SISTEM BILANGAN RIILArum Handini Primandari, M.Sc.

Calculus

Himpunan

Himpunan adalah kumpulan objek yang memenuhi sifat tertentu. Objek di dalamhimpunan disebut elemen, unsur, atau anggota dilambangkan dengan “ϵ”. Sementara, anggota-anggota yang membentuk himpunan adalah berbeda.

Contoh?

Notasi Himpunan

Bilangan

1. Bilangan bulat positif : 1, 2, 3, …

2. Bilangan bulat : …, -2, -1, 0, 1, 2, …

3. Bilangan rasional : 5

2, −

19

7, -4

4. Bilangan irasional : 2, 37, 𝜋

Bilangan Rasional dan Irasional

• Bilangan rasional dapat dinotasikandalam bentuk

𝑝

𝑞

dimana 𝑝 dan 𝑞 merupakan bilanganbulat, dan 𝑞 ≠ 0

• Bentuk desimal beraturan

• Bilangan tidak rasional

• Bentuk desimal tidak beraturan

Bilangan Rasional Bilangan Irasional

Keterkaitan Bilangan

Bilangan Real

Bilangan Irasional

Bilangan Rasional

Pecahan

Bulat

Bulat Negatif

Cacah

Asli

Nol

Diagram Bilangan

R

Bilangan RealQ

Bilangan Rasional

Z

Bilangan Bulat

N

Bilangan Asli

ℕ ⊆ ℤ ⊆ ℚ ⊆ ℝ

Latihan 1

• Tentukan manakah bilangan rasional dan irasional

• Ubahlah menjadi bentuk𝑝

𝑞

1. 1.35

2. 3.135135…

3. 1.363636

Sifat-sifat Operasi Matematis

Penjumlahan

• Komutatif

𝑎 + 𝑏 = 𝑏 + 𝑎; 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅

• Asosiatif

𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐; 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝑅

• Distributif

𝑎 𝑏 + 𝑐 = 𝑎𝑏 + 𝑎𝑐; 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝑅

Perkalian

• Komutatif𝑎 ∙ 𝑏 = 𝑏 ∙ 𝑎; 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅

• Asosiatif𝑎 𝑏 ∙ 𝑐 = 𝑎 ∙ 𝑏 𝑐; 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝑅

Pemangkatan dan Akar

Urutan dalam Operasi Matematis

• Urutan dalam operasi matematis:

1. Sederhanakan semua yang ada di dalam tanda kurung (parenthesis)

2. Sederhanakan pemangkatan (exponential)

3. Kerjakan perkalian dan pembagian dari kiri ke kanan (multiplication, division)

4. Kerjakan penjumlahan dan pengurangan dari kiri ke kanan (addition, substraction)

PEMDASParenthesis

Exponential MultiplicationDivision

AdditionSubstraction

Latihan 2

Sederhanakanlah:

1.14

21

2

5−1

3

2

2.2

7− 5 / 1 −

1

7

3.𝑥2−𝑥−6

𝑥−3

4.2𝑥−2𝑥2

𝑥3−2𝑥2+𝑥

Viral Math Problem6 ÷ 2 1 + 2 = ⋯

5. Tentukan nilai dari operasi berikut (tidak terdefinisi atau suatubilangan real)

Interval dan Notasi

Variabel:Lambang suatu bilangan yang

belum diketahui nilainya, contoh: 𝑥, 𝑦, 𝑎, 𝑏, 𝑑𝑠𝑏

Pertidaksamaan

• Menyelesaikan pertidaksamaan:1. Melakukan penjumlahan (atau pengurangan) pada kedua ruas;

2. Melakukan perkalian (atau pembagian) pada kedua ruas dengan bilangan positif;

3. Melakukan perkalian (atau pembagian) pada kedua ruas dengan bilangan negatif, kemudian membalik arah tanda pertidaksamaan

Bilangan:Merupakan suatu koefisien

maupun konstanta, contoh: 1, 3, -4, 100, dsb.

Usahakan: Jangan melakukan kali silang

Contoh:

1.4

𝑥< −2

2. −4

𝑥< 2

Penyelesaian: …

Nilai Mutlak

• Nilai mutlak suatu bilangan 𝑥, dinyatakan dalam 𝑥 , didefinisikan sebagai:

• Contoh:1. 10 = 10, karena 10 > 0

2. −3 = − −3 = 3, karena −3 < 0

𝑥 = 𝑥 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑥 ≥ 0𝑥 = −𝑥 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑥 < 0

Sifat-sifat nilai mutlak

Misalkan x dan y bilangan-bilangan Real,

1. 𝑥𝑦 = 𝑥 𝑦

2.𝑥

𝑦=

𝑥

𝑦

3. 𝑥 + 𝑦 ≤ 𝑥 + 𝑦 (pertidaksamaan segitiga)

4. |𝑥 − 𝑦| ≥ | 𝑥 − |𝑦||

5. 𝑥2 = 𝑥 2 = 𝑥2

Pertidaksamaan Nilai Mutlak

• Terdapat dua jenis penyelesaian dalam pertidaksamaan nilai mutlak:1. 𝑥 < 𝑎 ⟺ −𝑎 < 𝑥 < 𝑎

2. 𝑥 > 𝑎 ⟺ 𝑥 < −𝑎 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑥 > 𝑎

Contoh

Contoh:

• 𝑥 − 2 < 5

• 𝑥 − 2 > 5

Penyelesaian: …

Pertidaksamaan Nilai Mutlak (Kuadrat)

1. 𝑥 2 = 𝑥2 dan 𝑥 = 𝑥2

2. 𝑥 < 𝑦 ⟺ 𝑥2 < 𝑦2

Latihan 3Sketsakan garis bilangannya:1. −4,12. (−∞, 0]

3. ሾ−3, ቁ3

2∩ ൬

3

2, ቃ5

2

4. −∞,−1 ∪ (−2,∞)Tentukan penyelesaian dari pertidaksamaan berikut:

5.7

4𝑥≤ 7

6. 2𝑥 − 3 𝑥 − 1 2 𝑥 − 3 ≥ 0Tentukan penyelesaian dari pertidaksamaan nilai mutlak berikut:

7.2𝑥

7− 5 < 7

8.1

𝑥− 3 > 6

9. 3𝑥 − 1 < 2 𝑥 + 6

Reference: