hak cipta - bppsdmk.kemkes.go.idbppsdmk.kemkes.go.id/pusdiksdmk/wp-content/uploads/2017/08/... ·...

Hak Cipta dan Hak Penerbitan dilindungi Undang-undang

Cetakan pertama, Desember 2016

Penulis : 1. Rudy Hartono, SKM.,M.Kes

2. Rahmat Kamaruddin, S.Si

Pengembang Desain Instruksional : Drs. Pramono Sidi, M.Si

Desain oleh Tim P2M2 :

Kover & Ilustrasi : Sunarti

Tata Letak : Nono Suwarno

Jumlah halaman : 306

Matematika dan Statistik

iii

DAFTAR ISI

BAB I: BILANGAN 1 Topik 1. Pengantar Konsep Bilangan dan Bilangan Bulat ........................................ 2 Latihan .............................................................................. 5 Ringkasan ................................................................................... 6 Tes 1 ........................................................................................... 6 Topik 2. Pengantar Konsep Bilangan dan Bilangan Bulat ...................................................... 8 Latihan ............................................................................. 16 Ringkasan .................................................................................. 17 Tes 2 ............................................................................ 17 KUNCI JAWABAN TES FORMATIF ............................................................................. 19 DAFTAR PUSTAKA ................................................................................................... 20 BAB II: FUNGSI EKSPONEN DAN LOGARITMA 21 Topik 1. Keterlibatan Mahasiswa ................................................................................... 22 Latihan .............................................................................. 25 Ringkasan .................................................................................. 27 Tes 1 ............................................................................ 27 Topik 2. Persamaan Fungsi Logaritma 29 Latihan ............................................................................. 37 Ringkasan .................................................................................. 38 Tes 2 ............................................................................ 38 KUNCI JAWABAN TES FORMATIF ............................................................................ 40 DAFTAR PUSTAKA .................................................................................................. 41 BAB III: SATUAN PENGUKURAN DAN KONSENTRASI 42 Topik 1. Disiplin Dalam Standar Pelayanan Kebidanan 43 Latihan .............................................................................. 46 Ringkasan .................................................................................. 48 Tes 1 ............................................................................ 48


iv

Topik 2. Memahami Konsentrasi 50 Latihan ............................................................................. 54 Ringkasan .................................................................................. 56 Tes 2 ............................................................................ 56 KUNCI JAWABAN TES FORMATIF ............................................................................ 58 DAFTAR PUSTAKA .................................................................................................. 59 BAB IV: TURUNAN (DERIVATIF) 60 Topik 1. Definisi dan Rumus-Rumus Turunan ................................................................... 61 Latihan .............................................................................. 63 Ringkasan ................................................................................... 64 Tes 1 ............................................................................. 65 Topik 2. Jenis-Jenis Turunan 67 Latihan ............................................................................... 76 Ringkasan ................................................................................... 78 Tes 2 ............................................................................. 78 KUNCI JAWABAN TES FORMATIF ............................................................................ 81 DAFTAR PUSTAKA ................................................................................................... 82 BAB V: PENGGUNAAN TURUNAN 83 Topik 1. Menentukan Garis Singgung, Garis Normal serta Nilai Maksimum dan Minimum 84 Latihan .............................................................................. 91 Ringkasan ................................................................................... 93 Tes 1 ............................................................................ 93 Topik 2. Menentukan Titik Ekstrim 95 Latihan .............................................................................. 102 Ringkasan ................................................................................ 103 Tes 2 ............................................................................. 103 KUNCI JAWABAN TES FORMATIF ............................................................................ 106 DAFTAR PUSTAKA ................................................................................................... 107

Matematika Statistik

v

BAB VI: INTEGRAL 108 Topik 1. Integral Tak Tentu ............................................................................................. 110 Latihan ........................................................................ 114 Ringkasan ............................................................................. 115 Tes 1 ............................................................................ 115 Topik 2. Integral Tentu 118 Latihan ............................................................................. 121 Ringkasan .................................................................................. 122 Tes 2 ............................................................................ 122 Topik 3. Integral Parsial dan Penggunaan Integral ............................................................ 124 Latihan ............................................................................. 136 Ringkasan .................................................................................. 136 Tes 3 ............................................................................ 137 KUNCI JAWABAN TES FORMATIF ............................................................................ 139 DAFTAR PUSTAKA ................................................................................................... 140 BAB VII: STATISTIKA DESKRIPTIF 141 Topik 1. Konsep Dasar Statistik ...................................................................................... 142 Latihan .............................................................................. 158 Ringkasan .................................................................................. 159 Tes 1 ............................................................................ 160 Topik 2. Konsep Probabilitas 162 Latihan .............................................................................. 178 Ringkasan ................................................................................... 180 Tes 2 ............................................................................. 180 KUNCI JAWABAN TES FORMATIF ............................................................................ 183 DAFTAR PUSTAKA ................................................................................................... 184

BAB VIII: STATISTIKA INFERENSIAL 185 Topik 1. Konsep Dasar Statistika Inferensial .................................................................... 186


vi

Latihan .............................................................................. 199 Ringkasan ................................................................................... 201 Tes 1 ............................................................................ 202 Topik 2. Statistik Parametrik 205 Latihan ............................................................................. 233 Ringkasan .................................................................................. 237 Tes 2 ............................................................................ 238 DAFTAR PUSTAKA ................................................................................................... 242 LAMPIRAN .............................................................................................. 244 BAB IX: STATISTIKA NON-PARAMETRIK 252 Topik 1. Konsep Dasar Statistika Non-Parametrik ............................................................... 253 Latihan ................................................................................ 257 Ringkasan .................................................................................. 259 Tes 1 ............................................................................ 259 Topik 2. Aplikasi Statistik Non Parametrik ....................................................................... 262 Latihan ............................................................................. 278 Ringkasan .................................................................................. 282 Tes 2 ............................................................................ 282 KUNCI JAWABAN TES FORMATIF ............................................................................ 287 DAFTAR PUSTAKA ................................................................................................... 288 LAMPIRAN .............................................................................................................. 290

Matematika dan Stastistika

1

BAB I

BILANGAN

Rudy Hartono dan Rahmat Kamaruddin

PENDAHULUAN

Dalam menghitung (counting), matematikawan biasanya tidak menghitung jumlah dari

objek-objek dalam suatu koleksi pada suatu waktu, tetapi lebih mencari untuk menentukan

pola-pola dan hubungan di antara objek-objek yang memungkinkan mereka untuk

menghitung dengan cara tidak langsung. Dalam hal ini, menghitung terjadi dalam banyak

bagian dari matematika dan sering melibatkan metode-metode yang cukup canggih.

Pada Bab 1 ini disajikan beberapa topik mengenai bilangan, yang terbagi dalam

beberapa topik yang harus dipelajari sebagai dasar untuk melakukan operasi-operasi dasar

yaitu penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian.

Topik 1 pada modul ini dibahas secara detail mengenai konsep bilangan, mulai dari

definisi yang paling sederhana sampai ke yang agak rumit. Pada Topik 1 ini juga dibahas

tentang bilangan bulat beserta sifat-sifat bilangan asli N mulai dari sifat tertutup, sifat

komutatif, sifat asosiatif sifat modulus, sifat distributive dan sifat invers.

Topik 2, memuat tentang bilangan pecahan dan pengembangannya serta bilangan

lainnya yang terdiri dari presentase, bilangan desimal, bilangan real, pertidaksamaan dan

nilai mutlak. Pada Topik 2 ini dilengkapi beberapa contoh soal latihan yang harus saudara

selesaikan sendiri.

Secara keseluruhan, setelah mempelajari modul ini, diharapkan anda dapat:

1. Membuktikan sifat-sifat operasi yang berlaku di antara himpunan-himpunan;

2. Mengenal/menjelaskan macam-macam bilangan dan operasinya;

3. Mengerti sifat-sifat operasi yang berlaku;

4. Mengerti sifat terurut sempurna dalam bilangan asli N ;

5. Mengerti dan dapat menggunakan prinsip pertidaksamaan;

6. Mengerti nilai mutlak dan operasinya. Sebagai bekal/bahan utama dalam memahami bilangan, pelajari bab ini seteliti

mungkin karena Bab 1 ini merupakan modul dasar untuk itu. Ikuti petunjuk, baik pada contoh, latihan maupun petunjuk jawaban soal latihan. Apabila dalam satu topik masih belum dipahami, coba ulang kembali dan begitu seterusnya.


2

Topik 1

Pengantar Konsep Bilangan

dan Bilangan Bulat

Dalam topik ini akan dibahas materi konsep bilangan dan apa yang kita sebut dengan

bilangan bulat. Untuk mempelajari topik ini, ada baiknya kita perhatikan suatu kejadian

sehari-hari yang terjadi di sekitar kita. Coba perhatikan keadaan berikut:

PENGANTAR KONSEP BILANGAN

Di toko pakaian, Anda membeli 5 barang dengan harga Rp17.000, Rp22.000, Rp18.000,

Rp23.000, dan Rp19.000. Berapa kira-kira Anda harus membayar?

Apakah Rp25.000, Rp50.000, Rp100.000, Rp200.000, atau Rp400.000?

Jika Anda melihat harga setiap barang dan kelima barang tersebut, Anda akan melihat

bahwa setiap barang berharga sekitar Rp20.000. Jadi, total harga akan berkisar Rp20.000 5

= Rpl00.000. Jika Anda dapat segera memperkirakan harga tersebut, Anda akan dapat

mendeteksi apakah Anda diminta membayar lebih atau kurang. Jika Anda sulit

memperkirakan harga tersebut, Anda dapat menjadi lebih miskin dengan cepat!

Sekarang, mari kita perhatikan contoh di bidang farmasi:

Seorang pasien dengan berat badan 61 kilogram membutuhkan dosis obat 20 miligram per

kilogram berat badan. Perkirakan berapa total obat yang harus diterima pasien? Apakah 200,

400 600, 800, atau 1200 miligram?

Berat badan pasien sekitar 60 kilogram. Jadi, pasien membutuhkan kurang lebih 20 mg

60.(Jika Anda tidak dapat langsung mengalikan 60, kalikan dulu dengan 10, lalu kalikan

dengan 6.) Jika pasien memiliki berat badan 10 kilogram,ia akan membutuhkan 20 mg 10

=200 miligram.

Dengan demikian, pasien keberatan badan 60 kilogram membutuhkan 200 mg 6 = 1200

miligram. Jadi, jawaban yang kredibel adalah 1200mg. Perkiraan yang kredibel bukanlah tebakan asal-asalan, tetapi jawaban yang masuk akal

berdasarkan informasi yang diberikan pada Anda. Dalam kasus ini, jawaban yang benar tentunya 1260 miligram Namun, kemungkinan Anda membahayakan pasien dengan estimasi banyak 5% dari jawaban yang benar lebih kecil dibandingkan jawaban dengan tingkat kesalahan 50%, 100%, atau 900%.

Anda mungkin berpikir tidak mungkin Anda memberikan jawaban dengan tingkat kesalahan 900%, tetapi dosis yang 10 kali lebih tinggi (overdose) atau 10 kali lebih rendah (underdose) memberi tingkat kesalahan sebesar itu. Kesalahan semacam ini sering kali terjadi pada mahasiswa yang sangat bergantung pada kalkulator dan menerima jawaban

kalkulator tanpa berpikir panjang. Karena itu, kami mendorong Anda untuk melatih contoh-contoh soal dalam materi pada bagian ini tanpa menggunakan kalkulator. Selanjutnya, setelah Anda yakin telah menjawab suatu pertanyaan, tanyakan pada diri anda sendiri, Apakah jawaban ini kredibel?


3

Untuk memudahkan anda menyelesaikan masalah seperti di atas, selanjutnya anda

akan mempelajari konsep serta sifat-sifat bilangan untuk membantu anda dalam

menyelesaikan beberapa masalah kefarmasian yang berkaitan dengan materi bilangan

Definisi:

Jika a dan b bilangan asli, maka ada suatu bilangan asli yang ditulis sebagai a b yang

merupakan jumlah dari dan a b .

Juga ada suatu bilangan asli a b (atau ditulis sebagai a b atau ab ) yang merupakan hasil

kali dari dan a b .

Sifat-sifat bilangan asli N :

1. Sifat tertutup

N dikatakan tertutup terhadap operasi penjumlahan dan perkalian, karena

jumlah/hasil kali dari setiap 2 (dua) bilangan asli juga merupakan bilangan asli.

Ditulis: Untuk setiap 1 2 1 2 1 2, , dan n n N n n N n n N . (notasi = ada).

2. Sifat komutatif

Untuk setiap 1 2,n n N berlaku:

a. 1 2 2 1n n n n (komutatif penjumlahan)

b. 1 2 2 1n n n n (komutatif perkalian)

3. Sifat asosiatif

Untuk setiap 1 2,n n N berlaku:

b. 1 2 3 1 2 3n n n n n n (asosiatif penjumlahan) b. 1 2 3 1 2 3n n n n n n (asosiatif perkalian)

4. Sifat modulus

Untuk setiap bilangan asli nN berlaku:

a. 0 0n n (modulus penjumlahan)

0 adalah bilangan kesatuan untuk penjumlahan, 0 N.

b. 1 1n n (modulus perkalian)

1 adalah bilangan kesatuan untuk perkalian, 1 N .

5. Sifat distributif

Untuk setiap bilangan asli n N berlaku:

a. 1 2 3 1 3 2 3n n n n n n n b. 1 2 3 1 2 1 3n n n n n n n

Catatan (1):

Gabungan dari himpunan bilangan asli N dan bilangan nol, yaitu: 0 0,1,2,...N disebut himpunan bilangan cacah.


4

Definisi:

Sebuah bilangan x disebut negatif (invers penjumlahan) dari bilangan asli a , apabila berlaku

0a x x a ditulis x a .

Himpunan dari semua bilangan negatif di atas, disebut himpunan bilangan bulat negatif atau

| 0, x x n n x n N

..., 3, 2, 1,0,1,2,3,...I disebut himpunan bilangan bulat (integer). Semua sifat (1)

sampai dengan (5) di atas berlaku pula untuk I . Untuk I ada tambahan sifat berikut,

6. Sifat Invers

Untuk setiap a I , terdapat a I sedemikian sehingga 0a a (sifat

invers/berkebalikan dari penjumlahan. Di sini 0 0 0 , sehingga invers dari a nol

adalah nol).

Definisi:

Jika , ,a b c adalah bilangan bulat, serta berlaku ab c , maka a dan b disebut faktor-

faktor (pembagi-pembagi) dari c . sedangkan c disebut kelipatan dari a dan dari b .

Definisi:

Suatu bilangan bulat a disebut genap jika salah satu faktor dari a adalah bilangan 2,

atau 2 |x x I . Bilangan yang bukan genap disebut ganjil,atau bilangan ganjil adalah

2 1|x x I

8 2 4 ; dimana 4 I , maka 8 genap.

0 2 0 ; dimana 0 I , maka 0 genap.

15 2 7 1 ; di mana 7 I , makal 5 ganjil.

Definisi:

Suatu bilangan bulat positif disebut majemuk (composite) bila dapat

dinyatakan sebagai hasil kali dua (atau lebih) bilangan bulat positif 1 .

Definisi:

Suatu bilangan bulat positif disebut prima apabila bilangan itu bukan bilangan 1 (satu),

serta bukan bilangan majemuk. Atau dengan perkataan lain: suatu bilangan asli kecuali

1, yang hanya habis dibagi 1 dan bilangan sendiri disebut bilangan prima.


5

Latihan

1) Hasil dari 12 :3 8 5 adalah ....

a. 20

b. 44

c. 60

d. 160

2) Hasil dari 4 10:2 5 adalah ....

a. 15

b. 35

c. 29

d. 5

3) Hasil dari 10 43 4 adalah ....

a. 37

b. 57

c. 29

d. 19

4) Hasil dari 90: 3 4 adalah ....

a. 120

b. 60

c. 240

d. 160

5) Hasil dari 23 3 9 adalah ....

a. 35

b. 17

c. 29

d. 11

6) Suhu tempat A adalah o100 C di bawah nol, suhu tempat B adalah o200 C di atas nol,

dan suhu tempat C adalah tepat di antara suhu tempat A dan tempat B . Suhu tempat

C adalah

a. o100 C

b. o300 C

c. o0 C

d. o50 C

7) Dalam kompetisi Matematika, setiap jawaban benar diberi skor 3 , jawaban salah

diberi skor 1 , dan jika tidak menjawab diberi skor 0 . Dari 40 soal yang diujikan, Dedi

menjawab 31 soal, yang 28 soal di antaranya dijawab benar. Skor yang diperoleh Dedi

adalah .


6

a. 81

b. 84

c. 87

d. 93 Petunjuk Jawaban Latihan

1) Selesaikan terlebih dahulu perkalian dan pembagian, lalu selesaikan penjumlahan dan

pengurangan.

2) 4 10: 2 5 4 5 5x x

6) tempat A o100 C dibawah nol berarti o100 C

Ringkasan

Anda telah mengingat kembali definisi bilangan, pengantar konsep bilangan, mulai dari

definisi bilangan, sifat-sifat dasar bilangan bulat, dan operasi dasar pada bilangan bulat

sampai pada operasi yang lebih luas yang masih berlaku pada sebarang bilangan. Di akhir

bagian ini, diingatkan kembali mengenai gabungan penggunaan sifat-sifat dasar bilangan

bulat. Materi ini menjadi dasar/pengetahuan bagi materi berikutnya, pada topik berikutnya

maupun modul berikutnya.

Tes 1

1) Nilai n dari 8 14n adalah ....

A. 6

B. 6

C. 22

D. 22

2) Hasil dari penjumlahan bilangan 1 + 2 + 3 + 4 + ... + 64 adalah...

A. 2650

B. 3200

C. 2197

D. 2.080

3) Seekor lumba-lumba melompat samapai ketinggian 3 meer di atas permukaan air laut,

kemudian turun dan menyelam sampai kedalamn 7 meter. Maka jarak puncak

lompatan dengan kedalaman penyelamatan adalah ....

A. 4 meter

B. 7 meter


7

C. 8 meter

D. 10 meter

4) Hasil kali dari bilangan 25 18 10 adalah .... A. 700

B. 700

C. 540

D. 540

5) Hasil pemabagian dari bilangan 42: 8 15 adalah .... A. 8

B. 6

C. 9

D. 7


8

Topik 2

Bilangan Pecahan dan

Bilangan-Bilangan Lainnya

Definisi:

Jika a bilangan bulat, 0a , maka terdapat suatu bilangan 1

a sedemikian sehingga

11a

a .

Bilangan 1

a disebut kebalikan (invers) dari a , ditulis juga 1

1a

a .

Definisi:

Jika dan a b bilangan bulat dan 0b , maka terdapat sebuah bilangan1a

ab b

yang disebut

hasil bagi dan a oleh b .

a disebut pembilang, b disebut penyebut. Jika a

b bukan suatu bilangan bulat, maka ia

disebut bilangan pecahan.

Definisi:

Sebagai akibat operasi perkalian, kita dapatkan operasi perpangkatan dan pengakaran.

Bilangan x disebut pangkat n dari bilangan a jika berlaku:

... x a a a

n buah

Ditulis juga nx a

Definisi :

Bilangan x disebut bilangan akar n dari bilangan a jika berlaku:

a x x x

n buah

ditulis atau n na x x a

Pecahan menyatakan proporsi dari keseluruhan bagian. Sebagai contoh,Anda memiliki disk

drive dengan kapasitas 400 GB dan Anda menyimpan file sebesar 100 GB pada disk drive

tersebut. Bagian dari kapasitas penyimpanan yang telah digunakan pada disc drive tersebut

dapat ditulis sebagai:

100

400

Bilangan di atas garis disebut pembilang, sedangkan bilangan di bawah garis disebut

penyebut. Dalam contoh ini, Anda dapat menganggap 100 sebagai proporsi dari


9

keseluruhan 400. Jika pembilang lebih besar dan penyebut, pecahan disebut pecahan

kasar (vulgar fraction). Sebagai contoh, 18

4

A. MACAM-MACAM PECAHAN

1. Pecahan Setara

Jika Anda melihat contoh sebelumnya, 100

400 perhatikan bahwa jika Anda mengalikan

(atau membagi) pembilang dan penyebut dengan bilangan yang sama, pecahan akan tetap

bernilai sama.

Jadi, 100 200

400 800

(karena kita mengalikan bilangan atas dan bawah dengan 2). Pecahan ini

1

4

juga ekuivalen karena sekarang kita membagi pembilang dan penyebut dengan 200. Perhatikan bahwa dalam modul ini, Anda mungkin akan menemukan pecahan yang agak

jelek, seperti 25

.0,01

Berdasarkan pengalaman, mahasiswa sering kali merasa ngeri jika

diminta mengevaluasi pecahan semacam ini. Untuk mengevaluasi pecahan ini, prinsipnya

sama dengan sebelumnya, yaitu kalikan bilangan atas dan bawah pecahan hingga diperoleh

bilangan bulat yang mudah ditangani. Perkalian 10 biasanya paling membantu.

Jadi, 25 250 2500

25000,01 0,1 1

(tiap kali kita mengalikan atas dan bawah dengan 10).

2. Menyederhanakan Pecahan

Soal pecahan biasanya lebih mudah dikerjakan apabila pembilang dan penyebut

bernilai sekecil mungkin. Nilai tersebut diperoleh dengan membagi pembilang dan penyebut

dengan bilangan yang sama berulang kali untuk memperoleh bilangan bulat yang lebih kecil

sampai proses pembagian tidak dapat diulangi lagi. Biasanya lebih mudah untuk mencoba

membagi pembilang dan penyebut dengan bilangan-bilangan kecil, seperti 2, 3, 4, 5, atau 10.

Contoh 1.2.1:

Sederhanakan 24

96 sesederhana mungkin.

Jawab :

a. Perhatikan pembilang dan penyebut,serta periksa apakah keduanya dapat langsung

dibagi.

b. Ulangi sampai diperoleh pecahan yang paling sederhana.

Karena 24 dan 96 merupakan bilangan genap, keduanya dapat dibagi 2.


10

Jadi, 24 12 6 3

96 48 24 12

Sekarang pembilang dan penyebut dapat dibagi 3 maka 3 1

12 4 . Pecahan kini berada dalam

bentuk paling sederhana.

B. PRESENTASE DAN BILANGAN DESIMAL

1. Persentase

Seperti pecahan, persentase juga menyatakan proporsi dan keseluruhan bagian.

Sebagai contoh, 90% mahasiswa lulus ujian, ini berarti 90 dari 100 mahasiswa yang ikut ujian

berhasil lulus. Perhatikan bahwa kese1uruhan di sini tidak harus 100. Jika mahasiswa yang

ikut ujian sebanyak 200 orang dan yang lulus 180 orang, persentase yang lulus juga 90%.

2. Desimal

Desimal adalah cara untuk menyatakan bilangan yang (biasanya) tidak bulat. Tanda

koma digunakan untuk memisahkan bilangan bulat dan bagian desimal yang tidak bulat.

Sebagai contoh, 1,25 gram obat berarti kita memiliki 1 gram obat, ditambah dua per sepuluh

dari 1 gram, dan ditambah 5 per seratus dari 1 gram. Perhatikan jika satu-satunya angka

sebelum koma adalah nol, kita sedang menghitung suatu nilai yang kurang dan satu. Sebagai

contoh. 0,25 gram obat berarti kurang dari 1 gram dan menyatakan dua per sepuluh dan

lima per seratus dari 1 gram seperti sebelumnya.

3. Konversi antara Pecahan dan Desimal

Setiap desimal (atau setiap bilangan bulat) dapat dikonversi menjadi pecahan hanya

dengan meletakkan bilangan desimal itu di atas penyebut 1.

Contoh 1.2.2:

Ubah 0,25 menjadi pecahan paling sederhana

Jawab:

a. Tulis 0,25 sebagai desimal.

b. Buat pecahan setara dengan mengalikan bilangan atas dan bawah dengan 10 sampai

tanda koma desimal hilang.

c. Sederhanakan pecahan tersebut dengan pembagian.

Dengan demikian, 0,25 dapat ditulis menjadi 0,25 1 . Sekarang, evaluasi pecahan ini seperti

cara yang dijelaskan sebelumnya: 0,25 1 2,5 10 25 100 = (bilangan atas dan bawah

dikali 10)

Anda tentu dapat melihat bahwa pecahan ini mudah disederhanakan: 25 100 5 10 1 4

(bilangan atas dan bawah dibagi 5)


11

Pengubahan pecahan menjadi desimal dapat dilakukan dengan membagi pembilang dengan penyebut. Pembilang mungkin perlu ditulis sebagai desimal dengan memberikan satu atau lebih angka nol setelah koma untuk dapat melakukan pembagian.

Contoh 1.2.3:

Nyatakan 2 5 dalam bentuk desimal

Jawab:

Cobalah langsung membagi pembilang dengan penyebut. Jika pembilang lebih kecil dari

penyebut, tulis pembilang sebagai desimal dengan satu atau lebih angka nol setelah tanda

koma untuk dapat melakukan pembagian.

Jadi, tulis 2,0 dan bagi dengan 5, Anda akan memperoleh 0,4. Anda juga dapat menulis

2,00 dibagi lima dan memperoleh jawaban 0,40 yang setara dengan 0,4. Pada sejumlah

kasus, Anda tidak akan mendapat jawaban yang berakhir dengan nol dan Anda dapat

menulis jawaban dalam waktu yang tidak terbatas. Sebagai contoh, jika Anda menyatakan

1/3 dalam bentuk desimal, jawabannya adalah 0,33333... dan seterusnya. Dalam modul ini,

kebanyakan jawaban akan diberikan dalam dua tempat desimal (jumlah digit setelah tanda

koma), kecuali proses pembagian dapat diselesaikan dengan sempurna tanpa hasil sisa.

Sebagai contoh, jika Anda menyatakan 1/8 dalam bentuk desimal, Anda akan memperoleh

hasil tepat 0,125.

4. Konversi Antara Pecahan dan Persentase

Konversi pecahan menjadi persentase sangat mudah dilakukan, yaitu hanya dengan

mengalikan pembilang dengan 100 dan mengevaluasi pecahan tersebut seperti

sebelumnya,lalu hasilnya diberi tanda %.

Contoh 1.2.4: Nyatakan 4 5 dalam bentuk persentase

Jawab:

a. Kalikan pembilang dengan 100.

b. Evaluasi pecahan sebagai bilangan (atau desimal).

c. Beri tanda % setelah nilai hasil.

Jadi, 4 5 menjadi 400 5 80 . Dengan demikian, hasilnya adalah 80%. Perhatikan bahwa

persentase dapat mengandung desimal. Sebagai contoh, 305 100 3,05% .

Konversi persentase menjadi pecahan juga sangat sederhana. Bagi bilangan dengan 100, lalu

nyatakan pecahan dalam bentuk paling sederhana. Contoh 1.2.5:

Nyatakan 55% dalam bentuk pecahan


12

Jawab:

a. Bagi bilangan dengan 100.

b. Sederhanakan pecahan.

Jadi, 55% menjadi 55 100 . Jika kita sederhanakan, pecahan ini menjadi 11 20 yang

tidak dapat disederhanakan lebih lanjut

5. Konversi Antara Desimal dan Persentase

Cara paling cepat untuk mengonversi desimal menjadi persentase adalah dengan

mengalikan bilangan desimal tersebut dengan 100.lalu memberikan tanda % setelah hasil.

Contoh 1.2.6:

Nyatakan 0,6 dalam bentuk persentase

Jawab:

a. Kalikan dengan 100.

b. Beri tanda %.

0,6 dikali 100 adalah 60%.

Pengubahan persentase menjadi desimal dapat dilakukan hanya dengan membalikkan

tahapan di atas.

Contoh 1.2.7:

Nyatakan 12% dalam bentuk desimal Jawab:

Bagi dengan 100.

Jadi, 12% = 12

0,12100

Dalam contoh ini, kita dapat menyederhanakan pecahan itu menjadi 3

25. Namun,

pembagian 100 lebih mudah daripada 25.

Catatan (2):

Bilangan pecahan dapat ditulis dalam bentuk desimal. Uraian desimalnya selalu berakhir

atau berulang.

Misalnya: 1 2 0,5 (artinya 5

1 2 010

).

21 50 0,42 artinya 21 50 0 4 10 2 100 .

2 7 0,285714285714.... 285714 beruan lgka ang .

Definisi:

Gabungan himpunan bilangan bulat dan himpunan bilangan pecahan disebut himpunan

bilangan rasional Q . Kita dapat mendefinisikan bilangan rasional sebagal bilangan yang


13

dapat dinyatakan sebagai hasil bagi dari dua buah bilangan bulat. Bilangan irrasional (non-

rasional) adalah bilangan yang tidak dapat dinyatakan sebagai hasil bagi dari 2 buah bilangan

bulat atau bilangan yang uraian desimalnya tidak pernah berulang.

Contoh 1.2.8 :

2 1,4142

3,1415

2,7182.....e (bilangan Euler yang merupakan bilangan pokok logaritma natural).

Gabungan himpunan bilangan rasional dan himpunan bilangan irrasional disebut himpunan

bilangan nyata (real) R , atau #R .Bilangan yang mengandung faktor satuan khayal I disebut

bilangan khayal (imajiner), di mana 1i (satuan khayal, 2 1i i i ). Bentuk umumnya #, ai a R .

Misalnya 54 , 2 , dan 2i i i .

Bilangan Real

Kita buat sebuah garis lurus. Ambil titik 0 sebagai titik awal (titik nol) yang menyatakan

bilangan nol. Kita buat peraturan bahwa titik-titik di sebelah kanan 0 menyatakan bilangan-

bilangan positif, di sebelah kiri 0 menyatakan bilangan-bilangan negatif. Kemudian kita

tentukan satuannya (unit). Garis ini disebut garis bilangan real (atau garis bilangan) yang

merupakan sistem koordinat pada garis lurus (dimensi satu) dan digambarkan sebagai

berikut:

Setiap bilangan real dapat dinyatakan oleh satu dan hanya satu titik pada garis bilangan dan

setiap titik pada garis bilangan menyatakan satu dan hanya satu bilangan. Semua sifat yang

berlaku pada himpunan bagian dari #R , juga berlaku pada #R .

Misalnya sifat ke-6 adalah:

Untuk setiap # #, terdapat , sehingga 0 ( 0, )a R a R a a a a .

Untuk setiap # #0 dan , terdapat 1 , sehingga 1 1a a R a R a a .

Pertidaksamaan Definisi:

a bilangan real, 0 positifa a ( > dibaca lebih besar)

0 negatifa a ( > dibaca lebih kecil)

( artinya jika dan hanya jika, artinya berlaku baik dibaca dari arah kiri maupun kanan. Jadi bila definisi di atas dibaca : jika 0 maka positifa a , dan jika positif, maka 0a a ).


14

Kemudian jika a dan b bilangan real, maka :

0a b a b (definisi lebih besar) serta

0a b a b (definisi lebih kecil)

a b b a

pada garis bilangan : jika a b maka a terletak di sebelah kanan b . notasi : a b artinya a

lebih kecil atau sama dengan b .

Sifat-sifat :

1) Jika ,a b R , maka salah satu dari pernyataan ini benar :

a) a b ; b) a b ; c) a b

2) Jika 0a dan 0b , maka 0a b dan 0ab .

3) Sifat transitif :

Jika a b dan b c , maka a c atau jika a b dan b c , maka a c .

4) Jika a b dan c bilangan real sebarang, maka a c b c

5) Jika a b dan c d , maka a c b d

6) 0a jika dan hanya jika 0a

0a jika dan hanya jika 0a

7) Jika 0a dan 0b , maka 0ab

0a dan 0b , maka 0ab

0a dan 0b , maka 0ab

8) Jika a b dan 0c , maka ab bc

Jika a b dan 0c , maka ab bc

Contoh 1.2.9 :

Selesaikan pertidaksamaan : 2 5 24 0x x .

Harga nol dari 2 5 24 0x x adalah 1 8x dan 2 3x .

Sebut 2 5 24x x y , maka

0 untuk 3 8

0 untuk 3 atau 8

y x

y x x

Jadi, penyelesaian dari pertidaksamaan di atas adalah nilai-nilai x yang memenuhi

3 8x atau dapat ditulis sebagai himpunan | 3 8x x . Catatan (3):

Interval (selang):

Bilangan dan a b adalah bilangan real dan a b , maka himpunan bagian dan R# adalah:

1 |A x a x b interval buka

2 |A x a x b interval tutup-buka

3 |A x a x b interval tutup


15

4 |A x a x b

Notasi lain adalah: interval buka-tutup

1 ,A a b 2 ,A a b 3 ,A a b 4 ,A a b

Catatan (4):

Interval-interval tak hingga.

| | ,A x x a x x a a

| |a ,B x x a x x a B

| | ,C x x a x x a a

| | ,D x x a x a x a

#| | ,E x x R x x Dimana a suatu bilangan real

, , , , dan A B C D E disebut interval tak hingga.

Harga Mutlak

Harga mutlak (absolut) dan suatu hilangan real didefinisikan sebagai:

jika 0

jika 0

a aa

a a

misalnya: 3 3, karena 3 0

2 2 2, karena 2 0

3 2 3 2 2 3, karena 3 2 0

Sifat-Sifat Harga Mutlak

Jika #, a b R , maka :

1) | | 0a

2) | | | |a a

3) 2 | |a a

4) | | jika dan hanya jika , dimana 0a b b a b b

5) | | jika dan hanya jika , atau aa b a b b

6) | | | |a b b a


16

7) | | | |a b b a

8) , 0a a

bb b

9) | | || | | ||a b a b

10) | | | | | |a b a b

11) | | || | | ||a b a b

12) | | | | | |a b a b

Contoh 1.2.10 : |2 3| 7x

Berarti : 7 2 3 7 10 2 4 5 2x x x

Latihan

1) Bentuk sederhana dari 96

360 adalah ....

a. 8

15

b. 8

30

c. 16

30

d. 4

15

2) Bentuk persen dari bilangan-bilangan pecahan 8 1 8

; ; ; 0,3625 4 50

berturut-turut

adalah ...

a. 32%, 25%, 16%, 36%

b. 36%, 25%, 16%, 32%

c. 25%, 16%, 32%, 36%

d. 16%, 32%, 36%, 25%

3) Toko A memberikan potongan harga 20% setiap penjualan barang, untuk pembelian

sepasang sepatu, Raisa membayar kepada kasir sebesar Rp40.000,00. Harga sepasang

sepatu sebelum mendapat potongan harga adalah

4) Himpunan penyelesaian pertidaksamaan 2 6 0x x adalah ....

a. 2 3x

b. 2 atau 3x x

c. 2 atau 3x x

d. 2 3x

5) Selesaikan pertidaksamaan 2 5 | 4x x adalah ....


17

a. 1

43

x x

b. 3 4x x

c. 1

33

x x

d. 1

34

x x

6) Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 2 1

73

x

x

adalah ....

a. 2 4x x

b. 3 4x x

c. 1 4x x

d. 1 4x x Petunjuk Penyelesaian Soal

1) Untuk menyederhanakan, pembilang dan penyebut bagikan dengan KPK kedua

bilangan tersebut

2) Kalikan dengan 100%

Ringkasan

Sampai di sini saudara telah mengingat kembali jenis-jenis bolangan, terdiri dari aturan

bilangan pecahan, dan bilangan-bilangan lainnya, bilangan real,pertidaksamaan,dan harga

mutlak. Selain itu, presentase dan bilangan desimal juga telah dibahas, mulai dari konversi

bilangan desimal ke presentase serta konversi persentase ke bilangan desimal. Dengan bekal

ini, diharapkan topik-topik berikutnya yang memanfaatkan pengertian bilangan itu dan sifat-

sifatnya dapat teratasi dengan baik.

Tes 2

1) Bentuk pecahan dari 45 menit dari 1 jam adalah ....

A. 3

4 bagian dari 1 jam

B. 1

2 bagian dari 1 jam

C. 1

3 bagian dari 1 jam


18

D. 2

3 bagian dari 1 jam

2) Pecahan yang senilai dengan pecahan 3

14 adalah ....

A. 9

40

B. 9

38

C. 12

56

D. 12

72

3) Susunan deretan pecahan 7 11

, 1, 8 12

dalam urutan naik (dari kecil ke besar) adalah ....

A. 7 11

, 1, 8 12

B. 7 11

, , 18 12

C. 11 7

1, , 12 8

D. 11 7

, , 112 8

4) Dua per lima dari penduduk suatu kota adalah laki-laki. Jika banyak penduduk kota

tersebut 8 juta jiwa, tentukan banyak laki-laki!

A. 3.200.000 jiwa

B. 1.600.000 jiwa

C. 4.000.000 jiwa

D. 3.000.000 jiwa

5) Bentuk persen dari dari bilangan 2

15 adalah ....

A. 35 %

B. 1

%3

C. 1

13 %3

D. 13%


19

Kunci Jawaban Tes

Tes 1

1) B

2) D

3) D

4) A

5) B

Tes 2

1) A

2) C

3) B

4) A

5) C


20

Daftar Pustaka

Ayu Laraswati. 2013. Pengertian Bilangan Desimal Otal dan Biner. (online) Diakses pada

tanggal 10 Juni 2014

http://ayularasswati.wordpress.com/2013/09/16/pengertian-bilangan-desimal-oktal-

dan-biner/

Ainul Wicaskono. 2012. Tugas Matematika Bilangan Bulat dan Ganjil. (online) Diakses pada

tanggal 10 Juni 2014

http://ainulwicaksono.blogspot.com/2012/10/tugas-matematika-bilangan-bulat-

ganjil.html

Anonymous. 2010. Rumus Bilangan Ganjil dan Rumus Bilangan Genap. (online) Diakses

pada tanggal 10 Juni 2014

http://asimtot.wordpress.com/2010/07/25/rumus-bilangan-ganjil-dan-rumus-

bilangan-genap/

Anonymous. 2010. Bilangan Ganjil dan Bilangan Genap. (online) Diakses pada tanggal 10

Juni 2014

http://asimtot.wordpress.com/2010/06/09/bilangan-ganjil-dan-bilangan-genap/

http://ayularasswati.wordpress.com/2013/09/16/pengertian-bilangan-desimal-oktal-dan-biner/http://ayularasswati.wordpress.com/2013/09/16/pengertian-bilangan-desimal-oktal-dan-biner/http://ainulwicaksono.blogspot.com/2012/10/tugas-matematika-bilangan-bulat-ganjil.htmlhttp://ainulwicaksono.blogspot.com/2012/10/tugas-matematika-bilangan-bulat-ganjil.htmlhttp://asimtot.wordpress.com/2010/07/25/rumus-bilangan-ganjil-dan-rumus-bilangan-genap/http://asimtot.wordpress.com/2010/07/25/rumus-bilangan-ganjil-dan-rumus-bilangan-genap/http://asimtot.wordpress.com/2010/06/09/bilangan-ganjil-dan-bilangan-genap/


21

BAB II

FUNGSI EKSPONEN DAN LOGARITMA


PENDAHULUAN

Dalam ilmu pengetahuan dan teknologi maupun kehidupan sehari-hari , fungsi

eksponen dan logaritma sering kali digunakan untuk mendeskripsikan suatu peristiwa

pertumbuhan maupun peluruhan. Misalnya uang yang diinvestasikan di sebuah bank,

peluruhan zat radioaktif, pertambahan penduduk dan lain sebagainya. Hal ini dikarenakan

logaritma merupakan invers (kebalikan) dari eksponen. Logaritma juga digunakan untuk

memecahkan masalah eksponen yang sulit dicari akar-akar atau penyelesaiannya.

Pada Bab 2 ini anda akan mempelajari sifat-sifat fungsi eksponen dan logaritma dalam

pemecahan masalah. Untuk mempelajari modul ini, Anda diharapkan telah memahami

pangkat/eksponen, persamaan kuadrat, penyelesaian persamaan kuadrat, menggambar

kurva suatu persamaan kuadrat, trigonometri.

Pada Topik 1 pada modul ini, dibahas mengenai definisi fungsi eksponen dan sifat-

sifatnya serta penggunaannya dalam pemecahan masalah. Pada Topik 2 diperkenalkan

fungsi logaritma, sifat-sifatnya serta operasi-operasi penggunaannya.

Setelah menyelesaikan modul ini, diharapkan Anda mampu menggunakan konsep

fungsi eksponen dan logaritma untuk menyelesaikan persoalan-persoalan matematis. Secara

sistematis, Anda diharapkan mampu :

1. Menjelaskan sifat-sifat fungsi eksponen

2. Menjelaskan sifat-sifat logaritma

3. Menjelaskan bentuk- bentuk persamaan eksponen dan logaritma beserta fungsinya

4. Menjelaskan bentuk-bentuk pertidaksamaan eksponen dan logaritma.

5. Menggunakan sifat-sifat fungsi eksponen dan logaritma dalam pemecahan masalah.

Pahamilah contoh-contoh soal yang ada, dan kerjakanlah semua soal latihan yang ada.

Jika dalam mengerjakan soal Anda menemui kesulitan, kembalilah mempelajari materi yang

terkait atau jika Anda mempunyai kesulitan yang tidak dapat Anda pecahkan, tanyakan

kepada tutor pendamping Anda.


22

Topik 1

Keterlibatan Mahasiswa

Dalam Topik 1 ini akan dibahas materi perpangkatan/eksponen bilangan bulat. Untuk

mempelajari bagian modul ini, ada baiknya kita ingat kembali sifat-sifat bilangan berpangkat

rasional. Bilangan berpangkat merupakan prasyarat mempelajari persamaan eksponen,

fungsi eksponen dan fungsi logaritma. Untuk mengingat kembali tentang bilangan eksponen,

perhatikan beberapa sifat berikut.

A. PENGERTIAN FUNGSI EKSPONEN

Jika a dan b bilangan real, p dan q bilangan rasional maka berlaku hubungan sebagai

berikut :

1. p q p qa a a 7. 1p

pa

a

2. :p q p qa a a 8. p

q pqa a

3. ( )p q pqa a 9. p p pab a b

4. ( ) .p p pab a b 10. p

pp

a a

b b

5. p p

p

a a

b b

11. 0 1a

6. 1

0pp

a aa

Pada modul ini akan lebih mendalami tentang perpangkatan yang pangkatnya

merupakan suatu fungsi. Bentuk perpangkatan yang pangkatnya merupakan suatu fungsi

disebut fungsi eksponen.

Fungsi eksponen banyak manfaatnya dalam kehidupan. Misalnya dalam peluruhan

radioaktif, pertumbuhan tanaman, perhitungan bunga tabungan di Bank dan sebagainya.

B. PERSAMAAN FUNGSI EKSPONEN DAN PENERAPANNYA

1. Bentuk ( ) 1f xa

Jika ( ) 1f xa dengan 0a dan 0a , maka 0f x

Seperti apakah contoh dan cara menyelesaikan persamaan fungsi eksponen berbentuk ( ) 1f xa ? Ya, perlu Anda ketahui bahwa: 1 dengan 0

f xa a , dan 0a , maka

0f x . Perhatikan contoh berikut ini!


23

Contoh 2.1.1:

Tentukan himpunan penyelesaian dari: uu

5 103 1x

Jawab:

5 10

5 10 0

3 1

3 3

5 10 0

5 10

2

x

x

x

x

x

2. Bentuk ( )f x pa a

Jika ( )f x pa a dengan 0a dan 0a , maka f x p

Contoh 2.1.2 :

Tentukan himpunan penyelesaian dari:

a. 2 15 625x

b. 2 71

232

x

Jawab :

a. 2 15 625x

2 1 35 5x

2 1 3x

2 4x , jadi 2x

b. 2 71

232

x

2 7 52 2x 2 7 5x

2 2x

1x

3. Bentuk f x g xa a

Jika f x g xa a dengan 0a dan 0a , maka f x g x

Contoh 2.1.3 :

a. 2 2 19 27x x x

b. 1225 0,2

XX


24

Jawab:

a. 2 2 19 27x x x

2 22( ) 3( 1)3 3x x x

2 22 3 3x x x

2 22 2 3 3x x x

2 2 3 0x x

3 1 0x x

3 1x x

Jadi HP = 1,3

b. 1225 0,2

xx

2 2 1 15 5x x

2 4 1

2 1 4

5

x x

x x

x

Jadi HP = 5

4. Bentuk ( ) ( )f x f xa b

Jika ( ) ( )f x f xa b dengan 0a dan 1a , 0b dan 1b , dan a b maka 0f x

Contoh 2.1.4:

3 36 9x x

Jawab:

3 36 9x x

3 0

3

x

x

Jadi HP = 3

5. Bentuk ( ) 2 ( )( ) ( ) 0f x F xA a B a C

Dengan memisalkan f xa p , maka bentuk persamaan di atas dapat diubah menjadi

persamaan kuadrat : 2 0Ap Bp C

Contoh 2.1.5 :

2 32 2 16 0x x

Jawab :

2 3

2 3

2 2 16 0

2 2 2 18 0

x x

x x

Dengan memisalkan 2x p , maka persamaan menjadi


25

2 8 16 0

4 4 0

4

p p

p p

p

Untuk 4 2 4xp

22 2

2

x

x

Jadi HP = 2

Latihan

1) Bentuk 1

1

3 3

3 3

n n

n n

dapat disederhanakan menjadi

a. 3

4

b. 3

2

c. 5

4

d.

4

3

2)

11 1

1 1

x y

x y

dalam bentuk pangkat adalah

a. yy x

y xx y

x

b. x y

x y

y x

y x

c. y x

y x

y x

y x

d. x y

x y

y x

y x

3) Jika 2 7 dan 2 7, 4a a a b ab

a. 28

b. 30

c. 32

d. 34


26

4) Jika 4 3 2

6 5 4

1 maka nilai

4

x x xx

x x x

a. 1

16

b. 1

8

c. 1

2

d. 4

5) Nyatakan bentuk berikut dalam pangkat positif dan bentuk akar, 1 1

1 1

2 2

x y

x y

a. x y

xy

b. y x

xy

c. x y

xy

d. xy y x

6) Diketahui 2 2 5x x . Nilai 2 22 2x x .

a. 23

b. 24

c. 25

d. 26

7) Jika 2 3

62 3

p q

dengan p dan q bilangan bulat, maka p q ....

a. 3

b. 2

c. -2

d. -3

8) Nilai x yang memenuhi persamaan 5 52 2 64x x adalah ....

a. -2

b. -1

c. 0

d. 1


27

Ringkasan

Pada topik ini, kita telah mempelajari persamaan eksponen dan fungsi eksponen

dengan menggunakan sifat-sifat fungsi eksponen dalam menyelesaikan persamaan eksponen. Fungsi eksponen f dengan bilangan pokok a ( a konstan) adalah fungsi yang

didefenisikan dengan rumus : , 0 dan 1xf x a a a

Tes 1

1) Nilai dari x agar 23 3 0x ....

A. 1

B. 1

2

C.

1

3

D.

1

4

2) Nilai x dari persamaan 5 1 33 27 0x x ....

A. 5

B. 6

C. 7

D. 8

3) Cari himpunan penyelesaian dari persamaan eksponen 2 23 8 3 1 0x x

A. 2

B. -1

C. 0

D. -2

4) Jika 12xf x tentukan nilai dari 3 dan 3f f ....

A. 1

2

B. 0,25

C. 0,125

D. 25

5) Carilah himpunan penyelesaian dari persamaan eksponen berikut.

3 2 1

2

125

125x

x


28

A.

B. 5/2

C. 5/3

D. 5/4


29

Topik 2

Persamaan Fungsi Logaritma

Pengertian logaritma sebagai invers (kebalikan) dari perpangkatan, dapat dijelaskan

melalui pembahasan berikut ini: Contoh 2.2.1:

1. 42 2 2 2 2 16

2. 310 10 10 10 1000

Dari contoh di atas tampak bahwa apabila bilangan pokok dan pangkatnya diketahui maka

dapat ditentukan hasil perpangkatannya. Nah! Permasalahannya adalah bagaimana cara

menentukan pangkat, apabila bilangan pokok dan hasil perpangkatannya diketahui:

Misal :

1. Berapa n , jika 2 16n

2. Berapa x , jika 10 1000x

Jawaban permasalahan tersebut dapat diselesaikan dengan cara yang disebut logaritma.

Nilai n atau x tersebut ditentukan sebagai berikut:

1. 2 16n maka 2 2 4log16 log2 4n

2. 10 1000x maka 10 10 3log1000 log10 3x

Sekarang terlihat bahwa antara logaritma dan perpangkatan terdapat hubungan, yaitu

bahwa logaritma merupakan invers ( kebalikan) dari perpangkatan, sehingga dapat

didefinisikan sebagai berikut :

Definisi :

Logaritma suatu bilangan x dengan bilangan pokok a (ditulis loga x ) adalah eksponen

bilangan berpangkat yang menghasilkan x jika a dipangkatkan dengan eksponen itu.

Dirumuskan :

loga x n artinya nx a untuk 0; 1 dan 0a a x

a disebut bilangan pokok

x disebut bilangan logaritma atau numerus dengan 0x

n disebut hasil logaritma atau eksponen dari basis

Untuk lebih memahami konsep ini ikutilah contoh-contoh berikut ini dengan teliti agar kamu

tidak menemui hambatan di kemudian hari .

Contoh 2.2.2 :

Nyatakan dalam bentuk logaritma:


30

1. 43 81

2. 133 2 2

3. 30,001 10

Jawab:

1. 4 33 81 log81 4

2.

133 3

12 2 log 2

3

3. 3 100,001 10 log0,001 3

Nyatakan dalam bentuk pangkat

1. 5 log25 2

2. 31

log 327

3. loga b c

Jawab:

1. 5 2log25 2 25 5

2. 3 31 1

log 3 327 27

3. loga cb c b a

Tentukan nilai logaritma berikut!

1. 2 log32

2. 3 log3 3

3. 21

log 22

Jawab :

1. 2 2 5log32 log2 5

2. 323 3

3log3 3 log3

2

3. 122 2

1 1log 2 log2

2 2

A. SIFAT-SIFAT LOGARITMA

Ada 7 (tujuh) sifat pada logaritma ini yang akan membantu kamu dalam memecahkan

masalah yang berkaitan dengan logaritma yaitu:


31

Sifat 1

log log loga a ax y xy

Contoh 2.2.3:

Sederhanakanlah !

1. 2 2log4 log8

2. 3 31

log log819

3. 2 2log2 2 log4 2

Jawab :

1. 2 2 2 2log4 log8 log4 8 log32 5

2. 3 3 3 31 1

log log81 log 81 log9 29 9

3. 2 2 2 2log2 2 log4 2 log2 2 4 2 log16 4

Sifat 2

log log loga a ax

x yy

Contoh 2.2.4 :

Sederhanakanlah!

1. 2 2log16 log8

2. log1000 log100

3. 3 3log18 log6

Jawab :

1. 2 2 2 216

log16 log8 log log2 18

2. 1000

log1000 log100 log log10 1100

3. 3 3 318

log18 log6 log 16

Sifat 3

log loga n ax n x


32

Contoh 2.2.5 :

Sederhanakan! 1. 2log3 4log3

2. 2log 2loga b

Jawab:

1. 2 42log3 4log3 log3 log3

log9 log81

log9 81

log729

2. 2 22log 2log log loga b a b

2 2

2

log

log

a b

ab

Ingat :

1. 22log log log logx x x x

2log 2logx x

Jadi 2 2log logx x

2. 11

loglog

xx

11

log log logx xx

Jadi 1 1log logx x

Sifat 4

1. log

loglog

ca

c

xx

a

2. 1

loglog

g

aa

g

Contoh 2.2.6: 3 7log7 log81

Jawab :

1. 3 7log7 log81

log7 log81log3 log7

= 4log3

log3


33

= 4log3

4log3

2. 3 7 77

1log7 log81 log81

log3

= 7 4 4

7

log3 log3

log3 log3

= 3 4log3 4

Sifat 5 loga xa x

Contoh 2.2.7 :

1. 2

2 log5log5 24 2

2. 33

12

log2log2

3 3

Jawab :

1. 2

2 2 2log5log5 2 log5 24 2 2 5 25

2. 3 13

1 13 22 2

log2log2log23 3 3 3 3

Sifat 6

Perhatikan uraian berikut untuk menunjukkan sifat 6 logaritma ini :

1. log log

log loglog log

nm

p m p

n

a m a ma a a

p n p n

2. Jika m n maka diperoleh:

log .log

log loglog .log

nn

p m p

n

a n aa a

p n p

Sehingga dapat disimpulkan bahwa : Untuk p dan a bilangan real positif 1p maka:

log lognp m pma a

n

log lognp n pa a

Jika numerus dan bilangan pokok dipangkatkan dengan bilangan yang sama maka hasilnya

tetap.


34

Contoh 2.2.8 :

Hitunglah !

1. 8 log16

2. 8 log64

3. Jika 3 log5 a hitunglah 25 log27

Jawab :

1. 38 2 4 24 4 4log16 log2 log2 1

3 3 3

2. 38 2 6 26 4 6log64 log2 log2 1 2

3 3 3

3. 3 log5 a , maka :

225 5 3 5

3

3 3 1 3 1 3log27 log3 log3

2 2 log5 2 2a a

Sifat 7

Perhatikan uraian di bawah ini!

Misalkan logpn a , maka na p , oleh karena logpn a , maka logpn ap p a (karena

na p ) sehingga disimpulkan :

Untuk p dan a bilangan real 1p maka logp ap a

Contoh 2.2.9:

Sederhanakan !

1. 2log10 x

2. 3 log9 a

3. 9 log

27b

Jawab :

1. 2 10 2log log 210 10x x x

2. 23 3 2 9 2log log log 29 9 9a a a a

3. 99 99 31 3

2 42

loglog loglog3 227 3 3 3

bb bb

= 34

32

2x

= 3

9 4log9n mb m na a

= 34b sifat 7

= 34 b mengubah eksponen ke akar


35

B. MENGGUNAKAN TABEL LOGARITMA

1. Mencari hasil logaritma menggunakan daftar logaritma

N 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0

.

.

721

log721,8 2,8530

log72,18 1,8530

log7,218 0,830

Hasil penghitungan logaritma dari satu bilangan akan diperoleh bagian desimal. Bagian

bulat di sebut karakteristik/induk yang diperoleh dari perhitungan, sedang bagian desimal

disebut matise diperoleh dari tabel logaritma. Bilangan pokok pada daftar adalah 10.

Untuk menentukan logaritma bilangan yang lebih besar dari 10 atau antara 0 dan 1

dapat dilakukan dengan cara bilangan itu diubah dalam bentuk baku : 10na , dengan

1 10a dan n bilangan bulat, sehingga :

log 10 log log10 log

n na a

n a

Contoh 2.2.10 :

1. 4log34000 log 3,4 10

4log3,4 log10 dari tabel log4,4 0,5315

0,5315 4

4,5315

2. 2log0,284 log 2,84 10

2log2,84 log10 dari tabel log2,84 0,4533

0,4533 2

Anti Logaritma

Yaitu mencari bilangan logaritma jika diketahui hasil logaritma

N 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0

.

.

721

.8530

.8759


36

Contoh 2.2.11 :

log 0,8759 7,515x x

Misalnya, carilah nilai x dengan menggunakan daftar logaritma dari 2 10x Jawab :

log2 log10x Dari daftar

log2 log10 log2 0,3010x

log10

log2x

13,322

0,3010x

C. OPERASI PADA LOGARITMA

1. Operasi Perkalian

log loga logba b

Contoh 2.2.12:

Hitunglah 6,28 2,536

Jawab: Jika 6,28 2,536p

log log 6,28 2,536p log log6,28 log2,536 1,2021p

Jadi, antilog 1,2021 15,926p

2. Operasi Pembagian

log log loga

a bb

Contoh 2.2.13:

Hitunglah 325,6 : 48,5

Jawab: Jika 325,6: 48,5p

log log 325,6: 48,5p


37

log log325,6 log48,5p

2,5127 1,6857

0,8270

Jadi, log0,8270 6,7p anti

3. Operasi Akar dan Pangkat

log log

1log log

n

n

a n a

a an

Contoh 2.2.14 :

Dengan menggunakan tabel logaritma, tentukan nilai dari soal-soal berikut.

a. 85

b. 47,32

18,6

Jawab :

a. Jika 85p

8log log5

8log5

p

log 8 0,699 5,592p

Jadi, log 5,592 390800p anti

b. Jika 47,32

18,6p , maka

47,32

log log18,6

p

1log47,32 18,6

2

11,6750 1,1643

2

10,5107 0,2553

2

Jadi, log 0,2553 1,8001p anti

Latihan

1) Ubah bentuk pangkat pada soal-soal berikut menjadi bentuk logaritma:

a) 32 8

b) 45 625

c) 27 49


38

2) Tentukan nilai dari:

a) 2 3 5log8 log9 log125

b) 2 3 51 1 18 9 125log log log

3) Tentukan nilai dari

a) 4 27log8 log9

b) 8 27 19log4 log

4) Tentukan nilai dari:

a) 2 log8

b) 3 log27

5) Diketahui: log p A

logq B

Tentukan nilai dari 3 2log p q

Petunjuk Jawaban Latihan

1) loga ax n

2) 2 3 5log8 log9 log125

Ringkasan

Sampai di sini kita telah dikenalkan dengan persamaan dan fungsi logarimat, Logaritma

merupakan invers atau kebalikan dari perpangkatan atau eksponen. Jika 23 9 , maka kita

dapat menuliskannya dalam bentuk logaritma, yaitu 3 log9 2 atau 9log3 2 . Ingat juga

bahwa jika tidak ditulis atau jika terdapat angka di depan log seperti ini 3log berarti log itu

berbasis 10 yang bisa kita tuliskan seperti ini 10 log . Namun umumnya log basis 10 tidak

dituliskan. Sifat- sifat yang berlaku dalam logaritma inilah yang sering kita hadapi dalam

operasi penyelesaian soal-soal logaritma. Logaritma digunakan untuk menentukan besar

pangkat dari suatu bilangan pokok. Tak hanya dalam bidang studi matematika, logaritma

juga sering digunakan dalam soal perhitungan bidang studi yang lain, misalnya menentukan

orde reaksi dalam pelajaran laju reaksi kimia, menentukan koefisien serap bunyi dalam

pelajaran akustik dan lain sebagainya.

Tes 2

1) Nilai logaritma dari 2 3 5log8 log9 log125 ....

A. 6

B. 7


39

C. 8

D. 9

2) Diketahui 2 3log 3 dan log 5a b , maka 6log 15 .

A. a b

B. a b

C.

1

1

a b

a

D. 1

1

b a

b

3) Jika 3 7log 5 dan log 5m n , maka 35log 15 ....

A. 1

1

m

n

B. 1

1

n

m

C.

1

1

m n

n m

D.

1

1

n m

m n

4) Jika , , 1a b c , maka 3 3 3log log logabc abc abcab bc ac ....

A. 1

3

B. 2

3

C. 1

D. 4

3

5) Jika 2

3

log

log

xp

y dan 3

2

log

log

xq

y , 1, 1x y , maka

p

q ....

A. 2log 3

B. 3log 2

C. 4log 9

D. 2

2log 3


40

Kunci Jawaban Tes

Tes 1

1) B

2) A

3) D

4) B

5) C

Tes 2

1) B

2) C

3) D

4) A

5) C


41

Daftar Pustaka

http://bahanbelajarsekolah.blogspot.co.id/2014/11/rumus-lengkap-logaritma-dan-contoh-

soal.html

http://id.wikipedia.org/wiki/Logaritma

Anonymous. 2011. Bentuk Akar Pangkat dan Logaritma. (online) Diakses pada tanggal 10

Juni 2014

http://matematikaeducation-matematika.blogspot.com/2011/01/bentuk-akar-pangkat-dan-

logaritma.html

Anonymous. 2008. Perpangakatan dan Akar Bilangan. (online) Diakses pada tanggal 10

Juni 2014

http://applikasi.wordpress.com/2008/06/06/perpangkatan-dan-akar-bilangan/

Ali Yaramadon. 2013. Tugas Pengertian dan Macam-macam Bentuk Akar. (online) Diakses

pada tanggal 10 Juni 2014

http://aliyaramadonasman1.blogspot.com/2013/07/tugas-pengertian-dan-macam-

macam_6143.html

Wilson Simangunsong, 2005. Matematika Dasar, Jakarta: Penerbit Erlangga.

http://bahanbelajarsekolah.blogspot.co.id/2014/11/rumus-lengkap-logaritma-dan-contoh-soal.htmlhttp://bahanbelajarsekolah.blogspot.co.id/2014/11/rumus-lengkap-logaritma-dan-contoh-soal.htmlhttp://id.wikipedia.org/wiki/Logaritmahttp://matematikaeducation-matematika.blogspot.com/2011/01/bentuk-akar-pangkat-dan-logaritma.htmlhttp://matematikaeducation-matematika.blogspot.com/2011/01/bentuk-akar-pangkat-dan-logaritma.htmlhttp://applikasi.wordpress.com/2008/06/06/perpangkatan-dan-akar-bilangan/http://aliyaramadonasman1.blogspot.com/2013/07/tugas-pengertian-dan-macam-macam_6143.htmlhttp://aliyaramadonasman1.blogspot.com/2013/07/tugas-pengertian-dan-macam-macam_6143.html


42

BAB III

SATUAN PENGUKURAN DAN KONSENTRASI


PENDAHULUAN

Sifat-sifat dari suatu benda atau kejadian yang kita ukur, misalnya panjang benda,

massa benda, lamanya waktu lari mengelilingi sebuah lapangan sering kali kita jumpai, apa

saja yang bias kita ukur dari sebuah buku? Pada sebuah buku dapat kita mengukur massa,

panjang, lebar dan tebal buku. Bagaimanakah kita menyatakan hasil pengukuran panjang

buku?

Di Inggris, system metric merupakan sistem yang kini paling lazim digunakan untuk

menyatakan jumlah (kuantitas) dalam farmasi. Untuk kuantitas tertentu, satuan dasar yang

digunakan adalah gram untuk satuan dasar massa; liter untuk satuan dasar volume; dan mol

untuk satuan dasar jumlah obat. Awalan (prefiks) digunakan untuk menyatakan kuantitas

yang lebih besar atau lebih kecil dari satuan dasar.

Kebanyakan sediaan farmasetika yang digunakan mengandung bahan aktif (obat) yang

terlarut dab terdispersi alam pelarut (solven) atau pengencer (diluen). Berbagai pernyataan

dapat digunakan untuk menjelaskan konsentrasi obat dalam sediaan. Karena itu,

pemahaman tentang pernyataan-pernyataan ini sangat penting dalam praktik farmasi. Selain

itu, pemahaman tentang pernyataan-pernyataan konsentrasi juga penting ketika memeriksa

hasil uji laboratorium klinis karena hasil uji biokimia dapat diberikan dalam berbagai bentuk.

Pada modul ini di Topik 1, kita akan membahas tentang satuan massa, satuan volume

dan satuan jumlah obat. Pada Topik 2, akan dibahas empat cara berbeda untuk menyatakan

konsentrasi, yaitu kuantitas per volume, persentase konsentrasi, bagian dan rasio.

Setelah menyelesaikan modul ini, diharapkan anda mampu menggunakan konsep

satuan pengukuran dan konsentrasi dalam pemecahan masalah dalam kehidupan sehari-

hari. Secara keseluruhan, setelah mempelajari modul ini diharapkan anda dapat :

1. Menyebutkan satuan massa, volume, dan jumlah obat yang biasa digunakan.

2. Mengkonversi satuan massa, volume, dan jumlah obat antara yang lebih besar dan

yang lebih kecil.

3. Memahami empat cara berbeda untuk menyatakan konsentrasi, yaitu kuantitas per

volume, persentase konsentrasi, yaitu kuantitas per volume, persentase konsentrasi,

rasio dan bagian.

4. Mengonversi pernyataan-pernyataan konsentrasi.


43

Topik 1

Satuan Pengukuran

A. SISTEM METRIK

Untuk profesional kesehatan saat ini, sistem metrik merupakan sistem yang kini paling

lazim digunakan untuk menyatakan jumlah (kuantitas) dalam farmasi. Untuk kuantitas

tertentu, satuan dasar yang digunakan adalah gram untuk satuan dasar massa; liter untuk

satuan dasar volume; dan mol untuk satuan dasar jumlah obat. Sistem metrik menggunakan

desimal, yang diterjemahkan menjadi power of tens. Pada sistem metrik terdapat awalan

(prefiks) yang digunakan untuk menyatakan kuantitas yang lebih besar atau lebih kecil dari

satuan dasar. Tabel 3.1 memuat daftar awalan yang paling sering digunakan dalam farmasi

dan contoh untuk setiap awalan.

Tabel 3.1 Awalan yang Digunakan Dalam Sistem Metrik

Awalan Menyatakan Contoh

Kilo Seribu kali lebih besar dan satuan dasar Kilogram

Mili Seribu kali lebih kecil dan satuan dasar Millimeter

Mikro Satu juta kali lebih kecil dan satuan dasar Mikro omo

B. SATUAN MASSA

Satuan massa yang paling lazim digunakan didaftar pada Tabel 3.2.

Tabel 3.2. Satuan Massa

Satuan Singkatan Setara dengan

1 Kilogram Kg 1000 gram

1 Gram G 1000 miligram

1 Miligram Mg 1000 mikrogram

1 Mikrogram g atau mcg

Massa yang lebih besar atau lebih kecil dari jumlah-jumlah tersebut jarang digunakan dalam

farmasi. Untuk mengubah dari satuan yang lebih kecil ke satuan yang lebih besar (contohnya

miligram ke gram,gram ke kilogram), kita perlu membagi dengan 1000. Sebaliknya, untuk

mengubah dari satuan yang lebih besar ke satuan yang lebih kecil (contohnya kilogram ke

gram,gram ke miligram), kita harus mengalikan dengan 1000 (lihat Gambar 3.1).


44

Gambar 3.1 Konversi antara Satuan-satuan Massa

Contoh 3.1.1: Jumlahkan 0,0025kg , 1750mgr , 2,5gr , dan 750.000mcgr (berikan jawaban Anda dalam

gram). Jawab:

1. Ubah setiap kuantitas menjadi gram.

2. Jumlahkan kuantitas yang telah diubah.

0,00250kg 0,00250 1000 gr 2,50gr

1750mgr 1750:1000 gr 1,75gr

2,50gr 2,50gr

750000mgr 750000:1000000 gr 0,75gr Massa total = 7,50gr

Jawaban: 7,50gr

C. SATUAN VOLUME

Satuan dasar volume adalah liter (L). Satu liter terdiri dari 10 desiliter, atau 100

sentiliter atau 1000 milliliter. Milliliter setara dengan centimeter kubik(cc) walaupun

singkatan yang lebih dipilih adalah ml. Tabel 3.1 mendaftar satuan-satuan volume yang lazim

digunakan dalam farmasi.

Tabel 3.1 Satuan yang digunakan dalam farmasi


1 Liter L 1000 mililiter

1 Mililiter mL 1000 mikroliter

Untuk mengonversi volume dari liter menjadi mililiter, kita harus mengalikan dengan 1000,

sedangkan untuk mengonversi volume dari mililiter menjadi liter, kita harus membagi

dengan 1000 (lihat Gambar 3.2)


45

Gambar 3.2 Konversi Antara Satuan-satuan Volume

Contoh, 3.1.2: Jumlahkan 3L, 1150mL dan 0,75L . Berikan volume total dalam mL

Jawab:

1. Ubah setiap kuantitas menjadi mililiter.

2. Jumlahkan kuantitas yang telah diubah.

2L 3 1000 mL 3000 mL 1150 mL 1150 mL

0,75L 0,75 1000 mL 750 mL Volume total = 4900 mL

Jawaban: 4900 mL

Contoh 3.1.3 :

Seorang pasien diberi resep 10 mL campuran untuk digunakan empat kali sehari. Berapa

banyak campuran (dalam liter) yang dibutuhkan oleh pasien selama 30 hari?

Jawab:

1. Hitung berapa banyak campuran yang digunakan oleh pasien setiap hari.

2. Hitung berapa banyak campuran yang dibutuhkan oleh pasien selama 30 hari

3. Konversi angka yang diperoleh dan mL ke L

Setiap hari pasien menggunakan 10mL 4 40mL

Selama 30 hari pasien membutuhkan 40mL 30 1200mL 1200 mL 1 0,2 L 1,2L

Jawaban: 1,2L

1. Satuan Jumlah Obat

Satuan dasar untuk jumlah obat adalah mol. Satu mol adalah jumlah bahan yang

mengandung 6,02 1023satuan formula komponennya (contohnya atom, molekul, atau ion).

Jumlah mol suatu obat dapat langsung dinyatakan sebagai massa karena satu mol suatu

berat obat, dalam gram, sama dengan massa molekul relatif (relative molecular op[]mass,


46

RMM) obat tersebut. Contohnya, 1 mol kalium kiorida (RMM =74,5) memiliki berat 74,5

gram. Tabel 3.4 menunjukkan satuan jumlah obat yang lazim digunakan dalam farmasi.

Tabel 3.4

Satuan Jumlah Obat


Mol Mol 1000 milimol

Milimol mmol 1000 mikromol

Gambar 3.3 menunjukkan konversi antara mol dan milimol, serta konversi satuan-

satuan ini ke dalam satuan massa.

Gambar 3.3 Konversi Antara Satuan-satuan Jumlah Obat

Contoh 3.1.4: Berapa milimol kalium kiorida (asumsikan 75RMM ) yang terdapat dalam 150gr obat?

Jawab:

1. Hitung jumlah mol obat.

2. Ubah hasil yang diperoleh ke dalam milimol.

75 gr adalah berat 1 mol kalium klorida

1gr adalah berat 1: 75 mol kalium klorida

150 gram adalah berat 150 : 75 mol kalium klorida = 2 mol

2 mol 2 1000 milimol = (2 1000) milimol = 2000 milimol

Jawaban: 2000 milimol

Latihan

1) Hasil jumlah dar 7 kg, 75 g, dan 750.000 mcg adalah .... g

a. 7000

b. 7500

c. 7000,75

d. 7075,75


47

2) Volume total dari 0,04 L, 20 rnL, dan 200 L adalah .... mL

a. 20

b. 60

c. 60,2

d. 80,2

3) Seorang dokter meresepkan 250mg minosiklin untuk digunakan empat kali sehari

selama 20 hari. Total minosiklin yang dibutuhkan oleh pasien adalah ....

a. 10 g

b. 20 g

c. 30 g

d. 40 g

4) Satu kapsul obat mengandung bahan Fenilpropanolamin hidrokiorida 50 mg.

Berapakah dalam gram yang dibutuhkan untuk membuat 10.000 kapsul ....

a. 50 g

b. 100 g

c. 500 g

d. 1000 g

5) Satu tompok transdermal (transdermal patch) mengandung 8 mgestradiol. Jumlah

gram estradiol yang dibutuhkan untuk membuat 50.000 tompok adalah ....

a. 100 g

b. 200 g

c. 300 g

d. 400 g 6) Suatu inhaler menghantarkan 50 mcgr salmeterol pada setiap hirupan (inhalasi).

Inhaler tersebut mengandung 200inhalasi terukur. Jumlah miligram salmeterol

terkandung dalam inhaler ini adalah ....

a. 10 mg

b. 20 mg

c. 30 mg

d. 40 mg

7) Pasien diberi resep 15mL campuran untuk digunakan dua kali sehari selama 14 hari.

Banyak campuran yang harus diberikan adalah ....

a. 210 mL

b. 400 mL

c. 420 mL

d. 460 mL 7) Setiap kapsul natrium bikarbonat berisi 600 mgr bahan tersebut. Jika pasien

menggunakan tujuh kapsul sehari, jumlah mmol natrium bikarbonat yang digunakan

pasien adalah (RMM natrium bikarbonat = 84).

a. 5 mmol

b. 50 mmol


48

c. 10 mmol

d. 100 mmol

8) Suatu infus intravena mengandung 30 mmol natrium klorida. Jumlah massa natrium

klorida (dalam gram) yang terkandung dalam infus tersebut adalah (RMMnatrium

klorida = 60).

a. 0,18 g

b. 1,8 g

c. 18 g

d. 180 g

9) Sebuah tablet efervesen untuk rehidrasi oral mengandung 120 mgnatrium klorida dan 150 mgr kalium kiorida. Jumlah mmol klorida terkandung dalam satu tablet adalah ....

(RMM natrium klorida (NaCl) = 60 dan RMM kalium klorida (KCl) = 75).

a. 1 mmol

b. 2 mmol

c. 3 mmol

d. 4 mmol

Ringkasan

Untuk kuantitas tertentu, satuan dasar yang digunakan adalah gram untuk satuan

dasar massa; liter untuk satuan dasar volume; dan mol untuk satuan dasar jumlah obat.

Sistem metrik menggunakan desimal, yang diterjemahkan menjadi power of ten.

Satuan massa yang paling lazim digunakan adalah kilogram, gram,miligram dan

mikrogram.

Satuan dasar volume adalah liter (L). Satu liter terdiri dari 10 desiliter, atau 100

sentiliter atau 1000 milliliter.

Satuan dasar untuk jumlah obat adalah mol. Satu mol adalah jumlah bahan yang

mengandung 6,02 1023 satuan formula komponennya (contohnya atom, molekul, atau ion).

Tes 1

1) Suatu inhaler menghantarkan 50 mikrogram salmeterol pada setiap hirupan (inhalasi).

Inhaler tersebut mengandung 200 inhalasi terukur. Berapa miligram salmeterol

terkandung dalam inhaler ini?

A. 100 g

B. 200 g

C. 300 g

D. 400 g


49

2) Pasien diberi resep 15 mL campuran untuk digunakan dua kali sehari selama 14 hari.

Berapa banyak campuran yang harus diberikan?

A. 0,1 mg

B. 1 mg

C. 10 mg

D. 100 mg

3) Setiap kapsul natrium bikarbonat berisi 600 mg bahan tersebut. Jika pasien

menggunakan tujuh kapsul sehari, berapa mmol natrium bikarbonat yang digunakan

pasien? (RMM natrium bikarbonat = 84).

A. 42 mmol

B. 420 mmol

C. 4,2 mmol

D. 0,42 mmol

4) Suatu infus intravena mengandung 30 mmol natrium klorida. Berapa massanatrium

klorida (dalam gram) yang terkandung dalam infus tersebut? (RMM natrium klorida =

60).

A. 5 mmol

B. 50 mmol

C. 2 mmol

D. 20 mmol

5) Satu tompok transdermal (transdermal patch) mengandung 8 mgestradiol. Berapa

gram estradiol yang dibutuhkan untuk membuat 50.000 tompok?

A. 1,8 g

B. 18 g

C. 0,9 g

D. 9 g


50

Topik 2

Memahami Konsentrasi

A. PERNYATAAN KONSENTRASI

Kebanyakan sediaan farmasetika yang digunakan mengandung bahan aktif(obat) yang

terlarut atau terdispersi dalam pelarut (solven) atau pengencer (diluen). Berbagai

pernyataan dapat digunakan untuk menjelaskan konsentrasi obat dalam sediaan. Karena itu,

pemahaman tentang pernyataan-pernyataan ini sangat penting dalam praktik farmasi. Selain

itu, pemahaman tentang pernyataan-pernyataan konsentrasi juga penting ketika memeriksa

hasil uji laboratorium klinis karena hasil uji biokimia dapat diberikan bentuk. Dalam kegiatan

ini, kita akan membahas empat cara berbeda untuk menyatakan konsentrasi:

1. kuantitas per volume

2. persentase konsentrasi

3. bagian

4. rasio

1. Kuantitas Per Volume

Pernyataan kuantitas per volume digunakan untuk menunjukkan konsentrasi obat

dalam larutan dan untuk hasil uji laboratorium klinis. Pernyataan kuantitas per volume

memberikan jumlah atau berat obat (jumlah dalam mol atau berat dalam gram) dalam volume larutan. Sebagai contoh, larutan natrium klorida 9gr/L berarti 9 gr natrium klorida

terlarut dalam 1 liter larutan; larutan natrium klorida 1 mmol/L mengandung 1 mmol/L (ekuivalen dengan 0,058 g) natrium klorida terlarut dalam1 liter larutan.

Contoh 3.2.1: Berapa berat natrium bikarbonat (dalam gram) dibutuhkan untuk membuat 200 mL larutan

6 gr/L ?

Jawab:

a. Perhatikan pernyataan konsentrasi dan hitung berapa banyak natrium bikarbonat yang terkandung dalam 1mL larutan.

b. Hitung berapa banyak natrium bikarbonat dibutuhkan untuk membuat 200mL larutan.

6 gr/L berarti 6 gr natrium bikarbonat harus dilarutkan dalam 1L (1000mL ) larutan.

Jadi, 6:1000 gr natrium bikarbonat harus dilarutkan dalam 1 mL larutan.

Jadi, 6:1000 200gr natrium bikarbonat harus dilarutkan dalam 200mL larutan. Jawaban: 1,2gr .


51

Contoh 3.2.2 : Seorang pasien memiliki kadarkaliurn serum 4 mmol/L .

a. Berapa mmol kalium terkandung dalam 20 mL sampel serum pasien?

b. Berapa miligram kalium terkandung dalam sampel ini? (RMM kalium = 40) Jawab: a)

1) Perhatikan pernyataan konsentrasi dan hitung berapa milimolkalium terkandung dalam 1 mL serum.

2) Hitung berapa milimol kalium terkandung dalam 20 mL serum.

4mmol/L berarti 4mmol kalium terkandung dalam 1L serum.

Jadi 4:1000 mmol kalium terkandung dalam 1 mL serum. Karena itu, (4 20) 1000 mmol kalium terkandung dalam 20 mL serum.

80:1000 mmol 0,08 mmol Jawaban: 0,08 mmol

Jawab: b) Konversi jumlah mmol menjadi mgr dengan mengalikan nilai tersebut dengan RMM (lihat

kegiatan 3.1). 1mmol kalium memiliki berat 40 mgr .

0,08 mmol kalium memiliki berat 0,08 40 mgr 3,2mgr .

0,08 mmol kalium terkandung dalam 20 mL serum.

Jawaban: 3,2 mgr kalium terkandung dalam 20 mL serum

2. Persentase Konsentrasi

Persentase dapat digunakan untuk menyatakan konsentrasi obat, baik dalam bentuk

sediaan cair maupun padat. Persentase konsentrasi menjelaskan jumlah bagian obat (dalam

gram atau militer) dalam 100 bagian bentuk sediaan. Ada tiga persentase konsentrasi yang

lazim digunakan. Penggunaan ketiga persentase ini bergantung pada sifat produk.

a. % b v

Persen berat-dalam-volume digunakan untuk menyatakan berat suatu padatan dalam

100 mL produk cair. Sebagai contoh, larutan natrium klorida 1% b v dalam air berarti 1gr natrium klorida terkandung dalam 100 mL larutan. Untuk membuat larutan ini, 1 gr

natrium klorida dilarutkan dalam sedikit air, kemudian larutan diencerkan hingga 100 mL

dengan air.

b. % b b

Persen berat-dalam-berat digunakan untuk menyatakan berat suatu padatan, atau

kadang-kadang cairan, dalam 100 g produk padat. Sebagai contoh, salep hidrokortison 1% b b berarti 1 gr hidrokortison terkandung dalam 100 gr salep akhir. Untuk membuat


52

produk ini, 1 gr hidrokortison dicampur dengan sedikit basis salep, kemudian produk dibuat

menjadi 100 gr dengan penambahan basis salep lebih lanjut.

b. % v v

Persen volume-dalam-volume digunakan untuk menyatakan volume suatu cairan

dalam 100 mL produk cair. Sebagai contoh, emulsi yang mengandung 50% v v parafin cair

berarti 50mL parafin cair terdapat dalam 100mL emulsi akhir.

Contoh 3.2.3:

Obat kumur mengandung 0,1% b v klorheksidin glukonat. Berapa gram klorheksidin

glukonat terkandung dalam 250 mL obat kumur?

Jawab:

1) Perhatikan pernyataan konsentrasi dan tentukan berapa banyak obat (dalam gram) terkandung dalam 1 mL produk.

2) Hitung berapa banyak obat terkandung dalam 250 mL produk.

0,1% b v berarti 100 mL obat kumur mengandung 0,1 gr klorheksidin glukonat.

Jadi, 1 mL obat kumur mengandung (0,1c 100) g klorheksidin glukonat.

Karena itu, 250mL obat kumur mengandung 0,1:100 250gr klorheksidin glukonat = 0,25gr .

Jawaban: 0,25 gr

Contoh 3.2.4: Berapa berat mikonazol yang dibutuhkan untuk membuat 40 gr krim yang mengandung

2% b b obat?

Jawab:

1) Perhatikan pernyataan konsentrasi dan tentukan berapa banyak obat terkandung dalam 1 gr produk.

2) Hitung berapa banyak obat terkandung dalam 40 gr produk.

2% b b berarti 100 gr krim harus mengandung 2 gr mikonazol.

Jadi, 1 gr krim harus mengandung 2:100 gr mikonazol.

Karena itu, 40gr krim harus mengandung 2:100 40 gr mikonazol. Jawaban: 0,8 gr

Contoh 3.2.5: Berapa banyak minyak kacang (arachis oil) yang dibutuhkan untuk membuat 300 mL emulsi

yang mengandung 30% v v minyak kacang?


53

Jawab:

1) Perhatikan pernyataan konsentrasi dan tentukan berapa banyak minyak kacang yang terkandung dalam 1 mL produk.

2) Hitung berapa banyak minyak kacang yang terkandung dalam 300 mL produk.

30% v v berarti 100 mL emulsi mengandung 30 mL minyak kacang.

Jadi, 1mL emulsi mengandung 30:100 mL minyak kacang.

Karena itu, 30 mL emulsi mengandung 30:100 300 mL minyak kacang = 90 mL . Jawaban: 90 mL

3. Rasio Konsentrasi

Rasio konsentrasi terutama digunakan untuk menyatakan konsentrasi larutan yang

sangat encer. Rasio menyatakan jumlah bagian pelarut (biasanya dalam mililiter) yang di

dalamnya terlarut atau terdispersi satu bagian obat (biasanya dalam gram). Jadi, larutan

obat 1: 5000 mengindikasikan 1 gr obat terlarut dalam 5000 mL ( 5L ) larutan.

Contoh 3.2.6: Berapa miligram adrenalin terkandung dalam 10mL larutan obat 1:10000 ?

Jawab:

1) Ubah rasio menjadi pernyataan kuantitas per volume. 2) Hitung berapa banyak adrenalin terkandung dalam 1 mL larutan.

3) Hitung berapa banyak adrenalin terkandung dalam 10mL larutan.

Larutan 1:10.000 berarti 1 g adrenalin terlarut dalam 10.000 mL larutan.

Jadi, 1mL larutan akan mengandung 1:10000 gr adrenalin.

Karena itu, 10mL larutan akan mengandung 1:10000 10gr 0,001gr 1mgr adrenalin.

Jawaban: 1 miligram

4. Bagian sebagai Pernyataan Konsentrasi

Metode pernyataan konsentrasi ini mirip dengan pernyataan rasio. Namun, dalam

pernyataan konsentrasi bagian, simbol rasio diganti dengan kata dalam. Jadi, larutan 1:1000 menjadi 1 dalam 1000, tetapi artinya tidak berubah, yaitu 1gr obat terlarut dalam

1000 mL larutan.

Contoh 3.2.7: Satu ampul 10 mL yang berisi larutan bupivakain hidroklorida 1 dalam 200.000 diberikan

pada pasien. Berapa miligram bupivakain hidroklorida yang diterima pasien? Jawab:

1) Ubah pernyataan bagian menjadi pernyataan kuantitas per volume.


54

2) Hitung berapa banyak bupivakain hidroklorida terkandung dalam 1 mL larutan.

3) Hitung berapa banyak bupivakain hidroklorida terkandung dalam 10 mL larutan.

Larutan 1dalam 200.000 berarti 1 gr bupivakain hidroklorida terlarut dalam

200000 mL larutan.

Jadi, 1 mL larutan akan mengandung 1:200000 gr bupivakain hidroklorida.

Karena itu, 10mL larutan akan mengandung 1:200000 10gr 0,00005gr 0,05mgr bupivakain hidroklorida.

Jawaban : 0,05 miligram

B. KONVERSI ANTAR PERNYATAAN KONSENTRASI

Konversi antar pernyataan konsentrasi sering kali perlu dilakukan. Untuk melakukan

hal ini, Anda harus memastikan bahwa Anda memahami makna setiap pernyataan

konsentrasi yang telah dijelaskan sebelumnya.

Contoh 3.2.8: Suatu larutan mengandung 10mgr obat dalam 5mL larutan. Nyatakan konsentrasi ini

sebagai rasio konsentrasi. Jawab:

1. Tentukan pernyataan konsentrasi yang diperlukan.

2. Karena yang dibutuhkan adalah rasio konsentrasi, tentukan berapa volume larutan yang akan mengandung 1 gr obat.

3. Nyatakan konsentrasi sebagai rasio.

10 mgr obat terkandung dalam 5mL larutan.

Jadi, 1mgr obat terkandung dalam 5:10 mL larutan.

Karena itu, 1gr terkandung dalam 5:10 1000 mL 500 mL larutan Jawaban: rasio

konsentrasi 1: 500

Latihan

1) Pasien diberi resep suspensi yang mengandung 2 mgr/mL obat. Aturan pakainya

adalah pasien menggunakan 10 mL suspensi tiga kali sehari selama satu minggu.

Jumlah miligram obat yang akan diterima pasien dalam seminggu adalah ....

a. 400 mg obat

b. 410 mg obat

c. 420 mg obat

d. 430 mg obat


55

2) Pasien melarutkan dua tablet, masing-masing mengandung 300 mgr aspirin, dalam

120 mL air. konsentrasi aspirin % b v dalam larutan adalah

a. 0,5 % b/v

b. 5 % b/v

c. 0,1 % b/v

d. 10 % b/v 3) Jumlah gram antibiotik yang dibutuhkan untuk membuat 50 mL larutan antibiotik

0,25%b v adalah ....

a. 0,125 g

b. 0,25 g

c. 0,5 g

d. 1 g

4) Obat gosok mengandung 5%v v metilsalisilat. Jumlah metil salisilat yang dibutuhkan

untuk membuat 600 mL obat gosok adalah ..

a. 10 mL

b. 20 mL

c. 30 mL

d. 40 mL

5) Banyaknya hidrokortison yang terdapat dalam 120 gr krim yang mengandung 0,5b b hidrokortison adalah

a. 0,3 g

b. 0,6 g

c. 0,9 g

d. 1 g

6) Infus natrium klorida 0,9% b v banyak digunakan untuk penggantian elektrolit.

Konsentrasi natrium klorida dalam mmol/L (Anggap RMM natrium klorida = 60) adalah

mmol/L

a. 10

b. 15

c. 20

d. 25 7) Banyaknya volume larutan adrenalin 1: 20000 yang mengandung 50 mgr obat

adalah ....

a. 1 L

b. 2 L

c. 3 L

d. 4 L

8) Konsentrasi % b v suatu larutan natrium bikarbonat 1000 mmol/L (RMM natrium

bikarbonat = 84) adalah .... % b/v

a. 0,84


56

b. 8,4

c. 0,42

d. 4,2 9) Pasien menggunakan 200 mL larutan antiseptik 1: 8000 setiap hari selama 10 hari.

Jumlah gram obat antiseptik yang telah digunakan adalah .

a. 1 g

b. 0,75 g

c. 0,5 g

d. 0,25 g

10) Anda diberi obat serbuk yang mengandung kadar air 10%b b . Berat serbuk yang Anda

butuhkan untuk membuat 5 L larutan berair yang mengandung konsentrasi obat

anhidrat 4%b v adalah ....

a. 111,1 g

b. 222,2 g

c. 121,2 g

d. 221, 2 g

Ringkasan

Sampai di sini saudara telah mempelajari dan mengenal dengan baik beberapa tentang

Konsentrasi, Memahami Konsentrasi diperkenalkan empat cara berbeda untuk

menyelesaikan konsentrasi, yaitu kuantitas per volume, presentase konsentrasi, rasio, dan

bagian. Terdapat istilah % b v , %b b , dan % v v . Pada bagian terakhir disajikan bagaimana

menginterpretasi pernyataan konsentrasi dalam bagian dan mengonvensi pernyataan-

pernyataan konsentrasi.

Tes 2

1) Berapa gram antibiotik yang dibutuhkan untuk membuat 50 mL larutan antibiotik

0,25% b v ?

A. 0,25

B. 0,5

C. 0,125

D. 0,0,2

2) Obat gosok mengandung 5% v v metil salisilat. Berapa banyak metil salisilat yang

dibutuhkan untuk membuat 600 mL obat gosok?

A. 30 mL

B. 60 mL


57

C. 90 mL

D. 120 mL

3) Berapa banyak hidrokortison yang terdapat dalam 120 g krim yang mengandung

0,5%b b hidrokortison?

A. 0,2 g

B. 0,6 g

C. 0,9 g

D. 0,12 g

4) Infus natrium klorida 0,9% b v banyak digunakan untuk penggantian elektrolit.

Nyatakan konsentrasi natrium klorida dalam mmol

hak cipta - bppsdmk.kemkes.go.idbppsdmk.kemkes.go.id/pusdiksdmk/wp-content/uploads/2017/08/... ·...

Documents