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Sistemas Electromecánicos, Guía IV:”Tensiones Inducidas y Campos Magnéticos en Devanados”

1

GUÍA IV : “TENSIONES INDUCIDAS Y CAMPOS MAGNÉTICOS EN DEVANADOS”

1. Una máquina tiene un devanado de 2 polos distribuidos en 24 ranuras en el estator. El rotor tiene un devanado monofásico alimentado con corriente continua a través de a- nillos deslizantes y produce una inducción magnética sinusoidal con un valor máximo Bm = 0,7 [T]. El estator tiene un largo axial de 30 [cm] y un radio de 15 [cm]. El rotor es impulsado a 1500 [rpm]. Determinar: a) Velocidad del campo respecto del rotor. b) Frecuencia de las tensiones inducidas en el estator. c) Número de vueltas Nr en cada ranura del estator necesarias para obtener una tensión efectiva de 670 [V] por fase. d) Valor efectivo de la tensión Vb-a’ mostrada en la figura considerando una tensión efectiva por fase de 670 [V]

Figura 1. Devanado

Resolución:

a) El campo gira junto con el rotor.

0/ =rotorcampov (1) b) La frecuencia del estator está dada por:


2

][·5060·2·1500·1

60·2···

sradpp mecmecest πππηωω ==== (2)

Por consiguiente:

][252

Hzf estest ==

πω (3)

c) La tensión por fase es:

)·(·ˆ······2)(' tsenBfNRltV distaa ωω=− (4) Donde:

43·1·2

24··2

===mp

zq (5)

][º15][12

··2electelectrad

zp

===ππβ (6)

Luego:

958,0

2·1·

2·1·

1 =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=β

β

senq

qsenf dist

(7)

Entonces la tensión efectiva es:

BfNRlV distefecaaˆ······2

21

' ω=− (8)

Luego despejando N y resolviendo (8):

][100 vueltasN = (9) Finalmente:

][25·

vueltaspq

NN r == (10)

d) Se tiene:


3

º240670º0670 '' ∠=∧∠= −− bbaa VV (11) Con lo que:

][670º60670

'

'''

VVVVV

efecab

bbaaab

=−∠=+=

−

−−− (12)

2. Un devanado de estator trifásico de una capa, tiene dos ranuras por polo y por fase, dos pares de polos y cada bobina tiene 20 vueltas: a) Calcular el número de vueltas efectivas por fase para la fundamental y para la 3ª armónica. b) Un devanado excitado con corriente continua en el rotor que gira a 1500 [rpm] produce una distribución de flujo sinusoidal en el espacio de valor máximo 0.2[Wb]. Calcular el valor efectivo de la tensión inducida en cada fase del estator. ¿En qué forma difieren las tensiones inducidas en las tres fases?

Resolución:

a) Se conoce que.

ndistbobnefect fNpqN __ ···= (13) Donde

qmpzz

pnsenqnqsenf ndist

···2;··2)2/·(·)2/··(

_

==

=

πβ

ββ

(14)

][º30][6····2

··2elielirad

qmqmpp

====πππβ (15)

Luego para la fundamental:

][28.77966.0·20·2·2

966.0

1_

1_

vueltasN

f

efect

dist

==

= (16)

Y para la 3ª armónica:


4

][56.56707.0·20·2·2

707.0

1_

3_

vueltasN

f

efect

dist

==

= (17)

b) Considerando un par de polos n = 1500[rpm] luego:

][50][50··260

··211 Hzf

sradnp =⇒== ππω (18)

Por consiguiente:

][2.0ˆ);·(·ˆ 11 Wbcontsen =+= φγωφφ (19)

Entonces:

)··cos(··2.0

)·(·2.0··

111

11

γωω

γωφ

+−=∂Ψ∂

−=⇒

+==Ψ

tNt

V

tsenNN

ef

efef

(20)

Luego el valor efectivo inducido en cada fase del estator:

][1716··2.0·44.42

··2·2.0

2

··2.01

·11 VNfNfN

V efefef

ef ====πω

(21)

Debido a que los ejes magnéticos de las bobinas del estator de las 3 fases están desfasados

en 120º, las tensiones inducidas en estas fases también están desfasadas en 120º

3. Una máquina tiene un devanado trifásico de 2 polos en el estator, distribuido en 24 ranuras con Ne = 25 [vueltas] en cada una. El radio del rotor es de 10 [cm], el largo axial es de 50 [cm] y el entrehierro tiene un ancho de 1 [mm]. El devanado del estator es alimentado por una corriente trifásica de 10 [Aef] y 50 [Hz]. En el rotor se tienen 2 bobinas concentradas 1-1’ y 2-2’ de Nr = 10 [vueltas] cada una. Tal como se muestra en la figura.


5

Figura 2. Máquina

a) Calcule el factor de devanado para la fundamental del devanado del estator. b) Calcule la inducción máxima fundamental producida para una fase del estator. c) Calcule la expresión del campo fundamental resultante del devanado trifásico Bres(θ,t) cuando el valor máximo fundamental producido por una fase es de B1max=1,2[T]. d) El roto está detenido y se tiene el campo del punto c): d.1) Calcule el valor efectivo de las tensiones en el rotor V1-1’ y |V1-1’+V2-2’|. d.2) ¿Cuál es la frecuencia de dichas tensiones? e) Determine la frecuencia de las tensiones inducidas en la bobina 1-1’ cuando el rotor gira a: e.1) 3000 [rpm] e.2) -3000[rpm]

Resolución: a) Tenemos:

4··2

][º15··2

==

==

mpzq

zp

electπβ

(22)

Luego:

958,0

2··

2··

1 =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=β

β

nsenq

nqsenfdev (23)


6

b) Se sabe que:

][08,14·2

·ˆ··ˆ1

01 Tf

gqIN

B deveste ==

πµ

(24)

c) La inducción magnética resultante de un devanado trifásico es un campo giratorio:

)·(·ˆ23),( 1 tsenBtBres ωθθ −= (25)

Dado que ω = 2·π·f = 314 [rad/s]:

)·314(·8,1),( tsentBres −= θθ (26)

d) Tensión en 1-1’:

][400ˆ·····22

1'11 VBNRlV resrefec ==− ω (27)

V1-1’ y V2-2’ están desfasados en 90º, ya que las bobinas lo están también entre sí en 90º. Entonces

][566·2 '11'22'11 VVVV ==+ −−− (28)

Y la frecuencia de las tensiones inducidas en el rotor es:

][50603000·1

60· Hzpf ===η (29)

e) Cuando el rotor gira a 3000 [rpm], el campo está estacionario con respecto al rotor, de este

modo:

00 '22'11 === −− VVfr (30) Ahora bien, cuando el rotor gira a la misma velocidad en sentido opuesto, el campo gira a

η’ = 6000 [rpm] respecto del rotor. Por lo tanto:

][10060

'· Hzpfr ==η (31)


7

4. Determine el número de vueltas efectivas de un devanado trifásico conexión estrella, de una capa, de 4 polos, de 2 ranuras por polo y por fase para la fundamental y quinta armónica. Cada bobina tiene 60 vueltas. Dibuje el conexionado del devanado

Figura 3. Máquina

Resolución: a) El factor de distribución está dado por::

)2/·(·)2/··(

_ ββ

nsenqnqsenf ndist = (32)

Donde:

][º30····2

··2··2eliqmqmp

pz

p====

πππβ (33)

Luego:

259.0)2/º30·5(·2)2/º30·5·2(

966.0)2/º30·1(·2)2/º30·1·2(

5_

1_

==

==

sensenf

sensenf

dist

dist

(34)

El número total de vueltas por fase es:

][240·· vueltasNpqN bobT == (35)


8

Las vueltas efectivas son entonces:

][16.62·

][84.231·

5_5_

1_1_

vueltasNfN

vueltasNfN

Tdistef

Tdistef

==

== (36)

Y el número de ranuras:

][24

6

2··2··2 ranuraspz ===ππ

βπ

(37)

b) Para realizar el conexionado del devanado es necesario conocer:

][3]/[2

][2

fasesmfasexpoloranurasq

poloparesp

===

Yconexión

ranuraszeli

][24][º30

==β

(38)

Figura 4. Conexionado Extendido


9

Figura 5. Conexionado Circular

5. La máquina de la figura tiene el rotor alimentado con una corriente continua Ir = 10 [A] mediante anillos deslizantes. El rotor es impulsado por otra maquina motriz a una velocidad de 3000 [rpm].

Figura 6. Máquina

a) Grafique el campo del rotor.. b) Calcule la amplitud de la componente de trecera armónica del campo del rotor.. c) ¿Cuánto vale la tensión inducida en el rotor? d) Dibuje la tensión inducida en el estator. En la misma figura dibuje además la fundamental y 3ª armónica de tensión. Especifique.


10

e) ¿Vef 1 estator? f) Determine la inductancia del rotor.

Resolución: c) Utilizando ley de Àmpere:

gBgHNI rr ·2ˆ

·2·ˆ·0µ

== (39)

Despejando (23) se tiene que:

][75,0··2··ˆ TpgNI

B rro ==µ

(40)

Luego la gráfica queda:

Figura 7. Campo del Rotor

d) Se sabe que:

][32,0ˆ·34

3

ˆˆ

ˆ4ˆ

13

1

TBB

B

BB

===

=

π

π (41)

e) Dado que no existe una corriente distinta a la del rotor que produzca un campo, entonces el

flujo por el rotor es constante, luego la tensión inducida en el rotor es 0.


11

f) Se tiene:

][201][50

]/[50··260

··2

11

1

1

msf

T

Hzf

sradp

==⇒

=⇒

== πηπω

(42)

][67,61][150·3

33

13

msf

T

Hzff

==⇒

==⇒ (43)

La amplitud del Vestator es:

][360ˆ·34ˆ

][1080ˆ4ˆ

][2,848ˆ·····2ˆ

3

1

1

VVV

VVV

VBNRlV

estatorestator

estatorestator

sestator

==

==

==

π

π

ω

(44)

g)

][7642

11 V

VV estator

efectestator == (45)

h) La reluctancia es:

lRg

oT ···

·2πµ

=ℜ (46)

De este modo la reluctancia es:

][296·2

····2

2

mHg

lRNL

NL

orr

T

rr

==

ℜ=

πµ (47)


12

6. Demuestre que un devanado bifásico alimentado por corrientes bifásicas produce un campo giratorio. Considere que el devanado bifásico tiene sus ejes magnéticos desplazados en 90 [ºeli], de acuerdo a:

)cos(2

)(·),( θθ

tiNtFMM aef

a = (48)

)(2

)(·),( θθ sen

tiNtFMM bef

b = (49)

Donde las corrientes bifásicas están expresadas por:

)··cos(ˆ)( tItia ω= (50)

)·(·ˆ)( tsenItib ω= (51) Resolución: a) Consideremos

)2

cos(2

)(·),( πθθ −=

tiNtFMM bef

b (52)

)2

··cos(ˆ)( πω −= tItib (53)

Entonces:

)cos(2

)··cos(ˆ·),( θ

ωθ

tINtFMM ef

a = (54)

)2

cos(2

)2

··cos(ˆ·),( πθ

πωθ −

−=

tINtFMM

ef

b (55)

La FMM resultantes es:

),(),(),( tFMMtFMMtFMM ba θθθ += (56) Usando en (54) y (55):

)]cos()[cos(21))·cos(cos( yxyxyx −++= (57)


13

Resulta:

)]·cos()··[cos(4

ˆ·),( tt

INtFMM ef

a ωθωθθ −++= (58)

)]·cos()··[cos(4

ˆ·),( tt

INtFMM ef

b ωθπωθθ −+−+= (59)

Reemplazando en (56):

)]··cos(2)·cos()··[cos(4

ˆ·),( ttt

INtFMM ef ωθπωθωθθ −+−+++= (60)

Donde:

)·cos()·cos( tt ωθπωθ +−=−+ (61) Entonces:

)··cos(2

ˆ·)]··cos(2·[

4

ˆ·),( t

INt

INtFMM efef ωθωθθ −=−= (62)

El cual corresponde aun campo giratorio de frecuencia ][s

radω .

7. La figura muestra un molino usado para la molienda de cobre, el que es movido por un motor sincrónico de 70 polos con un devanado trifásico en el estator. El variador de frecuencia entrega en su salida corrientes trifásicas de frecuencia variable.

a) ¿Cuánto vale el número pares de polos? b) Escriba la expresión del campo fundamental producido por una fase del estator, despreciando las armónicas y considerando que el valor máximo de la inducción 0,8 [T]. Cuantifique. c) Escriba la expresión del campo fundamental resultante del devanado trifásico. Cuantifique. d) ¿Qué frecuencia f0 debe generar el convertidor para que el molino gire a 9 [rpm]. (Nota: En un motor sincrónico el motor gira siempre a la misma velocidad del campo giratorio.)


14

Figura 8. Molienda de cobre.

Resolución: b) El número de pares de polos es:

352

70==p (63)

c)

])[···2()··35(·8,0

)···2()··(·ˆ

01

01

TtfsensenB

tfsenpsenBB

πθ

πθ

φ

φ

=

= (64)

d)

])[···2·35(·2,1

)···2·(·ˆ·23

03

03

TtfsenB

tfpsenBB

πθ

πθ

φ

φ

−=

−= (65)

e)

][25,560·

··260

··2

0

0

Hzpf

pf

r

==

==

η

πηπω (66)

8. Una máquina rotatoria de 2 polos tiene un devanado trifásico de estator distribuido en 18 ranuras, cada una de 20 [vueltas]. El rotor está construido con un devanado concentrado de 100 [vueltas] y las siguientes dimensiones geométricas: L = 30 [cm], R = 5 [cm], g = 1 [mm].


15

a) Calcule los factores de devanado del estator para la fundamental y 5ª armónica. b) Si por el devanado del rotor circulan 10 [A] y el rotor gira a velocidad constante de 3000 [rpm]. Determine la amplitud de la fundamental de la tensión inducida en el estator. c) Determine la tensión inducida en el devanado de rotor cuanto este gira a una velocidad de 1500 [rpm] y el estator es alimentado con corrientes ia, ib, ic desfasadas 120 º entre sí de amplitud 10 2 [A] y 50 [Hz].

Resolución: a) Primero calculamos el número de ranuras por fase y por polo “q” y el ángulo eléctrico “β”:

][º20][9

··2

33·1·2

18··2

electelectradz

pmp

zq

===

===

ππβ (67)

Ahora el factor de devanado es:

ndistncuerdandistndev ffff == · (68)

)2

··(·

)2

··(

β

β

nqsenq

nqsenf ndist = (69)

Así para la fundamental y quinta armónica:

2176,0

9558,0

5

1

=

=

dist

dist

f

f (70)

b) Por ley de Àmpere:

gIN

B

gIN

B

rr

rr

·2··

·4ˆ

·2··

01

0

µπ

µ

=⇒

= (71)

Luego:


16

)·cos(ˆ)( 11 rBB θθθ −= (72) Entonces el flujo es:

)·cos(ˆ···2

)·cos(ˆ····)·(

1

2

21

2

21

r

r

BRL

BRLRLB

θ

θθθθθπ

π

π

π

=Φ

∂−=∂=Φ ∫∫ −− (73)

Con esto:

Φ=Ψ ··· 1deve fqN (74) De este modo la a tensión es:

][09,307·ˆ····2

1

)·(·ˆ···

1

1

VfqNV

senfqNt

V

rdeverms

rrdeve

=Φ=

Φ=∂Ψ∂

−=

ω

ωθ (75)

c) Por ley de Àmpere:

)·50··2(·10·2··2

··· 0 tseng

fqNB deve

a πµ

= (76)

Análogo para Bb y Bc, ahora el campo resultante considerando únicamente la fundamental y

la suma de los campos producidos por cada fase:

)·50··2(·10·2··2

····

23·4)( 0

1 tseng

fqNB deve

res πµ

πθ = (77)

La velocidad del campo giratorio es ]/[50··2 srade πω ±= , dependiendo de la orientación

de las fases. Ahora bien el rotor gira a 1500 [rpm], esto es ]/[25··2 sradn πω = . De este

modo, y evaluando (46) se tiene que ][98,0ˆ1 TBres = . Con esto:

0293.0ˆ···2ˆ

1 ==Φ resBRL (78) Finalmente:


17

relativarrms fNV ·ˆ··2

·2Φ=

π (79)

Donde la frecuencia relativa es 25 o 75 [Hz] de pendiendo si es secuencia negativa o positiva respectivamente. Esto arroja los siguientes valores para la tensión:

][977][326

75

25

VVVV

rms

rms

==

(80)

9. Una máquina AC de 2 polos tiene un devanado trifásico de 2 capas en el estator distribuido en 24 ranuras (α = β). El número total de vueltas por fase es de 80. El rotor está construido con imanes permanentes de forma que la distribución de densidad de flujo es la mostrada en la figura. El rotor tiene un largo axial de 10 [cm] y un diámetro de 5 [cm].

a) Calcule los factores de distribución y de cuerda para la fundamental. b) Calcule el flujo polar producida por la fundamental de la distribución de densidad de flujo. c) Calcule el valor de la tensión fundamental inducida en cada fase (rms) cuando la máquina gira a 3000 [rpm].

Figura 9. Distribución densidad de flujo

Resolución: a) El número de pares de polos p = 1, luego calculemos:


18

][º1524·2

43·2

24

elect

q

==

==

πβ (81)

Ahora:

9914,0)2

cos(

9577,0)

2(·

)2

·(

==

==

β

β

β

cuerda

dist

f

senq

qsenf

(82)

b)

][88,0))cos((·8,0·2

)·()·(·1ˆ

6·5

6

·2

01

T

senBB

=−=

∂= ∫π

π

π

θπ

θθθπ

(83)

][0088,0

ˆ···2··)·(·ˆ

·

10 1

1

Wb

BRLRLsenB

AB

=

=∂=

∂=Φ

∫

∫θθ

π

r

(84)

c) La tensión está dada por:

cuerdadistprms fffnV ·····44,4 Φ= (85) Ahora bien, se sabe que si la velocidad es 3000 [rpm], entonces la frecuencia es 50 [Hz]. Entonces, evaluando:

][4,148 VVrms = (86)

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