historia series de fourier
TRANSCRIPT
-
7/26/2019 Historia Series de Fourier
1/23
LAS SERIES DE FOURIER
Y
EL DESARROLLO DEL ANALISIS EN EL SIGLO XIX
Fernando Bombal
Universidad Complutense de Madrid
-
7/26/2019 Historia Series de Fourier
2/23
Las Series de Fourier. Fernando Bombal
Las series trigonometricas surgieron en la Matematica en el siglo XVIII, en relacion
con el estudio de las pequenas oscilaciones de medios elasticos, pero como veremos, su
influencia fue decisiva en el desarrollo del Analisis a lo largo del siglo XIX. Es realmentesorprendente la omnipresencia del tema en multitud de situaciones, de tal modo que puede
rastrearse su presencia como motivador de gran parte de los desarrollos mas importantes
acaecidos en este siglo, desde la evolucion de la nocion misma de funcion hasta el comienzo
de la topologa o los numeros transfinitos, pasando por el desarrollo de las distintas nociones
de integracion. De ello trataremos en esta charla.
1.- El Problema de la Cuerda Vibrante.
A partir del desarrollo del Calculo en el siglo XVII, este se haba convertido en la
principal herramienta para estudiar y modelizar la Naturaleza. La idea basica era repre-
sentar la evolucion de un fenomeno natural por medio de una ecuacion diferencial que
relacionaba las distintas magnitudes relevantes en el fenomeno. Esta ecuacion se obtena
a partir de un analisis del fenomeno a nivel infinitesimal, utilizando un reducido numero
de leyes naturalesque se haban ido descubriendo. Los fenomenos que podan describirse
en terminos de una sola variable venan as regidos por ecuaciones diferenciales ordinarias,
que relacionaban la funcion incognita con sus derivadas. Por ejemplo, la posicion y(t)
(en funcion del tiempo) de un punto material de masa m que se desplaza a lo largo de
una recta atrado por un centro atractivo O por una fuerza proporcional a la distancia al
centro, satisface la ecuacion diferencial
md2y
dt2 =ky (k constante >0),
cuya solucion generales
y(t) =C1sen t+C2cos t, =
k
m.
A lo largo del siglo XVII y la primera mitad del XVIII se haban desarrollado consi-
derablemente los metodos de resolucion de este tipo de ecuaciones. Sin embargo, cuando
en el fenomeno estudiado dependa de dos o mas variables significativas, su modelizacion
vena dada por una ecuacion en derivadas parciales, mucho mas difcil de tratar. Uno de
1
-
7/26/2019 Historia Series de Fourier
3/23
Las Series de Fourier. Fernando Bombal
los primeros fenomenos estudiados fue el siguiente: Consideremos una cuerda tensa con
los extremos fijos en los puntos x= 0 y x = del eje Ox. Si desplazamos ligeramente la
cuerda de su posicion de equilibrio y la soltamos, oscilara un plano. Se trata de encontrar
la posicion u = u(x, t) que ocupara el punto de abscisa x en el instante t. En el caso de
un solo punto material, se trata del problema anteriormente ya citado de la oscilacion de
una masa atrada por un centro atractivo.
Este problema fue abordado por Johann Bernouilli en 1727, considerando primero
la oscilacion de n masas iguales situadas equidistantes. Para el desplazamiento yk de la
k-esima masa, Bernouilli haba obtenido la ecuacion en diferencias finitas
d2yk
dt2
=a2(yk+1 2yk+ yk1),
donde a depende de la tension de la cuerda, de la masa total y de la distancia entre las
masas puntuales. Bernouilli resolvio esta ecuacion y considero el caso de la cuerda continua
haciendo tender n a infinito formalmente. De esta manera, obtuvo que, en cada instante
t, la cuerda toma una forma sinusoidal, solucion de la ecuacion d2ydx2
=ky (con k funcion
del tiempo). Este resultado ya haba sido obtenido en 1715 por J. Taylor.
En 1747, Jean le Rond DAlembert, el famoso enciclopedista, se intereso por el
problema. A traves de un analisis infinitesimal y las leyes fsicas pertinentes, DAlambert
obtuvo la ecuacion diferencial que rige el fenomeno, a saber:
2u
t2 =a2
2u
x2, (1.1)
dondeaes una constante que depende de las caractersticas fsicas de la cuerda y que, por
simplicidad, supondremos en lo que sigue igual a 1. A continuacion, tras unas ingeniosas
manipulaciones formales, consiguio obtener la integral general de la ecuacion (1.1) en la
forma
u(x, t) = (t+x) (t x)
siendo una funcion arbitraria. En un artculo inmediatamente posterior (ambos
aparecieron en 1749), DAlembert obtiene la solucion del problema de la cuerda vibrante
en terminos de la posicion inicial u(x, 0) := f(x) de la cuerda y su velocidad inicial
ut
(x, 0) :=g(x). A continuacion DAlembert establece que las funciones f y g no pueden
2
-
7/26/2019 Historia Series de Fourier
4/23
Las Series de Fourier. Fernando Bombal
ser arbitrarias, sino que deben satisfacer ciertas condiciones. Esencialmente, DAlembert
sostiene que, debido al metodo de resolucion, las funciones admisibles como valores ini-
ciales deberan ser, por un lado, periodicas de periodo 2, y por otro, suficientemente
lisas, debiendo verificar la ley de continuidady una condicion geometrica que equivale,
en terminos modernos, a ser dos veces diferenciables (sin picos).
Un ano despues, en 1750, el gran Leonard Euler presenta el primero de los 15
trabajos que dedico a este problema, iniciando as un debate que duro cerca de 50 anos
y en el que intervinieron la mayora de los grandes matematicos de la epoca. La solucion
de Euler no difiere tecnicamente de la de DAlembert, aunque s el metodo de deduccion.
Partiendo de la posicion inicial u(x, 0) := f(x) de la cuerda, obtiene geometricamente la
solucion en la forma
u(x, t) :=1
2f(t+x) +
1
2f(t x).
Para Euler, esta ecuacion funcional describe totalmente el fenomeno fsico y, por tanto, no
supone restriccion alguna para f. Por tanto, puesto que podemos elegir arbitrariamente
la forma inicial de la cuerda (y Euler pone concretamente el ejemplo de una poligonal),
f puede ser totalmente arbitraria, e.d. regular y contenida en una cierta ecuacion, o
irregular y mecanica.
El problema subyacente en esta polemica estriba, en primer lugar, en la nocion mismadefuncion, que Euler y DAlembert utilizaban con el mismo nombre, pero con significados
distintos. En general, la idea de funcion no haba sido definida con claridad. Para los
matematicos del XVIII la nocion mas aceptada es la adoptada por el propio Euler en el
Captulo I de su famoso Introductio in Analysin Infinitorum, publicado en 1748:
Una funcion de una cantidad variable es cualquier expresion analtica for-
mada con la cantidad variable y con numeros o cantidades constantes.
Una funcion esta sujeta a laley de continuidadsi puede expresarse en todo su dominio
por una sola expresion analtica, siendo en otro casodiscontinua. De modo que, para Euler,
funciones como
|x|:=
x, si x 0x, si x
-
7/26/2019 Historia Series de Fourier
5/23
Las Series de Fourier. Fernando Bombal
cualquier funcion admisible en matematicas poda expresarse como una serie de potencias
con exponentes naturales, salvo en un numero finito de puntos a lo mas. A lo largo de
la obra, Euler fundamenta esta conviccion obteniendo los desarrollos en serie de una gran
cantidad de funciones.
La culminacion y sistematizacion de esta nocion de funcion se encuentra sin duda en
la monografa Theorie des fonctions analytiques, publicado en 1797 por J. L. Lagrange
como libro de texto para sus alumnos de la Ecole Polytechnique, fundada pocos anos antes
para formar a las nuevas generaciones de tecnicos y cientficos que debieran llevar a Francia
a la cabeza del desarrollo cientfico e industrial despues de la Revolucion. En este libro que,
como orgullosamente declara su autor, presenta la teora de funciones y el calculo diferencial
liberados de toda consideracion acerca de infinitesimales, cantidades evanescentes, lmites
o fluxiones..., Lagrangedefinede hecho una funcion por su desarrollo en serie de potencias
(aunque intenta dar una demostracion de la posibilidad de tal desarrollo), y las derivadas
sucesivas como los correspondientes coeficientes en el desarrollo en serie de la funcion.
Es esta nocion de funcion la que adopta y defiende DAlembert en el debate sobre
la cuerda vibrante, junto con la postura mas ortodoxa sobre la utilizacion rigurosa de las
leyes del calculo.
Euler, por su parte, motivado por la naturaleza fsica del problema, defenda que lasolucion obtenida era valida para cualquier funcion arbitraria (mecanicaen su notacion,
para indicar una funcion cuya grafica esta trazada al azar). Este problema, junto con
otros de naturaleza geometrica, hicieron a Euler considerar su primera definicion de funcion
como demasiado restrictivo. As, en su Institutiones Calculi Differentialisda una nueva
definicion que, en sentido literal, no estara demasiado lejos de la concepcion moderna de
funcion:
Si unas cantidades dependen de otras, de modo que si las ultimas cambian, lohacen tambien las primeras, se dice que las primeras cantidades sonfunciones
de las ultimas.
No obstante, la idea actual de funcion como correspondencia arbitraria era sencilla-
mente extrana a Euler (y, en general, al pensamiento de la epoca). Simplemente, Euler
quera senalar que podan ser objeto de estudio en Matematicas funciones mas generales
4
-
7/26/2019 Historia Series de Fourier
6/23
Las Series de Fourier. Fernando Bombal
que las obtenidas por medio de una expresion analtica concreta. Realmente, las funciones
admitidas por Euler como posicion inicial de la cuerda seran lo que en lenguaje moderno
llamaramos funciones continuas, de clase C1 a trozos. De hecho, las confrontaciones mas
intensas entre Euler y DAlembert se referan a la posibilidad de considerar como funciones
validas a las que tuvieran picos (como las poligonales a trozos), e.d., con derivada dis-
continua en algunos puntos. Euler admita las objeciones de DAlembert desde el punto de
vista del rigor, pero defenda la necesidad de encontrar nuevos instrumentos matematicos
para extender las leyes del calculo conocido a situaciones mas generales, justificados en todo
caso por la evidencia fsica del problema. Es de destacar la postura pionera de Euler en el
problema de las soluciones generalizadas de una ecuacion diferencial. Se trata, como en
el caso de la cuerda vibrante, de conciliar la evidencia emprica de que muchos problemas
que se modelizan a traves de ecuaciones diferenciales, tienen soluciones realesno regulares
desde el punto de vista matematico. Ya hemos senalado una de las posibilidades, adop-
tada por Euler: modificar el modelo matematico por otro que no exija restricciones tan
severas a las soluciones. Tambien Euler dio los primeros pasos en el metodo de las solu-
ciones debiles: Se trata de aproximar una funcion mecanica arbitraria fpor funciones
regulares, obtener la solucion clasica (a lo DAlembert) de (1.1) para estas funciones y
representar la solucion original como lmite (en algun sentido) de estas soluciones clasicas.
Uno de los intervinientes en el largo debate sobre la cuerda vibrante fue Daniel
Bernouilli, amigo de Euler y perteneciente a la conocida familia de matematicos de origen
suizo. Daniel Bernouilli era esencialmente lo que hoy llamaramos un fsico matematico.
Por ello, los razonamientos fsicos primaban para el sobre los argumentos matematicos.
En consecuencia, retomando los argumentos de su padre Johann, propuso en 1753 que
la posicion general de la cuerda debiera obtenerse por superposicion (e.d., combinacion
lineal, eventualmente infinita) de las vibraciones elementales sinusoidales que su padre
haba encontrado como solucion. Mas precisamente, propuso como solucion
u(x, t) =(t) sen x
+(t) sen
2x
+(t) sen
3x
+ (1.2)
En particular, la posicion inicial u(x, 0) := f(x) debiera poder expresarse como una serie
trigonometrica. Por supuesto, Bernouilli no dio ninguna indicacion sobre como calcular
los coeficientes , , , . . ..
5
-
7/26/2019 Historia Series de Fourier
7/23
Las Series de Fourier. Fernando Bombal
La solucion de Bernouilli fue rechazada por Euler por no ser lo suficientemente general.
Aunque reconocio la importancia de las observaciones de Bernouilli en el aspecto fsico
del problema, consideraba matematicamente inaceptable que cualquier funcion arbitraria
pudiera representarse por medio de una suma trigonometrica. Para Euler,
todas las curvas contenidas en esta ecuacion[se refiere a (1.2)]incluso cuando
aumentamos el numero de terminos hacia infinito, tienen ciertas carac-
tersticas que las distinguen de otras curvas.
Entre esas caractersticas, Euler hace hincapie en la periodicidad. Un error tan evi-
dente (es obvio que lo relevante para el problema es lo que sucede en el intervalo [0, ]),
pone claramente de manifiesto la dificultad en asimilar la idea moderna de dominio de
una funcion, incluso por un hombre como Euler, protagonista de la transicion entre laantigua teora de funciones y la nueva. Para Euler, como para todos sus contemporaneos,
una funcion se asocia siempre con la totalidad del dominio en el que existe. Otra de
las objeciones de Euler haca referencia a la determinacion de los coeficientes , , , etc.,
tarea que le pareca sin duda muy difcil, por no decir imposible..
DAlembert, por una vez, coincidio con Euler para rechazar la solucion de Bernouilli.
Incluso fue mas lejos, afirmando que ni siquiera cualquier funcion periodica podra repre-
sentarse por una serie trigonometrica.
En el fondo, como senaloH. Lebesgueen 1906, las objeciones de Euler y DAlembert
tenan un significado muy profundo. En efecto, si consideramos la posicion inicial de la
cuerda como una poligonal, resulta que una serie trigonometrica (que es una expresion
analtica) representara una funcion lineal en un subintervalo de [0, ] y otra funcion li-
neal distintaen otro subintervalo; e.d., dos expresiones analticas deberan ser iguales en
un intervalo y desiguales en otro, lo que pareca imposible. (Notese que para series de
potencias, esto es claramente imposible!).
2.- La teora de la transmision del calor y la resolucion de E.D.P.
La invencion de la maquina de vapor, base de la Revolucion Industrial, desperto el
interes por el desarrollo de una teora matematica de la conductividad del calor, mas tarde
concretada en la termodinamica. Varios matematicos y fsicos, comoLaplace, Lavoisier,
6
-
7/26/2019 Historia Series de Fourier
8/23
Las Series de Fourier. Fernando Bombal
Biot, et. realizaron investigaciones en este campo. En el ano 1811 el Institut de France
convoco un concurso cuyo objeto eral proporcionar una teora matematica de las leyes de
propagacion del calor y comparar esta teora con experimentos. El ganador del premio
fue el academico Jean B.Fourier. De familia modesta (era hijo de un sastre de Auxerre),
Fourier estudio en la Escuela militar de su ciudad natal, de donde lleg o a ser Profesor. Se
adhirio a las ideas de la Revolucion y participo activamente en la poltica. Tras participar
como estudiante en la creacion de laEcole Normaleen 1794, paso a ser Profesor de la misma
y posteriormente de laEcole Polytechnique. En 1798 participo, junto conMongey muchos
otros cientficos, en la expedicion de Napoleon a Egipto, y se convirtio en un admirador y
experto de la cultura egipcia. Regreso a Francia en 1801 y al ano siguiente fue designado
Prefecto del Departamento de Isere. En 1815, se traslado a Paris, dedicandose desde
entonces casi exclusivamente a su actividad cientfica. En 1817 fue designado miembro de
la recien refundada Academia de Ciencias, de la que se convirtio en Secretario Perpetuo
en 1822.
Fourier, hombre comprometido con los problemas de su epoca, conceba las
matematicas, y especialmente el analisis infinitesimal, como el instrumento fundamen-
tal para comprender la Naturaleza, domenarla y adaptarla a las necesidades del Hombre.
como dice claramente en el Discours Preliminaire,
Las causas primeras las desconocemos, pero estan sujetas a leyes simples y
constantes que pueden ser descubiertas por medio de la observacion. Este el
es objeto de la Filosofa Natural...
Pero, una vez realizadas una serie de observaciones empricas, es necesario obtener
un modelo del fenomeno en terminos matematicos, y mas precisamente, por medio de
ecuaciones diferenciales. Este es el camino que hay que seguir para avanzar nuestro
conocimiento sobre la Naturaleza. Vemos, pues, que Fourier es el paradigma de lo que hoy
llamaramos un matematico aplicado (como lo eran la mayora de sus contemporaneos).
La motivacion para desarrollar teoras matematicas abstractas (a las que, como veremos,
Fourier contribuyo en gran medida) debe ser siempre la obtencion de nuevas herramien-
tas que permitan resolver los problemas planteados por la observacion de la Naturaleza.
Tambien hay que destacar en Fourier su concepcion de la Ciencia como elemento esencial
del progreso de la Sociedad civil. En contrapartida, el rigor en el razonamiento no es lo
7
-
7/26/2019 Historia Series de Fourier
9/23
Las Series de Fourier. Fernando Bombal
mas importante.
Con estas premisas, no es de extranar que Fourier se interesara por la teora de la
transmision del calor. De hecho, haba presentado una extensa Memoria al Instituto en
1807 que no fue publicada. En el informe del Jurado sobre la concesi on del premio convo-cado por el Instituto, se lee
Este trabajo contiene las ecuaciones diferenciales correctas que gobiernan
la transmision del calor, tanto en el interior de los cuerpos como en su su-
perficie, y la novedad del tema junto con su importancia, ha motivado la
concesion del premio... Sin embargo, la forma como el autor obtiene sus
ecuaciones ... y el analisis de su solucion deja algo que desear tanto en lo
concerniente a la generalidad [de la solucion] como al rigor.
Probablemente estas objeciones fueron la razon por la que el trabajo ganador no fuera
publicado inmediatamente (como era costumbre), y tuviera que esperar hasta 1824 para
su aparicion, cuando ya Fourier era Secretario Perpetuo de la Academia.
Las ecuaciones obtenidas por Fourier son:
k2u
x2 =
u
t
; k2u
x2+
2u
y2 = u
t
; k2u
x2+
2u
y2 +
2u
z2 = u
t
,
segun se trate de una barra, un recinto plano o un cuerpo solido, donde u = u(x, t) es
la temperatura en el instante t del cuerpo, en el punto de coordenadas x. Por supuesto,
las soluciones buscadas deben verificar ciertas condiciones de contorno. A la resolucion
de distintos casos particulares (barras, cilindros, esferas, etc.) dedico Fourier una serie de
artculos que culminaron en su renombrada Theorie analytique de la chaleur, publicada en
1822. En esta obra, Fourier, a traves de un gran numero de ejemplos, desarrolla una serie
de ideas y de tecnicas que iban a ser el modelo a seguir en las investigaciones posteriores
sobre las Ecuaciones en Derivadas Parciales. Probablemente, nada mejor que reproducir
uno de los ejemplos de Fourier para acercarnos al espritu de la obra: Consideremos el
problema de la determinacion de la temperatura estacionaria en el interior de una placa
infinita de forma rectangular, cuyos bordes se mantienen a temperatura prefijada (p.e., 0
grados en los lados (infinitos) superiores y a distancia infinita, y 1 grado en el borde finito).
8
-
7/26/2019 Historia Series de Fourier
10/23
Las Series de Fourier. Fernando Bombal
En este caso, ut
= 0 y se trata de encontrar la solucion de la ecuacion diferencial
2u
x2+
2u
y2 := u= 0 (2.1)
en el dominio x > 0, 2 < y < 2 , que sea igual a 1 para x = 0 y se anule para
y= 2 , y= 2 , y para x tendiendo a.
Para resolver este problema, Fourier utiliza su metodo favorito deseparacion de varia-
bles(ya empleado por DAlembert y Bernouilli con anterioridad): Tratemos de encontrar
soluciones de la forma u(x, y) = v(x)w(y). Sustituyendo en la ecuacion (2.1), resulta que
ha de cumplirse
v(x)
v(x) =
w(y)
w(y) .
Como el primer miembro depende solo de x y el segundo de y, solo pueden ser iguales si
ambos son una constante . Obtenemos as dos ecuaciones diferenciales ordinarias, faciles
de resolver. Pero Fourier es mas directo y, simplemente, dice ... vemos que podemos
tomarv(x) =emx yw(y) = cos ny. Sustituyendo en (2.1), se obtiene m2 =n2(=). De
la condicion (iii), resulta m < 0, y de la (ii) que n = (2k1) (k N) y m = n. As
pues, las funciones
uk(x, y) =e
(2k
1)x cos(2k 1)y (k N),
satisfacen todas las condiciones, salvo la (i). Retomando el principio de superposicion,
Fourier trata entonces de buscar una solucion como superposicion de las anteriores, es
decir, de la forma
u(x, y) =n=0
anun(x, y),
para unos coeficientes (an) adecuados. Para determinar estos coeficientes, Fourier utiliza
la condicion (i), obteniendo
1 =n=1
ancos(2n 1)y, para
2 < y 1), e.d., es de potencia p-esima integrable Lebesgue, entonces su
serie de Fourier converge (af) en casi todo punto. Este sorprendente resultado reivindica
finalmente la afirmacion original de Fourier, pues sus funciones arbitrarias (funciones
continuas a trozos) pertenecen obviamente a L2.
En otro orden de cosas, el estudio de las series trigonometricas motivo tambien la
posibilidad de interpretar la palabra representar de manera diferente a la convergencia
puntual, abriendo as el camino a la teora de espacios funcionales y otras nociones de
proximidad. Una primera aproximacion en esa direccion fue la aparicion de nuevas
nociones de convergencia de sucesiones. Una de las primeras fue la convergencia Cesaro,
introducida en 1890: Una sucesion (an) se dice que converge a en el sentido de Cesaro
si la sucesion de medias aritmeticas(a1+a2+ann
) converge a en sentido ordinario. Por
supuesto, toda sucesion convergente es tambien convergente en sentido de Cesaro (y con
el mismo lmite). Pero existen sucesiones no convergentes, como la ((1)n), que tienen
20
-
7/26/2019 Historia Series de Fourier
22/23
Las Series de Fourier. Fernando Bombal
lmite en el sentido de Cesaro (0 en este caso). Pues bien, el matematico hungaroLeopold
Fejer demostro que la serie de Fourier de una funcion integrable Riemannconverge en el
sentido de Cesaroa f(x) en todo punto de continuidad x de fy, si fes continua, lo hace
uniformemente en todo el intervalo [, ]. Por supuesto, Lebesgue extendio el resultado
de Fejer para funciones integrables Lebesgue. Se obtuvieron resultados analogos para otras
nociones generalizadas de convergencia (convergencia Abel, etc.)
Abandonando el marco de la convergencia puntual, la aparici on de la teora de la
integral de Lebesgue permitio extender y completar una serie de resultados que se haban
ido obteniendo a lo largo del ultimo tercio del siglo XIX, expresandolos en terminos de
convergencia en distintos espacios funcionales. As, F. Riesz y E. Fischer, independien-
temente, y como consecuencia de sus trabajos sobre el espacioL2de funciones de cuadrado
integrable, consiguen probar que si fL2([, ]), la serie de Fourier de f converge a f
en la topologa del espacio L2, es decir
limn
Snf f2 := limn
|Snf(x) f(x)|2 dx
12
= 0.
(convergencia en media cuadratica, segun la notacion clasica). A partir de aqu, los resul-
tados se fueron encadenando, probandose la convergencia en Lp (p > 1), la convergencia
distribucional, etc.
A la largo de este rapido recorrido historico sobre la teora de series trigonometricas,
hemos puesto de manifiesto las conexiones e interrelaciones con muchos otros temas impor-
tantes del analisis, la topologa o la teora de conjuntos, as como su papel en la aparicion
y desarrollo de nuevas ideas y teoras que despues han crecido pujantemente por s mis-
mas. Este era nuestro objetivo, declarado al comienzo de la charla, que esperamos haber
cumplido.
21
-
7/26/2019 Historia Series de Fourier
23/23
Las Series de Fourier. Fernando Bombal
BIBLIOGRAFIA SUCINTA
[1.] -U. Bottazzini.-The higher Calculus: A history of Real and Complex Analysis from
Euler to Weierstrasss. Springer, 1986.
[2.] -C. B. Boyer.-Historia de la Matematica. Alianza Universidad Textos,94. Alianza
Ed. Madrid, 1986
[3.] - C. H. Edwards.- The Historical Development of the Calculus. Springer, 1979.
[4.] - I. Grattan-Guinnes.- Del calculo a la teora de conjuntos, 1630-1910. Alianza
Universidad,387. Madrid, 1984.
[5.] - I. Grattan-Guinnes.- The Fontana history of the Mathematical Sciences. Fontana-
Press, London, 1997.
[6.] - T. Hawkins.- Lebesgues Theory of Integration: its origins and development.
Chelsea, 1979.
[7.] - M. Kline.- Mathematical Thought from ancient to modern times. Oxford, 1972.
22