guerino mazzola u & eth zürich [email protected] ...

Guerino MazzolaGuerino MazzolaU & ETH Zürich U & ETH Zürich

[email protected] www.encyclospace.org www.encyclospace.org

Le rôle possible Le rôle possible de la logique musicale de la logique musicale

dans une certaine dans une certaine intellectualité intellectualité mathématiquemathématique

Pattern, Precision and Profundity: it Pattern, Precision and Profundity: it seems to me those three words seems to me those three words characterize, to a great extent, the characterize, to a great extent, the essence of mathematics. Additionally, I essence of mathematics. Additionally, I use those three words deliberately use those three words deliberately because I believe that because I believe that they characterize they characterize much of musicmuch of music..

I hope it is clear from this talk that there I hope it is clear from this talk that there is much beauty to be beheld in is much beauty to be beheld in mathematical structures, and that mathematical structures, and that the the issues of mathematical truth and beauty issues of mathematical truth and beauty are profoundly intertwinedare profoundly intertwined. I am sure that . I am sure that these issues also these issues also have much to say about have much to say about musicmusic, but these are matters that I do not , but these are matters that I do not feel competent to address.feel competent to address.

Roger Penrose (1995):Roger Penrose (1995):

• LogiqueLogique

• DiagrammesDiagrammes

• GestesGestes

• SynopsisSynopsis

nom type/diagramme id

nom forme coordonnée

dénotateurdénotateur

topos

ddAA

FormeForme FF

D:A@F(d)D:A@F(d)D:A@F(d)D:A@F(d)

formules formules prédicativesprédicatives

dénotateursdénotateurs

∏∏(Ex(Exii)

Facticité: prédicates textuelsFacticité: prédicates textuels

∏∏

ExExii

D/ExD/Exii

Exk

DD

Facticité d’un prédicate Ex au dénotateurFacticité d’un prédicate Ex au dénotateur DD

VéritéVérité(F):Id.Power(F)(F):Id.Power(F)VéritéVérité(F) = espace des ‘sous-ensembles’ de(F) = espace des ‘sous-ensembles’ de‘l’espace’ F des ‘éléments de vérité’‘l’espace’ F des ‘éléments de vérité’

La coordonnée d de vérité du La coordonnée d de vérité du dénotateur dénotateur D/ExD/Ex est un est un F-F-crible de crible de ..La coordonnée d de vérité du La coordonnée d de vérité du dénotateur dénotateur D/ExD/Ex est un est un F-F-crible de crible de ..

AA

FF

ddD/Ex:A@D/Ex:A@VéritéVérité(F)(d) (F)(d)

dd A@ A@FF d d @A@A FF„F-crible de A“„F-crible de A“

Premier cas spécialPremier cas spécial: I = 0-module : I = 0-module

F = @I = objet final = 1 dans ModF = @I = objet final = 1 dans Mod@@

d d A@A@11 = = A@A@

adresse adresse A = 0:A = 0:0@0@ = Hom(1, = Hom(1, = = ensemble des ensemble des

valeurs de vérité valeurs de vérité toposiquetoposique = = Sub(Sub(@0)@0)

valeurs spéciales: valeurs spéciales: d = @0 = d = @0 = T T (TRUE, VRAI)(TRUE, VRAI)d = d = ˆ̂ = =F F = = ˘˘T T (FAUX)(FAUX)

Second cas spécialSecond cas spécial: I = : I = ——//ŸŸ = S = groupe du cercle, F = = S = groupe du cercle, F = @@S.S.

ee

SS

d d A@A@FF signifie le suivant à l‘ signifie le suivant à l‘adresse adresse A = 0: A = 0:

d d @@SS crible de S. crible de S.

En particulier, si d = En particulier, si d = ^̂, , = [0,e[ = [0,e[ SS un intervalle, un intervalle, on a la logique on a la logique flue (fuzzy) flue (fuzzy) définie par la quantité de vérité e.définie par la quantité de vérité e.

I

IV

II

VIV

III

VII

Troisième cas spécialTroisième cas spécial: I = : I = ŸŸ

F = @F = @ŸŸ

d d A@A@FF

d d @(A @(A ŸŸ

adresse adresse A = 0:A = 0:0@0@FF = Hom( = Hom(@@ŸŸ, , = = ensemble des valeurs ensemble des valeurs

de de ŸŸ-vérité -vérité toposiquetoposique

= = Sub(Sub(@@ŸŸ))

valeurs spéciales: valeurs spéciales: d = Cd = C^̂, C , C ŸŸ (accords “constants”)(accords “constants”)

adresse adresse A = A = ŸŸ: séries dodécaphoniques: séries dodécaphoniquesadresse adresse A = A = ŸŸ: accords auto-adressés de Noll et al.: accords auto-adressés de Noll et al.

On peut globaliser....On peut globaliser....

Les dénotateurs de vérité D/Ex Les dénotateurs de vérité D/Ex associés à une formule (prédicative) Exassociés à une formule (prédicative) Ex

sont des compositions locales sont des compositions locales

RésuméRésumé

AA

FF

dd

Ils Ils généralisent et unifientgénéralisent et unifient• Les valeurs de vérité toposiques et fuzzy etLes valeurs de vérité toposiques et fuzzy et• les objets classiques de la théorie de la musique.les objets classiques de la théorie de la musique.• On peut globalieser de façon évidente.On peut globalieser de façon évidente.

d’adressed’adresse AA dans la forme de vérité F.dans la forme de vérité F.

Changement d’espace de véritéChangement d’espace de vérité

f: F f: F G transformation naturelle d’espaces de vérité G transformation naturelle d’espaces de véritéVéritéVérité(f): (f): VéritéVérité(F) (F) VéritéVérité(G)(G)

AA

GGFF

VéritéVérité(f)(f)dd

D/ExD/Ex

f(d)f(d)

D/D/f f ExEx

@0@0

VéritéVérité(!)(!)

D/D/! ! ExEx!(d)!(d)

A@FF A@GG

d d @A@A F ~> f(d) F ~> f(d) @A@A GG

D/Ex ~> D/D/Ex ~> D/f f Ex: A@Ex: A@VéritéVérité(G)((G)(f(d)f(d)) )

• LogiqueLogique


• GestesGestes


ZZii = préfaisceaux ensemblistes sur = préfaisceaux ensemblistes sur ModMod

D D = diagramme dans = diagramme dans ModMod@@

Solution du problèmeSolution du problèmedes limites itéréesdes limites itérées

ZZii

ZZjj

ZZll

ZZmm

ffijijtt DD

ffililqq

ffjmjmss

lim(lim(DD))

fflilipp

ffjljlkk

ffllllrr

Perspectives of New Music (2005)Guerino Mazzola & Moreno Andreatta:From a Categorical Point of View: K-nets as Limit Denotators

Perspectives of New Music (2005)Guerino Mazzola & Moreno Andreatta:From a Categorical Point of View: K-nets as Limit Denotators

ŸŸ1111@@ Ÿ Ÿ1212

ŸŸ1111@@ Ÿ Ÿ1212

ŸŸ1111@@ Ÿ Ÿ1212

ŸŸ1111@@ Ÿ Ÿ1212

ee44

ee22

ee55.-1.-1 ee1111.-1.-1DD

SS UU

TT VV

Réseaux de séries dodécaphoniquesRéseaux de séries dodécaphoniques

isomorphisme isomorphisme de limites de limites localeslocales

vvii

vvjj

vvll

vvmm

vvii

vvjj

vvll

vvmm

vvii

vvjj

vvll

vvii

vvjj

vvll

cartésiencartésien

cartecarte

XXii

XXjj

XXll

XXii

XXjj

XXll

YYii

YYjj

YYll

cartecarteYYii

YYjj

YYll

YYmm

Les réseaux neuronaux artificiels Les réseaux neuronaux artificiels sont des limites localessont des limites locales

limites globales limites globales recollements dendritiques (K. Pribram)recollements dendritiques (K. Pribram)

2004

COLLOQUIUM ON MATHEMATHICAL MUSIC THEORY H. COLLOQUIUM ON MATHEMATHICAL MUSIC THEORY H. Fripertinger, L. Reich (Eds.) Fripertinger, L. Reich (Eds.) Grazer Math. Ber., ISSN 1016–7692 Bericht Nr. 347 (2005), Grazer Math. Ber., ISSN 1016–7692 Bericht Nr. 347 (2005), Guerino Mazzola : Local and Global Limit Denotators and the Guerino Mazzola : Local and Global Limit Denotators and the Classification of Global CompositionsClassification of Global Compositions

COLLOQUIUM ON MATHEMATHICAL MUSIC THEORY H. COLLOQUIUM ON MATHEMATHICAL MUSIC THEORY H. Fripertinger, L. Reich (Eds.) Fripertinger, L. Reich (Eds.) Grazer Math. Ber., ISSN 1016–7692 Bericht Nr. 347 (2005), Grazer Math. Ber., ISSN 1016–7692 Bericht Nr. 347 (2005), Guerino Mazzola : Local and Global Limit Denotators and the Guerino Mazzola : Local and Global Limit Denotators and the Classification of Global CompositionsClassification of Global Compositions

Theorème:Theorème: On a un On a un foncteur de vérificationfoncteur de vérification

|?|: |?|: AAGlobLimGlobLimredred AAGlobModGlobMod

11

22

33

44

66

55

GGII

11

22

33

44

66

55

|G|GII||~>~>

Les procès ne sont ni vrais ni faux, Les procès ne sont ni vrais ni faux, seuls les faits qu‘ils englobent peuvent l‘être.seuls les faits qu‘ils englobent peuvent l‘être.

Les procès ne sont ni vrais ni faux, Les procès ne sont ni vrais ni faux, seuls les faits qu‘ils englobent peuvent l‘être.seuls les faits qu‘ils englobent peuvent l‘être.

• LogiqueLogique


• GestesGestes


——positionposition

touchetouche

tempstemps 00

11

11

22

2 2 + + 11

22

11

1 1 22

t.t.

**

QuickTime™ and aTIFF (Uncompressed) decompressorare needed to see this picture.

Z Y

Xxx

zz yy

11(t(t))

66(t(t))

22(t(t))

33(t(t))

44(t(t))

55(t(t))

Une main Une main produit produit = = 112233445566

de 6 courbes gestuelles dans espace-temps (x,y,z;e) du pianode 6 courbes gestuelles dans espace-temps (x,y,z;e) du pianoj=1, 2, ... 5: bouts de doigts,j=1, 2, ... 5: bouts de doigts,j = 6: le carpe, j = 6: le carpe, 6 6 = = rootroot

paramètre t paramètre t séquence de points: séquence de points:

(t) = ((t) = (11(t),...,(t),...,66(t))(t))

e = tempse = temps

partitionpartitiondégèle physiquedégèle physiquedégèle symboliquedégèle symbolique

PP

TT

EE

Hypergeste symboliqueHypergeste symboliqueou „diagrammatique“ou „diagrammatique“

touches [cm]touches [cm]

position [cm]position [cm]

temps [sec]temps [sec]

hypergestehypergestephysiquephysique

• LogiqueLogique


• GestesGestes


ProcèsProcès• limites de diagrammeslimites de diagrammes• renvoyer, montrerrenvoyer, montrer

GestesGestes• courbes paramétriséescourbes paramétrisées• faire, bougerfaire, bouger

!!

FaitsFaits• compositions globalescompositions globales• être le casêtre le cas

????

Vue d‘ensemble des trois strates (onto-logiques?)Vue d‘ensemble des trois strates (onto-logiques?)

ProcèsProcès• limites de diagrammeslimites de diagrammes• montrer,montrer, renvoyer renvoyer

GestesGestes• courbes paramétriséescourbes paramétrisées• faire, bougerfaire, bouger

FaitsFaits• compositions globalescompositions globales• être le casêtre le cas

formules formules prédicatives prédicatives

formules formules prédicatives prédicatives

∏∏

formules formules gestuellesgestuellesformules formules gestuellesgestuelles

formules formules diagrammatiques diagrammatiques

formules formules diagrammatiques diagrammatiques

vérificationvérificationdémonstration?démonstration?

Exemples d‘une certaine musicalité dansExemples d‘une certaine musicalité dansdes démonstrations mathématiques:des démonstrations mathématiques:• Théorème fondamental des EDOThéorème fondamental des EDO

(neutralisation, modulation, cadence)(neutralisation, modulation, cadence)• Parabole de Grothendieck?Parabole de Grothendieck?

Prenons par exemple la tâche de démontrer un Prenons par exemple la tâche de démontrer un théorème.théorème.

Je vois Je vois deux approchesdeux approches extrêmes pour s'y extrêmes pour s'y prendre. prendre.

L'uneL'une est celle du est celle du marteau et du burinmarteau et du burin, quand le , quand le problème posé est vu comme une grosse noix, problème posé est vu comme une grosse noix, dure et lisse, dont il s'agit d'atteindre l'intérieur. dure et lisse, dont il s'agit d'atteindre l'intérieur. [...] [...] Le principe est simple: on pose le tranchant du Le principe est simple: on pose le tranchant du burin contre la coque, et on tape fort. Au burin contre la coque, et on tape fort. Au besoin, on recommence en plusieurs endroits besoin, on recommence en plusieurs endroits différents, jusqu' à ce que la coque se casse — différents, jusqu' à ce que la coque se casse — et on est content. [...]et on est content. [...]

Je pourrais illustrer Je pourrais illustrer la deuxièmela deuxième approche, en approche, en gardant l'image de la noix qu'il s'agit d'ouvrir. gardant l'image de la noix qu'il s'agit d'ouvrir. [...] on plonge la noix dans un liquide émollient, [...] on plonge la noix dans un liquide émollient, de l'eau simplement pourquoi pas, de temps en de l'eau simplement pourquoi pas, de temps en temps on frotte pour qu'elle pénètre mieux, temps on frotte pour qu'elle pénètre mieux, pour le reste on laisse faire le temps. pour le reste on laisse faire le temps. La coque La coque s'assouplits'assouplit au fil des semaines et des mois — au fil des semaines et des mois — quand le temps est mûr, une pression de la quand le temps est mûr, une pression de la main suffit, la coque s'ouvre comme celle d'un main suffit, la coque s'ouvre comme celle d'un avocat mûr à point! [...]avocat mûr à point! [...]

Le lecteur qui serait tant soit peu familier avec Le lecteur qui serait tant soit peu familier avec certains de mes travaux n'aura aucune diffculté certains de mes travaux n'aura aucune diffculté à reconnaître lequel de ces deux modes à reconnaître lequel de ces deux modes d'approche est "le mien".d'approche est "le mien".

Alexander Grothendieck: Récoltes et Semailles (3me Alexander Grothendieck: Récoltes et Semailles (3me partie), partie),

Univ. Sci. et Tech. Languedoc et CNRS, Univ. Sci. et Tech. Languedoc et CNRS, Montpellier 1985, pp. 552—553Montpellier 1985, pp. 552—553

guerino mazzola u & eth zürich [email protected] ...

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