτων της μηχανής Turing

Οι υπερ-μηχανές μπορούν να υλοποιηθούν

Ο Jack Copeland και η Diane Proudfoot είναι αυτοί που

εισαγάγανε τον όρο ŦὓĦŊŦὓ ʼnĽʼnĘIJŞIJľĚş Į şĐ (στα αγγλικά

hypercomputation)

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Τί είναι η υπερ-υπολογισιμότητα

Το αίτημα των Church-Turing δεν μπορεί να είναι αληθές

Υπάρχουν νοητικές μηχανές που ξεπερνούν τα όρια των

δυνατοτήτων της μηχανής Turing

Οι υπερ-μηχανές μπορούν να υλοποιηθούν

Ο Jack Copeland και η Diane Proudfoot είναι αυτοί που

εισαγάγανε τον όρο ŦὓĦŊŦὓ ʼnĽʼnĘIJŞIJľĚş Į şĐ (στα αγγλικά

hypercomputation)

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές TAE των Hintikka-Mutanen

Αποτελούν μηχανές Turing με μία επιπλέον ταινία στην

οποία γράφονται και σβήνονται δεδομένα

Υπολογίζουν εξισώσεις της μορφής 119891(119886) = 119887 119886 119887 isin ℕ

Υπολογίζουν αριθμούς και συναρτήσεις ʼnŊIJĐij

Λύνουν το πρόβλημα του τερματισμού των μηχανών Turing

Δεν μπορούν να λύσουν το δικό τους πρόβλημα

τερματισμού

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές TAE των Hintikka-Mutanen

Αποτελούν μηχανές Turing με μία επιπλέον ταινία στην

οποία γράφονται και σβήνονται δεδομένα

Υπολογίζουν εξισώσεις της μορφής 119891(119886) = 119887 119886 119887 isin ℕ

Υπολογίζουν αριθμούς και συναρτήσεις ʼnŊIJĐij

Λύνουν το πρόβλημα του τερματισμού των μηχανών Turing

Δεν μπορούν να λύσουν το δικό τους πρόβλημα

τερματισμού

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές TAE των Hintikka-Mutanen

Αποτελούν μηχανές Turing με μία επιπλέον ταινία στην

οποία γράφονται και σβήνονται δεδομένα

Υπολογίζουν εξισώσεις της μορφής 119891(119886) = 119887 119886 119887 isin ℕ

Υπολογίζουν αριθμούς και συναρτήσεις ʼnŊIJĐij

Λύνουν το πρόβλημα του τερματισμού των μηχανών Turing

Δεν μπορούν να λύσουν το δικό τους πρόβλημα

τερματισμού

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές TAE των Hintikka-Mutanen

Αποτελούν μηχανές Turing με μία επιπλέον ταινία στην

οποία γράφονται και σβήνονται δεδομένα

Υπολογίζουν εξισώσεις της μορφής 119891(119886) = 119887 119886 119887 isin ℕ

Υπολογίζουν αριθμούς και συναρτήσεις ʼnŊIJĐij

Λύνουν το πρόβλημα του τερματισμού των μηχανών Turing

Δεν μπορούν να λύσουν το δικό τους πρόβλημα

τερματισμού

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές TAE των Hintikka-Mutanen

Αποτελούν μηχανές Turing με μία επιπλέον ταινία στην

οποία γράφονται και σβήνονται δεδομένα

Υπολογίζουν εξισώσεις της μορφής 119891(119886) = 119887 119886 119887 isin ℕ

Υπολογίζουν αριθμούς και συναρτήσεις ʼnŊIJĐij

Λύνουν το πρόβλημα του τερματισμού των μηχανών Turing

Δεν μπορούν να λύσουν το δικό τους πρόβλημα

τερματισμού

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές TAE των Hintikka-Mutanen

Αποτελούν μηχανές Turing με μία επιπλέον ταινία στην

οποία γράφονται και σβήνονται δεδομένα

Υπολογίζουν εξισώσεις της μορφής 119891(119886) = 119887 119886 119887 isin ℕ

Υπολογίζουν αριθμούς και συναρτήσεις ʼnŊIJĐij

Λύνουν το πρόβλημα του τερματισμού των μηχανών Turing

Δεν μπορούν να λύσουν το δικό τους πρόβλημα

τερματισμού

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 του Weihrauch

y0 output tape 0 (one-way)

M

work tapes k + 1 N

yk

y1

input tapes 1 k (one-way)

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Ας υποθέσουμε ότι

μπορούμε και να γράφουμε σε όλες τις ταινίεςmiddot

μπορούμε να υπολογίζουμε σε κάθε βήμα μια εξίσωση της

μορφής 119891(1198861113578 hellip 119886119899) = 119887 (η εξίσωση γράφεται στη ταινία

εξόδου)middot

μπορούμε να αποφασίσουμε πότε έχουμε φτάσει στο τέλος

ενός υπολογισμού

Tότε μιλούμε για μια επέκταση της θεωρίας των μηχανών Type 2

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Ας υποθέσουμε ότι

μπορούμε και να γράφουμε σε όλες τις ταινίεςmiddot

μπορούμε να υπολογίζουμε σε κάθε βήμα μια εξίσωση της

μορφής 119891(1198861113578 hellip 119886119899) = 119887 (η εξίσωση γράφεται στη ταινία

εξόδου)middot

μπορούμε να αποφασίσουμε πότε έχουμε φτάσει στο τέλος

ενός υπολογισμού

Tότε μιλούμε για μια επέκταση της θεωρίας των μηχανών Type 2

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Ας υποθέσουμε ότι

μπορούμε και να γράφουμε σε όλες τις ταινίεςmiddot

μπορούμε να υπολογίζουμε σε κάθε βήμα μια εξίσωση της

μορφής 119891(1198861113578 hellip 119886119899) = 119887 (η εξίσωση γράφεται στη ταινία

εξόδου)middot

μπορούμε να αποφασίσουμε πότε έχουμε φτάσει στο τέλος

ενός υπολογισμού

Tότε μιλούμε για μια επέκταση της θεωρίας των μηχανών Type 2

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Ας υποθέσουμε ότι

μπορούμε και να γράφουμε σε όλες τις ταινίεςmiddot

μπορούμε να υπολογίζουμε σε κάθε βήμα μια εξίσωση της

μορφής 119891(1198861113578 hellip 119886119899) = 119887 (η εξίσωση γράφεται στη ταινία

εξόδου)middot

μπορούμε να αποφασίσουμε πότε έχουμε φτάσει στο τέλος

ενός υπολογισμού

Tότε μιλούμε για μια επέκταση της θεωρίας των μηχανών Type 2

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Ας υποθέσουμε ότι

μπορούμε και να γράφουμε σε όλες τις ταινίεςmiddot

μπορούμε να υπολογίζουμε σε κάθε βήμα μια εξίσωση της

μορφής 119891(1198861113578 hellip 119886119899) = 119887 (η εξίσωση γράφεται στη ταινία

εξόδου)middot

μπορούμε να αποφασίσουμε πότε έχουμε φτάσει στο τέλος

ενός υπολογισμού

Tότε μιλούμε για μια επέκταση της θεωρίας των μηχανών Type 2

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Απαιτείται

να ορίσουμε αυστηρά τις νέες αυτές νοητικές μηχανέςmiddot

να δούμε ποιούς αριθμούς υπολογίζουν (πόσο ψηλά στην

αριθμητική ιεραρχία laquoπηγαίνουνraquo)middot

και να δείξουμε ότι λύνουν το προβλημα τερματισμού των

μηχανών του Weihrauch

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Απαιτείται

να ορίσουμε αυστηρά τις νέες αυτές νοητικές μηχανέςmiddot

να δούμε ποιούς αριθμούς υπολογίζουν (πόσο ψηλά στην

αριθμητική ιεραρχία laquoπηγαίνουνraquo)middot

και να δείξουμε ότι λύνουν το προβλημα τερματισμού των

μηχανών του Weihrauch

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Απαιτείται

να ορίσουμε αυστηρά τις νέες αυτές νοητικές μηχανέςmiddot

να δούμε ποιούς αριθμούς υπολογίζουν (πόσο ψηλά στην

αριθμητική ιεραρχία laquoπηγαίνουνraquo)middot

και να δείξουμε ότι λύνουν το προβλημα τερματισμού των

μηχανών του Weihrauch

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Απαιτείται

να ορίσουμε αυστηρά τις νέες αυτές νοητικές μηχανέςmiddot

να δούμε ποιούς αριθμούς υπολογίζουν (πόσο ψηλά στην

αριθμητική ιεραρχία laquoπηγαίνουνraquo)middot

και να δείξουμε ότι λύνουν το προβλημα τερματισμού των

μηχανών του Weihrauch

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Τέλος

Ευχαριστώ για την προσοχή σας

• Εισαγωγή
• • Περί υπολογισιμότητας
  • Υπολογισιμότητα στην ανάλυση
  • Προσεγγίσεις στο θέμα της υπολογισιμότητας
  • • Yπερ-υπολογισιμότητα
    • Mηχανές TAE
    • Mηχανές Type 2
    • Mηχανές Type 2-TAE

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μοντέλα υπολογίσιμης ανάλυσης

Alan Turing ένας αριθμός 119909 isin [0 1] είναι υπολογίσιμος ανυπάρχει μια υπολογίσιμη συνάρτηση 119891 ∶ ℕ rarr 0 1 hellip 9τέτοια ώστε 119909 = sum119894isinℕ 119891(119896) sdot 10minus119896Ο χαρακτηρισμός του Andrzej Grzegorczyk και η θεωρία

πολυπλοκότητας στο ℝ του Ker-I Ko

Θεωρία υπολογισιμότητας των Mariam B Pour-El και

Jonathan I Richards

Μηχανές BSS των Lenore Blum Michael Shub και Steve

Smale

Type 2 theory of effectivity του Klaus Weihrauch

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μοντέλα υπολογίσιμης ανάλυσης

Alan Turing ένας αριθμός 119909 isin [0 1] είναι υπολογίσιμος ανυπάρχει μια υπολογίσιμη συνάρτηση 119891 ∶ ℕ rarr 0 1 hellip 9τέτοια ώστε 119909 = sum119894isinℕ 119891(119896) sdot 10minus119896Ο χαρακτηρισμός του Andrzej Grzegorczyk και η θεωρία

πολυπλοκότητας στο ℝ του Ker-I Ko

Θεωρία υπολογισιμότητας των Mariam B Pour-El και

Jonathan I Richards

Μηχανές BSS των Lenore Blum Michael Shub και Steve

Smale

Type 2 theory of effectivity του Klaus Weihrauch

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μοντέλα υπολογίσιμης ανάλυσης

Alan Turing ένας αριθμός 119909 isin [0 1] είναι υπολογίσιμος ανυπάρχει μια υπολογίσιμη συνάρτηση 119891 ∶ ℕ rarr 0 1 hellip 9τέτοια ώστε 119909 = sum119894isinℕ 119891(119896) sdot 10minus119896Ο χαρακτηρισμός του Andrzej Grzegorczyk και η θεωρία

πολυπλοκότητας στο ℝ του Ker-I Ko

Θεωρία υπολογισιμότητας των Mariam B Pour-El και

Jonathan I Richards

Μηχανές BSS των Lenore Blum Michael Shub και Steve

Smale

Type 2 theory of effectivity του Klaus Weihrauch

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μοντέλα υπολογίσιμης ανάλυσης

Alan Turing ένας αριθμός 119909 isin [0 1] είναι υπολογίσιμος ανυπάρχει μια υπολογίσιμη συνάρτηση 119891 ∶ ℕ rarr 0 1 hellip 9τέτοια ώστε 119909 = sum119894isinℕ 119891(119896) sdot 10minus119896Ο χαρακτηρισμός του Andrzej Grzegorczyk και η θεωρία

πολυπλοκότητας στο ℝ του Ker-I Ko

Θεωρία υπολογισιμότητας των Mariam B Pour-El και

Jonathan I Richards

Μηχανές BSS των Lenore Blum Michael Shub και Steve

Smale

Type 2 theory of effectivity του Klaus Weihrauch

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Τί είναι η υπερ-υπολογισιμότητα

Το αίτημα των Church-Turing δεν μπορεί να είναι αληθές

Υπάρχουν νοητικές μηχανές που ξεπερνούν τα όρια των

δυνατοτήτων της μηχανής Turing

Οι υπερ-μηχανές μπορούν να υλοποιηθούν

Ο Jack Copeland και η Diane Proudfoot είναι αυτοί που

εισαγάγανε τον όρο ŦὓĦŊŦὓ ʼnĽʼnĘIJŞIJľĚş Į şĐ (στα αγγλικά

hypercomputation)

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Τί είναι η υπερ-υπολογισιμότητα

Το αίτημα των Church-Turing δεν μπορεί να είναι αληθές

Υπάρχουν νοητικές μηχανές που ξεπερνούν τα όρια των

δυνατοτήτων της μηχανής Turing

Οι υπερ-μηχανές μπορούν να υλοποιηθούν

Ο Jack Copeland και η Diane Proudfoot είναι αυτοί που

εισαγάγανε τον όρο ŦὓĦŊŦὓ ʼnĽʼnĘIJŞIJľĚş Į şĐ (στα αγγλικά

hypercomputation)

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Τί είναι η υπερ-υπολογισιμότητα

Το αίτημα των Church-Turing δεν μπορεί να είναι αληθές

Υπάρχουν νοητικές μηχανές που ξεπερνούν τα όρια των

δυνατοτήτων της μηχανής Turing

Οι υπερ-μηχανές μπορούν να υλοποιηθούν

Ο Jack Copeland και η Diane Proudfoot είναι αυτοί που

εισαγάγανε τον όρο ŦὓĦŊŦὓ ʼnĽʼnĘIJŞIJľĚş Į şĐ (στα αγγλικά

hypercomputation)

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Τί είναι η υπερ-υπολογισιμότητα

Το αίτημα των Church-Turing δεν μπορεί να είναι αληθές

Υπάρχουν νοητικές μηχανές που ξεπερνούν τα όρια των

δυνατοτήτων της μηχανής Turing

Οι υπερ-μηχανές μπορούν να υλοποιηθούν

Ο Jack Copeland και η Diane Proudfoot είναι αυτοί που

εισαγάγανε τον όρο ŦὓĦŊŦὓ ʼnĽʼnĘIJŞIJľĚş Į şĐ (στα αγγλικά

hypercomputation)

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Τί είναι η υπερ-υπολογισιμότητα

Το αίτημα των Church-Turing δεν μπορεί να είναι αληθές

Υπάρχουν νοητικές μηχανές που ξεπερνούν τα όρια των

δυνατοτήτων της μηχανής Turing

Οι υπερ-μηχανές μπορούν να υλοποιηθούν

Ο Jack Copeland και η Diane Proudfoot είναι αυτοί που

εισαγάγανε τον όρο ŦὓĦŊŦὓ ʼnĽʼnĘIJŞIJľĚş Į şĐ (στα αγγλικά

hypercomputation)

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές TAE των Hintikka-Mutanen

Αποτελούν μηχανές Turing με μία επιπλέον ταινία στην

οποία γράφονται και σβήνονται δεδομένα

Υπολογίζουν εξισώσεις της μορφής 119891(119886) = 119887 119886 119887 isin ℕ

Υπολογίζουν αριθμούς και συναρτήσεις ʼnŊIJĐij

Λύνουν το πρόβλημα του τερματισμού των μηχανών Turing

Δεν μπορούν να λύσουν το δικό τους πρόβλημα

τερματισμού

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές TAE των Hintikka-Mutanen

Αποτελούν μηχανές Turing με μία επιπλέον ταινία στην

οποία γράφονται και σβήνονται δεδομένα

Υπολογίζουν εξισώσεις της μορφής 119891(119886) = 119887 119886 119887 isin ℕ

Υπολογίζουν αριθμούς και συναρτήσεις ʼnŊIJĐij

Λύνουν το πρόβλημα του τερματισμού των μηχανών Turing

Δεν μπορούν να λύσουν το δικό τους πρόβλημα

τερματισμού

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές TAE των Hintikka-Mutanen

Αποτελούν μηχανές Turing με μία επιπλέον ταινία στην

οποία γράφονται και σβήνονται δεδομένα

Υπολογίζουν εξισώσεις της μορφής 119891(119886) = 119887 119886 119887 isin ℕ

Υπολογίζουν αριθμούς και συναρτήσεις ʼnŊIJĐij

Λύνουν το πρόβλημα του τερματισμού των μηχανών Turing

Δεν μπορούν να λύσουν το δικό τους πρόβλημα

τερματισμού

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές TAE των Hintikka-Mutanen

Αποτελούν μηχανές Turing με μία επιπλέον ταινία στην

οποία γράφονται και σβήνονται δεδομένα

Υπολογίζουν εξισώσεις της μορφής 119891(119886) = 119887 119886 119887 isin ℕ

Υπολογίζουν αριθμούς και συναρτήσεις ʼnŊIJĐij

Λύνουν το πρόβλημα του τερματισμού των μηχανών Turing

Δεν μπορούν να λύσουν το δικό τους πρόβλημα

τερματισμού

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές TAE των Hintikka-Mutanen

Αποτελούν μηχανές Turing με μία επιπλέον ταινία στην

οποία γράφονται και σβήνονται δεδομένα

Υπολογίζουν εξισώσεις της μορφής 119891(119886) = 119887 119886 119887 isin ℕ

Υπολογίζουν αριθμούς και συναρτήσεις ʼnŊIJĐij

Λύνουν το πρόβλημα του τερματισμού των μηχανών Turing

Δεν μπορούν να λύσουν το δικό τους πρόβλημα

τερματισμού

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές TAE των Hintikka-Mutanen

Αποτελούν μηχανές Turing με μία επιπλέον ταινία στην

οποία γράφονται και σβήνονται δεδομένα

Υπολογίζουν εξισώσεις της μορφής 119891(119886) = 119887 119886 119887 isin ℕ

Υπολογίζουν αριθμούς και συναρτήσεις ʼnŊIJĐij

Λύνουν το πρόβλημα του τερματισμού των μηχανών Turing

Δεν μπορούν να λύσουν το δικό τους πρόβλημα

τερματισμού

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 του Weihrauch

y0 output tape 0 (one-way)

M

work tapes k + 1 N

yk

y1

input tapes 1 k (one-way)

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Ας υποθέσουμε ότι

μπορούμε και να γράφουμε σε όλες τις ταινίεςmiddot

μπορούμε να υπολογίζουμε σε κάθε βήμα μια εξίσωση της

μορφής 119891(1198861113578 hellip 119886119899) = 119887 (η εξίσωση γράφεται στη ταινία

εξόδου)middot

μπορούμε να αποφασίσουμε πότε έχουμε φτάσει στο τέλος

ενός υπολογισμού

Tότε μιλούμε για μια επέκταση της θεωρίας των μηχανών Type 2

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Ας υποθέσουμε ότι

μπορούμε και να γράφουμε σε όλες τις ταινίεςmiddot

μπορούμε να υπολογίζουμε σε κάθε βήμα μια εξίσωση της

μορφής 119891(1198861113578 hellip 119886119899) = 119887 (η εξίσωση γράφεται στη ταινία

εξόδου)middot

μπορούμε να αποφασίσουμε πότε έχουμε φτάσει στο τέλος

ενός υπολογισμού

Tότε μιλούμε για μια επέκταση της θεωρίας των μηχανών Type 2

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Ας υποθέσουμε ότι

μπορούμε και να γράφουμε σε όλες τις ταινίεςmiddot

μπορούμε να υπολογίζουμε σε κάθε βήμα μια εξίσωση της

μορφής 119891(1198861113578 hellip 119886119899) = 119887 (η εξίσωση γράφεται στη ταινία

εξόδου)middot

μπορούμε να αποφασίσουμε πότε έχουμε φτάσει στο τέλος

ενός υπολογισμού

Tότε μιλούμε για μια επέκταση της θεωρίας των μηχανών Type 2

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Ας υποθέσουμε ότι

μπορούμε και να γράφουμε σε όλες τις ταινίεςmiddot

μπορούμε να υπολογίζουμε σε κάθε βήμα μια εξίσωση της

μορφής 119891(1198861113578 hellip 119886119899) = 119887 (η εξίσωση γράφεται στη ταινία

εξόδου)middot

μπορούμε να αποφασίσουμε πότε έχουμε φτάσει στο τέλος

ενός υπολογισμού

Tότε μιλούμε για μια επέκταση της θεωρίας των μηχανών Type 2

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Ας υποθέσουμε ότι

μπορούμε και να γράφουμε σε όλες τις ταινίεςmiddot

μπορούμε να υπολογίζουμε σε κάθε βήμα μια εξίσωση της

μορφής 119891(1198861113578 hellip 119886119899) = 119887 (η εξίσωση γράφεται στη ταινία

εξόδου)middot

μπορούμε να αποφασίσουμε πότε έχουμε φτάσει στο τέλος

ενός υπολογισμού

Tότε μιλούμε για μια επέκταση της θεωρίας των μηχανών Type 2

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Απαιτείται

να ορίσουμε αυστηρά τις νέες αυτές νοητικές μηχανέςmiddot

να δούμε ποιούς αριθμούς υπολογίζουν (πόσο ψηλά στην

αριθμητική ιεραρχία laquoπηγαίνουνraquo)middot

και να δείξουμε ότι λύνουν το προβλημα τερματισμού των

μηχανών του Weihrauch

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Απαιτείται

να ορίσουμε αυστηρά τις νέες αυτές νοητικές μηχανέςmiddot

να δούμε ποιούς αριθμούς υπολογίζουν (πόσο ψηλά στην

αριθμητική ιεραρχία laquoπηγαίνουνraquo)middot

και να δείξουμε ότι λύνουν το προβλημα τερματισμού των

μηχανών του Weihrauch

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Απαιτείται

να ορίσουμε αυστηρά τις νέες αυτές νοητικές μηχανέςmiddot

να δούμε ποιούς αριθμούς υπολογίζουν (πόσο ψηλά στην

αριθμητική ιεραρχία laquoπηγαίνουνraquo)middot

και να δείξουμε ότι λύνουν το προβλημα τερματισμού των

μηχανών του Weihrauch

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Απαιτείται

να ορίσουμε αυστηρά τις νέες αυτές νοητικές μηχανέςmiddot

να δούμε ποιούς αριθμούς υπολογίζουν (πόσο ψηλά στην

αριθμητική ιεραρχία laquoπηγαίνουνraquo)middot

και να δείξουμε ότι λύνουν το προβλημα τερματισμού των

μηχανών του Weihrauch

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Τέλος

Ευχαριστώ για την προσοχή σας

• Εισαγωγή
• • Περί υπολογισιμότητας
  • Υπολογισιμότητα στην ανάλυση
  • Προσεγγίσεις στο θέμα της υπολογισιμότητας
  • • Yπερ-υπολογισιμότητα
    • Mηχανές TAE
    • Mηχανές Type 2
    • Mηχανές Type 2-TAE

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μοντέλα υπολογίσιμης ανάλυσης

Alan Turing ένας αριθμός 119909 isin [0 1] είναι υπολογίσιμος ανυπάρχει μια υπολογίσιμη συνάρτηση 119891 ∶ ℕ rarr 0 1 hellip 9τέτοια ώστε 119909 = sum119894isinℕ 119891(119896) sdot 10minus119896Ο χαρακτηρισμός του Andrzej Grzegorczyk και η θεωρία

πολυπλοκότητας στο ℝ του Ker-I Ko

Θεωρία υπολογισιμότητας των Mariam B Pour-El και

Jonathan I Richards

Μηχανές BSS των Lenore Blum Michael Shub και Steve

Smale

Type 2 theory of effectivity του Klaus Weihrauch

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μοντέλα υπολογίσιμης ανάλυσης

Alan Turing ένας αριθμός 119909 isin [0 1] είναι υπολογίσιμος ανυπάρχει μια υπολογίσιμη συνάρτηση 119891 ∶ ℕ rarr 0 1 hellip 9τέτοια ώστε 119909 = sum119894isinℕ 119891(119896) sdot 10minus119896Ο χαρακτηρισμός του Andrzej Grzegorczyk και η θεωρία

πολυπλοκότητας στο ℝ του Ker-I Ko

Θεωρία υπολογισιμότητας των Mariam B Pour-El και

Jonathan I Richards

Μηχανές BSS των Lenore Blum Michael Shub και Steve

Smale

Type 2 theory of effectivity του Klaus Weihrauch

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μοντέλα υπολογίσιμης ανάλυσης

Alan Turing ένας αριθμός 119909 isin [0 1] είναι υπολογίσιμος ανυπάρχει μια υπολογίσιμη συνάρτηση 119891 ∶ ℕ rarr 0 1 hellip 9τέτοια ώστε 119909 = sum119894isinℕ 119891(119896) sdot 10minus119896Ο χαρακτηρισμός του Andrzej Grzegorczyk και η θεωρία

πολυπλοκότητας στο ℝ του Ker-I Ko

Θεωρία υπολογισιμότητας των Mariam B Pour-El και

Jonathan I Richards

Μηχανές BSS των Lenore Blum Michael Shub και Steve

Smale

Type 2 theory of effectivity του Klaus Weihrauch

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Τί είναι η υπερ-υπολογισιμότητα

Το αίτημα των Church-Turing δεν μπορεί να είναι αληθές

Υπάρχουν νοητικές μηχανές που ξεπερνούν τα όρια των

δυνατοτήτων της μηχανής Turing

Οι υπερ-μηχανές μπορούν να υλοποιηθούν

Ο Jack Copeland και η Diane Proudfoot είναι αυτοί που

εισαγάγανε τον όρο ŦὓĦŊŦὓ ʼnĽʼnĘIJŞIJľĚş Į şĐ (στα αγγλικά

hypercomputation)

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Τί είναι η υπερ-υπολογισιμότητα

Το αίτημα των Church-Turing δεν μπορεί να είναι αληθές

Υπάρχουν νοητικές μηχανές που ξεπερνούν τα όρια των

δυνατοτήτων της μηχανής Turing

Οι υπερ-μηχανές μπορούν να υλοποιηθούν

Ο Jack Copeland και η Diane Proudfoot είναι αυτοί που

εισαγάγανε τον όρο ŦὓĦŊŦὓ ʼnĽʼnĘIJŞIJľĚş Į şĐ (στα αγγλικά

hypercomputation)

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Τί είναι η υπερ-υπολογισιμότητα

Το αίτημα των Church-Turing δεν μπορεί να είναι αληθές

Υπάρχουν νοητικές μηχανές που ξεπερνούν τα όρια των

δυνατοτήτων της μηχανής Turing

Οι υπερ-μηχανές μπορούν να υλοποιηθούν

Ο Jack Copeland και η Diane Proudfoot είναι αυτοί που

εισαγάγανε τον όρο ŦὓĦŊŦὓ ʼnĽʼnĘIJŞIJľĚş Į şĐ (στα αγγλικά

hypercomputation)

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Τί είναι η υπερ-υπολογισιμότητα

Το αίτημα των Church-Turing δεν μπορεί να είναι αληθές

Υπάρχουν νοητικές μηχανές που ξεπερνούν τα όρια των

δυνατοτήτων της μηχανής Turing

Οι υπερ-μηχανές μπορούν να υλοποιηθούν

Ο Jack Copeland και η Diane Proudfoot είναι αυτοί που

εισαγάγανε τον όρο ŦὓĦŊŦὓ ʼnĽʼnĘIJŞIJľĚş Į şĐ (στα αγγλικά

hypercomputation)

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Τί είναι η υπερ-υπολογισιμότητα

Το αίτημα των Church-Turing δεν μπορεί να είναι αληθές

Υπάρχουν νοητικές μηχανές που ξεπερνούν τα όρια των

δυνατοτήτων της μηχανής Turing

Οι υπερ-μηχανές μπορούν να υλοποιηθούν

Ο Jack Copeland και η Diane Proudfoot είναι αυτοί που

εισαγάγανε τον όρο ŦὓĦŊŦὓ ʼnĽʼnĘIJŞIJľĚş Į şĐ (στα αγγλικά

hypercomputation)

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές TAE των Hintikka-Mutanen

Αποτελούν μηχανές Turing με μία επιπλέον ταινία στην

οποία γράφονται και σβήνονται δεδομένα

Υπολογίζουν εξισώσεις της μορφής 119891(119886) = 119887 119886 119887 isin ℕ

Υπολογίζουν αριθμούς και συναρτήσεις ʼnŊIJĐij

Λύνουν το πρόβλημα του τερματισμού των μηχανών Turing

Δεν μπορούν να λύσουν το δικό τους πρόβλημα

τερματισμού

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές TAE των Hintikka-Mutanen

Αποτελούν μηχανές Turing με μία επιπλέον ταινία στην

οποία γράφονται και σβήνονται δεδομένα

Υπολογίζουν εξισώσεις της μορφής 119891(119886) = 119887 119886 119887 isin ℕ

Υπολογίζουν αριθμούς και συναρτήσεις ʼnŊIJĐij

Λύνουν το πρόβλημα του τερματισμού των μηχανών Turing

Δεν μπορούν να λύσουν το δικό τους πρόβλημα

τερματισμού

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές TAE των Hintikka-Mutanen

Αποτελούν μηχανές Turing με μία επιπλέον ταινία στην

οποία γράφονται και σβήνονται δεδομένα

Υπολογίζουν εξισώσεις της μορφής 119891(119886) = 119887 119886 119887 isin ℕ

Υπολογίζουν αριθμούς και συναρτήσεις ʼnŊIJĐij

Λύνουν το πρόβλημα του τερματισμού των μηχανών Turing

Δεν μπορούν να λύσουν το δικό τους πρόβλημα

τερματισμού

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές TAE των Hintikka-Mutanen

Αποτελούν μηχανές Turing με μία επιπλέον ταινία στην

οποία γράφονται και σβήνονται δεδομένα

Υπολογίζουν εξισώσεις της μορφής 119891(119886) = 119887 119886 119887 isin ℕ

Υπολογίζουν αριθμούς και συναρτήσεις ʼnŊIJĐij

Λύνουν το πρόβλημα του τερματισμού των μηχανών Turing

Δεν μπορούν να λύσουν το δικό τους πρόβλημα

τερματισμού

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές TAE των Hintikka-Mutanen

Αποτελούν μηχανές Turing με μία επιπλέον ταινία στην

οποία γράφονται και σβήνονται δεδομένα

Υπολογίζουν εξισώσεις της μορφής 119891(119886) = 119887 119886 119887 isin ℕ

Υπολογίζουν αριθμούς και συναρτήσεις ʼnŊIJĐij

Λύνουν το πρόβλημα του τερματισμού των μηχανών Turing

Δεν μπορούν να λύσουν το δικό τους πρόβλημα

τερματισμού

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές TAE των Hintikka-Mutanen

Αποτελούν μηχανές Turing με μία επιπλέον ταινία στην

οποία γράφονται και σβήνονται δεδομένα

Υπολογίζουν εξισώσεις της μορφής 119891(119886) = 119887 119886 119887 isin ℕ

Υπολογίζουν αριθμούς και συναρτήσεις ʼnŊIJĐij

Λύνουν το πρόβλημα του τερματισμού των μηχανών Turing

Δεν μπορούν να λύσουν το δικό τους πρόβλημα

τερματισμού

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 του Weihrauch

y0 output tape 0 (one-way)

M

work tapes k + 1 N

yk

y1

input tapes 1 k (one-way)

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Ας υποθέσουμε ότι

μπορούμε και να γράφουμε σε όλες τις ταινίεςmiddot

μπορούμε να υπολογίζουμε σε κάθε βήμα μια εξίσωση της

μορφής 119891(1198861113578 hellip 119886119899) = 119887 (η εξίσωση γράφεται στη ταινία

εξόδου)middot

μπορούμε να αποφασίσουμε πότε έχουμε φτάσει στο τέλος

ενός υπολογισμού

Tότε μιλούμε για μια επέκταση της θεωρίας των μηχανών Type 2

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Ας υποθέσουμε ότι

μπορούμε και να γράφουμε σε όλες τις ταινίεςmiddot

μπορούμε να υπολογίζουμε σε κάθε βήμα μια εξίσωση της

μορφής 119891(1198861113578 hellip 119886119899) = 119887 (η εξίσωση γράφεται στη ταινία

εξόδου)middot

μπορούμε να αποφασίσουμε πότε έχουμε φτάσει στο τέλος

ενός υπολογισμού

Tότε μιλούμε για μια επέκταση της θεωρίας των μηχανών Type 2

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Ας υποθέσουμε ότι

μπορούμε και να γράφουμε σε όλες τις ταινίεςmiddot

μπορούμε να υπολογίζουμε σε κάθε βήμα μια εξίσωση της

μορφής 119891(1198861113578 hellip 119886119899) = 119887 (η εξίσωση γράφεται στη ταινία

εξόδου)middot

μπορούμε να αποφασίσουμε πότε έχουμε φτάσει στο τέλος

ενός υπολογισμού

Tότε μιλούμε για μια επέκταση της θεωρίας των μηχανών Type 2

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Ας υποθέσουμε ότι

μπορούμε και να γράφουμε σε όλες τις ταινίεςmiddot

μπορούμε να υπολογίζουμε σε κάθε βήμα μια εξίσωση της

μορφής 119891(1198861113578 hellip 119886119899) = 119887 (η εξίσωση γράφεται στη ταινία

εξόδου)middot

μπορούμε να αποφασίσουμε πότε έχουμε φτάσει στο τέλος

ενός υπολογισμού

Tότε μιλούμε για μια επέκταση της θεωρίας των μηχανών Type 2

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Ας υποθέσουμε ότι

μπορούμε και να γράφουμε σε όλες τις ταινίεςmiddot

μπορούμε να υπολογίζουμε σε κάθε βήμα μια εξίσωση της

μορφής 119891(1198861113578 hellip 119886119899) = 119887 (η εξίσωση γράφεται στη ταινία

εξόδου)middot

μπορούμε να αποφασίσουμε πότε έχουμε φτάσει στο τέλος

ενός υπολογισμού

Tότε μιλούμε για μια επέκταση της θεωρίας των μηχανών Type 2

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Απαιτείται

να ορίσουμε αυστηρά τις νέες αυτές νοητικές μηχανέςmiddot

να δούμε ποιούς αριθμούς υπολογίζουν (πόσο ψηλά στην

αριθμητική ιεραρχία laquoπηγαίνουνraquo)middot

και να δείξουμε ότι λύνουν το προβλημα τερματισμού των

μηχανών του Weihrauch

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Απαιτείται

να ορίσουμε αυστηρά τις νέες αυτές νοητικές μηχανέςmiddot

να δούμε ποιούς αριθμούς υπολογίζουν (πόσο ψηλά στην

αριθμητική ιεραρχία laquoπηγαίνουνraquo)middot

και να δείξουμε ότι λύνουν το προβλημα τερματισμού των

μηχανών του Weihrauch

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Απαιτείται

να ορίσουμε αυστηρά τις νέες αυτές νοητικές μηχανέςmiddot

να δούμε ποιούς αριθμούς υπολογίζουν (πόσο ψηλά στην

αριθμητική ιεραρχία laquoπηγαίνουνraquo)middot

και να δείξουμε ότι λύνουν το προβλημα τερματισμού των

μηχανών του Weihrauch

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Απαιτείται

να ορίσουμε αυστηρά τις νέες αυτές νοητικές μηχανέςmiddot

να δούμε ποιούς αριθμούς υπολογίζουν (πόσο ψηλά στην

αριθμητική ιεραρχία laquoπηγαίνουνraquo)middot

και να δείξουμε ότι λύνουν το προβλημα τερματισμού των

μηχανών του Weihrauch

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Τέλος

Ευχαριστώ για την προσοχή σας

• Εισαγωγή
• • Περί υπολογισιμότητας
  • Υπολογισιμότητα στην ανάλυση
  • Προσεγγίσεις στο θέμα της υπολογισιμότητας
  • • Yπερ-υπολογισιμότητα
    • Mηχανές TAE
    • Mηχανές Type 2
    • Mηχανές Type 2-TAE

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μοντέλα υπολογίσιμης ανάλυσης

Alan Turing ένας αριθμός 119909 isin [0 1] είναι υπολογίσιμος ανυπάρχει μια υπολογίσιμη συνάρτηση 119891 ∶ ℕ rarr 0 1 hellip 9τέτοια ώστε 119909 = sum119894isinℕ 119891(119896) sdot 10minus119896Ο χαρακτηρισμός του Andrzej Grzegorczyk και η θεωρία

πολυπλοκότητας στο ℝ του Ker-I Ko

Θεωρία υπολογισιμότητας των Mariam B Pour-El και

Jonathan I Richards

Μηχανές BSS των Lenore Blum Michael Shub και Steve

Smale

Type 2 theory of effectivity του Klaus Weihrauch

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μοντέλα υπολογίσιμης ανάλυσης

Alan Turing ένας αριθμός 119909 isin [0 1] είναι υπολογίσιμος ανυπάρχει μια υπολογίσιμη συνάρτηση 119891 ∶ ℕ rarr 0 1 hellip 9τέτοια ώστε 119909 = sum119894isinℕ 119891(119896) sdot 10minus119896Ο χαρακτηρισμός του Andrzej Grzegorczyk και η θεωρία

πολυπλοκότητας στο ℝ του Ker-I Ko

Θεωρία υπολογισιμότητας των Mariam B Pour-El και

Jonathan I Richards

Μηχανές BSS των Lenore Blum Michael Shub και Steve

Smale

Type 2 theory of effectivity του Klaus Weihrauch

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Τί είναι η υπερ-υπολογισιμότητα

Το αίτημα των Church-Turing δεν μπορεί να είναι αληθές

Υπάρχουν νοητικές μηχανές που ξεπερνούν τα όρια των

δυνατοτήτων της μηχανής Turing

Οι υπερ-μηχανές μπορούν να υλοποιηθούν

Ο Jack Copeland και η Diane Proudfoot είναι αυτοί που

εισαγάγανε τον όρο ŦὓĦŊŦὓ ʼnĽʼnĘIJŞIJľĚş Į şĐ (στα αγγλικά

hypercomputation)

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Τί είναι η υπερ-υπολογισιμότητα

Το αίτημα των Church-Turing δεν μπορεί να είναι αληθές

Υπάρχουν νοητικές μηχανές που ξεπερνούν τα όρια των

δυνατοτήτων της μηχανής Turing

Οι υπερ-μηχανές μπορούν να υλοποιηθούν

Ο Jack Copeland και η Diane Proudfoot είναι αυτοί που

εισαγάγανε τον όρο ŦὓĦŊŦὓ ʼnĽʼnĘIJŞIJľĚş Į şĐ (στα αγγλικά

hypercomputation)

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Τί είναι η υπερ-υπολογισιμότητα

Το αίτημα των Church-Turing δεν μπορεί να είναι αληθές

Υπάρχουν νοητικές μηχανές που ξεπερνούν τα όρια των

δυνατοτήτων της μηχανής Turing

Οι υπερ-μηχανές μπορούν να υλοποιηθούν

Ο Jack Copeland και η Diane Proudfoot είναι αυτοί που

εισαγάγανε τον όρο ŦὓĦŊŦὓ ʼnĽʼnĘIJŞIJľĚş Į şĐ (στα αγγλικά

hypercomputation)

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Τί είναι η υπερ-υπολογισιμότητα

Το αίτημα των Church-Turing δεν μπορεί να είναι αληθές

Υπάρχουν νοητικές μηχανές που ξεπερνούν τα όρια των

δυνατοτήτων της μηχανής Turing

Οι υπερ-μηχανές μπορούν να υλοποιηθούν

Ο Jack Copeland και η Diane Proudfoot είναι αυτοί που

εισαγάγανε τον όρο ŦὓĦŊŦὓ ʼnĽʼnĘIJŞIJľĚş Į şĐ (στα αγγλικά

hypercomputation)

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Τί είναι η υπερ-υπολογισιμότητα

Το αίτημα των Church-Turing δεν μπορεί να είναι αληθές

Υπάρχουν νοητικές μηχανές που ξεπερνούν τα όρια των

δυνατοτήτων της μηχανής Turing

Οι υπερ-μηχανές μπορούν να υλοποιηθούν

Ο Jack Copeland και η Diane Proudfoot είναι αυτοί που

εισαγάγανε τον όρο ŦὓĦŊŦὓ ʼnĽʼnĘIJŞIJľĚş Į şĐ (στα αγγλικά

hypercomputation)

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές TAE των Hintikka-Mutanen

Αποτελούν μηχανές Turing με μία επιπλέον ταινία στην

οποία γράφονται και σβήνονται δεδομένα

Υπολογίζουν εξισώσεις της μορφής 119891(119886) = 119887 119886 119887 isin ℕ

Υπολογίζουν αριθμούς και συναρτήσεις ʼnŊIJĐij

Λύνουν το πρόβλημα του τερματισμού των μηχανών Turing

Δεν μπορούν να λύσουν το δικό τους πρόβλημα

τερματισμού

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές TAE των Hintikka-Mutanen

Αποτελούν μηχανές Turing με μία επιπλέον ταινία στην

οποία γράφονται και σβήνονται δεδομένα

Υπολογίζουν εξισώσεις της μορφής 119891(119886) = 119887 119886 119887 isin ℕ

Υπολογίζουν αριθμούς και συναρτήσεις ʼnŊIJĐij

Λύνουν το πρόβλημα του τερματισμού των μηχανών Turing

Δεν μπορούν να λύσουν το δικό τους πρόβλημα

τερματισμού

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές TAE των Hintikka-Mutanen

Αποτελούν μηχανές Turing με μία επιπλέον ταινία στην

οποία γράφονται και σβήνονται δεδομένα

Υπολογίζουν εξισώσεις της μορφής 119891(119886) = 119887 119886 119887 isin ℕ

Υπολογίζουν αριθμούς και συναρτήσεις ʼnŊIJĐij

Λύνουν το πρόβλημα του τερματισμού των μηχανών Turing

Δεν μπορούν να λύσουν το δικό τους πρόβλημα

τερματισμού

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές TAE των Hintikka-Mutanen

Αποτελούν μηχανές Turing με μία επιπλέον ταινία στην

οποία γράφονται και σβήνονται δεδομένα

Υπολογίζουν εξισώσεις της μορφής 119891(119886) = 119887 119886 119887 isin ℕ

Υπολογίζουν αριθμούς και συναρτήσεις ʼnŊIJĐij

Λύνουν το πρόβλημα του τερματισμού των μηχανών Turing

Δεν μπορούν να λύσουν το δικό τους πρόβλημα

τερματισμού

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές TAE των Hintikka-Mutanen

Αποτελούν μηχανές Turing με μία επιπλέον ταινία στην

οποία γράφονται και σβήνονται δεδομένα

Υπολογίζουν εξισώσεις της μορφής 119891(119886) = 119887 119886 119887 isin ℕ

Υπολογίζουν αριθμούς και συναρτήσεις ʼnŊIJĐij

Λύνουν το πρόβλημα του τερματισμού των μηχανών Turing

Δεν μπορούν να λύσουν το δικό τους πρόβλημα

τερματισμού

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές TAE των Hintikka-Mutanen

Αποτελούν μηχανές Turing με μία επιπλέον ταινία στην

οποία γράφονται και σβήνονται δεδομένα

Υπολογίζουν εξισώσεις της μορφής 119891(119886) = 119887 119886 119887 isin ℕ

Υπολογίζουν αριθμούς και συναρτήσεις ʼnŊIJĐij

Λύνουν το πρόβλημα του τερματισμού των μηχανών Turing

Δεν μπορούν να λύσουν το δικό τους πρόβλημα

τερματισμού

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 του Weihrauch

y0 output tape 0 (one-way)

M

work tapes k + 1 N

yk

y1

input tapes 1 k (one-way)

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Ας υποθέσουμε ότι

μπορούμε και να γράφουμε σε όλες τις ταινίεςmiddot

μπορούμε να υπολογίζουμε σε κάθε βήμα μια εξίσωση της

μορφής 119891(1198861113578 hellip 119886119899) = 119887 (η εξίσωση γράφεται στη ταινία

εξόδου)middot

μπορούμε να αποφασίσουμε πότε έχουμε φτάσει στο τέλος

ενός υπολογισμού

Tότε μιλούμε για μια επέκταση της θεωρίας των μηχανών Type 2

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Ας υποθέσουμε ότι

μπορούμε και να γράφουμε σε όλες τις ταινίεςmiddot

μπορούμε να υπολογίζουμε σε κάθε βήμα μια εξίσωση της

μορφής 119891(1198861113578 hellip 119886119899) = 119887 (η εξίσωση γράφεται στη ταινία

εξόδου)middot

μπορούμε να αποφασίσουμε πότε έχουμε φτάσει στο τέλος

ενός υπολογισμού

Tότε μιλούμε για μια επέκταση της θεωρίας των μηχανών Type 2

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Ας υποθέσουμε ότι

μπορούμε και να γράφουμε σε όλες τις ταινίεςmiddot

μπορούμε να υπολογίζουμε σε κάθε βήμα μια εξίσωση της

μορφής 119891(1198861113578 hellip 119886119899) = 119887 (η εξίσωση γράφεται στη ταινία

εξόδου)middot

μπορούμε να αποφασίσουμε πότε έχουμε φτάσει στο τέλος

ενός υπολογισμού

Tότε μιλούμε για μια επέκταση της θεωρίας των μηχανών Type 2

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Ας υποθέσουμε ότι

μπορούμε και να γράφουμε σε όλες τις ταινίεςmiddot

μπορούμε να υπολογίζουμε σε κάθε βήμα μια εξίσωση της

μορφής 119891(1198861113578 hellip 119886119899) = 119887 (η εξίσωση γράφεται στη ταινία

εξόδου)middot

μπορούμε να αποφασίσουμε πότε έχουμε φτάσει στο τέλος

ενός υπολογισμού

Tότε μιλούμε για μια επέκταση της θεωρίας των μηχανών Type 2

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Ας υποθέσουμε ότι

μπορούμε και να γράφουμε σε όλες τις ταινίεςmiddot

μπορούμε να υπολογίζουμε σε κάθε βήμα μια εξίσωση της

μορφής 119891(1198861113578 hellip 119886119899) = 119887 (η εξίσωση γράφεται στη ταινία

εξόδου)middot

μπορούμε να αποφασίσουμε πότε έχουμε φτάσει στο τέλος

ενός υπολογισμού

Tότε μιλούμε για μια επέκταση της θεωρίας των μηχανών Type 2

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Απαιτείται

να ορίσουμε αυστηρά τις νέες αυτές νοητικές μηχανέςmiddot

να δούμε ποιούς αριθμούς υπολογίζουν (πόσο ψηλά στην

αριθμητική ιεραρχία laquoπηγαίνουνraquo)middot

και να δείξουμε ότι λύνουν το προβλημα τερματισμού των

μηχανών του Weihrauch

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Απαιτείται

να ορίσουμε αυστηρά τις νέες αυτές νοητικές μηχανέςmiddot

να δούμε ποιούς αριθμούς υπολογίζουν (πόσο ψηλά στην

αριθμητική ιεραρχία laquoπηγαίνουνraquo)middot

και να δείξουμε ότι λύνουν το προβλημα τερματισμού των

μηχανών του Weihrauch

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Απαιτείται

να ορίσουμε αυστηρά τις νέες αυτές νοητικές μηχανέςmiddot

να δούμε ποιούς αριθμούς υπολογίζουν (πόσο ψηλά στην

αριθμητική ιεραρχία laquoπηγαίνουνraquo)middot

και να δείξουμε ότι λύνουν το προβλημα τερματισμού των

μηχανών του Weihrauch

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Απαιτείται

να ορίσουμε αυστηρά τις νέες αυτές νοητικές μηχανέςmiddot

να δούμε ποιούς αριθμούς υπολογίζουν (πόσο ψηλά στην

αριθμητική ιεραρχία laquoπηγαίνουνraquo)middot

και να δείξουμε ότι λύνουν το προβλημα τερματισμού των

μηχανών του Weihrauch

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Τέλος

Ευχαριστώ για την προσοχή σας

• Εισαγωγή
• • Περί υπολογισιμότητας
  • Υπολογισιμότητα στην ανάλυση
  • Προσεγγίσεις στο θέμα της υπολογισιμότητας
  • • Yπερ-υπολογισιμότητα
    • Mηχανές TAE
    • Mηχανές Type 2
    • Mηχανές Type 2-TAE

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μοντέλα υπολογίσιμης ανάλυσης

Alan Turing ένας αριθμός 119909 isin [0 1] είναι υπολογίσιμος ανυπάρχει μια υπολογίσιμη συνάρτηση 119891 ∶ ℕ rarr 0 1 hellip 9τέτοια ώστε 119909 = sum119894isinℕ 119891(119896) sdot 10minus119896Ο χαρακτηρισμός του Andrzej Grzegorczyk και η θεωρία

πολυπλοκότητας στο ℝ του Ker-I Ko

Θεωρία υπολογισιμότητας των Mariam B Pour-El και

Jonathan I Richards

Μηχανές BSS των Lenore Blum Michael Shub και Steve

Smale

Type 2 theory of effectivity του Klaus Weihrauch

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Τί είναι η υπερ-υπολογισιμότητα

Το αίτημα των Church-Turing δεν μπορεί να είναι αληθές

Υπάρχουν νοητικές μηχανές που ξεπερνούν τα όρια των

δυνατοτήτων της μηχανής Turing

Οι υπερ-μηχανές μπορούν να υλοποιηθούν

Ο Jack Copeland και η Diane Proudfoot είναι αυτοί που

εισαγάγανε τον όρο ŦὓĦŊŦὓ ʼnĽʼnĘIJŞIJľĚş Į şĐ (στα αγγλικά

hypercomputation)

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Τί είναι η υπερ-υπολογισιμότητα

Το αίτημα των Church-Turing δεν μπορεί να είναι αληθές

Υπάρχουν νοητικές μηχανές που ξεπερνούν τα όρια των

δυνατοτήτων της μηχανής Turing

Οι υπερ-μηχανές μπορούν να υλοποιηθούν

Ο Jack Copeland και η Diane Proudfoot είναι αυτοί που

εισαγάγανε τον όρο ŦὓĦŊŦὓ ʼnĽʼnĘIJŞIJľĚş Į şĐ (στα αγγλικά

hypercomputation)

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Τί είναι η υπερ-υπολογισιμότητα

Το αίτημα των Church-Turing δεν μπορεί να είναι αληθές

Υπάρχουν νοητικές μηχανές που ξεπερνούν τα όρια των

δυνατοτήτων της μηχανής Turing

Οι υπερ-μηχανές μπορούν να υλοποιηθούν

Ο Jack Copeland και η Diane Proudfoot είναι αυτοί που

εισαγάγανε τον όρο ŦὓĦŊŦὓ ʼnĽʼnĘIJŞIJľĚş Į şĐ (στα αγγλικά

hypercomputation)

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Τί είναι η υπερ-υπολογισιμότητα

Το αίτημα των Church-Turing δεν μπορεί να είναι αληθές

Υπάρχουν νοητικές μηχανές που ξεπερνούν τα όρια των

δυνατοτήτων της μηχανής Turing

Οι υπερ-μηχανές μπορούν να υλοποιηθούν

Ο Jack Copeland και η Diane Proudfoot είναι αυτοί που

εισαγάγανε τον όρο ŦὓĦŊŦὓ ʼnĽʼnĘIJŞIJľĚş Į şĐ (στα αγγλικά

hypercomputation)

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Τί είναι η υπερ-υπολογισιμότητα

Το αίτημα των Church-Turing δεν μπορεί να είναι αληθές

Υπάρχουν νοητικές μηχανές που ξεπερνούν τα όρια των

δυνατοτήτων της μηχανής Turing

Οι υπερ-μηχανές μπορούν να υλοποιηθούν

Ο Jack Copeland και η Diane Proudfoot είναι αυτοί που

εισαγάγανε τον όρο ŦὓĦŊŦὓ ʼnĽʼnĘIJŞIJľĚş Į şĐ (στα αγγλικά

hypercomputation)

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές TAE των Hintikka-Mutanen

Αποτελούν μηχανές Turing με μία επιπλέον ταινία στην

οποία γράφονται και σβήνονται δεδομένα

Υπολογίζουν εξισώσεις της μορφής 119891(119886) = 119887 119886 119887 isin ℕ

Υπολογίζουν αριθμούς και συναρτήσεις ʼnŊIJĐij

Λύνουν το πρόβλημα του τερματισμού των μηχανών Turing

Δεν μπορούν να λύσουν το δικό τους πρόβλημα

τερματισμού

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές TAE των Hintikka-Mutanen

Αποτελούν μηχανές Turing με μία επιπλέον ταινία στην

οποία γράφονται και σβήνονται δεδομένα

Υπολογίζουν εξισώσεις της μορφής 119891(119886) = 119887 119886 119887 isin ℕ

Υπολογίζουν αριθμούς και συναρτήσεις ʼnŊIJĐij

Λύνουν το πρόβλημα του τερματισμού των μηχανών Turing

Δεν μπορούν να λύσουν το δικό τους πρόβλημα

τερματισμού

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές TAE των Hintikka-Mutanen

Αποτελούν μηχανές Turing με μία επιπλέον ταινία στην

οποία γράφονται και σβήνονται δεδομένα

Υπολογίζουν εξισώσεις της μορφής 119891(119886) = 119887 119886 119887 isin ℕ

Υπολογίζουν αριθμούς και συναρτήσεις ʼnŊIJĐij

Λύνουν το πρόβλημα του τερματισμού των μηχανών Turing

Δεν μπορούν να λύσουν το δικό τους πρόβλημα

τερματισμού

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές TAE των Hintikka-Mutanen

Αποτελούν μηχανές Turing με μία επιπλέον ταινία στην

οποία γράφονται και σβήνονται δεδομένα

Υπολογίζουν εξισώσεις της μορφής 119891(119886) = 119887 119886 119887 isin ℕ

Υπολογίζουν αριθμούς και συναρτήσεις ʼnŊIJĐij

Λύνουν το πρόβλημα του τερματισμού των μηχανών Turing

Δεν μπορούν να λύσουν το δικό τους πρόβλημα

τερματισμού

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές TAE των Hintikka-Mutanen

Αποτελούν μηχανές Turing με μία επιπλέον ταινία στην

οποία γράφονται και σβήνονται δεδομένα

Υπολογίζουν εξισώσεις της μορφής 119891(119886) = 119887 119886 119887 isin ℕ

Υπολογίζουν αριθμούς και συναρτήσεις ʼnŊIJĐij

Λύνουν το πρόβλημα του τερματισμού των μηχανών Turing

Δεν μπορούν να λύσουν το δικό τους πρόβλημα

τερματισμού

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές TAE των Hintikka-Mutanen

Αποτελούν μηχανές Turing με μία επιπλέον ταινία στην

οποία γράφονται και σβήνονται δεδομένα

Υπολογίζουν εξισώσεις της μορφής 119891(119886) = 119887 119886 119887 isin ℕ

Υπολογίζουν αριθμούς και συναρτήσεις ʼnŊIJĐij

Λύνουν το πρόβλημα του τερματισμού των μηχανών Turing

Δεν μπορούν να λύσουν το δικό τους πρόβλημα

τερματισμού

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 του Weihrauch

y0 output tape 0 (one-way)

M

work tapes k + 1 N

yk

y1

input tapes 1 k (one-way)

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Ας υποθέσουμε ότι

μπορούμε και να γράφουμε σε όλες τις ταινίεςmiddot

μπορούμε να υπολογίζουμε σε κάθε βήμα μια εξίσωση της

μορφής 119891(1198861113578 hellip 119886119899) = 119887 (η εξίσωση γράφεται στη ταινία

εξόδου)middot

μπορούμε να αποφασίσουμε πότε έχουμε φτάσει στο τέλος

ενός υπολογισμού

Tότε μιλούμε για μια επέκταση της θεωρίας των μηχανών Type 2

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Ας υποθέσουμε ότι

μπορούμε και να γράφουμε σε όλες τις ταινίεςmiddot

μπορούμε να υπολογίζουμε σε κάθε βήμα μια εξίσωση της

μορφής 119891(1198861113578 hellip 119886119899) = 119887 (η εξίσωση γράφεται στη ταινία

εξόδου)middot

μπορούμε να αποφασίσουμε πότε έχουμε φτάσει στο τέλος

ενός υπολογισμού

Tότε μιλούμε για μια επέκταση της θεωρίας των μηχανών Type 2

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Ας υποθέσουμε ότι

μπορούμε και να γράφουμε σε όλες τις ταινίεςmiddot

μπορούμε να υπολογίζουμε σε κάθε βήμα μια εξίσωση της

μορφής 119891(1198861113578 hellip 119886119899) = 119887 (η εξίσωση γράφεται στη ταινία

εξόδου)middot

μπορούμε να αποφασίσουμε πότε έχουμε φτάσει στο τέλος

ενός υπολογισμού

Tότε μιλούμε για μια επέκταση της θεωρίας των μηχανών Type 2

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Ας υποθέσουμε ότι

μπορούμε και να γράφουμε σε όλες τις ταινίεςmiddot

μπορούμε να υπολογίζουμε σε κάθε βήμα μια εξίσωση της

μορφής 119891(1198861113578 hellip 119886119899) = 119887 (η εξίσωση γράφεται στη ταινία

εξόδου)middot

μπορούμε να αποφασίσουμε πότε έχουμε φτάσει στο τέλος

ενός υπολογισμού

Tότε μιλούμε για μια επέκταση της θεωρίας των μηχανών Type 2

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Ας υποθέσουμε ότι

μπορούμε και να γράφουμε σε όλες τις ταινίεςmiddot

μπορούμε να υπολογίζουμε σε κάθε βήμα μια εξίσωση της

μορφής 119891(1198861113578 hellip 119886119899) = 119887 (η εξίσωση γράφεται στη ταινία

εξόδου)middot

μπορούμε να αποφασίσουμε πότε έχουμε φτάσει στο τέλος

ενός υπολογισμού

Tότε μιλούμε για μια επέκταση της θεωρίας των μηχανών Type 2

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Απαιτείται

να ορίσουμε αυστηρά τις νέες αυτές νοητικές μηχανέςmiddot

να δούμε ποιούς αριθμούς υπολογίζουν (πόσο ψηλά στην

αριθμητική ιεραρχία laquoπηγαίνουνraquo)middot

και να δείξουμε ότι λύνουν το προβλημα τερματισμού των

μηχανών του Weihrauch

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Απαιτείται

να ορίσουμε αυστηρά τις νέες αυτές νοητικές μηχανέςmiddot

να δούμε ποιούς αριθμούς υπολογίζουν (πόσο ψηλά στην

αριθμητική ιεραρχία laquoπηγαίνουνraquo)middot

και να δείξουμε ότι λύνουν το προβλημα τερματισμού των

μηχανών του Weihrauch

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Απαιτείται

να ορίσουμε αυστηρά τις νέες αυτές νοητικές μηχανέςmiddot

να δούμε ποιούς αριθμούς υπολογίζουν (πόσο ψηλά στην

αριθμητική ιεραρχία laquoπηγαίνουνraquo)middot

και να δείξουμε ότι λύνουν το προβλημα τερματισμού των

μηχανών του Weihrauch

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Απαιτείται

να ορίσουμε αυστηρά τις νέες αυτές νοητικές μηχανέςmiddot

να δούμε ποιούς αριθμούς υπολογίζουν (πόσο ψηλά στην

αριθμητική ιεραρχία laquoπηγαίνουνraquo)middot

και να δείξουμε ότι λύνουν το προβλημα τερματισμού των

μηχανών του Weihrauch

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Τέλος

Ευχαριστώ για την προσοχή σας

• Εισαγωγή
• • Περί υπολογισιμότητας
  • Υπολογισιμότητα στην ανάλυση
  • Προσεγγίσεις στο θέμα της υπολογισιμότητας
  • • Yπερ-υπολογισιμότητα
    • Mηχανές TAE
    • Mηχανές Type 2
    • Mηχανές Type 2-TAE

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Τί είναι η υπερ-υπολογισιμότητα

Το αίτημα των Church-Turing δεν μπορεί να είναι αληθές

Υπάρχουν νοητικές μηχανές που ξεπερνούν τα όρια των

δυνατοτήτων της μηχανής Turing

Οι υπερ-μηχανές μπορούν να υλοποιηθούν

Ο Jack Copeland και η Diane Proudfoot είναι αυτοί που

εισαγάγανε τον όρο ŦὓĦŊŦὓ ʼnĽʼnĘIJŞIJľĚş Į şĐ (στα αγγλικά

hypercomputation)

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Τί είναι η υπερ-υπολογισιμότητα

Το αίτημα των Church-Turing δεν μπορεί να είναι αληθές

Υπάρχουν νοητικές μηχανές που ξεπερνούν τα όρια των

δυνατοτήτων της μηχανής Turing

Οι υπερ-μηχανές μπορούν να υλοποιηθούν

Ο Jack Copeland και η Diane Proudfoot είναι αυτοί που

εισαγάγανε τον όρο ŦὓĦŊŦὓ ʼnĽʼnĘIJŞIJľĚş Į şĐ (στα αγγλικά

hypercomputation)

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Τί είναι η υπερ-υπολογισιμότητα

Το αίτημα των Church-Turing δεν μπορεί να είναι αληθές

Υπάρχουν νοητικές μηχανές που ξεπερνούν τα όρια των

δυνατοτήτων της μηχανής Turing

Οι υπερ-μηχανές μπορούν να υλοποιηθούν

Ο Jack Copeland και η Diane Proudfoot είναι αυτοί που

εισαγάγανε τον όρο ŦὓĦŊŦὓ ʼnĽʼnĘIJŞIJľĚş Į şĐ (στα αγγλικά

hypercomputation)

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Τί είναι η υπερ-υπολογισιμότητα

Το αίτημα των Church-Turing δεν μπορεί να είναι αληθές

Υπάρχουν νοητικές μηχανές που ξεπερνούν τα όρια των

δυνατοτήτων της μηχανής Turing

Οι υπερ-μηχανές μπορούν να υλοποιηθούν

Ο Jack Copeland και η Diane Proudfoot είναι αυτοί που

εισαγάγανε τον όρο ŦὓĦŊŦὓ ʼnĽʼnĘIJŞIJľĚş Į şĐ (στα αγγλικά

hypercomputation)

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Τί είναι η υπερ-υπολογισιμότητα

Το αίτημα των Church-Turing δεν μπορεί να είναι αληθές

Υπάρχουν νοητικές μηχανές που ξεπερνούν τα όρια των

δυνατοτήτων της μηχανής Turing

Οι υπερ-μηχανές μπορούν να υλοποιηθούν

Ο Jack Copeland και η Diane Proudfoot είναι αυτοί που

εισαγάγανε τον όρο ŦὓĦŊŦὓ ʼnĽʼnĘIJŞIJľĚş Į şĐ (στα αγγλικά

hypercomputation)

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές TAE των Hintikka-Mutanen

Αποτελούν μηχανές Turing με μία επιπλέον ταινία στην

οποία γράφονται και σβήνονται δεδομένα

Υπολογίζουν εξισώσεις της μορφής 119891(119886) = 119887 119886 119887 isin ℕ

Υπολογίζουν αριθμούς και συναρτήσεις ʼnŊIJĐij

Λύνουν το πρόβλημα του τερματισμού των μηχανών Turing

Δεν μπορούν να λύσουν το δικό τους πρόβλημα

τερματισμού

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές TAE των Hintikka-Mutanen

Αποτελούν μηχανές Turing με μία επιπλέον ταινία στην

οποία γράφονται και σβήνονται δεδομένα

Υπολογίζουν εξισώσεις της μορφής 119891(119886) = 119887 119886 119887 isin ℕ

Υπολογίζουν αριθμούς και συναρτήσεις ʼnŊIJĐij

Λύνουν το πρόβλημα του τερματισμού των μηχανών Turing

Δεν μπορούν να λύσουν το δικό τους πρόβλημα

τερματισμού

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές TAE των Hintikka-Mutanen

Αποτελούν μηχανές Turing με μία επιπλέον ταινία στην

οποία γράφονται και σβήνονται δεδομένα

Υπολογίζουν εξισώσεις της μορφής 119891(119886) = 119887 119886 119887 isin ℕ

Υπολογίζουν αριθμούς και συναρτήσεις ʼnŊIJĐij

Λύνουν το πρόβλημα του τερματισμού των μηχανών Turing

Δεν μπορούν να λύσουν το δικό τους πρόβλημα

τερματισμού

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές TAE των Hintikka-Mutanen

Αποτελούν μηχανές Turing με μία επιπλέον ταινία στην

οποία γράφονται και σβήνονται δεδομένα

Υπολογίζουν εξισώσεις της μορφής 119891(119886) = 119887 119886 119887 isin ℕ

Υπολογίζουν αριθμούς και συναρτήσεις ʼnŊIJĐij

Λύνουν το πρόβλημα του τερματισμού των μηχανών Turing

Δεν μπορούν να λύσουν το δικό τους πρόβλημα

τερματισμού

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές TAE των Hintikka-Mutanen

Αποτελούν μηχανές Turing με μία επιπλέον ταινία στην

οποία γράφονται και σβήνονται δεδομένα

Υπολογίζουν εξισώσεις της μορφής 119891(119886) = 119887 119886 119887 isin ℕ

Υπολογίζουν αριθμούς και συναρτήσεις ʼnŊIJĐij

Λύνουν το πρόβλημα του τερματισμού των μηχανών Turing

Δεν μπορούν να λύσουν το δικό τους πρόβλημα

τερματισμού

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές TAE των Hintikka-Mutanen

Αποτελούν μηχανές Turing με μία επιπλέον ταινία στην

οποία γράφονται και σβήνονται δεδομένα

Υπολογίζουν εξισώσεις της μορφής 119891(119886) = 119887 119886 119887 isin ℕ

Υπολογίζουν αριθμούς και συναρτήσεις ʼnŊIJĐij

Λύνουν το πρόβλημα του τερματισμού των μηχανών Turing

Δεν μπορούν να λύσουν το δικό τους πρόβλημα

τερματισμού

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 του Weihrauch

y0 output tape 0 (one-way)

M

work tapes k + 1 N

yk

y1

input tapes 1 k (one-way)

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Ας υποθέσουμε ότι

μπορούμε και να γράφουμε σε όλες τις ταινίεςmiddot

μπορούμε να υπολογίζουμε σε κάθε βήμα μια εξίσωση της

μορφής 119891(1198861113578 hellip 119886119899) = 119887 (η εξίσωση γράφεται στη ταινία

εξόδου)middot

μπορούμε να αποφασίσουμε πότε έχουμε φτάσει στο τέλος

ενός υπολογισμού

Tότε μιλούμε για μια επέκταση της θεωρίας των μηχανών Type 2

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Ας υποθέσουμε ότι

μπορούμε και να γράφουμε σε όλες τις ταινίεςmiddot

μπορούμε να υπολογίζουμε σε κάθε βήμα μια εξίσωση της

μορφής 119891(1198861113578 hellip 119886119899) = 119887 (η εξίσωση γράφεται στη ταινία

εξόδου)middot

μπορούμε να αποφασίσουμε πότε έχουμε φτάσει στο τέλος

ενός υπολογισμού

Tότε μιλούμε για μια επέκταση της θεωρίας των μηχανών Type 2

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Ας υποθέσουμε ότι

μπορούμε και να γράφουμε σε όλες τις ταινίεςmiddot

μπορούμε να υπολογίζουμε σε κάθε βήμα μια εξίσωση της

μορφής 119891(1198861113578 hellip 119886119899) = 119887 (η εξίσωση γράφεται στη ταινία

εξόδου)middot

μπορούμε να αποφασίσουμε πότε έχουμε φτάσει στο τέλος

ενός υπολογισμού

Tότε μιλούμε για μια επέκταση της θεωρίας των μηχανών Type 2

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Ας υποθέσουμε ότι

μπορούμε και να γράφουμε σε όλες τις ταινίεςmiddot

μπορούμε να υπολογίζουμε σε κάθε βήμα μια εξίσωση της

μορφής 119891(1198861113578 hellip 119886119899) = 119887 (η εξίσωση γράφεται στη ταινία

εξόδου)middot

μπορούμε να αποφασίσουμε πότε έχουμε φτάσει στο τέλος

ενός υπολογισμού

Tότε μιλούμε για μια επέκταση της θεωρίας των μηχανών Type 2

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Ας υποθέσουμε ότι

μπορούμε και να γράφουμε σε όλες τις ταινίεςmiddot

μπορούμε να υπολογίζουμε σε κάθε βήμα μια εξίσωση της

μορφής 119891(1198861113578 hellip 119886119899) = 119887 (η εξίσωση γράφεται στη ταινία

εξόδου)middot

μπορούμε να αποφασίσουμε πότε έχουμε φτάσει στο τέλος

ενός υπολογισμού

Tότε μιλούμε για μια επέκταση της θεωρίας των μηχανών Type 2

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Απαιτείται

να ορίσουμε αυστηρά τις νέες αυτές νοητικές μηχανέςmiddot

να δούμε ποιούς αριθμούς υπολογίζουν (πόσο ψηλά στην

αριθμητική ιεραρχία laquoπηγαίνουνraquo)middot

και να δείξουμε ότι λύνουν το προβλημα τερματισμού των

μηχανών του Weihrauch

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Απαιτείται

να ορίσουμε αυστηρά τις νέες αυτές νοητικές μηχανέςmiddot

να δούμε ποιούς αριθμούς υπολογίζουν (πόσο ψηλά στην

αριθμητική ιεραρχία laquoπηγαίνουνraquo)middot

και να δείξουμε ότι λύνουν το προβλημα τερματισμού των

μηχανών του Weihrauch

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Απαιτείται

να ορίσουμε αυστηρά τις νέες αυτές νοητικές μηχανέςmiddot

να δούμε ποιούς αριθμούς υπολογίζουν (πόσο ψηλά στην

αριθμητική ιεραρχία laquoπηγαίνουνraquo)middot

και να δείξουμε ότι λύνουν το προβλημα τερματισμού των

μηχανών του Weihrauch

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Απαιτείται

να ορίσουμε αυστηρά τις νέες αυτές νοητικές μηχανέςmiddot

να δούμε ποιούς αριθμούς υπολογίζουν (πόσο ψηλά στην

αριθμητική ιεραρχία laquoπηγαίνουνraquo)middot

και να δείξουμε ότι λύνουν το προβλημα τερματισμού των

μηχανών του Weihrauch

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Τέλος

Ευχαριστώ για την προσοχή σας

• Εισαγωγή
• • Περί υπολογισιμότητας
  • Υπολογισιμότητα στην ανάλυση
  • Προσεγγίσεις στο θέμα της υπολογισιμότητας
  • • Yπερ-υπολογισιμότητα
    • Mηχανές TAE
    • Mηχανές Type 2
    • Mηχανές Type 2-TAE

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Τί είναι η υπερ-υπολογισιμότητα

Το αίτημα των Church-Turing δεν μπορεί να είναι αληθές

Υπάρχουν νοητικές μηχανές που ξεπερνούν τα όρια των

δυνατοτήτων της μηχανής Turing

Οι υπερ-μηχανές μπορούν να υλοποιηθούν

Ο Jack Copeland και η Diane Proudfoot είναι αυτοί που

εισαγάγανε τον όρο ŦὓĦŊŦὓ ʼnĽʼnĘIJŞIJľĚş Į şĐ (στα αγγλικά

hypercomputation)

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Τί είναι η υπερ-υπολογισιμότητα

Το αίτημα των Church-Turing δεν μπορεί να είναι αληθές

Υπάρχουν νοητικές μηχανές που ξεπερνούν τα όρια των

δυνατοτήτων της μηχανής Turing

Οι υπερ-μηχανές μπορούν να υλοποιηθούν

Ο Jack Copeland και η Diane Proudfoot είναι αυτοί που

εισαγάγανε τον όρο ŦὓĦŊŦὓ ʼnĽʼnĘIJŞIJľĚş Į şĐ (στα αγγλικά

hypercomputation)

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Τί είναι η υπερ-υπολογισιμότητα

Το αίτημα των Church-Turing δεν μπορεί να είναι αληθές

Υπάρχουν νοητικές μηχανές που ξεπερνούν τα όρια των

δυνατοτήτων της μηχανής Turing

Οι υπερ-μηχανές μπορούν να υλοποιηθούν

Ο Jack Copeland και η Diane Proudfoot είναι αυτοί που

εισαγάγανε τον όρο ŦὓĦŊŦὓ ʼnĽʼnĘIJŞIJľĚş Į şĐ (στα αγγλικά

hypercomputation)

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Τί είναι η υπερ-υπολογισιμότητα

Το αίτημα των Church-Turing δεν μπορεί να είναι αληθές

Υπάρχουν νοητικές μηχανές που ξεπερνούν τα όρια των

δυνατοτήτων της μηχανής Turing

Οι υπερ-μηχανές μπορούν να υλοποιηθούν

Ο Jack Copeland και η Diane Proudfoot είναι αυτοί που

εισαγάγανε τον όρο ŦὓĦŊŦὓ ʼnĽʼnĘIJŞIJľĚş Į şĐ (στα αγγλικά

hypercomputation)

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές TAE των Hintikka-Mutanen

Αποτελούν μηχανές Turing με μία επιπλέον ταινία στην

οποία γράφονται και σβήνονται δεδομένα

Υπολογίζουν εξισώσεις της μορφής 119891(119886) = 119887 119886 119887 isin ℕ

Υπολογίζουν αριθμούς και συναρτήσεις ʼnŊIJĐij

Λύνουν το πρόβλημα του τερματισμού των μηχανών Turing

Δεν μπορούν να λύσουν το δικό τους πρόβλημα

τερματισμού

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές TAE των Hintikka-Mutanen

Αποτελούν μηχανές Turing με μία επιπλέον ταινία στην

οποία γράφονται και σβήνονται δεδομένα

Υπολογίζουν εξισώσεις της μορφής 119891(119886) = 119887 119886 119887 isin ℕ

Υπολογίζουν αριθμούς και συναρτήσεις ʼnŊIJĐij

Λύνουν το πρόβλημα του τερματισμού των μηχανών Turing

Δεν μπορούν να λύσουν το δικό τους πρόβλημα

τερματισμού

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές TAE των Hintikka-Mutanen

Αποτελούν μηχανές Turing με μία επιπλέον ταινία στην

οποία γράφονται και σβήνονται δεδομένα

Υπολογίζουν εξισώσεις της μορφής 119891(119886) = 119887 119886 119887 isin ℕ

Υπολογίζουν αριθμούς και συναρτήσεις ʼnŊIJĐij

Λύνουν το πρόβλημα του τερματισμού των μηχανών Turing

Δεν μπορούν να λύσουν το δικό τους πρόβλημα

τερματισμού

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές TAE των Hintikka-Mutanen

Αποτελούν μηχανές Turing με μία επιπλέον ταινία στην

οποία γράφονται και σβήνονται δεδομένα

Υπολογίζουν εξισώσεις της μορφής 119891(119886) = 119887 119886 119887 isin ℕ

Υπολογίζουν αριθμούς και συναρτήσεις ʼnŊIJĐij

Λύνουν το πρόβλημα του τερματισμού των μηχανών Turing

Δεν μπορούν να λύσουν το δικό τους πρόβλημα

τερματισμού

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές TAE των Hintikka-Mutanen

Αποτελούν μηχανές Turing με μία επιπλέον ταινία στην

οποία γράφονται και σβήνονται δεδομένα

Υπολογίζουν εξισώσεις της μορφής 119891(119886) = 119887 119886 119887 isin ℕ

Υπολογίζουν αριθμούς και συναρτήσεις ʼnŊIJĐij

Λύνουν το πρόβλημα του τερματισμού των μηχανών Turing

Δεν μπορούν να λύσουν το δικό τους πρόβλημα

τερματισμού

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές TAE των Hintikka-Mutanen

Αποτελούν μηχανές Turing με μία επιπλέον ταινία στην

οποία γράφονται και σβήνονται δεδομένα

Υπολογίζουν εξισώσεις της μορφής 119891(119886) = 119887 119886 119887 isin ℕ

Υπολογίζουν αριθμούς και συναρτήσεις ʼnŊIJĐij

Λύνουν το πρόβλημα του τερματισμού των μηχανών Turing

Δεν μπορούν να λύσουν το δικό τους πρόβλημα

τερματισμού

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 του Weihrauch

y0 output tape 0 (one-way)

M

work tapes k + 1 N

yk

y1

input tapes 1 k (one-way)

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Ας υποθέσουμε ότι

μπορούμε και να γράφουμε σε όλες τις ταινίεςmiddot

μπορούμε να υπολογίζουμε σε κάθε βήμα μια εξίσωση της

μορφής 119891(1198861113578 hellip 119886119899) = 119887 (η εξίσωση γράφεται στη ταινία

εξόδου)middot

μπορούμε να αποφασίσουμε πότε έχουμε φτάσει στο τέλος

ενός υπολογισμού

Tότε μιλούμε για μια επέκταση της θεωρίας των μηχανών Type 2

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Ας υποθέσουμε ότι

μπορούμε και να γράφουμε σε όλες τις ταινίεςmiddot

μπορούμε να υπολογίζουμε σε κάθε βήμα μια εξίσωση της

μορφής 119891(1198861113578 hellip 119886119899) = 119887 (η εξίσωση γράφεται στη ταινία

εξόδου)middot

μπορούμε να αποφασίσουμε πότε έχουμε φτάσει στο τέλος

ενός υπολογισμού

Tότε μιλούμε για μια επέκταση της θεωρίας των μηχανών Type 2

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Ας υποθέσουμε ότι

μπορούμε και να γράφουμε σε όλες τις ταινίεςmiddot

μπορούμε να υπολογίζουμε σε κάθε βήμα μια εξίσωση της

μορφής 119891(1198861113578 hellip 119886119899) = 119887 (η εξίσωση γράφεται στη ταινία

εξόδου)middot

μπορούμε να αποφασίσουμε πότε έχουμε φτάσει στο τέλος

ενός υπολογισμού

Tότε μιλούμε για μια επέκταση της θεωρίας των μηχανών Type 2

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Ας υποθέσουμε ότι

μπορούμε και να γράφουμε σε όλες τις ταινίεςmiddot

μπορούμε να υπολογίζουμε σε κάθε βήμα μια εξίσωση της

μορφής 119891(1198861113578 hellip 119886119899) = 119887 (η εξίσωση γράφεται στη ταινία

εξόδου)middot

μπορούμε να αποφασίσουμε πότε έχουμε φτάσει στο τέλος

ενός υπολογισμού

Tότε μιλούμε για μια επέκταση της θεωρίας των μηχανών Type 2

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Ας υποθέσουμε ότι

μπορούμε και να γράφουμε σε όλες τις ταινίεςmiddot

μπορούμε να υπολογίζουμε σε κάθε βήμα μια εξίσωση της

μορφής 119891(1198861113578 hellip 119886119899) = 119887 (η εξίσωση γράφεται στη ταινία

εξόδου)middot

μπορούμε να αποφασίσουμε πότε έχουμε φτάσει στο τέλος

ενός υπολογισμού

Tότε μιλούμε για μια επέκταση της θεωρίας των μηχανών Type 2

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Απαιτείται

να ορίσουμε αυστηρά τις νέες αυτές νοητικές μηχανέςmiddot

να δούμε ποιούς αριθμούς υπολογίζουν (πόσο ψηλά στην

αριθμητική ιεραρχία laquoπηγαίνουνraquo)middot

και να δείξουμε ότι λύνουν το προβλημα τερματισμού των

μηχανών του Weihrauch

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Απαιτείται

να ορίσουμε αυστηρά τις νέες αυτές νοητικές μηχανέςmiddot

να δούμε ποιούς αριθμούς υπολογίζουν (πόσο ψηλά στην

αριθμητική ιεραρχία laquoπηγαίνουνraquo)middot

και να δείξουμε ότι λύνουν το προβλημα τερματισμού των

μηχανών του Weihrauch

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Απαιτείται

να ορίσουμε αυστηρά τις νέες αυτές νοητικές μηχανέςmiddot

να δούμε ποιούς αριθμούς υπολογίζουν (πόσο ψηλά στην

αριθμητική ιεραρχία laquoπηγαίνουνraquo)middot

και να δείξουμε ότι λύνουν το προβλημα τερματισμού των

μηχανών του Weihrauch

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Απαιτείται

να ορίσουμε αυστηρά τις νέες αυτές νοητικές μηχανέςmiddot

να δούμε ποιούς αριθμούς υπολογίζουν (πόσο ψηλά στην

αριθμητική ιεραρχία laquoπηγαίνουνraquo)middot

και να δείξουμε ότι λύνουν το προβλημα τερματισμού των

μηχανών του Weihrauch

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Τέλος

Ευχαριστώ για την προσοχή σας

• Εισαγωγή
• • Περί υπολογισιμότητας
  • Υπολογισιμότητα στην ανάλυση
  • Προσεγγίσεις στο θέμα της υπολογισιμότητας
  • • Yπερ-υπολογισιμότητα
    • Mηχανές TAE
    • Mηχανές Type 2
    • Mηχανές Type 2-TAE

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Τί είναι η υπερ-υπολογισιμότητα

Το αίτημα των Church-Turing δεν μπορεί να είναι αληθές

Υπάρχουν νοητικές μηχανές που ξεπερνούν τα όρια των

δυνατοτήτων της μηχανής Turing

Οι υπερ-μηχανές μπορούν να υλοποιηθούν

Ο Jack Copeland και η Diane Proudfoot είναι αυτοί που

εισαγάγανε τον όρο ŦὓĦŊŦὓ ʼnĽʼnĘIJŞIJľĚş Į şĐ (στα αγγλικά

hypercomputation)

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Τί είναι η υπερ-υπολογισιμότητα

Το αίτημα των Church-Turing δεν μπορεί να είναι αληθές

Υπάρχουν νοητικές μηχανές που ξεπερνούν τα όρια των

δυνατοτήτων της μηχανής Turing

Οι υπερ-μηχανές μπορούν να υλοποιηθούν

Ο Jack Copeland και η Diane Proudfoot είναι αυτοί που

εισαγάγανε τον όρο ŦὓĦŊŦὓ ʼnĽʼnĘIJŞIJľĚş Į şĐ (στα αγγλικά

hypercomputation)

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Τί είναι η υπερ-υπολογισιμότητα

Το αίτημα των Church-Turing δεν μπορεί να είναι αληθές

Υπάρχουν νοητικές μηχανές που ξεπερνούν τα όρια των

δυνατοτήτων της μηχανής Turing

Οι υπερ-μηχανές μπορούν να υλοποιηθούν

Ο Jack Copeland και η Diane Proudfoot είναι αυτοί που

εισαγάγανε τον όρο ŦὓĦŊŦὓ ʼnĽʼnĘIJŞIJľĚş Į şĐ (στα αγγλικά

hypercomputation)

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές TAE των Hintikka-Mutanen

Αποτελούν μηχανές Turing με μία επιπλέον ταινία στην

οποία γράφονται και σβήνονται δεδομένα

Υπολογίζουν εξισώσεις της μορφής 119891(119886) = 119887 119886 119887 isin ℕ

Υπολογίζουν αριθμούς και συναρτήσεις ʼnŊIJĐij

Λύνουν το πρόβλημα του τερματισμού των μηχανών Turing

Δεν μπορούν να λύσουν το δικό τους πρόβλημα

τερματισμού

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές TAE των Hintikka-Mutanen

Αποτελούν μηχανές Turing με μία επιπλέον ταινία στην

οποία γράφονται και σβήνονται δεδομένα

Υπολογίζουν εξισώσεις της μορφής 119891(119886) = 119887 119886 119887 isin ℕ

Υπολογίζουν αριθμούς και συναρτήσεις ʼnŊIJĐij

Λύνουν το πρόβλημα του τερματισμού των μηχανών Turing

Δεν μπορούν να λύσουν το δικό τους πρόβλημα

τερματισμού

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές TAE των Hintikka-Mutanen

Αποτελούν μηχανές Turing με μία επιπλέον ταινία στην

οποία γράφονται και σβήνονται δεδομένα

Υπολογίζουν εξισώσεις της μορφής 119891(119886) = 119887 119886 119887 isin ℕ

Υπολογίζουν αριθμούς και συναρτήσεις ʼnŊIJĐij

Λύνουν το πρόβλημα του τερματισμού των μηχανών Turing

Δεν μπορούν να λύσουν το δικό τους πρόβλημα

τερματισμού

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές TAE των Hintikka-Mutanen

Αποτελούν μηχανές Turing με μία επιπλέον ταινία στην

οποία γράφονται και σβήνονται δεδομένα

Υπολογίζουν εξισώσεις της μορφής 119891(119886) = 119887 119886 119887 isin ℕ

Υπολογίζουν αριθμούς και συναρτήσεις ʼnŊIJĐij

Λύνουν το πρόβλημα του τερματισμού των μηχανών Turing

Δεν μπορούν να λύσουν το δικό τους πρόβλημα

τερματισμού

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές TAE των Hintikka-Mutanen

Αποτελούν μηχανές Turing με μία επιπλέον ταινία στην

οποία γράφονται και σβήνονται δεδομένα

Υπολογίζουν εξισώσεις της μορφής 119891(119886) = 119887 119886 119887 isin ℕ

Υπολογίζουν αριθμούς και συναρτήσεις ʼnŊIJĐij

Λύνουν το πρόβλημα του τερματισμού των μηχανών Turing

Δεν μπορούν να λύσουν το δικό τους πρόβλημα

τερματισμού

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές TAE των Hintikka-Mutanen

Αποτελούν μηχανές Turing με μία επιπλέον ταινία στην

οποία γράφονται και σβήνονται δεδομένα

Υπολογίζουν εξισώσεις της μορφής 119891(119886) = 119887 119886 119887 isin ℕ

Υπολογίζουν αριθμούς και συναρτήσεις ʼnŊIJĐij

Λύνουν το πρόβλημα του τερματισμού των μηχανών Turing

Δεν μπορούν να λύσουν το δικό τους πρόβλημα

τερματισμού

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 του Weihrauch

y0 output tape 0 (one-way)

M

work tapes k + 1 N

yk

y1

input tapes 1 k (one-way)

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Ας υποθέσουμε ότι

μπορούμε και να γράφουμε σε όλες τις ταινίεςmiddot

μπορούμε να υπολογίζουμε σε κάθε βήμα μια εξίσωση της

μορφής 119891(1198861113578 hellip 119886119899) = 119887 (η εξίσωση γράφεται στη ταινία

εξόδου)middot

μπορούμε να αποφασίσουμε πότε έχουμε φτάσει στο τέλος

ενός υπολογισμού

Tότε μιλούμε για μια επέκταση της θεωρίας των μηχανών Type 2

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Ας υποθέσουμε ότι

μπορούμε και να γράφουμε σε όλες τις ταινίεςmiddot

μπορούμε να υπολογίζουμε σε κάθε βήμα μια εξίσωση της

μορφής 119891(1198861113578 hellip 119886119899) = 119887 (η εξίσωση γράφεται στη ταινία

εξόδου)middot

μπορούμε να αποφασίσουμε πότε έχουμε φτάσει στο τέλος

ενός υπολογισμού

Tότε μιλούμε για μια επέκταση της θεωρίας των μηχανών Type 2

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Ας υποθέσουμε ότι

μπορούμε και να γράφουμε σε όλες τις ταινίεςmiddot

μπορούμε να υπολογίζουμε σε κάθε βήμα μια εξίσωση της

μορφής 119891(1198861113578 hellip 119886119899) = 119887 (η εξίσωση γράφεται στη ταινία

εξόδου)middot

μπορούμε να αποφασίσουμε πότε έχουμε φτάσει στο τέλος

ενός υπολογισμού

Tότε μιλούμε για μια επέκταση της θεωρίας των μηχανών Type 2

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Ας υποθέσουμε ότι

μπορούμε και να γράφουμε σε όλες τις ταινίεςmiddot

μπορούμε να υπολογίζουμε σε κάθε βήμα μια εξίσωση της

μορφής 119891(1198861113578 hellip 119886119899) = 119887 (η εξίσωση γράφεται στη ταινία

εξόδου)middot

μπορούμε να αποφασίσουμε πότε έχουμε φτάσει στο τέλος

ενός υπολογισμού

Tότε μιλούμε για μια επέκταση της θεωρίας των μηχανών Type 2

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Ας υποθέσουμε ότι

μπορούμε και να γράφουμε σε όλες τις ταινίεςmiddot

μπορούμε να υπολογίζουμε σε κάθε βήμα μια εξίσωση της

μορφής 119891(1198861113578 hellip 119886119899) = 119887 (η εξίσωση γράφεται στη ταινία

εξόδου)middot

μπορούμε να αποφασίσουμε πότε έχουμε φτάσει στο τέλος

ενός υπολογισμού

Tότε μιλούμε για μια επέκταση της θεωρίας των μηχανών Type 2

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Απαιτείται

να ορίσουμε αυστηρά τις νέες αυτές νοητικές μηχανέςmiddot

να δούμε ποιούς αριθμούς υπολογίζουν (πόσο ψηλά στην

αριθμητική ιεραρχία laquoπηγαίνουνraquo)middot

και να δείξουμε ότι λύνουν το προβλημα τερματισμού των

μηχανών του Weihrauch

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Απαιτείται

να ορίσουμε αυστηρά τις νέες αυτές νοητικές μηχανέςmiddot

να δούμε ποιούς αριθμούς υπολογίζουν (πόσο ψηλά στην

αριθμητική ιεραρχία laquoπηγαίνουνraquo)middot

και να δείξουμε ότι λύνουν το προβλημα τερματισμού των

μηχανών του Weihrauch

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Απαιτείται

να ορίσουμε αυστηρά τις νέες αυτές νοητικές μηχανέςmiddot

να δούμε ποιούς αριθμούς υπολογίζουν (πόσο ψηλά στην

αριθμητική ιεραρχία laquoπηγαίνουνraquo)middot

και να δείξουμε ότι λύνουν το προβλημα τερματισμού των

μηχανών του Weihrauch

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Απαιτείται

να ορίσουμε αυστηρά τις νέες αυτές νοητικές μηχανέςmiddot

να δούμε ποιούς αριθμούς υπολογίζουν (πόσο ψηλά στην

αριθμητική ιεραρχία laquoπηγαίνουνraquo)middot

και να δείξουμε ότι λύνουν το προβλημα τερματισμού των

μηχανών του Weihrauch

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Τέλος

Ευχαριστώ για την προσοχή σας

• Εισαγωγή
• • Περί υπολογισιμότητας
  • Υπολογισιμότητα στην ανάλυση
  • Προσεγγίσεις στο θέμα της υπολογισιμότητας
  • • Yπερ-υπολογισιμότητα
    • Mηχανές TAE
    • Mηχανές Type 2
    • Mηχανές Type 2-TAE

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Τί είναι η υπερ-υπολογισιμότητα

Το αίτημα των Church-Turing δεν μπορεί να είναι αληθές

Υπάρχουν νοητικές μηχανές που ξεπερνούν τα όρια των

δυνατοτήτων της μηχανής Turing

Οι υπερ-μηχανές μπορούν να υλοποιηθούν

Ο Jack Copeland και η Diane Proudfoot είναι αυτοί που

εισαγάγανε τον όρο ŦὓĦŊŦὓ ʼnĽʼnĘIJŞIJľĚş Į şĐ (στα αγγλικά

hypercomputation)

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Τί είναι η υπερ-υπολογισιμότητα

Το αίτημα των Church-Turing δεν μπορεί να είναι αληθές

Υπάρχουν νοητικές μηχανές που ξεπερνούν τα όρια των

δυνατοτήτων της μηχανής Turing

Οι υπερ-μηχανές μπορούν να υλοποιηθούν

Ο Jack Copeland και η Diane Proudfoot είναι αυτοί που

εισαγάγανε τον όρο ŦὓĦŊŦὓ ʼnĽʼnĘIJŞIJľĚş Į şĐ (στα αγγλικά

hypercomputation)

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές TAE των Hintikka-Mutanen

Αποτελούν μηχανές Turing με μία επιπλέον ταινία στην

οποία γράφονται και σβήνονται δεδομένα

Υπολογίζουν εξισώσεις της μορφής 119891(119886) = 119887 119886 119887 isin ℕ

Υπολογίζουν αριθμούς και συναρτήσεις ʼnŊIJĐij

Λύνουν το πρόβλημα του τερματισμού των μηχανών Turing

Δεν μπορούν να λύσουν το δικό τους πρόβλημα

τερματισμού

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές TAE των Hintikka-Mutanen

Αποτελούν μηχανές Turing με μία επιπλέον ταινία στην

οποία γράφονται και σβήνονται δεδομένα

Υπολογίζουν εξισώσεις της μορφής 119891(119886) = 119887 119886 119887 isin ℕ

Υπολογίζουν αριθμούς και συναρτήσεις ʼnŊIJĐij

Λύνουν το πρόβλημα του τερματισμού των μηχανών Turing

Δεν μπορούν να λύσουν το δικό τους πρόβλημα

τερματισμού

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές TAE των Hintikka-Mutanen

Αποτελούν μηχανές Turing με μία επιπλέον ταινία στην

οποία γράφονται και σβήνονται δεδομένα

Υπολογίζουν εξισώσεις της μορφής 119891(119886) = 119887 119886 119887 isin ℕ

Υπολογίζουν αριθμούς και συναρτήσεις ʼnŊIJĐij

Λύνουν το πρόβλημα του τερματισμού των μηχανών Turing

Δεν μπορούν να λύσουν το δικό τους πρόβλημα

τερματισμού

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές TAE των Hintikka-Mutanen

Αποτελούν μηχανές Turing με μία επιπλέον ταινία στην

οποία γράφονται και σβήνονται δεδομένα

Υπολογίζουν εξισώσεις της μορφής 119891(119886) = 119887 119886 119887 isin ℕ

Υπολογίζουν αριθμούς και συναρτήσεις ʼnŊIJĐij

Λύνουν το πρόβλημα του τερματισμού των μηχανών Turing

Δεν μπορούν να λύσουν το δικό τους πρόβλημα

τερματισμού

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές TAE των Hintikka-Mutanen

Αποτελούν μηχανές Turing με μία επιπλέον ταινία στην

οποία γράφονται και σβήνονται δεδομένα

Υπολογίζουν εξισώσεις της μορφής 119891(119886) = 119887 119886 119887 isin ℕ

Υπολογίζουν αριθμούς και συναρτήσεις ʼnŊIJĐij

Λύνουν το πρόβλημα του τερματισμού των μηχανών Turing

Δεν μπορούν να λύσουν το δικό τους πρόβλημα

τερματισμού

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές TAE των Hintikka-Mutanen

Αποτελούν μηχανές Turing με μία επιπλέον ταινία στην

οποία γράφονται και σβήνονται δεδομένα

Υπολογίζουν εξισώσεις της μορφής 119891(119886) = 119887 119886 119887 isin ℕ

Υπολογίζουν αριθμούς και συναρτήσεις ʼnŊIJĐij

Λύνουν το πρόβλημα του τερματισμού των μηχανών Turing

Δεν μπορούν να λύσουν το δικό τους πρόβλημα

τερματισμού

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 του Weihrauch

y0 output tape 0 (one-way)

M

work tapes k + 1 N

yk

y1

input tapes 1 k (one-way)

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Ας υποθέσουμε ότι

μπορούμε και να γράφουμε σε όλες τις ταινίεςmiddot

μπορούμε να υπολογίζουμε σε κάθε βήμα μια εξίσωση της

μορφής 119891(1198861113578 hellip 119886119899) = 119887 (η εξίσωση γράφεται στη ταινία

εξόδου)middot

μπορούμε να αποφασίσουμε πότε έχουμε φτάσει στο τέλος

ενός υπολογισμού

Tότε μιλούμε για μια επέκταση της θεωρίας των μηχανών Type 2

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Ας υποθέσουμε ότι

μπορούμε και να γράφουμε σε όλες τις ταινίεςmiddot

μπορούμε να υπολογίζουμε σε κάθε βήμα μια εξίσωση της

μορφής 119891(1198861113578 hellip 119886119899) = 119887 (η εξίσωση γράφεται στη ταινία

εξόδου)middot

μπορούμε να αποφασίσουμε πότε έχουμε φτάσει στο τέλος

ενός υπολογισμού

Tότε μιλούμε για μια επέκταση της θεωρίας των μηχανών Type 2

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Ας υποθέσουμε ότι

μπορούμε και να γράφουμε σε όλες τις ταινίεςmiddot

μπορούμε να υπολογίζουμε σε κάθε βήμα μια εξίσωση της

μορφής 119891(1198861113578 hellip 119886119899) = 119887 (η εξίσωση γράφεται στη ταινία

εξόδου)middot

μπορούμε να αποφασίσουμε πότε έχουμε φτάσει στο τέλος

ενός υπολογισμού

Tότε μιλούμε για μια επέκταση της θεωρίας των μηχανών Type 2

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Ας υποθέσουμε ότι

μπορούμε και να γράφουμε σε όλες τις ταινίεςmiddot

μπορούμε να υπολογίζουμε σε κάθε βήμα μια εξίσωση της

μορφής 119891(1198861113578 hellip 119886119899) = 119887 (η εξίσωση γράφεται στη ταινία

εξόδου)middot

μπορούμε να αποφασίσουμε πότε έχουμε φτάσει στο τέλος

ενός υπολογισμού

Tότε μιλούμε για μια επέκταση της θεωρίας των μηχανών Type 2

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Ας υποθέσουμε ότι

μπορούμε και να γράφουμε σε όλες τις ταινίεςmiddot

μπορούμε να υπολογίζουμε σε κάθε βήμα μια εξίσωση της

μορφής 119891(1198861113578 hellip 119886119899) = 119887 (η εξίσωση γράφεται στη ταινία

εξόδου)middot

μπορούμε να αποφασίσουμε πότε έχουμε φτάσει στο τέλος

ενός υπολογισμού

Tότε μιλούμε για μια επέκταση της θεωρίας των μηχανών Type 2

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Απαιτείται

να ορίσουμε αυστηρά τις νέες αυτές νοητικές μηχανέςmiddot

να δούμε ποιούς αριθμούς υπολογίζουν (πόσο ψηλά στην

αριθμητική ιεραρχία laquoπηγαίνουνraquo)middot

και να δείξουμε ότι λύνουν το προβλημα τερματισμού των

μηχανών του Weihrauch

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Απαιτείται

να ορίσουμε αυστηρά τις νέες αυτές νοητικές μηχανέςmiddot

να δούμε ποιούς αριθμούς υπολογίζουν (πόσο ψηλά στην

αριθμητική ιεραρχία laquoπηγαίνουνraquo)middot

και να δείξουμε ότι λύνουν το προβλημα τερματισμού των

μηχανών του Weihrauch

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Απαιτείται

να ορίσουμε αυστηρά τις νέες αυτές νοητικές μηχανέςmiddot

να δούμε ποιούς αριθμούς υπολογίζουν (πόσο ψηλά στην

αριθμητική ιεραρχία laquoπηγαίνουνraquo)middot

και να δείξουμε ότι λύνουν το προβλημα τερματισμού των

μηχανών του Weihrauch

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Απαιτείται

να ορίσουμε αυστηρά τις νέες αυτές νοητικές μηχανέςmiddot

να δούμε ποιούς αριθμούς υπολογίζουν (πόσο ψηλά στην

αριθμητική ιεραρχία laquoπηγαίνουνraquo)middot

και να δείξουμε ότι λύνουν το προβλημα τερματισμού των

μηχανών του Weihrauch

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Τέλος

Ευχαριστώ για την προσοχή σας

• Εισαγωγή
• • Περί υπολογισιμότητας
  • Υπολογισιμότητα στην ανάλυση
  • Προσεγγίσεις στο θέμα της υπολογισιμότητας
  • • Yπερ-υπολογισιμότητα
    • Mηχανές TAE
    • Mηχανές Type 2
    • Mηχανές Type 2-TAE

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Τί είναι η υπερ-υπολογισιμότητα

Το αίτημα των Church-Turing δεν μπορεί να είναι αληθές

Υπάρχουν νοητικές μηχανές που ξεπερνούν τα όρια των

δυνατοτήτων της μηχανής Turing

Οι υπερ-μηχανές μπορούν να υλοποιηθούν

Ο Jack Copeland και η Diane Proudfoot είναι αυτοί που

εισαγάγανε τον όρο ŦὓĦŊŦὓ ʼnĽʼnĘIJŞIJľĚş Į şĐ (στα αγγλικά

hypercomputation)

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές TAE των Hintikka-Mutanen

Αποτελούν μηχανές Turing με μία επιπλέον ταινία στην

οποία γράφονται και σβήνονται δεδομένα

Υπολογίζουν εξισώσεις της μορφής 119891(119886) = 119887 119886 119887 isin ℕ

Υπολογίζουν αριθμούς και συναρτήσεις ʼnŊIJĐij

Λύνουν το πρόβλημα του τερματισμού των μηχανών Turing

Δεν μπορούν να λύσουν το δικό τους πρόβλημα

τερματισμού

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές TAE των Hintikka-Mutanen

Αποτελούν μηχανές Turing με μία επιπλέον ταινία στην

οποία γράφονται και σβήνονται δεδομένα

Υπολογίζουν εξισώσεις της μορφής 119891(119886) = 119887 119886 119887 isin ℕ

Υπολογίζουν αριθμούς και συναρτήσεις ʼnŊIJĐij

Λύνουν το πρόβλημα του τερματισμού των μηχανών Turing

Δεν μπορούν να λύσουν το δικό τους πρόβλημα

τερματισμού

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές TAE των Hintikka-Mutanen

Αποτελούν μηχανές Turing με μία επιπλέον ταινία στην

οποία γράφονται και σβήνονται δεδομένα

Υπολογίζουν εξισώσεις της μορφής 119891(119886) = 119887 119886 119887 isin ℕ

Υπολογίζουν αριθμούς και συναρτήσεις ʼnŊIJĐij

Λύνουν το πρόβλημα του τερματισμού των μηχανών Turing

Δεν μπορούν να λύσουν το δικό τους πρόβλημα

τερματισμού

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές TAE των Hintikka-Mutanen

Αποτελούν μηχανές Turing με μία επιπλέον ταινία στην

οποία γράφονται και σβήνονται δεδομένα

Υπολογίζουν εξισώσεις της μορφής 119891(119886) = 119887 119886 119887 isin ℕ

Υπολογίζουν αριθμούς και συναρτήσεις ʼnŊIJĐij

Λύνουν το πρόβλημα του τερματισμού των μηχανών Turing

Δεν μπορούν να λύσουν το δικό τους πρόβλημα

τερματισμού

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές TAE των Hintikka-Mutanen

Αποτελούν μηχανές Turing με μία επιπλέον ταινία στην

οποία γράφονται και σβήνονται δεδομένα

Υπολογίζουν εξισώσεις της μορφής 119891(119886) = 119887 119886 119887 isin ℕ

Υπολογίζουν αριθμούς και συναρτήσεις ʼnŊIJĐij

Λύνουν το πρόβλημα του τερματισμού των μηχανών Turing

Δεν μπορούν να λύσουν το δικό τους πρόβλημα

τερματισμού

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές TAE των Hintikka-Mutanen

Αποτελούν μηχανές Turing με μία επιπλέον ταινία στην

οποία γράφονται και σβήνονται δεδομένα

Υπολογίζουν εξισώσεις της μορφής 119891(119886) = 119887 119886 119887 isin ℕ

Υπολογίζουν αριθμούς και συναρτήσεις ʼnŊIJĐij

Λύνουν το πρόβλημα του τερματισμού των μηχανών Turing

Δεν μπορούν να λύσουν το δικό τους πρόβλημα

τερματισμού

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 του Weihrauch

y0 output tape 0 (one-way)

M

work tapes k + 1 N

yk

y1

input tapes 1 k (one-way)

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Ας υποθέσουμε ότι

μπορούμε και να γράφουμε σε όλες τις ταινίεςmiddot

μπορούμε να υπολογίζουμε σε κάθε βήμα μια εξίσωση της

μορφής 119891(1198861113578 hellip 119886119899) = 119887 (η εξίσωση γράφεται στη ταινία

εξόδου)middot

μπορούμε να αποφασίσουμε πότε έχουμε φτάσει στο τέλος

ενός υπολογισμού

Tότε μιλούμε για μια επέκταση της θεωρίας των μηχανών Type 2

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Ας υποθέσουμε ότι

μπορούμε και να γράφουμε σε όλες τις ταινίεςmiddot

μπορούμε να υπολογίζουμε σε κάθε βήμα μια εξίσωση της

μορφής 119891(1198861113578 hellip 119886119899) = 119887 (η εξίσωση γράφεται στη ταινία

εξόδου)middot

μπορούμε να αποφασίσουμε πότε έχουμε φτάσει στο τέλος

ενός υπολογισμού

Tότε μιλούμε για μια επέκταση της θεωρίας των μηχανών Type 2

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Ας υποθέσουμε ότι

μπορούμε και να γράφουμε σε όλες τις ταινίεςmiddot

μπορούμε να υπολογίζουμε σε κάθε βήμα μια εξίσωση της

μορφής 119891(1198861113578 hellip 119886119899) = 119887 (η εξίσωση γράφεται στη ταινία

εξόδου)middot

μπορούμε να αποφασίσουμε πότε έχουμε φτάσει στο τέλος

ενός υπολογισμού

Tότε μιλούμε για μια επέκταση της θεωρίας των μηχανών Type 2

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Ας υποθέσουμε ότι

μπορούμε και να γράφουμε σε όλες τις ταινίεςmiddot

μπορούμε να υπολογίζουμε σε κάθε βήμα μια εξίσωση της

μορφής 119891(1198861113578 hellip 119886119899) = 119887 (η εξίσωση γράφεται στη ταινία

εξόδου)middot

μπορούμε να αποφασίσουμε πότε έχουμε φτάσει στο τέλος

ενός υπολογισμού

Tότε μιλούμε για μια επέκταση της θεωρίας των μηχανών Type 2

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Ας υποθέσουμε ότι

μπορούμε και να γράφουμε σε όλες τις ταινίεςmiddot

μπορούμε να υπολογίζουμε σε κάθε βήμα μια εξίσωση της

μορφής 119891(1198861113578 hellip 119886119899) = 119887 (η εξίσωση γράφεται στη ταινία

εξόδου)middot

μπορούμε να αποφασίσουμε πότε έχουμε φτάσει στο τέλος

ενός υπολογισμού

Tότε μιλούμε για μια επέκταση της θεωρίας των μηχανών Type 2

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Απαιτείται

να ορίσουμε αυστηρά τις νέες αυτές νοητικές μηχανέςmiddot

να δούμε ποιούς αριθμούς υπολογίζουν (πόσο ψηλά στην

αριθμητική ιεραρχία laquoπηγαίνουνraquo)middot

και να δείξουμε ότι λύνουν το προβλημα τερματισμού των

μηχανών του Weihrauch

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Απαιτείται

να ορίσουμε αυστηρά τις νέες αυτές νοητικές μηχανέςmiddot

να δούμε ποιούς αριθμούς υπολογίζουν (πόσο ψηλά στην

αριθμητική ιεραρχία laquoπηγαίνουνraquo)middot

και να δείξουμε ότι λύνουν το προβλημα τερματισμού των

μηχανών του Weihrauch

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Απαιτείται

να ορίσουμε αυστηρά τις νέες αυτές νοητικές μηχανέςmiddot

να δούμε ποιούς αριθμούς υπολογίζουν (πόσο ψηλά στην

αριθμητική ιεραρχία laquoπηγαίνουνraquo)middot

και να δείξουμε ότι λύνουν το προβλημα τερματισμού των

μηχανών του Weihrauch

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Απαιτείται

να ορίσουμε αυστηρά τις νέες αυτές νοητικές μηχανέςmiddot

να δούμε ποιούς αριθμούς υπολογίζουν (πόσο ψηλά στην

αριθμητική ιεραρχία laquoπηγαίνουνraquo)middot

και να δείξουμε ότι λύνουν το προβλημα τερματισμού των

μηχανών του Weihrauch

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Τέλος

Ευχαριστώ για την προσοχή σας

• Εισαγωγή
• • Περί υπολογισιμότητας
  • Υπολογισιμότητα στην ανάλυση
  • Προσεγγίσεις στο θέμα της υπολογισιμότητας
  • • Yπερ-υπολογισιμότητα
    • Mηχανές TAE
    • Mηχανές Type 2
    • Mηχανές Type 2-TAE

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές TAE των Hintikka-Mutanen

Αποτελούν μηχανές Turing με μία επιπλέον ταινία στην

οποία γράφονται και σβήνονται δεδομένα

Υπολογίζουν εξισώσεις της μορφής 119891(119886) = 119887 119886 119887 isin ℕ

Υπολογίζουν αριθμούς και συναρτήσεις ʼnŊIJĐij

Λύνουν το πρόβλημα του τερματισμού των μηχανών Turing

Δεν μπορούν να λύσουν το δικό τους πρόβλημα

τερματισμού

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές TAE των Hintikka-Mutanen

Αποτελούν μηχανές Turing με μία επιπλέον ταινία στην

οποία γράφονται και σβήνονται δεδομένα

Υπολογίζουν εξισώσεις της μορφής 119891(119886) = 119887 119886 119887 isin ℕ

Υπολογίζουν αριθμούς και συναρτήσεις ʼnŊIJĐij

Λύνουν το πρόβλημα του τερματισμού των μηχανών Turing

Δεν μπορούν να λύσουν το δικό τους πρόβλημα

τερματισμού

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές TAE των Hintikka-Mutanen

Αποτελούν μηχανές Turing με μία επιπλέον ταινία στην

οποία γράφονται και σβήνονται δεδομένα

Υπολογίζουν εξισώσεις της μορφής 119891(119886) = 119887 119886 119887 isin ℕ

Υπολογίζουν αριθμούς και συναρτήσεις ʼnŊIJĐij

Λύνουν το πρόβλημα του τερματισμού των μηχανών Turing

Δεν μπορούν να λύσουν το δικό τους πρόβλημα

τερματισμού

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές TAE των Hintikka-Mutanen

Αποτελούν μηχανές Turing με μία επιπλέον ταινία στην

οποία γράφονται και σβήνονται δεδομένα

Υπολογίζουν εξισώσεις της μορφής 119891(119886) = 119887 119886 119887 isin ℕ

Υπολογίζουν αριθμούς και συναρτήσεις ʼnŊIJĐij

Λύνουν το πρόβλημα του τερματισμού των μηχανών Turing

Δεν μπορούν να λύσουν το δικό τους πρόβλημα

τερματισμού

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές TAE των Hintikka-Mutanen

Αποτελούν μηχανές Turing με μία επιπλέον ταινία στην

οποία γράφονται και σβήνονται δεδομένα

Υπολογίζουν εξισώσεις της μορφής 119891(119886) = 119887 119886 119887 isin ℕ

Υπολογίζουν αριθμούς και συναρτήσεις ʼnŊIJĐij

Λύνουν το πρόβλημα του τερματισμού των μηχανών Turing

Δεν μπορούν να λύσουν το δικό τους πρόβλημα

τερματισμού

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές TAE των Hintikka-Mutanen

Αποτελούν μηχανές Turing με μία επιπλέον ταινία στην

οποία γράφονται και σβήνονται δεδομένα

Υπολογίζουν εξισώσεις της μορφής 119891(119886) = 119887 119886 119887 isin ℕ

Υπολογίζουν αριθμούς και συναρτήσεις ʼnŊIJĐij

Λύνουν το πρόβλημα του τερματισμού των μηχανών Turing

Δεν μπορούν να λύσουν το δικό τους πρόβλημα

τερματισμού

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 του Weihrauch

y0 output tape 0 (one-way)

M

work tapes k + 1 N

yk

y1

input tapes 1 k (one-way)

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Ας υποθέσουμε ότι

μπορούμε και να γράφουμε σε όλες τις ταινίεςmiddot

μπορούμε να υπολογίζουμε σε κάθε βήμα μια εξίσωση της

μορφής 119891(1198861113578 hellip 119886119899) = 119887 (η εξίσωση γράφεται στη ταινία

εξόδου)middot

μπορούμε να αποφασίσουμε πότε έχουμε φτάσει στο τέλος

ενός υπολογισμού

Tότε μιλούμε για μια επέκταση της θεωρίας των μηχανών Type 2

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Ας υποθέσουμε ότι

μπορούμε και να γράφουμε σε όλες τις ταινίεςmiddot

μπορούμε να υπολογίζουμε σε κάθε βήμα μια εξίσωση της

μορφής 119891(1198861113578 hellip 119886119899) = 119887 (η εξίσωση γράφεται στη ταινία

εξόδου)middot

μπορούμε να αποφασίσουμε πότε έχουμε φτάσει στο τέλος

ενός υπολογισμού

Tότε μιλούμε για μια επέκταση της θεωρίας των μηχανών Type 2

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Ας υποθέσουμε ότι

μπορούμε και να γράφουμε σε όλες τις ταινίεςmiddot

μπορούμε να υπολογίζουμε σε κάθε βήμα μια εξίσωση της

μορφής 119891(1198861113578 hellip 119886119899) = 119887 (η εξίσωση γράφεται στη ταινία

εξόδου)middot

μπορούμε να αποφασίσουμε πότε έχουμε φτάσει στο τέλος

ενός υπολογισμού

Tότε μιλούμε για μια επέκταση της θεωρίας των μηχανών Type 2

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Ας υποθέσουμε ότι

μπορούμε και να γράφουμε σε όλες τις ταινίεςmiddot

μπορούμε να υπολογίζουμε σε κάθε βήμα μια εξίσωση της

μορφής 119891(1198861113578 hellip 119886119899) = 119887 (η εξίσωση γράφεται στη ταινία

εξόδου)middot

μπορούμε να αποφασίσουμε πότε έχουμε φτάσει στο τέλος

ενός υπολογισμού

Tότε μιλούμε για μια επέκταση της θεωρίας των μηχανών Type 2

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Ας υποθέσουμε ότι

μπορούμε και να γράφουμε σε όλες τις ταινίεςmiddot

μπορούμε να υπολογίζουμε σε κάθε βήμα μια εξίσωση της

μορφής 119891(1198861113578 hellip 119886119899) = 119887 (η εξίσωση γράφεται στη ταινία

εξόδου)middot

μπορούμε να αποφασίσουμε πότε έχουμε φτάσει στο τέλος

ενός υπολογισμού

Tότε μιλούμε για μια επέκταση της θεωρίας των μηχανών Type 2

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Απαιτείται

να ορίσουμε αυστηρά τις νέες αυτές νοητικές μηχανέςmiddot

να δούμε ποιούς αριθμούς υπολογίζουν (πόσο ψηλά στην

αριθμητική ιεραρχία laquoπηγαίνουνraquo)middot

και να δείξουμε ότι λύνουν το προβλημα τερματισμού των

μηχανών του Weihrauch

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Απαιτείται

να ορίσουμε αυστηρά τις νέες αυτές νοητικές μηχανέςmiddot

να δούμε ποιούς αριθμούς υπολογίζουν (πόσο ψηλά στην

αριθμητική ιεραρχία laquoπηγαίνουνraquo)middot

και να δείξουμε ότι λύνουν το προβλημα τερματισμού των

μηχανών του Weihrauch

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Απαιτείται

να ορίσουμε αυστηρά τις νέες αυτές νοητικές μηχανέςmiddot

να δούμε ποιούς αριθμούς υπολογίζουν (πόσο ψηλά στην

αριθμητική ιεραρχία laquoπηγαίνουνraquo)middot

και να δείξουμε ότι λύνουν το προβλημα τερματισμού των

μηχανών του Weihrauch

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Απαιτείται

να ορίσουμε αυστηρά τις νέες αυτές νοητικές μηχανέςmiddot

να δούμε ποιούς αριθμούς υπολογίζουν (πόσο ψηλά στην

αριθμητική ιεραρχία laquoπηγαίνουνraquo)middot

και να δείξουμε ότι λύνουν το προβλημα τερματισμού των

μηχανών του Weihrauch

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Τέλος

Ευχαριστώ για την προσοχή σας

• Εισαγωγή
• • Περί υπολογισιμότητας
  • Υπολογισιμότητα στην ανάλυση
  • Προσεγγίσεις στο θέμα της υπολογισιμότητας
  • • Yπερ-υπολογισιμότητα
    • Mηχανές TAE
    • Mηχανές Type 2
    • Mηχανές Type 2-TAE

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές TAE των Hintikka-Mutanen

Αποτελούν μηχανές Turing με μία επιπλέον ταινία στην

οποία γράφονται και σβήνονται δεδομένα

Υπολογίζουν εξισώσεις της μορφής 119891(119886) = 119887 119886 119887 isin ℕ

Υπολογίζουν αριθμούς και συναρτήσεις ʼnŊIJĐij

Λύνουν το πρόβλημα του τερματισμού των μηχανών Turing

Δεν μπορούν να λύσουν το δικό τους πρόβλημα

τερματισμού

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές TAE των Hintikka-Mutanen

Αποτελούν μηχανές Turing με μία επιπλέον ταινία στην

οποία γράφονται και σβήνονται δεδομένα

Υπολογίζουν εξισώσεις της μορφής 119891(119886) = 119887 119886 119887 isin ℕ

Υπολογίζουν αριθμούς και συναρτήσεις ʼnŊIJĐij

Λύνουν το πρόβλημα του τερματισμού των μηχανών Turing

Δεν μπορούν να λύσουν το δικό τους πρόβλημα

τερματισμού

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές TAE των Hintikka-Mutanen

Αποτελούν μηχανές Turing με μία επιπλέον ταινία στην

οποία γράφονται και σβήνονται δεδομένα

Υπολογίζουν εξισώσεις της μορφής 119891(119886) = 119887 119886 119887 isin ℕ

Υπολογίζουν αριθμούς και συναρτήσεις ʼnŊIJĐij

Λύνουν το πρόβλημα του τερματισμού των μηχανών Turing

Δεν μπορούν να λύσουν το δικό τους πρόβλημα

τερματισμού

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές TAE των Hintikka-Mutanen

Αποτελούν μηχανές Turing με μία επιπλέον ταινία στην

οποία γράφονται και σβήνονται δεδομένα

Υπολογίζουν εξισώσεις της μορφής 119891(119886) = 119887 119886 119887 isin ℕ

Υπολογίζουν αριθμούς και συναρτήσεις ʼnŊIJĐij

Λύνουν το πρόβλημα του τερματισμού των μηχανών Turing

Δεν μπορούν να λύσουν το δικό τους πρόβλημα

τερματισμού

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές TAE των Hintikka-Mutanen

Αποτελούν μηχανές Turing με μία επιπλέον ταινία στην

οποία γράφονται και σβήνονται δεδομένα

Υπολογίζουν εξισώσεις της μορφής 119891(119886) = 119887 119886 119887 isin ℕ

Υπολογίζουν αριθμούς και συναρτήσεις ʼnŊIJĐij

Λύνουν το πρόβλημα του τερματισμού των μηχανών Turing

Δεν μπορούν να λύσουν το δικό τους πρόβλημα

τερματισμού

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 του Weihrauch

y0 output tape 0 (one-way)

M

work tapes k + 1 N

yk

y1

input tapes 1 k (one-way)

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Ας υποθέσουμε ότι

μπορούμε και να γράφουμε σε όλες τις ταινίεςmiddot

μπορούμε να υπολογίζουμε σε κάθε βήμα μια εξίσωση της

μορφής 119891(1198861113578 hellip 119886119899) = 119887 (η εξίσωση γράφεται στη ταινία

εξόδου)middot

μπορούμε να αποφασίσουμε πότε έχουμε φτάσει στο τέλος

ενός υπολογισμού

Tότε μιλούμε για μια επέκταση της θεωρίας των μηχανών Type 2

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Ας υποθέσουμε ότι

μπορούμε και να γράφουμε σε όλες τις ταινίεςmiddot

μπορούμε να υπολογίζουμε σε κάθε βήμα μια εξίσωση της

μορφής 119891(1198861113578 hellip 119886119899) = 119887 (η εξίσωση γράφεται στη ταινία

εξόδου)middot

μπορούμε να αποφασίσουμε πότε έχουμε φτάσει στο τέλος

ενός υπολογισμού

Tότε μιλούμε για μια επέκταση της θεωρίας των μηχανών Type 2

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Ας υποθέσουμε ότι

μπορούμε και να γράφουμε σε όλες τις ταινίεςmiddot

μπορούμε να υπολογίζουμε σε κάθε βήμα μια εξίσωση της

μορφής 119891(1198861113578 hellip 119886119899) = 119887 (η εξίσωση γράφεται στη ταινία

εξόδου)middot

μπορούμε να αποφασίσουμε πότε έχουμε φτάσει στο τέλος

ενός υπολογισμού

Tότε μιλούμε για μια επέκταση της θεωρίας των μηχανών Type 2

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Ας υποθέσουμε ότι

μπορούμε και να γράφουμε σε όλες τις ταινίεςmiddot

μπορούμε να υπολογίζουμε σε κάθε βήμα μια εξίσωση της

μορφής 119891(1198861113578 hellip 119886119899) = 119887 (η εξίσωση γράφεται στη ταινία

εξόδου)middot

μπορούμε να αποφασίσουμε πότε έχουμε φτάσει στο τέλος

ενός υπολογισμού

Tότε μιλούμε για μια επέκταση της θεωρίας των μηχανών Type 2

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Ας υποθέσουμε ότι

μπορούμε και να γράφουμε σε όλες τις ταινίεςmiddot

μπορούμε να υπολογίζουμε σε κάθε βήμα μια εξίσωση της

μορφής 119891(1198861113578 hellip 119886119899) = 119887 (η εξίσωση γράφεται στη ταινία

εξόδου)middot

μπορούμε να αποφασίσουμε πότε έχουμε φτάσει στο τέλος

ενός υπολογισμού

Tότε μιλούμε για μια επέκταση της θεωρίας των μηχανών Type 2

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Απαιτείται

να ορίσουμε αυστηρά τις νέες αυτές νοητικές μηχανέςmiddot

να δούμε ποιούς αριθμούς υπολογίζουν (πόσο ψηλά στην

αριθμητική ιεραρχία laquoπηγαίνουνraquo)middot

και να δείξουμε ότι λύνουν το προβλημα τερματισμού των

μηχανών του Weihrauch

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Απαιτείται

να ορίσουμε αυστηρά τις νέες αυτές νοητικές μηχανέςmiddot

να δούμε ποιούς αριθμούς υπολογίζουν (πόσο ψηλά στην

αριθμητική ιεραρχία laquoπηγαίνουνraquo)middot

και να δείξουμε ότι λύνουν το προβλημα τερματισμού των

μηχανών του Weihrauch

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Απαιτείται

να ορίσουμε αυστηρά τις νέες αυτές νοητικές μηχανέςmiddot

να δούμε ποιούς αριθμούς υπολογίζουν (πόσο ψηλά στην

αριθμητική ιεραρχία laquoπηγαίνουνraquo)middot

και να δείξουμε ότι λύνουν το προβλημα τερματισμού των

μηχανών του Weihrauch

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Απαιτείται

να ορίσουμε αυστηρά τις νέες αυτές νοητικές μηχανέςmiddot

να δούμε ποιούς αριθμούς υπολογίζουν (πόσο ψηλά στην

αριθμητική ιεραρχία laquoπηγαίνουνraquo)middot

και να δείξουμε ότι λύνουν το προβλημα τερματισμού των

μηχανών του Weihrauch

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Τέλος

Ευχαριστώ για την προσοχή σας

• Εισαγωγή
• • Περί υπολογισιμότητας
  • Υπολογισιμότητα στην ανάλυση
  • Προσεγγίσεις στο θέμα της υπολογισιμότητας
  • • Yπερ-υπολογισιμότητα
    • Mηχανές TAE
    • Mηχανές Type 2
    • Mηχανές Type 2-TAE

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές TAE των Hintikka-Mutanen

Αποτελούν μηχανές Turing με μία επιπλέον ταινία στην

οποία γράφονται και σβήνονται δεδομένα

Υπολογίζουν εξισώσεις της μορφής 119891(119886) = 119887 119886 119887 isin ℕ

Υπολογίζουν αριθμούς και συναρτήσεις ʼnŊIJĐij

Λύνουν το πρόβλημα του τερματισμού των μηχανών Turing

Δεν μπορούν να λύσουν το δικό τους πρόβλημα

τερματισμού

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές TAE των Hintikka-Mutanen

Αποτελούν μηχανές Turing με μία επιπλέον ταινία στην

οποία γράφονται και σβήνονται δεδομένα

Υπολογίζουν εξισώσεις της μορφής 119891(119886) = 119887 119886 119887 isin ℕ

Υπολογίζουν αριθμούς και συναρτήσεις ʼnŊIJĐij

Λύνουν το πρόβλημα του τερματισμού των μηχανών Turing

Δεν μπορούν να λύσουν το δικό τους πρόβλημα

τερματισμού

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές TAE των Hintikka-Mutanen

Αποτελούν μηχανές Turing με μία επιπλέον ταινία στην

οποία γράφονται και σβήνονται δεδομένα

Υπολογίζουν εξισώσεις της μορφής 119891(119886) = 119887 119886 119887 isin ℕ

Υπολογίζουν αριθμούς και συναρτήσεις ʼnŊIJĐij

Λύνουν το πρόβλημα του τερματισμού των μηχανών Turing

Δεν μπορούν να λύσουν το δικό τους πρόβλημα

τερματισμού

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές TAE των Hintikka-Mutanen

Αποτελούν μηχανές Turing με μία επιπλέον ταινία στην

οποία γράφονται και σβήνονται δεδομένα

Υπολογίζουν εξισώσεις της μορφής 119891(119886) = 119887 119886 119887 isin ℕ

Υπολογίζουν αριθμούς και συναρτήσεις ʼnŊIJĐij

Λύνουν το πρόβλημα του τερματισμού των μηχανών Turing

Δεν μπορούν να λύσουν το δικό τους πρόβλημα

τερματισμού

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 του Weihrauch

y0 output tape 0 (one-way)

M

work tapes k + 1 N

yk

y1

input tapes 1 k (one-way)

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Ας υποθέσουμε ότι

μπορούμε και να γράφουμε σε όλες τις ταινίεςmiddot

μπορούμε να υπολογίζουμε σε κάθε βήμα μια εξίσωση της

μορφής 119891(1198861113578 hellip 119886119899) = 119887 (η εξίσωση γράφεται στη ταινία

εξόδου)middot

μπορούμε να αποφασίσουμε πότε έχουμε φτάσει στο τέλος

ενός υπολογισμού

Tότε μιλούμε για μια επέκταση της θεωρίας των μηχανών Type 2

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Ας υποθέσουμε ότι

μπορούμε και να γράφουμε σε όλες τις ταινίεςmiddot

μπορούμε να υπολογίζουμε σε κάθε βήμα μια εξίσωση της

μορφής 119891(1198861113578 hellip 119886119899) = 119887 (η εξίσωση γράφεται στη ταινία

εξόδου)middot

μπορούμε να αποφασίσουμε πότε έχουμε φτάσει στο τέλος

ενός υπολογισμού

Tότε μιλούμε για μια επέκταση της θεωρίας των μηχανών Type 2

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Ας υποθέσουμε ότι

μπορούμε και να γράφουμε σε όλες τις ταινίεςmiddot

μπορούμε να υπολογίζουμε σε κάθε βήμα μια εξίσωση της

μορφής 119891(1198861113578 hellip 119886119899) = 119887 (η εξίσωση γράφεται στη ταινία

εξόδου)middot

μπορούμε να αποφασίσουμε πότε έχουμε φτάσει στο τέλος

ενός υπολογισμού

Tότε μιλούμε για μια επέκταση της θεωρίας των μηχανών Type 2

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Ας υποθέσουμε ότι

μπορούμε και να γράφουμε σε όλες τις ταινίεςmiddot

μπορούμε να υπολογίζουμε σε κάθε βήμα μια εξίσωση της

μορφής 119891(1198861113578 hellip 119886119899) = 119887 (η εξίσωση γράφεται στη ταινία

εξόδου)middot

μπορούμε να αποφασίσουμε πότε έχουμε φτάσει στο τέλος

ενός υπολογισμού

Tότε μιλούμε για μια επέκταση της θεωρίας των μηχανών Type 2

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Ας υποθέσουμε ότι

μπορούμε και να γράφουμε σε όλες τις ταινίεςmiddot

μπορούμε να υπολογίζουμε σε κάθε βήμα μια εξίσωση της

μορφής 119891(1198861113578 hellip 119886119899) = 119887 (η εξίσωση γράφεται στη ταινία

εξόδου)middot

μπορούμε να αποφασίσουμε πότε έχουμε φτάσει στο τέλος

ενός υπολογισμού

Tότε μιλούμε για μια επέκταση της θεωρίας των μηχανών Type 2

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Απαιτείται

να ορίσουμε αυστηρά τις νέες αυτές νοητικές μηχανέςmiddot

να δούμε ποιούς αριθμούς υπολογίζουν (πόσο ψηλά στην

αριθμητική ιεραρχία laquoπηγαίνουνraquo)middot

και να δείξουμε ότι λύνουν το προβλημα τερματισμού των

μηχανών του Weihrauch

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Απαιτείται

να ορίσουμε αυστηρά τις νέες αυτές νοητικές μηχανέςmiddot

να δούμε ποιούς αριθμούς υπολογίζουν (πόσο ψηλά στην

αριθμητική ιεραρχία laquoπηγαίνουνraquo)middot

και να δείξουμε ότι λύνουν το προβλημα τερματισμού των

μηχανών του Weihrauch

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Απαιτείται

να ορίσουμε αυστηρά τις νέες αυτές νοητικές μηχανέςmiddot

να δούμε ποιούς αριθμούς υπολογίζουν (πόσο ψηλά στην

αριθμητική ιεραρχία laquoπηγαίνουνraquo)middot

και να δείξουμε ότι λύνουν το προβλημα τερματισμού των

μηχανών του Weihrauch

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Απαιτείται

να ορίσουμε αυστηρά τις νέες αυτές νοητικές μηχανέςmiddot

να δούμε ποιούς αριθμούς υπολογίζουν (πόσο ψηλά στην

αριθμητική ιεραρχία laquoπηγαίνουνraquo)middot

και να δείξουμε ότι λύνουν το προβλημα τερματισμού των

μηχανών του Weihrauch

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Τέλος

Ευχαριστώ για την προσοχή σας

• Εισαγωγή
• • Περί υπολογισιμότητας
  • Υπολογισιμότητα στην ανάλυση
  • Προσεγγίσεις στο θέμα της υπολογισιμότητας
  • • Yπερ-υπολογισιμότητα
    • Mηχανές TAE
    • Mηχανές Type 2
    • Mηχανές Type 2-TAE

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές TAE των Hintikka-Mutanen

Αποτελούν μηχανές Turing με μία επιπλέον ταινία στην

οποία γράφονται και σβήνονται δεδομένα

Υπολογίζουν εξισώσεις της μορφής 119891(119886) = 119887 119886 119887 isin ℕ

Υπολογίζουν αριθμούς και συναρτήσεις ʼnŊIJĐij

Λύνουν το πρόβλημα του τερματισμού των μηχανών Turing

Δεν μπορούν να λύσουν το δικό τους πρόβλημα

τερματισμού

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές TAE των Hintikka-Mutanen

Αποτελούν μηχανές Turing με μία επιπλέον ταινία στην

οποία γράφονται και σβήνονται δεδομένα

Υπολογίζουν εξισώσεις της μορφής 119891(119886) = 119887 119886 119887 isin ℕ

Υπολογίζουν αριθμούς και συναρτήσεις ʼnŊIJĐij

Λύνουν το πρόβλημα του τερματισμού των μηχανών Turing

Δεν μπορούν να λύσουν το δικό τους πρόβλημα

τερματισμού

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές TAE των Hintikka-Mutanen

Αποτελούν μηχανές Turing με μία επιπλέον ταινία στην

οποία γράφονται και σβήνονται δεδομένα

Υπολογίζουν εξισώσεις της μορφής 119891(119886) = 119887 119886 119887 isin ℕ

Υπολογίζουν αριθμούς και συναρτήσεις ʼnŊIJĐij

Λύνουν το πρόβλημα του τερματισμού των μηχανών Turing

Δεν μπορούν να λύσουν το δικό τους πρόβλημα

τερματισμού

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 του Weihrauch

y0 output tape 0 (one-way)

M

work tapes k + 1 N

yk

y1

input tapes 1 k (one-way)

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Ας υποθέσουμε ότι

μπορούμε και να γράφουμε σε όλες τις ταινίεςmiddot

μπορούμε να υπολογίζουμε σε κάθε βήμα μια εξίσωση της

μορφής 119891(1198861113578 hellip 119886119899) = 119887 (η εξίσωση γράφεται στη ταινία

εξόδου)middot

μπορούμε να αποφασίσουμε πότε έχουμε φτάσει στο τέλος

ενός υπολογισμού

Tότε μιλούμε για μια επέκταση της θεωρίας των μηχανών Type 2

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Ας υποθέσουμε ότι

μπορούμε και να γράφουμε σε όλες τις ταινίεςmiddot

μπορούμε να υπολογίζουμε σε κάθε βήμα μια εξίσωση της

μορφής 119891(1198861113578 hellip 119886119899) = 119887 (η εξίσωση γράφεται στη ταινία

εξόδου)middot

μπορούμε να αποφασίσουμε πότε έχουμε φτάσει στο τέλος

ενός υπολογισμού

Tότε μιλούμε για μια επέκταση της θεωρίας των μηχανών Type 2

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Ας υποθέσουμε ότι

μπορούμε και να γράφουμε σε όλες τις ταινίεςmiddot

μπορούμε να υπολογίζουμε σε κάθε βήμα μια εξίσωση της

μορφής 119891(1198861113578 hellip 119886119899) = 119887 (η εξίσωση γράφεται στη ταινία

εξόδου)middot

μπορούμε να αποφασίσουμε πότε έχουμε φτάσει στο τέλος

ενός υπολογισμού

Tότε μιλούμε για μια επέκταση της θεωρίας των μηχανών Type 2

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Ας υποθέσουμε ότι

μπορούμε και να γράφουμε σε όλες τις ταινίεςmiddot

μπορούμε να υπολογίζουμε σε κάθε βήμα μια εξίσωση της

μορφής 119891(1198861113578 hellip 119886119899) = 119887 (η εξίσωση γράφεται στη ταινία

εξόδου)middot

μπορούμε να αποφασίσουμε πότε έχουμε φτάσει στο τέλος

ενός υπολογισμού

Tότε μιλούμε για μια επέκταση της θεωρίας των μηχανών Type 2

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Ας υποθέσουμε ότι

μπορούμε και να γράφουμε σε όλες τις ταινίεςmiddot

μπορούμε να υπολογίζουμε σε κάθε βήμα μια εξίσωση της

μορφής 119891(1198861113578 hellip 119886119899) = 119887 (η εξίσωση γράφεται στη ταινία

εξόδου)middot

μπορούμε να αποφασίσουμε πότε έχουμε φτάσει στο τέλος

ενός υπολογισμού

Tότε μιλούμε για μια επέκταση της θεωρίας των μηχανών Type 2

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Απαιτείται

να ορίσουμε αυστηρά τις νέες αυτές νοητικές μηχανέςmiddot

να δούμε ποιούς αριθμούς υπολογίζουν (πόσο ψηλά στην

αριθμητική ιεραρχία laquoπηγαίνουνraquo)middot

και να δείξουμε ότι λύνουν το προβλημα τερματισμού των

μηχανών του Weihrauch

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Απαιτείται

να ορίσουμε αυστηρά τις νέες αυτές νοητικές μηχανέςmiddot

να δούμε ποιούς αριθμούς υπολογίζουν (πόσο ψηλά στην

αριθμητική ιεραρχία laquoπηγαίνουνraquo)middot

και να δείξουμε ότι λύνουν το προβλημα τερματισμού των

μηχανών του Weihrauch

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Απαιτείται

να ορίσουμε αυστηρά τις νέες αυτές νοητικές μηχανέςmiddot

να δούμε ποιούς αριθμούς υπολογίζουν (πόσο ψηλά στην

αριθμητική ιεραρχία laquoπηγαίνουνraquo)middot

και να δείξουμε ότι λύνουν το προβλημα τερματισμού των

μηχανών του Weihrauch

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Απαιτείται

να ορίσουμε αυστηρά τις νέες αυτές νοητικές μηχανέςmiddot

να δούμε ποιούς αριθμούς υπολογίζουν (πόσο ψηλά στην

αριθμητική ιεραρχία laquoπηγαίνουνraquo)middot

και να δείξουμε ότι λύνουν το προβλημα τερματισμού των

μηχανών του Weihrauch

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Τέλος

Ευχαριστώ για την προσοχή σας

• Εισαγωγή
• • Περί υπολογισιμότητας
  • Υπολογισιμότητα στην ανάλυση
  • Προσεγγίσεις στο θέμα της υπολογισιμότητας
  • • Yπερ-υπολογισιμότητα
    • Mηχανές TAE
    • Mηχανές Type 2
    • Mηχανές Type 2-TAE

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές TAE των Hintikka-Mutanen

Αποτελούν μηχανές Turing με μία επιπλέον ταινία στην

οποία γράφονται και σβήνονται δεδομένα

Υπολογίζουν εξισώσεις της μορφής 119891(119886) = 119887 119886 119887 isin ℕ

Υπολογίζουν αριθμούς και συναρτήσεις ʼnŊIJĐij

Λύνουν το πρόβλημα του τερματισμού των μηχανών Turing

Δεν μπορούν να λύσουν το δικό τους πρόβλημα

τερματισμού

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές TAE των Hintikka-Mutanen

Αποτελούν μηχανές Turing με μία επιπλέον ταινία στην

οποία γράφονται και σβήνονται δεδομένα

Υπολογίζουν εξισώσεις της μορφής 119891(119886) = 119887 119886 119887 isin ℕ

Υπολογίζουν αριθμούς και συναρτήσεις ʼnŊIJĐij

Λύνουν το πρόβλημα του τερματισμού των μηχανών Turing

Δεν μπορούν να λύσουν το δικό τους πρόβλημα

τερματισμού

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 του Weihrauch

y0 output tape 0 (one-way)

M

work tapes k + 1 N

yk

y1

input tapes 1 k (one-way)

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Ας υποθέσουμε ότι

μπορούμε και να γράφουμε σε όλες τις ταινίεςmiddot

μπορούμε να υπολογίζουμε σε κάθε βήμα μια εξίσωση της

μορφής 119891(1198861113578 hellip 119886119899) = 119887 (η εξίσωση γράφεται στη ταινία

εξόδου)middot

μπορούμε να αποφασίσουμε πότε έχουμε φτάσει στο τέλος

ενός υπολογισμού

Tότε μιλούμε για μια επέκταση της θεωρίας των μηχανών Type 2

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Ας υποθέσουμε ότι

μπορούμε και να γράφουμε σε όλες τις ταινίεςmiddot

μπορούμε να υπολογίζουμε σε κάθε βήμα μια εξίσωση της

μορφής 119891(1198861113578 hellip 119886119899) = 119887 (η εξίσωση γράφεται στη ταινία

εξόδου)middot

μπορούμε να αποφασίσουμε πότε έχουμε φτάσει στο τέλος

ενός υπολογισμού

Tότε μιλούμε για μια επέκταση της θεωρίας των μηχανών Type 2

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Ας υποθέσουμε ότι

μπορούμε και να γράφουμε σε όλες τις ταινίεςmiddot

μπορούμε να υπολογίζουμε σε κάθε βήμα μια εξίσωση της

μορφής 119891(1198861113578 hellip 119886119899) = 119887 (η εξίσωση γράφεται στη ταινία

εξόδου)middot

μπορούμε να αποφασίσουμε πότε έχουμε φτάσει στο τέλος

ενός υπολογισμού

Tότε μιλούμε για μια επέκταση της θεωρίας των μηχανών Type 2

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Ας υποθέσουμε ότι

μπορούμε και να γράφουμε σε όλες τις ταινίεςmiddot

μπορούμε να υπολογίζουμε σε κάθε βήμα μια εξίσωση της

μορφής 119891(1198861113578 hellip 119886119899) = 119887 (η εξίσωση γράφεται στη ταινία

εξόδου)middot

μπορούμε να αποφασίσουμε πότε έχουμε φτάσει στο τέλος

ενός υπολογισμού

Tότε μιλούμε για μια επέκταση της θεωρίας των μηχανών Type 2

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Ας υποθέσουμε ότι

μπορούμε και να γράφουμε σε όλες τις ταινίεςmiddot

μπορούμε να υπολογίζουμε σε κάθε βήμα μια εξίσωση της

μορφής 119891(1198861113578 hellip 119886119899) = 119887 (η εξίσωση γράφεται στη ταινία

εξόδου)middot

μπορούμε να αποφασίσουμε πότε έχουμε φτάσει στο τέλος

ενός υπολογισμού

Tότε μιλούμε για μια επέκταση της θεωρίας των μηχανών Type 2

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Απαιτείται

να ορίσουμε αυστηρά τις νέες αυτές νοητικές μηχανέςmiddot

να δούμε ποιούς αριθμούς υπολογίζουν (πόσο ψηλά στην

αριθμητική ιεραρχία laquoπηγαίνουνraquo)middot

και να δείξουμε ότι λύνουν το προβλημα τερματισμού των

μηχανών του Weihrauch

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Απαιτείται

να ορίσουμε αυστηρά τις νέες αυτές νοητικές μηχανέςmiddot

να δούμε ποιούς αριθμούς υπολογίζουν (πόσο ψηλά στην

αριθμητική ιεραρχία laquoπηγαίνουνraquo)middot

και να δείξουμε ότι λύνουν το προβλημα τερματισμού των

μηχανών του Weihrauch

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Απαιτείται

να ορίσουμε αυστηρά τις νέες αυτές νοητικές μηχανέςmiddot

να δούμε ποιούς αριθμούς υπολογίζουν (πόσο ψηλά στην

αριθμητική ιεραρχία laquoπηγαίνουνraquo)middot

και να δείξουμε ότι λύνουν το προβλημα τερματισμού των

μηχανών του Weihrauch

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Απαιτείται

να ορίσουμε αυστηρά τις νέες αυτές νοητικές μηχανέςmiddot

να δούμε ποιούς αριθμούς υπολογίζουν (πόσο ψηλά στην

αριθμητική ιεραρχία laquoπηγαίνουνraquo)middot

και να δείξουμε ότι λύνουν το προβλημα τερματισμού των

μηχανών του Weihrauch

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Τέλος

Ευχαριστώ για την προσοχή σας

• Εισαγωγή
• • Περί υπολογισιμότητας
  • Υπολογισιμότητα στην ανάλυση
  • Προσεγγίσεις στο θέμα της υπολογισιμότητας
  • • Yπερ-υπολογισιμότητα
    • Mηχανές TAE
    • Mηχανές Type 2
    • Mηχανές Type 2-TAE

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές TAE των Hintikka-Mutanen

Αποτελούν μηχανές Turing με μία επιπλέον ταινία στην

οποία γράφονται και σβήνονται δεδομένα

Υπολογίζουν εξισώσεις της μορφής 119891(119886) = 119887 119886 119887 isin ℕ

Υπολογίζουν αριθμούς και συναρτήσεις ʼnŊIJĐij

Λύνουν το πρόβλημα του τερματισμού των μηχανών Turing

Δεν μπορούν να λύσουν το δικό τους πρόβλημα

τερματισμού

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 του Weihrauch

y0 output tape 0 (one-way)

M

work tapes k + 1 N

yk

y1

input tapes 1 k (one-way)

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Ας υποθέσουμε ότι

μπορούμε και να γράφουμε σε όλες τις ταινίεςmiddot

μπορούμε να υπολογίζουμε σε κάθε βήμα μια εξίσωση της

μορφής 119891(1198861113578 hellip 119886119899) = 119887 (η εξίσωση γράφεται στη ταινία

εξόδου)middot

μπορούμε να αποφασίσουμε πότε έχουμε φτάσει στο τέλος

ενός υπολογισμού

Tότε μιλούμε για μια επέκταση της θεωρίας των μηχανών Type 2

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Ας υποθέσουμε ότι

μπορούμε και να γράφουμε σε όλες τις ταινίεςmiddot

μπορούμε να υπολογίζουμε σε κάθε βήμα μια εξίσωση της

μορφής 119891(1198861113578 hellip 119886119899) = 119887 (η εξίσωση γράφεται στη ταινία

εξόδου)middot

μπορούμε να αποφασίσουμε πότε έχουμε φτάσει στο τέλος

ενός υπολογισμού

Tότε μιλούμε για μια επέκταση της θεωρίας των μηχανών Type 2

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Ας υποθέσουμε ότι

μπορούμε και να γράφουμε σε όλες τις ταινίεςmiddot

μπορούμε να υπολογίζουμε σε κάθε βήμα μια εξίσωση της

μορφής 119891(1198861113578 hellip 119886119899) = 119887 (η εξίσωση γράφεται στη ταινία

εξόδου)middot

μπορούμε να αποφασίσουμε πότε έχουμε φτάσει στο τέλος

ενός υπολογισμού

Tότε μιλούμε για μια επέκταση της θεωρίας των μηχανών Type 2

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Ας υποθέσουμε ότι

μπορούμε και να γράφουμε σε όλες τις ταινίεςmiddot

μπορούμε να υπολογίζουμε σε κάθε βήμα μια εξίσωση της

μορφής 119891(1198861113578 hellip 119886119899) = 119887 (η εξίσωση γράφεται στη ταινία

εξόδου)middot

μπορούμε να αποφασίσουμε πότε έχουμε φτάσει στο τέλος

ενός υπολογισμού

Tότε μιλούμε για μια επέκταση της θεωρίας των μηχανών Type 2

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Ας υποθέσουμε ότι

μπορούμε και να γράφουμε σε όλες τις ταινίεςmiddot

μπορούμε να υπολογίζουμε σε κάθε βήμα μια εξίσωση της

μορφής 119891(1198861113578 hellip 119886119899) = 119887 (η εξίσωση γράφεται στη ταινία

εξόδου)middot

μπορούμε να αποφασίσουμε πότε έχουμε φτάσει στο τέλος

ενός υπολογισμού

Tότε μιλούμε για μια επέκταση της θεωρίας των μηχανών Type 2

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Απαιτείται

να ορίσουμε αυστηρά τις νέες αυτές νοητικές μηχανέςmiddot

να δούμε ποιούς αριθμούς υπολογίζουν (πόσο ψηλά στην

αριθμητική ιεραρχία laquoπηγαίνουνraquo)middot

και να δείξουμε ότι λύνουν το προβλημα τερματισμού των

μηχανών του Weihrauch

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Απαιτείται

να ορίσουμε αυστηρά τις νέες αυτές νοητικές μηχανέςmiddot

να δούμε ποιούς αριθμούς υπολογίζουν (πόσο ψηλά στην

αριθμητική ιεραρχία laquoπηγαίνουνraquo)middot

και να δείξουμε ότι λύνουν το προβλημα τερματισμού των

μηχανών του Weihrauch

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Απαιτείται

να ορίσουμε αυστηρά τις νέες αυτές νοητικές μηχανέςmiddot

να δούμε ποιούς αριθμούς υπολογίζουν (πόσο ψηλά στην

αριθμητική ιεραρχία laquoπηγαίνουνraquo)middot

και να δείξουμε ότι λύνουν το προβλημα τερματισμού των

μηχανών του Weihrauch

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Απαιτείται

να ορίσουμε αυστηρά τις νέες αυτές νοητικές μηχανέςmiddot

να δούμε ποιούς αριθμούς υπολογίζουν (πόσο ψηλά στην

αριθμητική ιεραρχία laquoπηγαίνουνraquo)middot

και να δείξουμε ότι λύνουν το προβλημα τερματισμού των

μηχανών του Weihrauch

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Τέλος

Ευχαριστώ για την προσοχή σας

• Εισαγωγή
• • Περί υπολογισιμότητας
  • Υπολογισιμότητα στην ανάλυση
  • Προσεγγίσεις στο θέμα της υπολογισιμότητας
  • • Yπερ-υπολογισιμότητα
    • Mηχανές TAE
    • Mηχανές Type 2
    • Mηχανές Type 2-TAE

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 του Weihrauch

y0 output tape 0 (one-way)

M

work tapes k + 1 N

yk

y1

input tapes 1 k (one-way)

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Ας υποθέσουμε ότι

μπορούμε και να γράφουμε σε όλες τις ταινίεςmiddot

μπορούμε να υπολογίζουμε σε κάθε βήμα μια εξίσωση της

μορφής 119891(1198861113578 hellip 119886119899) = 119887 (η εξίσωση γράφεται στη ταινία

εξόδου)middot

μπορούμε να αποφασίσουμε πότε έχουμε φτάσει στο τέλος

ενός υπολογισμού

Tότε μιλούμε για μια επέκταση της θεωρίας των μηχανών Type 2

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Ας υποθέσουμε ότι

μπορούμε και να γράφουμε σε όλες τις ταινίεςmiddot

μπορούμε να υπολογίζουμε σε κάθε βήμα μια εξίσωση της

μορφής 119891(1198861113578 hellip 119886119899) = 119887 (η εξίσωση γράφεται στη ταινία

εξόδου)middot

μπορούμε να αποφασίσουμε πότε έχουμε φτάσει στο τέλος

ενός υπολογισμού

Tότε μιλούμε για μια επέκταση της θεωρίας των μηχανών Type 2

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Ας υποθέσουμε ότι

μπορούμε και να γράφουμε σε όλες τις ταινίεςmiddot

μπορούμε να υπολογίζουμε σε κάθε βήμα μια εξίσωση της

μορφής 119891(1198861113578 hellip 119886119899) = 119887 (η εξίσωση γράφεται στη ταινία

εξόδου)middot

μπορούμε να αποφασίσουμε πότε έχουμε φτάσει στο τέλος

ενός υπολογισμού

Tότε μιλούμε για μια επέκταση της θεωρίας των μηχανών Type 2

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Ας υποθέσουμε ότι

μπορούμε και να γράφουμε σε όλες τις ταινίεςmiddot

μπορούμε να υπολογίζουμε σε κάθε βήμα μια εξίσωση της

μορφής 119891(1198861113578 hellip 119886119899) = 119887 (η εξίσωση γράφεται στη ταινία

εξόδου)middot

μπορούμε να αποφασίσουμε πότε έχουμε φτάσει στο τέλος

ενός υπολογισμού

Tότε μιλούμε για μια επέκταση της θεωρίας των μηχανών Type 2

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Ας υποθέσουμε ότι

μπορούμε και να γράφουμε σε όλες τις ταινίεςmiddot

μπορούμε να υπολογίζουμε σε κάθε βήμα μια εξίσωση της

μορφής 119891(1198861113578 hellip 119886119899) = 119887 (η εξίσωση γράφεται στη ταινία

εξόδου)middot

μπορούμε να αποφασίσουμε πότε έχουμε φτάσει στο τέλος

ενός υπολογισμού

Tότε μιλούμε για μια επέκταση της θεωρίας των μηχανών Type 2

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Απαιτείται

να ορίσουμε αυστηρά τις νέες αυτές νοητικές μηχανέςmiddot

να δούμε ποιούς αριθμούς υπολογίζουν (πόσο ψηλά στην

αριθμητική ιεραρχία laquoπηγαίνουνraquo)middot

και να δείξουμε ότι λύνουν το προβλημα τερματισμού των

μηχανών του Weihrauch

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Απαιτείται

να ορίσουμε αυστηρά τις νέες αυτές νοητικές μηχανέςmiddot

να δούμε ποιούς αριθμούς υπολογίζουν (πόσο ψηλά στην

αριθμητική ιεραρχία laquoπηγαίνουνraquo)middot

και να δείξουμε ότι λύνουν το προβλημα τερματισμού των

μηχανών του Weihrauch

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Απαιτείται

να ορίσουμε αυστηρά τις νέες αυτές νοητικές μηχανέςmiddot

να δούμε ποιούς αριθμούς υπολογίζουν (πόσο ψηλά στην

αριθμητική ιεραρχία laquoπηγαίνουνraquo)middot

και να δείξουμε ότι λύνουν το προβλημα τερματισμού των

μηχανών του Weihrauch

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Απαιτείται

να ορίσουμε αυστηρά τις νέες αυτές νοητικές μηχανέςmiddot

να δούμε ποιούς αριθμούς υπολογίζουν (πόσο ψηλά στην

αριθμητική ιεραρχία laquoπηγαίνουνraquo)middot

και να δείξουμε ότι λύνουν το προβλημα τερματισμού των

μηχανών του Weihrauch

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Τέλος

Ευχαριστώ για την προσοχή σας

• Εισαγωγή
• • Περί υπολογισιμότητας
  • Υπολογισιμότητα στην ανάλυση
  • Προσεγγίσεις στο θέμα της υπολογισιμότητας
  • • Yπερ-υπολογισιμότητα
    • Mηχανές TAE
    • Mηχανές Type 2
    • Mηχανές Type 2-TAE

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Ας υποθέσουμε ότι

μπορούμε και να γράφουμε σε όλες τις ταινίεςmiddot

μπορούμε να υπολογίζουμε σε κάθε βήμα μια εξίσωση της

μορφής 119891(1198861113578 hellip 119886119899) = 119887 (η εξίσωση γράφεται στη ταινία

εξόδου)middot

μπορούμε να αποφασίσουμε πότε έχουμε φτάσει στο τέλος

ενός υπολογισμού

Tότε μιλούμε για μια επέκταση της θεωρίας των μηχανών Type 2

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Ας υποθέσουμε ότι

μπορούμε και να γράφουμε σε όλες τις ταινίεςmiddot

μπορούμε να υπολογίζουμε σε κάθε βήμα μια εξίσωση της

μορφής 119891(1198861113578 hellip 119886119899) = 119887 (η εξίσωση γράφεται στη ταινία

εξόδου)middot

μπορούμε να αποφασίσουμε πότε έχουμε φτάσει στο τέλος

ενός υπολογισμού

Tότε μιλούμε για μια επέκταση της θεωρίας των μηχανών Type 2

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Ας υποθέσουμε ότι

μπορούμε και να γράφουμε σε όλες τις ταινίεςmiddot

μπορούμε να υπολογίζουμε σε κάθε βήμα μια εξίσωση της

μορφής 119891(1198861113578 hellip 119886119899) = 119887 (η εξίσωση γράφεται στη ταινία

εξόδου)middot

μπορούμε να αποφασίσουμε πότε έχουμε φτάσει στο τέλος

ενός υπολογισμού

Tότε μιλούμε για μια επέκταση της θεωρίας των μηχανών Type 2

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Ας υποθέσουμε ότι

μπορούμε και να γράφουμε σε όλες τις ταινίεςmiddot

μπορούμε να υπολογίζουμε σε κάθε βήμα μια εξίσωση της

μορφής 119891(1198861113578 hellip 119886119899) = 119887 (η εξίσωση γράφεται στη ταινία

εξόδου)middot

μπορούμε να αποφασίσουμε πότε έχουμε φτάσει στο τέλος

ενός υπολογισμού

Tότε μιλούμε για μια επέκταση της θεωρίας των μηχανών Type 2

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Ας υποθέσουμε ότι

μπορούμε και να γράφουμε σε όλες τις ταινίεςmiddot

μπορούμε να υπολογίζουμε σε κάθε βήμα μια εξίσωση της

μορφής 119891(1198861113578 hellip 119886119899) = 119887 (η εξίσωση γράφεται στη ταινία

εξόδου)middot

μπορούμε να αποφασίσουμε πότε έχουμε φτάσει στο τέλος

ενός υπολογισμού

Tότε μιλούμε για μια επέκταση της θεωρίας των μηχανών Type 2

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Απαιτείται

να ορίσουμε αυστηρά τις νέες αυτές νοητικές μηχανέςmiddot

να δούμε ποιούς αριθμούς υπολογίζουν (πόσο ψηλά στην

αριθμητική ιεραρχία laquoπηγαίνουνraquo)middot

και να δείξουμε ότι λύνουν το προβλημα τερματισμού των

μηχανών του Weihrauch

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Απαιτείται

να ορίσουμε αυστηρά τις νέες αυτές νοητικές μηχανέςmiddot

να δούμε ποιούς αριθμούς υπολογίζουν (πόσο ψηλά στην

αριθμητική ιεραρχία laquoπηγαίνουνraquo)middot

και να δείξουμε ότι λύνουν το προβλημα τερματισμού των

μηχανών του Weihrauch

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Απαιτείται

να ορίσουμε αυστηρά τις νέες αυτές νοητικές μηχανέςmiddot

να δούμε ποιούς αριθμούς υπολογίζουν (πόσο ψηλά στην

αριθμητική ιεραρχία laquoπηγαίνουνraquo)middot

και να δείξουμε ότι λύνουν το προβλημα τερματισμού των

μηχανών του Weihrauch

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Απαιτείται

να ορίσουμε αυστηρά τις νέες αυτές νοητικές μηχανέςmiddot

να δούμε ποιούς αριθμούς υπολογίζουν (πόσο ψηλά στην

αριθμητική ιεραρχία laquoπηγαίνουνraquo)middot

και να δείξουμε ότι λύνουν το προβλημα τερματισμού των

μηχανών του Weihrauch

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Τέλος

Ευχαριστώ για την προσοχή σας

• Εισαγωγή
• • Περί υπολογισιμότητας
  • Υπολογισιμότητα στην ανάλυση
  • Προσεγγίσεις στο θέμα της υπολογισιμότητας
  • • Yπερ-υπολογισιμότητα
    • Mηχανές TAE
    • Mηχανές Type 2
    • Mηχανές Type 2-TAE

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Ας υποθέσουμε ότι

μπορούμε και να γράφουμε σε όλες τις ταινίεςmiddot

μπορούμε να υπολογίζουμε σε κάθε βήμα μια εξίσωση της

μορφής 119891(1198861113578 hellip 119886119899) = 119887 (η εξίσωση γράφεται στη ταινία

εξόδου)middot

μπορούμε να αποφασίσουμε πότε έχουμε φτάσει στο τέλος

ενός υπολογισμού

Tότε μιλούμε για μια επέκταση της θεωρίας των μηχανών Type 2

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Ας υποθέσουμε ότι

μπορούμε και να γράφουμε σε όλες τις ταινίεςmiddot

μπορούμε να υπολογίζουμε σε κάθε βήμα μια εξίσωση της

μορφής 119891(1198861113578 hellip 119886119899) = 119887 (η εξίσωση γράφεται στη ταινία

εξόδου)middot

μπορούμε να αποφασίσουμε πότε έχουμε φτάσει στο τέλος

ενός υπολογισμού

Tότε μιλούμε για μια επέκταση της θεωρίας των μηχανών Type 2

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Ας υποθέσουμε ότι

μπορούμε και να γράφουμε σε όλες τις ταινίεςmiddot

μπορούμε να υπολογίζουμε σε κάθε βήμα μια εξίσωση της

μορφής 119891(1198861113578 hellip 119886119899) = 119887 (η εξίσωση γράφεται στη ταινία

εξόδου)middot

μπορούμε να αποφασίσουμε πότε έχουμε φτάσει στο τέλος

ενός υπολογισμού

Tότε μιλούμε για μια επέκταση της θεωρίας των μηχανών Type 2

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Ας υποθέσουμε ότι

μπορούμε και να γράφουμε σε όλες τις ταινίεςmiddot

μπορούμε να υπολογίζουμε σε κάθε βήμα μια εξίσωση της

μορφής 119891(1198861113578 hellip 119886119899) = 119887 (η εξίσωση γράφεται στη ταινία

εξόδου)middot

μπορούμε να αποφασίσουμε πότε έχουμε φτάσει στο τέλος

ενός υπολογισμού

Tότε μιλούμε για μια επέκταση της θεωρίας των μηχανών Type 2

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Απαιτείται

να ορίσουμε αυστηρά τις νέες αυτές νοητικές μηχανέςmiddot

να δούμε ποιούς αριθμούς υπολογίζουν (πόσο ψηλά στην

αριθμητική ιεραρχία laquoπηγαίνουνraquo)middot

και να δείξουμε ότι λύνουν το προβλημα τερματισμού των

μηχανών του Weihrauch

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Απαιτείται

να ορίσουμε αυστηρά τις νέες αυτές νοητικές μηχανέςmiddot

να δούμε ποιούς αριθμούς υπολογίζουν (πόσο ψηλά στην

αριθμητική ιεραρχία laquoπηγαίνουνraquo)middot

και να δείξουμε ότι λύνουν το προβλημα τερματισμού των

μηχανών του Weihrauch

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Απαιτείται

να ορίσουμε αυστηρά τις νέες αυτές νοητικές μηχανέςmiddot

να δούμε ποιούς αριθμούς υπολογίζουν (πόσο ψηλά στην

αριθμητική ιεραρχία laquoπηγαίνουνraquo)middot

και να δείξουμε ότι λύνουν το προβλημα τερματισμού των

μηχανών του Weihrauch

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Απαιτείται

να ορίσουμε αυστηρά τις νέες αυτές νοητικές μηχανέςmiddot

να δούμε ποιούς αριθμούς υπολογίζουν (πόσο ψηλά στην

αριθμητική ιεραρχία laquoπηγαίνουνraquo)middot

και να δείξουμε ότι λύνουν το προβλημα τερματισμού των

μηχανών του Weihrauch

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Τέλος

Ευχαριστώ για την προσοχή σας

• Εισαγωγή
• • Περί υπολογισιμότητας
  • Υπολογισιμότητα στην ανάλυση
  • Προσεγγίσεις στο θέμα της υπολογισιμότητας
  • • Yπερ-υπολογισιμότητα
    • Mηχανές TAE
    • Mηχανές Type 2
    • Mηχανές Type 2-TAE

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Ας υποθέσουμε ότι

μπορούμε και να γράφουμε σε όλες τις ταινίεςmiddot

μπορούμε να υπολογίζουμε σε κάθε βήμα μια εξίσωση της

μορφής 119891(1198861113578 hellip 119886119899) = 119887 (η εξίσωση γράφεται στη ταινία

εξόδου)middot

μπορούμε να αποφασίσουμε πότε έχουμε φτάσει στο τέλος

ενός υπολογισμού

Tότε μιλούμε για μια επέκταση της θεωρίας των μηχανών Type 2

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Ας υποθέσουμε ότι

μπορούμε και να γράφουμε σε όλες τις ταινίεςmiddot

μπορούμε να υπολογίζουμε σε κάθε βήμα μια εξίσωση της

μορφής 119891(1198861113578 hellip 119886119899) = 119887 (η εξίσωση γράφεται στη ταινία

εξόδου)middot

μπορούμε να αποφασίσουμε πότε έχουμε φτάσει στο τέλος

ενός υπολογισμού

Tότε μιλούμε για μια επέκταση της θεωρίας των μηχανών Type 2

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Ας υποθέσουμε ότι

μπορούμε και να γράφουμε σε όλες τις ταινίεςmiddot

μπορούμε να υπολογίζουμε σε κάθε βήμα μια εξίσωση της

μορφής 119891(1198861113578 hellip 119886119899) = 119887 (η εξίσωση γράφεται στη ταινία

εξόδου)middot

μπορούμε να αποφασίσουμε πότε έχουμε φτάσει στο τέλος

ενός υπολογισμού

Tότε μιλούμε για μια επέκταση της θεωρίας των μηχανών Type 2

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Απαιτείται

να ορίσουμε αυστηρά τις νέες αυτές νοητικές μηχανέςmiddot

να δούμε ποιούς αριθμούς υπολογίζουν (πόσο ψηλά στην

αριθμητική ιεραρχία laquoπηγαίνουνraquo)middot

και να δείξουμε ότι λύνουν το προβλημα τερματισμού των

μηχανών του Weihrauch

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Απαιτείται

να ορίσουμε αυστηρά τις νέες αυτές νοητικές μηχανέςmiddot

να δούμε ποιούς αριθμούς υπολογίζουν (πόσο ψηλά στην

αριθμητική ιεραρχία laquoπηγαίνουνraquo)middot

και να δείξουμε ότι λύνουν το προβλημα τερματισμού των

μηχανών του Weihrauch

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Απαιτείται

να ορίσουμε αυστηρά τις νέες αυτές νοητικές μηχανέςmiddot

να δούμε ποιούς αριθμούς υπολογίζουν (πόσο ψηλά στην

αριθμητική ιεραρχία laquoπηγαίνουνraquo)middot

και να δείξουμε ότι λύνουν το προβλημα τερματισμού των

μηχανών του Weihrauch

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Απαιτείται

να ορίσουμε αυστηρά τις νέες αυτές νοητικές μηχανέςmiddot

να δούμε ποιούς αριθμούς υπολογίζουν (πόσο ψηλά στην

αριθμητική ιεραρχία laquoπηγαίνουνraquo)middot

και να δείξουμε ότι λύνουν το προβλημα τερματισμού των

μηχανών του Weihrauch

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Τέλος

Ευχαριστώ για την προσοχή σας

• Εισαγωγή
• • Περί υπολογισιμότητας
  • Υπολογισιμότητα στην ανάλυση
  • Προσεγγίσεις στο θέμα της υπολογισιμότητας
  • • Yπερ-υπολογισιμότητα
    • Mηχανές TAE
    • Mηχανές Type 2
    • Mηχανές Type 2-TAE

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Ας υποθέσουμε ότι

μπορούμε και να γράφουμε σε όλες τις ταινίεςmiddot

μπορούμε να υπολογίζουμε σε κάθε βήμα μια εξίσωση της

μορφής 119891(1198861113578 hellip 119886119899) = 119887 (η εξίσωση γράφεται στη ταινία

εξόδου)middot

μπορούμε να αποφασίσουμε πότε έχουμε φτάσει στο τέλος

ενός υπολογισμού

Tότε μιλούμε για μια επέκταση της θεωρίας των μηχανών Type 2

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Ας υποθέσουμε ότι

μπορούμε και να γράφουμε σε όλες τις ταινίεςmiddot

μπορούμε να υπολογίζουμε σε κάθε βήμα μια εξίσωση της

μορφής 119891(1198861113578 hellip 119886119899) = 119887 (η εξίσωση γράφεται στη ταινία

εξόδου)middot

μπορούμε να αποφασίσουμε πότε έχουμε φτάσει στο τέλος

ενός υπολογισμού

Tότε μιλούμε για μια επέκταση της θεωρίας των μηχανών Type 2

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Απαιτείται

να ορίσουμε αυστηρά τις νέες αυτές νοητικές μηχανέςmiddot

να δούμε ποιούς αριθμούς υπολογίζουν (πόσο ψηλά στην

αριθμητική ιεραρχία laquoπηγαίνουνraquo)middot

και να δείξουμε ότι λύνουν το προβλημα τερματισμού των

μηχανών του Weihrauch

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Απαιτείται

να ορίσουμε αυστηρά τις νέες αυτές νοητικές μηχανέςmiddot

να δούμε ποιούς αριθμούς υπολογίζουν (πόσο ψηλά στην

αριθμητική ιεραρχία laquoπηγαίνουνraquo)middot

και να δείξουμε ότι λύνουν το προβλημα τερματισμού των

μηχανών του Weihrauch

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Απαιτείται

να ορίσουμε αυστηρά τις νέες αυτές νοητικές μηχανέςmiddot

να δούμε ποιούς αριθμούς υπολογίζουν (πόσο ψηλά στην

αριθμητική ιεραρχία laquoπηγαίνουνraquo)middot

και να δείξουμε ότι λύνουν το προβλημα τερματισμού των

μηχανών του Weihrauch

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Απαιτείται

να ορίσουμε αυστηρά τις νέες αυτές νοητικές μηχανέςmiddot

να δούμε ποιούς αριθμούς υπολογίζουν (πόσο ψηλά στην

αριθμητική ιεραρχία laquoπηγαίνουνraquo)middot

και να δείξουμε ότι λύνουν το προβλημα τερματισμού των

μηχανών του Weihrauch

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Τέλος

Ευχαριστώ για την προσοχή σας

• Εισαγωγή
• • Περί υπολογισιμότητας
  • Υπολογισιμότητα στην ανάλυση
  • Προσεγγίσεις στο θέμα της υπολογισιμότητας
  • • Yπερ-υπολογισιμότητα
    • Mηχανές TAE
    • Mηχανές Type 2
    • Mηχανές Type 2-TAE

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Ας υποθέσουμε ότι

μπορούμε και να γράφουμε σε όλες τις ταινίεςmiddot

μπορούμε να υπολογίζουμε σε κάθε βήμα μια εξίσωση της

μορφής 119891(1198861113578 hellip 119886119899) = 119887 (η εξίσωση γράφεται στη ταινία

εξόδου)middot

μπορούμε να αποφασίσουμε πότε έχουμε φτάσει στο τέλος

ενός υπολογισμού

Tότε μιλούμε για μια επέκταση της θεωρίας των μηχανών Type 2

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Απαιτείται

να ορίσουμε αυστηρά τις νέες αυτές νοητικές μηχανέςmiddot

να δούμε ποιούς αριθμούς υπολογίζουν (πόσο ψηλά στην

αριθμητική ιεραρχία laquoπηγαίνουνraquo)middot

και να δείξουμε ότι λύνουν το προβλημα τερματισμού των

μηχανών του Weihrauch

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Απαιτείται

να ορίσουμε αυστηρά τις νέες αυτές νοητικές μηχανέςmiddot

να δούμε ποιούς αριθμούς υπολογίζουν (πόσο ψηλά στην

αριθμητική ιεραρχία laquoπηγαίνουνraquo)middot

και να δείξουμε ότι λύνουν το προβλημα τερματισμού των

μηχανών του Weihrauch

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Απαιτείται

να ορίσουμε αυστηρά τις νέες αυτές νοητικές μηχανέςmiddot

να δούμε ποιούς αριθμούς υπολογίζουν (πόσο ψηλά στην

αριθμητική ιεραρχία laquoπηγαίνουνraquo)middot

και να δείξουμε ότι λύνουν το προβλημα τερματισμού των

μηχανών του Weihrauch

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Απαιτείται

να ορίσουμε αυστηρά τις νέες αυτές νοητικές μηχανέςmiddot

να δούμε ποιούς αριθμούς υπολογίζουν (πόσο ψηλά στην

αριθμητική ιεραρχία laquoπηγαίνουνraquo)middot

και να δείξουμε ότι λύνουν το προβλημα τερματισμού των

μηχανών του Weihrauch

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Τέλος

Ευχαριστώ για την προσοχή σας

• Εισαγωγή
• • Περί υπολογισιμότητας
  • Υπολογισιμότητα στην ανάλυση
  • Προσεγγίσεις στο θέμα της υπολογισιμότητας
  • • Yπερ-υπολογισιμότητα
    • Mηχανές TAE
    • Mηχανές Type 2
    • Mηχανές Type 2-TAE

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Απαιτείται

να ορίσουμε αυστηρά τις νέες αυτές νοητικές μηχανέςmiddot

να δούμε ποιούς αριθμούς υπολογίζουν (πόσο ψηλά στην

αριθμητική ιεραρχία laquoπηγαίνουνraquo)middot

και να δείξουμε ότι λύνουν το προβλημα τερματισμού των

μηχανών του Weihrauch

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Απαιτείται

να ορίσουμε αυστηρά τις νέες αυτές νοητικές μηχανέςmiddot

να δούμε ποιούς αριθμούς υπολογίζουν (πόσο ψηλά στην

αριθμητική ιεραρχία laquoπηγαίνουνraquo)middot

και να δείξουμε ότι λύνουν το προβλημα τερματισμού των

μηχανών του Weihrauch

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Απαιτείται

να ορίσουμε αυστηρά τις νέες αυτές νοητικές μηχανέςmiddot

να δούμε ποιούς αριθμούς υπολογίζουν (πόσο ψηλά στην

αριθμητική ιεραρχία laquoπηγαίνουνraquo)middot

και να δείξουμε ότι λύνουν το προβλημα τερματισμού των

μηχανών του Weihrauch

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Απαιτείται

να ορίσουμε αυστηρά τις νέες αυτές νοητικές μηχανέςmiddot

να δούμε ποιούς αριθμούς υπολογίζουν (πόσο ψηλά στην

αριθμητική ιεραρχία laquoπηγαίνουνraquo)middot

και να δείξουμε ότι λύνουν το προβλημα τερματισμού των

μηχανών του Weihrauch

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Τέλος

Ευχαριστώ για την προσοχή σας

• Εισαγωγή
• • Περί υπολογισιμότητας
  • Υπολογισιμότητα στην ανάλυση
  • Προσεγγίσεις στο θέμα της υπολογισιμότητας
  • • Yπερ-υπολογισιμότητα
    • Mηχανές TAE
    • Mηχανές Type 2
    • Mηχανές Type 2-TAE

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Απαιτείται

να ορίσουμε αυστηρά τις νέες αυτές νοητικές μηχανέςmiddot

να δούμε ποιούς αριθμούς υπολογίζουν (πόσο ψηλά στην

αριθμητική ιεραρχία laquoπηγαίνουνraquo)middot

και να δείξουμε ότι λύνουν το προβλημα τερματισμού των

μηχανών του Weihrauch

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Απαιτείται

να ορίσουμε αυστηρά τις νέες αυτές νοητικές μηχανέςmiddot

να δούμε ποιούς αριθμούς υπολογίζουν (πόσο ψηλά στην

αριθμητική ιεραρχία laquoπηγαίνουνraquo)middot

και να δείξουμε ότι λύνουν το προβλημα τερματισμού των

μηχανών του Weihrauch

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Απαιτείται

να ορίσουμε αυστηρά τις νέες αυτές νοητικές μηχανέςmiddot

να δούμε ποιούς αριθμούς υπολογίζουν (πόσο ψηλά στην

αριθμητική ιεραρχία laquoπηγαίνουνraquo)middot

και να δείξουμε ότι λύνουν το προβλημα τερματισμού των

μηχανών του Weihrauch

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Τέλος

Ευχαριστώ για την προσοχή σας

• Εισαγωγή
• • Περί υπολογισιμότητας
  • Υπολογισιμότητα στην ανάλυση
  • Προσεγγίσεις στο θέμα της υπολογισιμότητας
  • • Yπερ-υπολογισιμότητα
    • Mηχανές TAE
    • Mηχανές Type 2
    • Mηχανές Type 2-TAE

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Απαιτείται

να ορίσουμε αυστηρά τις νέες αυτές νοητικές μηχανέςmiddot

να δούμε ποιούς αριθμούς υπολογίζουν (πόσο ψηλά στην

αριθμητική ιεραρχία laquoπηγαίνουνraquo)middot

και να δείξουμε ότι λύνουν το προβλημα τερματισμού των

μηχανών του Weihrauch

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Απαιτείται

να ορίσουμε αυστηρά τις νέες αυτές νοητικές μηχανέςmiddot

να δούμε ποιούς αριθμούς υπολογίζουν (πόσο ψηλά στην

αριθμητική ιεραρχία laquoπηγαίνουνraquo)middot

και να δείξουμε ότι λύνουν το προβλημα τερματισμού των

μηχανών του Weihrauch

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Τέλος

Ευχαριστώ για την προσοχή σας

• Εισαγωγή
• • Περί υπολογισιμότητας
  • Υπολογισιμότητα στην ανάλυση
  • Προσεγγίσεις στο θέμα της υπολογισιμότητας
  • • Yπερ-υπολογισιμότητα
    • Mηχανές TAE
    • Mηχανές Type 2
    • Mηχανές Type 2-TAE

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Μηχανές Type 2 με χαρακτηριστικά μηχανής ΤΑΕ

Απαιτείται

να ορίσουμε αυστηρά τις νέες αυτές νοητικές μηχανέςmiddot

να δούμε ποιούς αριθμούς υπολογίζουν (πόσο ψηλά στην

αριθμητική ιεραρχία laquoπηγαίνουνraquo)middot

και να δείξουμε ότι λύνουν το προβλημα τερματισμού των

μηχανών του Weihrauch

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Τέλος

Ευχαριστώ για την προσοχή σας

• Εισαγωγή
• • Περί υπολογισιμότητας
  • Υπολογισιμότητα στην ανάλυση
  • Προσεγγίσεις στο θέμα της υπολογισιμότητας
  • • Yπερ-υπολογισιμότητα
    • Mηχανές TAE
    • Mηχανές Type 2
    • Mηχανές Type 2-TAE

Υπερυπολογι-

σιμότητα στην

ανάλυση

Συρόπουλος

Παπαδόπουλος

Εισαγωγή

Περί υπολογισιμότητας

Υπολογισιμότητα στην

ανάλυση

Προσεγγίσεις στο θέμα

της υπολογισιμότητας

Yπερ-

υπολογισι-

μότητα

Mηχανές TAE

Mηχανές Type 2

Mηχανές Type

2-TAE

Τέλος

Ευχαριστώ για την προσοχή σας

• Εισαγωγή
• • Περί υπολογισιμότητας
  • Υπολογισιμότητα στην ανάλυση
  • Προσεγγίσεις στο θέμα της υπολογισιμότητας
  • • Yπερ-υπολογισιμότητα
    • Mηχανές TAE
    • Mηχανές Type 2
    • Mηχανές Type 2-TAE