gravitaciÓn. problemasdatos: constante de gravitación universal g = 6,67×10-11n m2kg-2; masa da...
TRANSCRIPT
1
GRAVITACIÓN. PROBLEMAS
1. Un novo planeta extrasolar, o GJ436c, descuberto por un grupo de investigadores españois, representa un
paso mais na busca de planetas que puideran acoller vida por posuír características semellantes ás da Terra. O planeta ten un masa equivalente a cinco veces a da Terra, e tarda 5,2 días terrestres en dar unha volta entorno a súa estrela. Pola contra, aínda que se move coa mesma velocidade lineal que a Terra, o seu período de rotación é relativamente lento comparado co da Terra (4,2 días terrestres). Determinar:
a) O valor do campo gravitatorio na superficie do planeta. b) A distancia de separación entre o planeta e a súa estrela. c) A velocidade de escape para un obxecto situado na superficie do planeta. Datos: Campo gravitatorio na superficie terrestre: 9,8 Nkg
-1; Radio da Terra: 6,37.106 m;
Datos: Trotación
= 4,2 días
T orbital
= 5,2 días= 4,5.105
s.
a) O valor do campo gravitatorio na superficie do planeta é: 22
5
P
T
P
P
R
MG
R
MGg
Para deteminar o valor do radio do planeta teremos en conta que a velocidade lineal é
iqual para ambos planetas:
T
T
T
TP
P
T
T
P
P RR
T
RTR
T
R
T
R
T
Rv 2,4
1
2,4222
Polo que kg
NR
MG
R
MGg
P
T
P
T8,2
2,4
58,9
)2,4(
55
222
b) Para determinar a distancia entre o planeta e a súa estrela aplicamos a 2ªlei de Newton:
3
2
2
2
22
22
2
2
4
4)
2(
..
TGMR
T
R
R
MG
T
R
R
MGv
R
MG
R
mv
R
mMG
amFamF
PPPPP
cg
mRT
R
RTMGTMGTGMR T
T
TTTP 83
2
22
3
2
2
2
2
3
2
2
3
2
2
10.2,2
4
5.8,9
4
5
4
5
4
c) A velocidade de escape dende a superficie do planeta determínase por aplicación do
principio de conservación da enerxía, considerando que a enerxía total será nula nun
punto onde non exista atracción gravitatoria.
smR
R
MG
R
GMv
R
mGMmvEEE
T
T
T
P
Pescape
P
PPc
4
2
10.2,1
2,4
5.8,9.2
2,4
522
0
2
0
2
2. O MESSENGER é unha misión espacial non tripulada da NASA, lanzada rumbo a Mercurio en Agosto de
2004 e que entrou en órbita arredor dese planeta en Marzo de 2011. No seu percorrido enviou datos que permiten coñecer diferentes parámetros sobre Mercurio. Así, en Abril de 2011, atopándose a unha distancia de 10.124 km do centro de Mercurio, e o período de Messenger foi de 12 horas e 2 minutos. Con estes datos:
a) Calcula a velocidade orbital a que se estaría movendo Messenger. b) Determina a masa de Mercurio. c) Determina os valores da enerxía cinética e potencial da sonda espacial nese intre, tendo en conta que a
masa da sonda espacial é de 485 kg. Dato: Constante de Gravitación G = 6,67×10
-11N m
2kg
-2 Datos: T= 12 horas 2 min= 43320 s
R= 1,0124.107
m
a) Para determinar a velocidade orbital temos en conta que:
smv
T
Rv 3
7
10.468,1
43320
10.0124,122
b) Aplicando a 2ª lei de Newton:
kgG
RvMv
R
MG
R
mv
R
mMG
amFamF
mercurio
mercuriomerc
cg
23
2
2
2
210.27,3
..
c) Cálculo das enerxías cinética e potencial
JR
GMmE
Jmv
E
P
c
9
7
2311
8
22
10.04,1
10.0124,1
485.10.27,3.10.67,6
10.22,5
2
)1468(485
2
3. O satélite PLANCK forma parte da primeira misión europea dedicada ao estudo da orixe do Universo. O satélite PLANCK, cunha masa de 1800 kg, foi lanzado en Abril de 2009 para situarse nunha órbita a 1,5 millóns de kilómetros do centro da Terra. Supoñendo que a órbita que describe é circular, calcula:
a) A velocidade orbital do satélite e o tempo, en días, que tardará en dar unha volta entorno á Terra. b) A enerxía cinética, potencial e mecánica do satélite na órbita. c) A velocidade con que chegaría á Terra, se por algunha circunstancia o satélite perde a súa velocidade
orbital. Considerar desprezable a fricción ao entrar en contacto coa atmósfera Datos: Radio da Terra: 6,37.10
6 m. Masa da Terra: 5,98.10
24 kg. Constante de Gravitación G = 6,67×10
-11N m
2kg
-2.
a) Para determinar a velocidade orbital temos en conta que:
sm
R
GMv
vR
MG
R
mv
R
mMGamFamF TT
cg
516
10.5,1
10.98,5.10.67,6
..
9
2411
2
2
2
A determinación do período faise a partir da velocidade orbital:
díassv
RT
T
Rv 21110.83,1
516
10.5,1.2226
9
3
b) Cálculo das enerxías cinética e potencial
JR
GMmE
Jmv
E
P
c
8
9
2411
8
22
10.8,4
10.5,1
1800.10.98,5.10.67,6
10.4,2
2
)516(1800
2
c) Aplicamos o principio de conservación da enerxía:
smv
mv
R
MmG
mv
EEEE
T
TerraPcórbitaPc
11180
10.12,1
10.37,6
1800.10.98,5.10.67,610.8,410.4,2
2
)(
2
)10.8,4(10.4,2
)()(
11
6
2411
88
2
2
88
4. En 2012, a Universidade de Vigo e o Instituto Nacional de Técnica Aeroespacial, en colaboración coa ESA
(Axencia Espacial Europea) puxeron en órbita o primeiro satélite galego, o XATCOBEO, para fins educativos. Este satélite, cunha masa de aproximadamente 1 kg, orbita a unha altura máxima (apoxeo) de 1500 km da superficie terrestre, e a unha mínima (perixeo) de 300 km. Determina:
a) A velocidade media orbital, supoñendo que o radio medio orbital e a semisuma do perixeo e apoxeo. b) A enerxía mecánica do satélite no apoxeo. c) Xustificar cómo variará a velocidade areolar no seu percorrido orbital.
Datos: Radio da Terra: 6,37.106 m; Masa da Terra: 5,98.10
24 kg. Constante de Gravitación G = 6,67×10
-11N m
2kg
-2.
a) Para determinar a velocidade media orbital temos en
conta que:
sm
R
GMv
mkmalRadioorbit
vR
MG
R
mv
R
mMGamFamF TT
cg
7407
10.27,7
10.98,5.10.67,6
10.27,77270
2
12740)3001500(
..
6
2411
6
2
2
2
b) A enerxía mecánica no apoxeo e a suma das súas enerxías cinética e potencial
JR
GMmET
7
6
2411
10.5,2
10).5,137,6(2
1.10.98,5.10.67,6
2
c) A segunda lei de Kepler dinos que no movemento dun satélite respecto do seu
planeta, a velocidade areolar é constante.
m
L
dt
dAv
areolar2
Por tratarse dun campo de forzas centrais, o momento da forza será nulo, co que o
momento angular permanece constante. Por este motivo, a velocidade arerolar non
cambia.
4
5. Un satélite de masa 200 kg sitúase nunha órbita circular sobre o ecuador terrestre, de tal forma que se axusta o radio da órbita para que dea unha volta á Terra cada 24 horas. Así conséguese que sempre se atope sobre o mesmo punto respecto da Terra (satélite xeoestacionario).
a) ¿Cal debe ser o radio da súa órbita? b) ¿Canta enerxía se precisa para situalo na órbita? c) ¿Cal é a velocidade que se lle debería comunicar dende a órbita para facer que escape da atracción
gravitatoria? Datos: Constante de Gravitación Universal G = 6,67×10
-11N m
2kg
-2; Masa da Terra: 5,96×1024
kg; Radio da Terra: 6,37.106 m
Datos: T= 24 h= 86400 s
a) Para determinar o radio da órbita temos en conta:
mTGM
RT
R
R
MGv
R
MG
R
mv
R
mMG
amFamF
TTTT
cg
73
2
2
22
2
210.2,4
4
)2
(
..
b) A enerxía necesaria para poñelo en órbita
JE
RRGMm
R
MmG
R
MmGE
R
MmG
R
MmGE
EEEE
c
TT
c
T
c
órbitaPcTerraPc
7
76
2411
10.3,5
)
10.2,4
1
10.37,6
1(10.98,5.10.67,6)
11(
2
2
)(
)()(
c) A velocidade de escape dende a superficie da Terra determínase por aplicación do
principio de conservación da enerxía, considerando que a enerxía total será nula
nun punto onde non exista atracción gravitatoria.
sm
R
GMv
mv
R
mGMEEEE
Tescape
eTcórbitaPc
3
7
2411
2
10.1,3
10.2,4
10.98,5.10.67,6
0
22
0)(
5
6. O conxunto de satélites GPS (Global Positioning System) describen órbitas circulares arredor da Terra
permitindo que poidamos determinar a posición onde nos atopamos cunha gran precisión. Todos os satélites GPS están a mesma altura e dan dúas voltas á Terra cada 24 horas. Calcular:
a) A altura da súa órbita sobre a superficie da Terra e a velocidade angular dun dos satélites. b) A enerxía mecánica e a velocidade lineal que tería un destes satélites na súa órbita. c) A nova velocidade e o tempo que tardaría en dar unha volta á Terra se o facemos orbitar ao doble de
altura. Datos: Constante de Gravitación Universal G = 6,67×10
-11N m
2kg
-2; Masa da Terra: 5,98×1024
kg; Radio da Terra: 6,37.106m;
Masa do satélite: 150 kg.
Datos: T= 12 h= 43200 s
a) Para determinar o radio da órbita temos en conta:
mRRh
mTGM
RT
R
R
MGv
R
MG
R
mv
R
mMG
amFamF
T
TTTT
cg
7
73
2
2
22
2
2
10.02,2
10.66,2
4
)2
(
..
A velocidade angular:
14
10.45,1
43200
22 sT
b) A enerxía mecánica na órbita é a suma das súas enerxías cinética e potencial
JR
GMmET
9
7
2411
10.12,1
10.66,2.2
150.10.98,5.10.67,6
2
A velocidade lineal obtense a partires da velocidade angular
smRv 386010.66,2.10.45,1.
74
c) Partindo da definición de velocidade orbital:
sm
hRR
GMv
vR
MG
R
mv
R
mMGamFamF
T
T
TTcg
2920
)2(
10.98,5.10.67,6
..
2411
2
2
2
O tempo que tardaría en dar unha volta sería
.2810.00,122
5 hsv
RT
T
Rv
6
7. A NASA lanzou en 2010 un satélite xeoestacionario (que xira coa mesma velocidade angular que a Terra), o
GOES-P (Geostationary Operational Environmental Satellite), que suministrará diariamente información de tipo meteorolóxico e dará conta de actividades solares que poden afectar ao ambiente terrestre. GOES-P ten una masa de 3,1.103 kg e describe una órbita circular de radio 3,6. 107 m. Con estes datos:
a) Calcula a velocidade areolar do satélite. b) Supoñendo que o satélite describe a súa órbita no plano ecuatorial da Terra, determinar o módulo do
momento angular respecto dos polos da Terra. c) Indica os valores da enerxía cinética e potencial do satélite na órbita. Datos: Período de rotación terrestre= 24 h. Radio medio terrestre:. Masa da Terra: 5,98.10
24 kg. Constante de Gravitación G
= 6,67×10-11
N m2kg
-2.
Datos: T= 24 h= 86400 s
a) Para determinar a velocidade areolar supoñemos que o vector
de posición é perpendicular á velocidade, polo que:
sm
T
RRTRv
Rv
m
Rvm
m
L
dt
dAv
areolar
areolar
210
2722
2
10.71,4
86400
)10.6,3.(.
2
).2
(
2
.
2
.
2
..
2
b) Para determinar o valor do momento angular:
smkg
mvrsenmvrLprL
smkg
R
GMmmvp
sm
R
GMv
mRRr T
2
1477
73
7262722
.10.81,310.03,1.10.7,3...
.10.03,13330.10.1,3
3330
10.66,3)10.37,6()10.6,3(
c) Cálculo das enerxías cinética e potencial
JR
GMmE
Jmv
E
P
c
10
7
32411
10
232
10.43,3
10.6,3
10.1,3.10.98,5.10.67,6
10.72,1
2
)3330(10.1,3
2
7
8. A 760 km da superficie terrestre orbita, dende 2009, o satélite franco-español SMOS (Soil Moisture and
Ocean Salinity), que forma parte dunha misión da Axencia Espacial Europea (ESA) para recoller información sobre o planeta. A masa do satélite é de 683 kg.
a) Calcular a enerxía cinética do satélite e a súa enerxía mecánica total. b) Calcular o módulo do momento angular do satélite respecto do centro da Terra. c) Xustificar por qué a velocidade areolar do satélite permanece constante. Datos: Período de rotación terrestre= 24 h. Radio medio terrestre: 6,37.10
6 m. Masa da Terra: 5,98.10
24 kg. Constante de
Gravitación G = 6,67×10-11
N m2kg
-2.
a) Cálculo da enerxía cinética e da enerxía total
JEEE
JR
GMmE
Jmv
E
sm
R
GMv
PcT
P
c
10
10
66
2411
10
22
6
2411
10.91,1
10.82,3
)10.76,010.37,6(
683.10.98,5.10.67,6
10.91,1
2
7479.683
2
7479
10.13,7
10.98,5.10.67,6
b) Cálculo do módulo do momento angular:
smkg
vmrsenvmrLprL
smkg
mvp
smv
mR
2
1366
6
666
.10.64,310.1,5.10.13,7.....
.10.11,57479.683
7479
10.13,710.76,010.37,6
c) A segunda lei de Kepler dinos que no movemento dun satélite respecto do seu
planeta, a velocidade areolar é constante.
Por tratarse dun campo de forzas centrais (r e F son paralelas), o momento da
forza será nulo, co que o momento angular permanece constante. Por este motivo, a
velocidade arerolar non cambia.
.
2
.0
0
ctem
L
dt
dAv
cteLdt
LdM
FxrM
areolar
F
F
8
9. Sabendo que o período de revolución lunar é de 27,32 días e que o radio da órbita da Lúa é 3,84.108 m,
calcular: a) A constante de gravitación universal, G. b) A enerxía cinética e potencial da Lúa respecto da Terra. c) Se un satélite se sitúa entre a Terra e a Lúa a unha distancia da Terra de RL/5. ¿Cal é a relación entre as
forzas que exercen a Terra e a Lúa sobre el?. Datos: Radio medio terrestre: 6,37.10
6 m. Masa da Terra: 5,98.10
24 kg. Radio da Lúa: 1,74.10
6 m. Masa da Lúa: 7,35.10
22 kg.
Dato: 27,32 días= 2,36. 106 s
a) Cálculo da constante de Gravitación Universal
2
211
8
24
2
6
8
8
24
6
8
.10.71,6
10.84,3
10.98,5.)
10.36,2
10.84,3.2(
10.84,3
10.98,5.
10.36,2
10.84,3.22.
kgmNG
G
G
R
GMv
T
RRv
b) Cálculo da enerxía cinética e potencial
JR
GMmE
Jmv
E
sm
R
GMv
P
c
28
8
222411
28
2222
8
2411
10.68,7
10.84,3
10.35,7.10.98,5.10.71,6
10.84,3
2
1022.10.35,7
2
1022
10.84,3
10.98,5.10.71,6
c) Relación de Forzas
7
2
6
22
2
6
824
2
2
2
2
22
22
10.9,9
)5
10.74,1.(10.35,7
)5
10.74,110.84,3.(10.98,5
)5
.(
)5
.(
)5
(
)5
(
)5
(
)5
(
LL
LT
L
L
L
T
L
T
L
L
L
LL
L
T
T
TT
RM
RRM
RR
mGM
R
mGM
F
F
RR
mGM
r
mGMF
R
mGM
r
mGMF
9
10. Fobos é un satélite de Marte que xira nunha órbita circular de 9380 km de radio, respecto ao centro do
planeta, cun periodo de revolución de 7,65 horas. Outro satélite de Marte, Deimos, xira nunha órbita de 23460 km de radio. Determine:
a) A masa de Marte e o período de revolución do satélite Deimos. b) A enerxía mecánica do satélite Deimos. c) O módulo do momento angular de Deimos respecto ao centro de Marte. Datos: Constante de Gravitación G = 6,67×10
-11N m
2kg
-2; Masa de Deimos = 2,4.10
15 kg
a) Cálculo da masa de Marte.
kgMMGT
R
R
GM
T
R
R
GM
T
RRv
23
211
362
2
32
2
22
10.44,6
)27540(10.67,6
)10.38,9.(444
2.
Cálculo do período de Deimos
hsGM
RT
R
GM
T
R
R
GM
T
RRv
26,30108900
10.44,6.10.67,6
)10.46,23.(444
2.
2311
36232
2
22
b) Cálculo da enerxía mecánica de Deimos
JR
GMmEEE
R
GMmE
R
GMmvE
PcT
P
c
21
6
152311
2
10.20,2
10.46,23.2
10.4,2.10.44,6.10.67,6
2
22
c) Cálculo do módulo do momento angular:
smkg
vmrsenvmrLprL
smkg
mvp
sm
R
GMv
mR
2
25186
1815
6
2311
6
.10.6,710.2,3.10.46,23.....
.10.2,31353.10.4,2
1353
10.46,23
10.44,6.10.67,6
10.46,23
10
11. Nun planeta esférico coa mesma densidade media que a Terra e cun radio que é a metade do terrestre: a) ¿Cal é a aceleración da gravidade na superficie? b) ¿Cal sería o período da órbita circular dun satélite situado a unha altura de 400 km respecto da superficie
do planeta? c) ¿Cómo sería a variación do seu campo gravitatorio en profundidade? Datos: Radio de la Terra RT=6370 km. Aceleración da gravidade na superficie da Terra g=9,8 m s
-2
a) Cálculo da aceleración da gravidade
22
22
33
3
33
9,4
2
8,9
2)
2(
8
83
4)
2(
3
4
3
4
)2
(3
43
4
sm
R
GM
R
MG
R
GMg
MM
R
M
R
M
R
M
V
MTerradensidade
R
M
R
M
V
Mplanetadensidade
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
b) Cálculo do período da órbita dun satélite a 400 km da superficie.
hsT
R
R
R
R
GM
R
GM
RT
R
GM
T
R
R
GM
T
RRv
TT
T
54,15550
)10.37,6.(8,9
)10.77,6.(4
.8,9
4.
444
2.
26
362
2
32
2
23232
2
22
c) Variación de g en profundidade
Si consideramos o planeta como unha esfera homoxénea
de densidade constante, podemos deducir que o valor de g
varía proporcionalmente con r, polo que o máximo valor
será na superficie.
PPPP
P
PP
R
rg
RR
rGM
R
rGM
r
R
rMG
r
GMg
R
rMM
r
M
R
M
V
Md
...
.
'
.'
3
4
'
3
4
0232
3
3
2
3
3
33
11
12. A partir dos seguintes datos do Sistema Solar
Planetas Distancia media al Sol (UA) Período orbital (anos) Rplaneta/RT Masa/MT Mercurio 0,387 0,240 8 0,386 0,055 Venus 0,723 0,615 2 0,949 0,815 Terra 1 1,000 1 1 Marte 1,52 1,881 0,532 0,107 Xúpiter 5,20 11,86 11,2 318 Saturno 9,54 29,45 9,45 95 Urano 19,2 84,02 4,01 14 Neptuno 30,1 164,8 3,88 17
a) Calcular o valor da constante da terceira lei de Kepler para Marte, Saturno e Neptuno. b) Calcula a masa do Sol c) Calcula a aceleración da gravidade na superficie de Venus. Datos: 1UA=1,496.10
11m; Constante de Gravitación Universal G = 6,67×10
-11N m
2kg
-2.Campo gravitatorio na superficie da
Tierra: 9,8 NKg-1
a) 3ª Lei de Kepler: T
2αR3
3
219
3
22
3
2
3
2
3
2
3
2
3
2
3
2
3
2
3
2
3
2
2
3
2
2
22
10.97,20008,14
9959,0
1,30
8,164
9989,0
54,9
45,29
0075,1
52,1
881,1
44
2.
ms
UAanos
GMcte
UAanos
R
TNeptuno
UAanos
R
TSaturno
UAanos
R
TMarte
GMcte
R
T
R
GM
T
R
R
GM
T
RRv
b) Cálculo da masa do Sol
kgG
M
ms
GMcte
Sol
30
19
2
3
219
2
10.99,1
10.97,2.
4
10.97,24
c) Aceleración da gravidade en Venus
2222
9,8905,0.8,9905,0.
)949,0(
815,0.
sm
R
GM
R
MG
R
GMg
T
T
T
T
Venus
Venus
12
13. A ISS (International Space Station) é o resultado da colaboración internacional para construír e manter unha plataforma de investigación con presenza humana de larga duración no espazo. Se a masa da ISS é de 3,7.105 kg e describe unha órbita circular arredor da Terra a unha distancia de 3,59.105 m da súa superficie, calcular:
a) A velocidade orbital da ISS e o tempo que tarda en dar unha volta arredor da Terra. b) A enerxía mecánica da ISS. c) O peso dun astronauta de 80 kg de masa que se atope na ISS. Datos: Constante de Gravitación Universal G = 6,67×10
-11N m
2kg
-2.Masa da Terra MT= 5,98×10
24 kg; Radio da Terra RT=
6370 km
a) Cálculo da velocidade orbital e do período.
hsv
RT
T
RRv
sm
R
GMv
vR
MG
R
mv
R
mMGamFamF
T
TTcg
52,15490
7700
)10.59,310.37,6(222.
7700
)10.59,310.37,6(
10.98,5.10.67,6
..
56
56
2411
2
2
2
b) Cálculo da enerxía mecánica
JR
GMmEEE
R
GMmE
R
GMmvE
PcT
P
c
13
6
52411
2
10.09,1
10.729,6.2
10.7,310.98,5.10.67,6
2
22
c) Peso do astronauta
NR
GMmgmP T
705
)10.729,6(
10.98,5.10.67,680.
26
2411
2
13
14. Unha masa de 8kg está situada na orixe de coordenadas. Calcular: a) A intensidade e o potencial do campo gravitatorio no punto (3,2) (S.I). b) A forza con que atraería a unha masa de 2 kg e a enerxía almacenada por dita masa. c) O traballo realizado pola forza gravitatoria ao trasladar a masa de 2 kg dende o infinito ata o punto (3,2). Dato: Constante de Gravitación Universal G = 6,67×10
-11N m
2kg
-2.
a) Intensidade en (2,3)
)(10.27,210.41,3
13
23.
13
810.67,6
49
23.
)49(
810.67,6
1111
11
2
11
2
KgNji
jijiu
r
MGg r
Potencial gravitatorio en (3,2)
KgJ
r
MGV 1011
10.48,1
13
810.67,6
b) Forza sobre unha masa de 2 kg
)(10.54,410.83,6
)10.27,210.44,4.(2)(.
1111
1110
2
Nji
jiur
MGmgmF r
c) Traballo para traladar a masa dende o infinito ata o
punto (3,2).
JmVmVVmVEW PPP
P 1111
10.96,22).10.48,1(.).(.
O traballo é positivo, o que representa que son as forzas do campo gravitatorio as que realizan o
traballo.
15. Dúas partículas de masas M1 y M2 = 9 M1 están separadas unha distancia d =3 m. No punto P, situado entre
elas, o campo gravitatorio total creado por estas partículas é nulo.
a) Calcula a distancia x entre P y M1.
b) Calcula o valor do potencial gravitatorio no punto P en función de M1.
c) Explica o concepto de campo gravitatorio creado por unha ou varias partículas.
Dato: Constante de Gravitación Universal G = 6,67×10-11
N m2kg
-2.
a) Distancia entre P y M1
.
mx
ix
Mi
x
M
ur
MGu
r
MG
ggg
rr
P
75,0
0))(
)3(
9
10.67,6(10.67,6
0)(
00
2
111
2
111
22
2
2
12
1
1
21
14
b) Potencial en P
KgJM
M
MG
MG
r
MG
r
MGVVV
1
10111
11
2
2
1
1
21
10.56,3
2
6
10.67,6
)
25,2
9
(
75,0
)(
c) Campo gravitatorio creado por unha ou varias partículas.
Denomínase tamén intensidade de campo gravitatorio e representa a forza
gravitatoria exercida por unha masa M sobre a unidade de masa colocada nese
punto.
)(
2 kgNu
r
MG
m
Fg r
Onde ur
representa un vector unitario con dirección radial e sentido dende o
centro da masa que crea o campo, M, cara o punto P. O signo negativo representa o
carácter atractivo do campo gravitatorio.
Cando son varias as partículas que están producindo un campo de atracción
gravitatorio en P, o campo resultante, por aplicación do principio de superposición,
será a suma de cada un dos campos individuais creados en ese punto por cada
unha das masas.
)()(...
1
2
1
321 kgNu
r
MGgggggg
r
n
i i
in
i
inP
15
16. Un obxecto de masa m1 está situado na orixe de coordenadas, e un segundo obxecto está no punto coordenadas (5,0) m. Considerando unicamente a interacción gravitatoria e supoñendo que son masas puntuais, calcula:
a) A relación entre as masas m1/m2 se o campo gravitatorio no punto (2, 0) m é nulo. b) O módulo, dirección e sentido do momento angular da masa m2 con respecto da orixe de coordenadas se
m2 = 100 kg e a súa velocidade é (0, 100) ms-1. c) O valor do potencial gravitatorio no punto (2,2). Dato: Constante de Gravitación Universal G = 6,67×10
-11N m
2kg
-2.
a) Relación entre masas.
9
4
0))(
)3(
10.67,6(
2
10.67,6
0)(
00
2
1
2
211
2
111
22
2
2
12
1
1
21
M
M
iM
iM
ur
MGu
r
MG
ggg
rr
P
b) Momento angular
).
(10.5105
5
.10510100.100
2
44
2
44
2
smkg
kjiprL
mir
smkg
jijjvMp
a) Potencial gravitatorio en (2,2)
KgJV
r
MG
r
MGVVV
9
1111
2
2
1
1
21
10.67,2
)
13
10010.67,6(
8
4,4410.67,6)(
16
17. Sitúanse catro masas puntuais idénticas, de 5 kg nos vértices dun cadrado de lado 1 m. Calcular: a) O campo gravitatorio creado polas catro masas no centro de cada lado do cadrado. b) O potencial gravitatorio creado polas catro masas no centro do cadrado. c) O traballo necesario para levar a unidade de masa dende o centro do cadrado ata un punto onde non
existise atracción gravitatoria. Explica o significado físico deste resultado Dato: Constante de Gravitación Universal G = 6,67×10
-11N m
2kg
-2.
a) Cálculo do campo gravitatorio no centro dun lado.
Dacordo co esquema da figura, os campos gravitatorios
creados polas masas 3 e 4 anúlanse por ser de sentido
contrario.
)(10.77,4
)(10.77,4)5,05,0(10.38,2
5,01
5,0
)5,01(
510.67,6(
5,01
5,0
)5,01(
510.67,6
)(
10
1010
22222
11
22222
11
22
2
2
12
1
1
214321
kgNg
kgNijiji
jiji
ur
MGu
r
MGggggggg
Pr
P
Pr
P
PPPPPPP
b) Cálculo do campo gravitatorio no centro do cadrado. Dado
que todas as masas son iguais e están a mesma distancia, o
campo no centro do cadrado é nulo.
04321
OOOOO ggggg
c) Traballo para levar a unidade de masa dende O ata o infinito
JmVW
KgJV
Gr
MG
r
MG
r
MG
r
MGVVVVV
mVmVVmVEW
OO
O
OOOO
OOOOO
OOPO
99
911
22
4
4
3
3
2
2
1
1
4321
10.88,11.10.88,1.
10.88,1)
5,0
510.67,6(4
5,05,0
5(4
.).(.
O traballo é negativo, o que representa que é un traballo realizado polas forzas externas..
17
18. Unha masa m (1000 kg) móvese no campo gravitatorio creado por duas masas iguais, M1 e M2 (M1 = M2 = 1,0.1024 kg), situadas nos puntos (-4,0) e (4,0). Cando m se atopa no punto P (0,5) m ten unha velocidade de 200 ms-1. Calcular:
a) O módulo, dirección e sentido da forza que actúa sobre m en P. b) O módulo da velocidade de m cando pasa polo punto B. c) ¿Qué tipo de movemento describirá a masa m a partires de B? Dato:: Constante de Gravitación Universal G = 6,67×10
-11N m
2kg
-2.
a) Cálculo da forza en P.
)(10.54,2)10.54,2.(1000
)(10.54,2)5454(10.54,2
)
54
54
)54(
10.0,110.67,6(
54
54
)54(
10.0,110.67,6
)(
)(.
1311
1111
22222
24
11
22222
24
11
22
2
2
12
1
1
21
21
NjjF
kgNjjiji
jiji
ur
MGu
r
MGggg
ggmgmF
P
Pr
P
Pr
P
PPP
PPPP
b) Velocidade en B. Aplicando o principio de conservación da enerxía:
smv
v
mv
RRRRkgmkgMM
R
mMG
R
mMG
mv
R
mMG
R
mMG
EEEE
BBPP
BBPP
BPcPPc
6
16
2
16
24
11
224
11
121
24
21
2
2
1
1
2
2
2
1
1
10.0,5
10.35,3
2
100010.08,2
4
1000.10.0,110.67,6.2
241
1000.10.0,110.67,6.2
4;41;1000;10.0,1
);(
2
)()(
c) O movemento que describirá m a
partir de B
A forza sobre a masa de 1000 kg varía
de xeito proporcional ó
desprazamento producindo un MHS.
Hai unha transformación de enerxía
potencial (máxima en P) en cinética
(máxima en B) que leva a un movemento vibratorio harmónico entre P e o seu
simétrico P’.
18
GRAVITACIÓN. CUESTIONS
1. Un planeta xira arredor do Sol nunha traxectoria elíptica. Cal das seguintes magnitudes é maior no perihelio (distancia mais próxima ao Sol): a)O momento angular; b) O momento lineal; c) A enerxía mecánica.
SOL. b
Aplicando a segunda lei de Kepler (velocidade areolar
constante), un planeta barre áreas iguais en tempos iguais,
polo que a velocidade no perihelio debe ser maior que no
afelio.
Por esta razón, o momento lineal (p = m.v ) será maior no
perihelio.
Tanto a enerxía mecánica como o momento angular son constantes.
2. Sabendo que a aceleración da gravedade nun movemento de caída libre na superficie da Lúa é
1/6 da aceleración da gravedade na superficie da Terra e que o radio da Lúa é aproximadamente 0, 27 RT, a relación entre as densidades medias da Lúa e da Terra será: a) dL/dT= 50/81; b) dL/dT= 8/200; c) dL/dT= 1/6
SOL. a
81
50
)27,0(
.
6
27,0
)27,0(
)27,0(
3
4
3
4
6
27,027,06;;
3
4
3
32
3
3
3
3
3
3
2
2
22
2
2
3
T
T
TT
TL
T
T
T
L
T
T
L
L
T
L
T
L
T
T
T
L
T
T
T
T
L
L
T
L
R
R
RM
RM
R
M
R
M
R
M
R
M
d
d
M
M
R
GM
R
GM
g
g
R
GM
R
GM
g
g
R
M
V
Md
3. Sabendo que a aceleración da gravedade nun movemento de caída libre na superficie de Marte
é 0,38 veces a gravedade na superficie da Terra e que o radio de Marte é aproximadamente 0, 53 RT, a relación entre as velocidades de escape dun obxecto dende as súas respectivas superficies será: a) veT/veM= 4,96; b) veT/veM= 2,23; c) veT/veM= 0,45
SOL. b
Tendo en conta a expresión da velocidade de escape.
23,2
53,0.38,0.2
.2
.2
.2
.220
TT
TT
MM
TT
eM
eT
Pe
Rg
Rg
Rg
Rg
v
v
RgR
GMv
19
4. Os cometas describen órbitas elípticas moi alongadas arredor do Sol, de maneira que a distancia ao Sol varía moito. Cal das seguintes magnitudes é maior no punto mais alonxado ao Sol: a)Enerxía cinética; b) Enerxía potencial; c) Momento angular.
SOL. b
A enerxía potencial (EP =−GMm
r) aumenta coa distancia xa que
canto mais grande sexa r, maior será o valor desta. Aínda
que o seu valor absoluto é menor, por estar afectada polo
carácter negativo, a enerxía potencial é maior nos puntos
mais alonxados.
Así, no punto B a enerxía potencial gravitatoria é maior que
en A.
5. A seguinte táboa relaciona período e radio das órbitas de tres satélites xirando arredor do
mesmo astro. En cal deles os datos son incorrectos
Satélite A B C__ T (anos) 0,44 1,00 3,86 R (·10
5 km) 0,88 2,08 3,74
a)En A; b) en B; c) en C
SOL. b
Aplicando a 3ª lei de Kepler, débese manter unha relación de proporcionalidade entre T2
e
R3
.
Así, esta relación é de 0,284 (en anos2
/(·105
km)3
) para A e de 0,285 para C. En cambio,
esta relación é de 0,111 para B, polo que os seus datos deben ser incorrectos.
6. Os puntos de Lagrange son puntos onde calquera corpo de masa pequena pode permanecer indefinidamente “en repouso” entre os campos gravitatorios de gran masa, como poden ser a Terra e a Lúa. ¿Onde se atopará este punto? a)No punto medio entre Terra e Lúa; b) Mais cerca da Terra; c) Mais cerca da Lúa.
SOL. c
Tendo en conta que nese punto o valor do campo gravitatorio (g = −G.M
r2u r) debe anularse.
O campo gravitatorio terrestre debe ser igual ao da Lúa. Como a masa da Terra é moito
maior que a da Lúa, este punto estará mais cerca da Lúa que da Terra.
7. Se a Lúa reducise a súa masa á metade, a “Lúa chea” veríase: a)Con mais frecuencia que agora; b) Con menos frecuencia; c) Coa mesma frecuencia.
SOL. c
A partir da terceira lei de Kepler podemos chegar a unha expresión que relaciona T2
e R3
.
A expresión é: 𝑇2 =4π2R3
GM
O período non depende da masa da Lúa. Tan só dependería da masa da Terra, polo que o
non modificarse o período, tampouco o fai a frecuencia. A “Lúa chea” seguiríase vendo
coa mesma frecuencia.
20
8. ¿Cómo inflúe a dirección en que se lanza un obxecto na súa velocidade de escape? a)Non inflúe; b) A velocidade de escape é maior canto maior sexa ángulo de lanzamento; c) A
velocidade de escape é menor canto menor sexa o ángulo de lanzamento.
SOL. a
Na velocidade de escape: v= 2G.M
r non inflúe a dirección, polo que será a mesma
independentemente do ángulo de lanzamento.
9. ¿A qué distancia fóra da superficie da Terra o valor do campo gravitatorio é igual ó seu valor nun punto do interior da Terra equidistante do centro e da superficie?. RT = 6400 km a)6400 km; b) 9051 km; c)18100 km.
SOL.:b
Calculando "g" nun punto equidistante entre o centro da Terra e a superficie (r= 3200
km); e comparando co valor pedido no exterior resultará.
kmRRR
R
R
Rg
R
Rggg
R
Rgg
R
Rg
R
GMg
ext
Text
T
Text
Text
T
ext
TText
90513200
..
.
.
2
2
int
02
2
0int
int
0int
2
2
02
10. ¿A qué altitude, o peso dun astronauta se reduce a metade?
a)Cando h= 0,5 RT; b) Cando h=2 RT ; c) Cando h= 0,41 RT
SOL. c
Tendo en conta a expresión para o campo gravitatorio terrestre en puntos alonxados da
súa superficie:
TTTTTT
T
T
T
RhhRRhRRR
GMm
hR
GMm
PP
R
GMmmgP
hR
GMmmgP
41,02)(2
2)(
;
2
)(
22
2
2
0
200
2
21
11. Xustificar cal das seguintes afirmacións e verdadeira. a) Un satélite de masa 2 m ten o doble de velocidade de escape que outro de masa m. b) Se dous planetas teñen radios diferentes, pero a mesma densidade, posúen a mesma
velocidade de escape. c) Un satélite terá a metade da velocidade de escape nun planeta de radio 4R que noutro de
radio R.
SOL. c
A partir da ecuación da velocidade de escape: v= 2G.M
r pódese deducir que si r=4R, a
velocidade de escape será a metade que no planeta de radio r= R.
12. ¿Como varía g o profundizar cara o interior da Terra? a) Aumenta; b) Diminúe; c)Non varía.
SOL. b
Se supoñemos que a Terra é unha esfera maciza de densidade constante, podemos calcula-
la masa (M') que nun punto do seu interior é causante da atracción gravitatoria:
TTT
T
T
T
T
T
T
TT
T
T
T
R
Rg
RR
RGM
R
RGM
R
MR
RG
R
GMg
MR
RM
R
M
R
M
V
M
V
Md
.'
'
3
4
'
3
4'
'
0232
3
3
2
3
3
33
Obténse unha variación lineal de g con R. A medida que T diminúe (ó ir cara o interior da
Terra) g tamén diminúe.
O valor máximo de g obtense cando R= RT
.
13. As órbitas planetarias son planas porque: a) Os planetas teñen inercia; b) Non varía o momento angular ó ser unha forza central; c) Non
varía o momento de inercia dos planetas no seu percorrido.
SOL.: b
Se temos en conta que o campo gravitatorio é un campo de forzas centrais no que Fe r son
paralelos, esto suporá que o momento da forza será 0 e polo tanto: dL/dt =0.
O momento cinético L debe ser constante en módulo (L=I.w=constante), e en dirección e
sentido o que implica a existencia de órbitas planas.
22
14. Unha partícula móvese dentro dun campo de forzas centrais. O seu momento angular respecto do centro de forzas: a)Aumenta indefinidadamente; b) É cero; c) Permanece constante.
SOL. c
Nun campo de forzas centrais, a forza é de tipo radial, é dicir F e r teñen a mesma
dirección, polo que o seu producto vectorial será nulo (vectores paralelos).
Estamos, pois, en condicións de aplica-lo principio de conservación do momento angular ó
cinético. Se o momento da forza é nulo, o momento angular permanecerá constante.
MF
= r x F= 0
MF
= dL/dt = 0
Polo tanto L= constante
15. Se por unha causa interna, a Terra sufrira un colapso gravitatorio e reducira o seu radio a metade, mantendo constante a súa masa. ¿Como sería o período de revolución arredor do Sol? a)Igual; b) Menor; c) Maior
SOL. a
Dacordo coa terceira lei de Kepler, T2
e proporcional a R3
, resultando independente da
distribución das masas durante a rotación, polo que dito período non se verá modificado.
GM
RT
T
R
R
GM
T
R
R
GM
T
RRv
R
GMvv
R
MG
R
mv
R
mMG
amFamF
TT
cg
32
2
22
2
2
2
4422.
..