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Guerino MazzolaGuerino MazzolaU & ETH ZürichU & ETH Zürich
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Les multiperspectives Les multiperspectives du du lemme de Yoneda lemme de Yoneda pour pour comprendre la musiquecomprendre la musique
Alexandre GrothendieckAlexandre Grothendieck
• Lemme de YonedaLemme de Yoneda
• Exemples dans la musique Exemples dans la musique
• Isomorphisme Riemann-FuxIsomorphisme Riemann-Fux
• Lemme de YonedaLemme de Yoneda
• Exemples dans la musique Exemples dans la musique
• Isomorphisme Riemann-FuxIsomorphisme Riemann-Fux
Préfaisceaux ensemblistes sur une catégorie Préfaisceaux ensemblistes sur une catégorie CC::
F: F: C C Ens Ens:: A ~> F(A)A ~> F(A)
11AA@F = 1@F = 1A@FA@F
v: A v: A B, u: B B, u: B C Cu·v: A u·v: A C C
(u·v)@F = v@F · u@F(u·v)@F = v@F · u@F
11AA@F = 1@F = 1A@FA@F
v: A v: A B, u: B B, u: B C Cu·v: A u·v: A C C
(u·v)@F = v@F · u@F(u·v)@F = v@F · u@F
A@FA@F
avec des applications de transitionavec des applications de transition
u@F: B@F u@F: B@F A@F pour u: A A@F pour u: A B B
ayant ces propriétés:ayant ces propriétés:
préfaisceaux = foncteurs contravariantspréfaisceaux = foncteurs contravariants
A = adresseA = adressef f A@FA@F„point de F à valeur„point de F à valeurdans A“dans A“
Morphismes de préfaisceaux sont les transformations naturellesMorphismes de préfaisceaux sont les transformations naturellesh: F h: F G G
Propriétés:Propriétés: Pour toute adresse A, on a une application d‘ensemblesPour toute adresse A, on a une application d‘ensembles
A@h: A@F A@h: A@F A@G A@G
de sorte qu‘on ait le diagramme commutatif suivant de sorte qu‘on ait le diagramme commutatif suivant pour tout morphisme u: A pour tout morphisme u: A B dans B dans CC::
Pour toute adresse A, on a une application d‘ensemblesPour toute adresse A, on a une application d‘ensembles
A@h: A@F A@h: A@F A@G A@G
de sorte qu‘on ait le diagramme commutatif suivant de sorte qu‘on ait le diagramme commutatif suivant pour tout morphisme u: A pour tout morphisme u: A B dans B dans CC::
B@FB@F B@GB@GB@hB@h
A@FA@F A@GA@GA@hA@h
u@Fu@F u@Gu@G
CC@@ = catégorie des préfaisceaux sur = catégorie des préfaisceaux sur CCCC@@ = catégorie des préfaisceaux sur = catégorie des préfaisceaux sur CC
Exemple: Exemple: Préfaisceaux représentables.Préfaisceaux représentables.
Pour un objet X de Pour un objet X de CC, on définit, on définit
@X: @X: C C Ens Ens
A@X = Hom(A,X) = hA@X = Hom(A,X) = hXX(A)(A)
Cette application X Cette application X @X définit le @X définit le foncteur de Yonedafoncteur de Yoneda::
@:@: C C C C@@ g:g: X X Y Y
A@g: A@X A@g: A@X A@Y: u A@Y: u g·u g·u
@:@: Hom(X,Y) Hom(X,Y) Hom(@X,@Y) Hom(@X,@Y)
Lemme de YonedaLemme de Yoneda
Le functeurLe functeur @ @:: C C CC@ @ est est pleinement fidèlepleinement fidèle::
@@: Hom(X,Y) ≈ Hom(@X,@Y): Hom(X,Y) ≈ Hom(@X,@Y)
En particulier, X ≈ Y si et seuelement si @X ≈ @YEn particulier, X ≈ Y si et seuelement si @X ≈ @Y
Lemme de YonedaLemme de Yoneda
Le functeurLe functeur @ @:: C C CC@ @ est est pleinement fidèlepleinement fidèle::
@@: Hom(X,Y) ≈ Hom(@X,@Y): Hom(X,Y) ≈ Hom(@X,@Y)
En particulier, X ≈ Y si et seuelement si @X ≈ @YEn particulier, X ≈ Y si et seuelement si @X ≈ @Y
CC@@
@@CC@@CC CCCC
Esquisse de la preuve.Esquisse de la preuve. Le lemme découle d‘un énoncé plus général: Le lemme découle d‘un énoncé plus général:
Pour tout objet X de Pour tout objet X de CC et pour tout préfaisceau F de et pour tout préfaisceau F de CC@@, on a une , on a une bijectionbijection
a: X@Fa: X@F Hom(@X, F)Hom(@X, F)
Pour tout f Pour tout f X@F et tout morphisme g:A X@F et tout morphisme g:A X de X de CC, on pose , on pose
a(f)(g) = g@F(f)a(f)(g) = g@F(f)
Son Son inverseinverse est est b: Hom(@X, F) b: Hom(@X, F) X@FX@F
ayant pour la transformation naturelle q: @X ayant pour la transformation naturelle q: @X F la valeur F la valeur
b(q) = X@q(Idb(q) = X@q(IdXX))
Finalement, prendre F = @Y, d‘où lemme de Yoneda.Finalement, prendre F = @Y, d‘où lemme de Yoneda.
Euclide d‘Alexandrie:Euclide d‘Alexandrie:punctus est cuius pars punctus est cuius pars nulla estnulla est
Alexandre GrothendieckAlexandre Grothendieck
C = ModC = Mod: :
• Modules A,B,... = objets (adresses); Modules A,B,... = objets (adresses); • morphismes (di)affinesmorphismes (di)affines
g: A g: A B B g = T g = Tb b ··ff f:A f:A B (di)linéaireB (di)linéaire TTbb: B : B B: x ~> b+x B: x ~> b+x
g(x) = Tg(x) = Tb b ··f(x) = b+f(x)f(x) = b+f(x)
A@B = TA@B = TB B ··Lin(A,B)Lin(A,B)
A = 0A = 0 0@B0@B = T = TB B ··Lin(0,B) Lin(0,B) ªª B B
Les point zéro-adressésLes point zéro-adressés
sont les points usuelssont les points usuels
(ensemblistes)!(ensemblistes)!
ModMod@@
F:F: Mod Mod —> —> Ens Enspréfaisceauxpréfaisceaux
ont toutes ces ont toutes ces propriétéspropriétés
EnsEnsproduits cartésiens X produits cartésiens X Y Yréunions disjointes X réunions disjointes X YYensembles puissance Xensembles puissance XYY
charactéristiques charactéristiques X —>X —>pas d‘„algèbre“pas d‘„algèbre“
ModModsommes directes Asommes directes A≈≈BBpossède de l‘„algèbre“possède de l‘„algèbre“
pas d‘ensembles puissancepas d‘ensembles puissancepas de charactéristiquespas de charactéristiques
@@CC@ @ est un topos!est un topos!
• Lemme de YonedaLemme de Yoneda
• Exemples dans la musique Exemples dans la musique
• Isomorphisme Riemann-FuxIsomorphisme Riemann-Fux
Classes d‘hauteurs (demi-tons) tempéréesClasses d‘hauteurs (demi-tons) tempérées
01
2
3
4
56
7
8
9
10
11
ŸŸ1212
0 2 4 5 7 9 11
xx
OO = { }= { } Objet (zéro) Objet (zéro) ponctuel ponctuel d‘Euclided‘Euclide
ŸŸ1212 ªª 0@ 0@ŸŸ1212
A@B = TA@B = TB B ··Lin(A,B)Lin(A,B)
A = A = ŸŸ1111, B =, B = ŸŸ12 12 (R = (R = ŸŸ))
série: S série: S ŸŸ1111@@ŸŸ1212 = T = TŸŸ12 12 ··Lin(Lin(ŸŸ1111, , ŸŸ1212))
ªª ŸŸ12121212
ŸŸ1212
SS
II IVIV VVIIII IIIIII VIVI VIIVII
FF
TT= 2 = 2
objet de vérité (booléen)objet de vérité (booléen)pour ensemblespour ensembles
objet ponctuel objet ponctuel d‘Euclided‘Euclide
OO = { }= { }
ŸŸ12 12 = =
IIII accord = accord = morphisme de morphisme de ŸŸ1212
dans objet de dans objet de véritévérité
FFFF
TT
FF
FF
TTFFFF
FF
TT
FF
FF
• Lemme de YonedaLemme de Yoneda
• Exemples dans la musiqueExemples dans la musique
• Isomorphisme Riemann-FuxIsomorphisme Riemann-Fux
{do, {do, (do), (do), 22(do),...} (do),...} = {do, mi, sol} = {do, mi, sol}
= triade majeure= triade majeure
ŸŸ1212
Accords circulairesAccords circulaires
dodo
solsol
mimi
do = 0do = 0 (p) = 3p+7 (p) = 3p+7
x:x: ŸŸ12 12 ŸŸ1212 x:x: ŸŸ12 12 ŸŸ1212
z:z: ŸŸ12 12 ŸŸ1212 z:z: ŸŸ12 12 ŸŸ1212
On a un modèle de l‘harmonie de Hugo Riemann:On a un modèle de l‘harmonie de Hugo Riemann:tons auto-adresséstons auto-adressés
xxOO
x:x: OO ŸŸ1212 x:x: OO ŸŸ1212
objet ponctuel objet ponctuel d‘Euclided‘Euclide
OO = { }= { }
zz ŸŸ1212@@ŸŸ1212
Trans(Dt,Tc) = < fTrans(Dt,Tc) = < fŸŸ1212@@ŸŸ1212 | f: | f: DtDt TcTc >>Trans(Dt,Tc) = < fTrans(Dt,Tc) = < fŸŸ1212@@ŸŸ1212 | f: | f: DtDt TcTc >>
f
DtDt
triade de dominante {sol, si, re}triade de dominante {sol, si, re}
TcTc
triade de tonique {do, mi, sol}triade de tonique {do, mi, sol}
Modèle de l‘harmonie de Riemann (Noll 1995)Modèle de l‘harmonie de Riemann (Noll 1995)
ŸŸ12 12 ŸŸ3 3 ŸŸ44
z ~> (z mod 3, -z mod 4)z ~> (z mod 3, -z mod 4)4.u+3.v <~ (u,v)4.u+3.v <~ (u,v)
11
10
8
1
2
34
567
9
0
0 12
3
4
567
8
9
1011
ŸŸ12 12 ŸŸ1212[[]= ]= ŸŸ1212[X]/(X[X]/(X22))
c+c+. . ŸŸ1212
ccc+c+.d.d
ŸŸ12 12 = K= K D disjoint, #K = #D = 6 D disjoint, #K = #D = 6
K = {0, 3, 4, 7, 8, 9}, D ={1, 2, 5, 6, 10, 11} K = {0, 3, 4, 7, 8, 9}, D ={1, 2, 5, 6, 10, 11}
Dichotomie consonance-dissonanceDichotomie consonance-dissonance
= = ŸŸ1212 + + = intervalles consonants = intervalles consonants
DD = = ŸŸ1212 + +{1, 2, 5, 6, 10, 11} = {1, 2, 5, 6, 10, 11} = intervalles dissonantsintervalles dissonants
= = ŸŸ1212 + + = consonances = consonances
DD = = ŸŸ1212 + +{1,2,5,6,10,11} = dissonances{1,2,5,6,10,11} = dissonances
T T .2.2.5.5
a + bb
ŸŸ1212
ŸŸ12 12 ƒ ƒ ŸŸ[[]] ŸŸ1212[[]]
ƒƒƒƒ
ŸŸ1212 Dt, TcDt, Tc
00 @@ ŸŸ1212
Trans(Dt,Tc)Trans(Dt,Tc)
ŸŸ1212 @@ ŸŸ1212
changer adressechanger adresse
Trans(Trans(KK,K,K))
ŸŸ12 12 [[]] @@ ŸŸ12 12 [[]]
00 @@ ŸŸ1212[[]]
changer adressechanger adresse
tons constantstons constants intervalles unissonintervalles unisson
ext. scalairesext. scalaires intervalles constantsintervalles constants
ƒƒƒƒ
((ŸŸ1212 @ @ ŸŸ1212) ) ƒ ƒ ŸŸ[[]]
KK, D, D
ŸŸ1212 ŸŸ1212[[]]
ŸŸ1212 @ @ ŸŸ1212 ŸŸ12 12 [[]] @ @ ŸŸ12 12 [[]]
Trans(Dt,Tc) = Trans(KTrans(Dt,Tc) = Trans(K,K,K)|)|ƒƒ
ƒƒƒƒ
ƒƒ
ch.adch.ad ch.adch.ad
Trans(Dt,Tc)Trans(Dt,Tc) Trans(Trans(KK,K,K))
KK, D, D
Birkhäuser 2002Birkhäuser 20021368 pages, hardcover 1368 pages, hardcover incl. CD-ROMincl. CD-ROMISBN 3-7643-5731-2ISBN 3-7643-5731-2EnglishEnglish