HYDROSTATIQUE

correction des exercices du cours

I : Pression

Surface des 3 faces : S1 = 1´0,8 = 0,8 m2 ; S2 = 1´0,5 = 0,5 m2 ; S3 = 0,5´0,8 = 0,4 m2

P = F/S avec F = P = mg = rVg = 7800´1´0,8´0,5´9,8 = 3,0576.104 N

P1 = 3,0576.104/0,8 = 3,82.104 Pa P2 = 3,0576.104/0,5 = 6,12.104 Pa P3 = 3,0576.104/0,4 = 7,64.104

Pa

II : Correspondances :

1 atm = 760 mm de Hg = 101325 Pa

1 bar = 105 Pa = 0,9869 atm

45.106 Pa = 450 bar = 450000 mbar = 4,5.105 hPa.

45.106 Pa = 45.106/101325 = 4,4412.102 atm

45.106 Pa = 45.106´76/101325 = 3,3753.104 cm de Hg

1,9 bar = 1,9.105 Pa = 1,875 atm = 1,425.102 cm de Hg

III : tube en U

Les points M et N sont à la même pression car ils sont dans le même liquide (mercure) et dans le mêmeplan horizontal.

PM = P0 + Peau = P0 + rgh

PN = PHg + P0 = r'gh' + P0

d'où :

rgh = r'gh'

rh = r'h'

h' = rh/r'

h' = 10´1/13,6

h' = 0,735 cm

h –h' = 20/2 – 0,735

h – h' = 9,26 cm

2) Les points M et N seront donc au même niveau : au dessus deM, il y aura une hauteur h d'eau, et au-dessus de N une hauteur h"d'alcool. On aura :

rgh = r"gh"

h" = rh/r"

h" = 10´1/0,8

h" = 12,5 cm

Le volume versé sera :

V = h"´S = 12,5´2

V = 25 cm3

IV :

La force F2 crée une surpression P qui se transmet dans tousle liquide. On a donc :

P = F2/S2

P = F1/S1

d'où :

F1 = F2´S1/S2

F1= 200´90/10

F1 = 1800 N

V : Pression dans deux récipients.

Pour les pression, on a les mêmes valeurs dans les deux récipients, car la pression ne dépend que de lahauteur de liquide.

En 1 : P1 = P0 = 105 Pa

En 2 : P2 = rgh1 + P0

P2 = 800´0,5´10 + 105 Pa

P2 = 1,04 105 Pa

En 3 : P3 = rg(h1 + h2) + P0

P2 = 800´0,8´10 + 105 Pa

P2 = 1,064 105 Pa

b) La pression atmosphérique n'intervient pas :

P1' = 0 Pa

P2' = 4000 Pa

P3' = 6400 Pa

c) Les forces sont perpendiculaires aux surfaces des récipients et dirigées vers l'extérieur.

F = P3'´S = 6400´p(200.10-3)2/4 = 201 N

VI : Poussée sur un barrage.

F = rglH2/2 = 1000*9,8*120*502/2

F = 1,47.109 N

d = (2/3)H = (2/3)50

d = 33 m

VII : Pression d'une hauteur d'eau.

P = rgh

h = p/rg = 1,013.5/1000´9,81 = 10,3 m

p1 = 1,013.105/103 = 98,35 Pa

VIII : Archimède

Poussée d'Archimède = poids du volume d'eau déplacée= (7465 – 6998)´g = 467´g

Masse de l'eau déplacée = 467 g

Volume de l'eau déplacée = m./r = 467 cm3 = volume de la couronne

Masse volumique de la couronne : r = m/V = 7465/467 = 15,9 g.cm-3

Elle est plus petite que celle de l'or : elle n'est pas en or pur.

Masse m de la couronne = masse m1 de l'or + masse m2 d'argent.

m = v1.r1 + v2.r2

Volume v de la couronne = volume v1 de l'or + volume v2 de l'argent

v = v1 + v2

v2= v – v1

m = v1.r1 + (v – v1).r2 = v1.r1 – v1.r2 + v.r2 = v1(r1 - r2) + v.r2

v1 = (m – v.r2)/(r1 - r2)

v1 = (7465 – 467.10,5)/(19,3 – 10,5) = 2561,5/8,8 = 291 cm3

m1 = 291´19,6 = 5618 g

v1= 291 cm3 m1 = 5618 g

v2 = v – v1 = 467 – 291 = 176 cm3

m2 = m – m1= 7465 – 5618 = 1847 g

v2= 176 cm3 m2 = 1847 g

IX : Glaçon.

Quand un solide flotte c'est que Poussée = poids

Poussée = poids du volume d'eau déplacée = reau.V.g

le volume V de l'eau déplacée est égal au volume immergé.

Poids du glaçon = m.g = rg.Vg.g

reau.V.g = rg.Vg.g

V = rg.Vg/reau

V = 0,92.500/1 = 460 cm3

V = 460 cm3

Pourcentage = 460.100/500 = 92 %

Correction des exercices :

I : aire : S = 6 m2.

F = P.S = 50*6

F = 300 N

II : hauteur du liquide h = V/S = 2000/10 = 200 cm = 2 m

En un point du liquide, la pression P vaut : P = P0 + Peau + Ppiston

Peau = h'rg = 1´1000´10 = 104 Pa = 0,1.105 Pa

Ppiston = F/S = mg/S = 2´10/10-4 = 2.105 Pa

P = 105 + 0,1.105 +2,1.105 = 3,1.105 Pa

P = 3,1.105 Pa

Pression effective : comme de l'autre coté du fond s'exerce la pression atmosphérique, on a :

Peff = Peau + Ppiston = hrg + mg/S = 2´1000´10 + 2.105

Peff = 2,2.105 Pa

F = Peff.S = 2,2.105´10-4

F = 22 N

III : Les points M et N sont à la même pression car ils sont dans le même liquide (mercure) et dans lemême plan horizontal.

PM = P0 + Peau = P0 + rgh

PN = PHg + Palcool + P0 = r"gh" + r'gh' + P0

d'où :

rgh = r"gh" + r'gh'

rh = r"h" + r'h' (1)

h = h' + h"

h' = h – h" (2)

Portons cette valeur dans (&) :

rh = r"h" + r'(h – h")

rh = r"h" + r'h – r'h"

h(r - r') = h"(r" - r')

h = h"(r" - r')/(r - r')

Application numérique :

h = 0,5(13,6 – 0,8)/(1 – 0,8) = 0,5´12,8/0,2

h = 32 cm

de (2) : h' = 32 –0,5

h' = 31,5 cm

IV : Pour que la plaque reste collée, il faut que la somme des forces appliquées vers le haut soit plusgrande que la somme de celles appliquées vers le bas. A la limite, il faut qu'elles soient égales.

Forces vers le haut : force due à la pression atmosphérique + force due à la profondeur d'immersion h

Forces vers le bas : force due à la pression atmosphérique + poids de la plaque.

mg = rgh´S

h = m/rS

h = 30.10-3/103´10-3 = 3.10-2 m

h = 3 cm

V : Manomètre :

a) h1r1g + p = h2r2g + p

h1r1 = h2r2

b) h'1 = h1 - DH + Dh

h'2 = h2 + DH + Dh

Comme S.DH = s.Dh

DH = Dh.s/S

h'1 = h1 - Dh.s/S + Dh

h'1 = h1 + Dh(1 – s/S)

De la même façon, on trouve :

h'2 = h2 + Dh(1 + s/S)

On a ici :

h'1r1g + p + Dp = h'2r2g

[h1 + Dh(1 – s/S)]r1g + Dp = [h2 + Dh(1 + s/S)]r2g

Comme h1r1g = h2r2g

il nous reste :

Dh(1 – s/S)r1g + Dp = Dh(1 + s/S)r2g

Dp = Dh(1 + s/S)r2g - Dh(1 – s/S)r1g

Dp = Dh.g[(1 + s/S)r2 - (1 – s/S)r1]

Dh = Dp/g[(1 + s/S)r2 - Dh(1 – s/S)r1]

Dh = Dp/g(1,01.r1 – 0,99.r2)

Dh = 10/10(1,01.1022 – 0,99.998)

Dh = 2,26 cm

c) 10 Pa correspondent à 2,26 cm

x Pa correspond à 0,1 cm.

ce qui fait :

x = 10´0,1/2,26

x= 0,44 Pa

VI : Presse hydraulique :

Théorème de Pascal : toute variation de pression en un point d'un liquide entraîne la même variation entous ses points.

Voir cours paragraphe VI.

Si on entre une petite force, on récupère une grande force. La force d'entrée est exercée du coté du petitpiston.

Les deux volumes déplacés dans les deux récipients sont égaux :

h.s = H.S ou S/s = h/H

Si F/f = 100 = S/s = h/H

h = 100 H

Si H = 1 cm, h = 100 cm

VII : En 1, en amont : P0 en aval : P0 P1eff = 0

En 2 : en amont : P0 + (z2 – z1)rg en aval : P0 P2eff = (z2 – z1)rg = 3,5´1000´10 =3,5.104 Pa

En 3 : en amont : P0 + z2rg en aval : P0 + z1g P3eff = (z2 – z1)rg = 3,5.104 Pa

Pour la poussée :

3) Sur une bande horizontale de longueur l (longueur de la vanne) et de hauteur dz, située à une côte z, ils'exerce une force d'intensité dF qui vaut :

df = Peff.dS

Entre le point 1 et le point 2, la pression augmente petit à petit de 0 à 3,5.104 Pa. On a :

df = (z2 – z)rgldz

f1 = 1000´10´1,5´3,52/2

f1 = 9,19.104 N

Entre le point 2 et le point 3, la pression reste constante, on a :

f2 = P2eff.S = P2eff.l.z1

f2 = 3,5.104´1,5´1,5

f2 = 7,88.104 N

La poussée sur toute la vanne vaut donc :

F = f1 +f2

F = 1,71.105N

Le centre de poussée pour la partie entre les points 1 et 2 est situé à une profondeur :

d1 = (2/3)(z2 – z1) = 2´3,5/3

d1 = 2,33 m

Le centre de poussée pour la partie entre les points 2 et 3 est situé à une profondeur :

d1 = z1/2 = 1,5/2

d1 = 0,75 m

Pour trouver la profondeur d du centre de poussée sur toute la vanne :

Moment de F = Moment de f1 + Moment de f2

F´d = f1´d1 + f2´d2

d = (f1´d1 + f2´d2)/F

d = (9,19.104´2,33 + 7,88.104´0,75)/1,71.105 = (2,14 +0,59)/1,71

d = 1,6 m

VIII : Résultante des forces de pression sur le fond = pression effective sur le fond*surface du fond.

pf = r(h1 + h2)g

Ff = r(h1 + h2)g´BC´CH

Ff = 1000*4,5*10*4*2,5

Ff = 4,5.105 N

Résultante des forces de pression sur le hautADFG = pression effective sur le haut*surface du fond.

Fh = rgh1´AD´FD

Fh = 1000´10´3´4´2,5

Fh= 3.105 N

Résultante des forces de pression sur une face latérale = pression effective au centre de gravité de la face*surface de cette paroi.

pl = r(h1 + h2/2)g = 1000´3,75´10 = 3,75.104 Pa

Sur ABCD ou GHIF:

F1 = pl*AB*BC = 3,75.104*1,5*4

F1 = 2,25.105Pa

Sur ABGI ou DCHF :

F2 = pl*AB*CH = 3,75.104*1,5*2,5

F2 = 1,41.105 Pa

IX : Débourbeur.

1) Hauteur d’eau : he = 110.10-3/0,32 = 0,34375 m

Hauteur d’hydrocarbures : hh = 1,5.10-3/0,32 = 4,7.10-3 = 0,0047 m

Volume de la boue : VB = 160 – 111,5 = 48,5 L

Hauteur de boue : hb = 48,5.10-3/0,32 = 0,1515 m

Pression P sur le fond :

P = (re.he + re.dh.hh + re.db.hb)g = (1000*0,34375 + 1000*0,85*0,0047 + 1000*1,8*0,15469)10

P = (343,75 + 2,73 + 278,44)10 = 6250 N

P = 6205 N

2) Masse volumique du mélange : rm = m/Vt = (me + mh)/(Ve + Vh)

rm = (re.Ve + rh.Vh)/(Ve + Vh)

On a donc pour la densité d du mélange : d = (de.Ve + dh.Vh)/(Ve + Vh)

d = (1.110 + 0,85.1,5)/111,5 = 0,998

d = 0,998

3) Les points B et C sont à la même pression car ils sont dans le même liquide (mélange) et dans le mêmeplan horizontal.

Pression due aux hydrocarbures purs en B : p = rh.hB.g

Pression due à l'eau en C : p = re.hc.g

re.hc = rh.hB

hB = de.hc/dh = 1.0,36/0,85

hB = 0,423 m

4) poussée pA d’Archimède sur le flotteur = son poids Pf

pA = rh.(4pR3/6)g

Pf = mg

R3 = 6m/4prh = 2,8.10-5

R = 3,04.10-2 m

R = 3 cm

X : Citerne à fioul.

1) La citerne étant immergée, elle subit la poussée d’Archimède et donc elle pourrait se mettre à flotter.

2-a) Volume de la partie centrale cylindrique : V1 = pR2.(L – 2R) = p.0,632.(2,05 – 1,26)

V1 = 0,985 m3

Volume des deux extrémités hémisphériques : V2 = (4/3)pR3 = (4/3)p0,633

V2= 1,047 m3

Volume extérieur de la citerne :

V = 2,032 m3

2-b) Poussée d’Archimède = poids du volume d’eau déplacée

P = reau.V.g = 1000.2,032.10

P = 2,032.104 N

2-c) Poids de la citerne à moitié pleine :

PC = (mC +mf)g = (150 + 1.840)10

PC = 9,9.103 N

Résultante des forces qui s’exercent sur la citerne F’ = P - PC

C’est une force vers le haut.

F’ = 1,042.104 N

Un point d’ancrage supporte donc la force :

F = F’/4

F = 2,6.103 N

XI : Immersion d'un caisson.

1) Surface totale de la face d'entrée S = 7,5*10 = 75 m2

Surface de la cavité : s = 6,5*9 = 58,5 m2

Surface du béton de la face d'entrée DS = S – s = 16,5 m2.

Volume total du béton constituant un caisson V = l.DS = 16,5*32 = 528 m3

Masse d'un caisson M = rb*V = 2500*528

M = 1,32.106 kg = 1320 t

2) Le poids total du caisson vaut :

m. = 1320 + 2*90 = 1500 t

S'il flotte, c'est que son poids est plus petit que la poussée d'Archimède qu'il reçoit quand il est totalementimmergé.

Son poids est égal à :

P = 1500.103.10 = 1,5.107 N

La poussée d'Archimède quand il est tota1ement immergée est égale au poids du volume total d'eaudéplacée :

p = re.V.g = re.L.h.l.g = 103*7,5.32.10.10

p = 2,4.107 N

Il flottera donc puisque p>P.

La poussée qu'il reçoit, quand il flotte, sera éga1 à son poids.

Si h' est la. hauteur immergée, on aura :

re.L.h'.l = P

h' = P/(re.L.l)

h' = 1,5.107/103.32.10

h' = 4,7 m

La hauteur émergée h" vaudra donc: :

h" = h - h.

h" = 2,8 m

3) Sur la face supérieure, à l'extérieur du caisson, on a la pression du liquide et la pression atmosphériqueet à l'intérieur, on a la pression atmosphérique . La force pressante est donc égale à celle du liquide :

F1 = H.re.g;S

F1 = l0.l03.l0.10.32

F1 = 3,2.107 N

Sur un coté vertical, la force sera égale à la pression au centre de gravité multipliée par la surface :

F2 = re.g.(H + h/2 ).L.h

F2 = l03.l0.(l0 + 7,5/2).32.7,5

F2 = 3,3.l07 N

Pour la face inférieure, si elle baigne dans l'eau :

F3 = (H + h).re.g.S = 17,5.103.10.10.32

F3 = 5,6.l07 N

Ce n'est pas la véritable solution car F3 e st dirigée vers le haut et F1 est dirigée vers le bas (les forces surles cotés s'annulent), la résultante est une force dirigée vers le haut et valant :

F3 – F1 = 2,4.107 N : c'est la poussée d'Archimède et l e caisson flotterait puisqu'elle est plus grande que lepoids du caisson.

Donc la face inférieure repose sur le sol et n'est pas baignée par le liquide. La. force pressante qu'elle subitest donc la réaction du sol qui s'oppose aux deux forces, le poids du caisson et la force exercée par l'eausur la face supérieure :

F3 = 3,2.l07 + 1,32.107

F3 = 4,52.107 N

XI : carburateur.

Sur le flotteur, la poussée d'Archimède p équilibre son poids P.

p = P

r.g.h.S = mg

h = m/rS

h = 15/(0,710.p.52/4)

h = 1,07 cm

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