grupo ciclico e permutacoes
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Grupos e permiacoes IMETRANSCRIPT
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GruposDefiniao:Ordemdeumgrupo
Definio:Subgrupos
Definio:Grupocclico
Teor:Paragruposcclicosfinitos,aordem(G)=
Obs:Oresultadovaleparaqualquergrupo.
Teor:Umgrupocclicocomapenasumgeradorpossuinomximo2elementos.
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GruposExerccios1.ConsidereemZaoperaodefinidapora b=a+b+1.
a.Mostrequeumgrupoabeliano.b.Verifiquese,ondeI={z Z|zumnmerompar}umsubgrupode.c. cclico?
2.Mostrequeumgrupoabeliano ento(a.b)n =an.bn,paratogon.
3.Mostrequeumgrupotal(ab)2 =a2b2,entoGabeliano.
4.Ainterseodesubgruposumsubgrupo?Eaunio?
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Exemplos
Subgruposinfinitos(ordemzero)Ex:(R*,.),(Z,+)
SubgruposdeordemfinitaEx :(Z4,4 )
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Subgruposcclicos
Teor:SejaGumgrupoea G. H={an |nZ}omenorsubgrupo deGquecontema.
Def:Subgrupocclicogeradopora.H=
Teor:Umsubgrupodeumgrupocclicocclico.
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ExercciosSejaogrupo.
a.Determine,,o(a)eo(r).b.QuemoelementoneutrodeG?c.QualoinversodecadaelementodeG?d.Gcclico?e.Gabeliano?
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Exerccios
Ex:SejaGumgrupoabelianocomidentidade.ProvequeoconjuntosdoselementosxdeGquesatisfazemx2 = umsubgrupodeG.
Ex:ConsidereZ6 comasomamdulo6.Calculeossubgrupos,,,.
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Exerccios
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Exerccios
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Grupodepermutaes
SAtodasaspermutaes
S3gruposimtriconotriangulo
D3 grupodiedralnumtriangulo
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Exemplo
D4
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Exemplo
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Exemplo
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Orbitadeumelemento
DefinioSejaAumconjuntoe AS.Paraumelementofixoa A,defineseOa, ={n(a)|n Z}.
ExerccioSejaAumconjuntoe SA.Dadosa,b A,seOa, eOb,contemumelementoemcomum,entao Oa, =Ob,
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Cicloetransposio
DefinioCiclo
DefinioTransposio:ciclodetamanho2.
TeoremaQualquerpermutaodeumconjuntofinitodepelomenos2elementosumprodutodetransposies(1,2,3)=(1,3)(1,2)
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Exerccio
ExerccioProvequeonumerodetransposiesdecompostasgeramumapermutaonumconjuntofinitosempreparouimpar.ExerccioProvequeemSnonumerodetransposiesparesomesmonmeroqueasdetransposiesimpares.ExerccioParan>1,oconjuntodepermutaesparesformamumsubgrupodeSn ,denominadoAn,alterninggroupdenletras.
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Operaesequivalentes
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Definies
Homomorfismoentregrupos
Isomorfismoentregrupos