mate ma tic as financier as

8/14/2019 Mate Ma Tic as Financier As

1/35

MATEMTICAS FINANCIERAS

Asignatura Clave: CON015 Numero de crditos Tericos: 4 Prcticos: 4

Asesor Responsable: M.C. Eduardo Surez Mejia (correo [email protected])Asesor de Asistencia: Ing. Encarnacin Apodaca Barreras (Correo [email protected]). Ing. Pedro Neyoy Neyoy ([email protected])

INSTRUCCIONES PARA OPERACIN ACADMICA:El Sumario representa un reto, loscontenidos son los ejes temticos, losactivos una

orientacin inicial para resolverlo y la sntesis concluyente, comoPosibilidad de Integracin Conceptual corresponder a lo factible de un punto de vista temtico amplio, , La visin global

de los asuntos resueltos, como Titular Acadmico, te ofrecer oportunidades de discusin quese enriquecern en la medida que intensificas las lecturas, asistes a tu comunidad de estudio, tesirves de los asesores y analizas la ciberinformacin disponible posicionndote de losescenarios informativos adecuados. Los periodos de evaluacin son herramientas deaprendizaje. La acreditacin es un consenso de relacin con el nivel de competencia. Mantninformado a tututor de tus avances y estado de animo. Selecciona tus horarios de asesoria.Serecomienda al Titular Acadmico (estudiante) que al iniciar su actividad de dilucidacin,lea cuidadosamente todo el texto guin de la asignatura . Para una mejor facilitacin, eldocumento lo presentamos en tres mbitos: 1.- Relacin de las unidades, 2.- Relacin deactivos. 3.- Principia temtica consistente en informacin inicial para que desarrolles los temas.

COMPETENCIA:Capacidad para conocer las diferentes formas en las que el dinero seincrementa a travs del tiempo, as como los tipos de descuentos, anualidades, depreciaciones,

todo ello para resolver problemas prcticos. As mismo ser capaz de elaborar modelosmatemticos financieros que faciliten la toma de decisiones. Ser capaz de resolver los modelosmatemticos eligiendo las tcnicas cuantitativas apoyndose en herramientas computacionalespara resolver las situaciones que se le presenten.

SUMARIO:Identificar los elementos bsicos de las matemticas as como comprender yaplicar el mtodo y tcnica financiera que sea mas adecuado en la solucin de problemasespecficos que involucren una multiplicidad de factores del rea administrativa.


CONTENIDOUnidad I Inters simple e inters compuestoUnidad II Anualidades.Unidad III AmortizacionesUnidad IV Depreciaciones.Unidad V Bonos


2/35

ACTIVOS

UNIDAD IInters simple e inters compuesto

I.1.- Inters simpleI.2.- Relacin entre el inters comercial y el inters realI.3.- Monto de un capital a inters simpleI.4.- Descuento Real, descuento BancarioI.5.- Representacin grafica del inters y del monto simpleI.6.- Monto a inters compuestoI.7.- Problemas de montoI.8.- Problemas de capital o valor presenteI.9.- Valor futuro

I.10.- Problemas de tasas de intersI.11.- Problemas de tiempoI.12.- Tiempo en que se multiplica un capital a inters compuestoI.13.- Descuento a inters compuestoI.14.- Crecimiento comparativo del monto a inters simple con el monto a inters compuesto.I.15.- Capitalizacin de intereses en fracciones de ao o tiempo fraccionario.I.16.- interese nominalI.17.- Relacin entre tasa nominal y tasa efectiva o real.

Actividad: Resolucin de problemas.

UNIDAD IIAnualidades

II.18.- IntroduccinII.19.- Anualidad ordinarias (ciertas simples-vencidas)II.20.- Anualidades anticipadasII.21.- Anualidades diferidas vencidasII.22.- Anualidades diferidas anticipadasII.23.- Anualidades generales.

Actividad:Resolucin de problemas

UNIDAD IIIAmortizacin

III.24.- Concepto.III.25.- Tablas de amortizacin.


UNIDAD IVDepreciaciones

IV.26.- Mtodo de promedios.IV.27.- Mtodo de porcentaje fijo.


3/35

IV.28.- Mtodo de lnea recta.


UNIDAD VBonos

V.29.- Generalidades.V.30.- Tipos de BonosV.31.- Tasas de inters y valor actual de los bonosV.32.- Valor de los bonos comprados a la fecha de pago de cupn.V.33.- Compra de bonos con premio o, descuento.V.34.- Valor en libros y amortizacin de prima .V.35.- Valor de los bonos comprados entre fechas de pago de cupn.


ESCENARIOS INFORMATIVOS:

Asesores localesAsesores externos.Disposicin en Internet.Puntualidad en intranet.Fuentes directas e indirectas.

BIBLIOGRAFA

Ayres Frank JR.1993, Matemticas Financieras ,

Editorial McGraw-Hill, Mxico. pp. 230

Rivera Salcedo Jorge1998 Matemticas Financieras Editorial IPN,, Mxico, pp. 201

Lincoyan Portus Goviden1999 Matemticas Financieras

Editorial McGraw-Hill, Mxico.

Cissel Cissel FlaspohlerMatemticas Financieras.Editorial CECSA, Mxico.

Daz mata y Aguilera GmezMatemticas Financieras.

Editorial.- McGraw-Hill, Mxico.De la cueva, Benjamn

Matemticas Financieras.Editorial.- Porra, S. A. Mxico.

Medina Serrano Antonio1994 Las funciones Financieras mas tiles llevadas al mundo empresarial

Editorial Anaya Multimedia Amrica, Mxico, 225 pp.


4/35


PRINCIPIA TEMATICA

I.1.- El inters simple es una modalidad de remuneracin empleada principalmente en lascuentas de ahorro a plazo. La remuneracin de un deposito a inters simple consiste enabonar peridicamente una cantidad de dinero fija denominada inters, y que abona enotra cuenta distinta, por ejemplo una cuenta corriente . la caracterstica bsica del interssimple reside precisamente en la separacin entre la cantidad depositada principal y lacantidad remunerada inters.

I.2.- Si hacemos Ic/Ir, calcularemos la relacin existente entre ambos intereses.Esto es:

72

73)....int.......(

)(360

365

)365(100

)360(100 === quedaaqusacandoCni

Cni

Cni

Cni

Ir

Ic

Entonces tenemos que:

.7372

........................................................7273

Ic Ir Y Ir Ic ==

I.3.- Es la cantidad que resulta de sumar el capital invertido con los inters generados.

Volviendo a nuestra formula:I = M C,podemos obtener el monto simple, esto es:

( )niC M do factorizan

C Cni M entoncesC I M yCni I Si

+=

+=+==

1...

............,.......

Ahora bien, al capital C se le conoce como valor presente o actual de una deuda, yaque es aquel capital que con una tasa de inters determinada es anterior a suvencimiento. El monto es el valor calculado a la terminacin de la deuda, por lo tanto elvalor presente estar dado por:

ni M

C +=

1 n = tiempo (aos), i = inters.


5/35

Calcular el monto a inters simple para un capital de 10,000 a una tasa de 10% en 5aos. (se deber realizar en Excel).

I.4.- Descuento: Si el que solicita un prstamo firma un formato de descuento simple obancario, el prestamista deducir el inters del valor nominal del documento al principio,y el que solicita el prstamo recibir el resto.Al final del plazo del tiempo, aquel que solicito el prstamo pagara al prestamista el valornominal (cantidad antes de hacerse deducible el inters).Actualmente se tiene dos tipos de descuento; el descuento real o racional y el descuentobancario o comercial.Descuento real o racional (Dr)Si a una cantidad a liquidar a futuro le restamos su valor actual, determinamos unimporte llamado descuento, o sea:

Cni Dr

C CniC Dr entonces

niC M quetenemos y

C M DSi

=+=

+==

.........................

............

)1(......

........................

Nota: el descuento racional es igual al inters simple. (I = Dr)

Un clarificador firma un pagare por 20,000, el 15 de mayo de 2002, con vencimiento al13 de agosto del mismo ao y recibe solo 19,559.90. Calcular las tasas de descuentoracional y bancario, a las que fue descontado el pagar


6/35

I.5.-Representemos primero grficamentey = mx Y y = mx + b

YY

X X

b

00

y = mx y = mx + b

M = ni + I

Donde: M = y n = xi = m (pendiente de la recta)I = b

I.6.- Cuando un deposito se remunera a inters compuesto, los inters que se generan encada perodo pasan a engrosar el principal (deposito). La consecuencia inmediata que sesaca de este nuevo planteamiento es que, a diferencia de lo que ocurra con el interssimple, en un deposito remunerado a inters compuesto los inters que se generan encada periodo van aumentando.

I.7.- Formula para obtener el monto a un inters compuesto.Supongamos que se quiere saber cual es el monto al final de n aos, si se tiene un

capital de C pesos y una tasa de inters anual i.Capital inicial....................................................................CInters al fin de ao..........................................................Ci.....Monto al fin de ao...........................................................C + CiFactorizando: C + Ci = C (1 + i)Capital al iniciar el 2 ao.................................................. C(1 + i)Inters al fin del 2 ao.......................................................C(1 + i) i.Monto al fin del ao............................................................C(1 + i) + C(1 + i) iFactorizando: C(1 + i) (1 + i) = C (1 + i)2Capital al iniciar el 3 ao.................................................. C(1 + i)2Inters al fin del 3 ao.......................................................C(1 + i)2 i.Monto al fin del ao............................................................C(1 + i)2 + C(1 + i)2 iFactorizando: C (1 + i)3

Y as sucesivamente, por lo tanto el monto al ensimo ao ser

M = C ( 1 + i )n


7/35

Calcular el monto a inters compuesto de un capital inicial de $ 15,000 a una tasa deinters anual del 5 % en un periodo de 4 aos.

I.8.- Si queremos hacer una inversin que nos genere una cantidad a cierto plazo, con ciertosintereses, estableciendo la cantidad a la que queremos llegar (valor futuro), puedoobtener el valor actual, el cual es el capital necesario que tengo que invertir para llegar aobtener la cantidad deseada. Va = Vf (1 + i )-n

Que cantidad debe depositarse en un banco que abona el 20% de inters anual para queel saldo de la cuenta al fin de 5 aos sea de 2,000, 000.00


8/35

I.9.- Se depositan en un banco 5, 000,000 al 35% anual y se desea conocer el saldo al finaldel cuarto ao.

I.10.- Problemas de tasas de inters

Si se abre una cuenta bancaria con un capital de 12 500,000.00, y al final de 5 aos seobtiene un monto de 25 000,000.00 se desea saber cual es el valor de la tasa otorgada.

FORMULA1/n

I = Cf 1C

I.11.- Problemas de tiempo En cuantos aos un capital de 5 000,000.00 produce un monto de 75 000,000.00 si se

aplica una tasa del 40% anual.SOLUCION:

C M

iSi n =+ )1....(..........

Por lo tanto , para despejar n tenemos que usar las propiedades de los logaritmos .


9/35

An

A

B A B

A

B A AB

An A Elcordando

n

n

log1log...........................................

logloglog.............................................

logloglog...........................................

loglog..................:Re

=

=

+==

...17....8

..048362.8176091.1

698970.6875061.7

4.1log000,000,5log000,000,75log

)1log(loglog

log)1log(

diasaosn

aosn

i

C M n

C M

in

n

=

==

=+

=

=+

I.12.- Tiempo en que se multiplica un capital a inters compuesto.Si de la formulaM = C(1+ i)n sustituimos el monto por dos veces el capital considerandoque el monto en el caso que nos ocupa a de ser el doble del capital, entonces tenemos:

n

n

iC C

iC C entonces

C M hacemos y

niC M Si

)1(2

........................

)1(2..........

2........

)1(....................

+=

+==

+=

.....

)1log(4log

...:....

)1log(3log

........

:.........tan..,,

)1log(2log

2log)1log()1(2

ntesucesivameasi y

incuadrupleelPara

intripleelPara

que facilmenteentender puedesetoloPor

in

ini

n

+=

+=

+=

=++=

Calcular el tiempo en que se duplica un capital cualquiera a una tasa de 7% anual.SOLUCION:

...28....2....10

244768.10029384.0301030.0

)07.01log(2log

diasmesesaosn

n

=

==+

=


10/35

I.13.- Descuento a inters compuestoSabemos que el descuento esta dado D = M C , por lo tanto, si es inters compuestopodemos decir que:

[ ]nn

n

n

I M D

i M M D

i M M D Entonces

i

M C Si

+=+=

+=

+=

)1(1

)1(

)1(....

)1(................

Por un documento con valor de 4 100,000.00 con vencimiento dentro de cuatro aos,nos han concedido un descuento. Si la tasa de la operacin es del 4% anual, cul serel importe de dicho descuento?

I.14.- Crecimiento comparativo del monto a inters simple con el monto a inters compuesto.Dibujemos las graficas correspondientes a un monto con un capital de 1 000.00 a interssimple y a inters compuesto al 8% anual.

PARA EL INTERES SIMPLEM = C(1+ n i), Es una progresin aritmtica y su grafica es una lnea recta.

PARA INTERES COMPUESTO.M = C(1+ i)n , Es una progresin geomtrica y su grafica es una curva.


11/35

I.15.- Periodos de capitalizacin inferiores a un ao. Con frecuencia ocurre que el inters se capitaliza varias veces al ao. En el caso de lascuentas maestras por ejemplo, los intereses se liquidan mensualmente. La expresinque nos da el monto o el valor finalCf de un capital C depositado durante n y cuyosintereses se capitalizanq veces anuales siendo el tipo de inters nominal anuali es:

i n * qCf = Ca 1+ q

I.16.- Tipo de interese nominal.-Es el tipo de inters anual que se aplica a una operacin.

Depositamos $ 500 000.00 remunerado al 8 % anual. Si la capitalizacin ocurremensualmente:


12/35

I.17.- Relacin entre tasa nominal y tasa efectiva o real.El mismo inters nominal puedeproducir distintos montos segn se capitalice mas o menos veces al ao. Enconsecuencia, el tipo de inters real de la operacin se calcular teniendo en cuenta elinters nominal anual y el nmero de capitalizaciones anuales.

El capital final o monto generado en una operacin en la cual existenq capitalizacionesanuales es :

i n * qCf = C 1+ q

Tipo de inters real de la operacinr ser aquel que sea capaz de generar el mismomontoCr en una sola composicin:

Cr = C * ( 1 + r )n

Para averiguar la relacin entrei y r (inters nominal y el real) igualamos las dosexpresiones anteriores

i n * qC * 1+ q = C * ( 1 + r )n

Con n = 1 y despejandor obtenemos :

i qr = 1+ q - 1

Esta expresin nos indica el tipo de inters real correspondiente a un tipo nominal anualque se capitalizaq veces anuales. Como se puede apreciar el tipo de inters real de unaoperacin depende solo del tipo nominal de la operacini, y del nmero decapitalizaciones anualesq.


13/35


14/35

II.18.- Introduccin.Podemos definir la anualidad como una sucesin de pagos iguales, como lo son lasrentas, abonos, sueldos, etc. Las anualidades, se clasifican segn el tipo de pago en dosgrupos ciertas o seguras y contingentes.Las anualidades ciertas son aquellas en las quese conoce la fecha tanto de inicio como de terminacin; y las contingentes son lasanualidades en las que por algn motivo no se puede fijar alguna de las dos fechas.

Para su clasificacin consideramos tambin que las anualidades pueden ser anticipadaso vencidas. En el primer caso es cuando el pago se hace al principio del periodo, y en elsegundo caso es cuando se hace al final.

Representemos en unas graficas las anualidades ciertas o seguras (que tambinreciben el nombre de anualidades a plazo). Existen adems otros tipos de anualidades,entre aquellas estn las perpetuidades, que dado el poco uso que estas tienen notocaremos.

ANUALIDAD VENCIDA

GRAFICAS.- ANUALIDAD VENCIDA

R R --------------- --------------- --------------- R| | | | | | |ANUALIDAD ANTICIPADA

R R --------- --------- --------- --------- --------- --------- R| | | | | | | | | |

ANUALIDAD DIFERIDA VENCIDAR R ------------- ------------- ------------- R

| | | | | | | |ANUALIDAD DIFERIDA ANTICIPADA

R R R| | |

----------------------------------| |

II.19.- Anualidad ordinarias (ciertas simples-vencidas).Por valor presente o actual de una serie de anualidades se entiende el valor calculado enla poca o fecha inicial de pagos de toda la serie (capital que impuesto a tasa y tiempoconocido, produce un monto determinado).

])"...."....(..........

..................

insubalease

pesoundesanualidadedeserieinade presentevalor a in =

R = valor de la anualidad o renta.]

tiempoejerciciosdenumeron

eresdetasai

pesos Rdeanualidad unade presentevalor A in

..(....

int....

."...."..........

==

=

VN = Valor presente de un peso en R periodos, o factor de descuento.Mn]i = Monto de la anualidad.Deduccin de la formula del valor presente de una serie de anualidades cualquiera quesea el importe de sus pagos.Esta formula se puede deducir de dos maneras diferentes:

a) Tomando como base una serie de anualidades cuyo valor de los pagos asciende a lacantidad de un peso.


15/35

n

n

i M

C C despejamos

iC M formulala De

)1(,....".."

)1(......

+=

+=

Ahora bien, si hacemos queM = 1,entonces, C = 1, por lo tanto:

n

n

i

i+=

+=

)1(11

)1(1

1

Sustituyendo el valor de un peso por el valor presente de un peso en R periodos ( Vn ),nos queda:

nn iV += )1(

El factor(1 + i)n se llama factor de descuento y nos permite calcular el valor presentede un capital.

Si el valor presente de una serie de anualidades de un peso lo hemos llamadoa n ] y esevalor presente es igual a la suma de los valores presentes o actuales de un peso encada una de las anualidades o pagos de que se compone la serie, podemos escribir lasiguiente igualdad:

nn

iniiiiia ++++++++++= )1()1(.........)1()1()1( )1(321

La igualdad que nos ocupa es una progresin geomtrica descendiente cuya razn es(1 + i)-1, puesto que:

(1 + i )-1(1 + i)-1 = (1 + i)-2 (1 + i )-2 (1 + i)-1 = (1 + i)-3

* * * * * * * * *

(1 + i)(n 1)(1 + i)-1 = (1 + i)(n 1)-1= (1 + i)n

Sin embargo, para mayor facilidad de calculo, podemos invertir el orden de lossumandos sin alterar el valor de la igualdad y obtener una progresin geomtricaascendente de razn (1 + i)1 ,

Esto es:

] 123)2()1( )1()1()1(.....)1()1()1( ++++++++++++= iiiiiia nnnin

Calculemos la suma de los n trminos de esta progresin, haciendo uso de la formularespectiva.

1)1(

=

r r a

Sn

n

Efectuando las sustituciones de acuerdo con los trminos de nuestra igualdad, tenemos:


16/35

]i

ia

n

in

+= )1(1

Si ahora consideramos la posibilidad de que el valor de los pagos sea de R ensustitucin de $ 1.00, entonces la formula general queda:

]i

i Ra R

n

in

+= )1(1

Pero que A, es el valor presente de una anualidad de R pesos.

] ] )2(..................................,..

)1......(..........)1(1

.....

inin

n

a R Abieno

i

i R A Donde

=

+=

Para la expresin (1), utilizaremos la calculadora

Para la expresin (2), utilizaremos las tablas financieras.

Investigar; Calculo del tiempo en funcin del valor presente, Calculo de la renta,Calculo de la tasa de inters, calculo del monto.EJEMPLO:Cual ser el valor de un prstamo que nos haran el da de hoy para pagar con 4 letrasde 3, 500,000.00 cada una, de vencimientos escalonados de un ao y al fin de cada ao

transcurrido a la fecha de operacin al 30 % anual?SOLUCION:DATOSi = 0.30 R = 3 500 000 n = 9 AOS A = ?

50.503,566,1030.0

)30.1(1000,500,3

9

==

A

II.20.- Anualidades anticipadas.Una anualidad anticipada es aquella que se cubre al comienzo de cada periodo.Observemos el siguiente diagrama, en donde se puede apreciar con claridad ladiferencia entre una anualidad vencida con una anualidad anticipada, y en el que sesupone el pago de algunas anualidades ordinarias, en comparacin con algunasanualidades anticipadas:

R R R R R R R0 1 2 3 (n 3) (n 2) (n 1) N Anual Ord.R R R R R R R Anual anti.


17/35

Se puede advertir que en la anualidad ordinaria, la primera anualidad se paga al final delprimer periodo, mientras que en las anticipadas se paga inmediatamente al iniciarse elplazo, Esto trae por consecuencia que el pago de la ultima anualidad ordinaria coincidacon la terminacin del tiempo, razn por la cual no devenga intereses y que su inversinse haga solamente para completar el monto de la serie. En cambio cuando lasanualidades son anticipadas, la ultima de ellas se paga al principio del ultimo periodo,por lo que esta si causa intereses.

As podemos establecer una equivalencia entre ambas anualidades, ya que como sepuede observar en la siguiente grafica, que el ltimo pago de una anualidad vencidapara que coincida con el ltimo pago de la anticipada se tendr que iniciar en el periodo(- 1).

(Vencida) R R R R R-1 0 1 2 n - 2 n - 1 n

(Anticipada) R R R R R

Obsrvese, que la fecha focal es (n 1) y no n.

Formula del valor presente:Consideremos que suprimimos el primer pago R de una anualidad anticipada, por lo quetendremos una anualidad vencida y no anticipada, solo que durante (n 1) periodos, porlo tanto su valor presente ser:

Que es el equivalente a una anualidad vencida pero quetermina en (n 1) y no en n.

]ina R A 1=

Ahora bien tomando como fecha focal la fecha inicial podemos notar que el primer pagose hace efectivo puesto que es anticipado, por lo que podemos plantear la siguienteequivalencia:

] Ra R A in += 1 Donde la segunda R es, de hecho, el primer pago que se haba suprimido.

] 11 += ina R A Donde (a n-1 | i + 1) es el valor presente de una serie de anualidades de un peso de unaanualidad anticipada-Tambin podemos hacer lo siguiente:

++=

1)1(1 )1(

ii

R An

Formula del monto.El monto de la ultima anualidad ordinaria es R, mientras que la ultima anualidadanticipada se convierte en un monto de:R(1 + i).Es decir. El monto de las anualidadesordinarias es igual al valor actual en un periodo, del monto de las anualidadesanticipadas.

Tomando en cuenta lo anterior:Monto de la anualidad ordinaria..M = Rm n |i Monto de la anualidad anticipadam = Rm n |i (1 + i).


18/35

in

n

n

mi

iSi

i

i R M

|1)1(

...

11)1(

1

1

1

+

+

+

=+

+=

Por lo tanto la formula anterior se puede escribir de la siguiente manera:( )1|1 = in M R M

De la formula del valor presente y del monto, despejamos el tiempo n.a) Del valor presente:

)1log()1(

)1(log

i

Ai I R

i R

n ++

+

=

b) Del monto:

)1log()1(

)1(log

i

i Ri R Mi

n ++

++

=

EJEMPLO:Una persona que hace su testamento, indica el seguro que inmediatamente despus demorir, le sea entregado a sus herederos la cantidad de 25,000,000.00 mas 3 anualidades(necesariamente por la misma cantidad), mismas que les sern entregadas al principiode cada ao. Los beneficiarios quieren saber cuanto recibirn si el dinero se lesentregara todo sin esperar los 3 aos que indica el testamento, y si la tasa derendimiento en ese momento es de 15 % anual.

II.21.- Anualidades diferidas vencidas.Anualidad diferida: Si una anualidad vencida o anticipada se inicia cuando hatranscurrido algn tiempo, en el que no se efecta ninguna condicin en la anualidad,entonces decimos que su pago se ha diferido. En este tipo de anualidades anotaremos


19/35


20/35

EJEMPLO:

En una institucin de crdito que abona el 2.5% mensual, se hacen depsitos de500,000.00 cada fin de mes durante 3 aos. Calcular el monto que tendr 5 aosdespus de haber efectuado el ultimo depsito.

Solucin:Esta anualidad es vencida, as que el monto se calcula con la formula:

] ]inin m R M = Pero obsrvese que dicho monto viene siendo el capital inicial despus de K periodos,K = 60, por lo tanto haremos lo siguiente:

] ]] k in

inin

n

i Rm M

m R M C

focal fechak ndonde

iC M

)1(

....(..

)1(

+=

===+=

] 60025.036 )025.1(00,500:000,500.............................

025.0.............................

36)12(3............................

60)12(5:..

m M Donde

R

i

n

K entonces Luego

==

===

==

De la TABLA II se tiene que:m 36 | 0.025 = 57.30141263

00.091,057,126

)399790.4)(30141263.57(000,500==

M

M

II.22.- Anualidades diferidas anticipadas.Valor presente:Para poder demostrar la formula del valor presente de una anualidad anticipada diferida,nos valdremos del siguiente diagrama.PERIODOS

0 1 2 ____ K - 1 K K + 1 K + 2 ____ K +n-2 K +n-1 K +n| | | | | | | |Renta R R R R R

Valores actuales:

R R R ___ R R ____ ______ ______ _______ ______

(1 + i)K

(1+i)k+1

(1+i)k+2

___ (1 + I)K+n-2

(1 + i)K+n-1

Para mayor facilidad de clculo invertimos el orden de la progresin y sumamos. Esto es:

k k nk nk i

R

i

R

i

R

i

R A

)1()1(.......

)1()1( 121 ++

+++

++

+= +++

Esta progresin, como puede verse, es de orden creciente cuya razn es


21/35

)1()1(

11 ii

+=+

As que, aplicando la formula de la suma en una progresin geomtrica, se tiene:

( )[ ]

++=

+

++==

=

+

1

1

)1()1(1

..................................

1)1(

11)1(

1)1(

k

n

n

nk

n

n

n

ii

i R A

ndosimplifica

i

ii

R

AS

r r aS

MONTO:

Considerando nuevamente que durante el tiempo diferido no se efecta ningunacondicin en la anualidad, entonces el monto de la anualidad diferida anticipada es igualal monto de la anualidad no diferida no anticipada, as que para su calculo establecemosuna ecuacin de equivalencia utilizando la fecha final como fecha local. Esto es:

]

]

] ]] k in

inin

k in

n

i M R M tienese Entonces M R M como y

i M M Donde

K n y

i Mn Donde

iC M Sea

)1)(1(......)1(....

)1(....

...........................

1..................

)1(......................

1

11

1

+==

+==

++=

+

++

+

EJEMPLO:Que capital habr que depositar en una institucin de crdito para disponer de10,000,000.00 pagaderos al principio de cada ao durante 4 aos a partir de 3 aos de lafecha del depsito si dicha financiera abona el 28% anual.


22/35

II.23.- Anualidades generales. Se consideran anualidades generales aquellas en las que el periodo de capitalizacin nocoincide con el periodo de pago.Para resolver problemas de casos de anualidad general es necesario modificar o hacerque coincidan los pagos o los periodos de capitalizacin, ajustndolos de manera que sepuedan usar las formulas ya conocidas de anualidades sencillas.

Para poder convertir las anualidades generales sencillas podemos hacer lo siguiente:a) Convertir la tasa de inters dada a una tasa equivalente para que coincida el

periodo de pago con el de capitalizacin.b) Encontrar el pago o renta equivalente para que coincida con la fecha de

capitalizacin.Analicemos dos casos:

1) El periodo de pago es mas largo que el de capitalizacin2) El periodo de capitalizacin es mas largo que el pago.

Para el caso en el que el periodo de pago es mas largo que el de capitalizacin, la tasaequivalente se calcula con:

[ ] 1)(1/ += pm

m ji Para el caso en el que el periodo de capitalizacin es mas largo que el periodo de pago,la tasa equivalente se calcula con:

1)1()( / += m pim j Donde: P = periodo de pagom = periodo de capitalizacin.

Observacin: El decir que el periodo de pagos es mas largo que el de capitalizacin, nosignifica lo mismo que decir que p>m, ya que, puede suceder que p< m y el periodo depagos seguir siendo mas largo que el de capitalizacin.

EJEMPLO:Obtener el monto de 100,000.00 en 6 pagos trimestrales, si el inters es de 40%convertible mensualmente.Lo podemos resolver de dos maneras:

a) Haciendo la tasa de inters equivalente:b) Haciendo la renta equivalente:


23/35

Actividades:

1) Hallar el monto de una anualidad de 200,000.00 mensuales durante 2 aos 3 mesesal 30% convertible mensualmente.

2) Una mujer de negocios enva a su hijo a otra ciudad, y le asigna un presupuesto

mensual de 800,000.00. Para evitar frecuentes remesas de dinero hace un solo depsitoen una cuenta bancaria que devenga intereses del 3% mensual. Cunto deberdepositar para cubrir el presupuesto de un ao, si el primer retiro lo hace su hijo altermino del primer mes.

3) El dueo de una tienda de abarrotes piensa reunir 100 mil pesos para poder jubilarse,y quiere saber en cuanto tiempo lograra tal cantidad, si hace depsitos mensuales de$500.00 en un banco que otorga un inters de 3.5% mensual.

4) Una persona hereda 20 000,000.00 y los invierte al 30% anual capitalizablesemestralmente, convinindose que recibir 20 pagos semestrales iguales debiendorecibir el pago inicial dentro de 5 aos. Encontrar a cuanto asciende la anualidad.

5) Se pretende saber cual es el valor de las rentas mensuales anticipadas quesustituiran a rentas semestrales, tambin anticipadas de 10 000,000.00. Si se tiene unatasa del 35% de inters convertible semestralmente.

III.24.-Amortizacin.Podemos considerar que el termino amortizar es la extincin gradual de una deudamediante pagos R peridicos, es decir realizados en intervalos de tiempos iguales quecomprenden el inters y una parte del capital total.

Recordemos que la parte de la deuda no pagada en cierta fecha, se le conoce comocapital insoluto. Dicho capital al inicio del plazo es la deuda original.

Ahora bien, para poder llevar un registro que indique tanto el capital pagado, como losintereses y el saldo al principio de cada periodo, formularemos una tabla llamada;Tabla de amortizacin.

Dicha tabla se podr llenar de la siguiente manera:a) Se encuentra el nmero de pagos necesarios para amortizar la deuda.b) Se calcula el valor de los pagos R, que constituyen una anualidad cuyo valor

presente es el capital insoluto al inicio del plazo.c) Obtener el inters sobre saldos capital insoluto.

L diferencia de los pagos R con inters vencido ser el capital pagado al final delperiodo, que en consecuencia disminuirn tanto la deuda como el inters, y por ende, lacantidad destinada para disminuir la deuda aumenta en cada periodo.

EJEMPLO:Una deuda de 10 000,000.00 con inters del 40% convertible semestralmente, se va aamortizar mediante pagos semestrales iguales en los prximos cuatro aos, el primerocon vencimiento al termino de 6 meses.


24/35

III.25.-Tablas de amortizacin.

CONSTRUCCION DE LA TABLA

Podemos observar en la tabla que:Suma del pago peridico = suma del capital pagado + suma de intereses

Ahora bien, si queremos calcular el capital insoluto al finalizar un periodo determinado, lopodemos hacer con la siguiente formula.

]ik na RC = Donde:n es el tiempo en que se debe de amortizar la deuda.k es el tiempo al finalizar el periodo convenido.


25/35

Tomemos como muestra de la tabla, el periodo 6; es decir, al finalizar el 5 semestre.Por lo tanto n = 8

K = 5]

]

291.690,489,5)106482.2(09.094.606,2

2.0)2.1(109.094,606,2.......

09.094,606,2........

090.094,606,2:

3

2.03

2.058

==

=

==

C

C

aC

aC Asi

Con esta formula, se pudo calcular el capital insoluto al principio del periodo requerido,sin necesidad de elaborar toda la tabla.

Actividades:

1) Una deuda de 100 000,000.00 se debe amortizar en 10 aos con pagos semestralesa una tasa de 18% semestral. Hallar el capital insoluto al final del 7 ao.

Depreciacin:2) Una deuda alcanza un monto total de 4 501,776.00 que debe ser cubierto el da 20 de julio, para ello se realizan depsitos de 500,000.00 mensuales al 48.5% anual. Se quieresaber cuando se debe hacer el primer depsito.

3) Con motivo de las ventas de primavera, una bodega ofrece al pblico lotes con ropade segunda en $500.00 dando facilidades de pagar en 3 meses con abonosmensuales iguales y no de inmediato, a una tasa de inters de 5% mensual. Si un clienteaprovecha la citada facilidad el 15 de mayo pero puede efectuar su primer pago el da 15de agosto; se quiere saber cual es la amortizacin mes a mes.

IV.26.- Introduccin.Definicin.- Es la prdida de valor de un activo fijo (edificios, equipo de oficina,maquinaria, equipo de transporte, etc.) como consecuencias del uso. Ahora bien,tomando en cuenta que ese activo hay que reemplazarlo al final de su vida til, entoncescada ao se traspasa parte de las utilidades a un fondo especial llamadofondo para la depreciacin. A estos depsitos se les llama cargos por depreciacin. (CxD).

En un momento determinado, si al costo original del activo le restamos el importe delfondo para la depreciacin obtendremos el valor en libros. El valor en libros de un activoal final de su vida til debe ser su valor de salvamento o valor de desecho. Este valor, aligual que la vida til, es estimado, pues es imposible precisar cuanto podrn darnos en elfuturo por el activo que vendamos como desperdicio (como fierro, madera, etc.)

Analizaremos dos mtodos para depreciar activos, uno conocido como mtodo depromedios o mtodo lineal, y el otro conocido como el mtodo de porcentaje fijo.

IV.27.- Mtodo de promedios o mtodo lineal.En el mtodo lineal, que es el mtodo mas simple para depreciar activos, se efectandepsitos anuales iguales en el fondo para la depreciacin, durante toda la vida til delactivo.


26/35

EJEMPLO:

Se estima que una maquina de 4 000,000.00 tendr una vida til de 6 aos y al final dedicho periodo un valor de salvamento de 400,000.00.a) Encontrar la depreciacin promedio anual.b) Elaborar una tabla de depreciacin en donde se muestre el valor en libros cada ao.

SOLUCION:a) Depreciacin total = Costo valor de salvamentoDepreciacin total = 4 000,000 400,000 = 3 600,000Depreciacin promedio anual = 3 600,000/6 = 600,000.00

Ahora bien, hagamos el siguiente anlisis;

C DnVS

VSC D+=

=

Comparando la ecuacin del VS con la ecuacin de la recta en su forma simplificada,Esto es:

C DnVS

bmx y+=

+=

Donde:Y = VS (El eje de y es el eje de los valores de salvamento o rescate).X = n (El eje de las x es el eje de los tiempos).b = C (La ordenada al origen es el costo original). m = -Dn (La pendiente m es la depreciacin promedio anual o cargo por

depreciacin).VS

b = C

n

Vida til

VS

Recta donde se marca el valor deSalvamento, nunca puede ser cero.

Que llevados a una grafica, tendramos:

Obsrvese que el valor de salvamento nunca puede ser cero, ya que la depreciacin aque nos referimos, es una depreciacin contable y el activo depreciado, tendr entonces,


27/35


28/35

Ahora bien si C es el costo original de un activo Cp ser la depreciacin, por lo tantoC Cp es el valor contable. Esto es:

Costo original..C Cargo por depreciacin.C p Valor contable al final del ao.C C p Factorizando..C(1 p)Costo al principio del 2 ao...C (1 p)Cargo por depreciacinC (1 p) p Valor contable al final del 2 aoC(1 p) C (1 p)p Factorizando.C (1 p)2 Costo al principio del 3 ao..C (1 p)2 Cargo por depreciacin..C (1 p)2 p Valor contable al final del 3 ao..C (1 p)2 C(1 p)2 p FactorizandoC (1 p)3*

Y as sucesivamente, los valores contables durante la vida til del activo, corresponden alos trminos de una progresin geomtrica, esto es:

C (1 p), C (1 p)2 , C (1 p)3 , C (1 p)4 ,..,C (1 p)n-1, C (1 p)n

El valor contable al final de la vida til es C (1 p)n , que ser igual al valor delsalvamento, Que escribiremos como:

VS = C (1 p)n Para obtener el cargo por depreciacin o depreciacin anual, se utiliza la siguienteformula.

1)( += nn VC VC CxD EJEMPLO:Se estima que una caja registradora tiene un costo de $ 5,000, una vida til de 5aos y un valor de salvamento de 500 Determinar el porcentaje fijo de depreciacin yconstruir la tabla de depreciacin.


29/35

Actividades.-

1) El dueo de una empresa compro una maquina en $2, 000.00. Tendr obligacinde abonar $200.00 cada 6 meses y pagara adems el 30% semestral sobre saldosinsolutos de su obligacin por concepto de inters. Calcular el inters total que debepagar.

2) En una oferta e compra una computadora con valor de 2,500.00 pagando el 25% deenganche y el saldo en mensualidades durante 12 aos, con inters del 60% anualsobre saldos insolutos. Cunto se paga en total por la computadora?

3) A un motor con un costo de 150,000.00 se ha estimado un valor de salvamento de5,000.00 y una vida probable de 30 aos. Determinar; a) La tasa de de depreciacinanual, b) El valor en libros al final del 2 ao y c) el cargo por depreciacin del 25 ao.

4) Una maquina se compra en 100,000.00 y se le calcula una produccin de 400,000unidades. Su produccin real en el primer ao es de 150,000 unidades, en el 2 ao esde 160,000 y, el 3 ao es de 120,000. Calcular la depreciacin de cada ao y corranselos asientos.

5) Un equipo elctrico costo 50,000.00 y tiene especificacin de 7 aos de vida til alfinal de los cuales no tiene ningn valor, por lo cual se deber reemplazar por otro deigual valor. Calcular el porcentaje de depreciacin

V.29.- BonosLas inversiones llamadas Bonos u Obligaciones son promesas escritas de pago. Porejemplo, la sociedad o gobierno que requiere de mover grandes capitales, no puede enmuchas ocasiones, obtener dichos capitales de una sola fuente, entonces tiene querecurrir a la inversin de muchos individuos o compaas. De tal manera que puedesolucionar su problema emitiendo dichos bonos u obligaciones.


30/35

Se dice que los inversionistas que adquieren los bonos, estn prestando su dinero a esasociedad que los emiti, por lo tanto se hacen acreedores a recibir sus interesespagaderos en periodos regulares de tiempo.

V.30.- Tipos de BonosLos bonos son documentos de crdito que pueden ser transferidos a otras personas,unos por simple venta o al portador, y otros por endoso.

En caso de que un bono cambie de dueo por simple venta, se le llamara bono noregistrado; y aquel bono que tiene el nombre de su propietario, y que carece de valorpara cualquier otra persona se le llamara bono registrado.

Todos aquellos bonos al portador o registrados pagaran el valor nominal (capital oprincipal) y los intereses; al portador, con la presentacin de un cupn que este impresoy va unido a la obligacin (son desprendibles), y el bono registrado no requiere de dichocupn, ya que tanto el capital como los intereses solo se pagaran a la personaregistrada como tenedor del bono.

Terminologa:VALOR NOMINAL.- Es el capital que esta sealado en el bono.VALOR DE REDENCION: Es el valor que el tenedor del bono rescata cuando de lereintegra su dinero.Nota: Cuando el valor de redencin es igual al valor nominal se dice que el bono esredimible a la par, y si no, dicho valor de redencin se anota como un porcentaje de valornominal del bono u obligacin, y se les suele denominar; bonos sobre la par o premio, ybonos bajo la par o con descuento.

Los bonos generalmente son mltiples de 10, y los valores ms usados son: 100; 500;1,000; 10,000; y 50,000.

V.31.- Tasas de inters y valor actual de los bonos.Al comprar un bono en una fecha de pago de intereses, se espera que produzca unrendimiento sobre el precio de compra , lo cual involucra dos tasas de intereses ; una,la tasa que la empresa emisora paga sobre el valor nominal (sobre el bono) r; y la otra,es el rendimiento hasta el vencimiento (sobre inversin) i; Esto es:

Valor actual de los bonos = valor actual de los intereses + valor actual del principalEl valor actual del principal =C (1 + i)n .

El valor actual de los intereses o anualidad, esta constituida por los cupones

]inFraDonde:

V = Valor o precio de compra del bono para obtener un rendimiento i.F = Valor nominal (o a la par) del bono.r = Tasa de inters que se paga sobre la inversin por periodo de cupn.(En realidad es lo que el inversionista gana por su inversin)Fr = R = Anualidad vencida o valor de los intereses sobre el valor nominal a la

tasa rA = Valor presente de la anualidad.C = Precio de redencin (igual al valor nominal del bono, salvo que se seale lo

contrario.N = Numero de periodos de inters (o numero de cupones) hasta que se redima

o venza el titulo.


31/35


32/35

5.102100000,10250,10 = x

V.33.- Compra de bonos con premio o, descuento.Si el valor de un bono V es menor que el valor de redencin C, se dice que fuecomprado con descuento. Esto sucede si la tasa de inters del bono ( r ) es mayor quela tasa de rendimiento sobre la inversin ( i ) . Esto es:

D = C V

Un bono se compra a prima o premio si su valor de compra V es mayor que su valor deredencin o la par C. Esto sucede si la tasa de inters del bono ( r ) es mayor que latasa de rendimiento sobre la inversin ( i ). Esto es:

P = V C

Formulas para obtener el valor del descuento y el valor de la prima en forma directa.

]]in

in

aFiFr P

aFiFr D

)(

)(==

EJEMPLO.Determinar el descuento para una emisin de 1,000 obligaciones de 50.00 cada unacon cupones semestrales de 5.00 reembolsables al fin de 5 aos con una tasa derendimiento de 15% semestral.Resolucin del problema en dos formas diferentes.

V.34.- Valor en libros y amortizacin de la prima.Cuando un bono se compra con premio o con descuento, al transcurrir el tiempo su valorvara hasta llegar a su valor de redencin, esto se puede calcular haciendo una tabla deinversin donde se muestre el cambio del valor en libros de los bonos. En dicha tabla se


33/35

puede observar que la inversin siempre gana la tasa de rendimiento i y lo que sobradel cupn se utiliza para amortizar la prima.

Se tiene una obligacin de 1,000, valor nominal que vence a la par dentro de 2 aos al 5%semestral. Paga un rendimiento del 8% anual. Hacer la tabla de inversiones o valores.

Calculo de las columnas.1 columna: 1,036.29 = V.2 columna: 1,036.29 (0.04) = 41.4523 columna: Fr = 504 columna: 50 41.45 = 8.555 columna: 1,036.29 8.55 = 1,027.74

V.35.- Valor de los bonos comprados entre fechas de pago de cupn.Hasta ahora, hemos analizado situaciones en que la compra del bono se han hechoexactamente en la fecha de pago de cupn, pero si hacemos la compra de un bono entredos fechas de pago, es obvio que una parte del cupn no vencido pertenece alvendedor, y la otra parte al comprador, as que parta calcular el precio total que sepagara por la compra del bono, haremos lo siguiente.

a) Determinar el precio p de compra de un bono sin acumular el valor del cupn.b) Determinar el precio p de compra de un bono acumulando el valor del cupn

(recibe el nombre de precio efectivo, neto o flat)

Este ltimo se puede calcular a travs de 3 mtodos, que son:1) Mtodo exacto o de inters compuesto.2) Mtodo aproximado o de inters simple.3) Mtodo por interpolacin.

Representemos en la siguiente figura, los precios de compra del bono exactamente en lafecha de pago de cupn Po P1


34/35

0

KK

1

PO P P 1

Donde:

Po es el precio en la fecha de pago inmediatamente anterior a la fecha de venta.P es el precio del bono despus de transcurrido un tiempo K (entre fechas de

cupn).P1 Es el precio en la ultima fecha de pago o valor de redencin.K Es el tiempo transcurrido despus de la primera fecha (Po).K1 Es el tiempo por transcurrir.

Ahora bien, establezcamos la siguiente razn:

1

10

K PP

K PP =

De esta expresin despejamos P que es el precio que buscamos, entonces tenemosque:

)( 010 PPK PP += EJEMPLO:Una obligacin de la compaa NEYOY S. A. de 1,000 tiene cupones fechados el 1 deenero con precio del bono de 950.10, y el 1 de julio con precio de 950.80. Se quieresaber el precio del bono sin valor acumulado del cupn, si dicho bono se vende el 5 deabril.SOLUCION:Datos.

Po = 950.10P1 = 950.80

Los das transcurridos del da 1 de enero al 5 de abril son 94 (considerando los mesesde 30 das), as que:

18094=K

Donde 180 = 6 meses x 30 das

465.9503655.010.950

)10.95080.950(18094

10.950

=+=

+=

P

P


35/35

Actividades:1) De un bono de 1,000 al 6% redimible (pagadero) el 1 de enero, 1 de mayo y 1de septiembre de cada ao, desde su emisin hasta el 1 de septiembre de 1992inclusive que se estipula a 105, se quiere obtener el pago al 1 de septiembre de 1992 ylos pagos cuatrimestrales.

2) Un bono de 500 al 8% en los meses de julio y diciembre redimible el 15 dediciembre de 1994 a 110, marca el pago al 15 de diciembre de 1994 de 500 (1.10) = 550.Y pagos semestrales de:

3) Un bono de 50,000.00 al 5%, redimible por 1,020 a 10 aos y con un rendimiento de7%, estipula un valor o precio de:

4) Obtener el valor que se puede pagar por un bono de 100, 4%, febrero, mayo, agosto,noviembre redimible a la par el 10 de noviembre de 1995, fue comprado el 1 de febrerode 1985 con una tasa de rendimiento sobre la inversin y por periodo de cupn de 6%convertible trimestralmente.

5) Una empresa emite 2000 obligaciones de 1,000.000 cada una, con cuponessemestrales de 70.00 para ser reembolsados al fin de 6 aos con una tasa de 4%semestral. Calcular el valor de la emisin.

INTEGRACIN CONCEPTUAL:(El Titular Acadmico, conocer las respuestas). Tendrlos conocimientos necesarios para la resolucin de problemas financieros que se le presenten, tantode inters simple, inters compuesto, descuentos, anualidades, amortizaciones y bonos.

REPORTES CRTICOS O SUGERENTES A:Dr. Ernesto Guerra Garca, coordinadorGeneral Educativo.(Correo electrnico:[email protected] ) Benito Juarez No. 39, Mochicahui,El Fuerte, Sinaloa, Mxico. C.P. 81890, Tel. 01 (689) 2 00 42 .
mailto:[email protected]:[email protected]

mate ma tic as financier as

Documents