gui as em in a rio mate ma tic a 2010

DEPARTAMENTO ACADÉMICO DE

CIENCIAS BÁSICA

ASIGNATURA : MATEMÁTICA APLICADA

A LA MEDICINA

GUÍA DE SEMINARIO

Elaborado por :

Felix Peña Palomino

Ego L. Prudencio Gonzales

PRIMER AÑO

I – SEMESTRE

2010

LIMA – PERÚ

2

GUÍA DE SEMINARIO N° 1

TEMA :LÓGICA PROPOSICIONAL

01. Determinar el valor de verdad de las siguientes proposiciones:

a. La Facultad de Medicina de la Universidad San Martín de Porres, está en Lima y

Arequipa.

b. El estudiante de Medicina tiene que estudiar mucho o el estudiante de Ingeniería

estudia poco.

c. Si Julia estudia Medicina, entonces Julia estudia anatomía.

d. No es cierto que el Razonamiento es importante para la Medicina y la Anatomía es

importante para el estudiante de Medicina.

02.. Indique el valor de verdad de las siguientes proposiciones:

a.) (9<3) (52 =10) ……………………..

b.) [(-1)2] > 1 (2

3 =8) ……………………..

c.) R (-1)2 = 1 …………………..

d.) (15>7) (3<5) ……………………..

03. Si s es una proposición falsa y t es verdadera indique cual de las siguientes

proposiciones son verdaderas.

a.) p (s t) b.) (p s) t

c.) p (t s) d.) s (p t)

04. Si la proposición rpqp es falsa. Señale el valor de verdad de las siguientes

proposiciones:

a. r~r~qp~ pq b. ~ (p q) (p ~r)

c. rpq rqp~~ d. p~r~q~p q

05. Determinar mediante tablas de verdad cuáles de las siguientes

proposiciones son tautologías, contradicción o contingencia.

a. q~p~qp~ pq b. p)~(q)(~~qp~

c. q~p~r~ qp~ r d. q~ prp~q~ p

06. Si la proposición: r~sqp~ es falsa cuales de las siguientes proposiciones es

falsa.

a. q~qp~ b. sr)q(~qq)(r

c. qp~q~ qp~ d. r~ pq~p~q~ p

07. Negar las siguientes proposiciones:

a. “Si Carlos estudia medicina o trabaja, entonces no viaja”.

b. “Si Carlos aprobó los exámenes de admisión, ingresó a la universidad pero

Carlos no ingresó o no aprobó los exámenes de admisión”.

08. Dada las proposiciones:

s: El aumento de glucosa produce el cáncer.

t: El cardiólogo se especializa en el corazón.

Indique cuáles de las siguientes proposiciones son verdaderas:

a.) p (s t) b.) (p s) t

c.) p (t s) d.) s (p t)

09. Si p= “Luis estudia medicina” q= Carlos trabaja en un hospital”

Simplificar y expresar su significado.

qpq~ p~~

3

10. Simplificar las siguientes proposiciones:

a. pp~q p~~ b. pqp~q~p~

c. q~ p~q~ pqp d. pqp~q~p~

11. Determinar si los siguientes esquemas son lógicamente equivalentes.

q~p~~q~pqp~q)(p~ c.

q~pp~q)p(~pq~ b.

qp~qp~ a.

12. Demostrar por la tabla de verdad o por el método abreviado si los siguientes esquemas

representan o no regalas de inferencias válidas.

a. b. c.

q~

_______

q~p

q~p

q

_______r~

qrp q

sp

_______sr

rq p q

13. Traducir a la forma simbólica y comprobar la validez de los siguientes enunciados.

a. Si me gustan las matemáticas, entonces estudiaré. Estudio o pierdo el curso ; en

consecuencia , si pierdo el curso , entonces no me gustan las matemáticas.

b. Si Londres no está en Dinamarca, entonces París no está en Francia; pero París está

en Francia. Por tanto, Londres está en Dinamarca.

14. Simplificar y Hallar el equivalente de los circuitos lógicos

a.

b.

15. Hallar el valor de verdad de las siguientes proposiciones:

a. 1 1R/xxxxR/x

b. 1x1/x~xR/xx~ 2 xZ

c. 0/x~0xN/ x~ xQ

d. x3xQ/xx 3-N/ xx

Negar cada uno de las proposiciones dadas.

p q

~q ~p

q

p

~q

~q

q

q

~p

p

q ~p

p

~q

q

4


TEMA : CONJUNTOS

01. Determinar por extensión los siguientes conjuntos :

5n2- , / x3-n

9nH 8 x N / xN

4

3xD

5x /2impares" ros Núme " 1)(2x G 43 / xN)3(xC

Nx6,x /1pares" ros Núme " )2(3xF 5x1 N/ x2

1B

0156xQ/ xE 8x 3N1/x2xA

2

2

x

2

Z

x

x

02. Determinar por compresión los siguientes conjuntos ,

........9......... , 5 , 1 , 3- , 7-C

12

23 ,

10

20 ,

8

17 ,

6

14 ,

4

11E

32

1 ,

16

1 ,

8

1 ,

4

1 ,

2

1 , 1B

128

19 ,

64

17 ,

32

15 ,

16

13 ,

8

11D 26 , 22 , 18 , 14 , 10A

03. Sean los conjuntos U = -1 , 0 , 1 , 2 , 3 , 4

BxA / xUx M Si 4 , 3 , 2 B ; 1 , 0 , 1-A

Hallar M .

04. Si B = { a } ; C = { , b } ; A = P(B) C. Hallar:

a. A – ( B C ) b. ( A B ) C c.P ( A – ( B C ) )

05. Siendo E = { 0 , 1 , 2 , 3 , 4} y los subconjuntos de E:

A = { x / x + 3 = 3 x 0 } B = { x / x 1 x < 2 }

C = { x / x + 3 = 3 2x – 1 = 3 }

Determinar: a . ( A B ) – ( A B ) b . [ ( A B ) – (B – C ) ]

06. Utilizando las propiedades conjuntistas, simplificar las expresiones:

)B(ACACBAr simplifica , ΦCB)(A BA Si c.

ACBC-B Ar simplifica , ΦA C BA Si b.

CBACBAr simplifica B,A Si a.

d. AB AB BA

07. Dado los conjuntos:

U = { x Z / -3 x 3 } A = { x U / ( x2 – 4 ) ( x

2 – 9) = 0 }

B = x U / ( 1 – x ) A } C = x U / ( x + 1) A }

Calcular:

a. [ ( A –C ) B ] b. [ ( A B ) - C ] A c. [ ( A C ) B ]

08. Responda en cada caso:

a. Sombrea de acuerdo a la operación indicada:

A B C D

{ [B’ (A C)’] [ C’ D’] }’

5

b. En el siguiente gráfico.

c.. Que expresión representa la región sombreada en la figura.

09. En un hospital con 420 médicos; 240 obtuvieron un aumento, 115 obtuvieron un

ascenso y 60 obtuvieron ambas cosas .

a. ¿Cuánto médicos ascendieron o obtuvieron un aumento?

b. ¿Cuántos médicos ni ascendieron ni obtuvieron un aumento?

10.. En el Hospital E. Rebagliati se encuentra hospitalizados 120 personas, que sufren las

siguientes enfermedades:. 45 sufren de diabetes., 46 sufren del corazón., 38 sufren de

hepatitis., 7 sufren de diabetes y del corazón., 8 sufren del corazón y hepatitis., 10 sufren

hepatitis y diabetes y 12 no se les detectó ninguna enfermedad.

¿Cuántos pacientes tienen las 3 enfermedades?

11. El 65% de la población de una ciudad no ve el canal A de T.V. y el 50% no ve el canal

B. Si el 55% ve el canal A o el canal B pero no los dos canales. ¿Qué porcentaje de la

población ve ambos canales?.

12. En una batalla intervienen 100 soldados de los cuales:

- 42 fueron heridos en la cabeza

- 43 fueron heridos en el brazo

- 32 fueron heridos en la pierna

- 8 fueron heridos en la pierna y el brazo

- 5 fueron heridos en la cabeza y el brazo

- 6 fueron heridos en la pierna y la cabeza.

Si todos fueron heridos ¿Cuántos fueron heridos en la cabeza, la pierna y el brazo?

13. En un instituto de investigación científica trabajan 67 médicos. De estos 47 investigan el

cáncer, 35 investigan el sida y 23 ambas enfermedades. ¿Cuántos médicos en el instituto

no estudian el cáncer ni el sida?

14. En el pabellón A de un hospital hay 40 pacientes, algunos que estudian o trabajan y otros

que ni estudian ni trabajan. Se tiene que presentar un informe acerca de los pacientes

sabiendo que:15 pacientes no estudian ni trabajan,10 pacientes estudian, 3 pacientes

estudian y trabajan. ¿Cuántos trabajan? ¿Cuántos solo trabajan? ¿Cuántos solo estudian?.

A B

C

A B C Sombrear la región que representa a :

M = { x U / x [ (A – C) (B C ) ]

6


TEMA :TEORÍA COMBINATORIA

01. Cuántos números diferentes de 5 cifras pueden formarse con los dígitos:

1 , 2 , 3 , ...........8 , 9 en los cuales no se repite ningún número.

02. ¿De cuántas maneras se pueden elegir 3 hombres de entre un grupo de 15 hombres de

manera que:

a. Uno de ellos debe figurar en cada grupo

b. Dos de ellos no debe figurar en cada grupo

Uno de ellos debe figurar y otros dos no deben figurar en cada grupo.

03. ¿De cuántas maneras diferentes se pueden sentar en una fila de 5 butacas , 3 hombres y

dos mujeres de modo que las mujeres no estén juntas?

04. De las siguientes igualdades.

p""y n""hallar , 210C C b.

hallar x , 450C . V a.2n

p102n

2-p

x2

x2

05. Se ordenan 6 libros en un estante donde 2 de ellos son de Biología. ¿De cuántas formas

diferentes se podrán ordenar los libros si los que no son de Biología deben estar juntos?.

06. De la palabra EUCALIPTO se escogen 2 consonante y 3 vocales diferentes. ¿Cuántas

palabras de 5 letras pueden formarse sin que las palabras tengan necesariamente

significado?

07. ¿De cuántas maneras pueden agruparse 6 médicos, 4 químicos y 3 biólogos de manera

que en cada grupo hay 3 médicos , 2 químicos y un biólogo?.

08 De un equipo de 12 personas; 5 de ellos son médicos. ¿Cuántos grupos de 4 miembros,

se pueden formar de manera que en cada grupo esté integrado por lo menos por un

médico?

09. En un Congreso Legislativo hay 20 demócratas y 10 republicanos. Se va elegir un grupo

de 5 congresistas.

a. ¿De cuántas maneras puede hacerse?

b. ¿De cuántas puede hacerse, si tiene que haber 3 demócratas y 2 republicanos.

c. ¿De cuántas maneras si todos han de ser del mismo partido.

10. Si se lanza una moneda 3 veces, calcular la probabilidad de que:

a. Ocurran dos caras b. Ocurran al menos dos caras. c. Ocurra a lo más 2 caras.

7

11. Consideramos el experimento de “el lanzamiento de dos dados“. Calcular la probabilidad

de:

a. Obtener una suma de 7 b. Obtener una suma de 6 c. Obtener una suma mayor que 5

12. En una ánfora hay 25 bolas blancas; 30 bolas rojas y 40 bolas negras. Expresar

porcentualmente las probabilidades de extracción de cada uno de los colores en un solo

intento.

13. Andrés , Beto y Carlos ejecutan un penal , las probabilidades que tienen para hacer un

gol son 1/3 , 1/2 , y 1/4 respectivamente . ¿Cuál es la probabilidad de que al menos uno

de ellos haga un gol?

14. Se elige un comité de 6 personas de un grupo de 7 médicos y 3 enfermeras. Calcular la

probabilidad de que en dicho comité haya una enfermera por lo menos..

15. Se escogen al azar 3 relojes de 15 , de los cuales 6 son defectuosos . ¿Cuál es la

probabilidad de que haya escogido 2 relojes defectuosos?.

8


TEMA : PROBABILIDADES (PARTE I)

01. De 150 pacientes examinados en una clínica, se encontró que 90 tenían enfermedades

cardiacas, 50 tenían diabetes y 30 tenían ambos padecimientos. ¿Qué porcentaje de los

pacientes tenían uno u otro de los padecimientos?

02. En una gran población de moscas de fruta. 38% de ellos sufre una mutación en las alas.

40 % una mutación en los ojos y el 15 % ambas mutaciones. Se escoge una entre todos.

¿Cual es la probabilidad de que al menos tenga una de las mutaciones?

03. En cierta comunidad el 70% de las personas fuman ,40 % tienen cáncer pulmonar. y

25% fuman y tienen cáncer pulmonar . Si F y C denotan los eventos de fumar y tener

cáncer pulmonar (Completando la tabla adjunta) .

F F

c

C

C c

Determinar la probabilidad de un individuo escogido al azar:

a. No fume pero tenga cáncer pulmonar.

b. Fume pero no tenga cáncer pulmonar

c. No fume ni tenga cáncer pulmonar

d. Fume o no tenga cáncer pulmonar

e. No fume o no tenga cáncer pulmonar.

04. La probabilidad de que llueve en Chosica el 12 de octubre es 0.10; de que haya trueno

es 0.05 y de que llueve y truene 0.03 ¿Cuál es la probabilidad de que llueve o truene ese

día?

05. Hallar la probabilidad de sacar un corazón o una espada en una simple extracción de un

mazo de casinos de 52 cartas?

06. Un experimento aleatorio consiste en disponer los dígitos 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 uno a

continuación de otro. Calcular la probabilidad de:

a. Que el 3 aparezca junto al 4 y en ese orden. b. El número formado sea par.

c. El número formado sea mayor que 6 x 107.

07. Una caja contiene 100 tubos fluorescentes. La probabilidad de que haya al menos un

tubo defectuoso es 0.05 y de que haya al menos 2 tubos defectuosos es 0.01. ¿Cuál es la

probabilidad de que la caja contenga:

a. Ningún tubo defectuoso? b. Exactamente 1 tubo defectuoso.

c. A lo más un tubo defectuoso.

08. Sean A y B dos eventos que no son mutuamente excluyentes tales que:

P(A) = 0.20 ; P(B) = 0.30 y P(A B) = 0.10 . Calcular P(A B )

09. Las preguntas 19 al 23 están relacionadas con el uso del siguiente tabla donde se

relaciona categoría de trabajo y grupos de edades:

9

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

GRUPOS DE EDADES

A1 A2 A3 A4

CATEGORIA

TRABAJO < 25 26-30 31-35 >35

TOTAL

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

B1 MEDICOS 0 5 25 75

B2 SERVICIOS DE

LABORATORIO

CLINICO 20 30 35 35

B3 SERVICIOS DE

DIETAS 3 6 6 10

B4 SERVICIOS DE

REGISTROS

MEDICOS 7 15 8 12

B5 SERVICIOS DE

ENFERMERIA 200 375 442 203

B6 FARMACIA 1 12 8 3

B7 TECNOLOGIA

RADIOLOGICA 4 10 19 12

B8 SERVICIOS

TERAPEUTICOS 5 25 15 10

B9 OTROS SERVICIOS 20 35 50 25

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

TOTAL 260 513 608 385

Calcular:

10.. La probabilidad de que una persona escogido al azar pertenezca al servicio de dietas:

11. La probabilidad de que una persona escogido al azar sea medico o tenga edad entre 26 a

30 años:

12. La probabilidad de que una persona tenga edad mayor de 35 años dado que pertenece al

servicio de laboratorio clínico:

13. La probabilidad de que una persona tenga categoría de trabajo de farmacia y edad menor

de 25 años:

14. La probabilidad de que una persona tenga categoría de trabajo de medico o de tecnología

radiológica.

10


TEMA : PROBABILIDADES (PARTE II)

01. Cierta Universidad en formación en su primer año de funcionamiento tiene 3 Facultades:

Medicina, Ingeniería y Administración. La clasificación de los alumnos por sexo es

como sigue:

Facultad Medicina Administración ingeniería Total

Hombres 250 350 200 800

Mujeres 100 50 50 200

Total 350 400 250 1000

Se selecciona aleatoriamente del grupo, Si se sabe que el estudiante es hombre

a. ¿Cuál es la probabilidad de que esté en medicina?

b. ¿Cuál es la probabilidad de que esté en administración?

Si el estudiante es mujer. ¿Cuál es la probabilidad

c. ¿De que esté en medicina?

d. De que esté en ingeniería?

02. Se tiene dos cajas. En la caja 1 hay 5 sobres sellados; tres de ellos contienen billetes de

S/. 100.00 y dos de ellos billetes de S/. 50.00. En la caja 2 hay 10 sobres sellados; 7 de

ellos contienen billetes de S/. 100.00 y 3 billetes de S/. 50.00. Si se selecciona una caja

de al azar y de ello se toma un sobre ¿Cuál es la probabilidad de que contenga un billete

de S/.50.00?

03. En una clínica se ha determinado de que el 40% de los trabajadores fuman cigarrillos, el

55% son mujeres y el 75% son mujeres o fuman cigarrillos. Se elige un trabajador al

azar, se pide:

a. ¿Cuál es la probabilidad de que fume cigarrillos y sea varón?

b. ¿Cuál es la probabilidad de que fume cigarrillos dado que es varón?

04. En una elección el 55 % de los votantes están registrados como independientes y el 45%

están registrados como gobiernistas. Existen dos candidatos a la alcaldía un

independiente y un gobiernista. En l a elección, 80% de los independientes y 10% de los

gobiernistas votaron por el independiente; el 20% de los independientes y el 90% de los

gobiernistas votaron por el gobiernista. Si se selecciona un votante al azar ¿Cuál es la

probabilidad que haya votado por el gobiernista

05. Este problema se refiere a la miopía entre hermanos en familias con dos hijos. Sea S1 el evento

de que el hermano mayor sea miope, y S2 representa el evento de que el hermano menor sea

miope. Si se sabe que P(S1) = 0.4, P(S2) = 0.2 y P(S1S2) = 0.1

Se pide:

a. Calcular P(S1 U S2);

b. ¿Cuál es la probabilidad de que ninguno de los hermanos sea miope?;

c. Calcular P(S1|S2) y P(S2|S1).

11

06. Se realizó un estudio para examinar si las personas con un IQ alto tienden a casarse entre ellos,y

si esto está relacionado también con el sexo; para lo cual se obtuvieron datos de 1000 parejas.

Sea M el evento que denota que el miembro masculino de la pareja tiene un IQ alto y F el

evento que denota el hecho de que el miembro femenino de la pareja tenga un IQ alto. Los

resultados obtenidos fueron los siguientes:

P(F M) = 0.05

P(M) = 0.20

P(F) = 0.10

a) ¿Cuál es la probabilidad de que la esposa tenga un IQ alto, dado que su esposo también

lo tenga?

b) Si al menos uno de los miembros de la pareja tiene un IQ alto. ¿Cuál es la probabilidad

de que la esposa lo tenga?

c) ¿Cuál es la probabilidad de que solamente la esposa tenga un IQ alto?

07. Esta pregunta trata sobre la relación entre el sobrepeso y la presión sanguínea (BP) en los

hombres. La siguiente tabla muestra las probabilidades correspondientes a las diferentes

combinaciones de estas variables.

BP Normal BP Alta

Peso Normal 0.6 0.1

Sobrepeso 0.2 0.1

a) ¿Cuál es la probabilidad de que un individuo seleccionado al azar tenga sobrepeso o presión

alta?

b) Calcular la probabilidad condicional de que un individuo tenga presión sanguínea alta dado

que se sabe que tiene sobrepeso-

08. Sean los eventos A y B dados en con P(A), P(B) > 0. Se tiene los siguientes resultados

P(A/B)=0.8, P(A B)=0.2 y P(A’)=0.80, por consiguiente, se pide calcular los valores de las

probabilidades de P(B’) y P(B/A’).

Los problemas 13 al 16 están en relación al siguiente enunciado: En la siguiente tabla se presenta

los resultados de un estudio histológico para medir la variabilidad de la evaluación de manchas

cervicales a través de la presencia o ausencia de un determinado tipo de célula anormal. Cada

slide fue revisado por un particular graduador y se volvió a revisar después de 6 meses por el

mismo graduador.

Primera Segunda revisión

Revisión Presencia Ausencia Total

-----------------------------------------------------------------------

Presencia 1763 489 2252

Ausencia 403 670 1073

----------------------------------------------------------------------

Total 2166 1159 3325

09. ¿Cuál es la probabilidad que células anormales estén ausentes en ambas revisiones?

10. ¿Cuál es la probabilidad de encontrar ausencia en la segunda revisión dado que células

anormales estaban presentes en la primera revisión?

11. ¿Cuál es la probabilidad de encontrar presencia en la segunda revisión dado que células

anormales estaban ausentes en la primera revisión?

12. Cuál es la probabilidad que las revisiones no coincidan

12


TEMA : OPERACIONES DE INTERVALOS

SOLUCION DE ECUACIONES

01. Se tiene los intervalos siguientes:

A = < -2 , 2] ; B = [ -3 , 0 > ; c = [-4 , 3]

Siendo el conjunto universal E = [-5 , 4> ; Hallar:

a. (E A ) (E B) d. E A g. ( A C) – ( B - C)

b. B A e. A B h. A ( C B )

c. A – E f. ( B – A) (C - A ) i. ( C – B) (A B )

02. Si se dan los conjuntos:

A = < -2 , 7> - { 1 } ; B = < - , -2 > ; C = [6 , + >

Afirmamos que:

I. ( A B ) C = < - , 6 ]

II. (C – A) = [ 7 , + >

III. ( A C ) B = < 6 , 7 > < - , -2>

IV. A = < - , -2 > [7 , + >

¿Cuáles son verdaderas?

03. Dado los intervalos:

A = < -2 , 2> ; B = [ 0 , 5> ; C = [2 , 7]; Hallar:

a. ( A C ) – B b. ( A B ) C c. (A U B) - ( B C )

04. Sean los conjuntos :

A = { x R / 5 < x2 < 10 } ; B = { x R / 5 < x

2 – 2 < 8 }

Hallar : (A B ) ( A B )

05. Sean los conjuntos: 16

1 ,

4

1

x

1 / RxA

2 , 3 ,

5

3

4x

3 / RxB

Hallar: BABA

06. Si A = { x R / x < -5 , 5> x [0 , 8 ] } ; B = { x R / x [-4 , 6] x [4 , 10 ] }

C = { x R / x [ -5 , 2 ] x [0 , 8 ] } Hallar (A B ) C.

07. Resolver las siguientes ecuaciones por factorización:

a. x2 – 11x + 28 = 0 d. 2x

2 + x – 1 =0

b. x2 + 4x - 45 = 0 e. 3x

2 – 6x + 3 = 0

c. x2 – 4x - 21 = 0 f. 3x

2 + x - 10 = 0

08. Resolver en R , completando cuadrados.

a. x2 – 6x + 6 = 0 e. 5x

2 + 4x – 1 = 0

b. x2 + 5x - 5 = 0 f. 2x

2 – 2x – 1 = 0

c. x2 + 2x - 4 = 0 g. 16x

2 + 24x + 5 = 0

d. 2x2 - 6x – 1 =0 h. x

2 + 4 = 0

09. Hallar las raíces de : 5x2 – 3x – 2 = 0.

13

10 Resolver la ecuación 12

x

x

11

11

1 ¿ Cuál es la mayor raíz?

11. Resolver la ecuación : b

1

a

1

bx

1

ax

1

12. Calcular el valor de “m” en la ecuación: x2 + (2m + 5 )x + m = 0; sabiendo que una raíz

excede a la otra en tres unidades.

13. Si y , son las raíces de la ecuación ax2 + bx + c= 0 ; calcular en función de a y b,

y c el valor de las siguientes expresiones:

a) 1 1

b) 1 1

c) d) e) 1 1

2 22 2 3 3

3 3

14. Si una de las raíces de la ecuación (2n – 1 ) x2 + (5n + 1)x –3 = 0 es –3 . Determinar el

valor de n y el de la otra raíz.

15. Hallar la suma de los cuadrados de las raíces de la ecuación:

(2k + 2)x2 + (4 – 4k)x + k- 2 = 0 , sabiendo que una de dichas raíces es inversa de la

otra.

14


TEMA : INECUACIONES

01. Resolver las siguientes inecuaciones:

4

4x3

3

2x<2x f)

6

2

3

3-x

2

x e)

)23(3

32

2

2-x d) 3 <8-4xx+2- c)

4)(x2

77)(3x

3

1 b) 105-4x5 a)

x

xx

02. Hallar el conjunto solución de:

5

142x

5

11

4

3x

5

6

2

x f) x)(2

5

914)(5x

3

1 x

2

3 - 11 e)

5x)(83

2x)(2

3

5

2

15-2x d) 1-4x<

2

43x2x- c)

x)-(3 22

x1

3

x-

4

1 b)

2

x523x1)(x

2

3 a)

03. Dado los conjuntos :

)B (A :Hallar

3)(x)2(x / R{xB

)}3(x 2)(x5)(x / R{xA22

2

04. Hallar la suma de los valores enteros que satisfacen simultáneamente las inecuaciones

siguientes:

7

x

2

1x1

5

8-3xy

3

72x

5

13x

2

513x

05. Si el triple de un número, disminuido en 6 es mayor que la mitad del número, aumentado

en 4 y el cuádruplo del número, aumentado en 8 es menor que el triple del número,

aumentado en 15. Hallar el número.

06. El cociente intelectual IQ está dado por IQ = x100EC

EM donde EM = Edad Mental y

EC = Edad cronológica. Si 80 IQ 140 para un grupo de niños de 12 años de edad .

Encontrar el rango de las edades mentales..

15

07. Resolver por el método de factorización.

1)2(x-9x1)-4(x d. 032x-5x c.

3)7(x5)2)(x(x2x b. 065x xa.222

22

08. Hallar el conjunto solución de las siguientes inecuaciones completando cuadrados.

0102x d. 01-x6x c.

11256 xd. 020x xa.22

22

x

x

09. Si A = {x R / )}4(3 1 xx y B = {x R / x2 –7x +12 0}

Hallar A B .

10. Sean los conjuntos A = {x R / x2 – x –2 0 y B = {x R / x

2 –4x -5 0}

Hallar A

11. Resolver las siguientes inecuaciones racionales

1x

5

1x

3 f.

1x

x

7-x

4x e. 0

)1()2(

)2(1)-(x d.

1x

x

3-x

4x c. 3

3x

2

1x

1 b. 0

2-x

1x a.

22

22

xx

x


a. 12x

x< 1 b.

1

22x

x> 0 c. 1

1x

x

d. 412

12 xx

e. 3

12x

x< 0 f.

x

1> 3


a. x3 - 3x

3 – 13x + 15 > 0 d. 2x

3 + 3x

2 – 11x – 6 0

b. x4 + 2x

3 – 9x

2 + 8 >0 c. 2x

4 – 7x

3 – 11x

2 + 22x + 24 < 0

14. Hallar el conjunto solución de :

a. 14)(x3x

2)1)(x(x b. 1

152xx

244x2

15. Resolver:

a. 1x

1

xx

1

xx

1222

b. 2x3

1

73x

1

07xx

4022xxx d. 0

3)(x2)1)(x(x

1)(x3)(x3)(x c.

2

23

342

223

16


TEMA : ECUACIONES E INECUACIONES CON VALOR

ABSOLUTO. SISTEMA DE ECUACIONES.

01. Hallar el conjunto solución de las siguientes ecuaciones:

12 11x g) 2=x-3 f) 123+x e)

32-x d) 122x c) 934+x b) 102-3x a)

2

22

xx

xx

02. Hallar el conjunto solución de las siguientes inecuaciones.

14

45x i) 3432x h) 424-x g)

35+2x f) 4<3-2x

2+x e)

2

1

x+1

3x-6 d)

3

2

3

1+2x cj) 1+2x<5-3x b) 134-2x a)

2

222

x

xxx

x

03. Hallar la suma algebraica de todas las soluciones de la ecuación:

a. x 4 2x 42 b. 4

7

2

x3

2

x2

.

04 ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas?

3/8 , 1/49x

321-x Si c.

29/3 , 5/334x32-3x Si b.

1 , 1/972x

12x Si a.

05. Si A = { x R/ 22x1x } y B = { x R/ 2

x2x } .

Hallar A B.

06. Resolver las siguientes ecuaciones e inecuaciones con valor absoluto.

x663xx d. 2x-1 c.

x32xx1 b. 1x42xx a.

2

22

07. Hallar el conjunto solución de :

a. 03x

1x2

3x

1x2

b. 01x

145xx2

c. 03

21

x

x

d. 143253 22 xxxx e. 51

217 2

x

xx

17

f. 0417

5x 31

7

5x

2

08 Resolver los siguientes sistemas de inecuaciones.

18 258x x 5 c.

035x2x-

014x b.

02811xx

032xx a.

2

2

2

2

2

09. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones.

35z4y-2x 8xz

6z-x-5y 10zy

84z-y2x g 6y xf.

42y

3

x-3

7

6

17

y

4

x

3

22y

1

x-3

1 e. 0

y

6

x

4 d.

075y6x 9y-3x 92y-3x

043y4x c. 11y2x b. 2 y xa.

10 A un espectáculo asistieron 600 personas, los boletos de adulto cuestan S/. 5 y los de

niño S/. 2 . Si la taquilla fue de 2 400 ¿Cuántos niños asistieron al espectáculo?

11 Un almacén de productos químicos tiene dos soluciones ácidas. Uno de ellos contiene

25% de ácido y la otra contiene 15% de ácido. ¿Cuántos galones de de cada tipo deberá

mezclar para obtener 200 galones de una mezcla que contenga 18% de ácido?

12. Una mueblería fabrica sofás y divanes. Cada sofá requiere de 8 horas de trabajo y S. 60

de materiales. Un diván requiere de 6 horas de trabajo y S/. 35 de materiales. Si se

dispone de 340 horas de mano de obra y S/. 2 250 para materiales cada semana. ¿

Cuántos sofás y divanes se fabricaran en una semana?.

13. Dos clínicas contratan a 53 personas, de ellos 21 son médicos. Si la tercera parte que

labora en una de las clínicas y los tres séptimos que laboran en la otra clínica son

médicos. ¿Cuántos empleados tienen cada clínica?

18

GUIA DE SEMINARIO N° 9

TEMA : RELACIONES

01. Dada los conjuntos A = {0 ,1 , 2 , 4 } y B = {3 , 5 } ; Hallar :

a. A x B b. A x A c. B x A

02. Sean los conjuntos A = {x Z/ -1 x 1} y B = { x N / 1 < x < 3 } Hallar:

a. (A x B) B2 b. (A – B) x (A B).

03. Dado los conjuntos A = { 2 , 3 , 5 } ; B = { x Z / 0 x 3 } ;

C = { x Z / -1 x 2 }; Establecer la validez de las siguientes afirmaciones.

a. (A x B) (B x A), tiene 24 pares ordenados.

b. (A B )2 tiene 4 pares ordenados.

c. A2 B

2 C

2 tiene un par ordenado.

04. Sea U = {0 , 2 , 4 , 6 , 8 , 10 , 12} y sean las siguientes relaciones definidas en U, según

sus correspondientes reglas de correspondencia.

a. R1= { (x , y) / y = 3x } c. R3 = { (x , y) / xy = 24 }

b. R2= { (x , y) / y = x2 } d. R4 = { (x , y) / y > 2x }

Determinar por extensión cada una de las relaciones indicando dominio y rango.

05. Sea A = {1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7, 8} y dada las relaciones

R 1 = { (x , y) / x + y = 5 } ; R 2 = { (x , y) / 2x + y > 5 } Hallar n ( R1 ) + n (R2)

06. 03. Dado A = x N / 4 x + 1 8 B = x Z / x+1 3

Tabular las siguiente relaciones definidas en A x B

R1 = x , y AxB / x y + 3 ; R2 = x , y AxB / x + y = 6

R3 = x , y AxB / y + 1 2x ; R4 = x , y AxB / 2x - 3y 2

Determinar por extensión cada una de las relaciones. indicando Dominio y Rango.

07. Calcular el área de la región representada por la relación definida en R por :

R = { (x , y) / 9 x2 + y

2 16 } .

08. Si R1 = { (x , y) Z2 / x = y + 1 }

R2 = { (x , y) Z2 / y

2 + 2 = x + 3 } ; Hallar R1 R2 .

09. Sea M = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5, 6 , 7 , 8 , 9}, si R = {(x , y) / 2x – y = 5 } y R M x M .

19

Si m es la suma de todos los elementos del dominio de R y n es la suma de todos los

elementos del rango de R. Halla m. n.

10. Graficar las relaciones siguientes ; Hallar el dominio y rango en cada caso:

R1 = {(x , y) R2 / y = 2x -1 , x [-2 , 1] } R2 = { (x , y) R2

/ x = -3 , y <-3 , 2]

R3 = { (x , y) R x R / y = x2 } R4 = {(x , y) RxR / y = x

2 +2x }

R5 = { (x , y) RxR / y2 - 4y + x -2 = 0} R6 = {(x , y) R2

/ 4x2 +9 y

2 = 36}

R7 = { (x , y) R x R / 046422 yxyx }

11. Hallar la inversa de las siguientes relaciones:

a. R1 = { (x , y) R x R / y = x2 –2x – 3 }

b. R2 = { (x , y) R x R / y = 2x }

12. Construir el gráfico de las siguientes relaciones definidas en R , hallar su dominio y

rango.

a. R1 = { (x , y) / x 2y y [-2 , 1] }

b. R2 = { (x , y) / x2 + y

2 9 x 0 }

c. R3 = { (x , y) / x2 + y

2 25 x

2 > 2y + 1 }

d. R4 = { (x , y) / x2 + y

2 > 16 x > y }

13. Hallar el dominio y rango de las siguientes relaciones

R1 = { (x , y) R2 / xy – 2x – 2y + 2=0 } , R2 = { (x , y) R2

/ x2 +y

2 –4y +4 = 0 }

R3 = { (x , y) R2 / yx

2 –yx – (2y+1) = 0 } , R4 = { (x , y) R2

/ x2 –xy +5y = 0 }

14.. Si [a , b] y [c , d] es el dominio y rango de la relación :

R2 = { (x , y) R2 / y 92x y 3x }. Hallar a + b +c +d.

15. Dada las relaciones:

R1 = { (x , y) R2 / 4x , y 3 } y R2 = { (x , y) R

2 / y 5x-4y+12 0}.

Calcular el área de la región: 21 RR

20


TEMA : FUNCIONES

01. Hallar “m” y “n “para que:

A = {(2 , 5 ) ,(-1 , -3 ) , (2 , 2m-n), (-1 , m- n ) , (m + n , n) } sea una función encontrar los

elementos de f..

02. Dada la función: f = { ( 1 , a+b) , (1 , 8) , (2 , 2a – b), ( 2 , 1 ) , (a , b)}, determine su dominio y

rango.

03. Dada las siguientes relaciones:.

R1 = { (x , y) R2 / y = x } R2 = { (x , y) R2

/ y = x2 }

R3 = { (x , y) R2 / x = y

2 } R4 = { (x , y) R2

/ x2 + y

2 = 25 x 0 }

R5 = { (x , y) R2 / y = 1x } R6 = { (x , y) R2

/ y = 5x }

R7 = { (x , y) R2 / x = 5 } R8 = { (x , y) R2

/ y = 6 }

a. ¿Cuáles de las siguientes relaciones son funciones?

b. Determinar el dominio y rango solo de las funciones.

04. Si f(x-3) = x2

+ 1, hallar f(x + 1 ).

05. Sea f una función real; de variable real , hallar lo que se indica:

0 m , m

f(1)-1)f(m Hallar , 1x1)f(x b.

3m , 3m

f(1)-2)f(m Hallar , 1x3)f(x a..

2

2

06. Dada la función f(x) = 3

25x ; hallar el elemento del dominio que tiene como imagen 5/6.

07. Sea f una función real de variable real definida por: f(x) = mx + b , talque :

2f(2) + f(4) = 21 y f(-3) – 3f(1) = - 16. Hallar el valor de : 1/2 f(1).

08. Si f: R R , es una función cuadrática tal que f(0) = 1 , f(1) = 0 , f(3) = 5 ; Hallar el valor de

“k” , donde k = f(6)f(0)

f(1)1)f(.

09. Si f(x) = 26x2x

a. Determinar el dominio de la función.

b. Calcular f(-1/2) + f(2/3).

21

10. Si f: R R , es una función definida por 2x

23xf(x) , Rango de f es [1 , 5], Hallar el

Dominio de f.

11. Hallar el Rango de f(x):

a. 3x

32xxf(x)

2

b. f(x) = x2

x2

c. h(x) = 4

42x

12. Grafique las siguientes funciones y determine su dominio y rango:

a. 23xf(x) b. g(x) = 21x c. h(x) = 43x

d. 9xf(x) 2 e. xg(x) 2x h. )4(h(x) xx

13. Trace el gráfico de las siguientes funciones indicando su dominio y rango.

5 xsi ;3x -6

5 xsi ; 3-2x f(x) a.

3 xsi ; 12x

3 xsi ; 3-x f(x) b.

8x3 si ; 1x

3x2- si ; x-

2x6- si ;x -2

f(x) c. 2

3 xsi ; 5-x

3x2- si ; 1 x

2 xsi ; 2

f(x) d.

14.. Hallar el dominio de las siguientes funciones :

a. f(x) = 3xx b. f(x) =

2x-2x-2 c. 4

1h(x)

2

2

x

x

15. Hallar el rango de las siguientes funciones:

a. f(x) = 42x

x b.f(x) =

42

2

x

x c. h(x) = 952 2 xx

d. g(x)= 13 2 x e. f(x ) = 23x

22


TEMA : FUNCION INVERSA – COMPOSICIÓN Y ALGEBRA

DE FUNCIONES – PROBLEMAS.

01. Hallar La función inversa de: f(x)= 3x – 1 , si x ]2,1[ , graficar f y f-1

indicando

dominio y rango.

02. Si se sabe que f(-1) = 4 y f(3) = -2, donde f es una función lineal , hallar la ecuación que

defina a la función inversa de f y calcular f-1

(-3).

03. Sea la función f(x) = 3x +2k , hallar el valor de “k” de modo que f(k2) = f

-1(k+2)

04. Sea la función f:[1 , + > R definida por f(x) = x2 - 2x + 4 establecedor si f tiene

inversa ; realizar el gráfico de f y f-1

.

05. Si f (x) = 4x - 3 si x [ -4 , 3> y g(x) = = 3

12x si x [ -2 , 6> ;

Hallar .

a. f o g b. g o f

06. sean f y g funciones definidas por:

-2 xsi ,3x x

-2 xsi , 4-2xg(x)

2 xsi ,2x 2x

2 xsi ,5x xf(x)

2

2

Hallar: a. f(0) + g(0) b. f(1) .g(-3) c. fog(-2) d. gof(-3)

07. Resolver en cada caso:

a. Si f(x) = 4x + 2 y g(x) = x + n ; Hallar el valor de “n” de modo que :

f g 3 = g f (n - 1)

b. Si f(x-2) = 3

2

x calcular el valor de x de modo que (fof)(2/x) = 5

c. Si f(x) = x2 + 2 y g(x) = x + m , determinar el valor de “m” de modo que

(f o g) (3) = g o f (m-1).

08. sean f y g funciones definidas por:

f (x + 1) = x2 + 2 ; g ( x-3 ) = 3x - 5

Hallar: a. f(0) + g(0) b. f(1) .g(-3) c. fog(-2) d. gof(-3)

09. Dadas las funciones :

f = (2 , 6) , (4 , -4) , (6 , 5) , (9 , 1) , (10 , 2) ,(-3 , 3)

g = (1 , 4) , (3 , 2) , (5 , 6) , (7 , 9) , (8 , -3)

Hallar : a. f +g b. f . g c. f og d. g o f e. g-1 o f

23

10. Hallar el dominio de las siguientes funciones :

a. f(x)= 1-x

1 x

2

2 b. 1x 1-x

xf(x) 2

c. 2x

1 . 1f(x) x d..

2x

12x x1f(x)

11.

8 , 0 xsi 2-2x

0 , 4- xsi2x

7- , 10- xsix

f(x)2

2

Si y

3] , 0 xsi 2x

0] , 4 xsi 3x-

4]- , 8 xsixx-

g(x)2

2

Hallar: f + g y graficar la función (f+g)(x) indicando dominio y rango.

12. Un médico posee libros de medicina cuyo valor es de $. 1500, para efectos tributarios,

aquellos se deprecian linealmente hasta llegar a cero en un período de 10 años; es decir

el valor de los libros decrecen en una razón constante, de manera que es igual a cero al

cabo de 10 años.

Exprese el valor de los libros como una función del tiempo y dibuje la gráfica.

13. La temperatura medida en grados Fahrenheit en una función lineal de la temperatura

medida en grados Celsius. Utilice el hecho de que 0º Celsius es igual a 32º Fahrenheit y

100º Celsius es igual a 212º Fahrenheit.

a. Escribir una ecuación que representa esta función lineal.

b. Convertir 15º Celsius a Fahrenheit.

c. Convertir 68º Fahrenheit a grados Celsius.

14. Un laboratorio compra una maquinaria nueva por $15 000, si se deprecia linealmente por

$. 750 al año y se tiene un valor de desperdicio de $. 2 250.

a. ¿Por cuanto tiempo la maquina estará en uso?.

b. ¿Cual será el valor de la máquina después de 6años de uso?

15. Una prueba para metabolismo de azúcar en la sangre, llevada a cabo en un intervalo de

tiempo, muestra que la cantidad de azúcar en la sangre era una función del tiempo t

(medido en horas) y dada por : A(t) = 3.9 + (0.2)t – (0.1)t2

Encuentre la cantidad de azúcar en la sangre: Al principio de la prueba; una hora después

; dos horas y media después de iniciado..

16. Exprese el área de un campo rectangular, cuyo perímetro es de 320 metros, como una

función de la longitud de uno de los lados. Dibuje la gráfica y calcule las dimensiones

del campo de área máxima.

24


TEMA : FUNCIONES EXPONENCIALES

Y LOGARÍTMICAS

01. Hallar el valor de x en las siguientes ecuaciones:

03. Verifique las proposiciones siguientes y escribir en forma logarítmica con la base apropiada .

a. 81

1 27

4/3- b.

2

3

27

8

-1/3

c. 2

12 2

d. 8 16 3/4

e. 25

4

125

8

2/3

04. Simplificar la expresión; sin usar tabla o calculadora.

a. E = log 2 + 1615

16log + 12

24

25log + 7

80

81log b. E = 2log

80

81

24

25log

716

05. Si log 2 = 0.3010 y log 3 = 0.4771 , calcular : a. 25

12log , b.

21854log , c. .120 6log

06. Resuelva las siguientes ecuaciones logarítmicas:

a. log ( 3x – 2) = log (x +1) + log 4 b. 4log2)2log3(log3

23)1(log 2222 x

c. 24log3)3(log)32(log 555 xx d. log x = log 3 + 2 log 2 - 4

3 log 16

e. f . 2log2)5(log)2(log 777 xx f. 010loglog 333

3log

xxx

07. Si kaLogyhNLog bb ....,.... . Hallar en términos de h y k , la expresión:

NLogab2

08. De las expresiones que se da, hallar el valor de x :

2

1x

3 15x

1x

2x

1x

2

1x43x

2x

27125x

)5

1((125) d.

(243)27

1 c.

82 b.

3 a.

2

2

1x2log25)10x(xlog

1x43x12x

xx

3x32x

1xx

x2

x

2

139 i.

(27).93 h.

31010 g.

e7e f.

12 e.

1).

32).

032).

427

1).

23)().

2

1251

2.0

641

5.0

22

1

3

1281

2

xLoge

xLogd

xxLogc

xLogb

xLoga

x

x

)1

(log

2

1

29

213

10

1

28).

816).

2)195().

21)13().

0).

xLog

xx

Log

x

xx

a

LogLogxLogj

xi

xLogh

xLogg

Logf

x

25

09. Resolver las siguientes ecuaciones logarítmicas

10. Si Log2 = 0.3010 y Log 3 = 0.4771. Hallar:

a-) Log 480 ; b) Log 75 ; c-) Log 1500 ; d-) 4

5

5

4

3 )90(:)81.0()7.2(Log

11. Halar el valor de x, en:

2)21(log)23(log)

243log)

139)

22

3

1)(log2)2510(log 2

xxc

xb

a xxx xx

12. Resolver el sistema de ecuaciones:

2logloglog

2logloglog

2logloglog)

2

1)(log)(log)

0443

0loglog)

16164

993

442

22

32

22

93

xyz

xzy

zyxc

yx

yxyxb

yx

yxa

13. Los siguientes datos los recolectó un investigador durante los primeros 10 minutos de un

experimento destinado a estudiar el crecimiento de bacterias.

Minutos 0 10

Numero de bacterias 5000 8000

Suponiendo que el número de bacterias crece exponencialmente ¿Cuántas bacterias

habrá después de 30 minuto.

14. Los Biólogos han determinado que en condiciones ideales, el número de bacterias en un cultivo

crece exponencialmente. Suponga que al comienzo se encuentra 2000 bacterias en cierto cultivo

y 20 minutos más tarde, hay 6 000. ¿Cuántas bacterias habrá al cabo de una hora?

15. Cuando se somete a un tratamiento de radiación las células cancerosas; la proporción de células

sobrevivientes al tratamiento esta dado por rkeP(r) donde r = es el nivel de radiación y k

una constante. Se ha encontrado que 40% de las células cancerosas sobreviven cuando r = 500

Roentgen. ¿Cuál debe ser el nivel de radiación para que solo sobreviva el 1%?.

16. Suponga que el número de casos de SIDA diagnosticadas crece exponencialmente. En el Perú

había 85 casos en 1990 y 330 casos en el año 2000. Exprese este número en la forma:

btaeP(t) , donde a y b son constantes y t es el tiempo medido en años a partir de 1990

¿Cuántos casos de SIDA habrá en el año 2010 y en el año 2015?.

Log21)Log(x4)Log(2x1))2Log(xc.

LogxLog22Logx1))Log(xb.

2Logx5)Log(2x)Logxa.2

21

44

22

2

1)(3xLog2)(2x)Logf.

Log332xLog5x)Loge.

7)(4xLog4)(x)Logd.

26


TEMA : MEDICIONES Y MAGNITUDES.

01. Calcular la capacidad en litros, de un recipiente cilíndrico de 40 cm. de radio y 1.30 m.

de altura.

02. El radio de la tierra es aproximadamente de unos 6000 Km. Calcular su volumen en

litros, considerando el valor de “pi” igual a 3.

03. La velocidad de la luz en el vacío es 2.9979 x108 m/seg. Expresar en millas por hora.

¿Cuántas vueltas alrededor de la tierra podrá dar un rayo de luz en un segundo?.

04. El radio de la órbita terrestre es 1.49x1011

m. Esta longitud se denomina una unidad

astronómica. Expresar un año luz en unidades astronómicas.

05. El análisis de la clorofila muestra que contiene 2.68% de magnesio.¿Cuántos átomos de

magnesio habrá en un gramo de clorofila?

06. El volumen de venta de un producto farmacéutico es el siguiente:

Año Volumen de ventas

En dólares.

2005 40´240000

2006 60´375000

2007 18/5 de la razón aritmética

Del volumen de venta del 2005 y2006

¿Cuál es el volumen de venta en el año 2007?.

07. Una constructora compra 140,000 hectáreas de terreno lotizado en zonas que están en

relación a 2, a 3 , a 4 , y a 5., cuyos precios son de 5360 dólares, 4545 dólares, , y 2820

dólares. El metro cuadrado respectivamente. ¿Cuántas hectáreas comprende cada zona y

cuánto costó cada una y el total pagado por el terreno?.

08. Una empresa cuenta con 2400 acciones que son captadas por 3 personas en proporción

de 2 es a 3 y a 7. ¿Cuántas acciones fueron tomadas por cada uno?.

09. Dos personas se asocian aportando 30 y 40 acciones de 3000 y 2000 soles

respectivamente. Si deciden aumentar el capital en 85000 soles ¿Cuánto debe aportar

proporcionalmente cada uno?.

11. Una persona debe 2450000 soles, y lo cancelará de la siguiente manera: el 45% de la

duda el primer pago; 75000 en el 2do. Pago; y el resto en el tercer pago. Hallar el tanto

por ciento de cada pago y a cuánto asciende cada uno.

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12. Se necesita preparar una mezcla de 800 unidades de un producto “x” , y para esto se

utilizan los siguientes insumos:

13. unidades de 8.80 soles cada uno; 7 unidades de 16 soles cada uno; y 15 unidades de 20

soles cada una. Determinar el precio promedio y las cantidades necesarias que deben

utilizarse por la mezcla de las 800 unidades.

14. Si producir un bien cuesta 135200 soles, al cual se le agrega una tasa del 18% sobre este

costo que corresponde a otros rubros de gastos administrativos.¿Cuál será su precio de

venta?

15. Expresar cada uno de los siguientes números, sin utilizar las potencias de 10:

a. 4.823x107 c. 3.80x10

-4 e. 0.737x10

8

b. 8.4 x10-6

d. 1.45x106

14. Escribir cada número utilizando la notación sistemática, considerando una cifra entera:

a. 24.380000 b. 0.000009851

C. 7300000 d. 0.000184000

gui as em in a rio mate ma tic a 2010

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