HỆ THỰC LƯỢNG TRONG TAM GIÁCA

1. CÁC HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC: b1.1. Định lí cosin: c

a2 = b2 +c2 -2bc. cosA C b2 = a2 + c2 – 2ac.cosB c2 = a2 + b2 -2ab.cosC M a B Hệ quả:

1.2. Định lí sin:

(với R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác)

1.3. Định lý đường trung tuyến:

2. CÁC DẠNG BÀI TẬP:

2.1. Dạng 1: Tính các yếu tố trong một tam giácBài 1: Tam giác ABC có <B=60o ; <C= 450 ; BC= a

a / Tính độ dài hai cạnh AB, AC

b / Chứng minh: cos 750 =

Bài 2: Tam giác ABC có BC =12, CA=13, trung tuyến AM =8a / Tính diện tích tam giác ABCb / Tính góc B

Bài 3: Cho ta giác ABC có độ dài 3 đường trung tuyến bắng 15; 18 ;27a / Tính diện tích tam giácb / Tính độ dài các cạnh của tam giác

2.2. Dạng 2: Chứng minh hệ thức giửa các yếu tố trong một tam giácBài 1: Chứng minh trong mọi tam giác ABC đều có

Giải : Ta có

Bài 2: Chứng minh rằng: (b-c) cot A/2 +(c-a) cot B/2 + (a-b) cot C/2 =0

CM:

Tương tự

Cộng vế theo vế (1),(2),(3) => đpcm

Bài 3: Chứng minh rằng: r = 4R .sin A/2 .sin B/2 .sin C/2CM

2.3. Ứng dụng hệ thức lượng trong tam giác giải bài toán thực tếBài toán 1: Đo chiều cao

Trên nóc một tòa nhà có một cột ăng ten cao 5 m. Từ vị trí quan sát A cao 7 m so với mặt đất, có thể nhìn thấy đỉnh B và chân C của cột ăng ten dưới góc 450 và 600 so với phương nằm ngang. Tính chiều cao của tòa nhà

Bài toán 2: Tính khoảng cáchTính khoảng cách một con tàu ngoài biển tới đất liền

D

C

B

A

2.4. Nhận dạng tam giác:Dạng 1: Nhận dạng tam giác đều

Dạng 2: Nhận dạng tam giác cân

Dạng 3: Nhận dạng tam giác vuông

Dạng 4: Tìm đặc điểm của tam giác Nhận dạng tam giác ABC nếu các góc của nó tỏa mãn: (1+cotA)(1+cotB)=2

BÀI TẬPBài 1: Cho tam giác ABC cạnh đáy a, cạnh bên b, góc ở đỉnh bằng .CMR Giải Ta có

Bài 2: CMR diên tích tam giác ABC có thể tính bởi

CM Ta có

Bài 3: Cho có .

CMR a) b)

C/M

a) Ta có

Ta laị có

(đpcm)

b)

Ta có

Đặt

Bài 5: Cho có ba cạnh thoả .CMR nhọn và C/M G/s a là cạnh lớn nhất trong tam giác ABC. Vì

==> ABC là tam giác nhọn

Bài 6: Cho tam giác ABC có . CMR 2cotA= cotB +cotC CM : Theo giả thiết ta có

Bài 7: Cho tam giác ABC CMR

CM: Ta có

CM ở bài 1 dạng 2

CM Ta có

Bài 8: CMR:

Giải Ta có: ,

Bài 10: Cho tam giác ABC có AA’, BB’ là các trung tuyến. Chứng minh rằng: AA’vuông góc với BB’Giải

Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Vì AA’vuông góc với BB’

Mà AA’, BB’ là các trung tuyến nên

Thay vào (1) ta được:

Lại có:

Bài 11: Cho tam giác ABC, chứng minh:

a)

b)

c) Giải

a)

b) Áp dụng Bất đẳng thức Cối cho từng cặp:

(1)x(2)x(3) ta có điều phải chứng minh

c) Ta có:

Bài 12: CMR

Ta có

Tương tự (2) (3) Cộng vế theo vế (1)(2)(3) ta được :

Mặt khác ta có

Tương tự: ,

Nhân vế theo vế (1)(2)(3) ta được: (**)

Từ (*)(**) ta có

Bài 13: Cm: CM: Theo Bunhiacopki:

Bài 14: a) CM:

Lại có: S=Áp dung BĐT Côsi ta có:

Áp dụng côsi cho ta có

b) CM:

Từ trên:

Mà