holt geometría - on.mac-eg.com · pdf file3 x+ 9 = 6 9 = 3x x = 3 m ... la...

Holt Geometría

Resumen y repaso

Copyright © by Holt, Rinehart and Winston

All rights reserved. No part of this publication may be reproduced or transmitted in any form or by any means, electronic or mechanical, including photocopy, recording, or any information storage and retrieval system, without permission in writing from the publisher.

Teachers using GEOMETRY may photocopy complete pages in sufficient quantities for classroom use only and not for resale.

HOLT and the “Owl Design” are trademarks licensed to Holt, Rinehart and Winston, registered in the United States of America and/or other jurisdictions.

Printed in the United States of America

If you have received these materials as examination copies free of charge, Holt, Rinehart and Winston retains title to the materials and they may not be resold. Resale of examination copies is strictly prohibited.

Possession of this publication in print format does not entitle users to convert this publication, or any portion of it, into electronic format.

ISBN 0-03-041209-9

1 2 3 4 5 862 10 09 08 07 06

CAPÍTULO 1 Fundamentos de geometría Guía de estudio: Repaso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1

CAPÍTULO 2 Razonamiento geométrico Guía de estudio: Repaso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5

CAPÍTULO 3 Líneas paralelas y perpendiculares Guía de estudio: Repaso . . . . . . . . . . . . . . . . . .9

CAPÍTULO 4 Congruencia de los triángulos Guía de estudio: Repaso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13

CAPÍTULO 5 Propiedades y atributos de los triángulos Guía de estudio: Repaso . . . . . . . .17

CAPÍTULO 6 Polígonos y cuadriláteros Guía de estudio: Repaso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .21

CAPÍTULO 7 Semejanza Guía de estudio: Repaso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .25

CAPÍTULO 8 Trigonometría y triángulos rectángulos Guía de estudio: Repaso . . . . . . .29

CAPÍTULO 9 Cómo extender el perímetro, la circunferencia y el área Guía de estudio: Repaso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .33

CAPÍTULO 10 Razonamiento espacial Guía de estudio: Repaso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .37

CAPÍTULO 11 Círculos Guía de estudio: Repaso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .41

CAPÍTULO 12 Cómo extender la geometría transformacional Guía de estudio: Repaso . . .45

CONTENIDOS

Copyright © by Holt, Rinehart and Winston. iii Holt GeometríaAll rights reserved.

Capítulo 1 Fundamentos de geometría 1

altura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

ángulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

ángulo agudo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

ángulo llano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

ángulo obtuso . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

ángulo recto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

ángulos adyacentes . . . . . . . . . . . . 28

ángulos complementarios . . . . . . 29

ángulos congruentes . . . . . . . . . . . 22

ángulos opuestos por el vértice . 30

ángulos suplementarios . . . . . . . . 29

área . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

formar una bisectriz . . . . . . . . . . . 15

bisectriz de un ángulo . . . . . . . . . . 23

cateto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

circunferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

colineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

construcción . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

coordenada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

coplanario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

diámetro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

distancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

entre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

exterior de un ángulo . . . . . . . . . . 20

extremo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

hipotenusa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

imagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

imagen original . . . . . . . . . . . . . . . . 50

interior de un ángulo . . . . . . . . . . 20

línea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

longitud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

mediatriz de segmento . . . . . . . . . 16

medida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

par lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

perímetro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

pi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

plano cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . 43

postulado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

punto medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

radio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

rayo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

rayos opuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

reflexión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

rotación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

segmento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

segmentos congruentes . . . . . . . . . 7

término indefinido . . . . . . . . . . . . . 6

transformación . . . . . . . . . . . . . . . . 50

traslación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

vértice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

Completa los enunciados con las palabras del vocabulario.

1. Un(a) −−−−−−

? divide un ángulo en dos ángulos congruentes.

2. Los −−−−−−

? son dos ángulos cuyas medidas suman 90°.

3. La longitud del lado más largo de un triángulo rectángulo se llama −−−−−−

? .

Identifica cada uno de los siguientes.

4. cuatro puntos coplanarios

5. línea que contiene a B y C

6. plano que contiene a A, G y E

■ Identifica el extremo común de �� SR y

�� ST .

�� SR y �� ST son rayos opuestos con un extremo

común S.

1-1 Cómo comprender puntos, líneas y planos (págs. 6–11)

EJERCICIOSE J E M P L O S

Vocabulario

■ Traza y rotula tres líneas coplanarias que se intersequen en un punto.

Traza y rotula cada uno de los siguientes.

7. línea que contenga a P y Q

8. par de rayos opuestos que contengan a C

9. � �� CD que interseque el plano P en B

16. Clasifica cada ángulo como agudo, recto u obtuso.

17. m∠HJL = 116°. Halla m∠HJK.

18. �� NP forma una bisectriz con ∠MNQ, m∠MNP = (6x - 12) ° y m∠PNQ = (4x + 8) °. Halla m∠MNQ.

■ Clasifica cada ángulo como agudo, recto u obtuso.

∠ABC agudo; ∠CBD agudo;∠ABD obtuso;∠DBE agudo;∠CBE obtuso

■ −

KM forma una bisectriz con ∠JKL, m∠JKM = (3x + 4) ° y m∠MKL = (6x - 5) °. Halla m∠JKL.

3x + 4 = 6x - 5 Def. de bisectriz de un ∠Suma 5 a ambos lados.Resta 3x de ambos lados.Divide ambos lados entre 3.

3x + 9 = 6x 9 = 3x

x = 3

m∠JKL = 3x + 4 + 6x - 5= 9x -1= 9 (3) - 1 = 26°

1-3 Cómo medir y construir ángulos (págs. 20–27)


Halla cada longitud.

10. JL 11. HK

12. Y está entre X y Z, XY = 13.8 y XZ = 21.4. Halla YZ.

13. Q está entre P y R. Halla PR.

14. U es el punto medio de −

TV , TU = 3x + 4 y UV = 5x - 2. Halla TU, UV y TV.

15. E es el punto medio de −

DF , DE = 9x y EF = 4x + 10. Halla DE, EF y DF.

■ Halla la longitud de −

XY .

XY = ⎪-2 - 1⎥ = ⎪-3⎥ = 3

■ S está entre R y T. Halla RT.

RT = RS + ST 3x + 2 = 5x - 6 + 2x 3x + 2 = 7x - 6 x = 2

RT = 3 (2) + 2 = 8

1-2 Cómo medir y construir segmentos (págs. 13–19)


2 Guía de estudio: Repaso

Capítulo 1 Fundamentos de geometría 3

Indica si los ángulos son sólo adyacentes, adyacentes y forman un par lineal o no adyacentes.

19. ∠1 y ∠2

20. ∠3 y ∠4

21. ∠2 y ∠5

Halla la medida del complemento y suplemento de cada ángulo.

22. 23.

24. Un ángulo mide 5 grados más que su complemento multiplicado por 4. Halla la medida del ángulo.

■ Indica si los ángulos son sólo adyacentes, adyacentes y forman un par lineal o no adyacentes.

∠1 y ∠2 son sólo adyacentes.

∠2 y ∠4 no son adyacentes.

∠2 y ∠3 son adyacentes y forman un par lineal.

∠1 y ∠4 son adyacentes y forman un par lineal.

■ Halla la medida del complemento y suplemento de cada ángulo.

90 - 67.3 = 22.7°

180 - 67.3 = 112.7°

90 - (3x - 8) = (98 - 3x) °

180 - (3x - 8) = (188 - 3x) °

EJERCICIOS

1-4 Pares de ángulos (págs. 28–33)

E J E M P L O S

Halla el perímetro y el área de cada figura.

25. 26.

27. 28.

Halla la circunferencia y el área de cada círculo a la décima más cercana.

29. 30.

31. El área de un triángulo es 102 m 2 . La base del triángulo es 17 m. ¿Cuál es la altura del triángulo?

■ Halla el perímetro y el área del triángulo.

P = 2x + 3x + 5 + 10 = 5x + 15

A = 1 _ 2

(3x + 5) (2x)

= 3 x 2 + 5x

■ Halla la circunferencia y el área del círculo a la décima más cercana.

C = 2π r = 2π (11) = 22π ≈ 69.1 cm

A = π r 2 = π (11) 2 = 121π ≈ 380.1 cm 2

1-5 Cómo usar fórmulas en geometría (págs. 36–41)



Y es el punto medio de −

AB . Halla las coordenadas que faltan de cada punto.

32. A (3, 2

) ; B

(-1, 4

) ; Y

(,

)

33. A (5, 0

) ; B

(,

) ; Y

(-2, 3

)

34. A (

, ) ; B

(-4, 4

) ; Y

(-2, 3

)

Usa la fórmula de distancia y el teorema de Pitágoras para hallar la distancia entre cada par de puntos a la décima más cercana.

35. X (-2, 4

) y Y

(6, 1

)

36. H (0, 3

) y K

(-2, -4

)

37. L (-4, 2

) y M

(3, -2

)

■ X es el punto medio de −

CD . C tiene las coordenadas (-4, 1) , y X tiene las coordenadas (3, -2) . Halla las coordenadas de D.

(3, -2) = (

-4 + x _ 2

, 1 + y

_ 2

)

3 = -4 + x _ 2

-2 = 1 + y

_ 2

6 = -4 + x -4 = 1 + y

10 = x -5 = y

Las coordenadas de D son (10, -5

) .

■ Usa la fórmula de distancia y el teorema de Pitágoras para hallar la distancia, a la décima más cercana, desde (1, 6) hasta (4, 2) .

d = √

4 - (1) 2 + 2 - (6) 2 c2 = a 2 + b 2

= √

3 2 + (-4) 2 = 3 2 + 4 2

= √

9 + 16 = 9 + 16 = 25

= √

25 c = √

25

= 5.0 = 5.0

1-6 El punto medio y la distancia en el plano cartesiano (págs. 43–49)


Identifica cada transformación. Luego, usa la notación de flecha para describir la transformación.

38.

39.

40. Las coordenadas de los vértices de �XYZ son X

(-5, -4

) , Y

(-3, -1

) y Z

(-2, -2

) . Halla las

coordenadas de la imagen de �XYZ después de la traslación

(

x, y)

→ (

x + 4, y + 5)

.

■ Identifica la transformación. Luego, usa la notación de flecha para describir la transformación.

La transformación es una reflexión. �ABC → �A′B′C′

■ Las coordenadas de los vértices del rectángulo HJKL son H (2, -1) , J (5, -1) , K (5, -3) y L (2, -3) . Halla las coordenadas de la imagen del rectángulo HJKL después de la traslación (x, y) → (x - 4, y + 1) .

H′ = (2 - 4, -1 + 1

) = H′

(-2, 0

)

J′ = (5 - 4, -1 + 1

) = J′

(1, 0

)

K′ = (5 - 4, -3 + 1

) = K′

(1, -2

)

L′ = (2 - 4, -3 + 1

) = L′

(-2, -2

)

1-7 Transformaciones en el plano cartesiano (págs. 50–55)


Capítulo 2 Razonamiento geométrico 5


1. Un enunciado que puedes demostrar y luego usar como una razón en demostraciones posteriores es un(a)

−−−

? .

2. El/la −−−

? es el proceso en el que se usa la lógica para sacar conclusiones a partir de hechos, definiciones y propiedades dados.

3. Un(a) −−−

? es un caso en el que una conjetura no es verdadera.

4. Un enunciado que crees verdadero basándote en el razonamiento inductivo se llama −− −

? .

Haz una conjetura sobre cada patrón. Escribe los próximos dos elementos.

5.

6. 1 _ 6

, 1 _ 3

, 1 _ 2

, 2 _ 3

, … 7.

Completa cada conjetura.

8. La suma de un número par y un número impar es −−−

? .

9. El cuadrado de un número natural es −−−

? .

Determina si cada conjetura es verdadera. Si no lo es, escribe o dibuja un contraejemplo.

10. Todos los números cabales son números naturales.

11. Si C es el punto medio de −−

AB , entonces −−

AC � −−

BC .

12. Si 2x + 3 = 15, entonces x = 6.

13. Febrero tiene 28 días.

14. Traza un triángulo. Construye las bisectrices de cada ángulo del triángulo. Haz una conjetura sobre dónde se intersecan las bisectrices de los tres ángulos.

■ Halla el próximo elemento en el siguiente patrón.

El cuadrado rojo se mueve en dirección contraria a las manecillas del reloj. La próxima figura es .

■ Completa la conjetura “La suma de dos números impares es

−−−

? ” .

Anota algunos ejemplos y busca un patrón. 1 + 1 = 2 3 + 5 = 8 7 + 11 = 18

La suma de dos números impares es un número par.

■ Halla un contraejemplo para demostrar que la conjetura “Para todos los números enteros distintos de cero, -x < x” es falsa.

Elige valores positivos y negativos para x y sustituye para ver si la conjetura se cumple.

Sea n = 3. Como -3 < 3, la conjetura se cumple.

Sea n = -5. Como - (-5) es 5 y 5 ≮ -5,

la conjetura es falsa.

n = -5 es un contraejemplo.

2-1 Cómo usar el razonamiento inductivo para hacer conjeturas (págs. 74–79)


conclusión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

conjetura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

contraejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

contrarrecíproco . . . . . . . . . . . . . . . 83

cuadrilátero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

definición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

demostración . . . . . . . . . . . . . . . . 104

demostración de dos columnas 111

demostración en párrafo . . . . . . 120

demostración en diagrama de flujo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

enunciado bicondicional . . . . . . . 96

enunciado condicional . . . . . . . . . 81

enunciados lógicamente equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . 83

hipótesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

inverso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

negación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

polígono . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

razonamiento deductivo . . . . . . . 88

razonamiento inductivo . . . . . . . . 74

recíproco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

triángulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

valor de verdad . . . . . . . . . . . . . . . . 82

Vocabulario

Escribe un enunciado condicional a partir de cada diagrama de Venn.

15. 16.

Determina si cada condicional es verdadero. Si es falso, da un contraejemplo.

17. Si dos ángulos son adyacentes, entonces tienen un rayo común.

18. Si multiplicas dos números irracionales, el producto es irracional.

Escribe el recíproco, el inverso y el contrarrecíproco de cada enunciado condicional. Halla el valor de verdad de cada uno.

19. Si ∠X es un ángulo recto, entonces m∠X = 90°.

20. Si x es un número cabal, entonces x = 2.

■ Escribe un enunciado condicional a partir de la oración “Un rectángulo tiene diagonales congruentes”.

Si una figura es un rectángulo, entonces tiene diagonales congruentes.

■ Escribe el inverso, el recíproco y el contrarrecíproco del enunciado condicional “Si m∠1 = 35°, entonces ∠1 es agudo”. Halla el valor de verdad de cada uno.

Recíproco: Si ∠1 es agudo, entonces m∠1 = 35°.No todos los ángulos agudos miden 35°, por lo tanto, esto es falso.

Inverso: Si m∠1 ≠ 35°, entonces ∠1 no es agudo. Se puede trazar un ángulo agudo que no mida 35°, por lo tanto, esto es falso.

Contrarrecíproco: Si ∠1 no es agudo, entonces m∠1 ≠ 35°. Un ángulo que mide 35° debe ser agudo. Por lo tanto, este enunciado es verdadero.

2-2 Enunciados condicionales (págs. 81–87)


Usa los siguientes enunciados verdaderos para determinar si cada conclusión es verdadera o falsa.

Sue es miembro del equipo de natación. Cuando el equipo practica, Sue nada. El equipo empieza la práctica cuando abre la piscina. La piscina abre a las 8 am durante los días de semana y a las 12 del mediodía los sábados.

21. El equipo de natación practica sólo los días de semana.

22. Sue nada los sábados.

23. La práctica del equipo de natación empieza a la misma hora todos los días.

Usa la siguiente información para los Ejercicios del 24 al 26.

La expresión 2.15 + 0.07x da el costo de una llamada telefónica de larga distancia, donde x es la cantidad de minutos luego del primer minuto.

Si es posible, saca una conclusión a partir de la información dada. Si no es posible, explica por qué.

24. El costo de la llamada de larga distancia de Sara es $2.57.

25. Paulo hace una llamada de larga distancia que dura diez minutos.

26. La factura mensual de las llamadas de larga distancia de Asa es $19.05.

■ Determina si la conjetura es válida según la regla de separación o la ley del silogismo.

Dado: Si 5c = 8y, entonces 2w = -15. If 5c = 8y, entonces x = 17.

Conjetura: Si 2w = -15, entonces x = 17.

Sea p 5c = 8y, sea q 2w = -15 y sea r x = 17.

Usando símbolos, la información dada se escribe como p → q y p → r. No se pueden aplicar la regla de separación ni la ley del silogismo. La conjetura no es válida.

■ Saca una conclusión a partir de la información dada.

Datos conocidos: Si hay dos puntos distintos, entonces hay una línea que los atraviesa. A y B son puntos distintos.

Sea p la hipótesis: dos puntos son distintos.

Sea q la conclusión: hay una línea que atraviesa los puntos.

El enunciado “A y B son puntos distintos” coincide con la hipótesis, por lo tanto, se puede concluir que hay una línea que atraviesa A y B.

2-3 Cómo usar el razonamiento deductivo para verificar conjeturas (págs. 88–93)



Capítulo 2 Razonamiento geométrico 7

Determina si es posible escribir un bicondicional verdadero a partir de cada enunciado condicional. Si no es posible, da un contraejemplo.

27. Si 3 - 2x _ 5

= 2, entonces x = 5 _ 2

.

28. Si x < 0, entonces el valor de x 4 es positivo.

29. Si un segmento tiene extremos en (1, 5

) y

(-3, 1

) ,

tentonces el punto medio es (-1, 3

) .

30. Si la medida de un ángulo de un triángulo es 90°, entonces el triángulo es un triángulo rectángulo.

Completa cada enunciado para formar un bicondicional verdadero.

31. Dos ángulos son −−−

? si y sólo si la suma de sus medidas es 90°.

32. x 3 >0 si y sólo si x es −−−

? .

33. Trey puede viajar 100 millas en menos de 2 horas si y sólo si su velocidad promedio es

−−−

? .

34. El área de un cuadrado es igual a s 2 si y sólo si el perímetro del cuadrado es

−−−

? .

■ Para el condicional “Si un número es divisible entre 10, entonces termina en 0”, escribe el recíproco y un enunciado bicondicional.

Recíproco: Si un número termina en 0, entonces es divisible entre 10.

Bicondicional: Un número es divisible entre 10 si y sólo si termina en 0.

■ Determina si el bicondicional “Los lados de un triángulo miden 3, 7 y 15 si y sólo si el perímetro es 25” es verdadero. Si es falso, da un contraejemplo.

Condicional: Si los lados de un triángulo miden 3, 7 y 15, entonces el perímetro es 25. Verdadero.

Recíproco: Si el perímetro de un triángulo es 25, entonces sus lados miden 3, 7 y 15. Falso; un triángulo con lados con longitudes 6, 10 y 9 también tiene un perímetro de 25.

Por lo tanto, el bicondicional es falso.

2-4 Enunciados bicondicionales y definiciones (págs. 96–101)


Resuelve cada ecuación. Escribe una justificación para cada paso.

35. m _ -5

+ 3 = -4.5 36. -47 = 3x - 59

Identifica la propiedad que justifica cada enunciado.

37. a + b = a + b

38. Si ∠RST � ∠ABC, entonces ∠ABC � ∠RST.

39. 2x = 9 y y = 9. Por lo tanto, 2x = y.

Usa la propiedad indicada para completar cada enunciado.

40. Prop. reflex. de �: figura ABCD �

−−−

?

41. Prop. sim. de =: Si m∠2 = m∠5, entonces −−−

? .

42. Prop. trans. de �: Si −−

AB � −−

CD y −−

AB � −−

EF , entonces

−−−

? .

43. Kim pidió dinero prestado a una tasa de interés anual del 6% para comprar un automóvil. ¿Cuánto pidió prestado si pagó $4200 de interés durante el periodo de 4 años del préstamo? Resuelve la ecuación I = Cit para P y justifica cada paso.

■ Resuelve la ecuación 5x - 3 = -18. Escribe una justificación para cada paso.

5x - 3 = -18 Datos conocidos

−−−−−

+ 3 −−−

+ 3 Prop.de la suma de =

5x = -15 Simplifica.

5x _5

= -15 _ 5

Prop. de la div. de =

x = -3 Simplifica.

■ Escribe una justificación para cada paso.

RS = ST Datos conocidos

5x - 18 = 4x Prop. de la resta de = x - 18 = 0 Prop. de la resta de = x = 18 Prop. de la suma de =

Identifica la propiedad que justifica cada enunciado.

■ ∠X � ∠2, por lo tanto, ∠2 � ∠X.

Propiedad simétrica de la congruencia

■ Si m∠2 = 180° y m∠3 = 180°, entonces m∠2 = m∠3.

Propiedad transitiva de la igualdad

2-5 Demostración algebraica (págs. 104–109)



44. Escribe una justificación para cada paso, dado que ∠1 y ∠2 son complementarios y ∠1 � ∠3.1. ∠1 y ∠2 compl. 2. m∠1 + m∠2 = 90°3. ∠1 � ∠34. m∠1 = m∠35. m∠3 + m∠2 = 90°6. ∠3 y ∠2 compl.

45. Escribe en los espacios en blanco para completar la demostración de dos columnas. Dado:

−−

TU � −−

UV Demuestra: SU + TU = SVDemostración de dos columnas:

Enunciados Razones

1. −−

TU � −−

UV

2. b. −−−−

?

3. c. −−−−

?

4. SU + TU = SV

1. a. −−−−

?

2. Def. de seg. �

3. Post. de la suma de seg.

4. d. −−−−

?

Halla el valor de cada variable.

46. 47.

■ Escribe una justificación para cadapaso, dado que m∠2 = 2m∠1.

1. ∠1 y ∠2 supl. Teor. del par lineal

2. m∠1 + m∠2 = 180° Def. de � supl.

3. m∠2 = 2m∠1 Dado

4. m∠1 + 2m∠1 = 180° Sustituye. Pasos 2, 3

5. 3m∠1 = 180° Simplifica.

6. m∠1 = 60° Prop. de división de =

■ Usa el plan dado para escribir una demostración de dos columnas.

Dado: −−

AD forma una bisectriz con ∠BAC. ∠1 � ∠3

Demuestra: ∠2 � ∠3

Plan: Usa la definición de bisectriz de un ángulo para demostrar que ∠1 � ∠2. Usa la propiedad transitiva para concluir que ∠2 � ∠3.

Demostración de dos columnas:

Enunciados Razones

1. −−−

AD forma una bisectriz con ∠BAC.

2. ∠1 � ∠2

3. ∠1 � ∠3

4. ∠2 � ∠3

1. Dado

2. Def. de bisectriz de un ∠

3. Dado

4. Prop. transit. de �

2-6 Demostración geométrica (pp. 110–116)


Usa el plan dado para escribir cada uno de los siguientes.

Dado: ∠ADE y ∠DAE son complementarios∠ADE y ∠BAC son complementarios

Demuestra: ∠DAC � ∠BAE

Plan: Usa el teorema de los complementos congruentes para demostrar que

∠DAE � ∠BAC. Como ∠CAE � ∠CAE, ∠DAC � ∠BAE según el teorema de los

ángulos comunes.

48. una demostración 49. una demostración enen diagrama de flujo párrafo

Halla el valor de cada variable y menciona el teorema que justifica tu respuesta.

50. 51.

Usa la demostración de dos columnas en el ejemplo de la Lección 2-6 de arriba para escribir cada uno de los siguientes.

■ una demostración en diagrama de flujo

■ una demostración en párrafo

Como −−

AD forma una bisectriz con ∠BAC, ∠1 � ∠2 según la definición de bisectriz de un ángulo. Se sabe que ∠1 � ∠3. Por lo tanto, ∠2 � ∠3 según la propiedad transitiva de la congruencia.

2-7 Demostraciones en párrafos y diagrama de flujo (págs. 118–125)


Capítulo 3 Líneas paralelas y perpendiculares 9

Vocabularioángulos alternos externos . . . . . 147

ángulos alternos internos . . . . . 147

ángulos correspondientes . . . . . 147

ángulos internos del mismo lado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

distancia desde un punto a una línea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

distancia horizontal . . . . . . . . . . . 182

distancia vertical . . . . . . . . . . . . . 182

forma de pendiente-intersección . . . . . 190

forma de punto y pendiente . . . 190

líneas oblicuas . . . . . . . . . . . . . . . 146

líneas paralelas . . . . . . . . . . . . . . . 146

líneas perpendiculares . . . . . . . . 146

mediatriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

pendiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

planos paralelos . . . . . . . . . . . . . . 146

transversal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147


1. Los ángulos de los lados opuestos de una transversal y entre las líneas que cruza la transversal son −−−−

? .

2. Las líneas que están en diferentes planos son −−−−

? .

3. Un(a) −−−−

? es una línea que cruza dos líneas coplanares en dos puntos.

4. El/la −−−−

? se usa para escribir la ecuación de una línea con una pendiente dada que atraviesa un punto dado.

5. La pendiente de una línea es la razón del/de la −−−−

? al/a la −−−−

? .


6. un par de segmentos oblicuos

7. un par de segmentos paralelos

8. un par de segmentos perpendiculares

9. un par de planos paralelos


■ un par de segmentos paralelos

−−

AB ‖ −−

CD

■ un par de planos paralelos

plano ABC ‖ plano EFG

■ un par de segmentos perpendiculares

−−

AB ⊥ −−

AE

■ un par de segmentos oblicuos

−−

AB y −−

FG son oblicuos.

3-1 Líneas y ángulos (págs. 146–151)



Identifica la transversal y clasifica cada par de ángulos.

10. ∠5 y ∠2

11. ∠6 y ∠3

12. ∠2 y ∠4

13. ∠1 y ∠2

Identifica la transversal y clasifica cada par de ángulos.

■ ∠4 y ∠6

p, ángulos correspondientes

■ ∠1 y ∠2

q, ángulos alternos internos

■ ∠3 y ∠4

p, ángulos alternos externos

■ ∠6 y ∠7

r, ángulos internos del mismo lado

Halla la medida de cada ángulo.

14. m∠WYZ

15. m∠KLM

16. m∠DEF

17. m∠QRS

Halla la medida de cada ángulo.

■ m∠TUV

Según el teorema de los ángulos internos del mismo lado, (6x + 10) + (4x + 20) = 180.

x = 15 Halla x.

Sustituye x por el valor en la expresión para m∠TUV.m∠TUV = 4 (15) + 20 = 80°

■ m∠ABC

Según el postulado de los ángulos correspondientes,8x + 28 = 10x + 4.

x = 12 Halla x.

Sustituye x por el valor en la expresión para uno de los ángulos obtusos. 10 (12) + 4 = 124°

∠ABC es suplementario del ángulo de 124°, por lo tanto, m∠ABC = 180 - 124 = 56°.

3-2 Ángulos formados por líneas paralelas y transversales (págs. 155–161)


Capítulo 3 Líneas paralelas y perpendiculares 11

Usa la información dada y los teoremas y postulados que aprendiste para demostrarque c ‖ d.

18. m∠4 = 58°, m∠6 = 58°

19. m∠1 = (23x + 38) °, m∠5 = (17x + 56) °, x = 3

20. m∠6 = (12x + 6) °, m∠3 = (21x + 9) °, x = 5

21. m∠1 = 99°, m∠7 = (13x + 8) °, x = 7

Usa la información dada y los teoremas y postulados que aprendiste para demostrar que p ‖ q.

■ m∠2 + m∠3 = 180°

∠2 y ∠3 son suplementarios, por lo tanto, p ‖ q según el recíproco del teorema de los ángulos internos del mismo lado.

■ ∠8 � ∠6

∠8 � ∠6, por lo tanto, p ‖ q según el recíproco del postulado de ángulos correspondientes.

■ m∠1 = (7x - 3) °, m∠5 = 5x + 15, x = 9

m∠1 = 60° y m∠5 = 60°. Por lo tanto, ∠1 � ∠5. p ‖ q según el recíproco del teorema de los ángulos alternos externos.

3-3 Cómo demostrar líneas paralelas (págs. 162–169)


22. Identifica el segmento más corto desde el punto K hasta

−−

LN .

23. Escribe y resuelve una desigualdad para hallar x.

24. Dado: −−

AD ‖ −−

BC , −−

AD ⊥ −−

AB , −−

DC ⊥ −−

BC

Demuestra: −−

AB ‖ −−

CD

■ Identifica el segmento más corto desde el punto X a

−− WY .

−−

XZ

■ Escribe y resuelve una desigualdad para hallar x.

x + 3 > 3

x > 0 Resta 3 de ambos lados.

■ Dado: m ⊥ p, ∠1 y ∠2 2 son complementarios.

Demuestra: p ‖ q

Demostración: Se sabe que m ⊥ p. ∠1 y ∠2 son complementarios, por lo tanto, m∠1 + m∠2 = 90°. Así, m ⊥ q. Dos líneas perpendiculares a la misma línea son paralelas, por lo tanto, p ‖ q.

3-4 Líneas perpendiculares (págs. 172–178)



Escribe la ecuación de cada línea en la forma dada.

30. la línea que pasa por (6, 1

) y

(-3, 5

) en forma de

pendiente-intersección

31. la línea que pasa por (-3, -4

) con pendiente 2 _

3 en

forma de pendiente-intersección

32. la línea con intersección con el eje x en 1 y con el eje y en -2 en forma de punto y pendiente

Determina si las líneas son paralelas, se intersecan o coinciden.

33. -3x + 2y = 5, 6x - 4y = 8

34. y = 4x - 3, 5x + 2y = 1

35. y = 2x + 1, 2x - y = -1

■ Escribe la ecuación de la línea que pasa por

(5, -2) con pendiente 3 __ 5 en forma de pendiente-

intersección.

y - (-2) = 3 _ 5

(x - 5) Forma de punto y pendiente

Simplifica.

Halla y.

y + 2 = 3 _ 5

x - 3

y = 3 _ 5

x - 5

■ Determina si las líneas y = 4x + 6 y 8x - 2y = 4 son paralelas, se intersecan o coinciden.

Despeja y en la segunda ecuación para hallar la forma de pendiente-intersección.

8x - 2y = 4

y = 4x - 2

Ambas líneas tienen pendiente 4 y diferentes intersecciones con el eje y, por lo tanto, son paralelas.


3-6 Líneas en el plano cartesiano (págs. 190–197)

Usa la fórmula de pendiente para determinar la pendiente de cada línea.

25. 26.

Usa pendientes para determinar si las líneas son paralelas, perpendiculares o ninguna de ellas.

27. � �� EF y � �� GH para E (8, 2

) , F

(-3, 4

) , G

(6, 1

) y

H (-4, 3

)

28. � �� JK y � �� LM para J (4, 3

) , K

(-4, -2

) , L

(5, 6

) y

M (-3, 1

)

29. � �� ST y � �� UV para S (-4, 5

) , T

(2, 3

) , U

(3, 1

) y

V (4, 4

)

■ Usa la fórmula de pendiente para determinar la pendiente de la línea.

pendiente de � �� WX = y 2 - y 1

_ x 2 - x 1 = 3 - (-3)

_ 2 - (-4)

= 6 _ 6

= 1

■ Usa pendientes para determinar si � ⎯ � AB y � ⎯ � CD son paralelas, perpendiculares o ninguna de ellas para A (-1, 5) , B (-3, 4) , C (3, -1) y D (4, -3) .

pendiente de � �� AB = 4 - 5 _ -3 - (-1)

= 1 _ 2

pendiente de � �� CD = -3 - (-1)

_ 4 - 3

= -2 _ 1

= -2

Las pendientes son recíprocos opuestos, por lo tanto, las líneas son perpendiculares.

3-5 Pendientes de las líneas (págs. 182–187)


Capítulo 4 Congruencia de los triángulos 13

Vocabularioángulo base . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273

ángulo del vértice . . . . . . . . . . . . . 273

ángulo externo . . . . . . . . . . . . . . . 225

ángulo incluido . . . . . . . . . . . . . . . 242

ángulo interno . . . . . . . . . . . . . . . 225

ángulo interno remoto . . . . . . . . 225

ángulos correspondientes . . . . . 231

base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273

catetos de un triángulo isósceles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273

corolario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224

exterior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225

interior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225

lado incluido . . . . . . . . . . . . . . . . . 252

lados correspondientes . . . . . . . . 231

línea auxiliar . . . . . . . . . . . . . . . . . 223

PCTCC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260

polígonos congruentes . . . . . . . . 231

demostración de coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . 267

rigidez del triángulo . . . . . . . . . . 242

triángulo acutángulo . . . . . . . . . . 216

triángulo equiangular . . . . . . . . . 216

triángulo equilátero . . . . . . . . . . . 217

triángulo escaleno . . . . . . . . . . . . 217

triángulo isósceles . . . . . . . . . . . . 217

triángulo rectángulo . . . . . . . . . . 216

triángulo obtusángulo . . . . . . . . 216


1. Un) −−−−

? es un triángulo con por lo menos dos lados congruentes.

2. Un nombre que se da a los ángulos de triángulos congruentes que se corresponden entre sí es

−−−−

? .

3. Un(a) −−−−

? es el lado común de dos ángulos consecutivos de un polígono.

Clasifica cada triángulo por las medidas de sus ángulos y longitudes de sus lados.

4. 5.

■ Clasifica el triángulo por las medidas de sus ángulos y longitudes de sus lados.

triángulo rectángulo isósceles

4-1 Cómo clasificar triángulos (págs. 216–221)


Halla m∠N.

6.

7. En �LMN, m∠L = 8x °, m∠M = (2x + 1) ° y m∠N = (6x - 1) °.

■ Halla m∠S. 12x = 3x + 42 + 6x

12x = 9x + 42

3x = 42

x = 14

m∠S = 6 (14) = 84°

4-2 Relaciones entre ángulos en triángulos (págs. 223–230)

EJERCICIOSE J E M P L O

Dado: �PQR � �XYZ. Identifica las partes correspondientes congruentes.

8. −−

PR � −−−−

? 9. ∠Y � −−−

?

Dado: �ABC � �CDA Halla cada valor.

10. x

11. CD

■ Dado: �DEF � �JKL. Identifica todos los pares de partes correspondientes congruentes. Luego, halla el valor de x.

Los pares congruentes son: ∠D � ∠J, ∠E � ∠K, ∠F � ∠L,

−−

DE � −−

JK , −−

EF � −−

KL , y −−

DF � −−

JL .

Como m∠E = m∠K, 90 = 8x - 22. Cuando se suma 22 a ambos lados, 112 = 8x. Por lo tanto, x = 14.

4-3 Triángulos congruentes (págs. 231–237)


12. Dado: −−

AB � −−

DE , −−

DB �

−−

AE Demuestra: �ADB � �DAE

13. Dado: −−

GJ forma una bisectriz con −−

FH , y

−−

FH forma una bisectriz con

−−

GJ .Demuestra: �FGK � �HJK

14. Demuestra que �ABC � �XYZ cuando x = -6.

15. Demuestra que �LMN � �PQR cuando y = 25.

■ Dado: −−

RS � −−

UT y −−

VS � −−

VT . V es el punto medio de

−− RU .

Demuestra: �RSV � �UTV

Demostración:

Enunciados Razones

1. −−

RS � −−

UT

2. −−

VS � −−

VT

3. V es el pto. medio de

−−

RU .

4. −−

RV � −−

UV

5. �RSV � �UTV

1. Dado

2. Dado

3. Dado

4. Def. de pto. medio

5. LLL Pasos 1, 2, 4

■ Demuestra que �ADB � �CDB cuando s = 5.

AB = s 2 - 4s AD = 14 - 2s

= 5 2 - 4 (5 ) = 14 - 2 (5 )

= 5 = 4

−−

BD � −−

BD según la propiedad reflexiva. −−

AD � −−

CD y

−−

AB � −−

CB . Por lo tanto, �ADB � �CDB según LLL.

4-4 Congruencia de los triángulos: LLL y LAL (págs. 242–249)



Capítulo 4 Congruencia de los triángulos 15

16. Dado: C es el punto medio de

−−

AG . −−

HA ‖ −−

GB Demuestra: �HAC � �BGC

17. Dado: −−−

WX ⊥ −−

XZ , −−

YZ ⊥ −−

ZX , −−−

WZ � −−

YX Demuestra: �WZX � �YXZ

18. Dado: ∠S y ∠V son ángulos rectos.RT = UW.m∠T = m∠W

Demuestra: �RST � �UVW

■ Dado: B es el punto medio de −−

AE . ∠A � ∠E,∠ABC � ∠EBD

Demuestra: �ABC � �EBD

Demostración:

Enunciados Razones

1. ∠A � ∠E

2. ∠ABC � ∠EBD

3. B es el pto. medio de

−−

AE .

4. −−

AB � −−

EB

5. �ABC � �EBD

1. Dado

2. Dado

3. Dado

4. Def. de pto. medio

5. ALA Pasos 1, 4, 2

4-5 Congruencia de los triángulos: ALA, AAL y HC (págs. 252–259)


19. Dado: M es el punto medio de −−

BD . −−

BC � −−

DC Demuestra: ∠1 � ∠2

20. Dado: −−

PQ � −−

RQ , −−

PS � −−

RS Demuestra:

−−

QS forma una bisectriz con ∠PQR.

21. Dado: H es el punto medio de −−

GL . L es el punto medio de

−−−

MK . −−−

GM � −−

KJ , −−

GJ � −−−

KM ,∠G � ∠K

Demuestra: ∠GMH � ∠KJL

■ Dado: −−

JL y −−

HK forman una bisectriz entre sí.

Demuestra: ∠JHG � ∠LKG

Demostración:

Enunciados Razones

1. −−

JL y −−

HK forman una bisectriz entre sí.

2. −−

JG � −−

LG , and

−−−

HG � −−

KG .

3. ∠JGH � ∠LGK

4. �JHG � �LKG

5. ∠JHG � ∠LKG

1. Dado

2. Def. de bisectriz

3. Teo. del vértice del �

4. LAL Pasos 2, 3

5. PCTCC

4-6 Congruencia de los triángulos: PCTCC (págs. 260–265)



Ubica cada figura en el plano cartesiano y da las coordenadas de cada vértice.

22. un triángulo rectángulo con catetos de longitudes r y s

23. un rectángulo con longitud 2p y ancho p

24. un cuadrado con longitud de lado de 8m

Para los Ejercicios 25 y 26, asigna coordenadas a cada vértice y escribe una demostración de coordenadas.

25. Dado: En el rectángulo ABCD, E es el punto medio de −−

AB , F es el punto medio de −−

BC , G es el punto medio de

−−

CD , y H es el punto medio de −−

AD . Demuestra:

−−

EF � −−−

GH

26. Dado: �PQR tiene un∠Q recto. M es el punto medio de

−−

PR . Demuestra: MP = MQ = MR

27. Demuestra que un triángulo con vértices en (3, 5

) ,

(3, 2

) y

(2, 5

) es un triángulo rectángulo.

■ Dado: ∠B es un ángulo recto en el triángulo rectángulo isósceles �ABC. E es el punto medio de

−− AB .

D es el punto medio de −−

CB . −−

AB � −−

CB

Demuestra: −−

CE � −−

AD

Demostración: Usa las coordenadas A (0, 2a

) , B

(0, 0

) y C

(2a, 0

) . Traza

−−

AD y −−

CE .

Según la fórmula del punto medio,

E = (

0 + 0

_ 2

, 2a + 0

_ 2

)

= (0, a

) y

D = (

0 + 2a

_ 2

, 0 + 0

_ 2

)

= (a, 0

)

Según la fórmula de distancia,

CE = √

(2a - 0) 2 + (0 - a) 2

= √

4a 2 + a 2 = a √

5

AD = √

(a - 0) 2 + (0 - 2a) 2

= √

a 2 + 4a 2 = a √

5

Por lo tanto, −−

CE � −−

AD según la definición de congruencia.

4-7 Introducción a la demostración de coordenadas (págs. 267–272)


Halla cada valor.

28. x

29. RS

30. Dado: �ACD es isósceles y ∠D es el ángulo del vértice. B es el punto medio de

−−

AC . AB = x + 5, BC = 2x - 3, y CD = 2x + 6.

Halla el perímetro del �ACD.

■ Halla el valor de x.

m∠D + m∠E + m∠F = 180° según el teorema de la suma del triángulo. m∠E = m∠F según el teorema del triángulo isósceles.

m∠D + 2 m∠E = 180° Sustitución

Sustituye los valores dados.

Simplifica.

Divide ambos lados entre 6.

42 + 2 (3x)= 180

6x = 138

x = 23

4-8 Triángulos isósceles y equiláteros (págs. 273–279)


Capítulo 5 Propiedades y atributos de los triángulos 17

Vocabularioaltura de un triángulo . . . . . . . . . 316

centroide de un triángulo . . . . . 314

circuncentro de un triángulo . . 307

circunscrito . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308

concurrente . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307

demostración indirecta . . . . . . . 332

equidistante . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300

incentro de un triángulo . . . . . . 309

inscrito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309

lugar geométrico . . . . . . . . . . . . . 300

mediana de un triángulo . . . . . . 314

ortocentro de un triángulo . . . . 316

punto de concurrencia . . . . . . . . 307

segmento medio de un triángulo . . . . . . . . . . . . . . . 322

tripleta de Pitágoras . . . . . . . . . . 349


1. Un punto que está a la misma distancia de dos o más objetos está −−−−

? de los objetos.

2. Un −−−−

? es un segmento que une los puntos medios de dos lados del triángulo.

3. El punto de concurrencia de las bisectrices de los ángulos de un triángulo es el/la −−−−

? .

4. Un(a) −−−−

? es un conjunto de puntos que cumplen con una condición dada.

Halla cada medida.

5. BD 6. YZ

7. HT 8. m∠MNP

Escribe una ecuación en forma de punto y pendiente para la mediatriz del segmento con los extremos dados.

9. A (-4, 5

) , B

(6, -5

) 10. X

(3, 2

) , Y

(5, 10

)

Indica si la información dada te permite concluir que P está en la bisectriz del ∠ABC.

11. 12.

Halla cada medida.

■ JL

Como −−

JM � −−−

MK y −−−

ML ⊥ −−

JK , −−−

ML es la mediatriz del −−

JK .

JL = KL ⊥ Teorema de la bisectriz

Sustituye 7.9 por KL.JL = 7.9

■ m∠PQS, dado que m∠PQR = 68°

Como SP = SR, −−

SP ⊥ −−

QP , y

−−

SR ⊥ −−

QR , �� QS forma una

bisectriz con ∠PQR según el recíproco del teorema de labisectriz de un ángulo.

m∠PQS = 1 _ 2

m∠PQR Def. de bisectriz de un ∠

Sustituye m∠PQR por 68°.

m∠PQS = 1 _ 2

(68°) = 34°

5-1 Mediatrices y bisectrices de ángulos (págs. 300–306)



−−

PX , −−

PY y −−

PZ son las mediatrices de �GHJ. Halla cada longitud.

13. GY 14. GP

15. GJ 16. PH

−−

UA y −−

VA son bisectrices de ángulos de �UVW. Halla cada medida.

17. la distancia de A a

−−

UV

18. m∠WVA

Halla el circuncentro de un triángulo con los vértices dados.

19. M (0, 6

) , N

(8, 0

) , O

(0, 0

)

20. O (0, 0

) , R

(0, -7

) , S

(-12, 0

)

■ −−

DG , −−

EG y −−

FG son las mediatrices de �ABC. Halla AG.

G es el circuncentro de �ABC. Según el teorema del circuncentro, G está equidistante de los vértices de �ABC.

AG = CG Teor. del circuncentro

Sustituye 5.1 por CG. AG = 5.1

■ −−

QS y −−

RS son bisectrices de ángulos de �PQR. Halla la distancia deS a

−− PR .

S es el incentro de �PQR. Según el teorema del incentro, S está equidistante de los lados de �PQR. La distancia de S a

−−

PQ es 17, por lo tanto, la distancia de S a

−−

PR también es 17.

5-2 Bisectrices de los triángulos (págs. 307–313)


En �DEF, DB = 24.6, y EZ = 11.6. Halla cada longitud.

21. DZ 22. ZB

23. ZC 24. EC

Halla el ortocentro de un triángulo con los vértices dados.

25. J (-6, 7

) , K

(-6, 0

) , L

(-11, 0

)

26. A (1, 2

) , B

(6, 2

) , C

(1, -8

)

27. R (2, 3

) , S

(7, 8

) , T

(8, 3

)

28. X (-3, 2

) , Y

(5, 2

) , Z

(3, -4

)

29. Las coordenadas de una pieza triangular de un móvil son

(0, 4

) ,

(3, 8

) , and

(6, 0

) . La pieza colgará de una

cadena de manera que quede balanceada. ¿En qué coordenadas se debe sujetar la cadena?

■ En �JKL, JP = 42. Halla JQ.

JQ = 2 _ 3

JP Teor. del centroide

Sustituye JP por 42.

Multiplica.

JQ = 2 _ 3

(42)

JQ = 28

■ Halla el ortocentro de �RST con los vértices R (-5, 3) , S (-2, 5) y T (-2, 0) .

Como −−

ST es vertical, la ecuación de la línea que contiene la

altura desde R a −−

ST es y = 3.

pendiente de −−

RT = 3 - 0 _ -5 - (-2)

= -1

La pendiente de la altura a −−

RT es 1. Esta línea debe pasar por S

(-2, 5

) .

y - y 1 = m (

x - x 1 )

Forma de punto y pendiente

Sustitución y - 5 = 1 (x + 2)

Resuelve el sistema ⎧

⎨

⎩

y = 3

y = x + 7 para hallar que las

coordenadas del ortocentro son (-4, 3

) .

5-3 Medianas y alturas de los triángulos (págs. 314–320)


Capítulo 5 Propiedades y atributos de los triángulos 19

Halla cada medida.

30. BC 31. XZ

32. XC 33. m∠BCZ

34. m∠BAX 35. m∠YXZ

36. Los vértices de�GHJ son G (-4, -7

) , H

(2, 5

)

y J (10, -3

) . V es el punto medio de

−−−

GH , yW es el punto medio de

−−

HJ . Demuestra que −−−

VW ‖ −−

GJ

y VW = 1 __ 2 GJ.

Halla cada medida.

■ NQ

Según el teor. del segmento

medio de �, NQ = 1 _ 2

KL = 45.7.

■ m∠NQM

−−

NP ‖ −−−

ML Teor. del segmento medio del �Teor. de la altura de � internoSustitución

m∠NQM = m∠PNQ m∠NQM = 37°

5-4 El teorema del segmento medio de un triángulo (págs. 322–327)


37. Escribe los lados de �ABC en orden, del más corto al más largo.

38. Escribe los ángulos de�FGH en orden, de menor a mayor.

39. Dos lados de un triángulo miden 13.5 centímetros y 4.5 centímetros. Halla el rango de posibles longitudes para el tercer lado.

Indica si es posible que un triángulo tenga lados con las siguientes longitudes. Explica.

40. 6.2, 8.1, 14.2 41. z, z, 3z, cuando z = 5

42. Escribe una demostración indirecta de que un triángulo no puede tener dos ángulos obtusos.

■ Escribe los ángulos de �RST en orden, de menor a mayor.

El ángulo menor es el opuestodel lado más corto. En orden, los ángulos son ∠S, ∠R y ∠T.

■ Dos lados de un triángulo miden 15 pulgadas y 12 pulgadas. Halla el rango de posibles longitudes para el tercer lado.

Sea s la longitud del tercer lado.

s + 15 > 12 s + 12 > 15 15 + 12 > s s > -3 s > 3 27 > s

Según el teorema de desigualdad de los triángulos, 3 pulg < s < 27 pulg.

5-5 Demostración indirecta y desigualdades en un triángulo (págs. 332–339)


Compara las medidas dadas.

43. PS y RS 44. m∠BCA y m∠DCA

Halla el rango de valores para n.

45. 46.

Compara las medidas dadas.

■ KL y ST

KJ = RS, JL = RT y m∠J > m∠R. Según el teor. del eje, KL > ST.

■ m∠ZXY y m∠XZW

XY = WZ, XZ = XZ y YZ < XW. Según el recíproco del teor. del eje, m∠ZXY < m∠XZW.

5-6 Desigualdades en dos triángulos (págs. 340–345)



Halla el valor de x. Da tu respuesta en la forma radical más simple.

47. 48.

Halla la longitud del lado que falta. Indica si los lados forman una tripleta de Pitágoras. Explica.

49. 50.

Indica si las medidas pueden ser las longitudes de los lados de un triángulo. Si es así, clasifica el triángulo como acutángulo, obtusángulo o rectángulo.

51. 9, 12, 16 52. 11, 14, 27

53. 1.5, 3.6, 3.9 54. 2, 3.7, 4.1

■ Halla el valor de x. Da tu respuesta en la forma radical más simple.

a 2 + b 2 = c 2 Teor. de Pitágoras

SustituciónSimplifica.

Halla la raíz cuadrada positiva y simplifica.

6 2 + 3 2 = x 2 45 = x 2 x = 3

√

�

5

■ Halla la longitud del lado que falta. Indica si los lados forman una tripleta de Pitágoras. Explica.

a 2 + b 2 = c 2 Teor. de PitágorasSustituciónHalla a 2 .Halla la raíz cuadrada positiva.

a 2 + (1.6) 2 = 2 2 a 2 = 1.44

a = 1.2

Las longitudes de los lados no forman una tripleta de Pitágoras porque 1.2 y 1.6 no son números cabales.

5-7 El teorema de Pitágoras (págs. 348–355)


Halla los valores de las variables. Da tus respuestas en la forma radical más simple.

55. 56.

57. 58.

59. 60.

Halla el valor de cada variable. Redondea a la pulgada más cercana.

61. 62.

Halla los valores de las variables. Da tus respuestas en la forma radical más simple.

■ Éste es un triángulo de 45°, 45°

y 90°. x = 19 √

�

2 Hipot.= cateto

√

�

2

■ Éste es un triángulo 45°, 45° y

90°. 15 = x √

�

2 Hipot.= cateto

√

�

2

15 _

√

�

2 = x Divide ambos lados entre

√

�

2 .

Racionaliza el denominador. 15

√

�

2 _

2 = x

■ Éste es un triángulo de 30°, 60°

y 90°. 22 = 2x Hipot. = 2(cateto más corto)

11 = x Divide ambos lados entre 2.

Cateto más largo = (cateto más corto)

√

�

3 y = 11

√

�

3

5-8 Cómo aplicar triángulos rectángulos especiales (págs. 356–362)


Capítulo 6 Polígonos y cuadriláteros 21

Vocabularioángulo base de un trapecio . . . . 429

base de un trapecio . . . . . . . . . . . 429

cateto de un trapecio . . . . . . . . . . 429

cometa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 427

cóncavo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383

convexo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383

cuadrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 410

diagonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382

lado de un polígono . . . . . . . . . . . 382

paralelogramo . . . . . . . . . . . . . . . . 391

polígono regular . . . . . . . . . . . . . . 382

rectángulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 408

rombo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409

segmento medio de un trapecio . . . . . . . . . . . . . . . . 431

trapecio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 429

trapecio isósceles . . . . . . . . . . . . . 429

vértice de un polígono . . . . . . . . 382


1. El extremo común de dos lados de un polígono es un(a) −−−−

? .

2. Un polígono es −−−−

? si ninguna diagonal contiene puntos en el exterior.

3. Un(a) −−−−

? es un cuadrilátero con cuatro lados congruentes.

4. Cada uno de los lados paralelos de un trapecio se llama −−−−

? .

Indica si cada figura es un polígono. Si es un polígono, identifícala por el número de lados.

5. 6. 7.

Indica si cada polígono es regular o irregular. Indica si es cóncavo o convexo.

8. 9. 10.

Halla cada medida.

11. la suma de las medidas de los ángulos internos de un dodecágono convexo

12. la medida de cada ángulo interno de un polígono regular de 20 lados

13. la medida de cada ángulo externo de un cuadrilátero regular

14. la medida de cada ángulo interno del hexágono ABCDEF

■ Indica si la figura es un polígono. Si es un polígono, identifícala por el número de lados.

Ésta es una figura plana cerrada formada por dos segmentos que se cruzan sólo en sus extremos, por lo tanto, es un polígono. Tiene seis lados, por lo tanto, es un hexágono.

■ Indica si el polígono es regular o irregular. Indica si es cóncavo o convexo.

El polígono es equilátero, pero no es equiangular; por lo tanto, no es regular. Ninguna diagonal contiene puntos en el exterior, por lo tanto, es convexo.

Halla cada medida.

■ la suma de las medidas de los ángulos internos de un polígono convexo de 11 lados

(n - 2) 180° Teor. de la suma de ∠ de un polígono

(11 - 2) 180° = 1620° Sustituye n por 11.

■ la medida de cada ángulo externo de un pentágono regular

suma de. � ext. = 360° Teor. de la suma de ∠ ext. de un polígono

medida de un ∠ ext. = 360° _ 5

= 72°

6-1 Propiedades y atributos de los polígonos (págs. 382–388)



En �ABCD, m∠ABC = 79°, BC = 62.4 y BD = 75.Halla cada medida.

15. BE 16. AD

17. ED 18. m∠CDA

19. m∠BCD 20. m∠DAB

WXYZ es un paralelogramo. Halla cada medida.

21. WX 22. YZ

23. m∠W 24. m∠X

25. m∠Y 26. m∠Z

27. Tres vértices de �RSTV son R (-8, 1

) , S

(2, 3

) y V

(-4, -7

) . Halla las coordenadas del vértice T.

28. Escribe una demostración de dos columnas.Dado: GHLM es un paralelogramo.

∠L � ∠JMG

Demuestra: �GJM es isósceles.

■ En �PQRS, m∠RSP = 99°, PQ = 19.8 y RT = 12.3.Halla PT.

−−

PT � −−

RT � → diagonales que forman bisectriz entre síDef. de seg. �Sustituye RT por 12.3.

PT = RTPT = 12.3

JKLM es un paralelogramo. Halla cada medida.

■ LK

−−

JM �

−−

LK � → lados opuestos �Def. de seg. �Sustituye los valores dados.Halla y.

JM = LK2y - 9 = y + 7

y = 16LK = 16 + 7 = 23

■ m∠M

m∠J + m∠M = 180° � → � sup. cons.Sustituye los valores dados.Halla x.

(x + 4) + 3x = 180

x = 44 m∠M = 3 (44) = 132°

6-2 Propiedades de los paralelogramos (págs. 391–397)


Demuestra que el cuadrilátero es un paralelogramo para los valores dados de las variables.

29. m = 13, n = 27 30. x = 25, y = 7

Determina si el cuadrilátero debe ser un paralelogramo. Justifica tu respuesta.

31. 32.

33. Demuestra que el cuadrilátero con los vértices B

(-4, 3

) , D

(6, 5

) , F

(7, -1

) y H

(-3, -3

) es un

paralelogramo.

■ Demuestra que MNPQ es un paralelogramo donde a = 6 y b = 1.6.

MN = 2a + 5 QP = 4a - 7MN = 2 (6) + 5 = 17 QP = 4 (6) - 7 = 17MQ = 7b NP = 2b + 8MQ = 7 (1.6) = 11.2 NP = 2 (1.6) + 8 = 11.2

Como sus lados opuestos son congruentes, MNPQ es un paralelogramo.

■ Determina si el cuadrilátero debe ser un paralelogramo. Justifica tu respuesta.

No. Un par de ángulos opuestos son congruentes, y un par de lados consecutivos son congruentes. No se cumple ninguna de las condiciones para un paralelogramo.

6-3 Condiciones para los paralelogramos (págs. 398–405)

EJERCICIOE J E M P L O S

Capítulo 6 Polígonos y cuadriláteros 23

En el rectángulo JKLM, KM = 52.8 y JM = 45.6.Halla cada longitud.

■ KL

JKLM es un �. Rect. → �� → lados opuestos �KL = JM = 45.6

■ NL

JL = KM = 52.8 Rect. → diagonales �

� → diag. que forman bisectriz entre sí

NL = 1 _ 2

JL = 26.4

■ PQRS es un rombo. Halla m∠QPR, dado quem∠QTR = (6y + 6) ° y m∠SPR = 3y°.

m∠QTR = 90° 6y + 6 = 90

y = 14m∠QPR = m∠SPR Rombo → cada diagonalm∠QPR = 3 (14) ° = 42° forma una bisectriz con �

opuesto

■ Los vértices del cuadrado ABCD son A (5, 0) , B (2, 4) , C (-2, 1) y D (1, -3) . Demuestra que las diagonales del cuadrado ABCD son mediatrices congruentes entre sí.

AC = BD = 5 √

2 Las diag. son �.

El producto de las pendientes es -1, por lo tanto, las diag. son ⊥.

pendiente de −−

AC = -

1 _ 7

pendiente de −−

BD = 7

pto. medio de −−

AC = pto. medio de

−−

BD = (

3 _ 2

, 1 _ 2

)

Las diag. forman una bisectriz entre sí.

6-4 Propiedades de los paralelogramos especiales (págs. 408–415)


En el rectángulo ABCD, CD = 18 y CE = 19.8.Halla cada longitud.

34. AB 35. AC

36. BD 37. BE

En el rombo WXYZ, WX = 7a + 1,WZ = 9a - 6 y VZ = 3a. Halla cada medida.

38. WZ 39. XV

40. XY 41. XZ

En el rombo RSTV, m∠TZV = (8n + 18) °y m∠SRV = (9n + 1) °.Halla cada medida.

42. m∠TRS 43. m∠RSV

44. m∠STV 45. m∠TVR

Halla las medidas de los ángulos numerados en cada figura.

46. rectángulo MNPQ 47. rombo CDGH

Demuestra que las diagonales del cuadrado con los vértices dados son mediatrices congruentes entre sí.

48. R (-5, 0

) , S

(-1, -2

) , T

(-3, -6

) y U

(-7, -4

)

49. E (2, 1

) , F

(5, 1

) , G

(5, -2

) y H

(2, -2

)

Determina si la conclusión es válida. Si no lo es, indica qué información adicional se necesita para hacerla válida.

50. Dado: −−

ER ⊥ −−

FS , −−

ER � −−

FS Conclusión: EFRS es un cuadrado.

51. Dado: −−

ER y −−

FS forman una bisectriz entre sí. −−

ER � −−

FS Conclusión: EFRS es un rectángulo.

52. Dado: −−

EF ‖ −−

RS , −−

FR ‖ −−

ES , −−

EF � −−

ES Conclusión: EFRS es un rombo.

■ Determina si la conclusión es válida. Si no lo es, indica qué información adicional se necesita para hacerla válida.

Dado: −−

LP ⊥ −−

KN Conclusión: KLNP es un rombo.

La conclusión no es válida.Si las diagonales de un paralelogramo son perpendiculares, entonces el paralelogramo es un rombo. Para aplicar este teorema, primero debes saber si KLNP es un paralelogramo.

6-5 Condiciones para paralelogramos especiales (págs. 418–425)


Rombo → diag. ⊥Sustituye el valor dado.Halla y.


Usa las diagonales para indicar si un paralelogramo con los vértices dados es un rectángulo, rombo o cuadrado. Menciona todos los nombres que correspondan.

53. B (-3, 0

) , F

(-2, 7

) , J

(5, 8

) , N

(4, 1

)

54. D (-4, -3

) , H

(5, 6

) , L

(8, 3

) , P

(-1, -6

)

55. Q (-8, -2

) , T

(-6, 8

) , W

(4, 6

) , Z

(2, -4

)

■ Usa las diagonales para indicar si un paralelogramo con los vértices P (-5, 3) , Q (0, 1) , R (2, -4) y S (-3, -2) es un rectángulo, rombo o cuadrado. Da todos los nombres que correspondan.

PR = √

98 = 7 √

2 Fórmula de distanciaFórmula de distanciaQS = √

18 = 3 √

2

Como PR ≠ QS, PQRS no es un rectángulo ni es un cuadrado.

pendiente de −−

PR = 7 _ -7

= -1 Fórmula de pendiente

Fórmula de pendiente pendiente de −−

QS = 3 _ 3

= 1

Como el producto de las pendientes es -1, las diagonales son perpendiculares. PQRS es un rombo.

En la cometa WXYZ, m∠VXY = 58° y m∠ZWX = 50°.Halla cada medida.

56. m∠XYZ 57. m∠ZWV

58. m∠VZW 59. m∠WZY

Halla cada medida.

60. m∠R y m∠S 61. BZ si ZH = 70 y EK = 121.6

62. MN 63. EQ

64. Halla el valor de n para que PQXY sea isósceles.

Menciona el mejor nombre para un cuadrilátero cuyos vértices tienen las siguientes coordenadas.

65. (-4, 5

) ,

(-1, 8

) ,

(5, 5

) ,

(-1, 2

)

66. (1, 4

) ,

(5, 4

) ,

(5, -4

) ,

(1, -1

)

67. (-6, -1

) ,

(-4, 2

) ,

(0, 2

) ,

(2, -1

)

■ En la cometa PQRS, m∠SRT = 24°, y m∠TSP = 53°. Halla m∠SPT.

�PTS es un triángulo Cometa → diag. ⊥

Los � agudos de � rect. son comp.

rectángulo. m∠SPT + m∠TSP = 90°

m∠SPT + 53 = 90 Sustituye 53 por m∠TSP.Resta 53 de ambos lados. m∠SPT = 37°

■ Halla m∠D.

m∠C + m∠D = 180° Teor. de � internos del mismo ladoSustituye m∠C por 51.Resta.

51 + m∠D = 180 m∠D = 129°

■ En el trapecio HJLN, JP = 32.5 y HL = 50.

Halla PN.

−−

JN � −−

HL JN = HL = 50

JP + PN = JN32.5 + PN = 50

PN = 17.5

■ Halla WZ.

AB = 1 _ 2

(XY + WZ) Teor. de los segmentos medios de un trap.

Sustituye.

Multiplica ambos lados por 2.Halla WZ.

73.5 = 1 _ 2

(42 + WZ)

147 = 42 + WZ

105 = WZ

6-6 Propiedades de las cometas y los trapecios (págs. 427–435)


Trap. isósc. → diag. �Def. de segmentos �

Post. de la suma de los seg.Sustituye.Resta 32.5 de ambos lados.

Capítulo 7 Semejanza 25

Vocabulariodibujo a escala . . . . . . . . . . . . . . . . .489

dilatación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .495

escala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .489

factor de escala . . . . . . . . . . . . . . . . .495

medición indirecta . . . . . . . . . . . . . .488

polígonos semejantes . . . . . . . . . . .462

productos cruzados . . . . . . . . . . . . .455

proporción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .455

razón . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .454

razón de semejanza . . . . . . . . . . . . .463

semejantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .462

valores extremos . . . . . . . . . . . . . . . .455

valores medios . . . . . . . . . . . . . . . . .455


1. Una ecuación que afirma que dos razones son iguales se llama −−−−

? .

2. Un(a) −−−−

? es una transformación que cambia el tamaño de una figura, pero no su forma.

3. En la proporción u _ v = x _ y , los/las −−−−

? son v y x.

4. Un(a) −−−−

? compara dos números mediante la división.

Escribe una razón que exprese la pendiente de cada línea.

5. m

6. n

7. p

8. Si se divide 84 entre tres partes en la razón 3:5:6, ¿cuál es la suma de la parte más pequeña y la más grande?

9. La razón de las medidas de un par de lados de un rectángulo es 7:12. Si el perímetro del rectángulo es 95, ¿cuál es la longitud de cada lado?

Resuelve cada proporción.

10. y

_ 7

= 9 _ 3

11. 10 _ 4

= 25 _ s

12. x _ 4

= 9 _ x 13. 4 _ z - 1

= z - 1 _ 36

14. 12 _ 2x

= 3x _ 32

15. y + 1

_ 24

= 2 _ 3

(

y + 1)

7-1 Razón y proporción (págs. 454–459)

EJERCICIOSE J E M P L O S■ Escribe una razón que exprese la pendiente de �.

pendiente = _ distancia vert. __ _ distancia horiz. _

= y 2 - y 1

_ x 2 - x 1

= 4 - 2 _ -1 - 3

=

2 _ -4

= -

1 _ 2

■ Resuelve la proporción.

2 _ 4 (x - 3)

= x - 3 _ 50

4 (x - 3) 2 = 2 (50)

Prop. de productos cruzados

Simplifica.


Halla la raíz cuadrada de ambos lados.

4 (x - 3) 2 = 100

(x - 3) 2 = 25

x - 3 = ±5

x - 3 = 5 ó x - 3 = -5 Vuelve a escribir como dos ecuac.

Suma 3 en ambos lados.

x = 8 ó x = -2


Determina si los polígonos son semejantes. Si lo son, escribe la razón de semejanza y un enunciado de semejanza.

16. rectángulos JKLM y PQRS

17. �TUV y �WXY

■ Determina si �ABC y �DEF son semejantes. Si lo son, escribe la razón de semejanza y un enunciado de semejanza.

Se sabe que ∠A � ∠D y ∠B � ∠E. ∠C � ∠F según el teorema del tercer ángulo. AB ___ DE

= BC ___ EF

= AC ___ DF

= 2 __ 3 . Por lo tanto, la razón de

semejanza es 2 __ 3 , y �ABC ∼ �DEF.

7-2 Razones en polígonos semejantes (págs. 462–467)


18. Dado: JL = 1 _ 3

JN, JK = 1 _ 3

JM

Demuestra: �JKL ∼ �JMN

19. Dado: −−

QR ‖ −−

ST

Demuestra: �PQR ∼ �PTS

20. Dado: −−

BD ‖ −−

CE

Demuestra: AB (CE) = AC (BD)

(Pista: después de demostrar la semejanza de los triángulos, busca una proporción usando AB, AC, CE y BD, las longitudes de los lados correspondientes).

■ Dado: −−

AB ‖ −−

CD , AB = 2CD, AC = 2CE

Demuestra: �ABC ∼ �CDE

Demostración:

Enunciados Razones

1. −−

AB ‖ −−

CD

2. ∠BAC � ∠DCE

3. AB = 2CD, AC = 2CE

4. AB ___ CD

= 2, AC ___ CE

= 2

5. AB ___ CD

= AC ___ CE

6. �ABC ∼ �CDE

1. Dado

2. Post. de � corr.

3. Dado

4. Prop. de la div.

5. Prop. transit. de =

6. LAL ∼ (Pasos 2, 5)

7-3 Semejanza entre triángulos: AA, LLL y LAL (págs. 470–477)


Capítulo 7 Semejanza 27

Halla cada longitud.

21. CE

22. ST

Verifica que los segmentos dados sean paralelos.

23. −−

KL y −−−

MN

24. −−

AB y −−

CD

25. Halla SU y SV.

26. Halla la longitud del tercer lado del �ABC.

27. Un lado de un triángulo mide x pulgadas más que el otro lado. El rayo que forma una bisectriz con el ángulo formado por estos lados divide el lado opuesto en segmentos de 3 pulgadas y 5 pulgadas. Halla el perímetro del triángulo en función de x.

■ Halla PQ.

Se sabe que −−

QR ‖ −−

ST , por lo tanto, PQ

___ QS

= PR ___ RT

según el teorema de proporcionalidad de los triángulos.

PQ

_ 5

= 15 _ 6

Sustituye QS por 5, PR por 15 y RT por 6.

Prop. de productos cruzados


6 (PQ

) = 75

PQ = 12.5

■ Verifica que −−

AB ‖ −−

CD .

EC _ CA

= 6 _ 4

= 1.5

ED _ DB

= 4.5 _ 3

= 1.5

Como EC ___ CA

= ED ___ DB

, −−

AB ‖ −−

CD según el recíproco del

teorema de la proporcionalidad de los triángulos.

■ Halla JL y LK.

Como −−

JK forma una bisectriz con ∠LJM, JL ___ LK

= JM ___ MK

según el teorema de la bisectriz de los ángulos de un

triángulo.

3x - 2 _ 2x

= 12.5 _ 10


Prop. de productos cruzados.

Simplifica.Suma 20 a ambos lados.

10 (3x - 2) = 12.5 (2x)

30x - 20 = 25x

30x = 25x + 20

5x = 20 Resta 25x de ambos lados.


x = 4

JL = 3x - 2

= 3 (4) - 2 = 10

LK = 2x

= 2 (4) = 8

7-4 Cómo aplicar las propiedades de los triángulos semejantes (págs. 481–487)



28. Para hallar la altura de un mástil, Casey midió su propia sombra y la sombra del mástil. Como la altura de Casey es 5 pies y 4 pulg, ¿cuál es la altura x del mástil?

29. Jonathan está a 3 pies de un poste, que mide 12 pies de altura. El poste y su sombra forman los catetos de un triángulo rectángulo. Jonathan mide 6 pies de altura y está parado en paralelo al poste. ¿Cuál es la longitud de la sombra de Jonathan?

■ Usa las dimensiones en el diagrama para hallar la altura h de la torre.

Un estudiante que mide 5 pies y 5 pulgadas midió su sombra y la sombra de una torre para hallar la altura de la torre.

5 pies 5 pulg = 65 pulg 1 pie 3 pulg = 15 pulg 11 pies 3 pulg = 135 pulg

h _ 135

= 65 _ 15

Los lados corr. son proporcionales.

Prop. de productos cruzados.

Simplifica.


15h = 65 (135)

15h = 8775

h = 585 pulg

La altura de la torre es 48 pies y 9 pulg.

7-5 Cómo usar relaciones proporcionales (págs. 488–494)


30. Dado: R (1, -3

) , S

(-1, -1

) , T

(2, 0

) , U

(-3, 1

)

y V (3, 3

)

Demuestra: �RST ∼ �RUV

31. Dado: J (4, 4

) , K

(2, 3

) , L

(4, 2

) , M

(-4, 0

) y

N (4, -4

)

Demuestra: �JKL ∼ �JMN

32. Dado que �AOB ∼ �COD, halla las coordenadas de B y el factor de escala.

33. Representa gráficamente la imagen del triángulo después de una dilatación con el factor de escala dado. Luego, verifica que la imagen sea semejante al triángulo dado. K

(0, 3

) , L

(0, 0

) y M

(4, 0

) con factor de escala 3.

■ Dado: A (5, -4) , B (-1, -2) , C (3, 0) , D (-4, -1) y E (2, 2)

Demuestra: �ABC ∼ �ADE

Demostración: Marca los puntos y traza los triángulos.

Usa la fórmula de distancia para hallar las longitudes de los lados.

AC = 2 √

5 , AE = 3 √

5

AB = 2 √

10 , AD = 3 √

10

Por lo tanto, AB _ AD

= AC _ AE

= 2 _ 3

.

Como los lados correspondientes son proporcionales y ∠A � ∠A b según la propiedad reflexiva, �ABC ∼ �ADE según LAL ∼.

7-6 Dilataciones y semejanzas en el plano cartesiano (págs. 495–500)


Capítulo 8 Trigonometría y triángulos rectángulos 29

Vocabularioángulo de depresión . . . . . . . . . . 544

ángulo de elevación . . . . . . . . . . . 544

coseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 525

dirección . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 560

forma de componente . . . . . . . . . 559

magnitud . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5601

media geométrica . . . . . . . . . . . . 519

razón trigonométrica . . . . . . . . . 525

seno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 525

tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 525

vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 559

vector resultante . . . . . . . . . . . . . . 561

vectores iguales . . . . . . . . . . . . . . . 561

vectores paralelos . . . . . . . . . . . . . 561

6. Escribe un enunciado de semejanza comparando los tres triángulos.

Halla la media geométrica de cada par de números. Si es necesario, da la respuesta en la forma radical más simple.

7. 1 _ 4

y 100 8. 3 y 17

Halla x, y y z.

9. 10.

11.

■ Halla la media geométrica de 5 y 30.

Sea x la media geométrica.

x 2 = (5) (30) = 150 Def. de media geométrica

x = √ ��

150 = 5 √ �

6 Halla la raíz cuadrada positiva.

■ Halla x, y y z.

( √

�

33 ) 2 = 3 (3 + x) √

��

33 es la media geométrica de 3 y 3 + x. 33 = 9 + 3x

24 = 3x

x = 8

y 2 = (3) (8) y es la media geométrica de 3 y 8. y 2 = 24

y = √ �

24 = 2 √ �

6

z 2 = (8) (11) z es la media geométrica de 8 y 11. z 2 = 88

z = √ �

88 = 2 √ �

22

8-1 Semejanza entre triángulos rectángulos (págs. 518–523)



1. El/la −−−−

? de un vector indica el cambio horizontal y vertical desde el punto inicial hasta el punto terminal.

2. Dos vectores con la misma magnitud y dirección se llaman −−−−

? .

3. Si a y b son números positivos, entonces √

��

ab es el/la −−−−

? de a y b.

4. Un −−−−

? es el ángulo formado por una línea horizontal y una línea de visión hasta un punto por encima de la línea horizontal.

5. El seno, el coseno y la tangente son ejemplos de un(a) −−−−

? .

Halla cada longitud. Redondea a la centésima más cercana.

12. UV

13. PR

14. XY 15. JL

Halla cada longitud. Redondea a la centésima más cercana.

■ EF

sen 75° = EF _ 8.1

Como están indicados el cateto op. y la hipotenusa, usa una razón de seno.

EF = 8.1 (sen 75°)

EF ≈ 7.82 cm

■ AB

tan 34° = 4.2 _ AB

AB tan 34° = 4.2 Como están indicados los catetos adyacentes y opuestos, usa una razón de tangente.

AB = 4.2 _ tan 34°

AB ≈ 6.23 pulg

8-2 Razones trigonométricas (págs. 525–532)


Halla las medidas desconocidas. Redondea las longitudes a la centésima más cercana y las medidas de los ángulos al grado más cercano.

16.

17.

18. 19.

■ Halla las medidas desconocidas en �LMN. Redondea las longitudes a la centésima más cercana y las medidas de los ángulos al grado más cercano.

Los ángulos agudos de un triángulo rectángulo son complementarios. Por lo tanto, m∠N = 90° - 61° =29°.

sen L =

MN_LN

Escribe una razón trigonométrica.


Halla LN.

Escribe una razón trigonométrica.


Halla LM.

sen 61° = 8.5 _ LN

LN =

8.5_sen 61°

≈ 9.72

tan L = MN _ LM

tan 61° =

8.5_LM

LM = 8.5 _ tan 61°

≈ 4.71

8-3 Cómo resolver triángulos rectángulos (págs. 534–541)



Capítulo 8 Trigonometría y triángulos rectángulos 31

Clasifica cada ángulo como un ángulo de elevación o un ángulo de depresión.

20. ∠1 21. ∠2

22. Cuando el ángulo de elevación al Sol es 82°, un monumento proyecta una sombra que mide 5.1 pies de largo. ¿Cuál es la altura del monumento redondeada al pie más cercano?

23. Un guardabosque en una torre mirador detecta un incendio a la distancia. El ángulo de depresión hasta el incendio es de 4° y la torre mirador mide 32m de altura. ¿Cuál es la distancia horizontal hasta el incendio? Redondea al metro más cercano.

■ Un piloto en un avión detecta un incendio forestal en tierra a un ángulo de depresión de 71°. La altitud del avión es 3000 pies. ¿Cuál es la distancia horizontal desde el avión hasta el incendio? Redondea al pie más cercano.

tan 71° = 3000 _ XF

XF = 3000 _ tan 71°

XF ≈ 1033 pies

■ Un buzo está nadando a una profundidad de 63 pies por debajo del nivel del mar. Ve una boya flotando a nivel del mar a un ángulo de elevación de 47°. ¿Cuánto debe nadar el buzo para quedar directamente debajo de la boya? Redondea al pie más cercano.

tan 47° = 63 _ XD

XD = 63 _ tan 47°

XD ≈ 59 pies

8-4 Ángulos de elevación y depresión (págs. 544–549)


Halla cada medida. Redondea las longitudes a la décima más cercana y las medidas de los ángulos al grado más cercano.

24. m∠Z

25. MN


■ m∠B

sen B _ AC

= sen C _ AB

Ley de los senos


Multiplica ambos lados por 6.

sen B _ 6

= sen 88° _ 8

sen B = 6 sen 88° _ 8

m∠B = sen -1

(

6 sen 88° _ 8

)

≈ 49°

8-5 Ley de los senos y ley de los cosenos (págs. 551–558)



Escribe cada vector en forma de componente.

28. ⎯⎯⎯� AB con A (5, 1

) y B

(-2, 3

)

29. ⎯⎯⎯⎯� MN con M (-2, 4

) y N

(-1, -2

)

30. ⎯⎯⎯� RS

Traza cada vector en un plano cartesiano. Halla su magnitud a la décima más cercana.

31. ⟨-5, -3⟩

32. ⟨-2, 0⟩

33. ⟨4, -4⟩

Traza cada vector en un plano cartesiano. Halla la dirección del vector al grado más cercano.

34. El vector ⟨4, 5⟩ da la velocidad de un helicóptero.

35. El vector ⟨7, 2⟩ da la fuerza que usa un bote

remolcador.

36. Un avión vuela a una velocidad constante de 600 mi/h con rumbo N 55° E. Hay viento cruzado que sopla hacia el este a 50 mi/h. ¿Cuáles son la velocidad y la dirección reales del avión? Redondea la velocidad a la décima más cercana y la dirección al grado más cercano.

■ Traza el vector ⟨-1, 4⟩ en un plano cartesiano. Halla su magnitud a la décima más cercana.

⎪

⟨-1, 4⟩

⎥

= √

��

(-1) 2 + (4) 2

= √ �

17 ≈ 4.1

■ El vector ⟨4, 3⟩. Da la velocidad de un avión a chorro. Traza el vector en un plano cartesiano. Halla la dirección del vector al grado más cercano.

En el �PQR, tan P = 3 _ 4

, por lo tanto

m∠P = tan -1 (

3 _ 4

)

≈ 37°.

■ Susan cruza nadando un río con rumbo N 75° E a una velocidad de 0.5 mi/h. La corriente del río fluye hacia el este a 1 mi/h. Halla la velocidad real de Susan a la décima más cercana y su dirección al grado más cercano.

cos 15° = x _

0.5 , por lo tanto,

x ≈ 0.48.

sen 15° = y _

0.5 , por lo tanto,

y ≈ 0.13.

El vector de Susan es ⟨0.48, 0.13⟩. La corriente es ⟨1, 0⟩. La velocidad real de Susan es la magnitud del vector resultante, ⟨1.48, 0.13⟩.

⎪

⟨1.48, 0.13⟩

⎥

= √

��

(1.48) 2 + (0.13) 2 ≈ 1.5 mi/h

Su dirección es tan -1 (

0.13 _ 1.48

)

≈ 5°, o N 85° E.

8-6 Vectores (págs. 559–567)



■ HJ

Usa la ley de los cosenos.

HJ 2 = GH 2 + G J 2 - 2 (GH) (GJ) cos G

=1 0 2 + 1 1 2 - 2 (10 ) (11 ) cos 32°

H J 2 ≈ 34.4294 Simplifica.

Halla la raíz cuadrada. HJ ≈ 5.9


26. EF

27. m∠Q

Capítulo 9 Cómo extender el perímetro, la circunferencia y el área 33

Vocabularioángulo central de un polígono regular . . . . 601

apotema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 601

centro de un círculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 600

centro de un polígono regular . . . . . . . . . . . 601

círculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 600

figura compuesta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 606

probabilidad geométrica . . . . . . . . . . . . . . . . 630


1. Un(a) −−−−

? es la longitud de un segmento perpendicular a un lado de un polígono regular.

2. El punto equidistante de todos los puntos en un círculo es el/la −−−−

? .

3. El/la −−−−

? se basa en una razón de medidas geométricas.

Halla cada medida.

4. el área de un cuadrado en el que P = 36 pulg

5. el perímetro de un rectángulo en el que b = 4 cm y A = 28 cm 2

6. la altura de un triángulo en el que A = 6 x 3 y pulg 2 y b = 4xy pulg

7. la altura de un trapecio en el que A = 48xy pies 2

8. el área de un rombo en el que d 1 = 21 yd y d 2 = 24 yd

9. la diagonal d 2 del rombo en el que A = 630 x 3 y 7 pulg 2

10. el área de una cometa en la que d 1 = 32 m y d 2 = 18 m

Halla cada medida.

■ el perímetro de un cuadrado en el que A = 36 pulg 2

A = s 2 = 36 pulg 2 Usa la fórmula del área para hallar la longitud del lado.

S = √ �

36 = 6 pulg

P = 4s = 4 � 6 = 24 pulg

■ el área del triángulo

Según el teorema de Pitágoras,

8 2 + b 2 = 17 2

64 + b 2 = 289

b 2 = 225, por lo tanto, b = 15 pies.

A = 1 _ 2

bh = 1 _ 2

(15) (8) = 60 pies 2

■ la diagonal d 2 de un rombo en el que A = 6 x 3 y 3 m y d 1 = 4 x 2 y m

A = 1 _ 2

d 1 d 2

6 x 3 y 3 = 1 _ 2

(4 x 2 y

) d 2 Sustituye los valores dados.

Halla d 2 . d 2 = 3x y 2

9-1 Cómo desarrollar fórmulas para triángulos y cuadriláteros (págs. 589–597)



Halla cada medida. Redondea a la décima más cercana si es necesario.

11. la circunferencia de �G

12. el área de �J en el que C = 14π yd

13. el diámetro de �K en el que A = 64 x 2 π m 2

14. el área de un pentágono regular con lados cuya longitud es 10 pies

15. el área de un triángulo equilátero con lados cuya longitud es 4 pulgadas

16. el área de un octágono regular con lados cuya longitud es 8 cm

17. el área del cuadrado

Halla cada medida.

■ la circunferencia y el área de

�B en función de π

C = 2πr = 2π (

5xy)

= 10xyπ m

A = π r 2 = π (

5xy)

2 = 25 x 2 y 2 π m 2

■ el área, a la décima más cercana, de un hexágono regular con una apotema de 9 yd.

Según el teorema del triángulo

30°-60°-90°, x = 9 √ �

3 ____ 3 = 3 √

� 3 .

Por lo tanto, s = 2x = 6 √ �

3 , y

P = 6 (6 √ �

3 ) = 36 √ �

3 .

A = 1 _ 2

aP = 1 _ 2

(9) (36 √ �

3 ) = 162 √ �

3 ≈ 280.6 yd 2

9-2 Cómo desarrollar fórmulas para círculos y polígonos regulares (págs. 600–605)


Halla el área sombreada. Redondea a la décima más cercana si es necesario.

18. 19.

20.

■ Halla el área sombreada. Redondea a la décima más cercana si es necesario.

El área del triángulo es

A = 1 _ 2

(18) (20) = 180 cm 2 .

El área del paralelogramo es

A = bh = 20 (10) = 200 cm 2 .

El área de la figura es la suma de las dos áreas.180 + 200 = 380 cm 2

9-3 Figuras compuestas (págs. 606–612)


Capítulo 9 Cómo extender el perímetro, la circunferencia y el área 35

Estima el área de cada figura irregular.

21.

22.

Traza y clasifica el polígono con los vértices dados. Halla el perímetro y el área del polígono.

23. H (0, 3

) , J

(3, 0

) , K

(0, -3

) , L

(-3, 0

)

24. M (-2, 5

) , N

(3, -2

) , P

(-2, -2

)

25. A (-2, 3

) , B

(2, 3

) , C

(4, -1

) , D

(-4, -1

)

26. E (-1, 3

) , F

(3, 3

) , G

(1, 0

) , H

(-3, 0

)

Halla el área del polígono con los vértices dados.

27. Q (1, 4

) , R

(4, 3

) , S

(2, -4

) , T

(-3, -2

)

28. V (-2, 2

) , W

(4, 0

) , X

(2, -3

) , Y

(-3, 0

)

29. A (1, 4

) , B

(2, 3

) , C

(0, -3

) , D

(-2, -1

)

30. E (-1, 2

) , F

(2, 0

) , G

(1, -3

) , H

(-4, -1

)

■ Estima el área de la figura irregular.

La figura abarca aproximadamente 28 cuadrados completos y 17 mitades de cuadrados. El área total es aproximadamente 28

+ 1 _ 2

(17) = 36.5 undades 2 .

■ Traza y clasifica los polígonos con los vértices R (2, 4) , S (3, 1) , T (2, -2) y U (1, 1) . Halla el perímetro y el área del polígono.

RSTU parece ser un rombo.

Verifícalo demostrando que los cuatro lados son congruentes. Según la fórmula de distancia, UR = RS = ST = TU = √

� 10 unidades.

El perímetro es 4 √ �

10 unidades

El área es A = 1 _ 2

d 1 d 2 = 1 _ 2

US � RT = 1 _ 2

(2 � 6) = 6 unidades 2 .

■ Halla el área del polígono con los vértices A (-3, 4) , B (2, 3) , C (0, -2) y D (-5, -1) .

área del rectángulo:

7 (6) = 42 unidades 2

área de los triángulos:

a: A = 1 _ 2

(2) (5)

= 5 unidades 2

b: A = 1 _ 2

(5) (1)

= 2.5 unidades 2

c: A = 1 _ 2

(2) (5) = 5 unidades 2

d: A = 1 _ 2

(5) (1) = 2.5 unidades 2

área del polígono: A = 42 - 5 - 2.5 - 5 - 2.5 = 27 unidades 2

9-4 Perímetro y área en el plano cartesiano (págs. 616–621)



Describe el efecto de cada cambio sobre el perímetro o la circunferencia y el área de la figura dada.

31. Se triplican la base y la altura del triángulo con vérticesX

(-1, 3

) , Y

(-3, -2

) y Z

(2, -2

)

32. Se duplica longitud de los lados del cuadrado con vértices P

(-1, 1

) , Q

(3, 1

) , R

(3, -3

) y S

(-1, -3

)

33. El radio de �A con un radio de 11 m se

multiplica por 1 _ 2

.

34. La base y la altura de un triángulo con base de 8 pies y altura de 20 pies se multiplican por 4.

■ Se duplican la base y la altura de un rectángulo con base de 10 cm y altura de 15 cm. Describe el efecto en el área y el perímetro de la figura.

original: P = 2b + 2h = 2 (10) + 2 (15) = 50 cm

A = bh = 10 (15) = 150 cm 2

duplicado: P = 2b + 2h = 2 (20) + 2 (30) = 100 cm

A = bh = 20 (30) = 600 cm 2

El perímetro aumenta por un factor de 2. El área aumenta por un factor de 4.

9-5 Efectos de cambiar dimensiones de manera proporcional (págs. 622–627)


Se elige al azar un punto en −−

AD . Halla la probabilidad de cada suceso.

35. El punto está en −−

AB .

36. El punto no está en −−

CD .


AB o −−

CD .


BC o −−

CD .

Halla la probabilidad de que un punto elegido al azar dentro del rectángulo de 40 m por 24 m esté dentro de cada figura. Redondea a la centésima más cercana.

39. el hexágono regular

40. el triángulo

41. el círculo o el triángulo

42. dentro del rectángulo, pero no dentro del hexágono, triángulo o círculo

Se elige al azar un punto en −−

WZ . Halla la probabilidad de cada suceso.

■ El punto está en −−

XZ .

P (XZ) = XZ _ WZ

= 15 _ 18

= 5 _ 6

■ El punto está en −−−

WX o −−

YZ .

P ( −−−

WX o −−

YZ ) = P ( −−−

WX ) + P ( −−

YZ ) = 3 _ 18

+ 7 _ 18

= 10 _ 18

= 5 _ 9

■ Halla la probabilidad de que un punto elegido al azar dentro del rectángulo esté dentro del triángulo equilátero.

área del rectángulo

A = bh = 20 (10) = 200 pies 2

área del triángulo

A = 1 _ 2

aP = 1 _ 2

(

5 √

� 3 _

3

)

(30) = 25 √ �

3 ≈ 43.3 pies 2

P = 43.3 _ 200

≈ 0.22

9-6 Probabilidad geométrica (págs. 630–636)


Capítulo 10 Razonamiento espacial 37

Vocabularioaltura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 680

altura de un cono . . . . . . . . . . . . . 690

altura de una pirámide . . . . . . . . 689

altura inclinada de un cono recto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 690

altura inclinada de una pirámide regular . . . . . . . . . . . 689

área total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 680

arista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654

arista lateral . . . . . . . . . . . . . . . . . . 680

cara . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654

cara lateral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 680

centro de una esfera . . . . . . . . . . 714

cilindro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654

cilindro oblicuo . . . . . . . . . . . . . . . 681

cilindro recto . . . . . . . . . . . . . . . . . 681

círculo máximo . . . . . . . . . . . . . . . 714

cono . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654

cono oblicuo . . . . . . . . . . . . . . . . . 690

cono recto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 690

cubo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654

dibujo en perspectiva . . . . . . . . . 662

dibujo isométrico . . . . . . . . . . . . . 662

dibujo ortográfico . . . . . . . . . . . . 661

eje de un cilindro . . . . . . . . . . . . . 681

eje de un cono . . . . . . . . . . . . . . . . 690

esfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 714

espacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 671

hemisferio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 714

horizonte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 662

pirámide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654

pirámide regular . . . . . . . . . . . . . . 689

plantilla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 655

poliedro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 670

prisma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654

prisma oblicuo . . . . . . . . . . . . . . . 680

prisma recto . . . . . . . . . . . . . . . . . . 680

punto de fuga . . . . . . . . . . . . . . . . 662

radio de una esfera . . . . . . . . . . . 714

sección transversal . . . . . . . . . . . 656

superficie lateral . . . . . . . . . . . . . . 681

vértice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654

vértice de un cono . . . . . . . . . . . . 690

vértice de una pirámide . . . . . . . 689

volumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 697


1. Un(a) −−−−

? tiene, por lo menos, una cara lateral no rectangular.

2. Un nombre que se da a la intersección de una figura tridimensional y un plano es −−−−

? .

Clasifica cada figura. Identifica los vértices, las aristas y bases.

3. 4.

Describe la figura tridimensional que se puede formar con la plantilla dada.

5. 6.

■ Clasifica la figura. Identifica los vértices, las aristas y bases.

prisma pentagonal

vértices: A, B, C, D, E, F, G, H, J, K

aristas: −−

AB , −−

BC , −−

CD , −−

DE , −−

AE , −−

FG , −−−

GH , −−

HJ , −−

JK , −−

KF , −−

AF , −−

EK , −−

DJ , −−

CH , −−

BG

bases: ABCDE, FGHJK

■ Describe la figura tridimensional que se puede formar con la plantilla dada.

La plantilla forma un prisma rectangular.

10-1 Geometría de cuerpos geométricos (págs. 654–660)



Halla la cantidad de vértices, aristas y caras de cada poliedro. Usa tus resultados para verificar la fórmula de Euler.

13. 14.

Halla la distancia entre los puntos dados. Halla el punto medio del segmento con los extremos dados. Redondea a la décima más cercana si es necesario.

15. (2, 6, 4

) y

(7, 1, 1

)

16. (0, 3, 0

) y

(5, 7, 8

)

17. (7, 2, 6

) y

(9, 1, 5

)

18. (6, 2, 8

) y

(2, 7, 4

)

■ Halla la cantidad de vértices, aristas y caras del poliedro dado. Usa tus resultados para verificar la fórmula de Euler.

V = 12, E = 18, F = 8

12 - 18 + 8 = 2

■ Halla la distancia entre los puntos (6, 3, 4) y (2, 7, 9) . Halla el punto medio del segmento con los extremos dados. Redondea a la décima más cercana si es necesario.

distancia:

d = √

��

(2 - 6) 2 + (7 - 3) 2 + (9 - 4) 2

= √

�

57 ≈ 7.5

punto medio:

M (

6 + 2

_ 2

, 3 + 7

_ 2

, 4 + 9

_ 2

)

M (4, 5, 6.5

)

10-3 Fórmulas en tres dimensiones (págs. 670–677)


Usa la figura compuesta de cubos individuales para los Ejercicios del 7 al 10. Haz de cuenta que no hay cubos escondidos.

7. Dibuja las seis vistas ortográficas.

8. Dibuja una vista isométrica.

9. Dibuja el objeto en perspectiva de un punto.

10. Dibuja el objeto en perspectiva de dos puntos.

Determina si cada dibujo representa el objeto dado. Haz de cuenta que no hay cubos escondidos.

11. 12.

■ Dibuja las seisvistas ortográficas del objeto dado. Haz de cuenta que no hay cubos escondidos.

Superior: Inferior:

Frontal: Trasera:

Lado izquierdo: Lado derecho:

■ Dibuja una vista isométrica del objeto dado. Haz de cuenta que no hay cubos escondidos.

10-2 Representaciones de figuras tridimensionales (págs. 661–668)


Capítulo 10 Razonamiento espacial 39

Halla el área lateral y el área total de cada prisma o cilindro recto. Redondea a la décima más cercana si es necesario.

19.

20. un cubo con lados con longitud de 5 pies

21. un prisma triangular equilátero con una altura de 7 m y longitudes de aristas de la base de 6 m

22. un prisma pentagonal regular con una altura de 8 cm y una longitud de aristas de la base de 4 cm

Halla el área lateral y el área total de cada cilindro o prisma recto.

■

L = Ph = 28 (10) = 280 pulg 2

S = Ph + 2B = 280 + 2 (49) = 378 pulg 2

■ un cilindro con un radio de 8 m y una altura de 12 m

L = 2πrh = 2π (8) (12) = 192π ≈ 603.2 m 2

S = L + 2B = 192π + 2π (8) 2 = 320π

≈ 1005.3 m 2

10-4 Área total de prismas y cilindros (págs. 680–687)


Halla el área lateral y el área total de cada pirámide recta o cono recto.

23. una pirámide cuadrada con lados con longitud de 15 pies y una altura inclinada de 21 pies

24. un cono con un radio de 7 m y una altura de 24 m

25. un cono con un diámetro de 20 pulg y una altura inclinada de 15 pulg

Halla el área total de cada figura compuesta.

26. 27.

Halla el área lateral y el área total de cada pirámide o cono recto.

■

El radio es 8m, por lo tanto, la altura inclinada es

√

��

8 2 + 15 2 = 17 m.

L = πr� = π (8) (17) = 136π m 2

S = πr� + π r 2 = 136π + (8) 2 π = 200π m 2

■ una pirámide hexagonal regular cuyas aristas de la base miden 8 pulg y cuya altura inclinada es 20 pulg.

L = 1 _ 2

P� = 1 _ 2

(48) (20) = 480 pulg 2

S = L + B = 480 + 1 _ 2

(4 √

�

3 ) (48) ≈ 646.3 pulg 2

10-5 Área total de pirámides y conos (págs. 689–696)


Halla el volumen de cada prisma.

28. 29.■ Halla el volumen

del prisma.

V = Bh = (

1 _ 2

aP)

h

= 1 _ 2

(4 √

�

3 ) (48) (12)

= 1152 √

�

3 ≈ 1995.3 cm 3

10-6 Volumen de prismas y cilindros (págs. 697–704)



Halla el volumen de cada cilindro.

30. 31. ■ Halla el volumen del cilindro.

V = π r 2 h = π (6) 2 (14)

= 504π ≈ 1583.4 pies 3

■ Halla el volumen de la pirámide.

V = 1 _ 3

Bh = 1 _ 3

(8 · 3) (14)

= 112 pulg 3

■ Halla el volumen del cono.

V = 1 _ 3

π r 2 h = 1 _ 3

π (9) 2 (16)

= 432π pies 3 ≈ 1357.2 pies 3

10-7 Volumen de pirámides y conos (págs. 705–712)


Halla el volumen de cada pirámide o cono.

32. una pirámide hexagonal con un área de base de 42 m 2 y una altura de 8 m

33. una pirámide triangular equilátera con aristas de base de 3 cm y una altura de 8 cm

34. un cono con un diámetro de 12 cm y una altura de 10 cm

35. un cono con un área de base de 16π pies 2 y una altura de 9 pies

Halla el volumen de cada figura compuesta.

36. 37.

Halla cada medida. Da tus respuestas en función de π.

38. el volumen de una esfera con un área total de 100 π m 2

39. el área total de una esfera con un volumen de 288π pulg 3

40. el diámetro de una esfera con un área total de 256π pies 2

Halla el área total y el volumen de cada figura compuesta.

41. 42.

■ Halla el volumen y el área total de la esfera. Da tus respuestasen función de π.

V = 4 _ 3

π r 3 = 4 _ 3

π (9) 3 = 972π m 2

S = 4π r 2 = 4π (9) 2 = 324π m 2

10-8 Esferas (págs. 714–721)


Capítulo 11 Círculos 41

Vocabularioángulo central . . . . . . . . . . . . . . . . 756

ángulo inscrito . . . . . . . . . . . . . . . 772

arco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 756

arco abarcado . . . . . . . . . . . . . . . . 772

arco mayor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 756

arco menor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 756

arcos adyacentes . . . . . . . . . . . . . 757

arcos congruentes . . . . . . . . . . . . 757

círculos concéntricos . . . . . . . . . 747

círculos congruentes . . . . . . . . . . 747

círculos tangentes . . . . . . . . . . . . 747

cuerda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 746

exterior de un círculo . . . . . . . . . 746

interior de un círculo . . . . . . . . . 746

longitud de arco . . . . . . . . . . . . . . 766

punto de tangencia . . . . . . . . . . . 746

secante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 746

sector de un círculo . . . . . . . . . . . 764

segmento de un círculo . . . . . . . 765

segmento secante . . . . . . . . . . . . . 793

segmento secante externo . . . . . 793

segmento tangente . . . . . . . . . . . 794

semicírculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 756

subtender . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 772

tangente común . . . . . . . . . . . . . . 748

tangente de un círculo . . . . . . . . 746


1. Un(a) −−−−

? es una región limitada por un arco y una cuerda.

2. Un ángulo cuyo vértice está en el centro de un círculo se llama −−−−

? .

3. La medida de un(a) −−−−

? es 360° menos la medida de su ángulo central.

4. Los/las −−−−

? son círculos coplanares con el mismo centro.

Identifica cada línea o segmento que se interseca con cada círculo.

5. 6.

Dadas las medidas de los siguientes segmentos que son tangentes a un círculo, halla cada longitud.

7. AB = 9x - 2 y BC = 7x + 4. Halla AB.

8. EF = 5y + 32 y EG = 8 - y. Halla EG.

9. JK = 8m - 5 y JL = 2m + 4. Halla JK.

10. WX = 0.8x + 1.2 y WY = 2.4x. Halla WY.

■ Identifica cada línea o segmento que se interseca con �A.

cuerda: −−

DE

tangente: � �� BC

radios: −−

AE , −−

AD y −−

AB

secante: � �� DE

diámetro: −−

DE

■ −−

RS y −−

RW son tangentes a �T. RS = x + 5 y RW = 3x - 7. Halla RS.

RS = RW 2 seg. tangentes a � desde el mismo pto. ext. → seg. �.Sustituye los valores dados.Resta 3x de ambos lados.Resta 5 de ambos lados.Divide ambos lados entre -2.Sustituye y por 6.Simplifica.

x + 5 = 3x - 7-2x + 5 = -7

-2x = -12x = 6

RS = 6 + 5 = 11

11-1 Líneas que se intersecan con círculos (págs. 746–754)



Halla cada medida.

11. m � KM

12. m � HMK

13. m � JK

14. m � MJK

Halla cada longitud a la décima más cercana.

15. ST 16. CD

Halla cada medida.

■ m � BF

∠BAF y ∠FAE son suplementarios, por lo tanto, m∠BAF = 180° - 62° = 118°.m � BF = m∠BAF = 118°

■ m � DF

Como m∠DAE = 90°, m � DE = 90°. m∠EAF = 62°, por lo tanto, m � EF = 62°. Según el postulado de la suma de arcos,

m � DF = m � DE + m � EF = 90° + 62° = 152°.

11-2 Arcos y cuerdas (págs. 756–763)


Halla el área de cada sector. Da tu respuesta en función de π y redondéala a la centésima más cercana.

17. sector DEF 18. sector JKL

Halla cada longitud de arco. Da tu respuesta en función de π y redondéala a la centésima más cercana.

19. � GH 20. � MNP

■ Halla el área del sector PQR. Da tu respuesta en función de π y redondéala a la centésima más cercana.

A = π r 2 (

m° _ 360°

)

= π (4) 2 (

135° _ 360

)

= 16π (

3 _ 8

)

= 6π m 2

≈ 18.85 m 2

■ Halla la longitud de � AB . Da tu respuesta en función de π y redondéala a la centésima más cercana.

L = 2πr (

m° _ 360°

)

= 2π (9) (

80° _ 360°

)

= 18π (

4 _ 9

)

= 8π pies

≈ 25.13 pies

11-3 Área de sectores y longitud de arcos (págs. 764–769)


Capítulo 11 Círculos 43

Halla cada medida.

21. m � JL

22. m∠MKL

Halla cada valor.

23. x

24. m∠RSP

Halla cada medida.

■ m∠ABD

Según el teorema del ángulo inscrito,

m∠ABD = 1 __ 2 m � AD , por lo tanto,

m∠ABD = 1 __ 2 (108°) = 54°.

■ m � BE

Según el teorema del ángulo inscrito, m∠BAE = 1 __

2 m � BE . Por lo tanto, 28° = 1 __

2 m � BE ,

y m � BE = 2 (28°) = 56°.

11-4 Ángulos inscritos (págs. 772–779)


Halla cada medida.

25. m � MR

26. m∠QMR

27. m∠GKH

28. Una pieza artística de cordel se crea colocando 16 clavos con espacios iguales entre sí alrededor de la circunferencia de un círculo. Se pasa un trozo de cordel de A a B a C a D. ¿Cuánto mide m∠BXC?

Halla cada medida.

■ m∠UWX

m∠UWX = 1 _ 2

m � UW

= 1 _ 2

(160°)

= 80°

■ m � VW

Como m∠UWX = 80°, m∠UWY = 100° y m∠VWY = 50°. m∠VWY = 1 __

2 m � VW .

Por lo tanto, 50° = 1 __ 2 m � VW y m � VW = 2 (50°) = 100°.

■ m∠AED

m∠AED = 1 _ 2

(m � AD + m � BC )

= 1 _ 2

(31° + 87°)

= 1 _ 2

(118°)

= 59°

11-5 Relaciones de ángulos en círculos (págs. 782–789)



Halla el valor de la variable y la longitud de cada cuerda.

29. 30.

Halla el valor de la variable y la longitud de cada segmento secante.

31. 32.

■ Halla el valor de x y la longitud de cada cuerda.

AE � EB = DE

� EC

12x = 8 (6)

12x = 48

x = 4

AB = 12 + 4 = 16

DC = 8 + 6 = 14

■ Halla el valor de x y la longitud cada segmento secante.

FJ � FG = FK

� FH

16 (4) = (6 + x) 6

64 = 36 + 6x

28 = 6x

x = 4 2 _ 3

FJ = 12 + 4 = 16

FK = 4 2 _ 3

+ 6 = 10 2 _ 3

11-6 Relaciones de segmentos en círculos (págs. 792–798)


Escribe la ecuación de cada círculo.

33. �A con centro (-4, -3

) y radio 3

34. �B que pasa por (-2, -2

) y tiene el centro B

(-2, 0

)

35. �C

36. Representa gráficamente (x + 2) 2 + (

y - 2)

2 = 1.

■ Escribe la ecuación del �A que pasa por (-1, 1) y tiene centro A (2, 3) .

La ecuación de un círculo con centro (h, k) y radio r es (x - h)

2 +

(

y - k)

2 = r 2 .

r = √

(2 - (-1) )

2 + (3 - 1) 2 = √

3 2 + 2 2 = √

13

La ecuación del �A es (x - 2) 2 + (

y - 3)

2 = 13.

■ Representa gráficamente (x - 2) 2 + (y + 1) 2 = 4.

El centro del círculo es (2, -1

) y el radio es √

4 = 2.

11-7 Círculos en el plano cartesiano (págs. 799–805)


Capítulo 12 Cómo extender la geometría transformacional 45

Vocabularioagrandamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 873

centro de dilatación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 873

composición de transformaciones . . . . . . . . . . . . 848

reflexión con deslizamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . 848

eje de simetría . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 856

isometría . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 824

patrón de friso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 863

reducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 873

simetría . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 856

simetría axial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 856

simetría de reflexión con deslizamiento . . . . . . . 863

simetría de rotación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 857

simetría de traslación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 863

teselado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 863

teselado regular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 864

teselado semirregular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 864


1. Un(a) −−−−

? es un patrón formado por polígonos regulares congruentes.

2. Un patrón que tiene simetría de traslación a lo largo de una línea se llama −−−−

? .

3. Una transformación que no cambia el tamaño o forma de una figura es un(a) −−−−

? .

4. Una transformación seguida de otra se llama −−−−

? .

Indica si cada transformación parece ser una reflexión.

5. 6.

7. 8.

Refleja la figura con los vértices dados sobre la línea dada.

9. E (-3, 2

) , F

(0, 2

) , G

(-2, 5

) ; eje x

10. J (2, -1

) , K

(4, -2

) , L

(4, -3

) , M

(2, -3

) ; eje y

11. P (2, -2

) , Q

(4, -2

) , R

(3, -4

) ; y = x

12. A (2, 2

) , B

(-2, 2

) , C

(-1, 4

) ; y = x

■ Refleja la figura con los vértices dados sobre la línea dada.

A (1, -2) , B (4, -3) , C (3, 0) ; y = x

Para reflejar sobre la línea y = x, intercambia las coordenadas x e y de cada punto. Las imágenes de los vértices son A'

(-2, 1

) , B'

(-3, 4

) y C'

(0, 3

) .

12-1 Reflexiones (págs. 824–830)



Indica si cada transformación parece ser una traslación.

13. 14.

15. 16.

Traslada la figura con los vértices dados a lo largo del vector dado.

17. R (1, -1

) , S

(1, -3

) , T

(4, -3

) , U

(4, -1

) ; ⟨-5, 2⟩

18. A (-4, -1

) , B

(-3, 2

) , C

(-1, -2

) ; ⟨6, 0⟩

19. M (1, 4

) , N

(4, 4

) , P

(3, 1

) ; ⟨-3, -3⟩

20. D (3, 1

) , E

(2, -2

) , F

(3, -4

) , G

(4, -2

) ; ⟨-6, 2⟩

■ Traslada la figura con los vértices dados a lo largo del vector dado.

D (-4, 4) , E (-4, 2) , F (-1, 1) , G (-2, 3) ; ⟨5, -5⟩

Para trasladar a lo largo de ⟨5, -5⟩, suma 5 a la coordenada x de cada punto y suma -5 a la coordenada y de cada punto. Los vértices de la imagen son D'

(1, -1

) , E'

(1, -3

) , F'

(4, -4

) y

G' (3, -2

) .

12-2 Traslaciones (págs. 831–837)


Indica si cada transformación parece ser una rotación.

21. 22.

23. 24.

Rota la figura con los vértices dados alrededor del origen usando el ángulo de rotación dado.

25. A (1, 3

) , B

(4, 1

) , C

(4, 4

) ; 90°

26. A (1, 3

) , B

(4, 1

) , C

(4, 4

) ; 180°

27. M (2, 2

) , N

(5, 2

) , P

(3, -2

) , Q

(0, -2

) ; 90°

28. G (-2, 1

) , H

(-3, -2

) , J

(-1, -4

) ; 180°

■ Rota la figura con los vértices dados alrededor del origen usando el ángulo de rotación dado.

A (-2, 0) , B (-1, 3) , C (-4, 3) ; 180°

Para rotar la figura 180°, halla los opuestos de las coordenadas x e y de cada punto. Los vértices de la imagen son A'

(2, 0

) , B'

(1, -3

) y C'

(4, -3

) .

12-3 Rotaciones (págs. 839–845)


Capítulo 12 Cómo extender la geometría transformacional 47

Traza el resultado de la composición de isometrías.

29. Traslada ABCD a lo largo de �

v , y luego, refléjalo sobre la línea m.

30. Refleja �JKL sobre la línea m y luego, rótalo 90° alrededor del punto P.

■ Traza el resultado de la composición de isometrías.

Traslada el �MNP a lo largo de � v , y luego, refléjalo

sobre la línea �.

Primero traza �M'N'P', la imagen de traslación de �MNP. Luego, refleja �M'N'P' sobre la línea � para hallar la imagen final, �M''N''P''.

12-4 Composiciones de transformaciones (págs. 848–853)


Indica si cada figura tiene simetría axial. Si la tiene, copia la figura y traza todos los ejes de simetría.

31. 32.

Indica si cada figura tiene simetría de rotación. Si la tiene, da el ángulo de simetría de rotación y el orden de simetría.

33. 34.

35. 36.

Indica si cada figura tiene simetría de rotación. Si la tiene, da el ángulo de simetría de rotación y el orden de la simetría.

■

no tiene simetría rotacional

■

La figura coincide consigo misma cuando se rota 90°. Por lo tanto, el ángulo de simetría de rotación es de 90°. El orden de simetría es 4.

12-5 Simetría (págs. 856–862)



Copia la figura dada y úsala para crear un teselado.

37. 38.

39. 40.

Clasifica cada teselado como regular, semirregular o ninguno.

41.

42.

■ Copia la figura dada y úsala para crear un teselado. Rota el cuadrilátero 180° alrededor del punto medio de un lado.

Traslada el par de cuadriláteros resultante para formar una fila.

Traslada la fila para hacer un teselado.

■ Clasifica el teselado como regular, semirregular o ninguno.

El teselado está formado dos polígonos regulares diferentes y cada vértice tiene los mismos polígonos en el mismo orden. Por lo tanto, el teselado es semirregular.

12-6 Teselados (págs. 863–869)


Indica si cada transformación parece ser una dilatación.

43. 44.

Dibuja la imagen de la figura con los vértices dados debajo de una dilatación con centro en el origen usando el factor de escala dado..

45. R (0, 0

) , S

(4, 4

) , T

(4, -4

) ; factor de escala: -

1 _ 2

46. D (0, 2

) , E

(-2, 2

) , F

(-2, 0

) ; factor de escala: -2

■ Dibuja la imagen de la figura con los vértices dados debajo de una dilatación con centro en el origen usando el factor de escala dado.A (0, -2) , B (2, -2) , C (2, 0) ; factor de escala: 2

Multiplica por 2 las coordenadas x e y de cada punto. Los vértices de la imagen son A'

(0, -4

) ,

B' (4, -4

) y C'

(4, 0

) .

12-7 Dilataciones (págs. 872–879)


holt geometría - on.mac-eg.com · pdf file3 x+ 9 = 6 9 = 3x x = 3 m ... la...

Documents