handout sinyal & sistem
DESCRIPTION
modulTRANSCRIPT
![Page 1: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/1.jpg)
SINYAL
TEAM DOSEN
1
SINYAL & SISTEMEE2423
![Page 2: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/2.jpg)
Outline
2
Definisi Sinyal & Sinyal dalam kehidupan kitaKlasifikasi Sinyal
Sinyal waktu kontinyu & Sinyal waktu DiskretSinyal Periodik & AperiodikSinyal Genap & Sinyal GanjilSinyal Deterministik dan Acak
Sinyal-sinyal DasarOperasi Dasar
![Page 3: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/3.jpg)
Definisi Sinyal
3
Sinyal pada umumnya menggambarkan berbagai fenomena fisik.
Berbagai contoh sinyal dalam kehidupan sehari-hari : arus atau tegangan dalam rangkaian elektrik, suara, suhu, tekanan udara, kecepatan, debit air, sinyal biomedis seperti EEG, ECG dlsb.
Dalam konteks hubungan sinyal dengan sistem, sinyal adalah masukan dari enviroment ke dalam sistem dan keluaran dari sistem ke enviroment.
environment
SINYALINPUT SISTEM
SINYALOUTPUT
![Page 4: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/4.jpg)
Definisi Sinyal
4
Perhatikan gambar dibawah, sebuah sistem rangkaian penyearah jembatan dengan sinyal masukan adalah tegangan AC, dan sinyal keluaran berupa sinyal DC.
Dalam hal ini sinyal adalah masukan sistem dan output sistem yang direpresentasikan sebagai perubahan tegangan terhadap waktu.
D3
D1
Vin
RLVout
D4
D2
Vin Vout
t t
(a) (b)
![Page 5: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/5.jpg)
Definisi Sinyal
5
Gambar dibawah adalah sinyal ucapan dari kata “apa kabar” yang dilewatkan melalui mikrofon sepanjang 1100 milidetik. Dalam hal ini, suara ucapan digambarkan sebagai perubahan tekanan akustik terhadap waktu.
![Page 6: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/6.jpg)
Definisi Sinyal
6
Selain sinyal satu dimensi, dalam sehari-hari, kita juga akan sering menjumpai sinyal dua dimensi. Sebagai contoh adalah citra digital. Perhatikan sebuah citra monokromatis. Citra monokromatis direpresentasikan oleh tingkat kecerahan sebagai fungsi titik koordinat.
![Page 7: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/7.jpg)
Definisi Sinyal
7
Secara metematis sinyal dinyatakan sebagai fungsi dari variabel bebas. Sinyal dapat memiliki satu atau lebih dari satu variabel bebas.
Sebagaimana contoh di atas, sinyal listrik memiliki satu variabel bebas waktu, sedangkan sinyal citra memiliki dua variabel bebas berupa titik koordinat.
Dalam banyak hal sinyal adalah fungsi waktu yang merepresentasikan variabel fisik yang berkaitan dengan sistem.
![Page 8: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/8.jpg)
Definisi Sinyal
8
Dalam kuliah ini kita akan membatasi pembahasan pada sinyal dengan satu variabel bebas berupa waktu. Meskipun pada kenyataannya tidak seluruh variabel bebas dinyatakan dengan waktu, seperti variasi tekanan udara dan kelembaban terhadap ketinggian.
Waktu sebagai variabel bebas yang akan kita pelajari dalam kuliah ini, mencakup waktu kontinyu dan waktu diskret.
![Page 9: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/9.jpg)
Representasi Sinyal
9
Selain dengan cara grafis seperti contoh-contoh di atas, sinyal dapat juga direpresentasikan dengan persamaan matematis.
Contoh :Untuk sinyal waktu kontinyu : x(t) = 10 sin 2t x(t) = 2t+7
Untuk sinyal waktu diskret : x(n)=2n+3 y(n)=[1, 2, 3, 4, 3, 2, 1], keterangan : tanda ”_” adalah titik n=0.
00
0)(
t
ttty
00
01)(
n
nny
![Page 10: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/10.jpg)
Klasifikasi Sinyal
10
Sinyal waktu kontinyu & Sinyal waktu Diskret
Sinyal Periodik & AperiodikSinyal Genap & Sinyal GanjilSinyal Deterministik & Sinyal Acak
![Page 11: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/11.jpg)
Sinyal waktu kontinyu & Sinyal waktu Diskret
11
Sinyal Waktu Kontinyu terdefinisi untuk setiap nilai pada sumbu waktu, sedangkan Sinyal Waktu Diskret terdefinisi hanya pada nilai waktu diskret.
Dalam pembahasan kita, sumbu waktu untuk Sinyal Waktu Kontinyu menggunakan simbol t, sedangkan untuk Sinyal Waktu Diskret menggunakan simbol n. Sehingga representasi sinyal x untuk Sinyal Waktu Kontinyu dituliskan sebagai x(t) dan untuk Sinyal Waktu Diskret dituliskan sebagai x(n).
Contoh Sinyal Waktu Kontinyu : Sinyal modulasi AM
![Page 12: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/12.jpg)
Sinyal waktu kontinyu & Sinyal waktu Diskret
12
Contoh Sinyal Waktu Dsikret :
Jumlah pelanggan tetap VoIP U.S
Sumber :Trend in the U.S communication equipment market :A wall street perspective.
Communication Magazine, Vol 44.
Keterangan : 1Q03 = ¼ pertama tahun 2003
![Page 13: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/13.jpg)
Sinyal Periodik dan Sinyal Aperiodik
Sinyal waktu kontinyu dinyatakan periodik jika dan hanya jika
x(t+kT)=x(t) untuk - < t < ,
dimana k adalah bilangan bulat.
T adalah perioda sinyal.
Sinyal waktu diskrit dinyatakan periodik jika dan hanya jika
x(n+kN)=x(n) untuk - < n < ,
dimana k adalah bilangan bulat.
N adalah perioda sinyal.
0 1 2 3 4 5 6 7 8N n
X(n)
N
13
0 T t
X(t)
![Page 14: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/14.jpg)
Sinyal Genap dan Sinyal Ganjil
14
Salah satu klasifikasi lain diperoleh dengan melihat kesimetrian sinyal pada waktu balikan (reverse time). Sinyal x(t) atau x(n) dinyatakan sinyal genap jika :
x(-t)=x(t) dan x(-n)=x(n)
Jadi sinyal genap membentuk simteri dengan waktu balikannya.
Contoh : gambar& pers
![Page 15: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/15.jpg)
Sinyal Genap dan Sinyal Ganjil
15
Sinyal x(t) atau x(n) dinyatakan sinyal ganjil jika :
x(-t)=-x(t) dan x(-n)=-x(n)
Jadi sinyal ganjil membentuk anti-simteri dengan waktu balikannya.
Contoh : gambar& pers
![Page 16: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/16.jpg)
Sinyal Deterministik dan Stochastic
16
Sinyal determinisktik adalah sinyal yang keseluruhan nilainya dapat ditentukan dengan suatu persamaan matematis.
Contoh : sinyal sinus, sinyal-sinyal dalam pembahasan MK ini selanjutnya adalah sinyal deterministik.
Sinyal Stochastic jika nilai yang akan datang dari suatu sinyal tidak dapat ditentukan secara pasti.
Contoh : noise tegangan dalam penguat, dll
![Page 17: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/17.jpg)
Energi dan Daya Sinyal
17
Untuk sinyal waktu kontinyu :
Untuk sinyal waktu diskret :
1
22)()(lim dttxdttxE
T
TT
1
22)()(
2
1lim dttxdttx
TP
T
TT;
n
N
NnN
nxnxE22
)()(lim
n
N
NnN
nxnxN
P22
)()(12
1lim
;
![Page 18: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/18.jpg)
Sinyal-sinyal Dasar
18
Sinyal Unit StepSinyal ImpulsSinyal RampSinyal EksponensialSinyal Sinusoidal
![Page 19: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/19.jpg)
Unit Step (cont’d)
19
Unit Step Kontinyu
u(t)=
Unit Step Kontinyu Tergeser
u(t-)=
0
0
0
1
,t
,t
,t
,t
0
1 u(t- )
t
1
t
1
u(t)
![Page 20: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/20.jpg)
Unit Step (cont’d)
20
Unit Step Kontinyu diskontinyu pada t=0, sehingga tak terdiferensiasi (not differentiable)!
Kita definisikan unit step ter-delay:
u(t) kontinyu dan dapat di-diferensiasi
otherwise
,t
,t
t
tu
,
2/
2/
2
1
0
1
)(
t
1
u(t)
2
2
)(lim)(0
tutu
otherwise
t,
dt
tdu
,
2/2/
0
1)(
![Page 21: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/21.jpg)
Unit Impulse (cont’d)
21
Unit Impuls Kontinyu:
1)(
0,
0
0)(
dtt
t
,tt
otherwise
t,
dt
tdut
,22
0
1)(
lim)(0
t1/
(t)
2
2
t
0
(t)
![Page 22: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/22.jpg)
Unit Impuls (cont’d)
22
Unit Impuls Kontinyu Tergeser:
Properties Unit Impuls Kontinyu :
)()()()(
)()0()()(
)()(
)()(
)()(
txttx
txttx
tt
dtu
dt
tdut
t
t
(t-)
dtxtx )()()(
![Page 23: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/23.jpg)
Unit Step
23
Unit Step Diskret
u[n]=
Unit Step Diskret Tergeser
u[n-k]=
0
0
0
1
,n
,n u[n]
-1-2n
1-3 32
1
k,n
k,n
0
1u[n-k]
…-1n
1 k
1
![Page 24: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/24.jpg)
Unit Impuls
24
Unit Impuls Diskret
Unit Impuls Diskret Tergeser
0
0
0
1][
,n
,nn
[n]
-1-2n
1-3 32
1
[n-k]
…-1n
1 k
1
k,n
k,nkn
0
1][
![Page 25: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/25.jpg)
Unit Impuls (cont’d)
25
Properties Fungsi Unit Impuls Diskret:
k
n
k
knkxnx
knkxknnx
nxnnx
knu
nunun
][][][
][][][][
][]0[][][
][][
]1[][][
![Page 26: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/26.jpg)
Latihan
26
Hitung persamaan dibawah:
Gambarkan sinyal berikut ini:
Gambar turunan dari x(t), yakni dx(t)/dt.
dtttut
knnnnun kn
10
10
0
10
))15()((
]2[][
))8()6()4(()()2()(
]3[][)1(][
tutututtuttx
nnununnx
![Page 27: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/27.jpg)
Signals Sebagai Fungsi Step
27
tc
x(t)
a b
1
y(t)
-1
1t
1
w(t)
-1
1t
2z(t)
-1
1 t
2
-2
![Page 28: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/28.jpg)
Signals Sebagai Fungsi Step (cont’d)
28
x[n]
…-1n
1 N
1
y[n]
… -1n
1 4
1
-2 32 5-3 …
![Page 29: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/29.jpg)
Operasi-operasi Dasar
29
Operasi terhadap Sumbu Waktu
Pergeseran sumbu waktuX(t+t0) geser ke kiri sejauh t0X(t-t0) geser ke kanan sejauh t0
PencerminanX(-t) pencerminan terhadap sumbu vertikal
Penskalaan waktu (kompresi-ekspansi)
X(at) jika |a|>1 Kompresijika |a|<1 ekspansi
a
btafbatf )(
a
bnafbanf )(
![Page 30: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/30.jpg)
Operasi-operasi Dasar
30
Operasi terhadap Amplituda
Penskalaan A.x(t)
![Page 31: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/31.jpg)
SISTEM
TEAM DOSEN
31
EE2423SINYAL & SISTEM
![Page 32: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/32.jpg)
Outline (bagian 1)
32
Definisi SistemInterkoneksi SistemKlasifikasi Sistem :
Sistem Memory vs. MemorylessKausalitasStability and InvertibilityLinearityTime-Invariance
Superposisi pada Sistem LTI
![Page 33: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/33.jpg)
Definisi Sistem
33
Sistem: Black box yang memetakan sinyal input menjadi sinyal output.
Sistem Waktu Diskret: y[n] = H[x(n)]
Sistem Waktu Kontiunyu: y(t) = H(x(t))
Hx[n] y[n]
Hx(t) y(t)
![Page 34: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/34.jpg)
Interkonneksi Sistem
34
Hubungan serial (Cascade): y(t) = H2( H1( x(t) ) )
Contoh: radio receiver diikuti oleh amplifier Parallel Connection: y(t) = H2( x(t) ) + H1( x(t) )
Contoh: line telepon terhubung parallel dengan microphone telepon
H1
x(t)H2
y(t)
H1
x(t) y(t)
H2
+
![Page 35: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/35.jpg)
Interkonneksi Sistem(cont’d)
35
Hubungan Feedback : y(t) = H2( y(t) ) + H1( x(t) )
contoh : Sistem penghapus echoSangat mungkin untuk mengkombinasikan
hubungan tersebut.
H1
x(t) y(t)
H2
+
![Page 36: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/36.jpg)
Sistem Memory vs. Memoryless
36
Sistem Memoryless (static): Output sistem y(t) bergantung hanya pada intput pada waktu t,y(t) adalah fungsi x(t)
Sistem Bermemori (dynamic): Output sistem y(t) bergantung pada input sebelum atau sesudah waktu t (current time t), y(t) fungsi x() dimana - < <.
![Page 37: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/37.jpg)
Sistem Memory/Dinamis vs. Memoryless
37
Contoh:Tentukan apakah dibawah ini sistem bermemori atau tak bermemori resistor: y(t) = R x(t)
capacitor:
satu unit delayer: y[n] = x[n-1]
accumulator:
t
dxC
ty )(1
)(
n
k
kxny ][][
![Page 38: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/38.jpg)
KausalitasSistem kausal jika keluaran pada saat n=n0
hanya bergantung pada harga-harga dari masukan n≤n0 (sebelumnya dan sekarang), dengan kata lain h(n)=0 untuk n<0. h(n) = respon impulsSistem yang dapat direalisasikan harus kausal
38
![Page 39: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/39.jpg)
Stabilitas dan Invertibilitas
39
Stabilitas: Sistem stabil jika memberikan keluaran terbatas untuk masukan yang terbatas (bounded-input/bounded-output)-BIBO.
Jika |x(t)| < k1, maka |y(t)| < k2.Contoh:
t
dttxty0
)()( ][100][ nxny
![Page 40: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/40.jpg)
Stabilitas dan Invertibilitas
40
Invertibilitas: Sistem invertible jika input yang berbeda menghasilkan output yang berbeda. Jika sistem invertible,maka ada sistem “inverse” yang dapat mengkonversi output asli sistem menjadi input asli sistem.
Contoh:
Sistemx(t) Sistem
Inversew(t)=x(t)y(t)
![Page 41: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/41.jpg)
Stabilitas dan Invertibilitas
41
Contoh:
)(4
1)(
)(4)(
tytw
txty
]1[][][
][][
nynynw
kxnyn
k
dt
tdytw
dttxtyt
)()(
)()(
![Page 42: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/42.jpg)
Linearitas
42
Sistem linier jika memenuhi sifat:additivitas: x(t) = x1(t) + x2(t) y(t) = y1(t) + y2(t)homogeneitas (atau scaling): x(t) = a x1(t) y(t) = a
y1(t), dengan a konstanta complex.
Dua sifat tersebut dapat dikombinasi menjadi satu sifat: Superposition:
x(t) = a x1(t) + b x2(t) y(t) = a y1(t) + b y2(t)
x[n] = a x1[n] + b x2[n] y[n] = a y1[n] + b y2[n]
1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )T x t x t T x t T x t
![Page 43: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/43.jpg)
Linearitas
43
Contoh: Apakah sistem berikut linier?
2( ) ( )
( ) ( ) 4
y t x t
y t x t
][][ nnxny
)cos()()( ttxty
![Page 44: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/44.jpg)
Time-Invariance
44
Sistem time-invariant jika delay (time-shift) pada sinyal input hanya menyebebkan delay yang sama besar (time-shift) pada sinyal ouput dan tidak mengubah amplitudo sinyal output.
x(t) = x1(t-t0) y(t) = y1(t-t0)
x[n] = x1[n-n0] y[n] = y1[n-n0]
Periksalah sistem dibawah apakah time-invariant:][][ nnxny
)2()( txty
)(sin)( txty
( ) ( )T x t k y t k
![Page 45: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/45.jpg)
Superposisi dalam Sistem LTI
45
Dalam sistem LTI:Respons sistem y(t) untuk sinyal input x(t)Sangat mungkin menggambarkan respons sistem
untuk sejumlah sinyal input x1(t) yang dapat diperoleh dengan “scaling” atau “time-shifting” dari sinyal input x(t),
contoh :
x1(t) = a0 x(t-t0) + a1 x(t-t1) + a2 x(t-t2) + …
y1(t) = a0 y(t-t0) + a1 y(t-t1) + a2 y(t-t2) + …
![Page 46: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/46.jpg)
Superposisi in Sistem LTI (cont’d)
46
Latihan: Diberikan respon y(t) pada sistem LTI untuk sinyal input x(t) di bawah, carilah response sistem untuk sinyal input y(t) dan x(t).
x(t) y(t)2
1t
1
-1 1t
2x(t)
1 t2
y(t)
1-1
3
4
1/2-1/2
![Page 47: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/47.jpg)
KONVOLUSI
TEAM DOSEN
47
EE2423SINYAL & SISTEM
![Page 48: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/48.jpg)
Outline (bagian 2)
48
Representasi Sinyal sebagai ImpulsResponse Impulse Penurunan Konvolution JumlahArti KonvolusiMetoda Konvolusi Dua SinyalPenurunan Konvolusi Integral
![Page 49: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/49.jpg)
Representasi Sinyal sebagai Impuls
49
Kita dapat merepresentasikan berbagai sinyal melalui pen-sampling-an dengan unit impulse tergeser:
Disebut sebagai sifting (or shifting) property:
...]2[]2[
]1[]1[][]0[
]1[]1[]2[]2[...
][
nx
nxnx
nxnx
nx
k
knkxnx ][][][
![Page 50: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/50.jpg)
Response Impuls
50
Respons dari sistem ketika sinyal input adalah unit impulse (t) disebut sebagai respons impulse, dan direpresentasikan oleh h(t).Pada SWK : h(t) = H((t))
Pada SWD : h[n] = H[[t]]
Sistem H
(t) h(t)
Sistem H
[n] h[n]
![Page 51: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/51.jpg)
Penurunan Konvolution Jumlah
51
Pada SWD LTI, misal h[n] adalah respons impuls dari sistem H.
signal x[n] sebagai masukan H. tulis x[n] dalam bentuk representasi unit impulses:
Maka sinyal output y[n] menjadi:
k
knkxnx ][][][
k
knkxHnxHny ][][]][[][
![Page 52: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/52.jpg)
Penurunan Konvolution Jumlah (cont’d)
52
Karena additivitas pada sistem LTI :
Karena homogenitas pada sistem LTI :
Karena time-invariance pada sistem LTI:
k
knkxHny ][][][
k
knHkxny ][][][
k
knhkxny ][][][
![Page 53: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/53.jpg)
Arti Konvolusi
53
Persamaan disebut sebagai konvolusi jumlah (convolution sum) atau superposition sum, dan direpresentasikan oleh:
Perlu dicatat bahwa ini bukan perkalian antara x[n] dan h[n].
Secara Visual konvolusi berarti :Cerminkan h[k] Geser h[k] untuk seluruh nilai n yang mungkin,
sampai melewati x[n].
k
knhkxny ][][][
][*][][ nhnxny
![Page 54: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/54.jpg)
Penurunan Konvolusi Integral
54
Pada sistem waktu kontinyu LTI H, misal h(t) adalah respons impulse sistem.
signal x(t) sebagai masukan H.Tulis “staircase approximation” untuk x(t) dalam
bentuk unit impulse:
dimana .
k
ktkxtx )(][)(ˆ
laint
tt
,0
0,1
)(
![Page 55: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/55.jpg)
Penurunan Konvolusi Integral (cont’d)
55
Maka, sinyal output signal y(t) menjadi :
Karena additivitas pada sistem LTI :
Karena homogenitas pada sistem LTI :
k
ktkxHtxHty )(][))(ˆ()(ˆ
k
ktkxHty )(][)(ˆ
k
ktHkxty )(][)(ˆ
![Page 56: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/56.jpg)
Penurunan Konvolusi Integral (cont’d)
56
Karena time-invariance pada sistem LTI :
dimana adalah staircase approximation dari h(t).
k
kthkxty )(ˆ][)(ˆ
)(ˆ th
![Page 57: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/57.jpg)
57
Pada kasus diatas penjumlahan didekati konvolusi integral dibawah:
0
)(*)()(
)()()(
)(ˆ][lim)(ˆlim)(00
thtxty
dthxty
kthkxtytyk
![Page 58: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/58.jpg)
Latihan
58
![Page 59: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/59.jpg)
Sifat-sifat Konvolusi
59
Properties of ConvolutionCausalityStep ResponseExercises
![Page 60: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/60.jpg)
Sifat-sifat Konvolusi
60
Commutative Property:x[n]*y[n]=y[n]*x[n]x(t)*y(t)=y(t)*x(t)
Distributive Property:
x[n]*(y1[n] + y2[n])=x[n]*y1[n] + x[n]*y2[n]
x(t)*(y1(t) + y2(t))=x(t)*y1(t) + x(t)*y2(t)
Associative Property:
x[n]*(y1[n]*y2[n])=(x[n]*y1[n])*y2[n]
x(t)*(y1(t)*y2(t))=(x(t)*y1(t))*y2(t)
![Page 61: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/61.jpg)
Causality
61
Sistem kausal jika output hanya bergantung hanya pada sinyal input saat ini dan sebelumnya.
Sistem LTI Kausal:
Karena kausalitas h[n-k] harus nol untuk k>n.
Shg, n-k<0 untuk sistem LTI kausal.Maka h[n]=0 untuk n<0.
k
knhkxny ][][][
![Page 62: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/62.jpg)
Causality (cont’d)
62
Maka konvolusi jumlah untuk sistem LTI kausalmenjadi:
Sama halnya, konvolusi integral untuk sistem LTI kausal:
Maka jika sistem kausal, respons impulse nol untuk nilai waktu negatif dan gunakan persamaan konvolusi yang lebih sederhana seperti di atas
0
][][][][][k
n
k
knxkhknhkxny
0
)()()()(][ dtxhdthxnyt
![Page 63: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/63.jpg)
Step Response
63
Unit Step Response: Keluaran sistem ketika diberikan masukan sinyal step.
Direpresentasikan oleh oleh s[n] atau s(t).Seluruh karakteristiknya pada sistem LTI
serupa dengan Respons Unit Impulse.
SistemH
(t) h(t)
SistemH
u(t) s(t)
![Page 64: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/64.jpg)
Step Response dan Impulse Response
64
Hubungan Respons Step dan Respons Impulse:
Exercise: buktikan hubungan persamaan di atas.
)(')(
)(
)()(
]1[][][
][][
tsdt
tdsth
dhts
nsnsnh
khns
t
n
k
![Page 65: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/65.jpg)
Pencuplikan (Sampling)
TEAM DOSEN
65
EE2423SINYAL & SISTEM
![Page 66: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/66.jpg)
Outline
66
Teorema PencuplikanPencuplikan Ideal (Rentetan Impulse) Rekonstruksi dengan InterpolasiEfek Under-sampling: Aliasing Latihan
![Page 67: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/67.jpg)
Teorema Pencuplikan (Sampling Theorem)
67
Sampling adalah suatu proses mengubah sinyal kontinu menjadi sinyal diskrit; sedangkan rekonstruksi adalah proses sebaliknya
Sampling Theorem: Suatu sinyal waktu kontinu, x(t) dapat direkonstruksi secara unik dari cuplikannya, xs(t), jika dipenuhi dua kondisi:
1. x(t) harus memiliki pita terbatas dengan frekuensi maximum M
Contoh : Apkh x(t)=e-30tu(t) band-limited, maksudnya, apkh |X()|=0 for ||>M? Why or why not?
Apkh x(t)=sinc(t) band -limited? Why or why not?
![Page 68: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/68.jpg)
Teorema Pencuplikan (Sampling Theorem)
68
1. x(t) harus memiliki pita terbatas dengan frekuensi maximum M
Contoh : Apkh x(t)=e-30tu(t) band-limited,
maksudnya, apkh |X()|=0 for ||>M? Why or why
not? Apkh x(t)=sinc(t) band -limited?
Why or why not?
![Page 69: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/69.jpg)
Sampling Theorem (continued)
69
2. Sampling frequency s dari xs(t) harus lebih besar sama dengan 2M, atau s
2M. Kondisi kedua ini dikenal sbg Kriteria
Nyquist s disebut Frekuensi Nyquist yaitu
sampling frequency (Frekuensi pencuplikan) terkecil yang mungkin agar dapat diperoleh kembali sinyal analog asli dari hasil cuplikannya
![Page 70: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/70.jpg)
Pencuplikan Ideal (Rentetan Impulse)
70
Pencuplikan sinyal waktu kontinu x(t) dpt dilakukan dgn mendapatkan nilai-nilainya pada waktu-waktu periodik x(kT) dimana T is the sampling period.
Idealnya dapat dilakukan dg mengalikan x(t) dengan rentetan impuls yang punya periode T:
Dari sifat sampling:
)()()( tptxtxs
k
kTttp )()(
k
s kTtkTxtx )()()(
![Page 71: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/71.jpg)
Pencuplikan Ideal (Rentetan Impulse)
71
Dari sifat multiplikasi diketahui :
Dan
Misalkan x(t) adalah band-limited dg maximum frequency M dan dg bentuk triangular, sketsa spektrum frekuensi Xs(j) untuk 2 kasus: s>2M dan s<2M adalah sbb :
djPjXjX s ))(()(2
1)(
k
skT
jP )(2
)(
![Page 72: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/72.jpg)
Pencuplikan Ideal (cont)
72
-M M
![Page 73: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/73.jpg)
73
![Page 74: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/74.jpg)
Pencuplikan Ideal (cont’d)
74
Berapakah frekuensi cutoff c terbaik dari LPF untuk merekonstruksi x(t) dari xs(t).
Latihan: Berapakah Frekuensi Nyquist untuk signals:x(t)=2cos(40t)x(t)=sinc(t)
![Page 75: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/75.jpg)
Pencuplikan Ideal (cont’d)
75
Latihan : Anggap x(t) periodik dengan periode TM. Tuliskan kriteria Nyquist s>2M dalam bentuk periode Ts dan TM.
Latihan : Sample x(t)=cos(Mt) as s=2M.
![Page 76: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/76.jpg)
Rekonstruksi dengan Interpolasi
76
Suatu samples (cuplikan) xs(t) dari sebuah sinyal analog x(t) dilewatkan melalui LPF ideal denganfrekuensi cutoff c=s/2.
Bagaimana bentuk korespondensi time-domain untuk operasi ini?
Operasi disebut interpolasi band-limited
LPFh(t)
xs(t) xr(t)
![Page 77: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/77.jpg)
77
Carilah rumus interpolasi utk mendapatkan xr(t).
Similarly, obtain the two easier-to-implement interpolation formulas for xr(t) by usingZero-Order-HoldFirst-Order-Hold (Linear Interpolation)
![Page 78: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/78.jpg)
Aliasing (Under-sampling)
78
Apa yg terjadi bila frekuensi sampling lebih kecil dari Frekuensi Nyquist, s<2M ?
Sinyal asli x(t) tak bisa diperoleh dari xs(t) krn ada “overlap” yang tak diinginkan di Xs().
Akibatnya sinyal hasil rekonstruksi l xr(t) berbeda dengan x(t), dan disebut sebagai aliasing atau under-sampling.
![Page 79: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/79.jpg)
79
Latihan: Utk x(t)=cos(Mt), cupliklah dgn frekuensi:s=3M
s=3M/2s=M
(a) Gambarkan sinyal cuplikanl xs(t) dan its spektrum frekuensinya.
(b) Jika terjadi aliasing , brpkh frekuensi maximum dari aliasing.
![Page 80: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/80.jpg)
DERET FOURIER WAKTU KONTINU (DFWK)
TEAM DOSEN
80
EE2423SINYAL & SISTEM
![Page 81: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/81.jpg)
Deret Fourier Waktu Kontinu (DFWK)
81
0 k kk 1
x(t) a a cos (k t) b sin (k t)
a0, ak, bk : Fourier coefficients.
k: harmonic number,
T: period, = 2/TFor all t but For all t but discontinuitiesdiscontinuities
T
0
0 s(t)dtT
1a
T
k
0
2b s(t) sin(k t)dt
T
T
0
k dtt)cos(ks(t)T
2a
(signal average over a period, i.e. DC term & zero-frequency component.)
analysis
analysis
synthesis
synthesis
![Page 82: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/82.jpg)
Deret Fourier Waktu Kontinu (DFWK)
82
-k
T
tjk
k ecx(t)synthesis
synthesis
dtTt
t
k
0
0
T
tj
k ex(t)T
1c
DFS defined as:DFS defined as:
analysis
analysis
Deret Fourier Bentuk Eksponensial Kompleks
Bentuk ini lebih memberikanbanyak informasi, karena koefisien Fourier dinyatakan secara eksplisit
r
a
b = arctan(b/ a)
r = a2 + b2
z = r ej
kbjka2
1kbjka
2
1kc
0a0c Link to FS real Link to FS real
coeffs.coeffs.
![Page 83: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/83.jpg)
Spektral Fourier
83
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
0 2 4 6 8 10 t
sq
ua
re s
ign
al,
sw
(t)
π
f 1 3f 1 5f 1 7f 1 f
f 1 3f 1 5f 1 7f 1 f
rk
θk
4/ π
4/ 3π
phas
phas
ee
ampl
itude
ampl
itude
![Page 84: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/84.jpg)
DFWD
84
Diskret square wave.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 k
0 2 4 5 6 7 8 9 10 n
k
ck
ampl
itude
ampl
itude
phas
e
phas
e
-5 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 n 0 L N
s[n] 1
![Page 85: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/85.jpg)
Fourier analysis - tools
85
Input Time Signal Frequency spectrum
1N
0n
N
nkπ2j
k ex[n]N
1c~
Discrete
DiscreteDFSDFSPeriodic (period T)
ContinuousDTFTAperiodic
DiscreteDFTDFT
nfπ2j
n
ex[n]X(f)
0
0.5
1
1.5
2
2.5
0 2 4 6 8 10 12
time, tk
0
0.5
1
1.5
2
2.5
0 1 2 3 4 5 6 7 8
time, tk
1N
0n
N
nkπ2j
k ex[n]N
1c~
**
**
Calculated via FFT**
dtex(t)X(f)tfπj2
dtex(t)T
1c
T
0
tkjk Periodic
(period T)Discrete
ContinuousFTFTAperiodic
FSFSContinuous
0
0.5
1
1.5
2
2.5
0 1 2 3 4 5 6 7 8
time, t
0
0.5
1
1.5
2
2.5
0 2 4 6 8 10 12
time, t
Note: j =-1, = 2/T, s[n]=s(tn), N = No. of samples
![Page 86: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/86.jpg)
FS convergence
86
s(t) piecewise-continuous;
s(t) piecewise-monotonic;
s(t) absolutely integrable , T
0
dts(t)
(a)
(b)
(c)
Dirichlet conditions
In any period:
Example: square wave
T
(a)
(b)
T
s(t)
(c)
if s(t) discontinuous then |ak|<M/k for large k (M>0)
Rate of Rate of convergenceconvergence
![Page 87: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/87.jpg)
Sifat-sifat Deret Fourier
87
Diberikan dua sinyal periodik dengan period T dan fundamental frequency 0=2/T sama:
Linearity:
Time-Shifting:
Time-Reversal (Flip):
Time-Scaling:
k
k
bty
atx
)(
)(
kk BbAatBytAxtz )()()(
00)()( 0tj
keattxtz
katxtz )()(
0,)()( katxtz
![Page 88: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/88.jpg)
Sifat-sifat Deret Fourier (cont’d)
88
Differentiation:
Integration:
Dekomposisi Genap-Ganjil dari Sinyal Real:
Multiplication:
kajkdt
tdxtz 0
)()(
0,1
)()( 00
aajk
dttxtz k
t
)()(
)()(
k
k
amjtxOddtz
aetxEventz
llklkk babatytxtz *)()()(
![Page 89: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/89.jpg)
Tabel FS properties
89
Time FrequencyTime Frequency
Homogeneity a·s(t) a·S(k)
Additivity s(t) + u(t) S(k)+U(k)
Linearity a·s(t) + b·u(t) a·S(k)+b·U(k)
Time reversal s(-t) S(-k)
Multiplication * s(t)·u(t)
Convolution * S(k)·U(k)
Time shifting
Frequency shifting S(k - m)
m
m)U(m)S(k
td)tT
0
u()ts(tT
1
S(k)e Ttk2π
j
s(t)Ttm2π
je
)ts(t
![Page 90: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/90.jpg)
Transform Fourier Waktu Kontinyu
(TFWK)
TEAM DOSEN
90
EE2423SINYAL & SISTEM
![Page 91: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/91.jpg)
Outline
91
Time Domain vs. Frequency DomainHubungan Deret Fourier dan Transform
FourierSifat-sifat Fourier TransformExercises
![Page 92: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/92.jpg)
Time Domain vs. Frequency Domain
92
Analisis Fourier (Deret atau Transform) merupakan jalan untuk menentukan kandungan frequency dari sinyal yang diberikan, yakni memindahkan dari domain waktu ke domain frequency.
Selalu mungkin untuk mengembalikan dari domain frequency ke domain waktu, melalui Penjumlahan Deret Fourier atau Inverse Fourier Transform.
Diberikan sinyal x(t) dalam domain waktu, koefisien Fouriernya (ak) or Fourier Transform-nya (X()) disebut “frequency (or line) spectrum”.
Jika ak atau X() complex, maka frequency spectrum dinyatakan dengan magnitude (|ak| atau |X()|) dan phase (ak atau X())
)()(
)(
XAX
AeX j
![Page 93: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/93.jpg)
Hubungan Deret dan Transform Fourier
93
Perhatikan sinyal periodik x(t):
Kita dapatkan koefisien Fourier x(t) adalah:
0
0
)sin(
,2
10
1
k
k
k
TkT
T
ak
x(t)
t-T1 0 T1 T-T
![Page 94: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/94.jpg)
Hubungan Deret dan Transform Fourier
94
Sketch ak on the k-axis:
Plot membentuk fungsi sinc diskret.Untuk setiap nilai k, sinyal x(t) memiliki
komponen periodik dengan weight ak, menunjukkan frequency content dari sinyal x(t).
ak
k -2 -1 0 1 2
2T1/T
![Page 95: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/95.jpg)
Hubungan Deret dan Transform Fourier (cont’d)
95
Sekarang, sket ak on -axis:
Pada -axis, jarak antara dua aks yang berurutan adalah 0=2/T, frekuensi fundamental.
ak
-20 -0 0 0 20
2T1/T
![Page 96: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/96.jpg)
Hubungan Deret dan Transform Fourier (cont’d)
96
Pada perioda T, frekuensi fundamental 00. Sehingga, jarak antara dua aks yang berurutan menjadi nol, dan sket ak menjadi kontinu, ini disebut Transform Fourier.
Pada sisi lain, saat T, sinyal x(t) menjadi aperiodik dan mempunyai bentuk :
Hal ini berarti Transformasi Fourier dapat merepresentasikan sinya apriodik pada domin frekuensi.
x(t)
t-T1 0 T1
![Page 97: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/97.jpg)
Transform Fourier Waktu Kontinu Transisi dari DFWK ke TFWK
fF=1/TF
-k
T
tjk
k ecx(t)
-k
t)(2je][Xx(t) fk
97
f=fF=1/TF
-k
t)(2j0
0
)(2j
F
ee)x(T
1x(t) f
Tt
t
fkF
d
Transisi dari DFWK ke TFWK dicapai dengan pendekatan “sinyal aperiodik dapat dipandang sebagai sinyal periodik dengan perioda infinity”
![Page 98: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/98.jpg)
Transform Fourier Waktu Kontinu
fd fT
T
fkF
F
-k
t)(2j2/
2/
)(2j ee)x(x(t)
fd fT
T
fk
T
F
FF
-k
t)(2j2/
2/
)(2j ee)x(limx(t)
dfd ff t2j2j ee)x(x(t)
98
![Page 99: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/99.jpg)
Transform Fourier Waktu Kontinu
99
dtttxF ft2je)x())((X(f)
dfffXF ft2j1 e)X())((x(t)
Jadi Persamaan Transformasi Fourier Waktu Kontinyu
synthesis
synthesis
analysis
analysis
![Page 100: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/100.jpg)
Transform Fourier Waktu Kontinu
100
dtttxF tje)x())(()X(
dXF tj1 e)X(2
1))((x(t)
Bentuk lain Persamaan TFWK
synthesis
synthesis
analysis
analysis
![Page 101: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/101.jpg)
Konvergensi TFWK
101
Samahalnya dengan Deret Fourier, kondisi konvergen Diterapkan untuk Fourier Transform:Sinyal harus absolutely integrable
Pada interval waktu terbatas, sinyal haruslah memiliki maxima and minima berhingga
Pada interval waktu terbatas, sinyal haruslah memiliki jumlah diskontinu berhingga.
dttx )(
![Page 102: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/102.jpg)
102
![Page 103: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/103.jpg)
Sifat-sifat TFWK
103
Diberikan dua sinyal dan :
Linearity:Time-Shifting:Time-Flip:Differentiation in Time:Integration in Time:
)()( Xtx )()( Yty
)()()()( bYaXtbytax )()( 0
0 Xettx tj)()( Xtx
)(/)( Xjdttdx
)()0()(1
)(
XXj
dttxt
![Page 104: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/104.jpg)
Sifat-sifat TFWK (cont’d)
104
Frequency-Shifting:Differentiation in Frequency:
Diberikan , carilah Transformasi Fourier untuk dalam X()?
)()( 00 Xtxe tj
djdXttx /)()(
)()( 2 Xetx t
ttt eteety 221 2)(
![Page 105: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/105.jpg)
Pasangan TF
105
![Page 106: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/106.jpg)
Pasangan TF
106
![Page 107: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/107.jpg)
Latihan
107
Dengan menggunakan Sifat-sifat Transformasi Fourier, Hitunglah Transformasi Fourier sinyal di bawah ini:
x(t)
t-A 0 A
-A
A
)()( tutx x(t)
t-3 -2 0 2 3
![Page 108: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/108.jpg)
Transformasi Fourier pada Sinyal Periodik
108
Beberapa sinyal periodik, integral Transformasi Fourier mungkin tidak dapat menyelesaikannya. Namun, ada cara yang mudah untuk menentukan Transformasi Fourier pada sinyal periodik:
Untuk sinyal periodik x(t), Deret Fourier :
dimana .
Maka, Transformasi Fourier x(t) adalah:
merupakan deretan impulse dengan magnituda 2ak, dimana 0 adalah frekuensi fundamental dari x(t).
k
tjkkeatx 0)(
T
tjkk dtetx
Ta 0)(
1
k
k kaX )(2)( 0
![Page 109: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/109.jpg)
Inverse Fourier Transform
109
Kita dapat merekonstruksi sinyal asli x(t) jika diberikan frequency content, yakni Transformasi Fourier.
Sehingga, Jika diketahui Transformasi Fourier X() dari sinyal x(t), sinyal x(t) dapat dihitung melalui persamaan Inverse Fourier :
Exercise: Solve Text Problems 4.4 (b) and 4.22 (c).
deXtx tj)(2
1)(
![Page 110: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/110.jpg)
Respons Frequency
110
Sepertihalnya Respons Impuls h(t) pada sistem LTI, frequency response H() pada sistem LTI merupakan karakteristik perilaku sistem.
Hubungan antara h(t) dan H() secara sederhana:
Hal ini berguna ketika kita mencari output sistem LTI saat diberi input:
Melalui Transformasi Fourier, y(t) dapat dihitung dengan perkalian sederhana:
Y() = H()X()
dethHth tj)()()(
h(t) y(t)x(t)
![Page 111: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/111.jpg)
Konvolution dan Perkalian
111
Konvolusi dalam domain waktu koresponden dengan perkalian dalam domain frekuensi:
Demikain halnya, perkalian dalam domain waktu koresponden dengan konvolusi dalam domain frequensi:
)()()(*)( YXtytx
dYXYXtytx )()(2
1)(*)(
2
1)()(
![Page 112: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/112.jpg)
ANALIS FOURIER SINYAL WAKTU DISKRIT
TEAM DOSEN
112
EE2423SINYAL & SISTEM
![Page 113: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/113.jpg)
Deret Fourier Sinyal Waktu Diskrit
113
Tujuan :Memindahkan sinyal waktu diskrit ke
kawasan frekuensi
Sinyal periodik Spektral Diskrit
Sinyal aperiodik Spektral Kontinu
DFWD
TFWD
![Page 114: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/114.jpg)
DERET FOURIER WAKTU DISKRIT
114
Bentuk TrigonometriSinyal periodik x(n) dengan perioda
x(n) = x(n+N)Sinyal periodik bentuk sinusoida
x(n) = an cos (2πn/N)x(n) = bn sin (2πn/N)
Frekuensi sudut sinyal periodikω ≡ 2πn/N radian
![Page 115: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/115.jpg)
DERET FOURIER WAKTU DISKRITDFWD
Bandingkan dgn DFWK
1
000 )sincos()(k
kk tkbtkaanx
1
000 )sincos()(n
nn tnbtnaatx
115
![Page 116: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/116.jpg)
DERET FOURIER WAKTU DISKRITBentuk
Eksponensial
,...2,1,0)(1
0
0
neanxN
k
njkk
1,...,2,1,0)(1
)(1
0
0
NkenxN
kaN
n
njk
116
![Page 117: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/117.jpg)
DERET FOURIER WAKTU DISKRIT
117
Jika
Jadi N
kj
kN
Nj
N ewmakaew 22
1,...,2,1,0)(1
,...2,1,0)(
1
0
1
0
NkwnxN
a
nwanx
N
n
knNk
N
k
knNk
![Page 118: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/118.jpg)
DERET FOURIER WAKTU DISKRITBentuk DFWD cukup dianalisis 1 periode
dari N=0 s/d N-1 karena sifat ekponensial
dimana k=integer sejumlah N dai 0 s/d N-1
122
0
kj
N
N
kjNjk eee
118
![Page 119: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/119.jpg)
DERET FOURIER WAKTU DISKRIT
119
Untuk N=8 Integer k juga merepresentasikan frekuensi sudut ω0
Jadi ak merepresentasikan spektral SWD
k=0
k=1k=2
k=4
k=6
k=7
ω0
![Page 120: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/120.jpg)
DERET FOURIER WAKTU DISKRIT
120
LatihanGambarkan koefisien fourier diskrit dari SWD dgn perioda 8 sbb:
n
0 1
x(n)
7
![Page 121: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/121.jpg)
DERET FOURIER WAKTU DISKRITRespon Steady State thd bbrp input
sinusoida Cari Lq (operator q)Respon steady state input ekponensial
Jika input sinusoid maka diubah dulu ke bentuk eksponensial
njAenx 0)(
0)()( jeqss nxqD
qNny
121
![Page 122: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/122.jpg)
KONVERGENSI DERET FOURIER
122
Suatu sinyal periodik tidak dapat direpresentasikan sebagai deret Fourier jika :Sinyal tidak dapat diintegralkan secara absolut
pada setiap periodeDalam setiap interval waktu yang terbatas, sinyal
mempunyai variasi yang tidak terbatasDalam setiap interval waktu terbatas , sinyal
mempunyai jumlah diskontiniu yang tak terbatas.Akan tetapi sinyal yang demikian adalah
sinyal yang tidak realistik, sehingga konvergensi bukan merupakan hal yang penting dalam hal ini.
![Page 123: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/123.jpg)
SIFAT-SIFAT DERET FOURIER
Dua sinyal periodik dgn periode N dan fundamental frequency 0=2/N:
Linearitas:
k
k
bny
anx
)(
)(
kk BbAanBynAxtz )()()(
123
![Page 124: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/124.jpg)
SIFAT-SIFAT DERET FOURIER
Pergeseran Waktu:
Time-Reversal (Flip):
124
00)()( 0njk
keannxnz
kanxnz )()(
![Page 125: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/125.jpg)
SIFAT-SIFAT DERET FOURIER
Penskalaan Waktu:
Differensiasi Pertama:
kjk aenxnxnz )1()1()()( 0
125
kanxnz )()(
![Page 126: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/126.jpg)
SIFAT-SIFAT DERET FOURIER
Konvolusi Periodik:
Perkalian:
)(
)()()(Ni
lklbanynxnz
126
)(
)()(Nr
kkbNarnyrx
![Page 127: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/127.jpg)
SIFAT-SIFAT DERET FOURIER
127
Even-Odd Decomposition of Real Signals:
)()(
)()(
k
k
amjnxOddnz
aenxEvennz
![Page 128: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/128.jpg)
LATIHAN SOAL
128
Cari koefisien Fourier untuk deret periodik x[n] pada Fig. 6-7.
![Page 129: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/129.jpg)
LATIHAN SOAL
129
Cari representasi Deret Fourier Waktu Diskrit dari masing-masing deret berikut:
![Page 130: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/130.jpg)
TIME DOMAIN vs. FREQUENCY DOMAIN
130
Analisa Fourier (Deret atau Transformasi) adalah cara mendapatkan content frekuensi dari sinyal, antara lain berpindah dari time-domain ke frequency domain.
Selalu dimungkinkan untuk kembali dari frequency-domain ke time-domain.
![Page 131: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/131.jpg)
KONVERGENSI TRANSFORMASI FOURIER
131
Sama dengan Deret Fourier, maka suatu sinyal aperiodik dapat diTransformasi Fourier jika :Sinyal dapat diintegralkan secara absolut
pada setiap periodeDalam setiap interval waktu yang terbatas,
sinyal mempunyai variasi yang terbatasDalam setiap interval waktu terbatas , sinyal
mempunyai jumlah diskontiniu yang terbatas.
![Page 132: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/132.jpg)
TRANSFORMASI FOURIER WAKTU DISKRIT
132
Digunakan jika sinyal waktu diskrit tidak periodik atau merupakan deretan terbatas
Dengan TFWD dapat ditentukan spektral diskritnya
TFWD diturunkan dari DFWD dimana periodanya menuju tak terhingga
![Page 133: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/133.jpg)
TRANSFORMASI FOURIER WAKTU DISKRIT
133
TFWD
2
02
1
)(
nj
n
nj
eXnx
enxX
![Page 134: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/134.jpg)
SIFAT-SIFAT TRANSFORMASI FOURIER WAKTU DISKRIT
134
- PeriodikLinieritasPergeseran waktu dan frekuensiPenskalaan waktu dan frekuensiDifferensiasi dan penjumlahanTeorema ParsevalKonvolusi Konvolusi Periodik
![Page 135: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/135.jpg)
SIFAT-SIFAT TRANSFORMASI FOURIER WAKTU DISKRIT
PeriodisitasTransformasi Fourier Waktu Diskrit selalu periodik dalam ω dengan periode 2π
135
jj eXeX )( 2
![Page 136: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/136.jpg)
SIFAT-SIFAT TRANSFORMASI FOURIER WAKTU DISKRIT
LinieritasJika
Dan
maka
jeXnx 22
136
jeXnx 11
jj ebXeaXnbxnax 2121
![Page 137: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/137.jpg)
SIFAT-SIFAT TRANSFORMASI FOURIER WAKTU DISKRIT
137
Pergeseran Waktu jika
maka jeXnx
jnj eXennx 00
![Page 138: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/138.jpg)
SIFAT-SIFAT TRANSFORMASI FOURIER WAKTU DISKRIT
138
Pergeseran Frekuensi jika
maka jeXnx
)( 00 jnj eXnxe
![Page 139: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/139.jpg)
SIFAT-SIFAT TRANSFORMASI FOURIER WAKTU DISKRIT
139
Differencing
Time Reversal
jj eXenxnx 11
jeXnx
![Page 140: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/140.jpg)
SIFAT-SIFAT TRANSFORMASI FOURIER WAKTU DISKRITDifferensiasi dalam
frekuensi
Konjugasi
jeXnx **
140
d
edXjnnx
j
![Page 141: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/141.jpg)
SIFAT-SIFAT TRANSFORMASI FOURIER WAKTU DISKRIT
Relasi Parseval
2
22
2
1deXnx j
n
141
![Page 142: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/142.jpg)
SIFAT-SIFAT TRANSFORMASI FOURIER WAKTU DISKRIT
142
Konvolusi
Perkalian
jj eXeXnxnx 2121 2
1
jj eXeXnxnx 2121 *
![Page 143: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/143.jpg)
LATIHAN SOAL
143
Cari Transformasi Fourier dari deretan pulsa rekatangular x [ n ] = u [ n ] - u [ n - N ]
![Page 144: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/144.jpg)
LATIHAN SOAL
144
Cari Transformasi Fourier dari deretan pulsa rekatangular pada gambar dibawah ini
![Page 145: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/145.jpg)
LATIHAN SOAL
145
Suatu sistem kausal LTI
dimana x[n] dan y[n] adalah input dan
output sistem( a ) Cari Respon Frekuensi Sistem( b ) Cari Impuls Respon Sistem
![Page 146: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/146.jpg)
LATIHAN SOAL
146
Suatu sistem kausal LTI
a. Cari Respon Frekuensi sistemb. Cari Respon Impuls Sistemc. Gambarkan Respon Magnituda d. Gambarkan Respon Fasa
![Page 147: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/147.jpg)
TRANSFORMASI FOURIER DISKRIT
147
Sinyal periodik Spektral Diskrit
Sinyal aperiodik Spektral Kontinu
Sinyal aperiodik Spektral Diskrit
DFWD
TFWD
TFD
![Page 148: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/148.jpg)
TRANSFORMASI FOURIER DISKRIT
148
Jadi TFD berguna untuk mentransformasikan sinyal aperiodik ke spektrum diskrit
Jika TFD dianalisa dengan menggunakan DFWD sinyal dibuat seolah-olah periodik
Jika TFD dianalisa dengan menggunakan TFWD Hubungan TFD dengan TFWD
N
kXXkX
N
2)()( 2
![Page 149: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/149.jpg)
TRANSFORMASI LAPLACE
TEAM DOSEN
149
EE2423SINYAL & SISTEM
![Page 150: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/150.jpg)
150
Pada analisis transien, rangkaian selalu dihadapkan dengan bilangan kompleks + j. Sedangkan Transformasi Fourier Waktu Kontinyu (TFWK) hanya bekerja dalam daerah (kondisi steady sate).
Transformasi Laplace, seperti halnya (TFWK) yang mentransformasikan sinyal di kawasan waktu ke kawasan frekuensi (dalam frekuensi kompleks).
![Page 151: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/151.jpg)
Transformasi laplace Bilateral (TLB)
151
TLB diturunkan dari TFWK : ~
X(Ω) = ∫ x(t) e-jΩt dt -~
o ~
X(t) = (1/2π) ∫ X(Ω) ejΩt dΩ -~
![Page 152: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/152.jpg)
152
Definisikan suatu fungsi y(t) = e-t x(t),dengan e-t adalah faktor konvergensi.
Maka TFWK dari y(t) :
Y(Ω) = ∫ e-t x(t) e-jΩt dt = ∫ x(t) e-(+jΩ)t dt - -
= X(+jΩ) Jadi X(+jΩ)= ∫ x(t) e-(+jΩ)t dt -
= X(+jΩ)
![Page 153: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/153.jpg)
153
x(t) = (1/2Π) ∫ X(+jΩ) e-(+jΩ)t dΩ -Definisikan variabel frekuensi kompleks : s = +jΩ
sehingga ds = jdΩ dan dΩ = ds/j.Maka :
X(s) = ∫ x(t) e-st dt
- X(t) =(1/2j) ∫ X(s) est ds
- Disebut Pasangan TLB
![Page 154: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/154.jpg)
154
Notasi : X(s) = ₤ [x(t)] x(t) = ₤-1[X(s)] Konvergensi TLB : terintegrasi secara
mutlak . 0
∫ x(t) e-t dt = ∫ x(t) e-t dt + ∫x(t) e-t dt - - 0
Transformasi Laplace 2 sisi ada , bila : X(s) = ∫ x(t) e-st dt terbatas
-
![Page 155: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/155.jpg)
155
Maka X(s) dijamin ada bila :
∫ x(t) e-t dt = ∫ x(t) e-t dt terbatas
- - Sebagai contoh :x(t) = A. et , untuk t 0
= A. et, untuk t 0 , dimana A, , adalah bilangan riil.
Maka : konvergen untuk
![Page 156: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/156.jpg)
156
Contoh soal :Carilah Transformasi Laplace dari x(t) = 3. e-2t u(t) + 4 et u(-t) 0
X(s) = ∫ 4. e-(s-1) t dt + ∫3.e-(s+2) t dt - 0
Konvergen Konvergen Untuk -2 Untuk 1Maka : X(s) = 3/(s+2) – 4/(s-1) konvergen untuk -2 1
![Page 157: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/157.jpg)
TRANSFORMASI LAPLACE SATU SISI [TLSS]
157
Definisi : diberikan suatu sinyal x(t) kausal, maka :
X(s) = ∫ x(t) e-st dt 0
+jΩ x(t) =(1/2Πj) ∫ X(s) est ds
-jΩ Konvergensi TLSS jika :lim e-t x(t) = 0 s→
![Page 158: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/158.jpg)
TRANSFORMASI LAPLACE BEBERAPA SINYAL
158
a). Sinyal impuls δ(t)
₤[δ(t)] = ∫ δ(t) e-st dt 0
Ingat : δ(t) = 1 , t = 0 = 0 , t lainnya
Begitu pula e-st δ(t) = 1 , t = 0 = 0 , t lainnya
Sehingga :
₤[δ(t)] = ∫ δ(t) e-st dt
0
![Page 159: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/159.jpg)
159
b). Sinyal langkah satuan u(t) ₤[u(t)] = ∫ u(t) e-st dt
0
Ingat : u(t) = 1 , t ≥ 0= 0 , t 0
Sehingga :
₤[u(t)] = ∫ u(t) e-st dt = -(1/s) e-st = -(1/s) [e- - e0]
0 0
₤[u(t)] = 1/s
![Page 160: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/160.jpg)
160
c). Sinyal Ramp [t.u(t)]
₤[t.u(t)] = ∫ t. u(t) e-st dt 0
Untuk t ≥ 0 maka t. u(t) = tSehingga :
₤[t.u(t)] = ∫ t e-st dt
0
Ingat : ∫ xn.e-st dx = (n!)/(an+1)
0
Untuk a 0 dan n 0 ₤[t.u(t)] = 1 !/(s1+1) = 1/s2
![Page 161: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/161.jpg)
161
Dengan cara yang sama : ₤[tn.u(t)] = ∫ tn. u(t) e-st dt = ∫ tn. e-st dt
0 0
₤[tn.u(t)] = n !/(sn+1)
₤[tn-1.u(t)/(n-1)!] = 1/sn
![Page 162: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/162.jpg)
162
d) Sinyal EksponensialBila f(t) = u(t) → F(s) = 1/sMaka ₤[e-at.u(t)] = F(s+a)
Jadi : ₤[e-at.u(t)] = 1/(s+a)
Begitu pula untuk sinyal berikut ini :₤[(1- e-at) u(t)] = ₤[u(t)] - ₤[e-at) u(t)
= 1/s - 1/(s+a)
₤[(1- e-at) u(t)] = a/[s(s+a)]
![Page 163: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/163.jpg)
163
Dengan cara yang sama :
₤[(t. e-at) u(t)] = 1/(s+a)2
Dan
₤[(tn-1. e-at) u(t)/(n-1)!] = 1/(s+a)n
![Page 164: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/164.jpg)
164
e). Sinyal sinusoidal dan cosinusoidal₤[sin Ωt u(t)] = ₤[u(t).(ejΩt – e-jΩt)/2j]
= (1/2j) ₤[ejΩt u(t)] – ₤ [e-jΩt u(t)]= (1/2j) [1/(s-jΩ) - 1/(s+jΩ)]
₤[sin Ωt u(t)] = Ω/(s2 + Ω2)Dengan cara yang sama :₤[cos Ωt u(t)] = s/(s2 + Ω2)₤[ e-at sin Ωt u(t)] = Ω/[(s+a)2 + Ω2]₤[ e-at cos Ωt u(t)] = (s+a)/[(s+a)2 + Ω2]
![Page 165: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/165.jpg)
SIFAT-SIFAT TRANSFORMASI LAPLACE
165
Jika ₤[x(t)] = X(s)₤[x1(t)] = X1(s)₤[x2(t)] = X2(s) maka :
a). Linearitas₤[a1 x2(t) + a2 x2(t)] = a1 X1(s) + a2 X2(s)
Contoh :
₤[cos Ωt] = ₤ [0,5 ejΩt + 0,5 e-jΩt] = 0,5 ₤ [ejΩt] + 0,5 ₤ [e-jΩt]= 0,5[1/(s-jΩ)] + 0,5[1/(s+jΩ)]= s/(s2 + Ω2)
₤[sin Ωt] = ₤ [0,5 ejΩt - 0,5 e-jΩt] = 0,5 ₤ [ejΩt] - 0,5 ₤ [e-jΩt]= (0,5/j)[1/(s-jΩ)] + (0,5/j)[1/(s+jΩ)]= Ω /(s2 + Ω2)
![Page 166: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/166.jpg)
166
b). Pergeseran waktu
Jika ₤[x(t) u(t)] = X(s) maka ₤[x(t-τ) u(t-τ)] = e -sτ X(s) , τ
(Buktikan)Sehingga dapat ditabelkan sebagai berikut :
x(t) X(s)δ(t-τ) e-sτ
u(t-τ) e-sτ (1/s)(t-τ) u(t-τ) e-sτ (1/s2)(t-τ)n u(t-τ) e-sτ (n!/sn+1)e-a(t-τ) u(t-τ) e-sτ [1/(s+a)]
![Page 167: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/167.jpg)
167
Pasangan sinyal dalam kawasan waktu dan sinyal dalam kawasan frekuensi pada tabel di atas merupakan pasangan transformasi Laplace.
Sehingga bila diketahui dalam sinyal dalam kawasan frekuensi maka dapat dicari sinyal dalam kawasan waktu, walaupun belum dibahas Invers Transformasi Laplace.
![Page 168: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/168.jpg)
Contoh Soal
168
Tentukan transformasi Laplace dari fungsi sebagai berikut : v(t) volt 90
0 10 30 t(μs)
v(t) = 4,5 (t-10) u(t-10) – 4,5 (t-30) u(t-30) – 90 u(t-30)
V(s) = 4,5 ₤[(t-10) u(t-10)] - ₤[(t-30) u(t-30)] – 20 ₤[u(t-30)]
= 4,5 e-10s ₤(t.u(t)) - e-30s ₤(t.u(t)) – 20 e-30s ₤(u(t))
= 4,5 [(e-10s/s2) – (e-30s/s2) – (20 e-30s/s)]
![Page 169: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/169.jpg)
Latihan
169
Dengan teorema pergeseran frekuensi, carilah Invers Transformasi Laplace dari :
(s+10)/(s2+8s+20)(s+3)/(s2+4s+5)s/(s2+6s+18)10/(s2+10s+34)
![Page 170: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/170.jpg)
170
c). Pergeseran FrekuensiBila y(t) = x(t) e-t maka ₤[y(t)] = Y(s) =
X(s+) dimana X(s) = ₤[x(t)]Begitu pula :
₤[ e-t cos Ωt u(t)] = (s+)/[(s+)2 + Ω2]Juga :
₤[ e-t sin Ωt u(t)] = Ω/[(s+)2 + Ω2]
![Page 171: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/171.jpg)
Contoh soal
171
X(s) = (s+8)/(s2+6s+13), dapat ditulis sebagai :
X(s) = (s+8)/[(s+3)2+4] = (s+3)/ [(s+3)2+22] + 5/ [(s+3)2+22]x(t) = e-3t [cos2t + 2,5 sin 2t] , t 0
![Page 172: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/172.jpg)
172
d). Penskalaan Waktu dan frekuensi
₤[x(at)] = (1/a) X(s/a)
![Page 173: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/173.jpg)
173
e). Diferensiasi Waktu
₤[dx(t)/dt] = ∫ e-st dx(t)/dt. dt 0
b b bAmbil u = e-st dan dv = dx(t) serta ingat ∫u dv = uv - ∫ v.du a a adu = -s e-st dt dan v = x(t) sehingga :
₤[dx(t)/dt] = e-st x(t) + s ∫ x(t) e-st dt 0 0
₤[dx(t)/dt] = s. X(s) – x(0-)
![Page 174: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/174.jpg)
Contoh soal
174
Carilah Transformasi Laplace dari :
8 dx(t)/dt + 3 x(t) = 2t u(t) dengan x(0) = -1
₤[8 dx(t)/dt + 3 x(t)] = ₤[2t u(t)]₤[8 dx(t)/dt] + 3₤[ x(t)] = ₤[2t u(t)]8 [s X(s) – x(0)] + 3 X(s) = 2 (1/s2)8 s X(s) + 8 + 3 X(s) = 2/s2
(8s + 3) X(s) = (2/s2) – 8X(s) = 2/[s2(8s+3)] – 8/(8s+3)
![Page 175: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/175.jpg)
175
f). Integrasi Waktu t Jika ₤[f(t)] = F(s) maka ₤[∫f(t) dt] = F(s)/s 0
t tIngat ₤[∫f(t) dt] = ∫ [ ∫ f(t) dt] e-st dt 0 0 0
tAmbil u = ∫ f(t) dt → du = f(t) dt 0
dv = e-st dt → v = -(1/s) e-st
![Page 176: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/176.jpg)
Contoh Soal
176
Carilah Transformasi Laplace dari :
t 0,5 dv(t)/dt + 0,2 v(t) + 2 ∫ v(t) dt + 10 = 0,5 sin 10t u(t) Ampere. 0Dengan v(0) = 20 volt t0,5₤[ dv(t)/dt] + 0,2 ₤[v(t)] + 2 ₤[∫dt] + 10 ₤[1] = 0,5 ₤[sin 10t u(t)] 00,5[sV(s) – v(0)] + 0,2 V(s) + (2/s) V(s) + 10 (1/s) = 0,5. 10/(s2+100)
0,5 [sV(s) – 20] + 0,2 V(s) + (2/s) V(s) + 10/s = 0,5. 10/(s2+100)
(0,5 s + 0,2 + 2/s) V(s) = 10 – 10/s + 5/(s2+100)
[0,5(s2 +0,4 s +4)/s] V(s) = 10(s3 – s2 +100,5 s -100)/[s(s2+100)]
V(s) = 20 (s3 – s2 +100,5 s -100)/[(s2+100)(s2+0,4s+4)] volt.sec.
![Page 177: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/177.jpg)
177
g). PeriodisitasBila xp(t) adalah sinyal periodik dan x1(t) adalah
sinyal periode pertama dari xp(t) dan ₤[ x1(t)]= X1(s) maka :
₤[xp(t)] = [1/(1-e-Ts)] X1(s) dengan T adalah periode
Hal ini dapat lebih dijelaskan sebagai berikut :Suatu fungsi periodik f(t) = f1(t) + f2(t) + .....
Dengan f1(t) adalah sinyal periode pertama
f2(t) adalah sinyal periode keduadan seterusnya.
![Page 178: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/178.jpg)
178
Sehingga f(t) dapat dituliskan sebagai berikut :
f(t) = f1(t) + f2(t) + f3(t) + ..... = f1(t) + f1(t-T) u(t-T) + f1(t-2T) u(t-2T)
+ ....
F(s) = F1(s) + F1(s) e-Ts + F1(s) e-2Ts + .... = F1(s) [1 + e-Ts + e-2Ts + ....] = [1/(1-e-Ts)] F1(s)
![Page 179: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/179.jpg)
179
h). Teorema Nilai Awal dan Nilai AkhirDigunakan untuk memudahkan mencari solusi suatu kondisi awal ( t =0) dan
kondisi akhir ( t = ) dari suatu fungsi waktu melalui suatu fungsi frekuensi (s).
Teorema Nilai Awal
∫[(dx(t)/dt] e-st dt = s X(s) – x(0) 0 s → : limit ∫[dx(t)/dt] e-st dt = limit [s X(s)] – x(0) 0 s →
= limit [s X(s)] – x(0) s→
x(0) = limit x(t) = limit s X(s) t→ 0 s→
![Page 180: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/180.jpg)
180
Teorema Nilai Akhir
∫[(dx(t)/dt] e-st dt = s X(s) – x(0) 0
limit ∫[(dx(t)/dt] e-st dt = ∫[(dx(t)/dt] = limit [dx(t)/dt] dts→0 0 0 t→
= limit [x(t) – x(0)]
t→
limit x(t) = limit s X(s)
t→ s→0
![Page 181: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/181.jpg)
181
i). Konvolusi Dua SinyalBila x1(t) dan x2(t) mempunyai harga =0 , untuk t 0 Dan y(t) = x1(t) * x2(t) = ∫ x1(τ) * x2(t-τ) dτ = ∫ x1(t-τ) * x2(τ) dτ 0 0
Maka Y(s) = ₤[y(t)] = ∫ [ ∫ x1(τ) x2(t-τ) dτ] e-st dt 0 0
Ambil η = t – τ : Y(s) = ∫ x1(τ) [ ∫ x2(η) e-sη dη] e-sη dτ 0 0
Y(s) = X1(s). X2(s)
![Page 182: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/182.jpg)
182
j). Perkalian dengan t
Jika ₤[f(t)] = F(s) maka ₤[t. f(t)] = -dF(s)/ds
Dan secara umum dapat dituliskan sebagai :
₤[tn. f(t)] = (-1)n dn F(s)/ds
k). Pembagian dengan t Jika ₤[f(t)] = F(s) maka ₤[f(t)/t] = ∫ F(s) ds 0
![Page 183: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/183.jpg)
Latihan
183
Carilah nilai awal dan nilai akhir dari :1). X(s) = (s+10)/(s2+3s+2)2). A(s) = 1/(s+10)3). Y(s) = 1/s4). F(s) = s/(s+10)
![Page 184: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/184.jpg)
TRANSFORMASI RANGKAIAN
184
![Page 185: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/185.jpg)
Transformasi Sumber Ideal
185
Transformasi Laplace fungsi kawasan waktu :V(s) = ₤ [v(t)] dan I(s) = ₤ [i(t)]
Dengan v(t) adalah sumber tegangan ideal dan i(t) adalah sumber arus ideal.
![Page 186: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/186.jpg)
186
Sumber Tegangan Independen
Sumber Arus Independen
![Page 187: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/187.jpg)
187
Sumber Tegangan dikontrol Tegangan
k tak berdimensiSumber Arus dikontrol Arus
k tak berdimensi
![Page 188: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/188.jpg)
188
Sumber Tegangan dikontrol Arus
k dalam ohmSumber Arus dikontrol Tegangan
k dalam mho (atau Siemens)
![Page 189: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/189.jpg)
Transformasi Elemen Pasif linear
189
Untuk masing-masing elemen pasif, rasio tegangan terminal terhadap arus yang mengalir disebut IMPEDANSI Z.
Sedangkan kebalikan impedansi disebut dengan ADMITANSI Y.
Dalam domain s dituliskan :Z(s) = V(s)/I(s) Volt/Ampere atau Ohm (Ω) Y(s) = I(s)/V(s) Ampere/Volt atau Siemens (S)
![Page 190: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/190.jpg)
Transformasi Resistor
190
Karakteristik terminal resistor dalam domain waktu :R = v(t)/i(t)v(t) = R. i(t)i(t) = (1/R). v(t) = G. v(t)
Setelah ditransformasi Laplace :V(s) = R. I(s)I(s) = G. V(s)
Dari persamaan-persamaan di atas didapat :ZR(s) = R (Ω)YR(s) = G (S)
![Page 191: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/191.jpg)
191
Rangkaian di kawasan waktu dan di kawasan frekuensi (model impedansi dan model admitansi) dapat ditunjukkan pada gambar berikut :
a). Rangkaian kawasan waktu b). Model Impedansi c). Model Admitansi
![Page 192: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/192.jpg)
Transformasi Kapasitor
192
t
v(t) = (1/C) ∫ i(t) dt + v(t0)
t0
i(t) = C. d v(t)/dt
Transformasi Laplace :
V(s) = I(s)/(C.s) + v(t0)/s
I(s) = C[s.V(s) – v(t0)] = C.s.V(s) – C. v(t0)
![Page 193: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/193.jpg)
193
Kondisi awal pada persamaan di atas bila dibuat = nol, maka :V(s) = I(s)/(C.s)I(s) = C.s.V(s)
Sehingga dapat dituliskan :Zc(s) = 1/(C.s) (Ω)Yc(s) = C.s (S)
![Page 194: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/194.jpg)
194
a). Rangkaian Kapasitor di kawasan waktu b). Model Seri Kapasitor
c). Model Paralel Kapasitor
![Page 195: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/195.jpg)
Contoh Soal
195
Tentukan model seri dan model paralel dari kapasitor 2,5 mikro farad dengan tegangan awal 5 volt.
![Page 196: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/196.jpg)
196
Solusi :Rangkaian tersebut dalam kawasan waktu adalah sebagai berikut :
Impedansinya sebesar :
![Page 197: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/197.jpg)
197
Impedansi tersebut diseri dengan sumber tegangan v(0)/s = 5/s V.sec
Sehingga dapat digambarkan model seri sebagai berikut :
Admitansi Y(s) = C.s = 2,5 10-6. s (S), diparalel dengan sumber arus C.v(0) = (2,5 x 10-6 F).(5V) =
12,5 mikro Ampere.sec Sehingga dapat digambarkan model paralel sebagai
berikut :
![Page 198: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/198.jpg)
198
Sehingga dapat digambarkan model paralel sebagai berikut :
![Page 199: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/199.jpg)
Transformasi Induktor
199
t i(t) = (1/L) ∫ v(t) dt + i(t0)
to
v(t) = L. d i(t)/dt
Setelah ditransformasi Laplace :
I(s) = V(s)/(L.s) + i(t0)/s
V(s) = L [s.I(s) - i(t0) ] = L.s.I(s) - L. i(t0)
Impedansi : ZL(s) = L.s (Ω)
Admitansi : YL(s) = 1/(L.s) (S)
![Page 200: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/200.jpg)
200
a). Rangkaian Induktor di kawasan waktu b). Model Paralel Induktor
c). Model Seri Induktor
![Page 201: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/201.jpg)
Contoh Soal
201
Tentukan model seri dan model paralel dari induktor 20 mH dengan arus awal 0,3 A.
Solusi :Rangkaian tersebut dalam kawasan waktu adalah
sebagai berikut :
Impedansinya sebesar : Z(s) = L.s = 20.10-3 s (Ω)
![Page 202: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/202.jpg)
202
Admitansinya sebesar : Y(s) = 1/(L.s) = 1/(20.10-3.s) = 50/s(S)
Sumber tegangannya : L.i(0) = (20.10-3)(0,3 A) = 6 mVsec Sumber Arus : i(0)/s = 0,3/s A sec Sehingga model paralel dan model seri dapat digambarkan
sebagai berikut :
![Page 203: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/203.jpg)
Contoh Soal Aplikasi
203
Diberikan rangkaian sebagai berikut :
Buat rangkaian transformasinya!!!! Solusi : Untuk t 0
![Page 204: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/204.jpg)
204
Untuk t 0
![Page 205: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/205.jpg)
205
Latihan :Buat rangkaian transformasi dari rangkaian
berikut ini :
![Page 206: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/206.jpg)
Contoh Soal Aplikasi
206
Hitung dan gambarkan iL(t) dari rangkaian berikut ini :
Solusi : Untuk t 0 iL(o-) = 10/(450+50) = 20 mA
![Page 207: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/207.jpg)
207
Untuk t 0
VT(s) = (5/s) + 400. 10-6 V sec
ZT(s) = 1200 + 0,02 s + 50 = 0,02 [s + 62,5 .103 ] Ω
IL(s) = VT(s)/ ZT(s) = 250/[s(s + 62,5 . 103 )] + 0,02/( s + 62,5 .103 ) A .sec
iL(t) = ₤-1 [250/s(s + 62,5 . 103)] + ₤-1 [0,02/(s + 62,5 . 103)] A
= [250/(62,5 .103)] [1 – exp-62,5 . 103t] u(t) + 0,02. exp-62,5 . 103t u(t)
= [4. 10-3 + 16. 10-3 exp-62,5 . 103] u(t)
![Page 208: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/208.jpg)
208
![Page 209: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/209.jpg)
Latihan :
209
Hitung dan gambarkan vc(t) untuk rangkaian berikut :
![Page 210: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/210.jpg)
Invers Transformasi Laplace Satu Sisi
210
Untuk mengembalikan dari spektrum (kawasan frekuensi) ke kawasan waktu
X(s) → x(t) σ+jΩx(t) ≡ (1/2jΠ) ∫ X(s) est ds σ-jΩ
![Page 211: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/211.jpg)
Dapat diselesaikan melalui definisi di atas atau melihat pasangan TLSS-nya.
Sinyal T.Laplaceδ(t) 1
u(t) 1/s
(tne-at/n !) u(t) 1/[(s+a)n+1]
Cos Ωt u(t) s/[s2+Ω2]
Sin Ωt u(t) Ω /[s2+Ω2] e-at Cos Ωt u(t) (s+a)/[(s+a)2+Ω2]
e-at Sin Ωt u(t) Ω /[(s+a)2+Ω2]
211
![Page 212: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/212.jpg)
Pasangan TLSS-nya (lanjutan).
Sinyal T.Laplaceu(t)-2u(t-T0/2) + 2u(t-T0) - ....
(1/s) (1-e-sT0/2)/( 1+e-
sT0/2) (SinΩt - Ωt Cos Ωt) u(t) 2Ω3 / [s2 + Ω2]2
(Ωt SinΩt) u(t) 2Ω2s / [s2 + Ω2]2
Ωt e-at Sin Ωt u(t) [2Ω2(s+a)] / [(s+a)2 + Ω2]2
e-at (Sin Ωt - Ωt Cos Ωt) u(t)
2Ω3 /[(s+a)2 + Ω2]2
212
![Page 213: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/213.jpg)
a). Solusi dengan penyesuaian koefisien (cara langsung)
213
Contoh :Diberikan fungsi rasional : X(s) = (2s + 1)/(s3 + 3s2 -4s)
Bentuk ekspansi parsiil :
X(s) = (2s+1)/[s(s+4)(s-1)] = A/s + B/(s+4) + C/(s-1)
= [A(s+4)(s-1) + B.s.(s-1) + C .s (s+4)]/[s(s+4)(s-1)]
(2s+1)/ [s(s+4)(s-1)] = [(A+B+C)s2 + (3A-B+4C)s – 4A]/[s(s+4)(s-1)]
Maka : A+B+C = 03A-B+4C = 2-4A = 1→ A = 0,25B+C = 0,25-B+4C = 2,75C= 3/5 = 0,6 dan B = -0,35X(s) = -0,25/s – 0,35/(s+4) + 0,6/(s-1)x(t) = [-0,25 – 0,35 e-4t + 0,6 et] u(t)
![Page 214: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/214.jpg)
b). Ekspansi parsiil untuk akar D(s) simple pole
214
X(s) = N(s)/D(s) = A1/(s-p1) + A2/(s-p2) + ....+ Ak/(s-pk) + ...+ An/(s-pn)(s-pk) X(s) = (s-pk) A1 /(s-p1) + (s-pk) A2 /(s-p2) +...+(s-pk) Ak /(s-pk) +...+ (s-
pk) An/(s-pn)Maka :
Ak = (s-pk) X(s) s=pk
Contoh :Untuk kasus sebelumnya : X(s) = A/s + B/(s+4) + C/(s-1) = (2s+1)/[s(s+4)(s-1)]A = s X(s) = (2s+1)/[(s+4)(s-1)]= -0,25 s=0 s=0B = (s+4) X(s) = (2s+1)/[s(s-1)] = -7/20 = -0,35 s=-4 s=-4C = (s-1) X(s) = (2s+1)/[s(s+4)] = 3/5 = 0,6 s=1 s=1Jadi :X(s) = -0,25/s - 0,35/(s+4) + 0,6/(s-1)x(t) = [-0,25 – 0,35 e-4t + 0,6 et] u(t)
![Page 215: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/215.jpg)
c). Akar D(s) multiple pole-simple
215
X(s) = A1/(s-p1) +...+ Ai,1/(s-pi) + Ai,2/(s-pi)2 + ....+ Ai,r/(s-pi)r + ...+ An/(s-pn)Dimana : Ai,r = (s-pi)r X(s) s=pi
Ai,r-1 = (d/ds)[(s-pi)r X(s)] s=pi
Ai,r-2 = (1/2!)(d2/ds2)[(s-pi)r X(s)] s=pi
. .Ai,r-k = (1/k!)(dk/dsk)[(s-pi)r X(s)]
s=pi
![Page 216: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/216.jpg)
216
Contoh :
X(s) = (2s2-3s)/(s3-4s2+5s-2) = (2s2-3s)/(s-2)(s-1)2 = A/(s-2) + A1,1/(s-1) + A1,2/(s-1)2
Dimana :A1,2 = (s-1)2 X(s) = (2s2-3s)/(s-2)(s-2) = -1/(-1) = 1 s=1 s=1 A1,2 = (d/ds) [(2s2-3s)/(s-2)] = [(s-2)(4s-3) - (2s2-3s)]/(s-2)2 = [(-1)1 – (-1)]/1 = 0 s=1 s=1
A = (s-2) X(s) = (2s2-3s)]/(s-1)2 = (8-6)/1 = 2 s=2 s=2
Jadi X(s) = 2/(s-2) + 1/(s-1)2
x(t) = [2e2t + t et] u(t)
![Page 217: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/217.jpg)
d). Ekspansi Parsiil : D(s) kompleks konjugate simple pole
217
Contoh :X(s) = (s+3)/[s2+4s+13] = (s+2)/[(s+2)2
+ 32] + 1/[(s+2)2 + 32] x(t) = [e-2t cos3t + (1/3) e-2t sin 3t] u(t)
![Page 218: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/218.jpg)
e). D(s) kompleks konjugate multiple pole
218
Contoh :
X(s) =[9s5+94s4+706s3+2628s2+4401s+3750]/[s(s+2)(s2+6s+25)2]
Untuk (s2+6s+25)2 maka akar-akarnya -3+j4 dan -3-j4
X(s)=A/s+B/(s+2)+(C+jD)/(s+3+j4)+(C-jD)/(s+3-j4)+(E+jF)/(s+3+j4)2+(E-jF)/(s+3-j4)2
Dimana :A = s. X(s) = 3 s=0B = (s+2) X(s) = -2 s=-2E+jF = [(s+3+j4)2 X(s)] = 4+j3 s=-3-j4C+jD = (d/ds) [s+3+j4)2 X(s)] = 2+j3 s=-3-j4
![Page 219: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/219.jpg)
219
Jadi : X(s) = 3/s – 2/(s+2) + (2+j3)/(s+3+j4) +
(2-j3)/(s+3-j4)2+(4+j3)/(s+3+j4)+(4-j)/(s+3-j4)2
x(t) = [3-2e-2t+(2+j3)e-(3+j4)t+(2-j3)e(-
3+j4)t+(4+j3)te-(3+j4)t+(4-j3)te(-3+j4)t] u(t) = [3-2e-2t+e-3t(4 cos4t+ 6 sin4t) +te-3t(8
cos4t + 6 sin4t)] u(t)
![Page 220: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/220.jpg)
f). Metode Grafis
220
Untuk mengevaluasi koefisien parsiil dari X(s) dengan cara menggambarkan vektor diagram semua pole-zero sistem.
Diketahui : X(s) = N(s)/D(s) = k[(s-z1)(s-z2)......(s-zm)]/[(s-p1)(s-p2)....(s-pn)]
Nilai dari X(s) di s=s1 :X(s1) = k (perkalian jarak langsung setiap zero ke s1)/
(perkalian jarak langsung setiap pole ke s1)
Evaluasi pole pk dari X(s)Ak = (s-pk) X(s) s=pkAk = k (perkalian jarak langsung setiap zero ke pk)/(perkalian
jarak langsung setiap pole ke pk)
![Page 221: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/221.jpg)
221
Contoh :X(s) = 12(s+1)(s+4)/[s(s+2)(s+1+j2)(s+1-j2)] = A/s + B/(s+2) + (C+jD)/(s+1+j2) + (C-jD)/(s+1-j2)Gambar semua pole dan zero :Kemudian evaluasi koefisien C-jD, berarti mengevaluasi ke
vektor s+1-j2 (letak pole di s = -1+j2). Hitung semua jarak dari setiap pole dan zero yang ada terhadap titik -1+j2. Didapat :
C-jD = 12 (√13 33,7o)( 290o)/[( 490o)( √5153,4o)( √526,6o)] = 4,32-146,3o = -3,6 – j2,4
C+jD = -3,6 + j 2,4Dengan cara yang sama didapat :A = [(12) (1) (4)]/[(2) (√5)(√5)] = 4,6B = [(12) (1180o ) (2)]/[(2180o )(√5) (√5)] = 2,4
![Page 222: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/222.jpg)
222
APLIKASI TLSS
![Page 223: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/223.jpg)
a). Solusi Persamaan Diferensial
223
Sifat diferensiasi : ₤[dx/dt] = s X(s) – x(0)
Bentuk umum : ₤[dnx/dtn] = sn X(s) – sn-1 x(0) – sn-2 dx(0)/dt - ......- dn-1(0)/dtn-1
![Page 224: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/224.jpg)
224
Contoh :
Persamaan Diferensial Orde Dua : d2x(t)/dt2 + 4 dx(t)/dt + 3 x(t) = 2
Dengan x(0) = 2 dan dx(0)/dt = 1Transformasi Laplace-kan kedua sisi dan dimasukkan kondisi awal.s2 X(s) -2s -1 + 4[s X(s) -2] + 3 X(s) = 2/s X(s) [s2 + 4s +3] = 2/s + 2s + 9 X(s) = [2 + (2s + 9) s]/[s (s+3) (s+1)] = A/s + B/(s+3) + C/(s+1) A = s X(s) = 2/3 s=0 B = (s+3) X(s) = -7/6 s=-3 C = (s+1) X(s) = 5/2 s=-1 X(s) = (2/3)/s – (7/6)/(s+3) + (5/2)/(s+1) x(t) = [2/3 – (7/6) e-3t + (5/2) e-t] u(t)
![Page 225: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/225.jpg)
225
Contoh :
Persamaan Diferensial Orde Dua :d2x(t)/dt2 + 4 dx(t)/dt + 3 x(t) = 2
Dengan x(0) = 2 dan dx(0)/dt = 1Transformasi Laplace-kan kedua sisi dan dimasukkan kondisi awal.s2 X(s) -2s -1 + 4[s X(s) -2] + 3 X(s) = 2/s X(s) [s2 + 4s +3] = 2/s + 2s + 9 X(s) = [2 + (2s + 9) s]/[s (s+3) (s+1)] = A/s + B/(s+3) + C/(s+1) A = s X(s) = 2/3 s=0 B = (s+3) X(s) = -7/6 s=-3 C = (s+1) X(s) = 5/2 s=-1 X(s) = (2/3)/s – (7/6)/(s+3) + (5/2)/(s+1) x(t) = [2/3 – (7/6) e-3t + (5/2) e-t] u(t)
![Page 226: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/226.jpg)
226
b). Respons Impuls Sistem
Contoh soal :Cari respons impuls h(t) dari persamaan diferensial sistem berikut
ini :dy(t)/dt + 3y(t) = 2 x(t) + dx(t)/dt dengan y(0) = 0 dan x(0)= 0
Solusi :₤ : sY(s) – y(0) + 3Y(s) = 2X(s) + s X(s) – x(0)
Y(s)[s+3] = X(s) [s+2]
H(s) = Y(s)/X(s) = (s+2)/(s+3) = (s+3-1)/(s+3) = (s+3)/(s+3) – 1/(s+3)
= 1 – 1/(s+3)
h(t) = δ(t) – e-3t u(t)
![Page 227: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/227.jpg)
227
c). Solusi Lengkap Rangkaian RLCTelah dibahas lengkap di atas
![Page 228: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/228.jpg)
228
d). Analisis Sistem Waktu Kontinyu
Diberikan Sistem Waktu Kontinyu Linear Tak Berubah Terhadap Waktu (SWK LTW) ditunjukkan dengan hubungan Input dan Output sebagai berikut :
anyn(t) +an-1yn-1(t) +…+ a0y(t) = b0x(t) + ….+ bmxm(t)
![Page 229: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/229.jpg)
229
Respons steady state : Y(s) = H(s). X(s) y(t) = ₤-1
[H(s).X(s)]Stabilitas Sistem SWK : H(s) = N(s)/D(s)SWK stabil jika dan hanya jika :
a). Stabil dalam arti BIBOb). Respons impuls secara mutlak terintegrasic). Limit h(t) = 0
t→d). Akar riil D(s) < 0e). Letak pole di sebelah kiri sumbu imajiner
![Page 230: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/230.jpg)
230
Arigato Gozaimasu
![Page 231: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/231.jpg)
TRANSFORMASI Z
TEAM DOSEN
231
EE2423SINYAL & SISTEM
![Page 232: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/232.jpg)
Pendahuluan
232
Transformasi Z merupakan suatu teknik untuk menggambarkan dan memanipulasi deretan (seperti Transformasi Laplace pada Sinyal waktu Kontinyu).
![Page 233: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/233.jpg)
Definisi Transformasi Z
233
Jika diberikan sinyal x(n) untuk SWD, maka transformasi Fourier Waktu Diskrit (TFWD) dari x(n) dinyatakan oleh :
~
F [ x(n) ] = x (e-jωn) = Σ x(n) e-jωn -~
Transformasi Z dari sinyal atau deret waktu diskrit x(n) didefinisikan sebagai :
~
TZ [ x(n) ] = X (z) = Σ x(n) z-n -~
![Page 234: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/234.jpg)
Contoh
234
Diberikan sinyal waktu diskrit x(n), yang mempunyai jumlah elemen yang terbatas seperti yang ditunjukkan oleh gambar berikut ini :
0-1
-2
-3 1 2
3 4
2
3
4
2
-5
x(n )
-4
-2
![Page 235: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/235.jpg)
235
Secara matematis gambar diatas dapat dinyatakan sebagai :
x(-3) = 2, x(-2) = -5, x(-1) = 3, x(0) = 0, x(1) = 4, x(2) = 2, x(3) = -4, x(4) = -2
maka transformasi z dari x(n) akan diperoleh :
X(z) = 2z3-5z2+3z1+4z-1+2z-2-4z-3-2z-4
![Page 236: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/236.jpg)
Hubungan TZ dengan TFWD
236
Untuk melihat hubungan antara transformasi z (TZ) dengan tranformasi Fourier Waktu Diskrit(TFWD), maka dapat kita lakukan dengan pengekspresian variabel komplek z dalam bentuk polar, sebagai :
z = r ejω ~
X (r ejω) = Σ[x (n) (r ejω)]-n
-~
![Page 237: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/237.jpg)
237
yang dapat juga dituliskan sebagai : ~
X (r ejω) = Σ[x (n) r-n] e-jω
-~
Sedangkan TFWD dirumuskan sebagai : ~
X (ω) = Σ [ x (n) ] e-jω -~
![Page 238: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/238.jpg)
238
Hubungan antara dua transformasi ini menunjukkan bahwa TFWD merupakan TZ yang dievaluasi pada lingkaran satuan dalam bidang z.
Definisi dapat diperluas : ~
h(n) → H (z) = Σ h(n) z-n
- ~
Untuk z = e-jωn→ H (e-jω).
![Page 239: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/239.jpg)
239
Jadi bila mempunyai respons impuls sistem h(n), dapat dicari H(z), kemudian z diganti dengan ejω didapat H (ejω) (Respons Frekuensi).
Dengan kata lain untuk menghitung respons frekuensi dapat dilakukan melalui Transformasi Z.
![Page 240: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/240.jpg)
Hubungan TZ dengan Transformasi Laplace
240
Transformasi Z digunakan untuk sinyal waktu diskrit, hubungannya dengan transformasi Laplace yaitu dengan mensubstitusikan z = exp (sT)
Mengingat definisi Transformasi Laplace bilateral untuk sinyal kontinyu x(t) didefinisikan sebagai :
~
₤[x(t)] = ∫x(t) e-st dt -~
![Page 241: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/241.jpg)
241
Pemetaan antara bidang s dan bidang z
Bidang s Mapping dengan Bidang z z=exp(sT)
Imaj (s) Imaj(z)
2/T
/T0-/T
-2/TRiil (s) Riil (z)
Lingkaran satuan
![Page 242: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/242.jpg)
Transformasi Z Satu Sisi (TZSS)
242
Transformasi Z ,seperti halnya Transformasi laplace yang memiliki transformasi satu sisi dan dua sisi.
Daerah konvergensi dari TZ bilateral dalam bidang z diberikan dengan maksud bahwa TZ balik (Inverse Z-Transform) dapat diperoleh.
![Page 243: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/243.jpg)
243
TZSS dari deretan x(n) didefinisikan sebagai : ~
X(z) = Σ x (n) z-n
-~
Untuk mempermudah notasi, TZSS dari deret x(n) dinotasikan sebagai :
Z[x(n)] = X(z)
![Page 244: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/244.jpg)
Pasangan TZSS
244
a. Deret KonstanJika diberikan deret konstan seperti berikut :
x(n) = A , n = 0, 1, 2, ...,~TZ dari deret ini akan diberikan oleh : ~
X(z) = Σ x(n)z-n = A( 1 + z-1+ z-2+ …) -~
= A/(1-z-1) = AZ/(z-1)
![Page 245: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/245.jpg)
245
Dalam kasus khusus, dimana | r | < 1, maka penjumlahan dari deret akan konvergen untuk n = . Sehingga dalam kasus ini dapat diperoleh :
~
Σ rn = 1/(1-r),konvergen untuk | r | < 1 -~
TZ dari deret konstan akan konvergen (mempunyai nilai terbatas) jika | z| < 1, atau | z | > 1
![Page 246: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/246.jpg)
246
Deret konstan dan TZ
-2
-1
0 1 2 3 4n
A
1
Im ag (z)
R e(z)
![Page 247: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/247.jpg)
247
Satu hal lain yang menarik untuk diamati bahwa TZ dari deret konstan mempunyai pole pada z = 1, dimana TL dari fungsi unit step mempunyai pole pada s = 0
~
Jadi X(z) = Σ Az-n =A/(1-z-1) -~
konvergen untuk |z-1|<1 atau |z-1|> 1
![Page 248: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/248.jpg)
248
b. Deret EksponensialDiberikan deret x(n) = A. rn
Sebuah deretan yang dibangkitkan dengan pencuplikan fungsi eksponensial dari bentuk :
x(t) = A.eαt , dimana : r = eαT
TZ dari deret ini : ~ ~
X (z) = ΣAn rz-n = ΣA (r z-1)n n=0 n=0
= A/(1-rz-1) =,AZ/(z-r) , |z| > |r|
![Page 249: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/249.jpg)
249
untuk r > 1 ROC|rz-1|<1,maka |z|>|r| , ini berarti bahwa ROC berada diluar lingkaran dengan jari-jari r dalam bidang z
![Page 250: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/250.jpg)
250
C. Sinyal ImpulsSinyal impuls satuan waktu diskrit
dirumuskan sebagai : x(n) = 1 , untuk n = 0
= 0, untuk n lainnya
TZ dari deret ini : ~
X (z) = Σ x(n) z-n = 1
n=0
![Page 251: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/251.jpg)
251
d. Deret SinusoidalTZ dari deretan x(n) = A cos βn dan x(n) = A sin βn
dapat diperoleh dari penurunan yang
ditunjukkan dibawah ini :Z[A cos βn] =Z[(Aejβn)/2 +(Ae-jβn)/2]
X(z) = Az[z-cosβ]/[z2-2z cosβ +1]|z| > 1
![Page 252: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/252.jpg)
252
Deret Cosinus dan pole zero TZ-nya
n
Im [z]
R e [z]
lingk a ransa tuan
![Page 253: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/253.jpg)
253
Dengan cara yang sama :Z[A sin βn] =Z[(Aejβn)/2 -(Ae-jβn)/2] X(z) = Az sinβ]/[z2-2z cosβ +1]
|z| > 1
![Page 254: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/254.jpg)
n
Im [z]
R e [z]
lingk a ransa tuan
254
![Page 255: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/255.jpg)
Sifat-sifat TZSS
255
a. LinieritasJika X1(z)=Z[x1(n)] ROC R1 -<|z|< R1+; X2(z)=Z[x2(n)] ROC R2-<|z|< R2+; dan
X(z) = Z [x(n)], maka :Z[α x1(n)+βx2(n)] = αX1(z) + β X2(z)
ROC dari hasilTZ ini diberikan oleh irisan ROC dari X1(z) dan X2(z)
![Page 256: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/256.jpg)
256
b. PenggeseranJika : X(z) = Z [x(n)], maka : Z[x(n+1)] = zX(z) – zx(0)
Hal ini sangat penting untuk menyelesaikan persamaan perbedaan dan ini mirip dengan sifat pada TL untuk penurunan dari fungsi waktu kontinyu.
Secara Umum : Z[x(n-k)] = z-k X(z)
![Page 257: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/257.jpg)
257
c.Perkalian dengan n
Jika : X(z) = Z [x(n)], maka :
Z[nx(n)] = -z dX(z)/dz Bentuk umum :
Z[nmx(n)] = (-z)m dm X(z)/dzm
![Page 258: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/258.jpg)
258
d.Perkalian dengan rn Jika : X(z) = Z [x(n)], maka :
Z[rnx(n)] = X(z/r)
e. KonvolusiJika X1(z) =Z [x1(n)]ROC R1- <|z| < R1+;
X2(z) =Z [x2(n)]ROC R2- <|z| < R2+; ~
Maka :X1(z). X2(z) = Z[Σ x1(k)] x2(n-k)] k=0
![Page 259: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/259.jpg)
259
f.Teorema Nilai AwalJika : X(z) = Z [x(n)], maka :
x(0) = lim X(z) z~
Penerapan utama dari sifat ini adalah untuk menentukan nilai awal x(0) secara langsung dari X(z), tanpa melakuakn evaluasi inverse TZ.
![Page 260: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/260.jpg)
260
g.Teorema Nilai Akhir
Jika : Z [x(n)] = X(z) dan semua pole X(z) terletak didalam lingkaran satuan, dengan pengecualian yang mungkin dari pole yang sederhana pada z = 1, maka nilai X(n) pada n~ diberikan oleh :
lim x(n) =lim [((z-1)/z).X(z)] nx z1
![Page 261: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/261.jpg)
Invers TZSS
261
a. Metoda penyesuaian koefisien dengan pembagian terus menerus
~
Jika X (z) = Σan z-n
n=0
Maka :x (n) = an untuk n=0,1,2,…
![Page 262: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/262.jpg)
262
b. Ekspansi Pecahan Parsial Gagasan dibalik metode ini adalah mirip
dengan yang digunakan untuk mendapatkan invers TL.
X(z) diekspresikan sebagai fungsi rasional dari z, sehingga merupakan perbandingan dari dua polynomial di dalam z, invers transformasi Z didapat menggunakan pendekatan partial fraction expansions
![Page 263: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/263.jpg)
Pasangan TZ
x(n) X(z) Keterangan
δ(n) 1
A.u(n) Az/(z-1) Pole pada z = 1
A.rn Az/(z-r) Pole pada z =r
A.n.u(n) Az/(z-1)2 2 pole pada z =1
A cos βn Az[z- cos β]/[z2-2z cosβ +1]
263
![Page 264: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/264.jpg)
Pasangan TZ
x(n) X(z) Keterangan
A sin βn Az sin βn/[z2-2z cosβ +1]
A.n.rn Arz/(z-1)2
A n2 Az(z+1)/(z-1)3
zrn(C cosnθ-D sinnθ) (C+jD)z/(z-rejθ) +
(C-jD)z/(z-re-jθ)
A cos βn Az[z- cos βn]/[z2-2z cosβ +1] n ≥ 0
264
![Page 265: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/265.jpg)
Latihan
265
Carilah Inverse TZ dari sinyal berikut ini :x(n) = 5z4-29z3+56z2-34z/[(z-1)(z-2)3]
![Page 266: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/266.jpg)
266
c. Integral Invers kompleksDiberikan transformasi dari suatu deret x(n)
adalah : ~
X (z) = Σx(n)z-n ; ROC R n=-~
Kalikan X(z) dengan zk/(2.j.z). dz dan mengintegrasikan disekitar kurva tertutup C yang terletak seluruhnya diantara daerah konvergensi R menghasilkan :
![Page 267: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/267.jpg)
267
(1/2jπ)∫cX (z)zkdz/z x
= (1/2jπ)∫c Σ x(n)z-n + k-1 dz n=-x
x= (1/2jπ) Σ x(n) ∫c z-n + k-1 dz
n=-x
![Page 268: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/268.jpg)
268
Setiap kurva integral dapat kemudian dievaluasi dengan mempergunakan Teorema integral Cauchy yang menyatakan bahwa jika C melingkupi titik 0 dalam arah yang berlawanan dengan arah jarum jam, sehingga :
(1/2jπ) ∫c z k-1 dz = 1, untuk k = 0
= 0, untuk k lainnya Atau :(1/2jπ) ∫c z n dz = 1, untuk n = -1
= 0, untuk n lainnya
![Page 269: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/269.jpg)
269
Dari prsamaan sebelumnya dapat disusun kembali menjadi :
(1/2jπ) ∫c X(z)(z n/z) dz = x(n)
![Page 270: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/270.jpg)
Aplikasi TZSS
270
a. Solusi persamaan perbedaanDengan menggunakan sifat : Z [ x (n+1) ] = z X (z) – z x (0) pergeseran
waktu Jika steady state (tanpa kondisi awal)
z [ x (n) ] = x ( n-1)z [ x (n) ] = x (n+1)z [ x (n) ] = x (n-2)
Latihan :y(n) - 1,5 y(n-1) + 0,5 y(n-2) = 0,25n , n≥ 0
dimana y(-1) = 4 dan y(-2) = 10
![Page 271: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/271.jpg)
271
b.Mencari respon impulsJika diberikan sistem seperti pada
gambar berikut :
x (n) h(n) y(n) Bila masukan x(n) = (n), maka keluaran
y (n) = h (n)
X (z) H(z) Y (z)
![Page 272: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/272.jpg)
272
c. Analisis SWDSWD – LTW kausalany(n) + an-1 y(n-1) + … + an-py(n-p) =
anx(n) + bn-1 x (n-1) + … + bn-m x (n-m)
Fungsi transfer H(z) = Y(z)/X(z) Y(z)[an+z-1an-1+…+z-pan-p]
= X(z) [bn+z-1bn-1+…+z-mbn-m]
H(z) = [bnzp+bn-1zp-1+…+bn-mzp-m]/[anzp+an-1zp-1+…+an-p]
![Page 273: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/273.jpg)
273
Respon steady stateY (z) = H (z) . X (z) y (n) = ITZ [H (z) . X (z)]Respon impuls h (n) H (z)StabilitasSWD stabil jika dan hanya jikastabil dalam arti BIBOpole dari fungsi transfer berada dalam lingkaran
satuan lim|h(n)| = 0 untuk sembarang p > 1
n~Besar / Magnitudo semua akar polinomial < 1
![Page 274: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/274.jpg)
274
d. Respons Sistem Terhadap Masukan Sinusoidal
x (n)=A cos(ω0n+θ) h(n) y(n)
Dalam kawasan Z : X (z) . H (z) = Y (z)
Misalkan masukan eksponensial x (n) = A ejωon
maka respons steady state sistem didapat dengan mengevaluasi Y(z) di pole Z = ejωo
Jadi H (z) = H (ejωo) = | H (ejωo) | / H (ejωo)
Sehingga :
YssH (ejωo) A ejωon
![Page 275: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/275.jpg)
275
Sistem linier maka Yss(n) adalah penjumlahan masing-masing respons input sistem.
Yss(n) = H (ejωo) ej(ωon+θ) + H (e) e-j(ωon+θ)
Yss(n) = A|H (ejωo)|cos[ωon+θ+arg H(ejωo)]
![Page 276: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/276.jpg)
Transformasi Z Bilateral [TZB]
276
Definisi TZB untuk x (n) = 0, nЄ[-~,~] ~
X (z) =Σ x(n) z-n
n=-~ ~ -1
= Σ x(n) z-n + Σ x(n) z-n n=0 n=-~
![Page 277: HandOut Sinyal & Sistem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061315/55cf980c550346d03395430b/html5/thumbnails/277.jpg)
Invers TZB
277
Invers TZB dapat dilakukan dengan teori Laurent dan teori residu (sulit dievaluasi) dan metoda ekspansi parsial (lebih mudah) dengan menggunakan tabel referensi pasangan TZB.