hamilton jacobi

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Capitolo 3

Il metodo di Hamilton-Jacobi3.1 Richiami di meccanica hamiltoniana

In questo capitolo ci addentriamo nello studio dei sistemi hamiltoniani ad n gradi di libert` descritti dalle coordinate {q1 , ...qn } e dai momenti canonicamente a coniugati {p1 , ...pn }. Levoluzione ` retta dalle equazioni di Hamilton eH pn = qn H qn = pn

(3.1)

dove H = H(p1 , ..., pn , q1 , ....qn , t) ` lhamiltoniana che ` legata alla lagrangiana e e ` da una trasformazione di Legendre. E spesso utile scrivere le equazioni di Hamilton in una forma pi` compatta introducendo un vettore x a 2n componenti, u x = (p1 , ...pn , q1 , ...qn ) e la matrice quadrata J 2n2n che ammette la struttura a blocchi 0 I J := I 0 in cui 0 ed I sono la matrice nulla e lidentit` n n, rispettivamente. In termini a di J possiamo riscrivere le equazioni di moto come x=J { p1 , ..., pn , q1 , ..., qn } xH

,

(3.2)

dove x = ` il gradiente rispetto ai momenti ed alle e coordinate (p1 , ...pn , q1 , ...qn ). Lasimmetria presente nelle equazioni di Hamilton tra coordinate e momenti pu` essere risolta introducendo le parentesi di o Poisson di cui richiamiamo la denizione Denizione 3.1 Date due funzioni f (p1 , ...pn , q1 , ..., qn , t) e g(p1 , ...pn , q1 , ..., qn , t), la loro parentesi di Poisson [f, g] ` denita da e [f, g] := f g g f = qi pi qi pi 25xf

J

xg .

(3.3)

26

CAPITOLO 3. IL METODO DI HAMILTON-JACOBI

Grazie alle parentesi di Poisson, possiamo porre le equazioni di Hamilton nella forma pi = [pi , H] (3.4) qi = [qi , H] . Ricordiamo che la derivata temporale di una funzione f (p1 , ...pn , q1 , ..., qn , t) calcolata sulle traiettorie di (3.4) si esprime come f df = + [f, H] . dt t In particolare, f ` un integrale primo di (3.4) se verica e f + [f, H] = 0 t o, limitando lattenzione a funzioni che non dipendono esplicitamente dal tempo, [f, H] = 0 . Una delle tecniche pi` potenti messa a punto per lintegrazione delle equau zioni di Hamilton ` il metodo di Hamilton-Jacobi che richiamiamo brevemente, e facendo riferimento al corso di Meccanica Analitica per la deduzione completa. Il metodo consiste nella ricerca di una trasformazione canonica che, oltre a conservare la struttura hamiltoniana delle equazioni, trasformi le (3.1) in altre equazioni corrispondenti ad una hamiltoniana identicamente nulla. In questo modo, se i e i rappresentano, rispettivamente, i nuovi momenti e le nuove coordinate, le equazioni di moto diventano i = 0 i = 0 . (3.6) (3.5)

Osserviamo che quando questo programma si pu` portare a termine le 2no quantit` conservate sono automaticamente indipendenti tra di loro. Inoltre, a trattandosi di coordinate e momenti canonicamente coniugati ottenuti dalle qi e dalle pi con una trasformazione canonica, valgono le identit` a [i , j ] = 0 [i , j ] = 0 [i , j ] = ij :

In particolare, possiamo isolare due gruppi di n integrali primi che hanno parentesi di Poisson nulle. Denizione 3.2 Due integrali primi di (3.1) funzionalmente indipendenti f e g sono detti in involuzione se [f, g] = 0 . (3.7) Come vedremo in seguito, la conoscenza di un numero sucientemente elevato di integrali primi in involuzione permette di integrare completamente le equazioni (3.1).

3.1. RICHIAMI DI MECCANICA HAMILTONIANA

27

Ora, la trasformazione canonica che consente di scrivere le equazioni nella forma (3.6) ` lincognita del problema ed appare conveniente individuarla e tramite una sola funzione, detta funzione generatrice, che dipende da alcune variabili vecchie e da alcune variabili nuove. Precisamente, consideriamo una trasformazione p = p(P, Q, t) q = q(P, Q, t) (3.8) insieme alla sua inversa P = P (p, q, t) e supponiamo che det qi Qj =0 : (3.9) Q = Q(p, q, t)

una trasformazione che goda di questa propriet` ` detta libera. Grazie a questa ae condizione, possiamo risolvere la (3.8)2 in termini delle Q ottenendo Q = Q(P, q, t) e p = p(P, q, t) := p(P, Q(P, q, t), t) .

Questa trasformazione ` canonica a patto che esista una funzione S(P, q, t) tale e che S pj = qj (3.10) S Qj = Pj : la nuova hamiltoniana K ` poi data da e K(P, q, t) := H( S S , q, t) + . q t

Se deriviamo lequazione (3.10)2 rispetto a qi otteniamo 2S Qj = qi qi Pj e poich il membro di sinistra ` lo jacobiano della trasformazione inversa della e e qi Qj , la condizione (3.9) si riformula in termini della funzione generatrice S nella forma 2S =0 (3.11) det qi Pj Per portare a termine il passaggio da una hamiltoniana ad unaltra hamiltoniana nulla grazie a trasformazioni canoniche ` utile considerare una funzione e generatrice del tipo appena introdotto S(q1 , ...qn , 1 , ...n , t), dove le i sono costanti indipendenti che giocano il ruolo di momenti coniugati. Per quanto appena visto la funzione S soddisfa lequazione dierenziale a derivate parziali del primo ordine H S S S , ..., , q1 , ...qn , t + =0 q1 qn t (3.12)

28

CAPITOLO 3. IL METODO DI HAMILTON-JACOBI

detta equazione di Hamilton-Jacobi. Dalla discussione precedente segue che S pi = qi (3.13) S i = i

da cui si vede come, determinata la funzione S, trovare le nuove coordinate i richiede una quadratura. Dunque, il problema dellintegrazione del sistema (3.1) si ` spostato allintegrazione di una equazione che per` ` alle derivate parziali. e oe La condizione (3.10) si riformula con un leggero cambio di notazioni come det 2S qi j = 0. (3.14)

Osserviamo ancora che, poich S gura nellequazione (3.12) solo tramite le sue e derivate parziali, se S risolve (3.12), anche S + 0 , dove 0 ` una costante are bitraria, risolve (3.12). Si chiama integrale completo dellequazione (3.12) una sua soluzione che dipende da n costanti arbitrarie 1 , ..., n indipendenti e tale da soddisfare la (3.14). La teoria delle trasformazioni canoniche permette di risalire allintegrale generale delle equazioni di Hamilton (3.1) a partire dalla conoscenza di un integrale completo dellequazione (3.12). Nel seguito esporremo i lineamenti della tecnica pi` elementare di risoluzione dellequazione di u Hamilton-Jacobi, quella di separazione delle variabili. Iniziamo a supporre che la Hamiltoniana H non dipenda esplicitamente dal tempo. Appare naturale scrivere la funzione S nella forma S(q1 , ...qn , 1 , ...n , t) = W (q1 , ...qn , 1 , ...n ) Et , dove E ` una costante e riscrivere lequazione di Hamilton-Jacobi (3.12) nella e forma W W (3.15) , ..., , q1 , ...qn = E H q1 qn che mostra il signicato sico della costante E: rappresenta il valore costante della Hamiltoniana. Osserviamo che, quando la riduzione (3.15) ` possibile, la e condizione (3.14) diventa det 2W qi j = 0. (3.16)

Osservazione. Per come abbiamo impostato il problema, W appare come parte della funzione S che genera una particolare trasformazione canonica. La funzione W detta funzione caratteristica di Hamilton ` a sua volta funzione e generatrice di unaltra trasformazione canonica con propriet` notevoli. Dato un a sistema conservativo (H/t = 0) ci chiediamo quali siano le propriet` che dea ve avere una funzione W (, q) che generi una trasformazione canonica in cui la nuova hamiltoniana sia funzione E(1 , ..., n ) solo dei nuovi momenti i mentre

3.1. RICHIAMI DI MECCANICA HAMILTONIANA

29

le nuove coordinate i sono tutte cicliche. Nel nuovo sistema di coordinate le equazioni di Hamilton assumono la forma E i = i = 0 (3.17) E i = i

Inoltre la nuova Hamiltoniana E ` nientaltro che la vecchia hamiltoniana nelle e nuove coordinate, perch H/t = 0. Dunque e E(, q) = E() = H W ,q q

che mostrano come i nuovi momenti siano costanti mentre le coordinate i sono funzioni ani del tempo per cui il problema ` portato alle quadrature. La e funzione generatrice W deve soddisfare la condizione (3.16) e le W pi = qi (3.18) i = W . i

per cui la funzione generatrice ` un integrale completo di (3.15). Possiamo e concludere che la funzione caratteristica di Hamilton genera una trasformazione canonica in cui tutte le nuove coordinate sono cicliche. Ritorniamo alla discussione dellequazione (3.15). Sono possibili due formulazioni. In quella di Poincar lenergia viene assunta come dipendente dalle n e costanti arbitrarie 1 , ..., n per cui E = E(1 , ...., n ) . Se allora poniamo j := allora lequazione (3.13)2 diventa Qj = W = j t + j : j E j

le nuove coordinate sono funzioni ani del tempo. In questo approccio le n costanti arbitrarie i sono trattate in modo equivalente. Nella formulazione di Jacobi questa equivalenza ` perduta perch si assume e e 1 := E. Come conseguenza, le equazioni di moto nelle nuove variabili hanno la forma E =1 1 = 1 e E i = =0 i=1 i

30 pertanto

CAPITOLO 3. IL METODO DI HAMILTON-JACOBI

1 (t) = t t0 mentre tutte le i rimanenti sono costanti. Inoltre, se invertiamo le equazioni i = W i i = 2, ..., n

rispetto alle vecchie coordinate qi vediamo che queste ultime sono parametrizzate da quantit` costanti mentre il tempo non gura che nellequazione a t t0 = 1 = W 1

per questo, il metodo di Jacobi ` indicato quando si voglia ottenere la traiettoe ria del sistema piuttosto che la legge oraria. Nella formulazione di Jacobi, sotto ipotesi poco restrittive, si pu` eettuare il controllo della condizione (3.16) su o una matrice ridotta di dimensione (n 1) (n 1). Lipotesi da fare ` che esista e almeno un momento, ad esempio p1 , che guri esplicitamente nella Hamiltoniana. Osserviamo che se nessuno dei momenti gura in H allora dalle (3.1) segue qi = 0 per cui le coordinate sarebbero costanti ed i rispettivi momenti veriche rebbero pi = costante per cui il moto ` gi` noto senza bisogno di applicare la e a tecnica di Hamilton-Jacobi. Sotto lipotesi H =0 p1 e, ferma restando la scelta 1 E, detta H la matrice (n 1) (n 1) con elementi 2W (H )ij := i, j = 2, ..., n , qi j possiamo riscrivere la condizione (3.16) come H 2 W H det 2W qi j = 1H p1 2W p1 q1 2 H 2 W p1 q1 E

Poich il determinante non cambia aggiungendo ad una riga multipli di altre e righe, aggiungiamo alla prima riga la seconda moltiplicata per H/p2 , la terza moltiplicata per H/p3 e via dicendo no allultima riga moltiplicata per H/pn . Lelemento 11 della matrice cos` modicata ` e H ph H 2 W = ph qh E ph E dove lindice sommato h assume i valori da1 ad n. Lelemento 1j (j = 2, ..., n) della matrice modicata ` e H ph H 2 W = . ph qh j ph j

det

p1 q1 E 2W q2 E

... Hij

...

2W qn E

.

3.2. METODO DI SEPARAZIONE DELLE VARIABILI Se ora deriviamo lidentit` a H( rispetto ad j otteniamo H 2 W = 1j ph qh j W , ...W qn , q1 , ..., qn ) = E, q1

31

per cui tutti i termini della prima riga modicata si annullano a parte il primo che ` uguale ad 1. Pertanto, anzich vericare (3.16) possiamo ridurci a e e vericare che 2W =0 h, j = 2, ..., n . (3.19) det qh j

3.2

Metodo di separazione delle variabili

Traendo lo spunto dal metodo seguito nei sistemi conservativi per passare dalla funzione principale di Hamilton S nella (3.12) alla funzione caratteristica nella W , il metodo di separazione delle variabili ricerca le condizioni sulla struttura della Hamiltoniana che consentano di proseguire nelleliminazione successiva delle variabili, riducendo ad ogni passo la complessit` dellequazione da risolvere. a Nella sua espressione pi` semplice, il metodo consiste nella ricerca di soluzioni u di (3.15) nella forma additiva W = W1 (q1 ) + W2 (q2 ) + .... + Wn (qn ) dove li-esimo termine dipende solo dalla coordinata qi ed abbiamo omesso per ` brevit` la dipendenza dagli argomenti costanti i . E chiaro che, senza ipotesi a sulla struttura di H, il metodo non porta ad alcun risultato. Nel seguito mostriamo un caso signicativo in cui il metodo funziona per poi enunciare il teorema di Stckel che fornisce condizioni necessarie e sucienti per lapplicabilit` del a a metodo di separazione delle variabili, sotto opportune ipotesi sulla natura di H. Inne, alla luce del teorema di Stckel, studieremo il problema dellattraa zione di un punto materiale da parte di due centri di forza ssi, integrandolo e determinando le principali propriet` qualitative del moto. a

3.2.1

Orbite in potenziali a simmetria sferica

Consideriamo un punto materiale P di massa m libero di muoversi nello spazio tridimensionale sotto lazione di forze conservative di energia potenziale per unit` di massa V = V (r) dove r ` la distanza di P da un punto sso O. Dette a e (x, y, z) ed (r, , ) le coordinate cartesiane e polari sferiche di P , lenergia cinetica per unit` di massa si scrive nella forma a T = 1 2 (x + y 2 + z 2 ) 2

32

CAPITOLO 3. IL METODO DI HAMILTON-JACOBI

e la funzione V sar` una funzione V = V ( x2 + y 2 + z 2 ). Appare conveniente a eettuare una trasformazione da coordinate cartesiane a coordinate polari che, essendo una trasformazione di punto, ` canonica e dunque mantiene la struttura e hamiltoniana delle equazioni di moto. La posizione di P rispetto ad O ` data e dal vettore P O = r(t)er (t) dove er ` il versore lungo la direzione di P O. Derivando rispetto al tempo si e ha v = rer + rer Per determinare er ricordiamo lespressione di er nella base canonica {ex , ey , ez } er = sin (cos ex + sin ey ) + cos ez da cui si ottiene er = [cos (cos ex + sin ey ) sin ez ] + sin ( sin ex + cos ey ) . Poich er ` un versore, esso risulta ortogonale a er e dunque e e v 2 = v v = r2 + r2 er er = r2 + r2 (2 + 2 sin2 ) da cui deduciamo la lagrangiana L= 1 2 [r + r2 (2 + 2 sin2 ) V (r)] 2

e, facendo intervenire i momenti canonicamente coniugati, pr = la Hamiltoniana H= 1 2 p2 + r 1 2 1 p + p2 r2 r2 sin2 + V (r) . L =r r p = L = r2 p = L = r2 sin2 ,

La corrispondente equazione di Hamilton-Jacobi ridotta (3.15), tenuto conto che H non dipende esplicitamente dal tempo, si scrive nella forma W r2

+

1 r2

W

2

+

1 2 sin2 r

W

2

+ 2[V (r) E] = 0

(3.20)

e consideriamo come soluzione di tentativo W (r, , ) = Wr (r) + W () + W () . La (3.20) diventa r2 sin2 dWr dr2

+ sin2

dW d

2

+ 2r2 sin2 [V (r) E] =

dW d

2

:

3.3. IL TEOREMA DI STACKEL

33

ora, il membro di destra di questa equazione dipende solo da mentre quello di sinistra ` indipendente da : lunica possibilit` ` che ambo i membri abbiano e ae 2 valore costante . In questo modo abbiamo dW = = p d che ` integrabile e permette di riconoscere il momento p come costante del e moto. Inoltre r2 dWr dr2

+ 2r2 [V (r) E] =

2

sin2

dW d

2

e ripetendo lo stesso ragionamento di prima, concludiamo che ambo i membri 2 debbono avere valore costante cosicch e dW d e2

+2

2

sin2

= p2 +

p2 sin2

2 =

(3.21)

2 dWr + [V (r) E] + 2 = 0 dr r per cui il problema ` stato portato alle quadrature. e Il signicato sico di p si manifesta calcolando il momento della quantit` a di moto per unit` di massa L del punto P rispetto al polo O: a

L = rer v = r2 er er in particolare Lz = L ez = r2 ez er er = r2 sin2 = p = . Inoltre |L| = r2 2 + sin2 2 = p2 + p2 sin2

che, per confronto con (3.21) mostra che = |L|. Al di fuori del caso degenere in cui |L| = 0 possiamo concludere che il moto si svolge nel piano ortogonale ad L, come ` noto dalla teoria elementare dei moti centrali. Inne, il piano di e L moto forma con lequatore = /2 un angolo i = |L| ez = arccos( / ). La retta intersezione tra il piano di moto e lequatore ` la linea dei nodi. I tre e integrali primi H, Lz ed |L| sono in involuzione tra loro. Dunque, per portare a quadrature il sistema di 2n equazioni dierenziali del primo ordine (3.1) ` stato e suciente determinare n integrali primi in involuzione, anzich 2n. Si tratta e di una propriet` generale che mostreremo in seguito trattando il teorema di a Liouville.

3.3

Il teorema di Stckel a

Il teorema di Stckel, pubblicato attorno al 1890, fornisce per una classe partia colare di Hamiltoniane una condizione necessaria e suciente per lapplicabilit` a del metodo di separazione delle variabili.

34

CAPITOLO 3. IL METODO DI HAMILTON-JACOBI

Teorema 3.1 (Stckel) Sia dato un sistema hamiltoniano conservativo (H/t = a 0) descritto dalle coordinate {p1 , ...pn , q1 , ....qn } e si supponga che: lenergia cinetica disia esprimibile nella forma T = 1 2n

h=1

qh 2 h

dove le funzioni regolari h > 0 dipendono solo dalle coordinate {q1 , ....qn }; lenergia potenziale sia esprimibile comen

V =h=1

h Vh (qh )

dove le h sono le stesse funzioni che gurano in T , mentre ciascuna funzione Vh dipende solo dalla coordinata qh ; esista un momento p1 tale che H/p1 = 0. Condizione necessaria e suciente anch lequazione di Hamilton-Jacobi (3.12) e ammetta un integrale completo ottenibile per separazione di variabili ` che esie stano n2 funzioni regolari jh (qh ), j, h = 1, ..., n tali che 1. j = 1, ..., n ssato, le funzioni jh dipendono solo da qh ; 2. det(D) := det(jh ) = 0; 3. vale la relazionen

jh h = 1j .h=1

(3.22)

Osservazione La condizione (3.22) signica che le funzioni h formano gli elementi della prima colonna della matrice inversa di D, certamente denita per lipotesi 2. Dim. Poich la Hamiltoniana ` indipendente dal tempo possiamo partire dale e la forma ridotta delle equazioni di Hamilton-Jacobi (3.15) che in questo caso diventa n 2 1 W + Vh = E , (3.23) h 2 qhh=1

dove E ` il valore costante della Hamiltoniana ed abbiamo osservato che, e L qh W = ph = = qh qh h Poniamo W =h=1 n

h = 1, ..., n.

Wh (qh )

3.3. IL TEOREMA DI STACKEL

35

dove ciascuna delle funzioni Wh dipende da una sola coordinata qh oltre, beninteso, da n costanti indipendenti i . Prese allora n 1 costanti arbitrarie j , scelte le funzioni Wh come soluzioni non nulle delle equazioni dierenziali 1 (W )2 = 2 h lequazione (3.23) si riduce an n n

(j jh ) + E1h Vh (qh ) ,j=2

(3.24)

h [h=1 j=2

(j jh ) + E1h ] = E

che ` identicamente soddisfatta perch in virt` della (3.22) e e un n n

jj=2 h=1

h jh =j=2

j 1j = 0 .

Resta da mostrare che la funzione W cos` costruita ` un integrale completo e di (3.15). Poich abbiamo seguito lapproccio di Jacobi scegliendo 1 = E e e abbiamo ipotizzato che H/p1 = 0, la verica che W ` completo si riduce a e vericare det 2W qh j = det Wh j = 0, h, j = 2, ..., n

lavorando su una matrice (n 1) (n 1). Osserviamo allora che derivando lequazione (3.24) rispetto ad j (j = 2, ..., n) si ha Wh Wh j = jh h, j = 2, ..., n

e poich, a patto di restringere il loro dominio di denizione le funzioni Wh si e possono assumere non nulle, si pu` scrivere la condizione (3.19) come o 1 1 1 ... W 2n W2 22 W3 23 n 1 1 1 ... W 3n 32 Wh W3 33 n det j = det W2 = .... .... .... .... 1 1 1 n2 W n3 ... W nn W2 3 n

=

1 W2 W3 ....Wn

dove D si ottiene da D sopprimendone la prima riga e la prima colonna di. Poich D ` invertibile e sappiamo per lipotesi 3 che 1 ` lelemento B11 dellinversa e e e B di D, possiamo concludere che 1 = 1 det D det D

22 32 det .... n2

23 33 .... n3

... 2n ... 3n = .... .... ... nn

1 W2 W3 ....Wn

det(D )

36 e pertanto

CAPITOLO 3. IL METODO DI HAMILTON-JACOBI

det

Wh j

=

1 det(D) =0 W2 W3 ....Wn

che conclude la dimostrazione della sucienza delle condizioni 1-3). Per dimostrare che le condizioni (1 3) sono necessarie per la separabilit` delle equazioni a di Hamilton-Jacobi in un sistema con Hamiltoniana dalla struttura indicata sopra, supponiamo chen

W (q1 , ..., qn , 1 , ..., n ) =h=1

Wh (qh , 1 , ..., n )

sia un integrale completo dellequazione di Hamilton-Jacobi ridotta (3.15) per cui n 1 h [Wh (qh )]2 + V = E = 1 . 2h=1

Se deriviamo rispetto ad j otteniamon

Whh=1

2W h = 1j qh j

e le n2 funzioni jh :=

2 W W Wh = Wh , qh j qh j

senza sottintendere alcuna sommatoria su h, vericano certamente le ipotesi 1 e 3 del teorema di Stckel. Daltra parte, poich W ` un integrale completo di a e e (3.15) e supponiamo di restringerci a domini in cui Wh = 0 si ha anche det(jh ) = det 2W qh jn

h=1

Wh = 0 :

dunque vale anche la propriet` 2 e questo chiude la dimostrazione del teorema. a Esempio Il moto di un punto in un campo centrale esaminato nella sezione 3.2.1 rientra nella classe coperta dal teorema di Stckel in quanto a 1 = 1, 2 = 1 , r2 3 = 1 r2 sin2 V1 (r) = V (r) V2 () = 0 V3 () = 0 .

Occorre allora determinare la matrice D i cui elementi jh debbono soddisfare il sistema lineare3

jh h = 1j :h=1

quando j = 1 abbiamo 11 (r)1 + 12 ()2 + 13 ()3 = 1

3.4. ATTRAZIONE DA DUE CENTRI FISSI

37

che ` soddisfatta prendendo 11 = 1 e 12 = 0, 13 = 0. Quando j = 2 abbiamo e lequazione 21 (r)1 + 22 ()2 + 23 ()3 = 0 che ` risolta da 21 = 0, 22 () = e dobbiamo risolvere1 sin2

e 23 () = 1. Inne, posto j = 1

31 (r)1 + 32 ()2 + 33 ()3 = 0 in modo che la matrice D sia invertibile: ` suciente scegliere 31 = e 1 e 33 = 0.1 r2 ,

32 =

3.4

Attrazione da due centri ssi

Intendiamo applicare il teorema di Stckel allo studio del moto di un punto a materiale P di massa m soggetto allazione di due centri ssi di attrazione newtoniana. Supporremo il moto del punto P vincolato a svolgersi in un piano (x, y) contenente i centri di forza collocati nel punti di coordinate (c, 0) dove c ` una costante positiva. Se m1 ed m2 > m1 sono le masse dei corpi collocati in e (c, 0) e (c, 0), rispettivamente, allora lenergia potenziale per unit` di massa ` a e data da m1 m2 + V (x, y) = G r1 (x, y) r2 (x, y) dove r1 (x, y) = (x c)2 + y 2 r2 (x, y) = (x + c)2 + y 2 sono le distanze di P (x, y) dai centri di attrazione. ` E conveniente riformulare il problema in termini delle coordinate ellittiche (, ) con [0, 2) e [0, +) tali che x = c cos cosh y = c sin sinh (3.25)

Le curve coordinate a > 0 costante si ottengono quadrando le (3.25), dividendo la prima per (c cosh )2 e la seconda per (c sinh )2 e sommando i risultati. Si ricava x2 y2 + =1 (c cosh )2 (c sinh )2 che rappresenta una ellisse con semiassi a := c cosh > b := c sinh e fuochi nei punti di coordinate (c, 0). Nel caso limite = 0, lellisse degenera nel segmento che congiunge i fuochi. Similmente, le curve a = {0, , , 3 } si ottengono 2 2 quadrando le (3.25), dividendo la prima per (c cos )2 , la seconda per (c sin )2 e sottraendo cos` da ottenere x2 y2 =1 2 (c cos ) (c sin )2

38

CAPITOLO 3. IL METODO DI HAMILTON-JACOBI

che rappresenta una famiglia di iperboli con parametri a := c| cos |, b := c| sin | e fuochi nei punti di coordinate (c, 0). Osserviamo che il luogo = 0 ` la semiretta dellasse x [c, +), mentre il luogo = ` la semiretta dellasse e e x (, c] Similmente = /2 ` il semiasse y 0 mentre = 3/2 ` il e e semiasse y 0. Inoltre, su una assegnata iperbole, assume quattro valori diversi: 0 (0, /2) nel quadrante x > 0, y > 0; 0 nel quadrante dove x < 0 ed y > 0, = + 0 nel quadrante dove x < 0 ed y < 0 e = 2 0 nel quadrante dove x > 0 ed y < 0. Per trovare lenergia cinetica per unit` a di massa del punto P deriviamo (3.25) rispetto al tempo ed eliminiamo sin e sinh a vantaggio di cos e cosh servendoci delle relazioni sin2 = 1 cos2 e sinh2 = cosh2 1. In questo modo otteniamo x2 + y 2 = c2 (cosh2 cos2 )( 2 + 2 ) . Servendoci ancora di (3.25) possiamo ottenere r1 = c(cosh cos ) r2 = c(cosh + cos ) (3.26)

e dunque, siccome i momenti canonicamente coniugati a ed sono p = c2 (cosh2 cos2 ) se introduciamo le costanti ms := G(m1 + m2 ) md := G(m2 m1 ) ms > md > 0, p = c2 (cosh2 cos2 ) ,

possiamo riscrivere la hamiltoniana per unit` di massa in coordinate ellittiche a H= 1 1 1 p2 + p2 (ms cosh md cos ) , 2 2 c2 (cosh2 cos2 ) c(cosh cos2 )

che ha la struttura compatibile con il teorema di Stckel scegliendo 1 = 2 = a 1/[c2 (cosh2 cos2 )], V1 () = cms cosh , V2 () = cmd cos .

Inserendo in (3.22) i valori di 1 e 2 possiamo vericare che 11 () = c2 cosh2 21 () = 1 che, inseriti in (3.24) forniscono1 2 2 (W ) 1 2 2 (W )

12 () = c2 cos2

22 () = 1

= Ec2 cosh2 + ms c cosh 2 > 0 = Ec2 cos2 md c cos + 2 > 0

(3.27)

dove 2 ` una costante di integrazione. Eseguite le quadrature in (3.27), abbiae mo una soluzione completa dellequazione di Hamilton-Jacobi nella forma W (, , E, 2 ) = W (, E, 2 ) + W (, E, 2 ),

3.4. ATTRAZIONE DA DUE CENTRI FISSI

39

dove E 1 ` il valore costante dellenergia. Anzich eettuare lintegrazione e e esplicita in termini di funzioni di Jacobi, sulla scorta di [1] procediamo allo studio qualitativo delle orbite in funzione dei parametri del problema. Iniziamo ad introdurre le funzioni L() := Ec2 cosh2 + ms c cosh 2 > 0 M () := Ec2 cos2 + md c cos I2 < 0 . ` E utile introdurre le variabili ausiliarie := c cosh c := c cos [c, c] . (3.29) (3.28)

Osserviamo che il luogo dei punti a costante ` ancora una ellisse completa con e fuochi in (c, 0) che degenera nel segmento tra i punti (c, 0) e (c, 0) quando = 0 ed il luogo dei punti in cui ` costante ` il ramo di una delle iperboli e e descritte in precedenza: precisamente il ramo a sinistra dellorigine se ( , ), 2 quello a destra dellorigine se (0, ). In termini di queste variabili possiamo 2 riscrivere le (3.28) nella forma L() M () := E2 + ms 2 := E2 + md 2 . (3.30)

Indicati con 1 e 2 gli zeri di (3.30)1 e con 1 ed 2 gli zeri di (3.30)2 , mostriamo che 1 e 2 non possono essere complessi. Infatti, se lo fossero, dovrebbe valere la disuguaglianza m2 < 4E2 s e dunque, visto che md < ms , varrebbe a fortiori la condizione m2 < 4E2 d per cui anche le radici 1 e 2 sarebbero complesse. In questo caso per` L ed o M avrebbero lo stesso segno di E e dunque non sarebbe possibile soddisfare entrambe le condizioni L > 0 ed M < 0. Nel seguito limitiamo lattenzione alle orbite con energia totale E < 0 che corrispondono a moti che si svolgono in regioni limitate dello spazio. Per soddisfare le condizioni L > 0 ed M < 0 occorre che [1 , 2 ] e che, se 1 e 2 sono reali, < 1 o > 2 , assumendo tacitamente che 1 2 e 1 2 . Inne, dovremo confronrate i valori di queste radici con gli intervalli (3.29) dove il problema ha senso. Poich la somma ed il prodotto delle radici di L() = 0 sono e 1 + 2 = ms >0 E 1 2 = 2 E

possiamo riscrivere lequazione M () = 0 nella forma 2 md (1 + 2 ) + 1 2 = 0 . ms2

Questa equazione ammette due radici coincidenti quando (1 + 2 )2 = 41 2 ms md

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CAPITOLO 3. IL METODO DI HAMILTON-JACOBI

che, introdotta la variabile ausiliaria tale che ms = cosh , md si fattorizza in (1 2 e2 )(1 2 e2 ) = 0 : il luogo del piano {1 , 2 } in cui M () ha due radici coincidenti ` costituito e dalle rette 1 2 e2 = 0 1 2 e2 = 0 : (3.31) in particolare, la retta 1 2 e2 = 0 (3.32) giace nella regione ammissibile 1 2 . Unaltra curva utile per la classicazione delle orbite ` il luogo dei punti in e cui 1 = c oppure 2 = c e che, vericando lequazione c2 md (1 + 2 )c + 1 2 = 0 , ms

` uniperbole che ammette la fattorizzazione e 1 c md ms 2 c md ms = c2 tanh2 .

Si verica con calcolo diretto che le rette (3.31) sono tangenti a questiperbole. In particolare, la retta (3.32) tocca liperbole nel punto T (ce , ce ). Poich e in T 1 + 2 = 2c cosh e vale in generale la relazione 1 + 2 = 1 + 2 , cosh (3.33)

concludiamo che per i punti sulliperbole sopra T , dove 1 + 2 > 2c cosh , vale anche 1 + 2 > 2c e dunque deve essere 1 = c. Al contrario, per i punti delliperbole al di sotto di T ` 2 = c. Dalla (3.33) ricaviamo che se ci e muoviamo su rette del tipo 1 + 2 = costante nel piano (1 , 2 ) (Fig. 3.1) allora anche 1 + 2 ` costante. In particolare, nella regione che giace sopra e la retta 1 + 2 = 2c passante per T e limitata dal ramo di iperbole e dalla semiretta 1 = 2 che giacciono sopra T , entrambe le radici 1 e 2 sono maggiori di c e dunque lintervallo [c, c] ` incluso in (, 1 e la disuguaglianza e M () 0 non pone restrizioni sui valori di . Nella porzione del piano (1 , 2 ) che giace tra il ramo delliperbole 2 = c, la retta 2 = 1 e da retta 2 = c si ha 1 + 2 = c ed entrambe le radici sono nellintervallo [c, c] sichh e per soddisfare la disequazione M () 0 occorre che [c, 1 ] [2 , c]. Inne, nella regione a sinistra delliperbole i = c solo la radice 1 appartiene allintervallo [c, c] e dunque il moto pu` avvenire solo nella regione [c, 1 ]. In o gura 3.1 compare anche un ramo delliperbole i = c che delimita la regione accessibile al moto. Possiamo distinguere quattro regioni del piano (1 , 2 ) in cui il moto ha propriet` qualitative distinte. a

3.4. ATTRAZIONE DA DUE CENTRI FISSI2 i = c 1 = 2 2 4 1 T 1 = 2

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3 c

2

c

1

Figura 3.1: Nel piano (1 , 2 ) sono rappresentate le quattro regioni 1-4 in cui il moto del punto P ha comportamenti qualitativi diversi.

Figura 3.2: La regione ombreggiata ` quella in cui pu` avvenire il moto nel e o regime 1. Osserviamo che non sono ammissibili collisioni del punto mobile con i centri di forza. 1. 2 > 1 > c: varia nellintervallo [1 , 2 ]. In questa regione lequazione M () = 0 o non ha radici reali e dunque varia liberamente tra [c, c]. Se ricordiamo che = costante ` unellisse con i fuochi nei centri e di attrazione, concludiamo che lorbita si svolge entro la regione anulare delimitata dalle ellissi = 1 ed = 2 (Fig. 3.2) e dunque nel corso del moto il punto mobile P pu` essere vicino ad uno o allaltro dei centri di o attrazione, senza che vi sia collisione tra P ed i centri di forza. 2. 1 < c ed 2 > c: varia nellintervallo [2 , c]. Per quanto riguarda , le radici di M () = 0 o sono complesse o, se reali, eccedono entrambe

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CAPITOLO 3. IL METODO DI HAMILTON-JACOBI

Figura 3.3: Nel regime 2 il punto P pu` muoversi allinterno dellellisse o ombreggiata ed ora sono possibili collisioni con i centri di forza.

Figura 3.4: La regione ombreggiata ` quella in cui pu` avvenire il moto nel e o regime 3. Il punto P ` diventato satellite di uno dei centri di forza. Chiaramente, e a seconda delle condizioni iniziali si cade in una o nellaltra delle componenti connesse che formano la regione ammissibile.

il valore c e dunque non sono accettabili. Il punto si muove allinterno dellellisse = 2 e pu` ancora essere nel corso del moto vicino ad uno o o allaltro dei centri di attrazione. 3. 1 < c ed 2 > c: varia nellintervallo [2 , c]. Entrambe le soluzioni di M () = 0 sono minori di c e dunque pu` variare solo tra c e 2 , ovvero o tra c e 1 . Non solo il punto materiale ` connato dallellisse = 2 , e ma anche dai rami delle iperboli con fuochi nei centri di attrazione su cui = 1 o = 2 : il punto mobile ` diventato satellite di uno dei due centri e di attrazione (gura 3.4).

3.5. IL TEOREMA DI LIOUVILLE

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Figura 3.5: La regione ombreggiata ` quella in cui pu` avvenire il moto nel e o regime 4. Il punto P ora pu` essere satellite solamente del centro di forza di o massa maggiore. 4. A dierenza del caso precedente, ora solo la radice = 2 supera c e pertanto il punto materiale pu` solo essere satellite del centro di attrazione o di massa maggiore m2 (gura 3.5).

3.5

Il teorema di Liouville

In meccanica analitica vi sono due risultati fondamentali dovuti al matematico francese Joseph Liouville: uno sullintegrabilit` per quadrature di sistemi haa miltoniani, laltro sulla propriet` dei ussi hamiltoniani di conservare il volume a dello spazio delle fasi. In questa sezione ci occupiamo del primo risultato, mentre il secondo verr` esposto nel prossimo capitolo. Il contenuto del teorema di a Liouville ` quello di fornire condizioni sucienti per lintegrabilit` completa di e a un sistema hamiltoniano conservativo. Teorema 3.2 Sia assegnato un sistema conservativo (H/t = 0) per il quale esistono n integrali primi fi (p1 , ...., pn , q1 , ..., qn ) che sono indipendenti det fi pj =0 i, j = 1, ..., n (3.34)

ed in involuzione. Allora ` possibile portare alle quadrature le equazioni di moto. e Dim. Lidea della dimostrazione ` quella di trovare una trasformazione canonica e che abbia i valori costanti degli integrali primi come nuovi momenti. Se in questa trasformazione la nuova hamiltoniana dipende esclusivamente dai nuovi momenti costanti allora, per quanto visto in precedenza, il problema ` portato e alle quadrature. Dobbiamo mostrare che esiste una funzione generatrice W (q, P ) tale che valga la (3.14) e che i vecchi momenti pi si possano esprimere come pi = W . A quel punto, le nuove coordinate Qi vengono denite dalle relazioni qi Qi = W e baster` vericare che la nuova hamiltoniana non dipende che dai a Pi nuovi momenti.

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CAPITOLO 3. IL METODO DI HAMILTON-JACOBI

Siano dunque 1 , ...., n i valori costanti che le funzioni fi (p, q) assumono sulle soluzioni delle equazioni di Hamilton. In virt` della condizione (3.34) u possiamo risolvere le equazioni fi (p, q) = i in termini dei momenti pj ed ottenere pj = j (1 , ..., n , q1 , ...., qn ) in modo che le equazioni fi ((, q), q) = i (3.35) siano n identit`. Vogliamo ora determinare una funzione W (, q) che generi una a trasformazione canonica in cui le costanti i siano i nuovi momenti. Debbono pertanto valere le relazioni W pj = qj per cui la forma dierenzialen

i = 1, ...., n

pi dqii=1

sarebbe pari a

n

i=1

W dqi = dW qi

dal momento che i nuovi momenti sono costanti e dunque non contribuiscono al dierenziale totale della W (, q). Condizione necessaria perch ci` avvenga e o ` che valgano le uguaglianze e i j = . (3.36) qj qi Se il dominio ` semplicemente connesso, ovvero se ci si restringe lattenzioe ne a sottodomini con questa propriet`, le condizioni (3.36) diventano anche a sucienti. Se deriviamo le identit` (3.35) rispetto a qj , otteniamo a fi k (, q) fi + =0 pk qj qj che possiamo riscrivere in forma compatta introducendo le matrici Aik := come AB + C = 0 . Per garantire le (3.36) dobbiamo ora mostrare che B ` simmetrica. Per questo e osserviamo che A ` invertibile per lipotesi (3.34) e dunque possiamo scrivere e B = A1 C da cui segue anche B T = C T (AT )1 fi pk Bkj := k qj Cij := fi qj

3.5. IL TEOREMA DI LIOUVILLE per cui la simmetria di B equivale a mostrare che A1 C = C T (AT )1 ovvero che CAT AC T = 0 : sfruttando le denizioni delle matrici A e C vediamo allora che CAT AC T = fi fj fi fj = [fi , fj ] = 0 . qk pk pk qk

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Per concludere la dimostrazione occorre vericare che la nuova hamiltoniana H(, q) := H((, q), q) dipende solo dai nuovi momenti i . Infatti abbiamo j H j H i H = + = qj pi = q j pi qi pj qi qi qi qj dove abbiamo usato le equazioni di Hamilton e le condizioni (3.36). Per denizione delle funzioni i si conclude che i q j pi = pi pi = 0 . qj Quanto alla condizione (3.16) essa equivale a det pi j = det i (, q) j = 0.

Se deriviamo le (3.35) rispetto ad j otteniamo fi k = ij pk j che mostra come non nullo.k j

sia la matrice inversa di

fi pk

e dunque abbia determinante

Osservazione La dimostrazione data non ` limitata alla porzione di spazio delle e fasi in cui le fi sono costanti. Facendo assumere ad i tutti i valori compatibili con lesistenza della soluzione per le equazioni di moto si pu` estendere quanto o provato a tutto lo spazio delle fasi accessibile al sistema.

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CAPITOLO 3. IL METODO DI HAMILTON-JACOBI

Bibliograa[1] D. Boccaletti, G. Pucacco: Theory of Orbits. 1: Integrable Systems and Non-perturbative Methods. Springer, Berlin, (1996).

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