h04-sistemi pod tlakom

Hidraulika Sistemi pod tlakom

4. HIDRAULIKA SISTEMA POD TLAKOM 4.1 VODOVODNE MREE 4.1.1 Uvod Inenjeri se esto susreu s sistemom cijevi ispunjenih vodom (ili nekom drugom tekuinom) spojenih u jednu cjelinu. To su najee sustavi za distribuciju vode (vodovodne mree), plina, toplonske energije i drugi. Vodoopskrbni sustavi slue za zadovoljavanje potreba stanovnitva i industrije vodom.

Slika 4.1 Skica vodoopskrbnog sistema Vodoopskrbni sustavi se obino sastoje od tri manje ili vie odvojena dijela: 1) zahvat i kondicioniranje koji se obino sastoje od zdenca ili zahvata iz vodotoka,

talonice, crpke i sustava za kondicioniranje (taloenje, filtriranje, kloriranje, ozoniranje,...). Osnovna namjena ovog dijela je zahvat vode i njeno dovoenje u stanje koje sa sanitarnog stanovita zadovoljava potrebe vodoopskrbe stanovnitva ili industrije.

2) transport i skladitenje koji se sastoji od crpke, zranog kotlia, jednog ili vie cjevovoda i vodospreme. Crpkom se dodaje energiju u tlani sustav te se voda transportira do vodospreme, koja svojim visinskim poloajem osigurava dovoljno veliku piezometarsku visinu u cijeloj mrei, te da svojom zapreminom pokriva varijacija potronje u odnosu na prosjeni dotok iz crpnog dijela sistema.

3) distribucija vode do potroaa je omoguena izgradnjom vodovodne mree. Vodovodna mrea ima osnovni cilj da do svakog pojedinog potroaa dopremi dovoljnu koliinu vode uz zadani tlak a da pri tome vodoopskrba bude i ekonomina.

Ver. XI/06 Str. IV-1


Hidrauliki prorauni vodoopskrbnog sistema se najee rade za stacionarni reim teenja pri emu proraunom treba provjeriti da li su zadovoljene potrebe potroaa po koliini i po tlaku te uvjeti ekonominosti. Ne ulazei detaljnije u kriterije za izbor profila u cijevnoj mrei, isprojektirana mrea u hidraulikom smislu treba zadovoljiti slijedee uvijete: - raspored tlakova u mrei mora biti to ravnomjerniji - tlak na svakom ispusnom mjestu treba i pri najnepovoljnijim uvjetima potronje biti

vei od usvojenog minimalnog tlaka - piezometarske kote u mrei moraju biti takove da se kod najveeg optereena mree tj.

najvee potronje postoji dovoljna tlana visina za potrebe gaenja poara, uzimajui vodu iz jednog ili dva hidranta.

- radi izbjegavanja velikih pogonskih trokova maksimalne brzine vode su ograniene na 1-2 m/s

Pri proraunu vodovodne mree se usvajaju slijedee pretpostavke: - usvaja se da su dominantne gravitacione sile i sile trenja - potronja vode se obino usvaja kao potronja u vorovima mree. Pri tome se

potronja malih potroaa (kuni prikljuci) sabiru te se tretiraju kao oduzimanje vode u vorovima mree

- prosjene brzine vode u mrei su male pa se lokalni gubici na armaturama mogu zanemariti u odnosu na linijske ili se dodaju kao odreeni procent od linijskih gubitaka.

- brzinska visina se takoer moe smatrati zanemarivo malom mg

v 05,062.19

12

2

== - proraun mrea se obino radi za stacionarno strujanje u mrei pri najnepovoljnijim

uvjetima. Nestacionarni prorauni se obino rade za potrebe dimenzioniranja vodosprema i optimalizacije rada crpnog postrojenja i sastoje se od niza stacionarnih stanja. Vrlo rijetko se raunaju brze nestacionarne pojave u vodovodnoj mrei pri kojima treba uzeti u obzir i efekt stiljivosti vode i cijevi.

Zadaa hidraulikog prorauna svodi se na provjeru projektirane mree. U koliko proraun pokae da pojedini elementi u mrei ne zadovoljavaju, projektant e ih korigirati i ponoviti proraun. 4.1.2 Metoda prorauna Postoji niz metoda kojima se mogu raunati vodovodne mree. U nastavku e se objasniti princip na vrlo jednostavnim primjerima. Osnovne jednadbe koje moraju biti zadovoljene u svim vorovima i u svim cijevima vodovodne mree su: Bernouilli-eva jednadba i jednadba kontinuiteta.



Slika 4.2 Shematski prikaz karakteristinog vora vodovodne mree Promatrajmo jedan vor cjevne mree u kojem se sijeku dvije ili vie cijevi. Brzinske visine i lokalni otpori se mogu zanemariti kao vrlo mali u odnosu na otpore trenja. Za svaku cijev se moe pisati Bernoullieva jednadba u obliku:

oioi Hhh += ... (4.1) pri emu je: hi piezometarska kota u voru i ho piezometarska kota u voru o Hoi gubitak energetske visine uzdu cijevi o-i Pri tome su brzinske visine i lokalni otpori zanemareni kao vrlo mali u odnosu na otpore trenja. Na osnovu gornje jednadbe (4.1) se pad energetske linije moe pisati u obliku:

gv

DLhhH oi

oi

oioioioi 2

2

== ... (4.2) pri emu je: oi koeficijent otpora teenja u cijevi o-i (iz Moodyevog diagrama ili direktno iz odgovarajuih jednadbi npr. Colebrookove jednadbe za prelazni reim) Loi duljina cijevi o-i Doi promjer cijevi o-i voi brzina u cijevi o-i Za zadovoljavalje Bernoullijeve i jednadbe kontinuiteta postoji vie naina a u okviru ovog teaja prikazati e se dva: a) metoda petlji postavljanjem jednadbi kontinuiteta u svim vorovima i Bernoullijeve jednadbe u zatvorenim cjevnim elementima petljama (Hardy-Cross-ova metoda)



Pristup se zasniva na injenici da je suma svih gubitaka u zatvorenoj petlji jednaka nuli.

Slika 4.3 Skica petlje Brzina u jednadbi (4.2) se moe izraziti pomou protoka Q i povrine poprenog presjeka cijevi A:

22

2

2QS

gAQ

DLH oi

oi

oi

oi

oioioi == ... (4.3)

pri emu je sa Soi oznaen koeficijent gubitaka u cijevi oi koji je definiran jednadbom :

22 oioioi

oioi AgDL

S = ... (4.4) Linijski gubitci se sada mogu pisati u obliku:

( 22 QQSQSH ooioioi +== ) ... (4.5) pri emu je Q stvarni protok Q0 pretpostavljeni protok Q greka u pretpostavljenom protoku



( )22 2 QQQQSH oooioi ++= ... (4.6) Uvjet da je suma svih gubitaka u jednoj petlji jednaka nuli se opisuje jednadbom:

0413423121

=+++==

HHHHHn

i ... (4.7)

Uvrtavanjem izraza za gubitke, jednadba kontinuiteta za jednu "petlju" poprima oblik:

( 02 221

=++= = i

iiiii

n

iQQQQSH ) ... (4.8)

pri emu je sa indeksom i oznaena cijev u "petlji". Ako se zanemari Q2 rjeenje jednadbe po Q poprima oblik:

=i

ii

iiii

QS

QQSQ

2 ... (4.9)

Izraunata greka Q slui za korekciju prvobitno usvojene vrijednosti Q0 pa se sa novom vrijednosti Q0 ulazi u novu iteraciju. U sluajevima kad je mrea razgranata, da bi se mogao provesti ovakav proraun postavljaju se fiktivne petlje u kojima se zadaje da je protok u fiktivnim cijevima jednak nuli.

Slika 4.4 Fiktivne petlje Na osnovu ovog postupka je predviena izrada programa u sklopu vjebi.



b) metoda vorova - postavljanje jednadbe kontinuiteta u svim vorovima i Bernoullijeve jednadbe u cijevima Brzina u svakoj cijevi o-i se moe na osnovu jednadbe (4.2) izraziti:

oioioioioi

oioi hhhhL

gDv == 2

... (4.10)

pri emu se brzine iji je smjer prema promatranom voru smatraju pozitivne. U daljnjem proraunu emo smatrat da je oi konstanta za svaku cijev (valja imati na umu da je funkcija Re tj. brzine strujanja tako da ova pretpostavka nije potpuno tona). Predznak brzine se odreuje prema predznaku pada piezometarske linije, to se moe napisati u obliku:

oioioi

oioi hhhh

hhv = ... (4.11)

Protok Qoi u svakom ogranku e biti

oioi

oioioioioioi hhhh

hhAvAQ == ... (4.12)

Pri emu je sa Aoi oznaena povrina poprenog profila cijevi u odgovarajuem ogranku. Jednadba protoka u cijevi o-i se moe pisati: ( oioioi hhYQ = ) ... (4.13) pri emu je :

oi

oioioi

hhAY =

... (4.14)

Jednadba kontinuiteta za svaki vor o u mrei se moe napisati u obliku:

=ni

vooi QQ

01 ... (4.15)

pri emu se vanjski protok Qov smatra pozitivnim kad se radi o oduzimanju iz vora. Uvoenjem izraza za brzinu u jednadbu kontinuiteta dobiva se jednadba oblika:

( )=

=n

i

vooioi QhhY

10 ... (4.16)

Gornja jednadba se moe napisati za bilo koji vor. Kako postoji m vorova u kojima se moe napisati jednadba kontinuiteta (jed. 4.16) i m nepoznatih piezometarskih kota, dobiva se sustav od m jednadbi sa m nepoznanica. Rjeavanjem sustava jednadbi rjeava se i



raspored tlakova u mrei. Kako su jednadbe nelinearne uglavnom se koriste iterativni postupci rjeavanja sustava jednadbi. 4.1.3 Ulazni podaci Za modeliranje strujanja u vodovodnoj mrei je potrebno, osim jednadbi kojima je strujanje opisano poznavati i poetne i rubne uvijete. Potrebno je poznavati: - skicu mree sa pretpostavljenim (postojeim) promjerima (i ostalim karakteristikama)

cijevi - poloaj vodosprema, poloaj crpnih stanica - karakteristike crpki, vodosprema i cijevi - raspored potronje u svim vorovima mree Proraun se moe provesti u stacionarnom i nestacionarnom reimu. Za nestacionarni proraun jo treba: - reprezentativni diagram potronje vode u toku dana i tjedna. - karakteristike vodospreme (povrina, volumen, preljevi) - uvjeti rada crpke

Slika 4.5 Dijagram potronje



4.2 Nestacionarno teenje u cijevima Nestacionarno teenje se obzirom na karakter nestacionarnosti moe podijeliti na a) oscilacije vodnih masa pri emu uz gravitacione i sile trenja dominantnu ulogu imaju i

inercijalne sile(npr. vodne komore, zrani kotlii) i b) vodni udar pri kojem uz gravitacione, sile trenja i inercijalne vanu ulogu imaju i

elastine sile. Nestacionarno teenje u cijevima se najee javlja u tlanim djelovima dovodnog sistema hidroelektrana i u crpkama prikljuenim na tlane cjevovode. Na slici 4.6 i 4.7 su prikazani glavni konstruktivni elementi visokotlane hidroelektrane.

Slika 4.6 Tlocrt tipinog visokotlanog energetskog postrojenja

Slika 4.7 Presjek tipinog visokotlanog postrojenja



4.2.1 Vodna komora U sluaju da je dovodni tunel dugaak (moe biti i 10 - 20 km) pri pokretanju elektrane se vodna masa ne moe u kratkom roku (10-20 sekundi) pokrenuti i dobiti brzinu da bi se na turbinama formirala dovoljna snaga za proizvodnju elektrine energije. Da bi se umanjilo neeljeno djelovanje tromosti vode kao i da bi se izbjegli efekti koji nastaju zbog njene stiljivosti (vodni udar) u blizini turbine se grade vodne komore. Osnovna zadaa vodne komore je da se pri ulasku turbine u pogon osigura dio vode prije nego to on potee u dovoljnoj koliini kroz dovodni tunel te da prihvati dio vode koja se kree dovodnim tunelom pri zaustavljanju turbina. Na taj nain se izbjegava nagla promjena brzine u dovodnom tunelu i pojava vodnog udara.

Slika 4.8 Vodna komora Kada turbina radi u jednolikom reimu (kvazistacionarnom) tada vodna komora predstavlja piezometar. Razina u vodnoj komori odgovara visini piezometarske linije neovisno o povrini poprenog presjeka komore. Promjena reima rada turbine se prvo osjea u tlanom cjevovodu gdje se javlja vodni udar. Vodna komora sprijeava napredovanje udara i njegovo irenje u dovodni tunel, to i je glavna funkcija vodne komore. Duina tlanog cjevovoda je znatno smanjena vodnom komorom, pa je i veliina hidraulikog udara u njemu manja, jer se smanjenje protoka moe svesti na "postepeno zatvaranje" (Tz>2L/a, L = duljina tlanog cjevovoda, a = brzina propagacije poremeaja vidi poglavlje o vodnom udaru). Prilikom ulaska turbine u pogon (pojava protoka QT) dolazi do pranjenja vodne komore, a time i smanjenja tlaka na kraju dovodnog tunela to izaziva pokretanje vode u njemu. Voda se u tunelu ubrzava do te mjere da je protok u dovodnom tunelu Q vei od protoka prema turbinama QT pa nivo vode u komori poinje rasti to smanjuje tlak na kraju tunela, a time i protok. Na taj nain se uspostavlja oscilacija vodnih masa u sistemu akumulacija - dovodni tunel - vodna komora. Zbog viskoznosti vode i trenja koje se javlja oscilacije se smanjuju. Jedan od zadataka hidraulikog prorauna je odreivanje najnie kote u komori da nebi dolo do uvlaenja zraka u dovodni i tlani tunel. Prilikom dimenzioniranja vodnih komora treba voditi rauna i o njihovoj stabilnosti o emu e biti vie rijei u iduim poglavljima.



Slina pojava se deeva i prilikom zaustavljanja rada turbina. Razina u komori se stacionira na razini vode u akumulaciji. 4.2.1.2 Tipovi vodnih komora Raspon oscilacija vodostaja u vodnoj komori pri naglom optereenju ili rastereenju je znatan, tako da su potrebne velike dimenzije vodnih komora. Kako su vodne komore podzemni objekti, njihova izgradnja je skupa pa je uloeno mnogo truda u iznalaenju optimalnog oblika vodne komore koja bi uz najmanje ulaganje sredstava zadovoljila kriterije stabilnosti. Postoji nekoliko osnovnih tipova vodnih komora: a) Cilindrina vodna komora ima velike dimenzije, ali je zbog jednostavnosti za nju razraena najbolja teorija. Ovaj tip vodne komore se koristi kod razrade idejnih projekata ali se ne susree esto na izvedenim objektima jer formiraju relativno sporo priguenje oscilacija vodnih masa te je potreban veliki iskop materijala za njihovu izgradnju. Najee se primjenjuju tamo gdje postoji opasnost od progresivnih oscilacija te je potrebna velika povrina poprenog presjeka. U okviru ovog teaja e biti prikazan proraun za ovaj tip vodne komore. (Slika 4.9) Slika 4.9 Cilindrina vodna komora b) Vodna komora sa gornjim proirenjem ima za cilj da smanji maksimalno dizanje vodostaja ime je dovodni tunel izloen manjim optereenjima nego u sluaju cilindrine vodne komore. (Slika 4.10)

Slika 4.10 Vodna komora sa gornjim proirenjem

c) Ralanjena vodna komora smanjuje maksimalne i minimalne vodostaje ime se tedi prostor vodne komore, smanjuje maksimalni vodostaj i osigurava od uvlaenja zraka u cjevovode. Ovaj tip komore se danas najee susree. (Slika 4.11) Slika 4.11 Ralanjena vodna komora



d) vodna komora sa priguivaem u odnosu na cilindrinu vodnu komoru smanjuje maksimalno dizanje radi disipacije energije toka na priguivau. Kod pranjenja komore priguiva predstavlja nedostatak jer smanjuje tlakove u cjevovodu tako da ga je potrebno oblikovati asimetrino kako bi u smjeru pranjenja pruao to manji otpor (Slika 4.12).

Slika 4.12 Vodna komora sa priguivaem e) Diferencijalna ili Johnsonova vodna komora ima oscilacije u uem oknu sline porastu tlaka kod tipa d) to se vidi iz skiciranih diagrama. (Slika 4.13) Slika 4.13 Diferencijalna vodna komora f) Vodna komora na Venturi prolazu koristi se na malim padovima i kratkim dovodnim tunelima gdje se nastoji iskoristiti uinak poveane brzine u suenju na stabilnost vodne komore. Ovaj tip se preporua ispitati na hidraulikom modelu (Slika 4.14) Slika 4.14 vodna komora na Venturi prolazu g) vodna komora sa zranim priguivaem zasniva se na injenici da sabijeni zrak pri podizanju vodostaja usporava podizanje vode te djeluje kao da je vodna komora veeg poprenog presjeka. (Slika 4.15) Slika 4.15 vodna komora sa zranim priguivaem



h) dvojna vodna komora se radi da bi se poveao popreni presjek (Slika 4.16) Ako je dovodni tunel vrlo dugaak moe se sagraditi i sistem vodnih komora pri emu treba posvetiti panju rezonanciji sistema. Slika 4.16 dvojna vodna komora Osim opisanih vodnih komora moe se izraditi i vodna komora pod tlakom tj. vodna komora koja je sa gornje strane potpuno zatvorena a koja funkcionifra kao zrani kotli. 4.2.1.3 Jednadba oscilacija razine u cilindrinoj vodnoj komori Proraun oscilacija vode u vodnoj komori se zasniva na primjeni Bernoulli-eve jednadbe u nestacionarnom obliku:

++++=++2

1

122

222

2

211

1

l

le dlt

vg

Hgv

gpz

gv

gpz

...(4. 17)

pri emu je: z,p,v geodetska kota, tlak i srednja brzina, mjereno po osi cijevi He zbroj svih lokalnih i linijskih gubitaka energetske visine izmeu dva profila

2

1

1 l

l

dltv

g integralna veliina energetske visine izmeu dva presjeka potrebne za

promjene brzine tekuine (vode) Posljednji lan na desnoj strani jednadbe 4.17 sadri pod integralom promjenu brzine po vremenu, integrirajui je uzdu toka. Obzirom da se moe usvojiti da u dovodnom tunelu nema zakanjenja u promjeni brzine lan v/t nije ovisan o stacionai l pa se Bernoulli-eva jednadba moe pisati:

dtdv

gLH

gv

gpz

gv

gpz e ++++=++ 22

222

2

211

1

...(4.18) pri emu je L duljina po osi cijevi izmeu dva profila. Obzirom da je u akumulaciji brzina strujanja zanemarivo mala (v1 = 0) Bernoullijeva jednadba za sistem s vodnom komorom se moe pisati u obliku:

dtdv

gLvhhA += 2 ...(4. 19)



pri emu je: hA vodostaj u akumulaciji h vodostaj u vodnoj komori

dtdv

gL lan ubrzanja mase vode u dovodnom tunelu, pozitivan u sluaju

ubrzanja v2 ukupni gubici, pozitivni ako v ima smjer prema komori

Slika 4.17 Prikaz karakteristinih veliina Bernoullijeve jednadbe gubici se odreuju na uobiajen nain, te vrijedi relacija:

gv

DLvH IzULe 2

22

++== ... (4.20)

Jednadba kontinuiteta se zasniva na pretpostavci da razlika izmeu protoka u dovodnom i tlanom cjevovodu utie (ili istjee ) u vodnu komoru.

dtdhAQQ KT = ... (4.21)

pri emu je: Q=ADv protok u dovodnom tunelu AD povrina poprenog presjeka dovodnog tunela QT protok u tlanom tunelu QK=AK dh/dt protok kojim se puni vodna komora AK povrina poprenog presjeka vodne komore (AK(h)) dh/dt brzina rasta vodostaja u komori Prikazat e se izvod jednadbe varijacije razina u cilindrinoj vodnoj komori u sluaju trenutnog potpunog zatvaranja dovoda do turbina. Usvojit e se slijedee pretpostavke:



a) gubici od trenja u dovodnom tunelu su u nestacionarnom reimu isti kao i u stacionarnom reimu pri istoj brzini strujanja v

b) vrijedi Darcy-Weisbach zakon otpora trenja

za glatke cijevi:

=

51.2Relog0.21

za prelazno podruje Colbrook:

+=D

k71.3Re

51.2log0.21

za hidrauliki hrapave:

=k

D71.3log21 ... (4.22) c) usvaja se da je dovodni tunel dugaak objekt sa dominantnim utjecajem trenja d) zanemaruje se inercija vode u vodnoj komori U ovom sluaju jednadba kontinuiteta poprima oblik:

dtdhAQ K= ... (4.23)

odnosno:

dtdh

AAv

D

K= ... (4.24) Diferenciranjem jednadbe kontinuiteta (4.24) po vremenu se dobiva

2

2

dthd

AA

dtdv

D

K= ... (4.25) Energetska jednadba se moe pisati u obliku:

( ) 02 =+ vhhdtdv

gL

A ... (4.26) Kad se izraz za promjenu brzine dobiven iz jednadbe kontinuiteta (4.25) uvrsti u energetsku jednadbu (4.26) dobiva se jednadba oblika

( ) 0222

=+ vhhdt

hdgALA

AD

K ... (4.27) Dobivena diferencijalna jednadba se ne moe openito egzaktno rijeiti. Rjeenje se trai ili priblinim (numerikim ili grafikim postupcima) ili pojednostavljivanjima. U svrhu odreivanja orijentacionih vrijednosti rjeenja jednadbe (4.27) zanemarit e se utjecaj trenja (v2 = 0). Ako se oscilacije u vodnoj komori mjere od razine u akumulaciji moe se uvesti oznaka ( z = h - hA) pa se moe pisati:



022

=+ zdt

zdgALA

D

K ... (4.28)

Jednadba (4.28) je linearna homogena diferencijalna jednadba koja se rjeava uvoenjem partikularnog rjeenja z = ert. Rjeenje ima oblik:

+

= t

LAgAct

LAgAcz

K

D

K

D sincos 21 ... (4.29)

Poetni uvjeti definiraju da je za t = 0 poetna razina z = 0 (oscilacije jo nisu poele ) i da je za t = 0 prirast razine definiran protokom u dovodnom cjevovodu prije poetka

smanjivanja protoka tj. K

Do A

Avdtdh

dtdz == . Pri tome je pretpostavljeno da je trenutno dolo do

potpunog prekida protoka kroz tlani cjevovod. Uvoenjem poetnih uvjeta za t = 0 proizlazi da je c1= 0. Iz opeg rjeenja, se deriviranjem po vremenu dobiva:

K

D

K

D

K

D

AAvt

LAgA

LAgAc

dtdz

02 cos =

= (za t = 0 1) ...(4.30)

Ako se uvedu poetni uvjeti za dz/dt dobiva se parametar c2

K

D

gALAvc 02 = ... (4. 31)

Rjeenje energetske jednadbe pokazuje da su oscilacije sinusoidalnog oblika

Slika 4.19 Oscilacije u vodnoj komori

= t

LAgA

gALAvz

K

D

K

D sin0 (33)



pri emu je:

K

D

gALAvz 0max = maksimalna oscilacija koja se pojavljuje za t=T/4 (v0 je poetna brzina

D

K

gALAT 2= period oscilacija koji ne ovisi o poetnoj brzini u cjevovodu (za razliku

od amplitude) Ista oscilacija se moe dobiti ako se izjednai kinetika energija u cijevi prilikom radnog reima i promjena potencijalne energija u trenutku kad voda stane (maksimalna oscilacija) (Borelli) Oscilacije brzine se razlikuju za T/4 u fazi i iznose:

= tT

vv 2cos0 ... (4.32) Valja napomenuti da se period oscilacije u sluaju kad se zanemari trenje podudara sa periodom oscilacije kod izvedenih cilindrinih komora. To su potvrdila mjerenja na izvedenim objektima kao i rezultati dobiveni numerikom integracijom. Vrijednost maksimalne oscilacije zmax izraunata uz pretpostavku zanemarivanja trenja se znatno razlikuje od stvarne maksimalne amplitude, pa ovaj podatak slui uglavnom kao orijentacija kod izrade idejnog projekta vodne komore. Za tonije raunanje maksimalne oscilacije treba uzeti u obzir i trenje koje se smanjuje jer brzina od poetne vrijednosti v0 opada i postaje jednaka nuli u trenutku dosezanja maksimuma oscilacije. Promjena gubitaka h je prikazana na slici od toke A do toke D.

Slika 4.20 Utjecaj trenja na oscilacije u vodnoj komori



Integracijom energetske jednadbe i aproksimirajui gubitke pravcem dobiva se jednadba maksimalne oscijacije:

20

20

0max 881 v

gALAhhz

K

D+

= ... (4.33) Ova jednadba daje za sluaj trenutnog potpunog zatvaranja vrlo dobra slaganja s drugim metodama prorauna. 4.2.1.4 Stabilnost sistema vodne komore Svaka elektrana mora pri putanju u pogon biti sinhronizirana na mreu, tj.mora proizvoditi struju odreenje frekvencije (50 Hz), a odstupanja smiju biti reda veliini 0.2%. Elektroenergetski sustav ne trpi promjene frekvencije pa je u sistemu turbine i generatora ugraen i regulator protoka koji pomae da se zadovolji taj uvjet. Frekvencija struje proizvedena generatorom ovisi o kutnoj brzini okretanja rotora generatora a definirana je izrazom:

60pnf = ... (4.34)

pri emu je: f frekvencija struje u periodima/sek n broj okretaja u minuti p broj parova polova generatora Gibanje rotora agregata je odreeno osnovnom dinamikom jednadbom stroja:

ov MMdtdI = ... (4.35)

pri emu je: I polarni moment tromosti obrtnih djelova generatora kutna brzina generatora Mv moment vanjskih sila koje pokreu stroj M0 moment sila otpora, nastalih optereenjem generatora i drugih, disipativnih sila Uvijet konstantnosti frekvencije zahtijeva konstantnu kutnu brzinu tj. d/dt=0 to znai da mora biti ispunjen uvijet:

0MM v = ... (4.36) to znai da moment vanjskih, pokretakih sila mora biti jednak momentu sila otpora. Moment vanjskih sila je odreen izrazom:



gHQM v = ... (4.37)

pri emu je gQH iskoritena snaga toka vode, pa slijedi da hidroelektrana mora raditi u reimu konstantne snage. Iz izraza za snagu je vidljivo da se pri promjeni bilo kojeg od parametara koji definiraju snagu mijenja snaga na turbini. Da bi se izbjegle promjene snage (a time i frekvencije) u sklopu turbine postoji poseban regulator protoka koji na osnovu informacija o promjeni protoka ili tlaka mijenja poloaj lopatica privodnog kola (ponekad i lopatica turbine) tako da bi se prilagodili protok Q i pad H da snaga ostane konstantna. Iz izraza za snagu je vidljivo da se pri smanjenju pada H mora poveati protok Q i obrnuto. Pri ukljuivanju turbine u pogon prazni se vodna komora i u njoj vodostaj opada ime se smanjuje pad H na turbini. Da bi snaga ostala ista, regulator poveava protok, ime se dodatno poveava pranjenje komore. Slian ali obrnut proces se odvija kod zaustavljanja turbine kad regulator smanjuje protok i poveava oscilaciju. Regulator dakle ima tendenciju poveanja (amplificiranja) oscilacija. U sluaju da je komora malog poprenog presjeka (to znai veliku oscilaciju) i relativno malih gubitaka koji slabo priguuju oscilacije moe utjecaj regulatora biti vei od utjecaja trenja pa se javljaju progresivne oscilacije.

Slika 4.21 Utjecaj regulatora na poveanje oscilacija Vodna komora mora biti tako dimenzionirana da se oscilacije u svakom sluaju amortiziraju. Stabilnost vodne komore se obino ispituje na najnepovoljniji sluaj a najee su to uvjeti rada kad je akumulacija (gornja voda) na najnioj koti, kota donje vode najvia, tunel je glatki i manevar parcijalnog poveanja od 50% - 100% snage. Problem stabilnosti se svodi na rjeavanje slijedeih diferencijalnih jednadbi: a) jednadba kontinuiteta:

dtdhAQQ KT = ...(4.38)

b) Bernoullijeva jednadba:



( ) 02 =+ vhhdtdv

gL

A ... (4.39) c ) jednadbe konstantne snage turbine, N = const:

HgQHgQN TTO == 00 ... (4.40) Uvoenjem oznaka z = h-hA, Q = ADv i H = Hst+ z jednadba kontinuiteta poprima oblik:

dtdz

AAu

dtdz

AA

AQv

D

K

D

K

D

T +=+= ... (4.41) pri emu je u = QT/AD (brzina vode koja ide prema turbini) a nakon diferenciranja po vremenu jednadba poprima oblik:

2

2

dtzd

AA

dtdu

dtdv

D

K+= ... (4.42) Uvjet konstantnosti snage se moe pisati u obliku: ( )zHQHQ stTOTO += ... (4.43) Ako se usvoji da je stupanj korisnog djelovanja konstantan i djelei gornji izraz sa AD dobiva se:

( )zHAQ

AHQ

stD

T

D

OTO += ... (4.44) Nakon diferenciranja po vremenu i uvodei u=QT/AD slijedi:

( ) dtdz

zHHu

dtdu

st

oo2+= ... (4.45)

Uvodei izraze (4.42) i (4.45) u energetsku jednadbu dobiva se:

( ) 02222

=+

++ vzdtdz

zHHu

gL

dtzd

AA

gL

st

oo

D

K ... (4.46) Ova diferencijalna jednadba se ne moe u opem sluaju egzaktno rjeiti pa se pribjegava priblinim rjeenjima. U sluaju malih amplituda z oscilacija vodostaja u vodnoj komori mogu se produkti malih vrijednosti vieg reda izostaviti u odnosu na ostale lanove tako da se jednadba (4.46) linearizira. Njemaki hidrauliar D.Thoma je prvi na ovaj nain izveo kriterij za stabilnost cilindrine vodne komore. Da bi komora bila stabilna povrina mora biti vea od:



( )ostoDo

ThK hHhLA

gvAA = 2

2

... (4.47)

Kasnije se pokazalo u radovima mnogih hidrauliara da ovaj kriterij ne vrijedi openito pa se usvaja da Thomin kriterija vrijedi kad je:

4022

oo

K

D

hv

AA

gL ... (4.48)

4.2.1.5 Metode numerike simulacije oscilacija u vodnoj komori Oscilacije razina u vodnoj komori i protoci u dovodnom tunelu se mogu opisati jednadbama koje vrijede za strujanje nestiljive tekuine. Jednadba kontinuiteta:

dtdhAQQ KT = ... (4.49)

Energetska jednadba:

dtdv

gLvhhA += 2 ... (4.50)

Rjeenje ovih jednadbi se moe dobiti: a) preslagivanjem (transformiranjem) gornjih jednadbi u diferencijalne jednadbe

drugog reda te njihovim rjeavanjem za zadane poetne i rubne uvijete (kao to je to raeno u prethodnom poglavlju)

b) direktan numeriki pristup gornjim jednadbama koje izraavaju odravanje volumenskog protoka i energije po Bernoullijevoj jednadbi u visinskom obliku. Ovaj pristup e se koristiti u nastavku.

Sistem je opisan sa dvije varijable; Q - protok u dovodnom tunelu i h - vodostaj u vodnoj komori, ime se dobiva sustav od dvije jednadbe sa dvije nepoznanice. Da bi se sustav mogao rijeiti potrebno je poznavati poetne i rubne uvijete Poetni uvijet: - potrebno je poznavati poetno stanje, tj. stanje prije zapoinjanja manevriranja na

turbinama (to moe biti stanje mirovanja, rad sa 50% ili 100% kapaciteta) Rubni uvjeti: - vodostaj u akumulaciji (hA(t)) obino se usvaja neka konstantna vrijednost) - protok na turbinama QT(t) ili snaga na turbinama N = const. (ili openito N=N(t)) Na osnovu usvojenih nepoznanica (Q i h) se energetska jednadba moe pisati u obliku:



( ) QQA

hhdtdQ

gAL

DA

D2

= ... (4.51) gdje je predznak disipacije energije pozitivan u smjeru toka prema vodnoj komori to se osigurava produktom protoka Q i njegove apsolutne vrijednosti. Jednadba kontinuiteta i energetska jednadba se mogu integrirati u nekom vremenskom intervalu t (od tK do tK+1). Ovako dobiveni izrazi mogu posluiti da se na osnovu poznatih vrijednosti na poetku vremenskog intervala (trenutak tK) izraunaju vrijednosti protoka u cjevovodu (Q) i razine u vodospremi (h) na kraju vremenskog intervala (tK+1).

++ =

11 K

K

K

K

t

t K

Tt

t

dtA

QQdh ... (4.52)

odnosno:

( )++

=11 2K

K

K

K

t

t

D

DAt

t

dt

gAL

QQA

hhdQ

... (4.53)

Nakon integracije lijeve strane dobiva se:

+ +=+

1

1

K

K

t

t K

TKK dtA

QQhh ... (4.54)

odnosno:

( )+

+=+1 2

1K

K

t

t

D

DA

KK dt

gAL

QQA

hhQQ

... (4.55)

U sluaju da je vremenski inkriment t = tK+1 - tK dovoljno mali, integrale na desnoj strani gornjih jednadbi je mogue priblino izraziti na tri osnovna naina: eksplicitno, implicitno i eksplicitno-implicitno tj. mjeovito. Pristupi se razlikuju po tome koje se vrijednosti parametara pod integralom usvajaju prilikom raunanja. Eksplicitna metoda aproksimira integral na osnovu poznatog stanja na poetku vremenskog intervala (QK i hK). Implicitna metoda aproksimira integral na osnovu poznatog stanja na kraju vremenskog intervala (QK+1 i hK+1). Metoda aproksimacije ima mjeoviti karakter ako se usvaja neka vrijednost izmeu poetne i krajnje. (tK


Eksplicitna metoda je najjednostavnija ali zahtijeva, za odreeni stupanj tonosti rjeenja relativno male vremenske inkrimente. U integraciji jednadbi ova metoda daje neto vee vrijednosti pa su dobiveni rezultati na strani sigurnosti. Usvajanjem ove sheme jednadba kontinuiteta poprima oblik:

)( 11

1 KKK

KT

KKK tt

AQQhh += +

++ ... (4.56)

a jednadba (4.55) poprima oblik.

)( 1211 KKKK

D

KKA

DKK ttQQA

hhL

gAQQ

+= +++ ... (4.57)

pri emu se vrijednosti hK+1 i QK+1 na kraju vremenskog intervala proraunavaju iz stanja na poetku vremenskog intervala i rubnih uvjeta hAK+1 i QTK+1 na kraju vremenskog intervala. U sluaju da se novo izraunate vrijednosti hK+1 odmah uvrste u jednadbu za proraun protoka u istom vremenskom koraku, dobivaju se bolji rezultati.

)( 12111 KKKK

D

KKA

DKK ttQQA

hhL

gAQQ

+= ++++ ... (4.58)

Izraunate vrijednosti razine i protoke na kraju promatranog vremenskog intervala uzimaju se za novi vremenski inkriment kao poetno stanje. Proraun se na taj naina provodi proizvoljno dugo. Implicitna metoda Eksplicitna metoda zahtijeva za, tonije proraune, male vremenske inkrimente tj. puno vremenskih koraka. Da bi se taj nedostatak otklonio pribjegava se implicitnoj shemi koja aproksimaciju integrala (jed. 4.55) i (jed. 4.56) radi u obliku:

( KKK KTKKK tt )A QQhh += ++++

+ 11

111 ... (4.59)

( )KKKKD

KKA

DKK ttQQA

hhL

gAQQ

+= ++++++ 1112111 ... (4.60)

pri emu su razine i protoke sa indeksom K vrijednosti na poetku vremenskog intervala a vrijednosti sa indeksom K+1 oznaavaju stanje sistema na kraju vremenskog intervala (nepoznate veliine). Dobivene jednadbe nisu linearne i openito se rjeavaju poznatim algoritmima za iterativno rjeavanje sustava nelinearnih jednadbi. Ovaj sustav se moe efikasno rijeiti tako da se linearizacija provede na slijedei nain: - umjesto vrijednosti AKK+1 i QK+1 sa kraja intervala uvrste se vrijednosti AKK i QK sa

poetka promatranog intervala



- rijee se jednadbe po nepoznanicama hK+1 i QK+1 koje su priblino rjeenje - ovako izraunate vrijednosti na kraju intervala se koriste u iduoj iteraciji kao nove

vrijednosti AKK+1 i QK+1 - sustav jednadbi se ponovo rijei po nepoznanicama hK+1 i QK+1. Ove vrijednosti su

blizu tonog rjeenja, a po potrebi se ova iteracija moe ponoviti dok se ne postigne zadovoljavajua tonost.

Implicitna metoda je sloenija od eksplicitne, ali daje tonije rezultate za vee vremenske inkrimente. Eksplicitno - implicitna metoda Eksplicitna metoda, u odnosu na tono rjeenje daje vee vrijednosti, dok se implicitnom dobivaju manje vrijednosti. Najbolje rezultate daje mjeoviti postupak koji se dobije primjenom aproksimacije integrala u obliku:

( ) ( )KKKK

KT

K

KK

KT

KKK tt

AQQ

AQQhh

++= ++

++++ 1

1

1111 1 ... (4.61)

( ) ( )KKKKD

KKA

DKK

D

KKA

DKK ttQQA

hhL

gAQQA

hhL

gAQQ

+

+= ++++++ 11121121 1

... (4.62) Sustav jednadbi se rjeava kao kod implicitne metode. Mjeovit postupak daje vrlo precizne rezultate. Parametar 0 <


Slika 4.22 Hidraulika shema rada zranog kotlia U cilju smanjivanja i to breg priguenja oscilacija tlaka, te reduciranja maksimalnih amplituda, u kotli se moe ugraditi asimetrini priguiva. Proraun oscilacija razina u zranom kotliu i tlanoj cijevi se zasniva na slijedeim jednadbama: a) jednadba kontinuiteta

dtdzAQ K

'= ... (4.63) pri emu je: Q protok u tlanoj cijevi, pozitivno orijentiran za tok prema kotliu AK tlocrtna povrina kotlia z' oscilacija vodostaja u kotliu b) Bernoullijeva jednadba

dtdQ

AgLQQQQhH ps +++= 1 ... (4.64)

pri emu je: h piezometarska kota tlaka u kotliu, mjerena od osi cijevi Hs statika piezometarska kota u profilu kotlia 1 koeficijent gubitaka uslijed trenja izmeu kotlia i vodospreme linijski gubici p koeficijent gubitaka energije na priguivau, pozitivan (i vei) za teenje u kotao.

dtdQ

AgL inercijalni lan mase vode u tlanoj cijevi

c) jednadba stanja zraka

constVp na = ... (4.65)



pri emu je: pa apsolutni tlak u kotliu V volumen zraka u kotliu n eksponent politrope. (mjerenja na izvedenim kotliima su pokazala da je prosjena

vrijednost n = 1.25). Jednadba stanja napisana za poetno stanje i bilo koji trenutak ima oblik: ( zhgVgHV nsno = ) ...(4.66) pri emu je: V0 volumen zraka u kotliu kod hidrostatikog stanja z razina vode u kotliu mjeren od osi cijevi to je u opem sluaju zanemarivo mala

veliina u odnosu na piezometarsku kotu h U bilo kojem trenutku je volumen zraka u kotliu odreen izrazom:

( )'zcAV k = k

o

AV

c = ... (4.67) Oscilacija vodostaja u kotliu se moe uz pomo jednadbe (4.66) izraziti kao:

= nsh

Hcz

1

1' ... (4.68)

odnosno nakon diferenciranja po vremenu:

dtdh

hnh

cHdtdz

n

ns

1

1

' = ... (4.69)

Uvoenjem gornje jednadbe u jednadbu kontinuiteta dobiva se:

Qdtdh

hH

nhV nso =

1

... (4.70)

Ako se uvede oznaka

( ) nsokomkom hH

nhV

hAA1

== ... (4.71) jednadba kontinuiteta poprima oblik

QdtdhAkom = ... (4.72)



Dobiveni izraz pokazuje da je jednadba kontinuiteta identina jednadbi kontinuiteta za vodnu komoru sa promjenjivom tlocrtnom povrinom. U daljnjem postupku integracije se mogu primijeniti isti postupci koji su opisani za vodne komore. Rezultati prorauna oscilacija vodnih masa u tlanom cjevovodu zahtijevaju detaljnu analizu, kojom se mora utvrditi i promjena tlaka u cijelom tlanom vodu. Osim provjere da najvei tlak bude manji od doputenog u svim dionicama cijevi, treba provjeriti i da li se na pojedinim, povienim, dionicama pojavljuje podtlak to se posebno odnosi u sluaju primjene priguivaa u kotliu.

Slika 4.23 Pojava podtlaka u tlanom cjevovodu Tlani cjevovodi se mogu tititi osim sa zranim kotliima i sa a) poveanje promjera cjevovoda ime se utjee na smanjenje brzine a time i na veliinu vodnog udara b) izborom materijala od kojeg se radi cjevovod (veliina prirasta tlaka kod vodnog udara ovisi o brzini irenja elastinih poremeaja koji su u funkciji materijala iz kojeg se napravljen cjevovod. Ova problematika je opisana u poglavlju o vodnom udaru poglavlje 4.3.) c) poveanjem momenta inercije crpke ugradnjom zamanjaka izmeu crpke i

elektromotora ime se produljuje vrijeme zaustavljanja crpke pa su i promjene brzine manje

d) postepeno zatvaranje ili otvaranje zasuna ugraenog iza crpke ime se smanjuju promjene brzine

e) ozraivanjem (uputanjem zraka u cjevovod - zrak treba prije

ponovnog uputanja cjevovoda odstraniti) f) ugradnjom odunog ventila



4.3 Vodni udar Hidrauliki (vodni) udar predstavlja znatno promjenu tlaka u cjevovodu koji se javlja kao posljedica nagle promjene brzine. Najee se istrauje nagli prirast tlaka kao posljedica smanjenja brzine npr. na nizvodnom kraju cjevovoda uslijed zatvaranja zatvarau. Gornja definicija hidraulikog udara je danas proirena tako to se tim imenom naziva svaka nagla promjena brzine ili tlaka koja se kao poremeaj prostire kroz cjevovod. Pri pojavi vodnog udara se kroz cijev uje zvuk kao da je u cijev udareno ekiem te od tuda i engleski naziv water hammer. Sa hidraulikog stanovita hidrauliki (vodni) udar pripada skupini izrazito nestacionarnih strujanja pod tlakom, kod kojih treba uzeti u obzir lokalno ubrzanje, stiljivost vode i elastinost cjevovoda. a) PRIJE ZATVARANJA b) NAKON NAGLOG ZATVARANJA

Slika 4.24 Pojava i irenje vodnog udara Prilikom prouavanja osnovnih jednadbi vodnog udara (VU) e se usvojiti slijedee pretpostavke: a) promjene volumena uslijed udara (uslijed poveanja tlaka) su male u odnosu na

poetni volumen b) promjene brzine su veoma nagle, tj. inercijalni lan je uslijed lokalnog ubrzanja

neusporedivo vei od inercijalnog lana od usputnog ubrzanja i sile trenja c) brzina strujanja v se moe u odnosu na brzinu propagacije poremeaja a zanemariti. Iz

ovog uvjeta slijedi da je brzina irenja poremeaja nezavisna od intenziteta i smjera strujanja osnovnog toka.

Kao primjer pojave vodnog udara e se prikazat jednostavan sluaj naglog zaustavljanja toka vode na kraju cjevovoda. Usvojit e se da je zatvaranje zatvaraa trenutno i potpuno tako da je neposredno nakon zatvaranja zatvaraa u vremenu t zaustavljen tok na duljini l. Kada bi voda bila nestlaiva a cjevovod krut, voda bi se u odmah nakon zatvaranja zatvaraa zaustavila na cijeloj duljini cjevovoda. Obzirom da je voda stlaiva a cjevovod elastian, kinetrika energija vode uzrokuje sabijanje vode i rastezanje cjevovoda na nekoj dionici l na kojoj je ujedno dolo do zaustavljanja toka. Ovo zaustavljanje toka te sabijanje vode i



rastezanje cjevovoda se u slijedeem trenutku t pomie za novu vrijednost l pomiui time i frontu poremeaja brzinom a:

dtdl

tla

t=

= 0lim ... (4.73) Vrijeme zaustavljanja vode u cijelom cjevovodu je defnirano izrazom:

aLTL = ... (4.74)

U sluaju nestlaive vode i krutog cjevovoda vrijedi: TL = 0 a brzina poremeaja a = . Zaustavljanje protoka u profilu zatvaraa ne moe biti trenutno. Svako smanjenje protoka irit e se uzvodno brzinom a. Ako je brzina irenja poremeaja znatno vea od brzine zatvaranja zatvaraa (promjene brzine tj. protoka na kraju cjevovoda) efekti stlaivosti vode i elastinosti cijevi se mogu zanemariti. U suprotnom e doi do znaajnih promjena tlakova uzdu cjevovoda pa se takvi cjevovodi obino nazivaju tlanim. Tlani cjevovodi se mogu podijeliti u dvije osnovne skupine a) tlani cjevovodi sa zanemarivim gubicima energije (npr. u hidroelektranama) b) tlani cjevovodi sa znaajnim gubicima energije (npr. za vodoopskrbu)

Slika 4.25 Primjeri tlanih cjevovoda sa zanemarivim (lijevo) i sa znaajnim (desno) linijskom gubicima U oba sluaja e naglo zatvaranje zatvaraa uzrokovat nagle promjene brzine (protoka) i tlakova. Kod tlanih postrojenja (crpka i tlani vod) takoer moe doi do naglih nestacionarnih pojava. Pod pojmom tlanih cjevovoda podrazumijevamo sisteme kod kojih moe doi do pojave vodnog udara. 4.3.1 Jednadba vodnog udara Za nestacionarno strujanje vode vrijedi Bernoullijeva jednadba:



++++=++2

1

2

1

122

222

2

211

1

l

l

l

ldl

tv

gH

gv

gpz

gv

gpz

... (4.75)

to je prikazano na skici:

Slika 4.26 Strujna cijev s prikazom lanova Bernoullijeve jednadbe Kod izvoda Bernoullijeve jednadbe je usvojeno da je promjena gustoe uzdu toka zanemariva. Iz tog razloga Bernoullijeva jednadba (u ovom obliku) nije pogodna za modeliranje strujanja u kojima se gustoa fluida mijenja kao to je npr. sluaj strujanja plina. Iako se gustoa vode kod pojave vodnog udara mijenja du cijevi te pojave su malene i ne utjeu bitno na tonost prorauna. Jednadba kontinuiteta se moe pisati u obliku:

( ) ( ) =+2

1

012l

l

AvAvAdlt

... (4.76) - prvi lan gornje jednadbe predstavlja promjenu mase u jedinici vremena u volumenu

cijevi izmeu dva presjeka, nastalu uslijed sabijanja vode i rastezanja cijevi - drugi lan opisuje istjecanje mase iz presjeka 2 (Slika 4.26) - trei lan opisuje dotok mase u presjeku 1 (Slika 4.26)



Slika 4.27 irenje vodnog udara Iz jednadbe je vidljivo da je u sluaju kad je tekuina nestlaiva ( = konst.) i cjevovod krut (A ne ovisi o vremenu ve o putu l), prvi lan jednak nuli pa se trenutno uspostavlja jednakost protoka izmeu dva presjeka. U ovom razmatranju emo usvojiti i pretpostavke da je: - lan brzinske visine (v2/2g) zanemarivo mali u odnosu na ostale lanove - lan nastao uslijed djelovanja trenja takoer zanemarivo mali. Bernoullijevom jednadbom moemo povezati presjek kod fronta poremeaja i presjek kod zatvaraa unutar malog vremenskog intervala t: (mora se uzeti mali t da bi bio mali l kako bi se moglo prei na konane diferencije)

ltv

ghh

+= 121 ... (4.77) U ovom sluaju je promjena brzine v jednaka razlici brzina prije i iza fronta poremeaja (v2-v1). U sluaju potpunog zatvaranja brzina v2 je jednaka nuli. Analogno tome se i stanje prije promjene (prije dolaska fronta) oznaava h1 a stanje nakon promjene h2. Bernoullijeva jednadba sada poprima oblik:

( 1221 1 vvtl

ghh

+= ) ... (4.78) Pri tome odnos l/t predstavlja brzinu irenja poremeaja a pa se moe pisati:

( 1212 vvgahh = ) ... (4.79)



odnosno:

vgah = ... (4.80)

pri emu je: h1 piezometarska visina prije promjene brzine h2 piezometarska visina nakon promjene brzine v1 brzina prije promjene v2 brzina nakon promjene a brzina irenja vodnog udara U sluaju potpunog trenutnog zatvaranja moe se usvojiti da je v2 = 0 a v = -v1 dobije se maksimalno poveanje piezometarskog tlaka koje se moe javiti uslijed pojave vodnog udara:

1vgah = ... (4.81)

Ovaj izraz je izveo N.E.ukovski pa se vrijednost maksimalnog udara naziva udar ukovskog. 4.3.1.1. Brzina irenja vodnog udara Brzina irenja vodnog udara se moe izraunati iz jednadbe kontinuiteta primjenjene na masu izmeu presjeka u kojem je neporemeeni tok i presjeka u kojem je zaustavljen tok.

( ) 012 =+ AvAvlAt

... (4.82) Pri tome se rastezanje cijevi i promjena gustoe u odnosu na protok mase u cijevi mogu zanemariti kao veliine nieg reda. Izvod jednadbe brzine irenja elastinih poremeaja (vodnog udara) je prikazan u praktikumu a zasniva se na izraavanju relativne promjene gustoe pomou elastinih svojstava vode a relativne promjene volumena i gustoe meusobno su povezane preko uvjeta konstantnosti mase unutar volumena. U konanici se dobiva brzina irenja vodnog udara a

sD

EE

E

a

c

v

v

+=

1

... (4.83)

Brzina irenja vodnog udara u vodi je konstantna veliina za cjevovod jednolikog presjeka i materijala. Iz izraza za brzinu irenja vodnog udara (jed. 4.83) je vidljivo da je u sluaju krutog cjevovoda (Ec) brzina irenja vodnog udara



vEa = ... (4.84)

to predstavlja brzinu irenja stlaivih poremeaja (time i zvuka) u vodi u neogranienom prostoru. Za uobiajene dnevne temperature ova brzina iznosi a = 1425 m/s. Elastini cjevovod smanjuje brzinu irenja poremeaja, tako da je za elini cjevovod uobiajeni odnos Ev/Ec 0.01, D/s 100 to daje a 1000 m/s. Plastini cjevovodi jo vie smanjuju brzinu irenja poremeaja (a 300 m/s). 4.3.1.2 Faze propagacije vodnog udara Promatrat e se faze propagacije vodnog udara na primjeru jednostavne cijevi koja izlazi iz vodospreme, pri tome e se linijski gubici i brzinska visina zanemariti kao male vrijednosti. Usvojit e se da je zatvaranje zatvaraa potpuno i trenutno. a) Poetno stanje

U poetnom trenutku voda se kree prema zatvarau (v > 0), a u itavom cjevovodu je tlak jednak p

b) Faza kompresije Vremenski interval 0


Slika 4.28 Faze propagacije vodnog udara



Na iduoj skici (Slika 4.29) je prikazan vremenski razvoj tlaka u profilu zatvaraa i u sredinjem profilu udaljenom L/2 od zatvaraa.

Slika 4.29 Varijacije tlaka u sredini i na kraju cjevovoda U tlanim cjevovodima je poveanje tlaka najdulje u profilu zatvaraa pa se taj profil usvaja kao mjerodavni za dimenzioniranje. Svaka promjena brzine: ( ) ([ tvttvv += )] ... (4.85) uzrokuje promjene tlaka:

vgah = hgp = ... (4.86)

Kako su poremeaji valne prirode, na njih se moe primijeniti princip superpozicije, tj. tlane promjene u profilu zatvaraa se mogu izraunati superpozicijom pozitivnih i negativnih faza vala vodnog udara. Na slici 4.30 je prikazan primjer zatvaranja u dva uzastopna smanjenja brzine v1 i v2 koji uzrokuju odgovarajue promjene piezometarske visine:

11 vgah = 22 vg

ah = ... (4.87) Pojedine pozitivne i negativne faze se mogu superponirati. U sluaju da su promjene brzine jednake (v1=v2) superponiranjem se dobiva rezultirajui diagram prikazan na slici 4.30.



Slika 4.30 Primjer superpozicije dva prirasta tlaka uslijed dvije promjene brzine Iz rezultirajueg dijagrama se takoer primjeuje da se u pojedinim trenucima tlani poremeaji mogu ponititi, jer se negativna faza prvog udara i pozitivna faza drugog udara meusobno ponitavaju.



4.3.1.3 Linearni zakon promjene brzina Svako postupno mijenjanje brzina se moe prikazati kao superpozicija elementarnih promjena. Svaka elementarna promjena brzine uzrokuje elementarnu promjenu tlaka koja se pronosi du cjevovoda. Superpozicijom pozitivnih i negativnih faza svake elementarne promjene tlaka dobiva se raspored tlakova u eljenom profilu.

Slika 4.31 Promjena tlaka pri linernoj promjeni brzine Konstrukcija dijagrama je vrlo jednostavna. Dijagram promjene brzina se mnoi sa a/g ime je odreen afini dijagram promjene tlaka. Raspored pozitivnih i negativnih faza dobiva se pomicanjem afinog dijagrama tlaka za interval 0 naizmjenino u desno. Rezultirajua promjena tlaka dobiva se tako da se superponiraju pozitivne i negativne faze iz prethodnog dijagrama. Ovaj postupak vrijedi za bilo koji zakon promjene brzine. U prikazanom primjeru je vrijeme smanjivanja brzine dulje od 0 pa se negativne faze u profilu zatvaraa poinju javljati prije nego to su se "izgenerirale" sve pozitivne faze uslijed promjene brzine. Ova injenica ima za posljedicu da negativni valovi smanjuju efekte pozitivnih a time se umanjuje veliina najveeg tlaka koji se javlja u cijevi. U sluaju prikazanog linearnog smanjenja brzine u cijevi je na osnovu geometrijskih odnosa mogue odrediti najveu vrijednost tlaka koja se javlja u cijevi.

z

o

oTv

gah = max ... (4.88)



odnosno:

oz

o vga

Th

= max ... (4.89) Na osnovu ove jednadbe se vidi da svako smanjivanje brzine (zatvaranje zatvaraa) dulje od 0 smanjuje vrijednost maksimalnog tlaka koji se javlja u tlanom cjevovodu. Ova jednadba vrijedi u sluaju da je vrijeme smanjivanja brzine vee od vremena u kojem vodni udar proe dva puta kroz cijev (Tz > 0). U sluaju da je vrijeme smanjivanja brzine krae od 0=2L/a javit e se maksimalni mogui vodni udar bez obzira na oblik dijagrama promjene brzine. 4.3.1.4 Realni zakon promjene brzina Najei sluaj mijenjanja brzina (protoka) u cjevovodu je manevriranje zatvaraem. Obzirom da je neracionalno graditi cjevovode koji bi mogli podnijeti maksimalni tlak koji se javlja u sluaju trenutnog (Tz


Rjeenjem gornjih jednadbi (jed. 4.90) po nepoznanicama v1 i h1 odreuje se stanje na kraju prvog vremenskog intervala t = 0. Da bi se izraunao protok i tlak na kraju drugog vremenskog intervala t = 20 potrebno je ponoviti postupak s time da treba uzeti u obzir smanjenje tlaka uzrokovano negativnom fazom (povratkom) udara iz prethodnog intervala.

Slika 4.32 Promjena tlaka za linearno smanjenje povrine proticajnog presjeka

( ) ( )( )o

o

o

zhgAAv

hhvvgahh

=

=

22

2

11212

2

2

... (4.91)

Kako se u drugom i svim daljnjim intervalima refleksija udara vri oko piezometarske kote h0 u vodospremi stanje na kraju bilo kojeg vremenskog intervala se moe pisati:

( ) ( )( )on

o

nn

onnnnn

zhgAAv

hhvvgahh

=

=

2

2 111

... (4.92)

Sukcesivnim rjeavanjem gornjih jednadbi (4.92) koristei iz zakona zatvaranja zatvaraa poznate vrijednosti A1,A2,... mogue je izraunati promjene tlakova u profilu zatvaraa. Za linearni zakon zatvaranja zatvaraa e dijagram promjene brzina biti vrlo neravnomjeran kao to je prikazano na slici 4.32. U poetku zatvaranja e promjene brzine biti relativno malene, a u posljednjih 20-25% vremena e se protoci (brzine) naglo smanjiti to e uzrokovat velike promjene tlaka. Da bi se ova pojava izbjegla pristupa se ili znatnom poveanju vremena zatvaranja zatvaraa ili se koriste drugaiji zakoni zatvaranja zatvaraa. Najjednostavnije je napraviti zakon zatvaranja s jednom lomnom tokom to se postie ugradnjom elektromotora sa dvije brzine okretanja. Na slici 4.33 je prikazan diagram promjena brzina u sluaju da se povrina istjecajnog presjeka mijenja linearno s jednom lomnom tokom.



Slika 4.33 Dijagram promjene tlaka za razne brzine smanjenja povrine proticajnog presjeka Zatvarai su esto tablasti u okrugloj cijevi pa je zakon zatvaranja neto sloeniji. 4.3.1.5 Odreivanje tlaka metodom karakteristika Brzina na izlazu iz cjevovoda na kraju svakog vremenskog intervala 0 je odreena veliinom ispusnog otvora An.

( )ono

non zhgA

Av = 2 ... (4.93) to e se u vremenu t = 0, 20, 30, ove zavisnosti prikazati kao familija parabola.

Slika 4.34 Grafiki prikaz raunanja promjene tlaka pri postepenom zatvaranju zatvaraa



U trenutku t = 0 poznato je h0 i v0 to predstavlja (radnu toku) presjenu toku parabole odreene za t = 0 i pravca h = h0. Na kraju prvog intervala 0 jednadba brzine istjecanja je prikazana parabolom u t = 0. Jednadba prirasta tlaka (h1-h0)= -a/g(v1-v0) je dio pravca povuenog iz (h0,v0) pod kutem iji tangens iznosi upravo a/g. Presjecite pravca i parabole odreuje toku (h1 i v1) te predstavlja rjeenje jednadbi (4.92). U narednom intervalu zatvaranja do otvora A2 pojavljuje se utjecaj reflektirajue komponente (negativna faza) iz predhodnog ciklusa, te od postignute vrijednosti tlaka treba odbiti vrijednost 2(h1-h0). Iz dobivene toke treba ponovo povui pravac pod kutem do presjecita s parabolom t = 20 pa je time odreena toka (h2,v2) to opet predstavlja rjeenje vladajuih jednadbi. Isti postupak se dalje ponavlja dok se ne izrauna tlak za potpuno zatvoreni zasun odnosno dok se ponovo ne uspostavi stacionarni reim teenja. Iste jednadbe se osim prikazanog grafikog naina rjeavanja mogu rijeiti i numerikim pristupom. Konstrukcija se moe provesti i tako da se umjesto odbijana vrijednosti 2(hn-1-h0) povue pravac pod kutem - do vodostaja refleksije h0 te iz tako dobivene toke ponovo povue pravac do parabole. Nakon potpuno zaustavljenog toka, tlak fluktuira oko ravnotenog poloaja h0. Primjer: Prikazana metoda se naziva i metoda karakteristika jer se svaki element u tlanom sustavu prikazuje pomou odreene karakteristike. Promatrat e se jedan tlani vod. Na kraju cjevovoda mogu postojati razni objekti, kao npr. vodosprema, zatvara, crpka, turbina, zrani kotli, rava,.... U okviru ovog teaja e se promatrati vodosprema i zatvara. Svaki od tri elementa sustava je predstavljen sa svojom karakteristikom.

Slika 4.35 Skica modeliranog hidraulikog sistema 1) Vodosprema je jednostavan objekt koji slui za akumuliranje vode (izravnavanje varijacije potronje). Usvaja se da je tlak u vodospremi konstantan. Ovaj rubni uvjet se prikazuje kao ravna horizontalna linija na Q-h diagramu. 2) Zasun U svakom trenutku zatvaranja zatvaraa se moe usvojiti da je protok:



ghACQ od 2= ... (4.94) pri emu je: stupanj otvorenosti zatvaraa ( = A/A0) A0 povrina potpuno otvorenog zatvaraa h tlana visina Cd koeficijent gubitaka na zatvarau i u sistemu moe se definirat na osnovu

poznatog poetnog stanja (h0 i Q0)

oo

od ghA

QC2= ... (4.95)

Moe se pisati:

gAC

Q

h od2

2

= ... (4.96) odnosno:

2Qh = ... (4.97) pri emu je:

( ) 2221

od ACg= ... (4.98)

Jednadba 4.97 definira familiju parabola, koje su opisane parametrom koji ovisi o stupnju otvorenosti zatvaraa . Zatvaranjem zatvaraa parametar se smanjuje tako da se poveava. varira od vrijednosti 1 za potpuno otvoren zasun do 0 za zatvoren zasun. Prva parabola u trenutku T = 0 je odreena parametrima poetnog stanja.

22

o

ooooo Q

hQh ==

U vremenima T, 2T, 3T itd. (pri emu je T=L/a i naziva se Alijevijeva jedinica) je potrebno poznavat stupanj otvorenosti zasuna , da bi se mogla izraunati krivulja za svaki korak prorauna. To znai da je za svaki vremenski korak potrebno poznavati parabolu koja opisuje sve mogue vrijednost h koje odgovaraju protokama Q za trenutni stupanj otvorenosti zasuna. 3) Tlani vod (cjevovod). Za odreivanje karakteristike tlanog voda (cjevovoda) je potrebno poznavati brzinu irenja elastinih poremeaja koja je definirana jednadbom:

sEDE

aa

c

vo

+=

1

1 v

oEa = ... (4.99)



pri emu je: a0 brzina propagacije elastinog vala

kroz neogranien fluid (za vodu a0=1425 m/s) s debljina stijenke cijevi D promjer cijevi (unutarnji) Ec modul elastinosti cijevi Ev modul elastinosti vode Slika 4.36 Smjer putovanja elastinih valova U cilju praenja jednog elastinog vala koji putuje od toke A do B i nazad (toke A i B su na krajevima cjevovoda), pri emu su veliine protoka i natpritiska u poetnoj toci bile poznate moe se nacrtati dijagram. Smjerovi putovanja elastinih poremeaja su prikazani na slici 4.36. Nagib linija putovanja vala je definiran jednadbom:

Aga=tan ... (4.50)

Vrijednost dobivena na ovaj nain moe biti vrlo razliita. Ako je a = 1000 m/s a A=0.5 m2 (odgovara promjeru D = 800 mm) tada je vrijednost tan 200. Kako Q-h dijagram nije u prirodnom mjerilu, izraunata vrijednost nije od velike koristi. Da bi se konstruirala krivulja nagiba karakteristike cjevovoda predlae se postupak prikazan na slici 4.37.

Slika 4.37 Konstrukcija karakteristike cjevovoda Ako je, recimo, a/Ag = 200, tada se moe povui linija od Q = 0.3 na abscisi (toka D) do toke h = 60 m na ordinati (toka B), dobivena je linija BD. Nagib linije BD je definiran izrazom tan = h/Q = 60/0.3 = 200. Sada se moe nadopuniti pravokutnik ABCD kojim je definiran i nagib pravca AC. Grafiko rjeenje Za jednostavan sluaj kada imamo cjevovod sa vodospremom i zatvaraem, potrebno je definirati tri elementa: pravac koji opisuje karakteristiku vodospreme, liniju karakteristike cjevovoda i parabole koje definiraju zatvara.



Slika 4.38 Skica modeliranog hidraulikog sistema

Slika 4.39 Proraun vodnog udara metodom karakteristika Na slici 4.39 krivulja 0 predstavlja teenje pri potpuno otvorenom zasunu. Ostale krivulje predstavljaju Q-h dijagrame pri djelomino otvorenom zasunu. Potpuno zatvoren zasun je predstavljen vertikalnom linijom koja ide kroz ishodite. Ova parabola se deformira iz razloga to je za potpuno zatvoren zasun = 0 pa je i = . Daljnji postupak se svodi na crtanje karakteristinih linija. Za vremenski korak prorauna se usvaja vrijednost jedne Alijevijeve jedinice T=L/a. Pretpostavimo da je poremeaj zamiljeni glasnik koji putuje konstantnom brzinom a du cijevi i donosi (jednu) konstantnu promjenu tlaka u svim tokama du cijevi a njena veliina ovisi o tome to se dogaalo na kraju cijevi od t = 0 do vremena kad je glasnik doao sa tog kraja.



U trenutku t = 0 je protok definiran tokom B0. Protok i tlak u toki A je na poetku modeliranja identian protoku u toci B. Tlak je takoer identian jer zanemarujemo gubitke od trenja. Tlak i protok u toci A se ne moe mijenjati dok iz toke B ne doe poremeaj. To znai da je A0=B0=A1. Iz toke A1 poremeaj kree prema toki B2 i toka B2 je definirana presjecitem pravca koji je krenuo iz A1 i karakteristike zatvaraa 2. Iz toke B2 poremeaj putuje prema toci A3 po pravcu koji definira karakteristiku sistema do krivulje (pravca) koji definira vodospremu. Na sjecitu ta dva pravca se nalazi toka A3 koja definira protok i tlak u toci A nakon tri vremenska perioda T (T je Alievijeva jedinica). Postupak se dalje ponavlja do potpunog zatvaranja zatvaraa. Da bi se saznao tlak i protok u toci B u trenutku T = 1, tj. da bi se odredila toka B1 potrebno je krenuti iz toke A0 po karakteristici sistema do krivulje karakteristike zatvaraa 1. Presjecita ove dvije krivulje definira toku B1. Rezultat prorauna je dijagram promjene tlakova u toci B u funkciji vremena.

Slika 4.40 Promjena tlaka u profilu zatvaraa 4.3.2 Vodni udar u sloenim cjevovodima U praksi se esto susreu cjevovodi koji imaju razliite karakteristike du trase, kao i cjevovodi koji imaju ogranke. U takvim sluajevima proraun postaje sloen a esto se koriste priblina rjeenja. Ekvivalentni cjevovod Za tlani cjevovod koji se sastoji iz n dionica razliitih promjera ili elastinih svojstava, mogue je udar izraunati za ekvivalentni cjevovod (promjene nesmiju biti previe izraene).

Slika 4.41 Skica sloenog cjevovoda



Ekvivalentni cjevovod duine L=L1+L2+L3...+Ln treba imati vrijeme refleksije udara 0 = 2L/a jednako kao i u sloenom, iz ega slijedi da je ekvivalentna brzina udara jednaka:

LaL

aL

aL

an

n+++=

......1 2

2

1

1

... (4.51)

odreena dakle kao harmonijska sredina. Bez veih greaka se moe usvojiti i aritmetika sredina:

LLaLaLaa nn...2211 ++= ... (4.52)

Veliina inercijalnog lana (L/g dv/dt) u ekvivalentnom cjevovodu treba biti ista kao u sloenom:

( ...1... 22112211 ++=++= vLvLdtd

gdtdv

gL

dtdv

gL

dtdv

gL ) ... (4.53)

odatle slijedi:

LLvLvLvLvv nn...332211 +++= ... (4.54)

Ekvivalentni cjevovod je odreen dakle ekvivalentnom duinom L, brzinom teenja v, brzinom vodnog udara a i drugim ekvivalentnim parametrima. Metoda ekvivalentnih cjevovoda ne uzrokuje vee pogreke kod sporijih zatvaranja. Brza zatvaranja pokazuju znatnija odstupanja od stvarnih veliina pa je potrebno provesti detaljan numeriki proraun. 4.3.3 Zakon refleksije vodnog udara

Slika 4.42 Rava prije dolaska vodnog udara



Osim kroz ravne dionice cijevi vodni udar se iri i kroz rave. U cijevnoj ravi se moe usvojiti da je prije dolaska VU postojao tlak h0 u svim cijevima rave i vrijedi jednadba kontinuiteta:

332211 vAvAvA += ... (4.55) Ogranak iz kojeg dolazi vodni udar zove se incidentni a njegova veliina je definirana izrazom:

( 1'11'1 vvgahh o = ) ... (4.56)

Slika 4.43 Rava nakon prolaska vodnog udara Prilikom dolaska udara u ravu jedan dio dolazeeg piezometarskog tlaka e se prenijeti na ogranke 2 i 3 a jedan dio e se reflektirati nazad u ogranak 1. Nakon prolaska udara kroz ravu u samoj ravi e se uspostaviti novo stanje tlaka h0' tada e se za svaki ogranak moi napisat jednadba:

( )'1''11'1'0 vvgahh = za ogranak 1

( 2'220' vvgahho = ) za ogranak 2 ... (4.57)

( )3'330' vvgahho = za ogranak 3 Jednadba kontinuiteta poprima oblik:

'33

'22

''11 vAvAvA += ... (4.58)



Poveanje tlaka u cijevima 2 i 3 se moe izraziti relativno u odnosu na veliinu udara iz incidentnog kraka koja nakon eliminacije brzina poprima oblik:

3

3

2

2

1

1

1

1

'1

'

2

aA

aA

aA

aA

hhhht

o

oo

++=

= ... (4.59)

Pri tome je t koeficijent prijenosa (transmisije) udara iz inicijalnog kraka u ogranke 2 i 3. Slino se moe odrediti i koeficijent refleksije vodnog udara za incidentni krak 1:

1'1

'1

'

== t

hhhhr

o

o ... (4.60)

Iz gornjih jednadbi se vidi da veliina koeficijenta prijenosa i refleksije ne ovisi o polaznoj brzini kao niti o smjerovima ogranaka. Za proizvoljni broj ogranaka n se moe openito pisati:

1

2

1

===

tr

aA

aA

tn

j j

j

i

i

... (4.61)

Pri emu se sa i oznaava incidentni krak a s indeksom j svi ogranci po redu ukljuujui i incidentni. Primjer: Zagrebaka vodovodna mrea je vrlo razgranata i sastoji se od tri magistralna i 14 manjih crpilita, pet vodosprema i preko 1000 km cijevnih vodova (podatak iz 80-tih godina XX stoljea kad je proraun raen) (Slika 4.44). Projektom se predlagalo da se formira novo crpilite rnkovec te da se sagradi magistralni cjevovod du junog nasipa rijeke Save to je prikazano tokama A,B,C,D,E i F na slici 4.44. Svaka znaajnija intervencija na tako velikom i kompleksnom sistemu zahtijeva hidrauliki proraun. Za potrebe dimenzioniranja vodovodne mree grada Zagreba, napravljen je hidrauliki proraun nestacionarnih pojava u sluaju naglog prestanka rada svih crpilita u gradu. Proraun je proveden programom SYMTLA autora prof.dr. Vinka Jovia. Usvojena je pretpostavka da je dolo do raspada elektroenergetskog sustava te da su sve crpke trenutno stale. Volumen vode u vodospremama, raspored tlakova u mrei, protoke u pojedinim cijevima, raspored potronje stanovnitva i industrije, kutne brzine crpki i ostali podaci koji definiraju poetno stanje su dobiveni iz nestacionarnog prorauna provedenog za period od 24 sata. Od trenutka prestanka rada crpki je izraunato 70 stanja sa vremenskim inkrimentom od 2.5, 5, 10, 20 i 30 sek, pa se iz rezultata mogu oitati varijacije pritisaka do uspostavljanja stacionarnog stanja. Rezultati prorauna (Slika 4.45) pokazuju da e se ve nakon 3-4 minute



priguiti nestacionarne pojave uzrokovane prestankom rada crpilita, to zorno pokazuje koliko se u vodovodnoj mrei, zbog refleksije i transmisije, smanjuju varijacije tlakova. Varijacije tlakova u najveem djelu grada imaju praktiki samo jednu amplitudu. Minimalni izraunati tlakovi u mrei su u opisanom sluaju oko 2.5 bara dok maksimalni nisu vii od radnog.

Slika 4.44 Skica magistralnih i projektom iz 80-tih godina predvienih cjevovoda Zagrebake vodovodne mree

Slika 4.45 Varijacije tlakova na crpilitima Zagrebakog vodovoda nakon ispada crpki iz pogona



Interesantno je pogledati projektom predvienu magistralnu cijev profila 1500 mm to vodi uz Savu od predvienog crpilita renkovec, do mosta Mladosti, mosta Slobode i Jankomirskog mosta i dalje profilom 500 mm do budue Nove bolnice. Na njoj je odabrano est toaka (A,B,C,D,E i F) te je iscrtan diagram varijacije tlakova za svaku toku (slika 4.46). Varijacije tlakova su najvee u toci F koja se nalazi uz crpilite rnkovec i rapidno opada to se vie pribliavamo Novoj bolnici, to potvruje da razgranatost i isprepletenost cijevi pogoduje adsorpciji poetnih poremeaja.

Slika 4.46 Varijacije tlakova u projektom predvienom cjevovodu uz desni savski nasip od rnkovca do Jankomira nakon ispada crpilita iz pogona 4.3.4 Utjecaj otpora trenja na veliinu vodnog udara Dosad smo zanemarivali otpore trenja to je prikladno na cjevovode kod kojih su ti gubici mali (hidroelektrane i sl.). U sluaju dugih, gravitacionih cjevovoda utjecaj trenja se treba uzeti u obzir. Ovaj utjecaj e se objasnit na primjeru trenutnog potpunog zatvaranja zatvaraa (zaustavljenje toka). U stacionarnom reimu teenja tj. prije zatvaranja cjevovoda je brzina u cijevi definirana izrazom:

oo ghv 2= ...(4.62) pri emu je sa oznaen koeficijent istjecanja koji ukljuuje otpore na cijeloj duini cijevi L.



Slika 4.47 irenje vodnog udara u cjevovodu sa dominantnim utjecajem trenja U trenutku potpunog zatvaranja zatvaraa tlak u profilu 2 se poveava na (usvojili smo da je u stacionarnom reimu tlak jednak 0):

ovgah =2 ... (4.63)

Nakon izvjesnog vremena t front poremeaja e se pomaknuti na udaljenost x. U sluaju da se u dijelu cijevi u kojoj se proirio poremeaj ( to je od zatvaraa do profila x), zaustavio tok i uspostavilo jednako poveanje tlaka, dolo bi do neravnotee izmeu profila zatvaraa i profila x. Ova neravnotea pokree ponovo vodu u prvobitnom smjeru. Kao posljedica pokretanja vode u prvobitnom smjeru, u profilu x e se smanjiti tlak toliko da se uspostavi dinamika ravnotea koja je uvjetovana brzinom v1 izmeu promatranih profila, dok e se u profilu zatvaraa tlak poveati. U profilu poremeaja (putujueg vala) je vrijednost prirasta tlaka definirana izrazom:

( 01 vvgahx = ) ... (4.64)

Uz pretpostavku jednolike raspodjele brzine v1 e (dodatni) prirast tlaka u profilu zatvaraa biti:

1vgah = ... (4.65)

Brzina v1 se moe izraziti iz dinamike jednadbe napisane u impulsnom obliku tako da se nakon sreivanja dobiva vrijednost prirasta tlaka

Lxhh 0

31= ... (4.66)

a tlak u profilu zatvaraa e biti:

Lxhv

gah 002 3

1+= ... (4.67)



Najvei prirast tlaka se javlja kad se udar povrati reflektiranjem od vodospreme tj. za x = 2L

00max2 32 hv

gah += ... (4.68)

Slika 4.48 Prirast tlaka sa uzimanjem u obzir linijskih gubitaka 4.3.5 Naglo otvaranje cjevovoda Sve to je reeno za naglo smanjivanje brzine (zatvaranje zatvaraa) u principu vrijedi i za otvaranje zatvaraa tj. za pokretanje vode u cijevi. Razlike proizlaze iz injenice da voda ne moe primiti podtlak ispod napona vodenih para za dato toplinsko stanje i atmosferski tlak pa treba posvetiti posebnu panju toj pojavi. Kako kod otvaranja redovito opada tlak poveanjem brzine, donja granica brzine je odreena najniom vrijednou tlaka.

Slika 4.49 Hidraulika shema Mehanizam hidrodinamikih promjena e biti prikazan na jednostavnom primjeru naglog otvaranja. Pod tim pojmom se podrazumijeva svako otvaranje koje je krae od perioda 0 tj. od vremena refleksije vodnog udara. Ako se usvoji da je poetni tlak u profilu zatvaraa bio h0 u sluaju nestiljive tekuine, trebala bi se uspostaviti stacionarna brzina istjecanja:



02ghv = ... (4.69) Kako je voda stiljiva (i rastezljiva do napona vodenih para) te cjevovod elastian, ovakvo poveanje brzine, trebalo bi pratiti opadanje tlaka za:

( ) vgah = ... (4.70)

to je vie nego to je poetni tlak h0 tako da je razlika:

( ) vhhh >>0 ... (4.71) znatno vea od napona vodenih para hv. Kako se radi o istjecanju u atmosferu s tlakom p0 = 0 najvei pad tlaka moe biti jednak h0 to daje maksimalnu brzinu u poetku istjecanja

01 hagv = ... (4.72)

Slika 4.50 Naglo otvaranje-poetna faza Nakon to je front poremeaja dosegao profil vodospreme i krenuo nazad prema izlazu iz cijevi, smanjeni tlak u tom momentu izaziva pokretanje vode iz vodospreme u cjevovod brzinom v2, koja u profilu ela vala mora zadovoljiti jednadbu vodnog udara:

( )2102 vvgahhh == ... (4.73)

te iza ela vala mora biti zadovoljena jednadba

gvh2

22= ... (4.74)

Slika 4.51 Naglo otvaranje druga faza Rjeavanjem ovih jednadbi po v2 i h2 dobiva se stanje u prvom ciklusu 0. Na kraju ciklusa 0 front vala ponovo dosegne ispusni otvor, ali sada sa tlakom smanjenim za h tj. sa tlakom h2. U ovom trenutku treba ponovo biti ispunjena jednakost koja odreuje poveanje brzine sa v2 na v3. Postupak se dalje ponavlja kao to je opisano za prvi korak. 4.3.5.1 Prekid vodnog stupca Prekid vodnog stupca nastaje kad tlak vode spadne na napon vodenih para. Takav sluaj je mogu ako se cjevovod prema slici naglo otvori. Premda se odmah nakon otvaranja uspostavlja srazmjerno mala brzina, pomicanje ela udara uzvodno izaziva podtlak. U trenutku kada tlak spadne na napon vodenih para, voda prelazi u plinovito stanje, zapravo umjesto strujanja vode, u tom dijelu struji fluid sainjen od mjeavine vode i vodenih para.



Slika 4.52 Prekid vodnog stupca U sluaju kretanja vodnog udara kroz kompaktni vodni stupac, brzina irenja poremeaja je konstantna. Kada se elastini poremeaji ire kroz smjesu zraka i vode, jednadbe stanja koje daju odnose izmeu temperature, gustoe i tlaka postaju razliite od jednadbi usvojenih kod raunanja elastinih poremeaja u vodi, pa i odnosi izvedeni za vodni udar u ovom sluaju vie ne vrijede. Pojava kidanja vodnog stupca je u praksi nepoeljna (pa nisu razvijene metode za raunanje) jer cijevi nisu otporne na podtlak. Uslijed djelovanja nadsloja zemlje (ako postoji) i podtlaka moe doi do uvijanja (implozije) cijevi. Literatura: Jovi V. Skripta iz Hidraulike Borelli, Hidraulika


4.2.2 Zrani kotli

h04-sistemi pod tlakom

Documents