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Graficación
Principios de graficación
En algunas oportunidades tenemos que graficar una función que es casi igual a las que ya sabemos graficar, llamadas básicas, sólo que estas presentan elementos adicionales en su estructura o ecuación, a continuación presentaremos a partir de una tabla, procedimientos o técnicas para graficarlas.
)(xfy =
Traslaciones
2xy =
22 += xy
Si un numero real se suma al miembro derecho de una función , la grafica de la nueva función es la grafica de trasladada verticalmente hacia arriba (si ) o hacia abajo ( si ).
c0>c 0>cfcxfy += )(
cxfy += )(Traslación vertical hacia abajo
Traslaciones verticales
cxfy −= )(Traslaciones verticales hacia abajo
2xy =32 −= xy
2xy =( )22−= xy
Si un numero real se suma al argumento de una función , la grafica de la nueva función Es la grafica de trasladada horizontalmente hacia la izquierda (si ) o hacia la derecha ( si ).
fxc ( ) ( )cxfxg +=0>c 0<cf
Traslaciones Horizontales
Traslación horizontal hacia la derecha
traslaciones horizontales
2xy =( )23+= xy
Traslación horizontal hacia la izquierda
Compresiones y alargamientos Cuando el miembro derecho de una función se multiplica por un numero positivo , la grafica de la nueva función es una versión comprimida verticalmente ( ) o alargada ( ) de la grafica
( )xfy = k( )xkfy = 10 << k 1>k
( )xfy =
( ) xxf =( ) xxf 3=
Compresiones y alargamientos Cuando el miembro derecho de una función se multiplica por un numero positivo , la grafica de la nueva función es una versión comprimida verticalmente ( ) o alargada ( ) de la grafica
( )xfy = k( )xkfy = 10 << k 1>k
( )xfy =
( ) xxf = ( ) xxf21
=
Compresión horizontal
( ) xxf =
( ) xxf 2=
( ) xxf 2=
Reflexiones
Cuando el miembro derecho de una función se multiplica por , la grafica de la nueva función es la reflexión respecto al eje de la grafica
( )xfy =( )xfy −= ( )xfy =
1−x
( ) 2xxf −=Grafique la función
-2 4 -4
-1 1 -1
0 0 0
1 1 -1
2 4 -4
2xy = 2xy −=x
( )1,1
( )4,2
( )4,2 −
( )1,1 −( )1,1−−
( )4,2 −−
Reflexión respecto al eje . x
( ) xxf −=
Cuando se conoce la grafica de la función , la grafica de la nueva función es la reflexión respecto al eje de la grafica de la función ( )xfy =
( )xfy = ( )xfy −=y
Reflexión respecto al eje . y
( ) xxf =
Efecto del valor absoluto ( )( )
<−≥
=0,
0,)(
xsixfxsixf
xf
( ) xxf =
xy =xy −=
y
x
Efecto del valor absoluto
( ) 12 −= xxf
y
x
( ) 12 −= xxf
( )
<−−≥−
=0,1
0,1)( 2
2
xsixxsix
xf
y
x
( ) ( )213 −−= xxf( )
<−−≥−
=0,1
0,1)( 2
2
xsixxsix
xf
( ) ( )21−= xxf
( ) ( )21−−= xxf
y
x
y
x
( ) ( )213 −−= xxf
y
x
( ) ( )213 −−= xxf
( )xxf 21log)( 3 −=Determine el dominio de
Como el logaritmo es definido por los números reales positivos,
21021 <⇒>− xx
El dominio de es ( )xxf 21log)( 8 −=
∞−=
<
21,
21xx
Cortes con los ejes
Eje x( ) xx 213 021log 0
3 −=⇔=−0=x
Eje y
( )xy 21log3 −= ( )0.21log3 −=y
0=yasíntotas
021 =− x21
=x
( )xxf 21log)( 3 −=Graficar
1>b
y
x
21
=x
Recuerde que la función logarítmica es la inversa de la función exponencial. Como el logaritmo es de base 3, y , la función es creciente.
( )xxf 21log)( 3 −= Como podemos ver, hay una reflexión con el eje
y
x
Ahora es decreciente
Finalmente, la grafica de la función
y
x
y
Cortes con los ejes 0=x 0=y
Asíntotas
21
=x
( )xxf 21log)( 3 −=
trigonométricas
( )xseny =Función seno
fPara la función se tiene que senxy =
•Dominio: todos los números reales: ( ) RfDom =
•Rango: 11 ≤≤− y
π2
senxxsen −=− )(
•Periodo:
•Simétrica con respecto al origen:
Función Coseno
( )xy cos=Para la función definida se tiene que xy cos=f
Dominio: todos los números reales ( ) RfDom =
11 ≤≤− yrango
xx cos)cos( =−
•Periodo: π2
•Simétrica con respecto al eje y
Simétrica impar
Simétrica par
( )xy tan=Función tangente
xy tan=Para la función definida se tiene que f
Dominio : donde es cualquier entero Rango: Periodo: Asíntotas: Simétrica respecto al origen:
ππ kx +≠2
k
R
π
ππ kx +=2
xx tan)tan( −=−
Función impar
Dominio: Rango: Periodo: Asíntotas: Simétrica respecto al origen:
( )xctgy =Función cotangente
Para la función definida se tiene que ( )xctgy =
( ) { entero ,/ nnxRxfDom π≠∈=
R
π
ππ kx +=
f
( )xctgxctg −=− )(
Función impar
Función cosecante
Para la función definida se tiene que f
Dominio Rango Periodo Asíntotas Simétrica respecto al origen:
π2
ππ kx +=
Funciones trigonométricas recíprocas
( )xy csc=
( ) { entero ,/ nnxRxfDom π≠∈=
( )xy csc=
xx csc)csc( −=−
( ] [ )∞−∞− ,11,
Función impar
Función secante ( )xy sec=
xy sec=Para la función definida se tiene que
( ) { impar entero ,2
/ nnxRxfDom π≠∈=
f
( ] [ )∞−∞− ,11,
xx sec)sec( =−
Dominio: Rango: Periodo: Asíntotas: Simétrica respecto al origen
π2
ππ kx +=2
Función par
Signos de las funciones trigonométricas
P(x) en el cuadrante I II III IV
)(xsen
)(cos x
( )( )xxsenx
cos)(tan =
( )( )xsenxx cos)(cot =
( )xsenx 1)(csc =
( )xx
cos1)(sec =
+=++
+=++
+=+1
+=+1
+
+ −+ −
− − +
−=−+
+=−− −=
+−
−=+−
+=−− −=
−+
+=+1
−=−1
−=−1
−=−1
−=−1 +=
+1