guia4.doc

UNIVERSIDAD CATÓLICA DE SANTA MARÍAGuía de Prácticas de Ingeniería Económica

Tasas de Interés Nominal y Efectiva

OBJETIVOS

Definir periodo de capitalización, periodo de pago, tasa de interés nominal y tasa de interés efectiva.

Calcular la tasa de interés efectiva. Calcular el valor presente y futuro de un flujo de caja específico cuando el periodo de

capitalización es más corto o más largo que el periodo de pago.

RECURSOS

Papel Calculadora Pizarra Computador. Guía de Prácticas.

DURACIÓN DE LA PRÁCTICA

Una sesión (1 hora).

MARCO TEÓRICO

1. INTERÉS NOMINAL E INTERÉS EFECTIVO

El interés nominal es una simple tasa de interés de referencia a partir de la cual y dependiendo de la condición de capitalización, se obtiene la tasa efectiva. El periodo de capitalización (que también se conoce como periodo de interés) determina el momento de liquidación o acusación de los intereses, independientemente de que se paguen o no. El interés efectivo es la verdadera tasa de interés que se obtiene de una inversión o que se incurre por un préstamo. El interés efectivo anual será el interés que obtendríamos al cabo

25

PRÁCTICA

4

Curso de Ingeniería Económica

de un periodo si reinvirtiéramos los intereses que nos devuelve la inversión durante ese mismo año, a la misma tasa de interés pactada originalmente. El interés efectivo puede ser calculado para cualquier tipo de periodo diferente a un año. Para conocer la tasa efectiva, generalmente se requiere conocer la tasa nominal y la condición de capitalización. Hay casos en los que no se requiere tal información. La costumbre comercial es expresar las tasas de interés en forma anual. Es muy importante distinguir entre periodo de capitalización y periodo de pago. Por ejemplo, si una compañía deposita dinero cada mes en una cuenta que paga un interés nominal anual de 30% capitalizado semestralmente, el periodo de pago será de un mes, mientras que el periodo de capitalización será de seis meses. De la misma manera, si una persona deposita dinero cada año en una cuenta de ahorros que capitaliza el interés trimestralmente, el periodo de pago es un año, mientras el periodo de capitalización es de tres meses.

Cuando se habla de interés compuesto, la tasa de interés mensual no es equivalente a la que resulta de dividir la anual por 12. Así, una rentabilidad anual compuesta del 30% no es equivalente a una tasa mensual del 2.5% (30/12). En este aspecto radica la diferencia entre el interés nominal y el efectivo.

La rentabilidad efectiva anual de una inversión que paga los intereses vencidos, aumenta en la medida que el lapso acordado para los pagos es más corto. Para desarrollar la fórmula del interés efectivo utilizaremos la siguiente simbología:

r = Tasa de interés nominal i = Tasa de interés efectiva anual r/t = Tasa efectiva del periodo de capitalización. t = Número de periodos de capitalización.

i = [ (1 + r ) t ] - 1 t

r/t = [ ( 1 + i ) (1 / t ) ] - 1

r/t = interés nominal / periodos de capitalización

Al dividir la tasa nominal por el número de periodos de capitalización obtenemos la tasa efectiva de dicho periodo.

Para ilustrar la diferencia entre la tasa de interés nominal y la tasa de interés efectiva, el valor futuro de $100.00 después de un año se determina por medio de ambas tasas. Si un banco paga el 8% de interés capitalizado semestralmente, el valor futuro de $100.00 utilizando una tasa de interés nominal del 8% anual es:

F = P (1+i) n = 100 (1.08) 1 = $ 108.00

Por otra parte si se capitaliza semestralmente, el valor futuro debe incluir el interés sobre el interés obtenido en el primer periodo. Una tasa de interés del 8% anual capitalizada semestralmente significa que el banco pagará 4% de interés dos veces al año. Entonces:

F = P (1+i) n = 100 (1+0.04) 2 = $ 108.16

Nominal = 8% por añoEfectivo = 4% por periodo

26


2. TASAS DE INTERES EFECTIVAS ANUALES

Ejemplo:

Una compañía de crédito anuncia que su tasa de interés para préstamos es del 1% mensual. Calcule la tasa anual de interés efectivo y encuentre el factor P/F correspondiente para n = 8

Reemplazando en la ecuación:

i = [ (1 + r ) t ] - 1 t

i = [ (1 + 0.01 ) 12 ] – 1 = 0.1268 = 12.68%

3. RELACIONES DE EQUIVALENCIA: COMPARACIÓN ENTRE LA DURACIÓN DEL PERIODO DE PAGO Y DEL PERIODO DE CAPITALIZACIÓN (PP VERSUS PC)

En los cálculos de equivalencia con porcentajes altos, la frecuencia de los flujos de efectivo no es igual a la frecuencia de la capitalización de los intereses. Por ejemplo, los flujos de efectivo pueden ser anuales, trimestrales o más frecuentes. Considere los depósitos realizados en una cuenta de ahorros cada mes, cuyos rendimientos tienen un periodo de capitalización trimestral. La duración del PC es de un trimestre, mientras que la duración del PP es de un mes. Para llevar a cabo correctamente los cálculos de equivalencia, resulta esencial que se utilice el mismo periodo para el periodo de capitalización y el periodo de pago, y que en consecuencia la tasa de interés se ajuste.

3.1 RELACIONES DE EQUIVALENCIA: PAGOS ÚNICOS CON PP > = PC

Existen Dos formas de determinar i y n para los factores P/F y F/P:

Método 1: Se determina la tasa de interés efectiva durante el periodo de composición PC, y se iguala N al número de periodos de composición entre P y F. Entonces:

P = F ( P/F, i% efectiva por PC, número total de periodos n)F = P ( F/P, i% efectiva por PC, número total de periodos n)

Si una tarjeta de crédito tiene una tasa establecida de 15% anual compuesto mensualmente durante dos años, entonces el PC = 15% / 12 = 1.25%, y n = 2 * 12 = 24 Luego: (P/F, 1.25% , 24 ) = 0.7422

Método 2: Se determina la tasa de interés efectiva para el periodo t de la tasa nominal, y n igual al número total de periodos utilizando el mismo periodo.

i = [ (1 + 0.15 ) 12 ] – 1 = 16.076 % , n = 2 12

Luego: (P/F, 16.076% , 2 ) = 0.7422

3.2 RELACIONES DE EQUIVALENCIA: SERIES CON PP > = PC

Cuando los flujos de efectivo implican una serie (por ejemplo A, G) y el periodo de pago es igual o mayor que el periodo de capitalización:- Se calcula la tasa de interés efectiva i por periodos de pago

27


- Se determina n como el número total de periodos de pago.

Por ejemplo:

Serie de flujo de efectivo

Tasa de interés Qué encontrar Notación estándar

$ 800 semestralmente durante 7 años

20% anual, compuesto

mensualmenteEncontrar P dado A P = 800 (P/A, 10%, 14)

$ 150 mensualmente durante 3 años

36 % anual compuesto

semestralmenteEncontrar F dado A F = 150 (P/A, 3%, 36)

$ 420 trimestralmente durante 10 años

7 % trimestral Encontrar F dado A F = 420 (P/A, 7%, 40)

Incremento de $ 20 mensualmente

durante 6 años1.5 % mensual Encontrar P dado G P = 20 (P/G, 1.5%, 72)

$ 163 trimestralmente durante 6 años

1 % mensual Encontrar A dado P A = 163 (A/P, 3.03%, 24)

3.3 RELACIONES DE EQUIVALENCIA: PAGOS ÚNICOS Y SERIES CON PP < PC

Cuando los flujos de efectivo implican pagos únicos o una serie, y el periodo de pago es menor que el periodo de capitalización, no se da la capitalización interperiodica, ya que los flujos de efectivo entre periodos no gana intereses o ganan un interés compuesto.

Se considera que los depósitos (flujos de efectivo negativos) se realizan al final del periodo de capitalización; así mismo, se considera que los retiros se hacen al principio. Por ejemplo, si se tiene un interés compuesto trimestral, los depósitos mensuales se trasladan al final del trimestre (no se obtienen intereses interperiodicos) y todos los retiros se trasladan al principio (no se pagan intereses durante todo el trimestre).

ACTIV IDADES DE LA PRÁCTICA

1. ¿Calcule el valor futuro de una serie de pagos mensuales iguales a $ 1000 que se extienden por un periodo de cinco años aun interés del 12% compuesto: a) trimestralmente, b) mensualmente

2. ¿Cuál es el valor futuro total de las siguientes series de pagos? $ 1,000 al final de cada semestre durante 10 años al 8% compuesto semestralmente. $ 1,000 al final de cada trimestre durante 10 años al 10% compuesto trimestralmente.

28


3. ¿Cuál es la cantidad de los depósitos trimestrales A para que usted pueda retirar las cantidades indicadas en la figura si la tasa de interés es del 8% compuesto trimestralmente?

$ 2500 $ 2000

$ 1500 $ 1000

0 1 2 3 4 5 6 7 8

A

4. Georgi Rostov deposita hoy $ 4,000 en una cuenta de ahorros que paga el 6% de interés compuesto trimestralmente. Tres años más adelante deposita $ 4,500; dos años después de este depósito, efectúa otro por $ 2,500; cuatro años posteriores al depósito de $ 2,500 transfiere la mitad de los fondos acumulados a un fondo que paga el 7% de interés compuesto mensualmente. ¿Cuánto dinero habrá en cada una de las cuentas seis años después de la transferencia?

5. El precio de un edificio es de $ 75,000. Si se efectúa un pago inicial de $ 25,000 y un pago mensual de $ 500 mientras se requiera. ¿Cuántos años se requerirán para pagar el edificio?. ¿El interés se cobra a una tasa del 9% compuesto mensualmente?

6. Una pareja piensa financiar la educación universitaria de su hijo de tres años. El dinero se puede depositar al 8% compuesto trimestralmente. ¿Qué deposito trimestral debe efectuarse a partir del tercer cumpleaños del niño hasta que cumpla 18 años para proporcionar $ 20,000 en cada uno de los cumpleaños del 18avo al 21avo? (Observe que el ultimo deposito se hace el día del primer retiro).

7. Elimy Lazi recibió $ 20,000 de una compañía de seguros después del fallecimiento de su esposo. Emily quiere depositar esta cantidad en una cuenta de ahorros que produce un interés del 8% compuesto mensualmente. Después le gustaría efectuar 60 retiros mensuales iguales durante el periodo de cinco años del depósito, de manera que al efectuar el último retiro, la cuenta de ahorros tenga saldo cero. ¿Cuánto puede retirar cada mes?

EJERCIC IOS PROPUESTOS

1. Una persona invierte $600,000 en un depósito a término fijo de 6 meses. Si le garantizan una tasa del 32% capitalizable trimestralmente, hallar el valor final del documento.

2. Un proyecto exige una inversión inicial $400,000 y devolverá $800,000 en 10 meses. Calcular la rentabilidad mensual que genera el proyecto.

3. Un deudor debe un pagaré por $70,000; 15 meses después de vencido el pagaré puede ser cancelado con $90,000. Hallar la tasa nominal capitalizable trimestralmente, que corresponde a esta operación.

4. Una persona debe $50,000, con vencimiento en 6 meses e intereses del 30% capitalizable trimestralmente. Si el documento es vendido 2 meses antes del vencimiento y el comprador desea ganar un interés del 3% efectivo mensual sobre el monto de su inversión, calcular el precio de compra.

5. Cuánto tiempo se necesita, para triplicar un capital al 30% capitalizable semestralmente.6. En cuánto tiempo $80,00 se convertirán en $200,000, al 30% capitalizable

mensualmente?

29


7. a. A qué tasa efectiva anual, se duplica un capital en 2 años?b. A qué tasa nominal capitalizable semestralmente, se duplica un capital en 2 años?c. A qué tasa nominal capitalizable mensualmente, se duplica un capital en 2 años?

8. Usando la comparación de tasas qué es más conveniente: invertir en una empresa de turismo que garantiza doblar el capital en 4 años o invertir en una cuenta de ahorros que paga el 21% capitalizable trimestralmente?

9. A un inversionista le presentan 3 proyectos, donde pude invertir su dinero:a. Una compañía de préstamos ofrece duplicar el dinero invertido en 2 años y 3 meses;b. Una empresa de sistemas ofrece que, por cada $50,000 invertidos devolverá

$70,000 en 10 meses;c. Un banco ofrece pagar el 36% capitalizable mensualmente, en depósitos a término

fijo.Qué proyecto debe escoger?

10. Una persona tiene 3 posibilidades de invertir su dinero: a. al 28% capitalizable mensualmente; b. al 33% simple; c. al 30% capitalizable

trimestralmente. Usando la comparación de montos decidir cuál de las tres opciones debe escoger.

Sugerencia: Escoja cualquier capital, por ejemplo $1,000 y use siempre el mismo tiempo, por ejemplo un año.

11. Una máquina al final de su vida útil dentro de año y medio, para esa época, una nueva que se adquiera $800,000; y se estima que la máquina podrá ser recibida en parte de pago de la nueva en la suma de $150,000 ¿Qué depósito debo hacer hoy en cuenta que paga el 28% capitalizable trimestralmente para poder hacer la compra en su momento oportuno?

12. a. Hallar una tasa efectiva trimestral equivalente al 7% efectivo trimestre anticipado. b. Hallar una tasa efectiva mensual anticipada equivalente al 3% efectivo mensual.

13. a. Hallar una nominal convertible semestralmente, equivalente al 24% capitalizable trimestralmenteb. Hallar una tasa nominal convertible mensualmente, equivalente al 12% capitalizable trimestralmentec. Hallar una tasa nominal trimestre anticipada, equivalente al 2.5% efectiva mensual

14. El día 15 de marzo de 1990 una persona invierte $120,000 en una cuenta que ofrece pagar el 24% capitalizable mensualmente, pero por meses completos. El día 15 de julio de 1990 hace otra inversión por $80,000 en la misma cuenta. Cuánto tiempo tendrá que esperar después del 15 de julio, para retirar como mínimo $400 000? (Suponga que el mes completo va del día 15 al día 15).

15. Una persona depositó $200,000 en una cuenta que paga el 20% CS. Al final del primer año retira mitad del saldo en ese momento, 6 meses después deposita igual cantidad al saldo de la cuenta en ese momento y un año después piensa retirar todo. Cuál es el valor del retiro final?. Sugerencia: no se trata de una ecuación de valor, se trata de ir calculando los saldos paso a paso.

16. Un título emitido a 180 días puede adquirirse actualmente al 86% de su valor nominal. Calcular su rentabilidad efectiva anual en caso de adquirirse.

17. Si se emiten con descuento a 180 días garantizando una tasa del 34% nominal trimestral. Cuál debe ser su valor de emisión?

18. Una aceptación financiera tiene un precio de registro de $97.55 y faltan 28 días para su maduración. Si la comisión es del 0.5% Cuál será la rentabilidad efectiva anual del comprador? Cuál será el precio del comprador?

19. Suponiendo una tasa de corrección monetaria del 22.8% efectiva anual para el mes de Octubre y de 21% efectiva anual para el mes de Noviembre y que el valor de la UPAC, el 15 de Octubre es de $7,886. Cuánto valdrá la UPAC el 28 de Noviembre del mismo año?. Sugerencia: Para las tasas use todos los decimales

30


CUESTIONARIO

1) ¿Cuál es la diferencia entre tasa de interés nominal y tasa de interés efectiva? 2) ¿Cuál es la diferencia en las relaciones de equivalencia en pagos únicos, series

respecto a PP > = PC?3) ¿Qué cálculos se deben realizar en las relaciones de equivalencia en pagos únicos,

series respecto a PP > = PC?4) ¿Qué cálculos se deben realizar en las relaciones de equivalencia en pagos únicos,

series respecto a PP < PC?

REFERENCIAS BIBL IOGRÁFICAS

[ 1 ] Chan S. Park, “Ingeniería Económica Contemporánea”, Ed. Addison Wesley, 1997.

[ 2 ] Blank - Tarkin “Ingeniería Económica”, Ed. Mc Graw Hill, 2003.

DOCUMENTOS ADJUNTOS

Ninguno

31

guia4.doc

Documents