hand out sinyal & sistem
TRANSCRIPT
SINYAL
TEAM DOSEN
1
SINYAL & SISTEMEE2423
Outline
2
Definisi Sinyal & Sinyal dalam kehidupan kitaKlasifikasi Sinyal
Sinyal waktu kontinyu & Sinyal waktu DiskretSinyal Periodik & AperiodikSinyal Genap & Sinyal GanjilSinyal Deterministik dan Acak
Sinyal-sinyal DasarOperasi Dasar
Definisi Sinyal
3
Sinyal pada umumnya menggambarkan berbagai fenomena fisik.
Berbagai contoh sinyal dalam kehidupan sehari-hari : arus atau tegangan dalam rangkaian elektrik, suara, suhu, tekanan udara, kecepatan, debit air, sinyal biomedis seperti EEG, ECG dlsb.
Dalam konteks hubungan sinyal dengan sistem, sinyal adalah masukan dari enviroment ke dalam sistem dan keluaran dari sistem ke enviroment.
environment
SINYALINPUT SISTEM
SINYALOUTPUT
Definisi Sinyal
4
Perhatikan gambar dibawah, sebuah sistem rangkaian penyearah jembatan dengan sinyal masukan adalah tegangan AC, dan sinyal keluaran berupa sinyal DC.
Dalam hal ini sinyal adalah masukan sistem dan output sistem yang direpresentasikan sebagai perubahan tegangan terhadap waktu.
D3
D1
Vin
RLVout
D4
D2
Vin Vout
t t
(a) (b)
Definisi Sinyal
5
Gambar dibawah adalah sinyal ucapan dari kata “apa kabar” yang dilewatkan melalui mikrofon sepanjang 1100 milidetik. Dalam hal ini, suara ucapan digambarkan sebagai perubahan tekanan akustik terhadap waktu.
Definisi Sinyal
6
Selain sinyal satu dimensi, dalam sehari-hari, kita juga akan sering menjumpai sinyal dua dimensi. Sebagai contoh adalah citra digital. Perhatikan sebuah citra monokromatis. Citra monokromatis direpresentasikan oleh tingkat kecerahan sebagai fungsi titik koordinat.
Definisi Sinyal
7
Secara metematis sinyal dinyatakan sebagai fungsi dari variabel bebas. Sinyal dapat memiliki satu atau lebih dari satu variabel bebas.
Sebagaimana contoh di atas, sinyal listrik memiliki satu variabel bebas waktu, sedangkan sinyal citra memiliki dua variabel bebas berupa titik koordinat.
Dalam banyak hal sinyal adalah fungsi waktu yang merepresentasikan variabel fisik yang berkaitan dengan sistem.
Definisi Sinyal
8
Dalam kuliah ini kita akan membatasi pembahasan pada sinyal dengan satu variabel bebas berupa waktu. Meskipun pada kenyataannya tidak seluruh variabel bebas dinyatakan dengan waktu, seperti variasi tekanan udara dan kelembaban terhadap ketinggian.
Waktu sebagai variabel bebas yang akan kita pelajari dalam kuliah ini, mencakup waktu kontinyu dan waktu diskret.
Representasi Sinyal
9
Selain dengan cara grafis seperti contoh-contoh di atas, sinyal dapat juga direpresentasikan dengan persamaan matematis.
Contoh :Untuk sinyal waktu kontinyu : x(t) = 10 sin 2t x(t) = 2t+7
Untuk sinyal waktu diskret : x(n)=2n+3 y(n)=[1, 2, 3, 4, 3, 2, 1], keterangan : tanda ”_” adalah titik n=0.
00
0)(
t
ttty
00
01)(
n
nny
Klasifikasi Sinyal
10
Sinyal waktu kontinyu & Sinyal waktu Diskret
Sinyal Periodik & AperiodikSinyal Genap & Sinyal GanjilSinyal Deterministik & Sinyal Acak
Sinyal waktu kontinyu & Sinyal waktu Diskret
11
Sinyal Waktu Kontinyu terdefinisi untuk setiap nilai pada sumbu waktu, sedangkan Sinyal Waktu Diskret terdefinisi hanya pada nilai waktu diskret.
Dalam pembahasan kita, sumbu waktu untuk Sinyal Waktu Kontinyu menggunakan simbol t, sedangkan untuk Sinyal Waktu Diskret menggunakan simbol n. Sehingga representasi sinyal x untuk Sinyal Waktu Kontinyu dituliskan sebagai x(t) dan untuk Sinyal Waktu Diskret dituliskan sebagai x(n).
Contoh Sinyal Waktu Kontinyu : Sinyal modulasi AM
Sinyal waktu kontinyu & Sinyal waktu Diskret
12
Contoh Sinyal Waktu Dsikret :
Jumlah pelanggan tetap VoIP U.S
Sumber :Trend in the U.S communication equipment market :A wall street perspective.
Communication Magazine, Vol 44.
Keterangan : 1Q03 = ¼ pertama tahun 2003
Sinyal Periodik dan Sinyal Aperiodik
Sinyal waktu kontinyu dinyatakan periodik jika dan hanya jika
x(t+kT)=x(t) untuk - < t < ,
dimana k adalah bilangan bulat.
T adalah perioda sinyal.
Sinyal waktu diskrit dinyatakan periodik jika dan hanya jika
x(n+kN)=x(n) untuk - < n < ,
dimana k adalah bilangan bulat.
N adalah perioda sinyal.
0 1 2 3 4 5 6 7 8N n
X(n)
N
13
0 T t
X(t)
Sinyal Genap dan Sinyal Ganjil
14
Salah satu klasifikasi lain diperoleh dengan melihat kesimetrian sinyal pada waktu balikan (reverse time). Sinyal x(t) atau x(n) dinyatakan sinyal genap jika :
x(-t)=x(t) dan x(-n)=x(n)
Jadi sinyal genap membentuk simteri dengan waktu balikannya.
Contoh : gambar& pers
Sinyal Genap dan Sinyal Ganjil
15
Sinyal x(t) atau x(n) dinyatakan sinyal ganjil jika :
x(-t)=-x(t) dan x(-n)=-x(n)
Jadi sinyal ganjil membentuk anti-simteri dengan waktu balikannya.
Contoh : gambar& pers
Sinyal Deterministik dan Stochastic
16
Sinyal determinisktik adalah sinyal yang keseluruhan nilainya dapat ditentukan dengan suatu persamaan matematis.
Contoh : sinyal sinus, sinyal-sinyal dalam pembahasan MK ini selanjutnya adalah sinyal deterministik.
Sinyal Stochastic jika nilai yang akan datang dari suatu sinyal tidak dapat ditentukan secara pasti.
Contoh : noise tegangan dalam penguat, dll
Energi dan Daya Sinyal
17
Untuk sinyal waktu kontinyu :
Untuk sinyal waktu diskret :
1
22)()(lim dttxdttxE
T
TT
1
22)()(
2
1lim dttxdttx
TP
T
TT;
n
N
NnN
nxnxE22
)()(lim
n
N
NnN
nxnxN
P22
)()(12
1lim
;
Sinyal-sinyal Dasar
18
Sinyal Unit StepSinyal ImpulsSinyal RampSinyal EksponensialSinyal Sinusoidal
Unit Step (cont’d)
19
Unit Step Kontinyu
u(t)=
Unit Step Kontinyu Tergeser
u(t-)=
0
0
0
1
,t
,t
,t
,t
0
1 u(t- )
t
1
t
1
u(t)
Unit Step (cont’d)
20
Unit Step Kontinyu diskontinyu pada t=0, sehingga tak terdiferensiasi (not differentiable)!
Kita definisikan unit step ter-delay:
u(t) kontinyu dan dapat di-diferensiasi
otherwise
,t
,t
t
tu
,
2/
2/
2
1
0
1
)(
t
1
u(t)
2
2
)(lim)(0
tutu
otherwise
t,
dt
tdu
,
2/2/
0
1)(
Unit Impulse (cont’d)
21
Unit Impuls Kontinyu:
1)(
0,
0
0)(
dtt
t
,tt
otherwise
t,
dt
tdut
,22
0
1)(
lim)(0
t1/
(t)
2
2
t
0
(t)
Unit Impuls (cont’d)
22
Unit Impuls Kontinyu Tergeser:
Properties Unit Impuls Kontinyu :
)()()()(
)()0()()(
)()(
)()(
)()(
txttx
txttx
tt
dtu
dt
tdut
t
t
(t-)
dtxtx )()()(
Unit Step
23
Unit Step Diskret
u[n]=
Unit Step Diskret Tergeser
u[n-k]=
0
0
0
1
,n
,n u[n]
-1-2n
1-3 32
1
k,n
k,n
0
1u[n-k]
…-1n
1 k
1
Unit Impuls
24
Unit Impuls Diskret
Unit Impuls Diskret Tergeser
0
0
0
1][
,n
,nn
[n]
-1-2n
1-3 32
1
[n-k]
…-1n
1 k
1
k,n
k,nkn
0
1][
Unit Impuls (cont’d)
25
Properties Fungsi Unit Impuls Diskret:
k
n
k
knkxnx
knkxknnx
nxnnx
knu
nunun
][][][
][][][][
][]0[][][
][][
]1[][][
Latihan
26
Hitung persamaan dibawah:
Gambarkan sinyal berikut ini:
Gambar turunan dari x(t), yakni dx(t)/dt.
dtttut
knnnnun kn
10
10
0
10
))15()((
]2[][
))8()6()4(()()2()(
]3[][)1(][
tutututtuttx
nnununnx
Signals Sebagai Fungsi Step
27
tc
x(t)
a b
1
y(t)
-1
1t
1
w(t)
-1
1t
2z(t)
-1
1 t
2
-2
Signals Sebagai Fungsi Step (cont’d)
28
x[n]
…-1n
1 N
1
y[n]
… -1n
1 4
1
-2 32 5-3 …
Operasi-operasi Dasar
29
Operasi terhadap Sumbu Waktu
Pergeseran sumbu waktuX(t+t0) geser ke kiri sejauh t0X(t-t0) geser ke kanan sejauh t0
PencerminanX(-t) pencerminan terhadap sumbu vertikal
Penskalaan waktu (kompresi-ekspansi)
X(at) jika |a|>1 Kompresijika |a|<1 ekspansi
a
btafbatf )(
a
bnafbanf )(
Operasi-operasi Dasar
30
Operasi terhadap Amplituda
Penskalaan A.x(t)
SISTEM
TEAM DOSEN
31
EE2423SINYAL & SISTEM
Outline (bagian 1)
32
Definisi SistemInterkoneksi SistemKlasifikasi Sistem :
Sistem Memory vs. MemorylessKausalitasStability and InvertibilityLinearityTime-Invariance
Superposisi pada Sistem LTI
Definisi Sistem
33
Sistem: Black box yang memetakan sinyal input menjadi sinyal output.
Sistem Waktu Diskret: y[n] = H[x(n)]
Sistem Waktu Kontiunyu: y(t) = H(x(t))
Hx[n] y[n]
Hx(t) y(t)
Interkonneksi Sistem
34
Hubungan serial (Cascade): y(t) = H2( H1( x(t) ) )
Contoh: radio receiver diikuti oleh amplifier Parallel Connection: y(t) = H2( x(t) ) + H1( x(t) )
Contoh: line telepon terhubung parallel dengan microphone telepon
H1
x(t)H2
y(t)
H1
x(t) y(t)
H2
+
Interkonneksi Sistem(cont’d)
35
Hubungan Feedback : y(t) = H2( y(t) ) + H1( x(t) )
contoh : Sistem penghapus echoSangat mungkin untuk mengkombinasikan
hubungan tersebut.
H1
x(t) y(t)
H2
+
Sistem Memory vs. Memoryless
36
Sistem Memoryless (static): Output sistem y(t) bergantung hanya pada intput pada waktu t,y(t) adalah fungsi x(t)
Sistem Bermemori (dynamic): Output sistem y(t) bergantung pada input sebelum atau sesudah waktu t (current time t), y(t) fungsi x() dimana - < <.
Sistem Memory vs. Memoryless
37
Contoh:Tentukan apakah dibawah ini sistem bermemori atau tak bermemori resistor: y(t) = R x(t)
capacitor:
satu unit delayer: y[n] = x[n-1]
accumulator:
t
dxC
ty )(1
)(
n
k
kxny ][][
KausalitasSistem kausal jika keluaran pada saat n=n0
hanya bergantung pada harga-harga dari masukan n≤n0 (sebelumnya dan sekarang), dengan kata lain h(n)=0 untuk n<0. h(n) = respon impulsSistem yang dapat direalisasikan harus kausal
38
Stabilitas dan Invertibilitas
39
Stabilitas: Sistem stabil jika memberikan keluaran terbatas untuk masukan yang terbatas (bounded-input/bounded-output)-BIBO.
Jika |x(t)| < k1, maka |y(t)| < k2.Contoh:
t
dttxty0
)()( ][100][ nxny
Stabilitas dan Invertibilitas
40
Invertibilitas: Sistem invertible jika input yang berbeda menghasilkan output yang berbeda. Jika sistem invertible,maka ada sistem “inverse” yang dapat mengkonversi output asli sistem menjadi input asli sistem.
Contoh:
Sistemx(t) Sistem
Inversew(t)=x(t)y(t)
Stabilitas dan Invertibilitas
41
Contoh:
)(4
1)(
)(4)(
tytw
txty
]1[][][
][][
nynynw
kxnyn
k
dt
tdytw
dttxtyt
)()(
)()(
Linearitas
42
Sistem linier jika memenuhi sifat:additivitas: x(t) = x1(t) + x2(t) y(t) = y1(t) + y2(t)homogeneitas (atau scaling): x(t) = a x1(t) y(t) = a
y1(t), dengan a konstanta complex.
Dua sifat tersebut dapat dikombinasi menjadi satu sifat: Superposition:
x(t) = a x1(t) + b x2(t) y(t) = a y1(t) + b y2(t)
x[n] = a x1[n] + b x2[n] y[n] = a y1[n] + b y2[n]
Linearitas
43
Contoh: Apakah sistem berikut linier?
)()( 2 txty
][][ nnxny
)cos()()( ttxty
Time-Invariance
44
Sistem time-invariant jika delay (time-shift) pada sinyal input menyebebkan delay yang sama besar (time-shift) pada sinyal ouput.
x(t) = x1(t-t0) y(t) = y1(t-t0)
x[n] = x1[n-n0] y[n] = y1[n-n0]
Periksalah sistem dibawah apakah time-invariant:][][ nnxny
)2()( txty
)(sin)( txty
Superposisi dalam Sistem LTI
45
Dalam sistem LTI:Respons sistem y(t) untuk sinyal input x(t)Sangat mungkin menggambarkan respons sistem
untuk sejumlah sinyal input x1(t) yang dapat diperoleh dengan “scaling” atau “time-shifting” dari sinyal input x(t),
contoh :
x1(t) = a0 x(t-t0) + a1 x(t-t1) + a2 x(t-t2) + …
y1(t) = a0 y(t-t0) + a1 y(t-t1) + a2 y(t-t2) + …
Superposisi in Sistem LTI (cont’d)
46
Latihan: Diberikan respon y(t) pada sistem LTI untuk sinyal input x(t) di bawah, carilah response sistem untuk sinyal input x1(t) dan x2(t).
x(t) y(t)2
1t
1
-1 1t
t
Superposisi in Sistem LTI (cont’d)
47
Latihan: Diberikan respon y(t) pada sistem LTI untuk sinyal input x(t) di bawah, carilah response sistem untuk sinyal input x1(t) dan x2(t).
t
2x1(t)
1 t2
x2(t)
1-1
3
4
1/2-1/2
KONVOLUSI
TEAM DOSEN
48
EE2423SINYAL & SISTEM
Outline (bagian 2)
49
Representasi Sinyal sebagai ImpulsResponse Impulse Penurunan Konvolution JumlahArti KonvolusiMetoda Konvolusi Dua SinyalPenurunan Konvolusi Integral
Representasi Sinyal sebagai Impuls
50
Kita dapat merepresentasikan berbagai sinyal melalui pen-sampling-an dengan unit impulse tergeser:
Disebut sebagai sifting (or shifting) property:
...]2[]2[
]1[]1[][]0[
]1[]1[]2[]2[...
][
nx
nxnx
nxnx
nx
k
knkxnx ][][][
Response Impuls
51
Respons dari sistem ketika sinyal input adalah unit impulse (t) disebut sebagai respons impulse, dan direpresentasikan oleh h(t).Pada SWK : h(t) = H((t))
Pada SWD : h[n] = H[[t]]
Sistem H
(t) h(t)
Sistem H
[n] h[n]
Penurunan Konvolution Jumlah
52
Pada SWD LTI, misal h[n] adalah respons impuls dari sistem H.
signal x[n] sebagai masukan H. tulis x[n] dalam bentuk representasi unit impulses:
Maka sinyal output y[n] menjadi:
k
knkxnx ][][][
k
knkxHnxHny ][][]][[][
Penurunan Konvolution Jumlah (cont’d)
53
Karena additivitas pada sistem LTI :
Karena homogenitas pada sistem LTI :
Karena time-invariance pada sistem LTI:
k
knkxHny ][][][
k
knHkxny ][][][
k
knhkxny ][][][
Arti Konvolusi
54
Persamaan disebut sebagai konvolusi jumlah (convolution sum) atau superposition sum, dan direpresentasikan oleh:
Perlu dicatat bahwa ini bukan perkalian antara x[n] dan h[n].
Secara Visual konvolusi berarti :Cerminkan h[k] Geser h[k] untuk seluruh nilai n yang mungkin,
sampai melewati x[n].
k
knhkxny ][][][
][*][][ nhnxny
Penurunan Konvolusi Integral
55
Pada sistem waktu kontinyu LTI H, misal h(t) adalah respons impulse sistem.
signal x(t) sebagai masukan H.Tulis “staircase approximation” untuk x(t) dalam
bentuk unit impulse:
dimana .
k
ktkxtx )(][)(ˆ
laint
tt
,0
0,1
)(
Penurunan Konvolusi Integral (cont’d)
56
Maka, sinyal output signal y(t) menjadi :
Karena additivitas pada sistem LTI :
Karena homogenitas pada sistem LTI :
k
ktkxHtxHty )(][))(ˆ()(ˆ
k
ktkxHty )(][)(ˆ
k
ktHkxty )(][)(ˆ
Penurunan Konvolusi Integral (cont’d)
57
Karena time-invariance pada sistem LTI :
dimana adalah staircase approximation dari h(t).
k
kthkxty )(ˆ][)(ˆ
)(ˆ th
58
Pada kasus diatas penjumlahan didekati konvolusi integral dibawah:
0
)(*)()(
)()()(
)(ˆ][lim)(ˆlim)(00
thtxty
dthxty
kthkxtytyk
Latihan
59
Sifat-sifat Konvolusi
60
Properties of ConvolutionCausalityStep ResponseExercises
Sifat-sifat Konvolusi
61
Commutative Property:x[n]*y[n]=y[n]*x[n]x(t)*y(t)=y(t)*x(t)
Distributive Property:
x[n]*(y1[n] + y2[n])=x[n]*y1[n] + x[n]*y2[n]
x(t)*(y1(t) + y2(t))=x(t)*y1(t) + x(t)*y2(t)
Associative Property:
x[n]*(y1[n]*y2[n])=(x[n]*y1[n])*y2[n]
x(t)*(y1(t)*y2(t))=(x(t)*y1(t))*y2(t)
Causality
62
Sistem kausal jika output hanya bergantung hanya pada sinyal input saat ini dan sebelumnya.
Sistem LTI Kausal:
Karena kausalitas h[n-k] harus nol untuk k>n.
Shg, n-k<0 untuk sistem LTI kausal.Maka h[n]=0 untuk n<0.
k
knhkxny ][][][
Causality (cont’d)
63
Maka konvolusi jumlah untuk sistem LTI kausalmenjadi:
Sama halnya, konvolusi integral untuk sistem LTI kausal:
Maka jika sistem kausal, respons impulse nol untuk nilai waktu negatif dan gunakan persamaan konvolusi yang lebih sederhana seperti di atas
0
][][][][][k
n
k
knxkhknhkxny
0
)()()()(][ dtxhdthxnyt
Step Response
64
Unit Step Response: Keluaran sistem ketika diberikan masukan sinyal step.
Direpresentasikan oleh oleh s[n] atau s(t).Seluruh karakteristiknya pada sistem LTI
serupa dengan Respons Unit Impulse.
SistemH
(t) h(t)
SistemH
u(t) s(t)
Step Response dan Impulse Response
65
Hubungan Respons Step dan Respons Impulse:
Exercise: buktikan hubungan persamaan di atas.
)(')(
)(
)()(
]1[][][
][][
tsdt
tdsth
dhts
nsnsnh
khns
t
n
k
Pencuplikan (Sampling)
TEAM DOSEN
66
EE2423SINYAL & SISTEM
Outline
67
Teorema PencuplikanPencuplikan Ideal (Rentetan Impulse) Rekonstruksi dengan InterpolasiEfek Under-sampling: Aliasing Latihan
Teorema Pencuplikan (Sampling Theorem)
68
Sampling adalah suatu proses mengubah sinyal kontinu menjadi sinyal diskrit; sedangkan rekonstruksi adalah proses sebaliknya
Sampling Theorem: Suatu sinyal waktu kontinu, x(t) dapat direkonstruksi secara unik dari cuplikannya, xs(t), jika dipenuhi dua kondisi:
1. x(t) harus memiliki pita terbatas dengan frekuensi maximum M
Contoh : Apkh x(t)=e-30tu(t) band-limited, maksudnya, apkh |X()|=0 for ||>M? Why or why not?
Apkh x(t)=sinc(t) band -limited? Why or why not?
Teorema Pencuplikan (Sampling Theorem)
69
1. x(t) harus memiliki pita terbatas dengan frekuensi maximum M
Contoh : Apkh x(t)=e-30tu(t) band-limited,
maksudnya, apkh |X()|=0 for ||>M? Why or why
not? Apkh x(t)=sinc(t) band -limited?
Why or why not?
Sampling Theorem (continued)
70
2. Sampling frequency s dari xs(t) harus lebih besar sama dengan 2M, atau s
2M. Kondisi kedua ini dikenal sbg Kriteria
Nyquist s disebut Frekuensi Nyquist yaitu
sampling frequency (Frekuensi pencuplikan) terkecil yang mungkin agar dapat diperoleh kembali sinyal analog asli dari hasil cuplikannya
Pencuplikan Ideal (Rentetan Impulse)
71
Pencuplikan sinyal waktu kontinu x(t) dpt dilakukan dgn mendapatkan nilai-nilainya pada waktu-waktu periodik x(kT) dimana T is the sampling period.
Idealnya dapat dilakukan dg mengalikan x(t) dengan rentetan impuls yang punya periode T:
Dari sifat sampling:
)()()( tptxtxs
k
kTttp )()(
k
s kTtkTxtx )()()(
Pencuplikan Ideal (Rentetan Impulse)
72
Dari sifat multiplikasi diketahui :
Dan
Misalkan x(t) adalah band-limited dg maximum frequency M dan dg bentuk triangular, sketsa spektrum frekuensi Xs(j) untuk 2 kasus: s>2M dan s<2M adalah sbb :
djPjXjX s ))(()(2
1)(
k
skT
jP )(2
)(
Pencuplikan Ideal (cont)
73
-M M
74
Pencuplikan Ideal (cont’d)
75
Berapakah frekuensi cutoff c terbaik dari LPF untuk merekonstruksi x(t) dari xs(t).
Latihan: Berapakah Frekuensi Nyquist untuk signals:x(t)=2cos(40t)x(t)=sinc(t)
Pencuplikan Ideal (cont’d)
76
Latihan : Anggap x(t) periodik dengan periode TM. Tuliskan kriteria Nyquist s>2M dalam bentuk periode Ts dan TM.
Latihan : Sample x(t)=cos(Mt) as s=2M.
Rekonstruksi dengan Interpolasi
77
Suatu samples (cuplikan) xs(t) dari sebuah sinyal analog x(t) dilewatkan melalui LPF ideal denganfrekuensi cutoff c=s/2.
Bagaimana bentuk korespondensi time-domain untuk operasi ini?
Operasi disebut interpolasi band-limited
LPFh(t)
xs(t) xr(t)
78
Carilah rumus interpolasi utk mendapatkan xr(t).
Similarly, obtain the two easier-to-implement interpolation formulas for xr(t) by usingZero-Order-HoldFirst-Order-Hold (Linear Interpolation)
Aliasing (Under-sampling)
79
Apa yg terjadi bila frekuensi sampling lebih kecil dari Frekuensi Nyquist, s<2M ?
Sinyal asli x(t) tak bisa diperoleh dari xs(t) krn ada “overlap” yang tak diinginkan di Xs().
Akibatnya sinyal hasil rekonstruksi l xr(t) berbeda dengan x(t), dan disebut sebagai aliasing atau under-sampling.
80
Latihan: Utk x(t)=cos(Mt), cupliklah dgn frekuensi:s=3M
s=3M/2s=M
(a) Gambarkan sinyal cuplikanl xs(t) dan its spektrum frekuensinya.
(b) Jika terjadi aliasing , brpkh frekuensi maximum dari aliasing.
DERET FOURIER WAKTU KONTINU (DFWK)
TEAM DOSEN
81
EE2423SINYAL & SISTEM
Deret Fourier Waktu Kontinu (DFWK)
82
1k
kk0 t)(ksinbt)(kcosaax(t)
a0, ak, bk : Fourier coefficients.
k: harmonic number,
T: period, = 2/TFor all t but For all t but discontinuitiesdiscontinuities
T
0
0 s(t)dtT
1a
T
0
k dtt)sin(ks(t)T
2b-
T
0
k dtt)cos(ks(t)T
2a
(signal average over a period, i.e. DC term & zero-frequency component.)
analysis
analysis
synthesis
synthesis
Deret Fourier Waktu Kontinu (DFWK)
83
-k
T
tjk
k ecx(t)synthesis
synthesis
dtTt
t
k
0
0
T
tj
k ex(t)T
1c
DFS defined as:DFS defined as:
analysis
analysis
Deret Fourier Bentuk Eksponensial Kompleks
Bentuk ini lebih memberikanbanyak informasi, karena koefisien Fourier dinyatakan secara eksplisit
r
a
b = arctan(b/ a)
r = a2 + b2
z = r ej
kbjka2
1kbjka
2
1kc
0a0c Link to FS real Link to FS real
coeffs.coeffs.
Spektral Fourier
84
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
0 2 4 6 8 10 t
sq
ua
re s
ign
al,
sw
(t)
π
f 1 3f 1 5f 1 7f 1 f
f 1 3f 1 5f 1 7f 1 f
rk
θk
4/ π
4/ 3π
phas
phas
ee
ampl
itude
ampl
itude
DFWD
85
Diskret square wave.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 k
0 2 4 5 6 7 8 9 10 n
k
ck
ampl
itude
ampl
itude
phas
e
phas
e
-5 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 n 0 L N
s[n] 1
Fourier analysis - tools
86
Input Time Signal Frequency spectrum
1N
0n
N
nkπ2j
k ex[n]N
1c~
Discrete
DiscreteDFSDFSPeriodic (period T)
ContinuousDTFTAperiodic
DiscreteDFTDFT
nfπ2j
n
ex[n]X(f)
0
0.5
1
1.5
2
2.5
0 2 4 6 8 10 12
time, tk
0
0.5
1
1.5
2
2.5
0 1 2 3 4 5 6 7 8
time, tk
1N
0n
N
nkπ2j
k ex[n]N
1c~
**
**
Calculated via FFT**
dtex(t)X(f)tfπj2
dtex(t)T
1c
T
0
tkjk Periodic
(period T)Discrete
ContinuousFTFTAperiodic
FSFSContinuous
0
0.5
1
1.5
2
2.5
0 1 2 3 4 5 6 7 8
time, t
0
0.5
1
1.5
2
2.5
0 2 4 6 8 10 12
time, t
Note: j =-1, = 2/T, s[n]=s(tn), N = No. of samples
FS convergence
87
s(t) piecewise-continuous;
s(t) piecewise-monotonic;
s(t) absolutely integrable , T
0
dts(t)
(a)
(b)
(c)
Dirichlet conditions
In any period:
Example: square wave
T
(a)
(b)
T
s(t)
(c)
if s(t) discontinuous then |ak|<M/k for large k (M>0)
Rate of Rate of convergenceconvergence
Sifat-sifat Deret Fourier
88
Diberikan dua sinyal periodik dengan period T dan fundamental frequency 0=2/T sama:
Linearity:
Time-Shifting:
Time-Reversal (Flip):
Time-Scaling:
k
k
bty
atx
)(
)(
kk BbAatBytAxtz )()()(
00)()( 0tj
keattxtz
katxtz )()(
0,)()( katxtz
Sifat-sifat Deret Fourier (cont’d)
89
Differentiation:
Integration:
Dekomposisi Genap-Ganjil dari Sinyal Real:
Multiplication:
kajkdt
tdxtz 0
)()(
0,1
)()( 00
aajk
dttxtz k
t
)()(
)()(
k
k
amjtxOddtz
aetxEventz
llklkk babatytxtz *)()()(
Tabel FS properties
90
Time FrequencyTime Frequency
Homogeneity a·s(t) a·S(k)
Additivity s(t) + u(t) S(k)+U(k)
Linearity a·s(t) + b·u(t) a·S(k)+b·U(k)
Time reversal s(-t) S(-k)
Multiplication * s(t)·u(t)
Convolution * S(k)·U(k)
Time shifting
Frequency shifting S(k - m)
m
m)U(m)S(k
td)tT
0
u()ts(tT
1
S(k)e Ttk2π
j
s(t)Ttm2π
je
)ts(t
Transform Fourier Waktu Kontinyu
(TFWK)
TEAM DOSEN
91
EE2423SINYAL & SISTEM
Outline
92
Time Domain vs. Frequency DomainHubungan Deret Fourier dan Transform
FourierSifat-sifat Fourier TransformExercises
Time Domain vs. Frequency Domain
93
Analisis Fourier (Deret atau Transform) merupakan jalan untuk menentukan kandungan frequency dari sinyal yang diberikan, yakni memindahkan dari domain waktu ke domain frequency.
Selalu mungkin untuk mengembalikan dari domain frequency ke domain waktu, melalui Penjumlahan Deret Fourier atau Inverse Fourier Transform.
Diberikan sinyal x(t) dalam domain waktu, koefisien Fouriernya (ak) or Fourier Transform-nya (X()) disebut “frequency (or line) spectrum”.
Jika ak atau X() complex, maka frequency spectrum dinyatakan dengan magnitude (|ak| atau |X()|) dan phase (ak atau X())
)()(
)(
XAX
AeX j
Hubungan Deret dan Transform Fourier
94
Perhatikan sinyal periodik x(t):
Kita dapatkan koefisien Fourier x(t) adalah:
0
0
)sin(
,2
10
1
k
k
k
TkT
T
ak
x(t)
t-T1 0 T1 T-T
Hubungan Deret dan Transform Fourier
95
Sketch ak on the k-axis:
Plot membentuk fungsi sinc diskret.Untuk setiap nilai k, sinyal x(t) memiliki
komponen periodik dengan weight ak, menunjukkan frequency content dari sinyal x(t).
ak
k -2 -1 0 1 2
2T1/T
Hubungan Deret dan Transform Fourier (cont’d)
96
Sekarang, sket ak on -axis:
Pada -axis, jarak antara dua aks yang berurutan adalah 0=2/T, frekuensi fundamental.
ak
-20 -0 0 0 20
2T1/T
Hubungan Deret dan Transform Fourier (cont’d)
97
Pada perioda T, frekuensi fundamental 00. Sehingga, jarak antara dua aks yang berurutan menjadi nol, dan sket ak menjadi kontinu, ini disebut Transform Fourier.
Pada sisi lain, saat T, sinyal x(t) menjadi aperiodik dan mempunyai bentuk :
Hal ini berarti Transformasi Fourier dapat merepresentasikan sinya apriodik pada domin frekuensi.
x(t)
t-T1 0 T1
Transform Fourier Waktu Kontinu Transisi dari DFWK ke TFWK
fF=1/TF
-k
T
tjk
k ecx(t)
-k
t)(2je][Xx(t) fk
98
f=fF=1/TF
-k
t)(2j0
0
)(2j
F
ee)x(T
1x(t) f
Tt
t
fkF
d
Transisi dari DFWK ke TFWK dicapai dengan pendekatan “sinyal aperiodik dapat dipandang sebagai sinyal periodik dengan perioda infinity”
Transform Fourier Waktu Kontinu
fd fT
T
fkF
F
-k
t)(2j2/
2/
)(2j ee)x(x(t)
fd fT
T
fk
T
F
FF
-k
t)(2j2/
2/
)(2j ee)x(limx(t)
dfd ff t2j2j ee)x(x(t)
99
Transform Fourier Waktu Kontinu
100
dtttxF ft2je)x())((X(f)
dfffXF ft2j1 e)X())((x(t)
Jadi Persamaan Transformasi Fourier Waktu Kontinyu
synthesis
synthesis
analysis
analysis
Transform Fourier Waktu Kontinu
101
dtttxF tje)x())(()X(
dXF tj1 e)X(2
1))((x(t)
Bentuk lain Persamaan TFWK
synthesis
synthesis
analysis
analysis
Konvergensi TFWK
102
Samahalnya dengan Deret Fourier, kondisi konvergen Diterapkan untuk Fourier Transform:Sinyal harus absolutely integrable
Pada interval waktu terbatas, sinyal haruslah memiliki maxima and minima berhingga
Pada interval waktu terbatas, sinyal haruslah memiliki jumlah diskontinu berhingga.
dttx )(
103
Sifat-sifat TFWK
104
Diberikan dua sinyal dan :
Linearity:Time-Shifting:Time-Flip:Differentiation in Time:Integration in Time:
)()( Xtx )()( Yty
)()()()( bYaXtbytax )()( 0
0 Xettx tj)()( Xtx
)(/)( Xjdttdx
)()0()(1
)(
XXj
dttxt
Sifat-sifat TFWK (cont’d)
105
Frequency-Shifting:Differentiation in Frequency:
Diberikan , carilah Transformasi Fourier untuk dalam X()?
)()( 00 Xtxe tj
djdXttx /)()(
)()( 2 Xetx t
ttt eteety 221 2)(
Pasangan TF
106
Pasangan TF
107
Latihan
108
Dengan menggunakan Sifat-sifat Transformasi Fourier, Hitunglah Transformasi Fourier sinyal di bawah ini:
x(t)
t-A 0 A
-A
A
)()( tutx x(t)
t-3 -2 0 2 3
Transformasi Fourier pada Sinyal Periodik
109
Beberapa sinyal periodik, integral Transformasi Fourier mungkin tidak dapat menyelesaikannya. Namun, ada cara yang mudah untuk menentukan Transformasi Fourier pada sinyal periodik:
Untuk sinyal periodik x(t), Deret Fourier :
dimana .
Maka, Transformasi Fourier x(t) adalah:
merupakan deretan impulse dengan magnituda 2ak, dimana 0 adalah frekuensi fundamental dari x(t).
k
tjkkeatx 0)(
T
tjkk dtetx
Ta 0)(
1
k
k kaX )(2)( 0
Inverse Fourier Transform
110
Kita dapat merekonstruksi sinyal asli x(t) jika diberikan frequency content, yakni Transformasi Fourier.
Sehingga, Jika diketahui Transformasi Fourier X() dari sinyal x(t), sinyal x(t) dapat dihitung melalui persamaan Inverse Fourier :
Exercise: Solve Text Problems 4.4 (b) and 4.22 (c).
deXtx tj)(2
1)(
Respons Frequency
111
Sepertihalnya Respons Impuls h(t) pada sistem LTI, frequency response H() pada sistem LTI merupakan karakteristik perilaku sistem.
Hubungan antara h(t) dan H() secara sederhana:
Hal ini berguna ketika kita mencari output sistem LTI saat diberi input:
Melalui Transformasi Fourier, y(t) dapat dihitung dengan perkalian sederhana:
Y() = H()X()
dethHth tj)()()(
h(t) y(t)x(t)
Konvolution dan Perkalian
112
Konvolusi dalam domain waktu koresponden dengan perkalian dalam domain frekuensi:
Demikain halnya, perkalian dalam domain waktu koresponden dengan konvolusi dalam domain frequensi:
)()()(*)( YXtytx
dYXYXtytx )()(2
1)(*)(
2
1)()(
ANALIS FOURIER SINYAL WAKTU DISKRIT
TEAM DOSEN
113
EE2423SINYAL & SISTEM
Deret Fourier Sinyal Waktu Diskrit
114
Tujuan :Memindahkan sinyal waktu diskrit ke
kawasan frekuensi
Sinyal periodik Spektral Diskrit
Sinyal aperiodik Spektral Kontinu
DFWD
TFWD
DERET FOURIER WAKTU DISKRIT
115
Bentuk TrigonometriSinyal periodik x(n) dengan perioda
x(n) = x(n+N)Sinyal periodik bentuk sinusoida
x(n) = an cos (2πn/N)x(n) = bn sin (2πn/N)
Frekuensi sudut sinyal periodikω ≡ 2πn/N radian
DERET FOURIER WAKTU DISKRITDFWD
Bandingkan dgn DFWK
1
000 )sincos()(k
kk tkbtkaanx
1
000 )sincos()(n
nn tnbtnaatx
116
DERET FOURIER WAKTU DISKRITBentuk
Eksponensial
,...2,1,0)(1
0
0
neanxN
k
njkk
1,...,2,1,0)(1
)(1
0
0
NkenxN
kaN
n
njk
117
DERET FOURIER WAKTU DISKRIT
118
Jika
Jadi N
kj
kN
Nj
N ewmakaew 22
1,...,2,1,0)(1
,...2,1,0)(
1
0
1
0
NkwnxN
a
nwanx
N
n
knNk
N
k
knNk
DERET FOURIER WAKTU DISKRITBentuk DFWD cukup dianalisis 1 periode
dari N=0 s/d N-1 karena sifat ekponensial
dimana k=integer sejumlah N dai 0 s/d N-1
122
0
kj
N
N
kjNjk eee
119
DERET FOURIER WAKTU DISKRIT
120
Untuk N=8 Integer k juga merepresentasikan frekuensi sudut ω0
Jadi ak merepresentasikan spektral SWD
k=0
k=1k=2
k=4
k=6
k=7
ω0
DERET FOURIER WAKTU DISKRIT
121
LatihanGambarkan koefisien fourier diskrit dari SWD dgn perioda 8 sbb:
n
0 1
x(n)
7
DERET FOURIER WAKTU DISKRITRespon Steady State thd bbrp input
sinusoida Cari Lq (operator q)Respon steady state input ekponensial
Jika input sinusoid maka diubah dulu ke bentuk eksponensial
njAenx 0)(
0)()( jeqss nxqD
qNny
122
KONVERGENSI DERET FOURIER
123
Suatu sinyal periodik tidak dapat direpresentasikan sebagai deret Fourier jika :Sinyal tidak dapat diintegralkan secara absolut
pada setiap periodeDalam setiap interval waktu yang terbatas, sinyal
mempunyai variasi yang tidak terbatasDalam setiap interval waktu terbatas , sinyal
mempunyai jumlah diskontiniu yang tak terbatas.Akan tetapi sinyal yang demikian adalah
sinyal yang tidak realistik, sehingga konvergensi bukan merupakan hal yang penting dalam hal ini.
SIFAT-SIFAT DERET FOURIER
Dua sinyal periodik dgn periode N dan fundamental frequency 0=2/N:
Linearitas:
k
k
bny
anx
)(
)(
kk BbAanBynAxtz )()()(
124
SIFAT-SIFAT DERET FOURIER
Pergeseran Waktu:
Time-Reversal (Flip):
125
00)()( 0njk
keannxnz
kanxnz )()(
SIFAT-SIFAT DERET FOURIER
Penskalaan Waktu:
Differensiasi Pertama:
kjk aenxnxnz )1()1()()( 0
126
kanxnz )()(
SIFAT-SIFAT DERET FOURIER
Konvolusi Periodik:
Perkalian:
)(
)()()(Ni
lklbanynxnz
127
)(
)()(Nr
kkbNarnyrx
SIFAT-SIFAT DERET FOURIER
128
Even-Odd Decomposition of Real Signals:
)()(
)()(
k
k
amjnxOddnz
aenxEvennz
LATIHAN SOAL
129
Cari koefisien Fourier untuk deret periodik x[n] pada Fig. 6-7.
LATIHAN SOAL
130
Cari representasi Deret Fourier Waktu Diskrit dari masing-masing deret berikut:
TIME DOMAIN vs. FREQUENCY DOMAIN
131
Analisa Fourier (Deret atau Transformasi) adalah cara mendapatkan content frekuensi dari sinyal, antara lain berpindah dari time-domain ke frequency domain.
Selalu dimungkinkan untuk kembali dari frequency-domain ke time-domain.
KONVERGENSI TRANSFORMASI FOURIER
132
Sama dengan Deret Fourier, maka suatu sinyal aperiodik dapat diTransformasi Fourier jika :Sinyal dapat diintegralkan secara absolut
pada setiap periodeDalam setiap interval waktu yang terbatas,
sinyal mempunyai variasi yang terbatasDalam setiap interval waktu terbatas , sinyal
mempunyai jumlah diskontiniu yang terbatas.
TRANSFORMASI FOURIER WAKTU DISKRIT
133
Digunakan jika sinyal waktu diskrit tidak periodik atau merupakan deretan terbatas
Dengan TFWD dapat ditentukan spektral diskritnya
TFWD diturunkan dari DFWD dimana periodanya menuju tak terhingga
TRANSFORMASI FOURIER WAKTU DISKRIT
134
TFWD
2
02
1
)(
nj
n
nj
eXnx
enxX
SIFAT-SIFAT TRANSFORMASI FOURIER WAKTU DISKRIT
135
- PeriodikLinieritasPergeseran waktu dan frekuensiPenskalaan waktu dan frekuensiDifferensiasi dan penjumlahanTeorema ParsevalKonvolusi Konvolusi Periodik
SIFAT-SIFAT TRANSFORMASI FOURIER WAKTU DISKRIT
PeriodisitasTransformasi Fourier Waktu Diskrit selalu periodik dalam ω dengan periode 2π
136
jj eXeX )( 2
SIFAT-SIFAT TRANSFORMASI FOURIER WAKTU DISKRIT
LinieritasJika
Dan
maka
jeXnx 22
137
jeXnx 11
jj ebXeaXnbxnax 2121
SIFAT-SIFAT TRANSFORMASI FOURIER WAKTU DISKRIT
138
Pergeseran Waktu jika
maka jeXnx
jnj eXennx 00
SIFAT-SIFAT TRANSFORMASI FOURIER WAKTU DISKRIT
139
Pergeseran Frekuensi jika
maka jeXnx
)( 00 jnj eXnxe
SIFAT-SIFAT TRANSFORMASI FOURIER WAKTU DISKRIT
140
Differencing
Time Reversal
jj eXenxnx 11
jeXnx
SIFAT-SIFAT TRANSFORMASI FOURIER WAKTU DISKRITDifferensiasi dalam
frekuensi
Konjugasi
jeXnx **
141
d
edXjnnx
j
SIFAT-SIFAT TRANSFORMASI FOURIER WAKTU DISKRIT
Relasi Parseval
2
22
2
1deXnx j
n
142
SIFAT-SIFAT TRANSFORMASI FOURIER WAKTU DISKRIT
143
Konvolusi
Perkalian
jj eXeXnxnx 2121 2
1
jj eXeXnxnx 2121 *
LATIHAN SOAL
144
Cari Transformasi Fourier dari deretan pulsa rekatangular x [ n ] = u [ n ] - u [ n - N ]
LATIHAN SOAL
145
Cari Transformasi Fourier dari deretan pulsa rekatangular pada gambar dibawah ini
LATIHAN SOAL
146
Suatu sistem kausal LTI
dimana x[n] dan y[n] adalah input dan
output sistem( a ) Cari Respon Frekuensi Sistem( b ) Cari Impuls Respon Sistem
LATIHAN SOAL
147
Suatu sistem kausal LTI
a. Cari Respon Frekuensi sistemb. Cari Respon Impuls Sistemc. Gambarkan Respon Magnituda d. Gambarkan Respon Fasa
TRANSFORMASI FOURIER DISKRIT
148
Sinyal periodik Spektral Diskrit
Sinyal aperiodik Spektral Kontinu
Sinyal aperiodik Spektral Diskrit
DFWD
TFWD
TFD
TRANSFORMASI FOURIER DISKRIT
149
Jadi TFD berguna untuk mentransformasikan sinyal aperiodik ke spektrum diskrit
Jika TFD dianalisa dengan menggunakan DFWD sinyal dibuat seolah-olah periodik
Jika TFD dianalisa dengan menggunakan TFWD Hubungan TFD dengan TFWD
N
kXXkX
N
2)()( 2
TRANSFORMASI LAPLACE
TEAM DOSEN
150
EE2423SINYAL & SISTEM
151
Pada analisis transien, rangkaian selalu dihadapkan dengan bilangan kompleks + j. Sedangkan Transformasi Fourier Waktu Kontinyu (TFWK) hanya bekerja dalam daerah (kondisi steady sate).
Transformasi Laplace, seperti halnya (TFWK) yang mentransformasikan sinyal di kawasan waktu ke kawasan frekuensi (dalam frekuensi kompleks).
Transformasi laplace Bilateral (TLB)
152
TLB diturunkan dari TFWK : ~
X(Ω) = ∫ x(t) e-jΩt dt -~
o ~
X(t) = (1/2π) ∫ X(Ω) ejΩt dΩ -~
153
Definisikan suatu fungsi y(t) = e-t x(t),dengan e-t adalah faktor konvergensi.
Maka TFWK dari y(t) :
Y(Ω) = ∫ e-t x(t) e-jΩt dt = ∫ x(t) e-(+jΩ)t dt - -
= X(+jΩ) Jadi X(+jΩ)= ∫ x(t) e-(+jΩ)t dt -
= X(+jΩ)
154
x(t) = (1/2Π) ∫ X(+jΩ) e-(+jΩ)t dΩ -Definisikan variabel frekuensi kompleks : s = +jΩ
sehingga ds = jdΩ dan dΩ = ds/j.Maka :
X(s) = ∫ x(t) e-st dt
- X(t) =(1/2Πj) ∫ X(s) est ds
- Disebut Pasangan TLB
155
Notasi : X(s) = ₤ [x(t)] x(t) = ₤-1[X(s)] Konvergensi TLB : terintegrasi secara
mutlak . 0
∫ x(t) e-t dt = ∫ x(t) e-t dt + ∫x(t) e-t dt - - 0
Transformasi Laplace 2 sisi ada , bila : X(s) = ∫ x(t) e-st dt terbatas
-
156
Maka X(s) dijamin ada bila :
∫ x(t) e-t dt = ∫ x(t) e-t dt terbatas
- - Sebagai contoh :x(t) = A. et , untuk t 0
= A. et, untuk t 0 , dimana A, , adalah bilangan riil.
Maka : konvergen untuk
157
Contoh soal :Carilah Transformasi Laplace dari x(t) = 3. e-2t u(t) + 4 et u(-t) 0
X(s) = ∫ 4. e-(s-1) t dt + ∫3.e-(s+2) t dt - 0
Konvergen Konvergen Untuk -2 Untuk 1Maka : X(s) = 3/(s+2) – 4/(s-1) konvergen untuk -2 1
TRANSFORMASI LAPLACE SATU SISI [TLSS]
158
Definisi : diberikan suatu sinyal x(t) kausal, maka :
X(s) = ∫ x(t) e-st dt 0
+jΩ x(t) =(1/2Πj) ∫ X(s) est ds
-jΩ Konvergensi TLSS jika :lim e-t x(t) = 0 s→
TRANSFORMASI LAPLACE BEBERAPA SINYAL
159
a). Sinyal impuls δ(t)
₤[δ(t)] = ∫ δ(t) e-st dt 0
Ingat : δ(t) = 1 , t = 0 = 0 , t lainnya
Begitu pula e-st δ(t) = 1 , t = 0 = 0 , t lainnya
Sehingga :
₤[δ(t)] = ∫ δ(t) e-st dt
0
160
b). Sinyal langkah satuan u(t) ₤[u(t)] = ∫ u(t) e-st dt
0
Ingat : u(t) = 1 , t ≥ 0= 0 , t 0
Sehingga :
₤[u(t)] = ∫ u(t) e-st dt = -(1/s) e-st = -(1/s) [e- - e0]
0 0
₤[u(t)] = 1/s
161
c). Sinyal Ramp [t.u(t)]
₤[t.u(t)] = ∫ t. u(t) e-st dt 0
Untuk t ≥ 0 maka t. u(t) = tSehingga :
₤[t.u(t)] = ∫ t e-st dt
0
Ingat : ∫ xn.e-st dx = (n!)/(an+1)
0
Untuk a 0 dan n 0 ₤[t.u(t)] = 1 !/(s1+1) = 1/s2
162
Dengan cara yang sama : ₤[tn.u(t)] = ∫ tn. u(t) e-st dt = ∫ tn. e-st dt
0 0
₤[tn.u(t)] = n !/(sn+1)
₤[tn-1.u(t)/(n-1)!] = 1/sn
163
d) Sinyal EksponensialBila f(t) = u(t) → F(s) = 1/sMaka ₤[e-at.u(t)] = F(s+a)
Jadi : ₤[e-at.u(t)] = 1/(s+a)
Begitu pula untuk sinyal berikut ini :₤[(1- e-at) u(t)] = ₤[u(t)] - ₤[e-at) u(t)
= 1/s - 1/(s+a)
₤[(1- e-at) u(t)] = a/[s(s+a)]
164
Dengan cara yang sama :
₤[(t. e-at) u(t)] = 1/(s+a)2
Dan
₤[(tn-1. e-at) u(t)/(n-1)!] = 1/(s+a)n
165
e). Sinyal sinusoidal dan cosinusoidal₤[sin Ωt u(t)] = ₤[u(t).(ejΩt – e-jΩt)/2j]
= (1/2j) ₤[ejΩt u(t)] – ₤ [e-jΩt u(t)]= (1/2j) [1/(s-jΩ) - 1/(s+jΩ)]
₤[sin Ωt u(t)] = Ω/(s2 + Ω2)Dengan cara yang sama :₤[cos Ωt u(t)] = s/(s2 + Ω2)₤[ e-at sin Ωt u(t)] = Ω/[(s+a)2 + Ω2]₤[ e-at cos Ωt u(t)] = (s+a)/[(s+a)2 + Ω2]
SIFAT-SIFAT TRANSFORMASI LAPLACE
166
Jika ₤[x(t)] = X(s)₤[x1(t)] = X1(s)₤[x2(t)] = X2(s) maka :
a). Linearitas₤[a1 x2(t) + a2 x2(t)] = a1 X1(s) + a2 X2(s)
Contoh :
₤[cos Ωt] = ₤ [0,5 ejΩt + 0,5 e-jΩt] = 0,5 ₤ [ejΩt] + 0,5 ₤ [e-jΩt]= 0,5[1/(s-jΩ)] + 0,5[1/(s+jΩ)]= s/(s2 + Ω2)
₤[sin Ωt] = ₤ [0,5 ejΩt - 0,5 e-jΩt] = 0,5 ₤ [ejΩt] - 0,5 ₤ [e-jΩt]= (0,5/j)[1/(s-jΩ)] + (0,5/j)[1/(s+jΩ)]= Ω /(s2 + Ω2)
167
b). Pergeseran waktu
Jika ₤[x(t) u(t)] = X(s) maka ₤[x(t-τ) u(t-τ)] = e -sτ X(s) , τ
(Buktikan)Sehingga dapat ditabelkan sebagai berikut :
x(t) X(s)δ(t-τ) e-sτ
u(t-τ) e-sτ (1/s)(t-τ) u(t-τ) e-sτ (1/s2)(t-τ)n u(t-τ) e-sτ (n!/sn+1)e-a(t-τ) u(t-τ) e-sτ [1/(s+a)]
168
Pasangan sinyal dalam kawasan waktu dan sinyal dalam kawasan frekuensi pada tabel di atas merupakan pasangan transformasi Laplace.
Sehingga bila diketahui dalam sinyal dalam kawasan frekuensi maka dapat dicari sinyal dalam kawasan waktu, walaupun belum dibahas Invers Transformasi Laplace.
Contoh Soal
169
Tentukan transformasi Laplace dari fungsi sebagai berikut : v(t) volt 90
0 10 30 t(μs)
v(t) = 4,5 (t-10) u(t-10) – 4,5 (t-30) u(t-30) – 90 u(t-30)
V(s) = 4,5 ₤[(t-10) u(t-10)] - ₤[(t-30) u(t-30)] – 20 ₤[u(t-30)]
= 4,5 e-10s ₤(t.u(t)) - e-30s ₤(t.u(t)) – 20 e-30s ₤(u(t))
= 4,5 [(e-10s/s2) – (e-30s/s2) – (20 e-30s/s)]
Latihan
170
Dengan teorema pergeseran frekuensi, carilah Invers Transformasi Laplace dari :
(s+10)/(s2+8s+20)(s+3)/(s2+4s+5)s/(s2+6s+18)10/(s2+10s+34)
171
c). Pergeseran FrekuensiBila y(t) = x(t) e-t maka ₤[y(t)] = Y(s) =
X(s+) dimana X(s) = ₤[x(t)]Begitu pula :
₤[ e-t cos Ωt u(t)] = (s+)/[(s+)2 + Ω2]Juga :
₤[ e-t sin Ωt u(t)] = Ω/[(s+)2 + Ω2]
Contoh soal
172
X(s) = (s+8)/(s2+6s+13), dapat ditulis sebagai :
X(s) = (s+8)/[(s+3)2+4] = (s+3)/ [(s+3)2+22] + 5/ [(s+3)2+22]x(t) = e-3t [cos2t + 2,5 sin 2t] , t 0
173
d). Penskalaan Waktu dan frekuensi
₤[x(at)] = (1/a) X(s/a)
174
e). Diferensiasi Waktu
₤[dx(t)/dt] = ∫ e-st dx(t)/dt. dt 0
b b bAmbil u = e-st dan dv = dx(t) serta ingat ∫u dv = uv - ∫ v.du a a adu = -s e-st dt dan v = x(t) sehingga :
₤[dx(t)/dt] = e-st x(t) + s ∫ x(t) e-st dt 0 0
₤[dx(t)/dt] = s. X(s) – x(0-)
Contoh soal
175
Carilah Transformasi Laplace dari :
8 dx(t)/dt + 3 x(t) = 2t u(t) dengan x(0) = -1
₤[8 dx(t)/dt + 3 x(t)] = ₤[2t u(t)]₤[8 dx(t)/dt] + 3₤[ x(t)] = ₤[2t u(t)]8 [s X(s) – x(0)] + 3 X(s) = 2 (1/s2)8 s X(s) + 8 + 3 X(s) = 2/s2
(8s + 3) X(s) = (2/s2) – 8X(s) = 2/[s2(8s+3)] – 8/(8s+3)
176
f). Integrasi Waktu t Jika ₤[f(t)] = F(s) maka ₤[∫f(t) dt] = F(s)/s 0
t tIngat ₤[∫f(t) dt] = ∫ [ ∫ f(t) dt] e-st dt 0 0 0
tAmbil u = ∫ f(t) dt → du = f(t) dt 0
dv = e-st dt → v = -(1/s) e-st
Contoh Soal
177
Carilah Transformasi Laplace dari :
t 0,5 dv(t)/dt + 0,2 v(t) + 2 ∫ v(t) dt + 10 = 0,5 sin 10t u(t) Ampere. 0Dengan v(0) = 20 volt t0,5₤[ dv(t)/dt] + 0,2 ₤[v(t)] + 2 ₤[∫dt] + 10 ₤[1] = 0,5 ₤[sin 10t u(t)] 00,5[sV(s) – v(0)] + 0,2 V(s) + (2/s) V(s) + 10 (1/s) = 0,5. 10/(s2+100)
0,5 [sV(s) – 20] + 0,2 V(s) + (2/s) V(s) + 10/s = 0,5. 10/(s2+100)
(0,5 s + 0,2 + 2/s) V(s) = 10 – 10/s + 5/(s2+100)
[0,5(s2 +0,4 s +4)/s] V(s) = 10(s3 – s2 +100,5 s -100)/[s(s2+100)]
V(s) = 20 (s3 – s2 +100,5 s -100)/[(s2+100)(s2+0,4s+4)] volt.sec.
178
g). PeriodisitasBila xp(t) adalah sinyal periodik dan x1(t) adalah
sinyal periode pertama dari xp(t) dan ₤[ x1(t)]= X1(s) maka :
₤[xp(t)] = [1/(1-e-Ts)] X1(s) dengan T adalah periode
Hal ini dapat lebih dijelaskan sebagai berikut :Suatu fungsi periodik f(t) = f1(t) + f2(t) + .....
Dengan f1(t) adalah sinyal periode pertama
f2(t) adalah sinyal periode keduadan seterusnya.
179
Sehingga f(t) dapat dituliskan sebagai berikut :
f(t) = f1(t) + f2(t) + f3(t) + ..... = f1(t) + f1(t-T) u(t-T) + f1(t-2T) u(t-2T)
+ ....
F(s) = F1(s) + F1(s) e-Ts + F1(s) e-2Ts + .... = F1(s) [1 + e-Ts + e-2Ts + ....] = [1/(1-e-Ts)] F1(s)
180
h). Teorema Nilai Awal dan Nilai AkhirDigunakan untuk memudahkan mencari solusi suatu kondisi awal ( t =0) dan
kondisi akhir ( t = ) dari suatu fungsi waktu melalui suatu fungsi frekuensi (s).
Teorema Nilai Awal
∫[(dx(t)/dt] e-st dt = s X(s) – x(0) 0 s → : limit ∫[dx(t)/dt] e-st dt = limit [s X(s)] – x(0) 0 s →
= limit [s X(s)] – x(0) s→
x(0) = limit x(t) = limit s X(s) t→ 0 s→
181
Teorema Nilai Akhir
∫[(dx(t)/dt] e-st dt = s X(s) – x(0) 0
limit ∫[(dx(t)/dt] e-st dt = ∫[(dx(t)/dt] = limit [dx(t)/dt] dts→0 0 0 t→
= limit [x(t) – x(0)]
t→
limit x(t) = limit s X(s)
t→ s→0
182
i). Konvolusi Dua SinyalBila x1(t) dan x2(t) mempunyai harga =0 , untuk t 0 Dan y(t) = x1(t) * x2(t) = ∫ x1(τ) * x2(t-τ) dτ = ∫ x1(t-τ) * x2(τ) dτ 0 0
Maka Y(s) = ₤[y(t)] = ∫ [ ∫ x1(τ) x2(t-τ) dτ] e-st dt 0 0
Ambil η = t – τ : Y(s) = ∫ x1(τ) [ ∫ x2(η) e-sη dη] e-sη dτ 0 0
Y(s) = X1(s). X2(s)
183
j). Perkalian dengan t
Jika ₤[f(t)] = F(s) maka ₤[t. f(t)] = -dF(s)/ds
Dan secara umum dapat dituliskan sebagai :
₤[tn. f(t)] = (-1)n dn F(s)/ds
k). Pembagian dengan t Jika ₤[f(t)] = F(s) maka ₤[f(t)/t] = ∫ F(s) ds 0
Latihan
184
Carilah nilai awal dan nilai akhir dari :1). X(s) = (s+10)/(s2+3s+2)2). A(s) = 1/(s+10)3). Y(s) = 1/s4). F(s) = s/(s+10)
TRANSFORMASI RANGKAIAN
185
Transformasi Sumber Ideal
186
Transformasi Laplace fungsi kawasan waktu :V(s) = ₤ [v(t)] dan I(s) = ₤ [i(t)]
Dengan v(t) adalah sumber tegangan ideal dan i(t) adalah sumber arus ideal.
187
Sumber Tegangan Independen
Sumber Arus Independen
188
Sumber Tegangan dikontrol Tegangan
k tak berdimensiSumber Arus dikontrol Arus
k tak berdimensi
189
Sumber Tegangan dikontrol Arus
k dalam ohmSumber Arus dikontrol Tegangan
k dalam mho (atau Siemens)
Transformasi Elemen Pasif linear
190
Untuk masing-masing elemen pasif, rasio tegangan terminal terhadap arus yang mengalir disebut IMPEDANSI Z.
Sedangkan kebalikan impedansi disebut dengan ADMITANSI Y.
Dalam domain s dituliskan :Z(s) = V(s)/I(s) Volt/Ampere atau Ohm (Ω) Y(s) = I(s)/V(s) Ampere/Volt atau Siemens (S)
Transformasi Resistor
191
Karakteristik terminal resistor dalam domain waktu :R = v(t)/i(t)v(t) = R. i(t)i(t) = (1/R). v(t) = G. v(t)
Setelah ditransformasi Laplace :V(s) = R. I(s)I(s) = G. V(s)
Dari persamaan-persamaan di atas didapat :ZR(s) = R (Ω)YR(s) = G (S)
192
Rangkaian di kawasan waktu dan di kawasan frekuensi (model impedansi dan model admitansi) dapat ditunjukkan pada gambar berikut :
a). Rangkaian kawasan waktu b). Model Impedansi c). Model Admitansi
Transformasi Kapasitor
193
t
v(t) = (1/C) ∫ i(t) dt + v(t0)
t0
i(t) = C. d v(t)/dt
Transformasi Laplace :
V(s) = I(s)/(C.s) + v(t0)/s
I(s) = C[s.V(s) – v(t0)] = C.s.V(s) – C. v(t0)
194
Kondisi awal pada persamaan di atas bila dibuat = nol, maka :V(s) = I(s)/(C.s)I(s) = C.s.V(s)
Sehingga dapat dituliskan :Zc(s) = 1/(C.s) (Ω)Yc(s) = C.s (S)
195
a). Rangkaian Kapasitor di kawasan waktu b). Model Seri Kapasitor
c). Model Paralel Kapasitor
Contoh Soal
196
Tentukan model seri dan model paralel dari kapasitor 2,5 mikro farad dengan tegangan awal 5 volt.
197
Solusi :Rangkaian tersebut dalam kawasan waktu adalah sebagai berikut :
Impedansinya sebesar :
198
Impedansi tersebut diseri dengan sumber tegangan v(0)/s = 5/s V.sec
Sehingga dapat digambarkan model seri sebagai berikut :
Admitansi Y(s) = C.s = 2,5 10-6. s (S), diparalel dengan sumber arus C.v(0) = (2,5 x 10-6 F).(5V) =
12,5 mikro Ampere.sec Sehingga dapat digambarkan model paralel sebagai
berikut :
199
Sehingga dapat digambarkan model paralel sebagai berikut :
Transformasi Induktor
200
t i(t) = (1/L) ∫ v(t) dt + i(t0)
to
v(t) = L. d i(t)/dt
Setelah ditransformasi Laplace :
I(s) = V(s)/(L.s) + i(t0)/s
V(s) = L [s.I(s) - i(t0) ] = L.s.I(s) - L. i(t0)
Impedansi : ZL(s) = L.s (Ω)
Admitansi : YL(s) = 1/(L.s) (S)
201
a). Rangkaian Induktor di kawasan waktu b). Model Paralel Induktor
c). Model Seri Induktor
Contoh Soal
202
Tentukan model seri dan model paralel dari induktor 20 mH dengan arus awal 0,3 A.
Solusi :Rangkaian tersebut dalam kawasan waktu adalah
sebagai berikut :
Impedansinya sebesar : Z(s) = L.s = 20.10-3 s (Ω)
203
Admitansinya sebesar : Y(s) = 1/(L.s) = 1/(20.10-3.s) = 50/s(S)
Sumber tegangannya : L.i(0) = (20.10-3)(0,3 A) = 6 mVsec Sumber Arus : i(0)/s = 0,3/s A sec Sehingga model paralel dan model seri dapat digambarkan
sebagai berikut :
Contoh Soal Aplikasi
204
Diberikan rangkaian sebagai berikut :
Buat rangkaian transformasinya!!!! Solusi : Untuk t 0
205
Untuk t 0
206
Latihan :Buat rangkaian transformasi dari rangkaian
berikut ini :
Contoh Soal Aplikasi
207
Hitung dan gambarkan iL(t) dari rangkaian berikut ini :
Solusi : Untuk t 0 iL(o-) = 10/(450+50) = 20 mA
208
Untuk t 0
VT(s) = (5/s) + 400. 10-6 V sec
ZT(s) = 1200 + 0,02 s + 50 = 0,02 [s + 62,5 .103 ] Ω
IL(s) = VT(s)/ ZT(s) = 250/[s(s + 62,5 . 103 )] + 0,02/( s + 62,5 .103 ) A .sec
iL(t) = ₤-1 [250/s(s + 62,5 . 103)] + ₤-1 [0,02/(s + 62,5 . 103)] A
= [250/(62,5 .103)] [1 – exp-62,5 . 103t] u(t) + 0,02. exp-62,5 . 103t u(t)
= [4. 10-3 + 16. 10-3 exp-62,5 . 103] u(t)
209
Latihan :
210
Hitung dan gambarkan vc(t) untuk rangkaian berikut :
Invers Transformasi Laplace Satu Sisi
211
Untuk mengembalikan dari spektrum (kawasan frekuensi) ke kawasan waktu
X(s) → x(t) σ+jΩx(t) ≡ (1/2jΠ) ∫ X(s) est ds σ-jΩ
Dapat diselesaikan melalui definisi di atas atau melihat pasangan TLSS-nya.
Sinyal T.Laplaceδ(t) 1
u(t) 1/s
(tne-at/n !) u(t) 1/[(s+a)n+1]
Cos Ωt u(t) s/[s2+Ω2]
Sin Ωt u(t) Ω /[s2+Ω2] e-at Cos Ωt u(t) (s+a)/[(s+a)2+Ω2]
e-at Sin Ωt u(t) Ω /[(s+a)2+Ω2]
212
Pasangan TLSS-nya (lanjutan).
Sinyal T.Laplaceu(t)-2u(t-T0/2) + 2u(t-T0) - ....
(1/s) (1-e-sT0/2)/( 1+e-
sT0/2) (SinΩt - Ωt Cos Ωt) u(t) 2Ω3 / [s2 + Ω2]2
(Ωt SinΩt) u(t) 2Ω2s / [s2 + Ω2]2
Ωt e-at Sin Ωt u(t) [2Ω2(s+a)] / [(s+a)2 + Ω2]2
e-at (Sin Ωt - Ωt Cos Ωt) u(t)
2Ω3 /[(s+a)2 + Ω2]2
213
a). Solusi dengan penyesuaian koefisien (cara langsung)
214
Contoh :Diberikan fungsi rasional : X(s) = (2s + 1)/(s3 + 3s2 -4s)
Bentuk ekspansi parsiil :
X(s) = (2s+1)/[s(s+4)(s-1)] = A/s + B/(s+4) + C/(s-1)
= [A(s+4)(s-1) + B.s.(s-1) + C .s (s+4)]/[s(s+4)(s-1)]
(2s+1)/ [s(s+4)(s-1)] = [(A+B+C)s2 + (3A-B+4C)s – 4A]/[s(s+4)(s-1)]
Maka : A+B+C = 03A-B+4C = 2-4A = 1→ A = 0,25B+C = 0,25-B+4C = 2,75C= 3/5 = 0,6 dan B = -0,35X(s) = -0,25/s – 0,35/(s+4) + 0,6/(s-1)x(t) = [-0,25 – 0,35 e-4t + 0,6 et] u(t)
b). Ekspansi parsiil untuk akar D(s) simple pole
215
X(s) = N(s)/D(s) = A1/(s-p1) + A2/(s-p2) + ....+ Ak/(s-pk) + ...+ An/(s-pn)(s-pk) X(s) = (s-pk) A1 /(s-p1) + (s-pk) A2 /(s-p2) +...+(s-pk) Ak /(s-pk) +...+ (s-
pk) An/(s-pn)Maka :
Ak = (s-pk) X(s) s=pk
Contoh :Untuk kasus sebelumnya : X(s) = A/s + B/(s+4) + C/(s-1) = (2s+1)/[s(s+4)(s-1)]A = s X(s) = (2s+1)/[(s+4)(s-1)]= -0,25 s=0 s=0B = (s+4) X(s) = (2s+1)/[s(s-1)] = -7/20 = -0,35 s=-4 s=-4C = (s-1) X(s) = (2s+1)/[s(s+4)] = 3/5 = 0,6 s=1 s=1Jadi :X(s) = -0,25/s - 0,35/(s+4) + 0,6/(s-1)x(t) = [-0,25 – 0,35 e-4t + 0,6 et] u(t)
c). Akar D(s) multiple pole-simple
216
X(s) = A1/(s-p1) +...+ Ai,1/(s-pi) + Ai,2/(s-pi)2 + ....+ Ai,r/(s-pi)r + ...+ An/(s-pn)Dimana : Ai,r = (s-pi)r X(s) s=pi
Ai,r-1 = (d/ds)[(s-pi)r X(s)] s=pi
Ai,r-2 = (1/2!)(d2/ds2)[(s-pi)r X(s)] s=pi
. .Ai,r-k = (1/k!)(dk/dsk)[(s-pi)r X(s)]
s=pi
217
Contoh :
X(s) = (2s2-3s)/(s3-4s2+5s-2) = (2s2-3s)/(s-2)(s-1)2 = A/(s-2) + A1,1/(s-1) + A1,2/(s-1)2
Dimana :A1,2 = (s-1)2 X(s) = (2s2-3s)/(s-2)(s-2) = -1/(-1) = 1 s=1 s=1 A1,2 = (d/ds) [(2s2-3s)/(s-2)] = [(s-2)(4s-3) - (2s2-3s)]/(s-2)2 = [(-1)1 – (-1)]/1 = 0 s=1 s=1
A = (s-2) X(s) = (2s2-3s)]/(s-1)2 = (8-6)/1 = 2 s=2 s=2
Jadi X(s) = 2/(s-2) + 1/(s-1)2
x(t) = [2e2t + t et] u(t)
d). Ekspansi Parsiil : D(s) kompleks konjugate simple pole
218
Contoh :X(s) = (s+3)/[s2+4s+13] = (s+2)/[(s+2)2
+ 32] + 1/[(s+2)2 + 32] x(t) = [e-2t cos3t + (1/3) e-2t sin 3t] u(t)
e). D(s) kompleks konjugate multiple pole
219
Contoh :
X(s) =[9s5+94s4+706s3+2628s2+4401s+3750]/[s(s+2)(s2+6s+25)2]
Untuk (s2+6s+25)2 maka akar-akarnya -3+j4 dan -3-j4
X(s)=A/s+B/(s+2)+(C+jD)/(s+3+j4)+(C-jD)/(s+3-j4)+(E+jF)/(s+3+j4)2+(E-jF)/(s+3-j4)2
Dimana :A = s. X(s) = 3 s=0B = (s+2) X(s) = -2 s=-2E+jF = [(s+3+j4)2 X(s)] = 4+j3 s=-3-j4C+jD = (d/ds) [s+3+j4)2 X(s)] = 2+j3 s=-3-j4
220
Jadi : X(s) = 3/s – 2/(s+2) + (2+j3)/(s+3+j4) +
(2-j3)/(s+3-j4)2+(4+j3)/(s+3+j4)+(4-j)/(s+3-j4)2
x(t) = [3-2e-2t+(2+j3)e-(3+j4)t+(2-j3)e(-
3+j4)t+(4+j3)te-(3+j4)t+(4-j3)te(-3+j4)t] u(t) = [3-2e-2t+e-3t(4 cos4t+ 6 sin4t) +te-3t(8
cos4t + 6 sin4t)] u(t)
f). Metode Grafis
221
Untuk mengevaluasi koefisien parsiil dari X(s) dengan cara menggambarkan vektor diagram semua pole-zero sistem.
Diketahui : X(s) = N(s)/D(s) = k[(s-z1)(s-z2)......(s-zm)]/[(s-p1)(s-p2)....(s-pn)]
Nilai dari X(s) di s=s1 :X(s1) = k (perkalian jarak langsung setiap zero ke s1)/
(perkalian jarak langsung setiap pole ke s1)
Evaluasi pole pk dari X(s)Ak = (s-pk) X(s) s=pkAk = k (perkalian jarak langsung setiap zero ke pk)/(perkalian
jarak langsung setiap pole ke pk)
222
Contoh :X(s) = 12(s+1)(s+4)/[s(s+2)(s+1+j2)(s+1-j2)] = A/s + B/(s+2) + (C+jD)/(s+1+j2) + (C-jD)/(s+1-j2)Gambar semua pole dan zero :Kemudian evaluasi koefisien C-jD, berarti mengevaluasi ke
vektor s+1-j2 (letak pole di s = -1+j2). Hitung semua jarak dari setiap pole dan zero yang ada terhadap titik -1+j2. Didapat :
C-jD = 12 (√13 33,7o)( 290o)/[( 490o)( √5153,4o)( √526,6o)] = 4,32-146,3o = -3,6 – j2,4
C+jD = -3,6 + j 2,4Dengan cara yang sama didapat :A = [(12) (1) (4)]/[(2) (√5)(√5)] = 4,6B = [(12) (1180o ) (2)]/[(2180o )(√5) (√5)] = 2,4
223
APLIKASI TLSS
a). Solusi Persamaan Diferensial
224
Sifat diferensiasi : ₤[dx/dt] = s X(s) – x(0)
Bentuk umum : ₤[dnx/dtn] = sn X(s) – sn-1 x(0) – sn-2 dx(0)/dt - ......- dn-1(0)/dtn-1
225
Contoh :
Persamaan Diferensial Orde Dua : d2x(t)/dt2 + 4 dx(t)/dt + 3 x(t) = 2
Dengan x(0) = 2 dan dx(0)/dt = 1Transformasi Laplace-kan kedua sisi dan dimasukkan kondisi awal.s2 X(s) -2s -1 + 4[s X(s) -2] + 3 X(s) = 2/s X(s) [s2 + 4s +3] = 2/s + 2s + 9 X(s) = [2 + (2s + 9) s]/[s (s+3) (s+1)] = A/s + B/(s+3) + C/(s+1) A = s X(s) = 2/3 s=0 B = (s+3) X(s) = -7/6 s=-3 C = (s+1) X(s) = 5/2 s=-1 X(s) = (2/3)/s – (7/6)/(s+3) + (5/2)/(s+1) x(t) = [2/3 – (7/6) e-3t + (5/2) e-t] u(t)
226
Contoh :
Persamaan Diferensial Orde Dua :d2x(t)/dt2 + 4 dx(t)/dt + 3 x(t) = 2
Dengan x(0) = 2 dan dx(0)/dt = 1Transformasi Laplace-kan kedua sisi dan dimasukkan kondisi awal.s2 X(s) -2s -1 + 4[s X(s) -2] + 3 X(s) = 2/s X(s) [s2 + 4s +3] = 2/s + 2s + 9 X(s) = [2 + (2s + 9) s]/[s (s+3) (s+1)] = A/s + B/(s+3) + C/(s+1) A = s X(s) = 2/3 s=0 B = (s+3) X(s) = -7/6 s=-3 C = (s+1) X(s) = 5/2 s=-1 X(s) = (2/3)/s – (7/6)/(s+3) + (5/2)/(s+1) x(t) = [2/3 – (7/6) e-3t + (5/2) e-t] u(t)
227
b). Respons Impuls Sistem
Contoh soal :Cari respons impuls h(t) dari persamaan diferensial sistem berikut
ini :dy(t)/dt + 3y(t) = 2 x(t) + dx(t)/dt dengan y(0) = 0 dan x(0)= 0
Solusi :₤ : sY(s) – y(0) + 3Y(s) = 2X(s) + s X(s) – x(0)
Y(s)[s+3] = X(s) [s+2]
H(s) = Y(s)/X(s) = (s+2)/(s+3) = (s+3-1)/(s+3) = (s+3)/(s+3) – 1/(s+3)
= 1 – 1/(s+3)
h(t) = δ(t) – e-3t u(t)
228
c). Solusi Lengkap Rangkaian RLCTelah dibahas lengkap di atas
229
d). Analisis Sistem Waktu Kontinyu
Diberikan Sistem Waktu Kontinyu Linear Tak Berubah Terhadap Waktu (SWK LTW) ditunjukkan dengan hubungan Input dan Output sebagai berikut :
anyn(t) +an-1yn-1(t) +…+ a0y(t) = b0x(t) + ….+ bmxm(t)
230
Respons steady state : Y(s) = H(s). X(s) y(t) = ₤-1
[H(s).X(s)]Stabilitas Sistem SWK : H(s) = N(s)/D(s)SWK stabil jika dan hanya jika :
a). Stabil dalam arti BIBOb). Respons impuls secara mutlak terintegrasic). Limit h(t) = 0
t→d). Akar riil D(s) < 0e). Letak pole di sebelah kiri sumbu imajiner
231
Arigato Gozaimasu
TRANSFORMASI Z
TEAM DOSEN
232
EE2423SINYAL & SISTEM
Pendahuluan
233
Transformasi Z merupakan suatu teknik untuk menggambarkan dan memanipulasi deretan (seperti Transformasi Laplace pada Sinyal waktu Kontinyu).
Definisi Transformasi Z
234
Jika diberikan sinyal x(n) untuk SWD, maka transformasi Fourier Waktu Diskrit (TFWD) dari x(n) dinyatakan oleh :
~
F [ x(n) ] = x (e-jωn) = Σ x(n) e-jωn -~
Transformasi Z dari sinyal atau deret waktu diskrit x(n) didefinisikan sebagai :
~
TZ [ x(n) ] = X (z) = Σ x(n) z-n -~
Contoh
235
Diberikan sinyal waktu diskrit x(n), yang mempunyai jumlah elemen yang terbatas seperti yang ditunjukkan oleh gambar berikut ini :
0-1
-2
-3 1 2
3 4
2
3
4
2
-5
x(n )
-4
-2
236
Secara matematis gambar diatas dapat dinyatakan sebagai :
x(-3) = 2, x(-2) = -5, x(-1) = 3, x(0) = 0, x(1) = 4, x(2) = 2, x(3) = -4, x(4) = -2
maka transformasi z dari x(n) akan diperoleh :
X(z) = 2z3-5z2+3z1+4z-1+2z-2-4z-3-2z-4
Hubungan TZ dengan TFWD
237
Untuk melihat hubungan antara transformasi z (TZ) dengan tranformasi Fourier Waktu Diskrit(TFWD), maka dapat kita lakukan dengan pengekspresian variabel komplek z dalam bentuk polar, sebagai :
z = r ejω ~
X (r ejω) = Σ[x (n) (r ejω)]-n
-~
238
yang dapat juga dituliskan sebagai : ~
X (r ejω) = Σ[x (n) r-n] e-jω
-~
Sedangkan TFWD dirumuskan sebagai : ~
X (ω) = Σ [ x (n) ] e-jω -~
239
Hubungan antara dua transformasi ini menunjukkan bahwa TFWD merupakan TZ yang dievaluasi pada lingkaran satuan dalam bidang z.
Definisi dapat diperluas : ~
h(n) → H (z) = Σ h(n) z-n
- ~
Untuk z = e-jωn→ H (e-jω).
240
Jadi bila mempunyai respons impuls sistem h(n), dapat dicari H(z), kemudian z diganti dengan ejω didapat H (ejω) (Respons Frekuensi).
Dengan kata lain untuk menghitung respons frekuensi dapat dilakukan melalui Transformasi Z.
Hubungan TZ dengan Transformasi Laplace
241
Transformasi Z digunakan untuk sinyal waktu diskrit, hubungannya dengan transformasi Laplace yaitu dengan mensubstitusikan z = exp (sT)
Mengingat definisi Transformasi Laplace bilateral untuk sinyal kontinyu x(t) didefinisikan sebagai :
~
₤[x(t)] = ∫x(t) e-st dt -~
242
Pemetaan antara bidang s dan bidang z
Bidang s Mapping dengan Bidang z z=exp(sT)
Imaj (s) Imaj(z)
2/T
/T0-/T
-2/TRiil (s) Riil (z)
Lingkaran satuan
Transformasi Z Satu Sisi (TZSS)
243
Transformasi Z ,seperti halnya Transformasi laplace yang memiliki transformasi satu sisi dan dua sisi.
Daerah konvergensi dari TZ bilateral dalam bidang z diberikan dengan maksud bahwa TZ balik (Inverse Z-Transform) dapat diperoleh.
244
TZSS dari deretan x(n) didefinisikan sebagai : ~
X(z) = Σ x (n) z-n
-~
Untuk mempermudah notasi, TZSS dari deret x(n) dinotasikan sebagai :
Z[x(n)] = X(z)
Pasangan TZSS
245
a. Deret KonstanJika diberikan deret konstan seperti berikut :
x(n) = A , n = 0, 1, 2, ...,~TZ dari deret ini akan diberikan oleh : ~
X(z) = Σ x(n)z-n = A( 1 + z-1+ z-2+ …) -~
= A/(1-z-1) = AZ/(z-1)
246
Dalam kasus khusus, dimana | r | < 1, maka penjumlahan dari deret akan konvergen untuk n = . Sehingga dalam kasus ini dapat diperoleh :
~
Σ rn = 1/(1-r),konvergen untuk | r | < 1 -~
TZ dari deret konstan akan konvergen (mempunyai nilai terbatas) jika | z| < 1, atau | z | > 1
247
Deret konstan dan TZ
-2
-1
0 1 2 3 4n
A
1
Im ag (z)
R e(z)
248
Satu hal lain yang menarik untuk diamati bahwa TZ dari deret konstan mempunyai pole pada z = 1, dimana TL dari fungsi unit step mempunyai pole pada s = 0
~
Jadi X(z) = Σ Az-n =A/(1-z-1) -~
konvergen untuk |z-1|<1 atau |z-1|> 1
249
b. Deret EksponensialDiberikan deret x(n) = A. rn
Sebuah deretan yang dibangkitkan dengan pencuplikan fungsi eksponensial dari bentuk :
x(t) = A.eαt , dimana : r = eαT
TZ dari deret ini : ~ ~
X (z) = ΣAn rz-n = ΣA (r z-1)n n=0 n=0
= A/(1-rz-1) =,AZ/(z-r) , |z| > |r|
250
untuk r > 1 ROC|rz-1|<1,maka |z|>|r| , ini berarti bahwa ROC berada diluar lingkaran dengan jari-jari r dalam bidang z
251
C. Sinyal ImpulsSinyal impuls satuan waktu diskrit
dirumuskan sebagai : x(n) = 1 , untuk n = 0
= 0, untuk n lainnya
TZ dari deret ini : ~
X (z) = Σ x(n) z-n = 1
n=0
252
d. Deret SinusoidalTZ dari deretan x(n) = A cos βn dan x(n) = A sin βn
dapat diperoleh dari penurunan yang
ditunjukkan dibawah ini :Z[A cos βn] =Z[(Aejβn)/2 +(Ae-jβn)/2]
X(z) = Az[z-cosβ]/[z2-2z cosβ +1]|z| > 1
253
Deret Cosinus dan pole zero TZ-nya
n
Im [z]
R e [z]
lingk a ransa tuan
254
Dengan cara yang sama :Z[A sin βn] =Z[(Aejβn)/2 -(Ae-jβn)/2] X(z) = Az sinβ]/[z2-2z cosβ +1]
|z| > 1
n
Im [z]
R e [z]
lingk a ransa tuan
255
Sifat-sifat TZSS
256
a. LinieritasJika X1(z)=Z[x1(n)] ROC R1 -<|z|< R1+; X2(z)=Z[x2(n)] ROC R2-<|z|< R2+; dan
X(z) = Z [x(n)], maka :Z[α x1(n)+βx2(n)] = αX1(z) + β X2(z)
ROC dari hasilTZ ini diberikan oleh irisan ROC dari X1(z) dan X2(z)
257
b. PenggeseranJika : X(z) = Z [x(n)], maka : Z[x(n+1)] = zX(z) – zx(0)
Hal ini sangat penting untuk menyelesaikan persamaan perbedaan dan ini mirip dengan sifat pada TL untuk penurunan dari fungsi waktu kontinyu.
Secara Umum : Z[x(n-k)] = z-k X(z)
258
c.Perkalian dengan n
Jika : X(z) = Z [x(n)], maka :
Z[nx(n)] = -z dX(z)/dz Bentuk umum :
Z[nmx(n)] = (-z)m dm X(z)/dzm
259
d.Perkalian dengan rn Jika : X(z) = Z [x(n)], maka :
Z[rnx(n)] = X(z/r)
e. KonvolusiJika X1(z) =Z [x1(n)]ROC R1- <|z| < R1+;
X2(z) =Z [x2(n)]ROC R2- <|z| < R2+; ~
Maka :X1(z). X2(z) = Z[Σ x1(k)] x2(n-k)] k=0
260
f.Teorema Nilai AwalJika : X(z) = Z [x(n)], maka :
x(0) = lim X(z) z~
Penerapan utama dari sifat ini adalah untuk menentukan nilai awal x(0) secara langsung dari X(z), tanpa melakuakn evaluasi inverse TZ.
261
g.Teorema Nilai Akhir
Jika : Z [x(n)] = X(z) dan semua pole X(z) terletak didalam lingkaran satuan, dengan pengecualian yang mungkin dari pole yang sederhana pada z = 1, maka nilai X(n) pada n~ diberikan oleh :
lim x(n) =lim [((z-1)/z).X(z)] nx z1
Invers TZSS
262
a. Metoda penyesuaian koefisien dengan pembagian terus menerus
~
Jika X (z) = Σan z-n
n=0
Maka :x (n) = an untuk n=0,1,2,…
263
b. Ekspansi Pecahan Parsial Gagasan dibalik metode ini adalah mirip
dengan yang digunakan untuk mendapatkan invers TL.
X(z) diekspresikan sebagai fungsi rasional dari z, sehingga merupakan perbandingan dari dua polynomial di dalam z, invers transformasi Z didapat menggunakan pendekatan partial fraction expansions
Pasangan TZ
x(n) X(z) Keterangan
δ(n) 1
A.u(n) Az/(z-1) Pole pada z = 1
A.rn Az/(z-r) Pole pada z =r
A.n.u(n) Az/(z-1)2 2 pole pada z =1
A cos βn Az[z- cos β]/[z2-2z cosβ +1]
264
Pasangan TZ
x(n) X(z) Keterangan
A sin βn Az sin βn/[z2-2z cosβ +1]
A.n.rn Arz/(z-1)2
A n2 Az(z+1)/(z-1)3
zrn(C cosnθ-D sinnθ) (C+jD)z/(z-rejθ) +
(C-jD)z/(z-re-jθ)
A cos βn Az[z- cos βn]/[z2-2z cosβ +1] n ≥ 0
265
Latihan
266
Carilah Inverse TZ dari sinyal berikut ini :x(n) = 5z4-29z3+56z2-34z/[(z-1)(z-2)3]
267
c. Integral Invers kompleksDiberikan transformasi dari suatu deret x(n)
adalah : ~
X (z) = Σx(n)z-n ; ROC R n=-~
Kalikan X(z) dengan zk/(2.j.z). dz dan mengintegrasikan disekitar kurva tertutup C yang terletak seluruhnya diantara daerah konvergensi R menghasilkan :
268
(1/2jπ)∫cX (z)zkdz/z x
= (1/2jπ)∫c Σ x(n)z-n + k-1 dz n=-x
x= (1/2jπ) Σ x(n) ∫c z-n + k-1 dz
n=-x
269
Setiap kurva integral dapat kemudian dievaluasi dengan mempergunakan Teorema integral Cauchy yang menyatakan bahwa jika C melingkupi titik 0 dalam arah yang berlawanan dengan arah jarum jam, sehingga :
(1/2jπ) ∫c z k-1 dz = 1, untuk k = 0
= 0, untuk k lainnya Atau :(1/2jπ) ∫c z n dz = 1, untuk n = -1
= 0, untuk n lainnya
270
Dari prsamaan sebelumnya dapat disusun kembali menjadi :
(1/2jπ) ∫c X(z)(z n/z) dz = x(n)
Aplikasi TZSS
271
a. Solusi persamaan perbedaanDengan menggunakan sifat : Z [ x (n+1) ] = z X (z) – z x (0) pergeseran
waktu Jika steady state (tanpa kondisi awal)
z [ x (n) ] = x ( n-1)z [ x (n) ] = x (n+1)z [ x (n) ] = x (n-2)
Latihan :y(n) - 1,5 y(n-1) + 0,5 y(n-2) = 0,25n , n≥ 0
dimana y(-1) = 4 dan y(-2) = 10
272
b.Mencari respon impulsJika diberikan sistem seperti pada
gambar berikut :
x (n) h(n) y(n) Bila masukan x(n) = (n), maka keluaran
y (n) = h (n)
X (z) H(z) Y (z)
273
c. Analisis SWDSWD – LTW kausalany(n) + an-1 y(n-1) + … + an-py(n-p) =
anx(n) + bn-1 x (n-1) + … + bn-m x (n-m)
Fungsi transfer H(z) = Y(z)/X(z) Y(z)[an+z-1an-1+…+z-pan-p]
= X(z) [bn+z-1bn-1+…+z-mbn-m]
H(z) = [bnzp+bn-1zp-1+…+bn-mzp-m]/[anzp+an-1zp-1+…+an-p]
274
Respon steady stateY (z) = H (z) . X (z) y (n) = ITZ [H (z) . X (z)]Respon impuls h (n) H (z)StabilitasSWD stabil jika dan hanya jikastabil dalam arti BIBOpole dari fungsi transfer berada dalam lingkaran
satuan lim|h(n)| = 0 untuk sembarang p > 1
n~Besar / Magnitudo semua akar polinomial < 1
275
d. Respons Sistem Terhadap Masukan Sinusoidal
x (n)=A cos(ω0n+θ) h(n) y(n)
Dalam kawasan Z : X (z) . H (z) = Y (z)
Misalkan masukan eksponensial x (n) = A ejωon
maka respons steady state sistem didapat dengan mengevaluasi Y(z) di pole Z = ejωo
Jadi H (z) = H (ejωo) = | H (ejωo) | / H (ejωo)
Sehingga :
YssH (ejωo) A ejωon
276
Sistem linier maka Yss(n) adalah penjumlahan masing-masing respons input sistem.
Yss(n) = H (ejωo) ej(ωon+θ) + H (e) e-j(ωon+θ)
Yss(n) = A|H (ejωo)|cos[ωon+θ+arg H(ejωo)]
Transformasi Z Bilateral [TZB]
277
Definisi TZB untuk x (n) = 0, nЄ[-~,~] ~
X (z) =Σ x(n) z-n
n=-~ ~ -1
= Σ x(n) z-n + Σ x(n) z-n n=0 n=-~
Invers TZB
278
Invers TZB dapat dilakukan dengan teori Laurent dan teori residu (sulit dievaluasi) dan metoda ekspansi parsial (lebih mudah) dengan menggunakan tabel referensi pasangan TZB.