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LAS SERIES DE FOURIER

Y

EL DESARROLLO DEL ANALISIS EN EL SIGLO XIX

Fernando Bombal

Universidad Complutense de Madrid

Las Series de Fourier. Fernando Bombal

Las series trigonometricas surgieron en la Matematica en el siglo XVIII, en relacion

con el estudio de las pequenas oscilaciones de medios elasticos, pero como veremos, su

influencia fue decisiva en el desarrollo del Analisis a lo largo del siglo XIX. Es realmente

sorprendente la omnipresencia del tema en multitud de situaciones, de tal modo que puede

rastrearse su presencia como motivador de gran parte de los desarrollos mas importantes

acaecidos en este siglo, desde la evolucion de la nocion misma de funcion hasta el comienzo

de la topologıa o los numeros transfinitos, pasando por el desarrollo de las distintas nociones

de integracion. De ello trataremos en esta charla.

1.- El Problema de la Cuerda Vibrante.

A partir del desarrollo del Calculo en el siglo XVII, este se habıa convertido en la

principal herramienta para estudiar y modelizar la Naturaleza. La idea basica era repre-

sentar la evolucion de un fenomeno natural por medio de una ecuacion diferencial que

relacionaba las distintas magnitudes relevantes en el fenomeno. Esta ecuacion se obtenıa

a partir de un analisis del fenomeno a nivel infinitesimal, utilizando un reducido numero

de leyes naturales que se habıan ido descubriendo. Los fenomenos que podıan describirse

en terminos de una sola variable venıan ası regidos por ecuaciones diferenciales ordinarias,

que relacionaban la funcion incognita con sus derivadas. Por ejemplo, la posicion y(t)

(en funcion del tiempo) de un punto material de masa m que se desplaza a lo largo de

una recta atraıdo por un centro atractivo O por una fuerza proporcional a la distancia al

centro, satisface la ecuacion diferencial

md2y

dt2= −ky (k constante > 0),

cuya solucion general es

y(t) = C1 sen ωt + C2 cos ωt, ω =

√k

m.

A lo largo del siglo XVII y la primera mitad del XVIII se habıan desarrollado consi-

derablemente los metodos de resolucion de este tipo de ecuaciones. Sin embargo, cuando

en el fenomeno estudiado dependıa de dos o mas variables significativas, su modelizacion

venıa dada por una ecuacion en derivadas parciales, mucho mas difıcil de tratar. Uno de

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los primeros fenomenos estudiados fue el siguiente: Consideremos una cuerda tensa con

los extremos fijos en los puntos x = 0 y x = ` del eje Ox. Si desplazamos ligeramente la

cuerda de su posicion de equilibrio y la soltamos, oscilara un plano. Se trata de encontrar

la posicion u = u(x, t) que ocupara el punto de abscisa x en el instante t. En el caso de

un solo punto material, se trata del problema anteriormente ya citado de la oscilacion de

una masa atraıda por un centro atractivo.

Este problema fue abordado por Johann Bernouilli en 1727, considerando primero

la oscilacion de n masas iguales situadas equidistantes. Para el desplazamiento yk de la

k-esima masa, Bernouilli habıa obtenido la ecuacion en diferencias finitas

d2yk

dt2= a2(yk+1 − 2yk + yk−1),

donde a depende de la tension de la cuerda, de la masa total y de la distancia entre las

masas puntuales. Bernouilli resolvio esta ecuacion y considero el caso de la cuerda continua

haciendo tender n a infinito formalmente. De esta manera, obtuvo que, en cada instante

t, la cuerda toma una forma sinusoidal, solucion de la ecuacion d2ydx2 = −ky (con k funcion

del tiempo). Este resultado ya habıa sido obtenido en 1715 por J. Taylor.

En 1747, Jean le Rond D’Alembert, el famoso enciclopedista, se intereso por el

problema. A traves de un analisis infinitesimal y las leyes fısicas pertinentes, D’Alambert

obtuvo la ecuacion diferencial que rige el fenomeno, a saber:

∂2u

∂t2= a2 ∂2u

∂x2, (1.1)

donde a es una constante que depende de las caracterısticas fısicas de la cuerda y que, por

simplicidad, supondremos en lo que sigue igual a 1. A continuacion, tras unas ingeniosas

manipulaciones formales, consiguio obtener la integral general de la ecuacion (1.1) en la

forma

u(x, t) = Ψ(t + x)−Ψ(t− x)

siendo Ψ una funcion arbitraria. En un artıculo inmediatamente posterior (ambos

aparecieron en 1749), D’Alembert obtiene la solucion del problema de la cuerda vibrante

en terminos de la posicion inicial u(x, 0) := f(x) de la cuerda y su velocidad inicial∂u∂t (x, 0) := g(x). A continuacion D’Alembert establece que las funciones f y g no pueden

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ser arbitrarias, sino que deben satisfacer ciertas condiciones. Esencialmente, D’Alembert

sostiene que, debido al metodo de resolucion, las funciones “admisibles” como valores ini-

ciales deberıan ser, por un lado, periodicas de periodo 2`, y por otro, suficientemente

“lisas”, debiendo verificar la ley de continuidad y una condicion geometrica que equivale,

en terminos modernos, a ser dos veces diferenciables (sin “picos”).

Un ano despues, en 1750, el gran Leonard Euler presenta el primero de los 15

trabajos que dedico a este problema, iniciando ası un debate que duro cerca de 50 anos

y en el que intervinieron la mayorıa de los grandes matematicos de la epoca. La solucion

de Euler no difiere tecnicamente de la de D’Alembert, aunque sı el metodo de deduccion.

Partiendo de la posicion inicial u(x, 0) := f(x) de la cuerda, obtiene geometricamente la

solucion en la forma

u(x, t) :=12f(t + x) +

12f(t− x).

Para Euler, esta ecuacion funcional describe totalmente el fenomeno fısico y, por tanto, no

supone restriccion alguna para f . Por tanto, puesto que podemos elegir arbitrariamente

la forma inicial de la cuerda (y Euler pone concretamente el ejemplo de una poligonal),

f puede ser totalmente arbitraria, e.d. “regular y contenida en una cierta ecuacion, o

irregular y mecanica.”

El problema subyacente en esta polemica estriba, en primer lugar, en la nocion misma

de funcion, que Euler y D’Alembert utilizaban con el mismo nombre, pero con significados

distintos. En general, la idea de funcion no habıa sido definida con claridad. Para los

matematicos del XVIII la nocion mas aceptada es la adoptada por el propio Euler en el

Capıtulo I de su famoso Introductio in Analysin Infinitorum, publicado en 1748:

Una funcion de una cantidad variable es cualquier expresion analıtica for-

mada con la cantidad variable y con numeros o cantidades constantes.

Una funcion esta sujeta a la ley de continuidad si puede expresarse en todo su dominio

por una sola expresion analıtica, siendo en otro caso discontinua. De modo que, para Euler,

funciones como

|x| :={

x, si x ≥ 0−x, si x < 0

son discontinuas.

Un poco mas adelante, Euler explicita la idea que tenıan todos los matematicos de que

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cualquier funcion admisible en matematicas podıa expresarse como una serie de potencias

con exponentes naturales, salvo en un numero finito de puntos a lo mas. A lo largo de

la obra, Euler fundamenta esta conviccion obteniendo los desarrollos en serie de una gran

cantidad de funciones.

La culminacion y sistematizacion de esta nocion de funcion se encuentra sin duda en

la monografıa Theorie des fonctions analytiques, publicado en 1797 por J. L. Lagrange

como libro de texto para sus alumnos de la Ecole Polytechnique, fundada pocos anos antes

para formar a las nuevas generaciones de tecnicos y cientıficos que debieran llevar a Francia

a la cabeza del desarrollo cientıfico e industrial despues de la Revolucion. En este libro que,

como orgullosamente declara su autor, presenta la teorıa de funciones y el calculo diferencial

‘‘liberados de toda consideracion acerca de infinitesimales, cantidades evanescentes, lımites

o fluxiones...”, Lagrange define de hecho una funcion por su desarrollo en serie de potencias

(aunque intenta dar una demostracion de la posibilidad de tal desarrollo), y las derivadas

sucesivas como los correspondientes coeficientes en el desarrollo en serie de la funcion.

Es esta nocion de funcion la que adopta y defiende D’Alembert en el debate sobre

la cuerda vibrante, junto con la postura mas ortodoxa sobre la utilizacion rigurosa de las

leyes del calculo.

Euler, por su parte, motivado por la naturaleza fısica del problema, defendıa que la

solucion obtenida era valida para cualquier funcion “arbitraria” (mecanica en su notacion,

para indicar una funcion cuya grafica esta “trazada al azar”). Este problema, junto con

otros de naturaleza geometrica, hicieron a Euler considerar su primera definicion de funcion

como demasiado restrictivo. Ası, en su Institutiones Calculi Differentialis da una nueva

definicion que, en sentido literal, no estarıa demasiado lejos de la concepcion moderna de

funcion:

“Si unas cantidades dependen de otras, de modo que si las ultimas cambian, lo

hacen tambien las primeras, se dice que las primeras cantidades son funciones

de las ultimas.”

No obstante, la idea actual de funcion como correspondencia arbitraria era sencilla-

mente extrana a Euler (y, en general, al pensamiento de la epoca). Simplemente, Euler

querıa senalar que podıan ser objeto de estudio en Matematicas funciones mas generales

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que las obtenidas por medio de una expresion analıtica concreta. Realmente, las funciones

admitidas por Euler como posicion inicial de la cuerda serıan lo que en lenguaje moderno

llamarıamos “funciones continuas, de clase C1 a trozos”. De hecho, las confrontaciones mas

intensas entre Euler y D’Alembert se referıan a la posibilidad de considerar como funciones

validas a las que tuvieran “picos” (como las poligonales a trozos), e.d., con derivada dis-

continua en algunos puntos. Euler admitıa las objeciones de D’Alembert desde el punto de

vista del rigor, pero defendıa la necesidad de encontrar nuevos instrumentos matematicos

para extender las leyes del calculo conocido a situaciones mas generales, justificados en todo

caso por la evidencia fısica del problema. Es de destacar la postura pionera de Euler en el

problema de las “soluciones generalizadas” de una ecuacion diferencial. Se trata, como en

el caso de la cuerda vibrante, de conciliar la evidencia empırica de que muchos problemas

que se modelizan a traves de ecuaciones diferenciales, tienen soluciones reales no regulares

desde el punto de vista matematico. Ya hemos senalado una de las posibilidades, adop-

tada por Euler: modificar el modelo matematico por otro que no exija restricciones tan

severas a las soluciones. Tambien Euler dio los primeros pasos en el metodo de las “solu-

ciones debiles”: Se trata de aproximar una funcion “mecanica” arbitraria f por funciones

regulares, obtener la solucion “clasica” (a lo D’Alembert) de (1.1) para estas funciones y

representar la solucion original como lımite (en algun sentido) de estas soluciones clasicas.

Uno de los intervinientes en el largo debate sobre la cuerda vibrante fue Daniel

Bernouilli, amigo de Euler y perteneciente a la conocida familia de matematicos de origen

suizo. Daniel Bernouilli era esencialmente lo que hoy llamarıamos un fısico matematico.

Por ello, los razonamientos fısicos primaban para el sobre los argumentos matematicos.

En consecuencia, retomando los argumentos de su padre Johann, propuso en 1753 que

la posicion general de la cuerda debiera obtenerse por superposicion (e.d., combinacion

lineal, eventualmente infinita) de las vibraciones elementales sinusoidales que su padre

habıa encontrado como solucion. Mas precisamente, propuso como solucion

u(x, t) = α(t) senπx

`+ β(t) sen

2πx

`+ γ(t) sen

3πx

`+ · · · (1.2)

En particular, la posicion inicial u(x, 0) := f(x) debiera poder expresarse como una serie

trigonometrica. Por supuesto, Bernouilli no dio ninguna indicacion sobre como calcular

los “coeficientes” α, β, γ, . . ..

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La solucion de Bernouilli fue rechazada por Euler por no ser lo suficientemente general.

Aunque reconocio la importancia de las observaciones de Bernouilli en el aspecto fısico

del problema, consideraba matematicamente inaceptable que cualquier funcion arbitraria

pudiera representarse por medio de una suma trigonometrica. Para Euler,

todas las curvas contenidas en esta ecuacion [se refiere a (1.2)] incluso cuando

aumentamos el numero de terminos hacia infinito, tienen ciertas carac-

terısticas que las distinguen de otras curvas.

Entre esas caracterısticas, Euler hace hincapie en la periodicidad. Un error tan evi-

dente (es obvio que lo relevante para el problema es lo que sucede en el intervalo [0, `]),

pone claramente de manifiesto la dificultad en asimilar la idea moderna de “dominio” de

una funcion, incluso por un hombre como Euler, protagonista de la transicion entre la

antigua teorıa de funciones y la nueva. Para Euler, como para todos sus contemporaneos,

una funcion se asocia siempre con la totalidad del dominio en el que “existe”. Otra de

las objeciones de Euler hacıa referencia a la determinacion de los coeficientes α, β, γ, etc.,

tarea que le parecıa “sin duda muy difıcil, por no decir imposible.”.

D’Alembert, por una vez, coincidio con Euler para rechazar la solucion de Bernouilli.

Incluso fue mas lejos, afirmando que ni siquiera cualquier funcion periodica podrıa repre-

sentarse por una serie trigonometrica.

En el fondo, como senalo H. Lebesgue en 1906, las objeciones de Euler y D’Alembert

tenıan un significado muy profundo. En efecto, si consideramos la posicion inicial de la

cuerda como una poligonal, resulta que una serie trigonometrica (que es una expresion

analıtica) representarıa una funcion lineal en un subintervalo de [0, `] y otra funcion li-

neal distinta en otro subintervalo; e.d., dos expresiones analıticas deberıan ser iguales en

un intervalo y desiguales en otro, lo que parecıa imposible. (¡Notese que para series de

potencias, esto es claramente imposible!).

2.- La teorıa de la transmision del calor y la resolucion de E.D.P.

La invencion de la maquina de vapor, base de la Revolucion Industrial, desperto el

interes por el desarrollo de una teorıa matematica de la conductividad del calor, mas tarde

concretada en la termodinamica. Varios matematicos y fısicos, como Laplace, Lavoisier,

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Biot, et. realizaron investigaciones en este campo. En el ano 1811 el Institut de France

convoco un concurso cuyo objeto eral “proporcionar una teorıa matematica de las leyes de

propagacion del calor y comparar esta teorıa con experimentos.” El ganador del premio

fue el academico Jean B.Fourier. De familia modesta (era hijo de un sastre de Auxerre),

Fourier estudio en la Escuela militar de su ciudad natal, de donde llego a ser Profesor. Se

adhirio a las ideas de la Revolucion y participo activamente en la polıtica. Tras participar

como estudiante en la creacion de la Ecole Normale en 1794, paso a ser Profesor de la misma

y posteriormente de la Ecole Polytechnique. En 1798 participo, junto con Monge y muchos

otros cientıficos, en la expedicion de Napoleon a Egipto, y se convirtio en un admirador y

experto de la cultura egipcia. Regreso a Francia en 1801 y al ano siguiente fue designado

Prefecto del Departamento de Isere. En 1815, se traslado a Paris, dedicandose desde

entonces casi exclusivamente a su actividad cientıfica. En 1817 fue designado miembro de

la recien refundada Academia de Ciencias, de la que se convirtio en Secretario Perpetuo

en 1822.

Fourier, hombre comprometido con los problemas de su epoca, concebıa las

matematicas, y especialmente el analisis infinitesimal, como el instrumento fundamen-

tal para comprender la Naturaleza, domenarla y adaptarla a las necesidades del Hombre.

como dice claramente en el Discours Preliminaire,

Las causas primeras las desconocemos, pero estan sujetas a leyes simples y

constantes que pueden ser descubiertas por medio de la observacion. Este el

es objeto de la Filosofıa Natural...

Pero, una vez realizadas una serie de observaciones empıricas, es necesario obtener

un modelo del fenomeno en terminos matematicos, y mas precisamente, por medio de

ecuaciones diferenciales. “Este es el camino que hay que seguir para avanzar nuestro

conocimiento sobre la Naturaleza”. Vemos, pues, que Fourier es el paradigma de lo que hoy

llamarıamos un “matematico aplicado” (como lo eran la mayorıa de sus contemporaneos).

La motivacion para desarrollar teorıas matematicas “abstractas” (a las que, como veremos,

Fourier contribuyo en gran medida) debe ser siempre la obtencion de nuevas herramien-

tas que permitan resolver los problemas planteados por la observacion de la Naturaleza.

Tambien hay que destacar en Fourier su concepcion de la Ciencia como elemento esencial

del progreso de la Sociedad civil. En contrapartida, el rigor en el razonamiento no es lo

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mas importante.

Con estas premisas, no es de extranar que Fourier se interesara por la teorıa de la

transmision del calor. De hecho, habıa presentado una extensa Memoria al Instituto en

1807 que no fue publicada. En el informe del Jurado sobre la concesion del premio convo-

cado por el Instituto, se lee

“Este trabajo contiene las ecuaciones diferenciales correctas que gobiernan

la transmision del calor, tanto en el interior de los cuerpos como en su su-

perficie, y la novedad del tema junto con su importancia, ha motivado la

concesion del premio... Sin embargo, la forma como el autor obtiene sus

ecuaciones ... y el analisis de su solucion deja algo que desear tanto en lo

concerniente a la generalidad [de la solucion] como al rigor.”

Probablemente estas objeciones fueron la razon por la que el trabajo ganador no fuera

publicado inmediatamente (como era costumbre), y tuviera que esperar hasta 1824 para

su aparicion, cuando ya Fourier era Secretario Perpetuo de la Academia.

Las ecuaciones obtenidas por Fourier son:

k∂2u

∂x2=

∂u

∂t; k

(∂2u

∂x2+

∂2u

∂y2

)=

∂u

∂t; k

(∂2u

∂x2+

∂2u

∂y2+

∂2u

∂z2

)=

∂u

∂t,

segun se trate de una barra, un recinto plano o un cuerpo solido, donde u = u(x, t) es

la temperatura en el instante t del cuerpo, en el punto de coordenadas x. Por supuesto,

las soluciones buscadas deben verificar ciertas condiciones de contorno. A la resolucion

de distintos casos particulares (barras, cilindros, esferas, etc.) dedico Fourier una serie de

artıculos que culminaron en su renombrada Theorie analytique de la chaleur, publicada en

1822. En esta obra, Fourier, a traves de un gran numero de ejemplos, desarrolla una serie

de ideas y de tecnicas que iban a ser el modelo a seguir en las investigaciones posteriores

sobre las Ecuaciones en Derivadas Parciales. Probablemente, nada mejor que reproducir

uno de los ejemplos de Fourier para acercarnos al espıritu de la obra: Consideremos el

problema de la determinacion de la temperatura estacionaria en el interior de una placa

infinita de forma rectangular, cuyos bordes se mantienen a temperatura prefijada (p.e., 0

grados en los lados (infinitos) superiores y a distancia infinita, y 1 grado en el borde finito).

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En este caso, ∂u∂t = 0 y se trata de encontrar la solucion de la ecuacion diferencial

∂2u

∂x2+

∂2u

∂y2:= ∆u = 0 (2.1)

en el dominio x > 0, −π2 < y < π

2 , que sea igual a 1 para x = 0 y se anule para

y = −π2 , y = π

2 , y para x tendiendo a ∞.

Para resolver este problema, Fourier utiliza su metodo favorito de separacion de varia-

bles (ya empleado por D’Alembert y Bernouilli con anterioridad): Tratemos de encontrar

soluciones de la forma u(x, y) = v(x)w(y). Sustituyendo en la ecuacion (2.1), resulta que

ha de cumplirsev′′(x)v(x)

= −w′′(y)w(y)

.

Como el primer miembro depende solo de x y el segundo de y, solo pueden ser iguales si

ambos son una constante λ. Obtenemos ası dos ecuaciones diferenciales ordinarias, faciles

de resolver. Pero Fourier es mas directo y, simplemente, dice “... vemos que podemos

tomar v(x) = emx y w(y) = cos ny.” Sustituyendo en (2.1), se obtiene m2 = n2(= λ). De

la condicion (iii), resulta m < 0, y de la (ii) que n = (2k − 1) (k ∈ N) y m = −n. Ası

pues, las funciones

uk(x, y) = e−(2k−1)x cos(2k − 1)y (k ∈ N),

satisfacen todas las condiciones, salvo la (i). Retomando el “principio de superposicion”,

Fourier trata entonces de buscar una solucion como “superposicion” de las anteriores, es

decir, de la forma

u(x, y) =∞∑

n=0

anun(x, y),

para unos coeficientes (an) adecuados. Para determinar estos coeficientes, Fourier utiliza

la condicion (i), obteniendo

1 =∞∑

n=1

an cos(2n− 1)y, para − π

2< y <

π

2.

A continuacion, emplea formalmente el metodo habitual de eliminacion de parametros,

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derivando la serie termino a termino y haciendo y = 0, lo que le conduce a las ecuaciones

1 =∞∑

n=1

an.

0 =∞∑

n=1

(2n− 1)2an.

0 =∞∑

n=1

(2n− 1)4an.

. . .

(2.2)

esto es, un sistema de infinitas ecuaciones lineales con infinitas incognitas. Para resolverlo

Fourier propone truncar el sistema, considerando solo las n primeras ecuaciones con n

incognitas, que resuelve, obteniendo las soluciones a(n)1 , a

(n)2 , . . . , a

(n)n . Finalmente, ha-

ciendo tender n a infinito, obtiene el “verdadero valor” ak = limn→∞ a(n)k , para cada k,

resultando

ak =4π

(−1)k−1

2k − 1.

Obviamente, se pueden poner serias objeciones al proceder de Fourier: Deriva termino a

termino una serie, cuando sabemos que, en general, este proceso no es correcto; Tampoco

el metodo empleado para resolver (2.2) es ortodoxo, (de hecho, cuando se sustituyen los

valores calculados para ak en el sistema (2.2), las series resultantes son divergentes, a partir

de la segunda), etc. El mismo Fourier no parece estar muy convencido de la correccion

del metodo empleado, pues anade: “Como estos resultados parecen desviarse de las con-

secuencias ordinarias del calculo, es necesario examinarlos con cuidado e interpretarlos

en su verdadero sentido”. Y prueba directamente que la suma de la serie obtenida para

x = 0 es constante e igual a 1 en el intervalo senalado (primera vez que aparece explı

citamente el concepto de campo de convergencia de una serie). Finalmente, afirma que la

serie obtenida para u es solucion del problema de contorno propuesto.

Mas adelante, Fourier insiste de nuevo en que

“Debe ser uno muy cuidadoso con los calculos realizados con estas series... El

punto esencial es identificar los lımites entre los que el desarrollo es valido...

Como estos lımites no son los mismos para todas las ecuaciones, pueden

obtenerse resultados erroneos al combinar series diferentes...”

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Hay que decir que la postura de Fourier sobre la nocion de convergencia de una serie

funcional es muy novedosa para la epoca, ya que a lo largo del siglo XVIII, los matematicos

habı an utilizado las series sin ninguna restriccion, operando con ellas como si fueran sumas

finitas. Fourier no disponı a de criterios para asegurar la convergencia, por lo que, con gran

habilidad, haciendo uso de su conocimiento de resultados previos en sumacion de series

numericas, tuvo en cada caso que calcular la suma de los m primeros terminos de cada serie

directamente. El avance sustancial en este campo iba a venir de manos de Cauchy, quien

iba a desarrollar una serie de criterios generales de convergencia, basados en el llamado

“criterio de Cauchy” (enunciado poco antes, en 1817, por B. Bolzano en un importante,

pero muy poco conocido trabajo, publicado en las Actas de la Real Sociedad Cientı fica

de Bohemia.)

Volviendo al problema que nos ocupa, notemos que si se consideran otras condiciones

de contorno, aparecen soluciones particulares formadas por una combinacion de senos y

cosenos. Por otro lado, como cualquier funcion arbitraria f podrıa ser, en un caso real,

la temperatura en el segmento −π2 < y < π

2 (recordemos el argumento de Euler en el

debate sobre la cuerda vibrante), resulta, de la existencia de solucion del problema fısico,

que necesariamente toda funcion arbitraria en un intervalo puede desarrollarse

en serie de senos y cosenos del tipo (suponiendo por comodidad que el intervalo es el

[−π, π]):

f(x) =∞∑

n=0

(an cos nx + bn sen nx). (2.3)

Fourier hace mencion expresa de la validez del desarrollo para toda funcion arbitraria 1,

aunque a la vista de los multiples ejemplos que aparecen en la Theorie analytique de

la chaleur, parece claro que Fourier esta pensando en lo que hoy llamarıamos funciones

continuas a trozos, con a lo mas una cantidad finita de puntos de discontinuidad de salto.

Una vez establecida la existencia del desarrollo (¡por el imperativo categorico de la

evidencia fısica!), Fourier siente la necesidad de justificar matematicamente esta afirmacion,

aunque identifica la demostracion de la existencia del desarrollo con la determinacion de

1 En palabras de Fourier: No suponemos que estas ordenadas [ f(x)] esten sujetas a una

ley comun a todas ellas; se suceden unas a otras de una manera arbitraria, y cada una de

ellas viene dada como si fuera una cantidad aislada...

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los coeficientes an, bn que aparecen en el mismo. Su primer metodo consiste en considerar

separadamente el caso de funciones impares (en cuyo desarrollo aparecen solo senos) y

funciones pares (que desarrolla en serie de cosenos). En cada caso, considera la expresion

(2.3) y desarrolla f en serie de potencias (impares en el primer caso; pares en el segundo)

y hace lo mismo con el segundo miembro, utilizando los conocidos desarrollos en serie de

las funciones seno y coseno. Tras identificar coeficientes y un analisis largo y complicado,

obtiene la expresion de los coeficientes en forma de integrales definidas (cuya notacion

actual, por cierto, se debe al mismo Fourier).

El segundo metodo es mucho mas sencillo y directo, y esta basado en las relaciones

de ortogonalidad de las funciones trigonometricas:∫ π

−π

sen nx cos mx dx = 0, (n, m = 0, 1, 2, . . .)

∫ π

−π

sen nx sen mx dx =∫ π

−π

cos nx cos mx dx = 0 (n 6= m),∫ π

−π

cos2 nx dx =∫ π

−π

sen 2nx dx = π (n 6= 0).

Si ahora multiplicamos ambos miembros de (2.3) sucesivamente por sen nx y cos mx e

integramos entre −π y π ambas expresiones, admitiendo la validez de la integracion termino

a termino de la serie, resulta inmediatamente

an =1π

∫ π

−π

f(x) cos nx dx , bn =1π

∫ π

−π

f(x) sen nx dx (2.4),

que son los llamados coeficientes de Fourier de f .

La integracion termino a termino de una serie no repugnaba en absoluto las exigencias

de rigor de la epoca, y solamente fue puesto en cuestion este hecho mucho mas tarde.

Sin embargo, debido a la arbitrariedad de f , Fourier se siente obligado a justificar la

existencia de las integrales en (2.4). Durante el siglo XVIII, debido al gran desarrollo del

calculo, la integracion se consideraba simplemente la operacion inversa de la derivacion,

obteniendose la integral definida por medio de la “regla de Barrow”. Pero la existencia de

una primitiva para una “funcion arbitraria”, sin una expresion analıtica definida, era un

problema no trivial. Por ello, Fourier justifica la existencia de las integrales retomando la

idea original de area del correspondiente recinto de ordenadas, cuya existencia nadie ponıa

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en cuestion (aunque el calculo efectivo pudiera ser difıcil). Aparece ası por primera vez

claramente planteado el problema de definir∫ b

af(x) dx como un area, cuando f es una

funcion “arbitraria”.

Fourier hace tambien una mencion a la solucion del problema de la cuerda vibrante

dada por Daniel Bernouilli, senalando que su error habıa consistido en no poder demostrar

concretamente como podıan calcularse los coeficientes de la serie.

3.- Las series trigonometricas y la teorıa de la Integral.

La afirmacion de Fourier de la posibilidad de desarrollar en serie trigonometrica

cualquier funcion arbitraria fue rapidamente aceptada por la mayorıa de sus contem-

poraneos, aunque no ası su pretendida demostracion. Los analistas mas prestigiosos de

la epoca, como Poisson, Cauchy, etc. dieron demostraciones alternativas, todas ellas

incorrectas. El primero en obtener una demostracion correcta, aunque imponiendo condi-

ciones restrictivas sobre f , fue P. L. Dirichlet, en un artıculo publicado en el Journal

de Crelle en 1829. Tras criticar la demostracion de Cauchy, Dirichlet hace la primera

aportacion importante al problema, expresando la suma de los n primeros terminos de la

serie de Fourier de una funcion f en [−π, π] como

Sn(f)(x) =n∑

k=0

(ak cos kx + bk sen kx) =1π

∫ π

−π

f(t)sen(n + 1

2 (t− x))2sen1

2 (t− x)dt

A partir de aquı, este ha sido el punto de partida del estudio de la convergencia de una

serie de Fourier que, por tanto, resulta equivalente al estudio de la existencia del lımite

cuando n tiende a ∞ de integrales del tipo:

In =∫ h

0

sennx

senxf(x) dx.

(Integrales de Dirichlet). Tras un proceso largo y absolutamente riguroso, Dirichlet logra

probar que si f satisface las hipotesis:

I) f es continua en [−π, π], salvo a lo mas en un numero finito de puntos, en los que

posee lımites laterales.

II) f posee un numero finito de maximos y mınimos en el intervalo,

– 13–


entonces la serie de Fourier de f converge a la mitad del “salto” 12 (f(x + 0) + f(x− 0))

en cada punto (en particular, converge a f(x) en cada punto de continuidad).

Las funciones consideradas por Dirichlet cubrıan el campo de las que habitualmente

se consideraban en la Matematica de la epoca. No obstante, Dirichlet comenta que

“Falta considerar el caso donde no se cumplen las condiciones impuestas.”

Respecto a la hipotesis (I), el problema fundamental era dar sentido a la integral

definida de una funcion con infinitas discontinuidades. Cauchy habıa demostrado la exis-

tencia de la integral de una funcion acotada con un numero finito de discontinuidades,

definiendola como el lımite de las areas de los rectangulos inscritos en la grafica de la

funcion, cuya base son subintervalos de particiones cada vez mas finas del intervalo to-

tal. Dirichlet creıa que, efectivamente, se podıa obtener una nocion de integral con las

propiedades habituales para funciones mucho mas generales, aunque

“Claramente se siente la necesidad de imponer alguna restriccion, pues, por

ejemplo, la funcion que es igual a una constante c cuando x es racional y

a una constante d 6= c cuando x es irracional no puede tener una integral

definida.”

Esta es otra de las contribuciones importantes del artıculo de Dirichlet, pues es el

primer ejemplo constatado de la nocion moderna de funcion como correspondencia arbi-

traria entre dos conjuntos de numeros, sin necesidad de venir dada por una expresion

analıtica. Esta idea aparece aun mas claramente en la definicion de funcion continua que

aparece en la version ampliada del trabajo de Dirichlet publicada en 1837 en Repertorium

der Physik, una revista dirigida por el mismo Dirichlet:

“Si a cada x de un intervalo corresponde un unico y finito, de manera que

cuando x recorre continuamente el intervalo, y = f(x) tambien cambia grad-

ualmente, se dice que y es una funcion continua de x. No es necesario

que y depende de x con la misma ley en todo el intervalo... ni

tampoco es preciso que la dependencia sea expresable por medio

de operaciones matematicas...”

En cuanto a la hipotesis (II), Dirichlet pensaba que podıa suprimirse, al menos en el

– 14–


caso de funciones continuas.

El trabajo de Dirichlet probo de manera inequıvoca lo que ya N. Abel habıa mostrado

con un contraejemplo: que las series de Fourier podıan representar funciones discontinuas

y, por tanto, la inexactitud del teorema de Cauchy sobre la continuidad de la suma de

una serie de funciones continuas. La busqueda de condiciones para que se verificara este

resultado deseable condujo al descubrimiento de la nocion de convergencia uniforme (de-

sarrollada, entre otros, por el mismo Dirichlet en su Seminario de Berlin).

La extension del marco de validez de su teorema fue propuesto como Tesis doctoral por

Dirichlet a uno de sus mejores discıpulos, R. Lipschitz, quien consiguio extender la nocion

de integral para funciones acotadas con posiblemente infinitos puntos de discontinuidad,

pero siempre que este conjunto tuviera un numero finito de puntos de acumulacion o puntos

lımite. El trabajo de Lipschitz en este sentido, pese a sus limitaciones, es interesante porque

sustenta la idea, ya apuntada por Dirichlet, de que la integrabilidad de una funcion esta

relacionada con el tamano del conjunto de sus puntos de discontinuidad. El dilucidar la

nocion correcta de tamano iba a ser un punto fundamental de las investigaciones sobre el

tema en los 50 anos siguientes.

Buscando condiciones alternativas a la (II), Lipschitz introdujo la condicion que lleva

su nombre y comenzo el estudio de las funciones lipschitzianas.

El mejor de los discıpulos de Dirichlet fue sin duda Bernhard Riemann, uno de

los grandes genios matematicos de todos los tiempos. Su temprano interes por las series

trigonometricas probablemente fue debido a su relacion con Dirichlet, a cuyos Seminarios

asistio en Berlin desde 1849. Pronto Dirichlet mostro un interes especial por el joven

Riemann quien, a su vez, consideraba a Dirichlet el matematico mas grande de su epoca.

Tras presentar su Tesis en Gottinga en 1851, eligio para su trabajo de Habilitation-

sschrift en 1854 el estudio de la representacion de funciones en serie trigonometrica. Tras

discutir la contribucion de Dirichlet, Riemann hace notar que parece razonable suponer

que “...las funciones que no cubre el analisis de Dirichlet, no ocurren en la naturaleza.” No

obstante, como habıa mantenido Dirichlet, pensaba que merecıa la pena considerar el caso

de funciones mas generales, que parecıan tener cada vez mas importancia en los dominios

de la Matematica pura.

– 15–


Riemann comienza con la cuestion planteada por Dirichlet: ¿Cuando una funcion es

integrable?. Riemann interpreta la nocion de integrabilidad en un sentido proximo al de

Cauchy, pero en lugar de restringirse a las funciones continuas, considera la totalidad de

las funciones acotadas integrables, es decir, aquellas para las que existe el lımite de las

sumas

SP (f, ξ) =n∑

i=1

f(ξi)δi,

donde P = {a = xo < x1 < . . . xn = b} es una particion del intervalo [a, b], ξi ∈ [xi−1, xi]

y δi = xi − xi−1 (notese que, a diferencia de Cauchy, Riemann considera tambien sumas

en las que f se evalua en un punto arbitrario ξi ∈ [xi−1, xi]). Pero Riemann no se limita

a dar la definicion y comprobar la validez de las propiedades usuales para la nueva in-

tegral. Inmediatamente da condiciones necesarias y suficientes para que una funcion sea

integrable, lo que le permite establecer grandes clases de funciones que son integrables (las

continuas y las monotonas, entre ellas). Tambien da ejemplos de funciones integrables

con infinitos puntos de discontinuidad (que, ademas, forman un conjunto denso en un in-

tervalo). En suma, establece una teorıa potente y versatil que aplica con extraordinario

aprovechamiento a muchos problemas del Analisis. En particular, obtiene resultados pro-

fundos en la teorıa de series trigonometricas (¡no necesariamente de Fourier!; es el primer

matematico que realiza esta distincion) y, en fin, establece metodos en este campo que mar-

caran la pauta en las investigaciones posteriores. Sin embargo, su trabajo no fue conocido

hasta 10 anos despues de su muerte, cuando R. Dedekind lo incluyo en los Abhandlungen

der Koniglichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Gottingen.

La definicion de integral de Riemann es la mas general que puede obtenerse basada en

el metodo de Cauchy de aproximacion por sumas asociadas a particiones del intervalo de

integracion (que, en ultimo termino, se remonta a Arquımedes y al metodo de exhauscion

empleado por los griegos para el calculo de areas de figuras no poligonales). Una genera-

lizacion posterior parecıa impensable. La consideracion de la clase de todas las funciones

integrables parece obvia desde nuestra perspectiva, pero supuso en su tiempo un cambio

radical en la idea de funcion (al desligar esta nocion de cualquier consideracion sobre la

naturaleza y propiedades concretas de la misma), y en la propia vision de las matematicas.

La siguiente opinion de P. Du Bois-Reymond (1883) fue generalmente compartida por

los matematicos del siglo XIX: “Riemann ha logrado extender el concepto de integral a sus

– 16–


posibilidades mas extremas”. Durante mucho tiempo, las funciones integrables Riemann

constituyeron el universo de funciones razonables mas amplio concebible, y las condiciones

de integrabilidad de Riemann, las mas debiles que se podıan imponer a una funcion.

4.- Las series trigonometricas y el inicio de la Topologıa y la Aritmetica Trans-

finita.

La clarificacion de la nocion de convergencia de series y sucesiones funcionales, iniciada

por el contraejemplo de Abel y continuada por los trabajos de Dirichlet, puso tambien de

manifiesto que no era posible, en general, intercambiar los signos∑

e∫

(como afirmaba

otro de los teoremas de Cauchy en el Cours d’Analyse). Que la convergencia uniforme

era una condicion suficiente para ello, fue probado por Karl Weierstrass. Estas inves-

tigaciones ponıan en cuestion, como senalo E. Heine en 1870, el resultado (tacitamente

asumido desde la “demostracion” de Fourier) de que una funcion f acotada en el intervalo

[−π, π] podıa representarse a lo mas de una sola manera por una serie trigonometrica de

la forma12a0 +

∞∑n=1

(an cos nx + bn sen nx) . (4.1)

De hecho, como habıa senalado Riemann, existen funciones representadas por series

trigonometricas cuyos coeficientes no son necesariamente los dados por las formulas de

Fourier.

El problema -se lamentaba Heine- es que la importancia que se habıa dado hasta

entonces a la representacion de una funcion por medio de una serie trigonometrica, residıa

en gran parte en la unicidad del desarrollo, es decir, en la certeza de que se obtenıa el

mismo desarrollo, cualquiera que fuera el metodo empleado. Ciertamente, una serie de

Fourier que represente una funcion discontinua, no puede converger uniformemente, pero

incluso

“...no sabemos con certeza si es posible representar una funcion continua

dada por una serie trigonometrica uniformemente convergente.”

(Un poco mas tarde, en 1876, P. Du Bois Reymond darıa el primer ejemplo de una

funcion continua cuya serie de Fourier no converge a la funcion en algun punto.)

Por tanto, Heine consideraba que, ademas de la posibilidad de la representacion (4.1),

– 17–


era tambien crucial el problema de la unicidad de la misma. Restando dos posibles repre-

sentaciones, el problema se reducıa a ver si de

12ao +

∞∑n=1

(an cos nx + bn sen nx) = 0, (4.2)

se deducıa necesariamente que an = bn = 0, ∀n. En el trabajo citado de 1870, Heine,

usando tecnicas desarrolladas por Riemann, probo que la respuesta era afirmativa si la

convergencia de la serie (4.2) es uniforme en general, salvo en un conjunto finito P , e.d.,

si la convergencia es uniforme en cualquier subintervalo cerrado que no contenga puntos

de P .

Heine llamo la atencion sobre este tema a su joven colega Georg Cantor. En una

serie de artıculos publicados entre 1870 y 1871, Cantor consiguio eliminar la hipotesis

de convergencia uniforme, mostrando que la respuesta era afirmativa si simplemente se

suponıa que se verificaba (4.2) salvo a lo mas para los puntos de un conjunto finito P. Poco

despues, se planteo la cuestion para el caso de ser P un conjunto infinito. Obviamente,

el resultado no es cierto para cualquier conjunto P, por lo que era preciso determinar la

naturaleza del posible conjunto excepcional P, de modo que aun se verificara el teorema de

unicidad. Este fue el inicio del interes de Cantor por los conjuntos infinitos de numeros.

Para estudiar la estructura de estos conjuntos, Cantor comienza, en su famoso artıculo

de 1872, dando una construccion rigurosa del cuerpo de los numeros reales por medio

de las sucesiones de Cauchy de numeros racionales (poco antes, J. W. R. Dedekind

habıa presentado su construccion por el metodo de las “cortaduras”), demostrando sus

propiedades fundamentales, incluyendo la completitud. Con esta solida base, aborda el

estudio riguroso de los conjuntos arbitrarios de numeros reales. Para ello, Cantor introduce

los conceptos de punto lımite y de conjunto derivado de un conjunto, estableciendo sin

demostracion lo que se conoce como Teorema de Bolzano-Weierstrass: “Todo conjunto

infinito [acotado] de numeros, posee al menos un punto lımite”. Finalmente, consigue dar

una respuesta afirmativa al problema de la unicidad cuando la serie (4.2) converge salvo

a lo mas en los puntos de un “conjunto de Primera Especie” P , es decir, tal que P (n = ∅para algun n (donde P ′ := {puntos lımites deP}, P ′′ = (P ′)′, etc.)

Para entonces, el interes de Cantor se centraba mas en los preliminares del problema

que en el teorema de unicidad que habıa demostrado. En particular, se sintio fascinado

– 18–


por el problema de la clasificacion de las distintas clases de conjuntos infinitos y la cuestion

del continuo. En 1873, en una carta a Dedekind, Cantor plantea la pregunta de si N y

R pueden ponerse en correspondencia biyectiva. La imposibilidad de tal biyeccion, cuya

prueba encuentra en 1874, es el primero de una serie de importantes resultados sobre la

topologıa de la recta real que Cantor obtiene en la siguiente decada.

Por otro lado, el metodo seguido para la construccion de los conjuntos derivados

sucesivos, sugiere a Cantor la posibilidad de extenderlo mas alla de un numero finito de

pasos. En un trabajo de 1880, introduce las nociones de union e interseccion arbitraria de

subconjuntos y, si P no es de primera especie, define P (∞ = ∩∞n=1P(n, y posteriormente

la cadena:

P (∞+1 =(P (∞

)′. . . P (2∞ =

(P (∞

)(∞, . . . P (∞2

= ∩∞n=1P(n∞ . . .

En general, esto le permite a Cantor definir P (γ para cada “sımbolo infinito” de la forma

γ = nk∞k + nk−1∞k−1 + · · ·n1∞+ no,

dando ası comienzo al estudio de la aritmetica transfinita.

5.- Otros resultados sobre Series Trigonometricas.

Como hemos dicho en la Seccion anterior, P.Du Bois Reymond dio el primer ejemplo,

en 1876, de una funcion continua cuya serie de Fourier diverge en al menos un punto.

En el mismo trabajo probo, sin embargo, el resultado mas fuerte hasta entonces conocido

sobre la unicidad. En concreto, si f es una funcion acotada e integrable Riemann sobre

[−π, π] (¡la hipotesis mas debil entonces concebible!) que admite una representacion en

serie trigonometrica en todo punto del intervalo, necesariamente la serie es la de Fourier

de la funcion. Este resultado fue uno de los grandes logros de la teorıa de la integral de

Riemann, y le dio el espaldarazo definitivo.

El mismo resultado, para f acotada e integrable Lebesgue fue demostrado por Lebesgue

en 1906, con una demostracion mucho mas corta y elegante. Este hecho supuso tambien

un importante apoyo para la nueva teorıa de integracion que habıa construıdo Lebesgue en

su Tesis. En el mismo orden de ideas, de la Vallee Poussin extendio en 1913 el resultado

anterior, suprimiendo la hipotesis de acotacion de la funcion.

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Los resultados anteriores son finos, pues se conocıan ejemplos de series trigonometricas

convergentes en todo punto que no eran la serie de Fourier de ninguna funcion integrable.

Uno de tales ejemplos es:

f(x) =∞∑

n=2

sen nx

log n.

En cuanto a resultados negativos sobre la unicidad, el mas sorprendente se debe a Men-

choff, quien en 1916 construyo un ejemplo de una serie trigonometrica no identicamente

nula que converge a 0 en casi todo punto.

Durante mucho tiempo el problema abierto mas importante en este campo fue resolver

la conjetura de si la serie de Fourier de una funcion continua converge en casi todo punto.

Los resultados negativos en este tema se fueron acumulando. Ası, utilizando el llamado

principio de condensacion de singularidades Steinhaus probo en 1913 que existıa una

funcion continua cuya serie de Fourier divergıa en un conjunto infinito, no numerable y

denso de [−π, π]. En 1926, A. Kolmogoroff encontro una funcion integrable cuya serie de

Fourier diverge en todo punto de [−π, π]. Por otro lado, Pol y Bohr consiguieron probar en

1933 que si f es continua y periodica sobre [−π, π], existe un homeomorfismo θ : [−π, π] →[−π, π] de modo que la serie de Fourier de f ◦ θ converge uniformemente. Finalmente,

culminando una larga serie de esfuerzos, en 1966 Carleson y Hunt lograron demostrar

que si f ∈ Lp (p > 1), e.d., es de potencia p-esima integrable Lebesgue, entonces su

serie de Fourier converge (a f) en casi todo punto. Este sorprendente resultado reivindica

finalmente la afirmacion original de Fourier, pues sus “funciones arbitrarias” (funciones

continuas a trozos) pertenecen obviamente a L2.

En otro orden de cosas, el estudio de las series trigonometricas motivo tambien la

posibilidad de interpretar la palabra “representar” de manera diferente a la convergencia

puntual, abriendo ası el camino a la teorıa de espacios funcionales y otras nociones de

“proximidad”. Una primera aproximacion en esa direccion fue la aparicion de nuevas

nociones de convergencia de sucesiones. Una de las primeras fue la convergencia Cesaro,

introducida en 1890: Una sucesion (an) se dice que converge a ` en el sentido de Cesaro

si la sucesion de medias aritmeticas (a1+a2+···an

n ) converge a ` en sentido ordinario. Por

supuesto, toda sucesion convergente es tambien convergente en sentido de Cesaro (y con

el mismo lımite). Pero existen sucesiones no convergentes, como la ((−1)n), que tienen

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lımite en el sentido de Cesaro (0 en este caso). Pues bien, el matematico hungaro Leopold

Fejer demostro que la serie de Fourier de una funcion integrable Riemann converge en el

sentido de Cesaro a f(x) en todo punto de continuidad x de f y, si f es continua, lo hace

uniformemente en todo el intervalo [−π, π]. Por supuesto, Lebesgue extendio el resultado

de Fejer para funciones integrables Lebesgue. Se obtuvieron resultados analogos para otras

nociones generalizadas de convergencia (convergencia Abel, etc.)

Abandonando el marco de la convergencia puntual, la aparicion de la teorıa de la

integral de Lebesgue permitio extender y completar una serie de resultados que se habıan

ido obteniendo a lo largo del ultimo tercio del siglo XIX, expresandolos en terminos de

convergencia en distintos espacios funcionales. Ası, F. Riesz y E. Fischer, independien-

temente, y como consecuencia de sus trabajos sobre el espacio L2 de funciones de cuadrado

integrable, consiguen probar que si f ∈ L2([−π, π]), la serie de Fourier de f converge a f

en la topologıa del espacio L2, es decir

limn→∞

‖Snf − f‖2 := limn→∞

(∫ π

−π

|Snf(x)− f(x)|2 dx

) 12

= 0.

(convergencia en media cuadratica, segun la notacion clasica). A partir de aquı, los resul-

tados se fueron encadenando, probandose la convergencia en Lp (p > 1), la convergencia

distribucional, etc.

A la largo de este rapido recorrido historico sobre la teorıa de series trigonometricas,

hemos puesto de manifiesto las conexiones e interrelaciones con muchos otros temas impor-

tantes del analisis, la topologıa o la teorıa de conjuntos, ası como su papel en la aparicion

y desarrollo de nuevas ideas y teorıas que despues han crecido pujantemente por sı mis-

mas. Este era nuestro objetivo, declarado al comienzo de la charla, que esperamos haber

cumplido.

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BIBLIOGRAFIA SUCINTA

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Euler to Weierstrasss. Springer, 1986.

[2.] - C. B. Boyer.- Historia de la Matematica. Alianza Universidad Textos, 94. Alianza

Ed. Madrid, 1986

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[6.] - T. Hawkins.- Lebesgue’s Theory of Integration: its origins and development.

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[7.] - M. Kline.- Mathematical Thought from ancient to modern times. Oxford, 1972.

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historia series de fourier.pdf

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