hamilton

Maestra en Ingeniera FsicaFacultad de Ciencias Fsico Matematicas - UMSNHrax - 2012

Ecuaciones de Hamilton

Ismael Cortes Maldonado

31 de octubre de 2014

v.1.0 (b.1410311158)

Que aprenderemos?

1 Descripcion de la dinamica Hamiltoniana

2 Parentesis de Poisson

Descripcion de la dinamica Hamiltoniana

Introduccion

Comenzaremos el estudio de uno de los metodos mas poderosos de la fsicateorica conocido como: Formalismo Hamiltoniano, sin embargo, dicho metodono es superior a las tecnicas Lagrangianas para resolver de forma directaproblemas de mecanica clasica.

Desde el punto de vista Hamiltoniano su importancia radica en que propor-ciona un marco para extensiones teoricas en muchos campos de la fsica talescomo: Sistemas Dinamicos, Mecanica Estadstica y Teora de Campos.

Figura : Sir William Rowan Hamilton (1805-1865)

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Habamos visto que:

La formulacion de la Mecanica a partir del Lagrangiano L(qi, qi, t), i = 1, ..., s,describe el movimiento de un sistema en terminos de sus coordenadas yvelocidades generalizadas, lo cual se denomina espacio de configuracion.

Ahora,

Una descripcion alternativa del movimiento de un sistema es posible en termi-nos de sus coordenadas generalizadas y de sus momentos conjugados pi, locual se llama espacio de fase (pi, qi) del sistema.

El espacio de fase es empleado para representar la evolucion de sistemas endiversas areas de la fsica, tales como Mecanica Cuantica y Sistemas dinami-cos.

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Como transformar la descripcion del movimiento desde el espacio de confi-guraciones al espacio de fase?, i,e: (qi, qi, t) (pi, qi, t).Consideremos un sistema cuyo Lagrangiano esta dado por: L(qi, qi, t). Escri-bimos el diferencial del Lagrangiano como:

dL =i

L

qidqi +

L

qiqi +

L

tdt (1)

Por lo que los momentos conjugados asociados a las coordenadas generaliza-das {qi} son:

pi =L

qi= pi(qi, qi, t), i = 1, ..., s (2)

El paso de un conjunto de variables independientes a otro puede efectuarsepor medio de lo que se llama en matematicas: Transformaciones de Legendre.

Por lo que las ecuaciones de Lagrange se pueden escribir como:

d

dt

( Lqi

)=L

qi(3)

pi = Lqi

(4)

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Sustituyendo en la Ec. 1

dL =i

pidqi +i

pidqi +L

tdt (5)

lo cual puede expresarse como:

dL =i

pidqi +(

i

d(piqi)i

qidpi)

+L

tdt (6)

es decir,

d(

i

piqi L)

=i

qidpi i

pidqi Ltdt (7)

El lado izquierdo de la Ec. 7 corresponde al diferencial total de una funcion devarias variables, mientras que el lado derecho que contiene los diferencialesdpi, dqi y dt, indica que los argumentos de esta funcion son (pi, qi, t). Siexpresamos las velocidades generalizadas qi = qi(pi, qi, t), podemos llamar aesta funcion como:

H(pi, qi, t) i

piqi L =i

piqi(pi, qi, t) L(qi, qi(pi, qi, t), t) (8)

La funcion H(pi, qi, t) se llama el Hamiltoniano del sistema y es generadopor las transformaciones de Legendre.

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Luego, tomando la diferencial se tiene:

dH =i

qidpi i

pidqi Ltdt (9)

por lo que el diferecial total del Hamiltoniano es

dH =i

H

qidqi +

Hpi

dpi +H

tdt (10)

Si comparamos estas dos ultimas ecuaciones tenemos que:

qi =H

pi(11)

pi = Hqi

(12)

H

t= L

t(13)

Las ecuaciones 11 y 12 se conocen como ecuaciones canonicas de Hamiltony constituyen un conjunto de 2s ecuaciones de movimiento de primer orden.

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Las ecuaciones 11 y 12 son ecuaciones diferenciales de primer orden con res-pecto al tiempo para qi y pi, i = 1, 2, ..., s. Las soluciones qi(t) y pi(t) delas ecuaciones de Hamilton requieren 2s constantes de integracion relaciona-das con las s condiciones iniciales qi(0) para las coordenadas y las pi(0) scondiciones iniciales para los momentos.

La dinamica del sistema en un tiempo t se pueden representar como unpunto (qi(t), pi(t)) en el espacio de fase euclidiano 2sdimensional (qi, pi),donde cada coordenada corresponde a un eje cartesiano de ese espacio. Lassoluciones de las ecuaciones de Hamilton corresponden a una trayectoria(qi(t), pi(t)) en el espacio de fase 2sdimensional (qi, pi) que pasan por elpunto (qi(0), pi(0)).

q_i

p_i

(q_i(0),p_i(0))

(q_i(t),p_i(t))

Figura : Trayectoria en el espacio fase

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Note que el Hamiltoniano H es equivalente a la funcion de energa expresadaen variables del espacio fase

E(qi, qi) =i

L

qiqi L(qi, qi, t) (14)

=i

piqi L = H(qi, pi, t) en coordenadas (qi, pi)(15)

Por otro lado,

dH

dt(qi, pi, t) =

H

t+i

H

qiqi +

i

H

pipi (16)

=H

t+i

H

qi

H

pii

H

pi

H

qi(17)

=H

t(18)

Esto es, si el Hamiltoniano no depende explcitamente del tiempo, entoncesH(qi, pi) es una constante.

. Un sistema caracterizado por un Lagrangiano siempre tiene un Hamilto-niano asociado.

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En la formulacion Lagrangiana, el movimiento de un sistema con s gradosde libertad se describe en terminos de s ecuaciones diferenciales ordina-rias de segundo orden en el tiempo para las coordenadas generalizadas qi,(i = 1, 2, ..., s); mientras que en la fomulacion Hamiltoniana, la dinamica delsistema se expresa medinate 2s ecuaciones diferenciables de primer orden conrespecto al tiempo: s ecuaciones para las coordenadas qi y s ecuaciones paralos momentos conjugados pi.

Para construir el Hamiltoniano a traves de la formulacion Lagrangiana sesiguen los siguientes pasos:

I Dado un sistema de coordenadas generalizadas, qi se construye lafuncion Lagrangiana L(qi, qi, t).

I Los momentos conjugados estan definidos como funciones de qi, qi y tpor medio de la ecuaciones pi =

Lqi

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I Usamos la ecuacion H(pi, qi, t) =

i pi, qi L para construir elHamiltoniano. En este paso encontraremos una funcion mixta de qi, qiy t.

I Se invierten las ecuaciones pi = Lqi para obtener las qi en funcion de(q, p, t).

I Aplicando los resultados del paso anterior para eliminar de H las q detal forma que se pueda expresar solo en funcion de (q, p, t).

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Parentesis de Poisson


Consideremos una funcion f(qi, pi, t) definida en el espacio fase (qi, pi),i = 1, ..., s de un sistema. La derivada total con respecto al tiempo de estafuncion es:

df

dt=i

( fqi

qi +f

pipi)

+f

t(19)

Las ecuaciones de Hamilton para este sistema son:

qi =H

pi(20)

pi = Hqi

(21)

Sustituyendo estas ecuaciones en la Ec 19, tenemos:

df

dt=i

( fqi

H

pi fpi

H

qi

)+f

t(22)

Se define el parentesis de Poisson de H con f como la operacion

[f,H] i

( fqi

H

pi fpi

H

qi

)(23)

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Luego podemos escribirdf

dt= [f,H] +

f

t(24)

Si f es una cantidad conservada en el espacio fase, o una primera integral delmovimiento, entonces se tiene que df

dt= 0 y f satisface

[f,H] +f

t= 0 (25)

Si adicionalmente, la integral de movimiento no depende explcitamente deltiempo, tenemos que [f,H] = 0.

En general, dadas dos funciones f(qi, pi, t) y g(qi, pi, t) en el espacio fase, sepuede definir el parentesis de Poisson de f y g como la operacion

[f, g] i

( fqi

g

pi fpi

g

qi

)(26)

El parentesis de Poisson puede ser considerado como una operacion entredos funciones definidas en un espacio algebraico que asigna otra funcion enese espacio.

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El parentesis de Poisson es un operador que posee las siguientes propiedades:

1. [f, g] = [g, f ], [f, f ] = 0 (antisimetra.)2. [f, c] = 0, si c = cte.3. [af1 + bf2, g] = a[f1, g] + b[f2, g], a, b = ctes. (operador lineal)4. [f1f2, g] = f1[f2, g] + f2[f1, g] (no asociativo)5. [f, [g, h]] + [g, [h, f ]] + [h, [f, g]] = 0 (suma de permutaciones cclicas

es cero). Esta identidad es conocida como la identidad de Jacobi

Adicionalmente, puesto que los pi y los qi representan coordenadas indepen-dientes en el espacio de fase, tenemos que para toda f

[qi, f ] =k

( qiqk

f

pk qipk

f

qk

)(27)

=k

ikf

pk=

f

pi(28)

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[pi, f ] =k

( piqk

f

pk pipk

f

qk

)(29)

= k

ikf

qk= f

qi(30)

Notemos que si f = pi, o f = qj se tiene:

[qi, qj ] = 0, [pi, pj ] = 0, [qi, pj ] = ij (31)

Ahora, utilizando los parentesis de Poisson se tiene:

qi =H

pi= [qi, H] (32)

pi = Hqi

= [pi, H]. (33)

En Mecanica Cuantica, la operacion [A,B] = AB BA se denomina elconmutador de los operadores A y B. En partcular, [qi, pj ] = i~ij .

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Teorema de Poisson

Si f y g son ambas constantes de movimiento, entonces [f, g] = cte.

Demostracion

Si f y g son constantes de movimiento, entonces satisfacen

df

dt= 0,

dg

dt= 0. (34)

ahora calculemosd

dt[f, g] =

t[f, g] + [[f, g], H]. (35)

donde la derivada parcial es:

t[f, g] =

[ft, g]

+[f,g

t

]. (36)

Luego, usando la identidad de Jacobi

[[f, g], H] = [[g,H], f ] [[H, f ], g]. (37)Sustituyendo estas dos ultimas expresiones en la Ec. 35 se tiene

d

dt[f, g] =

[ft, g]

+[f,g

t

] [[g,H], f ] [[H, f ], g] (38)

=[ft, g]

+[f,g

t

]+ [f, [g,H]] + [[f,H], g] (39)

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Teorema de Poisson

=[ft

+ [f,H], g]

+[f,g

t+ [g,H]

](40)

=[dfdt, g]

+[f,dg

dt

](41)

= 0 (42)

[f, g] = cte (43)El Teorema de Poisson puede ser util para encontrar una nueva constantede movimiento en un sistema, si se conocen dos de ellas.

La condicion de integrabilidad de un sistema puede expresarse en ellenguaje de los parentesis de Poisson, de la siguiente manera:

Un sistema con s grados de libertad es integrable si existen s funcionesindependientes Ii(q1, ..., qs, p1, ...ps), con i = 1, ..., s cuyos parentesis dePoisson mutuos son cero,

[Ii, Ij ] = 0, para i, j = 1, ...s (44)

Luego, Ii(q1, ..., qs, p1, ..., pj) = Ci, donde cada Ci es una constante, debidoa la propiedad 2 de los parentesis de Poisson. En sistemas conservativos, elHamiltoniano H(qi, pi) sera una de las constantes de movimiento.

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Pueden consultar la siguiente bibliografa:

I Classical Mechanics (3rd Edition) Herbert Goldstein, Charles P. PooleJr., John L. Safko. Cap. 8 y Cap 9.5

I Landau, Lifshitz, Vol. 1 Mechanics. Cap. 8

I Classical Dynamics of Particles and Systems, S. Thornton, J. Marion.Cap. 7.10.

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Descripcin de la dinmica HamiltonianaParntesis de Poisson

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