HABLEMOS UN POCO DE LA HISTORIA DE LA MATEMÁTICA

“EL LÍMITE Y SU CONCEPTO A TRAVÉS DEL TIEMPO”

Esp. Martha Edilma Márquez Gutiérrez.

ÁREA: Historia de la Matemática

RESUMEN

El concepto del límite es tal vez uno de los temas más importantes del

cálculo diferencial, ya que junto con el estudio de la continuidad de una

función constituyen la base para el estudio de cualquier curso de cálculo.

Este artículo presenta una pequeña reseña histórica de cómo fue

evolucionando este concepto desde las primeras nociones que René

Descartes (1596-1650) y Pierre de Fermat (1601-1665) hacen al respecto,

pasando por Pierre Simón de Laplace, (1749-1827), Isaac Newton (1642-

1727), quien hace sus primeras contribuciones a las matemáticas en

términos de series infinitas, y estudia diferentes aplicaciones como la

velocidad de cambio o fluxiones de magnitudes, áreas, volúmenes,

distancias, temperaturas, etc., que las asocia bajo el nombre común de "mi

método".

Luego se tienen en cuenta los aportes que hace Gottfried Wilhelm Leibniz

(1646 - 1716), quien también hace sus primeros aportes al igual que

Newton sobre las series infinitas, pero en este caso, numéricas; y ya en el

siglo XIX Carl Friedrich Gauss, (1777-1855) “el príncipe de las

matemáticas”, al igual que Augustin Louis Cauchy, (1789-1857) dan al

cálculo la forma que tiene hoy.

Pero son Karl Theodor Weierstrass, (1815-1897) y Eduard Heine, (1821-

1881), quienes finalmente contribuyeron al cálculo dando una definición

depurada de lo que se conoce hoy como Concepto de Límite.

PALABRAS CLAVES

Evolución del concepto de Límite.

EL LÍMITE Y SU CONCEPTO A TRAVÉS DEL TIEMPO

Esp. Martha Edilma Márquez Gutiérrez.

El concepto del límite es tal vez uno de los temas más importantes del

cálculo diferencial, ya que junto con el estudio de la continuidad de una

función constituyen la base para el estudio de cualquier curso de cálculo.

Los operadores matemáticos fundamentales en el estudio del cálculo son

la diferenciación y la integración, que se basan en la determinación de la

derivada y la integral definida, y estas a la vez dependen del concepto de

límite.

Los operadores matemáticos fundamentales en el estudio del cálculo son

la diferenciación y la integración, que se basan en la determinación de la

derivada y la integral definida, y estas a la vez dependen del concepto de

límite.

A René Descartes (1596-1650) y Pierre de Fermat (1601-1665) se les

atribuye el inicio de la geometría analítica, puesto que por la misma época,

cada uno por su lado, descubrieron el mismo método para resolver

problemas por medio de lugares geométricos.

Descartes en su obra La géométrie presenta un método para hallar la

tangente o normal a una curva, problema que consideraba de gran

importancia:

Sugería que para hallar la normal a una curva en un punto fijo P de dicha

curva, se debería tomar un segundo punto variable Q sobre la curva, y

hallar la circunferencia con centro en

el eje de coordenadas (usa un único

eje de abscisas) y que pase por los

puntos P y Q. Igualando a cero el

discriminante de la ecuación que

determina las intersecciones de la

circunferencia con la curva, puede

hallarse el centro de la circunferencia

tal que Q coincide con P y, conocido

el centro, puede determinarse

fácilmente tanto la normal como la tangente a la curva en el punto P.

Pero el método que desarrolla no era tan directo ni fácil de aplicar como el

que planteaba Fermat en el tratado titulado "Método para hallar máximos

y mínimos " (Methodus ad disquirendam maximan et miniman).

Hacia 1629, Fermat había estado estudiando lugares geométricos dados

por ecuaciones de la forma nxy= (en notación moderna) conocidas como

"parábolas de Fermat" si n es positivo e "hipérbolas de Fermat" si n es

negativo. Fermat profundizó más en el estudio de funciones y planteó

curvas de orden superior, a él se le atribuye el hecho de que el eje de

ordenadas se toma generalmente perpendicular al eje de las abscisas.

Para curvas polinómicas de la forma )(xfy= descubrió un método para

hallar los puntos en los que la función toma un valor máximo o mínimo.

El método de Fermat consistía en comparar el valor de )(xf en un cierto

punto con el valor de )( Exf + en un punto próximo; estos valores son

claramente diferentes, pero en una "cumbre" o en el "fondo" de una curva,

la diferencia debe ser imperceptible. Por lo tanto para hallar los puntos que

corresponden a los valores máximos o mínimos de una función, Fermat

iguala )(xf a )( Exf + , cuanto más pequeño sea el intervalo ,E entre los

dos puntos, más cerca estará dicha igualdad de ser una verdadera

ecuación; luego de dividir todo por ,E hace .0=E Este resultado le permite

calcular las abscisas de los puntos máximos y mínimos de la función

polinómica.

En esencia el método de Fermat es equivalente al que ahora conocemos

como proceso de diferenciación, que es 0)()(

0=

−+

→ ExfExf

Elim .

De acuerdo con esto, Laplace (Pierre Simon de, 1749-1827) cataloga a

Fermat como el verdadero descubridor del cálculo diferencial.

El procedimiento de Fermat que consiste en cambiar ligeramente el valor

de la variable para considerar valores próximos a uno dado, ha constituido

desde entonces la verdadera esencia del análisis infinitesimal. Fermat

también descubrió cómo aplicar su procedimiento de valores próximos de

la variable, para hallar la tangente a una curva de la forma )(xfy= .

Si P es un punto de la curva

)(xfy= en el que se desea hallar

la tangente, y si las

coordenadas de P son ( )ba, ,

entonces un punto próximo P'

sobre la curva de coordenadas

( ))(, EafEa ++ , estará tan

próximo a la tangente que

podemos considerarlo situado

sobre la tangente a la vez que

sobre la curva, aproximadamente. Por lo tanto, si la subtangente en el

punto P es cTQ= , entonces los triángulos TPQ y ''QTP los podemos

considerar como semejantes aproximadamente, y de esto obtenemos la

proporción EcEaf

cb

++

=)(

, a partir de la cual, multiplicando en cruz,

simplificando los términos iguales por ser ),(afb= dividiendo todo por E y

haciendo, por último, 0=E , se puede calcular finalmente la subtangente c

que nos determina unívocamente, con el punto P, la tangente buscada.

Este método resulta equivalente a decir que el E

afEaf

Elim )()(

0

−+

→ es la

pendiente de la curva en el punto ax= .

Pero Fermat no explicó este procedimiento de manera satisfactoria,

limitándose a decir simplemente que era análogo a su método para

determinar máximos y mínimos.

Isaac Newton (1642-1727), alrededor de 1665 hace sus primeras

contribuciones originales a las matemáticas, aparte de expresar funciones

en términos de series infinitas, estudia la velocidad de cambio o fluxiones

de magnitudes, áreas, volúmenes, distancias, temperaturas, etc., que las

asocia bajo el nombre común de "mi método".

Durante 1665 y 1666, Newton hace cuatro de sus principales aportes, a

saber: teorema del binomio, el cálculo, la ley de gravitación y la naturaleza

de los colores.

En cuanto a las velocidades, Newton consideraba a ο como un intervalo de

tiempo muy pequeño, y a οp y οq como los incrementos pequeños que

experimentan x e y durante dicho intervalo. La razón qp

era por lo tanto

la razón entre las velocidades instantáneas del cambio de y y de x , es

decir, la pendiente de la curva .0),( =yxf

En 1676, en la exposición llamada "De quadratura curvarum" Newton

presenta su teoría sobre las llamadas "razones primeras y últimas" en la

cual calcula "la razón primera de incrementos naciente" o la "razón de

cambio evanescentes" de la siguiente manera:

Supongamos se quiere hallar la razón entre las variaciones de x y de nx ;

llamemos ο a un incremento dado a la variable x , y sea ( ) nn xx −+ο el

incremento correspondiente a nx . Entonces la razón de estos incrementos

será:

( ) ...21

121 +

−+ −− nn xnnnx ο

y para hallar la razón primera y última se debe dejar desvanecerse a ο , con

lo que la razón buscada será 11−nnx

.

El primer trabajo de Newton que apareció publicado fue en 1687, en el

"Philisophiae naturalis principia mathematica", es el tratado científico más

admirado de todos los tiempos, porque en él presenta los fundamentos de

la física y de la astronomía formulados en el lenguaje de la geometría pura;

así en la sección I del libro I que se titula "el método de las razones primeras

y últimas cantidades, con la ayuda del cual demostramos las proposiciones

que siguen", incluye el lema I:

"Cantidades, y la razón de cantidades, que en cualquier intervalo finito de

tiempo convergen continuamente a la igualdad, y que antes del final de

dicho tiempo se aproximan una a la otra más que cualquier diferencia

dada, se hacen finalmente iguales".1

Esto demuestra que Newton estaba muy cerca del concepto de límite.

1 Ibid., p. 500.

En el libro II, en el lema II, Newton presenta los algoritmos del cálculo con

la siguiente formulación:

"El momento de cualquier genitum es igual a los momentos de cada uno de

sus lados generatrices multiplicados por los índices de las potencias de

esos lados y por sus coeficientes de manera continua".

Para Newton la expresión genitum es lo que llamamos "término" y la

palabra momentos de un gentium, se entiende por un incremento de él

infinitamente pequeño.

Entonces si a representa el momento de A y b el momento de B, Newton

muestra que el momento de AB es aB+bA, el momento de An es naAn−1 , y

el de 1A

es − aA2 .

Estas expresiones son equivalentes a las diferenciales de un producto, una

potencia y un inverso respectivamente, y constituyen el primer

pronunciamiento oficial de Newton sobre el cálculo.

Newton no fue el primero en efectuar diferenciaciones e integraciones, ni

tampoco en ver las relaciones que existían entre estas operaciones, su

descubrimiento consistió en la generalización de un algoritmo aplicable a

todas las funciones, tanto algebraicas como trascendentes.

Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 - 1716), empieza a hacer sus aportes en

1667, al igual que Newton sobre las series infinitas, pero en este caso son

numéricas. Gracias a un amigo suyo, Huygens que fue quien le propuso el

problema de calcular la suma de los números inversos triangulares, es decir

la suma de los números de la forma )1(2+nn , que Leinbniz con gran

habilidad la descompuso como

+−=+ 1112)1(

2nnnn , llegó a la conclusión

que la suma infinita de estos términos es 2.

Leibniz al igual que Newton determina que la tangente a una curva

depende de la razón entre las diferencias de las ordenadas y de las

abscisas, cuando se hacen infinitamente pequeñas estas diferencias, así

como las cuadraturas dependen de los rectángulos infinitamente estrechos

que constituyen el área bajo la curva.

Leibniz se preocupa por hacer una notación clara para ayudar a los

procesos de pensamiento, así finalmente eligió dx y dy para representar

las diferencias más pequeñas posibles (las diferenciales) de la x y la y .

La primera exposición que hace Leibniz del cálculo diferencial lo fue en

1684, bajo el título "Un nuevo método para máximos y mínimos, y también

para tangentes, que no se ve obstruido por las cantidades fraccionarias ni

por los irracionales" (Nova methodus pro maximis et minimis, itemque

tangentibus, qua fractus nec irrationales quantitates moratur).

En este documento presenta las fórmulas generales para la diferenciación

del producto, potencia (raíces) y cociente de funciones, como se usan en el

cálculo actualmente.

2

1

yxdyydx

yxd

dxnxdx

ydxxdydxynn

−=

=

+=−

La notación de Leibniz fue mejor aceptada aunque los razonamientos de

Newton eran más próximos a la fundamentación moderna del cálculo.

En el siglo XIX Gauss (Carl Friedrich, 1777-1855) “el príncipe de las

matemáticas”, en su tesis doctoral demostró que toda ecuación polinómica

)(xfy= tiene al menos una raíz, ya sea con coeficientes reales o complejos.

Cauchy (Augustin Louis, 1789-1857), era más pedagogo que Gauss, le

gustaba enseñar, y a diferencia de Gauss, siempre que descubría algo lo

hacía publicar. En cuanto al cálculo infinitesimal, Cauchy en sus libros, el

"Cours d'analyse de l'École Polytechnique (1821) , el "Résumé des lecons

sur le calcul infinitesimal" (1823) y las "Lecons sur le calcul defferentiel"

(1829) dio al cálculo la forma que tiene hoy.

Tomó como fundamental el concepto de límite de d'Alembert, y le dio un

carácter aritmético que lo hizo más preciso. Su definición es:

"Cuando los sucesivos valores que toma la variable se aproximan

indefinidamente a un valor fijo, de manera que terminan por diferir de él

en tan poco como queramos, este último valor se llama límite de todos los

demás".

Cauchy considera un infinitésimo como una variable y no como un número

constante, que hasta el momento los matemáticos así lo habían hecho, y

presenta la siguiente definición:

“Diremos que una cantidad variable se hace infinitamente pequeña

cuando su valor numérico disminuye indefinidamente de manera que

converge hacia el límite cero”.

Los conceptos fundamentales para Cauchy lo constituyen el de función y el

de límite de una función.

“Para definir la derivada de la función )(xfy= con respecto a x , le da a la

variable x un incremento ix=∆ y forma el cociente

( ) ( )i

xfixfxy −+=∆

∆

y al límite de este cociente de diferencias cuando i tiende a cero, lo define

como la derivada )(' xf de y con respecto a x , y expresa que: Si dx es

una cierta cantidad finita, entonces la correspondiente diferencial dy de

)(xfy= se define como )(' xf ”.

Una definición para la función continua )(xf es:

“ )(xf es continua entre límites dados de la variable x , si entre sus límites

un incremento infinitamente pequeño i de la variable x siempre da lugar a

un incremento infinitamente pequeño )()( xfixf −+ de la función misma”.

Que es completamente análoga a la que se utiliza hoy.

La derivada de Cauchy mostraba claramente que no existiría la derivada en

un punto anguloso de la curva, o en un punto en que la función fuese

discontinua.

Weierstrass (Karl Theodor, 1815-1897) y Heine (Eduard, 1821-1881),

contribuyeron al cálculo con una definición depurada del concepto de

límite. Puesto que la definición de Cauchy era pedagógicamente bastante

clara, Heine con ayuda de unas notas de Weierstrass, en sus "Elemente"

(1872), presenta una definición precisa para el límite de una función )(xf

en un punto 0x , así:

"Si dado cualquier ε , existe un 0η tal que para 00 ηη<< , la diferencia

( ) Lxf −±η0 es menor en valor absoluto que ε , entonces se dice que L es el

límite de )(xf para 0x “.

Con esta definición quedan a un lado los puntos moviéndose sobre curvas,

las cantidades infinitamente pequeñas a despreciar, solo quedan números

reales, las operaciones suma y resta y la relación "menor que" entre

números reales.

La η de Heine y Weierstrass fue reemplazada por δ en la definición de

límite, y esta es la que actualmente se encuentra en los libros de cálculo.

Este proceso histórico acerca de la evolución del concepto de límite, nos

invita a reflexionar sobre el aporte de la historia en el quehacer docente, el

cual debe motivar a seguir avanzando en la generación del conocimiento.

El relacionar los conocimientos con algún hecho trascendental o histórico

permite apreciar las dificultades, logros y nuevos enfoques que inciden en

la maduración del pensamiento.

Muchos temas del cálculo en la universidad, incluso en programas de

matemáticas, se han venido desarrollando de una forma mecánica,

llevando a los estudiantes a memorizar fórmulas y hacer cálculos sin

ningún razonamiento de estos.

Es necesario hacer que los estudiantes comprendan los conceptos

matemáticos y los asimilen como algo propio, natural, y puedan hacerlos

aplicables a su carrera y en el futuro a su vida profesional. La historia

puede usarse también como una estrategia lúdica, complementaria que

motivará no solo a consultar sobre los temas que se están estudiando, sino

que permitirán profundizar y avanzar en los temas que más interesen.

BIBLIOGRAFÍA

AABOE, Asger. Matemáticas: Episodios históricos. Random House - Ed. Norma.

1964.

BOYER, Carl B. Historia de la Matemática. Ed. Alianza Universidad Textos. 1992.

GROVE, E.A. & LADAS, G. Introduction to Complex Variables. Houghton Mifflin

Company. Boston. 1974.

LEITHOLD, Louis. El cálculo con geometría analítica. Ed. Eccga. 7ª Edición. 1994.